activites de recherche
Contents
1. rendre ce formalisme rigoureux Lorsque le processus de Markov sous jacent n est pas dans sa mesure d quilibre l instant initial une difficult suppl mentaire consiste tenir compte de la condition initiale On peut esp rer pouvoir utiliser le formalisme de r ponse au moins lorsque la condition initiale est suffisamment proche de la mesure d quilibre suppos e connue Un cas d tude possible est celui de l quation de croissance de Kardar Parisi Zhang KPZ illustr e ces derni res ann es par de nombreux travaux en dimension 1 de Spohn Quastel Corwin Hairer mais en trois dimensions d espace ou plus avec un cut off ultra violet ou en d autre termes en utilisant une r gularisation locale du bruit blanc L tude perturbative du groupe de renormalisa tion pr dit que le terme non lin aire est non pertinent dans la limite grande distance grand temps avec scaling parabolique et donc que la solution se comporte asymptotiquement comme une quation de la chaleur stochastique Un autre probleme bien connu est celui de V quation d Allen Cahn cens e repr senter le comportement d un syst me de spins unidi mensionnels tremp s brutalement basse temp rature partir d une temp rature sup rieure la temp rature critique Le bruit essentiel est alors dans les conditions initiales qu on peut supposer al atoires avec une corr lation faible distance Le r gime de croissance des in2. Analyse harmonique sur les groupes de Lie semi simples R f A1 4 Mon travail de th se et un certain nombre d articles sur la p riode 1999 2002 portent sur l tude de l analyse harmonique sur les groupes de Lie semi simples notamment la dualit entre un espace sym trique pseudo riemannien G H comme l espace de de Sitter ou hy perboloide un feuillet et son dual compact U K comme la sph re ainsi que l tude des fonctions et distributions sph riques sur un espace sym trique pseudo riemannien l aide des op rateurs de shift introduits notamment par Cherednik et Opdam avec des applications des formules de type Plancherel ou Paley Wiener Suite l impulsion donn e par le groupe de travail physique math matiques organis Nancy je me suis alors graduellement r orient vers d autres th matiques dans lesquelles la th orie des groupes a souvent sa part B G om trie des groupes de sym tries dynamiques de dimension infinie et applications physiques La p riode 2003 2007 a t essentiellement consacr e l tude d une alg bre de Lie dite de Schr dinger Virasoro d un point de vue alg brique g om trique et physique Il s agit d une alg bre de Lie de dimension infinie sv produit semi direct de l alg bre de Virasoro de charge centrale nulle Vect S autrement connue comme alg bre de champs de vecteurs sur le tore cf monographie r cente de L Guieu et C Roger GuiRog
3. ce qu on appelle operator product expansions ou d veloppements en produits op ratoriels en th orie quantique des champs fait appara tre des coefficients qui semblent jouer le r le de coefficients de Christoffel sur les groupes de Carnot Carath odory De l on peut esp rer tirer de nouvelles d finitions de connexions sur ces vari t s sous riemanniennes probl me de g om trie bien connu objet de nombreux travaux r cents cf travaux d A Agrachev L Rifford F Baudoin N Juillet et sujet des controverses 4 Le mod le initial se g n ralise au brownien fractionnaire de r gularit quelconque en faisant intervenir dans l interaction les donn es d arbres morceaux en Fourier d int grales it r es arborescentes d finies ant rieurement dans l tude alg brique g n rale des chemins rugueux A cot de ces questions d essence g om trique subsistent des questions fondamentales sp cifiquement probabilistes Des travaux en cours semblent montrer 1 qu on peut d montrer un th or me d existence globale des solutions d quations diff rentielles stochastiques dirig es par un processus gaussien a Hdlder sous des conditions de type Lipschitz 2 que l extension naturelle du calcul de Malliavin aux chemins rugueux est un calcul de Malliavin ordonn en Fourier pour lequel les d riv es sont relatives non seulement au champ mais toutes les donn es d arbres associ es Les op rateurs de
4. G Orlandi D Smets Convergence of the parabolic Ginzburg Landau equation to motion by mean curvature Ann Math 163 2006 CMST P Caputo F Martinelli F Simenhaus F Toninelli Zero temperature stochastic 3d Ising model a first step towards interface mean curvature motion arXiv 1007 3599 4 Liste de publications L essentiel des publications se trouve sur arXiv et peut galement tre t l charg a partir de ma page http www iecn u nancy fr unterber articles html Les travaux concernant la physique math matique partie B ont t r unis dans l ouvrage suivant pi ce jointe en collaboration avec C Roger The Schr dinger Virasoro algebra Mathematical structure and dynamical Schrodinger symmetries Monographie parue chez Springer Theoretical and mathematical physics 2012 Les travaux concernant les chemins rugueux partie C ont fait l objet d un article de synth se paru dans la gazette de la SMF janvier 2012 dont une copie est disponible sur ma page web Les techniques de th orie constructive des champs ont fait l objet d un article de revue 10 pi ce jointe Mode d emploi de la th orie constructive des champs bosoniques Avec une application aux chemins rugueux A para tre a Confluentes Mathematicae A Analyse harmonique sur les groupes de Lie semi simples 1 en collaboration avec N B Andersen Harmonic analysis on SU n n SL n C x Ri J Lie Theory 10 311 322 20
5. f C10 11 vont beaucoup plus loin puisqu ils montrent que le brownien fractionnaire et ses int grales it r es d finissent en v rit un nouveau mod le non local de th orie des champs dont le flot du groupe de renormalisation est tr s particulier Le mod le est bien d fini toutes les chelles comme une analyse pouss e suivant les lignes g n rales de la th orie constructive des champs permet de le montrer L article de revue R f C12 r sume les principes g n raux de la th orie constructive malheureusement peu connue en dehors d un petit cercle d experts cf livre de V Rivasseau Riv et montre comment les appliquer aux chemins rugueux La compr hension g om trique et physique de ces mod les non locaux ainsi que l application syst matique des outils de la th orie des champs au calcul stochastique et la g om trie sous riemannienne sous jacente sont en cours cf projet I ci dessous Bibliographie CK A Connes D Kreimer Hopf algebras renormalization and non commutative geometry Comm Math Phys 199 1998 FV P Friz N Victoir Multidimensional dimensional processes seen as rough paths Cambridge Univ Press 2010 Mon R Montgomery A tour of subriemannian geometries their geodesics and applications AMS 2002 Riv V Rivasseau From perturbative to constructive renormalization Princeton series in physics 1991 3 Projets de recherche I G om trie locale al atoire des ch
6. naturelle en termes du produit et du coproduit des alg bres de Hopf d arbres de Connes et Kreimer celle ci rendue c l bre par les travaux alg briques sur la renormalisation des int grales de Feynman CK et de shuffle Nous montrons en fait l aide d une construction combinatoire s interpr tant comme un iso morphisme explicite d alg bres de Hopf R f C8 que tout chemin rugueux formel s obtient par l algorithme de mise en ordre normal de Fourier partir de donn es d arbres ou donn es ordonn es en Fourier arbitraires index es par des arbres lt N sommets 2 Sch mas de r gularisation sch ma de renormalisation Les donn es d arbres peu vent se construire par r gularisation des int grales squelette La mise en ordre normal de Fourier s av re ici tre cruciale pour des raisons d ordre analytique Les sch mas de r gularisation tr s arbitraires a priori comme celui de domaine de Fourier d velopp ini tialement cf R f C4 6 reposent sur des m thodes multi chelles La R f C9 introduit un nouveau sch ma plus intrins que provenant du sch ma de renormalisation classique en th orie des champs connu sous le nom de formule des for ts de Bogolioubov Parasiuk Hepp Zimmermann BPHZ l aide d une r criture des int grales it r es en termes de diagrammes de Feynman 3 Les derniers travaux avec J Magnen du laboratoire de physique th orique de l Ecole Polytechnique R
7. par une alg bre de Lie nilpotente de rang 2 de dimension infinie L introduction de cette alg bre par M Henkel du laboratoire de physique des mat riaux de Nancy en 1994 tait motiv e par la recherche d une hypoth tique invariance d chelle locale en physique statistique hors quilibre calqu e sur invariance conforme responsable de l int grabilit de quantit de mod les a l quilibre au point critique en dimension 2 dont les principaux paradigmes sont le mod le d Ising et la percolation rendus c l bres r cemment par les travaux de Lawler Schramm Werner et S Smirnov Dans le cas d un exposant dynamique z 2 qui appara t dans un certain nombre de mod les physiques explor s notamment par M Henkel et ses collaborateurs la g om trie sous jacente est la g om trie non relativiste ou g om trie newtonienne qui se formalise l aide des vari t s de Newton Cartan cf travaux de C Duval Duy et collaborateurs L alg bre sv peut tre introduite comme alg bre de sym tries dans ce contexte 1 Approche alg brique Une analyse assez pouss e des propri t s cohomologiques de l alg bre sv d formations extensions de ses extensions supersym triques et de ses repr sentations a t men e en collaboration avec C Roger du d partement de math matiques de l universit Lyon I et M Henkel R f B2 3 5 On obtient des g n ralisations non triviales de r sultats obtenus ant rieurement p
8. s mal connus objet de recherches actuelles cf livre classique de Montgomery Mon Nous avons introduit partir de 2007 de nouvelles approches alg briques et physiques perme ttant de construire des rel vements explicites provenant de motivations physico g om triques encore largement lucider Un r le fondamental comme nous l avons montr est tenu par les int grales squelette ou int grales ordonn es en Fourier obtenues par une analyse de Fourier et motiv es en fin de compte par les r sultats de l analyse en ondelettes ou multi chelles De mani re g n rale les probabilit s fournissent les exemples et les applications les plus probants actuellement et sous tendent les d monstrations originelles une partie des r sultats obtenus R f C1 3 4 5 7 concerne plus sp cifiquement le brownien fraction naire famille de processus gaussiens d pendant de a comprenant le brownien usuel et pour lesquels on ne savait pas construire les int grales it r es en dessous de la barri re a 1 4 ou N 4 Il semble que les probabilit s doivent jouer un r le m me dans l tude des chemins d terministes 1 Algorithme de mise en ordre normal de Fourier Les int grales squelette se codent comme des int grales arborescentes d un type particulier Les relations classiques de com patibilit alg brique dites de Chen et de de shuffle quivalentes la notion g om trique de rel vement s interpr tent de mani re
9. terfaces entre les domaines o le spin est positif et ceux o il est n gatif a t tudi par de tr s nombreux auteurs physiciens ou math maticiens De Masi Presutti Giacomin Evans Soner Souganidis Caputo Martinelli Simenhaus Toninelli Bray Mazenko Cugliandolo en lien avec le flot de courbure moyenne La difficult suppl mentaire de taille est ici dans la condition initiale d sordonn e qu on peut esp rer traiter avec un m lange de techniques probabilistes et de th orie des champs Les m mes questions se posent pour des spins a valeurs complexes on obtient alors une quation de Ginzburg Landau d pendant du temps avec condition initiale d sordonn e cf travaux de Bethuel Orlandi Smets La question de l tablissement du r gime initial de s paration de phases doit pouvoir se traiter par des techniques de limites hydrodynamiques cf travaux de Varadhan Kipnis Landim ce qui pourrait constituer un sujet de th se pour un tudiant Signalons enfin que les outils d analyse r elle curvelets pr sent s dans le paragraphe pr c dent appliqu s au mod le temp rature finie r crit en termes d une th orie lagrangienne grce au formalisme dit de Keldysh pourrait permettre terme d tablir la loi de Fourier de conduction de la chaleur sujet de nombreuses investigations r centes cf articles de Bernardin Olla Eckmann Hairer Spohn Bricmont Kupiainen R f rences BOS F Bethuel
10. 00 2 en collaboration avec F Ricci Solvability of invariant sublaplacians on spheres and group contractions Rend Mat Acc Lincei 9 12 27 42 2001 3 Hypergeometric functions of second kind and spherical functions on an ordered symmetric space Journal Functional Analysis 188 137 155 2002 4 en collaboration avec N B Andersen An application of shift operators to ordered symmetric spaces Annales Institut Fourier 52 1 275 288 2002 B G om trie des groupes de sym tries dynamiques et applications physiques 1 en collaboration avec M Henkel Schr dinger invariance and space time symmetries Nuclear Physics B660 407 435 2003 2 pi ce jointe en collaboration avec C Roger The Schr dinger Virasoro Lie group and algebra representation theory and cohomological study Annales Henri Poincar 7 1477 1529 2006 3 en collaboration avec M Henkel Supersymmetric extensions of Schrodinger invariance Nu clear Physics B746 155 201 2006 4 en collaboration avec M Henkel R Schott et S Stoimenov On the dynamical symmetric algebra of ageing Lie structure representations and Appell systems Quantum Probab White Noise Anal 20 233 240 2007 5 On vertex algebra representations of the Schr dinger Virasoro algebra Nuclear Physics B823 3 320 371 2009 6 pi ce jointe en collaboration avec C Roger A Hamiltonian action of the Schr dinger Virasoro algebra on a space of periodic time depend
11. 2005 Ecole d t de physique statistique au Luxembourg Ageing and the glass transition automne 2005 Invitation en mars et juin 2006 au Newton Institute de Cambridge Angleterre pour participer au semestre Principles of Stochastic Dynamics physique statistique hors quilibre 2008 invitations pour s minaire aux universit s de Chemnitz et de Frankfurt Alle magne Avril 2010 invitation parler la conf rence workshop du trimestre Combinatorics and Control CSIC Madrid Novembre 2010 invitation parler au s minaire de probabilit s l Universit d Oxford par T Lyons 13 19 mars 2011 invitation parler au workshop Renormalization group l Institut de recherches math matiques d Oberwolfach organisateurs M Disertori J Feldman M Salmhofer d cembre 2011 invitation par H Spohn l universit de Munich Allemagne janvier 2012 invitation par M Hairer l universit de Warwick Royaume Uni Printemps 2012 invitation au Hausdorff Research Institute Bonn Allemagne pour le programme trimestriel Mathematical challenges of materials science and condensed matter physics from quantum mechanics through statistical mechanics to nonlinear pde organisateurs S Conti R James S Luckhaus S M ller M Salmhofer B Schlein 5 11 ao t 2012 conf rencier invit au Congr s International de Physique Math matique ICMP se tenant Aalborg Danemark Invitations e
12. Activit s de recherche J Unterberger Institut Elie Cartan de Nancy IECN Page web http www iecn u nancy fr unterber 1 Rayonnement scientifique Collaborations scientifiques Collaborations suivies avec Malte Henkel Laboratoire de Physique des Mat riaux Nancy Claude Roger D partement de math matiques Universit Lyon 1 Samy Tindel IECN Nancy Andreas Neuenkirch d partement de math matiques Frankfurt Albrecht B ttcher d partement de math matiques Chemnitz Vincent Rivasseau laboratoire de physique th orique Orsay e Jacques Magnen laboratoire de physique th orique Ecole Polytech nique et Fabien Vignes Tourneret CNRS Universit Lyon I Groupes de travail et rencontres r guli res 2000 2005 co organisation d un groupe de travail physique math matiques VIECN autour de sujets divers th orie quantique des champs syst mes int grables th orie conforme des champs et quation de Lowner stochastique fondements probabilistes de la physique statistique hors quilibre Des archives d taill es se trouvent sur ma page web lien groupe de travail phys math 2001 2004 participation annuelle aux Rencontres math matiques de Glanon organis es par l universit de Bourgogne autour de la physique math matique et de la g om trie de Poisson 2007 2008 participation au groupe de travail Aspects fractals du laboratoire de prob abilit s LPMA de Paris VI 2008 2009 co organisatio
13. d le conduisent aux r sultats suivants confirmer 1 A l aide du formalisme de champ de r ponse de Martin Siggia Rose jouant ici le r le d une transformation de Girsanov le champ quasi Gaussien modifi par l interaction peut se r crire comme solution d une quation diff rentielle stochastique singuli re lim ite d une suite d quations diff rentielles stochastiques tronqu es dans l ultra violet De mani re g n rale ces quations diff rentielles sont en fait int gro diff rentielles elles font intervenir tout le pass de la trajectoire L norme diff rence avec le mod le initial est que ces quations diff rentielles sont trajectorielles Elles existent donc aussi au moins formellement pour des chemins d terministes quelconques 2 Lorsque a 1 4 un autre mod le conduit une v ritable quation diff rentielle et non int gro diff rentielle bien que toujours singuli re ne d pendant que de la valeur du chemin et de son aire l instant donn Le terme de drift d rive fait intervenir un bruit blanc ind pendant de la trajectoire Ce bruit blanc conduit faire tourner le chemin de mani re al atoire En renormalisant directement l quation diff rentielle par des m thodes constructives adapt es on voit appara tre une viscosit de laire emp chant de diverger 3 L tude des singularit s sur la diagonale de produits de donn es ordonn es en Fourier correspondant
14. d rivation se comprennent en termes de d veloppements en produits op ratoriels Ce calcul de Malliavin devrait sans doute permet tre de r soudre des quations diff rentielles stochastiques avec une condition d hypoellipticit de type H rmander ou bracket generating II Explorations constructives physique quantique Le projet pr c dent m a permis de m approprier les techniques constructives en th orie des champs cf mon article de revue sur le sujet C12 C est bien entendu l occasion d appliquer ces techniques dans des contextes tout fait diff rents Deux projets sont en cours le premier avec Jacques Magnen le deuxi me avec Jacques Magnen et Fabien Vignes Tourneret de l universit de Lyon I 1 Etude constructive de la transition de phase supraconductrice Les travaux de Magnen Rivasseau Feldman Trubowitz et al FMRT sur le mod le BCS supraconducteurs basse temp rature ont montr dans les ann es 90 comment comprendre l apparition du gap d nergie A caract ristique de la supraconductivit en partant du mod le du jellium Seules les premi res tapes d une renormalisation constructive de ce mod le ont t r alis es Un d veloppement en 1 N N nombre de secteurs sur la sph re de Fermi divergeant exponen tiellement dans l infra rouge devrait permettre de faire appara tre la transition de phase et de construire le mod le toute temp rature Les id es sont pr sentes en ger
15. e loin l alg bre de Schrddinger Virasoro Les r ponses s il y en a n cessiteront on peut le parier un long d tour par les probabilit s et la th orie des champs Bibliographie ArnKhe V Arnold B Khesin Topological methods in hydrodynamics DiF P Di Francesco P Mathieu D S n chal Conformal field theory Springer 1997 Duv C Duval On Galilean isometries Class Quantum Grav 10 1993 GuiRog L Guieu C Roger L alg bre et le groupe de Virasoro aspects g om triques et alg briques CRM Montreal 2007 HenPle M Henkel M Pleimling Non equilibrium phase transitions Springer 2010 KheWen B Khesin R Wendt The geometry of infinite dimensional groups 2009 Kir A A Kirillov Infinite dimensional Lie groups their orbits invariants and representations LNM 970 1982 LL H Lewis P Leach A direct approach to finding exact invariants for 1d time dependent classical Hamiltonians J Math Phys 23 1982 C G om trie locale des chemins rugueux approches alg briques et physiques applications au calcul stochastique La r solution d une quation diff rentielle classique dy t V y t dy t contr l e par un chemin y R gt R comme des quations d volution de mani re plus g n rale repose sur des m thodes de point fixe les it rations faisant appara tre des int grales it r es du chemin y contre lui m me qui s interpr tent g om triquement comme les aires e
16. emins ANR Exploration des chemins rugueux et GDR Renormalisation Le projet en collaboration avec Jacques Magnen du laboratoire de physique th orique de VEcole Polytechnique l intersection entre g om trie sous riemannienne calcul stochas tique et th orie quantique des champs est dans la continuation directe des travaux pr c dents sur les chemins rugueux Le fil conduit d un probl me probabiliste sp cifique vers une ap proche g n rale inspir e par la physique et la combinatoire alg brique travers les d dales de la th orie des champs Notre mod le initial s obtient partir de la mesure gaussienne du du brownien fractionnaire en rajoutant un lagrangien d interaction quadratique en l aire de L vy int grale it r e d ordre deux A toute chelle de coupure ultra violette p coupant les fluctuations dont le logarithme de la fr quence est sup rieur p on associe la mesure de Gibbs PY gape OSE dule On d montre a l aide d une renormal isation constructive i e non perturbative autrement dit math matiquement rigoureuse que la mesure limite P limp P d finit un brownien fractionnaire donc des trajec toires al atoires indistinguables des trajectoires gaussiennes initiales engendrant une aire sign e ou aire de L vy finie si l indice a de r gularit ou de Hurst du processus est dans Vintervalle a 1 8 1 4 Des r interpr tations successives de ce mo
17. ent Schrodinger operators in 1 1 dimensions Journal of Nonlinear Mathematical Physics 17 3 257 279 2010 7 pi ce jointe A classification of periodic time dependent generalized harmonic oscillators using a Hamiltonian action of the Schr dinger Virasoro group Confluentes Mathematicae 2 2 217 263 2010 C G om trie locale des chemins rugueux 1 Stochastic calculus for fractional Brownian motion with Hurst exponent H gt 1 4 a rough path method by analytic extension Annals Probability 37 2 565 614 2009 2 en collaboration avec S Tindel The rough path associated to the multidimensional analytic fractional Brownian motion with any Hurst parameter Collectanea Mathematica 62 2 197 2011 3 A central limit theorem for the rescaled L vy area of two dimensional Brownian motion with Hurst index H lt 1 4 Preprint arXiv 0808 3458 Non publi 11 11 A stochastic calculus for multidimensional fractional Brownian motion with arbitrary Hurst index Stochastic Processes and Applications 120 8 1444 1472 2010 en collaboration avec A Neuenkirch et S Tindel Discretizing the fractional L vy area Stochastic Processes and Applications 120 2 223 254 2010 Holder continuous rough paths by Fourier normal ordering Communications in Mathematical Physics 298 1 1 36 2010 Moment estimates for solutions of linear stochastic differential equations driven by analytic fractional Brownia
18. imension finie nous avons obtenu une classification la Kirillov Kir de ces orbites l aide de formes normales R f B7 La r solution explicite de ces op rateurs l aide des invariants d Ermakov Lewis introduits en physique quantique peut se r interpr ter dans ce cadre la combinaison des outils alg briques g om triques et analytiques permet en fin de compte de d terminer la monodromie de ces op rateurs Dans un travail en collaboration avec C Roger R f B6 nous montrons en utilisant la r alisation de sp comme quotient d une alg bre de Poisson comme ci dessus que l action de sv sur l espace g n ral des op rateurs de Schr dinger est hamiltonienne pour une certaine structure de Poisson obtenue comme projection d une structure la Kirillov Kostant Souriau Une monographie sur l ensemble de ces r sultats en collaboration avec C Roger vient d tre publi e chez Springer R f B8 L alg bre de Schr dinger Virasoro peut tre vue comme un premier essai de formalisation des sym tries de syst mes vari s ayant pour point commun d tre l objet d une dynamique apparent e de pr s ou de loin une quation de Schr dinger ou parabolique cf livre r cent de Henkel et Pleimling HenPle La signature intuitivement la plus claire de la pertinence de cette alg bre est l invariance de la dynamique sous le groupe de Schr dinger ou sous le sous groupe des transformations de vieill
19. issement dans lequel l invariance par translation en temps a disparu Malgr le livre R f B8 r cemment publi nous consid rons que le projet n en est qu ses d buts Pour le faire voluer il faut de toute vidence s loigner des quations aux d riv es partielles lin aires consid r es jusqu pr sent pour se rapprocher des probl mes physiques non lin aires qui l ont motiv initialement Parall lement l tude proprement math matique la fa on d Arnold et Khesin m canique hamiltonienne en dimension infinie associ e des groupes de diff omorphismes de cette alg bre est loin d tre achev e les tapes suivantes devraient galement faire appara tre des quations aux d riv es partielles non lin aires 1 Dans les travaux de Lewis et Leach LL on trouve clairement la trace de nou velles classes d quations de Schr dinger non lin aires encore non identifi es apparaissant lorsqu on cherche des invariants de degr gt 3 2 L article R f B6 portant sur la nature hamiltonienne de l action par reparam trisation sur les quations de Schr dinger augure de l existence de syst mes int grables bi hamiltoniens sur lesquels nous n avons pas eu le temps de nous pencher encore 3 Reste la question lancinante de comprendre si des mod les dynamiques critiques satisfont une invariance sous un groupe de diff omorphismes de l espace temps de dimension infinie reli de pr s ou d
20. laboration avec M Henkel A Picone et M Pleimling Local scale invariance and its applications to strongly anisotropic critical phenomena Mathematical Physics Frontiers Nova Science New York 2004 The Schr dinger Virasoro Lie algebra a mathematical structure between conformal field theory and non equilibrium dynamics Journal of Physics Conference Series 40 156 2006 12
21. me dans ces articles mais n ont jamais t pouss es jusqu au bout Il s agirait du premier mod le non int grable avec transition de phase tudi int gralement par des m thodes rigoureuses de th orie des champs 2 Etude constructive de la th orie des particules l mentaires sur des espaces lorentziens La th orie constructive est depuis toujours crite en euclidien c est a dire en temps imaginaire les propagateurs sont alors singuliers dans la limite infra rouge ou ultra violette pour les particules l mentaires ou sur une surface ou sph re de Fermi en physique du solide le support de la singularit est donc ponctuel ou compact Au contraire en lorentzien l op rateur mod le op rateur de Klein Gordon ou op rateur des ondes est hyperbolique et les propagateurs sont singuliers sur les hyperbolo des de masse qui sont des hypersurfaces non compactes L analyse multi chelles de ce genre d op rateurs a t tudi e par Cand s Donoho Demanet cf CD l aide d objets directionnels appel s curvelets g n ralisant les ondelettes le d coupage de l espace des phases doit reposer ici sur des Minkowski curvelets d finies sur l espace temps Une tude d un toy model bosonique connu sous le nom de mod le 4 infra rouge en dimension 4 cf FMRS pour la version euclidienne est en cours elle est repr sentative des difficult s du probl me et relevante pour l tude du fame
22. n du groupe de travail Probabilit s discr tes autour de syst mes de particules en interaction en collaboration avec le Laboratoire de Physique des Mat riaux Nancy GDR et Projets ANR 2001 2004 membre du GDR Structures g om triques et m thodes alg brico topologiques ex S minaire sud rhodanien de g om trie 2006 2009 membre de l ANR G om trie diff rentielle stochastique et autosimilarit coordinateur Fabrice Baudoin Universit P Sabatier de Toulouse dont l objectif est l tude des processus stochastiques en lien avec la g om trie diff rentielle 2009 membre de ANR Explorations des chemins rugueux coordinateur Massimil iano Gubinelli universit Paris Dauphine Co organisateur de la premi re conf rence tenue les 10 11 juin 2010 l Institut Henri Poincar intitul e Rough paths in inter action 2010 membre du GDR Renormalisation aspects alg briques analytiques et g om triques coordinateurs Sylvie Paycha Dirk Kreimer Fr d ric Patras Mini cours septembre 2011 mini cours sur les chemins rugueux rough paths donn l Universit de Rouen quipe de probabilit s novembre 2011 mini cours sur les chemins rugueux donn l Universit de Heidelberg Allemagne laboratoire de physique th orique S jours et invitations l tranger Invitation la Conference on quantum probability and infinite dimensional analysis Levico Terme Trento Italie
23. n motion Electronic Communications in Probability 15 411 417 2010 pi ce jointe en collaboration avec Loic Foissy probabilit s et combinatoire alg brique Ordered forests permutations and iterated integrals International Mathematics Research No tices 2012 renormalized rough path over fractional Brownian motion Preprint arXiv 1006 5604 10 pi ce jointe en collaboration avec J Magnen From constructive field theory to fractional stochastic calculus I An introduction rough path theory and perturbative heuristics Annales Henri Poincar 12 1199 1226 2011 en collaboration avec J Magnen From constructive field theory to fractional stochastic cal culus II Constructive proof of convergence for the L vy area of fractional Brownian motion with Hurst index a 1 8 1 4 Annales Henri Poincar 13 2 209 270 2011 Articles sur les matrices de Toeplitz en collaboration avec A B ttcher et S Grudsky Asymptotic pseudomodes of Toeplitz matrices Operators and Matrices 2 525 541 2008 en collaboration avec A B ttcher S Grudsky et E A Maksimenko The first order asymp totics of the extreme eigenvectors of certain Hermitian Toeplitz matrices Integr Equ oper theory 63 165 180 2009 Comptes rendus de conf rences et de l Acad mie des Sciences Divers Prolongement analytique des s ries de Fourier sur un groupe compact C R A S Paris 324 I 1089 1092 1997 en col
24. our l alg bre de Virasoro et ses extensions semi directes par modules de densit L alg bre de Schr dinger Virasoro ainsi que ses supersym trisations qui sont des extensions par produit semi direct de superalg bres de contact apparaissent galement comme quotients d alg bres de Poisson sur le tore ou le supertore Un article consacr a l tude de repr sentations vertex prolonge des travaux classiques men s partir des ann es 80 sur les repr sentations de l alg bre de Lie de Vira soro dans le contexte de la th orie conforme des champs cf livre de P Di Francesco et al DiF 2 Approche hamiltonienne Il est bien connu cf livre classique d Arnold Khesin ArnKhe ou livre plus r cent de Khesin Wendt KheWen que nombre d quations aux d riv es partielles de la physique math matique KdV Burgers Euler s obtiennent in diff remment comme g od siques sur l espace tangent un groupe de diff omorphismes de dimension infinie ou partir d un flot hamiltonien sur le dual de l alg bre de Lie Un des points de vue les plus prometteurs dans cette optique est celui des r alisations de sv comme alg bre de sym tries de familles d quations physiques en particulier d op rateurs de Schrodinger d pendant p riodiquement du temps Les orbites de cette action sur le sous espace des op rateurs de potentiel au plus quadratique en espace du type oscillateurs har moniques g n ralis s sont de cod
25. t s jours en France e 2005 Invitations r guli res l universit Lyon I collaboration avec C Roger invi tation au s minaire de physique math matique e Expos s entre autres Centre de physique th orique CPT de Marseille Luminy 2005 CEA Saclay service de physique th orique 2007 laboratoire de probabilit s de Paris VI 2007 Journ es de Probabilit Lille septembre 2008 Poitiers juin 2009 Dijon juin 2010 s minaire d quations diff rentielles et s minaire de probabilit s Toulouse 2008 s minaire de probabilit s et statistiques Lille 2009 atelier sur les sym tries non relativistes Tours 2009 s minaire g n ral Mulhouse 2009 conf rence internationale sur la renormalisation Lyon juin 2010 s minaire de probabilit s Strasbourg janvier 2011 s minaire de syst mes dynamiques et interactions et s minaire de probabilit s et statistiques Nice janvier 2011 s minaire de physique math matique Lyon f vrier 2011 s minaire d quations diff rentielles et s minaire de probabilit s Toulouse 2011 s minaires d quations aux d riv es partielles et de physique math matique Cergy Bordeaux 2011 conf rence sur les quations de Schwinger Dyson GDR Renormalisation Strasbourg juin 2011 groupe de travail de mod lisation stochastique LPMA Paris f vrier 2012 S minaire lotharingien de combinatoire Alsace mars 2012 2 Themes de recherche d velopp s A
26. t volumes engendr s Lorsque y est irr gulier par exemple a H lder a lt 1 la th orie des perturbations associ e n cessite une d finition ind pendante des premi res int grales it r es jusqu l ordre N 1 a Il est surprenant de voir combien ce probl me apparemment naif est en fait profond et fait appel des structures math matiques et physiques extr mement vari es Les travaux sur les chemins rugueux d s T Lyons N Victoir P Friz M Gubinelli et al montrent que la donn e de telles int grales it r es est quivalente un rel vement des trajectoires comme sections H lder d un fibr principal sur R de fibre Gy o Gy est un groupe nilpotent libre De telles sections s approchent leur tour par des bouts de g od siques sous riemanniennes pour la m trique de Carnot Carath odory associ e au lieu des approximations de Taylor classiques Malgr les applications de la th orie g n rale au calcul stochastique les chemins irr guliers tant souvent d origine al atoire comme par exemple les trajectoires browniennes cf livre r cent de Friz Victoir FV l approche purement g om trique est insuffisante pour deux raisons principales i de tels rel vements sont a priori extr mement arbitraires sans que la g om trie d terministe permette a priori d en choisir un meilleur ou plus explicite qu un autre ii les g od siques sous riemanniennes sont elles m mes des objets tr
27. ux boson de Higgs recherch dans le nouvel acc l rateur du CERN Elle repose en particulier sur la construction de ces Minkowski curvelets int ressantes galement pour la repr sentation des solutions d quations d onde g n rales tude galement en cours La question de savoir si ce genre d analyse multi chelle est faisable sur des vari t s lorentziennes plus g n rales est ouverte On peut pr dire que la r ponse d pend de la structure g om trique l infini de la vari t et du comportement des solutions de l quation de Klein Gordon Une interaction avec des sp cialistes de la relativit g n rale serait tr s profitable R f rences CD E Cand s L Demanet The curvelet representation of wave propagators is optimally sparse Comm Pure Appl Math 58 2004 FMRS J Feldman J Magnen V Rivasseau R S n or Construction of infrared 4 by a phase space expansion Comm Math Phys 109 1987 FMRT J Feldman J Magnen V Rivasseau E Trubowitz Constructive many body theory Reviews in Math Phys 6 1994 III Explorations probabilistes et constructives Physique statistique et EDP stochastiques Le formalisme dit de r ponse ou Martin Siggia Rose est un formalisme bien connu par les experts de la th orie des champs perturbative permettant de r crire des quations aux d riv es partielles stochastiques dirig es par un bruit gaussien sous forme lagrangi enne Un des enjeux consiste
Download Pdf Manuals
Related Search