S.14 Autour de 14 Autour de LA TRIGONOMETRIE Catherine
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1. AC passant par B coupe CE en D 1 D montrer que le triangle ABC est rectangle en B 2 Calculer la valeur arrondie au degr de la mesure de l angle BCE 3 D terminer la mesure de la longueur du segment BD Exercice 3 Une unit de longueur est fix e On constitue un puzzle en d coupant un carr ABHF de c t 8 en deux trap zes rectangles A EFG et CA GH et deux triangles rectangles AEC et ABC voir figure 1 Les longueurs FE GH CH et A E sont toutes gales 5 et les longueurs FG A C AE et BC sont gales 3 On assemble les pi ces de mani re ce que le contour AEQN forme un rectangle voir figure 2 1 D terminer la mesure des longueurs AN et NQ Calculer alors les aires du carr ABHF et du rectangle AEQN Ce puzzle permet il de d montrer que dans ce cas 64 65 B fig fig2 fig3 2 a En se pla ant dans le triangle rectangle ABC de la figure 1 calculer tan BAC On trace la droite perpendiculaire au segment EC passant par G Elle coupe ce segment au point D Calculer tanDA G Donner des valeurs d cimales approch es des angles BAC et EA G au demi degr pr s b En d duire pourquoi le rectangle AEQN n est pas enti rement recouvert par les pi ces du puzzle 3 On se propose de r aliser un d coupage qui permette de recouvrir enti rement le rectangle AEQN Pour cela on fait varier les emplacements des points E G A voir figure 3 On pose FE x avec O lt x lt 82. ou RAD signifiant Radian deux autres unit s d angles lire attentivement le mode d emploi pour savoir comment revenir en mode DEGRE SSUR LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE Dans le plan on d finit un rep re orthonorm O I J c est dire un rep re comportant des axes perpendiculaires en O sur lesquels on choisit la m me unit de graduation OI OJ 1 On d finit un sens d orientation le sens positif direct tant par convention le sens inverse des aiguilles d une montre Le cercle de centre O de rayon 1 orient positivement est le cercle trigonom trique le sens d orientation tant le sens trigonom trique La longueur de ce cercle est alors gale 2X7xr 2x P 4 d Jig 1 fig 2 Ji8 5 La figure 1 illustre l enroulement de la droite gradu e d repr sentant la droite des R els sur le cercle trigonom trique chaque point de cette droite qui peut se rep rer par sa graduation dans le rep re I P on associe un point du cercle ainsi P d abscisse 1 vient en M P2 d abscisse 2 en M P d abscisse 3 en M3 La longueur de chaque arc respectif est alors L 2 3 Un point particulier de la droite d se positionne alors en I dans l enroulement L arc qui lui est associ a pour longueur la circonf rence du cercle l abscisse exacte de ce point sur d est donc gale 27 Parimaths com CRPE 2010 2011 CMJ Le point M du cercle correspond un poin
3. somme gale 90 le sinus de l un est gale au cosinus de l autre Par exemple sin 25 cos65 et cos 25 sin 65 Y Deux formules conna tre sin x Pour toutO lt x lt 90 les galit s suivantes sont toujours vraies cos 2x sin 2x l et tan x COS x Elles permettent de trouver la valeur exacte d une relation trigonom trique connaissant la ou les deux autres Y Utilisation de la calculatrice Calcul des valeurs de sinus cosinus ou tangente d un angle aigu donn Par exemple pour le sinus d un angle de 35 Selon la calculatrice on entre ou sin l affichage donne 0 573576436 soit sin 35 0 574 En g n ral on arrondit au milli me les valeurs donn es par la calculatrice 2 Lire casse toi Parimaths com CRPE 2010 2011 CMJ Calcul d un angle aigu connaissant la valeur de son sinus son cosinus ou sa tangente Par exemple pour trouver l angle tel que cos 0 15 L encore on entre ou l affichage donne 81 37307344 soit 81 En g n ral on arrondit langle au degr ou au demi degr le plus proche e UN BON CONSEIL Avant de commencer un exercice sur les angles n cessitant l utilisation de la calculatrice penser v rifier que la machine est en mode DEGRE Pour cela il faut v rifier qu un sigle D ou DEG figure quelque part sur l cran Dans le cas o figurerait l cran le sigle G ou GRA signifiant Grade ou R
4. s et les sinus gaux Ainsi sin 50 sin 130 et cos130 cos 50 N Longueur d un arc de cercle connaissant la mesure de l angle au centre Sur un cercle de rayon r on appelle radian la mesure de l angle au centre qui intercepte un arc de longueur gale au rayon Pour un cercle de rayon 1 la circonf rence a une longueur gale 27 Ce cercle complet repr sente larc intercept par un angle au centre de 360 soit 27 radians Certaines valeurs particuli res sont alors d finies sur le cercle IOJ 90 rad IOK 180 7rad IOL rad La longueur d un arc de cercle est proportionnelle la mesure de l angle au centre qui l intercepte NXA 360 l avec la mesure en degr de l angle Parimaths com CRPE 2010 2011 CMJ
5. D Soit un triangle quilat ral ABC de hauteur AH de c t a D terminer et nommer un angle de 60 ainsi qu un angle de 30 Soit un carr ABCD D terminer et nommer un angle de 45 Compl ter le tableau des valeurs particuli res ci dessous en valeurs exactes Justifier vos r ponses en se pla ant dans le triangle ABC ou dans le carr ABCD E Construction Avec uniquement une r gle gradu e un compas et une calculatrice construire un triangle MNP tel que MN 4cm M 55 et N 65 On arrondira si n cessaire les mesures de longueurs au dixi me pr s Pour s exercer Exercice 1 1 On consid re un hexagone r gulier ABCDEF inscrit dans un cercle de centre O et de rayon r H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle AOB Montrer que l aire de l hexagone ABCDEF est p 3V3 3 gale r i 2 figl fig 2 2 RSTUV est un pentagone r gulier inscrit dans un cercle de centre O et de rayon r a H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle ROS D terminer la longueur OH en fonction de r b Donner la valeur exacte de l aire du pentagone RSTUV en fonction de r 1 D apr s G2 2011 ASIE 2000 D apr s Orl ans 1998 Parimaths com CRPE 2010 2011 CMJ Exercice2 On consid re la figure ci dessous On donne AB 6 cm AC 7 5 cm BC 4 5 cm Sur le sch ma les dimensions ne sont pas respect es E est le point de AB tel que AE 10 cm La parall le
6. IP AN CRPE S 14 Autour de LA TRIGONOMETRIE La trigonom trie est l tude des relations liant les mesures des angles et des longueurs des c t s dans un triangle rectangle Mise en route A Dans le triangle MNP rectangle en P on conna t certaines longueurs de c t s et on cherche certaines P M Indiquer la ou les relations trigonom triques que l on peut utiliser pour calculer chaque mesure le plus mesures d angles directement possible On conna t les mesures On cherche la R ponse 1 R ponse 2 R ponse 3 R ponse 4 des longueurs mesure de l angle MN et MP MN et NP B Dans les trois cas ci dessous calculer si c est possible la longueur du segment RT Fig 1 Les points R S T sont sur le cercle de centre O RT est un diam tre Fig 2 La droite RT est tangente au cercle de centre O de rayon 2cm La droite RS est s cante ce cercle Les points T et S sont diam tralement oppos s Fig 3 La droite AS est la hauteur du triangle ART Jig 3 Parimaths com CRPE 2010 2011 CMJ Q Digitally signed by Catheri Cat h e ri n e Maree ie os DN cn Catherine Marchetti acques o PariMaths com Marchetti mail info parimaths com FR c J Date 2011 02 10 19 18 53 acques 2 C Soit un triangle rectangle ABC d hypot nuse AB tel que ABC 50 Donner une valeur approch e au milli me pr s de cos et sinB Donner la valeur exacte de cos sinf
7. On a alors les galit s CH GH A E xet FG A C AE BC 8 x Parimaths com CRPE 2010 2011 CMJ a Calculer en fonction de x tan ACB et tan DA G On admettra pour la suite de la question que deux angles aigus ayant la m me tangente sont gaux b En d duire que le d coupage convient six 8x 64 Interpr ter cette galit en termes d galit d aires 4a D velopper x 4 En d duire que x 8x 64 si et seulement si x 4 A5 o x 4 4V5 b Montrer qu il n y a qu une seule valeur possible de x pour pouvoir construire le puzzle A retenir Y DANS UN TRIANGLE RECTANGLE on peut d finir des relations entre les angles aigus et les longueurs des c t s C t oppos Hypot nuse x C t adjacent B x _ longueur du cot Oppos x _ longueur du cot Adjacent x Sin x gt Cosx longueur de l Hypot nuse longueur de l Hypot nuse longueur du cot Oppos x Tan x AE EC CARE POSE CA longueur du cot Adjacent x On pourra s aider d un moyen mn motechnique pour les retenir le traditionnel SOH CAH TOA ou le favori de certains l ves CAH SOH TOA dont chaque lettre est pr sente dans les formules Le sinus et le cosinus d un angle sont toujours inf rieurs 1 puisque l hypot nuse pr sente au d nominateur des rapports est le plus grand c t Par contre la tangente d un angle aigu peut prendre toutes les valeurs Pour deux angles aigus compl mentaires
8. t P dans l enroulement direct mais on peut aussi consid rer que dans un enroulement dans le sens indirect il correspond au point P d abscisse 1 sur la droite d On codera n gativement cet enroulement La droite d tant illimit e on imagine ais ment que l enroulement se poursuive et que d autres tours associent de nouveaux points de d donc de nouveaux r els chaque point M Ainsi chaque tour nouveau la longueur de l arc IM augmente de 27 La figure 2 montre que certains points remarquables du cercle sont associ s des r els dont la valeur exacte est donn e en fonction de z Ainsi les points P Q R se positionnent en J K L dans l enroulement et les EE i m 3m longueurs des arcs IJ IK IL sont alors PAR NNENN QT Le point S se positionne en I dans l enroulement direct son abscisse sur d est 27 Sur la figure 3 dans le rep re 0 I J le point M du cercle trigonom trique est rep r par son abscisse OA et son ordonn e OB Le triangle OMA tant rectangle la longueur de son hypot nuse OM tant gale 1 on remarque que cos MO OA et sinMO lt On retrouve alors certaines valeurs particuli res Ainsi si M est en I cos0 1 et sin0 0 si M est en J cos90 0 et sin90 1 si M est en K cos 180 1 et sin180 0 On peut remarquer sur le cercle que pour deux angles suppl mentaires comme MOA et M O dont la somme est gale 180 les cosinus sont oppos
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