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Taux de restitution de l`énergie en thermo-élastic[...]

1. f on U x9 adT La d monstration est identique celle du calcul de G en lasticit lin aire R7 02 01 L expression est la m me le post traitement est donc identique 1 4 Implantation de G en thermo lasticit non lin aire dans le Code_Aster Les types d l ments et de chargements l environnement n cessaire sont les m mes que pour l implantation de G en thermo lasticit lin aire R7 02 01 2 4 Pour le calcul des diff rents termes de G 0 un tat donn on r cup re la densit d nergie libre Y e T les d formations g et les contraintes g calcul es pour la relation de comportement non lin aire routine NMELNL On suppose que g g 0 terme identique en thermo lasticit lin aire ou non lin aire La densit d nergie libre s crit alors R5 03 20 1 5 en thermo lasticit lin aire 2u 2 1 Fe TE KlEu 30 F eee avec 2_3 _3 _1 L Eu TEE Ei Ej 3 Em y E 20 2 _3 1 2 EEE 3 Er en thermo lasticit non lin aire 2 H E20 Yle T Ea EAR K eu 30 T T R Ey fonction d crouissage avec R p Manuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Cod e A ster Version default Titre Taux de restitution de l nergie en thermo lastic Date 25 09 2013 Page 6 12 Res
2. 0 e Bien qu il soit possible d effectuer un calcul lasto plastique suivi du calcul de G en lasticit non lin aire il faut bien savoir que cela n a aucun sens thermo dynamique et qu il est normal que le r sultat d pende du champ 0 2 Calcul du taux de restitution de l nergie par la m thode th ta en grandes transformations On tend la relation de comportement du 1 de grands d placements et de grandes rotations dans la mesure o elle d rive d un potentiel loi hyper lastique Cette fonctionnalit est d clench e par le mot cl DEFORMATION GROT _GDEP dans la commande CALC G 2 1 Relation de comportement On d signe par E le tenseur de d formations de Green Lagrange S le tenseur des contraintes de Piola Lagrange appel encore deuxi me tenseur de Piola Kirchoff F E la densit d nergie interne Le comportement du solide est suppos hyper lastique savoir que E est reli au champ de d placement U mesur par rapport la configuration de r f rence 9 par 1 E u 5 ui U iHU Uk S est reli au tenseur des contraintes de cauchy T par 1 1 S det F Fk TauF F tant le gradient de la transformation qui fait passer de la configuration de r f rence Q la configuration actuelle Q reli au d placement par F 6 u Manuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence
3. f Fa Sy V jd Q f R v d r 0 T Q Nous retrouvons donc les quations d quilibre et la relation de comportement en ayant pos 5 2 E 2 3 Expression Lagrangienne du taux de restitution de l nergie en thermo lasticit non lin aire et en grandes transformations Par d finition le taux de restitution d nergie G est d fini par l oppos de la d riv e de l nergie potentielle l quilibre par rapport au domaine Q bib1 Il est calcul par la m thode th ta qui est une m thode lagrangienne de d rivation de l nergie potentielle bib4 et bib2 On consid re des transformations F M gt M n0 M du domaine en oun domaine qui correspondent des propagations de la fissure A ces familles de configuration de r f rence ainsi d finies Q correspondent des familles de configurations d form es o la fissure s est propag e Le taux de restitution de l nergie G est alors l oppos de la d riv e de l nergie potentielle W u n l quilibre par rapport l volution initiale du fond de fissure in dW u n dn G n 0 On note comme dans bib 4 par la d rivation lagrangienne dans une propagation virtuelle de fissure de vitesse Soit p n M un champ quelconque N r el positif et M appartenant au domaine Q9 nous noterons Ein MI G n F Met EE Manuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus
4. GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster l Titre Taux de restitution de l nergie en thermo lastic Date 25 09 2013 Page 8 12 Responsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 2 2 La relation de comportement d un mat riau hyper lastique s crit sous la forme _ oF _ oF ij ji E 0E Cette relation d crit un comportement lastique non lin aire analogue celle du 1 1 Elle offre la possibilit de traiter les probl mes de m canique de la rupture sans y int grer la plasticit Et dans le cas d un chargement radial monotone elle permet d obtenir des d formations et des contraintes de la structure semblables celles que l on obtiendrait si le mat riau pr sentait un crouissage isotrope Le mat riau hyper lastique a un comportement m canique r versible c est dire que tout cycle de chargement n engendre aucune dissipation Ce mod le est choisi dans la commande CALC G U4 82 03 par l interm diaire du mot cl RELATION ELAS pour une relation lastique lin aire c est dire que la relation entre les d formations et les contraintes consid r es est lin aire RELATION ELAS VMIS LINE OU ELAS VMIS TRAC OU ELAS_VMIS_PUIS pour une relation de comportement lastique non lin aire loi de HENCKY VON MISES crouissage isotrope Une telle relation de comportement permet en toute rigueur de prendre en compte de
5. ments isoparam triques 2D et 3D Les chargements support s sont ceux support s en lasticit lin aire condition que ce soient des charges mortes typiquement une force impos e est une charge morte tandis que la pression est un chargement suiveur puisqu il d pend de l orientation de la surface donc de la transformation Restriction Avec la relation de comportement pr cis e au 2 on a une formulation de G valable pour de grandes d formations pour des mat riaux hyper lastiques mais si l on souhaite une coh rence avec le mat riau r el qui rappelons le est lasto plastique il est imp ratif de se cantonner des d formations petites les d placements et les rotations pouvant tre grandes Les conditions de chargements proportionnels et monotones indispensables pour assurer la coh rence du mod le avec le mat riau r el conduisent des restrictions importantes du champ des probl mes m me d tre trait s par cette m thode le thermique en particulier peut conduire des d charges locales II ne peut donc s agir que d une solution palliative avant d tre en mesure de donner un sens au taux de restitution d nergie dans le cadre de comportements plastiques Manuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster on Titre Taux de restitution de l nergie en th
6. Code Aster M Titre Taux de restitution de l nergie en thermo lastic Date 25 09 2013 Page 1 12 Responsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 Taux de restitution de l nergie en thermo lasticit non lin aire R sum On pr sente le calcul du taux de restitution de l nergie par la m thode th ta en 2D ou en 3D pour un probl me thermo lastique non lin aire La relation de comportement lastique non lin aire est d crite en R5 03 20 Manuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster ul Titre Taux de restitution de l nergie en thermo lastic Date 25 09 2013 Page 2 12 Responsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 Table des Mati res 1 Calcul du taux de restitution de l nergie par la m thode th ta en thermo lasticit non lin aire 3 1 1 Relati n de componere sssini aaia at te marais 3 1 3 Expression Lagrangienne du taux de restitution de l nergie 4 1 4 Implantation de G en thermo lasticit non lin aire dans le Code Aster 5 125 MISG EE ES E e ERATA E ne A A E E ACN EAE N OETA theme T 2 Calcul du taux de restitution de l nergie par la m thode th ta en grandes transformations T 2 1 Relation de COMPOT MEN ve pendu n an bee al nr tetes nm nest
7. aaiaaainiaadadiad T7 2 2 Energie potentielle et relations d quilibre 8 2 3 Expression Lagrangienne du taux de restitution de l nergie en thermo lasticit non lin aire et 24 Implantation dans le Code ASt r reisinin aaia aiaa a aaia 11 20 RESMICUO Toeaina aii iaa aa iaai aaa aa a danois 1 SAE EE ETE n den A A cet nee nee dt eee die 12 4 Description des versions du document 12 Manuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster ba Titre Taux de restitution de l nergie en thermo lastic Date 25 09 2013 Page 3 12 Responsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 Calcul du taux de restitution de l nergie par la m thode th ta en thermo lasticit non lin aire 1 1 Relation de comportement On consid re un solide fissur occupant le domaine Q de l espace R ou R Soit u le champ de d placement T le champ de temp rature f le champ de forces volumiques appliqu es sur Q g le champ de forces surfaciques appliqu es sur une partie de 5Q U le champ de d placements impos s sur une partie S de Q S NW 8 Est Sd Le comportement du solide est suppos lastique non lin aire tel que la relation de comportement co ncide avec la loi lastoplastique de Hencky Von Mises crouissage isotrope d
8. ans le cas d un chargement qui induit une volution radiale et monotone en tout point Ce mod le est choisi dans les commandes CALC G par l interm diaire du mot cl RELATION ELAS_VMIS_LINE ou ELAS_VMIS_TRAC O ELAS_VMIS_PUIS sous le mot cl facteur COMPORTEMENT R5 03 20 On d signe par g le tenseur de d formations g le tenseur des d formations initiales a le tenseur des contraintes g le tenseur des contraintes initiales W e e o T la densit d nergie libre g est reli au champ de d placement u par 1 E u 5 utu La densit d nergie libre Y e E 0 T est une fonction convexe et diff rentiable connue pour un tat donn R5 03 20 q 3 La relation de comportement du mat riau s crit sous la forme _or O e e 0 7 ij T Manuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster l Titre Taux de restitution de l nergie en thermo lastic Date 25 09 2013 Page 4 12 Responsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 Elle d rive du potentiel nergie libre Pour cette relation de comportement hyper lastique on sait donner un sens au taux de restitution d nergie dans le cadre de l approche globale en m canique de la rupture Ce n est pas le cas pour une relation de comportement pl
9. anuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster ou Titre Taux de restitution de l nergie en thermo lastic Date 25 09 2013 Page 11 12 Responsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 2 4 2 5 Finalement on obtient 00 G 0 f FiS u 0 Y E 8 1 d0 Rabaurt Ru Oui m dT A Q ng L expression compl te pour les chargements suivants densit surfacique non suiveuse R appliqu e sur une partie du bord de Q densit volumique non suiveuse f appliqu e sur le domaine Q et en tenant compte de la thermique G 6 f Fa Syll p8p i F E O Se Ta did Q ffiu 0 f 8 ude Q __09 TA n dI R 0 u R u 0 k k T Implantation dans le Code _ Aster La comparaison des formules de G 8 du 1 3 et du 1 4 montre que les termes de G 8 sont tr s proches L introduction des grandes transformations n cessite peu de modification en post traitement La pr sence du mot cl DEFORMATION GROT GDEP sous le mot cl facteur COMPORTEMENT de la commande CALC G indique qu il est n cessaire de r cup rer le tenseur des contraintes de Piola Lagrange et le gradient de la transformation F routines NMGEOM et NMELNL Les types d l ments finis sont les m mes qu en lasticit lin aire R7 02 01 82 4 Ce sont les l
10. astique 1 2 Energie potentielle et relations d quilibre On d finit les espaces des champs cin matiquement admissibles V et V V vadmissibles v UsursS V vadmissibles v OsursS Avec les hypoth ses du paragraphe 1 1 avec g g 0 les relations d quilibre en formulation faible sont uey foivdo ffivdo f gvadr Vvep Q a a Elles sont obtenues en minimisant l nergie potentielle globale du syst me w v f Y e v T dQ fivdQ f gvid T Q Ko Q La d monstration est identique celle en lasticit lin aire R7 02 01 1 2 1 3 Expression Lagrangienne du taux de restitution de l nergie Soit m la normale unitaire I situ e dans le plan tangent Q dans Q r fr Soit le champ tel que 0 0 y tels que u n 0sur Q en notant n la normale Q Manuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster defaki Titre Taux de restitution de l nergie en thermo lastic Date 25 09 2013 Page 5 12 Responsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 Le taux de restitution d nergie G est solution de l quation variationnelle f G0 mds G 8 vVeee o G est d fini par oY k k T se ze ile 0d Q G 0 f oup E OTOA f loy o Ea f ofu O tf edO 00 On ij ij ij k u xs 0 dT Zi KOKUi tS
11. ent diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html
12. ermo lastic Date 25 09 2013 Page 12 12 Responsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 3 Bibliographie 1 BUI H D M canique de la rupture fragile Masson 1977 2 DESTUYNDER Ph DJAOUA M Sur une interpr tation de l int grale de Rice en th orie de la rupture fragile Mathematics Methods in the Applied Sciences Vol 3 pp 70 87 1981 3 GRISVARD P Probl mes aux limites dans les polygones Mode d emploi EDF Bulletin de la Direction des Etudes et Recherches S rie C 1 1986 pp 21 59 4 MIALON P Calcul de la d riv e d une grandeur par rapport un fond de fissure par la m thode th ta EDF Bulletin de la Direction des Etudes et Recherches S rie C n 3 1988 pp 1 28 5 MIALON P Etude du taux de restitution de l nergie dans une direction marquant un angle avec une fissure note interne EDF H1 4740 07 1984 6 SIDOROFF F Cours sur les grandes d formations Ecole d t Sophia Antipolis 8 au 10 septembre 1982 7 LORENTZ E Une relation de comportement hyper lastique non lin aire Note interne EDF 4 DER HI 74 95 011 0 1995 Description des versions du document Version Auteur s Description des modifications Aster Organisme s E VISSE EDF Texte initial R amp D MMN 10 1 1 J M Proix Changement du mot cl GREEN en GROT_GDEP R Bargellini EDF R amp D AMA Manuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Docum
13. grandes d formations et de grandes rotations Toutefois on se cantonne de petites d formations pour assurer l existence d une solution et pour tre identique un comportement lastoplastique sous un chargement radial monotone R5 03 20 2 1 Energie potentielle et relations d quilibre Le chargement consid r se r duit une densit surfacique non suiveuse R appliqu e sur une partie Ts du bord de Qo hypoth se des charges mortes R5 03 20 82 21 On d finit un espace des champs cin matiquement admissible V V vadmissibles v Osur I o Les relations d quilibre en formulation faible sont Fp Su Vi d Q f R v dT J FeSi sd 20 f O T Elles peuvent tre obtenues en minimisant l nergie potentielle globale du syst me W v f Y E v d Q f R v dT Manuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster ou default Titre Taux de restitution de l nergie en thermo lastic Date 25 09 2013 Page 9 12 Responsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 En effet si cette fonctionnelle est minimale pour le champ de d placement u alors w l Esr dQ R var 0 V vev 1 aii OVi O Vi t Vp i Up jt Up i0 Vp dQ R 5v dT r gt p i psj pe _f S 6 u 6 Vp id Q f R 6 vdr r D fF Fu Sj Vp id Q f R v dT r OD
14. ponsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 Pour un crouissage isotrope lin aire RELATION I ELAS VMIS LINE ona EE RAP o ap Og Ty EE aveca j 3u a SE p 1 1 alp f Rs ds Cytap 0 pt5 o ap Alp o R p Le post traitement est ensuite identique au probl me en lasticit lin aire sauf pour le terme thermique THER T k Si les coefficients de Lam A T et u T sont ind pendants de la temp rature ce terme est nul Dans le cas contraire il faut calculer or T un instant donn T Pour un crouissage isotrope lin aire on a oY 1 KIT dalT T le PE T le 30 T T y 3K amp a Treu at T Rlpl daR P dulT dA p RER ER cela ar Vlr avec dR p d T daiTl M d p T aT dT a A d air _ 1 oo a dT E E dT dT j dp T dulT aii do 2 lt T 0q 3 Bite an NAS PO an 4 dT dA p _ 1 dplT 1 do lT dRplT ar 2 ar otRto ln ar Manuel de r f rence Fascicule r7 02 M canique de la rupture Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster Mo Titre Taux de restitution de l nergie en thermo lastic Date 25 09 2013 Page 7 12 Responsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 1 5 Mise en garde Attention Par d finition dans le cas g n ral F T
15. sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster ou Titre Taux de restitution de l nergie en thermo lastic Date 25 09 2013 Page 10 12 Responsable Samuel GENIAUT Cl R7 02 03 R vision 11512 L nergie potentielle d finie sur Qy est ramen e sur Qo R est suppos ind pendant de n la d rivation par rapport au param tre de propagation est alors ais e et le taux de restitution de l nergie dans cette propagation est solution de l quation variationnelle f G6 mds Gle Veee avec o 00 Gle f FE T YlE Ta idQ Ri R G u Riu amd T k Or m of oF VIE T E T CFE 7 E OT PN oF pee Par la suite nous ne consid rerons que le terme JE le terme thermique tant trait de la ij m me fa on qu en petits d placement R7 02 01 Et d apr s la proposition 2 de bib4 Ne y z iyt TRES Uk j Ukk 1 EST dit Up dpi Uk jt Uk i Uk pp j On peut liminer de l expression de G comme en petites d formations en remarquant que est cin matiquement admissible cf bib3 pour les probl mes de r gularit et en utilisant l quation d quilibre a virlan f R ar oF 1 i o gE 2 T T e t Wai 902 ij f Riia r fo Z0 Op jt Uj pO pi Uk pO pi Uk j Uki Uk pOp 5 d Q ij 1P P J JP Pi f o Sylt p8p rF uit 599 5 4 2 f Sy dut uxa p8p d2 a Sj Fuuk papd O f Fa Syu pap jd Q M

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