Extrait du livre - Editions Ellipses
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1. Par des articles qu il donne au Journal des S avans et par des Voir Sergescu 1995 et Mancosu 1989 10 Chapitre I m moires l Acad mie Michel Rolle est l un des porte parole les plus actifs des opposants Les probl mes soulev s concernent les r sultats obtenus le nouveau calcul serait inutile parce que les m thodes anciennes permettraient d obtenir les r sultats dont se pr valent les inventeurs pire il conduirait des erreurs et Rolle donne un exemple de courbe o selon lui des minima correspondant des points de rebroussement ne peuvent tre mis en vidence par le calcul diff rentiel Mais surtout Rolle met en cause le statut des diff rentielles et l usage des infiniment petits Dans le trait de L Hospital la diff rentielle alors appel e diff rence est la portion infiniment petite dont une quantit augmente ou diminue continuellement p 2 d autre part l une des demandes explicit es au d but du trait est que l on puisse prendre l une pour l autre deux quantit s qui ne diff rent entre elles que d une quantit infiniment petite p 3 Rolle objecte qu avec de tels nonc s on est amen consid rer au m pris de toute logique que la partie est gale au tout et dans les calculs les diff rentielles sont prises tant t comme des z ros absolus tant t comme des quantit s non nulles La n cessit d introduire les diff rentielles d ordre sup rieur2. es suivant leur signification g om trique telle int grale d pend en dernier ressort de la quadrature du cercle telle autre de la quadrature de l hyperbole Quelques exemples d quations diff rentielles sont trait s en liaison avec des probl mes g om triques ou physico math matiques Outre ce contexte g om trique 1l faut noter la pr sence des d veloppements en s ries enti res introduites d s la fin du premier volume Celles ci sont parfois pr sent es comme des approximations utilis es d faut d une expression exacte mais cela ne les emp che pas de jouer un r le th orique ainsi apr s avoir d fini les logarithmes l aide de l hyperbole Reyneau utilise les s ries pour d montrer la propri t fondamentale loga logb log ab 12 Chapitre I Les techniques infinit simales utilis es par Newton n ont pas connu le m me type de diffusion Les rapports ultimes des quantit s vanescentes sont utilis s dans les Philosophiae Naturalis Principia Mathematica uvre magistrale publi e en 1687 ils interviennent dans un cadre et une forme qui rel vent de la g om trie classique Le nom de Newton est aussi attach la m thode des fluxions tout en poursuivant les m mes objectifs elle met en uvre un symbolisme tr s diff rent de celui de Leibniz Elle est pr sent e notamment en annexe d un trait d optique en 1704 Le trait De Methodus Serierum et Fluxionem crit en 1671 a fa
3. une partie importante des travaux de D Alembert par l Acad mie de Berlin La r putation d Euler incita galement le jeune Lagrange isol Turin entamer avec lui une correspondance scientifique Joseph Louis Lagrange n a que dix huit ans lorsqu il envoie sa premi re lettre Euler le 28 juin 1754 pour lui communiquer une tude sur l analogie formelle existant entre le d veloppement du bin me a b et la diff rentielle d un produit du type d xy Il communique aussi ce r sultat Lagrange 1754 son compatriote G C da Fagnano 1682 1766 Malheureusement il apprend rapidement que cette analogie a d j t relev e par Leibniz d s 1695 Lagrange en est confus mais cela n alt re pas l estime d Euler et les deux hommes vont correspondre r guli rement constituant un t moignage d une valeur exceptionnelle sur l volution des relations personnelles entre deux des savants les plus minents de la p riode 1754 1775 Lorsqu Euler quitte l Acad mie de Berlin pour retourner Saint Petersbourg en 1766 c est Lagrange qui est choisi pour lui succ der comme directeur de la classe de math matiques poste qu il occupera jusqu en 1787 D Alembert a beaucoup contribu ce recrutement le 25 avril 1766 il crit d ailleurs Lagrange 4 Voir Taton 2000 p 263 Lbid p 284 16 Chapitre I le roi de Prusse me charge de vous crire que si vous voulez venir Berli
4. fragilise encore plus l difice ainsi les diff rentielles d ordre deux sont les quantit s infiniment petites dont croissent les diff rentielles d ordre un lesquelles sont d j des infiniment petits Et Rolle refuse cette hi rarchie des infinis dont il met en doute l existence Pierre Varignon s est rang dans le camp des d fenseurs du calcul leibnizien l t 1697 une des ses lettres Jean Bernoulli t moigne de la vigueur de la pol mique M le Marquis de l Hospital est encore la campagne de sorte que je me trouve seul ici charg de la d fense des infiniment petits dont je suis le vray martyr tant j ay desja soutenu d assauts pour eux contre certains math maticiens du vieux stile qui chagrins de voir que par ce calcul les jeunes gens les attrapent et m me les passent font tout ce qu ils peuvent pour la d crier Johann Bernoulli 1988 p 124 Rolle finira par rendre les armes et la querelle s apaisera apr s 1706 Un nouveau trait est publi en 1708 intitul l Analyse d montr e il est F condit s et faiblesses d un nouveau calcul 11 l uvre de Charles Ren Reyneau il conna tra une deuxi me dition sans grands changements en 1736 1738 Un premier volume est consacr l alg bre et ses applications g om triques Le calcul diff rentiel et int gral n intervient que dans le second volume L Hospital pla ait la d finition de la diff rentielle au tout d b
5. Chapitre I F CONDIT S ET FAIBLESSES D UN NOUVEAU CALCUL En 1684 Leibniz rend publiques les r gles de son calcul diff rentiel dans un article publi Leipzig par la toute nouvelle revue des Acta Eruditorum Il s agit d un article bref exposant rapidement la notation des diff rentielles leur mode d emploi et leur usage pour la d termination des tangentes ou des maxima La diffusion du nouveau calcul va se r aliser lentement elle se fera d abord par des crits ponctuels que Leibniz lui m me va continuer livrer et par les d veloppements apport s par ses disciples essentiellement les deux fr res Jacques Bernoulli et Jean Bernoulli En 1696 Paris est publi un premier expos syst matique du nouveau calcul L analyse des infiniment petits pour l intelligence des lignes courbes r alis par Guillaume de l Hospital et largement inspir des le ons que l auteur a re ues de Jean Bernoulli Il ne contient aucun l ment de calcul int gral mais il traite de nombreux probl mes g om triques relevant directement du calcul diff rentiel tangentes points de rebroussement points d inflexion d velopp es caustiques et il montre que les m thodes leibniziennes permettent d tudier les courbes transcendantes logarithmique spirales cyclo des Cependant le nouveau calcul est loin de rencontrer une adh sion unanime Paris une opposition se manifeste au sein de l Acad mie des Sciences
6. bre de termes Dans de nombreux autres cas des s ries sont obtenues par des moyens alg briques qui 14 Chapitre I restent occult s dans l criture d finitive ainsi une division suivant les puissances croissantes sera invoqu e pour aboutir une criture o le reste de la division ne figure pas 2 1 1 x x x 1 x et l on sera amen s interroger a posteriori sur les r sultats paradoxaux auxquels cette criture peut conduire si l on pose x 1 1 1 1 1 0 1 1 PEE AES EEN 1 1 Certains r sultats sont obtenus en faisant fi de toute fronti re entre le domaine des polyn mes et celui des s ries enti res Euler est particuli rement concern Dans un m moire crit d s 1735 il applique des r sultats connus sur les relations entre les coefficients et les racines d un polyn me pour traiter l quation sinx 1 en mettant cette quation sous la forme 3 5 xX 0 1 x gt e 1 2 3 1 2 3 4 5 Sa 2k 1 E E et en utilisant les solutions 1 r en quantit infinie il d montre des relations telles que 2 1 T 3 Dk o GkH1 2 8 Malgr les interrogations qu elles suscitent parfois de telles pratiques vont rester tr s pr sentes dans les math matiques du 18 si cle Le foisonnement des crits de Leonhard Euler la richesse et la vari t de ses inventions vont bousculer le paysage du nouveau calcul irriguer le champ des investigations poss
7. ibles et cr er un terrain in puisable de questions et de m thodes nouvelles sur lequel le calcul infinit simal se constituera en une discipline autonome initialis e par un ouvrage en deux volumes Introductio in Analysin infinitorum publi en Voir Leibniz 1989 p 436 4501 Varignon 1715 Euler 1740b F condit s et faiblesses d un nouveau calcul 15 1748 Euler est ce moment l directeur de la classe de math matiques de l Acad mie de Berlin poste qu il occupera jusqu son d part en 1766 pour retourner l Acad mie de Saint Petersbourg Il faut souligner ici le r le stimulant de ces Acad mies qui donnent aux savants un cadre dans lequel ils peuvent s occuper en toute s r nit de leurs recherches et sont en capacit d en diffuser les r sultats au monde savant par des publications r guli res Bien plus les Acad mies vont elles m mes susciter les recherches innovantes en attribuant des prix apr s la mise au concours des questions les plus d battues de l poque Ainsi D Alembert membre de l Acad mie royale des sciences de Paris depuis 1741 et qui avait acquis une certaine notori t la suite de la publication en 1743 de son c l bre Trait de dynamique allait gagner le prix du premier concours organis par l Acad mie de Berlin sur une question concernant la cause g n rale des vents Ce qui entra na une pr cieuse correspondance avec Euler et une publication d
8. ion des erreurs sera voqu jusqu la fin du 18 si cle par des math maticiens comme Lagrange ou Carnot sans que cela conduise il est vrai des apports fondamentaux En Grande Bretagne l moi est plus imm diat et plus profond Par exemple en 1736 lorsque Colson r alise la traduction anglaise de la Methodus il assure dans la pr face qu il a tent de satisfaire l auteur de l Analyst et de trouver des rem des aux principales difficult s soulev es Mais l uvre la plus cons quente suscit e par la critique de Berkeley est sans doute The Treatise of Fluxions publi en 1742 par Maclaurin L auteur d ploie beaucoup d efforts pour viter le recours aux infinit simaux dans les d monstrations La r f rence au temps et au mouvement in vitable dans la tradition newtonienne est d ment rapport e des axiomes liminaires Les r sultats fondamentaux sont obtenus par une double r duction l absurde la mani re des Anciens Mais regarder de pr s le nouveau calcul h rit de Leibniz et de Newton les difficult s li es la manipulation de l infini ne se posent pas seulement propos des diff rentielles ou des quantit s vanescentes des probl mes importants sont soulev s propos des s ries infinies dont le nouveau calcul fait un usage syst matique Par exemple pour obtenir la formule qui va porter son nom Taylor s appuie sur une formule finie dont il fait cro tre ind finiment le nom
9. it l objet d abord d une diffusion restreinte et c est sa traduction anglaise en 1736 qui donnera lieu la premi re publication imprim e Newton a nonc la formule du bin me dans une lettre du 13 juin 1676 adress e au secr taire de la Royal Society qui tait charg de la transmettre Leibniz il s agissait de prendre date pour une d couverte dont on trouvera une trace imprim e en 1685 dans un trait d alg bre d Wallis Enfin c est avec le formalisme et le langage des fluxions que Brook Taylor tablit la formule qui porte aujourd hui son nom et qui avec une notation actuelle donne le d veloppement de f x h selon les puissances croissantes de h Elle appara t dans la Methodus incrementorum directa et inversa partiellement consacr e au calcul des diff rences finies et publi e en 1715 On sait que des querelles de priorit se sont d velopp es au d but du 18 si cle entre les partisans de Newton et ceux de Leibniz mais pour notre propos il est surtout int ressant de noter que les travaux des deux math maticiens sont concern s par la critique d velopp e en 1734 par George Berkeley Depuis les crits de Rolle trente ans se sont coul s les m thodes infinit simales ont eu le temps de faire leurs preuves et d accumuler des r sultats spectaculaires et incontestables Berkeley ne va pas mettre en cause les r sultats obtenus des critiques de Rolle il va retenir celles qui concernent le
10. n pour y occuper une place dans l Acad mie il vous donne 1500 cus de pension qui font 6000 livres argent de France Voyez si cette proposition vous convient je le d sire beaucoup et je serais charm d avoir fait faire un grand roi l acquisition d un grand homme Lagrange uvres XIV p 61 Berlin Lagrange publiera une soixantaine de m moires sur toute sorte de sujets th orie des nombres alg bre astronomie et bien s r calcul diff rentiel et int gral En particulier il reprendra l analogie soulign e par Leibniz dans un important m moire publi en 1774 sous le titre Sur une nouvelle esp ce de calcul relatif la diff rentiation et l int gration des quantit s variables Lagrange 1774 ce m moire peut tre aussi consid r comme le point de d part d une tentative de fondement du calcul infinit simal sans recours l id e d infini Son aboutissement sera la Th orie des fonctions analytiques tape fondamentale dans l alg brisation de l analyse et qui devait pour son auteur r soudre les probl mes de coh rence pos s par le nouveau calcul Alors que celui ci continue montrer toute sa f condit de nombreux travaux vont galement se poursuivre pour en donner un expos qui mette ses fondements l abri des critiques On sait que cet objectif ne sera pleinement atteint que dans la deuxi me moiti du 19 si cle Entre temps Cauchy aura impos de ne manipuler que des expre
11. s objets sur lesquels porte le calcul Ces objets ne sont pas con us clairement On ne peut pas tablir des quations sous l hypoth se que des incr ments sont diff rents de z ro et dire ensuite que ces quations subsistent quand les incr ments sont nuls Une d marche qui se fonde sur des principes aussi obscurs ne peut pas tre exempte d erreurs Berkeley avance la th se de la compensation des F condit s et faiblesses d un nouveau calcul 13 erreurs et sur quelques exemples il tente de montrer que des r sultats exacts n ont t obtenus que parce que les erreurs commises se sont finalement compens es L ouvrage de Berkeley intitul The Analyst or a discours addressed to an infidel mathematician a une vis e philosophique et th ologique La pol mique reste parfois sur ce plan ainsi dans la pr face de la traduction fran aise de la Methodus Serierum et Fluxionem Buffon fait part de son indignation On tait tranquille depuis plusieurs ann es lorsque du sein m me de l Angleterre il s est lev un Docteur ennemi de la Science qui a d clar la Guerre aux Math maticiens ce Docteur monte en Chaire pour apprendre aux Fid les que la G om trie est contraire la Religion selon lui le Calcul de l Infini est un myst re plus grand que tous les myst res de la Religion Newton 1740 p xxxv Mais les critiques de Berkeley seront souvent prises au s rieux Sur le continent le th me de la compensat
12. ssions qui puissent avoir une interpr tation num rique en cartant par exemple les calculs sur des s ries divergentes puis plusieurs math maticiens auront fourni des constructions de l ensemble des nombres r els tandis que s imposera une d finition des limites en 7 la Weierstrass
13. ut de son trait Reyneau proc de de fa on beaucoup plus progressive Il utilise d abord les infiniment petits sans avoir recours au formalisme du calcul diff rentiel il obtient ainsi la tangente la cyclo de il tudie le pendule isochrone et dans un long plaidoyer il d veloppe un point de vue que Leibniz lui m me avait d j produit face ses contradicteurs le nouveau calcul consiste seulement d montrer directement ce que les Anciens obtenaient par une double r duction l absurde la modification porte sur la forme du raisonnement mais elle n te rien sa l gitimit Une notion de variable ou changeante est introduite elle est ancr e dans la g om trie c est une quantit qui augmente insensiblement ou qui diminue insensiblement dans la formation des lignes et des figures Reyneau 1738 p 152 La diff rentielle appel e plut t diff rence est alors l augmentation ou la diminution infiniment petite que re oit une quantit changeante chaque instant par une vitesse quelconque dans la formation d une ligne ou d une figure p 152 La notion d pend donc de la g om trie elle fait aussi appel l id e de mouvement et il y a peut tre l chez l auteur la trace des apports newtoniens mais le formalisme et les calculs qui suivent restent fondamentalement dans la lign e de Leibniz Reyneau introduit des l ments de calcul int gral Les quantit s transcendantes sont le plus souvent class
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