OMNI : Objet mathématique non identifié - didactice.net
Contents
1. Une pr sentation pr alable de l ensemble des t ches r aliser serait utile elle l verait maintes interrogations des l ves ce sujet Lors de la troisi me phase les r ponses apport es au questionnaire nous ont fortement interrog es A la question 1 Combien d angles pour le carr Quel type d angle Les r ponses sont unanimes 4 angles Des angles droits A la question 2 Combien d angles pour chaque triangle La majorit des l ves donne notre grande surprise les r ponses suivantes 0 z ro pour le triangle quilat ral et 1 pour le triangle isoc le rectangle Manifestement pour de tr s nom breux l ves la notion d angle est limit e l angle droit Cons quence pour ces l ves la question 3 Existe t il un rapport entre ce nombre et le mot triangle ne fait pas sens L accent mis l cole primaire sur la perpendicularit et l angle droit est tr s pr gnant Ne serait il pas trop exclusif Cela doit nous alerter sur l cart qui existe entre les connaissances r elles des l ves et leurs connaissances suppos es Toujours est il que pour beaucoup de nos l ves la notion d angle ind pendante de l angle droit est construire d o les activit s suivantes qui associent manipulations et calculs Deuxi me s ance Objectifs Aborder la mesure des angles en associant manipulations et calculs Organisation et d rou2. OMNI Objet math matique non identifi Un outil p dagogique au service de l apprentissage de la notion d angle et de sa mesure Jean Michel Chevalier Marie Christine David Chevalier Coll ge Victor Hugo Harnes Acad mie de Lille jean michel chevalier ac lille fr cole Pasteur Montigny en Gohelle Acad mie de Lille IUFM Nord Pas de Calais Centre d Arras marie chri chevalier ac lille fr R SUM Un OMNI Qu est ce donc Nous vous invitons d couvrir cet objet math matique non identi fi travers la relation de s quences d apprentissage sur la notion d angle et sa mesure men es avec des l ves de cycle 3 et de sixi me Une tude pr alable des programmes institutionnels et de la litt ra ture didactique produite ce sujet permet d exhiber plusieurs conceptions de la notion d angle et de d gager ainsi un cadre d analyse des pratiques d crites MOTS CL S angle CM2 coll ge cycle 3 didactique des math matiques cole l mentaire g om trie mesure p dagogie de projet sixi me Article publi dans Rep res IREM n 63 Avril 2006 OMNI 2 1 Introduction Bon nombre d initiatives p dagogiques sont le produit d un questionnement Tel n est pas le cas des travaux que nous pr sentons dans cet article Ils sont en effet le r sultat d une commande que nous avons essay d honorer au mieux Nous sommes l un et l autre enseignants d
3. abord d couvrir POMNI OMNI 11 4 L objet math matique identifi L OMNI n est pas un objet de notre cr ation Nous l avons rep r dans une fiche dont l origine nous est inconnue intitul e Fabrique des emballages fantaisie et avec pour seule consigne crite Construis cette bo te Vue de gauche l OMNI repose sur l unique face carr e ADEF dont le som met E est cach Vue de droite Apr s rotation autour de l ar te ED POMNI repose sur la face triangulaire ECD figure 8 Deux vues de l OMNI Cette fiche comporte deux informations suppl mentaires une repr sentation de la bo te en perspective similaire la vue de gauche de la figure 1 et le plan de r alisation de la bo te que nous avons reproduit figure 2 figure 9 Plan de construction de OMNI Nous invitons le lecteur reproduire et construire cette bo te avant de parcourir la suite de l article Le plan est inhabituel Ce n est pas un patron A part la face carr e et deux faces triangulaires toutes les autres sont doubl es Apr s pliage cela apporte une certaine ri OMNI 12 gidit l ensemble Aucun collage n est donc n cessaire les faces tant solidaris es en tre elles gr ce au ruban nou Bien entendu la diff rence de la fiche initiale cette construction n est pas une fin en soi Elle est avant tout le pr texte la cr ation d activit s p
4. s en classe de sixi me En sixi me les activit s d apprentissage sont men es suivant quatre s ances hebdo madaires de cinquante minutes chacune en fonction des horaires en vigueur dans l tablissement Une cinqui me s ance est r serv e une valuation acad mique finale Les l ves sont r partis en groupes de quatre de niveau h t rog ne et disposent d une relative autonomie Des documents imprim s qui pr cisent les t ches effectuer leur sont fournis L enseignant contr le le d roulement et intervient a minima il n aide les l ves qu en cas de blocage Les activit s qui requi rent une r flexion particuli re se d rou lent en trois temps un premier temps de recherche individuelle un second de recherche collective l int rieur du groupe un troisi me de restitution et de validation pour l ensemble de la classe OMNI 19 figure 14 En classe de sixi me Premi re S ance Objectifs tudier puis r aliser l OMNI partir du plan Consolider la notion d angle de secteur Organisation et d roulement Premi re phase Les l ves disposent de la bo te construite cf figure 8 et tu dient le solide nombre et nature des faces Deuxi me phase Chaque l ve r alise la bo te partir du plan Ils tudient le plan de la bo te cf figure 9 puis d coupent et comparent ses faces Troisi me phase L a
5. dagogiques relatives la notion d angle et sa mesure 5 Les s quences p dagogiques Nous pr sentons les s quences p dagogiques mises en place dans les deux niveaux cycle 3 CM2 et sixi me Leur pr paration s appuie sur trois l ments les caract ristiques des faces de l OMNI polygones dont les angles sont caract ris tiques angles de 30 45 60 et 90 les pr conisations des programmes de cycle 3 et de sixi me prises en compte de mani re quasi exhaustive les apports des diff rentes exp rimentations relat es dans les articles mentionn s pr c demment L objectif principal est l acquisition de la notion d angle sous les trois aspects sec teur angulaire angle de secteur et angle d inclinaison La validation des acquisitions est pr vue sous deux formes pour l l ve en r ussissant reconstruire POMNI quelles que soient les dimen sions de sa base carr e pour le professeur par une valuation plus institutionnalis e se pr sentant sous la forme d un questionnaire Bien qu elles aient t men es parall lement et qu elles se soient enrichies mutuel lement nous pr sentons successivement les activit s math matiques r alis es dans les deux niveaux Dans le descriptif de chaque s ance nous commen ons par rappeler les objectifs qui guident notre action Nous d crivons ensuite sous forme synth tique les t ches accomplies par les l ves
6. dans l enseignement secondaire cours magistral suivi d exercices d application Les recherches en didactique des ma th matiques men es depuis une vingtaine d ann es n y sont pas trang res 2 1 R solution de probl me Les auteurs du programme du cycle 3 avancent que le fait d avoir r soudre un probl me permet l l ve d utiliser ses acquis d laborer des proc dures originales et de construire de nouvelles notions en raisonnant et en agissant sur des quantit s des grandeurs ou des positions programme du cycle 3 2002 Ceux du programme de sixi me accordent une place centrale la r solution de pro bl mes et la d clinent en ces termes La compr hension et l appropriation des connaissances math matiques reposent sur l activit de chaque l ve qui doit donc tre privil gi e Pour cela et lorsque c est possible sont choisies des situations cr ant un probl me dont la solution fait intervenir des outils c est dire des techniques ou des notions d j acquises afin d aboutir la d couverte ou l assimilation de notions nouvelles programme de sixi me 2004 Notre tat d esprit s accorde tout fait au cadre institutionnel L objet math matique non identifi que nous avons choisi nous a intrigu lorsque que nous l avons rencontr pour la premi re fois Nous avons bon espoir qu il en sera de m me pour les l ves travers les activit
7. en jeu suivant un double point de vue celui de l l ve et celui de l enseignant L l ve en r ussissant construire la bo te cadeau POMNI valide le caract re op rationnel de la notion d angle Quant l enseignant il constate l acquisition des diff rentes formes que prend cette notion travers les mani pulations effectu es par les l ves et par des valuations plus formelles Parmi ces derni res nous en pr senterons deux qui nous permettent de tester la per sistance de conceptions erron es chez les l ves Le premier test est propos aux l ves de sixi me quelques jours apr s la derni re s ance sur OMNI C est un grand classique repris dans plusieurs articles Il permet de v rifier que l l ve dissocie la taille d un angle de la longueur de ses c t s Il s agit de comparer les angles ci contre 4 c R ponses attendues B a a a a A B lt C lt A r ponse erron e B C r ponse juste figure 18 Test de comparaison d angles Pour ce test les r sultats sont les suivants R ponse erron e 42 r ponse juste et argument e 49 autre r ponse 9 ce dernier taux correspond des r ponses doubles ou non formul es Les r sultats ne sont pas la hauteur de nos esp rances mais le contexte n est pas le m me que dans les acti vit s il n est pas possible de superposer les secteurs angulaires pour v rifier leur iso m trie La pert
8. l ves se recentre sur la construction du plan POMNI Nous rappelons qu elle s effectue partir d une base carr e de dimension quelconque La construction tant contrainte par la taille du support feuille au format A4 la diff rence de taille entre le plan construire et le mod le dont il dispose n appara t pas suffisamment Plusieurs l ves sont induits utiliser les faces triangulai OMNI 17 res d coup es comme gabarit de polygones en en suivant le contour et pas comme ga barit d angle Ainsi la surface limit e du support papier fait obstacle l objectif pr vu Cette variable nous ayant chapp priori nous d cidons de faire reproduire le plan au tableau A figure 12 Reproduction du plan de l OMNI au tableau Cette fois la reproduction est d une taille tr s nettement sup rieure au mod le Les gabarits permettent de construire une petite partie de deux c t s d une face triangulaire qu il faut prolonger jusqu leur point d intersection cf figure 12 Cette situation est rapprocher des pratiques topographiques d crites par L Vadcard qui d terminent la po sition d un point par une double vis e qui n cessite la connaissance de deux angles Vadcard 2002 p 84 86 Dans le cadre de ce type d activit l angle d inclinaison prend alors toute sa signification Troisi me s ance Objectifs Comparer des angles l aide d un outil fabriqu des
9. mand es par cette notion Berthelot amp Salin 1994 1995 p 75 76 Ceci nous am ne la deuxi me d finition utilis e pour les angles celle qui est la plus souvent implicitement utilis e l angle de secteur L angle de secteur Voici deux d finitions relev es dans des manuels La premi re est exclusivement textuelle Un angle g om trique est l ensemble des secteurs angulaires isom triques un secteur angulaire donn Monge amp al 1981 p 116 La seconde fait r f rence une figure et une pratique la superposition Consid rons plusieurs secteurs superposables ils ont le m me calque 2 Les auteurs parlent de situation a didactique OMNI 7 B D F D m M N C gt A 1 S E K figure 3 secteurs angulaires superposables Ces secteurs superposables repr sentent le m me angle Bareil amp Zehren 1980 p 54 Pour satisfaire leurs conceptions R Berthelot et M H Salin proposent des situa tions d apprentissages bas es sur le jeu du G om triscrabble Les joueurs doivent assembler des pi ces de forme polygonale de mani re ce que les c t s des angles des pi ces soient jointifs Ils sont ainsi amen s d terminer des angles gaux ind pendam ment de la taille des pi ces utilis es Berthelot amp Salin 1994 1995 p 78 93 Une situation similaire mais tr s simplifi e est reprise dans le c
10. rences web ACADEMIE D AMIENS Lecture compar e des programmes de math matiques de cycle 3 et de sixi me http www ac amiens fr pedagogie maths college C3 _6e pdf MINISTERE DE LA JEUNESSE DE L DUCATION ET DE LA RECHERCHE Horaires et programmes d enseignement de l cole primaire cycle 3 BO HS n 1 14 f vrier 2002 http www education gouv fr bo 2002 hs1 cycle3 htm MINISTERE DE L DUCATION NATIONALE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE Les nou veaux programme de l cole primaire Document d accompagnement Math matiques http www cndp fr archivage valid 68718 68718 10580 13458 pdf MINISTERE DE L DUCATION NATIONALE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE Pro gramme de l enseignement des math matiques en classe de sixi me du coll ge BO HS n 4 du 9 sep tembre 2004 ftp trf education gouv fr pub edutel bo 2004 hs4 maths_sixieme pdf consult en avril 2005
11. Ainsi les l ves d une classe de CM2 et de sept classes de sixi me soit plus de 160 l ves seront amen s participer cette initiative p dagogique Dans cet article nous pr senterons et commenterons les textes institutionnels relatifs aux angles et leur mesure dans l enseignement des math matiques au cycle 3 et en sixi me la notion d angle travers la litt rature didactique manuels et articles de revue l objet math matique en question l OMNI que chacun pourra alors identifier les s quences p dagogiques mises en uvre d termin es par les diverses concep tions de la notion d angle En conclusion nous soulignerons le double aspect de notre d marche la fois acte p dagogique et scientifique Nous ferons ensuite part d valuations permettant de tester la persistance de conceptions erron es chez les l ves Et nous terminerons en propo sant quelques pistes pour d autres activit s bas es sur le m me objet l Juliette Cwynar Christine Flament Jo l Vion et Edwin Wrobel professeurs de math matiques au col l ge Victor Hugo de Harnes que nous remercions chaleureusement OMNI 3 2 A propos des textes institutionnels Les textes institutionnels mettent particuli rement l accent sur l apprentissage des math matiques travers des activit s bas es sur la r solution de probl me et en cela se d marquent du sch ma p dagogique largement pratiqu
12. adre des activit s pro pos es par un manuel a b AAR figure 4 D terminer des angles gaux par assemblage Delors amp al 1990 p 176 Nous poursuivons l tude de la notion d angle travers l angle de rotation tudi en classe de troisi me mais qui a t mis en pratique pendant de nombreuses ann es tra vers l environnement informatique Logo L angle de rotation L angle de rotation a t particuli rement vulgaris par les activit s informatiques en relation avec le langage Logo Le d placement d un objet la c l bre tortue est cod par deux param tres la distance par exemple AV 10 pour AVance de 10 et l angle par exemple TD 60 pour Tourne Droite de 60 L int r t des activit s r alis es avec Logo r side dans le fait que la technologie informatique donne un sens aux commandes formelles par leur visualisation imm diate et apporte ainsi une information l l ve ce qui le met en situation de valider son travail OMNI 8 Les travaux cit s par L Vadcard montrent que les l ves familiers de Logo ont une conception de l angle qui n est plus attach e des figures ferm es et qu ils ont une plus grande aisance dans l valuation de la mesure des angles en degr s Par contre l usage de Logo entra ne une confusion entre l angle de la figure et son suppl mentaire Vad card 2002 p 81 82 Nous terminons cette tude par la notion d
13. angle d inclinaison que l on retrouve dans les pratiques topographiques usuelles L angle d inclinaison Cette notion est d finie depuis la Gr ce Antique Selon Euclide Un angle plan est l inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan et qui ne sont point plac es dans la m me direction Euclide l ments Livre I d finitions Remarquons que cette d finition fait r f rence au nom inclinaison qui d rive du verbe incliner dont l origine tymologique latine inclinare signifie pencher qui lui m me veut dire incliner Le Petit Larousse Illustr 2004 p 573 Ab les joies du dictionnaire et de ses d finitions circulaires Dans la pratique la notion d angle d inclinaison est associ e celle de vis e qui permet de d terminer la position d un point par rapport une direction connue Elle inspire les deux exp rimentations p dagogiques suivantes M Maze et G Chataing proposent de mettre en uvre cette notion travers un par cours d orientation Les l ves doivent utiliser la notion d azimut angle form par deux directions celle d un point donn et le Nord Apr s r alisation en grandeur r elle sur le terrain les l ves sont invit s reproduire des situations analogues mais dans un es pace plus restreint celui d une feuille de papier ou d un cran d ordinateur Parall lement ces activit s les auteurs labo
14. arition d un c t parasite Il est n cessaire de faire merger la n cessit de les couper suivant une ligne courbe de mani re ce qu ils ne prennent en compte que les c t s utiles Une rapide valuation non crite pendant la s ance montre que dans un premier temps la notion d angle droit de secteur n est pas encore acquise Pour la majorit des l ves la taille des secteurs leur surface prime sur l cartement de l angle Le recours un gabarit talon indiscutable l querre fait voluer cette conception Des querres de tailles diff rentes ont toutes un angle droit C est donc que l angle droit ne d pend pas de la taille de l querre de m me pour les angles droits d coup s dans les querres en papier Quant l valuation men e en fin de s ance ses r sultats corroborent nos observa tions Questions R ponses attendues Taux de r ussite A v rifier qu un angle est 0 droit PAA A quoi sert une querre Comment rep re t on C est le plus ouvert des 3 0 langle droit de l querre angles de l querre Qv a t on remarqu pro Les angles sont superposa pos des angles lors de la bles m me si les carr s sont 43 comparaison des carr s de tailles diff rentes Les r ponses la premi re question montrent que l objectif premier d utilisation de l querre ne fait pas de doute OMNI 15 Les deux au
15. ctivit est centr e sur la notion d angle partir du question naire suivant Questionnaire 1 Combien d angles pour le carr Quel type d angle 2 Combien d angles pour chaque triangle 3 Existe t il un rapport entre ce nombre et le mot triangle 4 Les angles sont ils tous gaux ment tu fais qui est diff rent 7 Qu est ce qui est pareil Explique 5 Y en a t il des plus petits des plus grands Comment le v rifier Explique com 6 Compare une face avec une face de m me forme de l un de tes voisins Qu est ce OMNI 20 Commentaires Le programme de la premi re s ance est con u de mani re ce que les l ves puissent r investir des notions polygones particuliers et angle et des techniques superposition tudi es l cole primaire La diff rence entre le nombre de faces de l objet construit et celle du plan interroge Un exemple de questionnement parmi d autres Ce n est pas normal A l ext rieur il y en avait 7 et l int rieur il y en a 11 Cette situation permet de pr ciser la diff rence entre le patron et le plan d un solide Par ailleurs dans le cadre d un travail en g om trie dans l espace le patron de POMNI pourrait faire l objet de recherches et d apprentissage Lors de la deuxi me phase le d coupage du plan en faces s par es a surpris Pourquoi d truire ce que l on a construit apr s m res r flexions
16. de deux angles droits fi gure 15 b Tr s peu d l ves trouvent par eux m me Cette activit n cessite un gui dage plus soutenu Enfin la technique privil gi e par les l ves pour obtenir l angle de 15 est le double pliage partir de l angle de 60 La superposition d un angle de 45 sur un angle de 60 pour faire appara tre l angle de 15 leur vient peu l esprit Ces angles dont la mesure est d termin e serviront ensuite l laboration d un rap porteur simplifi Troisi me s ance Objectifs Construire et utiliser d un rapporteur simplifi Organisation et d roulement A partir des faces d coup es les l ves construisent sur papier calque un rapporteur simplifi sur le mod le suivant OMNI 22 figure 16 Rapporteur simplifi Ils compl tent les autres points ceux autres que 45 60 et 90 avec les valeurs d angle qui conviennent Ils utilisation ce rapporteur simplifi pour mesurer les angles suivants figure 17 Angles mesurer R ponses attendues Angle n 1 Angle n 2 Angle n 3 Angle n 4 Angle n 5 Angle n 6 60 45 90 135 120 15 Commentaires Les l ves ayant d j en t te l image du rapporteur nous faisons le choix de ne pas leur faire reconstruire l ensemble du syst me symbolique associ aux graduations No tre d marche se situe ainsi entre celle d crite
17. des si cles plus tard en 1793 la Convention impose le partage de l angle droit en 100 grades mais il est vident l observation de nos pratiques actuelles que cette d cision n a pas obtenu le succ s escompt Quant au choix des termes utilis s X Hubaut nous livre quelques explications ty mologiques Les Grecs d signaient le degr par moira mot exprimant l id e de par tage du cercle traduit par les Arabes par le mot daraja signifiant marche d escalier ce mot est devenu gradus en latin m di val Le mot degr vient donc de gradus signifiant marche d escalier galement Hubaut 2005 4 Du latin omnis tout OMNI 26 7 Bibliographie Articles de revue HUBAUT X Mesure des grandeurs cours en ligne Universit Libre de Bruxelles 2005 http www bib ulb ac be coursmath doc mesure htm LANGUEREAU H Les 100 ans de la g om trie de Hilbert in Math matiques vivantes Bulletin de l IREM de BESAN ON n 66 novembre 2001 Presses Universitaires Franc Comtoises Besan on LEFORT J Petite histoire de la trigonom trie L Ouvert n 91 Juin 1998 Strasbourg MAZE M CHATAING G Parcours d orientation Un travail sur l angle au coll ge Rep res IREM n 2 1991 MAZE M Angle et rapporteur en classe de sixi me Bulletin APMEP n 431 2000 BERTHELOT R SALIN M H Un processus d enseignement des angles Grand N n 56 1994 1995 VADCARD L C
18. e l mentaire il est indispensable de faire un travail sur la comparaison des an gles sans avoir recours leur mesure en les superposant et notamment de mettre en vidence que l galit des angles est in d pendante de la longueur des c t s Reproduire Cycle 3 Sixi me Reproduire un angle donn en utilisant un gabarit ou par report d talon Utiliser diff rentes m thodes pour re produire un angle Tracer et mesurer Cycle 3 Sixi me Tracer un angle droit ainsi qu un angle gal la moiti au quart ou au tiers d un angle droit Il n est pas n cessaire de sa voir qu un angle droit mesure 90 Utiliser un rapporteur pour d terminer la mesure en degr s d un angle Le rapporteur est un nouvel instrument de mesure qu il convient d introduire l occasion de la construction et de l tude de figures Construire un angle de mesure donn e en degr s Ce que les programmes ne d finissent pas explicitement c est ce que recouvre la no tion d angle Cela laisse supposer qu elle re t rature produite son sujet travers les l ve du sens commun Un parcours de la lit articles de didactique et les manuels nous montre que les choses ne sont pas aussi simples qu il y para t OMNI 5 3 La litt rature didactique relative aux angles notions et mesure Les articles sur l enseignement des ang
19. e des angles doit se faire ind pendamment de celui des longueurs en particulier des longueurs de leurs c t s Ce qui n est pas chose facile dans le milieu restreint des activit s papier crayon 3 2 La mesure des angles Cette partie concerne essentiellement l enseignement en classe de sixi me car la me sure des angles n est pas au programme du cycle 3 L outil usuel de mesure des angles en contexte scolaire est le rapporteur mais com ment l introduire De nombreux manuels en proposent une description illustr e accompagn e parfois d une notice d utilisation comme celle ci Placer le rapporteur de telle mani re que le centre du rapporteur et le sommet de l angle co ncident le z ro de la graduation externe soit sur l un des c t s de l angle et que l angle soit sous le rapporteur Lire la graduation sur le deuxi me c t de l angle Curel amp al 1994 p 150 Nul doute que le professeur utilisant ce manuel devra expliciter ce texte pour des l ves de sixi me D autres manuels proposent soit d utiliser des gabarits soit de participer la cons truction d un rapporteur simplifi Utilisation de gabarits Dans l exemple ci contre l instrument que nous pr sentons ne comporte pas de graduation et fait appel des gabarits d angle multi ples Il rappelle les polygones utili s s dans diff rentes activit s d cri tes pr c demment cf l ang
20. e phase Travail collectif et oral Les r ponse sont mises en commun pour d gager le rapport entre triangle et 3 angles ainsi que pour mettre en vi dence l existence d angles autres que l angle droit Quatri me phase Travail individuel Les l ves utilisent les angles des faces triangulaires comme gabarits pour la construction d une bo te partir d une taille impo s e par l enseignante pour la face carr e Cette activit est r alis e la fois sur papier et au tableau Commentaires Cette s ance met d abord l accent sur la superposition comme technique de compa raison d angle avec la face carr e puis avec les faces triangulaires Cette technique re quiert manifestement un apprentissage Pour montrer qu un angle est plus ouvert donc plus grand qu un autre il est indispensable de superposer les sommets cf figure 11 La tentation est grande de comparer les surfaces et bon nombre d l ves ne s en privent pas L outil qui emporte la d cision quelle que soit la taille de l angle est le compas Pour comparer approximativement des angles il suffit de superposer les branches du compas avec les c t s des angles Le fait de devoir les carter ou les rapprocher donne une r ponse efficace La superposition avec les gabarits permet une comparaison plus fine mais dans de nombreux cas une comparaison rapide avec le compas suffit Dans un deuxi me temps l activit des
21. es obtus o l l ve suite une lecture erron e des graduations donne comme mesure celle de l angle suppl mentaire par exemple 45 au lieu de la mesure attendue 135 Quatri me s ance Nous relaterons succinctement cette s ance car elle est identique la deuxi me phase de la troisi me s ance mise en place avec les l ves de cycle 3 Il s agit de r aliser un nouveau plan de OMNI sur du papier cadeau en utilisant comme gabarits d angle les faces d coup es du plan initial Cette technique est op ratoire mais montre ses limites car une grande habilet se r v le n cessaire Tout d coupage maladroit ainsi que tout placement impr cis des gabarits provoquent des constructions approximatives La sanction est imm diate la bo te ne ferme pas Dans la r alisation de cette t che les l ves de cycle 3 se sont montr s plus performants que bien des l ves de sixi me 6 Conclusion A travers cet article nous avons eu l intention d articuler action p dagogique et d marche scientifique Action p dagogique car nous avons pr sent des travaux r ellement mis en place par six enseignants d cole primaire et de coll ge avec le concours de pr s de 160 l ves Les activit s d crites ne requi rent ni comp tences particuli res ni mat riel on reux Elles peuvent donc tre r alis es facilement dans toute classe de cycle 3 ou de sixi me D marche scientifique car nous ne nous so
22. et nous terminons en portant un regard particulier sur certains de leurs aspects qui nous ont interrog s ou surpris 5 1 Activit s en classe de CM2 cycle 3 Les activit s sont men es pendant trois s ances d une heure et demie raison d une s ance par semaine Les l ves sont r partis en trois groupes de six huit l ves de ni veau homog ne Pour faire simple disons un groupe fort un groupe moyen et un groupe faible OMNI 13 figure 10 En classe de CM2 Premi re s ance Objectifs Consolider les acquis sur les diff rents polygones carr triangle l angle droit la perpendicularit Aborder la notion d angle travers des manipulations et des comparaisons Organisation et d roulement Premi re phase Travail collectif et oral Chaque groupe dispose d un objet as sembl cf figure 8 L enseignante pr sente le projet de construction de l OMNI une bo te de cho colat pour les l ves Les l ves discutent du plan de OMNI Apr s mise plat de l objet les activit s de construction du fond de la bo te la face carr e sont planifi es mesure des c t s usage et fonction de l querre Deuxi me phase Travail individuel Chaque l ve dispose d une querre en pa pier qu il peut d couper Les l ves d coupent les 3 angles de l querre en papier les superposent et comparent les angles Un v
23. gine Boulanger amp al 1986 p 186 On appelle secteur angulaire saillant ou rentrant l intersection ou la r union de deux demi plans dont les fronti res respectives sont deux droites s cantes Monge amp al 1981 p 113 1141 Des manuels plus r cents vitent de donner une d finition textuelle en voici deux exemples Les demi droites Ox et Oy sont les c t s de l angle XOY 0 y Le point O est le sommet de langle figure 1 angle figure g om trique 1 Depresle amp al Belin 1990 p 132 OMNI 6 pr c t s de l angle o sommet de l angle RE iee L angle AOB L angle x1 y figure 2 angle figure g om trique 2 Antibi amp al Nathan 1994 p 194 Dans la premi re figure l espace entre les deux demi droites n est pas repr sent Dans la deuxi me il est sugg r par une zone colori e doubl e d un arc de cercle Les probl mes d apprentissage li s cette conception de l angle sont bien connus Les l ves prennent en compte la longueur des c t s pour comparer des angles plut t que leur cartement car le plus souvent l angle est vu soit dans une figure ferm e soit sous une forme prototypique cf fig 1 et 2 D apr s R Berthelot et M H Salin cette pr sentation ostentatoire de la notion d angle ne permet pas son acquisition Ils pr cisent qu il est n cessaire de mettre en uvre des situations d apprentissage com
24. inence du test nous interroge Un test similaire est pr sent aux l ves de CM2 ils doivent classer 5 angles du plus petit au plus grand et ont la possibilit d utiliser des gabarits Parmi ces angles deux sont isom triques mais ils diff rent par la longueur des c t s Le taux de r ponse juste est de l ordre de 55 Parmi les r ponses fausses seules 16 sont imputables la confusion entre la taille de l angle et la longueur des c t s Le deuxi me test est propos plusieurs mois apr s la derni re s ance lors d un d fi math Il s agit de tester la persistance de la confusion angle angle droit relev e lors de la premi re s ance en sixi me Il s agit d indiquer le nombre d angles de AN chaque figure R ponses attendues figure 19 Test de confusion angle angle 4 0 1 r ponse erron e droit 4 3 3 r ponse juste OMNI 25 Pour ce deuxi me test les taux de r ussite sont de 85 pour les l ves de CM2 6 groupes sur 7 et de 63 pour les l ves de sixi me 24 groupes sur 38 La persistance de la confusion demeure significative Ne nous reste t il plus qu remettre vingt fois sur le m tier notre ouvrage Boileau 1674 Nous terminerons par quelques suggestions inspir es par l tymologie de l acronyme OMNI Il serait dommage de r server cet objet l tude exclusive des angles S il ne peut servir tout ses usages
25. le de secteur figure 5 Instrument de mesure des angles Les auteurs pr cisent qu il per Borr ani amp al 2000 p 29 met d valuer une mesure avant d utiliser le rapporteur L autre exemple que nous avons s lectionn est bas sur la juxtaposition d un gaba rit unit pour mesurer des angles donn s Ce type d activit peut permettre d introduire la construction d un rapporteur OMNI 10 Reproduire l angle suivant sur du carton l ger et le d couper il servira ensuite d unit pour mesurer d autres angles Par exemple l angle xOy mesure 4 a X a SR A unit a AGE mm JE a P 74 figure 6 Juxtaposition d un gabarit unit pour mesurer des angles Chapiron amp al 2000 p 182 Construction d un rapporteur simplifi Deux demi rapporteurs sont propos s de mani re ce que les l ves utili sent celui qu ils pensent le plus ap propri la mesure d angles donn s D apr s les auteurs l activit propo s e doit montrer l int r t de la dou ble graduation du rapporteur figure 7 Demi rapporteurs simplifi s Depresle amp al 1990 p 131 En dehors des manuels nous n avons trouv qu un seul article p dagogique traitant des situations d enseignement apprentissage sur la mesure des angles C est en l occurrence celui de M Maze qui s appuie sur les travaux de G Vergnaud propos de la droite num rique Da
26. lements Phase unique Les l ves manipulent les faces pour d terminer la mesure de leurs angles partir de celle de l angle droit exprim e en degr s Ils recherchent une tech nique pour obtenir un angle de 15 et sont sollicit s pour associer des calculs aux mani pulations pratiqu es phase de math matisation Commentaires OMNI 21 Lors de cette s ance la notion d angle de secteur est renforc e par les manipulations Il est tout fait possible d obtenir les r sultats attendus partir de faces de tailles diff rentes comme le montre la figure suivante Association de 2 angles de 45 pour former un angle droit Association de 2 angles de 90 pour former un angle plat Association de 3 angles de 60 pour former un angle plat ee N a b c figure 15 Associations d angles La strat gie pour d terminer la mesure de l angle aigu d un triangle rectangle isoc le 45 est trouv e rapidement il suffit d en associer deux pour obtenir un angle droit Un calcul simple donne 90 2 45 figure 15 a Une autre strat gie retenue par les l ves consiste plier l angle droit suivant son axe de sym trie Par contre la m thode utiliser pour obtenir la mesure des angles d un triangle qui lat ral est plus complexe Il faut penser associer trois triangles de ce type pour obtenir un angle plat figure 15 c lui m me r sultant de l association
27. les soulignent la difficult de cette t che Ci tons entre autres Parmi les premi res d finitions donn es en g om trie il y a celle d angle C est une notion d licate enseigner dont la d finition pose probl me Languereau 2001 p 8 L angle est une notion dont l enseignement et l apprentissage restent probl mati ques Vadcard 2002 p 79 Comment expliquer cette difficult Un l ment de r ponse est li la multiplicit des d finitions li es la notion d angle Nous pr senterons plus en d tail les deux no tions les plus rencontr es dans l enseignement en cycle 3 et en sixi me l angle figure g om trique et l angle de secteur Nous poursuivrons par les deux autres plus succinc tement l angle de rotation et l angle d inclinaison Nous terminerons cette revue de litt rature par plusieurs exemples d introduction de la mesure des angles essentiellement travers les manuels les articles de revue n tant pas prolixes en ce domaine 3 1 Aspects multiples de la notion d angle L angle figure g om trique A travers cette vidence nous pouvons distinguer deux formes relev es dans les ma nuels qui mettent l accent soit sur les c t s couple de droites demi droites ou seg ments soit sur le contenu surface cette derni re tant usuellement qualifi e de secteur angulaire Un angle est la figure form e par deux demi droites de m me ori
28. mmes pas content s de relater ces tra vaux Nous nous sommes appuy s autant que possible sur des travaux ant rieurs qui permettent de d gager un cadre th orique celui qui d finit les diff rentes notions d angle en relation avec les pratiques d enseignement l angle figure g om trique l angle de secteur l angle de rotation et l angle d inclinaison Ces diff rentes notions ne sont pas d finies a priori Elles le sont partir des usages qui n cessitent le recours la notion d angle Dans un contexte p dagogique cette n cessit n appara t pas ou peu Par suite l tude de cette notion dans les programmes institutionnels s est estomp e pendant plusieurs d cennies Bien s r elle n a pas enti rement disparu car elle appara t ponctuellement dans le cours des programmes perpendicularit et angle droit angles form s par deux parall les et une s cante angles associ s aux fonctions trigonom tri ques angle de rotation angle inscrit etc D marche scientifique encore car en explicitant notre d marche et en la publiant nous la soumettons la critique des didacticiens et des praticiens A ce propos nous OMNI 24 avons essay d viter le recours abusif au jargon des sp cialistes qui rebute de nom breux enseignants du terrain et ne favorise pas la communication Concernant la validation des situations d apprentissage que nous avons pr sent es nous rappelons que nous la mettons
29. ns un premier temps elle fait laborer des gabarits partir du partage de l angle droit angles de 45 22 5 30 et 60 qui servent la construction d un losange donn Dans un deuxi me temps elle fait construire sur papier calque un instrument de mesure et de construction d angles Les productions r alis es dans le cadre de cette derni re activit montrent que l association d une demi droite ou d un trait de graduation avec une valeur num rique d angle ne va pas de soi Elle rejoint ainsi les conclusions de G Vergnaud Identifier les mesures des angles avec des demi droites est une op ration de pens e complexe qui chappe encore nombre d enfants de sixi me Elle ajoute que l appropriation du syst me symbolique que repr sente la graduation du rapporteur est un processus tr s difficile et qu un mode d emploi dirig du rapporteur ne participe pas au d velop pement de l enfant Maze 2000 Nous terminons cette partie consacr e la mesure des angles par un questionnement En effectuant nos recherches nous nous sommes interrog s sur la mesure de l angle droit angle de r f rence d s l cole primaire Chacun sait qu il mesure 90 degr s Mais pourquoi donc 90 degr s Pourquoi pas 60 syst me sexag simal ou 100 syst me d cimal Aux lecteurs qui comme nous s interrogent nous proposons quelques pistes la fin de cet article mais nous les invitons d
30. ocabulaire sp cifique est rappel notion de sommet et de c t notion d angle au sens de secteur angulaire Troisi me phase Travail collectif Les l ves sont regroup s autour d un plan de la bo te Nous rappelons que d un groupe l autre les l ves disposent de plans de tail les diff rentes Les l ves rep rent les angles droits du plan de POMNI avec l querre OMNI 14 Ils construisent chacun le carr du plan et mettent leur r alisation en commun Ils d couvrent ainsi que leurs dimensions sont diff rentes mais que cela n a aucune incidence sur les angles droits ils sont superposables Quatri me phase Travail individuel valuation Chaque l ve compl te le questionnaire suivant quoi sert une querre Comment rep re t on l angle droit de l querre Qu a t on remarqu propos des angles lors de la comparaison des carr s Commentaires Dans les activit s de cette premi re s ance deux notions d angle le secteur angu laire et l angle de secteur sont engag es travers la reproduction et la comparaison d un angle particulier l angle droit Nous ferons deux remarques sur le d roulement de cette s ance Le d coupage des angles droits pose probl me car les l ves coupent en ligne droite et obtiennent ainsi de nouveaux triangles ce qui rend difficile la superposition des angles du fait de l app
31. onceptions de l angle chez des l ves de seconde R D M vol 22 1 2002 Manuels Dans la pratique enseignante il est d usage de citer un manuel par les noms d diteur et de collection Par souci d homog n it avec les r f rences bibliographiques pr c dentes nous avons pr f r l usage universitaire o sont cit s en premier lieu les noms d auteur AGUILAR P LOUQUET P MOULIA L Math matiques 6 me Armand Colin Paris 1986 ANTIBI A BARRA R MALAVAL J amp al Maths 6e Transmath Nathan 1994 BAREIL H ZEHREN C Math matique 6e Hachette Paris 1980 BORREANI J LE HIR G LEMETAIS B BERTIN P Maths 6e Magnard Paris 2000 BOULANGER P MARMANDE I SZAINFELD R THIS H math 6 Belin Paris 1986 CHAPIRON G MANTE M MULEY MARQUIS R PEROTIN C Math matiques 6e Triangle Hatier Paris 2000 CUREL P FAUVERGUE P RIEU R SARNETTE A Math 6e Alpha Hatier Paris 1994 COLIN P amp al maths CM2 Spirales Nathan Paris 2002 DELORD R VINRICH G amp AL Math matiques 6e Hachette coll ge Paris 1990 DEPRESLE P JAUFFRET P MARCELLET F MAZAUD P PENE N Math 6e Belin Paris 1990 MONGE M BEGOT M Math matiques 6 Belin Paris 1981 Ouvrages divers BOILEAU P Chant 1 L Art po tique 1674 EUCLIDE l ments livre I d finitions Le Petit Larousse Illustr Larousse Paris 2004 OMNI 27 Documents institutionnels r f
32. p dagogiques sont n anmoins multiples Nous pensons tout particuli rement la g om trie dans l espace avec des d veloppements sur les dif f rentes repr sentations de ce solide sur les calculs de longueur et de volume sur le calcul vectoriel Cet objet est une mine d activit s p dagogiques math matiques A vous de jouer Notes sur la mesure de l angle droit Nous formulons l hypoth se suivante La mesure des angles est li e historiquement l observation des ph nom nes astronomiques Les premiers t moignages connus datent des civilisations antiques de l Asie mi neure Sum riens et Babyloniens La position des toiles outil de rep rage utilis pen dant des mill naires ne peut se faire qu au moyen des angles Lefort 1998 Or cette position volue jour apr s jour et la position initiale ne revient qu apr s un certain temps que nous appelons une ann e Un autre ph nom ne cyclique est li au mouvement de la Lune dont les phases sont ais ment observables Une lunaison dure environ 30 jours en r alit un peu moins et ce ph nom ne se r p te environ 12 fois en une ann e Ainsi les toiles d crivent ainsi un cercle virtuel dont la Terre est le centre en 360 jours Les toiles avancent donc chaque jour d un angle unitaire le degr gal au 1 360 d un tour complet Ainsi de puis des mill naires le demi tour mesure 180 degr s et le quart de tour l angle droit mesure 90 degr s Bien
33. par M Maze Maze 2000 qui laisse une grande libert aux l ves et celles tr s directives que l on retrouve dans de nombreux manuels En fixant les trois valeurs 45 60 et 90 nous limitons les recherches des l ves tout en leur laissant une certaine marge de man uvre Pour construire les trois graduations impos es sur le rapporteur en papier calque il est n cessaire de le poser sur les gabarits d angle form s par les faces de OMNI Nous pensons priori que cette proc dure tout fait similaire la technique de mesure des angles avec un rapporteur facilitera l acquisition de cette derni re lorsqu elle se pr sen tera Nos espoirs seront d us car beaucoup d l ves ne feront pas d eux m mes la re lation entre ces deux proc dures Les trois valeurs prescrites induisent les autres mais laissent la possibilit d laborer deux syst mes de graduations OMNI 23 Le premier favorise une graduation unique avec des valeurs d angle croissantes dans le sens des aiguilles d une montre Il est noter que le plus souvent la valeur 0 est omise Le second d finit une double graduation de 0 90 Bien entendu ce second choix n est pas op rant pour la mesure des angles obtus angle n 4 et 5 de la figure 17 et provoque des discussions entre l ves ce qui est le but recherch Cette activit a pour objectif de limiter l avenir l erreur fr quente de mesure des angl
34. rent un test papier crayon Parmi les exercices propos s figure un exercice classique de comparaison d angles angles gaux mais avec des c t s de longueurs diff rentes Le r sultat n gatif ce test les interroge Ils se demandent si l activit d velopp e pendant le parcours d orientation n a pas renforc l usage d un crit re non pertinent pour la notion d angle la longueur des c t s En effet lors de chaque tape il faut non seulement rep rer l angle avec la boussole mais aussi mesurer la longueur parcourir De plus ils constatent que les l ves ont mis en uvre des comp tences dans une t che sp cifique et qu ils les ont valu es sur une autre t che plac e dans un autre contexte Maze amp Chataing 1991 p 5 11 Quant L Vadcard d j cit e elle exp rimente des situations probl me pour des l ves de seconde dont la r solution n cessite le recours la notion d angle d inclinaison Face la difficult de mise en uvre de telles situations en milieu papier crayon elle utilise l environnement informatique offert par le logiciel de g om trie dy namique Cabri g om tre En conclusion de son article elle pr conise pour ce type d activit s qu aucun acc s aux mesures de longueurs ni direct ni par l interm diaire du cercle ne soit possible Vadcard 2002 p 117 OMNI 9 Son analyse corrobore celle de M Maze et G Chataing l usag
35. s p dagogiques que nous pr voyons 2 2 La notion d angle et sa mesure Les nouveaux programmes de cycle 3 et de sixi me ont sp cifi une nouvelle partie en plus de celles habituellement d volues au calcul l organisation et la gestion des donn es et la g om trie Il s agit de grandeurs et mesures La notion d angle y trouve naturellement sa place c t de celles de longueur d aire de volume et de dur e L Acad mie d Amiens propose une lecture compar e des programmes de cycle 3 et de sixi me de math matiques Acad mie d Amiens 2005 Nous en pr sentons des extraits en relation avec la notion d angle organis s suivant une typologie qui nous est propre OMNI 4 Conna tre Cycle 3 Sixi me Utiliser bon escient le vocabulaire suivant droites perpendiculaires angle Utiliser en situation en particulier pour d crire une figure le vocabulaire suivant angles droites perpendiculaires Conna tre les propri t s relatives aux an gles des triangles suivants triangle isoc le triangle quilat ral triangle rectangle Comparer Cycle 3 Sixi me Comparer des angles dessin s par super position ou en utilisant un gabarit Comparer des angles situ s dans une fi gure angles int rieurs d un triangle d un quadrilat re Comparer des angles Dans la continuit du travail entrepris l col
36. sein Rendre op rationnelle la notion d angle d inclinaison en r alisant un nouveau plan puis en construisant la bo te Organisation et d roulement Premi re phase Travail individuel Exercice extrait d un manuel Colin P amp al 2002 p 74 Les l ves r alisent un instrument de comparaison d angles par pliages partir d un disque Seconde phase Travail individuel Les l ves laborent un nouveau plan en utili sant les gabarits obtenus apr s le d coupage du plan initial Ils terminent par la cons truction de la bo te cadeau les f tes approchent OMNI 18 Commentaires Les outils fabriqu s dans la premi re situation cf figure 13 immergent l l ve dans le milieu des fractions d angles premier apprentissage vers la mesure des angles qui se ra approfondie en sixi me figure 13 L instrument de comparaison d angles Dans la deuxi me situation la r alisation effective de la bo te met en pratique et va lide les connaissances des l ves sur les angles en particulier l angle d inclinaison Le taux de r ussite tr s satisfaisant de l ensemble des l ves lors de cette derni re acti vit d montre une r elle ma trise op ratoire de cette notion Ainsi chaque l ve ayant r ussi sait qu il sait Et celui qui a plus de difficult s s efforce de progresser tant don n que les autres visiblement parviennent leur fin 5 2 Activit
37. tres questions font r f rence indirectement au degr d ouverture d un angle de l angle droit en l occurrence Pour la deuxi me question les l ves rencontrent des difficult s exprimer leur r ponse Certains utilisent une d finition circulaire en proposant l angle dont les c t s sont perpendiculaires Dans ce contexte le crit re d ouverture d angle n est pas encore op rationnel Le taux de r ussite la troisi me question indique qu un nombre significatif d l ves per oit la diff rence entre la grandeur d un angle et la grandeur de ses c t s L appropriation du concept d angle de secteur se pr cise Deuxi me s ance Objectifs Comparer les angles d une figure Consolider la notion d angle de secteur d abord dans le cas particulier de l angle droit puis dans le cas d autres angles Reproduire un angle en utilisant un gabarit Organisation et d roulement Premi re phase Travail collectif et oral pour le rappel Ce qui a t fait et d couvert lors de la s ance pr c dente est rappel L acquisition effective de la notion d angle limit e l angle droit est v rifi e partir de la superposition des faces carr es r alis es lors de la s ance pr c dente puis avec l querre Deuxi me phase Les l ves sont mis en activit de d couverte en autonomie contr l e partir de la fiche l ve reprod
38. u terrain en REP r seau d ducation prioritaire et exer ons dans des tablissements et des cycles diff rents cole l men taire cycle 3 et coll ge mais dans deux niveaux conjoints CM2 et sixi me Nous intervenons en outre titre divers dans la formation des enseignants pour l une en qualit de professeur des coles ma tre formateur et pour l autre ponctuelle ment comme directeur de m moire professionnel de professeurs stagiaires de math ma tiques Septembre 2004 Marie Jeanne Perrin professeur des universit s l IUFM Nord Pas de Calais nous propose de pr senter un atelier dans le cadre d animations organi s es par l IREM de Lille consacr es l enseignement des math matiques l cole pri maire et l articulation cole coll ge Notre atelier est programm pour d cembre 2004 et le th me que nous devons aborder doit tre relatif aux grandeurs et mesures plus par ticuli rement centr sur la notion d angle Nous donnons notre accord rapidement En effet nos parcours professionnels ne se croisant gu re nous saisissons cette possibilit de travailler en commun Nous mettons profit les deux mois qui nous s parent de l atelier pour r aliser une tude exploratoire de la litt rature sur le sujet pr parer les s quences d apprentissage et les mettre en pra tique Chemin faisant nous sollicitons la collaboration de quatre autres enseignants de ma th matiques
39. uite ci dessous Sur la fiche r elle un empla cement est pr vu pour la r ponse la suite de chaque question pos e Fiche l ve 1 D coupe chaque face de la bo te OMNT en suivant les pointill s en dehors du carr 3 Comment peut on montrer que certaines figures sont identiques 4 Quel est le nom de chaque figure vante Combien y a t il d angles dans chaque triangle 4 Justifie ta r ponse 2 Trie les faces et indique combien de figures diff rentes sont utilis es pour la bo te 5 Sachant qu un sommet et ses 2 c t s d limitent un angle r ponds la question sui 6 Existe t il ton avis un rapport entre le nom triangle et ta r ponse la question 3 perpendiculaires qui se coupent angle droit Le Petit Larousse Illustr 2004 p 807 OMNI 16 7 Les angles sont ils tous gaux 8 Y en a t il des plus petits des plus grands Comment fais tu pour le v rifier 9 Comment peut on faire pour reproduire les angles dont on a besoin pour la bo te La figure suivante illustre deux techniques de superposition efficientes utilis es par les l ves Image de gauche seuls les sommets sont communs Image de droite les sommets et un c t sont approximativement communs Le T Le ANRT LS a gt A 7 INY j a an akai figure 11 Comparaison d angles par superposition Troisi m
Download Pdf Manuals
Related Search