HISTOIRE DE LA MÉCANIQUE Travaux Dirigés
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1. Chapitre 3 Chute des Corps et Principe d Inertie Galileo Galilei 3 1 La r sistance du milieu Dans cette partie on cherche pr ciser en utilisant les connaissances actuelles en m caniques quelles sont les grandeurs physiques sous entendues par Galil e lorsqu il parle de r sistance du milieu On s appuie sur les extraits des textes de Galil e pr sent s dans le recueil de cours 1 Dans le premier extrait des Discours concernant deux sciences nouvelles Salviati consid re la dif f rence de flottabilit d un corps dans des milieux de densit s diff rentes En utilisant vos connais sances actuelles identifiez la force laquelle Galil e fait r f rence 2 Dans l tat des connaissances actuelles en m canique moderne on sait que le mouvement de chute d un corps qui ne tombe pas dans le vide est frein par le frottement visqueux du corps dans le milieu Si l objet est une boule de rayon R la force de frottement visqueux s exprime F 67 Ry o 7 est la viscosit du milieu environnant et Y est la vitesse de chute de la boule La force de frottement visqueux le poids du corps et la force exprim e la question pr c dente sont donc les trois forces ext rieures qui s exercent sur l objet consid r a Faire un sch ma des forces qui s exercent sur le corps b En utilisant la relation fondamentale de la dynamique crire l quation diff rentielle reliant la vitesse u t de la boule2. la distance obtenue tait de 5000 stades 1 Faire un sch ma expliquant comment partir de ces mesures il est possible d estimer la circonf rence C et le rayon R de la Terre Donner l expression de C et de R et leur valeur num rique en nombre de stades 2 On cherche exprimer les incertitudes de mesures li es au calcul d Eratosthene a A partir de la mesure de l ombre port e d un objet vertical estimer l incertitude relative sur la mesure de l angle entre la verticale et les rayons du Soleil b En r alit Sy ne et Alexandrie ne sont pas tout fait sur le m me parall le la diff rence de longitude entre les deux villes est de 3 02 degr s Calculer l erreur relative sur la mesure de Vangle qu implique l hypoth se d Eratosth ne selon laquelle les deux villes sont sur le m me m ridien c Calculer la parallaxe du Soleil sur la Terre c est dire l angle sous lequel les rayons du Soleil sont vus en deux points oppos s sur la Terre On prendra le rayon de la Terre gal 6400 km la distance Terre Soleil gale 1 5 10 km et on supposera que le Soleil est ponctuel En d duire une incertitude suppl mentaire sur l angle entre les rayons solaires et la verticale du lieu d On consid re que les marcheurs professionnels entra n s de l poque les b matistes mesu raient des distances avec une pr cision de l ordre de 1 En d duire l incertitude relative et absolue su
3. ses d riv es temporelles Calculer u t en r solvant cette quation et en consid rant que la boule tombe sans vitesse initiale Montrer que la boule atteint une vitesse limite vo d terminer et que la dynamique di mouvement est fix e par un temps caract ristique 7 d terminer c Application num rique calculer vg et 7 lorsque la boule est sph rique de la rayon R 1 cm dans les trois cas suivants i la boule est faite de plomb et le milieu environnant est de l eau ii la boule est faite de plomb et le milieu environnant est de l air iii la boule est faite de li ge et le milieu environnant est de l air On donne masse volumique du plomb p 11 kg l masse volumique du li ge p 240 kg m masse volumique de l eau pe 1 kg l viscosit de l eau ne 107 Pass masse volumique de Pair pa 1 2 kg m viscosit de Pair na 18 1076 Pass 3 Commenter L cart des vitesses augmente avec la densit du milieu 4 Calculer v t lorsque la boule tombe dans le vide sans vitesse initiale 11 3 2 Les dispositifs exp rimentaux de Galil e 1 La chute libre une boule l ch e dans l air sans vitesse initiale d une hauteur h 2 m atteint le sol apr s un temps T a En vous aidant des r sultats des questions pr c dentes calculer le temps de chute T d une d un boule de plomb de rayon R 1 cm et d une boule de li ge de m me rayon b Calculer T lors
4. corrig s Table des mati res I EXERCICES AUTO CORRECTIFS 5 1 Eratosth ne Mesure du rayon de la Terre 7 2 Mouvement r trograde de Mars 9 2 1 Mod le des picycles faut tee ya BAD Eee oe len ee ee one An 9 2 2 Mod le h llocentrique a 4e 22 8 2 bb Hal EHI AS ne Le ee ea SR RUE EA 10 3 Chute des Corps et Principe d Inertie Galileo Galilei 11 3 1 La r sistance du milieu 11 3 2 Les dispositifs exp rimentaux de Galil e 12 4 Ren Descartes Les Principes de la Philosophie 1644 13 4 1 Analyse du document 13 4 2 Questions de synth se vo 4 a issus do ne RDO EDR dd EEA AEE EAA 14 II EXERCICES D EVALUATION 17 5 Isaac Newton Principia 19 5 1 Donc en tirant au centre S les rayons AS BS et cS les aires ASB et BSc soient gales 19 5 2 le triangle SBC sera gal au triangle SBc gt 19 5 3 le corps sera en C dans le m me plan que le triangle ASB 19 DA CONCLUSION msec uns So ane et ee GE SE RO A Me aa a ae a A A 19 6 Joseph Louis Lagrange M canique Analytique 21 Premi re partie EXERCICES AUTO CORRECTIFS Chapitre 1 Eratosth ne Mesure du rayon de la Terre Eratosth ne tait un astronome g ographe philosophe et math maticien grec du Ille si cle av J C 276 av J C 194 av J C Il fut nomm la t te de la biblioth que
5. d Alexandrie vers 240 la demande de Ptol m e III pharaon d Egypte Astronome passionn on dit de lui que devenu aveugle il se laissa mourir de faim ne pouvant plus admirer les toiles Source Wikipedia FIGURE 1 1 Le Monde connu selon ratosth ne La premi re mesure du rayon de la terre a t faite a Alexandrie en 235 av J C par Eratosth ne Il compara l observation qu il fit sur ombre de deux objets situ s en deux lieux Sy ne indiqu en rouge sur la carte et Alexandrie indiqu en jaune sur la carte le 21 juin solstice d t au midi solaire local C est ce moment pr cis de l ann e que dans l h misph re nord le Soleil occupe la plus haute position au dessus de l horizon Or dans une pr c dente observation Eratosth ne avait remarqu qu il n y avait 7 aucune ombre dans un puits Sy ne ville situ e peu pr s sur le tropique du Cancer ainsi ce moment pr cis le Soleil tait la verticale et sa lumi re clairait directement le fond du puits ratos th ne remarqua cependant que le m me jour la m me heure un ob lisque situ Alexandrie formait une ombre le Soleil n tait donc plus la verticale Mesurant l ombre port e Eratosth ne d duisit que l angle entre les rayons solaires et la verticale tait de 7 2 degr s Il valua ensuite la distance entre Sy ne et Alexandrie en se basant sur le nombre de journ es de marche entre les deux villes
6. UNIVERSIT PIERRE amp MARIE CURIE PARIS VI LICENCE 3 DE PHYSIQUE FONDAMENTALE HISTOIRE DE LA M CANIQUE Travaux Dirig s Documents tablis par Florence Elias et Julien Mozziconacci Pr ambule mode d emploi des exercices de travaux dirig s et articulation avec le m moire Les travaux dirig s visent analyser dans le d tail les textes pr sent s dans le fascicule de cours la lumi re des connaissances actuelles en m canique Ils permettront de refaire tous les raisonnements originels qui ont conduit la cr ation et l volution de la M canique au cours de son histoire Dans le m moire final on demande de prendre de la hauteur pour retracer l volution des concepts et raisonnements Le fascicule de travaux dirig s est comporte deux parties distinctes La premi re partie contient des exercices d application corrig s des notions d velopp es dans les chapitres 1 2 et 3 du fascicule de cours Les corrig s de ces exercices sont donn s dans un fascicule s par Comme pour tous les exercices auto correctifs il est fortement recommand de ne consulter la correction qu apr s avoir cherch r pondre aux questions des exercices par vous m me La deuxi me partie contient des exercices d valuation tr s proches des textes donn s dans le fascicule de cours La r ponse ces exercices doit tre inclue dans le m moire final Leur correction a donc t volontairement omise du fascicule de
7. corps dur d une part et avec un corps mou d autre part Article 41 R sumer la premi re partie de la r gle dont il s agit ici Comment comprenez vous la notion de d termination utilis e par Descartes et celle de mouvement Article 42 R sumer la seconde partie de la r gle dont il s agit ici R sumer cet article avec vos propres mots Quelle est la nature de l argumentation pr sent e par Descartes 13 Article 43 Notion de force rep rer dans le texte les phrases dans les quelles Descartes utilise le mot force Que repr sente votre avis cette notion dans le texte de Descartes Correspond elle la notion de force en m canique classique actuelle 4 2 Questions de synth se 1 Rappeler les grandes lignes du raisonnement qui a conduit Galil e noncer le principe d inertie Quelles diff rences voyez vous entre l approche de Galil e et celle de Descartes sur ce point Donner une d finition de la quantit de mouvement la plus proche de la notion de Descartes Quelles sont les diff rences principales avec la d finition actuelle Notion de repos et de mouvement quelle diff rence y a t il entre la conception de ces notions chez Descartes et chez Galil e Comparer les trois lois de la nature dans le texte de Descartes et les trois lois du mouvement nonc es par Newton dans Philosophi Naturalis Principia Mathematica 14 Extrait des Principes de la Philosop
8. hie Ren Descartes 1644 traduction fran aise de l abb Picot 36 Que Dieu est la premi re cause da mot vement et qu il en con servo tou jours une gale quantit en l univers LR LE ET EEE VIVO nh vn hk DAL L EU LEE LEON rs LES PRINCIPES LA PHILOSOPHIE SECONDE PARTIE DES PRINCIPES DES CROSES MATERIELLES Apr s avoir examin la nature du mouvement il faut que nous en consid rions la cause et par cequ elle peut tre prise en deux fa ons nous commencerons par la premi re et plus univer selle qui produit g n ralement tous les mouve ments qui sont au monde nous consid rerons par apr s l autre qui fait que chaque partie de la 16 Deuxi me partie EXERCICES D EVALUATION Chapitre 5 Isaac Newton Principia On s int resse la proposition I Th or me I de la seconde section des Principie de Newton retrans crite p 44 du fascicule de cours On cherche refaire en d tails la d monstration propos e par Newton Newton utilise exclusivement des d monstrations g om triques Nous utilisons dans l nonc les notations de la figure trac e par Newton p 44 du fascicule S est la position du centre de la force centrip te A est la position initiale du corps consid r et B C D E et F sont les positions successives occup es par le corps qui re oit une impulsion de la force centrip te chaque fois qu il passe en un de ces points En dehors de ces positions le c
9. ncipes de la Philosophie traduction fran aise de l abb Picot ci joints 4 1 Analyse du document Article 36 Quelles sont les grandeurs qui se conservent selon Descartes Comment ce principe de conservation est il justifi Article 37 R sumer cette nouvelle loi de conservation Comment Descartes justifie t il l nonc de cette loi Comment s articule t elle avec l article pr c dent Article 38 1 Identifier dans le cadre de vos connaissances en m canique classique la nature de la force de r sistance dont parle Descartes dans cet article Toujours dans le cadre de la m canique classique relier cette force une grandeur physique caract ristique de l air ou des autres corps liquides consid r s 2 En utilisant vos connaissances en m canique classique crire l quation du mouvement d un corps se d pla ant dans un liquide et soumis aucune autre force ext rieure que cette r sistance du liquide R soudre cette quation et montrer que la vitesse du corps diminue dans le temps Article 39 Quel nom donneriez vous cette seconde loi de la nature Comment s appelle la grandeur responsable du fait que lorsqu elle tourne dans la sonde la pierre tire et fait tendre la corde pour s loigner directement de notre main Article 40 Quel nom donneriez vous cette troisi me loi de la nature Comment dans le cadre de la m canique classique sont qualifi es ces rencontres avec un
10. ngueur 10 cm et dans le cas o la m me boule est faite de li ge On donne k 3 1078 kg m s 4 Discussion sur les frottements a En vous appuyant sur vos connaissances de m canique moderne donner la nature des frotte ments dans les trois cas consid r s par Galil e La chute libre La chute sur un plan inclin Le pendule b De ces trois dispositifs exp rimentaux lequel vous para t le mieux appropri pour mettre en vidence la loi de la chute des corps 1 Pour cela on remarquera que T T 1 et on d veloppera l expression de v t au premier ordre en t r 12 Chapitre 4 Ren Descartes Les Principes de la Philosophie 1644 Ren Descartes 1596 1650 a crit les Principes de la Philosophie en 1644 dont l objectif est de donner des fondements rigoureux la philosophie La physique cart sienne est fond e sur l identifi cation de la mati re avec la quantit g om trique la pesanteur et le mouvement sont ramen s une explication m caniste Sa description du monde est essentiellement cin matique le mouvement se trans mettant de proche en proche par contact Dans les Principes de la Philosophie Descartes distingue la cause premi re de tous les mouvements Dieu auteur de la nature des causes secondes appel es les lois de la nature qui r gissent le mouvement des parties de la mati re Le sujet porte ici sur les articles 36 43 de la deuxi me partie des Pri
11. om trique Montrer qu on n observe un mouvement r trograde de Mars que si le rapport des rayons et des fr quences angulaires de l epicycle et du d f rent respectent certaines conditions 9 3 Application num rique on donne R1 R2 1 5 Ti 1 88 ans Ta 1 an Calculer 6 Montrer qu un mouvement r trograde se produit p riodiquement calculer cette p riode 2 2 Mod le h liocentrique On consid re maintenant que la Terre et Mars tournent autour du Soleil immobile Pour simplifier les calculs on supposera que les mouvements des deux plan tes sont circulaires uniformes et non elliptiques et qu ils se produisent tous dans le m me plan On note 9 l angle entre un axe de r f rence l axe Sx et la direction Terre Mars Pour d crire le mouvement apparent de Mars vu depuis la Terre on cherche calculer langle 0 t On note S T et M les positions respectivement du Soleil de la Terre et de Mars Rr et Ry les rayons respectifs des orbites de la Terre et de Mars Or et Om les coordonn es angulaires respectives de la Terre et de Mars par rapport laxe Sa 1 Calculer 0 t en fonction des donn es du probl me 2 A quelle condition observe t on un mouvement r trograde de Mars Calculer la p riodicit d ap parition de ce mouvement r trograde On donne Rym 2 3 101 m Ry 1 5 10 m et les p riodes de r volution de Mars et de la Terre autour du Soleil Ty 687 jours et Tr 365 jours 10
12. orps n est soumis aucune force ext rieure 5 1 Donc en tirant au centre S les rayons AS BS et cS les aires ASB et BSc soient gales 1 Pourquoi peut on dire que la distance AB est gale a la distance Bc 2 En vous aidant d une construction g om trique d montrer que l aire du triangle ASB est gale Vaire du triangle BSc 5 2 le triangle SBC sera gal au triangle SBc 1 Pourquoi le corps se retrouve t il en C au lieu de c s il subit une impulsion de la force centrip te losqu il est au point B Faire un sch ma 2 Exprimer l aire des triangles SBC et SBc partir de leur base commune SB montrer que ces aires sont gales 5 3 le corps sera en C dans le m me plan que le triangle ASB D montrer que les triangles SAB et SBC sont dans le m me plan 5 4 Conclusion 1 Montrer en quoi la Proposition I est une g n ralisation de la deuxi me loi de Kepler 2 Identifier dans la d monstration de la Proposition I et dans ses corollaires les pr mices du calcul infinit simal 3 Comment Newton fait il le lien entre une force centrip te et la force de gravit ressentie sur Terre R f rence Le mouvement des plan tes autour du Soleil R Feynman D Goodstein J Good stein Ed Cassini 2009 19 20 Chapitre 6 Joseph Louis Lagrange M canique Analytique On cherche retranscrire dans le langage actuel de la m canique la d monstration de Lag
13. que la boule tombe dans le vide sans vitesse initiale 2 Le plan inclin a En supposant que les frottements sont totalement supprim s exprimer la vitesse de chute d une boule l ch e sans vitesse initiale sur un plan inclin d un angle a par rapport l horizontale b Calculer le temps de chute de la boule le long d un plan inclin de hauteur h 2 m et d angle a 10 degr s 3 Le pendule on consid re une boule de masse m accroch e un pendule de longueur l a On n glige toute source de frottement En appliquant le th or me du moment cin tique au point d attache tablir l quation du pendule qui relie le d placement angulaire 6 ses d riv es temporelles En d duire 0 t dans le cas 0 1 b Si l on consid re que le pendule est galement soumis un frottement visqueux de coefficient k le frottement de Pair il faut ajouter une force de moment k d0 dt l quation pr c dente R crire l quation du pendule en tenant compte du frottement de l air dans le cas des petites oscillations Pour r soudre cette quation on cherche une solution de la forme 0 t Oo exp Qt o o est un nombre r el et Q w i X est un nombre complexe de partie r elle w et de partie imaginaire A7 D terminer w et A Quelle est leur signification physique c Application num rique calculer w et dans le cas o d une boule de plomb rayon R 1 cm oscillant au bout d une tige de lo
14. r la mesure de C et de R en nombre de stades 3 La plus grande inconnue sur la mesure d Eratosth ne est qu on ne sait pas de fa on certaine quelle d finition math matique du stade cette m thode fait r f rence On effet on compte au moins 7 d finitions possibles a 1 Stade d H rodote 600 pieds Grecs 190 5 m b d e 1 Stade Olympique 600 pieds Romains 177 8 m Stade Chald en 375 coud es royales 750 unit s Gugea 198 4 m g 1 Stade Rhodien 5 6 375 coud es royales 165 3 m Pour chacun de ces cas calculer erreur comprise la valeur de la circonf rence et du rayon terrestre en kilom tres Comparer ces valeurs la valeur connue actuellement circonf rence quatoriale C 40 075 km rayon moyen volum trique R 6371 km Conclure Stade d Eratosth ne 300 coud es royales Egyptiennes 600 unit s Gugea 158 7 m o VY WH wae YH TZ FF eS ee pp Stade Ptol m en 400 coud es royales 600 pieds Ptol m ens 211 6 m Stade Italikon 600 pieds Cyrena ques 185 2 m Chapitre 2 Mouvement r trograde de Mars L observation du mouvement r trograde de Mars qui se produit observ de la Terre tous les 26 mois environ a t l origine d importants d veloppements de l Astronomie Ptol m e a d velopp le mod le des picycles pour rendre compte de ce mouvement en gardant la Terre au centre du monde Copernic a montr q
15. range pr sent e dans le recueil au deuxi me extrait de M canique Analytique qui conduit la premi re loi de Kepler 1 On consid re le probl me pos au d but de l extrait paragraphe 17 o un corps de masse m en mouvement est soumis une force radiale R r a crire le Lagrangien du corps en mouvement dans le syt me de coordonn es sph riques r Y b Ecrire les trois quations de Lagrange correspondant aux trois coordonn es sph riques en d duire les trois quations du mouvement 2 Montrer que la trajectoire du corps se fait dans un plan 3 Dans la suite on consid re que la trajectoire du corps a lieu dans le plan y 0 On consid re galement que la force radiale R r mF r a R crire les quations du mouvement dans ces conditions b En d duire la fa on de Lagrange une quation reliant det r et une quation entre et r c Montrer que la trajectoire est une ellipse dont on pr cisera les caract ristiques 21
16. ue le mod le h liocentrique permettait galement mais plus ais ment de reproduire le mouvement r trograde de Mars Enfin Kepler remarquant une diff rence syst matique entre la position de Mars issue du calcul Copernicen et celle mesur e par des observations astronomiques tr s pr cises a d duit que le mouvement des plan tes autour du Soleil devait tre elliptique Nous cherchons ici calculer le mouvement apparent de Mars observ de la Terre dans le mod le des picycles et dans le mod le h liocentrique 2 1 Mod le des picycles On consid re un syst me g ocentrique la Terre T est le centre immobile du mouvement La plan te Mars M tourne autour du point O qui d crit lui m me un mouvement circulaire uniforme autour de T Le rayon du cercle d f rent d crit par O autour de T est not R la position angulaire de O par rapport un axe fixe Ox passant par T est not e 01 O tourne la vitesse angulaire Q constante autour de T Le rayon du cercle d crit par M autour de O est not Ra la position angulaire de M par rapport un axe parall le Ox passant par O est not e 02 M tourne la vitesse angulaire Q constante autour de O 1 On note 9 l angle form par la direction TM et l axe Ox de r f rence Pour d crire le mouvement apparent de Mars vu depuis la Terre calculer l angle 6 en fonction des donn es du probl me 2 On consid re que les cercles sont parcourus dans le sens trigon
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