Corrigé dnb 2014 de mathématiques
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1. PGCD b a b e Donc le PGCD de 216 et 126 est la derni re diff rence non nulle soit 18 e De ce fait 216 et 126 ne sont pas premiers entre eux et la fraction n est pas irr ductible e Rendons la fraction irr ductible Math93 com 4 MathExams fr Correction DNB 2014 Centres trangers Mardi 17 Juin 2014 Quand on simplifie une fraction par le PGCD du num rateur et du d nominateur on obtient une fraction irr ductible Donc ici on obtient une fraction irr ductible en divisant num rateur et d nominateur par leur PGCD 18 216 18x12 12 126 18x7 7 Exercice 2 3 points Une lance longue de 20 pieds est pos e verticalement le long d une tour consid r e comme perpendiculaire au sol Si on loigne l extr mit de la lance qui repose sur le sol de 12 pieds de la tour de combien descend l autre extr mit de la lance le long du mur On va faire un sch ma pour mod liser la situation 20 pieds B 12 pieds Le triangle ABC est rectangle en B puisque d apr s les donn es la tour consid r e comme perpendiculaire au sol Donc d apr s le th or me de Pythagore AC AB BC 20 AB 12 AB 20 12 AB 256 Or AB est positif car c est une longueur donc AB V256 16 pieds La lance pos e verticalement contre le mur tait une distance de AD 20 pieds du sol Si on loigne l extr mit de la lance qui repose sur le sol de 12 pieds de la2. expression 2n 5 2n 5 o n est un nombre quelconque 2n 5 2n 5 2n 5 4n 25 2 En utilisant la question 1 calculer 205 x 195 Pour n 100 on a 2n 5 2n 5 2 x 100 5 2 x 100 5 205 x 195 4n 25 4 x 100 25 39 975 205 x 195 4 x 100 25 39 975 Donc www math93 com www mathexams fr 5 7 Math93 com Mathexams fi Correction DNB 2014 Centres trangers Mardi 17 Juin 2014 Exercice 6 6 points Pour pr parer son voyage Marseille Julien utilise un site Internet pour choisir le meilleur itin raire Voici le r sultat de sa recherche Calculez votre itin raire 59 000 Lille 13 000 Marseille D part Co t estim P age 73 90 59 000 Lille France Carburant 89 44 Temps 8 h 47 dont 8 h 31 sur autoroute Arriv e 13 000 Marseille France Distance 1 004 km dont 993 km sur autoroute 1 Quelle vitesse moyenne arrondie au km h cet itin raire pr voit il pour la portion de trajet sur autoroute Cet itin raire pr voit de faire 993 km sur autoroute en 8 h 31 min soit en 8 x 60 31 511 minutes donc pour calculer la vitesse moyenne on calcule la distance parcourue en 1 h 60 min Distance km 993 km d 993 x 60 SU La vitesse moyenne arrondie au km h pour la portion de trajet sur autoroute est de v 117 km h 2 Sachant que la s curit routi re pr conise au moins une pause de 10 20 minutes toutes les deux
3. heures de conduite quelle doit tre la dur e minimale que Julien doit pr voir pour son voyage Il doit effectuer 4 pauses d une dur e minimale de 10 minutes Son trajet sera donc de 8h 47min 40min soit 9h 27min 116 59 km Pour cette question faire appara tre sur la copie la d marche utilis e Toute trace de recherche sera prise en compte lors de l valuation m me si le travail n est pas compl tement abouti 3 Sachant que le r servoir de sa voiture a une capacit de 60 L et qu un litre d essence co te 1 42 peut il faire le trajet avec un seul plein d essence en se fiant aux donn es du site internet Le trajet pr voit un co t de 89 44 pour le carburant Or un litre d essence co te 1 42 donc Volume essence L prix 89 44 1 42 __ 89 44x 1 1 42 Sachant que le r servoir de sa voiture a une capacit de 60 L il ne pourra donc pas faire le trajet avec un seul plein d essence amp 63 litres www math93 com www mathexams fr 6 7 Math93 com MathExams fr Correction DNB 2014 Centres trangers Mardi 17 Juin 2014 Exercice 7 7 points Il existe diff rentes unit s de mesure de la temp rature en France on utilise le degr Celsius C aux tats Unis on utilise le degr Fahrenheit F Pour passer des degr s Celsius aux degr s Fahrenheit on multiplie le nombre de d part par 1 8 et on ajoute 32 au r sultat 1 Qu indiquerait un therm
4. tour l autre extr mit de la lance le long du mur descend donc de AD AB h 20 16 4 pieds www math93 com www mathexams fr 2 7 Maa ne Correction DNB 2014 Centres trangers Mardi 17 Juin 2014 Exercice 3 6 points Attention les figures trac es ne respectent ni les mesures de longueur ni les mesures d angle R pondre par vrai ou faux ou on ne peut pas savoir chacune des affirmations suivantes et expliquer votre choix Affirmation 1 Fausse Tout triangle inscrit dans un cercle est rectangle Un triangle inscrit dans un cercle n est rectangle que si un de ses c t s est un diam tre du cercle Le cercle circonscrit un triangle quilat ral par exemple propose un contre exemple cette affirmation tout comme le triangle ci dessous L affirmation 1 est fausse Affirmation 2 Vraie sous r serve Si un point M appartient la m diatrice d un segment AB alors le triangle AMB est isoc le Par propri t on a Propri t 1 Si un point M appartient la m diatrice d un segment alors il est quidistant aux extr mit s du segment Donc si le point M appartient la m diatrice d un segment AB la propri t 1 implique que les distances MA et MB sont gales De ce fait deux cas de figure e sile point M appartient aussi au segment AB le triangle AMB est aplati M est le milieu du segment AB e sinon le triangle AMB e
5. Brevet des Coll ges Math93 com DNB 2014 Centres trangers MathExams fr Mardi 17 Juin 2014 Correction Exercice 1 4 points Voici une feuille de calcul obtenue l aide d un tableur Dans cet exercice on cherche comprendre comment cette feuille a t remplie 1 En observant les valeurs du tableau proposer une formule entrer dans la cellule C1 puis recopier vers le bas La formule entrer en C1 est A1 B1 2 Dans cette question on laissera sur la copie toutes les traces de recherche Elles seront valoris es Le tableur fournit deux fonctions MAX et MIN partir de deux nombres MAX renvoie la valeur la plus grande et MIN la plus petite exemple MAX 23 12 23 Quelle formule a t entr e dans la cellule A2 puis recopi e vers le bas La formule entrer en A2 est MAX B1 C1 3 Que repr sente le nombre figurant dans la cellule C5 par rapport aux nombres 216 et 126 Le nombre figurant dans la cellule C5 repr sente le PGCD des nombres 216 et 126 216 4 La fraction 12 est elle irr ductible Si ce n est pas le cas la rendre irr ductible en d taillant les calculs e Avec le tableau propos on a calcul le PGCD des entiers 216 et 126 l aide de l algorithme des diff rences qui est bas sur la propri t suivante Proposition 1 Le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b avec a gt b est le m me que celui de b et de leur diff rence PGCD a b
6. amide Le mode d emploi de la lampe pr cise que une fois allum e elle br le 4 cm d huile par heure Au bout de combien de temps ne restera t il plus d huile dans le r servoir Arrondir l unit d heures www math93 com www mathexams fr 4 7 Math93 com MathExams fr Correction DNB 2014 Centres trangers Mardi 17 Juin 2014 e Calcul du volume de la pyramide Le volume de la pyramide est gal au tiers du produit de l aire du carr de base ABCD par la hauteur SO donc AB x SO 352x22 26950 m es 3 3 3 e Calcul du volume de la pyramide r duite Le r servoir en verre est une r duction l chelle de la vraie pyramide donc les distances sont divis es par 500 et d apr s le cours les aires le sont par 500 et les volumes par 5003 Le volume de la pyramide r duite est donc y 1 da 5003 26 950 1 y m 3 5003 Or on a 1 m 105 cm 2 1 y tan 500 105 cm 1 y SE cm e Proportionnalit Une fois allum e elle br le 4 cm d huile par heure donc on peut trouver au bout de combien de temps il ne restera plus d huile dans le r servoir l aide d un tableau de proportionnalit Volume cm 4 cm cm 15 Temps heures Donc le temps cherch est arrondi l unit d heure 53 2 heures 18 heures 30 Le r servoir sera vide au bout d environ 18 heures Exercice 5 3 points 1 D velopper et r duire l
7. om tre en degr s Fahrenheit si on le plonge dans une casserole d eau qui g le On rappelle que l eau g le 0 C Si la temp rature est de 0 C alors elle est de 0 x 1 8 32 32 F 2 Qu indiquerait un thermom tre en degr s Celsius si on le plonge dans une casserole d eau port e 212 F Que se passe t il On appelle la temp rature en C On a alors 1 8t 32 212 1 8t 180 t 100 Le thermom tre indiquerait alors 100 C L eau bout cette temp rature 3 3 a Si l on note x la temp rature en degr Celsius et f x la temp rature en degr Fahrenheit exprimer f x en fonction de zx f x 1 8x 32 3 b Comment nomme t on ce type de fonction La fonction f est de la forme f x ax b avec a 1 8 et b 32 donc c est une fonction affine 3 c Quelle est l image de 5 par la fonction f L image par 5 par la fonction f est f 5 1 8 x 5 32 41 3 d Quel est l ant c dent de 5 par la fonction f L ant c dent de 5 par la fonction f est la solution de l quation f x 5 soit f x 5 4 1 8r 32 5 lt gt 1 8z 5 32 27 27 1 8 i lt gt r L ant c dent de 5 par la fonction f est 15 3 e Traduire en terme de conversion de temp rature la relation f 10 50 Puisque f 10 50 cela signifie donc que 10 C 50 F Fin du devoir www math93 com www mathexams fr 7 1
8. st isoc le en M L affirmation 2 est vraie si on consid re le cas du triangle aplati valide 3 7 www math93 com www mathexams fr maa com Correction DNB 2014 Centres trangers i Mardi 17 Juin 2014 Affirmation 3 Fausse Dans le triangle ABC suivant AB 4 cm Il existe une infinit de triangles dont un c t BC fait 8 cm et l angle ABC 60 On ne peut que r pondre que l affirmation 3 est fausse 4 Affirmation 4 Vraie Le quadrilat re ABCD ci contre est un carr Le quadrilat re ABCD a 4 c t s de m me mesure donc c est un losange Or un losange ayant un angle droit est un carr Donc l affirmation 4 est vraie On peut d montrer qu un losange ayant un angle droit est un carr en utilisant la propri t li e aux angles d un losange Propri t 2 Si un quadrilat re est un losange alors ses angles oppos s sont de m me mesure et deux angles cons cutifs sont suppl mentaires Exercice 4 5 points Paul en visite Paris admire la Pyramide r alis e en verre feuillet au centre de la cour int rieure du Louvre Cette pyramide r guli re a e pour base un carr ABCD de c t 35 m tres e pour hauteur le segment SO de longueur 22 m tres C A B Paul a tellement appr ci cette pyramide qu il ach te comme souvenir de sa visite une lampe huile dont le r servoir en verre est une r duction l chelle 500 de la vraie pyr
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