Les Affinités Électives _ Le joli mot de Goethe entre la Théorie de l
Contents
1. 1 Sinon on fait un d tour en passant par les fonctions continues de classes C par morceaux qui sont alors sommes de leur s rie de Fourier qui converge uniform ment Honn tement je ne sais pas si on n utilise pas Stone Weierstrass pour obtenir cela It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher ES Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy rd F4 1 L galit est donc vraie pour f continue C par morceaux Enfin si f est b tement sur R 21n p riodique elle est uniform ment continue Soit 27 donc e gt 0 et a gt 0 tel que x yl sas Lf flco lt g Si Pa lt a en coupant 0 2x en n segments et en construisant g affine par morceaux en joignant les 2k 2k points a 7 pour k 0 1 n on obtient g continue de classe c par morceaux avec f gl lt e Pour conclure f continue 2r p riodique est limite uniforme d une suite de fonctions 27 p riodiques C par morceaux pour lesquelles l galit est v rifi e donc elle l est pour f L activit du prof de Maths me fait souvent penser un jeu de puzzle dont les pi ces au d part se pr senten2. Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy d tre d couverte en 1932 dans le rayonnement cosmique Le positron avait t interpr t par Dirac comme une des solutions de la nouvelle quation qu il avait construite a partir de l id e que le formalisme naissant de la m canique devait prendre en compte les postulats de la relativit restreinte La puissance des Math matiques culmine en physique dans le cadre des th ories dites de jauge qui sont une forme labor e de la th orie quantique des champs La th orie de jauge la plus ancienne est celle de l lectromagn tisme Tous ceux qui ont appris un peu de physique connaissent bien les potentiels de l lectromagn tisme a partir desquels on peut calculer les champs lectriques et magn tiques Ils savent aussi que ces potentiels ne sont pas directement observables Les quations de Maxwell ne d terminent pas les potentiels eux m mes de mani re absolue mais consid rent seulement les diff rences de potentiel En particulier on peut modifier arbitrairement la r f rence de ces potentiels sans bouleverser les lois de la physique On appelle transformations de jauge ces modifications de potentiel et on dit que les quations de Maxwell sont invariantes de jauge Plus tard dans les ann es cinquante la m thode d u
3. finit s Electives _ Th o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy Les Affinit s lectives _ Le joli mot de Goethe entre la Th orie de l Int gration et le grammairien Le th oricien qui mod lise est celui qui il revient partir de nombreuses choses d en faire une seule et partir de la moindre partie d une seule chose de faire un monde Il y a une histoire des Maths elles ont effectivement leur civilisation elles leur beaut particuli re on leur reconna t le droit d avoir une volution propre et leur propre grammaire leur logique leurs d sirs leurs sentiments leurs lubies et leurs pr f rences Or le Math maticien sachant par l ducation qu il s est donn e que la th orie math matique n est tout enti re compos e que des th tres o se joue la vie des concepts une vie capable chaque endroit de devenir singuli re et grandiose a la comp tence de conf rer n importe quelle portion de cette vaste surface vibrante l autonomie et la pl nitude d un tout De m me que pour le Math maticien la th orie n est un tout que pour autant qu une action commune interne ou externe aux Math matiques mobilise tous ses concepts et toutes ses nergies de m me pour lui les diff rentes pa
4. gt E sJ p p Xn l j P 2n pae p ntl Les a sont tous sup rieurs 4 d croissance de la suite et m me on minore p AN e par n d o Y n2 ng n e2 nxa x _ 7 gt 2na gt 0 onad j lim 2na 0 2n nn 2r 2n 2n m gt o Comme 0 lt 2n 1 a 2n a PA lt 2na dy et que la suite des a 2n 1 2n 1 2n 1 converge vers 0 on galement lim 2n 1 a 0 et finalement lim ka 0 n gt o 2n 1 k gt o R ciproquement on suppose que 4 tend vers 0 en d croissant et que n a tend vers 0 aussi Cela a tend vers 0 en d croissant fait penser une transformation d Abel i n 1 x n e En introduisant S x gt sinky Im are pour x O 2x on a encore k 0 en S Comme 0 lt 2n 1 a 2n a a lt 2na ay et que la suite des a 2n 1 2n 1 2n 1 a a converge vers 0 on galement lim 2n 1 a 0 etfinalement lim ka 0 es 2n 1 k gt 0 It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher 2 SAR T ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy R ciproquement on suppose que 4 tend vers 0 en d croissant et que na_ tend vers 0 aussi Cela a tend vers 0 en d croissant fait penser une transformation d A
5. pondre cet art semble faire partie de l histoire de l humanit Pourquoi vouloir absolument r duire les Math matiques a des r gles d arithm tiques Il a fallu des milliers d ann es pour passer d une tache lumineuse qui bouge dans le ciel un astre toujours identique lui m me Moralit on ne voit qu au moyen de concepts c est une vidence rarement exprim e Un sens sans concept permet de r agir imm diatement pas de comprendre Th o H ikay Universitaire pdf d Air Airs sers Masse AM It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher pa
6. appelaient l tonnement jusqu quel point les nombres nous permettent ils d expliquer le monde Autrement dit les Math matiques puisent elles la r alit Toute interrogation pourrait elle y trouver sa r ponse Tout probl me sa solution Tout myst re son lucidation Que resterait il alors du merveilleux et de l enchantement du monde Dolaine Giroud Maths Sp MP Lyc e Sainte Genevi ve _ Que veut dire Einstein lorsqu il affirme que le principe cr ateur r side dans les math matiques Einstein would have it otherwise The creative principle resides in mathematics In a certain sense therefore I hold it true pure thought can grasp reality as the ancients dreamed Ch re Dolaine en un sens donc je tiens pour vrai que la pens e pure peut saisir la r alit comme en r vaient les anciens Les math matiques s impliquent par exemple dans le champ de la physique C est en elles que r side le principe vraiment cr ateur selon le mot d Einstein Il est plusieurs fois arriv que des sp culations de nature purement math matique aient donn naissance a des objets enti rement nouveaux de la physique fondamentale Ce fut le cas de l antiparticule de l lectron qu on appelle le positron qui a t calcul e par Dirac en 1927 avant We belong to those who reject darkness It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that 18 Teacher and Researcher
7. cette m me sensation Me revenaient alors en m moire les mots du physicien Eug ne Wigner le plus tonnant c est l extraordinaire efficacit des Math matiques d crire la r alit Exercice 1 Soit f une application de IR dans R continue par morceaux et born e et a un r el pik ss re n x a fix D terminer la limite de u n f x exp a ax o0 Analyse du Probl me La fonction t n t a f Pl 3 est paire en a et pr sente une bosse en a car si t al gt a gt Q lorsque lel tend vers l infini la d croissance vers 0 des valeurs de l exponentielle est rapide Le poids de l exponentielle se concentre en a o f se comporte comme f a 0 ou f a 0 Ceci m incite introduire va fa p GE ay n fato opl eR ay a O0 que je sais calculer avec n x a t puis valuer u 2e It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that 4 We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy R solution Observons que l int grale impropre converge car fa lt fl sur R et n x a 2 lim X exp e 4 0 pour n gt 0 x gt 00 Observons aussi qu une fonction f d finie sur a b est dite continue par morce
8. ka lt e l 2 f lle il en r sulte que la suite des w converge vers 0 P n2 o n2 Or wn f x exp 4 x a x nf a 0 exp x ay x g a Et que la deuxi me int grale se calcule en posant n x a t soit ndx dt il vient nf a 0 fF exp x ay x f a 0 f exp f Eha vIn fa 0 a 0 on a finalement lim n B f x exp E A x a NE ar n gt o D une mani re analogue partir de n x a w MG fla 0 exp roa dx conduit n lim fo apl Bo dx fr f a 0 et finalement la suite des u n 0 converge vers x Aa 0 fa 0 It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that 6 We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy Exercice 2 Soit une suite croissante de r els telle que lim o etf IR IR n 0 telle que f dt converge Calculer lim o f t sin tdt 3 0 8 0 n n gt o Analyse du Probl me R t dt converge par hypoth se donc amp gt 0 on associe A gt 0 tel que 5 ge par hyp q d f t dt lt e donc pour tout n f t sin fdt lt E f dt lt A i n A A Si je prouve que pour A f
9. les math matiques sont le langage de la nature Chere Hannah sans doute cet nonc est il plus m taphysique que physique Mais ce qui est s r c est que les Math matiques sont devenues la grammaire de la physique et les regles de cette grammaire doivent tre apprises par ceux qui veulent d crire la nature Il n y a pas d alternative On peut le d plorer g mir et m me s insurger contre cette tournure h g monique Il est vrai que notre esprit n est pas spontan ment attir par les matrices unitaires les tenseurs du deuxi me ordre les g om tries quatre dimensions ou les racines carr es de 1 Comment par exemple faire passer l id e d une limite L un des grands accomplissements de la civilisation Une suite S converge vers si quand on la prolonge ses termes se rapprochent de plus en plus de Jusqu ici tout va bien Deux mouvements mentaux sont mis en uvre la prolongation de la suite et sa convergence vers une limite Et ce qui rend It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy toute d finition a venir plus r barbative encore c
10. limite si quelle que soit la valeur de on peut trouver un terme de la suite tel que pour ce terme et les suivants la distance soit inf rieure amp Votre nom semble indiquer des origines anglo saxonnes Si tel est le cas une traduction dans la langue de Shakespeare de ce qui pr c de donnerait sequence S has a limit at the number if as the sequence is extended its terms get close and closer to So far so good There are two mental motions here the extension of the It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy sequence and its convergence toward a limit And what makes any definition to come still more rebarbative is the fact that these mental motions are somehow coordinated A revised but still a vernacular version of the definition now follows A sequence S converges to l if by extending the sequence the distance between S and may indefinitely be decreased The image is of a boat on the deep blue sea conveyed toward a light house by the motion of the waves the distance between ship and shore being inexorably sliced away This may suggest as it suggested to generations of mathematicians that convergence hinges only upon
11. matiques de Luminy 1 ee z T _ y st _itsinu Lf s lim 2x J gly u du avec g y u h e me dt y gt 0 st itsinu e lt e et que a edt lim g y u existe y o Comme uniform ment en u e nr 7 car sy z og es Lh the S In gr eS an m ae as at lt I e dt majorant qui tend vers 0 si y tend vers o 1 T 00 st itsinu On a donc Lf s 2x So e dt du 1 f a TE Sara ES du 27 s ismul T LI f _ du 1 gt r G isnw On s isinu 2n s sinu La partie imaginaire de l int grale est nulle fonction impaire en u donc n s T du 2s f 7 2 du T Jo dL Lf s gt 7 kyu Se a fs 27 J_ s smu o sin y T Jy sinu Avec t tgu gt dt 1 il vient It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy 25 t 1 2s dt D S ALLAHA nr P2 s2 1 82 0 X s 0 e 1 s 2s 0 dt 2 a SEEN er eer Arctg ns 1 PR s mvs 1 S 0 j s 1 1 et finalement Lf s Vite pour s gt 0 1 Hannah SCHEID Ipesup fr maths sup spe Selon vous pourquoi Galil e dit il que
12. some fixed but very very small distance It is at this point that the translucent ghost of infinitesimal numbers for a moment flits over the discussion The definition of a limit allows them to rest in peace Lest s be a positive real number and return again to the sea and its sounds To say that the distance between the ship and the lighthouse may indefinitely be decreased is only to say that what ever the value of e there will eventually be some motion of the waves carrying the boat to a point whose distance from the lighthouse is less than e Note the crucial double play which presents itself almost as an incantation or sea chantey whatever the requisite distance some suitable motion can be found This idea carries over from ships to sequence S converges toward a limit if whatever the value of some point in the sequence can be found such that there and for points beyond the intervening distance is less than e Autre exemple Ce qui me fascine litt ralement c est que grace aux math matiques il soit possible de pr voir avec une pr cision vertigineuse l itin raire des astres qu on peut observer sur une terrasse familiale Il me para t utile de faire comprendre aux l ves et tudiants pourquoi un m me concept pouvait s appliquer plusieurs It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Les Affinit s Electives _ T
13. that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy voir le vertige de cette particule partout sur ces parois elle est comme un soleil qui se l ve et sa lumi re est r pandue partout La r pondance est une thique On est responsable de on est r pondant la voix et la pr sence qui s approchent de nous C est ainsi qu on dialogue avec les concepts Mathilde Cazenave Maths Sp MP Lyc e priv F nelon _ Dans le document Connaissez vous Andrew Wiles Vous criviez J ai le souvenir d un grand ma tre qui nous demandait lors de ma formation de prouver sans rel che d abord notre lucidit en posant correctement le probl me puis notre culture en produisant des exemples couvrant un champ assez vaste Serait il possible d avoir quelques claircissements sur cette affirmation Chere Mathilde la l gende raconte qu un roi ayant demand Euclide de lui enseigner la g om trie se plaignit de sa difficult Euclide lui r pondit simplement Il n y a pas de voie royale Je vais m appuyer sur quelques exemples comme pierre de touche mon argumentation exemples utilisant les int grales Mais tout d abord i
14. aux si elle a un nombre fini de points de discontinuit et si en chacun de ces 1 a points elle a une limite droite et a gauche Ce sont des fonctions que l on est capable de repr senter par un dessin Les fonctions continues par morceaux sont int grables LON tl 0 8 2 5 o a 0 2 A o 5 gt Da 2 55 ee a d 00 Ce faisant j introduis w n fla 0 exp mn a Que faire comme disait Oulianov Commencer par traduire la continuit de fen a Onay gt 0 Jp gt 0 tel quea lt x lt a p Ax fla 0 lt g ceci nous sugg re de couper l int grale en deux 2 A pe A ie A d o paje fo oxp BE ae afea apl EEP ae ca at Bp En posant n x a t gt ndx dt on obtient It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that 5 We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy oo jw lt e nB exp 7 dt 2 f llo exp 7ldt i 0 4 nf 4 t dt donne alors 00 La convergence de l int grale impropre I exp 4 0 o A e gt 0 on associe A gt 0 tel que exp dt lt g mais alors B tant associ A pr c demment il existe Ny tel que Vn Ny nB gt A do Vn n 0
15. bel i n 1 x e En introduisant S x gt snkx nm pour x O 2x on a encore nN pes a 1 i n 1 x 2 n 1 Atl e x 2i sin Pi sin x 2 nx 2 S x Im sin gt x j x 2 ue 2 _ X ex 2i sin 5 sin 1 D o pour x O 2r 5 6 o a PN sins q Je vais majorer une somme du type 5 de gt a sinkx avec q gt n en k n 1 proc dant de fa on diff rente suivante x D abord on travaille pour x dans 0 2x p riodicit et m me 0 x imparit en fait Pour x O x la somme est nulle Comment utiliser l hypoth se n a tend vers 0 Peut tre en majorant sin kx par k xl Soit s gt 0 4 ny Vk ny 0 lt k a lt e n oublions pas les a sont positifs k Donc pour n Nyy et p 2 1 on verra comment lier x et p ensuite ona n p n p lt D ka xl lt pela gt a sin kx lt ka x lt pe x k n 1 k n 1 It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that 24 We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy Puis sig n p 1 en effectuant une transformation d Abel ona q g 1 ya a 540 5 _ EI HR uae g a gt 4 41 Sh k n p 1 WER HFR k n p 1 soit comme 4 4 Z0 eten majorant s par 7 sin 2 7 Li 1 on 1 gt s
16. bon sang mais c est bien s r sont des jaillissements pas des conclusions et il ne suffit pas pour cr er de r pertorier des arguments et d aligner des raisonnements On ne d couvre pas la cha ne on n invente pas qu avec des puisque et des donc Ceux qui croient aujourd hui que pour mettre sur pied la m canique ondulatoire il suffirait de dire Puisqu on associe un quantum de lumi re aux ondes lumineuses pourquoi ne pas associer sym triquement une onde l lectron manquent singuli rement de recul Il faut en effet se rappeler que lorsque Louis de Broglie eut cette id e il tait encore pratiquement le seul avec Einstein croire au quantum de lumi re qui d ailleurs ne s appelait pas encore photon l id e de quantum de lumi re n avait pas t prise suffisamment au s rieux pour les physiciens aient jug utile de le d clarer l tat civil Il semble que pour inventer il faille penser non de travers mais c t ou en plus Une tr s grande connaissance scientifique est bien s r une condition n cessaire mais elle ne suffit pas car les id es nouvelles ne germent pas de la simple accumulation des id es Il faut un petit coup de pouce par lequel l instant du eur ka chappe son contexte C est le plus souvent l imagination qui se charge de donner les pichenettes d cisives Cet exercice de l imagination parfois proche d une r verie consciente peut It is worth re
17. cul avec des formules purement math matiques sans compas Des concepts simples associ s quelques r gles suivre suffisent pour faire d filer ses d cimales sur un ordinateur aussi longtemps que vous le voudrez Tout se passe comme si ce chenapan existait dans un autre monde invisible nos sens mais tout aussi r el celui des nombres accessible a notre seul esprit avec ses paysages ses structures propres En anglais on met en parallele les landscapes paysages mat riels et les mindscapes paysages mentaux It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy La question de savoir si ces concepts existent vraiment hors de l activit mentale des tres pensants se pose depuis l poque des philosophes grecs le monde des Id es de Platon sans que pour autant nous puissions y r pondre Du reste que signifie exister pour un chiffre ou un nombre Voici une question d battre en famille deux plus deux faisaient ils quatre au temps des dinosaures alors qu aucun esprit n avait invent les chiffres Il faut me semble t il red couvrir ce que les philosophes grecs
18. des Elles sont repr sent es par une formule math matique savante qui nous a permis de savoir que le carr de w est gal a la probabilit de pr sence de l objet en question Plus personne n y comprend rien Eh oui plus It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Ee Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy personne n y comprend rien Mais on a compris qu on ne comprenait pas Autrement dit on a compris que la mati re n tait pas ce qu on imaginait qu elle n est pas faite de tous petits cailloux La mati re est plut t faite d ondulations de chocs dans l espace en fonction du temps Voil un effort consid rable pour tre plus lucide c est dire pour comprendre enfin que l on avait cru comprendre et que l on n avait pas vraiment compris La connaissance est moins une accumulation de savoirs que la capacit d interroger correctement l Univers encore une chose que l on n apprend nulle part Nulle part on ne vous enseigne poser correctement des questions Or la science est une discipline de remise en cause permanente L art de poser des questions fausses ou inad quates des questions auxquelles les connaissances d une poque ne permettent pas de r
19. e forment partir d images et les images viennent de perceptions sensorielles On lit une solution d un exercice pour entendre ce qu on dit et la fa on dont c est dit Si c est acoustique Il s agit d une intensit rythmique travers laquelle quelqu un transmet une r solution qui est la sienne C est se laisser convaincre par la d monstration les concepts dans un certain ordre assembl we Aix Wer 3 b Yes a c It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that 9 We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy Barack Obama un Ma tre dans l art de la rh torique po tique Barack Obama devant les jeunes Fran ais et Allemands dans le Hall du Gymnase du Rh nus de la ville de Strasbourg ce vendredi 3 avril 2009 J coute Barack Obama pendant la r daction de ce document et je veux dire quel point il est loquent Et que d une certaine mani re l loquence n est plus la L loquence politique est absente de nos soci t s Nous sommes nous les citoyens sevr s de langue sevr s de belle langue Nous n entendons plus que de l information grise plate nulle sotte r p t
20. ense moisson d informations qui me parvient pour ne conserver que celles qui me permettront d avancer En tat de vigilance je garde continuellement l esprit l ensemble des interrogations en rapport avec mon sujet d analyse A chaque fois que dans un nouveau chapitre je recueille une nouvelle donn e je me demande si et en quoi elle pourrait clairer ma lanterne et faire progresser ma recherche Un terrain particuli rement fertile pour mon enseignement se situe la fronti re entre des domaines apparemment sans rapport entre eux Pour cette raison entre autre la culture scientifique est un l ment fondamental de l apprentissage du m tier d enseignant Un pr alable que j estime indispensable Souvenons nous par exemple il y a environ plus de cent dix ans en 1895 quand on a d couvert l lectron l poque on a pens que cette petite chose qui tourne autour du noyau d un atome tait un tout petit caillou C tait un brin de mati re cela semblait une vidence Eh bien plus de cent dix ans plus tard on ne pr sente plus du tout l lectron comme un brin de mati re Et pourtant cette conception erron e figure toujours au programme des lyc ens Aujourd hui nous pouvons avoir un regard lucide sur cet objet L lectron nous disent les physiciens est un paquet d ondes Qu est ce que cela veut dire Cela signifie que c est un endroit o il y a des ondes qui s accumulent Mais que sont elles ces on
21. est le fait que ces deux mouvements mentaux soient obscur ment coordonn s Voici maintenant une version r vis e mais toujours accessible de la d finition Une suite S converge vers si quand on prolonge la suite on peut r duire ind finiment la distance entre S et L image est celle d une mer d un bleu profond sur laquelle un bateau est port vers un phare par le mouvement des vagues la distance entre le navire et la c te inexorablement raccourcie Ce qui peut vous faire penser comme a a t le cas pour des g n rations de Math maticiens que la convergence s articule autour d une distance fixe mais tr s tr s petite C est ce point pr cis que les fant mes translucides des nombres infinit simaux viennent hanter momentan ment l expos La d finition de la limite leur permet enfin de reposer en paix Soit un nombre r el positif que nous laisserons repartir vers la mer et ses murmures Dire que la distance entre le navire et le phare peut tre ind finiment r duite revient dire que quelle que soit la valeur e il finira par y avoir un mouvement des vagues qui poussera le bateau jusqu un point s par du phare par une distance inf rieure e Notez le double jeu capital qui se pr sente presque comme une incantation ou une chanson de marin quelle que soit la distance requise on peut trouver un mouvement qui convienne L id e passe maintenant des navires aux suites S converge vers une
22. h o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy ph nom nes L explication tient en ces quelques mots les Math matiques permettent d extraire la structure logique commune de nombreux faits diff rents Je retrouvais effectivement ce que Galil e avait d couvert quatre si cles auparavant et qui lui faisait dire que les Math matiques sont le langage de l Univers Ce fut au XX si cle le credo d Einstein Retenons toutefois que les Math matiques ne sont pas un langage purement servile il est apparu qu elles ont une autonomie propre qui peut les rendre f condes dans d autres disciplines J insiste bien plus tranges encore que celles que l on pourrait qualifier d utilitaires et qui servent d crire les ph nom nes physiques on d couvre des Math matiques qui semblent exister par elles m mes ind pendamment de toute r alit perceptible Un exemple x le fameux trois quatorze seize 3 1416 Les g om tres grecs l ont d couvert et relativement bien calcul Sa valeur exacte est aujourd hui connue avec une pr cision extr me Au palais de la D couverte Paris les premi res centaines de chiffres qui le composent couvrent un mur entier Comment a t on pu les conna tre En fait on a d couvert que ce nombre m peut tre cal
23. i les fonctions continues 2r p riodiques est de se demander pour quelles fonctions il suffirait d avoir le r sultat Les deux membres de l galit d pendent lin airement de f semblent stables par limite uniforme Ne pourrait on pas approcher f par des polyn mes trigonom triques en appelant Stone Weierstrass pa gi la rescousse Ou bien passer par les fonctions continues 2m p riodiques C par morceaux Ma solution Les deux membres de l galit d pendent lin airement de f et sont stables par convergence uniforme en f On peut donc tablir le r sultat pour les polyn mes Ld f al trigonom triques l tendre aux fonctions continues par morceaux puis aux continues ipx a 1 2 Pour f x e cospx isin px ona aaa T f t dt 1 si p 0 0 si p 0 It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Ee Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy n 1 Pour p 0 donc f 1 ona 7 fx ky 1 d o l galit dans ce cas k 0 Pour p 0 n l i j k 1 n a ipx a gt e Pixtky Fa 71 k 0 Feo 2a Or e j 1 est exclu sinon il existerait a dans Z tel py 2an et T ce Q on a donc une progression g om trique de rais
24. inkx lt a a 4 1 x lt q nt p 1 ee 3 we K n p l k n p l sin sin 5 4 2a n pt 1 On a donc avec qg gt n pt1 et x 0 27xl LD a sin kx lt pe x S k n p l St i 2 De pl lt lt dans 0 Z e J0 e plus 4 1 S Rel pT onc pour x dans 0 r comme z 0 zl intervalle o on a sin y Y ona finalement avec p 21 et q 2 n p 1 I in kx lt ik amp ote gt a sin kx lt pex ao See on k n p l 1 25 1 Soit alors x 0 n etp 1 E 5 ona 1 2T pels RA pa ou px 1 x Wr et p 1 x lt 1 x gt 1 d o ___ lt 2r etla p 1 x majoration q ba a sinkx lt e 1 3z valable pour tout x de 0 z mais aussi en 0 et x donc k n p l le crit re de Cauchy s applique uniform ment en x It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Ee s Affinit s Electives _ Th o H ik VUn Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy Exercice 5 Soit f continue 27 p riodique de R dans R ety dans 0 27 tel que g Q 1 n 1 1 ae safe Montrer que lim D fx ky m a nt gt Fo k 0 L acte de l intelligence cr atrice Une approche possible quand on veut un r sultat valable pour tout l ment f d un ensemble E ic
25. itive etc plus personne n est dans la tradition loquente des hommes politiques d autrefois Et le peuple dont je suis adore cette musique l et d une certaine mani re Barack Obama a de l loquence de la rh torique de la musique Il a pour ainsi dire du nombre Autrefois ce qu on appelait du nombre c est au fond l utilisation du langage tel qu il est port par un certain type de musique Et Barack Obama a cette musique l Il a cette esp ce de don de la parole de la rh torique qui fait qu il emporte l adh sion des gens qui l coute Il renoue ainsi avec la grande tradition des rh teurs de l antiquit On croit entendre Cic ron on croit entendre les orateurs antiques Barack Obama utilise la langue anglaise avec une sorte de bonheur qui emporte les foules Il a un corps parlant et m me sans entendre ce qu il dit si on entend la musique on est d ja s duit On est s duit par son corps habit par la parole Je regardais ses paules sa mani re de se tenir ses bras ses gestes la fa on dont il a de se mouvoir Barack Obama a un corps parlant et renoue avec les conteurs anciens et peut tre les griots Africains Pr cisons Dans les villages o la tradition orale est seule garante de la transmission des savoirs les mages les griots les sages les philosophes les vieillards ceux qui It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkne
26. ix A f t sin f dt 0 on aura pour le m me e gt 0 Je p que p r B p l existence de ne tel que Vn ns i A f t sin pdt lt eet a fortiori i o f t sin pdt lt 2e donc la limite cherch e sera nulle R solution Remarque l nonc reste tres vasif sur f si ce n est que son th tre des op rations est R Il me faut donc valuer les cas o f est constante r gl e voire Darboux int grable Or pour f t constante k sur 0 A ona It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that 7 We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de I Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy k Oar ee if A f t sin A bdt 7 1 cos A Ceci tend vers l infini car tend vers n l infini par hypoth se A ce qui justifie d ailleurs 0 Par lin arit de l int grale et des limites si f est en escalier _ une fonction d finie sur un intervalle et qui ne prend qu un nombre fini de valeurs sur cet intervalle et qui a un nombre fini de points de discontinuit s est appel e fonction en escalier _ on a lim fA f t sin pdt 0 n 00 A Les fonctions continues de R dans R sont r gl es et remarquons que f r gl e est limite
27. l me pla t de dire que j ai particuli rement t marqu par la puissance intellectuelle de ce grand Ma tre une articulation de la pens e frisant le g nie un regard per ant et critique une imagination p n trante une grande ind pendance par rapport aux id es la mode une d lectation intense les renverser Au cours de mes tudes j imaginais sans peine l motion de certains grands scientifiques Mais au del de cette motion profonde ce qui m impressionna le plus fut de d couvrir la puissance de l esprit humain et de l outil dont il s est dot les Math matiques Le fait qu une simple formule alg brique puisse nous donner le mode d emploi pour accomplir un tel exploit provoqua en moi comme un sentiment It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy de vertige Je n en revenais pas Et d ailleurs je n en suis jamais revenu Dans mes travaux de recherches j ai souvent tent d tablir les quations d crivant un ph nom ne encore inexpliqu Les quelques tr s rares fois o j ai r ussi o je suis arriv prouver mes conjectures j ai retrouv
28. membering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher ES Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy veiller en nous une intuition subite qui nous d tache des lourdes stabilit s Il peut nous permettre de voir au dessus du mur sur lequel butait notre regard Bien entendu cela se travaille tous les jours le plus souvent par des exercices relativement simples Voyons le sur deux exemples Exercice 4 Soit une suite r elle d croissante convergeant vers 0 4 N a _ Montrer que a cos nx converge lt a converge q n 8 n 8 n gt 0 n gt 0 B _ Montrer que gt a sinnx converge uniform ment lt gt na tend vers 0 n20 L acte de l intelligence cr atrice Les a tant positifs le a ne pose pas de probleme Pour le B il est bon de se rappeler qu une convergence est uniforme si et seulement si le crit re de Cauchy est v rifi uniform ment ce qui permettra peut tre avec 2 T l in galit due la convexit sin x 7x sur 0 5 de passer des 4 sin nx des des n a en choisissant convenablement x Enfin quand rien ne marche pensez une transformation d Abel pour d bloquer la situation It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides tha
29. on diff rente de 1 donc n 1 ipx ipn y 3 oipix ky e 4 e 1 a gi ipnx y 2 A pny o iPx e 21 sin 2 x 2 1 e OF sin X 2 TN sli eP ipn 2 xe X y sin quantit qui dans C tend vers 0 si n tend vers co Il en r sulte que l galit est valable pour les fonctions du type x cos px ou x sin px donc par lin arit pour les polyn mes trigonom triques It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher 27 Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy Puis si f est limite uniforme de fonction g continues 27 p riodiques v rifiant rrelIN l galit alors f la v rifie En effet posons HU gt thes et n 1 lt af If gile gt gt fem g n Ls k 0 Soite gt 0 3r telqueVr2 ry llf g ll lt e en particulier 0 1 1 lt 7 x2nxe xAwe 2 2T n l 8 E puis pour fo fix any Vn gt n Ig 6 do VAE ny ol lt 3s on a bien 0 lim 1 f 0 c est dire l galit pour f n gt oo Mais alors on peut conclure rapidement si on sait que f continue 27 p riodique est limite uniforme sur 0 2x de polyn mes trigonom triques gr ce au Th or me de Stone Weierstrass
30. pts sont li s les uns aux autres la coh sion des lois et leur sym trie intrins que Le Math maticien qui mod lise s attache a un morceau de r alit et non la totalit Il commence aux endroits o le contact est le plus fort qui sont autant de sommets de l uvre il s attaque l endroit o na t quelque chose de nouveau et tout le savoir de son outil il le consacre aux myst rieuses manifestations qui accompagnent le devenir d une chose nouvelle Il travaille quasiment la lueur des clairs qui jaillissent en ces points et de tout l difice il ne voit que les parties qui en sont clair es C est ce qui m incite crire et mod liser pour tre en contact direct avec la r alit pas n importe laquelle selon des choix pr cis L criture voire la mod lisation pour moi c est le r el le plus vivant l instinct du temps les situations les partenaires les rencontres et a s crit a se mod lise Le charme d une particule soumise un coulement de Stokes intitul Mod lisation d une particule non axisymetrique Th o H ikay PDF r side dans la r partition sage et quitable de la vie des concepts en observant la danse des particules on a le sentiment qu partir des surfaces en contact des ondes partent la dans les turbulences tout enti res des frissons de beaut et d nergie De la vient qu on croit It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides
31. rties de la th orie s ordonnent aussi inversement en un seul organisme lorsqu elles sont jointes ensemble par une n cessit intrins que Par exemple au 19 siecle Charles Fourier essaie de comprendre le comportement de la chaleur Pour d crire l volution de la temp rature d une barre m tallique chauff e a une extr mit il produit un nouveau chapitre des Math matiques l analyse en s ries de Fourier bien connue de tous les It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy scientifiques contemporains Einstein nous ouvre l acc s au monde trange des toiles super denses ainsi qu aux premi res secondes de l Univers gr ce sa th orie de la relativit g n ralis e formul e en 1915 Dans ce pur chef d uvre de la pens e humaine on peut y voir les traces de la g om trie non euclidienne invent e un si cle plus t t par Gauss et Riemann Ces deux Math maticiens allemands n ont jamais imagin que leurs travaux trouveraient un jour une place dans le monde des toiles Cette d couverte r v le que la Math matique est la grammaire de la physique c est d elle que r sulte la fa on inou e dont les figures et les conce
32. ss Teacher and Researcher Electives _ Th o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy savent viennent raconter mythes et cosmogonies qui sont les histoires fondatrices de la tribu Le parleur s installe souvent sous l arbre palabres et tout autour de lui sont install s ceux qui coutent et se nourrissent de la parole nonc e Et la voix qui se d plie se d veloppe se d ploie raconte baroque un r cit Je l admire par ce qu il a r invent le vieil homme politique loquent et rh teur Ce qui me fascine chez Barack Obama c est sa facult de rompre le d terminisme c r bral et d emp cher la stagnation de l intellect Exercice 3 Culturel a ia 2n a tude de la convergence Soit f x sa somme 2 nl Soit la s rie n 0 Existence et calcul de ie 7e fbdt Cet exercice est en quelque sorte un dialogue entre d Alembert Wallis Laplace Fubini et bien d autres n 2n C 1 x PES x 1 g Pour x 0 avec u x on par d Alembert gt ae g g an u 4 n 1P 2 n n tend vers 0 donc la s rie converge pour tout x r el 2 a 159 1x3x5x x 2n 1 x Un peu de culture I 1 ahh CS ee P ER 2x4x x2n 2 It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that 11 We belong to
33. t We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher a Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy Ma solution a _ Si la s rie des a cos nx converge pour tout x elle converge pour x 0 donc la s rie des 4 converge Si la s rie des 4 converge comme 4 tend vers 0 en d croissant les 4 sont positifs ou nuls et Vxek a COS nx lt a il y a convergence absolue de la s rie des A COS NX B _ C est beaucoup plus d licat Si la s rie des a sin nx u x converge uniform ment en appliquant le crit re de Cauchy uniform ment on a m Ve gt 0 dngeIN Vn2ny Vm 2n Vx ER gt u X Le p n 1 Prenons alors n2 ng Xn On pour p n 1 n 2 2n ona 1 lt lt 2 2h 2n T hed T 2 Pky E on lt 5 et par concavite sur 0 gt Sin x 2 donc T2n nn It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher 2 Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy En multipliant par a gt 0 toujours 4 tend vers 0 en d croissant et pour n gt No 2n 2n p m 2n obtiens gt a_sin px
34. t sous la forme d un ensemble disparate dans lequel il faut trouver du sens En tant que joueur j essaie de reconna tre celles qui s associent correctement pour faire une image coh rente Ayant par exemple identifi un fragment de la queue d un oiseau je recherche d autres l ments pour suivre assembler les diff rentes parties de l oiseau pour l avoir en entier Ses pattes montrent qu il est perch sur une branche Il faut reconstituer l arbre etc Peu a peu j assemblerai ainsi des fragments qu il ne me restera ensuite qu accoler pour r aliser une fresque o chaque morceau aura une place pr cise dans le paysage De la m me fa on le chercheur que je m efforce d tre se trouve confront a une multitude d observations diff rentes partir desquelles il tente d lucider le It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher ES Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de I Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy comportement d un th or me dans un domaine d termin la vie des concepts par exemple C est ce qui me permet de corriger le livre de l tudiant o ce parcours n est pas fl ch De plus je dois op rer un tri dans l imm
35. those who reject darkness Teacher and Researcher Les A s Electives _ Th o H ikay Agr g de I Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy F n ix sin t 2n x 2 n 2 a 1 Ox ixsint _ L int grale de Wallis donc partant de e n qui converge normalement en t x fix on a 5 n E E CL inya n gt 0 Les int grales pour n impair sont nulles fonction impaire sur x 7 il reste parit et sym trie par rapport 3 du sinus 2n J3 eixsint gy gt OD EAA i sin dt n 0 a Ot _ a an gt 2n oa 12 2 n 20 1 a D o f x 57 _ eS dt Mais alors fx lt 1 et l int grale impropre I u y f t dt converge pour s gt 0 C est la transform e de Laplace de f Je la note L f s y T e it sin u Er iu i 21 1 T y st pitsin u P 27 je WU dt du par Fubini et Soit y gt 0 Ona fy e f t dt 0 It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de l Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math
36. tilisation des th ories de jauge a t formalis e et entendue d autres types d interaction par deux th oriciens C N Yang et R Mills Ces th ories parlent le langage math matique puisque la notion de base qu elles utilisent celle de lagrangien n a de sens que dans le cadre du calcul int gral Une particularit de ces th ories est qu elles concluent partir d un principe fondamental d invariance et de sym trie la n cessit d introduire de nouvelles entit s en physique par exemple de nouvelles particules Elles sont donc capables It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Les Affinit s Electives _ Th o H ikay Agr g de Universit Ne pas reculer devant la grande m taphore de l avenir cette alliance incroyable entre la po sie et les Math matiques Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy d enrichir l ontologie de la physique En particulier c est avec elles qu on compte unifier toutes les interactions fondamentales de la nature La titia ASTAGNEAU Maths Sp MP Institution Sainte Marie __ Pouvez vous tre plus explicite sur le fameux sens math matique que vous souhaitez transmettre aux jeunes Ch re La titia Il semble qu aucun chemin logique n existe entre les faits et l id e th orique partir de la quelle ils prendront sens Les oui mais
37. uniforme de fonctions en escalier donc combinaison lin aires de fonctions constantes Soit f int grable sur 0 A si on suppose f r gl e il existe g en escalier telle que f gl lt d o IA JA fO sin pdt J A lat gdt x 1dt fA s t sin Pt A lt A JA sl sin h f dt et dny Y n 2 n P f g t sin h fat lt sg g en escalier d o Why f t sin pdt lt e l pour n 2 Ny On a bien la limite nulle lim A f t sin Qbdt 0 n 00 Si f est Darboux int grable il existe u etv en escalier telles que Vt e 0 A It is worth remembering if only for the sense of calm that it provides that 8 We belong to those who reject darkness Teacher and Researcher Ecole Doctorale de l Institut de Math matiques de Luminy u t lt f t lt v t et i v u lt penser aux sommes de Darboux Mais alors fA v t sin A fdt fA f t sin tdt est major e par ik A o t fp dt lt fA u lt s et comme i lim fA v t sin at 0 v enescalier on conclut comme pr c demment a oh if A f t sin badi 0 Onadonc lim if o f t sin bdt 6 n A La formulation d une hypoth se est un exercice actif et cr ateur non l enregistrement passif de r gularit s donn es Nous n argumentons pas des faits aux th ories si ce n est par le truchement de la r futation Les raisonnements se font partir de concepts les concepts s
Download Pdf Manuals
Related Search