Démonbrement en action - La taverne de l`Irlandais.
Contents
1. SE Re a g 9 3486784401 Finalement il vient donc que p X gt 2 1073741824 1342177280 118985033 3486784401 3486784401 387420489 p X 0 p X 1 0 307 Clairement une m thode est plus rapide que l autre Document con u et r alis par J r me ONILLON en F vrier Mars 2002 Distribution et diffusion exclusivement par la taverne de l Irlandais http www tanopah com2. des cP quatre personnes possibles Constituer un groupe dans les conditions fix es revient en fait faire une combinaison de quatre l ments choisir parmi 36 Il y a donc en tout E 58905 groupes possibles que un jour donn d un cadre et de trois ouvriers sans distinction de sexe d au moins un cadre homme d une cadre de deux ouvri res et d une apprentie onnes composant le groupe sont des femmes Nous savons que la situation quivaut un tirage sans ordre Nous savons aussi que tous les groupes sont quiprobables En effet il est bien pr cis que tout est fait au hasard Donc l encore pas de favoritisme Voyons ces probabilit s dans le d tail 1 Le groupe est constitu d un cadre et de trois ouvriers sans distinction de sexe La question se poser est combien peut on constituer de telles quatre combinaisons Analysons ce type de groupe Document con u et r alis par J r me ONILLON en F vrier Mars 2002 Distribution et diffusion exclusivement par la taverne de l Irlandais http www tanopah com 2 3 Ils sont tous de la forme Notre groupe est form de deux sous combinaisons la premi re d un l ment cadre et la seconde de trois l ments ouvriers Ilya C 9 un combinaisons avec un seul l ment cadre Ilya Cs 2300 trois combinaisons comprenant 3 ouvriers Il y a donc en tout C3 x G 20700 quatre combinaisons comprenant un cadre et trois ouvri
3. il faut choisir l un des deux apprentis parmi les 36 salari s La probabilit d interroger un apprenti est donc de Z 5 b Probabilit que la personne interrog e soit un cadre sachant que c est un homme Le terme sachant que indique qu il s agit d une probabilit conditionnelle Pourtant pour r pondre cette question point de besoin de grande formule car le bon sens peut suffire Pour que l v nement soit r alis il faut interroger un des 3 cadres hommes Comme l on sait que la personne interrog e est n cessairement un homme l ensemble de r f rence se r duit donc 22 candidats La probabilit est donc gale 3 c La probabilit d interroger une femme sachant que la personne interrog e fait partie des ouvriers L encore il s agit de probabilit conditionnelle Mais il est possible de s en sortir en faisant preuve d un peu de bon sens Pour que l v nement se r alise il faut interroger l une des 7 femmes ouvriers Maintenant on sait que la personne interrog e est n cessairement un ouvrier au sens large Cela laisse le choix entre 25 candidats La probabilit de cet v nement est donc gale Z les matins personnel sur le passage aux trente cinq heures on personnes choisies au hasard Ils forment un groupe endant de ceux des autre jours La situation vient de changer Elle s assimile d sormais un tirage sans ordre Cela implique donc l utilisation des combinaisons et
4. D nombrement en action Page 1 sur 4 Apr s avoir vu la th orie du d nombrement et autres lois binomiales nous allons nous attaquer la pratique au travers d un petit probl me A l origine celui ci s adressait aux l ves de Terminale ES ayant suivi la sp cialit math matique Il s agit d ailleurs d un exercice de Bac ES not sur cinq points qui a t remani et alourdi Le pr sent probl me est pr vu pour tre trait en une heure Cela dit chacun est libre de prendre son temps Voici donc D nombrement en action Un probl me pour en comprendre l usage L nonc du probl me itu e d apprentis d ouvriers et de cadres Parmi mmes dont dix huit ouvriers et trois cadres six isie au hasard et est interrog e sur les conditions jour donn la personne interrog e soit un homme st une ouvri re matins nnel sur le passage aux trente cinq heures on nnes choisies au hasard Ils forment un groupe t de ceux des autres jours uatre personnes possibles un jour donn lun cadre et de trois ouvriers sans distinction de u moins un cadre homme ane cadre de deux ouvri res et d une apprentie onnes composant le groupe sont des femmes ia un jour donn Patricia fasse partie du groupe des par semaine tricia soit interrog e une seule fois en deux ricia soit interrog e au moins deux fois en deux cessifs des groupes de quatre personnes sont deux Do
5. ait pas partie du groupe Cette variable al atoire X ob it la loi binomiale de param tres n 10 et p gt Dans la suite nous allons utiliser la formule p X k CK x pK x 1 p K Le terrain ayant t pr par nous allons pouvoir traiter les questions Calculons la probabilit que Patricia soit interrog e une seule fois Compte tenu de ce qu est la variable al atoire X il nous faut donc calculer p X 1 1 9 jst _ 1342177280 0 385 Une seule fois 9 9 3486784401 Patricia a donc un peu plus d une chance sur trois d tre interrog e une seule et unique fois en deux semaines p X 1 Int ressons nous la probabilit que Patricia soit interrog e au moins deux fois en deux semaines Pour cela il nous faut calculer p X gt 2 L nous avons le choix entre deux chemins La m thode bourrin La variable al atoire peut prendre toutes valeurs enti res entre 0 et 10 On crit alors simplement que p X gt 2 p X 2 p X 3 p X 9 p X 10 C est la m thode la plus simple et surtout la plus longue La m thode la plus astucieuse passer par l v nement contraire L v nement contraire de X gt 2 est l v nement X lt 2 On peut donc crire que p X gt 2 1 p X lt 2 1 p X 0 p X 1 Nous connaissons d j p X 1 Il nous reste d terminer p X 0 On peut crire que 0 10 3 _ 1073741824 0 307 0 X
6. cument con u et r alis par J r me ONILLON en F vrier Mars 2002 Distribution et diffusion exclusivement par la taverne de l Irlandais http www tanopah com D nombrement en action Page 2 sur 4 Le corrig du probl me constitu e d apprentis d ouvriers et de cadres sont des hommes dont dix huit ouvriers et trois une est apprentie Avant d entamer les hostilit s encore faut il savoir ce qu est la situation et conna tre exactement la r partition des salari s de l entreprise La lecture et l exploitation de l nonc nous conduit au tableau suivant A pr sent que nous connaissons en d tail l effectif de l entreprise nous allons pouvoir r pondre toutes les questions pos es Pr cisons encore que nous sommes en situation d quiprobabilit car toutes les personnes ont la m me probabilit d tre choisie Il n y a aucun favoritisme qui tienne un jour donn la personne interrog e soit c est un homme ue c est une ouvri re Analysons la situation Il s agit chaque fois d un tirage d une personne choisir parmi un certain nombre Voyons cela dans le d tail a Probabilit que la personne interrog e soit un apprenti Cette question peut pr ter confusion En effet s agit il de la cat gorie apprenti hommes et femmes confondus ou parle t on d apprenti homme Plusieurs compr hensions sont possibles Nous opterons pour la premi re Pour que cet v nement soit r alis
7. ers Note si l on multiplie c est que pour chacun des neuf cadres choisis il y a C3 trois combinaisons d ouvriers possibles Imaginez l arbre La probabilit d obtenir un groupe avec un cadre et trois ouvriers est donc Nombre de cas favorables _ 20700 _ 460 _ 0351 gale 4 Nombre total de cas 58905 1309 Le groupe est constitu d au moins un cadre homme Au moins un cadre homme signifie qu il peut y en avoir un deux ou trois Cela signifie donc qu il y a quatre cas envisager et donc qu il y a beaucoup de boulot en perspective A moins de r fl chir Une des choses savoir lorsque l on traite de probabilit est que l v nement contraire de au moins est aucun Nous allons donc nous int resser l v nement aucun cadre homme Combien y a t il de groupes ou de quatre combinaisons o il n y a aucun cadre homme Constituer une telle combinaison revient choisir quatre personnes parmi 36 3 33 autres Tout le monde sauf les cadres hommes Il y a donc en tout c3 40920 groupes sans cadre homme Il vient donc que p Au moins un cadre homme 1 p Aucun cadre homme C est l v nement contraire 40920 109 0 305 58905 357 Le groupe est constitu d une cadre de deux ouvri res et d une apprentie sachant que toutes les personnes composant le groupe sont des femmes La premi re remarque que certains formuleront est est il bien utile de pr ciser que toutes le
8. pes sont de la forme Ce qui diff rencie deux groupes avec Patricia est le choix des trois autres salari s Ceux ci doivent tre choisis parmi les trente cinq restants Il y a donc en tout ce 6545 groupes o figure Patricia La probabilit que Patricia soit dans le groupe est donc gale sE 2 5 D o ce qui tait demand t par la taverne de l Irlandais http www tanopah com D nombrement en action Page 4 sur 4 ours par semaine e Patricia soit interrog e une seule fois en deux Patricia soit interrog e au moins deux fois en deux successifs des groupes de quatre personnes sont deux Avant toute action analysons la situation Tous les jours on interroge quatre personnes comme pr c demment La question qui se pose est un jour donn Patricia fait elle partie du groupe D apr s la question 2 c nous savons que cette probabilit est gale Maintenant cette preuve se r p te durant dix jours deux semaines de cinq jours A chaque fois on se pose la question de savoir si Patricia fait partie du groupe choisi Cette situation est assimilable un sch ma de Bernouilli dix niveaux un par jour o l preuve de Bernouilli est la suivante S Patricia fait partie du groupe Un jour donn On appelle X la variable al atoire comptant le nombre de succ s S c est dire le nombre de jours o Patricia a fait partie du groupe de personnes interrog es E Patricia ne f
9. s personnes composant le groupe sont des femmes Apr s tout il est bien dit une cadre deux ouvri res et une apprentie La r ponse est oui car cela cr e une diff rence avec les deux cas pr c dents L ensemble de r f rence a chang on doit pr sent s int resser aux seules quatre combinaisons de femmes Il y a en tout ee 1001 groupes ne comportant que des femmes Il nous reste d nombrer les groupes comportant une cadre deux ouvri res t r alis par J r me ONILLON en F vrier Mars 2002 Distribution et diffusion exclusives Sur 3 sur 4 et une apprentie Ils sont tous de la forme Notre quatre combinaisons est donc compos es de 2 une combinaisons et de 1 deux combinaisons Il existe CE 6 une combinaisons avec une femme cadre Il existe ci 21 deux combinaisons avec deux ouvri res Il existe c 1 une combinaison avec une apprentie Il y a donc en tout Ce x ci x ct 126 groupes avec une femme cadre deux ouvri res et une apprentie es 7 g 126 18 La probabilit recherch e est donc gale 0 126 1001 145 Cette question aurait pu faire partie des pr c dentes Elle s inscrit en tout cas dans la Nombre de cas favorables m me d marche L encore nous utiliserons la formule Nombre total de cas Depuis la question 2 a nous savons qu il y a en tout a 58905 groupes au total Il nous faut d terminer le nombre de groupes o Patricia figure Tous ces grou
Download Pdf Manuals
Related Search