(i.2) E - E p v A n ^ t U h - Institut de Mathématiques de Jussieu
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1. S 7 ard sg 541 zi S D MONSTRATION On applique la Proposition 5 1 avec di 1 d d 1 et Ej 2 0 v lt do On prend pour W la droite d Z0 Zi t Zda 0 de C On peut minorer T 1 do 1 1 par T do 1 car T est entier La Proposition 5 1 fournit un sous groupe alg brique connexe G de G de codimension 6 LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 195 o gt 0 Ona G W x 1 ou G W x Gm avec W sous groupe alg brique de G sous espace vectoriel de K de dimension v do 60 De plus 0 siG D Ga x 0 x Gm qr ees dime W Wn To K E 1 sinon SiG W x 1 onar 1 60 6 1 6 1 donc d v comme d 6 vi do 60 dj 6 vto on trouve T do v PAESI Card Z G G do I SH ce qui donne la premi re des conditions Si G W x Gm on a o 6 6 0 donc d v 1 et d 6 FDE do 60 di 6 vI 1 de plus W Z K doncv lt do Alors si W 3 1 0 0 c est dire r 1 on trouve T v 1 Cardsy Eu lt do DS do 1 ce qui est la seconde condition tandis que si W 5 1 0 0 on a T 0 et on trouve v 1 Card sy Es lt do 135 ce qui est la troisi me condition n Dans ce texte nous utiliserons uniquement la cons quence suivante du Corollaire 5 3 COROLLAIRE 5 4 Soient s d et n des entiers avec 0 lt s lt netd s2. 2 1 1 uy 4o c L Y1 lyg e pe OE n Yal a 2n 2a n 1 2 n uy tyr x 15 2 WE HE NM 212 MICHEL WALDSCHMIDT Voici le choix des param tres 71 Y4 et u pour n 2 3 4 avec les valeurs correspon dantes de Y3 Yo et Y2 d abord pour g 1 puis pour g 2 nous donnons aussi les valeurs pour n 5 qui r sultent des choix ci dessus Pour 71 Y4 et u les valeurs sont exactes sauf Y4 pourn 5 o la valeur exacte est 1 29cs avec e 29cs lt 2 10715 tandis que pour Y3 Yo et Y2 les valeurs sont arrondies Pour n gt Sona 3 3 3 4 lt 4 1 7 1 2o 1 amp 7 et 8e o 8e 147 On prend maintenant 2 n n C3 53 p C2 Can 2 f g g C1 m 1 o C4 wu 1 o f f puis amp n Yi 4 107 LI 1 1 3 mS Ts A Ww v Le rs Ys t uo a t 103c 1 2 v 75 1 lt c I 2 1 152 JAE n et C VE e E Un petit calcul fournit les majorations suivantes g 2 et 1 I lt 2e 1 t D pour n gt 6 n LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 213 c V rification des contraintes 2 1 2 6 et 2 13 2 16 Les conditions 2 1 2 2 et 2 3 sont v rifi es par hypoth se Comme Z 275 avec d une part D Zo gt log max 1 E et Zo gt log c 4e d autre part 8 8 gt logE gt 4o 2 D nie D les in galit s 2 4 sont satisfaites Ensuite on a ix 132 G 1 Go gt An 1 A n n 4 Go gt ma
3. OE y og 55 car bB gt B gt 2Y on ajoute cette in galit Y log2 gt Xlog 5Y et on trouve Viog 77 gt Xlog 777 D autre part comme B gt 2Y gt 2 et que b gt l onab 42 lt 3b lt 3bB 24 et B t lt bB 1 d o M lt 5bB 24 Finalement Ylo 2 zii M g y og M D MONSTRATION DU COROLLAIRE 10 4 Il n y a pas de restriction supposer qu aucun des b ne s annule On num rote les A de telle sorte que A A soit le plus grand Commengons par le cas plus facile g 1 on peut alors supposer que les nombres r els 1 sont tous positifs On prend les logarithmes usuels on a log a h a DlogA 1i n ce qui permet d utiliser le Corollaire 10 1 avec f 1 e g l E eet Zo 7 31logn 1 log D Go max 4nZo log 2DB on obtient 1 z o ach 1 gt 7h logo brlog an gt exp C n Uo avec Uo D Z0Go log A logA et C n T 1 2 n 1 4 ey a Si log 2DB gt 4nZ on obtient le r sultat annonc car log 2DB lt 2 log DB et C n gt 2 7 3logn C n b Si 2e D lt 2DB lt e on majore Go par 4 Go 4nZo lt 4n 7 3logny 1 log D lt AU 3 log n log DB l in galit T 1 7 31og n 1 e lt 27 5 montre que la constante C n satisfait 4 _ C n gt EIU 3 logn C n c Enfin si B lt e D ona DB e ju Cin ps log DB 5n Sn 222 MICHEL WALDSCHMIDT On utilise l in galit de Liouville sou
4. Par hypoth se le polyn me Q satisfait les conditions 5 2 avec 05 1 E 0 b us 0 0 0 1 0 0 0 b 0 O bs41 bn_1 f On utilise le Corollaire 5 3 avec do n 5s eta 1 d 1 0 v lt d Il nous assure de l existence d un sous espace vectoriel W de K de dimension disons v satisfaisant l une au moins des trois propri t s suivantes CAS 1 T Card p4 Zo lt d 1 SH CAS2 OnaO0 lt v d 1l W ne contient pas 1 0 0 et d 1 a T Card lt LS ar Sw Eo gt y CAS 3 Le sous espace W contient 1 0 0 sa dimension v v rifie 1 lt v lt d letona P Card LS ar SE EATEN r5 Nous allons tudier ces trois possibilit s successivement pour obtenir le r sultat d sir Montrons pour commencer que le premier cas ne peut pas se produire LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 197 Comme b appartient 1 mais pas Z 2L les l ments de l ensemble Eo et plus forte raison ceux de Xo sont deux deux distincts Si W 0 alors Card pay 20 Card D L la condition 5 5 montre que le premier cas est impossible avec v 0 Supposons maintenant v 1 d apr s le Lemme 3 1 on a Card p4 Xo gt Card a o D L gt Card D L max 4L ys or on a suppos S gt 4L 1 ce qui permet de d duire de 5 5 les minorations T Card D L gt d 1S4 H max 4L 1 et T Card p4 Zo gt d 1 SH Donc le premier cas est exc
5. avec C n B 24n 18 3n 6 si g l 26n 324 3n46 si g 2 LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 217 D MONSTRATION DU COROLLAIRE 10 1 Par r currence sur n on peut supposer que le Q espace vectoriel engendr par log 1 1log o est de dimension n 1 Il existe alors une unique relation lin aire tj logo t log 0 avec des entiers rationnels f j f premiers entre eux dans leur ensemble Le Lemme 4 1 de W1 donne la majoration max1ltil tl a x T avec T lt 9nD max log Aj J o le maximum est pris sur l ensemble des indices j 1 lt j lt n pour lesquels t 0 Nous distinguons alors deux cas PREMIER CAS t ZOetT 9nD logA On limine 5 en crivant LA biloga b _1l0g _ avec b fab bnt 1 j lt n 1 Comme t 0 les nombres log o log 1 sont lin airement ind pendants sur Q et on peut utiliser l hypoth se de r currence It A gt exp C n 1 o avec o max D logA D GoZologA logA 1 log E Go max 4n2 log M log D et M lt 2T M D max b 1 lt y lt n Pour 1 lt j n lona b lt MlogA ce qui donne M lt 9nD logA M On majore log t par log T lt o de telle sorte que A gt exp C n 1 1 o On utilise les in galit s suivantes DlogA gt logE Go gt nlog 9n Go gt log M Go gt log D DGo logE logA gt loglogA 218 MICHEL WALDSCHMIDT On trouve
6. 2n 1 3log D 220 MICHEL WALDSCHMIDT X 13 D log A log lt o S 1 10gD 10g Ec log A 2 f log E On obtient ainsi 2 5 Nous allons en d duire l in galit donc Ylog2 gt Kioe gt Il suffit pour cela de noter que X logA est toujours sup rieur 3 10 donc log X logA gt 12 5 et X 21og2 1 10 og TNT RUNDE x log A Pour conclure la d monstration du Corollaire 10 3 il ne reste plus qu tablir le lemme suivant avec log An B B b b LEMME 10 6 Soient X Y B des nombres r els positifs avec Y gt X gt Llet 5Y Ylog2 gt Xlog Soit b un entier gt 0 On pose B M b 7 2 Alors pour tout nombre r el 6 v rifiant 0 lt lt 1 2 ona XlogM lt B rlog D MONSTRATION DU LEMME 10 6 Etant donn que la fonction r elle de variable r elle positive x xB Y log x atteint son minimum au point x Y B nous sommes amen s distinguer deux cas 1 Pour B lt 2Y on doit v rifier l X log M lt B Y log 2b Or on a d une part b 2 lt 3b lt 3bY car Y gt f etd autrepart B lt 2Y 2bY Jf donc M lt 5bY On ajoute les in galit s Ylog2 gt Xlog 5Y 2 et Ylogb gt Xlogb pour obtenir 5bY Y log 2b gt Xlog gt Xlog M 2 S B gt 2Y on doit v rifier bB XlogM Y Ylog LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 221 On a cette fois ci bB bB Yl 25 gt XI
7. 7 log A logA o A1 A4 B sont des nombres gt e avec B gt DlogA 1 i lt n logA est un majorant de la hauteur logarithmique absolue de c et aussi de log 1 i n log B est un majorant de la hauteur logarithmique absolue de chacun des nombres 0 8n et D est le degr du corps de nombres Q a1 0 01 Bn La definition de la hauteur logarithmique absolue A d un nombre alg brique est rappel e au paragraphe 2 avant le Lemme 3 5 Enfin C n est un nombre positif qui ne d pend que du nombre n de logarithmes et peut tre enti rement explicit Le fait nouveau essentiel dans la m thode de Baker par opposition celle de Gel fond consiste exploiter le fait que les points de C en lesquels on a d riv la fonction ci dessus sont tous situ s sur une m me droite complexe On peut donc utiliser une formule d extrapolation valable pour les fonctions d une seule variable complexe et la d monstration comporte une r currence permettant d augmenter progressivement le nombre de z ros de la fonction auxilliaire On obtient ainsi A gt exp C n D log BY logA logA Les meilleures estimations actuellement connues cf B W1 BGMMS LMPW PW2 W sont de la forme A gt exp C n D log BlogA log An Pour obtenir cette am lioration on remplace 1 2 par une fonction de n variables lps l L 1 n n 1 dis i tAnDi Z ES P Ne
8. log E donne 2 H zs 2csDZH 2 2c3c5D GZ Dee ao U Uul F Dans les deux cas on obtient en utilisant la seconde des conditions 2 7 2eH D nM i T S ci max 5 7 1 Compte tenu de 2 4 ceci d montre 6 15 V RIFICATION DE 6 7 Pour 1 i lt n on majore EH Y L log par nc2U f cause de 2 3 Montrons que l on peut majorer L EH A par U Il s agit de voir que l on a 6 16 c E A DlogA 1 o est une racine de l unit alors T nDlogA D lt log o lt TE Sinon on a 107 lt h a lt nlogAn D autre part on a U gt DlogE et y gt L gt ei 772 v gt m 46 1 log 10nc gt ce qui permet de v rifier D e gt E gt noyE max 10 J nfE L in galit 6 16 r sulte ainsi de l hypoth se A lt e Pour compl ter la d monstration de 6 7 on majore 9 D n 1 par 2n Unecorrection due T Okada dans la v rification de 6 16 a t inclue lors de la lecture des preuves 202 MICHEL WALDSCHMIDT V RIFICATION DE 6 8 C est l hypoth se 2 8 en tenant compte de 6 13 et de l in galit S 1 H 1 gt esc4U log E V RIFICATION DE 6 10 On utilise les majorations cf 2 9 et 2 3 2 LH lt 220 DlogA lt exp qU D et L H log a nc3U fE On conclut en utilisant la d finition de U5 V RIFICATION DE 6 11 L in galit 6 11 r sulte des majorations S_DL Hh a noU et X d
9. 1 n IN 2 zlat o 1 2 2P exp D X Ib log J avec b log A lt M log A log A la minoration D GoZo log A log A logE gt 1 suffit pour conclure que 9 4 est bien satisfaite Ceci d montre la minoration de co dans 2 7 La minoration de c s crit en tenant compte des d finitions de c3 et cs l6y5n n D sen ed On constate en effet que l on a toujours choisi Y3 lt 11 e V rification de 2 12 2 8 et 2 17 Nous avons ramen la v rification de 2 8 2 12 et 2 17 celle de 9 2 et 9 3 Un calcul simple montre que notre choix de e avec e e4 et e4 nf n 1 e convient f V rification de 2 9 et 2 10 Notons d j que DlogA gt 1 et 2c2U lt c3cqU La d finition de U et les hypoth ses sur Go et Zo permettent d crire 2 2 2 2 U DGZ gt 2 1 DGoZo x 8 n 1 DZ n 1 D logE 2 lE URB on donc jj a Es 88 7 3ogn gt 134gn On a aussi iss U 2 1 x Uo 2Dlog E S n 4 1 n 1y D D U gt 88 DZ gt 8g Dlog ig gt 36Dlog Tr ce qui entra ne U gt 4DIlog D et U gt 2D log U On a choisit 7 de mani re v rifier z n ie 5 gt log c3 n logc et n n gt 2n log u Dw log 9 g V rification de 2 11 et conclusion Le Th or me 2 9 nous permet de conclure A gt e o v est soumis 2 11 On majore 1 fE par 1 f on pourrait faire mieux si on imposait une minoration f c
10. LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 193 On pose exp W Comme les groupes alg briques consid r s ici sont lin aires les constantes c et c2 de P peuvent tre prises gales 1 S il existe un polyn me non nul Q v rifiant les conditions de la Proposition 5 1 avec les bornes indiqu es pour les degr s alors il existe un sous groupe alg brique connexe G de G de dimension disons d 6 avec 0 lt 6 lt d c est dire G Z G tel que T 1 d Codim4 A N G Codima A N G Card E G G H G S H lt H G S H o s est un entier dans l intervalle 1 lt s lt 6 et o la fonction H G S H satisfait d apr s le Lemme 5 4 de P d 6 H 321 G S p E 0 Op Die do 69 di 61 et d H G S H S H B do di EXEMPLE Nous explicitons ici un exemple d application de la Proposition 5 1 avec ace Soient do gt 1 n gt 1 deux entiers 01 0 des l ments de K un sous groupe de Z et 1 des l ments non nuls de K D autre part soient S H T Li 1 des entiers positifs Rappelons que L est l ensemble des A 4 qui satisfont A Lj 1 i n On d finit une d rivation d 0 Do Y Xo Y sur l anneau K Xo Xa 1 Y de telle sorte que dans le cas K C pour tout polyn me Q dans cet anneau la fonction de d 1 variables complexes Floere Oiee
11. Udy 1 Xa 2 UgX y L espace vectoriel T K est de dimension d sur K une base tant donn e par les d d rivations d 0 0 0 a a 9X 7 0x4 O 9X 9X Soit G un sous groupe alg brique connexe de G Alors G s crit G x G o G est un sous groupe alg brique connexe de G i 0 1 On dira bri vement que G est de codimension 60 pour signifier que 6 est la codimension de G dans G Alors G est d fini par 69 quations lin aires coefficients dans K pyZpcccsSqayza 0 1 SJ o 192 MICHEL WALDSCHMIDT ce qui fait que Go K est un sous espace vectoriel de K de codimension 60 tandis que G est d fini par 6 quations monomiales exposants dans Z 0 S E zn S T4 ne 1 lt J lt 61 La condition de connexit se traduit par le fait que le sous groupe de Z engendr par les 0 l ments s Sa 1y Sd 1 lt j lt 61 est satur Ceci permet d identifier d abord G G avec Gio x G ensuite T K avec la somme directe To K To JG K Quand E est un sous ensemble de G K on d signe par E G G son image dans le quotient G K G K PROPOSITION 5 1 Soient E E des sous ensembles de G K contenant l origine W un sous K espace vectoriel de TG K de dimension t et T S H des en tiers positifs On suppose qu il existe un polyn me non nul de degr total lt S en les do premi res variables et de degr total lt H en les d derni res variables qui s annule
12. Xo Xi Xn Y E E D d5on amp 6 Xp TI AG 02 JY c h O0 208 MICHEL WALDSCHMIDT de degr lt S en Xo X1 X 1 et de degr lt H en Y tel que la fonction Fos OU zie sien v rifie 3 PO Aiba Abi An 1bn Anba cog 0 Ozo pour 0 lt r lt T et pour tout Z L Ce polyn me Q satisfait donc l hypoth se principale du Corollaire 5 4 Les autres hypoth ses de ce corollaire sont v rifi es gr ce au Lemme 8 1 en particulier la condition 5 5 r sulte de 8 5 Ce corollaire nous permet de trouver un sous espace vectoriel 7 7 de C de dimension v avec 2 lt v lt d 1 contenant b b b et satisfaisant Card sy Z L n 1 lt s V DEUXI ME UTILISATION DE LA MACHINE On peut donc maintenant supposer n gt 3 On remarque que Z L n 1 contient Z L 2n On choisit pour d le plus petit entier dans l intervalle 2 d lt n 1 tel qu il existe un sous espace vectoriel 7 7 de C de dimension d contenant b1 b et v rifiant n n n d 8 8 Card sy 7 L 2n lt 7 La codimension de V dans C est s n d on peut donc trouver un sous ensemble J de 1 n ayant s l ments tel que V soit intersection de s n d hyperplans d m S us GED igJ de plus comme b 0 et que bi bn appartient 7 on peut supposer n amp J noter qu il n est pas utile de connaitre la majoration fournie par le Lemme 2 5 de W4 Pour utilise
13. Z4 v rifie 3 z F z DoQ Go zi Za Zd Ozo On veut savoir s il existe un polyn me non nul Q K Xo X4 Y de degr total lt Sen Xo X4 et de degr lt H en Y satisfaisant DEQ 81 Anba o ay 0 2 5 2 pour toutr N avec 0 Tr T ettout 41 An D L Si W est un sous espace vectoriel de K de dimension v on note d une part K pw K x K SWINE 194 MICHEL WALDSCHMIDT la surjection canonique et E O10 4 nn aN cor A1 An 60 C K x K d autre part soy K K W la surjection canonique et E Qu01 0 1 An OL C K On choisit des nombres r els ao a4 v rifiantO lt ao lt X aa et aot cag lt 1 pour 0 lt v lt d on pose E Qu61 Bu aN oy A1 An D a L C Ko x K et E Qu 240 Qu An D aL C K Noter que l on a 2g 024 CART qup COROLLAIRE 5 3 S ilexiste un polyn me non nul Q K Xo X4 4 Y de degr total lt S en Xo X4 et de degr lt H en Y v rifiant les conditions 5 2 alors il existe un sous espace vectoriel W de K de dimension v tel que l une au moins des conditions suivantes soit r alis e 1 T Card p4 Z do 18 H 2 On a0 lt v lt do W ne contient pas 1 0 0 et do 1 geo 1 T Card sy Eu lt 3 Le sous espace W contient 1 0 0 il est diff rent de K et on a C lt
14. d variables fs5n z Yson L z avec l Voon W sone 1 lt 8 lt D o 0 On majore L r par E L et Ry oo par 1 d DLE S e car S ag lt e Ceci termine la d monstration du Corollaire 4 3 m LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 189 D MONSTRATION DE LA PROPOSITION 4 1 Nous notons abusivement Ao pour lt r 1 lt i lt d 1 et nous distinguons deux cas PREMIER CAS Supposons Aol lt r On va d montrer un r sultat l g rement plus fin ce sera utile pour le second cas dans la minoration de Uo on remplacera le terme stog RTE JI par Slog 2 7 r l On applique le Corollaire 4 3 avec EH U Uo Tig e 7 2 V Vo Uo U 1 et L Zo Zd 1 Zo o z1 Z4 1 ro T EH Pour utiliser le Lemme 3 4 crivons d W zo 2 gt Patio Se TT A A u c ijj euo 1 o s 0 la quantit que l on veut estimer n est autre que DAN Ten 2 F 0 Les in galit s de Cauchy donnent z vo lt ALL et le Corollaire 4 3 fournit la majoration W lt e On majore 7 r5 par EH et on remarque que les coefficients A 7 Tj 75 7 sont gt 0 ona T AGI 71 72 T7 EH A EH 7 Ty T 0 que l on majore gr ce au Lemme 3 3 par EH T Dre Ti Enfin on a T Le 5 Dole Ceci termine la d monstration du premier cas DEUXI ME CAS Supposons Ao gt r 190 MICHEL WALDSCHMIDT L argument que nous uti
15. et 7 6 permettent de majorer la longueur de ce polyn me par exp P U2 Soit vo la place archim dienne du corps Q o o correspondant au plongement de ce corps dans C associ au fait que les sont des nombres complexes Montrons que l on peut supposer dy g Sig 1 alors o exp log aj Ret d 1 Sid 1 alors 01 0 sont r els et log o log orj irk avec k Z Alors n A blog loj 2ink pel avec k Z Comme 77 b log oj R l hypoth se A lt e assure k 0 Dans ce cas quitte remplacer log a par log o on peut supposer g 1 Ainsi on peut utiliser le Lemme 3 5 avec d g la condition 6 11 fournit la conclusion QUATRI ME TAPE CONCLUSION Gr ce 6 12 les deux tapes pr c dentes mon trent que l on a v 0 pour tout O lt 7 lt Tj 0 n T et pour tout 1 Z L N V Posons pour 0 lt oo lt Set0 h lt H Pooh nM Dou 23 GSoh s H AQ b Anb 10i Il o O41 Tn 1 1 s 1 1 1 On a donc S H Va D 2 Pon00 AR T Ti T2 00 00 0 h 0 On utilise la seconde partie du Lemme 3 4 mun S r H 7 2 Po c Si k 0 09 0 h 0 r 00 pour 0 7 T et 4 n Z L 1 V Ceci termine la d monstration de la Proposition 7 2 E 206 MICHEL WALDSCHMIDT 8 D monstration du Th or me 2 18 On va utiliser la construction pr c dente une premi re fois avec d n elle perm
16. la d monstration du Th or me 2 18 9 D monstration du Corollaire 1 5 a Mode d emploi du Th or me 2 18 Avant de proc der la d monstration du Corollaire 1 5 nous donnons quelques explications sur le choix des param tres que nous allons faire pour v rifier les hypoth ses 2 1 2 17 Certains choix se refl tent dans l nonc du Corollaire 1 5 par exemple nous con staterons plus loin que nos param tres c3 et cs satisfont 4c3cs lt efn 4 on peut donc prendre cf e n 4e pour satisfaire la seconde partie de 2 7 et cause de 2 4 c est ce terme qui est directement l origine du 7 3 log n dans la d finition de Zo Dans cette m me d finition le terme g D logE vient de ce que nous allons prendre c est un choix arbitraire c g la deuxi me condition de 2 4 nous am ne naturellement prendre Z 22o Nous verrons que la condition 2 15 impose essentiellement G 2 n 1 Z n car c4 Sera voisin de 2c il est alors naturel de prendre cg 2 n 1c n Nous avons demand Go gt 4nZ nous pouvons donc choisir G 14 1 n Go Les contraintes 2 5 et 2 6 vont nous amener choisir cs 4g n 1 n tandis que 2 7 sera satisfait avec co 2e Dans les applications on peut g n ralement choisir les param tres cs cg et c plus grand ce qui am liore l g rement les estimations 210 MICHEL WALDSCHMIDT Quand on crit comme dans le paragraphe 7 b de W4 les termes pr po
17. n D d V rification de 8 5 On a Card Z L gt 2 1 1 1 avec cU log E iiu MED cin GDGlgA 45 5 0l En minorant U log E par D G log A avec 2 16 on d duit 2L p 2QU log E 2 a c3 a ac3D G logA i amp n 2c3 i n On d duit ainsi facilement 8 5 des hypoth ses 2 16 et 2 17 e V rification de 8 6 Si b appartenait Z 2L l in galit de Liouville Lemme 3 5 donnerait log A gt Dlog2 2D Lh a isl Mais alors les in galit s n 2 2 Dlog2 lt qU 2D Lha lt EU v gt 7 ic cxx C3 montrent que la conclusion du Th or me 2 18 est satisfaite D MONSTRATION DU TH OR ME 2 18 Supposons que la conclusion du Th or me 2 18 ne soit pas satisfaite PREMIERE UTILISATION DE LA MACHINE Nous utilisons la construction transcen dante conjointement avec le lemme de z ros pour montrer qu il existe un sous espace vectoriel V de C de dimension v avec 2 v lt n 1 contenant b b et v rifiant 8 7 Card s Z L n D lt S On remarquera que l in galit 8 7 est trivialement v rifi e dans le cas 77 C mais il s agit de la montrer avec un sous espace V de dimension lt n En particulier cette premi re tape termine la d monstration du Th or me 2 18 dans le cas particulier n 2 Pour d montrer 8 7 on utilise la Proposition 7 2 avec d n s 0 V C il existe un polyn me non nul l n O
18. n S T H L L des entiers positifs et b1 b des l ments de K avec b D et pgcd bi b 1 de plus soit V un sous espace vectoriel de K de dimension d con tenant le point b b1 b On d signe par sy K K V la surjection canon ique par e1 e la base canonique de K et on suppose que sqj e1 4 e est une base de K V On note Z N V on pose L L d 1 1 i n et on suppose que b n appartient pas Z 2L On suppose de plus S gt 1 4max L L Es lt T lt 2 d 1 SH et 5 5 T Card G I gt d 1 S H Enfin soient des l ments non nuls de K engendrant un sous groupe multipli catif de K de rang gt n 1 S ilexiste un polyn me non nul Q K Xo X541 X4 1 Y 196 MICHEL WALDSCHMIDT de degr total lt S en les d variables X0 X 11 Xh et de degr lt H en Y satisfaisant oQ c 0 pour O lt T lt T et pour tout o dans l ensemble 2 0 541 Dn e Anbs 1 tt n 1bn E Anbn 1 a Do a A P L a K X K alors il existe un sous espace vectoriel V de K de dimension r avec 2 r d 1 contenant b et contenu dans V tel que en notant sn K K V la surjection canonique on ait d r Card sy PL lt S D MONSTRATION Posons Eo 0 sb Anbs 1s An 1bn Anbn 1 D L C K et Eo 0 Asaby Anbsrt lt s An 1bn Anba 01 50 D L
19. 1 2 gt Tum gt D Ax lI eAitAnb zs X 0 X 0 au point h log o hlogo 1 La m thode transcendante commence par la construc tion de nombres rationnels ou alg briques pj p non tous nuls tels que pour des valeurs convenables des param tres L1 L T et H les valeurs de toutes ces Re u par les diteurs le July 11 1991 Classification de P AMS par sujet 11 J 86 Soci t math matique du Canada 1993 176 LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 177 d riv es en tous les points consid r s soient petites Les in galit s de Liouville entra nent alors que le syst me d quations 1 1 est satisfait Un lemme de z ros avec multiplicit s voir P ainsi que PW2 montre que le syst me 1 1 n a de solution non triviale p que dans des cas essentiellement d g n r s Par exemple si T lH lt Li Ln alors la situation est d g n r e puisque le syst me 1 1 poss de plus d inconnues que d quations Dans le cas n 2 il s agit de minorer une forme lin aire homog ne en deux loga rithmes et la m thode esquiss e ci dessus est celle de Gel fond G on peut l tendre plusieurs variables pour traiter le cas g n ral n gt 2 Cette pr sentation vite toute extrapolation si on construit la fonction auxiliaire en utilisant le Th or me 3 1 de W2 Quand on effectue les calculs on obtient une mino ration de A de la forme A gt exp C n D log B
20. 2 i car 3 2 U TE 1 D Us Uc Up c DU g g et T ug L zz Lb Ln b mU mme max zg MAX I e DD On note aussi d Q a Q 1 j n et on choisit une base 1 p de K sur Q form e d l ments de la forme o a avec 0 lt u lt dj etui tu D LEMME 6 1 Ona 6 2 Uo Vo 2 2 E gt e I Til T P log E lt o Uo Vo co P 2n log 1 0 Uo Vo log9 lt o Uo Vo D 107 6 4 Po gt log S H 1 ST 64 2 log SH 03 6 F037 107 6 5 P gt P EST log DS H 1 6 6 Ui gt S TY1 log E 6 7 Uo gt Po Ui U EH S L log a L EH A pl 6 8 gn 1 0 Ug Vo lt S 1 D H 1 Plog E 2n L H gt 2 6 9 U gt Slog e 1 Tlog 2e 7 2 6 10 U5 gt logQL H P U2 L H loga D D a 6 11 U4 gt E Je U PLH dh i l et 6 12 Us log2 lt Vo U3 Us log 2 lt VI 200 MICHEL WALDSCHMIDT V RIFICATION DE 6 3 Commen ons par v rifier 6 13 ugw Do uo vo et 1 u w 1 o uo vo La d finition de o s crit gu _ Do l u l donc les deux formulations de 6 13 sont quivalentes Elles se d duisent de tV 1 PEL 1 c8 u w ic d iem 0 VO HE ge D Q H D HS Enfin on a log2E qU D car U gt DlogE et 2 Il ne reste plus qu utiliser 2 10 avec la d finition de q uw n 2 V RIFICATION DE 6 4 ET 6 5 On majore d abor
21. 2 uw ci teat on tne t ug 37 et E 107c4 l C C4 n 2 12 W es ca i035 0 gta ttm Dans le paragraphe 8 il faudra en outre supposer DlogA 4c 2 13 gt m lt i lt n e BE eco cepe PEU DZ C 2 14 gt logE c3 1 c4 1 1 2 2 15 pus UC Ce n cics 1 D G n gt n 2 n 2 16 U gt max Tor E At CEE 7 2 GZ II log A log E et P 1 2 a c3 f d DOS NE CARA EN id 2 17 do 1 zi x n4 1 5 ct avec PR 3 sin 2 2n sin gt 3 Voici l nonc du th or me principal de cet article TH OR ME 2 18 Sous les hypoth ses 2 1 2 17 ci dessus on a A gt e Un mode d emploi de ce th or me est donn au d but du paragraphe 9 quand nous en d duirons le Corollaire 1 5 LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 183 3 Lemmes pr liminaires Nous utiliserons les notations et r sultats du paragraphe 2 de W4 l exception de la notation Z L qui ici d signera l ensemble des 41 n Z v rifiant lt L 1 i n quand L L1 L R L gt 0 Si P est un sous groupe de Z on note encore D L MN Z L Avec ce petit changement la d monstration du Corollaire 2 8 de W4 donne l nonc suivant LEMME 3 1 Soient K un corps de caract ristique nulle des l ments non nuls de K engendrant un sous groupe multiplicatif de K de rang gt n 1 un sous groupe de Z et Li L des nombres r els p
22. 4 qui reposait sur une autre m thode La diff rence principale vient de la d finition des deux param tres Zo et M qui fournissent ici un nonc plus pr cis Les autres diff rences avec W4 sont mineures plusieurs des arguments introduits ici peuvent tre adapt s W4 Ainsi on peut am liorer la majoration C n lt 2 j de W4 pour obtenir une estimation du m me ordre de grandeur que dans le Corol laire 1 5 Pour cela il faut raffiner la construction de la fonction auxiliaire Corollaire 3 2 de W4 d abord en introduisant le param tre g puis en reprenant l argument de Dong Ping Ping que nous venons de mentionner Ensuite il faut remplacer l in galit de Li ouville Lemme 2 3 de W4 par la minoration plus pr cise donn e au Lemme 3 5 ci dessous Dans les applications par exemple pour r soudre explicitement certaines quations diophantiennes il est important de disposer de minorations explicites pr cises ne con duisant pas des calculs de longueur prohibitive Jusqu pr sent les estimations les plus efficaces dans ce contexte taient celles de MW1 2 3 pour les combinaisons lin aires de 2 logarithmes celles de BGMM S pour n logarithmes avec n gt 3 LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 181 Les valeurs num riques que nous obtenons ici sont particuli rement int ressantes pour les petites valeurs du param tre n Notons ce propos qu une variante de notre d monstration permet d am li
23. 7 cela permettrait de gagner un facteur 21 et de remplacer 2 par 2 5 dans la conclusion du Corollaire 1 5 224 MICHEL WALDSCHMIDT R F RENCES B A Baker The theory of linear forms in logarithms Chap 1 de Transcendence Theory Advances and Applications ed A Baker and D W Masser Academic Press 1977 1 27 BGMMS J Blass A M Glass D K Manski D B MeronkandR P Steiner Constants for lower bounds for linear forms in the logarithms of algebraic numbers Acta Anth 55 1990 1 22 Problemes Diophantiens 1987 1988 Publ Univ P et M Cure Pans VI 2 88 31p G A O Gel fond Transcendental and algebraic numbers Moscou 1952 Dover New York 1960 LMPW J H Loxton M Mignotte A J van der Poorten and M Waldschmudt A lower bound for linear forms in the logarithms of algebraic numbers CR Acad Sci Canada 11 1987 119 124 Ma D W Masser On polynomials and exponential polynomials in several variables Invent Math 63 1981 81 95 MW1 M Mignotte and M Waldschmidt Linear forms in two logarithms and Schneider s method Math Ann 231 1978 241 267 MW2 Linear forms in two logarithms and Schneider s method II Acta Anth 53 1989 251 287 MW3 Linear forms in two logarithms and Schneider s method III Ann Fac Sci Toulouse 97 1989 43 75 P P Philippon Lemme de z ros dans les groupes alg briques commutatifs Bull Soc Math France 114 1986 355 383 et 115 1987 397 398 PW1 P Philippon et M Walds
24. Can J Math Vol 45 1 1993 pp 176 224 MINORATIONS DE COMBINAISONS LIN AIRES DE LOGARITHMES DE NOMBRES ALGEBRIQUES A la m moire du Professeur Theodor Schneider MICHEL WALDSCHMIDT RESUME On sait que la m thode classique de Schneider en une variable permet de minorer des combinaisons lin aires de deux logarithmes de nombres alg briques avec des coefficients alg briques Nous g n ralisons cette m thode en plusieurs variables pour minorer des combinaisons lin aires de plusieurs logarithmes ABSTRACT It s well known that Schneider s classical method involving functions of a single complex variable yields lower bounds for linear combinations of two log arithms of algebraic numbers with algebraic coefficients We extend this method to functions of several variables and deduce an estimate for linear combinations of sev eral logarithms 1 Introduction La m thode de Gel fond Baker voir par exemple B permet de minorer des nombres de la forme A 3 blogo 1 1 quand o et 8 1 lt i lt n sont des nombres alg briques avec disons 8B 1 Cette m thode fait intervenir des syst mes d quations de la forme Li 1 L 1 n 1 n 1 1 p LO D Pos 2x IIO An Il ah e 1 0 An 0 1 1 i l O lt 7T lt T A lt i lt n 1 O lt h lt H On interpr te le membre de gauche de 1 1 en disant que quand A est petit 1l est proche de la d riv e d ordre 7 74 1 de la fonction Lied of n
25. IQUES 223 On d duit donc du Corollaire 10 1 la minoration 1 CA ab 1 gt z b1 log i b log a l gt exp C n Uo avec Uo D ZoGo log Ao log An et n C n T 1 277 27 n 1 14 2ev r 1 On reprend les arguments du cas g 1 a Si log S3nDB gt 4 n 1 Zo il suffit d utiliser les in galit s 31 log zcnDB lt 2 log DB et C n gt 2 7 3 log n 1 C n b Si B gt amp D et nDB lt e on a 4 Go 4 n 1 Zo 4 n 1 743 log n 1 1 log D lt 3 10 7 3 log n 1 log DB l in galit 4 I z T D 7 31ogi D n DP 12e s 1 lt 29m montre que notre constante C n satisfait 4 gt C n gt 5G D 7 3 log n 1 in c Enfin si B lt e D on utilise comme ci dessus l in galit de Liouville avec la majoration Dlog2 nDBlogA lt C n D 1 log D log D log B log A log An B REMARQUES FINALES 1 Insistons sur le fait que pour une application num rique concr te si on veut une estimation num riquement pr cise il est certainement avan tageux d utiliser le Th or me 2 18 plut t que l un des corollaires pour lesquels nous n avons pas cherch obtenir des estimations tr s fines 2 On peut esp rer am liorer le lemme de z ros Corollaire 5 4 cf le calcul d une valeur optimiste des constantes au paragraphe 7 c de W4 si on pouvait y remplacer la condition L L d 1 par L L on pourrait prendre a 1 dans 2 1
26. Il i AU AI i 178 MICHEL WALDSCHMIDT La d riv e d ordre To 74 1 de cette fonction au point A h log hlog o 1 est proche du nombre alg brique Lo Ln i PM ud n 1 n AR 1 3 De S bs com IO 8 T e AGED Ac o To i Si on effectue les estimations brutalement on trouve log B log log B l o on attend log B pour obtenir le dernier raffinement on utilise les polyn mes de Fel dman Nous voulons ici obtenir des minorations de A par une g n ralisation de la m thode de Schneider S Le principe est expos dans W3 et dans le paragraphe 1 de W4 on transpose le syst me d quations Commen ons pour simplifier par transposer 1 1 nous sommes amen s consid rer le syst me d quations suivant T 1 T 1 1 4 us S olo exar fpa 7 0 Tn 170 h 0 Q A L E lt r lt n Pour n 2 on reconnait la m thode de Schneider qui nous a d j permis dans MW1 2 3 de donner des r sultats num riques beaucoup plus pr cis que ceux que l on d duit de la m thode de Gel fond Baker mais seulement pour des formes lin aires ho mog nes en deux logarithmes et avec une d pendance en la hauteur des 8 en log B Le lemme de z ros sans multiplicit s mais en version multihomog ne de Philippon P permet d affirmer que 1 4 n a pas de solution non triviale en dehors de cas d g n r s tels que UH Iph Il faut noter que le lemme de z ros correspondant l
27. Uot Vo 22 T Til siog 2 857 707 Tlog 77 2 LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 187 el gd 1 0 Uo Voy lt Sed DD H 1 P log E Alors il existe des entiers rationnels non tous nuls pgs 1 lt 6 D o N lol lt S 0 lt h lt H major s par max IPscnl lt e 6 0 h tels que pour tout uj ug 1 CT v rifiant I lt r QXiXd 1 et Ao u lt r et tout T1 Tj avec O T Ti O m lt D on ait Lu p g d P 5 2 P6oh 6ohA h Ti T n oo T1 A A u s evo l o cS 0 E L outil essentiel pour la d monstration de cette Proposition 4 1 est l nonc suivant que nous allons d duire du Corollaire 2 7 de W3 PROPOSITION 4 2 On suppose U V2 gt 2 P log 2E U V R Er 0Xi d P log9 2dlog 1 o U V o U V et gd 1 o U V lt S d 1 MPlogE Soient bou c N lol lt S 1 u lt M des fonctions analytiques d une variable complexe ayant des d veloppements de Taylor l origine coefficients dans K telles que les fonctions fon ws o L soient analytiques dans le polydisque D 0 R de C et v rifient M d 1 LE gt De a e fouln e lel s a Alors il existe des entiers rationnels po 0 N4 lol lt S 1 u lt M non tous nuls major s par max po lt el OL tels que la fonction M d l FQ Y X put Vl AAO 0 fu lol lt s v ri
28. a situation 1 4 est plus simple que celui de 1 1 puisqu il n y a pas de d rivations dans 1 4 Les principaux arguments pour le d montrer se trouvent d j dans le travail inaugural de Masser Ma voir en particulier p 94 Il faut encore construire des entiers q7 7 4 4r h non tous nuls satisfaisant 1 4 sous l hypoth se que 1 8 1 1 a sont alg briques et que A est petit On introduit la fonction de n 1 variables Q21es ed En De s 2 all ae Ti 0 Tn 1 0 h et on interpr te le membre de gauche de 1 4 en crivant qu il est proche du nombre A1 Anli n 1 An n 1 Les minorations de A que l on obtient en d veloppant ces arguments par la m thode de W2 sont les m mes que celles que donne la m thode de Gel fond en plusieurs variables et donc moins bonnes que celles de la m thode de Baker Pour transposer l astuce de Baker dans l tude par la m thode de Schneider des formes lin aires en plusieurs logarithmes on reprend le principe de construction de la LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 179 fonction auxiliaire de W2 mais on consid re plus soigneusement le rang du syst me d in galit s que l on r sout par le lemme de Siegel comme cela est expliqu dans W3 On obtient alors la minoration avec log B Pour n 2 on retrouve la situation de MW1 2 3 Le raffinement qui reste introduire pour obtenir log B consiste transposer 1 3 L identit EN e
29. ainsi log M nlog 9n 3nlog D nloglog A lt 4n 2 DGolog A log E et par cons quent Go lt 4n 2 DGo log A log E Comme C n gt 4n 2 C n 1 1 ona Cn 1 1 o lt C n Uo DEUXI ME CAS Quitte changer la num rotation de logo log o on peut supposer que A est le plus grand des Aj 1 lt j lt n 1 pour lesquels t Z 0 On suppose ici soit t 0 soit A lt A de telle sorte que l on ait T lt 9nD logA On limine b en posant b tib bit 2 lt j n EA b log z ph log o On utilise l hypoth se de r currence HA gt exp C n 1 o avec o max D logA D GoZo log A log An log E Go max 4nZ log M log D On majore M de la mani re suivante a Si f 0 alors b tib et 5 b bn b b M lt max fbn d dE max by PE art 2 lt n 1 logA logA 2 lt lt n 1 logA logA logA b Si tn Z 0 et b Z O alors 2 bn b logA logA logA logAn Comme t 0 on a lt A et bi lt MlogA lt MlogA d autre part la minoration log gt 1 D donne bi logA lt DMlogA et M lt TM 2 DlogA c Enfin sir Z Oet b 0 on choisit un indice m 2 lt m lt n 1 pour lequel b Z0 z b b 2gen logA logA Jzm lt ADT max bil b il LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 219 mais pour 1 lt j n L ona bj lt MlogA lt MlogAi Ainsi on a t
30. alable des ces encadrements sert seulement v rifier que les choix de e et 1 sont licites LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 211 En tenant compte de 9 1 on demandera LP a y 1 EAN 9 3 y gt 1 Tj 1 n 2n 2 a Ur 1 e2 La strat gie est la suivante on choisit Y1 Y4 et u on calcule Yo par 9 2 puis Y2 par 9 3 on ne connait pas encore les valeurs exactes des c mais il suffit de les minorer pour satisfaire 9 2 et 9 3 enfin on pose fs TA 107 Ys legs 1 es n n 103c5 de mani re pouvoir prendre gn v s 1 8 5o g et v rifier 2 11 On obtient ainsi la conclusion du Th or me 2 19 sous la forme A gt e avec z n 292n 3n 5 8 1 XN l C Tg 22 e et T 2 14 J 2s Le choix de Y1 Y4 et u est fait de mani re rendre I aussi petit que possible b Choix des param tres Pour plus de clart nous rappelons les choix que nous venons de faire et nous les compl tons Nous posons d abord 1 2 1 2 Z 22 G 1 Gi U 2 1 Uo ensuite Co 2e ch en 4e cs 4Ag ne l Y n c 8 ce 2g n V fn puis 8 107 n 2n 3n 4 n 1 2 x es n g TE Amme 20d EE On choisit maintenant des nombres r els Y1 Y4 y de la mani re suivante pour2 lt n lt 4 on prend les valeurs dans le tableau ci dessous tandis que pour n gt 5 on pose n 2n l rc AME TN Vi 1 etu 1 A A Nr EE On pose ensuite pour n gt 2
31. avec une multiplicit gt T le long de W en chacun des points de l ensemble E Ea x1 a EE 1 lt i lt d Alors il existe un entier s et un sous groupe alg brique connexe G de G de codimension 60 01 pour lequel si on note T dimg W WN Teg K on ait d 8 1 d r do o di 61 T avec d 0 LI Can es 66 lt es 1 lt s lt lt d REMARQUE Quand on suppose Card E gt gt Card Ej on peut remplacer la conclusion par d 6 T 1 d 7 d aciei y Cara s 65 6 lt aa H Le fait que l on prenne diff rents ensembles Ej E constitue un petit raffinement par rapport aux lemmes de z ros classiques cf P Th or me 2 1 dans W on demande E 5 E Un tel raffinement tait sugg r dans W4 mais une hypoth se y a t malencontreusement invers e la condition ao gt gt aq gt 0 doit tre remplac e par 0 lt ap lt a4 heureusement dans W4 on utilisait seulement le cas ao ay et de m me ici on n appliquera la Proposition 5 1 que dans le cas E Ea L argument n cessaire pour obtenir ce raffinement est n anmoins expliqu en annexe dans un cas particulier D MONSTRATION On plonge K dans C ce que l on peut faire sans restriction et G dans l espace affine de dimension d de la mani re habituelle et on identifie l espace tangent TG C avec C en posant expo zi 24 Zi s za E
32. bn 1 son noyau est bK ce que l on voit gr ce l hypoth se que Suhe Sy es est une base de K V La d finition que nous avons donn e de 1 s crit aussi V qj 1 4W Ainsi V est un sous espace de 7 de dimension 1 dim W qui contient b Enfin on a V O 2 ce qui donne Card sy 5 Card sy D L Le diagramme est le suivant E E gd a g sw sw KJW KJW c0 VIV U U U Sy Eo sw FE sy P L 6 Les param tres On se place sous les hypoth ses 2 1 2 12 du paragraphe 2 et on suppose en outre JA e On va d finir des entiers positifs H S Li L T1 T2 T et des nombres r els positifs L P Po P1 P2 Ug U1 U2 U3 U4 Vo Vi uo vo q et o On pose H c3DG logE S c4U DG GT p U T min i D aU DZT T TT et Il est int ressant de comparer avec le choix fait au paragraphe 6 de W4 les r les de G et Z sont permut s Posons ensuite q uw n g de mani re remplacer 2 8 par n 1 uw lt 3C4q puis 107c4 103c U P qgU D P n 5 nU Pi P Po nU P P Po LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 199 Posons aussi up D LICET si 1 6 f 103c5 D w ae c Ca es C p 103c g D de telle sorte que 2 12 s crive 1 uo Vo w ag n m 5 et choisissons Uo uoU Vo voU Vi vU Enfin prenons C C4 U nc U U Ui 5 u lebe Vite mud 1 UNO
33. chmidt Formes lin aires de logarithmes sur les groupes algebriques commu tatifs Ilinois J Math 32 1988 281 314 PW2 Lower bounds for linear forms in logarithms In Chap 18 de New Advances in Transcendence Theory ed A Baker Cambridge Univ Press 1988 280 312 DPP Dong Ping Ping Minorations de combinaisons lin aires de logarithmes de nombres algebriques p adiques manuscnt 1991 S Th Schneider 7ranszendenzuntersuchungen periodischer Funktionen I Transzendenz von Potenzen J reine angew Math 172 1934 65 69 W1 M Waldschmidt A lower bound for linear forms in logarithms Acta Arith 37 1980 257 283 W2 Transcendance et exponentielles en plusieurs variables Invent Math 63 1981 97 127 W3 Fonctions auxiliaires et fonctionnelles analytiques J Analyse Math 56 1991 231 279 W4 Nouvelles m thodes pour minorer des combinaisons lineaires de logarithmes de nombres alg briques S m Th Nombres Bordeaux 3 1991 129 185 W5 Nouvelles m thodes pour minorer des combinaisons lineaires de logarithmes de nombres alg briques II Probl mes Diophantiens 1989 1990 Publ Univ P et M Cure Panis VI 2 93 1991 36p W G Wustholz A new approach to Baker s theorem on linear forms in logarithms III In Chap 25 de New Advances in Transcendence Theory ed A Baker Cambridge Univ Press 1988 399 410 Y Yu Kunrui Linear forms in p adic logarithms Acta Arith 53 1989 107 186 Universit P et M Cu
34. d logmax par nD log max A1 js An lt nU ensuite H 1 par c3D G 1 lt c3DG et on trouve en utilisant 2 9 DS H 1 c3 U lt g D Enfin ST est major par c4U c5D V RIFICATION DE 6 6 ET 6 9 Il s agit de v rifier d une part 2nlL 6 14 el ERE Em 1 lt ef et eE lt ePG c d autre part H Z DZ c 6 15 2e 2 lt eL et eE lt els l On majore L bn Ln b par U b Ib Cr i DH logA logA Notre D finition 2 2 de M permet de majorer b logAn bn log A par M On minore ensuite H par c 1 DG logE et S par c4 1 U DG ce qui permet de ma jorer cU DHS par c log E i c3 1 c4 1 D On en d duit gr ce la premi re des conditions 2 7 Lib L b P c2M log E P coM log E S ca 1 ca DD 2meD D autre part T HS est major par c log E c3 1 c4 1 DZ de nouveau la premi re des conditions 2 7 entra ne T v c log E P coMlogE HES c4 D c4 DDZE 2meD LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 201 ainsi On trouve 2n L r coM log E S eD L in galit 6 14 r sulte ainsi du choix 2 5 de G Passons 6 15 Si G lt U DZ alors Ti G cs pour x gt lona x gt x 2 donc Tj gt G 2cs et ona H 2csH 2c3csD e lt Ti G logE Si G gt U DZ alors T U csDZ et la condition U gt cs DZ nous autorise minorer Ti par U 2c5DZ alors l hypoth se U gt D GZ
35. dants sur Q On d signe par D le degr du corps de nombres K engendr sur Q par a o et on pose f1 siloga logo sont tous r els 57 2 siR ogoi logo C On se donne d autre part des nombres entiers b1 b avec b Z 0 et on d signe par A le nombre complexe A 5 b loga ixl On introduit des nombres r els positifs Aj An M f et E v rifiant h a 2al A gt l Q lt i lt n lt n 2 1 A lt i lt n PV EE bn b 2 2 M gt max Ibn qd IXjxn logA logA et n logo _ nD 2 3 E gt e lt Gi Ze 2 TogA JE On choisit des param tres v w n p tous r els gt 0 co Ch C6 c r els gt 1 et C1 C2 C5 r els gt 2 v rifiant une collection d in galit s que nous allons expliciter On 182 MICHEL WALDSCHMIDT prend aussi des nombres r els G Z et U auxquels on impose les conditions suivantes D C gt STEM gt 6 2 4 Z gt log co max 5 1 4e Z gt b logE Mlog E 2 5 G c G log co E e G gt a log E D GZ 2 6 U gt max csDZ D log E D log max Ai A4 o Dans les paragraphes 6 et 7 nous ferons les hypoth ses 2 7 2 12 suivantes 2en C 2 gt h gt 4 2 7 Co 2 o Dices D max co 773 Co 2 4ec3cs 2 8 n 1 u w lt cscap 1 E L H8w D ndi 20 U 2 9 n2n l n2 g log max esciU Discuti 2nD D log9 2 10 de log u DwU 107c4 1 1 1 j gt a Rode ns 2 11 v
36. e qui justifie la d finition de Y5 et fournit la conclusion A gt e LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 215 10 Autres corollaires Dans cette derni re section nous non ons et nous d montrons des cons quences du Corollaire 1 5 Le premier nonc supprime l hypoth se d ind pendance lin aire des log Le second enl ve la condition Go gt 4nZ Le troisi me raffine un r sultat de LMPW Enfin nous donnons un exemple de minora tion de o a 1 COROLLAIRE 10 1 Dans le Corollaire 1 5 on peut supprimer l hypoth se d in d pendance lin aire des log o condition de remplacer la d finition de Go par Go max 4nZ log M log D Ce corollaire repose sur le fait que des logarithmes Q lin airement ind pendants de nombres alg briques satisfont une relation de d pendance avec des coefficients que l on sait majorer cf par exemple le Lemme 4 1 de W1 Pour les trois derniers corollaires on d signe par o o des nombres alg briques non nuls on pose D Q o 0 Q et g Rog a1 log n R on consid re des nombres r els positifs A4 An A et A qui v rifient logA 2h 1 lt i lt n A max A An A max A An 1 De plus soient b1 b des nombres entiers rationnels avec b gt 0 Pour les Corollaires 10 2 et 10 3 on pose B max 2 Ibi P dig Ib il on choisit des d terminations log amp 1 log o des logarithmes des nombres 1 e
37. et T 7 s entiers gt 0 et la seconde de AZ I TS x A Ly LEMME 3 4 Soient T T5 T S H des entiers positifs avec T T T et py des nombres complexes Consid rons le polyn me exponentiel en une variable Tz Y Y pa Qu s 0 h Alors pour 0 lt Tiet0 T X T ona T d AQ nn 7 0 past en 13405 8 T 0 s 0 h De plus si S H 5 Y poas Alh n Ti 75 5 0 s 0 h 0 pourO XT lt Tiet0 T lt h ona qt 0 0 P3 0 pour 0 lt T lt T c est dire que V a un z ro d ordre au moins T 1 l origine D MONSTRATION On utilise la relation G5 ee 2 voir ce sujet W3 Lemmes 3 1 et 7 6 On a T A Z T Ti 3 Am Tim Tz T 0 LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 185 donc lrdss A h T Ti m s 2 AG 71 ERU Wu RU 3 25A i Tenn o La deuxi me partie de l nonc r sulte du fait que les polyn mes 1 et A z 7 T1 0 lt 7 Ti 1 7 T forment d apr s le Lemme 2 2 de W4 une base de l espace des polyn mes de degr lt T REMARQUE Dong Ping Ping a corrig une erreur que j avais faite dans une version ant rieure de ce Lemme 3 4 Quand on omet la valeur 0 0 pour 7 7 en rempla ant la condition O0 mn lt T par 1 n lt T on ne peut pas conclure que V a un z ro d ordre au moins T l origine Enfin l in galit de Liouville qui suit est un petit raffinement du Lemme 2 3 de W4 L id e d ut
38. ettra de conclure dans le cas n 2 Dans le cas n gt 3 cette construction produit un sous espace vectoriel V de C de dimension d on utilise une deuxi me fois la machine transcendante pour terminer la d monstration du Th or me 2 18 Commen ons par exploiter les in galit s du paragraphe 2 pour v rifier les hypoth ses du Corollaire 5 4 LEMME 8 1 Sous les contraintes 2 1 2 17 ona 8 2 S2 Do 1 1 2 8 3 putos n et 8 4 T lt 2 n l SH de plus si on pose L L L avec L L fa 1 i lt n alors 8 5 T Card Z 1 gt n 1 S H enfin pour d montrer le Th or me 2 18 il n y a pas de restriction supposer 8 6 pgcd bi bn letb dg Z 2L D MONSTRATION a V rification de 8 2 On minore S et on majore L 2 U coU S 1 gt 4 tL lt M DG DHIogA Il s agit donc de v rifier 2 4c G ca a gt ci log Comme He H gt o C6 log E il reste plus qu minorer c et c par 1 et utiliser 2 13 b V rification de 8 3 De l in galit T lt U csDZ on d duit U U l Hair LE 7092 VE nad alors gr ce l hypoth se 2 15 on a I U n 1 cU n 1 T EE EIS TAM cs DZ 7 n DG n LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 207 c V rification de 8 4 L in galit 2 14 permet de minorer HS par T 2 n 1 car CU T U HS gt e ca D gt L c3 Xca Tog E 2 n DDZ 2
39. fie F lt e 188 MICHEL WALDSCHMIDT D MONSTRATION Quand g 2 on applique le Corollaire 2 7 de W3 aux fonc tions d 1 Pou z ail A X 5 fout i l en prenant f 1 0n d m T LL P M J LA Po o V C W 0 On majore 55 57 eoy n par e en utilisant le Lemme 3 3 et une des conditions sur U Enfin Side uisus f iw a nya Quand g 1 on remarque que dans le Lemme 6 1 de PW1 cf Lemme 2 1 de W3 si les u sont r els on peut remplacer l exposant 29 de l hypoth se par o Il en r sulte que dans l hypoth se 2 8 du Corollaire 2 7 de W3 on peut omettre le facteur 2 gauche quand on suppose que les fonctions analytiques consid r es ont un d veloppement de Taylor l origine coefficients r els COROLLAIRE 4 3 On suppose U V gt 2 P log 2E X U V ro lt d DL P 2d log 1 oU V log9 lt o U V 20 log gt gt D ls U gt EH L Slog e lt g S 6 1 o cs ho et gd 1 o U VY lt Sed 1 D H 1 P log E Alors il existe des entiers rationnels non tous nuls pss 1 lt 6 D o Nf ol lt S 0 lt h lt H major s par P 0 h tels que pour tout zo za C v rifiant lz lt r 0 lt i lt d 1 on ait lt d gt Pati I AQW T 1 a S h 0 D MONSTRATION On utilise la Proposition 4 2 avec u remplac par 6 h et M par D H 1 pour les fonctions de
40. h a nD max logA lt nU D i 1 et de la d finition de U4 V RIFICATION DE 6 12 On commence par majorer log 2 par U Pour la premi re in galit on majore n g 1 par n et on utilise la d finition de vo pour la seconde on majore D n g n 1 par 3 et on utilise la d finition 2 11 de v m 7 R solution d un syst me d quations On reprend les hypoth ses du paragraphe 6 en particulier les contraintes 2 1 2 12 sont satisfaites et on a JA xe On se donne un entier s O lt s lt n 2 et un sous espace vectoriel V de C de dimension d n s avec 2 d lt n qui contient b1 b et qui est d fini par des quations nc p um Ue 1 5 On suppose donc n b Y Wb 1 lt j lt s 1 s 1 Le cas g n rique est celui o s 0 d n On d finit des nombres 9 s 1 lt i lt n par S 0 loga 5 ue log q J 1 Ainsi pour Z1 2n V ona n gt z U 6 log o Toce log a 1 s 1 En particulier n 7 1 Y b b 0 A i s41l LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 203 PROPOSITION 7 2 Il existe des entiers rationnels qson 1 lt lt D o 09 0 415553 001 Pos lason lt el tels que D mun z S D 2 D P 2 Last je 1E AC by Asb o La 0 pour 0 lt T T et pour tout A1 An Z L V D MONSTRATION DE LA PROPOSITION 7 2 PREMI RE TAPE CONSTRUCTION DES qson On va appliquer la Propos
41. iliser ce raffinement ici a t sugg r e par Sinnou David Soit un nombre alg brique et soit K un corps de nombres contenant o pour chaque place v de K on note K le compl t de K en v et d le degr local d K Q Pour chaque place vo de Q on a X d K Q on normalise les valeurs absolues de telle facon que la formule du produit s crive 5 d log o 0 si Z 0 La hauteur logarithmique absolue de o est alors d finie par l h a K Q 2 e t ad LEMME 3 5 SoitP Z Xi X4 un polyn me en q variables de degr au plus N en X 1 j lt q et de longueur L P Soient 1 lt j lt q des nombres alg briques K un corps de nombres contenant 0 o D le degr de K sur Q vo une place de K et d le degr local de K en vo on pose D D d et D 1 si vo est archim dienne D D si vo est ultram trique Si le nombre P o 0 n est pas nul alors q log P o o gt D logL P D X N h a J 1l D MONSTRATION Comme P o n est pas nul on a par la formule du produit dy log P o 5 d log P a v vo 186 MICHEL WALDSCHMIDT Pour v vo on majore log P o par log L P si v est archim dienne 0 si v est ultram trique q log P a lt Y N log max ly J 1 On majore ensuite d S d gt N logmax11 vvo J 1l q y par D 2 N h J Enfin si vo est archim dienne
42. ire Nous en d duisons ensuite le corollaire qui nous permettra au paragraphe 8 d exploiter la construction transcendante du paragraphe 7 Soient K un corps de caract ristique nulle do et d deux entiers gt 0 avec d do d gt 0 On note Go Go Gi G et G Go X G Ainsi G K K x R Nous noterons K G l anneau K Xj X4 1 Res X4 c est le sous anneau du corps des fractions rationnelles K X1 X obtenu partir de l anneau des polyn mes K X Xa en inversant X Xa Pour u u ug K on d finit une d rivation D sur K G par do d D u u X i OX i do l OX Quand wi w sont des l ments de K et r un l ment de N on crit w wi w et T qu T s T D D Di Etant donn s un sous espace W de Kf un point u G K un l ment P de K G et un entier T gt 0 si les quations D P u 0 pour tout r lt T sont v rifi es pour un syst me g n rateur w du K espace W alors elles sont v rifi es pour tout syst me g n rateur w de W on dit alors que P a un z ro au point u de multiplicit gt T dans la direction W L espace tangent 7G K de G l origine est le K espace vectoriel des d rivations D de l anneau K G qui sont invariantes par translation DQ X u X DQ X pour tout Q K G u G K o pour Q K G et u G K ona not Q X Q u X Q Xi X4 Q ui X gt Udo
43. ition 4 1 avec Ao u Osciusea t n iun 1 bs AG u uj AXb AMb n Lbh Lilb s 1 lt i lt n 1 Eson V T1 s fas hLjoigalt uil i l o pour k entier positif v k d signe le plus petit commun multiple des entiers 1 2 k En utilisant l in galit log v k lt 107k 103 du Lemme 2 2 de W4 on trouve gr ce 6 4 3 gt elro lt SH DY lel el07T5 18 lt Po 1 ol lt S h 0 Les conditions 6 2 6 9 permettent de v rifier les hypoth ses de la Proposition 4 1 On en d duit l existence d entiers rationnels psp avec max IPsca tels que si on pose d ch V Ti pscn on ait D H n p SO I donls Alh 71 T1 72 00 AOubs Ab a Je Obs Mb h ba lt 7 Vo 6 1 o S h 0 1 s 1 pour tout T1 T2 1 n entiers avec O lt n lt T 0Oxmt T e 4 Z n V Notons que l on a gr ce 6 5 D H p 7 3 2 2 2 Se 0 6 1 o sh 204 MICHEL WALDSCHMIDT et aussi D H 7 4 25 25 2 diets S 6 1 lJo S h 0 DEUXI ME TAPE MAJORATION D UN NOMBRE ALG BRIQUE Pour chaque n 2 uplet 71 72 41 An d entiers rationnels avec 0 lt 7 lt 75 0 rm lt T et Ai An Z L O V posons V x gt sons M T1 Ti T2 00 TI AG bn Ab 0 Il ors 1 o S h 0 i 54l iz Nous allons v rifier la majoration al e e e 55 D apr s 7 1 on a pour tout Z
44. lisons pour traiter ce deuxi me cas est inspir de DPP Ecrivons Ao u viu v4 1ug Quitte modifier la num rotation on peut supposer vi ri gt v r pour 1 i d 1 On a donc d r ok D ly 4 Divin J On effectue le changement de variable gt V5 Vq 1 z j uj ujt t ug j A u 2 lt j lt d 1 V V1 et on d finit des formes lin aires 6 g par Su Lo Va 1 AGE a y T Vi Vi En particulier on a Ag amp viij Choisissons rlw Rer QE ISd l m On a Posons Montrons que l on a L lt 2d 3 L Pour amp C v rifiant i lt F 1 i d 1 on peut crire A Aj u o u C4 v rifie lul lt r 2 lt i lt d 1 r EVI T fvi IM lui lt fi d 2 max 25 et lt d I 2 lt i lt d 1 Vi donc ui 2d 3 ri ce qui d montre la majoration annonc e pour L Le premier cas avec F r nous permet alors de construire les entiers p5 1 tels que e o So Pros er Te noo TI X o evo 6 1 S h 0 pour tout 4 4 CT v rifiant D 1 lt i d l et tout 7 7 avec Oc T 0 lt n T On en d duit le r sultat voulu E LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 191 5 Le lemme de z ros Nous donnons ici un corollaire du lemme de z ros de P dans le cas particulier d un groupe alg brique lin a
45. lt log A ici nous n avons pas besoin d une telle hypoth se Le Corollaire 1 5 conduit une am lioration du Th or me 2 de LMPW dans la d finition de Y le terme log EDV pY peut y tre remplac par log EDV Dans le pr sent texte apr s avoir nonc le th or me principal Th or me 2 18 nous introduisons quelques lemmes pr liminaires paragraphe 3 nous construisons la fonc tion auxiliaire Proposition 4 1 puis nous nongons le lemme de z ros de Philippon paragraphe 5 dans le cas particulier des groupes alg briques lin aires Nous choisis sons ensuite les param tres paragraphe 6 et nous utilisons la fonction auxiliaire pour r soudre non trivialement le syst me d quations 1 4 paragraphe 7 La conclusion de la d monstration du th or me principal est donn e au paragraphe 8 tandis que le Corollaire 1 5 est d duit du Th or me 2 18 dans le paragraphe 9 Enfin quelques autres corollaires sont nonc s et d montr s au paragraphe 10 Dans une version ant rieure de ce texte W5 le param tre M tait d fini par max Ibi i log4 J qui donne un r sultat moins pr cis la d monstration de W5 demanderait aussi de rem placer le terme g f dans la conclusion par ng f L am lioration a t obtenue en adap tant une id e de Dong Ping Ping DPP voir la d monstration ci dessous de la Proposi tion 4 1 Il est int ressant de comparer le r sultat obtenu ici avec celui de W
46. lu Nous allons v rifier la conclusion avec V z V 3zo K Zo 25410n Znbs 1 2n 10n Znbn 1 WY etr v dans le deuxi me cas r v dans le troisi me Dans le deuxi me cas on a y gt 1 cela r sulte de 5 5 et du fait que H est gt 1 D autre part pour r gt 2 on a d y gd rH d Stm r r car T gt d 1S d Enfin toujours dans le deuxi me cas comme Card sw Eo gt 1 onarv d 2 Dans le troisi me cas on av gt 2 en effet si on avait v 1 cela donnerait W K 1 0 0 et dl Card s4 Eo Card Eo Card amp I gt d 1 S H T gt zx 2 gr ce 5 5 et lP hypoth se 2 d 1 SH gt T Il reste v rifier d une part que 7 est de dimension v 1 dans le deuxi me cas et v dans le troisi me d autre part que l on a Card sw G L Card sy To Soit v K K la projection sur les d 1 derni res composantes Quand W D ker 7 K 1 0 0 troisi me cas l image W n W a pour dimension v 1 et 1 1 9 W tandis que quand W ker x K 1 0 0 deuxi me cas l image W RW a pour dimension v Soit s4 K gt K W la surjection canonique et soit Eo n Eo Quabs Abs An 10n Aba 907 C KT 198 MICHEL WALDSCHMIDT On a videmment Card s y Eo lt Card sy Eo Notons ensuite W Pass K la surjection qui envoie Z1 Zn V sur Zs 1bn ZnbDs 1 lt Zn 1bn Zn
47. n i n Au A b nb 0 bn AD 1 541 1 5 bn donc pour Z 1 V n 1 n II gb SOR b MB bs I o isl i On va maintenant utiliser l in galit e 1 R D apr s 6 10 et 6 12 on a L H A b lt L He lt 1 donc le 1 lt z pour z lt R P AR LoT He Il reste constater que la quantit D H n 1 n 2L H Y Y asents C T T1 75 00 IAQub ub i o L lo l a S h 0 1 s 1 1 1 est major e par e comme le montrent les conditions 6 10 et 7 4 jointes aux majo rations 7 5 Ah m Ti T2 00 2 Qey cf Lemme 2 2 de W4 et n i S 7 6 II AO Lib o l lt 1 e i srl LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 205 cf Lemme 3 3 TROISI ME TAPE MINORATION D UN NOMBRE ALG BRIQUE LIOUVILLE Fixons T1 72 1 comme au d but de la deuxi me tape et montrons que si le nombre alg brique v n est pas nul alors il est minor par lvl gt gd En effet v est la valeur d un polyn me en 2n variables X Xn Y1 Yn valu au point a4 n 0l Les coefficients de ce polyn me sont entiers rationnels car les nombres qson sont divisibles par v T1 cf W4 Lemme 2 2 Le degr en X de ce polyn me est au plus L H d si gt 0 et d si 0 tandis que le degr en Y est au plus 0 si gt 0 et L H si lt 0 Les conditions 6 9 7 3 7 5
48. nd rants de 2 8 2 12 et 2 17 et que l on cherche minimiser v dans 2 11 on trouve qu il est naturel de poser 2 n 1 B G Vo z g f puis 8 Bn C 71 1 e ca u 1 E o w m 1 Zo f f J 8 avec des nombres r els Yo Y1 Y4 d terminer Ce recentrage des param tres a pour avantage que les 7 0 lt i lt 4 vont pouvoir tre choisis dans des intervalles born s fixes savoir 1 X yo lt 2 1 0 5 y4 0 54 8e lt V 130 4 53 lt 10 0 87 4 1 alors que w et les c 1 lt i 4 tendent vers l infini avec n On r crit maintenant les contraintes 2 8 2 12 et 2 17 Il se trouve que nos param tres v rifieront 2g 1 u Yo gt 314 donc 2gn 1 uw gt C3C4 alors 2 8 repr sente une majoration de w par cons quent on peut remplacer l galit dans 2 12 par une minoration de w Maintenant on pose n 8 107 n 67 i l 14 8 PEL MESS NN E 103c 2n 1 n 2n f et on choisit 2 3 l 2 TM 5a E us UAR 32 id ILgw nc C1C5 2c de mani re remplacer 2 8 par 9 1 1 u Yo UVI eo tandis que 2 12 devient 2 l 9 2 Ca Y4 63 et que 2 17 s crit a VVA 4 gt 1 z nt 2n Z A 2 Zz Pr cisons que ces intervalles ne sont pas impos s dans certaines applications l peut tre pr f rable d utliser d autres bornes La connaissance pr
49. o E ee nous am ne travailler avec une fonction de n variables Dnus its om Es S ead e Jp za To 0 Ta 45 0 A 0 et consid rer les nombres Q 5 P O A1 AnBi gt An 1 An n 1 Pour produire notre fonction auxiliaire nous utilisons les constructions g n rales de W3 Le th or me principal Th or me 2 18 est nonc dans le paragraphe 2 En voici un corollaire COROLLAIRE 1 5 On d signe par a des nombres alg briques non nuls pour i 1 n on choisit une d termination log o du logarithme complexe de o et on suppose que les nombres log 05 og o sont lin airement ind pendants sur Q On pose Q oj 0 Q et g R log 1 log n R Soient A1 An A E et f des nombres r els positifs v rifiant logA gt h a 1 lt i lt n A max A 4 et D logo e lt E lt min AP AD E X logo i f i log A Soient bi b des nombres entiers rationnels avec b 0 On pose b b M max AL ES l 1 lt lt n logA logA 2 max 7 3logn log E log i Go max 4nZy log M D log E et Uo max D log A D GoZo log A log A log E Le nombre A bi loga b logan 180 MICHEL WALDSCHMIDT est alors minor par JAI gt exp 1500g 22 5 1 I Uo Dans LMPW et BGMMS la d pendance en les b faisait intervenir un terme cor respondant notre param tre M mais avec l hypoth se log A lt
50. on a 5 d D dy v loo v vo tandis que si vo est ultram trique on a d D v oo 4 La fonction auxiliaire Dans toute cette section nous utilisons les notations suivantes K d signe soit le corps R soit le corps C g est le degr de K sur R donc g 10u2 d est un entier positif 4o Ag sont des formes lin aires sur C4 co efficients dans K et une forme lin aire sur C coefficients dans K Quand ro ra 4 sont des nombres r els positifs on d signe par D 0 r le polydisque ferm de C de centre 0 et de polyrayon r ro r4 1 D 0 r z z lt r pour 0 lt i lt d 1 si f est une fonction analytique dans D 0 r c est dire continue sur le polydisque et analytique l int rieur f d signe sup1 f z z D 0 r Ensuite D H M S Ti T T seront des entiers positifs o E P rj r4 4 r Ro Rg 4 Uo Vo U V L des nombres r els positifs avec E gt e et j 1 lt 8 lt D o 09 04 1 N lol lt S 0 lt h lt H seront des l ments de K On suppose aussi b lt lt i lt d L gt max SUP AC Za 1 Al Sr A lt i lt d 1 Le but de cette section est de construire la fonction auxiliaire suivante PROPOSITION 4 1 On suppose TN M d 1 EH P log E o Uo Vo P 4 2dlog 1 o Uo Vo log9 lt o Uo Vo U gt log X gt SS D ll Et 1 la s h 0
51. orer sensiblement la constante condition de remplacer le facteur GoZo de la d finition de Uo par Gi Pour cela on exploite le syst me d quations 1 4 c est la m thode de Schneider l tat pur il n y a pas de d rivation Pour obtenir un nonc am liorant tous ceux que donne la m thode de Baker il faudrait remplacer dans la minoration de A le terme n par n et m me par n quand les sat isfontune hypoth se forte d ind pendance pr cis ment quand le corps Q 4 ai oc est de degr 2 sur le corps Q 1 En l absence de formule d interpolation la so lution de ce probl me pourrait venir d un raffinement du lemme de z ros Il est d ailleurs remarquable que le r sultat final soit sensible la qualit du lemme de z ros ce qui n est pas le cas pour la m thode de Baker Notons pour terminer que les constructions de fonctions auxiliaires dans W3 permet tent aussi d viter l extrapolation dans la m thode de Baker sans perdre sur la d pendance en les coefficients b dans l estimation finale mais en perdant seulement sur la d pendance en n on trouve n au lieu de n 2 Leth or me principal Dans toutce texte except la derniere section 10 on d signe par 1 des nombres complexes alg briques non nuls pour 1 X i lt n on choisit une d termination log du logarithme complexe de et on suppose que les nombres log o logo sont lin airement ind pen
52. ositifs Alors Card o a D L gt Card D L max 4L 1 Nous rappelons aussi le Lemme 2 7 de W4 que nous utiliserons plusieurs fois LEMME 3 2 Soient y Gi gt Gz un homomorphisme de Z modules et C un sous ensemble fini de G on note C l ensemble des X C X C Alors Card v C Card C N ker v gt Card C Nous aurons besoin de deux lemmes suppl mentaires faisant intervenir les polyn mes de Fel dman A z s z 1 z s s pour z C et s entier positif avec A z 0 1 LEMME 3 3 Soient R et S deux nombres r els positifs et z1 2zm des nombres complexes On suppose R gt max z 1 lt 1 lt m Alors pour tout c N avec lo lt Sona 3 mR M lel AG 09 E 1 e Il l et aussi IT mR lle lt S D MONSTRATION On reprend la d monstration de Y Lemma 2 4 p 128 Comme A z 0 1 on peut supposer o gt 0 pour 1 lt i lt m Ona R ya IA opl lt gt 1 e pour 1 lt i lt m 184 MICHEL WALDSCHMIDT On majore gt c log 2 1 par o log 74 Ti D Donc spo el T AG a lt Fe eu En posant f o mR et T S mR ona 0 lt t lt T La premi re in galit r sulte maintenant de la majoration l 1 7 1 lt 142 f T 14 l J s lt s e 1 e s 1 z e le membre de droite est une fonction croissante de 7 Dans le lemme suivant on utilise la notation pour z C
53. oujours M lt 9nD logAi M Les m mes estimations que dans le premier cas permettent de v rifier log M lt 4n 2 DGo log A log E et de conclure D MONSTRATION DU COROLLAIRE 10 2 On consid re deux cas a Si B 1 log D log b c 2 gt 4nZo il suffit d utiliser le Corollaire 10 1 avec B Go max 1 log D log E log b br s 2 En effet on a alors Go log M car b logA lt Db pour 1 j lt n On utilise enfin les majorations 1 log D lt o et log E lt Zo cette derni re sert v rifier D 7 ZologA logA log E gt D Z log A log E gt D logA b Dans le cas contraire on prend Go max 4nZo log D On a alors Zo gt Go gt log M et le Corollaire 10 1 fournit de nouveau le r sultat annonc REMARQUE On peut obtenir une valeur de X l g rement plus petite en utilisant l in galit de Liouville cf 9 4 quand b B log An 2 est petit un exemple se trouve dans la d monstration du Corollaire 10 4 ci dessous D MONSTRATION DU COROLLAIRE 10 3 On commence par montrer que le param tre Y v rifie Y 2XI J 10 5 gt Og ys o X a t d fini dans le Corollaire 10 2 En effet on a d abord X D ZoZo D log A log a lt log C n E Em t n D log log E On v rifie ensuite les in galit s 4n 7 3log nf lt e et P 12n lt 9 2 puis 9 g Ad 1 l 2n 1 3log D log Cin lt 5n ul et p lt
54. r la construction du paragraphe 7 on supposera J 1 s ce qui simplifie les notations mais ne restreint pas la g n ralit Les hypoth ses de la Proposition 7 2 tant v rifi es on dispose d un polyn me non nul l n Q Xo Xs41 X4 i Y LEE ant Xn ll A amp o Y 0 h i s 1 de degr lt S en Xo Xs 1 Xn 1 dans la somme sur on a o 00 05 1 0n 1 Nd avec ol lt S et de degr lt H en Y tel que la fonction 20 Zs 1s s Zn em Q Zo Zs ls s Zn 1l gt e z v rifie Q 7 PO Abe Abo uabs Abas 0 a 0 ozo LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BRIQUES 209 pour 0 7 T et pour tout Z L 1 V Par cons quent Q satisfait l hypoth se principale du Corollaire 5 4 Il faut encore v rifier 5 5 En utilisant le Lemme 3 2 on trouve Card L n Cardsy Z L 2n gt Card Z 1 2n ce qui joint 8 5 et 8 8 donne T Card L n gt n 1 P sn A plus forte raison on a T Card amp L d 1 gt d 15H ce qui est la contrainte 5 5 On trouve ainsi en utilisant le Corollaire 5 4 un sous espace V de 77 de dimension r avec 2 lt r lt d 1 contenant b bj b et satisfaisant d C L 1 L yT ard sy L d 1 lt 7s le Lemme 3 2 permet maintenant d crire Card sy Z L 2n lt Cards L n Cardsy Z L 2n lt PH en 4 d d r F xs d nor r contredisant la minimalit de d Ceci termine
55. rie Paris VI CNRS Probl mes Diophantiens Institut Henri Poincar 11 rue P et M Curie 75231 Paris Cedex 05
56. s la forme a D ab _ 1 gt 21 D nDBlogA il ne reste plus qu v rifier Dlog2 nDBlogA lt C n D 1 log D logD log B logA log An pour B lt e D or le membre de droite est sup rieur C n D log D log B log et l in galit d sir e r sulte de la majoration ci dessus de DB log DB Venons en au cas g 2 D signons par log la d termination principale de partie imaginaire 7 7 du logarithme de 1 lt j lt n Ona loga v log oj X 1 DlogA ce qui am ne choisir f 1 ev n 1 pour que 1 lt DlogA loga lt DlogA On peut supposer que la distance du nombre a a 1 est inf rieure 107 il existe alors un entier pair b 2Z tel que le nombre A inbo bilogo b log a satisfasse A lt 2 o od 1 On a de plus JA 21 STO eene TU D n bo lt b log ref 2 8 J car lt An 1 mef lt 1 0495 et A lt m 103 On va encore utiliser le Corollaire 10 1 mais avec n remplac par n 1 et logAo 1 D oo 1 logao im E e Zo 7 31log n 1 1 logD Go max 4 n 1 Zo log M Montrons que le param tre M d fini par M max uo On 0 lt lt n 1 logA logA est major par 5 nDB En effet on a Ib logA lt DB b logA lt DB 1i n D et bol n bn a ee 1 DB 20 logA logAo LOGARITHMES DE NOMBRES ALG BR
57. t on choisit un nombre f avec jog T loga lt i lt n on suppose que le nombre A bjlogo b log n n est pas nul et on d signe par E Zo et Zo des nombres r els Min satisfaisant D amp logo lt E lt AD AD ccs 2 P e lt lt min as EN Zo gt max 7 3 logn i 7 log E los i77 h et o max 4nZo 1 logD log E Enfin C n d signe la constante du Corollaire 1 5 Coste a o T a t estim e au paragraphe 9 216 MICHEL WALDSCHMIDT COROLLAIRE 10 2 Posons X C n D ZoZ logA logA logE Alors on a l B X A gt b 2 log COROLLAIRE 10 3 On d finit TT 2 8 n 2 7 Y 13n C n 1 5 D Zo o log A D log D log logA logA log E log E Soit un nombre r el avec 0 lt 6 lt 1 2 Alors AI gt e P 6 b Par cons quent si est un nombre r el O lt lt 1 tel que 0 l A e P alors x E 2b B lt log Le Corollaire 10 3 raffine le Th or me 2 de LMPW en particulier dans Y la d pendance en A fait ici intervenir au plus log A log log A au lieu de log A log log A Le Corollaire 10 1 fournit aussi des minorations de la diff rence CA a 1 nous donnerons ici seulement un exemple 3 COROLLAIRE 10 4 On suppose ET AE T On pose B max 2 bil bal Alors CA o 1 gt exp C 1 D 1 4 log D log B log D logA log A
58. x og M 5 log E 4n log co 4e donc log E D 1 log co e 2 G gt 4 6 gt log max M 1 log max n enfin 14 C6 G gt 2n 1 Z gt 1 logE n D ce qui d montre 2 5 Comme D log A gt log E on a Uo gt D GoZo log E et DZ 2 2 Us gt 1 DGo lgE n logE avec DG D 2 2 4n Zo 2 4ng log E log E et c est pourquoi nous avons pris cs 4gn l 1 n Finalement 2 6 r sulte des in galit s Uo gt D log A DlogE Les conditions 2 13 et 2 14 proviennent des majorations 4c lt c4 2 c3 l et c lt 2g c3 1 c4 1 Pour d montrer 2 15 on constate que l on a c4c5 2 cics 1 car Y2 gt 58 et 2 l y 2n zw 1 Y2C5 C Cs Enfin 2 16 provient des d finitions de U et Uo gr ce aux in galit s DZ gt 2glog E et D log E gt log Aj d V rification de 2 7 Gr ce au choix co 2e la premi re in galit co gt 2en c J c3 1 c4 1 r sulte de la minoration 2 1 D pee C4 n 214 MICHEL WALDSCHMIDT En utilisant l in galit de Liouville nous allons montrer qu il n y a pas de restriction supposer 9 4 M logE gt 2 n D Go2o En effet si la conclusion du Corollaire 1 5 n est pas satisfaite alors en posant A max A1 A 1b ona A exp 2 i Uo lt exp 2 n D GoZo log A log A logE par ailleurs en appliquant le Lemme 3 5 on trouve
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