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rudolf (35-59) - Michel Delord

1. Dominos Flammarion Paris 1999 Fr d ric PHAM Vivent les d terminants Rep res IREM n 26 janvier 1997 Francisco SANCHEZ Il west science de rien 1581 traduit du latin par Andr e Camparot Klincksieck Paris 1984 Paul VEYNE L inventaire des diff rences Seuil Paris 1976 Max WEBER Essai sur la th orie de la science traduit par Julien Freund Plon Paris 1965 Hermann WEYL Space Time Matter 1918 translated from the German by Henry L Brose Dover 1952 L Enseignement des math matiques publi par la CIEAEM Commission Interna tional pour l tude et Am lioration de l Enseignement des Math matiques Dela chaux amp Niestl Neuch tel Paris 1955 Math matiques au Fil des Ages dit par la Commission Inter IREM Epist molo gie Gauthier Villars Paris 1987 Commission Inter IREM Epist mologie Pour une perspective historique dans l ensei gnement des math matiques Bulletin Inter IREM 1988 55 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE REPERES IREM N 39 avril 2000 Notes 1 Ce texte se situe dans la continuit de mon intervention Braga juillet 1996 Rudolf Bkouche Epist mologie histoire et enseignement des math matiques for the learning of mathematics vol 17 n 1 february 1997 2 au carrefour d une conception moralisante l l ve au centre du syst me ducatif et d une conception scientifique marqu e par les th ories d apprentissa ge e
2. fie dans le cadre d un domaine donn de la connaissance Nous pouvons distinguer deux grandes formes de cette pist mologie des fondements une forme m taphysique la quelle s appuie sur une ontologie des objets que l on se situe dans une philosophie empiriste o les objets math matiques sont des abs tractions issues de la connaissance sensible ou que l on adopte un point de vue platonicien et une forme analytique laquelle s appuie essentiellement sur une analyse du langage conduisant expliciter ce que l on pourrait appe ler la grammaire du raisonnement les objets tant d finis ou red finis par un syst me de relations donn a priori En ce qui concerne les math matiques on peut ainsi distinguer entre une math matique des objets fond e sur les v rit s premi res que sont les axiomes consid r s comme propositions portant sur des objets existants propositions videntes par elles m mes comme on peut le lire dans les trait s classiques de g om trie l mentaire et une math matique des relations comme se pr sente la construction hilbertienne La diversit des modes de raisonnement qui ont constitu dans l histoire ce que l on appelle la d mons tration et la diversit des conditions de l gi timation de ces raisonnements nous am nent prendre en compte la diversit des ap proches du probl me des fondements et en par ticulier son historicit L tude de l pist molog
3. l mentaire Ellipses Paris 1995 67 Rudolf Bkouche Quelques remarques sur l enseignement de la g om trie o c 68 Commission Inter IREM Epist mologie Pour une perspective historique dans l enseignement des math matiques Bulletin Inter IREM 1988 59
4. es Tome III premier volume r dition Jacques Gabay Paris 1991 29 On peut noter que dans cet article le groupe lin ai SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE re au sens de l alg bre lin aire d aujourd hui est d fini comme le sous groupe du groupe affine qui lais se fixe un point donn c est seulement apr s cette d finition que les auteurs montrent comment le grou pe projectif peut tre d fini comme quotient du grou pe lin aire 30 Raoul Bricard Le Calcul Vectoriel Armand Colin Paris 1929 pr face Bricard y explique que le calcul vectoriel offre une notation plus concise la g om trie analytique soulignant toutefois que le calcul vecto riel ne se r duit pas une simple tachygraphie 31 Jean Dieudonn Alg bre lin aire et G om trie l mentaire Hermann Paris 1964 32 Pour une pr sentation des id es qui ont conduit la r forme des math matiques modernes nous ren voyons l ouvrage collectif L Enseignement des ma th matiques publi par la CIEAEM Commission In ternational pour l tude et l Am lioration de l Enseignement des Math matiques Delachaux amp Niestl Neuch tel Paris 1955 pour une critique de la r forme nous ren voyons notre article La place de la g om trie dans l enseignement des math matiques en France de la r forme de 1902 la r forme des math matiques modernes in Les Sciences au Lyc e sous la direc tion de Bruno Bel
5. et de mieux comprendre comment les math matiques dites pures interviennent dans la connais sance du monde la lin arisation de la g om trie l mentaire La question des rapports entre alg bre lin aire et g om trie l mentaire est diffici le et si l on sait aujourd hui que l expos de la g om trie l mentaire peut se r duire un chapitre de l alg bre lin aire il ne semble pas facile d acc der ce on Nous donne rons comme exemple certaines r actions de refus des tudiants qui pr parent les concours d enseignement lorsqu on leur demande de comparer ces deux sommes de la g om trie de notre si cle que sont les Le ons de G om trie El mentaire de Hadamard et la G om trie de Berger en quoi sont ils diff rents et en quoi sont ils semblables La lin arisation de la g om trie l men taire s est construite partir de deux types de probl mes le premier est li au r le jou par les quations lin aires dans le d velop pement des m thodes analytiques mettant en valeur le r le du calcul lin aire en g o m trie le second est li au calcul vectoriel deux 41 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE types de probl mes qui se sont d velopp s de fa on ind pendante Il faudrait aussi noter le r le jou par la g om trie projective dans le d veloppement du calcul lin aire avec la d finition num rique des espaces projec tifs et la
6. m me citer les divers chapitres pr liminaires de calcul vectoriel dans les trait s de m canique et de physique ainsi les volumes de M canique et d Electricit du Cours de Phy sique G n rale de Georges Bruhat On ren contre dans ces ouvrages moins l usage d un calcul vectoriel que l on appliquerait en m canique et en physique que la d finition d un calcul sur les objets que l on tudie en m ca nique ou en physique et l explicitation d ana logies qui permettent d unifier les divers modes de calcul en un seul L activit ma th matique celle du math maticien prati 44 REPERES IREM N 39 avril 2000 quant comme celle de l apprenti se construit ainsi l int rieur de la probl matique elle m me et celle ci ne saurait se r duire la simple mo tivation pour mettre en place une th orie ma th matique On peut alors noter la diff rence entre le calcul vectoriel qui s inscrit dans un cal cul portant sur des objets g om triques ou m canique sp cifiques et l alg bre lin aire laquelle participe d un calcul sur les signes ind pendamment de toute signification de ces signes En ce sens le calcul vectoriel ne se r duit pas l alg bre lin aire m me si sur le plan formel il peut n appara tre que comme une partie d icelle On peut noter que le terme espace vectoriel n de la rencontre du calcul vectoriel et du calcul lin aire est moins la r duction du
7. on rencontre la notion de limite la division qui ne tombe pas juste et l on pourrait citer de nombreux 40 REPERES IREM N 39 avril 2000 exemples o la notion de limite intervient que ce soit pour comprendre un ph nom ne ou que ce soit pour calculer la valeur d une quanti t nombre ou grandeur usant de l une ou de l autre probl matique explicit e ci dessus ou m me des deux ensemble Se pose alors la question de la mise en perspective historique En fait ici elle se r duit peu point n est besoin de faire appel l histoire pour exposer les deux probl ma tiques constitutives de la notion de limite et pour en distinguer les aspects intuitifs et les aspects op ratoires Il reste qu un regard historique permet de comprendre comment chacune des probl matiques conduit la notion de limite et comment s est jou dans le d veloppement de l analyse math ma tique le lien entre les deux probl matiques conduisant mettre en avant la probl ma tique de l approximation on peut par exemple comparer les diverses d finitions de la notion de limite au cours des ges la g om trie dans l espace et la question de la repr sentation Lorsque nous parlons du r le que joue la repr sentation perspectiviste dans l ensei gnement de la g om trie dans l espace nous faisons moins r f rence l aspect historique qu aux probl mes que pose un tel mode de repr sentation
8. probl mes essentiellement g o m triques qui conduisent mettre en place la fois certaines constructions g om triques et les raisonnements l gitimant ces construc tions Le probl me de la repr sentation est exemplaire en ce sens que la th orisation ici la g om trisation se construit aux limites d une pratique pratique du peintre ou pratique REPERES IREM N 39 avril 2000 architecturale si l on se place du point de vue de l histoire mais simplement pratique du des sin si l on se place du point de vue de la clas se La th orisation se situe ici deux niveaux le premier r pond la question du com ment faire lorsque l on ne sait pas ou ne sait plus faire le second r pond la question de la l gitimation des r ponses la premi re question On peut alors consid rer cet usage de la repr sentation perspectiviste dans l ensei gnement de la g om trie dans l espace de deux fa ons Ou bien l on consid re que la question de la repr sentation est une simple motivation pour vendre la g om trie dans l espace et dans ce cas la probl matisation est une donn e ext rieure une belle histoire qui peut convaincre quelques l ves et laisser les autres sceptiques ou bien l on consid re que la probl matique de la repr sentation parti cipe de la g om trie elle m me et dans ce cas la pratique perspectiviste participe pleine ment de l enseignement de la g
9. PERSPECTIVE HISTORIQUE une lecture compar e des livres V et VI des El ments d Euclide et du chapitre III des El ments de G om trie de Legendre si Eucli de pour des raisons li es ce que l on a appe l la crise des irrationnelles se propose d difier une th orie des rapports de grandeurs libre de toute notion num rique les seuls nombres intervenant tant les entiers naturels ceux du comptage Legendre en appelle une arithm tique pr alable le rapport de deux gran deurs tant d finis par le rapport des nombres qui les mesurent comme il l explique au d but du chapitre III de son ouvrage Cette lectu re compar e et les questions qu elle pose d une part une th orie euclidienne des propor tions ind pendante de toute pratique de mesu re voire contradictoire une telle pratique et d autre part un renvoi une arithm tique pr alable et la mesure des grandeurs alors que les nombres autres que les rationnels n ont pas de statut th orique d fini nous conduit mettre en relief quelques unes des raisons ici celles li es la mesure des grandeurs qui conduisent penser et construire le concept de nombre r el La perspective historique a ainsi pour but d expliciter une probl ma tique que celle ci soit la probl matique ori ginelle ou non importe peu le r le d une pers pective historique est moins de r p ter l histoire que de mettre en relief certains probl
10. bre lin aire en question La pens e sauvage Grenoble 1996 EUCLIDE Les El ments volume 1 introduction g n rale par Maurice Caveing Livre I IV traduction et commentaires par Bernard Vitrac PUF Paris 1990 REPERES IREM N 39 avril 2000 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE EUCLIDE Les El ments volume 2 Livres V IX traduction et commentaires par Bernard Vitrac Paris 1994 Emile FOURREY Curiosit s G om triques 1907 r dition 1994 augment e d une pr face d Evelyne Barbin Vuibert Paris 1994 Ferdinand GONSETH Le r f rentiel univers oblig de m diatisation L Age d Homme Lausanne 1975 Jacques HADAMARD Le ons de G om trie l mentaire 2 volumes Armand Colin Paris 1947 1949 Adrien Marie LEGENDRE El ments de G om trie douzi me dition Paris 1823 Jean Pierre Le Goff La perspective en premi re scientifique une certaine suite dans les id es Rep res TREM n 7 avril 1992 G W LEIBNIZ La naissance du calcul diff rentiel introduction tradition et notes par Marc Parmentier Vrin Paris 1989 G W LEIBNIZ La caract ristique g om trique 1677 1685 Texte tabli introduit et annot par Javier Echeverria traduit annot et post fac par Marc Parmentier Collection Mathesis Vrin Paris 1995 Giuseppe PEANO Calcolo Geometrico secondo l Ausdehnunglehrer di H Grass mann Fratelli Bocca Editori Torino 1888 Henri PENSA RUIZ L Ecole
11. calcul vectoriel l alg bre li n aire qu une heureuse m taphore ouvrant vers de nouvelles mani res de penser les situations lin aires d autant plus heureuse qu elle a permis un regard g om trique sur d autres lieux tels par exemple l analyse math matique Il nous reste dire comment le calcul lin aire et le calcul vectoriel se sont rencon tr s nous nous contenterons dans le cadre de cet article de citer deux ouvrages Cal colo Geometrico de Giuseppe Peano et Space Time Matter de Hermann Weyl dans lequel on peut lire d une part une d fini tion g n rale des espaces vectoriels et autre part comment la g om trie se construit dans ce contexte Reste pour terminer ce paragraphe sur la probl matisation revenir sur quelques points d enseignement Si l alg bre lin aire est le lieu d une uni fication des connaissances et c est cela qui lui REPERES IREM N 39 avril 2000 donne sa valeur universelle et en fait un cha pitre essentiel des math matiques contem poraines on peut choisir de placer son ensei gnement au commencement ce fut la conception de la r forme des math matiques modernes qui supposait que une fois les grandes struc tures math matiques connues par les l ves le reste viendrait sans difficult On peut consid rer au contraire qu une structure unifiante ne peut tre enseign e qu partir de ce qu elle unifie On peut alors consid
12. d finie ci dessus cette mise en perspective historique ne rel ve pas de la seule histoi re elle est aussi un l ment de compr hension de l tat pr sent de la connaissan ce et c est ce titre qu elle participe de l enseignement On peut alors consid rer que la prise en compte d une perspective historique dans l enseignement participe de l hygi ne scolai re nous parlons ici de l enseignement pas de la classe en amenant ceux qui enseignent une r flexion sur les enjeux et les significa tions de leur enseignement le danger est 47 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE alors que de ce recours la perspective histo rique on fabrique des m thodes d ensei gnement donnant l illusion d un pr t enseigner qui ne peut tre que n faste autant pour ceux qui sont enseign s que pour ceux qui enseignent une conception r ductrice de la probl matisation Notons que la notion de probl matique peut tre comprise dans un sens plus troit celui d une simple motivation son r le est alors pour reprendre une expression aujourd hui la mode dans l enseignement fran ais de donner du sens ce que l on enseigne A d faut d expli citer le sens de ce que l on enseigne on se contente de donner du sens la probl matisa tion devient un artefact didactique destin convaincre l l ve de l int r t de ce qu on lui en seigne une forme d agit pro
13. l avons dit ci dessus via les m thodes analytiques et les m thodes vectorielles m thodes qui si elles sont troi tement li es restent distinctes non seule ment par les conditions d apparition dans l histoire mais parce qu elles mettent en jeu des modes d appr hension diff rents de la g om trie une r duction au calcul num rique puis litt ral d une part la mise en place d un calcul g om trique portant directement sur certains objets g om triques d autre part La rencontre des divers ingr dients qui consti tuent la g om trie doit ainsi appara tre non comme une simple r p tition de l histoire ce qui comme le dit adage ne serait qu une farce 46 REPERES IREM N 39 avril 2000 mais comme une rencontre probl matis e dans le cas contraire la multiplicit des m thodes risque de n appara tre que comme une com plication de la r glementation On voit ainsi la n cessit de mettre en valeur l usage de m thodes lin aires dans l enseignement de la g om trie que ce soit via la g om trie analytique des droites et des plans en particulier les probl mes d intersection et la recherche de courbes alg briques satis faisant des conditions lin aires ou que ce soit via le calcul vectoriel lequel permet de mettre en place en dimension 2 et 3 et dans un cadre g om trique divers concepts de l alg bre lin aire tout en sachant que cet usage du lin ai re n implique e
14. le plaisir du sens Armand Colin Paris 1991 chapitre XII Raoul BRICARD Le Calcul Vectoriel Armand Colin Paris 1929 Michel CARRAL G om trie l mentaire Ellipses Paris 1995 Arthur CAYLEY memoir on abstract geometry Philosophical Transactions of the Royal Society of London vol CLX 1870 p 51 63 n 413 in Collected Mathemati cal Papers o c vol VI p 456 469 Bernard CAZIER Fran oise CHAMONTIN La perspective centrale au coll ge et peut tre au lyc e IREM de Lille 1999 Bernard CHARLOT Du Rapport au Savoir Anthropos Paris 1997 Jean CORDIER et Christiane JEANJEAN Limites en 1 re et en Terminale Bulletin de l APMEP n 405 juin juillet 1996 Luigi CREMONA El ments de G om trie Projective premi re partie traduit avec la collaboration de l auteur par Ed Dewulf Gauthier Villars Paris 1875 Michael J CROWE History of Vector Analysis 1967 Dover Publ New York 1985 Jean DIEUDONN Alg bre lin aire et G om trie l mentaire Hermann Paris 1964 Jean DIEUDONN ed Abr g d histoire des math matiques 1700 1900 2 volumes Hermann Paris 1978 Jean DIEUDONN History of functionnal analysis North Holland Publications FANO CARTAN La Th orie des Groupes Continus et la G om trie Encyclop die des Sciences Math matiques pures et appliqu es Tome III premier volume r dition Jacques Gabay Paris 1991 Jean Luc DORIER et al L enseignement de l alg
15. lui permettant en fonction de ses propres conceptions sur la discipline de reprendre constamment une r flexion qui n est jamais termin e C est donc le rapport au savoir du ma tre qui peut lui permettre de penser cette ar ticulation entre les enjeux du savoir qu il enseigne les enjeux propres l enseignement de ce savoir enjeux pist mologiques ceux qui sont proprement li s la conna issan ce de ce domaine mais aussi enjeux insti tutionnels et les difficult s rencontr es dans la classe difficult des l ves confron t s un domaine de la connaissance mais aussi difficult du ma tre devant les diffi cult s des l ves 2 la question de la probl matisation Nous reviendrons d abord sur les trois moments de l pist mologief Prolongeant l analyse de Gonseth qui dis tingue entre une strat gie de fondement et une strat gie d engagement dans la construction de la connaissance nous distinguerons trois moments de l pist mologie une pist molo gie des fondements une pist mologie du fonc tionnement et une pist mologie des probl matiques REPERES IREM N 39 avril 2000 L pist mologie des fondements se propose T tude des conditions de l gitimation de l acti vit scientifique sous ses deux formes aujourd hui canoniques la forme math matico logique et la forme exp rimentale encore faut il pr ci ser ce que chacune de ces deux formes signi
16. om trie Il faut rappeler ici l une des difficult s de l enseignement de la g om trie dans l espace d une part la n cessit d user de repr sentations planes pour tudier les situa tions spatiales d autre part la n cessit de r gles de repr sentation s appuyant sur la g om trie dans l espace Le recours l his toire et en particulier celle du d veloppe ment de la repr sentation perspectiviste permet d aborder la difficult en montrant comment une pratique de dessin a conduit d une part construire les concepts th oriques qui la l gitiment et d autre part comment la construction de tels concepts a conduit la th o rie s manciper de ses origines avec le d veloppement de la g om trie projective 4 En ce sens on peut concevoir que Pensei gnement de la g om trie dans l espace pren SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE ne en compte assez t t le point de vue pro jectif On voit ainsi l apport d une mise en pers pective historique d abord la mise en vi dence du r le jou par une pratique ici le des sin dans le d veloppement d une th orie math matique ensuite la fa on dont cette th orie d une part l gitime des r gles pra tiques et d autre part s mancipe de cette pratique pour constituer un nouveau domai ne de la science C est alors une fa on de rompre avec la dichotomie math matiques pures math matiques appliqu es
17. point de vue avait sa coh rence sur laquelle nous ne reviendrons pas Mais si du point de vue structural la g om trie l mentaire peut tre consid r e comme un chapitre de l alg bre lin aire elle ne peut s y r duire dans la mesure o elle participe d autres enjeux de connaissance La d finition 42 REPERES IREM N 39 avril 2000 de Legendre La g om trie est une science qui a pour objet la mesure de l tendue reste toujours vraie et cette conception de la g o m trie reste l une des voies d acc s la connais sance g om trique d aujourd hui La question se pose alors en ce qui concer ne l enseignement de la g om trie d une part de prendre en compte la g om trie l mentaire en tant que telle et jusqu maintenant quelques changements de point de vue pr s ainsi l introduction explicite du mouvement dans la r forme de 19025 la g om trie l mentaire reste celle trac e par le cadre eucli dien c est dire celle de l tude des situations spatiales d autre part d amener ceux qui sont enseign s prendre en compte les m thodes contemporaines fond es sur la lin arisation non seulement parce qu elles sont modernes mais parce qu elles ouvrent d autres hori zons dont celui de la g om trisation des divers domaines de la connaissance math matiques sciences physiques o intervient le lin ai re n est pas le moins important C e
18. repr sentation analytique des trans formations projectives comme transforma tions lin aires sur les coordonn es homog nes nous pouvons citer par exemple l article de Fano Cartan dans l Encyclop die des Sciences Math matiques o le calcul lin aire est pr sent tout au long de l article alors que la notion de vec teur en est absente Quant au calcul vecto riel il se situe dans une autre probl matique dans la mesure o il se propose comme un cal cul libre de coordonn es m me si certains ouvrages pour le justifier le pr sentent comme une criture condens e des calculs portant sur les coordonn es Cet ind pendance des deux formes d inter vention du lin aire en g om trie peut para tre surprenante pour qui conna t le lien entre l alg bre lin aire et la g om trie l mentaire Il est clair que l on ne peut reconstituer l his toire et il faut consid rer cette ind pendance comme un fait historique Mais qu en est il dans l enseignement on peut penser que la lin a risation de la g om trie faisant aujourd hui partie de la vulgate math matique il semble inutile de revenir des distinctions anciennes et l on peut se borner la pr sentation alg bre lin aire de la g om trie telle qu elle est expo s e par exemple dans l ouvrage de Dieudon n Alg bre lin aire et g om trie l mentaire Ce fut le point de vue de la r forme des math matiques modernes et ce
19. REPERES IREM N 39 avril 2000 Introduction La notion de perspective historique n est pas facile cerner Elle est marqu e par une double ambigu t d une part la trop fr quente confusion entre l enseignement et la classe d autre part une interpr tation trop r ductrice de l apport de l histoire d une science dans l enseignement l histoire pr sent e comme une motivation une fa on diff rente d ensei gner ou une entr e en mati re toutes formes d interventions qui rel vent plus souvent de la pens e magique que d une r elle mise en perspective historique C est donc sur ces deux points que nous nous proposons d intervenir deux points que nous consid rons comme li s dans la mesu re o ils mettent tous deux l accent sur le r le du professeur Un certain ang lisme met l accent sur l l ve au d pens de ce qui reste la raison On trouvera les notes en fin d article SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE DANS L ENSEIGNEMENT D UNE SCIENCE Rudolf BKOUCHE Irem de Lille d tre de la classe transmettre un savoir Cest dire amener l l ve poss der la ma trise de ce savoir Si comme le dit Sanchez ce qui est objet d enseignement n a que la force que lui pr tent ceux qui sont enseign s Pune des t ches de celui qui enseigne est d amener ceux qui sont enseign s prendre conscience de cette force C est en ce sens que la perspe
20. T et Jean Pierre LE GOFF Mais o est donc pass e la troisi me dimen sion in Histoires de Probl mes Histoire des Math matiques Commission Inter IREM Epist mologie Ellipses Paris 1993 Georges BRUHAT Cours de Physique G n rale 4 volumes Masson Paris Rudolf BKOUCHE Variations autour de la r forme de 1902 1905 in H l ne Gispert et al La France Math matique Cahiers d Histoire et de Philosophie des Sciences et Soci t Math matique de France Paris 1991 Rudolf BKOUCHE L enseignement scientifique entre l illusion langagi re et l acti visme p dagogique Rep res IREM n 9 octobre 1992 Rudolf BKOUCHE Des limites et de la continuit dans l enseignement Rep res IREM n 24 juillet 1996 53 REPERES IREM N 39 avril 2000 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE 54 Rudolf BKOUCHE La place de la g om trie dans l enseignement des math matiques en France de la r forme de 1902 la r forme des math matiques modernes in Les Sciences au Lyc e sous la direction de Bruno Belhoste H l ne Gispert et Nico le Hulin Vuibert Paris 1996 Rudolf BKOUCHE Quelques remarques sur l enseignement de la g om trie Rep res IREM n 26 janvier 1997 Rudolf BKOUCHE Epist mologie histoire et enseignement des math matiques for the learning of mathematics vol 17 n 1 february 1997 Rudolf BKOUCHE Bernard CHARLOT Nicolas ROUCHE Faire des math matiques
21. ath matiques dans l enseignement Nous avons vu que cet usage ne se r duit pas la seule perspective histo rique nous avons vu aussi la n cessit de distinguer le travail du ma tre organisant son enseignement et le travail propos en classe Cette diversit des formes de l interven tion de l histoire en montre aussi la difficult voire les effets pervers C est alors au ma tre d cider de cette forme celle ci n tant pas d termin e d terminable a priori C est cela qui nous conduit poser la question des limites de l usage d une perspective histo rique dans l enseignement Une double question peut tre pos e qui nous renvoie la double lecture expliqu e ci dessus non seulement la question de l apport de l histoire d un domaine de math matiques pour une meilleure appr hension de ce domai ne mais aussi la question des formes sous les quelles s effectue cet apport Nous avons d j dit que la lecture de cer tains textes anciens demandait une traduction pr alable en termes modernes Si du point de vue de l histoire cette premi re lecture est insuffisante voire dangereuse par les risques d anachronisme auxquels elle peut conduire elle permet cependant une premi re ap pr hension du texte et peut s av rer suffisante dans le cadre d un travail en classe Dans ce cadre les consid rations historiques sont se condes et leur intervention a pour objectif moins d intro
22. atisation sur laquelle nous reviendrons dans la suite On a beaucoup parl du rapport au savoir ce rapport intime qu entretient avec un domai ne de la connaissance celui qui s int resse ce domaine sa fa on de le penser qui n appar tient qu lui et qui lui permet de se retrou ver dans les arcanes de ce domaine On peut alors consid rer que le r le du ma tre est d amener l l ve construire son propre rap port au savoir qu on lui enseigne et non construire son propre savoir comme le clame la vulgate constructiviste mais cela suppose que le ma tre soit conscient de son propre rapport au savoir si la construction du rap port au savoir de l l ve est fonction du rap port au savoir du ma tre que l l ve le repren ne son compte ou s en carte voire en conteste la forme ce dernier joue un r le 36 REPERES IREM N 39 avril 2000 essentiel dans l acte d enseignement C est donc essentiellement du rapport au savoir du ma tre que nous parlerons si l on consid re que la ma trise de la discipline qu il enseigne est une condition n cessaire jamais suffi sante il est vrai mais quelles sont les condi tions suffisantes en la mati re de l acte d enseignement C est la pleine conscience de ce rapport au savoir qui peut permettre au ma tre de pointer les difficult s de la discipline et de penser les difficult s rencontr es par les l ves la pratique de la classe
23. ctive historique peut s inscrire moins comme motivation la perspective historique oscillerait alors entre l agit prop et la promotion au sens publicitaire du terme que comme mise en place d une probl matisation point que nous d velop pons ci dessous En ce sens l intervention d une perspec tive historique ne saurait tre un simple ajout l enseignement elle doit s int grer l ensei gnement qu elle apparaisse explicitement 35 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE dans la classe ou non en cela elle est d abord l affaire des professeurs 1 et si on parlait des professeurs Nous avons dit ci dessus qu il fallait dis tinguer l enseignement d une discipline et la classe pour pr ciser cette distinction nous la replacerons dans le cadre du triptyque qui r git lacte d enseignement triptyque consti tu par ce que l on peut appeler les trois mo ments de l activit d enseignement celui de la discipline celui de l enseignement de la discipline et celui de la classe Ce triptyque concerne essentiellement l activit du ma tre mais c est la prise en compte de ces trois moments et la r flexion sur l articulation entre iceux qui permet d avoir prise sur l ensei gnement Cela met au second plan les th o ries de l apprentissage la question du com ment l l ve apprend pour mettre en avant la probl matisation du savoir que l on en seigne probl m
24. de connaissances de celui qui use de cette hi rarchisation Cette hi rarchi sation est donc la fois n cessaire et instable et l un des r les de l enseignant du ma tre fau drait il dire est de d finir les hi rarchisations en fonction du niveau d tudes A d faut d une r flexion sur cette hi rarchisation on peut tre tent soit par l illusion langagi re de la r for me des math matiques modernes soit par une p dagogie formelle telle que celle propo s e dans l ouvrage cit sur l enseignement de l alg bre lin aire Le r le d une perspective historique dans l enseignement peut alors apporter des l ments de r flexion qui permettent d tablir une hi rarchisation des connaissances au sens que nous avons dit ci dessus il ne s agit pas de la seule hi rarchisation li e l ap prentissage il s agit d une hi rarchisation bien plus profonde qui se situe l int rieur du savoir lui m me dans les liens entre les divers domaines qui le constituent et dans le rap port difficile entre les divers niveaux de hi rarchisation Pour pr ciser cette notion de hi rarchie nous reviendrons sur la double hi rarchisation d finie par la relation entre la g om trie l mentaire et l alg bre lin aire Dans un pre mier temps la g om trie l mentaire inter vient comme connaissance premi re et c est en s appuyant sur elle que l on peut montrer comment se construit une inte
25. des futurs pro fesseurs cette culture sans laquelle REPERES IREM N 39 avril 2000 l enseignement n est que r p tition culture qui ne se r duit pas la seule connaissance tech nique d une discipline mais qui se situe dans la prise de conscience par le sujet connaissant des significations et des enjeux de la discipline en question SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE Ceci nous renvoie encore une fois la formation des ma tres et c est sur cette remarque que nous terminerons cet article renvoyant un article ult rieur sur la place de l histoi re des math matiques dans la formation des ma tres Bibliographie Jean Le Rond D ALEMBERT Essai sur les El ments de Philosophie 1759 Fayard Paris 1986 Paul APPELL Trait de M canique Rationnelle 1893 R dition Jacques Gabay Paris 1995 Emil ARTIN Alg bre g om trique traduit par Michel Lazard avant propos de Gas ton Julia Cahiers scientifiques Gauthier Villars Paris 1962 Evelyne BARBIN Trois d monstrations pour un th or me de g om trie Sens de la d monstration et objet de la g om trie La D monstration Math matique dans l His toire Actes du 7 me Colloque Inter IREM Epist mologie et Histoire des Math matiques Besan on mai 1989 IREM de Besan on amp IREM de Lyon 1990 Marcel BERGER G om trie 5 volumes CEDIC Nathan Paris 1977 r dition en 2 volumes Nathan Paris 1991 Didier BESSO
26. distinguer de la pers pective historique pourquoi l alg bre lin ai re qu apporte t elle la g om trie l men taire la fois sur le plan des m thodes et sur 45 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE le plan de la compr hension que signifie l unification de plusieurs domaines de la connaissance Si un point de vue historique permet d aborder ces questions il est clair qu avant de ressortir d un point de vue his torique elles participent de l activit du math maticien et c est de ce point de vue qu il faut l aborder dans l enseignement des math matiques Dans ce cadre la g om trie l mentaire reste l objectif prioritaire dans l enseignement de la g om trie et c est parce qu elle est prio ritaire que l on peut aller plus loin c est dire aborder les trois aspects de la g om trie que sont la g om trie comme science autonome autrement dit la science des situations spa tiales ensuite la g om trie dans ses rapports avec les autres domaines de la connaissance enfin la g om trie comme langage et comme repr sentation ce que l on peut appeler l aspect m taphorique de la g om trie lequel consti tue le fondement de la g om trisation Dans ce cadre c est moins la relation for melle entre g om trie l mentaire et alg bre lin aire qui importe que la fa on dont le lin aire intervient dans la g om trie Le lin aire appara t comme nous
27. duction tradition et notes par Marc Parmentier Vrin Paris 1989 ou le r le de l analytique dans les travaux de Lagrange 56 11 Max Weber Essai sur la th orie de la science traduit par Julien Freund Plon Paris 1965 p 203 12 pour reprendre l heureuse expression du Grou pe d Enseignement Math matiques de Louvain la Neuve G E M cf Rudolf Bkouche Bernard Charlot Nico las Rouche Faire des math matiques le plaisir du sens Armand Colin Paris 1991 chapitre XII 13 Lorsque la diff rence x a devient infiniment petite alors la diff rence f x b devient infiniment peti te formulation que l on peut rapprocher de celle de Cauchy dans son R sum des le ons donn es l cole Polytechnique 1823 r dit in Le Calcul Infinit simal ACL Editions Paris 1987 p 6 7 14 il faut prendre ici le terme suite dans son acception usuelle et non comme d signant une appli cation de l ensemble des entiers dans l ensemble des nombres 15 Rappelons la formulation originale de We erstrass S il est possible de d terminer une borne d telle que pour toute valeur de h plus petite en valeur absolue que d f x h f x soit plus petite qu une quan tit e aussi petite que l on veut alors on dira qu on a fait correspondre une variation infiniment petite de la variable une variation infiniment petite de la fonc tion cours de 1861 r dig par H A Schwarz cit par Pierre Dugac in Jean D
28. duire une notion ou une th orie que d en montrer les divers aspects lorsque n cessaire ou d amener les l ves mais peut tre d abord les ma tres prendre conscien ce des difficult s d appr hension de la notion ou de la th orie consid r e La question est moins la mise en place d une perspective his SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE torique que l approche d une notion travers des textes anciens moins pour leur caract re proprement historique que pour l int r t math matique de tels textes Nous pouvons citer ici certains textes grecs en particulier les El ments d Euclide dont nous avons dit ailleurs la modernit ainsi que certains textes de Descartes et Fermat qui permettent de comprendre l apport de la m thode des coordonn es dans la r solution des probl mes de g om trie On voit encore une fois appara tre la n cessaire distinction entre le travail du ma tre lequel exige une part importante de connaissance historique et l usage par les l ves pour lesquels l histoire appara t comme un clairage particulier de ce qui est enseign Le travail du ma tre se situe alors dans l orga nisation de son enseignement la connais sance de l histoire d une notion ou d une th o rie en particulier de sa gen se et lorsque cela lui semble utile le recours des textes anciens lui permettant de mieux penser son enseignement et d en pr voir les difficult
29. e o c 61 ibid p 61 62 62 contradictoire au sens que la pratique de la mesure s appuie sur la division des grandeurs en parties gales ce qui conduit la notion de fraction alors que la th orie des proportions d Euclide s appuie sur les multiples des grandeurs consid r es 63 La notion de nombre reste empirique les divers types de nombres les rompus et les sourds n ayant en com mun que leur capacit exprimer des mesures de grandeurs capacit que l on peut consid rer comme leur raison d tre c est cette capacit qui a conduit Stevin unifier la notion de nombre Simon Stevin Th orie des incommensurables grandeurs 1585 cit dans Math matiques au Fil des Ages dit par la Commission SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE Inter IREM Epist mologie Gauthier Villars Paris 1987 p 134 135 et qui permet d noncer les propri t s g n rales des op rations sur ces nombres 64 Jean Le Rond D Alembert Essai sur les El ments de Philosophie 1759 Fayard Paris 1986 p 318 65 Evelyne Barbin Trois d monstrations pour un th or me de g om trie Sens de la d monstration et objet de la g om trie La D monstration Math matique dans l Histoire Actes du 7 me Colloque Inter IREM Epist mologie et Histoire des Math ma tiques Besan on mai 1989 IREM de Besan on amp IREM de Lyon 1990 66 Nous renvoyons notre pr face de l ouvrage de Michel Carral G om trie
30. e nous proposons de d velopper dans la suite partir de trois ques tions la notion de limite le r le de la perspective dans l tude de la g om trie dans l espace et enfin la relation entre la g om trie l mentaire et l alg bre lin aire Nous verrons en cours de route comment une mise en perspective his torique peut contribuer clairer ces ques tions m me si nous consid rons qu il y a d autres fa ons de faire dans l enseignement que la mise en perspective historique la notion de limite La notion de limite rel ve de deux probl matiques qui si elles sont li es pr sentent des aspects contradictoires La premi re probl matique est d ordre cin matique au sens o elle s appuie sur la notion de mouvement la formulation canonique en terme de fonction par exemple fix tend vers b lorsque x tend vers a doit alors tre entendue de la fa on suivan te Lorsque la variable ind pendante x s approche ind finiment de la valeur a alors la fonction la variable d pendante f x s approche ind finiment de la valeur b 38 REPERES IREM N 39 avril 2000 L assertion cit e f x tend vers b lorsque x tend vers a est ici constitu e de deux pro positions une proposition principale fx tend vers b et une proposition subordonn e lorsque x tend vers a indiquant ainsi que la variable x entra ne dans son mouvement vers la variable fx vers la va
31. entrent en jeu parmi lesquels nous citerons l aspect intui tif et l aspect op ratoire Il faut alors pr ciser que l aspect intuitif participe de chacune des deux probl matiques d finies ci dessus celle du mouvement et celle de l approximation dans la mesure o c est autour de cet aspect intuitif que se sont d finies les deux probl matiques consid r es Par contre l aspect op ratoire a conduit mettre en avant la pro bl matique de l approximation dans la mesure SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE o c est la formulation we erstrassienne qui pour des raisons que nous n aborderons pas ici s est impos e pour donner une d finition rigoureuse de la notion de limite et en d dui re les conditions de calcul des limites Ignorer dans l enseignement les deux probl matiques constitutives de la notion de limite et les deux aspects l intuitif et op ratoire qui permettent d appr hender cette notion ne peut que contribuer mutiler la notion et par cela m me mutiler la pens e math ma tique des l ves Exemple de cette mutilation un article r cent publi dans le Bulletin de l APMEP les auteurs y d clarent que l on ne peut expli quer un l ve de lyc e que la fonction sinx n a pas de limite lorsque x tend vers l infini Que signifie une telle d claration si ce n est la disparition du concept de limite de l en seignement du lyc e la limite se r d
32. hoste H l ne Gispert et Nicole Hulin Vuibert Paris 1996 83 Adrien Marie Legendre El ments de G om trie douzi me dition Paris 1823 p 3 34 Rudolf Bkouche Variations autour de la r for me de 1902 1905 in H l ne Gispert et al La Fran ce Math matique Cahiers d Histoire et de Philoso phie des Sciences et Soci t Math matique de France Paris 1991 35 Nous renvoyons l article d j cit de Fano Car tan On peut noter encore une fois l importance du point de vue projectif dans le d veloppement du calcul lin aire mais nous n aborderons pas ici la question d j signal e de la place du projectif dans l enseignement de la g om trie l mentaire 36 Ainsi en est il du th or me de Thal s lequel apr s avoir t enseign au coll ge dans le cadre de la g o m trie l mentaire devient au d but du lyc e un non c vectoriel parce que en grandissant il faut bien changer de langage sans que les raisons de l intro duction des vecteurs apparaissent autrement que parce que c est le langage des grands Il est clair que 57 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE dans ces conditions les l ves ne peuvent qu apprendre le r glement voire r ussir les exercices de math matiques mais qu ont ils appris question impertinente ne pas poser 37 Michael J Crowe A History of Vector Analysis 1967 Dover Publ New York 1985 88 C est la recherche d un tel calcul
33. ie des fondements se pose ainsi doublement d une part une tude synchro nique s int ressant aux principes qui r gissent les r gles de raisonnement une poque don n e d autre part une tude diachronique dont l objet est l tude des transformations des SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE conditions de l gitimation du raisonnement dans l histoire ce qui pose le double probl me des raisons de ces transformations d une part et d autre part des invariants historiques qui font que l on reconna t une unit dans les diverses formes du raisonnement ma th matique travers les ges L pist mologie du fonctionnement peut tre consid r e comme l analyse des pro c dures moins dans leurs fondements que dans leurs significations autant sur le plan proprement technique que sur le plan concep tuel Il s agit ici moins de rechercher un dis cours fondateur que d expliciter comment des proc dures des modes de raisonnement ou des modes de recherche se sont constitu s et com ment ils ont t et sont utilis s Ceci nous renvoie encore une fois aux raisons qui condui sent fabriquer de telles proc dures c est dire aux probl mes qui en sont l origine L pist mologie des probl matiques se propose d analyser comment les probl mes qui ont conduit l homme fabriquer ce mode de connaissance que nous appelons la connais sance scientifique ont model les th o
34. ieudonn ed Abr g d his toire des math matiques 1700 1900 2 volumes Her mann Paris 1978 volume 1 chapitre VI 16 Il faut alors noter que cette r duction de l aspect op ratoire la probl matique de l approximation via la d finition de We erstrass rel ve moins d une n ces sit logique que d un choix historique en r ponse aux difficult s pos es par la notion d infiniment petit encore utilis e par Cauchy On pourrait imaginer d autres constructions et lon peut renvoyer l ana lyse non standard mais ce n est pas ici le lieu d un tel d veloppement 17 Jean Cordier et Christiane Jeanjean Limites en 1 re et en Terminale Bulletin de l APMEP n 405 juin juillet 1996 18 Rudolf Bkouche Des limites et de la continui t dans l enseignement Rep res IREM n 24 juillet 1996 REPERES IREM N 39 avril 2000 19 Bernard Cazier Fran oise Chamontin La pers pective centrale au coll ge et peut tre au lyc e IREM de Lille 1999 20 ainsi lors d une exposition sur les math ma tiques des l ves protestaient contre une partie consacr e la peinture en proclamant la peinture c est beau les math matiques c est pas beau 21 Jean Pierre Le Goff La perspective en pre mi re scientifique une certaine suite dans les id es Rep res IREM n 7 avril 1992 Didier Bessot et Jean Pierre Le Goff Mais o est donc pass e la troi si me dimension in Histoi
35. in aire en ques tion La pens e sauvage Grenoble 1996 45 Giuseppe Peano Calcolo Geometrico secondo Ausdehnunglehrer di H Grassmann Fratelli Bocca Editori Torino 1888 46 Hermann Weyl Space Time Matter 1918 translated from the German by Henry L Brose Dover 1952 47 Jean Luc Dorier et al L enseignement de l alg bre lin aire en question o c p 191 48 comme si l on disait que l optique est devenue 58 REPERES IREM N 39 avril 2000 obsol te depuis que l on sait que les rayons lumineux sont des ondes lectromagn tiques et que l ensei gnement de l optique g om trique a pour seul objec tif d amener les l ves aux quations de Maxwell 49 Emil Artin Alg bre g om trique traduit par Michel Lazard avant propos de Gaston Julia Cahiers scientifiques Gauthier Villars Paris 1962 50 Jean Dieudonn The universal domination of the geometry International Congress of Mathema tical Education Berkeley 1980 51 On comprend dans ces conditions le r le assi gn aux th ories de l apprentissage celui de permettre la construction d une ing nierie didactique efficace quitte fabriquer cet ersatz de connaissance que consti tue le fameux savoir enseign de la transposition didactique 52 Rudolf Bkouche Quelques remarques sur l enseignement de la g om trie Rep res IREM n 26 janvier 1997 53 Ces points serons pr cis s dans notre article De la g om t
36. ins compliqu de situations connues Si les reformulations de situations connues et de probl mes d j r solus jouent un r le important dans le d veloppement de l activi t scientifique ces reformulations doivent tre signifiantes sans quoi elles n apparais sent que comme un verbiage sans int r t aucun Le recours l histoire peut alors nous permettre de replacer l enseignement du cal cul vectoriel dans un cadre probl matique prenant en compte ses divers aspects Dans son ouvrage sur l histoire du calcul vectoriel Crowe nonce trois grandes id es qui ont conduit au calcul vectoriel le paral l logramme des forces le calcul g om trique de Leibniz et la repr sentation g om trique des nombres complexes Si les deux derni res id es participent de la mise en place d un calcul portant direc tement sur les objets g om triques c est ainsi que l on peut comprendre la repr sentation g o m trique des nombres complexes moins comme une repr sentation g om trique d objets num riques que comme un calcul portant sur les objets g om triques eux m mes la pre mi re renvoie la signification physique plus pr cis ment m canique du calcul vectoriel Les vecteurs sont alors une fa on de repr senter des concepts m caniques les forces et les vitesses un vecteur permettant de mesu rer les grandeurs correspondantes de la m me fa on que les nombres permettent de mesurer le
37. ition quitte faire peu de d monstra tions ou faut il exiger des d monstrations en forme quitte laisser de c t la compr hension par les l ves des math matiques auxquelles ils sont confront s Disons que lorsque la question est pos e de cette fa on tout est d j biais et les math matiques dis paraissent derri re une p dagogie vide C est que sous cette forme la question des limites a t d probl matis e On ne sait plus de quoi il s agit on sait seulement qu il y a un certain r glement appliquer et que ce que l on cherche n a d autre d finition que l appli cation correcte du r glement d o la recherche d un r glement facile appliquer On voit ainsi la fonction de la probl ma tisation d une part expliciter autant que faire se peut les raisons qui conduisent tudier une notion et d autre part mettre en valeur les aspects op ratoires qui permet tront de r soudre les probl mes relevant de cette notion Notons que cette explicitation des raisons ne se r duit pas la recherche d une gen se de la notion que ce soit celle de l his toire ou celle de l apprentissage c est l activit math matique elle m me qui est en ques tion la fa on de penser la limite de la calculer quand cela est possible ou d inventer de nou velles m thodes de d termination quand cela est n cessaire On pourrait parler par exemple de l un des premiers probl mes o l
38. la question celle de la pertinence d un recours l histoire voire des nuisances possibles de ce recours dans l appr hension de connaissances math matiques L enseignement des math matiques a pour objet les math matiques et c est par rapport cet objectif et seulement par rapport cet objectif que l on peut d finir une inter vention de l histoire des math matiques dans l enseignement Un usage non ma tris de l histoire risque alors sinon de substituer un enseignement de l histoire des math ma tiques l enseignement des math matiques du moins d inventer une m thode historique qui ne ferait qu ajouter aux difficult s de lap pr hension de la discipline de nouvelles difficult s Nous avons parl au d but de ce texte des possibilit s d un usage magique de l his toire des math matiques dans l enseigne ment la m thode historique serait ainsi une fa on de r pondre aux difficult s de l ensei gnement La m thode historique ne serait alors plus qu une forme de ce que certains appel lent une ing nierie didactique une fa on de chercher une r ponse technique des probl mes 52 REPERES IREM N 39 avril 2000 qui sont essentiellement pist mologiques au sens qu ils engagent le sujet connaissant dans sa globalit que ce soit celui qui enseigne ou celui qui est enseign Rien ne nous semble plus dangereux que de r duire les probl mes de l enseigne
39. le unifie en les repla ant dans un cadre g n ral bien au contraire Non seulement elle approfondit la connaissance de ces domaines en en renouvellent les m thodes comme le mon trent par exemple en ce qui concerne la g o m trie l article cit de Fano Cartan ou plus r cemment l ouvrage d Emil Artin qu il faut savoir lire comme un prolongement de la g o m trie l mentaire mais encore en mettant en valeur les structures formelles communes entre les divers domaines qu elle unifie elle permet ce que Dieudonn a appel des trans ferts d intuition lesquels conduisent de la lin a risation de la g om trie l mentaire la g o m trisation de tous les lieux o intervient le lin aire cf ci dessus D autre part et c est l que se situe la dif ficult signal e par les auteurs du texte cit l abstraction m me si elle est pr sent e comme un processus est coup e de toute signification et la d contextualisation ch re aux didacticiens n est plus qu une vaste d probl matisation Comme si la seule ques tion de l enseignement scientifique tait d en seigner le dernier discours de la science sans se poser la question des raisons de ce dernier discours sans se poser la question des chemins qui permettent d acc der la compr hension de ce dernier discours Le second point de vue se propose de replacer l alg bre lin aire dans sa perspective pist mologique qu il faut
40. lement de penser la li n arisation de la g om trie l mentaire mais plus encore car c est l un des apports les plus int ressants des math matiques contempo raines la g om trisation de tous les lieux o intervient le lin aire On oublie trop dans l enseignement que l alg brisation de la g o m trie a conduit la g om trisation de l alg bre et que cette double liaison entre g om trie et alg bre s est d velopp e d s la mise en place de la m thode des coordonn es comme le montrent les textes de Descartes et de Fermat Dans la mesure o le calcul lin aire par ticipe des m thodes analytiques on peut consi d rer que son enseignement s ins re dans celui de la g om trie analytique encore qu il nous semble n cessaire que l accent soit mis chaque fois que cela est possible sur les inva riants mis en vidence par ce calcul Par contre le calcul vectoriel appara t d s le commencement de son enseignement comme une m thode nouvelle et par cons quent exige une intervention sp cifique Cette sp cificit est d autant plus importante que le cal cul vectoriel ne participe pas de la seule g o SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE m trie en ce sens la premi re rencontre avec le calcul vectoriel ne peut se r duire pour tre signifiante au seul domaine g om trique si l on veut viter que le calcul vectoriel n appa raisse que comme une reformulation plus ou mo
41. leur b autre ment dit c est la variable qui commande la fonc tion La seconde probl matique est celle de l approximation elle peut tre formul e de la fa on suivante soit une suite num rique xp dire que la suite x tend vers une limite Z c est dire que plus n est grand plus le nombre x s approche de l ce qui participe encore du mouvement mais s y ajoute le pro bl me suivant jusqu o faut il aller dans la suite pour que la diff rence entre x et l soit plus petite qu un nombre donn l avance ou si l on pr f re pour que l erreur que l on fait en rempla ant par x soit plus petite qu une valeur donn e l avance Un exemple l mentaire d approxima tion est le calcul d cimal approch d un nombre combien de chiffre apr s la virgule pour que le nombre calcul diff re du nombre cherch de moins d une valeur donn e lavan ce exemple qui a l avantage de mettre en valeur le lien entre la notion d approximation et le calcul lui m me On peut citer ici la pratique de la division euclidienne lorsque a ne tombe pas juste Ici l aspect cin matique devient second ce qui importe n est plus le mouvement de la variable ind pendante mouvement d fini par la succession des num ros d ordre ce que l on cherche est le num ro d ordre permettant l approximation voulue Autrement dit c est la variable d pendante qui s impose et la struct
42. ment la seule mise en place de techniques convenables celles ci fussent elle fond es sur l histoire ce serait la fois confor ter une illusion et fabriquer un nouveau dog matisme mais ce n est pas le lieu de d velopper cette question ici et nous renvoyons un article ant rieur Pr sentant l ouvrage Pour une perspective historique dans l enseignement des math matiques qui relate plusieurs exp riences d utilisation de l histoire des math matiques dans des classes de lyc es et de coll ges Eve lyne Barbin crivait Toutefois le lecteur ne trouvera pas ici une formule toute faite ou une r ponse unique pr cisant Le lecteur ne doit pas consid rer les exp riences ici relat es comme des mod les ou des ach vements elles sont le fait d enseignants de coll ges ou de lyc es en situation de recherche Cette situation de recherche implique une ma trise suffisante de l histoire des ma th matiques ma trise qui ne peut s acqu rir que par une pratique d icelle et particuli re ment une pratique de la lecture des textes anciens L histoire des math matiques de vient ainsi un point important de la formation des ma tres qu elle intervienne dans la for mation continue comme cela est pratiqu depuis plusieurs ann es dans les Irem ou qu elle intervienne dans la formation initia le comme cela est encore faire elle repr sente un point fort de la culture
43. mes en s appuyant sur la fa on dont l histoire les a ren contr s Les El ments d Euclide nous offrent plu sieurs exemples de cette double lecture lhis torique et la math matique dans la mesure o ils constituent un socle sur lequel s appuient les constructions g om triques ult rieures que les auteurs de ces derni res se r clament explicitement d Euclide o que au contraire ils le contestent C est en cela que les El ments gardent toute leur valeur p dagogique et que l on peut y puiser du mat riau pour 49 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE l enseignement d aujourd hui La lecture math matique que suppose un tel usage ne partici pe pas d une mise en perspective historique la place de cette derni re serait alors par tir d une lecture math matique des El ments et d une tude critique de certaines d monstra tions d expliciter les raisons qui ont conduit sortir du cadre euclidien et inventer les constructions g om triques sophistiqu es d aujourd hui liminant ce que l on appelle quelque peu abusivement les lacunes d Eucli de abusivement au sens que ces lacunes sont moins dans la construction euclidienne que dans les limites d icelle rencontr es par les g om tres ult rieurs confront s de nouveaux probl mes Nous mettrons part le postulat des pa rall les la place de cet nonc parmi les pos tulats appara t comme une position pro
44. n rien un enseignement pr a lable d alg bre lin aire bien au contraire c est cet usage du lin aire en g om trie confront avec d autres usages du lin aire dans d autres domaines qui permettra de comprendre la signification de l unification pro pos e par l alg bre lin aire qui permettra aussi et c est me semble t il le point le plus important les liens que l on peut tisser entre les divers domaines o intervient le lin aire Evidemment la mise en place d un tel ensei gnement ne va pas de soi et elle exige une r flexion math matique constante autant voire peut tre plus de la part de celui qui en seigne que de ceux qui sont enseign s mais c est que le rapport au savoir du ma tre et il est bon de rappeler que celui qui enseigne doit savoir tre un ma tre reste essentiel dans l acte d enseignement de la probl matisation la hi rarchisation des connaissances La prise en compte de l aspect probl matique tel que nous l avons rencontr ci des sus conduit construire une hi rarchie des REPERES IREM N 39 avril 2000 connaissances et par cons quent une hi rarchie de ces connaissances dans l ensei gnement La hi rarchisation des connais sances n est pas une construction intangible elle d pend comme tout mode de classifica tion des connaissances d une part des condi tions dans lesquelles s laborent celles ci d autre part du niveau
45. ntex te scientifique mod le l histoire Cette lec ture est essentiellement le travail de l historien des math matiques Nous verrons comment ce travail d historien intervient dans la mise en place d une perspective historique moins en tant que travail d historien que travail accompagnant une r flexion math matique propre La lecture math matique ne met en jeu que le seul contexte math matique elle en gage le lecteur dans son activit math matique propre ind pendamment de tout recours aux conditions dans lesquelles le texte a t crit En ce sens elle peut tre anachronique son objet tant moins de comprendre la signification d un texte dans son poque que de prendre en charge une question math matique laune d aujourd hui Nous citerons l tude des diverses d mons trations du th or me de Pythagore la ques tion est alors moins celle d une d monstration originelle que l on ne conna t pas que celle des divers formes de cette d monstration tude qui conduit distinguer les deux lectures possibles de l nonc canonique REPERES IREM N 39 avril 2000 Le carr de l hypot nuse est gal la somme des carr s des deux autres c t s la g om trique et la num rique double lec ture qui correspond deux modes distincts de d monstration un mode g om trique et un mode num rique La lecture g om trique nous dit que l aire du carr construit sur l hy
46. p si l on veut autrement dit une forme de propagande Il est vrai qu une conception didacticienne isolant l acte de l l ve ou plut t le r duisant au seul ph nom ne d apprentissage peut enlever toute paisseur la probl matisation Le danger r side ainsi dans une vision pure ment instrumentale de la probl matisation la probl matisation a sert ce qui revient dire qu elle ne sert rien d autre qu ras surer le professeur ai je bien dit ce qu il fal lait dire ce qui le met dans la m me pos ture que l l ve qui se pose la question qu est ce que je dois dire La connaissance dispara t derri re la s curit Notons que l usage de l histoire des math matiques peut conforter cette pro bl matisation alibi lorsque cette histoire est elle m me pr sent e sous la seule forme d une donation de sens 48 REPERES IREM N 39 avril 2000 3 lecture historique et lecture math matique Il y a plusieurs fa ons de lire un texte math matique ancien nous distinguerons ici la lecture historique proprement dite et la lecture math matique La lecture historique demande de repla cer le texte la fois dans son contexte scien tifique et dans son contexte historique et d expliciter autant que faire se peut le lien entre ces deux contextes c est dire la fa on dont le contexte scientifique se d fi nit dans l histoire et la fa on dont le co
47. pot nuse est gale aux aires r unies des carr s construits sur les c t s c est une proposition qui porte sur des aires c est dire des grandeurs g om triques sans aucune intervention du num rique C est ainsi par exemple que l nonce et la d montre Euclide dans le livre I des El ments propo sition 47 La lecture num rique suppose que les grandeurs longueurs des c t s et aires des car r s ont t mesur es et la proposition porte sur les mesures de ces grandeurs c est dire sur des nombres C est la d monstration clas sique qui s appuie sur la similitude et que l on trouve dans nombres d ouvrages classiques telles les Le ons de G om trie El mentaire de Hada mard L histoire n intervient ici si elle inter vient que par le mat riau qu elle nous apporte et l on ne saurait parler de perspective historique m me si c est la connaissance historique qui permet comme le montre l ouvrage cit de Four rey de r unir ces d monstrations La dis tinction propos e ici entre d monstrations g om triques et d monstrations num riques est d ordre purement math matique et c est en ce sens qu elle peut prendre place dans Pensei gnement Le regard historique a pour but d expliciter les raisons qui font que dans un contexte historique donn ce sera le point de vue g om trique ou le point de vue num rique qui sera mis en avant Nous renvoyons ici SUR LA NOTION DE
48. pour l espace une fois le calcul sur les nombres complexes consi d r comme un calcul g om trique dans le plan qui a conduit Hamilton inventer les quaternions le cal cul des quaternions jouant pour l espace un r le ana logue au calcul complexe pour le plan 39 Raoul Bricard Le Calcul Vectoriel o c pr face 40 Paul Appell Trait de M canique Rationnelle 1893 R dition Jacques Gabay Paris 1995 II peut tre int ressant de voir l volution de ce chapitre pr liminai re depuis la premi re dition de 1893 jusqu la der ni re dition de 1942 dit e par Valiron 41 Georges Bruhat Cours de Physique G n rale 4 volumes Masson Paris 42 c est en cela qu on peut relier le calcul vectoriel au calcul g om trique la Leibniz cf Leibniz La ca ract ristique g om trique 1677 1685 Texte tabli introduit et annot par Javier Echeverria traduit an not et post fac par Marc Parmentier Collection Mathesis Vrin Paris 1995 43 La signification des signes est d finie par les rela tions primitives explicites axiomes 44 Il nous faut rappeler ici le r le qu a jou l analy se dans la gen se de l alg bre lin aire cf Jean Dieudonn History of functionnal analysis North Holland Publications Amsterdam 1981 et Jean Luc Dorier Une lecture pist mologique de la gen se de la th orie des espaces vectoriels in Jean Luc Dorier et al L enseignement de l alg bre l
49. rer deux points de vue Le premier point de vue met en avant la structure unificatrice c est elle qui consti tue l objectif de l enseignement les domaines qui participent de cette unification n tant plus que les pr liminaires l apprentissa ge de l alg bre lin aire En particulier la g om trie l mentaire n est plus qu un pas sage oblig qui deviendra obsol te le jour o l l ve aura enfin compris moins la refor mulation lin aire de la g om trie que le fait que cette premi re g om trie n tait qu une tape C est une telle conception qui conduit crire Une difficult rencontr e dans l ensei gnement de concepts unificateurs et g n ra lisateurs est le r le des connaissances et des comp tences pr liminaires moins formali s es En effet celles ci doivent tre r int gr es dans un processus d abstraction ce qui signifie qu elles doivent tre reconsid r es pour mettre en vidence leurs caract ris tiques communes qui devraient tre g n ralis es et unifi es mais aussi pour laisser tomber des particularit s intrins ques qui deviendront obsol tes ou inad quates dans la nouvelle approche SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE Une telle conception nous semble dou blement r ductrice D une part elle oublie la signification scientifique de toute unification L alg bre li n aire ne rend pas obsol tes les domaines qu el
50. res de Probl mes His toire des Math matiques Commission Inter IREM Epist mologie Ellipses Paris 1993 22 Nous renvoyons par exemple au trait de Luigi Cremona El ments de G om trie Projective premi re partie traduit avec la collaboration de l auteur par Ed Dewulf Gauthier Villars Paris 1875 ou aux cha pitres consacr s des notions projectives dans des ouvrages classiques des classes de Math matiques El mentaires 23 sur le plan structural s entend si l on sait que le discours alg bre lin aire n puise pas la g om trie 24 Jacques Hadamard Le ons de G om trie l mentaire 2 volumes Armand Colin Paris 1947 1949 25 Marcel Berger G om trie 5 volumes CEDIC Nathan Paris 1977 r dition en 2 volumes Nathan Paris 1991 26 Je distinguerai ici le calcul lin aire en tant que calcul alg brique sur les polyn mes du premier degr homog nes ou non homog nes de l alg bre lin ai re au sens moderne que l on peut consid rer comme la th orie des espaces vectoriels et qui ce titre se d gage du calcul lin aire proprement dit 27 Arthur Cayley A memoir on abstract geome try Philosophical Transactions of the Royal Socie ty of London vol CLX 1870 p 51 63 n 413 in Col lected Mathematical Papers o c vol VI p 456 469 28 Fano Cartan La Th orie des Groupes Conti nus et la G om trie Encyclop die des Sciences Math matiques pures et appliqu
51. rie l mentaire au calcul lin aire et au cal cul vectoriel para tre in Actes de la Troisi me Universit d Et Europ enne Histoire et Epist mo logie dans l Education Math matique Louvain la Neuve Leuven juillet 1999 Nous renvoyons aussi l article de Fr d ric Pham Vivent les d terminants Rep res IREM n 26 janvier 1997 54 Il faut ici distinguer dans la langue fran aise les deux significations du mot ma tre le magister et le dominus il est clair qu il s agit ici du magister Nous devons cette remarque Catherine Kintzler Cette distinction est d velopp e dans l ouvrage de Henri Pensa Ruiz L Ecole Dominos Flammarion Paris 1999 p 28 55 Rudolf Bkouche L enseignement scientifique entre l illusion langagi re et l activisme p dagogique o c 56 Emile Fourrey Curiosit s G om triques 1907 r dition 1994 augment e d une pr face d Evelyne Barbin Vuibert Paris 1994 57 Euclide Les El ments volume 1 introduction g n rale par Maurice Caveing Livre I IV traduction et commentaires par Bernard Vitrac PUF Paris 1990 p 282 284 58 Jacques Hadamard Le ons de G om trie l REPERES IREM N 39 avril 2000 mentaire volume l G om trie plane Armand Colin Paris 1947 p p 120 59 Euclide Les El ments volume 2 Livres V IX traduction et commentaires par Bernard Vitrac Paris 1994 60 Legendre El ments de G om tri
52. ries invent es pour r soudre ces probl mes Si comme le dit Max Weber la construction des concepts d pend de la fa on de poser les pro bl mes laquelle varie son tour avec le conte nu m me de la civilisation Cest travers les probl mes que la m thode scientifique s est construite et c est dans le caract re m me de ces probl mes et leur formulation que l on peut essayer de comprendre comment se sont mises en place les th ories plus ou moins sophistiqu es qui constituent la science Cela nous conduit privil gier la notion de probl ma tique ou de champs de probl mes dans l tude des conditions de la construction de la science probl mes de fondements et r gles de fonctionnement s articulant autour des 37 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE probl matiques dans lesquelles ils se situent Pr cisons ici que l pist mologie des probl matiques ne se situe pas seulement dans le cadre d une gen se que ce soit celle de l his toire collective ou celle de l histoire indivi duelle et en ce sens si le recours aux pro bl matiques fait largement appel l histoire des sciences il ne se r duit pas celle ci La probl matisation participe ainsi de la construc tion de la science en tant qu elle est une scien ce c est dire une syst matisation et une organisation de connaissances C est ce point de vue de l pist mologie des probl matiques qu
53. rvention du li n aire dans un second temps le lin aire ayant t mis en place sous la forme moderne de SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE l alg bre lin aire on reconstruit la g om trie l mentaire comme chapitre de l alg bre lin aire Cette reconstruction n est pas une simple reformulation ce qui serait de peu d in t r t elle constitue la fois un approfon dissement et un largissement de la g o m trie et conduit penser la g om trisation dont nous avons d j parl Notons que la double hi rarchisation dite ci dessus ne rel ve pas seulement d un ordre historique la g om trie l mentaire pr c dant l alg bre lin aire dans le temps jus qu ce que cette derni re remette la premi re sa vraie place ou d un ordre g n tique l apprentissage de la g om trie l mentai re consid r e comme une tape vers la connaissance de l alg bre lin aire elle marque une prise en compte des enjeux de la connaissance autant ceux de la g om trie l mentaire tude des situations spatiales que ceux de l alg bre lin aire la structura tion d un ensemble de connaissances autant ceux de la reformulation de la g om trie en termes d alg bre lin aire que ceux de la g o m trisation des domaines de la connais sances o intervient le lin aire En ce sens si une mise en perspective historique permet l tablissement de la double hi rarchisation
54. s d appr hension Nous pouvons citer la ques tion des rapports entre la g om trie l mentaire et le lin aire dont nous avons parl ci dessus la question est alors moins la lec ture de textes historiques que la construction d une probl matique g n rale qui am ne les l ves comprendre d une part l apport des consid rations lin aires dans l tude de la g om trie l mentaire que ce soit sous la forme du calcul lin aire ou sous la forme du calcul vectoriel et d autre part l apport de la g om trisation dans les divers domaines de la connaissance o intervient le lin aire On voit donc ici un usage de l histoire qui rel ve moins de la mise en perspective his torique que d une forme de probl matisation au sens que nous avons dit ci dessus cela 51 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE implique alors m me si l histoire n appara t pas en tant que telle pour les l ves une connaissance historique de la part des ma tres ce qui nous renvoie encore une fois Plin tervention de l histoire dans la formation des ma tres Nous avons abord ci dessus la seconde partie de la double question pos e au d but de ce paragraphe celle o l on s appuie sur l usage de l histoire que ce soit sous la forme d une mise en perspective historique ou sous la forme du seul usage math matique de textes anciens nous voulons aborder main tenant la premi re partie de
55. s grandeurs scalaires les lon gueurs les temps 43 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE On distingue ainsi les grandeurs sca laires une telle grandeur tant d termin e une fois choisie l unit de mesure par le nombre qui la mesure et les grandeurs orien t es qui pour tre d termin es exigent des informations suppl mentaires On voit ainsi se dessiner une probl matique des grandeurs orient es qui s inscrit autant dans la g om trie que dans la m canique et qui se propose la mise en place d un calcul sur ces gran deurs ce qui constitue le calcul vectoriel On voit ainsi la multiplicit des probl matiques qui ont conduit non seulement pen ser le concept de vecteur mais en ordonner le calcul la question se pose alors de la ren contre de ces probl matiques conduisant la mise en place de ce chapitre sp cifique que constitue le calcul vectoriel Ce n est pas ici le lieu d une histoire de cette rencontre nous nous contenterons de citer le Trait de M canique Rationnelle d Appell dans lequel l auteur explique comment les calculs sur les vitesses et les calculs sur les forces rel vent d un m me calcul ce qui la fois justifie l introduction d un chapitre pr liminaire de calcul vecto riel et guide ce calcul puisque celui ci se construit ind pendamment de sa gen se historique via les questions de m canique auxquelles il va r pondre on pourrait de
56. st encore une fois vers l aspect pro bl matique que nous nous retournerons Nous avons vu que le lin aire intervient en g om trie sous les deux formes du calcul lin aire et du calcul vectoriel la question se pose alors d expliciter les conditions de leur intervention et c est cette explicitation qui permet d en d cider la place effective dans lensei gnement Cette question est essentiellement d ordre math matique si l histoire des math matiques peut apporter des l ments de r pon se en renvoyant aux probl matiques origi nelles il faut alors prendre en compte les changements de perspective qui ont pu trans former ces probl matiques et les confronter aux probl matiques telles qu elles se posent aujourd hui REPERES IREM N 39 avril 2000 La question de l enseignement est alors celle de la d finition de probl matiques signi fiantes signifiantes par rapport ce que l on veut enseigner signifiantes aussi pour les l ves si l on veut que ces derniers y trouve la force dont parlait Sanchez dans lasser tion cit e au d but de cet article Ainsi la notion de probl matique parce qu elle se situe au c ur de l activit scientifique se situe au c ur du triptyque d fini ci dessus la discipline l enseignement la classe En ce qui concerne la question ici pos e des relations entre g om trie l mentaire et alg bre lin aire l aspect probl matique doit permettre non seu
57. t la didactique Rudolf Bkouche L enseignement scientifique entre l illusion langagi re et l activisme p dagogique Rep res IREM n 9 octobre 1992 Cette centralit de l l ve a pour cons quence sinon de dimi nuer l importance des disciplines du moins de les red finir en fonction de l enseignement ce que l on appel le la transposition didactique 3 Francisco Sanchez Il n est science de rien 1581 traduit du latin par Andr e Camparot Klinck sieck Paris 1984 4 Ce triptyque pr sente l avantage sur le clas sique triangle didactique le savoir le ma tre l l ve de mettre en valeur la place centrale du savoir dans lacte d enseignement 5 Bernard Charlot Du Rapport au Savoir Anthro pos Paris 1997 6 Pour la coh rence du texte je reprends la par tie correspondante de mon intervention Braga cf Rudolf Bkouche Epist mologie histoire et ensei gnement des math matiques o c 7 Ferdinand Gonseth Le r f rentiel univers obli g de m diatisation L Age d Homme Lausanne 1975 pr face 8 Cestrois aspects de l pist mologie seront d ve lopp s dans un article venir 9 Pour la notion d invariant historique nous ren voyons la le on inaugurale de Paul Veyne au Col l ge de France Paul Veyne L inventaire des diff rences Seuil Paris 1976 10 On pourrait citer le calcul diff rentiel de Leibniz cf G W Leibniz La naissance du calcul diff rentiel intro
58. textes que le ma tre va utiliser dans la construction de son ensei gnement et qui n impliquent pas directement les l ves et les textes que le ma tre proposera la lecture des l ves Dans ce dernier cas se pose encore la question du mode de lecture purement math matique ou prenant en comp te le contexte historique comme nous l avons expliqu propos des d monstrations du th or me de Pythagore cit es ci dessus On voit ici le double usage des textes anciens dans l enseignement mat riau des tin au seul usage du ma tre dans la construc tion de son enseignement ou mat riau l usage des l ves Dans chacun de ces cas se pose la question du mode de lecture moins les aspects historiques en tant que tels que l apport de ces textes dans l enseignement le quel apport peut se r duire au seul aspect math matique ou peut au contraire s appuyer explicitement sur le contexte historique C est alors au ma tre de d cider du mode d emploi de ces textes ce qui implique que le ma tre soit capable de prendre en charge les divers aspects d une intervention de l histoire dans l enseignement cela nous renvoie la formation des ma tres question que nous ne pouvons abor der dans le cadre de cet article 4 les limites de la perspective historique Les consid rations pr c dentes nous conduisent poser quelques questions sur REPERES IREM N 39 avril 2000 l usage de l histoire des m
59. uit un certain mode de calcul dans des cas tr s par ticuliers sans que l l ve soit conscient de la signification du calcul qu il fait Comme s il fal lait viter tout prix que l l ve fasse appel son intuition il pourrait se tromper comme s il ne pouvait ce stade le formalisme des e n n est pas encore introduit que suivre aveu gl ment les proc dures qu on lui impose serait il inconvenant qu un l ve fasse ce que tout math maticien pratiquant fait savoir s appuyer sur son intuition et remarquer qu une fonction p riodique oscillant constam ment lorsque les valeurs de la variable aug mentent ne peut avoir de limite Par contre marque de conscience professionnelle de la part des auteurs de l article ils tiennent montrer leurs l ves ce qu est une d monstration et utilisent les intervalles embo t s pour mon trer rigoureusement que la fonction x tend vers 1 lorsque x tend vers 1 Que voil de la belle math matique Il est difficile d expliquer 39 SUR LA NOTION DE PERSPECTIVE HISTORIQUE une propri t vidente mais on sait d mon trer d une fa on sophistiqu e une autre pro pri t vidente en utilisant une m thode dont les l ves ne peuvent comprendre ce stade la v ritable signification On peut alors poser la question de la part de l intuition et de la rigueur dans l en seignement faut il laisser une grande part l intu
60. ure grammaticale de l assertion rituelle REPERES IREM N 39 avril 2000 f x tend vers b lorsque x tend vers a est diff rente il n y a plus qu une seule propo sition qui indique la fois ce qu est la limite et le principe d un calcul approch On recon na t dans cette seconde formulation la d fi nition we erstrassienne de la limite On voit ainsi appara tre une contradiction entre les deux probl matiques la premi re met l accent sur le mouvement de la variable ind pendante et l effet d entra nement sur la variable d pendante la seconde met l accent sur la variable d pendante et la fa on dont elle force les valeurs de la premi re variable contradiction qui constitue l une des difficul t s de la notion de limite difficult qui rel ve de l ordre math matique et c est en cela qu elle est une difficult p dagogique Une conception utilitariste de l ensei gnement assurer la r ussite ce qui implique d viter ce type de difficult aux l ves conduirait choisir une seule probl matique et choisir les exercices en fonction de cette probl matique ou bien inventer l artefact p dagogique convenable qui permettra aux l ves de r ussir les exercices ad hoc qu on leur proposera Mais qu auront ils compris et qu auront ils appris Si l on revient sur la notion de limite et les deux probl matiques dites ci dessus on remarque que plusieurs l ments
61. visoi re pour un nonc n cessairement vrai bien que ind montr le scandale de la g om trie selon D Alembert et il faudra la d couverte invention des g om tries non euclidiennes pour que l on prenne conscience que cet ind montr est un ind montrable Un regard his torique sur la question des parall les peut alors tre une fa on de comprendre d une part les raisons qui ont conduit les g om tres rechercher une d monstration du postulat des parall les d autre part les raisons qui ont conduit penser le non euclidien Pourquoi la d monstration euclidienne sur la somme des angles d une triangle n est elle pas suffi sante pour assurer cette v rit demandait une tudiante apr s la lecture d un article d Evelyne Barbin sur les d monstrations du th o r me de la somme des angles d un triangle On pourrait multiplier les exemples de cette double lecture ce que nous ne ferons pas ici Nous voulons seulement mettre l accent sur le fait que l intervention de l histoire ne rel 50 REPERES IREM N 39 avril 2000 ve pas seulement de la perspective histo rique qu un texte ancien peut se pr ter plusieurs modes de lecture et que cette lecture d pend de l objectif que l on se propose En ce qui concerne l enseignement la question de la lecture des textes anciens se com plique dans la mesure o il nous faut consi d rer d une part les

rudolf (35-59) - Michel Delord

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