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Entre écran et papier

1. 0 80 SYNTHESE ET CONCLUSION Comparez les r sultats obtenus par les deux approches A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 55 LA TASSE DE CAFE J Lubczanski I Lallier Girot 2 La page du prof Suite g om trique Calculatrice ou tableur D croissance exponentielle Ampleur 2 Le travail propos ici est une d marche de mod lisation d un ph nom ne de la vie quotidienne le refroidissement d une tasse de caf Avant d aborder les aspects math matiques il est bon de savoir que le caf sort de la cafeti re une temp rature tr s lev e aux alentours de 85 qui br lerait nos l vres si on n utilisait pas un isolant thermique la tasse en porcelaine prot ge nos l vres du liquide br lant et permet de l ingurgiter sans douleur ni blessure car l int rieur de notre bouche supporte ces temp ratures Cet nonc est con u comme une introduction l utilisation de la fonction exponentielle pour d crire un ph nom ne physique Il suppose qu on ne conna t pas encore la r solution de l quation diff rentielle y ay ni la fonction logarithme n p rien Et aussi que les l ves n ont pas encore tudi la d charge d un condensateur en Physique Mais ce n est pas r dhibitoire revenir par une nouvelle approche sur une notion d j tudi e permet de consolider les
2. Maths entre Pga Eco A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 59 UNE EQUATION TRANSCENDANTE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Croissance compar e Ampleur 1 Logarithme Geogebra Cette activit exp riment e avec un franc succ s aupr s des l ves s articule autour de trois points D abord l quation propos e n admet aucune r solution th orique possible Il faut donc l aborder d une autre fa on on va tracer deux courbes et chercher les abscisses de leurs points d intersection Quand on parle d impossibilit d une r solution th orique on veut dire qu il n y a pas de formule explicite des racines utilisant les fonctions usuelles comme les l ves en ont l habitude pour les quations du second degr par exemple Par contre le th or me des valeurs interm diaires peut nous d montrer l existence des racines et nous aider les localiser aussi pr s que nos moyens de calcul le permettront Il peut tre int ressant d attirer l attention des l ves la fin de l activit sur le fait que la fonction exponen tielle n est pas de la m me famille que les fonctions puissances ce n est pas un polyn me c est une fonction transcendante Ensuite la question pos e est choisie pour interpeller les l ves sur ce qui se passe quand x devient tr s grand pour
3. du terme g n ral des valeurs de qn 24 10 d apr s la formule n 3 Mise l preuve 2 Mise en oeuvre 3 les diff rences des diff rences Pn 3qn bn Pn 3Qn Mise l preuve 1 Mise en oeuvre 2 Tester le quotient Pn S Calcul sur tableur an des quotients e dn ou Mise en oeuvre 1 La question pos e Comparer la suite Calcul sur tableur de d finie par qo 0 30 valeurs de qn et pn et pour tout n Cr ation du nuage n An 1 24n 1 des points Pn qn et la suite Ph d finie par pn 2 Observations 1 Conjecture 1 Les points sont align s Lex b sur une droite oo LE RS 4 A Cette droite 1e que Pn ax dn passe par l origine Conjecture 1 rejet e 8 Conjecture 2 Observations 2 La droite a un coef E Les q otients ne dir gal 3 mais elle sonupas Constant Ils sont voisins de 3 ne passe pas par O et s en rapprochent Conjecture 2 rejet e Observations 3 jecture 3 es Conjec ure Ee Les diff rences valent Pn 3Qn D alternativement 1 et 1 Conjecture valid e exp rimentalement Observations 4 Expression de qn en fonction de n 2 Les valeurs obtenues 2 1 co ncident avec celles ii 3 d j calcul es A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 47 ET POURTANT ILS TOURNENT J Lubczanski I Lallier Girot Dans un rep re orthonorm on cons
4. 2 En soustrayant membre membre ces deux galit s calculez la valeur de b puis les valeurs possibles de b 3 D terminez l expression alg brique de h x TRAVAIL DEVANT CRAN Revenez votre figure Geogebra 1 Tracez la courbe repr sentative de h 2 Est ce que cette courbe confirme l expression alg brique que vous avez obtenue pour h x B UNE DEUXIEME METHODE On consid re pr sent la translation de vecteur v i 4j On note G l image par cette translation de la courbe repr sentative de f et on cherche la fonction g dont G est la courbe repr sentative TRAVAIL SUR PAPIER 1 Soit A un point de la courbe la courbe repr sentative de f Quelle relation y a t il entre l abscisse x et l ordonn e y de A 2 Soit l image de A par la translation de vecteur v Quelles relations y a t il entre les coordonn es x y de A et celles de A 3 Utilisez toutes les relations pr c dentes pour obtenir y en fonction de x En d duire l expression alg brique g x de la fonction g TRAVAIL DEVANT CRAN Ouvrez une nouvelle figure Geogebra 1 Tracez les courbes repr sentatives de la fonction f et de la fonction g 2 Placez un point A sur la premi re courbe et le point correspondant 3 Faites varier le point A quelle est la trajectoire du point A Est ce que cela confirme le r sultat de vos calculs A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public
5. 44 UNE SUITE PRESQUE GEOMETRIQUE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre On consid re la suite qn d finie de fa on r currente par qo 0 et pour tout entier naturel n gt 1 qn 1 2Qn 1 L objectif de ce travail est de d couvrir et de d montrer une formule explicite de qn en fonction de n A TRAVAIL A LA MAIN Calculer la main les premi res valeurs de q jusqu n 5 Est il possible que la suite qn soit arithm tique G om trique B TRAVAIL AU TABLEUR 1 Calcul de trente valeurs Ouvrez une feuille de classeur cr ez les colonnes n et qn Faites calculer et afficher les valeurs de qn pour n allant de 1 30 V rifiez que les premi res valeurs co ncident avec celles que vous avez calcul la main 2 Introduction d une autre suite S il n y avait pas le 1 n 1 serait exactement le double de qn d o l id e de comparer qn une suite g om trique de raison 2 la suite des puissances de 2 On consid re donc la suite pn d finie par pn 2 Faites calculer et afficher les valeurs de p pour n allant de 1 30 dans la colonne voisine de qn 3 Cr ation d un graphique A partir des colonnes pn et qn cr ez la repr sentation graphique des points de coordonn es Pn qn pour n allant de 1 30 quelle allure a ce graphique A quel type de relation entre pn et qn cela peut il correspondre Quelle conjecture pouvez vous faire sur l expressi
6. associative CVADAA EVAPM Evaluation par l APMEP de l impact des programmes ClasMath Classeur de documents informatis s pour le Lyc e ICTTC AQUETTE D INFORMATION 48 P sur les positions de l APMEP les et des C d roms par niveau d enseignement Des Groupes de Travail LM brochures disponible franco de et par secteur selon les besoins et sur projets port sur simple demande Avec r duction de 30 comme jeux aux adh rents Prospective Bac Co ditions et co diffusions Probl matiques Lyc e R flexion sur les programmes de Coll ge prix r duits d autres ouvrages avec des articles de fond PLOT d autres dans nos classes PUBLIMATH Revue tourn e pr f rentiellement des probl mes Banque bibliographique de vers les d butants 4 num ros une riche documentation donn es sur INTERNET en par an 160 pages environ un dossier par num ro coop ration avec les IREM
7. d quation x 0 67 xc reste constant 0 67 Conjecture valid e Observations 4 exp rimentalement A L intersection est Les milieux sont sur une demi droite le point 0 67 0 67 d termin e par x 0 67 et y 0 67 On a toujours yc gt 0 67 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 33 DIAMETRES CONJUGUES HYPERBOLE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre LA SPIRALE DU TRAVAIL PRATIQUE Approfondissement Mise en oeuvre 4 Sur quelle partie de Construction de A la droite A y 2x et des intersections se trouvent les milieux de A et H Mise l preuve Mise en oeuvre 3 valeurs de q curseur q entre 20 et 20 Retour la question Mise en oeuvre 2 Construire Construire le milieu C pour chaque branche Faire varier q plusieurs milieux C Activer la trace de C Mise en oeuvre 1 La question pos e Construction de H O sont les milieux des gt Cr ation de q points d intersection Construction de d deH et de d V Observations 1 Conjecture 1 Existence des points d intersection lql lt 2 7 pas de point si q est en dehors lal 2 8 un point d un certain intervalle ce ql gt 2 9 deux points le milieu C existe Conjecture 2 Observations 2 Les milieux C sont sur Les milieux C sont align s 2 demi droites incluses dans _ sur deux segments situ s une droite passant par O sur une droite pas
8. membre montrez qu on obtient n 1 1 3 Vn 3Un n En d duire l expression de v en fonction de n Est elle gale g n 3 Est ce que le r sultat pr c dent d montre la conjecture Wn f n A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 21 A LA MODE HONGROISE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Suite arithm tique Ampleur 1 R currence possible mais pas n cessaire Tableur Cet nonc a un double objectif au niveau contenu proposer plusieurs approches exp rimentales de la notion de suite arithm tique variation des d cimales des termes allure du graphique n wn Ces approches d bouchent au final sur l criture du terme g n ral comme fonction affine de n au niveau m thode effectuer un v ritable travail scientifique d laboration et de mise l preuve de conjectures simples issues de l observation Le tableur est ici l outil qui permet facilement ce travail La suite wn qu on va observer et tudier est d finie comme le quotient de deux suites classiques mais ces suites ne sont pas assez Jfamili res aux l ves pour qu il puissent en d terminer imm diatement la nature ce qui justifie une approche exp rimentale Nous supposons en particulier que la formule de v en fonction de n ne fait pas partie du bagage disponible puisque ce sera le r sultat final de ce travail A MISE EN PLACE DU CALCUL
9. AsS Ciation des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public Brochure n 183 b Mticques LUBCZANSKI ADS TALLIER GIROT id Jaces D p ef 4 A L a ju 3 rs rs d pendant A RE 0 87 247 www apmep asso fr Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public Brochure n 183 Jacques Lubczanski alias Tonton Lulu Isabelle Lallier Girot alias La Grande Zaza Maths entre Ecran et Papier Premi re Edition f vrier 2008 www apmep asso fr A P M E P P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public 26 rue Dum ril 75013 Paris T l 01 43 31 34 05 fax 01 42 17 08 77 mel apmep apmep asso fr http www apmep asso fr Fond e en 1909 toujours dynamique l APMEP c est eUne r flexion collective sur le m tier d enseignant de math matiques et les condi tions de son exercice de la maternelle l universit notamment en coll ge et lyc e edes interventions suivies sur l actualit et les projets moyen terme edes textes de base chartes probl ma tiques prospective bac pour des objectifs long terme e un observatoire EV APM de l impact des programmes du second degr edes publications de r f rence pour apprendre enseigner apprendre enseigner les math matiques Bulletin vert Plot Brochures eune revue PLOT eune information rapide des adh rents
10. Autrement dit ona Sn S ET 1 2 3t 2 PREMI RE PARTIE LA S RIE HARMONIQUE TRAVAIL PRATIQUE 1 La suite des inverses a Dans une feuille de tableur cr ez deux colonnes dans l une intitul e n vous placerez les entiers partir de 1 et dans l autre intitul e 1 n vous placerez leurs inverses b Prolongez ces colonnes jusqu n 100 par recopiage vers le bas Que pouvez vous dire de la limite des termes 1 n c Est ce que cela nous donne une indication sur le comportement de S quand n tend vers l infini 2 La s rie harmonique a Cr ez une troisi me colonne intitul e Sn contenant la somme des inverses des entiers de 1 n Quelle conjecture pouvez vous faire sur le comportement de S quand n tend vers l infini b Cr ez un graphique repr sentant n Sn A quelle courbe de r f rence ressemble ce graphique c On note f la fonction de r f rence correspondante Cr ez une nouvelle colonne contenant les diff rences Sn f n Que constatez vous Est ce que cela va dans le sens de votre conjecture pr c dente TRAVAIL THEORIQUE Pour tudier le comportement de la somme Sn on va d couper cette somme en paquets partir de 1 2 Pour n gt 1 on d finit des paquets de termes cons cutifs P 1 1 1 1 1 1 1 1 P P P3 r 2 3 4 4 5 6 1 Etude du paquet P a Quel est le premier terme du paquet P Le dernier terme Combien de termes comporte le paquet P b D montrez
11. par n 2 et la divergence de cette suite 3 Limite de la s rie harmonique La suite des S est une sous suite de la suite des S et elle est divergente vers c pour en d duire que la suite des S est elle aussi divergente vers on a besoin de sa monotonie Pour r diger cela convenablement les l ves devront repasser par la d finition de la limite infinie d une suite cette question est une petite restitution organis e de connaissances DEUXI ME PARTIE TUDE DES PAQUETS On pourrait tablir th oriquement la convergence de la suite P par le th or me de convergence monotone En effet il est facile d tablir que cette suite est croissante et major e d une part Pn Son Sn gt 2n 1 2n 2 D autre part P est la somme de n termes tous strictement inf rieurs 1 n donc P lt 1 Mais cela ne donne pas la limite de cette suite Nous avons pr f r commencer par une approche pratique qui donne une id e de la valeur de la limite avant d en d couvrir la valeur exacte dans une partie th orique TRAVAIL PRATIQUE Le centi me paquet est P100 S200 S100 pour calculer les 100 premiers paquets il faut donc calculer S jusqu n 200 La fonction RECHERCHE sert afficher la valeur de S sur la m me ligne que S pour calculer facilement le paquet P On observe que les termes P croissent et se rapprochent d un nombre 0 693 assez myst rieux a priori pour un l ve TRAV
12. une fonction ne peut tre paire ou impaire que si son domaine de d finition est sym trique par rapport 0 la fonction h d finie sur R 1 ne peut donc pas a priori tre paire ni impaire Mais le but de cette partie tait d abord de manipuler les expressions h x et h x qu on retrouvera dans la suite de ce travail B Les fonctions pet i Nous pr f rons commencer par une approche graphique directe des fonctions p et i plut t que par leur expressions alg briques d autant que le calcul de ces expressions de p x et i x n est pas n cessaire pour tracer leurs courbes repr sentatives h x h x h x h x En effet si la fonction h est d j d finie en saisissant directement p x R PARER et i x aeaa on obtient les courbes repr sentatives de p et de i et on peut observer leurs sym tries 1 Lors de la phase suivante de travail sur papier le calcul des expressions p x IZ et i x Le x x permet de d montrer que p est paire et que i est impaire ce qui explique les sym tries observ es hoth o h x h x et i x D Mais cela nous semble trop th orique et fait perdre tout l int r t du travail sur l exemple de la fonction h On pourrait d montrer ces propri t s de p x et i x directement sous la forme p x C La fonction s La fonction s x co ncide avec la fonction h x L observation de la co ncidence des courbes est int ressante Je n arrive pas f
13. 2 TRAVAIL TH ORIQUE a D terminez l quation de la droite d passant par A et de coefficient directeur 4 7 puis de la droite d2 passant par A1 et de coefficient directeur 7 4 b D montrez que si A est sur d alors A est sur d2 puis que si A est sur d2 alors A n 1 est sur d c Concluez B COMMENT PASSE T ON D UN POINT AU SUIVANT 1 QUESTION PR LIMINAIRE calculez les coordonn es du point d intersection P de d et de d2 2 TRAVAIL PRATIQUE a Calculez au tableur les distances PA PA1 PA b Quelle conjecture pouvez vous faire sur la nature de la suite de ces distances c Testez votre conjecture est elle v rifi e Pouvez vous donner l expression de la distance PA en fonction de n 3 TRAVAIL TH ORIQUE Soit f la transformation du plan qui transforme un point A x y en un point A x y selon les formules a D montrez qu il existe un point invariant par la transformation f O se trouve ce point par rapport aux points Ah b Soit h l homoth tie de centre P et de rapport 1 1 D terminez les formules analytiques de h puis celles de h7 c D terminez les formules analytiques de la transformation q f o h D montrez que q est une rotation dont on pr cisera le centre et l angle d Appliquez ce r sultat aux points A et conclure x 15 5 1 1y y 1 1x 6 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public ww
14. Construisez les milieux D E et F des cot s du triangle puis ses m dianes le logiciel affiche leurs longueurs Cr ez la somme s des longueurs des m dianes Am lioration de l affichage Ouvrez la fen tre Propri t s et utilisez l onglet Alg bre pour transformer en objets auxiliaires les points D E et F les longueurs des cot s et des m dianes ainsi que l aire du triangle Fermer le dossier Objets auxiliaires il ne doit rester que p et s dans le dossier Objets d pendants Observations et conjecture En d pla ant un de ses sommets faites varier la forme du triangle ABC et observez comment varient s et p Quelle conjecture pouvez vous faire Travail sur la conjecture Cr ez le nombre t s p Faites nouveau varier la forme du triangle ABC et observez entre quelles limites le nombre t varie Quelle conjecture pouvez vous faire B TRAVAIL SUR PAPIER Sur une feuille de papier tracez un triangle ABC puis les milieux de D E et F des cot s AB BC et CA et enfin les m dianes AE BF et CD 1 Majorations a Quelle relation existe t il entre les longueurs AB et AD Entre BC et BE Entre CA et CF b Dans le triangle ABE utilisez l in galit triangulaire pour majorer AE Utilisez la m me m thode pour majorer BF et CD c En ajoutant membre membre les trois majorations obtenues quelle majoration du rapport t s p arrivez vous d Est ce que ce r sultat est conforme votr
15. Dans nos textes cr er une colonne signifie simplement saisir un texte en ent te dans la premi re ligne de cette colonne pour d crire son contenu Le calcul au tableur des termes un et vn d coule de la d finition r currente de ces suites u l et pour n 2 2 Un Un 1 t v letpournz2 v Vn 1 n La contenu de la case contenant un est la somme des contenus de la case du dessus et de la case de gauche On n a pas besoin de l adressage absolu avec les Ce calcul peut tre l occasion de remarquer que le tableur met en pratique le principe de r currence une fois la premi re valeur saisie la formule permet le recopiage vers le bas aussi loin qu on veut c est dire pour tout entier n B OBSERVATIONS ET CONJECTURES 1 Ecriture d cimale de w Il appara t qu on obtient la suite des impairs tous les trois rangs et que la partie d cimale des autres termes se r p te aussi tous les trois rangs Il est pr f rable de limiter le nombre de d cimales affich es 2 car le but n est pas de reconna tre les d cimales associ es aux tiers mais d arriver formuler une conjecture pour d crire la r p tition cyclique d ordre 3 2 Nature de la suite wp Le graphique est rectiligne c est le moment de faire percevoir que d apr s ce graphique quand n augmente d une unit Wn augmente toujours de la m me quantit ce qui est le propre d une suite arithm tique Pour mettre l preuve cette conjecture on
16. L objectif de ce travail est d observer et de d montrer une propri t classique de la parabole La parabole fait partie de la famille des coniques et toutes les courbes de cette famille partagent cette propri t A Observations et conjectures Ouvrez une figure Geogebra 1 Cr ez la parabole d quation y 1 5x et renommez la P Cr ez un curseur q que vous placerez dans un coin de la figure Cr ez la droite d quation y 2x q et renommez la d 2 Faites varier q et observez selon la valeur de q en combien de points la droite d coupe la parabole P Notez vos observations au brouillon 3 Donnez q une valeur pour laquelle la droite d coupe la parabole P en deux points Cr ez ces deux points A et B ainsi que leur milieu C Activez la trace du point C faites varier q et observez les positions du point C L ensemble des positions de C s appelle le lieu g om trique de C On le note L Quelle conjecture pouvez vous formuler sur la nature de L 4 Modifiez la borne sup rieure du curseur pour permettre q d aller jusqu 20 et mettez l preuve votre conjecture est elle encore valable 5 Faites nouveau varier q et observez les coordonn es du point C quelle conjecture pouvez vous formuler sur l quation de L 6 Cr ez le lieu g om trique L d apr s l quation que vous avez conjectur e Est ce que votre conjecture est confirm e B Calculs et d monstrations Soit P la parab
17. Lallier Girot entre La page du prof Suites num riques Ampleur 2 Th or me de convergence monotone Tableur Le travail propos parle des moyennes usuelles en Math matiques ainsi qu en Physique la moyenne arithm tique la moyenne harmonique et la moyenne g om trique L objectif est de retrouver un r sultat classique en analyse les suites obtenues par it ration des moyennes arithm tique et harmo nique de deux nombres donn s convergent vers la moyenne g om trique de ces nombres Par contre il ne sera pas question de la moyenne de plus de deux nombres comme la moyenne pond r e par des coefficients si largement utilis e dans le syst me scolaire A TRAVAIL PREPARATOIRE Il s agit ici de d couvrir la moyenne harmonique d abord sur un exemple num rique simple puis dans le cas g n ral Les propri t s d montr es dans cette partie sont essentielles car c est sur elles que s appuieront les raisonnements de la partie th orique m h a b Cette sympathique propri t permettra de montrer que le produit des termes up et v est constant Le produit un x Vn Sera donc gal wo x vo pour tout n Si les suites un et vn convergent le produit de leur limites vaudra alors uo x vo Et si ces limites sont gales leur valeur commune sera forc ment Uo x vo c est dire la moyenne g om trique des deux premiers termes met h sont compris entre a et b C est bien le moins qu on
18. Quelle conjecture pouvez vous faire sur le comportement de P quand n tend vers l infini TRAVAIL THEORIQUE 1 Etudiez la fonction f d finie sur 1 oo par f x ln x 1 x En d duire que pour x gt 1onaln x 1 lt x 2 En appliquant cette in galit pour x 1 n et x 1 n tablir que pour tout entier n gt 2 ona 1 ln n 1 In n lt lt In n In n 1 n 3 Quel encadrement du paquet P peut on d duire de la question pr c dente Que pouvez vous en conclure pour P quand n tend vers l infini A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 62 SOMMATION PAR PAQUETS Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Suites num riques Ampleur 2 Fonction logarithme n p rien mais pas de calcul int gral Tableur Cet nonc propose une tude l mentaire de la s rie harmonique en utilisant des paquets cons cutifs de n termes on d montre sa divergence puis on d montre la convergence de ces paquets vers une valeur inattendue Le parti pris de ce travail est de rester au niveau des suites sans faire appel au calcul int gral PREMI RE PARTIE LA S RIE HARMONIQUE 1 La suite des inverses Le travail demand ici est tr s simple il s agit de se rendre compte que chacun des termes qu on va ajouter tend vers 0 La derni re question n appelle pas de r ponse du professeur ce moment du travail ju
19. R 2 _ LT 2 gt l En d duire que si f admet un minimum gal m pour x a alors f admet pour x a un maximum gal y V rifiez cette propri t sur les r sultats obtenus aux questions pr c dentes A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 53 RENCONTRE AVEC UNE FONCTION REMARQUABLE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Fonction tangente Ampleur 2 Etude de fonction Calculatrice ou Traceur de courbe Tableur Le travail propos ici est l tude d une fonction qui r siste une approche routini re et demande d aller y voir de plus pr s il faudra un travail pratique puis un travail g om trique et enfin un travail alg brique pour en venir bout Etant donn la diversit de ces approches le professeur aura sans doute besoin de faire plusieurs fois le point avec ses l ves il aura int r t r partir le travail entre travail la maison et travail en classe A TRAVAIL PRATIQUE La question de faire appara tre la courbe dans l cran de la calculatrice ou de l ordinateur est d j probl matique il faut aller la chercher Sur calculatrice une fois qu on s aper oit qu on ne voit rien on pourra calculer quelques valeurs de f x pour de faire une id e des valeurs de y Avec un traceur de courbes comme Geogebra on pourra zoomer en arri re avec la molette de la
20. Utiliser la r gle d interpolation pour remplir le tableau ci dessous avec des valeurs approch es de 0 t 0 1 C pr s mn 0 1l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y C 0 lt 80 40 2 Utiliser nouveau la r gle pour remplir le tableau ci dessous avec des valeurs approch es de 0 t 0 1 C pr s mn 0 16 32 48 64 80 96 112 128 256 512 y C 0 lt 80 40 3 Pourquoi la suite des valeurs y n o n est le nombre de minutes coul es est elle g om trique DEUXIEME APPROCHE UN MODELE CONTINU La loi physique utilis e pour mod liser conduit l quation diff rentielle y ky Dans le cours de math matiques on verra que cette quation diff rentielle admet pour solutions les fonctions de la forme y C x exp kt o t est la variable et C une constante 1 1 A partir des donn es exp rimentales calculer C puis montrer que k doit v rifier la relation exp 16k 3 1l 2 R soudre num riquement l intersection des courbes y exp 16x et y 3 pour obtenir une valeur approch e de k 107 pr s 3 A partir de cette valeur approch e remplir le tableau ci dessous des valeurs approch es 0 1 C pr s de la fonction 0 f 20 C x exp kt pour les valeurs de C et de k obtenues ci dessus mn 0 10 15 20 25 30 40 50 60 120 240
21. sentant la fonction f dans ce rep re Ouvrir une figure Geogebra Placer les points B C D et E Choisir le rapport 1 2 pour axeX axeY et recadrer la figure Cr er trois curseurs pour a b et c D finir f x ax bx c En faisant varier a b et c essayer de faire passer la parabole P par les points A et E noter les valeurs trouv es pour a b et c Indication on peut modifier les valeurs extr mes des curseurs B APPROCHE THEORIQUE 1 Calculer c de fa on que la parabole P passe par le point A 2 Etablir l expression de b en fonction de a lorsque la parabole P passe par A et par E 3 En d duire qu il faut chercher la fonction f sous la forme f x ax 2 2a 1 x 14 C TRAVAIL PRATIQUE 1 Allure de la parabole Fixer c sa valeur et d safficher son curseur Red finir b en fonction de a Faire varier a v rifier que la parabole P passe toujours par A et E Peut elle passer aussi par un ou plusieurs des points B C ou D 2 Calcul de l erreur Soit F le point de la parabole de m me abscisse que B l erreur commise en x 1 en utilisant la formule y f x comme relation entre les donn es vaut yr ygl c est dire la distance BF Construire les points F G et H de la parabole dont les abscisses sont celles des points B C et D Cr er le nombre u BF CG DH c est l erreur globale 3 Optimisation Faire varier a dans l intervalle 0 3 et observer la valeur de
22. Saisir y x 3 ou d y x 3 d finit une droite par son quation mais pas une fonction De m me saisir y x ou p y x d finit une parabole mais pas la fonction carr Cependant les saisies y 1 x et h y 1 x d finissent toutes deux la fonction inverse Pour d finir l hyperbole en tant que courbe il faut saisir h y x 1 2m En cas de doute ouvrez la fen tre Propri t s par clic droit ou dans le menu Editer vous trouverez le statut de tous les objets cr es et vous pourrez agir sur chaque objet ou sur une cat gorie d objets Vous y trouverez aussi les lieux g om triques cr es qui n apparaissent pas dans la fen tre Alg bre ATTENTION la fonction et sa courbe repr sentative sont le m me objet et ont le m me nom OBJETS AUXILIAIRES Au del de la cat gorie math matique laquelle appartient chaque objet Geogebra poss de trois cat gories logiques les Objets libres les Objets d pendants et les Objets auxiliaires qui s affichent dans trois dossiers de la fen tre Alg bre Le dossier Objets auxi liaires peut tre affich ou non et on peut y mettre mimporte quel objet l id e est d y mettre tout ce qui n a plus besoin d tre affich dans la fen tre Alg bre et de refermer le dossier ou de le d safficher pour ne pas encombrer l affichage Pour transformer un objet en objet auxiliaire on passe par l onglet Alg bre de la fen tre Propri t s APPELS AU SECOURS Ge
23. Si vous utilisez une minuscule Geogebra cr e alors un vecteur Si vous mettez un point virgule entre les coordonn es d un point ou d un vecteur ce seront alors des coordonn es polaires ATTENTION le s parateur entre les coorodonn es n est pas un point virgule mais une virgule FONCTIONS Les fonctions se saisissent avec la variable x en minuscules Si vous tapez l expression alg brique de la fonction sans la nommer Geogebra la nommera automatiquement On peut donner des noms avec des indices en utilisant le tiret bas comme dans f_1 qui s affichera f1 Geogebra accepte les expressions usuelles des traitements de texte math matique comme sqrt pour la racine carr ou l accent circonflexe pour saisir un exposant Geogebra poss de un objet particulier le curseur qui correspond notre notion de variable Il s agit d un nombre prenant des valeurs entre deux bornes fix es avec un certain pas Cela permet de faire varier un nombre pour observer comment varient les objets qui en d pendent L utilisation la plus simple d un curseur a est de cr er un point M de coordonn es a f a o f est une fonction qu on tudie bouger le curseur fera se d placer le point M sur la courbe repr sentative de la fonction f Si la fonction a t d finie g om triquement on a l allure de sa courbe sans passer par son expression alg brique ATTENTION Un curseur ne peut pas s appeler x COURBES
24. Une fois cette constatation faite par l ensemble des l ves il faut affiner cette conjecture et lui donner un aspect plus quantitatif on cr e le rapport t s p On peut alors remarquer que la taille du triangle n intervient pas dans la valeur du nombre t pour un triangle deux fois plus grand mais de m me forme s et p seront deux fois plus grands et le rapport t restera le m me Il n y a donc plus que la forme du triangle qui compte Pour animer la recherche on peut proposer des d fis qui aura la plus grande valeur de t La plus petite Une notion int res sante explorer est celle des formes extr mes que peut prendre le triangle dont on peut penser intuitivement qu elles vont amener des valeurs extr mes pour le rapport t B TRAVAIL SUR PAPIER Pour cette partie du travail il nous semble important que l l ve fasse l effort de refaire la figure sur papier Cette figure ma pas besoin d tre tr s soign e ni tr s exacte c est un support pour raisonner pas un but en soi Elle pourrait tre faite main lev e avec des l ves qu on aurait habitu cette pratique Dans chacune des trois questions on va utiliser la m me m thode on applique trois triangles analogues l in galit triangulaire dans un triangle un cot est toujours plus court que la somme des deux autres on ajoute membre membre les trois in galit s obtenues et on obtient une in galit o interviennent neuf l
25. acquis SUR LA LOI PHYSIQUE La loi physique utilis e ici est celle avec laquelle les physiciens d crivent le refroidissement d un corps C est une loi ph nom nologique c est dire qu elle d crit de fa on pr cise ce qui se passe mais qu on ne peut pas la d duire d un principe premier Il est tout fait possible de faire l exp rience en classe il faut une cafeti re une tasse un chronom tre et un thermom tre emprunter aux coll gues de physique On disposera de donn es exp rimentales qu on pourra comparer au mod le th orique Mais il faut faire attention au fait que la temp rature du liquide dans la tasse n est pas uniforme elle n est pas la m me au mi lieu du liquide et pr s des bords de la tasse d autre par l change de chaleur avec le milieu ambiant provoque des courants de convection l int rieur de la tasse On est donc bien dans une d marche de mod lisation qui consiste simplifier le r el pour pouvoir expliquer et pr voir SUR LE MODELE DISCRET L int r t p dagogique de cette approche est d tablir et d utiliser une r gle d interpolation c est dire qui permet de calculer une valeur inconnue situ e entre deux valeurs connues La r gle obtenue ici est que la temp rature au milieu de deux dates t et t est la moyenne g om trique des temp ratures 0 et 02 A partir des valeurs extr mes t 0 et t 16 on obtiendra alors par dichotomie toutes les valeurs interm
26. bas Validez le tour est jou Le tableur reconna t automatiquement le d but de certaines listes et en particulier le d but de toute suite arithm tique comme celle des entiers naturels Nous pr f rons ne pas faire appel cet automatisme et demander syst matiquement aux l ves de saisir la formule recopier pour qu ils sachent ce qu ils sont en train de faire Il est int ressant de remarquer que la recopiage vers le bas a quelque chose voir avec la r currence Le fait de pouvoir recopier vers le bas jusqu n importe quelle ligne est la transposition au tableur du principe de r currence la premi re ligne correspond au premier rang la deuxi me ligne la formule de r currence GRAPHIQUES amp COURBES Le type de graphique utilis le plus souvent sera le nuage de points appel diagramme XY ou XY Dispersion dans OpenOffice car cela correspond la notion de courbe repr sentative Le rep re utilis par d faut ne sera pas orthonorm Il nous semble pr f rable de s habituer observer des courbes en rep re non orthonorm plut t que de s chiner le rendre orthonorm le logiciel n est pas fait pour a Le tableur affiche des courbes par points et m me par pixels il ne s agit pas d une courbe continue mais cela nous donne son allure exactement comme la calculatrice ou le trac la main Les objets math matiques sont des abstractions pures A P M E P Association des Profe
27. elle co ncide avec le lieu de M changer l paisseur de la courbe pour la voir superpos e au lieu C est le cas d o la validation exp rimentale de l expression de la fonction En plus il semble que cette expression soit valable pour toutes les valeurs de x et pas seulement pour x23 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 13 UNE FONCTION DEFINIE PAR LA GEOMETRIE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre Papier et Suite de la page du prof ss lg 2 VERS UN TRAVAIL THEORIQUE Le travail th orique passe par l application du th or me de Thal s en distinguant trois cas de figure selon que x est n gatif compris entre 0 et 3 ou sup rieur 3 Il permet de d montrer que l expression de la fonction est bien celle laquelle abouti le travail pratique 3 AUTRES EXEMPLES TROIS FONCTIONS AUTOUR D UN DEMI CERCLE Les trois exemples ci dessous partent de la m me configuration g om trique un demi cercle et ses tangentes aux extr mit s d un diam tre Chaque construction associe un point M d une des tangentes un point de l autre tangente a Les trois fonctions obtenues sont de la forme x Elles sont multiples l une de l autre car BS 2 BQ et BQ 2 BP x Le travail g om trique est l mentaire il y a de nombreux triangles rectangles et de nombreuses galit s entre les angles On peut organiser un travail collabora
28. exactes valeurs approch es et valeurs affich es Un nouvel aller retour La bonne id e est de remarquer que les coordonn es de A2 sont exactes si on garde trois d cimales 3 744 3 608 Un retour dans le logiciel de g om trie o on corrige les coordonn es de A donne un centre C 8 8 1 9 et un rayon R 13 7 Si on augmente le nombre de d cimales affich es par le logiciel de g om trie on n obtient que des z ros suppl mentaires confirmant l exactitude de ces r sultats Un retour dans le tableur o on corrige les coordonn es du centre donne alors tous les rayons gaux quelque soit le nombre de d cimales affich es On peut si on le souha te recopier vers le bas pour augmenter le nombre de points An et constater que le rayon ne bouge pas la conjecture C 8 8 1 9 et R 13 7 est valid e exp rimentalement A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 49 ET POURTANT ILS TOURNENT Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre Suite de la page du prof Papier et C DEMONSTRATION ET AMELIORATION 1 Vers une d monstration Une fois la conjecture valid e on peut s atteler un travail de d monstration Fondamentalement il s agit d une r currence on d montre que pour n 0 on a CA 13 7 et pour tout n CA 13 7 gt CAn 1 13 7 Il s ensuit que pour tout n CA 13 7 c est dire que tous les points A sont s
29. l ves Dans notre pratique chaque nonc donne lieu un travail crit de l l ve constitu de deux parties rendre ensemble ou s par ment selon les cas un compte rendu des parties exp rimentales avec ventuellement des impressions sur papier Dans ce cas il faut que le nom de l l ve apparaisse dans le fichier imprimer une r daction des parties th oriques Autrement dit c est une volution de la forme et du contenu du devoir la maison certaines parties auront t travaill es en classe et d autres cherch es par l l ve de fa on autonome Combien de fois dans l ann e A titre indicatif les instructions officielles pr cisent qu en Terminale S les l ves devraient utiliser un outil num rique en maths environ une heure par quinzaine Il nous semble raisonnable de pr voir entre 6 et 10 activit s au cours de l ann e qui donneront lieu autant de devoirs la maison Nous donnons en d but d nonc une estimation de l ampleur du travail par exemple l indication ampleur 1 cor respond une activit d environ une heure avec le prof moduler en fonction de la fa on d animer la s ance et le travail demand la maison Les activit s de cette brochure concernent la partie des programmes qui se pr te le mieux des aspects num riques il reste d autres parties et d autres comp tences sur lesquelles il faudra aussi donner des devoirs la maison Avec qu
30. la fonction exponentielle et pour une fonction puissance comme x gt x La r ponse th orique bien connue des l ves est que l exponentielle cro t beaucoup plus vite que les fonc tions puissances qu elle est pr pond rante sur celles ci qu elle l emporte sur elles Mais la cons quence de cette propri t sur les courbes est rarement mise en jeu la courbe exponentielle finit par tre au dessus de n importe quelle courbe polynomiale Or ici elle reste en dessous tant qu on reste dans des intervalles usuels Une fois cette contradiction mise en vidence les l ves d veloppent naturellement des strat gies pour aller voir plus loin En g n ral une mani pulation fi vreuse de la souris les am ne trouver le troisi me point d intersection pour une ordonn e voisine de 5560 Les plus malins modifient l chelle du rep re et finissent aussi par voir le troisi me point Mais dans tous les cas quand on voit le troisi me point on ne voit plus les deux autres C est le moment de poser la question comment faire pour voir les trois racines sans changer de rep re La r ponse est de transformer l quation propos e par la fonction logarithme en utilisant au passage le fait que c est une bijection Une fois qu on limine la valeur x 0 qui n est pas solution on a une quivalence logique entre e x et In x x car xf a le bon go t d tre toujours positif Le trac des deux no
31. la prochaine fois avec le compte rendu de la partie exp rimentale Dans les questions ci dessous on a pris w et vo tels que wo gt vo gt 0 Indication utilisez les propri t s d montr es dans le travail pr paratoire 1 a Pourquoi a t on pour tout entier n l in galit un gt Vn b Pourquoi u 1 et Vn 1 sont ils compris entre v et un 2 a En d duire que pour tout entier n on a Un gt Un 1 gt Vn 1 gt Vn b Justifiez les in galit s un gt vo et uo gt Vn c D montrez que les suites un et Vn sont convergentes 3 a Fn utilisant la relation entre U 1 Un et Vn prouvez que un et Vn convergent vers la m me limite b Pourquoi est ce que le produit un x Vn ne d pend il pas de n c En d duire l expression de la limite des suites un et vn en fonction de wo et vo Les r sultats de cette partie confirment ils les observations de la partie exp rimentale BONUS UNE TROISIEME MOYENNE On d finit la moyenne g om trique g de deux r els a et b tels que b gt a gt 0 par la formule g v ab Cette d nomination est li e au fait que les trois nombres a g et b forment une progression g om trique Pourquoi la moyenne g om trique de deux nombres positifs est elle toujours comprise entre leur moyenne harmonique et leur moyenne arithm tique A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 51 LES TROIS MOYENNES Maths J Lubczanski I
32. le cercle trigonom trique tan 45 et tan 67 5 2 Utilisez un triangle isoc le pour obtenir la valeur exacte de tan 67 5 3 4 Formulez une conjecture sur les valeurs exactes de a b f a et f b En d duire par angles compl mentaires la valeur exacte de tan 22 5 C TRAVAIL ALGEBRIQUE 1 tan a tanb On donne la formule tan a b l tana x tanb On pose t tan x utilisez la formule pour exprimer tan 2x puis tan 3x en fonction de t 12 31 3 On rappelle que tan x 1 tan x En d duire que f x Exprimez en fonction de t la d riv e des fonctions x 1 et x tf Calculez la d riv e f x et montrer que f x est du signe de P t 1 6 t Calculez les cinq racines de P t D TRAVAIL DE SYNTHESE 1 2 Montrez que si f admet un extremum en x a et en x b alors tan a et tan b sont des racines de P t Quelles racines de P t peuvent tre gales aux valeurs exactes de tan a et de tan b trouv es aux questions B 2 et B 3 V rifiez par le calcul ces galit s En d duire que toutes les racines de P t peuvent s crire sous la forme u v V2 o u et v sont des entiers relatifs Factorisez P t puis tablir le tableau des signes de P t selon la valeur de f dans R 4 En d duire le tableau de variation de f pour0 lt x lt 7 etx 7 Conclure BONUS 1 Montrez que si x et x sont sym triques par rapport 7 4 alors f x f 4 4
33. moyenne arithm tique 3 1l 1 1 et on d finit leur moyenne harmonique h par la condition 7 est la moyenne arithm tique de et de 5 a 2ab D montrez les galit s suivantes a h T5 b mxh ab a D montrez les in galit s suivantes c m gt h d m et h sont compris entre a et b B TRAVAIL EXPERIMENTAL S ance devant cran On construit deux suites 4 et vn de la fa on suivante Ug et vo sont deux r els donn s Un est la moyenne arithm tique de u et Vn Un41 est la moyenne harmonique de un et Vn 1 On prend wo 100 et v 1 Calculez les premi res valeurs de u et v et repr sentez les sur un graphique Quelles observations pouvez vous faire sur les suites un et Vn 2 Poursuivez ce travail avec une dizaine d autres valeurs de u et vo que vous choisirez votre bon plaisir Quelles conjectures pouvez vous faire sur les suites un et vn 3 Pour chacun des exemples trait s calculez et observez les valeurs de la suite w d finie par Wn Un x Vn Comment cette observation permet elle d affiner la conjecture sur les limites ventuelles de un et Vn Compte rendu dressez un tableau des valeurs de w9 et vo que vous avez test en pr cisant ce que vous avez observ dans chaque cas sens de variation limites ventuelles R digez vos conjectures sur les suites un et Vn lorsque uo et vo sont deux r els donn s quelconques C TRAVAIL THEORIQUE A rendre pour
34. nous allons continuer de travailler sur les nonc s qui ne figurent pas encore dans cette brochure pour l toffer dans une seconde dition que nous esp rons publier d ici la prochaine rentr e scolaire J Lubczanski I Lallier Girot Cr teil le 27 janvier 2008 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr MODE D EMPLOI EN HUIT QUESTIONS Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre 1 g a Une brochure pour quoi faire Le but de ces activit s est d int grer dans nos s quences p dagogiques habituelles des s ances de travail pratique devant cran L id e est de faire progresser les l ves dans leur acquisition des notions du programme en largissant la palette des activit s propos es par le professeur Notre objectif va donc au del d une pr paration sp cifique une preuve pratique qui ne posera pas de probl me des l ves ayant travaill les nonc s de cette brochure Faire des maths avec un ordinateur La d marche exp rimentale est le fondement de l activit scientifique en math matiques cette d marche utilise au jourd hui l outil logiciel Le travail pratique fait partie de l activit math matique il appuie sur des notions th oriques et demande rigueur et r flexion Cette d marche alterne des phases d observation et d exp rimentation et des phases de conjecture et de questionnement faisant appel aux not
35. peut attendre d une moyenne Cela permettra de montrer que les suites un et Vn sont born es m gt h Cette in galit est assez surprenante a priori la moyenne harmonique est toujours plus petite que la moyenne arithm tique Cela permettra avec la propri t pr c dente de montrer que les suites un et Vn sont monotones La moyenne g om trique s ins re entre les deux autres moyennes ce qui fait que pour des nombres positifs les trois moyennes sont toujours dans le m me ordre On pose d ailleurs la question dans le Bonus Une fois d montr es ces propri t s pourront aussi servir pour guider les observations dans la partie exp rimentale B TRAVAIL EXPERIMENTAL Le travail pratique est ici tr s simple puisqu il s agit de mettre en oeuvre le calcul des termes de deux suites r currentes et de construire un graphique du type n u o ces deux suites apparaissent L observation de ces deux graphiques permet de visualiser des notions du cours un des graphiques est au dessus de l autre donc on observe que un gt Vn pour les valeurs de n calcul es Il y a une asymptote commune donc les suites semblent converger vers la m me limite Un graphique descend vers l asymptote donc la suite est d croissante pour les valeurs de n calcul es l autre monte vers l asymptote donc l autre suite est croissante pour les valeurs de n calcul es Attention ces sens de variations s observent d s n 0 si o
36. peut cr er la colonne des diff rences d un terme l autre pour v rifier qu on obtient toujours le m me r sultat ce sera la raison de la suite qu on trouvera gale 0 67 avec l affichage 2 d cimales 3 Expression de w en fonction de n Une fois qu on a le premier terme 1 et la raison 0 67 on peut tablir la formule w 1 n 1 x 0 67 et cr er une nouvelle colonne pour mettre l preuve cette formule Il est bon de garder la valeur 0 67 pour la raison car cela provoque un ques tionnement int ressant on s aper oit que la formule ne donne que des r sultats tr s approch s et il faut alors se demander pourquoi Une id e naturelle est d ajouter une ou plusieurs d cimales l affichage cela augmente la pr cision sur la raison mais ne r sout pas le fond du probl me La solution est de revenir aux nombres impairs cons cutifs qu on a obtenu tous les trois rangs si on augmente de 2 en trois fois c est qu on augmente de 2 3 chaque fois Ce point acquis on arrive au bout du travail pratique la conjecture f n 1 2 3 n 1 ats SES Tas A 2 2n 1 Pour la suite du travail il est int ressant de r duire au m me d nominateur pour obtenir f n TR C TRAVAIL THEORIQUE La premi re id e est d tudier la cons quence de la derni re conjecture sur la formule de la somme des carr s on conna t la formule de un et on a une formule de wp conjectur e et valid e exp
37. profondeur la situation Mais ce n est encore qu une conjecture 8 Mise l preuve On peut revenir au tableur pour calculer les valeurs des angles A CA 1 et v rifier qu ils sont tous gaux pour les points An dont on a obtenu les coordonn es En pratique le calcul de ces angles va passer par celui de leur cosinus En effet le cosinus va tre donn partir du produit scalaire CA CA Xn 8 8 Xn 1 8 8 Yn 1 9 Yn 1 1 9 qu il faut diviser par CA x CAy 1 13 72 187 69 Ces formules ne sont pas compliqu es entrer dans le tableur par exemple en deux colonnes l une pour le produit scalaire et l autre pour diviser celui ci par 187 69 On trouve tous les cosinus gaux 0 8 et si on cherche quelle valeur d angle cela correspond on retrouve bien 36 87 4 Une nouvelle d monstration Les formules qui donnent x 1 et y 1 en fonction de x et yn sont elles des formules de rotation La r ponse est oui et c est comme cela qu a t construite cette activit Selon les connaissances des l ves on peut alors aller vers une d monstration en tablissant les formules th oriques d une rotation autour de C On sait que dans ces formules apparaissent les sinus et cosinus de l angle de rotation Or dans le logiciel de g om trie si on demande les valeurs du sinus et du cosinus de l angle ACA on obtient bien les valeurs 0 6 et 0 8 qui figurent dans les formules ce qui explique la valeur a priori non
38. quation et une in quation trigonom triques A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 38 POINTS EN CROIX J Lubczanski I Lallier Girot Dans un rep re orthonorm on consid re les points An dont les coordonn es x yn sont d finies par Xo 3 our n 0 E yo 1 et pour tout entier n i O se trouvent les points A Xn 1 15 5 1 1yn Yn 1 1 1xn 6 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 39 POINTS EN CROIX Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre L objectif de ce travail est d tudier une suite An de points du plan dont les coordonn es x Yn dans un rep re orthonorm sont d finies par Xo 3 Xn 1 15 5 1 lyn ourn 0 et pour tout entier n p y 1 P Yn1 1 1xn 6 A OU SONT LES POINTS 1 TRAVAIL PRATIQUE a Dans une feuille de classeur calculez les coordonn es de A1 A2 A20 Repr sentez ces points dans un graphique Quelle observation pouvez vous faire sur ces points Quelle conjecture pouvez vous mettre pour l ensemble des points An b Quels coefficients directeurs pouvez vous calculer pour tester votre conjecture Effectuez ce calcul permet il de confirmer votre conjecture c Quelle relation entre les coefficients directeurs trouv s pouvez vous conjecturer partir de l observation Testez et concluez
39. remarquable trouv e pour langle D D AUTRES EXEMPLES DE TRANSFORMATIONS ITEREES Voici d autres jolis exemples que nous vous invitons explorer 0 56x 0 97 yn 15 60 pour n 0 A et pour tout entier n un J Yn yo 1 Yn 1 0 97 xn 0 56yn 9 70 0 76Xn 0 65yn 0 27 pour n 0 a et pour tout entier n Aei Jr yi yo 6 1 Yn 1 0 65xXn 0 76yn 5 27 xo 50 Xn 1 0 7Xn 0 7 n our n 0 et pour tout entier n l Y 20 P Yn 1 0 7xn 0 7Yn Xo 50 Xn 1 0 6Xn 0 6yn our n 0 et pour tout entier n P Yo 20 p Yn 1 0 6 n 0 6Yn LA Xo 50 J Xn 1 0 28Xn 0 867 pour n 0 Yo 20 et pour tout entier n Yn41 0 867 0 28 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 50 LES TROIS MOYENNES Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre A TRAVAIL PREPARATOIRE A chercher avant la s ance devant cran 1 a Calculez la vitesse moyenne d une auto qui a roul 30 km h puis 60 km h sur deux tron ons de m me longueur Comparer avec la moyenne des nombres 30 et 60 b Calculez la vitesse moyenne d une auto qui a roul a km h et b km h sur deux tron ons de m me longueur Cette moyenne s appelle la moyenne harmonique des nombres a et b La moyenne usuelle s appelle la moyenne arithm tique des nombres a et b a 2 Soit a et b deux r els tels que b gt a gt 0 On note m leur
40. souris jusqu apercevoir la courbe et modifier la fen tre en cons quence Pour y voir quelque chose il faudra de toutes fa ons faire des trac s diff rents pour chacun des intervalles I 0 7 aletJ 1 3 TI 2l comme l nonc invite le faire La recherche num rique d un minimum ou d un maximum qui est demand e aux deux premi res questions nous semble faire partie des comp tences d velopper chez les l ves Le r sultat de cette recherche est une premi re conjecture elle ma pas besoin d tre plus pr cise que l affichage par d faut le permet car elle va tre confirm e et affin e dans les deux question sui vantes D ailleurs les valeurs observ es pour les abscisses du minimum et du maximum sont en radians on n a donc aucune chance de reconna tre les valeurs remarquables qui sont en degr s B TRAVAIL GEOMETRIQUE Une fois conjectur es les valeurs exactes de x en degr s on va tablir les valeurs exactes correspondantes pour f x Pour cela on revient au cercle trigonom trique la d finition de la fonction tan et on utilise des propri t s l mentaires de g om trie vues au Coll ge Cette partie est en soi un exercice int ressant de trigonom trie l mentaire on s aper oit qu il est facile d obtenir les valeurs exactes de tan 22 5 et tan 67 5 alors que le sinus ou le cosinus de ces angles demande beaucoup plus de travail Arriv s ce point nous sommes en possession
41. u Dresser le tableau des variations observ es de u pour a 0 3 Pour quelle valeur de a l erreur u est elle minimale Am liorer la pr cision sur cette valeur en modifiant le pas du curseur Combien vaut l erreur u correspondante Quelle est alors l expression num rique de f x D TRAVAIL THEORIQUE On part de la formule f x ax 2 2a 1 x 14 1 a Montrer que l erreur commise en x 1 en utilisant la formule y f x comme relation entre x et y vaut 3a 5 b Etablir l expression de l erreur globale u en fonction de a 2 a Dresser un tableau donnant selon les valeurs de a l expression de u sans valeurs absolues b Repr senter dans un rep re la fonction a u pour a 0 3 c En d duire le tableau de variation de la fonction a u pour a 0 3 3 a Quelle est l expression de f x correspondant la valeur minimale de u b Comparer les r sultats du travail pratique et du travail th orique BONUS Est il possible de trouver une formule y f x du troisi me degr dont la courbe passe par les cinq points A B C D et E A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 35 AJUSTEMENT PARABOLIQUE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Fonction trin me Ampleur 2 Fonction valeur absolue Geogebra Ajuster une formule des donn es observ es c est chercher une formule th orique d crivan
42. www apmep asso fr 17 LA BALLADE DE L INVERSE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Fonction inverse et translation Ampleur 1 Courbe repr sentative Geogebra On construit l image par une transformation simple de la courbe repr sentative de la fonction inverse On cherche ensuite quelle est l expression alg brique de la fonction ainsi repr sent e Le travail propos dans ce texte se fait avec une translation Il est galement possible de le faire faire avec une sym trie centrale Nous avons choisi d utiliser la d finition d une courbe repr sentative comme ensemble des points x f x car cela nous semble une notion fondamentale pas toujours bien ma tris e par les l ves Il serait possible de trouver plus rapidement l expression alg brique cherch e en observant les asymptotes mais cela nous sem blerait plus appropri pour des l ves de Premi re Pour trouver l quation de la nouvelle courbe deux m thodes sont propos es A UNE PREMIERE METHODE Cette premi re m thode consiste construire la courbe H comme l ensemble des images des points de la courbe de la fonction inverse Pour trouver l expression alg brique de la fonction on utilise la lecture des coordonn es de deux points B et D de la courbe H TRAVAIL DEVANT CRAN 1 Construction Pour mat rialiser les positions du point nous proposons que les l ves activent la trace de ce point On po
43. x cx Nous donnons la page suivante d autres exemples de fonctions homographiques d finies partir d une situation de g om trie l mentaire et qui peuvent tre l objet d un travail analogue 1 LES ETAPES DU TRAVAIL PRATIQUE A TABLEAU DE VARIATION 1 Figure et observations On construit une figure dans Geogebra on fait varier le point Q et on observe comment varie le point R ils varient en sens inverse par rapport l origine On peut remarquer que si Q est l origine alors R est aussi l origine et que si Q a pour abscisse 3 il n y pas de point R car la droite PQ est parall le l axe Oy Pour tre plus pr cis on observe dans la fen tre alg bre comment varie l ordonn e de R On peut alors faire un pre mier tableau de variations issu de l observation la fonction n est pas d finie pour x 3 et est toujours d croissante dans les n gatifs on est plus petit quand on est plus grand en valeur absolue On indiquera les bornes effectivement observ es et pas des infinis 2 Premi re conjecture Mettre des limites dans le tableau de variation rel ve d une premi re conjecture c est le moment de le dire Pour mettre l preuve cette conjecture on pousse le point Q au del des bornes observ es soit en r tr cissant l unit du rep re et en bougeant Q la souris soit en d finissant un curseur q entre des bornes convenables puis le point Q q o on pilote a
44. 2 Recommencez partir d un autre entier 3 Allez encore une fois Qu est ce qu il y a de remarquable C CALCULS amp GRAPHIQUE Pour n N on note f n le produit de n par les trois entiers suivants augment de 1 et r n la racine carr e de f n 1 Donnez l expression de f n en fonction de n 2 a Calculez les valeurs de r n pour n entre 0 et 10 b Faites le graphique de la fonction n r n pour n entre 0 et 10 3 a A quelle courbe ressemble le graphique obtenu b Quelle conjecture pouvez vous faire sur la formule donnant r n en fonction de n D RECHERCHE DE LA FORMULE 1 En utilisant les premi res valeurs de n et de r n et partir de la conjecture faite ci dessus d terminez la formule de r n en fonction de n 2 a V rifiez que cette formule donne les m mes r sultats que la calcul d j fait pour n entre 0 et 10 b V rifiez le pour n entre 100 et 200 c Est ce que cela suffit pour affirmer que cette formule est exacte pour tout entier naturel n 3 a Ecrivez pour n quelconque l galit entre l expression de r n d duite de f n et la formule obtenue ci dessus b Pouvez vous d montrer que cette galit est v rifi e pour tout entier n Concluez A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 25 UN EXERCICE DE 1914 J Lubczanski I Lallier Girot La page du prof Trin me du second degr Syst me d quations
45. AIL THEORIQUE Le travail consiste additionner n encadrements membre membre et s apercevoir que tous les termes se simplifient sauf les extr mes m thode dite des cascades 2n 1 On obtient finalement m lt Pn lt In 2 d o on peut conclure par le th or me des gendarmes que P tend vers In2 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 63 P Nm Lt os PA is choisies abila 26 Regionales Les structures eTricaces i sur la base du b n volat int gral organes de liaison avec les autorit s un Comit et un Bureau National des Commissions Nationales par niveau et par th mes p dagogiques et administratives de la R gion IREM IUFM IPR relais essentiels entre le National et les adh rents avec fois leurs propres bulletins Les Journ es Nationales temps fort de l Association sur 3 ou 4 jours d pla ant pr s de 1000 enseignants de math matiques Organis es chaque ann e en des lieux et sur des th mes diff rents avec des conf renciers des ateliers des d bats A Wn Un secr tariat permanent 26 rue Dum ril 75013 PARIS Courriel apmep apmep asso fr Le BGV Bulletin Grande d Math matiques Vitesse au Coll ge pour cerner Un Site Base d exercices sur rapidement http www apmep asso fr disquettes en actualit collaboration avec math matique et le CNDP
46. Ampleur 1 Tableur La d marche suivie pour arriver au r sultat final est la m me qu on pose cette activit sous forme de probl me ouvert ou bien qu on suive l nonc d taill on v rifie par le calcul que la propri t d montrer est vraie sur de nombreux exemples on d couvre que la racine du produit de quatre entiers cons cutifs augment de 1 est un trin me du second degr en n on d termine les coefficients de ce trin me et on v rifie que a marche sur les exemples d j calcul s on d montre par le calcul litt ral l galit qui se cache derri re l nonc Le d roulement de cette d marche de recherche est d crit la page suivante dans la spirale du travail pratique La seule difficult rencontr e au cours de cette activit est de sensibiliser les l ves au fait qu obtenir un carr parfait est un v nement rare En probl me ouvert on peut voquer cette question l Oral Dans l nonc du T P nous avons choisi de prendre le temps de calculer la probabilit qu un entier de neuf chiffres tir au sort soit un carr La notion de probabilit utilis e ici est l mentaire et ne n cessite pas d avoir travaill cette notion au pr alable c est une simple question de fr quence En voici les tapes sans les justifications ilya 10 108 9 108 entiers neuf chiffres le plus grand carr neuf chiffres est 31 622 le plus
47. Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre m r La question de nonc QUESTIONS EXPERIMENTATIONS Quelle exp rimentation pour voir Calculatrice pour afiiner Tableur pour valider Logiciel de g om trie Traduction en termes logiciels Travail Travail sur les notions avec l outil math matiques informatique Traduction en termes math matiques 1 formulation x nombres affiches 26 formulation graphiques courbes 3 formulation figures trac es CONJECTURES OBSERVATIONS R sultat valid exp rimentalement A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr LES CONSEILS AVIS S DE LA GRANDE ZAZA Maths I Lallier Girot entre ne LE TABLEUR ET LES MATHS Le tableur est un puissant outil de calcul et de repr sentation graphique Il permet d effectuer tr s rapidement des calculs r p titifs d obtenir facilement des courbes repr sentatives Il permet d envisager des calculs et des graphiques impensables sur papier et ouvre ainsi l l ve les champs de l observation et de la conjecture Cependant le tableur n a pas t con u au d part comme un outil math matique mais comme un outil d entreprise pour cr er des documents comptables Nous devons faire un effort d adaptation et prendre quelques pr cautions LES NOMBRES Le nom officiel d une case est une cellule Le contenu et l a
48. Mise en oeuvre 3 Comment voir la 3 racine On trace les courbes re sans changer de rep re Pre rie En passant au logarithme Question th orique 2 Mise en oeuvre 2 i On zoome L exponentielle D va plus vite l infini en arri re pour qu une fonction puissance voir plus loin AR Mise en oeuvre 1 Question th orique 1 3 On trace Pas de r solution th orique possible les deux courbes y e et y x La question pos e R soudre dans R l quation e x4 Observations 1 Conjecture 1 Il y a deux points L quation admet iem d intersection visibles deux racines A 0 82 0 44 et B 1 43 4 18 Observations 2 Conjecture 2 L exponentielle reste encore plus loin la puissance Observations 4 i PE On trouve trois points Conjecture valid e dintersection exp rimentalement im On retrouve les deux L quation propos e admet trois racines racines 0 82 et 0 43 deux positives et une n gative plus une nouvelle 8 61 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 61 SOMMATION PAR PAQUETS Maths J Lubczanski I Lallier Girot i entre On appelle s rie harmonique la somme des inverses des entiers naturels F N w Slr o Pour l tudier on d finit la somme S des inverses des entiers de 1 n et on va s int resser ce qui se passe pour Sn D n tend vers l infini 1 1 Le nT
49. QUE L erreur globale u est une fonction affine par morceaux de a on tudie ici une fonction u de la variable a et non pas x La courbe repr sentative se trace dans un rep re o a est en abscisses et u en ordonn es Une fois d termin s les intervalles pour a le trac est celui de morceaux de droites il suffit de calculer deux points chaque fois Le tableau des variations sera une cons quence de ce trac et non pas un pr alable Quand on a trouv que le minimum de u est obtenu pour a 2 3 on fixe a 2 3 et on revient au probl me o la variable est x BONUS La recherche d une courbe y f x du troisi me degr est a priori vou e l chec car elle d bouche sur un syst me de cinq quations les cinq contraintes de passage par un point quatre inconnues les quatre coefficients du polyn me f x Donc le travail faire pour trouver une meilleure approximation serait du m me type Si on veut trouver une formule qui passe exactement par les cinq points il faut passer au quatri me degr On obtient 7E la 183 292 37 4 6 4 3 Mais d un point de vue scientifique cela n a gu re de sens car si les donn es sont des valeurs observ es ce ne sont pas des valeurs exactes mais des valeurs donn es la pr cision de la mesure pr s Il n est donc pas pertinent de compliquer la formule pour la rendre exacte 14 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Ens
50. Un 1 2Un est un espace vectoriel E de dimension 2 Une base naturelle de E est form e des deux suites dont les premiers termes sont 0 1 et 1 0 les termes suivants tant d termin s par le relation x Si on cherche s il y a des suites g om triques dans l espace E la relation x am ne une quation du second degr d inconnue la raison r de la suite Un 2 Un 1 2Un uor 2 uor tl 2ur e r uprl 2r e r r 2 Les racines de cette quation sont 2 et 1 Cela implique que les suites g om triques 2 et 1 sont dans l espace vectoriel E Comme elles ne sont pas multiples l une de l autre elles en forment un nouvelle base Autrement dit toute suite un v rifiant la relation Un 2 Un 1 2u est une combinaison lin aire de 2 et de 1 Notre suite qn v rifie Qn 2 Qn 1 2Qn elle est dans l espace E o elle est d finie par ses deux premiers termes qo 0 et q 1 Il existe donc deux r els a et b tels que pour tout n qn ax2 bx 1 Les deux valeurs n 0 et n 1 nous donnent 0 a b et 1 2a b d o a 1 3 et b 1 3 La boucle est boucl e A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 46 DUNE SUITE PRESQUE GEOMETRIQUE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre LA SPIRALE DU TRAVAIL PRATIQUE Mise l preuve 3 Mise en oeuvre 4 Tester la formule Calcul sur tableur
51. aire appara tre la courbe de la fonction s Ca ne marche pas Cela peut tre l occasion de montrer comment on peut colorer et paissir une courbe pour voir les deux courbes en m me temps la plus fine par dessus la plus paisse Il s agit ensuite de comprendre la correspondance entre les courbes et les fonctions et de d montrer ce qu on a observ h x h x h x h x t i x A nouveau on pourrait additionner directement p x et i x sous la forme p x 7 mais nous n en sommes pas partisans pour les m mes raisons que ci dessus On repart donc des expressions alg briques de p et i et une simple identit remarquable permet alors de retrouver h x D Une autre fonction Cette partie donne l occasion de v rifier si les l ves ont compris ce qu ils ont fait avec la fonction h et s ils sont capables de faire la m me chose avec une autre fonction Pour calculer la partie paire et la partie impaire de g on n a pas besoin de r duire au d nominateur commun l expression de g x 4 1l 4 5 5 20 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x2 Par exemple dans le calcul de p on aura simplement g x g x A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 16 LA BALLADE DE L INVERSE J Lubczanski I Lallier Girot entre 1 La courbe repr sentative de la fonction f d finie par f x s appelle une hy
52. alis comme tel pour tre compris et expliqu Autrement dit on peut traiter cette activit avant d avoir trait la R currence en cours sans exiger la r daction formelle de chaque tape du raisonnement L essentiel est de comprendre ce qui se passe pour les points An OMMENT PASSE T ON D UN POINT AU SUIVANT QUESTION PR LIMINAIRE On a besoin des coordonn es de P pour avancer le travail pratique Or ces coordonn es sont difficiles voire impossibles lire sur le graphique du tableur Nous avons donc pr f r utiliser les quations des deux droites qu on a obtenu auparavant TRAVAIL PRATIQUE L int r t du travail pratique propos ici est la mise en oeuvre d un calcul par recopiage de la distance de deux points partir de leurs coordonn es puis la d couverte inattendue pour l l ve d une suite g om trique La derni re question de cette partie est l pour r investir un r sultat de cours TRAVAIL TH ORIQUE Dans cette partie on tudie la transformation f qui fait passer du point au point A 1 Classiquement on commence par chercher les points invariants on va retrouver le point d intersection P des droites trouv es dans la premi re partie A partir de l et du r sultat de la partie pratique il semble alors naturel d introduire l homoth tie h de rapport 1 1 et de centre le point P La nature g om trique de la transformation f claire la situation d un jour nouveau on comprend pourqu
53. conjectures faites le travail math matique est alors boucl C est une source de satisfaction intellectuelle que le professeur aura a coeur de faire partager ses l ves BONUS Ce petit travail a pour but pour ceux qui auraient le temps et l envie de le faire d apporter un clairage suppl mentaire sur la situation qu on a tudi e la fonction f a une propri t de sym trie par rapport 7 analogue la propri t de la fonction exponentielle par rapport 0 les valeurs de la fonction en deux points sym triques sont inverses l une de l autre Du coup tout ce qui se passe pour x lt 7 4 est inverse de ce qui se passe pour x z 7 4 un minimum devient un maximum avec des valeurs inverses pour des valeurs sym triques de x C est bien ce qu on a observ pour 22 5 et 67 5 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 54 LA TASSE DE CAFE J Lubczanski I Lallier Girot can 2 Le caf c est bon quand a sort de la cafeti re 80 C Apr s a refroidit vite a va encore vers 60 C mais partir E a de 40 C c est ti de et ce west plus bon du tout L objectif de ce travail est de mod liser la temp rature du caf en C par une fonction 0 du temps t en minutes partir de donn es exp rimentales et d une loi physique Les donn es au temps f 0 mn la temp rature 0 du caf vaut 0 0 80 C au te
54. ction remarquable 53 54 La tasse de caf 55 56 Tangentes la courbe exponentielle 57 58 Une quation transcendante 59 60 61 Sommation par paquets 62 63 APM E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public wWww apmep asso fr ENONC S METTANT EN JEU DES NOTIONS DU PROGRAMME DE SECONDE Les nonc s qui suivent peuvent tre pos s aussi bien en Seconde qu en Premi re ou en Terminale Selon la classe et la p riode de l ann e scolaire l objectif sera l acquisition le renforcement ou la v rifi cation des notions mises en jeu La dur e de l activit et le partage entre travail en classe et travail la maison sont aussi des variables ajuster en fonction de la classe A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr INTERMEZZO Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre L objet de ce travail est d observer de conjecturer puis de d montrer une propri t classique des m dianes dans un triangle quelconque Dans le travail ci dessous le terme m diane d signe le segment qui joint un sommet au milieu du cot oppos A TRAVAIL DEVANT ECRAN Ouvrez une figure Geogebra 1 Le p rim tre du triangle Construisez un triangle ABC le logiciel affiche les longueurs de ses cot s et son aire Cr ez le p rim tre p du triangle ABC La somme des m dianes
55. d une conjecture solide avec des valeurs exactes Le suite du travail va consister la d montrer C TRAVAIL ALGEBRIQUE Pour tre capable de traiter le probl me il faut prendre comme variable t tan x La fonction f s exprime alors comme une fraction rationnelle en t pour aider les l ves qui pourraient s emm ler dans le calcul de tan 2x et de tan 3x l nonc donne le r sultat De m me le calcul de la d riv e f x est tr s guid car l essentiel ici est d tre capable de trouver les valeurs de x qui annulent la d riv e f x Le polyn me P t dont il faut trouver les racines est du cinqui me degr une fois t mis en facteur on est en pr sence d une quation bicarr e les quatre racines obtenues ont une expression compliqu e avec des racines carr es de racines carr es mais l l ve a le plaisir de trouver toutes les cinq racines ce qui n est pas un mince exploit son niveau D TRAVAIL DE SYNTHESE Il est temps de recoller les morceaux quel rapport ont les racines trouv es pour P t et les valeurs conjectur es C est l objet des deux premi res questions qui permettent d obtenir des expressions plus simples pour les valeurs des racines On peut alors factoriser P t puis s attaquer au signe de P t et aux variations de la fonction x f x Le tableau de signes est simple m me s il a autant de lignes que de facteurs dans P t Les variations obtenues par la th orie corroborent les
56. diaires On utilisera ensuite cette r gle pour extrapoler c est dire calculer une valeur inconnue l ext rieur de deux valeurs connues Si on s int resse la suite des valeurs y n la r gle d interpolation s crit y n y y n 1 x y n 1 et caract rise une suite g om trique en effet partir de cette r gle on peut d montrer par r currence que y n y 0 x q t n 1 On peut aussi s apercevoir que si tz t 1 la relation me 1 k t t s crit LEE 1 Kk JU yn ce qui prouve que la suite des valeurs y n est g om trique de raison 1 k L nonc n insiste pas a priori sur le caract re g om trique de la suite des valeurs de y n car l objectif est d abord d utiliser la r gle d interpolation pour remplir le tableau Par contre une fois rempli le tableau se poser la question de la nature de la suite devient pertinent en particulier pour faire le lien avec la nature exponentielle du mod le continu SUR LE MODELE CONTINU Il s agit ici du mod le classique o on d termine les valeurs de C et de k en examinant les valeurs de la temp rature pour t 0 et pour t 16 pour calculer ensuite les valeurs de la temp rature pour n importe quelle valeur de t Le calcul de la valeur de k suppose qu on ne conna t pas encore le logarithme n p rien il faut r soudre num riquement l intersection de deux courbes Les r sultats obtenus par l approche discr te et par l approche continue sont
57. du mal nous repr senter de tr s grands nombres et la comparaison de tr s grands nombres est difficile par la simple observation de leurs chiffres D o l id e d utiliser plut t un graphique On tirera donc profit de la la capacit du tableur repr senter des nuages de points dont les coordonn es sont les valeurs des deux suites comparer Une id e m thodologique La premi re conjecture naturelle sur la relation entre pn et qn est issue du graphique puisqu on observe un alignement sur une droite passant par l origine c est qu il existe un coefficient a tel que pn a qn Cette conjecture va s av rer fausse les l ves vont tre amen s remettre en cause leur conjecture et se demander comment l am liorer Etre capable de remettre en question ses hypoth ses nous semble pertinent au sein d une formation scientifique Un peu de maths propos de la suite presque g om trique et du Bonus Le travail pratique d abord puis le travail th orique conduisent l expression 2 1 1 1 ouencore 2 1 dn 3 dn 3 3 D Autrement dit qn est une combinaison lin aire de deux suites g om triques de raisons 2 et 1 L observation de trois valeurs successives de qn conduit l id e que qn 2 Qn 1 2Qn On peut v rifier cette galit au tableur et la d montrer par r currence c est l objet du Bonus L ensemble des suites un v rifiant la relation x Un 2
58. e conjecture 2 Minorations On note G le point de concours de m dianes c est le centre de gravit du triangle a Quelle relation existe t il entre les longueurs AG et AE Entre BG et BF Entre CG et CD b Dans le triangle ABG utilisez l in galit triangulaire pour minorer AB Utilisez la m me m thode pour minorer BC et CA c En ajoutant membre membre les trois minorations obtenues quelle minoration du rapport t s p arrivez vous d Est ce que ce r sultat est conforme votre conjecture 3 Nouvelles majorations a Soit Lle point tel que CABL soit un parall logramme Dans le triangle ABL utilisez l in galit triangulaire pour majorer AL Quelle relation existe t il entre BL et AC Entre AL et AE En d duire une majoration de AE b Soit M et N les points tels ABCM et BCAN soient des parall logrammes Utilisez la m me m thode pour obtenir une majoration de BF et de CD c En ajoutant membre membre les trois majorations obtenues quelle majoration du rappport t s p arrivez vous d Est ce que ce r sultat est conforme votre conjecture A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 10 INTERMEZZO Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre un En La page du prof Longueurs dans le triangle Ampleur 1 In galit triangulaire Geogebra A TRAVAIL DEVANT ECRAN Le travail propos ici sur Geogebra peut aussi
59. e d quation x y 1 plut t que y x pour obtenir directement l quation du second degr Cela permet aussi dans Geogebra d obtenir directement les deux points d intersection avec d au lieu de devoir utiliser deux fois la commande intersection Sans tre indispensable l utilisation de la formule de la somme des racines facilite le travail pour la parabole celle du produit des racines le travail pour l hyperbole Les calculs th oriques sont simples pour la variante Parabole et un petit peu plus labor s pour la variante Hyperbole Une des variantes pourra tre travaill e en classe et l autre donn e comme un travail la maison pour v rifier les acquis m thodologiques et th oriques des l ves L tude de la droite variable implique un param tre q mais ce n est pas une source de difficult En effet la partie pratique familiarise les l ves avec les variations de ce nombre q travers l utilisation d un curseur et lui donne une existence visuelle c est ordonn e l origine de la droite d L exp rience nous a montr que ce nombre variable q n tait pas un probl me pour les l ves Il est aussi possible de proposer des variantes pour le coefficient directeur de la droite d on pourra ainsi faire travailler en parall le les l ves sur des sujets analogues mais diff rents cela peut donner lieu un travail de type collaboratif et d boucher sur une synth se int ressante Plus
60. e de m me fr quence On va tudier ici un cas particulier tr s simple de ce r sultat le cas o les deux oscillations ont entre elles un d phasage gal un quart de la p riode Pratiquement cela veut dire qu on va ajouter une fonction sinus et une fonction cosinus chacune de p riode 27 mais ayant des amplitudes diff rentes Une question pour commencer L objectif de cette question est que les l ves se rendent compte que la fonction cosinus est une fonction sinus d phas e de 7 3 Si ce point n est pas vident pour eux on peut leur faire tracer les deux fonctions et observer que la cosinusoide se d duit de la sinusoide par un translation horizontale d un quart de p riode correspondant la formule cos x sin x 7 2 Bien entendu cela se voit aussi sur le cercle trigonom trique A EXPERIMENTATION La partie pratique utilise les curseurs de Geogebra il s agit en jouant sur les curseurs A et de faire co ncider les deux fonctions f x asin x bcosx et s x Asin x p o a et b sont donn es Pratiquement il vaut mieux ajuster d abord l amplitude A avant de r gler le d phasage o On s aper oit qu il est toujours possible de trouver A et y de fa on superposer les deux courbes mais ce niveau on ne voit pas encore comment A et y se d duisent de a et b on se contentera de noter les r sultats obtenus B CALCULS GEOMETRIQUES Cette partie est l pour amener les l ves d c
61. e dont les cot s de l angle droit mesurent 1 cm et 2 cm 2 M me question avec 3 cm et 4 cm 3 M me question avec 5 cm et 5 cm 4 En comparant les r sultats obtenus avec les valeurs de A et de y obtenues dans l exp rimentation formulez une conjecture sur l amplitude et le d phasage de la vibration d crite par la fonction f x asin x bcos x 5 V rifiez votre conjecture sur les valeurs de a et b que vous avez choisies la question A 5 C CALCULS TRIGONOMETRIQUES 1 En utilisant la formule sin u v sin u cos v sin v cos u montrer que si a Acoso et b Asino alors les fonctions f et s sont identiques c est dire que pour tout x f x s x 2 D montrez que si les fonctions f et s sont identiques alors a Acos g et b Asin o 3 Etablir les formules donnant A et en fonction de a et b Votre conjecture est elle d montr e 4 Appliquez le r sultat pour r soudre dans l intervalle 0 2x l quation sin x v3 cosx 2 5 R soudre dans l intervalle 0 2x l in quation sin x cos x gt l 2 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 37 AJOUTEZ VOS VIBRATIONS Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Somme de deux fonctions Ampleur 1 Fonction sinus Geogebra Quand on ajoute deux oscillations sinuso dales de m me fr quence on obtient une oscillation sinuso dale et encor
62. e la courbe devient l image que nous nous faisons de la fonction au tableau le professeur montre la courbe mais c est de la fonction qu il est en train de parler Face au concept tr s abstrait de fonction num rique il est normal et profitable de saisir l occasion de le repr senter par un dessin Un logiciel comme Geogebra permet de travailler en m me temps sur les aspects alg briques et graphiques c est un outil pr cieux pour mettre en vidence la correspondance entre une fonction sa et courbe Toutefois il faut savoir que pour le logiciel fonction et courbe sont le m me objet d sign par la m me lettre dans le travail pratique fonction et courbe ne font plus qu un L nonc propose un travail sur la parit et l imparit des fonctions et en particulier sur la propri t toute fonction peut s crire comme la somme d une fonction paire et d une fonction impaire A La fonction h Nous savons que face des propri t s pr sent es ensemble comme paire impaire ou bien arithm tique g om trique les l ves ont naturellement tendance penser que toute fonction est soit paire soit impaire ou bien que toute suite est soit arithm tique soit g om trique La premi re question est l occasion de parler de fonction paire et de fonction impaire et de s apercevoir que la fonction h n est ni l un ni l autre en exhibant des valeurs de x qui forment un contre exemple Remarquons au passage qu
63. e x x les fonctions impaires comme x 1 z Mais une fonction peut tout fait tre ni paire ni impaire et cest m me ce qui arrive la plupart du temps L objectif de ce travail est de montrer sur un exemple comment une fonction quelconque peut se ramener la somme d une fonction paire et d une fonction impaire A La fonction h On consid re la fonction h d finie pour x Z 1 par h x TRAVAIL SUR PAPIER c Pouvez vous trouver une valeur de x telle que h x h x Telle que h x h x Telle que hA x n existe pas La fonction h est elle paire Est elle impaire B Les fonctions pet i Pour x 1 et x 1 on d finit partir de la fonction h deux fonctions p et i de la fa on suivante h x h x h x h x e meme ti x 2 p x TRAVAIL DEVANT CRAN Ouvrez une figure Geogebra 1 Saisissez la fonction h sa courbe repr sentative appara t 2 Saisissez p x hoth Mettez la courbe en couleur quelle sym trie observez vous Quelle propri t de la fonction p pouvez vous conjecturer 3 Saisissez i x hw hx Mettez la courbe en couleur quelle sym trie observez vous Quelle propri t de la fonction i pouvez vous conjecturer TRAVAIL SUR PAPIER 1 Calculez l expression alg brique de p x en fonction de x Pouvez vous en d duire la sym trie observ e pour sa courbe repr sentative 2 Calculez l expression alg brique de i x en fonction d
64. e x Pouvez vous en d duire la sym trie observ e pour sa courbe repr sentative C La fonction s Pour x let x 1 on d finit partir des fonctions p et i la fonction s par s x p x i x TRAVAIL DEVANT CRAN Revenez la figure Geogebra 1 Faites appara tre la courbe repr sentative de la fonction s Qu observez vous 2 A quelle conjecture conduisent vos observations TRAVAIL SUR PAPIER 1 Calculez l expression alg brique de s x partir de celles de p x et i x 2 Pour x 1 et x 1 quelle relation pouvez vous en d duire entre les fonctions h p et i 3 Les fonctions p et i s appellent la partie paire et la partie impaire de la fonction h pourquoi D Une autre fonction TRAVAIL SUR PAPIER ET DEVANT CRAN 4 On consid re la fonction g d finie sur pour x 2 et x 2 par g x JE CES X x Trouvez une fonction paire et une fonction impaire dont g est la somme V rifiez votre r sultat en construisant leurs courbes repr sentatives A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 15 PAIRE IMPAIRE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Parit et imparit d une fonction Ampleur 1 Courbe repr sentative Geogebra La correspondance entre une fonction et sa courbe repr sentative est une notion qu on travaille tous les niveaux du Lyc e au point qu
65. efficients directeurs des droites AnAn 1 on ne trouvera que deux valeurs car les segments A An 1 sont parall les deux directions donn es mais ce ne sont pas les directions des droites o sont les points Dans le m me ordre d id es calculer les coefficients directeurs des droites AnAn 2 donne bien les deux valeurs 1 75 et 0 57 des coefficients directeurs mais cela prouve seulement que les segments AnAn 2 sont parall les deux directions C est seulement le calcul des coefficients directeurs de AA pour n pair et de A1A pour n impair qui garantit la posi tion des points A sur les deux droites On n a pas besoin d avoir une grande pr cision sur les coefficients directeurs obtenus les valeurs 1 75 et 0 57 suffisent largement pour observer et faire des conjectures Ce n est que lorsqu on aura eu l id e que les droites sont perpendicu laires qu on aura int r t prendre 7 4 pour un des coefficients car cela donnera alors la valeur 4 7 pour l autre A ce propos le graphique fait par le tableur n est pas a priori dans un rep re orthonorm et les droites peuvent ne pas avoir l air perpendiculaires Il faudra alors demander aux l ves de tirer sur le graphique pour avoir des unit s a peu pr s gales sur les abscisses et sur les ordonn es pour voir langle droit TRAVAIL TH ORIQUE Le raisonnement utilis ici est un raisonnement par r currence mais il n a pas besoin d tre form
66. eignement Public www apmep asso fr 36 AJOUTEZ VOS VIBRATIONS Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La plus simple des vibrations est l oscillation sinuso dale elle est d crite math matiquement par une fonction du type x Asin w x Le nombre A est positif c est l amplitude de la vibration le nombre w est sa pulsation qui donne sa fr quence et langle o est son d phasage L objectif de ce travail est d tudier la somme de deux vibrations simples et de m me fr quence Une question pour commencer Si a et b sont deux r els positifs quels sont l amplitude et le d phasage des vibrations d crites par les deux fonctions x asin x et x acosx A EXPERIMENTATION Ouvrez une figure Geogebra 1 Cr ez deux nombres a 1 et b 2 puis la fonction f x asin x bcosx Quelle est l allure de la courbe repr sentative de f 2 Cr ez un curseur pour le nombre A entre 0 et 10 et un curseur pour l angle 4 entre 0 et 360 Cr ez la fonction s x Asin x Ajustez les valeurs de A et de de fa on ce que les courbes repr sentatives de f et de s se superposent 3 Changez les valeurs de a et b en 3 et 4 et reprenez la question pr c dente 4 Changez les valeurs de a et b en 5 et 5 et reprenez la question 2 5 Choisissez a votre bon plaisir des valeurs pour a et b et reprenez la question 2 B CALCULS GEOMETRIQUES 1 Calculez l hypot nuse et les angles d un triangle rectangl
67. els logiciels Pour que les l ves puissent travailler chez eux il faut qu ils puissent tous avoir un acc s gratuit aux logiciels Notre choix s est donc port de fa on naturelle sur des logiciels libres gratuits et multiplateformes et plus pr cis ment sur G og bra et le tableur d OpenOffice Les nonc s se r f rent ces deux logiciels mais les activit s peuvent videmment tre travaill es sur d autres logiciels Quelles comp tences logicielles Les comp tences logicielles n cessaires pour mener bien les activit s sont basiques ce sont les traductions logicielles des notions math matiques C est tr s simple avec un logiciel comme Geogebra qui est con u pour la classe on peut facilement cr er des variables l aide de curseurs faire tracer la tangente une courbe et on a simultan ment sous les yeux les quations et les courbes C est un peu moins simple avec le tableur con u au d part pour la comptabilit et pas pour les maths Mais l on n utilisera que les fonctions d j pr sentes sur une calculatrice de base plus le recopiage vers le bas et la cr ation de graphiques Cot mat riel il est indispensable que le professeur dispose d un projecteur vid o pour montrer en m me temps tous les l ves les choses qu il estimera n cessaires A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr LE TRAVAIL PRATIQUE EN MATHS
68. en oeuvre 2 aa On fait appara tre Est ce que n R n le graphique de est une fonction connue n R n Mise en forme Mise en oeuvre 1 Pour n N on pose J gt On calcule au tableur F n n n 1 n 2 n 3 1 les valeurs de F n et et R n VF n de R n pour n de 1 20 La question pos e Le produit de quatre entiers cons cutifs augment de 1 est un carr parfait Conjecture 1 Observations 1 la propri t i Les valeurs calcul es d montrer pour R n sont toutes est vraie des nombres entiers Conjecture 2 Observations 2 la fonction n R n est de la forme R n an bn c La courbe ressemble une parabole Observations 3 Les valeurs obtenues Conjecture valid e sont identiques exp rimentalement Ee aux valeurs n n 1 n 2 n 3 1 n 3n 1 trouv es pour R n A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 27 DIAMETRES CONJUGUES PARABOLE J Lubczanski I Lallier Girot Dans le plan muni d un rep re orthonorm on consid re la parabole P d quation y 1 5x et une droite d de coefficient directeur gal 2 Lorsque la droite d varie dans le plan o se trouvent les milieux des points d intersection de P et de d A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 28 DIAMETRES CONJUGUES PARABOLE J Lubczanski I Lallier Girot
69. ersection de H et de d A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 30 DIAMETRES CONJUGUES HYPERBOLE J Lubczanski I Lallier Girot L objectif de ce travail est d observer et de d montrer une propri t classique de l hyperbole L hyperbole fait partie de la famille des coniques et toutes les courbes de cette famille partagent cette propri t A Observations et conjectures Ouvrez une figure Geogebra 1 Soit H la courbe d quation xy 1 H est une hyperbole Pour cr er l hyperbole H tapez dans le champ de saisie H x y 1 Cr ez un curseur q que vous placerez dans un coin de la figure puis cr ez la droite d quation y 2x q et renommez la d 2 Faites varier q et observez selon la valeur de q en combien de points la droite d coupe l hyperbole H Notez vos observations au brouillon 3 Donnez q une valeur pour laquelle la droite d coupe l hyperbole H en deux points Cr ez ces deux points A et B ainsi que leur milieu C Activez la trace du point C faites varier q et observez les positions du point C L ensemble des positions de C s appelle le lieu g om trique de C On le note L Quelle conjecture pouvez vous formuler sur la nature de L 4 Modifiez les bornes du curseur pour permettre q aller de 20 20 et mettez l preuve votre conjecture est elle encore valable 5 Faites nouveau varier
70. eut cr er le point C x A 0 de l axe des abscisses puis le segment BC dont la longueur s affiche automatiquement On peut cr er et faire afficher la diff rence d x B x A Dans tous les cas on observe que la distance reste constante et gale 1 B RECHERCHE D UNE DEMONSTRATION Il s agit ici de l application directe du cours pour d montrer un r sultat observ et v rifi exp rimentalement Cela peut tre fait juste apr s l exp rimentation ou donn comme exercice chercher la maison C VERS UNE GENERALISATION Le travail sur diff rentes valeurs de m peut s organiser de fa on collaborative au sein de la classe en donnant chaque l ve une ou deux valeurs particuli res de m tudier La collecte des r sultats de chacun permet de proposer une g n ralisation dont on peut v rifier la validit sur l ensemble des r sultats obtenus La d monstration dans le cas g n ral comporte deux variables a et m ce qui peut tre une source de difficult Avant d aborder la d monstration dans le cas g n ral avec une valeur litt rale de m il est bon que chaque l ve fasse la d monstration sur la ou les valeurs qu il a tudi La g n ralisation sera ensuite plus facile A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 58 UNE EQUATION TRANSCENDANTE J Lubczanski I Lallier Girot R soudre dans R l quation e x
71. ez les valeurs obtenues pour wp qu est ce qui est remarquable b Quelle conjecture pouvez vous faire sur l criture d cimale des nombres wp c Recopiez plus loin vers le bas votre conjecture reste t elle valable 2 Nature de la suite wn a Cr ez un graphique repr sentant w en fonction de n b Quelle allure a ce graphique A quel type de suite cela correspond il Quelle conjecture pouvez vous faire sur la nature de la suite wpn c Quelle nouvelle colonne pouvez vous cr er pour mettre l preuve cette conjecture Faites le 3 Expression de w en fonction de n a quelle formule w f n conduit votre conjecture pr c dente b Cr ez une colonne intitul e f n o vous saisirez la formule permettant d obtenir les valeurs successives de f n par recopiage vers le bas c Les valeurs obtenues avec la formule f n co ncident elles avec celles obtenues pour Wn C TRAVAIL THEORIQUE 1 Quelle est l expression de un en fonction de n D terminez la formule v g n laquelle conduit la conjecture w f n obtenue ci dessus 2 Cette question a pour but de d montrer la formule vn g n deux m thodes sont propos es M thode avec r currence D montrez que la formule vn g n est vraie pour tout n M thode sans r currence On note E l galit n 1 n3 3n 3n 1 Ecrivez les galit s E pour n allant de 1 n Combien y a t il d galit s En ajoutant ces n galit s membre
72. ffichage d une cellule sont deux choses diff rentes le contenu d une cellule est ce qu on y a saisi un texte un nombre ou une formule Une formule commence obligatoirement par le signe l affichage d une cellule d pend de son format Dans une cellule o il y a une formule c est le r sultat qui est affich Un nombre peut tre affich avec 15 chiffres significatifs mais pas plus Quand le tableur affiche des la place des nombres ce n est pas une erreur de calcul mais d affichage il n y a pas la place d afficher tous les chiffres Il faut alors largir la colonne Les nombres avec lesquels le tableur calcule peuvent tre assimil s des d cimaux 16 chiffres On peut dire que le tableur calcule en valeur approch e avec une pr cision relative gale 1071 Comme pour la calculatrice il s agit de calculs num riques et pas de calculs sur les nombres r els des math maticiens FONCTIONS amp VARIABLES Il n y a pas de variable dans un tableur il y a des cellules Une op ration ou une fonction s applique au contenu d une ou plusieurs cellules On aura donc besoin de sp cifier de quelles cellules il s agit l aide de leurs adresses L adresse d une cellule est le num ro de sa ligne et le num ro de sa colonne c est le nom de la cellule par d faut On peut dire que dans un tableur l adresse d une cellule joue le r le de la variable dans l expression d une fonction I
73. i quatre neuf etc sont des nombres carr s r sultant de la multiplication de deux trois etc par eux m mes SALV Fort bien et vous savez aussi que comme les pro duits sont appel s carr s les facteurs c est dire les termes que l on multiplie sont appel s c t s ou racines quant aux autres nombres qui ne proviennent pas de nombres multipli s par eux m mes ce ne sont pas des carr s Par cons quent si je dis que les nombres pris dans leur tota lit en incluant les carr s et les non carr s sont plus nom breux que les carr s seuls j noncerai n est ce pas une proposition vraie SIMP Tr s certainement SAI Si je demande maintenant combien il y a de nombre carr s on peut r pondre sans se tromper qu il y en a autant que de racines correspondantes attendu que tout carr a sa racine et toute racine son carr qu un carr n a pas plus d une racine et une racine pas plus d un carr SIMP Exactement SALV Mais si je demande combien il y a de racines on ne peut nier qu il y en a autant que de nombres puisque tout nombre est la racine de quelque carr cela tant il fau dra donc dire qu il y a autant de nombre carr s qu il y a de nombres puisqu il y en a autant que de racines et que les racines repr sentent l ensemble des nombres et pourtant nous disions au d but qu il y a beaucoup plus de nombres que de carr s tant donn que la plus grande partie des nombres ne
74. ic www apmep asso fr 24 UN EXERCICE DE 1914 Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre L objectif de ce travail est de retrouver un r sultat d hier avec des outils d aujourdhui Le produit de quatre entiers cons cutifs augment de 1 est un carr parfait Cette phrase constitue l nonc n 647 des Exercices d Arithm tique de J Fitz Patrick 1914 r ed J Gabay le but de cet nonc est de comprendre et de d montrer cette propri t Les calculs n cessaires pourront tre faits la calculatrice ou au tableur A SENSIBILISATION 1 Choisissez votre bon plaisir cinq entiers neuf chiffres Calculez leurs racines carr es est ce que ce sont des nombres entiers 2 a Combien y a t il d entiers neuf chiffres b Combien y a t il d entiers dont le carr est un entier neuf chiffres 3 On appelle carr parfait un entier qui est le carr d un entier a Combien vaut la probabilit qu un entier neuf chiffres tir au hasard soit un carr parfait b Combien faudrait il tirer au sort d entiers neuf chiffres pour esp rer que l un d entre eux soit un carr parfait B EXP RIMENTATION 1 Choisissez votre bon plaisir un entier entre 100 et 200 Faites le produit de cet entier par les trois entiers suivants et ajoutez un ce produit combien de chiffres a ce nombre Prenez la racine carr e du r sultat combien y a t il de chiffres apr s la virgule
75. id re les points An dont les coordonn es x yn sont d finies par Xo 0 Yo 12 4 et pour tout entier n 0 pour n 0 Les points sont ils sur une courbe identifiable Xn 1 0 8Xn 0 6yn 2 9 Yn 1 0 6x 0 8yn 4 9 APM E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public wWww apmep asso fr 48 ET POURTANT ILS TOURNENT Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Suite de points dans le plan Ampleur 2 G om trie l mentaire Tableur et Geogebra La question est pos e de fa on ouverte sans nonc d taill nous proposons ci dessous un d roulement possible de la s ance Ce travail est l tude d une suite de points An d finie par des relations de r currence sur les coordonn es x et yn de ces points Nous donnons la page suivante cinq autres exemples de suites de points qui peuvent donner lieu un travail analogue et o les courbes obtenues sont tr s diff rentes de celles qu on obtient ci dessous L id e de ce travail est de faire des observations et des conjectures sur la nature g om trique des courbes sur lesquelles les points An semblent se trouver pour d boucher sur une d monstration On pourrait se poser la question de la nature de la transformation g om trique qui fait passer de An Mn 1 Mais ce n est pas l approche que nous avons choisie pour privil gier une approche plus imm diate qui
76. ie la situation en jouant avec les curseurs manipuler trois curseurs en m me temps n est pas facile mais cela am ne une dimension ludique Il s agit de trouver une parabole qui passe peu pr s par tous les points sans chercher aller plus loin L id e qu aucune para bole ne passe exactement par les cinq points n est pas naturelle pour les l ves Il n est pas n cessaire d en parler ce moment du travail ce sera une cons quence de l approche th orique B APPROCHE THEORIQUE Un calcul alg brique l mentaire permet de voir que la contrainte de passer par les points A et E laisse un seul degr de libert la parabole Cela se traduit dans formule du second degr par la pr sence d un seul param tre le nombre a C TRAVAIL PRATIQUE A pr sent il n y a plus qu un curseur manipuler ce qui permet d affiner la recherche C est le moment o on se rend compte qu aucune parabole ne passe exactement par les cinq points il faut d velopper une strat gie de meilleure approximation Les donn es ont t calcul es pour que cette meilleure approximation ne tombe pas sur une valeur d cimale simple c est volontaire pour que l apport de l tude th orique qui am nera la valeur exacte cherch e soit plus perceptible par les l ves Nous conseillons donc de laisser le pas du curseur r gl 0 1 et d en rester la valeur a 1 7 pour la meilleure approximation D TRAVAIL THEORI
77. in l ensemble des milieux s appelle un diam tre de la conique cela g n ralise aux coniques la notion de diam tre du cercle Dans toute conique on aura donc des paires de diam tres conjugu s d o le titre de cette activit A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 32 DIAMETRES CONJUGUES PARABOLE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre LA SPIRALE DU TRAVAIL PRATIQUE Approfondissement Mise en oeuvre 4 Construction de A et de l intersection Sur quelle partie de la droite A x 0 67 se trouvent les milieux de AetP Mise l preuve Mise en oeuvre 3 valeurs de q du curseur q jusqu 20 Retour la question Miseen oeuvrez Constriire Construire le milieu C plusieurs milieux C q Activer la trace de C Mise en oeuvre 1 La guestion pos e Construction de P O sont les milieux des gt Cr ation de q points d intersection Construction de d de P et de d V Observations 1 Conjecture 1 Existence des points d intersection q lt 0 8 pas de point partir de laquelle E q 0 7 un point le milieu C existe q gt 0 6 deux points Il existe une valeur de q Conjecture 2 Observations 2 Les milieux C sont Les milieux C sur une demi droite sont align s sur verticale un segment vertical Conjecture 3 Observations 3 Les milieux C sont Tous les milieux C sur la droite lt sont align s
78. ions du cours c est un travail d allers retours pour formuler mettre l preuve et affiner une conjecture qu on ne cherchera d montrer que lorsqu elle aura t valid e exp rimentalement voir sch ma page suivante Que contient cette brochure Cette brochure contient dix huit activit s portant sur des notions travaill es en Seconde en Premi re S et en Terminale S Chaque activit comporte des parties th oriques et des parties pratiques les parties th oriques correspondent un travail sur papier et les parties pratiques un travail sur cran Le travail de l l ve se fera en plusieurs temps et en plusieurs lieux en classe la maison en salle informatique en salle banale Comment utiliser les nonc s Pour chaque activit nous avons r dig un nonc et une page du prof Il y a deux sortes d nonc s des nonc s d taill s et directifs o l l ve peut th oriquement avancer de fa on autonome La page du prof apporte des remarques des commentaires et des compl ments des nonc s ouverts qui se r duisent la question pos e sans donner d indications le professeur peut mener l ac tivit en direct avec ses l ves l oral La page du prof propose alors un d roulement pour mettre en pratique une d marche de recherche et est accompagn e de la spirale du travail pratique qui montre le travail sur la conjecture Quel travail rendre pour les
79. ise en oeuvre 2 Mise l preuve 1 Tester la diff rence de y Calcul sur tableur des diff rences deux termes cons cutifs La question pos e Mise en oeuvre 1 Etudier la suite Calcul sur tableur 1 2 3 n de 20 valeurs 1 2 3 n Conjecture 1 Observations 1 R p tition des d cimales La suite LE EE Il y a des valeurs enti res La suite est croissante est arithm tique Conjecture 2 Observations 2 arithm tique sont constantes de raison 0 67 et gales 0 67 Observations 3 Conjecture 3 En trois rangs Les valeurs obtenues ne co ncident pas Wn augmente de 2 la raison est 2 3 Conjecture valid e exp rimentalement Observations 4 Wn est arithm tique de raison 2 3 E Les valeurs obtenues 2n 1 co ncident Le terme g n ral s crit Wn www apmep asso fr pmep 23 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public UN EXERCICE DE 1914 J Lubczanski I Lallier Girot 647 Le produit de quatre entiers cons cutifs augment de 1 est un carr parfait Cet nonc est tir des Exercices d Arithm tique de J Fitz Patrick 1914 r ed J Gabay C est le 647 me exercice du livre qui en contient 1223 A cette poque l nonc d un exercice se r duisait la propri t qu il fallait d montrer A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Publ
80. kai fogalmak t telek Hajnal Imre Szeged 1997 On note un la somme des entiers de 1 n et vn la somme des carr s des entiers de 1 n Un 1 2 3 n vn l 2 3 n 5 f Vn Observez et tudiez la suite des quotients Wn Un Pouvez vous en d duire lexpression de v en fonction de n A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 20 A LA MODE HONGROISE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre L id e du travail ci dessous provient d un manuel scolaire de math matiques hongrois Matematikai fogalmak t telek Hajnal Imre Szeged 1997 On note un la somme des entiers de 1 n et vn la somme des carr s des entiers de 1 n Uun 1 2 3 n Vvn l 2 3 n phis RS v L objectif de ce travail est d observer et d tudier la suite des quotients wy pour en d duire l expression de v en fonction de n Un A MISE EN PLACE DU CALCUL 1 Ouvrez une nouvelle feuille de classeur Cr er cinq colonnes intitul es n u n2 vetw 2 La ligne sous les ent tes correspondra n 1 saisir les valeurs correspondantes dans chacune des colonnes 8 Dans la ligne suivante saisir les formules qui permettront d obtenir par recopiage vers la bas les valeurs successives de n un n2 Vn et Wn Recopier vers le bas jusqu n 20 B OBSERVATIONS ET CONJECTURES 1 Ecriture d cimale de w a Observ
81. l est naturel de saisir n dans la premi re cellule d une colonne o on va faire afficher les entiers naturels et ensuite de saisir n dans les formules de calcul Cela fonctionne dans certains tableurs Cependant nous pr f rons que les l ves s habituent r diger les formules saisir avec les adresses des cellules plut t qu avec un nom parce que c est une comp tence fondamentale pour utiliser un tableur en maths RECOPIAGE amp RECURRENCE Un des int r ts du tableur en maths est la fonctionnalit de recopiage Pour pouvoir l utiliser il faut savoir distinguer adresses absolues adresses relatives et adresses mixtes Les adresses absolues sont celles qui resteront inchang es dans le recopiage Elles sont caract ris es par le symbole qui bloque la ligne la colonne ou les deux la fois Les adresses relatives seront celles qui seront modifi es et adapt es la cellule o on recopie Le recopiage peut se faire la souris mais aussi par les menus Edition Remplir dans OpenOffice C est utile quand il s agit de recopier sur une tr s grande plage de cellules Par exemple pour recopier dans la colonne B les entiers naturels de 1 jusqu 200 saisir n en B1 puis 1 en B2 et B2 1 en B3 s lectionner B3 Dans la zone de nom en haut gauche modifier B3 en B3 B201 Validez la plage est s lectionn e s lectionner dans la barre des menus Edition Remplir Vers le
82. le BGV un site internet Publimath pour les d butants edes instances lues d finissant ses positions eune organisation d centralis e en R gionales qui ont leurs activit s propres et sont les relais entre l organisation nationale et les adh rents de tous horizons L APMEP agit e en r unissant commissions et groupes de travail sur des th mes vari s permettant aux adh rents de mettre en commun leur exp rience et d laborer critiques et propositions e en adoptant sa ligne d action en accord avec ses adh rents e en la d fendant aupr s de toutes les ins tances concern es L APMEP propose ainsi e ses choix et des pistes d action e des outils pour renforcer l efficacit de l enseignement de cette discipline L APMEP organise des e journ es nationales chaque ann e sur un site et un th me diff rents 2006 Clermont Ferrand Les math matiques un volcan actif 2007 Besan on Le temps des math matiques les math matiques dans leur temps 2008 La Rochelle Math matiques en construction e rencontres r gionales e s minaires et des universit s d t En adh rant l APMEP vous pourrez e participer la vie de l association et la d finition des positions qu elle d fend e contribuer ses productions les soutenir par la cotisation et toute implication plus pouss e e recevoir chez vous les infor
83. lors le d placement du point Q par le curseur m me s il n est plus visible l cran B COURBE REPRESENTATIVE 1 Construction et observation Pour faire appara tre des points de la courbe repr sentative on r investit les connaissances du cours on d finit M x Q y R et on active sa trace Faire varier le point Q am ne alors l allure de la courbe qui confirme le tableau de variation observ 2 Asymptotes conjecture et mise l preuve La courbe semble avoir deux asymptotes dont on peut conjecturer la position Question quelle est leur quation R ponse x 3 et y 2 On les construit pour avoir une confirmation On utilise la fonction lieu pour am liorer la confirmation mettre le lieu en rouge pour le distinguer C EXPRESSION DE LA FONCTION On se limite dans cette partie x gt 3 1 Construction et observation On construit le rectangle MSPT de diagonale MP et de cot s parall les aux axes pour cela on cr e les points S 3 y M et T x M 2 puis le rectangle MSPT On observe l aire de ce rectangle lorsque le point Q varie cette aire semble constante et gale 6 unit s ce sera notre nouvelle conjecture 2 Calcul de l expression L aire est gale au produit x 3 x y 2 D apr s notre conjecture cela vaut 6 On en d duit l expression y 2 Ea se LES KT S 8 Mise l preuve On construit la courbe repr sentative de cette fonction et on observe si
84. mations d actualit sur les math matiques et leur enseignement e b n ficier de r ductions importantes sur toutes les brochures qu elle propose Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public AVERTISSEMENT La brochure que vous avez sous les yeux est une premi re version du travail que nous proposons Elle contient 18 activit s et nous en avons encore une douzaine en chantier Entre la conception la r daction la saisie les relectures les critiques et les r critures chaque activit est le fruit d une trentaine d heures de travail en plus de notre labeur ordinaire d enseignant de Lyc e La demande pour ce type d activit s est forte et pressante aussi avons nous pr f r d livrer une premi re fourn e plut t que d attendre que nous ayons eu le temps de tout peaufiner De toutes fa ons un nonc n est jamais termin ni parfait car il d pend avant tout de l usage qu en fait le professeur et la disposition d esprit de ses l ves Les activit s de cette brochure ont toutes t exp riment es d une fa on ou d une autre aupr s d l ves et de professeurs au cours des deux derni res ann es Mais elles ne sont pas r d es pour autant en mettant aujourd hui ce travail votre disposition nous souhaitons obtenir de votre part des remarques et des critiques qui permettront de l am liorer Un lien est pr vu cet effet sur le site de l A PM E P Enfin
85. mps f 16 mn la temp rature 0 du caf vaut 0 16 40 C la temp rature ambiante a reste constante et gale 20 C La loi physique utilis e pour mod liser Le refroidissement du caf est proportionnel la diff rence entre la temp rature initiale du caf et la temp rature ambiante Avec nos notations cette loi s crit gt k 0 a o 0 et a sont en C t en mn et k est une constante AO 6 6 At b Le probl me est pr sent de construire une fonction t 0 t qui donne la temp rature du caf un instant t PREMIERE APPROCHE UN MODELE DISCRET Si les temp ratures aux instants t et sont 0 et 02 on aura donc k 1 a A Un exemple d interpolation Notons x la temp rature du caf pour t 8 1 Appliquer la loi physique entre t 0 et t 8 pour obtenir une relation entre x et k 2 Appliquer la loi physique entre t 8 et t 16 pour obtenir une autre relation entre x et k 3 Par limination de k entre les deux relations en d duire la valeur de x 0 1 C pr s B Une r gle g n rale d interpolation On pose y 0 A t 1 Montrer que la loi physique s crit ky et qu entre deux instants t et t2 on aura la relation A 1 k t t ya y yon ya yt 2 Soit t tz et tz trois dates r guli rement espac es Comparer 3 En d duire la r gle d interpolation y t2 4 y f1 x y t3 C Interpolations et extrapolations 1
86. n a pris uo gt vo gt 0 Mais si on a uo lt vo ce n est partir du rang 1 qu on observe ces sens de variation Une fois ce travail fait pour des valeurs impos es de wo et vo c est le moment de laisser vagabonder les l ves avec des valeurs choisies leur bon plaisir Le plus facile est de remplacer les valeurs de wo et vo dans les cellules du tableur et d observer ce qui change Mais alors on ne peut pas revenir en arri re sur un exemple d j trait par exemple pour observer apr s coup le produit un x vn Il nous semble qu il vaut mieux garder une trace de chaque essai par exemple en cr ant une nouvelle feuille chaque nouveau calcul on copie la feuille pr c dente et on changeant les valeurs de wo et vo dans la nouvelle feuille Le but est qu au bout d un certain nombre d exemples les l ves soient capables d mettre des conjectures fiables sur ce qui se passe quelles que soient les valeurs de wo et vo C TRAVAIL THEORIQUE Le travail th orique ne pr sente pas de difficult s particuli res Nous n avons pas besoin ici de la notion de suites adjacentes ni du th or me de cours correspondant mais cela n emp che videmment pas de profiter de ce travail pour montrer que un et vn en sont un exemple A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 52 RENCONTRE AVEC UNE FONCTION REMARQUABLE Maths J Lubczanski I Lallier Girot ent
87. nte en A la courbe d Cr ez le point d intersection B de la tangente avec l axe des abscisses 2 Exp rimentation Faites varier le point A sur la courbe Observez simultan ment les abscisses de A et de B 3 Conjecture Quelle propri t remarquable reste vraie pour toutes les positions du point A Imaginez et mettez en oeuvre une m thode pour confirmer exp rimentalement cette conjecture B RECHERCHE D UNE DEMONSTRATION 1 Soit a un r el et A le point d abscisse a de la courbe y exp x Etablir l quation de la tangente T en A la courbe 2 pouvez vous utiliser cette quation pour prouver votre conjecture 3 Conclure en non ant la propri t que vous avez d montr C VERS UNE GENERALISATION Vous allez chercher une propri t analogue pour la courbe repr sentative de la fonction fm d finie sur R par fn x exp mx 1 Un premier exemple a Choisissez une valeur m Construisez la figure et observez quelle conjecture pouvez vous faire b Imaginez et mettez en oeuvre une m thode pour confirmer exp rimentalement cette conjecture 2 Un second exemple a Prenez une autre valeur de m et construisez la figure quelle conjecture pouvez vous faire b Imaginez et mettez en oeuvre une m thode pour confirmer exp rimentalement cette conjecture 3 D monstration a crivez la propri t conjectur e pour un r el m quelconque b Donnez l quation de la tangente T en A la courbe re
88. nue pour aucun vrai triangle mais pour un triangle d g n r o les sommets B et C sont confondus C est le cas limite d un triangle isoc le o les deux sommets de la base tendent l un vers l autre A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 11 UNE FONCTION DEFINIE PAR LA GEOMETRIE J Lubczanski I Lallier Girot Dans un rep re orthonorm on consid re le point P 3 2 Soit Q un point quelconque de l axe des abscisses On construit le point R o la droite PQ recoupe l axe des ordonn es On note x l abscisse du point Q et y l ordonn e du point R On demande d tudier la fonction f x y A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 12 UNE FONCTION DEFINIE PAR LA GEOMETRIE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Etude l mentaire de fonction Ampleur 1 Tableau de variation courbe repr sentative Geogebra La question est pos e de fa on ouverte sans nonc d taill nous proposons ci dessous un d roulement possible de la s ance La correspondance g om trique Q R s appelle une projection centrale de centre P de la droite Ox sur la droite Oy En g om trie la projection centrale fait partie de la famille des homographies ax b d o le nom de fonction homographique donn la fonction associ e
89. ogebra fait partie de lunivers du logiciel libre Dans cet univers on n est jamais tout seul et en cas de probl me il suffit d aller sur le site http www geogebra org o il y a des forums d utilisateurs qui changent leurs savoirs faire et se d pannent les uns les autres A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr TABLE DES MATI RES J Lubczanski I Lallier Girot L gende PO page de l nonc type probl me ouvert TP page de l nonc d taill de l activit SP page de la spirale du travail pratique PP page de la page du prof TEXTES FAISANT APPEL DES NOTIONS DE LA CLASSE DE SECONDE PO TP PP SP Intermezzo 10 11 Une fonction d finie par la g om trie 12 13 Paire Impaire a 15 16 5 La ballade de l inverse 17 18 TEXTES FAISANT APPEL DES NOTIONS DE LA CLASSE DE PREMI RE PO TP PP SP A la mode hongroise 20 21 22 23 Un exercice de 1914 24 25 26 27 Diam tres conjugu s parabole 28 29 32 33 Diam tres conjugu s hyperbole 30 31 32 34 Ajustement parabolique 35 36 Ajoutez vos vibrations 37 38 Points en croix 39 40 41 42 TEXTES FAISANT APPEL DES NOTIONS DE LA CLASSE DE TERMINALE PO TP PP SP Une suite presque g om trique 44 45 46 47 Et pourtant ils tournent 48 49 a Les trois moyennes 51 52 Rencontre avec une fon
90. oi les points An se placent l un apr s l autre sur une des quatre demi droites issues de P Techniquement f est une similitude mais ce mot du vocabulaire de la g om trie n apporte pas de compr hension sup pl mentaire de la situation A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 41 POINTS EN CROIX Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre LA SPIRALE DU TRAVAIL PRATIQUE D ST Mise en oeuvre 4 Mise l preuve 3 Calcul sur tableur du produit des coef dir Tester le produit des coef dir Mise l preuve 2 Tester les coef dir de Mise en oeuvre 3 A0 An pour n pair Calcul sur tableur A1 An pour n impair des coef dir Mise l preuve 1 Mise en oeuvre 2 Quels sont les points An qui sont align s ZJhrp rage des coordonn es sur la m me droite des points sur le graphique Mise en oeuvre 1 La question pos e Calcul sur tableur Ftudier la suite de 3 points An Xn Yn des valeurs xn Yn avec Ao 3 1 et pour n de 1 20 Xnx1 15 5 1 1yn Graphique des points Ao A20 y Yn 1 1l 1xn 6 Conjecture 1 Observations 1 Tous les points An Ces 21 points sont align s Ae An sont align s sur deux droites sur deux droites Conjecture 2 Observations 2 Les points An avec n pair Les points se r partissent Pour n impair ils sont apr s l a
91. ole d quation y 1 5x2 et d la droite d quation y 2x q o q est un r el donn 1 Quelle quation du second degr doit v rifier l abscisse x d un point d intersection de P et d On notera E cette quation 2 Pour quelle valeur de q l quation E admet elle une racine double Quelle est alors la position relative de la droite et de la parabole 3 Pour quelle valeur de q l quation E admet elle deux racines distinctes Est ce que cela recoupe vos observations On note a et b ces racines A et B les points d intersection correspondants 4 Calculez a et b ainsi que l abscisse x du milieu C de A et B Que pouvez vous en d duire sur l ensemble des positions du point C lorsque q varie 5 Comparez les conjectures o vous ont men es vos observations et les r sultats obtenus par les calculs et les raisonnements S il y a des diff rences comment pouvez vous les expliquer C Travail sur papier R digez un compte rendu de la partie A et vos r ponses aux questions de la partie B A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 29 DIAMETRES CONJUGUES HYPERBOLE J Lubczanski I Lallier Girot Dans le plan muni d un rep re orthonorm on consid re l hyperbole H d quation x y 1 et une droite d de coefficient directeur gal 2 Lorsque la droite d varie dans le plan o se trouvent les milieux des points d int
92. on de ppn en fonction de qn 4 Travail sur la conjecture Cr ez une nouvelle colonne pour tester votre conjecture est elle v rifi e Si elle n est pas v rifi e comment pouvez vous l am liorer La tester nouveau A quelle expression de qn en fonction de n conduit votre derni re conjecture Cr ez une nouvelle colonne pour v rifier cette expression C TRAVAIL THEORIQUE D montrez par r currence l expression conjectur e de qn en fonction de n BONUS Observez simultan ment les valeurs de qn Qn 1 t qn 2 Quelle conjecture pouvez vous faire sur la fa on dont on peut obtenir qn 2 partir de Qn 1 et qn Testez cette conjecture au tableur et si elle est v rifi e d montrez l A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 45 UNE SUITE PRESQUE GEOMETRIQUE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Suite num rique Ampleur 1 R currence Tableur Cette activit est b tie sur trois id es Une id e th orique Pour tudier une suite inconnue qn on la compare une suite connue pn o pn 2 L observation de l alignement des points pn qn dans un rep re conduira s int resser aux quotients Pa qn On en tirera une relation entre les valeurs de p et de qn puis l expression de q en fonction de n Une id e pratique Les valeurs de p et de qn croissent tr s vite avec n Nous avons
93. ongueurs on utilise des galit s entre longueurs pour faire appara tre s et p puis t dans l in galit obtenue La premi re majoration de t utilise les points de la figure sans avoir besoin d en construire de nouveaux Elle n est pas la meilleure possible mais c est le moment d expliquer que c est un r sultat th orique d montr par le raisonnement ce titre cette majoration est valable pour tous les triangles possibles pass s pr sents et futurs pour les triangles qu on a d j trac et pour ceux qu on n a pas trac pour tous les triangles qu on peut imaginer La minoration de t passe par la centre de gravit du triangle ce point tait d j pr sent sur la figure mais il n avait pas encore t nomm La valeur obtenue est la meilleure possible Pourtant le rapport t n atteint jamais 0 75 pour un vrai triangle c est dire avec trois sommets non align s La valeur 0 75 s obtient pour un triangle d g n r o C est au milieu de AB C est le cas limite d un triangle isoc le o le sommet tend vers le milieu de la base Nous avons choisi de travailler avec des in galit s larges ce qui inclut les cas des triangles d g n r s La seconde majoration n cessite la construction de nouveaux l ments Mais avec les parall logrammes nous restons dans les objets de la g om trie l mentaire connus des l ves La valeur obtenue est la meilleure l encore elle n est obte
94. ouvrir comment on peut trouver A et o partir de a et b puis le v rifier sur les exemples d j trait s L id e du triangle rectangle de cot s a et b provient de l approche classique de cette question telle que les professeurs de Phy sique l enseignaient encore au Lyc e il y a quelques ann es sous le nom de diagramme de Fresnel on repr sente une oscilla tion d amplitude A et de d phasage par un vecteur tournant autour de l origine de norme A et d angle polaire Dans un tel diagramme les oscillations x asin x et x bcosx sont repr sent es par des vecteurs u etv orthogonaux La somme de ces oscillations est alors donn e par le vecteur w u v son amplitude jw lest bien l hypot nuse du triangle rectangle form par u etv Son angle polaire donnera le d phasage de la somme Ce diagramme permet de montrer le r sultat g n ral sur la somme de deux oscillations sinuso dales de m me fr quence Il nous a sembl qu il n tait pas utile ici de mettre en place tout l appareillage du diagramme de Fresnel car nous sommes dans un cas particulier o il suffit de construire des triangles rectangles C CALCULS TRIGONOMETRIQUES Le travail pratique a permis de mettre au point les formules donnant A et partir de a et b voici venu le temps de la d mons tration qui va devoir se faire dans les deux sens pour tablir une quivalence logique On utilise ensuite le r sultat obtenu pour r soudre une
95. perbole x On va s int resser l image de cette hyperbole par une translation La translation ne change pas la forme des objets l image d une hyperbole par une translation sera une nouvelle hyperbole Ce sera la courbe repr sentative d une nouvelle fonction la question pos e ici est de d terminer cette nouvelle fonction A UNE PREMIERE METHODE On consid re la translation de vecteur u i 3j TRAVAIL DEVANT CRAN Ouvrez une figure Geogebra 1 Construction a Dans le champ de saisie tapez f x 1 x la courbe repr sentative de la fonction f appara t b Cr ez le vecteur u de coordonn es 1 3 Cr ez un point A sur la courbe Construisez l image A de A par la translation de vecteur u Faites varier A sur la courbe de f pour v rifier votre construction doit d crire une courbe de m me forme que celle de A 2 Observation a Tracez le lieu des points A lorsque A varie c est l image par la translation de la courbe repr sentative de f Renommez ce lieu H et coloriez le b Soit B le point de H d abscisse 3 quelle est son ordonn e Soit D le point de H d abscisse 3 quelle est son ordonn e TRAVAIL SUR PAPIER i On suppose que H est la courbe repr sentative d une fonction h dont l expression est de la forme h x a Sgi 1 Quelle galit pouvez vous crire sachant que B est sur cette courbe Quelle galit pouvez vous crire sachant que D est sur cette courbe
96. permet de faire travailler aux l ves des notions de g om trie l mentaire En revanche ce travail est utile apr s coup pour arriver une nouvelle perception de la situation Les valeurs num riques dans les formules de r currence ont t soigneusement choisies pour que les valeurs des r sultats trouver ne soient pas videntes mais demandent un travail de r flexion A PREMIERE CONJECTURE 1 Calcul graphique et observations On utilise un tableur pour calculer les coordonn es d une trentaine de points A IMPORTANT pour am liorer la lisibilit r gler l affichage deux d cimales si ce n est pas le cas par d faut Un graphique en nuage de points non reli s donne ensuite l allure de la figure form e par ces points une courbe ferm e r guli re 2 Conjecture sur la courbe Une conjecture naturelle est celle d un cercle m me s il semble aplati en effet le rep re utilis par le tableur n est pas a priori orthonorm Quel est son centre Quel est son rayon Si on observe les points du graphique dont l abscisse ou l ordonn e est minimale ou maximale et les points peu pr s diam tralement oppos s on peut donner une estimation du rayon et des coordonn es du centre L impression du graphique peut permettre d am liorer la pr cision mais on ne pourra gu re aller plus loin dans l observation B AFFINAGE DE LA CONJECTURE 1 Exp rimentation g om trique Combien faut il de points pou
97. petit carr neuf chiffres est 10 000 il y a 31 622 10 000 1 21623 carr s parfaits neuf chiffres 9 108 21623 41622 il y a une chance sur 41622 qu un entier neuf chiffres soit un carr parfait Sachant qu on r p te cette exp rience plusieurs fois et qu on tombe chaque fois sur un carr la probabilit que cela soit le fait du hasard fond comme neige au soleil En 1638 Galil e dans le Dialogue sur deux sciences nouvelles voquait d j la raret des carr s pour poser le probl mes des infinis de grandeur diff rentes SALVIATI C est bien l une des difficult s qui surgissent quand nous discutons avec notre esprit fini des choses infinies et leur attribuons les pith tes que nous utili sons pour les choses finies et limit es ce qui mon avis est incorrect car j estime que des pith tes comme plus grand plus petit et gal ne conviennent pas aux gran deurs infinies dont il est impossible de dire que l une est plus grande plus petite ou gale une autre Mais voici pour le prouver un raisonnement qui me revient a l esprit pour plus de clart je vais l exposer en interrogeant le sei gneur Simplicio qui a formul la difficult Vous savez par faitement je suppose quels nombres sont carr s et quels nombres ne le sont pas SIMPLICIC Je sais parfaitement qu un nombre carr pro vient de la multiplication d un autre nombre par lui m me ains
98. pr cis ment si on note a le coefficient directeur des s cantes dans le texte a 2 pour la parabole et a 2 pour l hyperbole on obtient pour l ensemble des milieux 2 a aa pour la parabole c est la demi droite incluse dans la droite d quation x 3 et d origine le point 5 T pour l hyperbole il faut prendre a n gatif on trouve alors la r union de deux demi droites ae incluses dans la droite d quation y ax et d origines les points 1l Va Un peu de culture math matique La propri t explor e et tudi e dans ce travail est classique quand on coupe une conique par des droites parall les une direction donn e les milieux des cordes d intersection sont align s sur une autre droite C est vrai de fa on l mentaire lorsque la conique est d g n r e en deux droites parall les ou s cantes ou bien dans le cas du cercle C est encore vrai dans le cas g n ral c est dire pour la parabole l hyperbole et l ellipse Si et donnent les directions de la droite d o on est parti et de la droite o se trouvent les milieux ces directions jouent des r les sym triques si on recoupe la conique par des droites de vecteur directeur les milieux des cordes d intersection sont align s sur une droite de vecteur directeur On dit que ces directions sont conjugu es par rapport la conique Dans le cas du cercle les directions conjugu es sont orthogonales Enf
99. pr sentative de la fonction fm c Utilisez cette quation pour prouver votre conjecture A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 57 TANGENTES A LA COURBE EXPONENTIELLE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Les courbes exponentielles Ampleur 1 Tangente une courbe Geogebra Le travail propos ici a pour but de se familiariser avec les courbes exponentielles travers une propri t simple des tangentes A DEMARCHE EXPERIMENTALE La construction de la tangente sous Geogebra s accompagne automatiquement de l affichage de son quation dans la fen tre Alg bre C est le moment de faire observer aux l ves que son coefficient directeur est gal l abscisse du point A et de leur en demander la raison l exponentielle est sa propre d riv e L observation du fait que l abscisse du point B vaut une unit de moins que l abscisse du point A est facile pour des abs cisses positives Il n est pas inutile de demander aux l ves de le v rifier pour des abscisses de A entre 0 et 1 puis pour des abscisses n gatives de A La recherche d une m thode de v rification logicielle du r sultat observ est int ressante car il y a de nombreuses possi bilit s entre autres On peut construire par parall le et intersection le point C de l axe Ox qui a la m me abscisse que A puis la distance CB On p
100. q et observez les coordonn es du point C quelle conjecture pouvez vous formuler sur l quation de L 6 Cr ez le lieu g om trique L d apr s l quation que vous avez conjectur e Est ce que votre conjecture est confirm e B Calculs et d monstrations Soit H l hyperbole d quation xy 1 et d la droite d quation y 2x q o q est un r el donn 1 De quelle fonction H est elle la courbe repr sentative En d duire l quation du second degr que doit v rifier l abscisse x d un point d intersection de H et d On notera Eq cette quation 2 Pour quelle valeur de q l quation E4 admet elle une racine double Est ce que cela recoupe vos observations Comment pouvez vous expliquer la diff rence Quelle est alors la position relative de la droite et de l hyperbole 3 Pour quelle valeur de q l quation Eq admet elle deux racines distinctes Est ce que cela recoupe vos observations On note a et b ces racines A et B les points d intersection correspondants 4 Lorsqu elles existent calculez les racines a et b puis leur somme et leur produit En d duire l abscisse x et l ordonn e y du milieu C de A et B Nota Bene le nombre q appara t dans les r sultats de cette question 5 Etablir une relation entre x et y o q n intervient pas Que pouvez vous en d duire sur l ensemble des positions du point C lorsque q varie Est ce que cela recoupe votre conjecture sur l q
101. que Yn gt 1 on a P 3 2 S rie harmonique et somme de paquets a Ecrire Si l aide des paquets P30 P31 Pon 1 1 l1 l1 1 1 A P5 etainsi de suite 7 8 9 10 D b En d duire une minoration de Sn c Que peut on en conclure pour les sommes S27 quand n tend vers l infini 3 Limite de la s rie harmonique a Soit A un r el positif quelconque On d finit l entier k par E 2A k 1 o E d signe la fonction partie enti re Montrer que kj 2 gt A puis que Spx gt A b En d duire que si n gt 2 alors Sn gt A Conclure DEUXI ME PARTIE TUDE DES PAQUETS TRAVAIL PRATIQUE e s e CT Ce ec Revenez la feuille de classeur de la premi re partie 1 A quel paquet est gal la diff rence S2 Sn Pour calculer les valeurs des 100 premiers paquets jusqu quel entier n faudra t il calculer les sommes Sn Faites afficher les sommes S jusqu cet entier n 2 Cr ez deux colonnes pour placer les sommes S2 et les paquets Pp Pour calculer les paquets P vous avez besoin d aller chercher la valeur de S2 correspondante Pour cela vous allez utiliser la fonction RECHERCHE du tableur la formule RECHERCHE a plage 1 plage 2 cherche la valeur a dans la plage 1 et renvoie la valeur situ e sur la m me ligne que a dans la plage 2 Etablir la formule qui va afficher S gt dans la colonne pr vue la m me ligne que Sn puis calculez les 100 premiers paquets 3
102. r d terminer un cercle Trois Pour pr ciser le cercle conjectur on va donc construire le cercle qui passe par les trois premiers points As A1 et A2 Pour cela on passe sur un logiciel de g om trie o on construit ces trois points soit avec leur coordonn es qu on recopie avec les deux d cimales affich es 0 12 4 4 54 5 02 et 3 74 3 61 soit par copier coller en faisant attention la notation de la virgule dans chaque logiciel qui peut tre un point Ensuite l intersection de deux m diatrices donne le centre dont on r cup re les coordonn es et on fait appara tre la distance entre ce centre et un des points En gardant les valeurs affich es deux d cimales on obtient une conjecture affin e sur le centre et le rayon C 8 79 1 9 et R 13 69 2 Mise l preuve sur le tableur Pour prouver cette conjecture on va utiliser nouveau le tableur en cr ant une colonne donnant la distance de chaque point au centre C conjectur il faut obtenir le m me rayon pour tous les points Pour simplifier la for mule saisir et limiter les risques d erreur on peut cr er deux colonnes une qui calcule le carr de la distance et l autre qui calcule la racine de la pr c dente R sultat avec deux d cimales les rayons s affichent 13 69 13 70 ou 13 71 Ils ne sont pas tous gaux mais presque La question que cela pose est celle des trois registres de nombres qu on manipule valeurs
103. rdonn es d un point et de son image par la transformation propos e et le fait que le point de d part est sur la courbe de la fonction inverse 1l Le passage de la relation y f x y y 4 f x 4 f x 1 4 conduit g x 4 x On peut ici faire remarquer la d composition en fonctions de r f rence de la fonction g TRAVAIL DEVANT CRAN Le travail se termine par la validation visuelle de l expression obtenue le travail de l l ve est de comprendre que si le lieu de point et la courbe repr sentative de g sont confondus son travail th orique est confirm exp rimentalement A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 18 ENONC S METTANT EN JEU DES NOTIONS DU PROGRAMME DE PREMIERE Les nonc s qui suivent peuvent tre pos s aussi bien en Premi re qu en Terminale Selon la classe et la p riode de l ann e scolaire l objectif sera l acquisition le renforcement ou la v rifi cation des notions mises en jeu La dur e de l activit et le partage entre travail en classe et travail la maison sont aussi des variables ajuster en fonction de la classe A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 19 A LA MODE HONGROISE J Lubczanski I Lallier Girot L id e du travail ci dessous provient d un manuel scolaire de math matiques hongrois Matemati
104. re Le sujet de l exercice ci dessous provient du Recueil de probl mes de math matiques l usage des classes de Math matiques El mentaires de Charles Ange Laisant paru en 1893 Ces classes de Math Elem comme on les appelait famili rement taient les Terminales Scientifiques de l poque Elles ont port ce nom jusqu en 1971 Aujourd hui pour r soudre cet exercice il faut combiner plusieurs approches LA QUESTION POS E tan x tan 3x Pour quelles valeurs de x est ce que la fonction f admet un maximum ou un minimum On consid re pour 0 lt x lt TJ et x Z Ta la fonction f x A TRAVAIL PRATIQUE l 4 Faites appara tre la courbe repr sentative de f sur I 0 7 31 Quelle approximation pouvez vous donner de la valeur a pour laquelle f semble avoir un maximum Donnez aussi une approximation de la valeur de ce maximum Faites appara tre la courbe repr sentative de f sur J 3 TJ 2l Quelle approximation pouvez vous donner de la valeur b pour laquelle f semble avoir un minimum Donnez aussi une approximation de la valeur de ce minimum Convertir les approximations de a et de b en degr s 0 1 pr s Formulez une conjecture sur les valeurs de a et b Avec x en degr s et un pas de 0 1 dressez un tableau de valeurs de la fonction f au voisinage des valeurs conjectur es pour a et b Est ce que cela confirme votre conjecture B TRAVAIL GEOMETRIQUE 1 Dessinez sur
105. rimentalement On en d duit une formule pour vn qui est donc aussi une conjecture La suite du travail consistera la d montrer ce qui d montrera par la m me occasion la formule obtenue pour Wp n n 1 n n 1 2n 1 2n 1 s Un etsi Vv alorsona Wwn 2 6 3 Si les l ves connaissent le raisonnement par r currence il leur faut une id e du r sultat d montrer pour pouvoir l utiliser c est pr cis ment ce que fournit la conjecture Si les l ves ne connaissent pas encore le raisonnement par r currence nous proposons une m thode alternative parfois appel e m thode des cascades C est une m thode classique on peut l utiliser ensuite pour calculer la somme des cubes partir de celle des entiers et des carr s en crivant le d veloppement de n 1 On peut continuer ainsi pour calculer toutes le sommes de la forme 1 2 32 n dites Sommes de Newton A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 22 A LA MODE HONGROISE J Lubczanski I Lallier Girot une LA SPIRALE DU TRAVAIL PRATIQUE Mise en oeuvre 4 Calcul sur tableur des valeurs de Wn d apr s la formule Mise l preuve 3 Tester la formule du terme g n ral Un W 2 3x n 1 Mise en oeuvre 3 Mise l preuve 2 du terme g n ral des valeurs de wn Un Uu n 1 x 0 67 d apr s la formule M
106. sant par O Conjecture 3 Observations 3 Les milieux C sont Tous les milieux C sur la droite sont align s d quation y 2x On a yc 2xc Conjecture valid e Observations 4 exp rimentalement se 2 points d intersection Les milieux sont sur 2 demi droites 0 71 1 41 et 0 71 1 41 d termin e par y 2x et yc gt 1 41 On a toujours yc gt 1 41 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 34 AJUSTEMENT PARABOLIQUE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre L objectif de ce travail est d tudier comment on peut ajuster une formule des donn es On suppose qu la suite d une exp rimentation on a obtenu les valeurs suivantes pour deux grandeurs x et y entre lesquelles on cherche une relation y f x x 011121 131 4 711417151416 On supposera que les valeurs extr mes pour x 0 et x 4 sont des valeurs impos es par le protocole exp rimental alors que les autres valeurs sont le r sultat de l observation Autrement dit la formule y f x devra tre exacte pour x 0 et x 4 et devra tre la meilleure possible pour x 1 x 2 etx 3 Dans cet exemple on va chercher une formule y f x du second degr A APPROCHE HEURISTIQUE On consid re les points A 0 14 B 1 7 C 2 5 D 3 4 et E 4 6 qui repr sentent les donn es dans un rep re On pose f x ax bx c et on note P la parabole repr
107. se faire avec un autre logiciel de g om trie on a besoin de faire varier la forme d un triangle et d afficher des longueurs et leur somme Am lioration de l affichage On utilise ici une modalit sp cifique Geogebra la fen tre Objets Auxiliaires qui est une esp ce de fourre tout o on peut placer tout ce qui ne sert plus rien Ensuite on ferme ce dossier en cliquant dessus et on n a plus sous les yeux que ce qui nous int resse Pour ceux que a m int resse pas de faire le m nage dans la fen tre Alg bre o qui pr f rent fermer cette fen tre dans une activit de g om trie on peut aussi cr er et afficher un texte o on collera les nombres s p ett Observations et conjectures Nous sommes ici dans une phase de travail exp rimental o l l ve dispose d une certaine libert de mouvement la souris Au cours de l exp rimentation la question va se poser de savoir si un triangle reste un triangle quand ses sommets sont align s c est un cas limite que nous appellerons triangle d g n r mais triangle quand m me car les trois sommets zu continuent d exister Le passage du vrai triangle au triangle d g n r se fait de fa on quasi continue la souris sans poser de probl me existentiel aux l ves L important est d avoir un mot pour en parler pas de pinailler sur une d finition La premi re observation est que s reste toujours plus petit que p mais jamais de beaucoup
108. sont pas des carr s A quoi s ajoute le fait que la proportion des carr s diminue toujours davantage quand on passe des nombres plus lev s si en effet jus qu cent il existe dix carr s c est dire la dixi me partie de tous les nombres jusqu dix mille un centi me seule ment des nombres sont des carr s et jusqu un million la milli me partie seulement pourtant dans un nombre infi niment grand il faudrait admettre que les carr s sont aussi nombreux que tous les nombres pris ensemble SAGREDO Qu en conclure dans ces conditions SALV A mes yeux la seule issue possible est de dire que l ensemble des nombres est infini que le nombre des car r s est infini et le nombre de leurs racines pareillement que le total des nombres carr s n est pas inf rieur l en semble des nombres ni celui ci sup rieur celui l et finalement que les attributs gal plus grand et plus petit n ont pas de sens pour les quantit s infinies mais seulement pour les quantit s finies extrait de la traduction Clavelin Ed A Colin 1972 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 26 UN EXERCICE DE 1914 Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre LA SPIRALE DU TRAVAIL PRATIQUE Travail th orique Mise en oeuvre 3 partir de R 0 R 1 et R 2 de n2 3n 1 donne a 1 b 3etc l pour n de 1 20 Question th orique Mise
109. sseurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr LES ATTENTIONS DE TONTON LULU Maths J Lubczanski entre a Er Le logiciel Geogebra que nous pr conisons a t con u pour l enseignement des math matiques Il int gre les objets et les notions que nous travaillons dans nos cours sa prise en main est facile et rapide aussi bien pour un l ve que pour un profes seur Il y a cependant des diff rences entre l affichage le fonctionnement du logiciel et nos habitudes d criture nos habitudes de pens e LES NOMBRES En mati re de calcul num rique Geogebra n a pas les performances d une calculatrice ou d un tableur Par d faut il affiche les nombres avec deux d cimales et on peut r gler l affichage jusqu 5 d cimales C est bien suffisant pour le travail que nous avons faire avec nos l ves GEOGEBRA ET LES MATHS Dans Geogebra tout objet saisi a un nom si vous ne donnez pas de nom l objet que vous cr ez au moment de la saisie le logiciel lui en donnera un et l affichera Vous pouvez changer ce nom apr s coup par la commande Renommer ATTENTION le s parateur pour les d cimales d un nombre west pas une virgule mais un point POINTS amp VECTEURS Si vous saisissez deux coordonn es entre parenth ses s par es par une virgule vous cr ez un point Pour lui donner un nom au moment de sa cr ation il faut utiliser une lettre majuscule
110. ste l envie d aller plus loin 2 La s rie harmonique Le travail d observation et de conjecture se d cline en trois temps a L observation des 100 premiers termes elle peut donner lieu diverses conjectures croissance convergence b Le graphique n S il devrait faire penser la fonction logarithme n p rien c L observation des valeurs de S In n la conjecture d une convergence semble naturelle mais vers quelle limite Nous savons que les diff rences S In n ont une limite quand n tend vers et que cette limite s appelle la constante d Euler voisine de 0 577 Mais ce r sultat ne sera pas d montr au cours de ce travail L id e est de faire le raisonnement suivant si je conjecture que Spn In n tend vers une limite finie Z alors comme In n tend vers l infini cela oblige S en faire autant ma conjecture a pour cons quence la divergence de la s rie harmonique TRAVAIL THEORIQUE La d monstration propos e ici est classique on regroupe les termes de la s rie harmonique en paquets qui seront chacun plus grands que 1 2 Cette d monstration est tr s convaincante l oral mais elle demande un peu de rigueur d s qu on veut la r diger 1 Etude du paquet P On se familiarise avec les paquets et on tablit tranquillement la minoration de chaque paquet par 1 2 2 S rie harmonique et somme de paquets On d compose Sz en somme de n paquets d o la minoration deS2
111. t le mieux possible les donn es Cette d marche est essentielle dans toutes les sciences une fois la formule tablie la th orie s efforcera de justifier sa validit pour pouvoir en faire une loi Du pont de vue math matique l ajustement consiste chercher faire passer une courbe le plus pr s possible d un certain nombre de points donn s Quand on cherche une droite cela s appelle un ajustement lin aire la r gression lin aire en statis tiques en est un exemple C est une technique purement math matique et de nombreux logiciels scientifiques int grent une fonction d ajustement il existe par exemple une courbe de tendance dans les tableurs En g n ral la mesure de l cart entre la formule obtenue et les donn es observ es est bas e sur un calcul de distance euclidienne Le travail propos ici est l tude math matique d un ajustement parabolique on va chercher une formule du second degr L exemple trait est un exemple d cole le second degr le nombre des donn es et la m thode de calcul de l erreur corres pondent aux techniques dont les l ves disposent L essentiel est dans la d marche Cet nonc comporte quatre tapes deux allers retours entre cran et papier Il se pr te bien une r partition du travail entre la classe et la maison A APPROCHE HEURISTIQUE Heuristique signifie qu on va chercher exp rimentalement en t tonnant L objectif est que l l ve s appropr
112. tif chaque groupe ou chaque l ve travaillant sur une des fonctions avec des temps de mise en commun et des temps de synth se xX M On consid re un demi cercle de diam tre AB y et les deux demi droites Ox et Oy qui lui sont tangentes en A et en B s Si M est un point de Ox on d finit le point R o la droite MB coupe le demi cercle R le point S o la droite AR recoupe la demi droite Ox On pose x AM et y BS et on demande d tudier la fonction x y A B M T On consid re un demi cercle de diam tre AB et les deux demi droites Ox et Oy qui lui sont tangentes en A et en B Si M est un point de Ox on d finit le point de contact T de la tangente au demi cercle issue de M le point P o cette tangente recoupe la demi droite Ox On pose x AM et y BP et on demande d tudier la fonction x y X y On consid re un demi cercle de diam tre AB M et les deux demi droites Ox et Oy qui lui sont tangentes en A et en B Q Si M est un point de Ox on d finit T le point de contact T de la tangente au demi cercle issue de M le point Q o la droite AT recoupe la demi droite Ox On pose x AM et y BQ et on demande d tudier la fonction x y A B A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 14 PAIRE IMPAIRE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre Il y a les fonctions paires comm
113. tr s voisins L approche continue est plus rapide pour calculer des valeurs interm diaires ou pour pr voir des valeurs post rieures t 16 mais le prix payer pour cette efficacit est l utilisation d une fonction sophistiqu e dont les valeurs ne sont accessibles qu avec la calculatrice ou le tableur la fonction exponentielle En outre cela suppose que le temps puisse tre consid r comme une variable continue somme d instants infinit simaux de dur e nulle ce qui n est pas toujours facile concevoir Nous pensons que ce travail est un bon exemple pour faire r fl chir les l ves sur le passage du discret au continu A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 56 TANGENTES A LA COURBE EXPONENTIELLE Maths J Lubczanski I Lallier Girot L objectif de ce travail est de d couvrir exp rimentalement une propri t des tangentes la courbe exponentielle puis de chercher d montrer cette propri t par le calcul LA QUESTION POS E Quelle propri t poss de le point o la tangente la courbe y exp x coupe l axe des abscisses A DEMARCHE EXPERIMENTALE Pour r pondre exp rimentalement cette question vous allez utiliser le logiciel Geogebra 1 R alisation de la figure a Faites appara tre la courbe repr sentative de la fonction f d finie sur R par f x exp x b Cr ez un point A sur cette courbe c Cr ez la tange
114. uation de L C Travail sur papier R digez un compte rendu de la partie A et vos r ponses aux questions de la partie B A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 31 DIAMETRES CONJUGUES PARABOLE amp HYPERBOLE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof G om trie cart sienne Ampleur 1 Equation du second degr G og bra Le travail propos ici se d cline en deux variantes Parabole et Hyperbole Dans chaque cas les donn es ont t choisies pour que les observations ne d livrent pas tout de suite les valeurs exactes recherch es Les observations doivent tre qualitatives avant d tre quantitatives comprendre que la valeur de q d termine le l existence des points d intersections est plus important que de trouver la valeur fronti re de q avec plein de d cimales C est pourquoi nous pr f rons conserver le r glage de l affichage deux d cimales et attendre l tude th orique pour pr ciser les valeurs cherch es De m me nous pr f rons dans un premier temps laisser les r glages par d faut du curseur q entre 5 et 5 au pas de 0 1 pour ne pas s parpiller dans la gestion du logiciel et rester concentr sur la question pos e L tude th orique des intersections de la courbe et de la droite d bouche sur une quation du second degr Nous avons choisi de pr senter l hyperbole comme la courb
115. ur le cercle Techniquement il vaut mieux travailler avec les carr s des distances pour ne pas s encombrer avec des symboles racine on d montre alors par r currence que pour tout n CAn 187 69 Si la r currence n a pas t encore tudi e au moment de ce travail il nous semble que cela peut tre le moment d en expliquer le principe m me si on ne formalise pas D ailleurs le fait de pouvoir recopier vers le bas dans un tableur n est rien d autre que l application du principe de r currence 2 Am lioration de la conjecture On peut se demander comment on passe g om triquement d un point au suivant Revenons la figure construite dans le logiciel de g om trie on peut observer si on l a trac e que la m diatrice de A A2 passe par A1 Si en plus on trace les trois m diatrices on est assez naturellement amen l id e qu on tourne d un angle gal autour de C pour passer de As A1 et de A A2 Autrement dit le passage de A n 1 se ferait par une rotation de centre C Une premi re mise l preuve de cette conjecture demander la valeur des angles AoCA et ACA au logiciel on trouve des valeurs gales entre elles et valant 36 87 On peut remarquer que cette conjecture entra ne la pr c dente si on passe de A par une rotation de centre C alors tous les points An seront sur le cercle de centre C passant par Ao Cette nouvelle id e nous fait comprendre plus en
116. urrait aussi cr er son lieu g om trique mais cela nous loignerait de la vision un point de la courbe de f a pour image un point de la courbe H 2 Observation Pour simplifier les calculs on demande la lecture de points dont les abscisses sont oppos es et dont l ordonn e a une valeur simple et clairement lisible TRAVAIL SUR PAPIER 1 Au niveau Seconde nous avons choisi de donner la forme de l expression alg brique de la fonction h h x a PrE x Le travail sur papier permet de r investir le fait que si un point est sur la courbe repr sentative de h alors ses coordonn es v rifient y h x 2 La fin de la r solution permettra de choisir l une ou l autre des solutions pour b La diff rence des deux galit s am ne 0 75 ce qui entra ne b 1 TRAVAIL DEVANT CRAN Ce retour sur cran permet de v rifier que la fonction obtenue a bien pour courbe repr sentative la courbe trac e pr c demment en remarquant que les deux courbes se superposent B UNE DEUXIEME METHODE Cette deuxi me m thode est la m thode classique de changement de rep re On n a pas besoin de donner la forme g n rale de l expression alg brique de la fonction cherch e Cette fois le travail sur papier pr c de le travail devant cran qui en sera une confirmation exp rimentale On fait ce travail sur un autre exemple avec la translation de vecteur v i 4j TRAVAIL SUR PAPIER On utilise le lien entre les coo
117. utre sur sur l autre droite quatre demi droites bservations 3 Conjecture 3 o Les deux droites sont i alternativement perpendiculaires 0 57 et 1 75 Conjecture valid e exp rimentalement Observations 4 Pour n pair les points 4 sont sur E Le produit vaut 1 la droite de coef dir 4 7 passant par A5 3 1 Pour n impair les points An sont sur la droite de coef dir 7 4 passant par A 3 1 A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 42 ENONC S METTANT EN JEU DES NOTIONS DU PROGRAMME DE TERMINALE Les nonc s qui suivent peuvent tre pos s en Terminale Selon la classe et la p riode de l ann e scolaire l objectif sera l acquisition le renforcement ou la v rifi cation des notions mises en jeu La dur e de l activit et le partage entre travail en classe et travail la maison sont aussi des variables ajuster en fonction de la classe A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 43 UNE SUITE PRESQUE GEOMETRIQUE J Lubczanski I Lallier Girot On consid re la suite qn d finie par qo 0 et pour tout n Qn 1 24n 1 On demande d tudier la suite qn en la comparant la suite des puissances de 2 qu on notera pn 2 APM E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public wWww apmep asso fr
118. uvelles courbes r v le alors les trois racines on retrouve les deux qu on avait d j trouv et on r cup re la troisi me Les trois points et leurs abscisses sont tous visibles sur la figure Si on veut se ramener la courbe de r f rence y In x on peut avoir envie de transformer In x4 en 41n x mais il faut alors s parer deux cas selon le signe de x pour x gt 0 on arrive l quation In x x 4 et pour x lt 0 l quation In x x 4 Si de prime abord on oublie de faire attention au signe de x ce n est pas grave car on trouve deux solutions une positive qu on a d j trouv e et la troisi me qu on cherchait On peut alors poser la question O est pas s e la solution n gative ce qui renvoie la discussion n cessaire sur le signe de x Un aspect int ressant du logarithme est qu il comprime les grands nombres C est d ailleurs ce qui fait l utilit des chelles logarithmiques pour repr senter dans le m me rep re des nombres d ordre de grandeurs tr s dif f rents D ailleurs transformer l quation en passant au logarithme des deux membres correspond simplement luti lisation d une chelle semi logarithmique A P M E P Association des Professeurs de Math matiques de l Enseignement Public www apmep asso fr 60 UNE EQUATION TRANSCENDANTE Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre LA SPIRALE DU TRAVAIL PRATIQUE uestion th orique 3 Q a
119. w apmep asso fr 40 POINTS EN CROIX Maths J Lubczanski I Lallier Girot entre La page du prof Suite de points Ampleur 1 G om trie cart sienne Tableur Que ce soit sous forme d nonc ouvert ou d nonc d taill cette activit comporte a priori deux parties chacune traitant l une des deux questions O sont les points et Comment passe t on d un point au suivant Dans la premi re partie le seul outil utilis est le coefficient directeur d une droite Dans la seconde partie on a besoin des formules analytiques d une homoth tie et d une rotation d angle 90 Si on souhaite faire cette activit avant d avoir tudi les transformations on peut tout fait se contenter de la premi re partie c est dire de r pondre la premi re question A O l B C l U SONT LES POINTS TRAVAIL PRATIQUE voir aussi la spirale page suivante L id e de cette partie est d utiliser la notion de coefficient directeur pour avancer de fa on efficace dans le travail pratique Il west pas naturel pour les l ves de faire appel cette notion car elle demande souvent des calculs Mais le tableur est pr cis ment le bon outil pour effectuer rapidement de nombreux calculs de fa on r p titive Les points apparaissent clairement sur deux droites mais il faut faire attention l ordre dans lequel les points se placent sur ces deux droites En particulier si on calcule les co

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