Le calcul formel au lycée avec Xcas
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1. gauche sous les menus A propos des menus on notera qu ils n ont presque servi rien On peut bien s r les utiliser mais ils sont touffus redondants on aura la m me commande dans plusieurs menus diff rents et il n y a pas d aide pour expliciter les commandes Pour d buter mieux vaut les oublier On pourra ventuellement utiliser le menu aide qui donne acc s des documents tr s int ressants mais qui peuvent tre complexes pour des lyc ens et aussi le menu scolaire qui regroupe les commandes essentielles qu on verra ici Voil le principe g n ral de fonctionnement finalement c est simple non 3 EXEMPLES 3 1 CALCULS 2 3 5 8 12 ET 1 3 1 4 7 q 2647418 sqrt 48 D Chevallier courelectr free fr page 4 11 Calcul formel avec Xcas au lyc e Version 1 2 du 8 nov 2013 Presque pareil que ma Casio 92 coll ge On peut donc se servir de Xcas comme d une calculette Il faut bien videmment respecter les priorit s d op rations et crire le calcul correctement comme sur une calculette d ailleurs Xcas simplifie les fractions et les racines Par contre Xcas est un peu plus puissant qu une calculette du commerce m me tr s perfection n e On peut le voir en 6 nota le signifie puissance ici on calcule 49 puissance 23 il y a quelques chiffres dans le r sultat un peu plus que 10 De m me Xcas utilise pi comme va leur exa2. cas l on peut l am liorer en ajoutant la commande normal ou encore simplifier D Chevallier courelectr free fr page 6 11 Calcul formel avec Xcas au lyc e Version 1 2 du 8 nov 2013 Ces deux commandes ne sont pas des synonymes on testera l une ou l autre selon les cas de figure de mani re obtenir un r sultat convenable Nota ici j ai cr une autre fonction d riv e df1 des fins de d monstration Il aurait suffit de corriger la commande 3 apr s coup en rajoutant normal L interface de Xcas nous r serve aussi d autres bonnes surprises notamment un menu local si tu droite de toute ligne de r sultat Voyons a de plus pr s df El _ 2x2 x 24 1 gt 2x2 x 2 x 1 x 3 3 M 4 Forme simplifi e de la d riv e S lectionner tout 5 i 1 normal diter la s lection simplifier 2 y Ox 7 ue rer factoriser approx ifef 6 Solutions de f x 0 Pn ie exact solve df x 0 x eval r T7 frs Te x G r 9 M a ISiane de f Avant a ns ls Je Le d ols Quand la machine nous donne un r sultat dont l aspect n est pas trop avenant ou que la forme ne nous convient pas on peut rectifier le tir en s lectionnant le r sultat il devient bleu et en cliquant dans le M situ droite du r sultat un menu local appara t Sur la figure ci dessus on peut choisir normal et on obtient une forme plus exploitable Mieux on
3. d int gration comme en 20 En 21 on calcule une primitive d une fonction du type u exp u h x 1 x 1 2 II Interpr te h JI Succ s lors de la compilation h int h x x int h x x 0 x intih x x 2 3 int 2x e x72 x exp x 4 R SOLUTION DE PROBL MES 4 1 R SOLUTION D QUATIONS ET DE SYST MES Nous avons d j vu la commande solve pour r soudre l quation f x 0 On va voir d autres types d quations et de syst mes d quations e2 3x 4y 1 E3 x 4 y 1 solve el e21 x y1 5 4 solve ln x 2 3 x exp 3 2 ln exp x 2 3 4 In exp x 2 3 4 l solve e3 x In exp 4 3 2 Par exemple en 1 et 2 on d finit deux quations avec deux inconnues x et y On note la syntaxe standard Xcas un peu particuli re on affecte une galit une variable Il ne faut surtout pas se tromper quand on tape et Cet exercice montre bien la diff rence entre une galit et une affectation d une valeur une variable D Chevallier courelectr free fr page 9 11 Calcul formel avec Xcas au lyc e Version 1 2 du 8 nov 2013 La commande solve 3 est la m me que celle d j utilis e sauf qu on met les noms des quations entre crochets et les inconnues aussi on aurait pu aussi mettre directement les quations dans la commande solve mais a nuit un peu la lisibilit On peut bien entendu r soudre des sys
4. et c est tout On obtient alors la fen tre de travail D Chevallier courelectr free fr page 1 11 Calcul formel avec Xcas au lyc e Version 1 2 du 8 nov 2013 ANO Xcas Nouvelle Interface Graphe Geo Tableur Phys Scolaire Tortue o v 7 8 9 _esc x s I 9I i st gt 1 7 4 5 6 rms DRE RE gt factoris a f E sin a cos a tm 1 11 21 3 Mie O ab simplifi _prg Lim gt in exp logio 10 Jol LE 42 On peut commencer par escamoter le clavier du bas en cliquant sur le bouton Kbd en haut droite sous les menus ce clavier ne nous servira pas vraiment enfin c est ma fa on de faire si vous voulez l utiliser libre vous Ensuite vous pouvez redimensionner et d placer la fen tre sur votre cran si vous allez dans le menu Config Sauver pr f rences ces r glages seront conserv s lors d une utilisation ult rieure tr s pratique pour se retrouver chez soi Pour la configuration c est simple le logiciel est bien configur d origine pour l usage qu on en fera on ne touchera donc rien A part a on remarque une interface assez d pouill e les menus en haut et le champ de saisie d une expression num rot 1 et en blanc on y tapera simplement nos commandes 2 3 PRINCIPE D UTILISATION Pour d marrer il suffit de conna tre deux choses de base l affectation d une valeur ou d une expression une varia
5. la commande limit il y a juste quelques astuces de syntaxe conna tre limit f x x infinity On retrouve le m me type de syntaxe qu avec la commande solve il faut dire Xcas quelle est la variable utilis e d o le f x x Quand on veut la limite en on utilise les mots cl infinity ou infinity En 13 et 14 on cherche les limites pr s de la valeur interdite 3 il faut rajouter un argument qui vaut 1 si on cherche la limite par valeur sup rieure x 3 et x gt 3 et 1 si on cherche la limite par valeur inf rieure x 3 et x lt 3 3 4 2 Int gration L encore on va voir que c est un peu plus rapide avec Xcas qu la main On va prendre une fonction du type u un avec ici n 2 Il suffit de taper la commande int avec les bons arguments en 18 c est juste A x donc le logiciel nous renvoie une primitive sans constante qui correspond au catalogue vu au lyc e Si on veut LA primitive qui s annule en une valeur donn e on se rappellera de la formule suivante D Chevallier courelectr free fr page 8 11 Calcul formel avec Xcas au lyc e Version 1 2 du 8 nov 2013 f f x dx F x avec F a 0 Ceci est mis en application en 19 o on a rajout deux arguments qui sont simplement les bornes d int gration ici on cherche la primitive qui s annule en 0 L int grale prise entre 2 et 3 de la m me fonction s obtient juste en donnant les bornes
6. param trage optimum correspondant notre probl me Rien de nouveau par rapport une r solution la main en fait il faut tre rigoureux et proc der avec ordre et m thode Qui a dit que les logiciels de maths taient des outils pour les nes et qu ils s occupaient de tout la place de l l ve On aura not que quand on valide une commande avec la touche entr e une autre ligne de commande blanche appara t en dessous pr te pour l ordre suivant Si on se trompe dans la derni re commande on obtient un message d erreur parfois en Anglais il suffit de la modifier et de la revalider avec la touche entr e Si une commande ne sert rien on peut l effacer il faut cliquer sur son n gauche il devient noir et on appuie sur la touche d effacement Si on a oubli une commande au beau milieu de la feuille il faut cliquer dans la ligne de com mande situ e en dessous de celle qu on veut rajouter et on s lectionne le menu outils nouvelle entr e Une ligne de commande blanche appara t au dessus Si on modifie une commande situ e au milieu de la feuille de calcul la session Xcas ou si on en rajoute une il faut recalculer toute la feuille l aide du menu edit ex cuter session ou de la combinaison de touches CTRL F9 Fn CTRL F9 sur les portables Mac Pour sauvegarder son travail il faut cliquer sur le bouton sauver situ en haut
7. peut appliquer le traitement uniquement une partie de l expression ci dessous on factorise uniquement le d nominateur df f 2 y 6 x 7 gt 6 x 9 M 4 Forme simplifi e de la d riv e S lectionner tout 5 arte normai diter la s lection simplifier 3 df f a 6 x 7 normal 2 ET E 6 x 7 X 1a x 6 Solutions de f x 0 R s exact Mais attention si vous recalculez toute la session touches CTRL F9 ces modifications seront cras es il vous faudra les refaire Poursuivons l analyse de nos r sultats la commande 7 nous donne les valeurs de x qui annulent la d riv e et la commande 8 nous donne le signe de la d riv e qu il faut interpr ter ainsi x gt 1 xE 1 00 3 gt x xE 3 x gt 3 xe 3 oof et 7 gt x xEl w 7 On a vu que les virgules correspondent une r union et les and des intersections on aura donc au final xE 1 3 U 3 7 Cet ensemble sera celui sur lequel notre fonction est croissante car la d riv e y est positive L l ve qui a fait tout son calcul et qui veut juste v rifier son tableau de variations peut simplement taper la commande suivante 9 F soive x 2 2x 1 x 3 gt 0 x x gt 1 and 3 gt x x gt 3 and f gt x solve x 2 2x 1 x 3 lt m x 1 gt x x gt f Il y a beaucoup de parenth ses v rifiez bien l expression saisie On s est content ici d crire l exp
8. Calcul formel avec Xcas au lyc e Version 1 2 du 8 nov 2013 Le calcul formel au lyc e avec Xcas 1 DE QUOI S AGIT IL Xcas est un logiciel de calcul formel c est dire qu il est capable de faire du calcul litt ral en plus du calcul num rique On peut donc r soudre des quations m me celles ayant des coeffi cients qui ne sont pas num riques on peut factoriser et d velopper des expressions calculer une d riv e ou une primitive d une fonction On peut travailler sur des vecteurs des matrices des suites Et faire bien d autres choses tr s complexes mais dans cette introduction l utilisation de ce logiciel on s en tiendra certains aspects du programme de lyc e g n ral Xcas est bien plus qu un logiciel de calcul formel il sait faire aussi de la g om trie dynamique comme GeoGebra il int gre plusieurs langages de programmation un tableur un peu sp cial Bref c est selon son auteur un couteau suisse des maths tr s puissant et d une grande homog n it entre ses diff rents modules c est la cause d une complexit certaine et qui fait que dans ce document on n abordera qu une seule des facettes de ce logiciel Et l on verra qu il est tr s abordable et simple d emploi Ce petit mode d emploi est donc volontairement tr s r ducteur quand vous serez familiaris s avec le module de calcul formel je vous engage explorer tout le reste A quoi sert un logiciel de calcul formel au ly
9. O _ a aEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaE On notera en 3 que la forme factoris e n est pas tout fait la m me que celle donn e dans les manuels de 1 il aurait fallu factoriser par 3 le 2 facteur pour retrouver la 2 racine L analyse du r sultat demande un peu de r flexion On note pour les commandes solve qu on rajoute un x apr s l galit ou l in galit r soudre a signifie qu on r sout une in galit d inconnue x D Chevallier courelectr free fr page 5 11 Calcul formel avec Xcas au lyc e Version 1 2 du 8 nov 2013 La solution de l in quation 5 nous permettra de v rifier le tableau de signes du trin me La solution est fractionn e en deux intervalles la virgule a le sens de la r union de ces intervalles Il y a des cas o la r ponse pr sente en plus des and le et anglais il faut le voir comme l intersection d intervalles Si on rentre un trin me sous forme factoris e on peut bien entendu le d velopper la com mande developper se fera une joie d ex cuter ce travail pour nous 7 On note en 6 le message d erreur lors de la d finition de la fonction f on n a pas mis de symbole multiplier entre les deux expressions entre parenth ses Xcas le signale mais finalement il accepte la syntaxe Celle ci est donc tr s souple compar e celle de logici
10. aide dispara t et la commande a t compl t e dans la ligne 1 il suffit de rentrer notre expression et de valider la commande en appuyant sur la touche entr e du clavier ANSO Xcas Nouvelle Interface Fich Edit Cfg Aide Outils Expression Cmds Prg Graphe Geo Tableur Phys Scolaire Tortue Sans_nom Sauver Config exact real RAD 12 xcas STO Kbd X developper x 1 x 4 7 x 93 x 4 M da x 1 x 4 x 1 x 4 M d developper A 9 x 9 x 4 M A x x 1 x 4 if Interpr te il Succ s lors de la compilation x _ gt x 1 x 4 M FEI M D Chevallier courelectr free fr page 3 11 Calcul formel avec Xcas au lyc e Version 1 2 du 8 nov 2013 Ci dessus on peut juger du r sultat qui appara t sous la commande et voir aussi diverses ma ni res d aborder notre expression e on peut directement d velopper notre expression comme en 1 e on peut d abord donner l expression et ensuite la d velopper 2 et 3 cette mani re de faire nous permettra d effectuer d autres op rations sur la variable A qui contient notre ex pression e on peut aussi exprimer sous forme d une fonction A x comme en 4 a sera utile si par exemple on demande d valuer pour x 3 5 ce qui ne serait pas faisable aussi sim plement avec la d finition 2 de A Il est donc important avant de commencer un calcul de voir l exercice dans sa globalit afin de choisir le
11. ble ou une fonction et utiliser l aide en conjonction avec vos connais sances de base en maths L affectation ou assignation se fera toujours de la m me mani re en utilisant Ensuite en fonction de l op ration qu on voudra faire d velopper factoriser simplifier d river int grer calculer une limite on commencera taper le nom de l op ration d sir e et on appuiera sur la touche du clavier tabulation pour voir appara tre la fen tre d aide Cette fen tre est le dictionnaire de Xcas voir illustration page suivante En haut gauche dans la case index vous avez la liste de toutes les commandes Xcas par ordre alphab tique sur la ligne du centre vous pouvez taper les premi res lettres d une commande et l index se positionne en cons quence la case en dessous vous donne une explication de la fonctionnalit de la commande et celle encore en dessous donne des exemples d application A droite vous avez les synonymes Xcas est tr s tol rant sur la syntaxe il parle Fran ais ou Anglais on peut utiliser indiff remment solve ou resoudre Au dessus vous avez une case qui indique des commandes en lien avec celle que vous tudiez Vous noterez qu aucune commande ne comporte de caract re accentu m me celles exprim es en Fran ais et l aide ne les prend pas en compte on tapera donc deriver et non pas d river Prenez bien le temps de lire les paragraph
12. c e e Ce n est absolument pas l outil miracle qui fait le devoir la place de l l ve loin de l d autant plus que parfois il faut arranger le r sultat donn par la machine donc comprendre ce qu on fait et que dans tous les cas dans un devoir ce n est pas tant le r sultat qui compte que la mani re d y arriver la d marche qui doit tre explicit e dans la copie et a Xcas ne vous le fera pas e C est un merveilleux outil de conjecture d investigation et de r flexion quand on flaire une piste dans un raisonnement si cette piste demande beaucoup de calculs pour tre explor e on peut la valider ou non tr s vite et viter de perdre du temps inutilement e Et aussi pour les l ves d sireux de faire des exercices suppl mentaires c est un super outil d autocorrection 2 PREMIERS CONTACTS 2 1 POUR QUELS ORDINATEURS Tous Xcas existe sur les plateformes Windows Linux et MacOsX C est un programme relative ment l ger qui tourne bien sur toutes les machines m me sur les petites configurations par exemple sur mon eeepc 701 op rationnel en 2s apr s clic On trouvera le logiciel et une abondante documentation l adresse suivante http www fourier ujf srenoble fr parisse giac_fr html 2 2 INSTALLATION CONFIGURATION Le logiciel s installe normalement sans probl mes Quand on le lance pour la premi re fois il demande le choix de la configuration Maple ou Xcas on choisit Xcas
13. cte il n utilise pas de valeur approch e mais on peut en obtenir une avec la commande evalf en 8 et 9 et dans cette derni re on sp cifie le nombre de chiffres significatifs d sir s ici 38 Il y a bien d autres subtilit s qu on n abordera pas ici les courageux iront voir la doc 3 2 TRIN ME DU SECOND DEGR 2 ET 15S ET ES On a ici un probl me classique de 1 voire de 2 on pourra mettre le trin me sous forme ca nonique le factoriser rechercher ses racines et on pourra aussi tudier son signe gr ce une in quation La syntaxe des commandes est tr s simple et intuitive comme on a vu au 82 3 il suffit de com mencer taper une commande pr sum e d appeler l aide avec la touche de tabulation et de choisir la commande ad quate dans l index On aura donc les commandes forme_canonique factor ou son synonyme factoriser et solve ou son synonyme resoudre pour faire tout ce travail I Succ s lors de la compilation p 2 x 23tx tx 4 d forme canonique p x 12 13 7 27 factor pix 1 13 1 5 34x V13 1 4 solve D x 0 x 13 1 V 13 1 4 I 3 E solve cix gt 0 x 2x 3 5x 1 Lx Attention utilisation de multiplication implicite pour 2 x 3 5 x 1 li Interpr te f Il Succ s lors de la compilation f x gt 2 x 3 5 x 1 i developper f x 2 10 x 13 x 3
14. els concurrents o tous les symboles doivent appara tre par ex 2 x 2 3 2 x 5 Avec Xcas on crit 2x12 3 2x 5 Il ne faudra pas oublier ceci si d aventure on utilise WxMaxima ou un autre logiciel de calcul for mel Xcas s est assoupli au fil des versions et c est tant mieux 3 3 TUDE DE FONCTION 15S ET ES L tude sur papier d une fonction se fait pas pas e on d termine l ensemble de d finition de f s il n est pas donn ou impos e on calcule la d riv e f e on recherche les valeurs qui annulent la d riv e f x 0 e on d termine le signe de la d riv e f x gt 0 e on dresse le tableau de variations Avec Xcas on fera exactement la m me chose Si on veut juste v rifier le tableau de variations on verra une proc dure acc l r e f x m x 22x71 x 3 li Interpr te f ii Succ s lors de la compilation f Calcul de la fonction d riv e df f 2 CS E ES 8 a XX Forme simplifi e de la d riv e dl normal f 6 Solutions de f x 0 solve df x 0 x 1 T e Signe de f o solve df x gt 0 x x gt 1 and 3 gt x x gt 3jand 7 gt x En 1 on d finit notre fonction en 2 on met un petit commentaire menu outils nouveau commentaire et en 3 on d finit la d riv e de la mani re la plus vidente qui soit Mais le r sultat n est pas franchement sympa Dans ce
15. es ci dessus et d explorer cette fen tre d aide On comprendra qu il suffit de taper les premi res lettres pr sum es d une commande pour obtenir fa cilement via l aide la syntaxe exacte de l action qu on d sire ex cuter D Chevallier courelectr free fr page 2 11 Calcul formel avec Xcas au lyc e Version 1 2 du 8 nov 2013 Maintenant place l exemple votre petit fr re ou s ur est en 4 vous devez v rifier si ses exercices de d veloppement sont bons et vous avez la flemme de les faire la main Voyons ce que a donne avec Xcas Ars Fich Edit Cfg Aide Outils Expression Cmds Prg Graphe Geo Tableur Phys Scolaire Tortue Sans nom z ne Index ont p dev OK Annuler D tails Index Voir aussi deSolve normal desolve simplify dessine_tortue ratnormal Det det det minor developper_transcendant dfc synonymes diag diagramme_batons Dialog Distribue totalement et par rapport et developper Expr developper developper x y z 1 developper a b c d developper y x 2 y x 2 developper x 3 4 developper 2 x 2 1 x 2 J X 2 x 2 2 x 3 2 x 3 1 A On commence taper dev on appuie sur gt I et on obtient l cran ci dessus Pour ne pas se fatiguer taper la commande en entier on la s lectionne dans la fen tre index et on va sim plement cliquer sur le bouton OK en haut gauche La fen tre d
16. graphique D Chevallier courelectr free fr page 10 11 Calcul formel avec Xcas au lyc e Version 1 2 du 8 nov 2013 f x a x 3 b x 2 c x d II Interpr te f I Attention a b c d d clar e s comme variable s globale s lors de la compilation f a 3 S xX gt a x b x c x d a 3 b 2 c 0 6 ed f 2 7 2 7 a 8 b 4 c 2 d 5 solve el e2 e3 e4 a b c dl 5 2 NI I m un 1 7 En 1 on d finit notre fonction Xcas n est pas g n par le fait que les coefficients sont des valeurs litt rales et pas num riques En 2 on d finit la d riv e comme au 8 3 3 Xcas retrouve ses petits car la variable d clar e dans la d finition de la fonction est x pas de soucis Les lignes 3 6 d finissent les quations on rentre simplement les donn es lues sur le graphique et la ligne 7 donne la solution On peut aussi vouloir prolonger notre probl me par exemple quand notre fonction est d finie on peut vouloir d terminer ses variations calculer les coordonn es des extrema locaux etc On va proc der ainsi x1 x2 solve df x x On r affecte les solutions de l quation aux variable a b c et d en 7 Notez la syntaxe particu li re avec double Ceci s explique par le fait que Xcas donne une liste de solutions et cette liste est exprim e comme ceci s1 S2 Sn dans le cas o il y a n solutions Ici il n y a q
17. ression de f x entre parenth ses et d ajouter la fin ceci correspond donc f x En 10 on a r p t la m me commande mais avec lt au lieu de gt On note la diff rence dans le r sultat en 10 3 qui est valeur interdite n appara t pas dans le r sultat car cette valeur est en D Chevallier courelectr free fr page 7 11 Calcul formel avec Xcas au lyc e Version 1 2 du 8 nov 2013 dehors de l intervalle r ponse Les deux r ponses sont videmment bonnes mais la r ponse la question 9 est plus compl te pour notre probl me que celle de la question 10 Encore une fois il faut bien r fl chir au r sultat renvoy par la machine prendre le temps de l interpr ter et de le confronter d autres informations un trac graphique par exemple Et comme on l a vu en 9 et en 10 poser deux fois la m me question la machine sous deux formes diff rentes peut tre tr s instructif Pour parfaire le tableau on peut aussi videmment tracer le graphe de la fonction dans le plan avec la commande plotfunc Les graphiques n tant pas sp cialement intuitifs manipuler on en restera l dans ce document plotfunc x l Si vous tes un peu curieux l aide vous en dira plus 3 4 TUDE DE FONCTIONS LIMITES TS ET INT GRATION TS ET TES 3 4 1 Limites En terminale S on tudie les limites de fonctions La r ponse apport e par Xcas est tr s simple avec
18. t mes avec beaucoup plus d quations Dans tous les cas m me si le probl me vous semble infaisable donnez le Xcas s il n est pas content il vous le dira et sinon il vous donnera une solution En 4 et 5 on a des quations faisant intervenir des logarithmes et des exponentielles la syntaxe est strictement la m me Il arrivera que Xcas soit mis en chec l quation 7 n a pas de solution analytique dans IR ni pour Xcas ni pour le meilleur math maticien du monde Xcas nous le dit On peut alors obtenir une approximation num rique avec la commande fsolve 7 e4 1n x 2 x 3 In x 2 x 3 e solveled x o fsolveled x 1 6569344135896 4 2 D TERMINER UNE FONCTION AVEC PARAM TRES Un exercice fr quent consiste donner l nonc d une fonction d pendant de plusieurs para m tres de donner des infos graphiques permettant de calculer des images et des nombres d riv s et d en tirer des quations permettant de calculer nos param tres Ex soit la fonction f d finie de la mani re suivante f x ax bx cx d D apr s le graphique suivant d terminez les images de 3 1 et 2 par f ainsi que le nombre d ri v en 1 D duisez en les coefficients a b c et d um mm a N m l b al a E EE T l EN A E E E T AE l l jun iaie ei j ni ne eu ne mi ins Voyons ce que a donne avec Xcas on note qu il faut savoir lire le
19. u une solution qui est compos e d un quadruplet or Xcas d finit ce quadruplet comme une liste Au final on a une liste dans une liste ce qui donne a b c d On voit en 8 et 9 que les fonctions f et df ont int gr les valeurs des param tres et sont donc op rationnelles on peut calculer les valeurs des extrema ainsi que leurs images Nota en 10 l quation a deux solutions x1 et x2 ce n est pas un doublet on crit donc x1 x2 D Chevallier courelectr free fr page 11 11
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