DEA environnement marin
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1. 29 AIO lt lt lt gt ek Dear dra orar rr rre 31 1 1 1 Processus stochastique D finition Un processus stochastique X t T est une suite de variables al atoires index es par 7 a valeurs dans un ensemble Y T est l ensemble des indices Souvent t repr sente le temps mais t peut tre de dimension multiple par exemple la longitude et la latitude Si 7 est valeur discr te on parle de processus temps discret Si l ensemble des valeurs de 7 est continu on parle de processus temps continu X est l ensemble des tats du processus L ensemble des tats peut tre continu ou discret mais nous nous limiterons au cas o ces tats sont en nombre fini ou d nombrable En r sum on peut dire que la caract ristique de base d un processus stochastique est le fait que la loi de la variable X soit fonction de t La notion de processus largit la notion de variable al atoire Une r alisation d un pro cessus est appel e trajectoire C est donc la suite des r alisations des variables al atoires X4 Les r alisations d une m me variable al atoire pouvant tre diff rentes les r alisations d un m me processus peuvent donner des trajectoires diff rentes TABLE DES MATIERES 5 1 2 Exemples 1 3 1 Le cours d une action cot e en bourse au jour le jour X valeurs en francs de l action la date t X Rt T jour de cotation 2 Un exemple de proce2. 0 i 0 i 0 WS V x VX a i 0 1 0 et donc Sn N 0 n Il est important de noter que les S ne sont pas ind pendants En effet Sn y Dil Xn Cov Sn Sm E SnSm E Sn E Sm min n 1 m 1 On peut tendre cette d finition un processus temps continu on d finit le processus X t gt 0 par Xi i N 0 1 Cov S Ss min s t Le processus ainsi d fini est appel mouvement brownien Historiquement ce processus est cens rendre compte de la trajectoire d une particule dans un espace contenant d autres particules bar hen net 2 1 2 2 TABLE DES MATI RES 7 Cha ne de Markov Processus de Markov D finition 0 1 Un processus de Markov est un processus dont l volution future X s gt t ne d pend de son pass qu travers son tat l instant t Vs gt t L XIX r lt t L X X o L X X d signe la loi de X sachant X Cette d finition signifie que pour le futur l histoire du processus jusqu l instant t est enti rement r sum e par son tat l instant t ou encore que le pr sent tant connu le futur est ind pendant du pass Revenons sur les exemples de la section pr c dente le cours d une action exemple 1 n est vraisemblablement pas un processus de Mar kov la m moire du processus est probablement plus longue par exemple une ten dance saisonni re un processus d g n r exemple 2 est bien vide
3. dire qu on peut les intervertir Application la g n tique La g n tique est un des champs d application privil gi s des cha nes de Markov car cela revient supposer que l information apport e par le pass du patrimoine g n tique d un individu est enti rement contenue dans le patrimoine g n tique de ses parents Cette hypoth se est en g n ral raisonnable S Wright a tudi la fluctation de la fr quence des g nes Consid rons une population de taille N d individus haplo des On suppose la taille constante au cours des g n rations Le nombre total de g nes est de 2N 7 g nes seront de type a et 2N 7 g nes seront de type A Soit X n gt 0 le nombre de g nes a la n g n ration X n gt 0 est une cha ne de Markov L espace des tats contient 2N 1 valeurs 0 1 2 3 2N Si on n glige la mutation et la s lection un mod le simple pour calculer les probabilit s de transition d une g n ration l autre consiste supposer que si l on a j g nes de type a une g n ration donn e chaque g ne de la g n ration suivante est le r sultat d une exp rience de Bernouilli de param tre p sk et la probabilit d obtenir k g nes de type a est donn e par Tjik PA CN _ ee 2 Dans ce mod le simple il est important de remarquer que Tjj 1 pour j 0 et j 2N Il ne peut y avoir de distribution limite car il existe deux tats absorbants D un point de
4. c est dire les probabilit s que le syst me finisse par atteindre un tel tat Les tats d une classe transitoire sont dits transitoires alors que les tats d une classe r currente sont dits r currents Un tat absorbant est donc un type particulier d tat r current Une cha ne de Markov pour laquelle il n existe qu une seule classe r currente gale l ensemble des tats est dite irr ductible Ceci signifie que tous les tats communiquent Pour un tat de la cha ne on appelle temps de retour le temps minimal pour revenir l tat i c est dire le plus petit n tel que m i gt 0 Soit un tat d une cha ne de Markov La p riode de retour de 7 not e T est la quantit d finit par Sin kT keN gt rlii gt 0 Sin kTkREN gt rli i 0 c est dire que les retours l tat 2 ne sont possibles que pour des dur es multiples la p riode bar hen net 3 2 TABLE DES MATI RES 11 0 1 2 6 3 4 5 Figure 2 exemple de graphe r duit Une autre mani re quivalente de dire les choses est de d finir la p riode comme le pgcd n ET 7 2 7 gt 0 L tat i est dit p riodique si T gt 1 et ap riodique si T 1 Il est possible de montrer que deux tats communiquants ont la m me p riode et donc que la p riode est constante l int rieur des classes de communication La p riode
5. des graphes une classe d quivalence correspond une composante forte ment connexe c est dire dont tous les l ments sont communiquants On peut donc construire le graphe r duit par exemple la figure 2 Dans ce graphe les sommets repr sentent les classes et les arcs repr sentent les transitions possibles entre classes Ce graphe poss de la propri t d tre sans circuit on ne peut jamais revenir au point d origine tous les circuits du graphe d origine des transitions possibles ayant servi construire les diff rentes classes Il est alors possible de distinguer deux types de classe une classe est dite transitoire s il est possible d en sortir mais dans ce cas le processus ne pourra plus jamais y revenir classe 0 1 2 et classe 3 dans la figure 2 une classe est dite r currente s il est impossible de la quitter classe 4 5 et classe 6 dans la figure 2 Si une classe r currente est compos e d un seul tat cet tat est dit absorbant tat 6 dans la figure 2 Un tat 2 absorbant est donc tel qu une fois dans cet tat on ne peut le quitter par exemple la ruine dans le cas du jeu de Pile ou Face En terme de probabilit s de transition ceci signifie que Vk i Tip 0 et donc Ti 1 Les tats absorbants sont tr s particuliers puisqu ils constituent des tats terminaux du syst me Il est notamment int ressant d tudier les probabilit s d absorption
6. diff rentiel l polt Apo t Dn Lt A Pn 1 t Pn t Il est possible de montrer que la solution de ce syst me est pot e Pi t Ate et par r currence At Va 0 ex n Interpr tation des r sultats La solution du syst me diff rentiel At PUK n palt 09 n signifie que tout instant t la variable X suit une loi de Poisson de param tre At On retrouve l une interpr tation naturelle de l intensit On en d duit imm diatement l esp rance et la variance de X Ce r sultat peut aussi se retrouver en consid rant l approche binomiale d j voqu e on d coupe l intervalle 0 t en N intervalles de taille x suffisamment petit pour ne pou voir contenir qu au plus un seul v nement et ce avec une probabilit N Dans chaque sous intervalle la probabilit d apparition d un v nement suit une loi de Bernouilli de param tre N Les intervalles tant ind pendants X correspond la somme des N lois de Bernouilli et donc n t Xi A B x x quand N tend vers linfini at tend vers 0 et la loi binomiale tend vers la loi de Poisson et bar hen net 4 3 4 4 20 Processus de Poisson Comparaison avec un mod le d terministe Si on voulait construire un mod le d terministe on aurait la fonction x t nombre d v nements observ s dans l intervalle 0 t l quation diff rentielle correspondant aux hypoth ses d absence
7. et le temps n k peut s crire II Un cas particulier est celui des cha nes de Markov homog nes finies La loi est donc donn e par une matrice de dimension finie Classification des tats Dans la d finition que nous avons donn e d une cha ne de Markov l volution du pro cessus au cours du temps partir d un tat donn est enti rement d crite par la matrice des probabilit s de transition On peut aussi voir une cha ne de Markov comme un en semble d tats entre lesquels s effectuent des transitions Certaines transitions sont pos sibles probabilit de transition strictement positive alors que d autres sont impossibles bar hen net TABLE DES MATIERES 9 Figure graphe des transitions possibles d une chaine de Markov probabilit de transition nulle Ceci nous am ne vouloir visualiser une cha ne de Mar kov en repr sentant chaque tat par un sommet et chaque transition par un arc Il faut noter qu un arc poss de une orientation Ce point de vue structurel consiste en fait vi sualiser le graphe des transitions possibles d une cha ne de Markov voir figure 1 Dans la mesure o les arcs sont orient s on parle de graphe orient Si des poids sont associ s aux arcs on parle d automate Dans la th orie des graphes on appelle chemin une succession d arcs telle que l extr mit du n M arc soit l origine du n 1 ME arc et on appelle circuit un c
8. ration n nombre de g nes A la g n ration n Processus de Poisson Dans la section 2 nous nous sommes int ress s aux concepts de base des chaines de Markov et donc d un processus a temps discret Le but de cette section est de pr senter de mani re rapide un exemple important de processus temps continu Un probl me classique est de compter le nombre d occurrence d un v nement donn dans un intervalle de temps A titre d exemple on peut citer les appels t l phoniques un standard l occurrence d accident un carrefour ou l apparition des bourgeons sur une plante La justification intuitive pour voir ces exemples comme des processus de Poisson pro vient de la loi des v nements rares Pour chaque petit intervalle de temps nous avons une exp rience de Bernouilli dont la probabilit de succ s est faible Un r sultat classique des statistiques permet de mod liser le nombre d v nements par une loi de Poisson Nous reviendrons plus loin sur une justification plus formelle mais que nous esp rons tout aussi intuitive On note X le nombre d v nements survenus dans l intervalle 0 t La fonction de r partition est une fonction non d croissante en escalier voir figure 5 bar hen net TABLE DES MATIERES 17 Xi 0 ty to tata ts te X 0 0 X nombre d v nements survenus avant t Figure 5 Trajectoire d un processus de comptage D finition 0 4 X est est un processu
9. DEA Environnement Marin processus stochastiques Avner Bar Hen Table des mati res 1 Processus stochastique coco rra rta peus de t s 4 dal E A BE Ge oh Ged Se Se Bk 4 1 Exemples ke ee ee ee ee AG ee Ea 5 ko Processus CUMUNE A a a Ew a a SES 5 2 Chaine de MEN D 4 so a du La Ua As Lena er tas EBS 7 2 1 Processus de Markov sora ra errar 7 2 2 Chame de Markoy LS Nine anis id e BEERS 7 3 Cha nes de Markov homog nes 8 3 1 Classification des tats ik ck es bai bas eee hes 8 3 2 Exemple marche al atoire sa o ea sr Se eee e Se eee x 11 3 3 Comportement asymptotique 12 3 4 Conclasi n 54 ba eu doa ds AAA DE A 13 35 Exemples d application 4 2k 4 4 uma Re ee Re use 13 4 PEOOESSUS de POISSON ce ke OR de RR AAA 16 4 1 Systeme diff rentiel 2 2 5242682455452 422445 18 4 2 Interpr tation des r sultats 19 4 3 Comparaison avec un mod le d terministe 19 4 4 Temps d ateng Lou ss Les ee las ie dames 20 3 Tour d horizon de quelques processus 21 5 1 PROCESSUS DE MASSE lt s sa s iaoe de due OR Oe Ow 22 2 2 Processus de naissance EMO ii DS 24 di Processus de branchement 2 4 4 4 vo 4 4 on 23 5 4 Renouvellement 6 5 654 amp 244 SES PE RUN Bera Re BY 26 ha Pies NB 20 si su ie ame ans 27 5 6 Process0s Poncell s 34 usi piese HEME SRE SESS 6 29 del G n ralisation d une cha ne de Markov
10. asse de l tat l tat 7 selon une loi de transition de l tat puis on reste dans l tat 7 un temps u qui suit la loi d occupation de l tat 7 Enfin on effectue une nouvelle transition conform ment la loi de transition de l tat 7 Un probl me sp cifique se pose pour traduire la notion d tat absorbant Un tat absor bant est un tat dans lequel une fois rentr on reste infiniment longtemps Cette notion ne peut donc pas se traduire dans une loi d occupation d un tat Il existe une relation forte entre les semi cha nes de Markov et la th orie du renouvel lement Une semi cha ne de Markov deux tats peut s interpr ter comme la combi naison de deux processus de renouvellement La loi d occupation du premier tat est une loi inter v nement traduisant un ph nom ne donn alors que la loi d occupation du deuxi me tat est une loi inter v nement traduisant un autre ph nom ne Dans le cadre de la th orie du renouvellement ce type de processus est appel processus de renouvel lement altern Processus de Markov cach s Une autre extension possible des cha nes de Markov consiste faire l hypoth se qu une s quence discr te n est pas directement obtenue par une cha ne de Markov mais indi rectement par des lois de probabilit attach es aux tats de la cha ne de Markov Si Xn n gt 0 est une cha ne de Markov d ordre 1 Y n gt 0 est une cha ne de
11. ation Xn n gt Oet1 lt J lt Va 1 1 d Le ph nom ne suit une loi stable au cours du temps et ind pendante des individus On note Pr P Xng k P X k La loi de X est enti rement d termin e par les pz qui ne d pendent ni de n ni de 7 En g n ral on peut supposer que le nombre de descendants suit une loi classique X Bim p pe Chp L p 0 lt k lt m AF X PA gt k Ar gt 0 Le choix de la loi r sulte d hypoth ses sous jacentes faites sur le mode de reproduction Classiquement on recherche la loi de Y les probabilit s d extinction le comportement asymptotique etc On peut aussi compliquer un peu le probl me en supposant que les individus parents peuvent avoir des descendants de plusieurs types Renouvellement La th orie du renouvellement a commenc avec l tude des pannes et des remplacements de composants tels les ampoules lectriques Ensuite il est apparu clairement qu un nombre important de probl mes pouvait se ramener ce formalisme Supposons que la dur e de vie des ampoules soit une variable al atoire Une ampoule neuve est install e au temps initial Soit X la date d occurrence de la premi re panne On remplace imm diatement l ampoule La deuxi me panne se produit en X X2 De mani re g n rale la n ampoule br le au temps Si les variables al atoires X sont ind pendantes et identiquement distribu es on parle de processus de renouvellement D
12. bar hen net TABLE DES MATIERES 31 Markov cach e d ordre 1 si la relation de d pendance suivante est v rifi e P X a ls Ya aa In Xy i1 ce D A tnis Y TA Ji tee a Jn 1 P X n Yn Meg in 1 P X 5 in Xn 1 in PY n a ala in 1 Les variables al atoires Y ne d pendent donc que de l tat correspondant X Les d pendances structurant le mod le sont par cons quent uniquement repr sent es au niveau du proces sus sous jacent Xn Une cha ne de Markov cach e tats homog ne dans le temps est d finie par les param tres initiaux probabilit s initiales moi P Xo i i 1 1et Y moi 1 probabilit de transition T t j P Xn j Xn 1 1 avec i j 1 I et mo j 1 Ceci d finit une cha ne de Markov d ordre 1 homog ne dans le temps Les tats de cette cha ne de Markov sous jacente sont observ s travers les lois de probabilit suivantes probabilit s d observation v a b P Y b X a avec a b 1 1 et dep Yn b 1 Dans un processus markovien cach on suppose que seules les variables al atoires Y sont observables C est donc sur ces variables al atoires qu il faut raisonner pour com parer des caract ristiques th oriques des caract ristiques observ es m me si il est tou jours possible de calculer les lois du mod le sous jacent Ces techniques sont tr s utilis es en reconnaissance de la parole R f re
13. cha nes de Markov cach es Le but est plus de pr senter des probl mes que de les r soudre Ceci peut para tre un peu frustrant mais conna tre l existence d un outil est souvent aussi important que d en ma triser le mode d emploi Le lecteur int ress peut se reporter la bibliographie pour un traitement rigoureux et approfondi des processus pr sent s Processus de naissance Dans un processus de Poisson la probabilit d un v nement est ind pendante du nombre d v nements qui se sont d j produits Cette hypoth se peut tre irr aliste Un exemple de ce ph nom ne est la reproduction des organismes vivants d o le nom du proces sus o sous certaines conditions la probabilit d une naissance est directement propor tionnelle la taille de la population l instant consid r Un tel processus qui est une g n ralisation des processus poissonnien est aussi parfois appel processus de Yule Prenons l exemple de la division cellulaire Soit N t le nombre de cellules dans une culture la date t On suppose que chaque cellule se divise en deux au bout d une dur e al atoire distribu e exponentiellement On suppose que les cellules ont toutes la m me probabilit AAt de se diviser durant un bar hen net TABLE DES MATIERES 23 intervalle de dur e At On reconna t les hypoth ses initiales du processus de Poisson Une fois qu une cellule est divis e on consid re qu on a affair
14. commune des l ments de la classe est appel e p riode de la classe Si la cha ne est irr ductible et qu elle a une p riode on parle d une cha ne p riodique si elle n a pas de p riode on parle de cha ne ap riodique Une chaine irr ductible et ap riodique est dite ergodique Exemple 0 1 Soit la matrice de transition de la cha ne la p riode de la cha ne est 2 le syst me agit comme un m tronome Exemple marche al atoire Un individu se d place dans une direction fixe et peut chaque tape soit faire un pas en avant avec une probabilit p soit faire un pas en arri re probabilit q soit rester sur place probabilit r 1 p qi On suppose que ce processus est homog ne ce qui signifie que les probabilit s des trois v nements d pendent de l endroit o individu se trouve mais pas de l tape n En notant 0 le premier tat on obtient donc la matrice de transition ro po 0 a rip 0 O q T2 po 0 Le 0 q ra 0 bar hen net 3 3 12 Cha nes de Markov homog nes Figure 3 Exemple de marche al atoire lt To T1 To tat initial Po P Figure 4 Graphe d une marche al atoire Cette matrice est de dimension finie ou infinie On peut repr senter cette matrice sous forme d un automate voir figure 4 De nombreux cas de marche al atoire sont utilis s fortune du joueur au jeu de Pile
15. de m moire et de sta tionnarit serait dx a ee dt avec la condition initiale x 0 0 On obtient donc I quation qui correspond au comportement moyen c est a dire en esp rance du processus de Poisson Temps d attente Loi de la dur e entre deux v nements On s int resse maintenant la dur e al atoire s parant deux occurrences de l v nement On se place une date t et on va tudier la variable T T temps d attente jusqu la prochaine occurrence Ona P T gt t P Xt4t Xt 0 P X 0 hypoth se d ind pendance temporelle po t e La loi de T est donc ind pendante de ty et on a P T gt t e 4 P T lt t 1 e c est dire T suit une loi exponentielle de param tre T E Il est important de remarquer qu on ne se pr occupe pas de savoir si est une date d oc currence l hypoth se d ind pence temporelle implique que la loi de T reste inchang e bar hen net TABLE DES MATIERES 21 Interpr tation et propri t s X suit une loi de Poisson de param tre At On a donc E X Ceci signifie que repr sente le nombre moyen d v nements survenant dans une unit de temps Nous retrouvons l le sens de l intensit du processus de Poisson De m me T suit une loi exponentielle de param tre A on a donc E T L La dur e moyenne s parant deux v nements est donc gale L Il est possible de d montrer que
16. de quelques conditions l quation 4 tend vers une limite correspondant au nombre d occurrence de l v nements consid r dans un intervalle de temps de longueur t Cette limite est appel e l intensit et est not e bar hen net 4 1 18 Processus de Poisson lim At 1 P Xa 0 5 At 0 Ce qui peut s crire P X 0 1 AAt o At De m me l quation 3 peut s crire lim Af 1 P X as 0 P Xa 1 0 At 0 C est a dire P Xa 1 AAt o At Syst me diff rentiel L utilisation de syst me diff rentiel en processus est classique mais il est n anmoins possible de passer ce paragraphe lors d une premi re lecture Pour At suffisamment petit nous venons d obtenir le syst me d quations P X Xt gt 1 o At P X ns Xt 1 AAt o At PX ns Xt 0 1 AAt o At Notons Pn t P X n Pour n gt 0 ona Pn t At P X n P Xtrat Xi 0 P X n 1 P Xy a X 1 o At pn t 1 AAt pp 1 tJAAt o At Pn t AAt pn 1 t pa t o At D o At et en passant la limite on obtient Pn t At pn t Jim Poe tS Apn alt pnlt Palt A Pn 1 t pn t Pourn Oona P X 0 P Xi4 ae Xp 0 po t 1 AAt o At po t At bar hen net 4 2 TABLE DES MATIERES 19 D o po t Apo t Les fonctions p t v rifient donc le syst me
17. distribution stationnaire Ceci implique que la limite 4 ne d pend pas de l tat initial Ho du syst me Une condition n cessaire et suffisante pour l existence d une distribution limite ind pendante de uy est que 1 soit une valeur propre simple de II c est dire de multiplicit gale 1 et que le module des autres valeurs propres soit strictement inf rieur 1 Ceci signifie qu il n existe qu une seule classe r currente Une fois qu on y rentre on ne peut plus en sortir Conclusion Les sections pr c dentes n ont permis que de soulever le coin du voile recouvrant la th orie des processus markoviens et il n est pas dans notre but d aller plus en avant sur le sujet Les probl mes classiques de comptage consistent a estimer la loi du nombre d occurrence d un ou plusieurs tats dans un temps donn Nous renvoyons le lecteur int ress a la bibliographie bar hen net 3 5 14 Cha nes de Markov homog nes Exemples d application T l phone arabe Une histoire se transmet entre des individus par le ph nom ne du bouche oreille Il existe trois versions de cette histoire et chaque individu qui est racont une version a une probabilit p de la restituer telle quelle et une probabilit q 1 p de la modifier en une des deux autres versions La matrice II s crit donc H lana S Ne S whe FS NIARN et son polyn me caract ristique est p 2 q 2 p
18. e deux cellules nouvelles suceptibles de se diviser leur tour On s int resse ici la naissance de nouveaux individus et non leur mort et l on obtient donc une mod lisation croissante de la taille de la population En suivant un raisonnement analogue celui suivi pour le processus de Poisson on obtient les quations de r currence P N t At N t P N t At N t 1 P N t At N t k k gt 1 1 AN t At o At AN t At o At o At On retrouve des quations semblables celles obtenues pour un processus poissonnien mais elles ne sont plus homog nes dans le temps puisque ces quations d pendent de Peffectif N t En notant pa t P N t n on peut obtenir une quation diff rentielle dont la solution s crit n 1 E Seem AO En Je ees on reconnait la loi binomiale n gative de param tre No ete N t No Tv NB No eo On en d duit E N t Me c est dire qu avec ce mod le la croissance de la population est exponentielle en esp rance De plus V N t Me e 1 d ot le coefficient de variation E N t Noe ss gt V N t Noe e 1 VNo CV N 1 ce qui signifie que la variabilit relative autour de l esp rance est faible sauf si la popula tion initiale est particuli rement petite La croissance exponentielle de la population n est videmment pas toujours r aliste Pour contr ler l expansion on u
19. ec la m moire du processus Semi cha ne de Markov Dans une semi cha ne de Markov on consid re que la transition entre des tats distincts correspond a une cha ne de Markov Par contre la probabilit de rester dans un tat n est bar hen net 30 Tour d horizon de quelques processus plus d duite du mod le mais est explicitement sp cifi e par une loi discr te d occupation des tats Pour une cha ne de Markov X la loi d occupation de l tat 7 est donn e par dilu Sheet ERA et J Xn ET n j jT a i j la loi de l occupation de l tat 7 c est dire le temps o le syst me reste l tat 7 est donc une loi g om trique Une semi cha ne de Markov J tats est donc d finie par les param tres suivants 1 probabilit initiales 79 j P Xo j j 1 J avec mo 7 1 2 probabilit s de transition 7 i j P X j Xn 1 1 avec s o a 7 9 j 0 Vi 1 J 3 loi d occupation des tats d u P Xn u 1 A J DE gt Xn 2 LL Has HA jJ 1 SES J La d pendance n est donc plus traduite explicitement dans la d finition du mod le mais implicitement dans la d finition des lois d occupation des tats Les lois d occupation des tats sont par exemple des lois discr tes l mentaires loi binomiale Poisson ou n gative binomiale On peut interpr ter le m canisme d une semi cha ne de Markov comme suit un instant n donn on p
20. el probl me est le processus stochastique X t gt 0 o X repr sente le nombre d individus pr sents dans le syst me l instant ts On distingue deux r gimes diff rents du syst me le r gime transitoire et le r gime permanent Dans de nombreux cas apr s une phase initiale instable ouverture des gui chets le syst me atteint une phase stable milieu de journ e Dans la phase initiale la loi du nombre d individus dans le syst me d pend du temps r gime transitoire et elle se stabilise dans la phase stationnaire Le r gime stationnaire n existe pas toujours On ne discutera pas ici des conditions d existence de ce r gime Dans le cas du r gime transitoire la loi du processus est caract ris par les probabilit s pa t P X n En r gime transitoire ces probabilit s d pendent videmment des conditions initiales bar hen net 5 6 5 7 TABLE DES MATI RES 29 Les calculs en r gime transitoire sont souvent tr s lourds et on se limite souvent l tude en r gime stationnaire caract ris par les probabilit s limites Pn lim pn t p oo P X n On ne s arr tera pas ici aux conditions d existence de ces limites L tude des processus de file d attente permet de conna tre des caract ristiques telles que la dur e moyenne d attente la dur e moyenne de s jour dans le syst me le nombre moyen d individus pr sents dans le syst me le
21. entier On parle aussi de loi d Erlang et donc 3 13 Tour d horizon de quelques processus Nous venons de donner les bases de deux processus fondamentaux les chaines de Mar kov et les processus de Poisson Il est important de noter que le m canisme de construc tion est sensiblement diff rent entre les deux processus Dans le cas des chaines de Mar kov on sp cifie la d pendance entre les variables al atoires alors que dans le cas des processus de Poisson on travaille partir de la loi inter v nement c est dire l inter valle de temps entre l occurrence de deux v nements on parlera dans ce cas de pro cessus de type intervalle Une autre mani re classique de construire un processus est le point de vue comptage c est dire en g n ral le nombre d occurrence d un tat dans une s quence Dans tout cette section il est important de garder en t te ces deux notions d intervalle et de comptage Il n est videmment pas possible de donner une liste exhaustive de tous les processus mais il nous a sembl important de faire un tour d horizon des principales approches Nous commen ons par quelques g n ralisations du processus de Poisson processus de naissance naissance et mort branchement et file d attente pour arriver la g n ralisation la plus globale renouvellement puis nous nous int ressons a des g n ralisations des cha nes de Markov cha nes d ordre r semi chaines de Markov et
22. eux points de vue analogues caract risent le processus de renouvellement On s int resse soit au processus S temps avant la n panne soit N t nombre de pannes dans l intervalle de temps 0 Connaissant la loi de T temps entre deux v nements successifs on cherche les pro pri t s de N t et Sn On reconnait les liens entre le processus de renouvellement et le processus cumulant abord a la section 1 3 On peut par exemple s int resser l esp rance de N t c est dire le nombre attendu de renouvellements dans l intervalle de temps JO t bar hen net 3 9 TABLE DES MATI RES 27 Cette quation est appel e la fonction de renouvellement Soit T la dur e al atoire entre l v nement 1 et l v nement 2 Par exemple T repr sente l intervalle de temps entre l instant O et le premier v nement La loi du nombre d v nements se produisant dans l intervalle JO t se d duit des fonc tions de r partition des lois des intervalles de temps entre I instant 0 et le n v nement par la relation suivante P N t n P N t gt n P N t gt n 1 o inf T repr sente l intervalle minimum entre deux intervalles de temps et sup T l intervalle maximum entre deux v nements L quation pr c dente signifie que si l on a au moins n v nements jusqu l instant t alors l instant o se produit le n v nement est inf rieur ou gal
23. hemin ferm Le graphe des transitions possibles de la figure 1 comporte par exemple le chemin 0 1 2 3 4 5 et le circuit 0 1 2 0 Pour la suite on note x i j la probabilit que le syst me soit dans l tat au temps t et dans l tat 7 au temps t n T t j P Xan J X 1 P Xn Jl Xo 1 On dit que l tat 7 est accessible partir de l tat si la probabilit de passer de 2 j est non nulle i gt j 4 An gt 0 7 i 7 gt 0 En th orie des graphes ceci signifie qu il existe un chemin entre 1 et 7 On dit que les tats 7 et 7 communiquent si chacun d eux est accessible a partir de l autre l i gt j 1e aS y J gt bar hen net 10 Chaines de Markov homog nes Pour que deux tats ne communiquent pas il faut que l un des deux ne soit pas accessible partir de l autre c est dire Yn gt 0 melon Yn gt 0m j i 0 La relation de communication entre deux tats est r flexive par convention Vi mo i i 1 sym trique par d finition et transitive c est donc une relation d quivalence Il est donc possible de construire une partition des tats d une cha ne de Markov en classes d quivalence telle que tous les tats d une classe communiquent entre eux et que deux tats appartenant deux classes diff rentes ne communiquent pas Par construction ces classes sont deux deux disjointes et leur r union est l ensemble des tats En th orie
24. la loi de Poisson est la loi du nombre d v nements survenant dans une unit de temps quand ces v nements sont s par s par des dur es exponentielles ind pendantes On peut aussi s int resser la loi conditionnelle P T gt s t T gt s P T gt s P T gt s t P T gt s e Mt s P T gt s tT gt s es et P T gt t Ceci signifie que la loi exponentielle est sans m moire On peut montrer que cette propri t est caract ristique de la loi exponentielle Cette propri t est l origine du paradoxe de l autobus poissonnien Si un usager attend un bus d une ligne sur laquelle les passages suivent une loi de Poisson la loi et donc l esp rance reste constante au cours du temps Concr tement ceci signifie que si les bus passent en moyenne toutes les 30 minutes et que l usager a d j attendu 15 minutes l esp rance du temps attendre reste inchang e et est de 30 minutes E T E T t gt T gt 5 Date du n v nement Soit T la date al atoire laquelle survient le n v nement et de fa on g n rale Th Tn 1 CS E A pour n gt 0 To 0 Donc T est la somme de n variables exponentielles de param tre Il est possible de montrer que la densit f t de la variable al atoire T s crit rN falt eam bar hen net 5 1 22 Tour d horizon de quelques processus C est a dire une loi gamma dont le param tre n est
25. ltat se g n ralise Tam p i 5 D Tnm i inm J 1 keT Cette quation est connue sous le nom d quation de Chapman Kolmogorov Chaines de Markov homogenes D finition 0 3 On appelle cha ne de Markov homog ne une cha ne de Markov dont les probabilit s ne d pendent pas de l instant n consid r ao mli j Par exemple la fortune du joueur au jeu de Pile ou Face est une cha ne de Markov homog ne car la probabilit de passer d une somme une autre ne d pend pas de l instant consid r sous l hypoth se de tirages ind pendants La loi d une cha ne de Markov homog ne est r sum e dans la matrice de transition II qui contient l ensemble des probabilit s de transition Traditionnellement l indice de la ligne donne l tat au temps n et l indice de la colonne donne l tat au temps n 1 m 1 1 a l j ue E e ang Tous les termes de la matrice des probabilit s de transition II sont positifs ou nuls et la somme des termes sur une ligne est gale 1 En effet quand on est dans un tat donn l tape suivante on effectue une transition avec la probabilit 1 Les termes d une ligne donn e constituent donc une loi de probabilit appel e loi de transition de l tat correspondant a l indice de la ligne Une matrice carr e poss dant ces propri t s est appel e matrice stochastique Nous verrons plus loin page 12 que la matrice de transition entre le temps n
26. mment un processus de Markov le processus cumulant aussi seule compte la derni re valeur On parle parfois d ordre du processus ou encore de m moire c est dire de la longueur de la d pendance Le processus cumulant est d ordre alors que le processus d g n r est d ordre 0 La fortune du joueur au jeu du Pile ou Face exemple 3 est un processus de Markov si les tirages sont ind pendants dans le cas de la temp rature dans un champ exemple 4 la question ne se pose pas par rapport cette d finition puisque l indice est double Cha ne de Markov D finition 0 2 Une cha ne de Markov est un processus de Markov pour lequel X et T sont finis ou d nombrables Une cha ne de Markov est donc un processus temps discret En notant 21 12 les tats contenus dans 4 nous avons P X 1 in 11Xo to Xn in PA intil Xna in La loi d une cha ne de Markov est donc enti rement d termin e par les probabilit s ini tiales ro i P Xo 1 et les probabilit s de transition Tram 1 1 7 P Xn41 j Xn 1 Il est suffisant de donner les probabilit s de transition en une tape car les autres proba bilit s s en d duisent imm diatement Tasso _ Y Tama i k Tn 1m 2 4 J keX Trnt3 t j 5 Tnn 2 t R Tn 2043 k J keX etc bar hen net 3 1 8 Cha nes de Markov homog nes On reconna t l la formule de multiplication matricielle Ce r su
27. nces 1 Cox D R 1962 Renewal Theory Chapman and Hall London 2 Cox D R et Miller H D 1965 The theory of stochastic processes Chapman and Hall London 3 Feller W 1968 An introduction to probability and its applications Vol I 3rd Edition Wiley New York 4 Feller W 1971 An introduction to probability and its applications Vol II 2nd Edition Wiley New York 5 Gordon P 1965 Th orie de chaines de Markov finies et ses applications Dunod Paris 6 Guttorp P 1995 Stochastic modeling of scientific data Chapman and Hall Lon don bar hen net 32 REFERENCES 7 Karlin S et Taylor H M 1975 A first course in stochastic processes 2nd Edition Academic Press London 8 Karlin S et Taylor H M 1981 A second course in stochastic processes Academic Press London bar hen net
28. ons Pour d crire un tel syst me on adopte en g n ral les notations de Kendall bar hen net 28 Tour d horizon de quelques processus F la loi du processus des arriv es dans le syst me G la loi de la dur e des services rendu au x guichet s s le nombre de guichets N la capacit du syst me c est dire le nombre de clients pr sents simultan ment dans le syst me On obtient ainsi une notation g n rale permettant de classifier les diff rents ph nom nes d attente un syst me d attente est d sign par le quadruplet F G s N Si on suppose et on le fait fr quemment que les ph nom nes tudi s v rifient la pro pri t de Markov c est dire que I information sur le futur est enti rement contenu dans le pr sent les lois F et G sont not es M M M s N Quand la capacit du syst me est infinie IV 00 on omet le dernier terme et la notation de Kendall devient simplement F G s la longueur maximale de la file est gale a la capacit du syst me moins le nombre de guichets Nmax N s On utilise galement deux autres notations classiques A le taux d arriv e par unit de temps repr sente donc l intervalle de temps moyen entre deux arriv es dans le syst me p le taux de service par unit de temps 7 repr sente donc la dur e moyenne d un service Probl mes r soudre L objet math matique central dans tude d un t
29. ou Face etc Comportement asymptotique Dans la suite on notera ji i la probabilit que le syst me soit dans l tat la n tape Hn i P X 1 On note un un 1 Hn t avec Dr Uni 1 La d finition des probabilit s de transition implique fet P So P Xn iXn 1 j P Xn 1 J JET bar hen net 3 4 TABLE DES MATIERES 13 Ce qui peut s crire matriciellement Un Hn11l et donc de fa on g n rale Hn poll Cette quation correspond l criture matricielle de l quation 1 Il est int r ssant de se demander si un processus donn finit par adopter un comportement stable ou pas s il converge vers une limite ou non Pour cela on tudie le comportement asymptotique du vecteur Hn Il est facile de montrer que la plus grande valeur propre de IT vaut 1 On appelle distribution stationnaire la distribution de probabilit correspondant tout vecteur propre de IT associ la valeur propre 1 w pl Le vecteur un rend compte de la loi de X Cette distribution est dite stationnaire si elle ne change pas lors d une transition Un tel vecteur u rend compte d un comportement stochastique stable du syst me Il est important de noter que u n est pas n cessairement unique On appelle distribution limite 4 l ventuelle limite de la suite un Il est possible de montrer que si le vecteur un admet une limite u alors u correspond une
30. p t x P aucune naissance ni mort durant t t At pn 1 t x P une naissance durant t t At pn i t x P une mort durant t t At o At C est a dire Palt At p t x 1 n A At pn_1 t x n 1 AAt Pn ilt x n 1 At o At On en d duit l quation diff rentielle Pat n A u pa t n 1 Apn 1 t n 1 upn41 t 6 bar hen net 5 3 TABLE DES MATI RES 25 mais sa r solution est particuli rement complexe dans le cas g n ral c est dire pour une taille initiale No quelconque Pour Ny 1 c est dire une population initiale de taille 1 la solution de quation diff rentielle 6 est polt uB t Palt 1 paB t 1 AB AB t avec ee BY Nee Conditionnellement au fait que la population n est pas teinte la date t probabilit 1 uB t N t suit donc une distribution g om trique NOINE gt 0 G0 AB t On utilise le r sultat particulier pour Ny 1 pour tudier le comportement d une popu lation d effectif initial No quelconque en supposant que l volution de la population est quivalente l volution de No populations d effectif initial 1 Processus de branchement Ces processus sont utilis s pour d crire l volution des populations la croissance ou la d croissance de leur effectifs les probabilit s d extinction etc On consid re qu la g n ration 0 on a 1 individu Ce
31. rX 4 0 gt 1 Ap 2 A 0 EPA NIN On distingue deux cas l p 2 1 gt p 1 12 0 la matrice IT est l identit et le probl me est trivial 2 p 4 lt 1 la seule valeur propre de module 1 est 1 et elle est simple On se limite ce cas La suite converge quel que soit x vers l unique distribution stationnaire u u H3 H3 qui v rifie pi 343 313 Y qd 1 1 1 p Te w seit peat guy gt w 3 33 3 H3 3H1 313 PLS carl p q Ceci signifie qu asymptotiquement il n est pas possible de conna tre la version originale Pour bien comprendre la convergence du processus il est int ressant de diagonaliser la matrice II Les vecteurs associ s p 3 v rifient p SpA 413 413 y p w Un 3 p Suis pa 43 gt p Dui 4ui 213 pus SR lt 0 1 0 0 i lt glt i N PAP 1D 0 p 2 0 2 1 1 1 0 1 0 0 p f 1 1 2 eton a I PAPH PAP bar hen net TABLE DES MATIERES 15 or 1 0 0 1 0 0 AT 0 p 2 0 0 0 0 0 0 p 2 00 0 puisque p 4 lt 1 Et donc 1 1 1 1 im P tim A P 5 1 11 n 00 n 00 3 1 1 1 Ce qui signifie que chaque personne qui est racont e une version de l histoire en restitue une autre tir e quiprobablement parmi les 3 versions Ce r sultat est assez logique si l on note que les tats de la matrice IT sont non identifiables c est
32. s poissonnien s il v rifie les conditions suivantes H1 le processus est sans m moire les occurrences des v nements sont ind pendantes les unes des autres Une autre mani re quivalente de dire les choses est de postuler que l occurrence d v nements avant la date t n influe en rien sur l occurrence d v nements apr s t H2 le processus est homog ne dans le temps la loi de l accroissement X14 X4 du processus ne d pend que de h et non pas de t et est donc la m me que celle de Xj L hypoth se H1 induit que le processus de comptage des v nements est un processus markovien connaissant le pr sent le futur est ind pendant du pass Pour l hypoth se H2 on parle de stationnarit ou parfois d homog n it temporelle Par analogie avec la loi des v nements rares la probabilit d observer plus d un v nement dans un intervalle de temps At tend vers 0 quand At tend vers 0 Cette propri t peut s crire p P X at Xi gt 1 rat Ai a a De mani re quivalente ceci peut s crire PX ns Xt gt 1 o At Divisons un intervalle de temps 0 t en N sous intervalles de longueur At La probabilit qu un v nement survienne dans un sous intervalle vaut 1 P X 41 0 o At et donc l esp rance du nombre d occurrence dans l intervalle de temps vaut N 1 P Xa 0 o At At 1 1 P Xa 0 o At 4 Si At tend vers 0 et sous r serve
33. ssus stochastique d g n r est I chantillon 1 1 d X t gt 1 X N 0 1 X R T 1 n Un processus plus int ressant est le processus cumulant S o X Nous reviendrons rapidement sur ce processus dans le prochain paragraphe 3 Jeu de Pile ou Face Apr s chaque lancer le joueur gagne 1F s il obtient Pile et perd 1F s il obtient Face La variable X repr sentant sa fortune apr s n tirages est un processus appel marche al atoire ou processus de Bernouilli Y Z et T N On peut noter qu en relation avec l exemple 2 ce processus peut tre vu comme un processus cumulant 4 La temp rature au sol un instant donn dans une parcelle est un processus dou blement indic La loi de Xmn d pend de la longitude et de la latitude Y Ret T R 5 Le nombre de cellules dans une culture la date t On suppose que chaque cellule se divise en deux au bout d une dur e al atoire de temps Processus cumulant Le processus cumulant est un m canisme essentiel dans beaucoup de processus et nous allons donc en pr senter les bases Soit Xn nen X0 X1 X2 une suite de variables al atoires gaussiennes ind pendantes centr es r duites c est a dire X M 0 1 Soit Sn est distribu selon une loi normale car c est la somme de variables al atoires gaus siennes ind pendantes bar hen net 6 Processus stochastique De plus ECS E x E X
34. t L tude des processus de renouvellement d passe notre propos mais il est possible de montrer qu une majorit de processus correspond des cas particuliers de processus de renouvellement Par exemple un processus de Poisson de param tre est un processus de renouvellement dont la loi inter v nement suit une distribution exponentielle loi gamma ou loi d Erlang voir page 20 Dans ce cas la loi de comptage suit une loi de Poisson Un autre processus classique est le processus de Bernouilli exemple 3 de la page 5 Il est possible de montrer que la loi inter v nement suit une loi binomiale n gative et que la loi de comptage suit une loi binomiale avec n Files d attente On s int resse ici au ph nom ne d attente qui peut tre ramen de fa on g n rale au probl me suivant des clients se pr sentent dans un lieu donn pour obtenir un service Exemples arriv e de clients un distributeur automatique de billets 1 guichet file d attente infi nie arriv e de voitures une station service s pompes files d attente potentiellement infi nie appels t l phoniques un standard s lignes pas de file d attente atterrissages d avions sur un a roport s pistes temps d attente limit On peut voir un syst me de files d attente comme la combinaison de deux processus de renouvellement arriv e et service reli par un m canisme de passage les files Notati
35. t individu peut avoir des descen dants qui constituent la g n ration 1 Chaque individu peut avoir des descendants qui constituent la g n ration 2 On notera les liens entre les processus de branchement et les processus de naissance et mort Les exemples d application de ces processus sont nombreux en physique en pid miologie en g n alogie ou encore en g n tique La survivance des noms de famille est un des premiers exemples de ce processus Sir Galton fondateur de l eug nisme et cousin de Darwin posa le probl me de l extinction des noms de famille au cours des g n rations Watson fut le premier proposer une so lution math matique ce probl me Dans ces mod les les seuls descendants consid r s sont les enfants m les On note Y l effectif la n g n ration et X le nombre de descendants du individu la n g n ration j 1 Y Par d finition une g n ration est gale la r union des descendants de tous les individus de la g n ration pr c dente Yn 1 Yn Ki ste ae PORT ed gt ni j 1 Il est donc possible de voir un processus de branchement comme la combinaison d un processus markovien et d un processus cumulant bar hen net 5 4 26 Tour d horizon de quelques processus On suppose que les individus se reproduisent ind pendamment les uns des autres et que le nombre de descendants suit une loi qui ne d pend ni de l individu parent ni de la g n r
36. taux d occupation des guichets le taux de clients non servis On notera que les deux premi res questions sont de type intervalle alors que les trois derni res sont de type comptage Le syst me d attente de base est le syst me M M 1 On a vu que le processus stochastique v rifiant la propri t de Markov est le processus de Poisson Dans le syst me M M 1 on suppose donc que les arriv es se font selon un processus de Poisson P A la dur e de service suit une loi exponentielle p Nous ne pousserons pas plus en avant l tude des files d attente Processus ponctuel Ces processus sont particuli rement utiles pour tudier des probl mes de r partition spa tiale Ils seront trait s dans le chapitre suivant G n ralisation d une cha ne de Markov Cha ne de Markov d ordre r On dit qu une cha ne de Markov est d ordre r si l tat du processus l instant n ne d pend que des r tats pr c dents P X in Xn tn 1 X 11 P X nor nr Xn 1 in 1 Comme pour une cha ne de Markov d ordre 1 c est dire du type tudi dans la sec tion 2 la cha ne est caract ris e par les probabilit s initiales et les probabilit s de tran sition Cette g n ralisation est plaisante mais il est important de noter que si la cha ne de Mar kov a J tats possibles il existe J t probabilit s de transition et donc le nombre de param tres cro t exponentiellement av
37. tilise souvent des mod les h t rog nes avec une intensit d pendant de l effectif X N bar hen net 5 2 24 Tour d horizon de quelques processus On peut aussi introduire une limite sup rieure M avec des fonctions de freinage de la formes MN A 1 E 37 De mani re analogue on peut construire un processus de mort Et en suivant le m me raisonnement on obtient N t No i NB No er On peut remarquer que dans ces deux mod les l esp rance est une fonction exponentielle du temps et donc qu une transformation logarithmique la ram ne une fonction lin aire processus de naissance log E N t log No At processus de mort log E N t log No pt On peut donc facilement estimer les param tres No u par une r gression lin aire du logarithme de l effectif sur le temps On note que le point de vue adopt est de type comptage Il est cependant possible d tudier des param tres de type intervalle temps avant la n naissance temps entre deux naissance etc Processus de naissance et mort Une description r aliste du d veloppement d une population doit videmment tenir compte la fois des naissances et des morts des individus qui la composent Nous sommes en core dans une logique de type comptage Un mod le naturel consiste combiner les deux mod les de la section 5 1 En utilisant le m me raisonnement et les m mes notations on obtient Pr t At
38. vue g n tique ceci signifie que l endogamie produit une s lection en fa veur des homozygotes Il serait pertinent de conna tre la vitesse de convergence vers les tats absorbants Introduction de la mutation Pour am liorer le mod le on peut introduire la mutation sous forme de deux termes a le taux de mutation de a en A et le taux de mutation de bar hen net 16 Processus de Poisson A en a La probabilit de transition 7 garde la m me forme mais le p de l quation 2 devient J J Ed es Pi 2y 0 f Sia et p sont strictement positifs alors 0 et 2N ne sont plus absorbants Il est possible de montrer que l on a alors une distribution limite Introduction de la s lection On peut galement introduire la s lection dans le mod le de base en supposant que le g ne a a un avantage s lectif sur le g ne A repr sent par un terme 1 s Dans ce cas la probabilit de transition mj garde la m me forme mais le p de l quation 2 devient __ s j J 2N js g n ration l esp rance du nombre de g nes a la me Si il y aj g nes de type a lan g n ration n 1 vaut 1 s j 2N 38 et l esp rance du nombre de g ne la g n ration n 1 vaut oN j 2N 38 E Xn41 Xn B j T 2N 1 py 2N Le rapport des deux esp rances vaut 1 s j ee fi ON j 1 s ce qui rend compte de la pression de s lection en faveur du g ne a nombre de g nes a a la g n
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