Cours de Révision
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1. R visions d Als bre I Pr ambule Intention Mode d emploi Conventions R f rence Ces pages pr tendent reprendre en les approfondissant certaines notions d alg bre tudi es au coll ge avec l intention de pr venir autant que faire se peut les erreurs les plus courantes rencontr es dans les copies en seconde Ces erreurs effectivement commises r v lent qu il y a beaucoup de choses dire Elles sont dites ici et puisqu il y en a beaucoup le texte manque de concision d autant que des informations importantes sont souvent intentionnellement r p t es Imprimez agrafez lisez une premi re fois apportez classe pendant tout le premier trimestre a fl che sert d crire une erreur d alo bre La fl che gt t d dalg La police de caract re Blue Highway est utilis e pour faire ressortir les mots de langue fran aise un peu rares Ils sont expliqu s dans le glossaire du dernier paragraphe La police manuscrite sert marquer les mots math matiques au moment o ils sont introduits Le plus souvent lors de cette premi re occurrence ils sont d finis ou du moins expliqu s Lorsqu un choix de vocabulaire devait tre fait l ouvrage qui a t pris pour r f rence est l excellent Dictionnaire des Math matiques El mentaires de Stella Baruk publi au Seuil Il est recommand tous ceux qui souhaitent comprendre en profondeur les notions de base des math matiques2. 2 k 2 k k 7 1 7 7 2 k 1 Un diviseur ne se distribue pas sur un produit Sauriez vous dire ce qu on doit mettre la place du 2 entour qui est erron x 1 x 1 x 1 x 1 NS dE ko 3 0 Similitude Les r gles de transformation des quotient peuvent voquer celles concernant les quations Mais dans une quation justement on peut ajouter un m me nombre aux deux membres cela produit une quation quivalente Des affirmations P et Q sont dites quivalentes lorsqu elle reviennent au m me Lorsque P est vraie Q est vraie et lorsque P est fausse Q est fausse Des ressemblances entre deux th or mes deux r gles d alg bre engendrent souvent des erreurs qu on peut appeler erreurs de similitude C est pourquoi lorsqu une r gle un th or me une transformation vous voque autre chose ah oui a ressemble quoi d j il vaut mieux vous creuser la t te afin de bien chercher identifier les deux l ments du m lange et remettre chacun sa place Parfois l intervention d un interlocuteur est n cessaire Parenth ses implicites Le trait de fraction joue un r le de parenth ses a b a b signifie c d cd Ambigu t Diviser par 0 20 Le d dain l gard de ces parenth ses implicites est source d une erreur fr quente en seconde 1 1 4 16 a a Fr S a a a a Alors qu en explicitant d s le d but les parenth
3. 37 XIV Glossaire concision occurrence glossaire d r liction ad hoc implicite ressortit Concis exprim en peu de mots Un synonyme laconique En latin considere signifie couper en morceaux origine commune avec inciser Circonstance apparition d un mot d un ph nom ne astronomique En l occurrence en la circonstance Le mot occurrence peut signifier pour un mot son apparition dans un texte Lexique Glossa latin d signe un terme rare peu usit qui a besoin d une explication Une glose est originellement une explication d un mot difficile en marge d un texte Un glossaire est un petit dictionnaire un lexique qui se concentre sur les mots rares Etat d abandon de solitude morale compl te Par exemple sentiment du croyant qui se sent abandonn de Dieu Appropri C est une locution latine qui signifie litt ralement cet effet Elle a pour synonyme idoine C est le contraire de explicite Ce qui est explicite est ce qui est formul exprim manifeste Ce qui est non dit entre les lignes tacite latent est dit implicite Les math matiques sont th oriquement le royaume de l explicite il faut tout dire mais dans la pratique il y reste toujours un peu d implicite dans un texte math matique La foi implicite est la confiance absolue qu on accorde un dogme sans chercher le comprendre est relatif d pend de la comp tence de
4. Les erreurs Correction Il Forme D finition Vocabulaire 2 Une fois qu un D S T est rendu pass e l euphorie ou la d r liction vous devez vous attaquer une analyse scrupuleuse des erreurs Lorsqu une zone du texte est entour e dans votre copie c est pour signifier que sy cache une erreur Il faut absolument comprendre en quoi elle est une erreur Le corrig ne dira pas grand chose ce sujet il ne pr sente qu une m thode de r solution parmi d autres On n explique pas une erreur en lui substituant une non erreur Il faudra parfois poser des questions au professeur Une erreur qui n a pas t correctement analys e par son auteur se renouvellera alors de D S T en D S T co tant autant de point qu il le faudra jusqu ce qu elle re oive une explication ad hoc propos d erreur certains passages ont t tap s un peu vite et m riteraient de nouvelles relectures Merci de m aider en signalant toute erreur m me infime que vous rencontreriez Donner la forme d une expression c est dire s il s agit d une somme d une diff rence d un produit d un quotient Expression Forme Nom des termes a b somme parts a b c poly somme ab diff rence ab produit facteurs abc poly produit somme a b c oe chelons alg brique dividende diviseur 5 quotient num rateur d nominateur 3 Remarques Les nombres
5. Il y a deux verbes ressortir Celui qui signifie sortir peu apr s tre entr il ressort ils ressortent de la maison connote droit canon abus de langage synecdoque par d faut apanage pist mologique 38 Et ressortir qui signifie tre relatif tre du ressort de qui ne se conjugue pas se la m me fa on la langue orale ressortit l ethnologie Evoque Connoter vient du latin Cum notare noter avec Une connotation est une signification seconde qui s ajoute la signification principale Droit de l Eglise Les canons de l Eglise sont les r gles les d crets de conciles en mati re de foi et de discipline Du latin canon r gle mod le lui m me du grec kan n Rien voir avec l arme le canon qui est de la m me origine que canne Voici des exemples d abus de langage qui vaudront mieux qu une longue d finition Soit M un point On devrait dire Soit M une lettre qui d signe un point Je vais boire une tasse de th pour dire je vais boire le contenu d une tasse th Figure de style consistant prendre la partie pour le tout ou le tout pour la partie cas particulier de la m tonymie La terminologie des figures de style varie d un auteur l autre Ici on a fait simple Exemple dire un toit pour signifier une maison A d faut de pr cisions C est un terme qui vient de l informatique les r gla
6. plus le double produit L identit imaginaire r S Degr 3 Commentaire IX L inverse et l oppos 15 MENETE J Cette quatri me identit n existe pas du moins pas en seconde ni en premi re Souvent on trouve dans les copies des erreurs qui correspondent l invention d une quatri me identit remarquable Cette invention est probablement suscit e par un d sir de sym trie et par une analogie avec les deux premi res identit s Une somme de deux carr s en g n ral ne se factorise pas mais certaines sommes de carr s particuli res peuvent tre factorisables En terminale on pourra crire a b a bi a bi o i repr sentera un nombre dit imaginaire justement qui n est ni positif ni n gatif et dont le carr est 1 En attendant si l on tient absolument une quatri me identit remarquable on peut toujours retenir a b c a b 2ab 2ac 2bc Et si cela ne suffit pas a 3a b 3ab b a b a 3ab 3ab b a bY a b a b a ab b a b a b a ab b En retenant seulement la premi re et la troisi me identit on retrouve les deux autres en rempla ant b par b Question que se passe t il si l on op re la m me substitution avec la troisi me identit remarquable de degr 2 LA Dans la langue courante inverse et oppos sont synonymes Ce n est pas le ynony cas en math matiques o
7. Esp rons que ce qui pr c de aidera viter les erreurs a b gt a Vas baika Vb Pour d velopper a b il faut revenir la d finition du courantes du type ou encore carr d un nombre a b a b a b Ensuite on peut 12 distribuer terme terme On peut aussi utiliser le raccourci d une identit remarquable voir plus loin VIIL La factorisation D finition M thode Factoriser c est simplement le contraire de d velopper Le probl me c est que ce qui est facile dans un sens ne l est pas forc ment dans l autre Autant d velopper peut tre fait assez m caniquement autant factoriser demande parfois une grande cr ativit Ainsi les travaux du math maticien fran ais variste Galois ont permis de prouver qu il n existait aucune formule g n rale pour factoriser les polyn mes partir du cinqui me degr Pour factoriser une expression une somme ou une somme alg brique il vous suffit de la consid rer comme r sultant d un d veloppement et d essayer retrouver l expression initiale qui devait avoir la forme d un produit Exemple d un cas simple Autre cas simple ab ac ad Le facteur commun aux trois chelons est a C est donc lui Factorisons qui devait tre en facteur On commence donc par crire a Puisqu il faut retrouver par distribution du a une somme alg brique de trois termes il doit y avoir une somme alg brique de
8. ae bc bd be On utilise deux reprises la distribution simple Dans un premier temps on consid re le second facteur comme un bloc a b c d e a c d e b c d e ac ad ae bc bd be Il Il Produits de polyn mes Le moins oppos Un produit de polyn mes est un polyn me il suffit de d velo pper ce produit pour s en rendre compte x 3x 2 5x 2 5x 17x 16x 4 L galit ci dessus pr sente le d velo ppemen t d une expression mais les tapes interm diaires n ont pas t crites de sortes que le calcul n a pas t d taill Question que peut on dire du degr du polyn me produit par rapport aux degr s des polyn mes facteurs Toute expression alg brique form e partir de variables de chiffres et des signes et x peut apr s d veloppement et r duction tre mise sous la forme d un polyn me Le signe moins oppos peut tre vu comme un 1 x il est donc normal qu il se comporte comme un facteur et se distribue sur les sommes pas sur les produits Exemple a b c a b c a b c Oppos de Voici une erreur de distribution abusive d un moins sur un produit rencontr e en quatri me j p Lti pa us Les diviseurs Les racines Distribution na ve 11 1 a diviser par a peut tre vu comme x Il est a donc normal qu un diviseur fonctionne comme un facteur ce qui
9. ses l erreur 1 1 4 1 1 a 1 1 4 a peut tre vit e 1_ 1 4 _1 1 6 _1 1 e_9_ 1 a a a a a Il faut veiller ce que la taille et la position du trait de fraction indiquent clairement ce que l on veut exprimer atc a ean f FF a he tc pourrait signifier aussi bien ra c que b a lsa rs pourrait signifier ou bien a S a Q ol Le trait de fraction principal doit se situer au niveau de la ligne d criture La division est d finie comme op ration inverse de la multiplication lorsqu on multiplie le diviseur par le quotient on doit retrouver le dividende 2 0 Par cons quent si tait gal un quotient q il faudrait que 0 2 qx0 2 ce qui n est pas possible Donc n existe pas 21 0 Quand au cas de on tombe sur le probl me inverse tous 0 les quotients pourraient convenir Ne sachant lequel choisir on n en admet aucun a a Donc n a jamais de sens on ne peut pas diviser par 0 z ro Dans ce chapitre de r visions pour ne pas alourdir le texte lorsqu un d nominateur est crit il est implicitement suppos non nul Rigoureusement il faudrait le pr ciser chaque fois On ne peut pas diviser par z ro mais on peut diviser z ro 0 0 2 D ailleurs un quotient ne s annule que si son num rateur s annule Disons le d un style plus math matique un quotient s annule si et seulement si son num r
10. crit alors Le signe amp se lit est quivalent Le trait sup rieur du radical joue un r le de parenth ses Il tait d ailleurs utilis en ce sens par certains math maticiens avant que les parenth ses ne s imposassent Ainsi 2x2 1 signifiait 2xX 2 1 Distribution D monstration Application Puissance 1 2 24 Il faut donc veiller ce que ce trait sup rieur couvre exactement le terme dont on veut prendre la racine et viter une criture ambigu comme 4 5 donc on ne sait si elle signifie V4 5 c est dire 7 ou bien V4 5 c est dire 3 Parfois on termine ce trait en redescendant de fa on bien marquer l endroit o il s arr te Va b c Le radical se distribue sur les produits et les quotients La racine du produit gale le produit des racines Soient a et b deux r els positifs Vab ab Tn p si b0 Mais en g n ral Va b va vb Cas du produit Soient a et b deux r els positifs On pose V VaVb c est dire Va x Vb Alors V Va Va vo Va vb Va a bb ab V est un nombre positif dont le carr est ab donc V ab La distribution du radical sur les produits permet de sortir les carr s qui sont cach s dans le radicande V8 V4x2 V4 x V2 N2 Les radicaux se distribuent sur les produits or il a t dit au paragraphe sur les puissance que se distribuer sur les produits tait l apanage des exposan
11. elle est plus facile retenir que le th or me ab ab ab ab ababab aaabbb ah En math matiques si l on a juste compris comment faire on n a rien compris Il faut toujours conna tre le pourquoi du comment Le fait de se distribuer sur les produits est une propri t qui caract rise les exposants Lorsqu un op rateur se distribue sur un produit c est que c est un exposant Si les exposants se distribuaient sur les sommes les identit s remarquables n auraient rien de particuli rement 2 remarquables on aurait par exemple a b gt a b joia D a Il faut viter des critures ambigu s comme x i car on n ne sait pas si l exposant n porte sur le num rateur ou n j a s il porte sur tout le quotient 2 34 Puissance d une puissance Lorsque les exposants sont positifs l criture en poly q P P poly produit rend cette identit limpide 3 2 2 2 2 6 2 xa xa a R capitulatif 35 XIII La valeur absolue Absolu relatif Un nombre relatif se d compose en deux l ments son signeetsa valeur absolue signe valeur absolue 5 3 Absolu s oppose relatif Les nombres invent s d abord qu on pourrait dire naturels m me si l on ne trouve pas de nombres en tant que tels dans la nature ont une valeur en soi sans r f rence un autre nombre Mais les nombres relatifs sont plac s relativ
12. la somme n est pas la somme des racines Il est parfois tentant de distribuer un radical sur une somme par exemple dans l expression y a b Si une telle distribution tait possible on pourrait simplifier singuli rement le th or me de Pythagore en enlevant les carr s de son galit Un confre exem f le ne suffira sans doute pas liminer radicalement cette erreur mais en voici un quand m me V16 9 25 5 V16 4V9 4 3 7 27 Forme normalis e Autant que possible une expression num rique est mettre par ordre de priorit sous la forme Exemples e D unentier 5 e D une fraction irr ductible 2 3 e n Jp ounetpsont des entiers et o US p le plus petit possible Autrement dit il faut sortir les carr s ventuellement cach s dans les radicandes e n on 2 p o est une fraction V5 d d 3 irr ductible et p un entier le plus petit possible ou ventuellement Jr ni n vaut 1 d e D une somme d expressions des 245 532 formes pr c dentes En r sum on sort un maximum de choses du radical Exemple simple On ne laisse pas V1 la fin d un calcul Il faut aller jusqu au bout et crire 1 28 Somme de racines Une expression comme 245 3V2 peut tre vue comme une somme de mon me d unit s irrationnelles diff rentes Elle est irr ductible Mais contrairement ce qui se passe avec les unit s litt rales il est parfois possible de c
13. la soustraction ni de la division Cela signifie qu on peut grouper comme on veut les termes dans une somme ou un produit de trois termes Quels que soient les nombres a b et c a b c a b c ab c a bc Poly sommes polyproduits L associativit autorise crire sans parenth ses des poly sommes ou des poly produits Par exemple pour calculer le poly produit 2x3x4 il faut choisir de placer les parenth ses d une fa on ou d une autre L ambigu t qui provenait de l absence de parenth ses n tait pas g nante puisque le r sultat est le m me dans les deux cas 2x3 x4 2x 3x4 6x4 2x12 D placement d un terme A l int rieur d une poly somme ou d un poly produit la commutativit et l associativit permettent de d placer un terme Mais si l on sort de terme de son contexte on prend le risque de changer la valeur de l expression 5 2 5 x10 gt 5 5 2x10 Nous parlerons alors d erreur par t l portation IV Les sommes alg briques Les signes moins Il y a trois signes moins qui par ordre chronologique de leur apparition l cole sont Le moins soustraction 10 5 Le moins n gatif 5 Le moins oppos A 2 2 Or tous peuvent tre vus comme des moins oppos s En effet 5 est l oppos de 5 et 10 5 peut et doit tre vu comme 10 et l oppos de 5 Il y a sym triquement trois signes q
14. m me pas conscient d avoir factoris quoi que ce soit VIII Les identit s remarquables R le Les identit s remarquables servent surtout factoriser c est pourquoi elles sont crites ici dans le sens de la factorisation mais on les d montre en d veloppant le membre de droite Degr 2 D monstration Lecture Commentaire Double produit 14 Celles du degr 2 doivent tre connues parfaitement l invention d identit s remarquables fantaisistes est la source de multiples erreurs en seconde sommes produits a 2ab b a 2ab b 2 2 a b factorisation d veloppement Comme susdit on part du membre de droite on applique la d finition du carr d un nombre puis on d veloppe terme terme Vous devez tre capables de retrouver ainsi les trois identit s remarquables au cas o vous ayez des doutes a b a b a b a ab ab b la 2ab b M me principe pour les deux autres identit s Il La premi re identit se lira a deux plus deux ab plus b deux gale a plus b au carr Voir explications dans le paragraphe sur les puissances 2 i o a b et a b se trouvent toutes deux dans ces identit s mais pas la m me ligne Cela signifie en fait le double du produit C est le 2ab qui est oubli lorsqu on distribue na vement le carr sur la somme Le carr de la somme de deux nombres est gal la somme de leur carr
15. n est pas le cas d un dividende et se distribue aussi sur les a b a b sommes mais pas sur les produits c cc Lue de droite gauche cette identit vous semblera sans doute plus famili re puisqu elle raconte comment calculer une somme de fractions de m me d nominateur Le radical c est dire le signe V fonctionne comme un 1 exposant il est consid r comme l exposant 5 Il est donc normal qu il se distribue sur les produits mais pas sur les sommes Pour sch matiser on peut dire qu au moins la moiti des erreurs d alg bre effectivement rencontr es dans les copies peuvent tre vues comme des distributions na ves Parfois l erreur est faite sans m me que celui qui la commet per oive qu il a fait une transformation la distribution n est m me pas per ue comme telle elle est totalement transparente son auteur Dans la langue courante en effet la cousin de Jules et de Barnab est la fois le cousin de Jules et celui de Barnab En math matiques le carr de a plus b ce n est pas la m me chose que le carr de a plus celui de b Lorsqu on crit le carr de V2 43 le plus ne doit pas se lire comme un et Le signe op ratoire est en effet charg de souder ensemble deux termes pour former un seul nouveau terme le r sultat Il faut donc bien penser N E comme un seul nombre De m me que lorsqu on crit 2 3 on a d j crit le r sultat de l addition
16. nombre A est le nombre positif dont le carr est gal Exemple Th or me Exemple Commentaire 3 est la racine de 9 car 9 est le carr de 3 carr 3 racine 9 Tout r el positif admet une unique racine M me la racine de 2 a elle m me une racine qu on peut appeler racine de racine de 2 et qui a elle m me une racine Le nombres strictement n gatifs n ont pas de racines parmi les nombres r els parce que le carr d un r el ne saurait tre n gatif D monstration Notation Rappel Ambigu t 23 Il est difficile de d montrer l existence de Existence la racine de tout nombre positif L existence de la racine de 2 par exemple ne va pas de soi Cette existence des racines est admise au lyc e Il faudrait pour la d montrer utiliser le th or me des valeurs interm diaires qui est peine abord en terminale L id e c est que lorsqu on fait varier contin ment x de 1 2 son carr x varie contin ment de 1 4 Ce carr doit donc bien atteindre la valeur interm diaire 2 Il faut donc bien qu il existe un r el dont le carr est 2 Unicit Supposons qu un nombre ait deux racines que nous noterons r et r Alors r r donc r r 0 donc r r r r 0 donc r r ou r r Mais comme r et r sont de m me signe r r Les deux racines n en font donc qu une radical bs radicande Jan La d finition de la racine s
17. quadrilat re d avoir des diagonales qui se coupent en leurs milieux caract rise le parall logramme parmi les quadrilat res tout parall logramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieux et seuls les parall logrammes v rifient cette propri t 32 Quotient de puissances d un m me nombre On peut r duire un quotient de deux puissances d un m me nombre Alors on soustrait les exposants celui du num rateur moins celui du d nominateur Cette formule reste valable lorsque les exposants sont n gatifs Somme de puissances d un m me nombre P Comme nous l avons vu dans le paragraphe sur les polyn mes la somme x x qui est une somme de deux mon mes d unit s diff rentes est irr ductible En revanche x x 1x 1x 2x Priorit Par convention l exposant est prioritaire sur tous les autres op rateurs il ne concerne donc que le terme qui le pr c de amp signifie aa et non a a d 24 signifie 2aaa et non 2a 2a 2a D amp 2 x 1 signifie 2 x 1 x 1 Distribution Commentaire Ambigu t 33 Les exposants se distribuent sur les produits mais pas sur les sommes Mais en g n ral a b a b Avant d apprendre une r gle d alg bre il faut la saisir intuitivement Une identit bien comprise est d ailleurs d j apprise Ici en prenant une valeur simple de n la d monstration est si courte et si sensible qu
18. relatifs nous inciterons oublier peu peu la soustraction et voir toute diff rence comme une petite somme alg brique De fa on un peu audacieuse nous proposons des mots l o ils manquent Ces mots serons toujours crits entre guillemets Lecture Lorsqu on lit une expression il importe de faire entendre sa forme par le ton qu on y met Ainsi 2 2 x 5 doit tre lu deux plus deux fois cinq Erreur par d formation Voici une erreur rencontr e dans plusieurs copies lors d un contr le 9x 4 x 2x 1 gt 9x7 4x 8x 4 En distribuant le 4 ceux qui ont commis cette erreur ont malencontreusement d form la somme alg brique qu tait l expression en un produit ils ont fait appara tre une multiplication l o il y avait une addition Une part de ces l ves avaient en t te qu il s agissait bien d une addition et trouvaient quand m me le bon r sultat mais les autres ont repris ce qu ils avaient marqu et ont distribu le 9x IIl Commutativit associativit Commutativit L addition et la multiplication sont des op rations commufatives ce qui n est pas le cas de la soustraction ni de la division Cela signifie qu on peut permuter les termes d une somme ou d un produit sans changer sa valeur Quels que soient les nombres a et b a b b a ab ba Associativit L addition et la multiplication sont des op rations associatives ce qui n est pas le cas de
19. as qu on veut dire deux tiers de un Produit Exemple Explication 7 Le nombre 1 peut tre implicite en tant que coefficient exposant diviseur ou m me en tant qu unit Certaines erreurs peuvent tre vit es simplement en explicitant le nombre 1 Voici trois exemples Erreur Fa on de l viter a a gt a a a 1la 14 irr ductible a xah gt a a xa a Xa a b ab b a b ab ax gt ax x c ac clc c 3x 1 gt 4x 3x luns est irr ductible On peut toujours calculer un produit de mon mes On multiplie les coefficients entre eux et les unit s entre elles 3x 2x 6x Il faut voir le produit de deux mon mes comme un poly produit 3x2 2x 3 x x x 2 x x 3 x 2 x x x x 6 x Degr d un mon me Dans un mon me dont l unit est litt rale le nombre de facteurs de l unit est le de gr du mon me 3aaabb est un mon me de degr 5 5g est un mon me de degr 3 Lorsqu il n y a qu une variable le degr correspond l exposant portant sur cette variable Polyn me Degr R duction 8 5 pouvant tre vu comme 5x on consid re que c est un q mon me de degr z ro Une somme de mon mes est un po y n me Le degr du polyn me est le plus grand degr de ses mon mes 4a b 5ab 3a b est un polyn me deux variables de degr 5 5x 2 5x 1 est un polyn me une variab
20. ateur s annule 0 amp a 0 b Alors qu un produit s annule si et seulement si l un de ses facteurs s annule ab 0 a 0 ou b 0 Deux remarques de logique math matique au passage L quivalence logique Le signe amp se lit quivaut Il se met entre deux affirmations math matiques pour dire qu elles sont quivalentes c est dire qu elles sont vraies en m me temps et fausses en m me temps Il a le m me sens qu un si et seulement si Le ou math matique Le ou de la langue courrante est plut t un ou exclusif C est dire un ou dans lequel chaque possibilit offerte exclue l autre Ainsi dans la phrase Il faut choisir tu entres XI La racine Racine carr e D finition 22 ou tu sors On imagine mal que le locuteur envisage d offrir son interlocuteur la possibilit de sortir et d entrer la fois au contraire il manifeste que si c est l un c est pas l autre Le ou math matique en revanche est par d faut un ou inclusif c est dire un ou qui inclus le et C est un ou ou et L affirmation a 0 ou b 0 est donc encore consid r e comme vraie m me lorsque les variables a et b s annulent toutes les deux Dans ce paragraphe racine signifiera par d faut racine carr e c est dire en fait racine du carr ce qu il y avait au d but la racine avant qu on lev t au carr La racine d un
21. e cube est gal a On le note 3a On a par exemple 3 8 2 30 XII Les puissances D finition Commentaire Lecture Recommandation Quels que soient le r el a et l entier naturel n non nul Puissance d exposant positif a 44 4 n facteurs 1 a a n Puissance d exposant n gatif lorsque 440 a 0 Puissance d exposant nul a 1 lorsque 40 0 n est pas d fini Dans a n est l exposant et a n a pas de nom on pourrait l appeler la base L op ration en elle m me s appelle lexponentiation Le r sultat est la puissance L identit a qui sert d finir les puissances a d exposant n gatif peut se dire Lorsqu on change l exposant en son oppos la puissance c est dire le r sultat est chang e en son inverse a peut se lire a puissance deux a deux ou a au carr On n crit jamais le coefficient derri re la variable comme dans a2 car la lecture orale a deux serait alors ambigu on ne saurait si le deux est un exposant ou un facteur Plac apr s la variable c est toujours un exposant Sans que ce soit toujours conscient l habitude est prise en math matiques et il est fortement recommand de la suivre de lire a b a deux plus b deux 31 a b a plus b au carr Au carr connote l l vation du tout au carr alors que deux qui
22. ement au nombre z ro 5 c est 5 unit s au dessous de z ro Un nombre relatif est form partir d un nombre naturel auquel on adjoint un signe pour indiquer dans quel sens on s est d plac partir de z ro D finition informelle Op rateur Notation La valeur absolue c est le nombre sans son signe On peut consid rer valeur absolue comme un op rateur qui arrache son signe un nombre relatif On lit valeur absolue de La valeur absolue de a se note a a On peut ainsi crire 5 5 l 5 5 36 Identification Mais puisque les nombres positifs sont identifi s aux nombres naturels on confond 1 et 1 on peut dire aussi que l op rateur valeur absolue positive un nombre 5 5 5 5 De ce point de vue l op rateur valeur absolue laisse comme ils sont les nombres positifs mais prend l oppos des n gatifs afin de les positiver C est pourquoi la d finition donn e dans les livres de math matiques est souvent D finition officielle Soit a un r el Sia gt 0 a a Sia lt 0 a a oppos de Si a est positif on n y touche pas S il est n gatif on en prend l oppos de fa on le rendre positif Remarque a n est pas forc ment un nombre n gatif a signifie l oppos de a Si a est n gatif c est dire si la lettre a contient un signe moins l oppos de a est alors positif
23. g 2t3 5 2 3 2 3 L erreur effective peut tre un m lange des deux une erreur a parfois plusieurs raisons d advenir On pourrait dire qu alors l erreur est surd termin e Pour calculer l inverse d une somme il faut d abord calculer 1 1 6 cette somme gt X Les quotients Trait de fraction Le trait de fractions sert originellement noter des fractions lesquelles ne sont pas proprement parler des quotients En 7 dE effet lu comme une fraction sept tiers signifie 7 fois 3 le tiers de un c est dire 1 divis par 3 puis multipli par 7 Il se trouve que cette quantit est gale 7 divis par 3 et que cette galit est vraie pour toute fraction a a b b C est pour cela que le trait de fraction a fini par remplacer le signe de la division Lorsqu on crit ce n est pas une x 1 fraction c est un quotient Un quotient crit avec un trait de fraction s appelleune criture fractionnaire Num rateur d nominateur Pour commencer le mot nominateur n a plus sa place en math matiques Il fut parfois utilis pour dire 18 mo mg d nominateur mais c est aujourd hui exclusivement un terme de droit canon Dans 7 dixi mes le 7 sert compter le nombre de parts C est le num rateur Le dix sert fabriquer le nom de l unit fractionnaire Il donne son nom l unit il sert la d n
24. ges par d fauts sont les r glages la sortie d usine qu on peut toujours modifier par la suite Exclusivit L apanage tait dans le r gime f odal une portion de territoire accord e un prince en compensation de son exclusion du pouvoir Apaner c tait donner son pain sa part quelqu un Relatif l tude des sciences epist m en grec c est la science hi rarchiser 39 Ordonner classer Du grec hieros sacr comme dans hi roglyphe et arkh commandement comme dans anarchie oligarchie monarque
25. gnes de la multiplication des nombres relatifs est faite pour que cette pseudo associativit fonctionne D placement d un terme Une somme alg brique n tant en fait qu une poly somme crite d une fa on un peu particuli re on peut d placer un chelon l int rieur de sa somme alg brique mais attention avec son signe V R duction Mon mes Un mon me est constitu de deux parties le coefficient qui dit combien il y en a et l unit qui nomme ce que l on compte coefficient unit type d unit i 5iuns unit num rique 31x Siab N i unit litt rale Dy 10 51 2 unit irrationnelle 7i quarts unit fractionnaire 9 cm unit de longueur Ce paragraphe et le suivant ne concernent que les cas o l unit est litt rale paragrap q Somme Pour r duire c est dire calculer une somme de mon mes il faut qu ils aient la m me unit Une somme de mon mes qui n ont pas la m me unit est irr ductible Exemples 3x 2x 5x Sur le mod le de 3 patates 2 patates 5 patates 5x 3x 2x Les coefficients sont des nombres relatifs mais le principe est le m me 2x 5x est irr ductible xX x est irr ductible C est 1x 1x 3x 5 3x 5Suns C est irr ductible L un plicite Souvent le nombre 1 est pr sent sans tre dit Par exemple on dit trois cents deux cents mais pas un cent Ou encore dans deux tiers on ne pr cise p
26. l oppos ressortit l addition alors que l inverse concerne la multiplication Oppos Inverse 16 Deux nombres sont oppos s lorsque leur somme est nulle L oppos de 2 est 2 L oppos fait le contraire du point de vue de l addition ajouter l oppos de deux c est soustraire deux L op rateur oppos de se distribue sur les sommes alg briques a b c a b c Deux nombres sont inverses lun de l autre lorsque leur produit est gal 1 1 L inverse de 2 est a b oy a L inverse de est L inverse de a est l inverse de donc a 1 a L inverse fait le contraire du point de vue de la multiplication Diviser par un nombre revient multiplier par son inverse Ce th or me peut servir calculer un quotient de fractions N 2 7 14 x 3 5 15 NITY _ 5 po 7 Diviser par 7 revient multiplier par z Prendre l inverse ne change pas le signe l inverse de 2 est 1 2 Z ro n a pas d inverse Question il y a deux nombres qui sont leur propre inverse Lesquels Inverse d une somme J L inverse de la somme n est pas la somme des inverses 17 Cette distribution na ve de l op rateur inverse de 1 produit des erreurs du genre ITI 1x 2 3 5 2 3 La m me erreur pourrait aussi tre provoqu e par une distribution na ve d un num rateur sur une somme 1 1 1 I q o
27. le de degr 3 On classe traditionnellement les mon mes par degr d croissant D apr s ce que nous avons vu dans le paragraphe pr c dent dans un polyn me on peut compter ensemble les mon mes de m me unit mais une somme de mon mes qui n ont pas la m me unit est irr ductible Ainsi une somme comme x x est une somme de deux mon mes d unit s litt rales diff rentes 1xx 1xxx Elle est irr ductible Cette irr ductibilit est garantie par un th or me abord en premi re mais d montr seulement apr s le bac qui dit que sous sa forme habituelle d velopp e r duite ordonn e un polyn me ne s crit que d une seule fa on Donc une fois que les mon mes de m me unit litt rale ont t compt s ensemble on ne peut pas r duire davantage Il est important de savoir quelles sont les expressions qui sont irr ductibles c est dire celles pour lesquelles il n y a plus de calcul faire car si l on croit tort qu il faut continuer un calcul on finit par commettre une erreur force de tourner en rond VI Les d veloppements Op rateur Une op ration porte sur deux termes Par exemple le signe op ratoire X est comme muni de deux places vides qui Remarque Les distributivit s 9 attendent les deux facteurs Ux Si l on remplit l une des deux places seulement par exemple avec un 3 on fabrique P P P q une criture qui donne l ordre de multiplier
28. ne prend qu une syllabe donnera plut t l impression de ne concerner que le dernier terme Exposant Indice L exposant crit en petit en haut droite n a pas le m me A D H s FLE Js r r le qu un indice crit en petit en bas droite L indice n a rien voir avec les puissances L indice est un num ro La notation indicielle permet de disposer simplement d une infinit de lettres pour d signer une infinit d objets math matiques 41 42 43 44 455 46 o L indice peut tre lui m me une lettre ou une expression An amp An 1 er n p tp Produit de puissances d un m me nombre 4 X4 a On peut r duire un produit de puissances d un m me nombre Alors les exposants s additionnent Commentaires Lorsque les exposants sont positifs cette identit se comprend ais ment si l on passe par l criture en p o y pro duit aa aa aaa aaaaa On appellera ici poly produit les produits de plusieurs termes notamment de plus de deux termes Si l on crit l galit dans l autre sens on peut l interpr ter en disant que la base transforme les sommes en produits C est d ailleurs une propri t caract ristique des puissances que d op rer ce lien entre l addition et la multiplication a xa Une propri t caract ristique est une propri t qui n appartient qu l objet en question de sorte qu elle aurait pu servir de d finition Par exemple le fait pour un
29. ommer comme dans le d nomm monsieur Bidule C est le d nominateur Dans une criture fractionnaire on parlera souvent par abus de langage de num rateur et de d nominateur au lieu de dividende et de diviseur Simplifier un quotient On peut diviser ou multiplier par un m me nombre le num rateur et le d nominateur d une criture fractionnaire sans changer sa valeur a b c b c ad d Exemples oN EENS z 3 Simplifications sauvages Mais c est le num rateur pris dans son entier consid r globalement qu il faut diviser et non pas une partie seulement idem pour le d nominateur bien entendu Voici ab c 4 1 ad e d e qu en effet cette simplification est erron e sur le contre 2x4 14 4 14 exemple suivant x ko Avant la 2x5 1 5 1 simplification abusive cette expression num rique vaut 2 q une erreur courante On pourra constater alors qu apr s elle vaut 3 Cette erreur consistant prendre la partie pour le tout survient aussi dans d autre contextes On pourrait l appeler erreur par synecdoque On voit parfois des simplifications plus fantaisistes encore a a a d a Zae gt b b b d b 19 Distributions na ves Un facteur ne se distribue pas sur un quotient 6 Exemple d erreurs 2x 2 T s 7 14 2 2k x he 7 2 k 2k k Pour viter ces erreurs faire appara tre le d nominateur 1 3 2 3 6 2 k 2 2k X X x X
30. on pourrait appeler erreur pist mologique Si l on utilise la calculatrice dans le mode de calcul d cimal usuel pour obtenir l galit suivante J2 x 2 2 alors on commet une telle erreur bien qu on crive une galit vraie Car la calculatrice aura obtenu le r sultat en travaillant avec des valeurs approch es Elle calcule une ou deux d cimales de plus que son cran ne peut en afficher et fait un arrondi donc elle affiche finalement 2 mais en tant que valeur approch e Le math matique signifie exactement gal Donc les 7 affirmations n 3 14 et 2 33 sont fausses 26 Une autre erreur pist mologique consiste mesurer sur un dessin pour obtenir une longueur ou un angle Si vous ne comprenez pas pourquoi cet acte de mesurer n a aucun sens en math matiques il vaut mieux poser la question S il fallait hi rarchiser on pourrait dire que les erreurs pist mologiques sont les plus graves puisqu elles mettent en vidence une incompr hension de ce que sont les math matiques Th or me Lorsque n est un entier naturel Un est soit un entier soitunirrationnel Exemples V2 43 V5 V6 V7 sont des nombres irrationnels D monstration Le cas g n ral demande quelques th or mes d arithm tique qui ne sont pas abord s en seconde mais nous pourrons du moins d montrer en classe l irrationalit de V2 Racine d une somme La racine de
31. onvertir les mon mes dans une unit commune et contrairement au cas des fractions ce n est pas toujours possible Il faut pour cela en utilisant la distribution du radical sur les produits sortir les carr s qui seraient cach s dans le radicande Ainsi certaines sommes deviennent r ductibles V8 418 24V2 302 5V2 Les radicaux au d nominateur l 4 Que ce soit dans une expression num rique ou alg brique il est important de se d barrasser des radicaux au d nominateur car cela permet souvent de remarquer des simplifications qui seraient pass es inaper ues autrement Il est toujours possible d liminer les radicaux au d nominateur Lorsque le d nominateur est lui m me une racine il suffit de multiplier en haut et en bas par cette racine 1 1x42 V2 V2 V2x2 2 Si le d nominateur est une somme contenant une racine ou plusieurs on peut multiplier cette somme par sa quan tit conjugu e La quantit conjugu e de X est tout b tement X Exemple 1 1x V2 1 2 1 2 1 Fa cae 2 1 7 29 Racine d une fraction Racine cubique Lorsqu il y a une racine de fraction on peut toujours s arranger pour n avoir plus qu une racine d entier dans l expression on distribue le radical sur le quotient et l on se ram ne ainsi au cas du paragraphe pr c dent 8_V8 202 _2V2xV3 206 2 amp 3 3 V3 3x3 3 3 La racine cubique de a est le r el dont l
32. par trois X3 C est un op rateur Il faudrait distinguer l op rateur 1 qui donne l ordre g P q d ajouter 1 du nombre relatif 1 qui indique une position par rapport z ro Par extension prendre la racine lever au carr peuvent tre vus comme des op rateurs Un op rateur est comme une fonction l mentaire Le mot op rateur a parfois le sens de signe op ratoire mais nous ne l emploierons jamais en ce sens Nous dirons qu un op rateur se distribue sur les produits pour dire qu il se distribue sur les produits et les quotients et qu un op rateur se distribue sur les sommes pour dire qu il se distribue sur toutes les sommes alg briques Les facteurs se distribuent sur les sommes pas sur les produits Les exposants se distribuent sur les produits pas sur les sommes Exemples Identit a b c d ab ac ad ab at En revanche a by a b Les galit s ci dessus sont toujours vraies pour toutes les valeurs qu on peut donner leurs variables On dit que ce sont desidentit s La double distribution Pour d velo pper un produit de deux sommes on distribue chaque terme de la premi re somme sur chaque terme de la seconde Rappelons que d velopper est un mot Exemple D monstration 10 qui dans un texte math matique signifie distribuer les termes d une expression et non pas d tailler les calculs a bc d e ac ad
33. trois termes dans les parenth ses a Il reste remplir les places vides a b c d la fin il faut v rifier qu en d veloppant on retrouve la somme donn e au d part x 1 3x 5 x 1 2x 4 Factorisons Autre cas Factorisation na ve 13 Ce genre d expression est d j moiti factoris e Il faut r sister la tentation de la d velopper car ce serait revenir en arri re on ne tenterait cette m thode qu en dernier recours L expression est de la forme AB AC qui se factorise facilement par la m thode pr c dent AB AC A B C Il suffit de consid rer que A repr sente l expression x 1 que B repr sente 3x 5 et que C repr sente 2x 4 Ainsi l galit pr c dente devient par substitution x 1 3x 5 x 1 2x 4 x 1 3x 5 2x 4 Il reste r duire le facteur entre crochets x 1 3x 5 2x 4 x 1 5x 9 Il Ensuite il faudra faire des exercices et poser des questions d s que vous ne comprenez pas Sauriez vous dire ce qu on doit mettre la place du 2 qui est erron 4x 6 2x 2 gt 22x 3 x 1 Pseudo factorisations na ves On trouve aussi des erreurs du genre a b gt a b 3 4 h gt 7 L l ve a su expliquer son erreur r trospectivement en disant Voici une erreur rencontr e en quatri me qu il avait vu le carr comme une unit comme cm et qu il n tait donc
34. ts Serait ce qu un radical est un exposant Eh bien oui les math maticiens ont eu beaucoup de bonnes raisons de consid rer que prendre la racine 1 revenait lever la puissance gt g g Irrationalit 25 Certaines racines sont incalculables Elles ne peuvent s crire sans radical commencer par V2 Plus pr cis ment V2 ne peut s crire sous forme de fraction c est ce qu on appelle un nombre irraftionnel Les nombres rationnels tant au contraire ceux qui s crivent sous forme de fraction Les nombres irrationnels ont une criture d cimale infinie et non p riodique Une criture d cimale est dite p riodique lorsqu partir d un certain endroit elle se r p te ind finiment Exemple 12 48181818181 Tous les nombres que l on peut exprimer avec les dix chiffres les op rations usuelles et m me la virgule peuvent se mettre sous forme de fraction Puisque V2 ne peut tre mise sous forme de fraction il tait n cessaire pour l exprimer d inventer une nouvelle notation Erreur pist mologique La valeur que donne la calculatrice lorsqu on lui demande la racine de deux n est pas une valeur exacte mais une valeur approch e Et il n est pas question en math matiques de travailler avec une valeur approch e comme si c tait une valeur exacte ce serait commettre une erreur portant sur la nature m me des math matiques erreur qu d faut d autre terme disponible
35. ui peuvent tous tre ramen s au dernier cas Le plus addition 2 2 Le plus positif 2 Le plus neutre qui ne fait rien a Somme alg brique Une somme alg brique est une succession de termes s par s par des et de Exemple a b c Nous appellerons ces signes et des signes alg briques Il ne faut pas voir les signes alg briques comme des signes op ratoires mais comme des signes pr dicatoires c est dire non pas plac s entre des termes mais devant un terme amp a b c doitselire a b c o les silences les espaces marquent une addition implicite alors que les signes et sont les plus neutre et moins oppos a b c signifie en fait a b c Nous appellerons les termes de la somme alg brique consid r s avec leur signe alg brique bien entendu des chelons Soustraction M me une diff rence ne doit pas tre vue comme une diff rence mais comme une somme alg brique a b signifie a b 9 10 doit tre interpr t ainsi 9 10 Les points de suspension marquent l encore une addition implicite De sorte qu on pourrait dire qu avec les nombres relatifs la soustraction dispara t Pseudo associativit 2a peut indiff remment tre vu comme 2 a ou comme 2a Ces deux expressions ont toujours la m me valeur On peut m me dire que la r gle des si
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