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Introduction

1. LA SEQUENCE PEDAGOGIQUE 2 YEIMCADARATINIIE INFORMATIQUE 11 y i TRS po 28 i A Introduction Un ordinateur peut effectuer des op rations tr s vari es sur des types de donn es tout aussi vari s des nombres des lettres des images des sons des textes des vid os comme le montre la s quence p dagogique pr c dente II peut tre utilis pour retoucher une photographie la mettre sur un blog ou un site Web la conserver dans un album etc Un ordinateur est une machine polyvalente tout ce qui s automatise peut tre programm sur un ordinateur l inverse des machines caf ou des aspirateurs qui ne servent qu une seule chose faire le caf ou aspirer la poussi re En revanche un ordinateur ne sait quasiment rien faire I doit tre programm pour retoucher une photographie la mettre sur un blog ou un site Web Cette notion de programme est galement ce qui distingue l ordinateur de certaines machines comme les calculatrices non programmables qui donnent une illusion de polyvalence dans la mesure o elles peuvent effectuer des t ches multiples Cependant ces t ches sont fix es une fois pour toutes on ne peut pas programmer une calculatrice pour lire une vid o alors que l on peut programmer un ordinateur pour faire tout ce que fait une calculatrice En quoi consiste l criture d un tel programme Le plus important est de bien sp cifier ce que l on cherche fair
2. de sucre d ajouter le parfum de m langer le tout et de mettre au four une petite demi heure Mais que se passerait il si nous confiions cette recette un dispositif m canique d pourvu d intelligence robot ordinateur automate II r aliserait notre recette exactement comme nous venons de le sp cifier Une petite demi heure dans le four Voil notre dispositif m canique bloqu petite Par rapport quoi De combien Sans compter que personne n a pr cis d allumer le four ni de verser le m lange dans un moule En r sum toute instruction ambigu incompl tement sp cifi e va chouer Un algorithme est donc bien une recette de cuisine mais c est une recette d finir sp cifier En clair un dispositif m canique ne poss de aucune information contextuelle aucune connaissance pr alable aucun de ces l ments qui font la richesse de l intelligence humaine Il faut donc que chaque tape soit enti rement et explicitement sp cifi e dans ses moindres d tails en ns qu me qe mn mt ut nu ot mn et me net mt ne ut ue de on d en en ed ou nu et due nn mue m mn ut mn me m me n en nn m me nu mue n me m t ce et nm Me mt ce ben on eu o me ne mn t me ut mn ue d mn nt en ce et nn et ne S ot t met mn t on c de de net mn de mt en et nie Mt net n on ne et me Mt nn due de em fe m mn Ode t me n mt ue nt me n mue me en ms 04 me Met nn me me me De retour en cuisine Nous allons demander au
3. robot d ex cuter la s quence de toutes les op rations par exemple ouvrir le vaisselier Sortir le grand compotier ouvrir le r frig rateur se tourner vers le compartiment sup rieur de la porte sortir le beurre ouvrir le placard se tourner vers la troisi me tag re droite prendre la farine etc Notre algorithme est donc un chemin parcourir pas pas une s quence d instructions Pour peu que chaque instruction ait t bien programm e pr c demment nous commen ons voir appara tre la p te du g teau condition que tout se passe exactement comme pr vu Que faire si le compotier n est pas sa place ou s il ne reste plus de beurre S il n y a plus de beurre il suffit de prendre de la margarine sinon il vaut mieux arr ter de faire le g teau Voil que notre recette n est plus une simple s quence d instructions ce n est plus un simple chemin mais un itin raire avec des carrefours o le choix du chemin se fait en fonction d une condition pas de beurre ou ni beurre ni margarine L algorithme est donc un r seau d instructions conditionnelles parcourir au fur et mesure en bifurquant chaque condition Le quatre quarts est en bonne voie Mais comment expliquer au robot qu il faut tourner une trentaine de fois les ingr dients dans le compotier sans devoir recopier une bonne trentaine de fois l instruction Car le but n est pas de tourner trente fois mais plut t de tourner jusqu ce que l
4. y 2 qui en a trois I est d ailleurs possible de d finir soi m me de nouvelles fonctions SENS D UNE EXPRESSION Pour une expression e par exemple 12 6 2 nous utilisons une nouvelle notation e S r pour signifier que la valeur du r sultat de son valuation est r ici 15 II faut donc bien distinguer une expression 12 6 2 une valeur 15 et une affec tation x 12 6 2 La valeur d une expression d pend de l tat Par exemple l expression 12 z 2 d pend de la valeur de Z Ce qui donne avec les notations math matiques 12 Z 2 Z 0 12 ou 12 Z 2 Z 6 15 Nous pouvons alors d finir l affectation d une expression une variable avec ces notations x e S s x e s Cela signifie que la variable prend comme valeur le r sultat de l valuation de l expression z3 Ep Z Ve Y e ix Z m1 7 gt ea m LA LA aN LLI Q Q L A LLI mi LLI 5 pe LI 2 k LLI N L INFORMATIQUE TDC N 997 L instruction tourner les pages une une jusqu trouver le pays s crit comme suit trouver pays page d but tant que page lt fin si dictionnaire page pays alors renvoyer page page page 1 renvoyer pas trouv c est dire num rer les pages du d but la fin du dictionnaire ce qui est impl ment travers la boucle page d but tant que page lt f
5. a p te soit bien homog ne Nous avons alors besoin d une autre construction une boucle de la forme Tant que la p te n est pas homog ne tourner les ingr dients dans le compotier Avec cette boucle d instruction il est possible de faire durer o r p ter une op ration autant de fois que n cessaire De m me nous pouvons crire Cuire au four tant que la p te reste liquide ou Fabriquer 200 quatre quarts pour tout le quartier en l exprimant de mani re concise Enfin nous voil avec un quatre quarts au citron o au chocolat Va t il falloir r crire la recette compl te pour chaque parfum Alors que seule l tape ajouter trois zestes de citron ou ajouter 50 grammes de poudre de chocolat change d une recette l autre Certes pas pour l viter nous avons besoin d introduire la notion de variable ou de param tre La recette doit tre param tr e par la variable parfum et en fonction de sa valeur citron chocolat Une instruction conditionnelle changera juste la ligne de la recette li e au parfum Nous obtenons ainsi exprim e de mani re concise la recette de tous les quatre quarts possibles qui ne diff rent que par leur parfum pr sent prenons un peu de recul Nous avons utilis des instructions comme ouvrir le r frig rateur ou tourner les ingr dients dans le compotier qui ont s rement d tre programm es par une autre personne et nous avons produit l ins truction f
6. aire un quatre quarts au go t de parfum le signe indique qu il s agit d une variable o parfum prend la valeur citron ou chocolat Bref nous avons utilis des fonctionnalit s pr d finies des briques de base pour cr er une autre fonctionnalit pouvant tre utilis e par une personne qui pr pare un menu par exemple Cette derni re construction qui consiste regrouper un bloc d instructions dans une fonction va permettre de r utiliser chaque fonctionnalit comme dans un Lego pour r aliser une construction logicielle Ce qui est tr s int ressant ici c est qu il suffit de ces cinq ingr dients pour d crire tous les algorithmes de fa on efficace N oublions pas toutefois une autre diff rence importante entre les recettes de cuisine et les programmes Ces derniers sont destin s tre lus par des humains mais aussi par des ordinateurs Ils doivent donc tre crits dans des langages tr s particuliers les langages de programmation qui conditionnent la fa on de pr senter les ingr dients D Et les bugs dans tout a Nous parlons de recette de cuisine mais que se passerait il si l on se trompait Le g teau serait un peu trop mou o un peu trop sucr mais pour un algorithme ce serait tr s probablement la catastrophe absolue Voici un exemple il s agit de calculer la factorielle d un nombre n ici comme souvent dans les notations informatiques les instructions se placent entre des accola
7. amment de rechercher en un maximum de 26 tapes le nom d une personne dans l annuaire des 60 millions de Fran ais Il existe plusieurs mani res de programmer ce m canisme En voici une o nous restreignons l espace de recherche entre deux valeurs min et max trouver pays min d but max fin r p ter milieu min max 2 si dictionnaire milieu pays alors renvoyer milieu si min max alors renvoyer pas trouv si dictionnaire milieu lt pays alors min milieu si dictionnaire milieu gt pays alors max milieu o l on remarque que la quantit max min vaut fin d but au d marrage puis se divise par deux chaque tape et devient plus petite que 1 donc gale O puisque ce sont des nombres entiers L algorithme va donc s arr ter au bout d un nombre fini logarithmique d tapes Terminer en tournant la page si elle est trouv e o sur pas trouv si l intervalle de recherche est de longueur nulle sans avoir trouv la page recherch e Posons nous maintenant une autre question dans quelle mesure ce m canisme algorithmique est il g n rique Regardons un tout autre exemple pour S en convaincre CONVERTIR UNE TENSION LECTRIQUE EN VALEUR NUM RIQUE Pour deviner la valeur d une tension lectrique continue un ordinateur num rique doit en g n ral comparer cette valeur une valeur de r f rence qu il va produire en sortie pour de proche en proche cerner cette
8. des et se terminent par un point vireule l ast risque repr sentant la multiplication factorielle entier n sl Ut 0 renvoyer 1 sinon renvoyer n factorielle n 1 Cette formule sert bien calculer la factorielle puisqu elle impl mente la d finition par r currence de la factorielle telle qu elle est pr sent e dans nos manuels scolaires savoir factorielle 0 1 et factorielle n n factorielle n 1 Sin O le r sultat renvoy est donc 1 sinon le r sultat renvoy est calcul selon la deuxi me formule Avec les ingr dients pr c dents on peut proposer une autre impl mentation quivalente c est dire noter f la variable interm diaire qui va prendre les valeurs du calcul et crire le code suivant entier f 1 tant que n n est pas nul late me Ash gt D Fe ne O 5y g ET a N D se m LA LA N LL D Q lt L AA LLI Q LL D LLI TED LUI N L INFORMATIQUE TDC N 997 5 Cette m thode permet de calculer factorielle n n n 1 etc 1 donc exactement la factorielle que nous connaissons en S arr tant lorsque n 0 ce qui semble parfait tant que n est positif S il est n gatif l un ou l autre code va se mettre calculer factorielle n pour les valeurs suivantes en partant de n 1 n 1 2 3 4 sans s arr ter C est alors au hasard de d cider de ce qui va arriver ordinateu
9. e Ce qui compte ici c est la m thode mise en uvre l algorithme II faut ensuite l crire de fa on le transmettre l ordinateur C est pour cela qu on utilise un langage de programmation Les documents mis en ligne sur le site nterstices www interstices info Algorithme mode d emploi et Demandez le programme offrent une introduction ce sujet Voir galement http javascool gforge inria fr proglet le site propose une activit scolaire qui met en application les l ments d crits dans cette s quence Algorithme une recette de cuisine On appelle algorithme la m thode la fa on syst matique de proc der pour faire quelque chose trier des objets situer des villes sur une carte multiplier deux nombres extraire une racine carr e chercher un mot dans le dictionnaire etc Il se trouve que certaines actions m caniques peut tre toutes se pr tent bien cette d cortication On peut les d crire de mani re g n rale identifier des proc dures des suites d actions o de manipulations pr cises accomplir s quentiellement C est cela un algorithme le concept qui traduit la notion intuitive de proc d syst matique applicable m caniquement sans r fl chir en suivant un mode d emploi pr cis Un algorithme c est donc presque une recette de cuisine Prenons l exemple d un quatre quarts au citron ou au chocolat suffit d utiliser deux ufs le m me poids de farine de beurre et
10. ermet de d tecter automatiquement des bugs comme celui d Ariane identifi par Gilles Kahn lorsque le premier vol d Ariane 5 en 1996 a explos et d truit pour 500 millions de dollars de satellites la faute tait due un morceau de programme qui convertissait une valeur Cr pour Ariane 4 il a t r utilis tel quel Or la valeur convertir beaucoup plus grande dans le cas d Ariane5 a donn un r sultat aberrant et des ordres de braquage maximaux L interpr tation abstraite vite surtout que de tels bugs ne se reproduisent elle a t appliqu e avec succ s sur les logiciels de vol de l Airbus A380 D autres techniques offrent la possibilit d aller jusqu la v rification math matique de propri t s dites de s ret L ascenseur ne pourra jamais voyager la porte ouverte ou de vivacit l ascenseur finira par prendre tous les passagers qui l attendent De telles v rifications formelles se font en calculant symboliquement le gigantesque ensemble des ex cutions possibles sans les effectuer explicitement Les m thodes formelles que nous allons voquer permettent ainsi de diminuer sensiblement le nombre de bugs d s la conception puis de trouver des bugs particuli rement sournois hors de port e des tests manuels ou al atoires m me si elles ne suffisent pas elles seules assurer la s curit requise pour tous les logiciels du commerce cause de leur taille et de leur nombre grandissants puisque
11. in RE e page page 1 dont on sort en renvoyant la page du dictionnaire correspondant au pays si elle est trouv e comme le sp cifie ce test de comparaison Si dictionnaire page pays alors renvoyer page et dont on sort la fin en signalant ne pas avoir trouv la page Voil un algorithme qui fonctionne parfaitement I co tera une tape de calcul ici un test de comparaison si le pays est au d but du dictionnaire et 195 tapes s il se trouve la fin Dans le cas pr sent le dictionnaire contient N items N 195 r partis de mani re uniforme on voit donc que de 1 N tapes de calcul il y en aura environ C N 2 pr voir Nous aurions pu num rer les pages dans un autre ordre de la fin au d but ou toutes les pages paires puis les impaires mais cela n aurait rien chang pourvu que nous num rions toutes les pages nous sommes certains de trouver le pays recherch et ce sera alors toujours avec un co t de l ordre de N tapes de calcul PEUT ON TRE PLUS EFFICACE Si dans le dictionnaire les pays n taient pas class s par ordre alphab tique mais dans le d sordre la r ponse serait n gative nous serions de fait oblig s de tourner toutes les pages pour tre certains de trouver le pays recherch Mais voil que le dictionnaire est ordonn de A Z il s agit l d une propri t que nous pourrions exploiter En effet si nous ouvrons le dictionnaire au milieu Sur la page de la Fra
12. ion importante est de savoir de quoi est constitu e cette instruction quels sont ses param tres etc Le fait de savoir comment cela s crit dans le langage particulier que l on utilise est accessoire De m me lorsqu on apprend conduire une voiture l important est de conna tre la signification des mots frein levier de vitesse etc et de pouvoir s en servir Que ces commandes aient tel ou tel aspect sur une Twingo o une Mercedes est accessoire Sa s mantique ce qui se passe quand on l ex cute D taillons ce point Une instruction o un groupe d instructions a pour but de transformer un tat c est dire la valeur de chacune de ses variables L tat indique donc la valeur de chaque variable un instant donn Par exemple si le programme a trois variables x y z qui repr sentent trois bo tes dans lesquelles nous pouvons ranger des valeurs une instruction va modifier les valeurs de ces bo tes lors de son ex cution De modification en modification un programme fera passer l tat de sa valeur initiale sa valeur finale Un programme a bien s r des entr es et des sorties les sorties sont des bo tes dont les valeurs sont visibles d un dispositif externe les entr es sont des variables dont les valeurs ont t pr d finies par l utilisateur ou un dispositif externe Pour formaliser la s mantique d une instruction les informaticiens et les logiciens utilisent habituellement des notations math
13. le probl me est identifi comme tant ind cidable m caniquement Il s agit donc d ex cuter des algorithmes de v rification et de preuve sur les donn es que sont les algorithmes v rifier ou prouver De ce fait il est n cessaire que ces derniers puissent tre exprim s sous une forme interpr table sans ambigu t Comment allons nous donc d finir formellement nos ingr dients se m ne pu me nn un not du et nt me et nue et Ne ee ne ee en en ee ee ut et un et nu ut 0 ue ut on Mt en ue dt mn et out us net ue et on ut un ne Oo ut on ne den ue et ue ee me ee et n et ie et ne on un ne ne en ne nt ne eu nn nu on de t one d on ue nt ne n ue en en ne Om et mt ee it ne et nue n De ee en mn nt nue ne ue ne et on et ue et de un et mn nt ue de Den ne en me mnt dt De l algorithme au programme une notation rigoureuse Les diff rents langages de programmation sont organis s autour d un petit nombre de fonctionnalit s pr sentes dans de nombreux langages relativement stables depuis des d cennies et que l on peut d crire simplement avec les outils ad quats affectation s quence test boucle fonction r cursivit enregistrement cellule module objet etc Le noyau de la plupart des langages est justement constitu des cinq ingr dients que nous d taillons pp 41 42 Pour chacune de ces fonctionnalit s nous allons d crire Sa Syntaxe la mani re dont cette instruction s crit Ne perdons pas de vue que la quest
14. matiques car elles ont l avantage d tre concises et sans ambigu t Nous vous les pr sentons ci dessous l tat est repr sent par une liste d quations x 12 y Hi z 0 qui donnent la valeur des variables pour une instruction p la construction p S s signifie qu elle transforme un tat s en un tat s Nous sommes maintenant en mesure de d tailler chaque instruction ee me ne ee pe en nt ne et D me et ee et ee ue et ee On en n on en nt mue nt ue ee on ee ee ne n un en en ee Mt on a en ne m ne nu ne on ee ee ne pe me me on ee ne en on ee me nn me nee me 4 on 0e ot en me et ve en o ne o ee ee o me on me ee me me ve mn mn ne me me me ne ee nn me mn en me on me mn on eu pe 4 ne Affectation d une valeur une variable La premi re action est de donner des valeurs aux variables c est l affectation MANI RE D CRIRE L INSTRUCTION L affectation est constitu e d une variable x et d une valeur v Selon les langages elle s crit x v x v x V etc Par exemple x 15 Informellement la variable x prend comme valeur v Sa valeur pr c dente est effac e elle gardera toujours la valeur v tant qu elle ne sera pas chang e par une autre affectation de la variable x l affectation est donc une action celle d affecter la variable x la valeur v Il faut aussi bien distinguer l affectation de l galit souvent not e par un double signe crire x 15 revient po
15. nce par exemple tandis que nous cherchons l Albanie nous voyons que ce n est pas la bonne page mais nous apprenons quelque chose de plus puisque l Albanie est avant la France Sa page est donc forc ment situ e dans la moiti gauche du dictionnaire nous n avons donc plus chercher dans toutes les pages de droite mais uniquement dans celles de gauche Nous avons en une op ration r duit notre espace de recherche de moiti D environ 200 pages il ne nous restera plus que 100 pages explorer Puis en reprenant le m me proc d 50 pages 25 pages 12 ou 13 pages 6 o 7 pages 3 ou 4 pages 1 o 2 pages et le pays sera trouv Si nous calculons nous voyons qu il y a eu uniquement C 7 ou 8 tapes de calcul Ce processus qui consiste chaque tape couper en deux parties gales l espace de recherche est appel dichotomie couper en deux en grec Intuitivement on se rend compte que c est bien en coupant en deux parties gales que nous sommes s rs d avoir des deux c t s un espace de recherche minimal l tape suivante en parts in gales la malchance pourrait nous conduire rechercher dans un espace plus grand Il faut comprendre que le gain est immense Nous donnons dans le tableau ci dessous le nombre C d tapes de calcul en fonction de quelques nombres N d items N 2C 2 a o fa unmilion un milliard C l0g2 N fae M 20 ii 80 Le fait de diviser en deux de mani re it rative permet not
16. on si f min f milieu lt O alors max milieu sinon renvoyer pas de solution qui ne diff re du pr c dent que par la fa on de d tecter le fait qu il n y ait pas de solution et par celle d effectuer les tests I s agit donc bien d un principe algorithmique qui fonctionne la fois pour des op rations num riques et des op rations symboliques recherche de mots comme Ada Lovelace le savait un si cle avant que ne fonctionne le premier ordinateur Et c est l un des m canismes algorithmiques les plus utilis s R em D Za Xo Ye I S T J gt sa es mi
17. ous n utiliserons pas ici il suffit de retenir qu ils s crivent comme pour une calculette Par exemple si nous crivons 2 x 3 ou 2 x 3 ce ne sont pas les m mes expressions puisque le calcul se fait diff remment selon les parenth ses Une expression logique c est dire qui renvoie la valeur vrai ou faux se construit avec des comparaisons pour tester si deux valeurs sont gales ou non si une valeur num rique est plus petite qu une autre etc des op rateurs logiques comme et not amp amp ou not e ainsi que la n gation not e On peut aussi manipuler des cha nes de caract res not es entre guillemets et les concat ner par exemple pa et py se concat nent en crivant pa py ce qui donne papy ou les comparer en utilisant la fonction equal l expression equal pa py renverra la Valeur faux puisque les cha nes de caract res pa et py ne sont pas gales tandis que equal pa pa renverra la Valeur vrai puisque ce sont les m mes valeurs D autres fonctions que les op rations num riques ou logiques peuvent tre utilis es Elles s crivent en utilisant des parenth ses f x correspondant une fonction de nom f qui prend comme argument en entr e x et va renvoyer un r sultat Par exemple f x x x calcule x x c est dire le carr de x Les fonctions peuvent avoir plusieurs arguments comme g x
18. r bloqu calcul qui dure jusqu ce que les batteries soient vides etc Bienvenue devant ce qui s appelle un bug En effet la fonction factorielle n est que partiellement d finie pour n O tout est bien sp cifi mais pour n lt 0 rien n est dit L l ve re oit un 0 sa copie s il commet l tourderie le programme informatique lui boucle l infini Dans ce cas pr cis il y a plusieurs parades possibles soit v rifier que n 0 avant de lancer le calcul soit modifier le code en crivant factorielle entier n sin lt O alors renvoyer 1 sinon renvoyer n factorielle n 1 qui renvoie la valeur 1 pour tous les entiers n n gatifs ou nuls En un sens il s agit d tendre la fonction factorielle aux nombres n gatifs Au del de cet exemple comme nous l explique G rard Berry dans son cours au Coll ge de France sur les sciences num riques et comme l enseigne Gilles Dowek dans son cours d informatique pour des professeurs de math matiques de lyc e il existe des m thodes formelles qui adoptent une m thodologie plus proche des math matiques www inria fr rocquencourt ressources multimedia formation informatique et objets numerique Elles permettent ainsi d effectuer de nombreux calculs sur ces programmes devenus leur tour l objet de manipulations informatiques Une technique fondamentale nomm e interpr tation abstraite d velopp e l cole normale sup rieure par l quipe de Patrick Cousot p
19. ser la question Est ce que x est gal 15 x 15 est vrai si x est gal 15 faux sinon crire x 15 revient donner l ordre que d sormais x sera gal 15 SENS DE L INSTRUCTION Il est facile de comprendre ce que fait cette instruction elle change l tat en lui ajoutant le fait que d sormais x v Avec les notations math matiques nous pouvons le noter ainsi x v S S x v Cela signifie que l on ajoute l tat la nouvelle quation qui d finit la valeur de la variable affect e moe ne ne ue ue ne ne ue pet ue et en et on en De ee et ne ee ee ee Dee mn n on ne 00 ue en mn ee on one ot ee me on nn on es On fe o oe 0 en on me 00 ee ot me 0 o 0 on ee me ee me on on 0e me ee en on ee o me on me 0e ee en on le ne me 0e ee me 0e ee o ee o on on me on me ee on ee on on en on on ne on me m me pe me ee m ee Fonctions et expressions La valeur que nous donnons une variable n est pas forc ment une constante car nous voulons aussi valuer des expressions crire par exemple x 12 Z 2 pour calculer x partir de Z MANI RE D CRIRE UNE EXPRESSION Une expression num rique c est dire qui porte sur des nombres se construit comme sur une calculette avec des additions par exemple 2 3 des soustractions des multiplications en utilisant le symbole et des divisions en utilisant le symbole Il existe d autres symboles alg briques que n
20. valeur comme le montre le diagramme ci dessous votre logiciel Convertisseur analogique Out tension 300mV tension Compare Comparateur tension continue L encore la fa on de fonctionner de ces convertisseurs approximations successives est de proc der de mani re dichotomique en divisant l espace de recherche de deux en deux Cela permet d atteindre tr s rapidement les pr cisions requises le milli me en dix tapes le millioni me en vingt comme nous l avons vu pr c demment TROUVER LE Z RO D UNE FONCTION MONOTONE DANS UN INTERVALLE Tous ces probl mes sont reli s au probl me math matique suivant r soudre une quation de la forme f x O min lt x lt x max o f est une fonction continue monotone dans l intervalle min max Elle a donc une solution puisqu il y a bijection vers un intervalle r el Si elle change de signe dans cet intervalle f min f max lt 0 elle a une solution unique C est le cas de la fonction sin x dans l intervalle 2 4 o elle s annule en mt comme le montre la figure ci dessous L encore le m me m canisme de dichotomie permet de r soudre le probl me comme dans l algorithme suivant z ro f min d but max fin si f min f max gt 0 alors renvoyer pas de solution r p ter milieu min max 2 si max min lt alors renvoyer milieu Si f max f milieu lt O alors min milieu sin

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