Analyse
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1. Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 2 Quelques points forts de la r solution de probl mes e entre les proc dures que l on labore et la repr sentation que l on se construit peu peu e entre les connaissances qui vont servir agir et celles qui vont servir com prendre le probl me 2 2 Restructurer ses connaissances chaque fois qu un tudiant fait un exercice dont la r solution ne se r duit pas l application d une proc dure standard il r organise un peu ses connaissances C est ainsi que se d veloppent peu peu des liens complexes entre les concepts math matiques et les repr sentations qu il s en fait Cela va enrichir ses connais sances et augmenter son efficacit dans la r solution de probl mes Cette organisa tion des connaissances ne sera pas la m me pour tous elle d pendra essentielle ment de la fa on dont elle s est construite et la fr quentation de vrais probl mes n est videmment pas quivalente la r solution d exercices trop semblables 2 3 Identifier des familles de probl mes L un des ressorts de la r solution de probl mes est de reconna tre que tel probl me nouveau a quelque chose voir avec tel probl me d j rencontr Si l on ne pratique que la r solution d exercices r p titifs le risque est de ne construire que des liens assez pauvres entre des exercices tr s voisins Or pour aborder efficacement un pro bl me v2. 11 Introduction V inverse si un tudiant se trouve devant un probl me qu il ne sait en aucune fa on comment aborder le d couragement peut l arr ter dans sa recherche et la lecture d une solution ne le fera pas s engager dans une d marche de r solution de probl mes Il n est donc pas si facile de d clencher une v ritable activit de r solution C est toute la strat gie d apprentissage qui est ici concern e L tudiant devra choisir autant qu il le peut de travailler sur des exercices vari s Il devra accepter de passer du temps sur un exercice difficile et ne pas croire que la lecture de la solution apr s une courte recherche soit efficace pour l apprentissage Il pourra travailler avec tous les dispositifs qui privil gient la r solution de probl mes comme ce livre ou le site BRAISE L enseignant pourra agir sur trois facteurs e Choisir un dispositif d enseignement o les exercices interviennent aussi sou vent que possible avant l expos d un cours Dans une telle situation l tudiant pourra investir toutes les connaissances ant rieures Il trouvera peut tre des l ments de solutions Et surtout s il n en trouve pas il sera tr s r ceptif de nouvelles connaissances qui lui permettent de r soudre des exercices qu il ne savait pas faire auparavant Le cours prendra alors toute sa sigmification En d autres termes l id e est que l tudiant ne rencontre
3. Tout le catalogue sur www dunod com EDITEUR DE SAVOIRS Jean Pierre Escof er Francoise Guimier Jean Houdebine Marie Pierre Lebaud Ronan Quarez Pierre Vincent Qu r Michel Viallard Analyse Apprendre partir d une base d exercices Niveau LI DUNOD Illustration de couverture iconspro Fotolia com le pictogramme qui figure ci contre d ensei t sup rieur provoquant une m rite une explication Son objet est baisse brutale des achats de livres et de d alerter le lecteur sur la menace que revues au point que la dires m me pour repr sente pour l avenir de l crit les auteurs de cr er des uvres particuli rement dans le domaine DANGER nouvelles et de les faire diter cor de l dition technique et universi rectement est aujourd hui menac e taire le d veloppement massif du Nous rappelons donc que toute photocopillage reproduction partielle ou totale Le Code de la propri t intellec de la pr sente publication est tuelle du 1 juillet 1992 interdit LEPHOTOOOPLLAGE interdite sons auforisation de en effet express ment la photoco TUE LE LIVRE l auteur de son diteur ou du pie usage collectif sans autori Centre fran ais d exploitation du sation des ayants droit Or cette pratique droit de copie CFC 20 rue des s est g n ralis e dans les tablissements Grands Augustins 75006 Paris Dunod Paris 2013 ISBN 978 2 10 057665 4 Le Code de la propri t int
4. etc La base compte aujourd hui plusieurs milliers de pages Depuis 2007 ce travail est soutenu par Unisciel l Universit des sciences en ligne Enfin tant pass s de l id e de faire un livre celle de faire un site avec notre base d exercices nous revenons avec les ditions Dunod l id e de faire un livre qui s articule avec la base afin de donner de nouvelles possibilit s de travailler les math matiques Note sur la partie informatique La construction informatique de la base est originale Elle est due Fran ois Dagorn ing nieur de l UFR en informatique et lectronique ISTIC de l universit de Rennes 1 C est lui qui donne au site le nom de BRAISE Il r alise la premi re ver sion du logiciel fin 2002 il s agissait en particulier de traduire automatiquement les exercices du format LTX en XML puis d utiliser ce format pivot pour s autori ser des sorties en HTML MathML PDF Depuis cette date le c ur du syst me informatique est inchang c est I outil tex4ht du regrett Eitan Gurari qui permet de traduire le LX en tout ce qui existe aujourd hui En 2007 Rozenn Dagorn a cr une charte graphique pour la base et Fran ois Dagorn en a refond l interface Il assure depuis le fonctionnement de la base la faisant voluer et r solvant nombre de probl mes techniques de compatibilit Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit INTRODUCTION RESOLUTIO
5. et leurs propri t s complexes n ont gu re de place et qui se r v le finalement peu attrayante L tudiant acceptera alors plus volontiers de s attaquer des exercices plus dif ficiles dont la r solution ne sera pas imm diate Cet ouvrage peut aussi aider de futurs enseignants ou des enseignants en exer cice concevoir de nouveaux sc narios pour mettre la r solution d exercices au centre de l apprentissage Les programmes actuels des coll ges et lyc es d signent ce type de sc nario sous le nom de d marche d investigation L introduction expli cite les id es indispensables pour y parvenir Elle pourra aussi aider les tudiants comprendre les raisons profondes de l efficacit de la d marche propos e et les encourager s y investir pleinement Avant propos Quatre domaines ont t s lectionn s e lire et crire des math matiques e travailler avec les nombres complexes e tudier et utiliser les suites num riques e tudier les fonctions de R dans R Les trois derniers font classiquement partie du programme de premiere ann e de Licence Les notions abord es dans le premier sont plus rarement explicit es bien qu elles soient la source de graves difficult s pour les tudiants L entr e dans une notion se fait a chaque fois via des exercices Le nombre d toiles indique leur difficult relative Vous trouverez la suite des exercices des l ments de cours et des m
6. jour la difficult de r soudre un exercice de math matiques alors qu ils pensaient connaitre et mai triser le cours correspondant L id e centrale est que la v ritable compr hension d un cours de math matiques se construit en r solvant des exercices C est donc en partant des exercices que nous allons ici aborder les notions importantes n cessaires leur r solution et non pas en d livrant un cours au pr alable Celui ci s en trouve donc transform Les exercices retenus sont tr s vari s car ils ont t choisis pour illustrer sans redondance le plus d aspects possible de chaque notion Ils sont accompagn s par des explications sur les m thodes et techniques classiquement utilis es mais qui sont rarement explicit es dans les manuels Les d marches heuristiques s aider d un dessin ou d un exemple reformuler une situation inventer des questions ou des sous probl mes sont galement mises en valeur La lecture de ce livre permettra a un tudiant de se convaincre que faire des math matiques c est avant tout r soudre des probl mes Il prendra conscience que pour r aliser cet objectif 1l ne suffit pas de travailler un cours puis de r soudre des exercices r p titifs qui se r sument l application de r gles ou de formules ou l utilisation d une technique donn e En effet cette d marche donne trop souvent une vision des math matiques fragment e o les concepts math matiques
7. les connaissances qu au moment o il en a besoin pour r soudre un probl me sur lequel il a d j tra vaill Bien s r il ne s agit pas de supprimer totalement les exercices d entrat nement mais ceux ci ne sont utiles qu en fin d apprentissage pour acqu rir de la rapidit et conforter des habilet s d j acquises e Choisir des probl mes adapt s Tous les probl mes toutes les situations tous les exercices ne sont pas quiva lents pour d clencher une v ritable activit de r solution de probl mes Voici quelques caract ristiques qui favorisent la mise en place d une telle activit L existence de plusieurs proc dures de r solution est un l ment favora ble car elle augmente les possibilit s d action La r ponse attendue doit tre tr s claire pour l tudiant Les questions du type que pensez vous ou quelles sont les propri t s sont g n ralement peu performantes Un probl me trop facile ne d clenchera pas d activit significative mais un probleme trop difficile peut provoquer un blocage Il faut donc propo ser des situations suffisamment difficiles avec toutes les aides n cessai res pour viter ce blocage Les probl mes organis s sous forme de questions successives sont utiles pour les valuations Mais ils ne d clenchent pas a priori une v ritable activit de r solution de probl mes souvent les questions cherchent imposer une proc d
8. les d monstrations 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 crire des d monstrations avec des contraintes crire des d monstrations avec une aide Analyser des d monstrations Analyser des erreurs dans des d monstrations La d monstration comme aide la r solution D autres textes math matiques Indications de r solution pour la partie 10 10 11 17 18 20 23 27 29 33 37 37 41 45 50 52 5 4 57 Table des mati res Vi PARTIE Il TRAVAILLER AVEC LES NOMBRES COMPLEXES Chapitre 3 Travailler avec les nombres complexes 3 1 Forme alg brique des nombres complexes 3 2 In galit s triangulaires 3 3 Forme trigonom trique et forme exponentielle 3 4 Transformation de fonctions trigonom triques 3 5 Racines n i mes 3 6 Equations du second degr 3 7 Nombres complexes et g om trie Indications de resolution pour la partie Il PARTIE Il TUDIER ET UTILISER LES SUITES NUMERIQUES Chapitre 4 Determiner une limite 4 1 Utiliser des moyens l mentaires 4 2 Utiliser des limites de fonctions 4 3 Utiliser des suites g om triques 4 4 Transformer le terme g n ral Chapitre 5 Etudier la convergence 5 1 Suites monotones 5 2 Suites de Cauchy 5 3 Utilisation du lemme de Cesaro 5 4 Sommes de Riemann 5 5 Suites et s ries Chapitre 6 Utiliser une suite pour approcher un r el 6 1 Utiliser des suites adjacentes 6 2 Utiliser le th or me du point fixe 6 3 Utiliser la m thode de Newton 6
9. ne vient s imposer son esprit la ma trise des connaissances dont nous venons de parler ne suffira pas Il lui faut s appuyer sur d autres comp tences et c est la r solution de probl mes qui lui permettra de les acqu rir e Il faut d abord savoir examiner la situation sous tous ses angles La meilleure fa on d avancer est d essayer d exploiter les id es qui viennent l esprit m me si elles ne r pondent pas directement la question Il faut alors accepter de se trouver dans des impasses et ne pas renoncer e Il faut savoir rep rer les connaissances qui peuvent s av rer utiles et s en servir de mani re pertinente Il peut arriver que l nonc du probl me ne les sugg re en aucune fa on Ainsi devant l exercice r soudre l quation sin t cost V2 les connaissances qui viennent l esprit sont des formules concernant les fonc tions trigonom triques Mais 1l se trouve que les connaissances sur l tude des variations d une fonction peuvent tre aussi mobilis es utilement car le maxi T mum de la fonction t sin t cost est V2 et est atteint aux points A 2kr avec k Z Et cette derni re d marche peut demander moins d invention 10 Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit 5 Declencher une v ritable activit de resolution de probl mes e Il faut parfois formuler des conjectures et essayer de les d montrer Par exem ple si l on ch
10. tour a t n cessaire Introduction L activit du math maticien ne se r duit pas essayer de r soudre des probl mes certaines poques la communaut math matique ressent le besoin de structurer les connaissances math matiques d j acquises Le premier exemple connu est celui donn par Euclide dans ses l ments Ce dernier l aide de quelques postulats de d part a reconstruit les math matiques connues l poque Mais la r solution de probl mes n est pas trang re ces r organisations Dans certains cas 1l s agit de clarifier les connaissances pour viter les conflits autour de la solution de certains probl mes et on peut penser que ce fut l un des moteurs d Euclide pour son travail Dans d autres cas la similitude des d marches pour r soudre des problemes en apparence tres diff rents va conduire l introduction de nouveaux concepts clai rant ces proximit s L apparition de l alg bre lin aire en est un exemple qui permet pour certains exercices de raisonner sur les polyn mes de degr inf rieur ou gal deux comme on raisonne sur les points de l espace Notons enfin la place essentielle du langage dans les math matiques L encore les probl mes jouent un r le central L criture de la solution de probl mes est sans doute l une des activit s les plus pratiqu es par le math maticien Le langage est aussi un moyen de formuler les probl mes l importance
11. tout polyn me coefficients r els de degr impair poss de une racine r elle peut se reformuler en utilisant le vocabulaire des fonctions polyn mes Ceci oriente naturellement vers une tude de fonction et l application du th or me des valeurs interm diaires Il faut tre capable de d clencher chaque instant des moyens de contr le Le plus important est de contr ler que les petites d ductions ou les calculs que l on a d j engag s sont corrects souvent en effet s 1l y a une difficult r soudre un probl me des fautes sont commises Et ce n est pas le plus souvent en reli sant ce qu on a crit que l on d couvre la faute mais en essayant d valuer la vraisemblance de ce qu on affirme ou en mobilisant des exemples que l on conna t bien 5 D CLENCHER UNE VERITABLE ACTIVIT DE RESOLUTION DE PROBLEMES Si la d marche d un tudiant consiste suivre un cours et tudier quelques exer cices r solus et enfin essayer de r soudre des exercices analogues 1l y a peu de chance qu il acqui re les comp tences dont nous venons de parler Il peut se conten ter quand on lui propose un nouvel exercice d observer quelques indices qui lui permettent de s assurer que cet exercice est semblable un exercice d j trait et d appliquer la m me proc dure de r solution Il n y aura pas de travail sur la repr sentation de cet exercice ni de restructuration des connaissances
12. 4 Une autre id e Chapitre 7 tudier la rapidit de convergence 7 1 Utiliser des d veloppements limit s 7 2 Utiliser des suites r currentes 63 63 65 67 70 72 74 75 78 83 83 86 88 90 93 93 100 100 101 103 105 105 107 109 111 113 113 113 Table des matieres 7 3 Utiliser les relations entre suites et s ries 114 Indications de resolution pour la partie III 116 PARTIE IV TUDIER LES FONCTIONS DE R DANS R Chapitre 8 Etudier une fonction au voisinage d un point 125 8 1 tudier des limites 125 8 2 Prolonger une fonction 129 8 3 Travailler sur les limites l infini 132 Chapitre 9 tudier globalement une fonction 137 9 1 tudier les variations 137 9 2 Majorer et minorer 139 Chapitre 10 Utiliser les propri t s des fonctions de R dans R 143 10 1 tudier l existence de solutions d quation 143 10 2 Utiliser une m thode d approximation 144 10 3 tudier une relation fonctionnelle 148 10 4 Une fonction et son graphe 149 Indications de r solution pour la partie IV 154 SOLUTIONS DES EXERCICES Partie Lire et crire des math matiques 159 Partie Il Travailler avec les complexes 182 Partie Ill tudier et utiliser les suites num riques 191 Partie IV tudier les fonctions de R dans R 211 VII Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit AVANT PROPOS PRESENTATION Ce livre s adresse a toutes celles et tous ceux qui ont ressenti un
13. ES CONNAISSANCES L apprentissage des math matiques est souvent r duit la ma trise de connaissan ces Qu apporte ici la r solution de probl mes Bien s r elle s appuie sur les connaissances acad miques telles qu on les trouve habituellement dans un cours Mais elle permet d aller plus loin dans la compr hension des concepts Il ne suf fit pas en effet de les conna tre travers des d finitions des th or mes et des m thodes 1l faut encore comprendre profond ment ce qui les lie Un simple dis cours n y suffira pas il faut que chacun s en fasse des repr sentations personnel les Elle engendre des m thodes heuristiques Celles ci ne sont pas souvent explici t es dans les cours car elles n apportent pas d l ments visibles dans la coh rence de ceux ci Par exemple comment faire concr tement pour valuer une aire com ment lire les propri t s d une fonction sur sa courbe repr sentative Elle fait appara tre l importance des exemples et des contre exemples aussi bien ceux qui sont propos s dans les cours que ceux que l on construit Ils sont en effet tr s utiles pour formuler des conjectures sur la situation que l on tudie ou pour v rifier que ce que l on affirme est vraisemblable 4 ACQUERIR DES COMPETENCES Quand un tudiant est confront un exercice qui ne ressemble en apparence aucun de ceux qu il a d j rencontr s et qu aucune proc dure de r solution
14. N DE PROBLEMES ET APPRENTISSAGE DES MATHEMATIQUES 1 LES MATHEMATICIENS ET LES PROBLEMES Pour comprendre la place de la r solution de probl mes dans l apprentissage des math matiques il faut d abord analyser son r le dans le d veloppement des math matiques et dans la d marche de chaque math maticien R soudre des problemes est le moteur de la plupart des recherches en math ma tiques Citons par exemple le th or me de Pierre de Fermat Celui ci avait affirm vers 1640 un r sultat qu on peut noncer aujourd hui sous la forme Pour tout entier n strictement plus grand que 2 on ne peut trouver trois entiers non nuls x y et z tels que x y z Pendant plus de 300 ans beaucoup de math maticiens ont essay sans succes de d montrer ce th or me Ce travail les a conduits inventer de nouveaux concepts pour voir autrement la situation et se donner de nouveaux moyens d agir Ainsi toute une partie de l alg bre est n e de ces recherches permettant d obtenir des r sultats partiels pour certains entiers ou pour certaines familles d entiers Ce n est qu en 1994 qu Andrew Wiles a r ussi d montrer ce th or me en utilisant des id es tr s subtiles issues de la g om trie alg brique Et le travail n est pas fini car certains math maticiens voudraient mieux comprendre pourquoi pour d montrer un r sultat sur les entiers qui s exprime si simplement un si grand d
15. de cette d marche est souligner C est par exemple celle de David Hilbert lors du deuxi me congr s international des math maticiens de 1900 qui formula une liste de probl mes ouverts dont certains ne sont toujours pas r solus ces probl mes orient rent la recherche du xx si cle Enfin le langage est indispensable pour d velopper les th ories au travers des d finitions et des nonc s de th or mes Ces textes pr cis sont un point d appui pour avancer dans la solution des probl mes 2 QUELQUES POINTS FORTS DE LA R SOLUTION DE PROBL MES Essayons de comprendre de quelle mani re la r solution de probl mes va contribuer l apprentissage des math matiques 2 1 Construire sa propre repr sentation d un probleme Quand on cherche r soudre un probl me les d marches engag es vont d pendre de la repr sentation que l on s en fait Ainsi si l on pense le probl me comme fai sant partie d une s rie d exercices semblables la premi re d marche est d essayer d appliquer quelques proc dures standards Si au contraire on aborde le probl me comme une situation inconnue on va essayer d enrichir notre repr sentation de cette situation l aide de sch mas ou de discours Pratiquer la r solution de probl mes permet de travailler sur ces repr sentations Il va appara tre une dynamique e entre la mani re dont on cherche la solution et la mani re dont on interpr te le probl me
16. e nature de t che ou viter des difficult s voir figure 3 Base raisonn e d exercices de math matiques Niveau de difficult s Theme Sidentifier facile Activites party Sure Courbe Aporceimanon de foewtians der un imtervate choix d exercices par pi ae Branches infinies cl s difficile Cartel de d riv es tr s difficile ak r 3 t et TA LAT Gactionts pe choix d exercices parmi tous Fonct ons comveses ceux d j consult s Fanchons r ciproques Cliquez te pour obtenir plus de d tails sur les thames des exercices Nature de la tache Difficult particuli re 4 viter Etudier un comportement mhin foncbon Arca Arctos Arctar Etudier ur prelongement gar continuict Pi sense de Mastani ranuraelles Chudeer ure fonction Pr sence de nombres compteses Crudeer ure relation fanctiveneiie Pr sence de param tres Exploter un graohe Utilisation de S v tonsements limit s ir sror ter G om trquement Leves une ind terminabon Marmer des SeiMances Cliquez ici pour obtenir plus de d tails sur les difficult s particuli res que vous souhaitez viter Valide is s techon Anreler Choisir un chapitre Foncteors de R dams Mode d emploi Pr f rences Acces prof Figure 3 cran des mots clefs dans un chapitre Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit Avant propos Une fois la s lection valid e une liste de problemes apparait voir figure 4 7 exercices correspondent vo
17. ellectuelle n autorisant aux termes de l article L 122 5 2 et 3 a d une part que les copies o reproductions strictement r serv es l usage priv du copiste et non destin es une utilisation collective et d autre part que les analyses et les courtes citations dans un but d exemple et d illustration toute repr sentation ou reproduction int grale o partielle faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite art L 122 4 Cette repr sentation o reproduction par quelque proc d que ce soit constitue rait donc une contrefa on sanctionn e par les articles L 335 2 et suivants du Code de la propri t intellectuelle Dunod La photocopie non autoris e est un d lit TABLE DES MATI RES Avant propos Introduction R solution de probl mes et apprentissage m BR WN Les mathematiciens et les problemes Quelques points forts de la r solution de problemes Approfondir des connaissances Acqu rir des comp tences D clencher une activit de r solution de probl mes PARTIE LIRE ET CRIRE DES MATH MATIQUES Chapitre 1 Travailler sur les nonc s 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 Travailler sur le sens du et ET du OU Travailler sur l implication Travailler avec les quantificateurs Le r le essentiel de la n gation Reconna tre que deux propositions ont la m me signification Exemples et contre exemples Chapitre 2 Travailler sur
18. erche un lieu g om trique l utilisation d un logiciel de g om trie dynamique peut nous permettre de faire des conjectures sur ce lieu Ou encore dans l tude d une suite le calcul des premiers termes peut nous donner une id e de la valeur de la limite Il restera d montrer ces conjectures Il faut savoir rapprocher un probl me nouveau de probl mes connus pour inven ter des d marches de r solution Une fa on de le faire est de chercher un sous probl me Par exemple pour tudier la convergence d une suite on peut essayer de montrer qu elle est croissante On peut aussi s int resser un probl me voisin que l on pense savoir r soudre on peut par exemple modifier certaines hypoth ses Ainsi devant le probl me tant donn s deux points situ s dans un m me demi plan d limit par une droite comment minimiser la distance pour aller de l un l autre en passant par un point de la droite on peut modifier l hypoth se en supposant que les deux points sont de part et d autre de la droite La solution est alors tr s simple et elle peut inspirer la solution du probl me donn Il faut s appuyer sur le langage pour comprendre l nonc du probleme le reformuler afin de le mieux comprendre formuler des hypotheses sur la situa tion noncer un sous probl me ou entamer la r daction d une partie de solu tion Par exemple le probl me exprim en termes alg briques Montrer que
19. ilit de la validation de votre solution et vous pouvez pour cela la comparer avec les l ments de solution propos s e La solution contient souvent des r flexions heuristiques et la base BRAISE pro pose une rubrique id es retenir consulter une fois la r solution comprise Avant propos BRAISE mode d emploi Concr tement vous commencez par choisir le chapitre sur lequel vous voulez tra vailler par exemple Fonctions de R dans R voir figure 2 Base raisonn e d exercices de math matiques Apprendre des math matiques en r solvant des probl mes Des crit res pour choisir vos exercices Des aides adapt es la r solution de chaque exercice Le travail avec papier et crayon est indispensable Pour la licence le CAPES l Agre gation avec aides m thodes l ments de cours et corrig s Vous voulez que les exercices que vous avez d j faits soient signal s lors d une utilisation ult rieure n oubliez pas de vous identifier indiquez un nom ci dessous et validez par OK Nom ou aller sur la base sans sidentifier Equations diff rentianler Les sates S res nun rigves Polynames len construction Nombres Complexes Primitives Alg bre lin aire Langage et ralionn ment Mode d emploi Pr f rences Acc s prof Jr Auteurs propos Figure 2 cran d accueil de BRAISE Vous pouvez alors s lectionner des exercices par mots clefs choisir un niveau un th me un
20. ints distincts du graphe de f Montrer que le graphe de f consult s admet une tangente parall le la corde AB en un point C que l on pr cisera remertass Aides la r solution i n S lru De Via pemr 7 1 cn ec Pour conclure jum o lei ee Choisir un chapitre Fonctions de R dans A Mode d emploi Pr f rences Acc s prof Auteurs propos Figure 1 L environnement d un exercice Des l ments de cours il s agit d introduire les connaissances et les concepts particuli rement utiles la r solution de cet exercice Des indications il s agit le plus souvent de la suggestion d une proc dure avec le risque que vous l appliquiez sans v ritable r flexion Mais nous avons conserv ce type d aide pour viter un blocage puisque l ob jectif est de vous permettre de travailler en autonomie Des m thodes et des techniques nous en proposons plusieurs afin que vous choisissiez celle qui a le plus de sens pour vous Une aide graphique une telle aide est propos e a chaque fois que possi ble pour enrichir vos repr sentations e Le site BRAISE ne propose pas d interactivit En particulier vous ne pouvez pas entrer une r ponse qui serait valid e par un logiciel Les outils informatiques disponibles ne permettent pas le traitement de r ponses complexes or elles sont n cessaires pour favoriser des d marches de r solution de problemes Vous avez donc la responsab
21. raiment nouveau il faut tre capable de rep rer ce qu il a de commun avec des probl mes d j r solus mais en premi re analyse tr s diff rents Cette capacit ne peut s acqu rir que par une longue pratique de la r solution de probl mes C est ainsi que peu peu on reconnaitra par exemple qu un probl me est lin aire ou de nature alg brique ou li l id e de limite ou qu un sch ma va permettre de mieux l aborder 2 4 Maitriser le langage math matique La r solution de probl mes conduit fr quenter le langage math matique sous tous ses aspects Bien s r 1l sert r diger la solution d finitive et dans cette solution on utilisera les th or mes et les d finitions qui sont r dig s dans le cours Mais il est aussi tr s utile dans la recherche de la solution En effet commencer la r daction d une solution m me si elle n aboutit pas est une tape essentielle pour faire vo luer la repr sentation du probl me c est ce moment que l on peut d couvrir des difficult s profondes alors qu on pensait avoir trouv la solution Ce langage est enfin utile pour exprimer des conjectures ou pour formuler des sous probl mes La ma trise du langage math matique ne peut s acqu rir par une simple imita tion seule la r solution de probl mes impose assez de contraintes pour faire jouer ensemble tous ses aspects et provoquer ainsi de r els progr s Introduction 3 APPROFONDIR D
22. s d autres exercices sur le m me sujet Le mode d emploi du site est pr cis plus bas BRAISE un site d exercices en ligne La base d exercices BRAISE http braise univ rennes1 fr aborde d autres th mes que ce livre les s ries num riques l alg bre lin aire les quations diff rentielles les primitives et se propose de couvrir le programme classique d une Licence de math matiques Sa conception repose sur les id es pr sent es ci dessus et les ana lyses faites dans l introduction voir page 7 Dunod Toute reproduction non autoris e est un d lit Avant propos e La base ne vous propose pas d exercices r p titifs en revanche elle propose des exercices balayant les m thodes et les r sultats concernant les concepts math matiques tudi s e Vous pouvez s lectionner des exercices relevant de la m me nature de t che Cette notion peut vous permettre de comprendre qu des familles de probl mes ne relevant pas des m mes th mes correspond cependant la m me d marche e Pour chaque exercice BRAISE vous propose de un quatre types d aides la r solution voir figure 1 R Ta IS C Base raisonn e d exercices de math matiques Exercice num ro 11 1 S identifier TE nonc choix d exercices par mots cl s Soit f la fonction d finie sur R par f x ac fix y avec a f 7 Re et choix d exercices a 0 a ceux d j Soient A et B deux po
23. t travaill avec les enseignant e s du secondaire C tait l poque o en quelques ann es Internet s tendait rapidement dans les bureaux puis dans les maisons et les appartements L universit de Rennes 1 encou ragea les projets d enseignement utilisant les nouvelles technologies Ces nouveaut s transform rent le projet initial de Michel Viallard en la concep tion d une base d exercices dite raisonn e BRAISE en acc s libre sur le r seau avec Avant propos diff rents dispositifs Il fut pr vu que dans cette base l tudiant ou l tudiante pourrait trouver des exercices r soudre sur le chapitre sur lequel il elle voudrait travailler en les s lectionnant suivant diff rents crit res Tout serait fait pour qu il elle se trouve dans un contexte favorable et ait sa disposition imm diate les documents qu il elle souhaite Pour chaque exercice un simple clic lui donnerait acc s a des l ments de cours correspondant a l exercice un autre clic a des m tho des pour sa r solution un autre a des solutions etc Une structure informatique complexe autour des exercices fut labor e apr s plu sieurs ann es d efforts et d exp rimentations et mise en place en 2002 Le chapitre sur les suites num riques fut le premier abord Ann e apr s ann e d autres chapi tres ont t crits alg bre lin aire nombres complexes fonctions de R dans R s ries quations diff rentielles
24. thodes et techniques utilisables dans leur r solution Des indications pour la r solution sont pr sentes apr s chaque partie Vous vi terez de vous tourner trop rapidement vers elles pour privil gier votre recherche personnelle Les solutions se trouvent en fin de livre Elles sont accompagn es d id es rete nir consulter apr s avoir compris la r solution du probl me il s agit d un texte assez court qui comporte soit des r sultats soit des techniques utilis s dans l exer cice mais de port e assez g n rale pour qu il soit utile de les retenir Ce livre est le fruit d un travail men au sein de l IREM de Rennes depuis de nombreuses ann es et qui a conduit la conception du site BRAISE Base RAISonn e d Exercices reposant sur les m mes id es que celles d velopp es ici Ce site librement accessible en ligne pr sente une s lection d exercices concernant de nombreux autres themes du programme de Licence Cet ouvrage peut constituer une introduction l utilisation de BRAISE Il renvoie d ailleurs r guli rement au site pour vous inciter prolonger et compl ter votre tra vail Ces renvois sont signal s par une indication du type suivant gt Aller plus loin avec BRAISE Th me Activit s partir d une courbe Nature de la t che Exploiter un graphe Cela veut dire qu en choisissant ce th me ou cette nature de t che dans le site BRAISE voir figure 3 vous aurez acc
25. tre recherche S identifier Titre choix d exercices par px lt a 1 16 1 Une fonction de degr 3 choix d exercices parmi donn e par sa courbe ceux d j consult s 2 16 2 Une fonction de degr 5 donn e par sa courbe j 16 3 Reconnaitre une sinusolde en lisant des propri t s sur un graphique 4 16 4 Une fonction d finie par les propri t s de sa courbe repr sentative 5 16 5 Trouver une fonction partir de propri t s 16 6 Fonctions et d riv es gt Chotsir un chapitre ma de dane B i 7 16 7 Lire des limites sur un graphique Mode d emploi Pr f rences Acc s prof Auteurs Apropos Figure 4 Une liste d exercices Chacun est identifi par un titre aussi vocateur que possible et son niveau indi qu par le nombre d toiles Il suffit de cliquer sur l un des titres pour acc der l nonc de l exercice et l environnement dont nous avons parl ci dessus figure 1 et de se mettre au travail HISTORIQUE Le projet de BRAISE est n la fin des ann es 1990 sous l impulsion de Michel Viallard enseignant de math matiques l universit Rennes 1 Le but tait d la borer un manuel sur papier d exercices pour des math matiques enseign es dans les deux premi res ann es de la Licence de math matiques Michel Viallard r unit dans le cadre de l IREM de Rennes une quipe d enseignant e s de l universit avec des exp riences vari es et ayant souven
26. ure mais le but atteindre devient brouill et les liens entre les questions sont parfois invisibles pour l tudiant La situation sera favorable si l tudiant dispose de moyens d autocon tr le 12
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