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1. o ur est la loi de T Donc si X L h T E X T est la meilleure approximation dans L de X par une fonction de T 3 4 Conditionnement et ind pendance Soit E un espace mesurable Les principaux r sultats sur l ind pendance ont t pr sent s section 2 2 On dit qu une v a X et une tribu B sont ind pendantes si les tribus o X et B sont ind pendantes Ceci quivaut X est ind pendante de toute v a r B mesurable 65 IIT 4 Conditionnement et ind pendance Chapitre III Esp rances conditionnelles Proposition 3 4 1 Soit X une v a r positive ou int grable ind pendante de B sous tribu de A On a E X B E X p s Preuve Soit m E X Evidemment m est B mesurable On a pour toute Z B E XZ E X E Z E m2Z ie E X B m p s L L galit E X B E X n implique videmment pas que X soit ind pendante de B Par contre on a Proposition 3 4 2 Soient X une v a valeurs E E et B une sous tribu de A Alors X est ind pendante de B ssi pour toute f Et ES f X E f X p s 3 9 Preuve Si X est ind pendante de B 3 9 r sulte de la prop 3 4 1 R ciproquement supposons 3 9 Soient f ET et Z B On a vu les prop 3 2 5 et 3 2 9 E f X 2 E ES f X Z E ZE f X E Z
2. MnaTv IX TW gt AnATy lt K N La martingale Mr est par cons quent born e dans L et il existe donc un ensemble Qy avec P Qy 1 et tel que pour tout w Qy la suite MnaTy w w converge vers une limite finie On a d une part P NyQy 1 et d autre part 4 lt 00 Un As lt N UN TN z 00 On en conclut que M converge p s sur l ensemble A lt 00 car si on choisit w E Ay lt N My Qpy il existe N tel que Ty w Or pour cette valeur de N on a Manty w w Mnlw et de plus w Qy On en d duit la convergence p s de de Xn puisque la suite A converge p s Lemme 5 4 3 Soit Xn une surmartingale positive Alors Xn converge p s vers une variable al atoire int grable Preuve La suite Yp e est une sous martingale v rifiant 0 lt Y lt 1 prop 5 1 2 Vu le lemme 5 4 2 Y converge p s et aussi X dans R Mais E XS E m Xn lt lim E X lt E Xo lt 00 et X lt 00 P S m Lemme 5 4 4 Soit Xn une sous martingale born e dans L alors on a Xn Yn Zn avec Y martingale positive et Zn surmartingale positive 120 Chapitre V Martingales V 4 Martingales dans Lt Preuve X7 est une sous martingale prop 5 1 2 et donc prop 5 1 5 X7 M An On a E X E M E An E Mo E 4 d o E An lt E X E Mo et E A lim 7 E 4 lt sup E X El Mo lt 00
3. M IM Emsa Xn l ren X 07 aP aop A E gt Il 101 IV 8 Stabilisation des cha nes de Markov Chapitre IV Cha nes de Markov La troisi me ligne est obtenue en crivant Xn X _400 et en appliquant la propri t de Markov On en d duit que aQ f BQ f 1 lt All fllPiaes R gt n et donc en choisissant f 1 l in galit fondamentale laQ y BQ y lt Pagg R gt n ce qui prouve 1 Pour obtenir la seconde assertion il suffit de choisir 6 7 u Cha nes de Doeblin Vu leur importance nous donnons une seconde d monstration des th 4 7 5 et 4 8 9 dans le cas particulier des cha nes de Doeblin qui concerne essentiellement les espaces d tats finis Elle a de plus l avantage de pr ciser la vitesse de convergence D finition 4 8 10 On dit qu une probabilit de transition Q v rifie la condition de Doeblin s il existe une probabilit v sur E et un r el p gt 0 avec Q x y gt pv y pour tout y E La constante p est n cessairement lt 1 et on supposera dans la suite que l on est pas dans le cas trivial Q y autrement dit que l on ne peut pas choisir p 1 Il existe alors une probabilit de transition S telle qu en posant q 1 p on ait Q x y pr y qS x y On peut identifier l espace des mesures sign es et born es sur E soit M E l espace L E en utilisant la norme u y p x Cet espace de mesures est alors un
4. Any Fin EX FP 141 Fm E X Fn Xn p s et X est une martingale e Soit Yo Y Yn une suite de v a r int grables adapt es On suppose que pour tout n gt 1 E Yn Fn 1 0 resp E Y Fn 1 lt 0 resp E Yn Fn 1 gt 0 alors An pe Y est une martingale resp une surmartingale resp une sous martingale V rification imm diate R ciproquement si X est une martingale resp une surmartingale resp une sous martingale posant Yo Xo et pour n gt 1 Y Xn Xn 1 on a Xn Dgo Yk avec pour tout n gt 1 E Yn Fn 1 0 resp E Yn Fn 1 lt 0 resp E Yn Fn 1 gt 0 e Soit Y1 n une suite de v a r ind pendantes int grables avec E Y Hn On pose Mp y Hk puis So 0 Fo 9 0 et pour n gt 1 Sn Yi Yn Por Yn La variable al atoire Y est ind pendante de F _1 et donc E f Yn Fn 1 E f Yn pour toute fonction f telle que f Yn soit int grable On en d duit que 1 Zn Sn Mn est une martingale En effet Zn Zn 1 Yn Hn et donc E Zn Zn 1 Fn 1 E Yn Un 0 112 Chapitre V Martingales V 1 D finition et premi res propri t s 2 Si la suite Y est de carr sommable on pose 02 Var 4 et v Yg 0 Alors X Z2 v est une martingale En effet Xn Xn 1 2Zn 1 Y
5. 1 F P P X gt lt ElX ii Soit X L On a gt 0 1 P X E X gt lt Var X Preuve i On remarque que XI sx lt XP et on prend l esp rance HXI ii On applique i X E X a La premi re de ces in galit s s appellent l in galit de Markov la seconde l in galit de Bienaym Tchebichev Montrons maintenant l in galit de Jensen Proposition 2 3 4 Soit X une v a r et f une application convexe de R dans R On suppose X et f X int grables Alors f E X lt E f X Preuve Soit m E X La fonction f tant convexe il existe une droite passant par m f m et situ e sous le graphe de f i e une fonction affine a x a x m f m lt f x pour tout x R On a donc a X m f m lt f X et prenant l esp rance f m lt E f X Lois usuelles sur R a Loi hyperg om trique Une urne contient n boules n blanches et n2 noires On en tire r sans remise Soit X le nombre de boules blanches obtenues On a an P X x Cr O lt 1 lt Nn1 0 lt r x lt n gt b Loi binomiale B r p 0 lt p lt 1 r N Une urne contient n boules n blanches et na noires On en tire r avec remise Soit X le nombre de boules blanches obtenues On a posant p n n P X x Cpp 1 p 7 0 lt z lt r On a E X rp Var X rp 1 p c Loi de Poisson
6. e Pour X Y gt 0 eta b gt 0 ou X Y int grables et a b R E aX bY B E X B dE Y B p s a e Pour X Y gt 0 ou X Y int grables X lt Y p s implique E X B lt E Y B p s On a aussi prenant B Q dans 3 4 Proposition 3 2 5 Pour X positive ou int grable E E X B E X On utilisera tr s souvent le r sultat suivant tabli dans le premier chapitre Une v a Z est dite B mesurable tag e si elle est de la forme Z SK lp Bk B On sait prop 1 1 2 que toute v a B mesurable positive est limite d une suite croissante de v a B mesurables tag es positives Rappelons aussi qu on note B l ensemble des v a B mesurables positives B l ensemble des v a r B mesurables born es et que l on d signe Vesp rance conditionnelle par EP X ou bien par E X B 61 IIT 2 D finition et propri t s Chapitre III Esp rances conditionnelles Proposition 3 2 6 Soit X une variable al atoire positive resp variable al atoire int grable Alors E X v rifie E ZE X E ZX 3 5 pour toute Z B resp Z B Preuve Supposons d abord X gt 0 La relation E ZY E ZX est par d finition vraie pour Z 1 p B B Par lin arit prop 3 2 5 elle est vraie pour Z tag e B mesurable positive puis prop 1 1 2
7. Preuve On a sauf sur un ensemble n gligeable N pour tout Q 0 lt EP X AY E8 X 2AE XY MEP Y d o l in galit en crivant que A lt 0 p s a Proposition 3 2 12 Soit f R R convexe On suppose X et f X int grables Alors f EF X lt EF f X p s Preuve Soit n une suite dense dans R Reprenant l argument de la prop 2 3 4 pour chaque n il existe une fonction affine a x anx bn lt f x telle que an tn f x Soit g sup An y est convexe tout sup de fonctions convexes est convexe continue toute fonction convexe sur R est continue et pour tout n g x f x donc g f Le f x sup a u bn On a alors pour tout n an X by lt f X d o ps anE X bn lt E f X et S E X sup an E X bn lt EP X u Soit p gt 1 La fonction x gt x tant convexe on a pour X LP EP X lt EF X et prenant l esp rance E EF X lt E E X E X d o EF X p lt XII 3 6 pour p gt 1 ce qui signifie que Pop rateur X EF X est une contraction de LP Il reste tudier les passages la limite En fait on a les m mes r sultats que pour lesp rance ordinaire Proposition
8. Le th or me ergodique dans le cas irr ductible Th or me 4 7 7 Soit X une cha ne irr ductible r currente de mesure invariante A Soient f g LHA avec A g 4 0 alors pour toute loi initiale y on a Dr o F Xx AS ETC a 97 IV 7 Cha nes irr ductibles r currentes Chapitre IV Cha nes de Markov Preuve Soit x un point fix de E D apr s le th or me 4 5 18 les quotients ci dessus convergent P p s vers D si f et g sont dans L A avec Ay g 4 0 Mais puisque est proportionnelle avec une constante de proportionnalit strictement comprise entre 0 et 00 on voit que la limite ne d pend pas de x et que les conditions d int grabilit sont satisfaites pour Il s en suit que l ensemble Qo sur lequel la convergence des quotients vers xD a lieu est tel que P Q9 1 pour tout x E et donc P Q0 J Pa Qo du 1 a Notation Pour simplifier l criture on notera Z Z p s pour Zn gt Z P ps pour toute loi initiale p Corollaire 4 7 8 Si on choisit f Liy et g Liz on a nombre de visites de X y avantn A y M gt MS nombre de visites de X x avantn A x F Le th or me suivant explique le choix des termes r current positif et r current nul Th or me 4 7 9 Soit X une cha ne irr ductible r currente 1 Dans le cas r current positif si on note x la probabilit invariante pour toute FL n 1 SA AS ps k 0 2
9. Preuve e Soit u x Qaf x Pour x on a u x f x et pour x AS vu la prop 4 6 2 et la relation S4 1 T4 0 6 on a u x Qs f x QQAf x Qu x e Soit v E v rifiant v x f x x v x Qu x x A On pose T T4 et Zn V XnAT Alors E Zn Ez Zo v x Pour montrer ceci on va en fait prouver beaucoup plus savoir que Zn est une martingale c est dire que Ez Zn 1 Fn Zn On remarque tout d abord que la quantit Zn411l r n Znl r n est Fn mesurable et donc Zn 1 ZnHil r n U An 1 L 73m Ex Zn 11Fn Zn 1lircn Estv Xn 1 Lr gt ny 1 Fn Zn iliren Lira Erlo An 1 1Fn ZnliTen Lir gt nyQu Xn Zn 94 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 6 Th orie du potentiel En effet sur l ensemble T gt n on a Xn A et donc v X Qu X La suite Zn converge vers v Xr f Xr sur T lt cof On a alors u x Ex Lir lt rooy f XT E lim L rc oo 2n lt lim Es Zn v x u Corollaire 4 6 6 u x P T4 lt 00 est la plus petite solution positive du syst me u x 1 1 A u x Qu x re A et vu 4 29 Corollaire 4 6 7 Pour tout y A u x P Ta lt 00 Xr y est la plus petite solution positive du syst me u y 1 u x 0 Ally u x Qu x x A On s int resse maintenant v x E
10. On peut supposer E Y 0 On remarque que la suite M S n est uniform ment int grable puisque e M est born e dans L car E Mnl lt D r 1 El Ykl n El e M est qui continue car f M dP lt 516 Ja Yel dP n lt supy f4 Yk dP et il est vident que la suite Y est uniform ment int grable donc quicontinue puisque Jisa Y dP ne d pend pas de k Y Il suffit donc de prouver la convergence p s pour avoir aussi la convergence L On pose Zn Ypl lYn lt n Nous allons tout d abord montrer que les trois propri t s suivantes permettent d obtenir le r sultat cherch 1 D PA Zn lt oo 2 limE Z 0 3 Y E Z2 m2 lt Chapitre V Martingales V 6 Annexe En effet 2 et 3 et la proposition 5 6 14 permettent d affirmer que E Zk n 0 p s De plus d apr s le lemme de Borel Cantelli 1 implique que p s on a Y Zn partir d un certain rang al atoire et l on obtient donc le r sultat voulu Il reste prouver ces trois propri t s Soit Y une variable al atoire ayant la loi commune des Y 1 On a Y Pn Zn Zn P Yal gt n 3 PY gt n lt EY 2 On a E Zn E YaLgy lt ny E Y Lyyj lt n et cette derni re quantit tend vers E Y 0 par le th or me de Lebesgue 3 On a E Z EV Lgri lt n
11. Variables al atoires r elles Variables al atoires vectorielles Convergence des suites de variables al atoires Int grabilit uniforme o ie ne EAN 2 7 1 Fonctions caract ristiques 2 7 2 Vecteurs BAUSSIENS coco dc E he a dd da Meur 2 7 3 Convergence en loi Esp rances conditionnelles D finition l mentaire D finition et propri t s Conditionnement par une variable al atoire Conditionnement et ind pendance Lois conditionnelles AAC A A a o A 3 01 Un exemple cucuta a a eus E A a aaa 3 6 2 Le cas gaussien ai a 10 16 17 19 23 26 31 31 33 37 40 43 46 48 48 52 54 TABLE DES MATI RES TABLE DES MATI RES 4 Cha nes de Markov 73 4 1 Processus al atoires 4 4 4 73 4 1 1 Processus canoniques 74 4 1 2 Temps d arr t 22 so soaa Vaci aient ur nue get dre 75 4 2 Matrices de transition TT 4 3 Suites markoviennes onoo a a 78 4 4 Cha nes canoniques 82 4 5 R currence et transience 85 4 6 Th orie du potentiel des cha nes de Markov 92 4 7 Cha nes irr
12. e P T lt 00 P y N P N 0 Preuve La proposition 5 6 4 implique que les suites h X et r X convergent P p s vers l w o0y Mais P p s pour une infinit de valeurs de n la premi re suite est gale hz y et la seconde T y et donc P T lt Py N 1 m ooy Pr p s m Corollaire 5 6 7 Si P N 00 1 alors pour tout z tel que P T lt 00 gt 0 on a P T lt Pe N 1 Autrement dit si x est r current et x z alors P N 1 et z est r current d apr s le principe du maximum Preuve Il suffit de prendre x y dans la proposition pr c dente Ce r sultat avait d j t obtenu en 4 5 12 m Proposition 5 6 8 Soient A et B contenus dans E et gt 0 tels que pour tout x A P Tg lt 00 gt Alors pour tout x E Na C Ng Pz p s Preuve Soit R inf n gt Ta Xn B alors R gt TB et sur T4 lt oo onaR TA Tpo0r Par application de Markov fort on obtient P R lt 00 Pg Ta lt 00 N67 TB lt 00 En Lgr lt oopExr TB lt 00 gt 6P TA lt 00 En appliquant la proposition 5 6 4 et le fait que P Tg lt 00 gt P R lt 00 on obtient que Linp gt OL a 00 Pa p s d o le r sultat u 127 V 6 Annexe Chapitre V Martingales 5 6 2 Etude des sous martingales On commence par une g n ralisation de l tude des sous martingales ent
13. Yn 129 V 6 Annexe Chapitre V Martingales Alors S est une martingale Si pour tout n E Y lt 00 Sn est une martingale de carr int grable Dans ce cas SA Fm E Yn H 1 2Sn Yn 1 Fn 25n EY H 1 E YS 1 Ega PS et donc pour n gt 1 le processus croissant associ la sous martingale S2 est gal au processus d terministe 5 _ E Y Lois des grands nombres Proposition 5 6 14 Soient Y1 Yn une suite de v a r ind pendantes de carr int grable et bn gt 0 bn 00 On suppose que _ 1 E Yk gt n m Alors N f Var Yn Sn gt m p s ds gt b2 E ae Preuve y On peut supposer E Y 0 et alors m 0 La martingale Z p he est born e dans L et donc converge p s D apr s le lemme de Kronecker lem 5 3 7 a 0 p s n Corollaire 5 6 15 Si Y Yn est une suite de v a r ind pendantes avec pour tout k E Yx m et sup E Y M lt 00 alors on a Sn gt m p s Si de plus les Yn sont centr es alors pour tout 9 gt 1 2 on a Sy gt n 0 p s n On va maintenant tablir la loi forte des grands nombres sans supposer l existence d un moment d ordre 2 Th or me 5 6 16 Soit Y n gt 1 une suite de v a r ind pendantes et de m me loi avec ElY lt 00 Alors Sn n E Y1 p s et dans L Preuve
14. d finie par 4 5 17 est invariante Soit f Sx 1 AQ AQf En Y Qf X1 k 0 SN Ex Lines QS X4 D E ies Es AX 1 1Fp0 k gt 0 k gt 0 Se y Er Lies P Ak 1 O F X1 k gt 0 k 1 Alf Ex f Xo Esl f Xs2 An f Puisque A 1 1 est donc non triviale et par cons quent strictement positive et finie en tout point Il y a une nouvelle dichotomie selon que E 00 ou A E lt 00 Th or me 4 7 6 Soit X une cha ne irr ductible r currente de mesure invariante A Il y a deux cas possibles e AE 00 Alors pour tout x E Ez Sx 00 La cha ne est dite r currente nulle e AE lt 00 Alors pour tout x E Ex Sx lt 00 La cha ne est dite r currente positive Dans ce cas l unique probabilit invariante est donn e par n x 1 E S gt 4 30 Preuve Vu 4 5 17 on a dans le premier cas E S 00 et dans le second cas Ex Sy lt 00 Enfin si A E lt 00 on a lis Act _ Arl 1 n L ME ES Et Pour calculer la mesure invariante de la cha ne on n utilise en g n ral pas 4 5 17 On r sout directement l quation A AQ Cependant cette quation peut tre difficile r soudre d o l int r t de la notion de mesure r versible introduite dans 4 3 7
15. u x u 0 X u y 1 u y X mly Po 0 Po J e Si Yo y lt 00 u x u 00 lorsque x 00 et la plus petite solution positive s obtient en choisissant u 00 0 ce qui donne u 0 T gt y e Si gt y 00 u x gt o0 lorsque x et il ny a pas de solution avec u 0 lt 00 On a donc dans ce cas u 0 00 ce qui implique u x 00 pour tout x d apr s l quation 4 5 2 et l irr ductibilit 106 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 9 Annexe On a donc 00 U 2 0 00 si w0 00 Ule S ml si Yoly lt o y yt y On en d duit que si S y 00 X est r currente si X yl lt 00 X est transiente y y Remarquons que pour tout a gt 0 q qi da 1 qi q D E a r D D y 1 Pi Pai Pi Pa fe ce qui montre que la nature de la cha ne ne d pend que de Pz qx Y gt a Enfin vu que pour x gt 0 U x 0 P4 To lt 00 U 0 0 th 4 5 2 on a D ya 10 Y Ni vu Po To lt 00 Passons l tude des mesures invariantes On commence par chercher une mesure r versible def 4 3 7 i e v rifiant pour tous x y EN u 2 Q z y p y Q y x Dans ce cas ceci se r duit u x px x 1 4x 1 d o qi qz ssi 00 ye Px 1 ste qi qz Un cas particulier Supposons que pour tout x gt 1 Pz P qz q Alors yo 1 de La cha ne est transiente si p gt q r currente si p lt q Elle admet une l
16. 6 2 Sto SE 6 2 On peut appliquer le cor 1 3 6 et 0 o gar he Heada ne Ztane f Zeena Lien avec Po usuelle Soit f une fonction r elle continue sur q b et posons pour aa bla F t dt int grale au sens usuelle et G x f Lijaa ep f d mesure de a sur R On sait que F a 0 F est o sur a b et que sur Ja b F est d rivable avec F f Il est facile de v rifier que G a les m mes propri t s Ceci implique que F G sur a b et en particulier que ro de foso He Chapitre I Rappels d int gration 1 3 Int gration Par additivit cette formule est encore vraie si f est continue par morceaux sur a b Consid rons maintenant une application f de R dans R continue par morceaux telle que q F t dt soit absolument convergente Lorsque a oo et b T 00 d une part par d finition f f t dt gt FS f 0 dt lt 00 et f FE dt gt TE F t dt d autre part f Litas 14 dA J f dA convergence monotone ce qui implique que f LA puis f Lija p f dA f fdA th or me de Lebesgue puisque Lypsp fl lt IFI LHA Donc e Pt dt fra Par contre si q F t dt est convergente mais pas absolument convergente par ex emple f x EL f L A Soient E un ensemble d nombrable et u x x E une famille d l ments de R On pose pour A C E A J sea u x Le th 1 2 1 implique que y est une mesure sur E P E On a alors L f zeg f u lt 00 et
17. Preuve Il suffit d appliquer le Corollaire 3 4 7 u La prop 3 3 2 entra ne que Proposition 3 5 4 Une probabilit de transition de E dans F N t dx t E est la loi conditionnelle de X sachant que T t ssi pour toute f F et toute g EF Elg T f g t t dur t o ur loi de T 3 12 68 Chapitre III Esp rances conditionnelles HI 5 Lois conditionnelles La loi conditionnelle de X sachant que T t est unique au sens suivant Si N t dx et N t dx v rifient 3 11 on a pour tout A F N T A N T A pos i e N t A N t A pr p p La formule 3 12 montre que si on conna t la loi de T et la loi conditionnelle de X sachant que T t on peut reconstituer la loi du couple X T Plus pr cis ment Proposition 3 5 5 Soient T X des v a valeurs E et F F pr la loi de T N t dx la loi conditionnelle de X sachant que T t On a pour toute h Y F UES Ph EMT X fif aea N E dl dite Preuve Soient C P T X C et pa C JU Lopta NG di durt p et pa sont deux probabilit s sur Ex F E 8 F m la loi de T X On a E A T X h t 2 du t 2 et If AG N t dz dur t f h t x du2 t x Vu la prop 3 5 4 u A x B A x B pour tout A E et B F et donc prop 1 2 3 u1 qua et le r sultat cherch s Les probl mes classiques de conditionnement se traitent gr ce Proposition 3 5 6 Soient T
18. f x f y lt e 2 Alors leo f x F1 1 falo 00 2 FU dy go a y f x FO dy go x y l 2 F w dy Ix yl lt a Ix yl gt a 5 faune f 9 de lt lt e IA si o est assez petit m Corollaire 1 6 6 La famille go f o gt 0 f Ck est dense dans Co Preuve On a go f x f gala y f y dy Vu que go x y f y lt IF LA on montre Are gr ce au cor 1 3 6 que go f Co Ck tant dense dans Co il suffit d approcher les fonctions de Ck c est l objet du lem 1 6 5 a 21 1 6 Convolution et transformation de Fourier Chapitre I Rappels d int gration Lemme 1 6 7 Pour toutes u v Mp f go v x dle 2m 742 UE g 0 hu dudv y Preuve Vu que go 2 07 g9 2 0 on a lem 1 6 4 e71t1 20 JA O du at sig ou du et golt 27 ei lt tu gt g ou du On a alors Jurvierata f ale v dual md lt q ou dudula do y emy f ei gt g ou f e lt gt dul dudo y gr ce au th 1 4 2 puisque e 224 gt g 0u lt gi ou LH AS9 uv a Prenant v 0 dans le lem 1 6 7 on a pour toute u M IEC a du x ed fete y ou f u du 1 14 Si on prend v f A dans le lem 1 6 7 on a pour toute y M et toute f LE ou toute f L par diff rence J 80 tia rP fra fa dudy 115 Nous pouvons maintenant tablir l injectivit de la transformation de Fourier Th or me 1 6 8
19. XAU 2 Aly X Qu 2 My Il est en g n ral assez facile de calculer une mesure r versible Cependant elle n existe pas toujours m me s il existe une mesure invariante On verra qu une probabilit in variante est un objet particuli rement int ressant Une des raisons est 81 IV 4 Chaines canoniques Chapitre IV Cha nes de Markov Proposition 4 3 8 Si est une probabilit invariante la cha ne Xn de loi initiale est stationnaire Preuve Soient tp Tn E On a d apr s 4 12 pour tout k P X L0 SARER Tn X1Q x0 Q 0 11 one Otitis Ca A x0 Q z0 721 Q Ln 1 Tn P Xo Dd Tn Proposition 4 3 9 Si est une probabilit r versible la cha ne Xn de loi initiale est r versible Preuve Soient zo r E On a P Xo 0 XT xr X xo Q xo 11 ie Qler 1 xr Q z1 zo A r21 Qlz1 22 Qlrr 1 17 Q 21 20 Q 22 11 Q z7 cr 1 A rr P Xo x7 Xr t0 4 4 Cha nes canoniques Intuitivement tant donn es une probabilit yy et une matrice de transition Q sur E il existe une cha ne de Markov de loi initiale u et de matrice de transition Q En effet on tire Xo selon la loi u on obtient xo Alors on tire X selon la loi Q xo on obtient z puis on tire X selon la loi Q x1 on obtient xa et ainsi de suite C est ce que confirme le th or me suivant Th or me 4 4 1 Soient u une probabilit et Q une matrice de transitio
20. lt N Or T lt 00 P4 Ty lt 00 Py T lt 00 gt 0 a Nous allons maintenant pr ciser cette d composition en classes d quivalence Proposition 4 5 12 Soit x un point r current et y tel que x y Alors 1 Le point y est r current et y x 2 On a P N P y N 00 1 Preuve On peut supposer x y car sinon il n y a rien prouver On reprend la construction du Corollaire 4 5 8 avec Zo Dir Liy o Xy L v nement Zn gt 0 est gal 3k S lt k lt SH Xp y Ces v nements sont ind pendants et de m me probabilit soit sous Pp On ne peut avoir 0 car alors P Ty lt 00 P Un Zn gt 0 serait nul Il r sulte alors du Lemme de Borel Cantelli que P p s l v nement Zn gt 0 se produit une infinit de fois et donc P N 1 d o U x y Ex Ny oo De la relation U x y P T lt oo U y y on d duit que U y y 00 et donc que y est r current Il reste donc seulement prouver que y x Pour ceci on remarque que Ty lt 00 N Tz 0 07 C Nz lt Ps p s et par application de la propri t de Markov forte on obtient P T lt P Tr TP Ne lt 0 et donc P Ty 00 0 puisque P Ty lt gt 0 Remarque 4 5 13 La d monstration ci dessus introduisant les excursions a le m rite de se transposer aux cas de processus plus g n raux Dans notre cas on peut faire une preuve plus
21. 0 On appelle coefficient de corr lation de U et V la quantit Cov U V OUOV On a pu v lt 1 et ou v 1 ssi aU bV c 0 p s Plus g n ralement on pose pour X L PUV K X E X E X X E X E X X E X E X JI 2 9 K X s appelle la matrice de covariance de X On a K X Cov X X Notons que si les composantes X1 X4 sont ind pendantes K X est diagonale Proposition 2 4 4 Soit X Le On a i K aX K X a R K X a K X a RI K X K X ii Pour tout AER NK X A gt 0 iii Soit M une matrice d terministe r x d on a K MX MK X M Preuve i r sulte de la d finition 2 9 a ii Vu i on peut supposer E X 0 Alors NRA NECAXA E X XX EA XA gt 0 ii Vu i on peut supposer E X 0 Alors K MX E MX MX E MXX M ME XX M MK X M a Les points i et ii montrent que K X est sym trique semi d finie positive Th or me 2 4 5 Soient X Y L des vecteurs al atoires ind pendants on a K X Y K X K Y En particulier si d 1 Var X Y Var X Var Y si les v a r X et Y sont ind pendantes Preuve On peut supposer E X E Y 0 Alors K X Y E X Y X Y E X X E Y Y puisque vu l ind pe
22. 1 6 qui s appelle l in galit de H lder Notons que pour p q 2 1 6 implique l in galit de Schwarz Pira lt Pau f ta L f eL firman lt 00 IP f eI ff du lt o On note Alors LP muni de la norme p est un espace de Banach et L est un espace de Hilbert pour le produit scalaire lt f g gt J to On peut aussi consid rer le cas des fonctions valeurs complexes On d finit de la m me fa on Le LR E B y Il faut noter que L est associ au produit scalaire lt fig gt f fodu Proposition 1 3 8 Pour 1 lt p lt 00 E f f Xi al a y Ak B u Ak lt 00 est dense dans LP E B pu Preuve Il suffit de consid rer f gt 0 Alors il existe prop 1 1 2 une suite fn B telle que fn 1 F Vu que fh lt fP L fn El On a puisque f lt 00 p p f fal 0 p p et f f P lt fP L donc th de Lebesgue f f fn du 0 u Soit u une mesure sur E B On peut lui associer une application 7 de B dans R en posant I f f f du f BY L application T a les propri t s suivantes I f g 1 f 1 g I af al f a RF et I fn T I f si fn 1 f R ciproquement on a Proposition 1 3 9 Soient E B un espace mesurable et I une application de B dans R telle que e i si f g B I f 9 I f Ig si f B etaeR I af al f e ii si fn BT et si fa T f I fn TIC Alors A I 1 4 B d fi
23. F P est un espace de probabilit et o Fn est une famille croissante de sous tribus de F La tribu Fn s appelle la tribu des v nements ant rieurs n D finition 4 1 3 On appelle processus al atoire adapt valeurs E un terme X Q PF Fn Xn n gt 0 P o Q Fn F P est un espace de probabilit filtr et o pour tout n Xn est une v a F mesurable valeurs E Un processus au sens de la def 4 1 1 est un processus adapt au sens de la def 4 1 3 si on choisit Fn F o Xo Nils Xn 73 IV 1 Processus al atoires Chapitre IV Cha nes de Markov 4 1 1 Processus canoniques Soit X un processus valeurs E On note un la loi de Xp X1 Xn C est une probabilit sur E 1 amp n 1 Si on note Th11n la projection canonique de E sur E i e l appliquation x0 n 1 Tn Lo En 1 ona kn la Pn 1 En vertu de la prop 1 2 3 ceci est quivalent pour tout Az in 1 Ao X A OS An 1 un Ao X A X X An 1 X E 4 1 Les probabilit s un n gt 0 s appellent les r partitions finies du processus X R ciproquement si on se donne des probabilit s un sur E 1 r 1 v rifiant 4 1 se pose la question de savoir s il existe un processus ayant pour r partitions finies les Un On introduit l espace canonique Q EN w wn n gt 0 Xnlw wn Fn OU k lt n F 0o Xp k 0 4 2 Soit A Fn A est de la forme A B x
24. Notions de probabilit s Preuve On a vu iv EX Xn E X1 E X lt 00 Donc Xi Xn L ux Xn et on applique v et le th de Fubini a Remarque 1 Si les v a X1 X sont valeurs E d nombrables une condition n cessaire et suffisante d ind pendance est il suffit de sommer Vases PA p A PS PR Tn Remarque 2 Attention On peut avoir X ind pendante de Y X ind pendante de Z sans que X soit ind pendante de Y Z Par exemple soient X et Y deux v a ind pendantes telles que P X 1 P Y 1 P X 1 P Y 1 On pose Z XY On a encore P Z 1 P Z 1 3 On v rifie facilement que X et Z sont ind pendantes en effet P X 1 Z 1 P X 1 Y 1 P X 1 P Z 1 Mais X n est pas ind pendante de Z Y X car ceci implique X C En fait la classe C A A Y Ti ou Z T2 n est pas stable par intersection Loi 0 1 Proposition 2 2 10 Soit X1 Xh une suite de v a ind pendantes On pose Bu Mm gt 10 Xp k gt n Alors pour tout A B P A 0 ou 1 De plus si X est une v a r B mesurable alors X est p s constante Preuve Posons An e X k lt n As o Xg k gt 0 Bn o Xk k gt n D apr s la prop 2 2 4 An est ind pendante de B 1 et de Ba C Bn 1 Donc Bo est ind pendante de Av prop 2 2 3 appliqu e UAn mais B C Ax d o Ba es
25. P X1 T1 Xn E ln P X T1 P X Th iii Pour tous T Di P X1 L1 Xn Tn P X1 li P an l a o pour chaque i D est une classe stable par intersection finie contenant E et telle que o D Ei iv Pour toutes f EF resp fi bEi E f1 X1 fa Xn E F1 X1 E fn Xn v UX Xn 4X19 9 UX Preuve 1 2 11 C est la d finition 1i gt v On a pour tous l amp MX Xn 1 X Tn 4x P1 4x Tr ce qui entra ne l galit des mesures th 1 4 1 v gt iv C est le th 1 4 1 ou le th 1 4 2 iv ii On prend fi Lin i i ii On applique la prop 2 2 3 aux C X T IT Di a Corollaire 2 2 8 Soient X1 X des v a r il y a quivalence entre i Les v a X1 X sont ind pendantes ii Pour tous a b R P ai lt X lt b an lt Xp lt bn Par lt X lt bi Pan lt Xp lt bn iii Pour toutes fi continues support compact E f A1 fn Xn E f1 41 E fn Xn Preuve Il suffit de remarquer que iii ii puisque Lay lim Y fm avec fm Ck et d appliquer le th 2 2 7 u Corollaire 2 2 9 Soient X Xn des v a r int grables ind pendantes Alors le pro duit X1 X est int grable et E X1 Xn E X1 E X 39 11 2 Ind pendance Chapitre II
26. Soit Y My E Ac Fn Yn est une martingale et Y gt My E AnlFn Mn An X gt Xn donc Y gt 0 et Zn Yn Xn est une surmartingale positive q Preuve du th or me 5 4 1 Supposons que X soit une sous martingale born e dans L Appliquant le lemme 5 4 4 on obtient que Xn s crit comme la diff rence d une martingale positive et d une surmartingale positive elle converge donc p s puisque chacun des deux termes a une limite int grable et donc finie p s Si on note X sa limite on a E X E lim X lt lim E X lt sup EX lt 00 u Si X est une martingale born e dans L on a Xn Xu p s et XX L mais on n a pas toujours X gt X dans Lt Ceci est d j patent dans le cas d une martingale exponentielle mais on peut aussi consid rer exemple suivant Soient Q 0 1 Fn 0 k2 k 1 2 k 0 1 2 1 F B 0 1 P mesure de Lebesgue et Xn 2 Lijo 2 7 Alors Xn est une martingale car pour tout A Fn Sa Xn 1 dP Ja Xn dP il suffit de le v rifier pour A 0 27 On a E X E Xn 1 Xn 0 p s mais E X 0 1 et Xn ne converge pas dans L Martingales r guli res On tudie le probl
27. Soit fn B alors f lim fn du lt lim f fr du e ii Soit fn Br avec fn lt g L alors Jim fida lt tin pudes fadus Tin fado 11 1 3 Int gration Chapitre I Rappels d int gration ii implique le c l bre th or me de Lebesgue Th or me 1 3 5 Soit fn LE telles que fn f p p avec f lt g L alors im fe du fau Ce th or me a une version continue tr s utile Corollaire 1 3 6 Soit f t U une famille d l ments de Ll U ouvert de R On suppose que liMi to ft f p p et que pour tout t U fil lt g Ll alors limito J fedu f f du Preuve Il suffit de remarquer que lim gt t J fr du f f dy ssi pour toute suite tn tendant vers to limo to J fin du f f du et d appliquer le th 1 3 5 Donnons un exemple d utilisation de ce corollaire Proposition 1 3 7 Soient E B u un espace mesur I un intervalle ouvert de R et une famille f t x t I d l ments de Li u On pose pour tout t I p t J f t x du x On suppose que pour tout x E A tuo f t 1 est d rivable sur I que pour tous ze Aettel pi AU 2 lt g x que g L u et que u A 0 Alors est d rivable sur I et P t ME F L t 2 du x Preuve Ona ROUEN 6 0 RUE M a 6 due D apr s la formule des accroissements finis on a pour x of 0 2 lt gle RCE Re flea 1 si h est assez petit et 1 RU h a
28. Tny1 E E et tout n gt 0 P Xo XO gt Xn 1 Dn P Xo ly Ai A E n41 4 5 En r sum si X est une cha ne de Markov par rapport aux Fn au sens de la def 4 3 1 X est une cha ne de Markov au sens de la def 4 3 3 et si X est une cha ne de Markov au sens de la def 4 3 3 X est une cha ne de Markov par rapport aux F au sens de la def 4 3 1 Les points de E s appellent les tats de la cha ne En fait la loi de la cha ne de Markov X est enti rement d termin e par sa loi initiale et sa matrice de transition comme le montre le th or me suivant qui est une simple cons quence de la discussion ci dessus 79 IV 3 Suites markoviennes Chapitre IV Cha nes de Markov Th or me 4 3 4 Soit X Q F Xh n gt 0 P un processus valeurs dans E e Si X est une cha ne de Markov de loi initiale u et de matrice de transition Q on a pour tous Lo Xn E E P Xo z0 X1 his Xn En Me QT e OEA n 4 6 e R ciproquement si le processus X v rifie 4 6 pour y probabilit et Q matrice de transition sur E alors X est une cha ne de Markov de loi initiale u et de matrice de transition Q La formule 4 6 a d importantes cons quences On a par exemple P Xo z X2 y 2 X Q x 2 Q 2 y n 0 0 z y et de m me on montre par r currence que P Xo 0 Xn y H x Q x y 4 7 En particulier P X y X 1 2 Q 2 y uQ y 4 8 ce qui montre que si Xo a pour loi u Xn a pour
29. ce qui donne l existence Mais on peut aussi appliquer la prop 1 3 9 12 f FS F x1 22 du2 x2 du 21 et vu l unicit ona Z1 f L f a Si f LC Q u2 on peut appliquer le th or me pr c dent R f MP S f et S f 7 et l on obtient le th or me de Fubini Th or me 1 4 2 Soit f Lo 8 2 Alors J f 1 22 dualzz lt oo p p p et dia f x1 22 dpo 2 L pa f x1 22 du x1 lt 00 pa p p et palx2 f f 1 2 dur lar Lua et J f di pa j f 1 22 dur 21 dp2 22 f n 22 duz e2 du 21 Tout ceci s tend sans trop de peine au cas de n espaces mesurables Il y a quelques v rifications fastidieuses faire du type u1 u2 u3 ua Q u2 us De plus dans la formule d int grations successives les variables peuvent tre int gr es dans tous les ordres possibles A ce sujet le grand principe est si f est positive tout est permis si f est de signe quelconque ou complexe on consid re d abord f et on commence par montrer que f est int grable 16 Chapitre I Rappels d int gration 1 5 Mesures de Radon sur R Consid rons R B R A mesure de Lebesgue La premi re chose v rifier est que B R B R amp 9 B R B R9 ce qui est assez facile On d finit alors sur R4 B R 4 18 1 On peut appliquer la prop 1 2 3 d C 4A A Il ai bil 00 lt as lt bi lt 00 i 1 On
30. de la limite D apr s le lemme de Fatou E X Fn E limp Xp n Fn lt lim E Xn pl Fn lt Xn p s 2e Il suffit de prouver que pour n N on a E X Fr lt Xr p s sur T n mais ceci r sulte de la prop 5 4 8 et de l in galit ci dessus 3e Enfin Zn X AT est une surmartingale g n ralis e positive qui converge p s vers Laz XT et donc E Zo Fr lt ZT Or ZT XT AT XT a Corollaire 5 5 3 Soient X une surmartingale positive g n ralis e et T un temps d arr t alors E Xr lt E Xo Martingales positives g n ralis es L On peut bien s r appliquer les r sultats du th or me 5 5 2 concernant les sur martingales positives g n ralis es aux martingales positives g n ralis es mais il faut se garder de transformer les in galit s en galit s Par exemple l on n a pas en g n ral l galit E X v Fn Xn mais seulement E X Fn lt Xn et de m me pour les temps d arr t Par contre ces galit s deviennent vraies pour une forme particuli re de martingale positive g n ralis e proche de la notion de martingale r guliere 123 V 6 Annexe Chapitre V Martingales Th or me 5 5 4 Soit X une variable al atoire valeurs dans R La martingale positive g n ralis e Xn E X F converge p s vers une variable al atoire X telle que X E X F et donc Xn E
31. e par les u x x E D finition 4 2 1 Une matrice positive M est une famille M x y x y E o pour tous 1 y M x y R Pour AC E on pose M x A EA M x y 77 IV 3 Suites markoviennes Chapitre IV Cha nes de Markov On rappelle que dans R 00 x 0 0 x 00 0 Etant donn es deux matrices positives M et N on note MN la matrice produit d finie par MN x y Y M z 2 N z y 2 E Comme pour le produit ordinaire des matrices celui ci est associatif mais non commu tatif On note M I o I x y Liz y et pour n gt 1 M MM MM D finition 4 2 2 Soit f Et et u MT on pose Mf x Y M a YH y uM y X H x M x y yeE EE alors f Mf est un op rateur lin aire de dans E et la composition de ces op rateurs correspond aux produits des matrices i e l on a M N f x MN f x de plus M x A M1 4y x De m me u gt uM est un op rateur lin aire de M dans M et on a uMIN MN uM f u Mf Les matrices positives telles que pour tout x E Ar M x A soit une probabilit sur E seront appel es matrices de transition D o D finition 4 2 3 On appelle matrice de transition sur E une famille Q x y x y E telle que pour tous x y E Qay 20 Y Qey 1 yeE On v rifie imm diatement qu une matrice positive Q est une matrice de transition ssi Q1 1 que le produit de deux matrices de transition est une matrice de transition
32. et donc aussi U y y a Il faut bien noter que le fait que soit de masse totale finie est essentiel Il se peut tr s bien qu une cha ne transitoire admette une mesure invariante mais qui sera n cessairement de masse totale infinie Le th or me ergodique L ind pendance des excursions d une cha ne de Markov est l argument essentiel du th or me ergodique que nous allons maintenant tablir On appelle th or mes ergodiques des th or mes concernant le comportement lorsque n 00 de Ly Lio f x Xy ou de n k ST D finition 4 5 17 Soit x un point r current on d finit une mesure A sur E par Sx 1 Sx 1 Any Eo Y lyyo Xp y E ouencore An f En D f Xx fe E k 0 On a en particulier As 1 Ex Sz et Az x 1 Th or me 4 5 18 Soit x un point r current et f g LA avec Ay g 0 alors ue ib g Xx x 9 Preuve Soit f une fonction positive A int grable on pose St Zo Y Xp Z1 Z0051 Zn Z 005 k 0 91 IV 6 Th orie du potentiel Chapitre IV Cha nes de Markov La v a Zo est Fs mesurable et E Z0 f D apr s la prop 4 5 6 les variables al atoires Z k gt 0 sont sous Py ind pendantes et de m me loi D apr s la loi forte des grands nombres 1 A Lo He Zn 1 gt n Arl f Pz p s Comme pour tout p S i Se Eq Zp 2Z 005 Y f Xp 005 Y f X k 0 k S 2 on a
33. il existe vu i des ouverts U contenant AND tels que un Un N Va lt AN Dn 27 On a alors A C U UnUn N Vn ouvert et u U lt Y Un N Va lt p A e Si u A 00 il n y a rien montrer pour les ouverts On choisit alors K compacts Kn TR on a AN Kn Y u A 00 et pour tout n AN Kn sup u H H compact C AN Kn On conclut facilement a De cette proposition on d duit ais ment Th or me 1 5 6 Soit u une mesure de Radon sur B R Alors pour tout p 1 lt p lt oo Cp est dense dans LP R yu Preuve Vu la prop 1 3 8 il suffit d approcher 14 A B R u A lt 00 D apr s la prop 1 5 5 il existe des compacts K tels que K C A et u A K May Lx 116 0 Il suffit donc d approcher Lrg K compact Mais il existe fn Cx tels que fn Lir Utilisant le th de Lebesgue on a Lyx fnllp gt n 0 u Corollaire 1 5 7 Soit y une mesure de Radon sur B R L espace des fonctions en escaliers i e de la forme dy ailin tiag t lt lt tn est dense dans LP R y Preuve Vu l uniforme continuit il est facile d approcher en norme p une fonction de Ck par des fonctions en escaliers On applique ensuite la prop 1 3 8 a 1 6 Convolution et transformation de Fourier Pr cisons d abord que nous n avons pas l intention de faire un expos un tant soit peu exhaustif du sujet mais seulement de pr senter quelques r sultats utiles en probabilit s On se place sur R On not
34. me de la convergence des martingales dans L Rappelons que si Xn X dans L alors pour tout A F Ja Xn dP gt Sa X dP car Xade Xod lt Xn Xol P lt X Xoh k gt 00 O A A A On sait que si X Lt X E X F est une martingale D finition 5 4 5 Une martingale de la forme Xn E X F X L s appelle une martingale r guli re Th or me 5 4 6 Soit Xn une martingale Les propri t s suivantes sont quivalentes 1 Xn est r guli re 2 X est uniform ment int grable 3 Xn converge dans Lt vers Xo Dans ce cas on a n cessairement Xn E X gt Fn Preuve e 1 gt 2 C est une cons quence de 3 2 14 e 2 gt 3 Toute famille unifom ment int grable est born e dans L d apr s 2 6 2 La martingale X converge donc p s vers X Le th or me 2 6 5 permet d affirmer que Pon a aussi convergence dans L La derni re affirmation est prouv e ci apr s 121 V 4 Martingales dans L Chapitre V Martingales e 3 1 Par hypoth se on a pour tout Fn et tout k Sa Xn dP Ja Xn x dP et vu que Xm gt m X dans L Ja Xn x dP gt k Ja Xo dP d o Ja Xn dP Ja Xo dP ce qui montre que Xn E Xo F Remarque 5 4 7 On consid re une martingale r guli re de la forme Xn E X Fn X L Alors le th or me ci dessus montre que Xn converge p s et dans L vers une v a Xo En fait on a X EA Es
35. n ral la convergence en loi n implique pas la convergence en probabilit A titre d application on d montre un r sultat utile sur les v a r gaussiennes Lemme 2 7 20 Soit a une suite de r els tels que pour tout t R em A t Alors la suite an converge Preuve La fonction A t est continue et A 1 il existe donc a gt 0 avec f A t dt p 0 D apr s le th or me de Lebesgue lim de etan dt p et comme Jo iane dt etan 1 pour n assez grand emn A a ASE Ef tan dt 1p 0 Proposition 2 7 21 Soit X une suite de v a r gaussiennes convergeant en probabilit vers X Alors X est gaussienne et pour tout p gt 1 X converge vers X dans LP da Preuve Soient an E Xn 02 Var X On a px t expliant o t 2 Comme Xn converge vers X en probabilit Xn converge vers X en loi et fx t converge vers la f c pt de X Alors px t exp 02t 2 p t On a 1 0 sinon 02 00 et pour tout t 0 p t 0 ce qui est impossible puisque 6 est une fonction caract ristique Donc 02 21n p 1 0 lt 00 Alors pour tout t R exp iant converge et lem 2 7 20 a a On a donc p t expliat a t 2 et X Ni a o Vu que E eXnl lt E e r E e X exp an 02 2 exp an 02 2 et que les suites a et 02 sont born es on a sup E el l lt 00 Comme pour tout r eN xl lt C el l ceci implique que sup E
36. o Pos Tn n gt 0 Preuve Puisque X est F mesurable il suffit d tablir que e Xo dP La X dP pour tout ensemble A Fa Or ceci est vrai lorsque A F puisqu alors les deux int grales valent f Xn dP Il suffit alors d utiliser de nouveau l unicit du prolongement d une mesure de l alg bre la tribu engendr e comme dans la fin de la preuve de 5 3 5 u Th or me d arr t Proposition 5 4 8 Soit X une v a int grable ou positive Alors p s E X Fr LiT n Z EA Fm Lir ny gt n EN Preuve Supposons X gt 0 Il est facile de constater que le produit d une variable al atoire Fr mesurable par L r_ est en fait F mesurable Les deux membres de l galit prouver sont donc F mesurables Pour prouver qu ils sont gaux il suffit de prouver qu ils ont la m me int grale sur tout ensemble A Fn Or 1 E X Fn dP X dP J E X Fr dP AN T n AN T n AN T n la derni re galit provenant du fait que l ensemble A N T n est en fait Fr mesurable Soient X une martingale r guli re et T un temps d arr t Alors X lim Xn existe p s et OMS est une martingale La v a Xr est d finie sans ambigu t par Xr Xn sur T n n N On a alors Th or me 5 4 9 Soit Xn E X Fn X L une martingale r guli re Alors 1 si T est un temps d arr t Xr E X Fr p s et Xr L 2
37. pour f Lt f fdu X zeg f x x En particulier si on prend pour y la mesure de comptage i e u x 1 pour tout x E on a L f Pregl f lt 00 et f fdu Peg f x Il est int ressant d noncer dans ce cadre les th or mes de convergence du paragraphe pr c dent On a e i SiO lt fn f Zo fala 1 D f x e ii SiO lt fn lim pfn t lt lim n y fala e iii Si fa f et si fn lt g avec Y g x lt 00 Hg f x gt n a f x Jbf Espaces LP Soit E B 1 un espace mesur On note l ensemble des applications B mesurables de E dans R finies p p On dit que f gsi f g p p Alors est une relation d quivalence sur L On note L En fait L est l espace des classes de fonctions B mesurables d finies un p p pr s Puisque f g p p implique f f du f g du et J fdu fgdu si f et g sont dans L1 on peut d finir sans ambigu t pour f L Jfif du puis si f f du lt 00 f f du Par abus de langage dans toute la suite nous noterons de la m me fa on une fonction et sa classe d quivalence On pose alors pour 1 lt p lt o et fe LD fl f IP anj et pour p 00 If loo inf M u 1f gt M 0 On a deux in galit s fondamentales Pour f g L IIZ allp lt lp llgllp 1 lt p lt 00 1 5 13 1 3 Int gration Chapitre I Rappels d int gration qui s appelle l in galit de Minkowski et 11 fol lt ll Ip llglla 1 lt p lt 00 2 1
38. si T1 lt T2 sont des temps d arr t E Xn Fr Xr p s Preuve e D apr s la proposition 5 4 8 Xr E X Fr p s et donc Xr Lt e On a Fr C Fr et donc E Xn Fr E E X Fr Fr E X Fr X7 ps au 122 Chapitre V Martingales V 5 Martingales positives g n ralis es Il est tr s facile de constater que ce r sultat est faux sans hypoth se de r gularit sur la martingale X Prenons par exemple pour Xn la marche al atoire centr e de pas 1 sur Z et pour T le temps d entr e dans un point a 0 Alors P T lt 1 et Xr Il s en suit que E X7 a Xo 0 5 5 Martingales positives g n ralis es D finition 5 5 1 La d finition 5 1 1 a encore un sens si on remplace Xn int grable 14 E OS par Xn positive c est dire valeurs dans R On parlera alors de martingale resp surmartingale resp sous martingale positive g n ralis e Surmartingales positives g n ralis es Th or me 5 5 2 Soit Xn une surmartingale positive g n ralis e alors 1 Xn converge p s dans R vers une v a X et E Xo F lt Xp 2 Si T est un temps d arr t E Xo Fr lt Xr 3 Pour tous temps d arr t tels que Ti lt Ta E X7 Fr lt Xr p s Preuve le Il suffit de reprendre la preuve du lemme 5 4 3 exception de l assertion relative l int grabilit
39. siPlw Xp w gt n X w 1 e On dit que la suite Xn converge vers la v a X dans LP 1 lt p lt 00 si Xn X LP et si E Xn X P 0 On v rifie imm diatement que Xn Xn1 Xn a converge vers X X Xq en un des sens ci dessus ssi pour k 1 d X y converge vers Xy dans le m me sens On ne consid rera donc plus que des v a r elles De plus ces convergences sont compatibles avec la structure d espace vectoriel c est dire que si deux suites convergent il en est de m me de toute combinaison lin aire et la limite est la combinaison lin aire des limites On note X tant une v a r X E XP Vu lin galit de H lder 1 6 on a pour 1 lt p lt q XI lt X et donc la convergence dans L41 implique la convergence dans LP En particulier la convergence dans L implique la convergence dans L La convergence dans L s appelle aussi la convergence en moyenne la convergence dans L s appelle aussi la convergence en moyenne quadratique La d finition de la convergence p s signifie qu il existe un ensemble Q CN de proba bilit 1 v rifiant Vw Ve gt 0 IN tel que n gt N gt Xp w X w lt ou encore en posant Qe Un gt o Mn gt wN Xn X lt ej et Q NesoQe on devrait avoir P Q 1 Le probl me est que pour d finir Q on utilise une intersection non d nombrable et qu il n est donc pas clair que cet ensemble
40. uniforme sup El X lt 00 Montrons ii Soit e gt 0 Il existe 1 gt 0 tel que f X dP lt 2 si P A lt a1 Vu que J Xn dP lt s X f Xn X P dP lt rf X dP E X XP A A A A il existe no tel que f X P dP lt e sin gt no et P A lt a1 La famille 1X1 Xnp1 tant uniform ment int grable il existe a2 gt 0 tel que f4 Xp dP lt e si P A lt a et k lt no On a tabli ii avec a a1 1 0 um Donnons un crit re tr s pratique d uniforme int grabilit Proposition 2 6 4 Soit g une application de R dans R telle que lims 1 a t 00 Si sup xex Elg X lt 00 la famille H est uniform ment int grable Preuve Soient M supxen Elg X et e gt 0 Par hypoth se il existe A tel que si t gt ee gt u On a alors pour tout a gt A et tout X H E E X dP lt E J J X dP lt EY IX lt u eS M J x gt a M Exemple On choisit g t t p gt 1 Alors si supyey X p lt 00 la famille H est uniform ment int grable y Le r sultat essentiel est Th or me 2 6 5 Soit Xn une suite de v a r elles convergeant en probabilit Alors Xn converge dans LP ssi la famille lisa est uniform ment int grable Preuve Supposons que la famille so soit uniform ment int grable et que Xn X en prob abilit On a prop 2 6 2 sup E X lt 00 D apr s le cor 2 5 6
41. 3 2 13 Soit X une suite de variables al atoires i Si 0 lt Xn 1 X E Xn 1 E X p s 63 IIT 2 D finition et propri t s Chapitre III Esp rances conditionnelles ii Si 0 lt Xn EP lim Xn lt lim E Xn p s iii Si X lt V avec V L ES lim Xn lt lim E Xn lt lim E Xn lt E im X p s iv Si Xn lt V avec V Ll et si Xn gt X p s E Xn E X p s Preuve i Vu la prop 3 2 4 E Xn 1 p s On pose Y lim E X Y est B mesurable et on a EP X Y p s Vu que pour tout B B Se Xp dP ye ES X dP on a Beppo Levi fp X dP fp Y dP i e Y E8 X p s ii Vu que lim X lim f infi gt n X on a p s utilisant i ES lim X ES limn 1 infi gt n Xi lim 1 ES infi gt n Xi lt lim 1 infi gt n EB X lim EA ii On applique ii aux v a V Xn et V Xn qui sont positives iv On applique iii a Esp rance conditionnelle et uniforme int grabilit Proposition 3 2 14 Soit X une variable al atoire int grable et B une famille de sous tribus de A La famille X E X B est uniform ment int grable Preuve L ensemble A X gt a est B mesurable et d apr s l in galit de Jensen on
42. 5 6 17 et D E Y et Y Var Y convergent 2 Supposons que les trois s ries convergent Vu le th 5 6 17 X Y converge p s et comme ci dessus la convergence de gt P Y gt K implique que les s ries gt gt Y et YN YA sont p s de m me nature Donc Y converge p s 132 Bibliographie 10 11 12 13 14 15 P Barbe M Ledoux Probabilit Berlin Paris 1999 P Billingsley Probability and Measure Wiley and sons New York 1979 N Bouleau Processus stochastiques et applications Hermann Paris 1988 P Bremaud Introduction aux probabilit s Mod lisation des ph nom nes al atoires Springer verlag New York 1984 L Breiman Probability Addison Wesley Reading 1968 M Cottrel Ch Duhamel V Genon Catalot Exercices de Probabilit s Berlin Paris 1980 D Dacunha Castelle M Duflo Probabilit s et Statistiques Tome 1 Probl mes temps fixe Masson Paris 1982 D Dacunha Castelle M Duflo Probabilit s et Statistiques Tome 2 Probl mes temps mobile Masson Paris 1983 D Dacunha Castelle M Duflo Exercices de Probabilit s et Statistiques Tome 1 Probl mes temps fixe Masson Paris 1982 D Dacunha Castelle M Duflo V Genon Catalot Exercices de Probabilit s et Statistiques Tome 2 Probl mes temps mobile Masson Paris 1983 D Dacunha Castelle D Revuz M Schreiber Recueil de Probl mes de Calcul des Probabilit s Masson Paris 1970 C Della
43. C on parle de v a complexe D finition 2 1 6 Soit X une v a e Si X est positive on appelle esp rance de X et on note E X la quantit f XdP e Si X est r elle telle que E X lt 00 on appelle esp rance de X et on note E X la quantit f X dP D finition 2 1 7 Soit X une v a valeurs E On appelle loi de X et on note ux la mesure image prop 1 3 11 de P par X Il r sulte de la prop 1 3 11 que ux est la probabilit sur E d finie par ux T PX eT o X ET w Q X w erT X 1 T 2 1 et que pour toute f E U L E E ux E f X faux 2 2 32 Chapitre II Notions de probabilit s 11 2 Ind pendance Proposition 2 1 8 Soient X une v a valeurs E et une application mesurable de E dans F F alors Y p X est une v a valeurs F F et la loi de Y est l image par de la loi de X Preuve Le premier point r sulte de ce que la compos e de deux applications mesurables est mesurable Quant au second on a pour f F J f duy E F Y E X J fopin i e prop 1 3 11 uy est l image par fp de ux a Exemples Il y a deux situations fondamentales i X est discr te i e E est d nombrable La loi u x est alors d termin e par la famille ux x x E o ux x P X x et Pon a pour toute f gt 0 E f X X f x ux x EE ii X est vectoriel
44. Cn 1 si An 1 Xn 1 FA Br 1 si Apy1 0 On note S la fonction de transition de la cha ne Z d finie par Zn 1 f Zn Bn 1 Alors X est une cha ne de Markov de transition Q pv q5 103 IV 9 Annexe Chapitre IV Cha nes de Markov 4 9 Annexe 4 9 1 R currence et fonctions excessives D finition 4 9 1 Une fonction f E est dite surharmonique ou excessive si pour tout x f x gt Qf x Une fonction f ET est dite harmonique ou invariante si pour tout x f x Qf x Une classe importante de fonctions excessives est fournie par les potentiels Proposition 4 9 2 Soit X une cha ne irr ductible r currente Alors toute fonction excessive est constante Preuve Soit Q la matrice de transition et une mesure invariante strictement positive et finie en tous points On pose Qe D QG Q est une matrice de transition car A 1 1 20 O SAUNU r Na 1 y On a alors Edd gene et de m me Gan orya len Wua Ceci implique que U 1 y 00 et donc la cha ne de matrice de transition Q est irr ductible r currente Soit f une fonction excessive et p x f x A x La mesure p est excessive pour Q car Oley W re x lt My f y ply Le m me calcul montre que est invariante pour Q et donc prop 4 7 4 p x est proportionnelle A x i e f est constante Proposition 4 9 3 Soit X une cha ne de Markov irr ductible X est r currente ssi toute fonction excessive est co
45. EY Lgyi lt ny et d autre part on d compose l ensemble Y lt n pour obtenir Y ll yyi lt ny Y 1 Lr 1 lt Y1 lt x et Von crit n 1 SCE Z n EY 0 YIL n n gt 1 mea e RA 1 EY O0 last k gt 1 n gt k 2 lt E Y gY le se k gt 1 IA D E Y X Lg 1 lt pr lt 1 MEF lt oo u k gt 1 S ries de variables al atoires ind pendantes Th or me 5 6 17 Soit Y Y une suite de v a r ind pendantes de carr int grable 1 Si les s ries Y E Yn et Y Var Y convergent Sn converge p s et dans L 2 S il existe M R tel que pour tout n Yn lt M p s et si Sn converge p s les s ries X E Yn et X Var Y convergent Preuve A On suppose E Y 0 Alors Sn est une martingale de carr int grable Donc si Y Var Yn lt 00 Sn est born e dans L et donc th 5 3 4 Sn converge p s et dans L R ciproquement si Y lt M p s d apr s le th 5 6 13 Sn converge p s implique que le processus croissant dans la d composition de Doob de X2 soit tel que A lt oo p s Or Ax gt Var Yn B Cas g n ral Ecrivant D Yk Dr Yk EYL Xz E Y 1 est une cons quence imm diate de A Le point ii est un peu plus d licat Soient Y7 Y Y Y une suite de v a r toutes ind pendantes d finies sur Q G Q telles que pour tout n loi de Y loi de Y l
46. Fn 0 Y1 Yn Te inf n Sn c cEZ T T_a T a b E N T est le temps de sortie de Sn de a b i On suppose p gt q le cas q gt p se traite de la m me fa on 124 Chapitre V Martingales V 6 Annexe On a loi des grands nombres Za gt E Y1 p q gt 0 p s et donc Sn 00 p s Vu que S se d place de 1 on a pour tout c gt 0 P Te lt 00 1 et a fortiori P T lt 00 1 Cependant T n est pas born sauf si a b 1 On pose u a P Sr PCR lt Tp u b P Sr b P T lt Tag On veut calculer u a et u b On a videmment u a u b 1 Soit Zn 2 Zn est une martingale car p s SF DAA DARA AA 7 DAA D E a y W 6 C Zn 7 Ean a Zn On a donc E T E 2 1 Mais Zran Zr et 0 lt Zr lt 1 donc E Zran gt E Zr et E Zr 1 On peut aussi appliquer le cor 5 2 3 On a alors 1 E Zr 2 u a 2 u b d o Remarquons maintenant que Sn n p q D _1 Yx E Yx est une martingale On a donc E Sran p YE T An Puisque Sran lt max a b E Sran gt E Sr et puisque T An T E T An E T on obtient donc p q E T E Sr au a bu b d o TRS Pen Q S LA a
47. I C est la mesure de Lebesgue sur R Si N est la classe des ensembles A n gligeables B R 0 B N s appelle la tribu des ensembles Lebesgue mesurables elle est beaucoup plus grosse que B R et A se prolonge sans peine B R comme en 1 2 3 1 3 Int gration Soit E B u un espace mesur On va construire l int grale des fonctions positives par rapport u Si f eB c est tr s facile f s crit f 1 Al 4 y Ar B et l on pose n fra Y agu Ag k 1 Des consid rations l mentaires montrent que ceci ne d pend pas de l criture de f et que pour f g BF et a b R f af bg du af f du b gdu et que si f lt 9 J f du lt f gdu On a aussi le r sultat plus technique suivant qui est la cl de la construction Lemme 1 3 1 Si fn gn B sont croissantes et si lim Y fn lim gn on a lim Y f fandu lim f gn du Soit f B Il existe prop 1 1 2 une suite f eB telle que fn T f on a alors f fn du T et on pose f fdu lim f f du Le point important est que d apr s le lem 1 3 1 cette limite ne d pend pas de la suite f choisie On a en particulier vu 1 2 pour f B n2 1 fran imt Y gle 7 lt 700 lt lt HI nulle f e gt n Par passage la limite on obtient imm diatement que pour f g Bt et a b R J af bg du a fdu b f g du et que si f lt g f f du lt f gdu Enfin on dira que f B est int grable si
48. T i e une bijection de N sur 7 On pose S De ag x Evidemment S cro t avec n et S lim 1 S existe dans R Si Y est une autre num ration de 1 on a pour n fix et m assez grand a g 0 Ag n E aw 0 gt Aym J d o S lt S et S lt SY Permutant o et y ona S lt s et S SY On pose donc Der lim 1 s quantit qui ne d pend pas de l num ration f Evidemment si pour tout I 0 lt a lt bi Y ey ai lt Mier bi On a aussi sommation par paquets Th or me 1 2 1 Soient a i I une famille d l ments de R et Aj j J une partition de I Alors Du gt a el jeJ icl Consid rons maintenant une famille a i I d l ments de C On dit que cette famille est absolument sommable si gt a lt 00 Dans ce cas en d composant la partie r elle et la partie imaginaire de a en leur parties positives et n gatives on voit facilement que J jez lim S existe et est ind pendante de et que le th 1 2 1 reste valable D finition 1 2 2 Soit E B un espace mesurable On appelle mesure sur E B toute ver application y de B dans R telle que e i 8 0 e ii pour tous An B deux deux disjoints Un An Xn H An Le triplet E B u s appelle un espace mesur Propri t s e i siA BeBet AC B u A lt u B ii si An B p UnAn lt Y y H An iii si An B et si An 1 A ie 14 3 T L4 An T A e iv si
49. X des v a valeurs E et F F a B des mesures o finies sur E e E F On suppose e T X a une densit h t x par rapport 4088 On pose t f h t x dB x e Alors N t dx h x t d6 x est la loi conditionnelle de X sachant que T t sip t 40 h x t densit arbitraire si p t 0 Preuve Notons d abord mn a la o gt a par rapport a Soit B t p t 0 On a less hG x da t rot t 0 et h t x 0 sur B x F 08 6 p p On en d duit que h t a h e a E p p Soient f F et gE ET ona ETX g f h t x da t dB x g t f 902 10 da t dB x fu NEG Ha h a t a8 oJ t da t et N t dx h x t d x par la prop 3 5 4 La fonction h x t s appelle la densit conditionnelle de X sachant que T t On a dis densit de EX ensit de T MO ensit de T ou de facon heuristique P T dt X dx h x t P X dx T dt PO di 69 IIT 6 Annexe Chapitre III Esp rances conditionnelles Ceci permet de calculer des esp rances conditionnelles puisque si F R E X T t f n t dx On a donc dans ce cas f ch t x dB x JR x d6 x E XIT t 3 13 3 6 Annexe 3 6 1 Un exemple Soient X et Y des v a positives ind pendantes de m me loi de densit e par rapport Ay mesure de lebesgue sur R Soient T X Y et U max X Y On veut calculer les lois conditionnelles de X sachant que T t
50. avec uR A lt 2q pour toute probabilit u Si on choisit y AQ alors PR AQU ARQ 1Q et l on obtient donc que est Q invariante Il suffit ensuite d crire que si n ks r avec 0 lt r lt k 1 on a uQ Al uQ AQ I lt uQ AI lt 24 lt Cp avec p q et C 2 q u Remarque 4 8 13 La convergence ci dessus peut aussi s interpr ter comme suit e En prenant u x on obtient Q x y A y lt Cp pout tout couple x y E e Pour toute fonction f born e sur E ona Q f x ADI lt IIll Cp Les hypoth ses de ce corollaire sont en particulier v rifi es sur un espace d tats fini lorsqu il existe une puissance de la matrice de transition poss dant une colonne stricte ment positive et donc pour une cha ne irr ductible ap riodique voir 4 8 6 Un exemple typique de cha ne de Doeblin dans le cas d un espace d tats infini est le suivant Pour n gt 1 soit An Bn Cn des variables al atoires toutes ind pendantes entre elles et telles que e Les variables al atoires A prennent les valeurs 1 et O avec les probabilit s p et 1 p avec 0 lt p lt I e Les variables al atoires B sont valeurs dans un espace F et de loi y e Les variables al atoires Cn sont valeurs dans un espace E et de loi v On se donne de plus une fonction f mesurable de E x F dans E et on consid re la suite Xn de variables al atoires valeurs dans E v rifiant Xn 1
51. ci dessus Pour obtenir le second mem bre dans chaque in galit il suffit de constater que pour toute variable al atoire int grable X et tout F on a Ex s fx as xars xes E X A A A 115 V 3 Martingales dans L Chapitre V Martingales 5 3 Martingales dans L Nous commen ons par tudier la structure des martingales dans L Proposition 5 3 1 Soit X une martingale dans L On pose Ay Xo et pour n gt 1 An Xn Xn 1 Alors Xn Ao A1 A et les variables al atoires Az k gt 0 forment un syst me orthogonal dans L Preuve Soit m gt n On a E Am F 0 d o E AmAn E E AmAn Fn E AnE AmlFn 0 a On peut remarquer que pour n gt 1 on a E A 0 De plus le th or me de Pythagore permet d affirmer que E X N _ E Az La martingale X est donc born e dans L c est dire sup E X2 lt 00 si et seulement si la s rie Y E A est convergente L Il est faux de dire que les sommes partielles d un syst me orthogonal centr forment une martingale contrairement un syst me ind pendant On va maintenant tudier la classe des martingales born es dans L Le r sultat suivant n est pas vraiment n cessaire pour la suite mais il explique la diff rence de comporte ment des martingales born es dans L ou bien seulement born es dan
52. clair que cet ensemble soit mesurable Comme dans le cas pr c dent il suffit de remarquer que l application gt Qe est croissante et donc Q Mp2 Toute intersection d nombrable d ensemble de probabilit 1 tant de probabilit 1 la convergence p s est donc quivalente Ve gt 0 P Uw gt 0M pg gt 0 XN p Xn gl lt 1 Soit e gt 0 On pose Ay U pgy gt o lXpyn An gl gt on a alors AN C Up gt o lXp n Xn gt 2 U Ug gt o lXg n XN gt 2 La propri t de l nonc implique que lim y P 4y 0 et la suite A y tant d croissante on obtient que l ensemble Qe Un Np q gt 0 Xp N X nv lt est de probabilit 1 y 45 II 6 Int grabilit uniforme Chapitre II Notions de probabilit s 2 6 Int grabilit uniforme Soit X une v a r int grable On a X lt 00 p s et donc X 1 x gt a 0 p s lorsque a 00 Puisque X 1 x1 gt a lt X Lt on a th de Lebesgue E X 1 x1 gt a gt a 00 0 Ceci est la base de la notion d uniforme int grabilit on dit aussi qui int grabilit D finition 2 6 1 On dit qu une famille H de v a r elles est uniform ment int grable si sup IX dP 0 00 0 XEH J X gt a Ceci quivaut pour toute gt 0 il existe ao tel que pour tous X H et a gt ay f X dP lt e 1X gt a Exemple Soit Z L Z gt 0 La famille H X X lt Z est uniform ment i
53. continue sur Co Il existe y Ms unique telle que pour toute f Co I f f f du 29 1 8 Mesures sign es Chapitre I Rappels d int gration 30 Chapitre 2 Notions de probabilit s 2 1 Espace de probabilit Tout commence par D finition 2 1 1 On appelle espace de probabilit un triplet Q A P o Q A est un espace mesurable et P une probabilit sur A Les l ments de A s appellent des v nements Pour des v nements A et B on crira indiff remment AN B ou AB Premi res propri t s A A B tant des v nements 1 P AS 1 P A si AC B P A lt P B 11 P A U B P A P B P A N B P UAn lt X P An 111 si An T A P An T P A si An A P An P A Rappelons qu un sous ensemble B de Q est dit n gligeable si B C A A tel que P A 0 Une propri t d pendant de w est vraie presque s rement en abr g p s si elle est vraie en dehors d un ensemble n gligeable Notons qu un ensemble n gligeable n est pas toujours un v nement sauf si l espace Q A P est complet On peut cependant toujours se ramener ce cas Voir ce sujet 1 2 3 Probabilit conditionnelle D finition 2 1 2 Soient A B A avec P B gt 0 On appelle probabilit condition nelle de A sachant B et on note P A B la quantit P A N B P B Noter que gt P A B est une probabilit sur Q A La proposition suivante s appelle la formule de Bayes P
54. dans L Alors Xn converge p s et dans L vers une variable al atoire X telle que Xn E X gt Fn Preuve D apr s la proposition 5 3 1 on a pour m gt n E Xm Xn E D Ar J Y E A k n 1 k n 1 Il suffit donc d utiliser la propri t de Cauchy de la suite convergente E A pour obtenir que X est de Cauchy dans L et donc convergente dans L vers une variable al atoire X Pour obtenir la convergence p s on remarque que pour n fix la suite Zp Xn p Xn est une martingale de carr sommable et par cons quent on peut appliquer l in galit maximale la sous martingale z soit m n P sup Xn p Xnl gt lt E Z2 d gt E Az 0Spsm k n 1 En faisant tendre m vers l infini on obtient OO P sup Xn p Xnl gt lt y E A p20 k n 1 et il ne reste plus qu utiliser le fait que le second membre est le reste d une s rie convergente pour avoir la convergence p s n cessairement vers la variable al atoire X obtenue pr ce demment Pour obtenir la derni re affirmation on utilise le fait que la convergence L implique la convergence L et que pour tout A F et tout k Ja Xn dP f Xn x dP On obtient pour tout k Xa f xo ars Xnr Xol dP lt Anse Xacli too 0 A A A ce qui montre que Xn E X gt x Fn a On peut remarquer que d apr s le th or me de Lebesgue
55. ductibles r currentes 96 4 8 Stabilisation des cha nes de Markov 99 AOC A LE Ne ENONCE CU AN CR ee MD AR TRS 104 4 9 1 R currence et fonctions excessives 104 4 9 2 Etude d exemples 105 4 9 3 Marches al atoires sur Z 107 5 Martingales 111 5 1 D finition et premi res propri t s 111 5 2 Etude sur un intervalle de temps fini 114 53 Martingales dans L 4 Dar vire aise Manif Dim Cs 116 5 4 Martingales dans Da ED aa ont dns de 120 5 5 Martingales positives g n ralis es 123 5 56 ANNESS die dans DR aan dre den Me gonna Be ME pla 124 5 6 1 Application aux cha nes de Markov 124 5 6 2 Etude des sous martingales 128 5 6 3 Suites de v a r ind pendantes 129 Chapitre 1 Rappels d int gration Dans ce premier chapitre on rappelle les principaux r sultats de la th orie de la mesure et de Pint gration puis on tudie de fa on plus d taill e les mesures born es sur R convolution transformation de Fourier convergences 1 1 Tribus Soient E un ensemble et B C P E On dit que B est une alg bre resp une tribu si E B si B est stable par passage au compl mentaire et par r union et intersection finies resp d nombrables Un couple E B B tribu sur E s appelle
56. espace de Banach r el et le sous ensemble M E est ferm donc lui m me complet Th or me 4 8 11 Soit Q une probabilit de transition v rifiant la condition de Doe blin Il existe alors une unique probabilit invariante et pour toute probabilit u sur E IQ A lt 29 De plus la probabilit invariante est donn e par la formule p Xpo q vs Preuve Soit p M E de masse totale nulle PQ 202 y 95 x y Pa res 2 y 2100 ele o Par cons quent pour u1 et ug dans M E on a lu1Q pu2Q lt q lui u2 L application u F u uQ est donc globalement contractante sur l espace complet M E d o Punicit du point fixe et la convergence de la suite un uQ la vitesse q vers ce point fixe pour toute probabilit y Il reste montrer que ce point fixe soit A est bien donn par la formule ci dessus or une probabilit est invariante si et seulement si A pv qAS ce que l on v rifie imm diatement sur la formule propos e y PQ 102 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 8 Stabilisation des cha nes de Markov Corollaire 4 8 12 Soit Q une probabilit de transition et k un entier gt 1 tels que Q v rifie la condition de Doeblin Il existe alors une unique probabilit invariante De plus il existe des constantes C lt et 0 lt p lt 1 tels que uQ A lt Cp pour toute probabilit pu Preuve On pose R Q Il existe donc une probabilit R invariante A
57. est un temps d arr t car Ty n A1 lt N An lt N An 1 gt N Fn et de plus on a AnaTy lt N d o Any E X5 E 4nnry lt E X N La martingale X 17 est par cons quent born e dans L et il existe donc un ensemble Qy avec P Qy 1 et tel que pour tout w Qy la suite XpaTy w w converge vers une limite finie On a d une part P NyQy 1 et d autre part 4 lt 00 Uni Av lt N UN TN 00 On en conclut que Xn converge p s sur l ensemble 4 lt 00 car si on choisit As lt N NnQn il existe N tel que Ty w Or pour cette valeur de N on a XnaTy w w Xn w et de plus w Qy Xn Zy Xn 2 On pose Zo 0 et pour n gt 1 Zn J Vi avec Vn Ona aA x T a E V2 lt E X Xn_1 et par cons quent Vp et donc Zn sont de carr int grable 1 E Zn i Za FA ElVaralFn y E Xn 1 Xn Fn 0 Zn 1 Zn Fn Va 1lFn PA An 1 Fn 1 An 1 E Zn Zn Fn E V2 Fn E X Ei e a dd ad 1 An 1 Addis di 1 Any La premi re ligne montre que Z est une martingale la seconde que le processus crois sant B associ la d composition de Doob de Z2 est d fini par Ae Ara er Bn B 2 Dra Or pour toute suite croissante ag de r els positifs on a A 1 eS d
58. et Beppo Levi pour Z B mesurable positive Si X Lt on se ram ne au cas positif en crivant X XT X et Z Zt Za Proposition 3 2 7 Soit Bi i I une famille finie ou d nombrable de sous tribus de A et B o B i I Soit X une variable al atoire int grable sur Q A P Pour qu une variable al atoire B mesurable et int grable U soit une version de EB X il suffit que l on ait E U Z E X 2 ou bien U dP X dP MiesBi MiesBi ieJ 1 J pour tout sous ensemble fini J C I et tous Z B ou bien B Bi Preuve Il suffit de consid rer le second cas On d finit C N erB Bi Bi J fini et M A A E Ul 4 E X1 1 On v rifie facilement les hypoth ses de la prop 1 1 1 On a donc a C B C M d o pour tout B B E Ul g E X1 p ie E X B U p s a Lorsque la tribu B est engendr e par un syst me fini ou d nombrable de variables al atoires on obtient une caract risation de l esp rance conditionnelle qui sera d usage constant dans le chapitre consacr aux cha nes de Markov Corollaire 3 2 8 Soit Y i I une famille finie ou d nombrable de variables al atoires sur Q A et valeurs dans des espaces mesurables E Ei B o Yi i I la tribu engendr e par cette famille Soit X une variable al atoire int grable sur Q A
59. et de X sachant que U u 1 Il est facile de calculer la densit de T X par rapport A On a pour g gt 0 arbitraire 00 O0 OO A g T X f g x y x e 9 dedy 1 g t z e dtdx o Jo o Jo t T X a pour densit h t x e ljo lt s lt Alors la densit de T est p t J h t x dx te On a donc h z t i ope La loi conditionnelle de X sachant que T t est donc la loi uniforme sur jO t On a en particulier E X T T ps ii Si on conditionne par U la situation est plus d licate En effet P X U gt et le couple U X n a pas de densit par rapport une mesure produit Il faut utiliser la formule g n rale 3 12 Calculons d abord la loi de U Ona P U lt u P X lt u Y lt u P X lt u P Y lt u 1 e 4 d o U a pour densit u 2e7 1 e7 Pour f g positives on a E g U f X E g U gY Ei 2 f oo de i LEE taza E glz f 2 e 1 e de f s a u A AGE A eo de 9 u 31 0 u du ut Z1 e de de Z f u blu du 70 F X Lix lt y E U F X Lrx gt y ON E g X f X Lirx gt y gly al a lt yy e 9 da dy E e 00 g x f x 10 gt yy0 9 da dy Chapitre III Esp rances conditionnelles 111 6 Annexe donc la loi conditionnelle de X sachant que U u est 1 cs 1 N u dx y Lioun x dx 3 0u dx 2 1
60. et des coefficients an strictement positifs formant une suite croissante qui tend vers 00 Si la s rie X En an converge aa LE alors la suite a gt dx Zk tend vers 0 Preuve La suite Un An an 1 est positive et la s rie D Un est divergente D autre part la n Tk En pa A suite 2n Jokai Tk est convergente et en posant o zo 0 Pon a n n n X xy X 0g 2 241 Upl2n 2h 1 k 1 k 1 k 1 Par cons quent pour p lt n n n P IN rel lt 1 anA vx sup 2n xl k 1 k 1 k p 1 PSREn 1 Pour tout e gt 0 on a SUP lt 4 lt n 1 n 24 lt pour n et p assez grands On obtient le r sultat en divisant les deux membres par a et on fait tendre n puis p vers l infini y On pose As lim n An La variable al atoire donne des informations sur le comportement asymptotique de X D abord si E A lt 00 on a E X E X E An d o E X lt E X E 4 et Xn est born e dans L donc th 5 5 2 Xn converge p s et dans L vers X Plus g n ralement 118 Chapitre V Martingales V 3 Martingales dans L Th or me 5 3 8 Soit Xn une martingale de carr int grable Alors 1 sur l ensemble Az lt 00 la suite Xn converge p s vers une limite finie 2 sur l ensemble Ax 00 la suite Xn An gt n 0 p s Preuve 1 Pour un entier N gt 1 on pose Ty inf n gt 0 Any1 gt N Ty
61. facile de voir que pour cela il suffit que f7 4 B pour tout A C avec a C B2 Ceci implique que 5 I 1 Tribus Chapitre I Rappels d int gration si f est continue de R dans R f est mesurable pour les tribus bor liennes on dit alors que f est bor lienne De plus cette notion est transitive i e la compos e de deux applications mesurables est mesurable Quand l espace d arriv e est R R R Rd C il est toujours suppos muni de sa tribu bor lienne Soit E B un espace mesurable Pour qu une application num rique soit mesurable il suffit que pour tout a R f gt a x f x gt a B On peut aussi con sid rer f lt a f lt a f gt a Ceci implique que si f g fn sont des fonctions num riques mesurables il en est de m me de f sup f g inf f 9 ft sup f 0 f sup f 0 sup fn inf fn lim fn lim fn lim f si elle existe Rappelons que notant fn Y f resp fn f si pour tout x E f x cro t resp d croit vers f x made O O 11 n k n n k n ces quantit s tant valeurs R et que f lim f ssi lim fn lim fn f Soient f g des fonctions num riques mesurables Alors y x f x g x est mesurable de E B dans R puisque D A x B f7 4 N g7 B Ceci implique que si H est une application bor lienne de R dans R H f g est mesurable On en d duit que f 9 f9 si elle existe sont mesurables Pour A C B on appelle
62. fonction indicatrice de A et on note 1 4 la fonction valant 1 sur et 0 sur A on note A le compl mentaire de On a Lac 1 L a Linan II Lian infla y L u4 SUP Lian Une application f de E muni de la tribu B dans R est dite tag e si elle s crit f Dei W Lp4 Ar B On notera e 6 l ensemble des fonctions r elles B mesurables e B l ensemble des fonctions r elles B mesurables born es e B l ensemble des fonctions B mesurables valeurs R e B7 l ensemble des fonctions tag es positives Le r sultat suivant est la base de la construction de l int grale Proposition 1 1 2 Toute f B est limite d une suite croissante de fonctions de B Preuve Il suffit de consid rer n2 1 k 2 toc tona 1 2 k 0 Chapitre I Rappels d int gration I 1 Tribus Soit f une application de E dans un espace mesurable A A On note o f et on appelle tribu engendr e par f la plus petite tribu sur E rendant f mesurable On a donc o f f A A A Plus g n ralement si f i I est une famille d applications de E dans des espaces mesurables F F on note o f i I et on appelle tribu engendr e par les f la plus petite tribu sur E rendant toutes les fi mesurables On a donc o fi 1 I o f Ai AiE Fi i I On peut aussi donner une version fonctionnelle du th or me des classes monotones prop 1 1 1 Th or me 1 1 3 Soient H un espace vectorie
63. il existe une sous suite Xn convergeant p s vers X et vu le lemme de Fatou Ej X lt lim E X lt sup El XP lt 00 Donc X LP On a alors pour tout 1 gt gt 0 D Xn XP E Xn X PLlixn xise E Xn X Plixn x gt e lt P PU E X aL x x1 gt 0 E X1P1 1 x x1 gt e On en d duit alors facilement utilisant la prop 2 6 2 que E X X P lt 2e si n est assez grand Donc Xn X dans L La r ciproque r sulte de la prop 2 6 3 a Remarque Le th 2 6 5 est une g n ralisation du th or me de Lebesgue puisque pour Y Li Xn Xn lt Y est uniform ment int grable Loi des grands nombres 47 11 7 Annexe Chapitre II Notions de probabilit s Proposition 2 6 6 Soit X une suite de v a r de carr int grable On suppose que sup Var Xn K lt 00 que Cou X X 0 i 4 j et que L E X1 E X gt n m Alors 1 y A Xn gt n M p s et dans L Preuve On pose Sn X1 Xn Puisque Sn Xp Xx E X 1 E X on peut supposer E X 0 ce qu on fait dor navant i Puisque E X X 0 i j et m 0 on a E S2 X E X lt Kn Donc E 2 gt n 0 ie Sa p 0 dans L ii On a P S 21 n gt e P S 21 gt en lt E S e n lt K e n Donc lem 2
64. l kaad l Q TS E l PRA Be OP 11 On suppose p q 3 On sait que la marche al atoire Sn est irr ductible r currente Ceci implique que pour tout c Z P Te lt 00 1 et donc P T lt 00 1 mais videmment T n est pas born Maintenant Sn est une martingale d o E Sran 0 Mais Sranl lt max a b et donc E Sran E Sr ce qui donne 0 E Sr au a bu b d o l on tire b a u a T u b T Pour terminer calculons E T On a Sn 85 E aa Sr Yn41 nE a FE Lpa ce qui montre que la d composition de Doob de la sous martingale 92 est S2 M n ou plus simplement que M S n est une martingale On a donc E SZ E T An Vu que Shap lt max a b E S E S2 et par convergence monotone E T An 1 E T d o E T E S2 u a bu b et E T ab Compl ments de th orie du potentiel Le r sultat suivant montre les liens entre martingales et cha nes de Markov 125 V 6 Annexe Chapitre V Martingales Proposition 5 6 1 On rappelle qu une fonction f d finie sur E et valeurs dans 0 00 est dite surharmonique resp harmonique si Qf lt f resp Soit f ET surharmonique resp harmonique Alors Yn f X est pour t
65. le lem 2 7 10 on a que si X Ng 0 Ia Y m AX Nafm K On a montr Th or me 2 7 13 Etant donn s m R et une matrice d x d sym trique semi d finie positive K il existe une et une seule loi gaussienne sur R de moyenne m et de matrice de covariance K Vecteurs gaussiens et ind pendance Th or me 2 7 14 Soient X X1 Xa un vecteur gaussien i Les v a r X1 Xa sont ind pendantes ssi la matrice de covariance K X est diagonale ii On pose Y Xi Xa Yo Xa LA bal Cov Xi X 0 pour Les vecteurs Y1 Y sont ind pendants ssi K X d1 1 da d 1 1 d tous i j n appartenant pas au m me intervalle 1 di Preuve Seule la suffisance demande une preuve i Supposons K X diagonale On a K X diag 0 04 o o Var X Alors notant m E X d d d 1 1 t exp i X met S oit II exp imxtg 30 Rtk x t xalta k 1 k 1 k 1 et donc prop 2 7 5 les Xy sont ind pendantes 53 II 7 Annexe Chapitre II Notions de probabilit s 11 Supposons la condition sur les covariances r alis es Elle implique pour tous u1 R us R274 et p q Cov upYp uqYq4 0 Donc d apr s i les var ui Yi uY sont ind pendantes On a alors MAT E e ir a E eiurYr et prop 2 7 5 les v a Y1 Y sont ind pendantes s Remarque Attention l ut
66. lt 0 F x est une fonction continue droite et croissante et l on a y Ja b F b F a On est donc ramen au probl me suivant Soit F une application de R dans R continue droite et croissante existe t il une mesure y sur B R telle que Ja b F b F a Il est facile de d crire l alg bre A engendr e par C on a A TAZ Ur las bel 00 lt az lt bi lt 02 lt lt bn 1 lt An lt bn lt 00 en convenant que si bn 00 Jan bn lan 00 On d finit y sur par A Xi F 0x Flag o F 00 liMy gt 00 F x F 00 limz gt 00 F x Il est facile de montrer que y est additive sur un peu plus d licat de montrer que y est o additive sur mais cela se fait On a donc construit une mesure y sur telle que Ja b F b F a Pour passer B R on utilise le th or me de Carath odory 9 1 3 Int gration Chapitre I Rappels d int gration Th or me 1 2 4 Soit y une mesure sur une alg bre A alors u se prolonge en une mesure sur o A De plus si y est o finie ce prolongement est unique Tout ceci donne puisque dans notre cas o A B R Th or me 1 2 5 Soit F une application de R dans R continue droite et croissante Il existe une et une seule mesure y sur B R telle que pour tous a lt b p Ja b F b F a Si on choisit F x x on obtient l existence et l unicit d une mesure sur B R v rifiant pour tout intervalle 7 A T
67. obtient que Ag est l unique mesure sur B RI telle que pour tout o00 lt a lt bi lt 00 d d aal lasti IT a i 1 i 1 On appelle Ay la mesure de Lebesgue de R 1 5 Mesures de Radon sur R Nous tudions plus en d tails les mesures sur RY utilisant ses propri t s topologiques On note On note e C l ensemble des fonctions continues born es sur R4 e Co l ensemble des fonctions de Cy tendant vers 0 linfini e Cy l ensemble des fonctions de Co support compact On munit ces espaces de la norme f SUP Rd f Alors Co est un espace de Banach s parable il existe une suite dense Rappelons que e Etant donn s K compact C U ouvert il existe f Ck 0 lt f lt 1 f 1 sur K f 0 sur US e Soit K un compact Il existe une suite d ouverts U et une suite fn Ck telles que K lim Un Lx lim fn e Soit U un ouvert Il existe une suite de compacts Kpn et une suite fn Cp telles que U lim f Kn Liy lim fn L objet auquel on s int resse est le suivant D finition 1 5 1 On appelle mesure de Radon sur R toute mesure sur B R finie sur tout compact Donc toute mesure born e sur B R ainsi que la mesure de Lebesgue sur Rt sont des mesures de Radon Soit u une mesure de Radon sur RY Alors Cy CL Up et I fo J fdu est une forme lin aire positive sur Cy Il est remarquable que toutes les mesures de Radon s obtiennent ainsi c est le th or me d
68. pour toute f Cp f f dun gt J f du Evidemment la convergence troite implique la convergence faible et la convergence faible implique la convergence vague Par contre sur R 0 converge faiblement vers 0 et pas troitement n n converge vaguement vers 0 et pas faiblement En fait pour passer de la convergence vague la convergence troite il faut ajouter la conservation de la masse C est ce que montre la proposition suivante Rappelons que pour u M4 et f Ca on crit aussi bien f f du que u f Proposition 1 7 2 Soient un My Si Un converge vaguement vers u et si un 1 gt 1 Un converge troitement vers p Preuve On a pour f E Cp et gE Ck O0 lt g lt 1 lun f U f lan ant EDI lun fg MED Iu fg ulf FI un untg Intl f9 MEDI AMINO u g On a donc lim n un f u f lt 211411 u 1 9 Vu qu il existe gn Cp 0 lt gn lt 1 tels que gn 1 et qu alors gn T u 1 1 u g est arbitrairement petit et un f u f Ceci montre que un converge troitement vers u lt lt Convergence faible On dit que H C Co est total dans Co si l ensemble des combinaisons lin aires d l ments de H est dense dans Cp Proposition 1 7 3 Soient un u My et H un ensemble total dans Co On suppose que pout tout g H unlg u g et que sup un 1 lt 00 alors un converge faiblement vers u Preuve Soit V l espace vectoriel
69. pour toute f L p fran f todo 1 17 Prenant f 1 4 dans 1 17 on a pour tout A B o lt f gdo MA lt pA ap ce qui implique que 0 lt g lt 1 p p p Prenant f 1 1 dans 1 17 on a u g 1 p g 1 d o g 1 0 et vu l hypoth se u g 1 0 et enfin p g 1 0 On a donc 0 lt g lt 1 p p p De 1 17 on tire puisque p A u pour toute f L p fO g du f fgd Par limite croissante on a pour toute f B fra g du TE 1 18 1 Prenant f r dans 1 18 on a u A f4 d avec I 11 Supposons maintenant u mesure sign e mesure born e et u lt A Puisque lul 4 u A N S u A N S 0 si A 4 0 on a u lt Donc u A et cor 1 8 5 u h A 111 Ces r sultats s tendent imm diatement au cas o fini en d coupant E Enfin l unicit r sulte facilement de la propri t iv 1 3 3 a Soit u une mesure sign e sur E B On a cor 1 8 5 y h u avec h 1 Si f L lul on d finit fran f tha 28 Chapitre I Rappels d int gration I 8 Mesures sign es Revenons au cas o E RY On note M l ensemble des mesures sign es sur B R Si p Ms et f Co Co R9 posons 1 f f fdu On a I f f fhdlul lt flfidul lt ul R91 f1l Done f I f est une forme lin aire continue sur Co En fait elles sont toutes de cette forme Th or me 1 8 8 Soit f gt I f une forme lin aire
70. sens suivant Proposition 1 5 5 Soit y une mesure de Radon sur B R On a pour tout B R u A sup u K K compact C A inf u U U ouvert gt A Preuve i On suppose d abord y born e Soit C A B R pour tout e gt 0 il existe K compact et U ouvert tels que K C A CU et u U K lt e Alors a C contient les ouverts Si U est un ouvert il existe K compacts Kn U et donc H U Kn gt 0 b C est stable par compl mentation Supposons K C A C U et H U K lt Ee ona UC C AC K et u K US lt e K est ouvert et U ferm On choisit Kn compacts Kn TRY UN UCN Kn gt 0 et UN Kn est un compact inclus dans AC c C est stable par intersection d nombrable Soient Ap C p gt 1 Il existe Kp compacts et Up ouverts tels que Kp C Ap C Up et u Up Kp lt 35 On a NK C NA C NU et u NUp OKp lt u U Up Kp lt X HU Kp lt K MK est compact Soit Vn Np 1Up Vn est ouvert V gt NU et u Vn NU 0 Donc NA E C Les points a b c montrent que C est une tribu et donc C B RI 18 Chapitre I Rappels d int gration I 6 Convolution et transformation de Fourier 11 Passons u quelconque Si A lt 00 on applique le r sultat pr c dent la mesure born e v B u AN B ce qui donne l approximation par des compacts Pour les ouverts on consid re Vp z lt n Dn Vn Vn 1 et les mesures born es un B Va N B Pour tous n et e gt 0
71. soit mesurable Fort heureuse ment c est bien le cas car l application gt Qs est croissante et donc Q Ap jp Toute intersection d nombrable d ensemble de probabilit 1 tant de probabilit 1 la convergence p s est donc quivalente Ve gt 0 P Un gt 0 Mn gt N Xn X lt E 1 Autrement dit 43 11 5 Convergence des suites de v a Chapitre II Notions de probabilit s Proposition 2 5 2 La suite X converge presque s rement en abr g p s vers la v a X ssi pour tout gt 0 P Uk gt n Xk X gt gt n 0 Proposition 2 5 3 La convergence dans L implique la convergence en probabilit la convergence p s implique la convergence en probabilit Preuve i D apr s l in galit de Markov prop 2 3 3 P X X gt e lt e E montre le premier point Xn X ce qui 11 C est une cons quence imm diate de la prop 2 5 2 a Notons que si X converge en probabilit vers X et vers Y on a P X Y gt e lt P X Xp gt 5 P Xn Y gt 5 gt n 0 et donc P X Y gt 0 0 et X Y p s Ceci implique vu la prop 2 5 3 que les limites de X en les diff rents sens sont p s uniques et gales Exemple Soit X une suite de v a r ind pendantes telles que P X an Pn P Xn 0 1 pn On suppose 0 lt pn lt 1 Pn n 0 et an gt 1 a On a pour e 0 1 P IX gt P X gt pn et Xn n 0 en probabil
72. t a On a alors pour toute f positive E F X IT t 2210 Nk Plus g n ralement soient T X e v a E Sen dE F F On sait que u est la loi de X ssi pour tout f F f f x On appellera donc la loi conditionnelle de X sachant que T une A sa o sur F F soit Ni dx t E telle que pour toute f FT E X T t I f 2 N dx Pour tre tout fait rigoureux il faut pr ciser les mesurabilit s D finition 3 5 1 On appelle probabilit de transition de E dans F une famille de probabilit s sur F F soit N dx t E telle que pour tout A F t gt N A soit E mesurable On adopte souvent la notation N t dx plut t que N dx Pour toute fonction f F mesurable positive resp born e on d finit O f f N t dx qui est une une fonction E mesurable positive resp born e D finition 3 5 2 Une probabilit de transition N t dx t E de E dans F est la loi conditionnelle de X sachant que T t si pour toute f F E f X T Nf T p s ou encore E f X IT t Nf t prp s 3 11 o ur loi deT Il existe un cas ou le calcul de cette loi conditionnelle est imm diat Proposition 3 5 3 Si X et T sont des variables al atoires ind pendantes alors pour toute fonction p E amp F la loi conditionnelle de p T X sachant que T t est identique la loi de la variable al atoire y t X
73. th 2 2 7 l ind pendance de X1 Xn a Proposition 2 7 6 Soit X une v a valeurs R i Si X L px est d rivable et 20x 0 iE X 49 II 7 Annexe Chapitre II Notions de probabilit s ii Si X L px est deux fois d rivable et FE 0 E X Xz Preuve i On remarque que e X Lt et on applique la prop 1 3 7 ii On continue a Il est facile de voir en appliquant la prop 1 3 7 que si X LY dx est m fois d rivable R ciproquement on a Proposition 2 7 7 Soit X une v a valeurs R Si bx est 2m fois d rivable en 0 m entier X Lam Preuve On se limite d 1 m 1 On pose 6 px et u ux Ona 0 lim r O R p h 2 0 et am 60h 200 f e e 2 dula 4 f sin E dufa Appliquant le lemme de Fatou prop 1 3 4 on a 2 ha 2 ha 0 lim4 1 gt du x gt 4 I lim p Za dla x du x a Fonctions caract ristiques usuelles a Loi binomiale B n p Si X B n p on a px t E e Y Ci p 1 pote pet 1 p k 0 Cette formule montre que si X B n p et Y B m p X Y ind pendantes alors X Y B n m p En particulier si X1 Xn sont des v a ind pendantes avec P X 1 p P X 0 1 p Sn X Xn Bln p b Loi de Poisson P A Si X P A i AA i ex t E e Ne A tk exp A e 1D k 0 S
74. troite de un vers u Sinon il existerait f C telle que u f ne converge pas vers u f et donc a gt 0 et nz tels que pour tout 57 11 7 Annexe Chapitre II Notions de probabilit s k ln f u f gt a Mais la suite un tant tendue on peut en extraire th 1 7 8 une sous suite convergeant troitement et n cessairement vers u d o une contradiction 58 Chapitre 3 Esp rances conditionnelles 3 1 D finition l mentaire Soit Q A P un espace de probabilit Soit B un v nement tel que P B gt 0 Pour on appelle probabilit condition nelle de A sachant B la quantit P A B P AN B P B et pour X v a int grable esp rance conditionnelle de X sachant B la quantit a E X B zg A Il suffit de s int resser la deuxi me quantit puisque P A B E 1 4y1B Noter que E X B repr sente la nouvelle esp rance de X sachant que le point tir w B En fait on sait si le point tir w B ou w B c est dire qu on conna t la tribu B 9 0 B B On appellera donc esp rance conditionnelle de X sachant B et on notera E X B la v a 1 1 D l pga XP Le Supposons maintenant que B o Bp k gt 0 o les Bk A forment une partition de Q avec P B gt 0 Rappelons qu alors une v a Z est B mesurable ssi Z gt ck li g Dans ce cas X tant une v a int grable on appelle esp rance conditionnelle de X sachant B et on note E X B ou enco
75. v p pQ Or on a Yo vQ p pQ et donc vU lt p Si v n est pas la mesure nulle on a vU y gt U x y v x car U x y 00 Ceci est impossible et par cons quent p est invariante Proposition 4 7 4 On suppose que la cha ne admet une mesure invariante non triviale Alors toute mesure excessive et donc toute mesure invariante lui est propor tionnelle Soit p une mesure excessive On peut bien s r supposer p non triviale sinon le r sultat est vident Soit alors c un r el positif La mesure v x inf p x cA x est excessive et finie Par cons quent elle est invariante et il en est de m me de la mesure positive Le CA 1 Il y a donc deux cas ou bien ue est la mesure nulle ou bien elle est partout strictement positive Dans le premier cas la fonction f x p x A x qui est bien d finie est sup rieure ou gale c dans le second cas elle est strictement inf rieure c Cette alternative ayant lieu pour tout c gt 0 on en d duit que f est constante m Th or me 4 7 5 Soit X une cha ne irr ductible r currente Il existe une mesure invariante non triviale unique une constante multiplicative pr s De plus pour tout y E 0 lt Ay lt Pour chaque x E la mesure invariante telle que A x 1 est donn e par la mesure A d finie en 4 5 17 96 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 7 Cha nes irr ductibles r currentes Preuve Il suffit de montrer que la mesure
76. 0 00 il r sulte du th or me de Stone Weierstrass que V est dense dans Co 0 00 On en d duit que dx Yy gt ux py Appliquant la prop 1 3 7 on a pour tout gt 0 A E Xe et plus g n ralement ION 1 E X e74 On en d duit que si E X lt 00 E X Y4 0 si E X lt 00 E X y4 0 Enfin on v rifie sans peine que si X et Y sont des v a positives ind pendantes Yx y vx Alyy Fonctions g n ratrices Soit X une v a valeurs N de loi ux n P X n On appelle fonction g n ratrice de X la fonction d finie pour u 1 1 par gx u E u ux nju 2 11 n 0 o lon a convenu que u 1 y compris pour u 0 Notons que Yx A gx e7 A gt 0 Il r sulte de la prop 1 3 7 ou des r sultats classiques sur les s ries enti res que pour ul lt 1 gy u E Xu 1 gr u E X X 1 u 2 d o l on d duit que si E X lt 00 E X gy 1 si E X lt 00 E X X 1 g4 1 Ici encore on v rifie imm diatement que gx y gxgy si X et Y sont des v a enti res ind pendantes ol II 7 Annexe Chapitre II Notions de probabilit s On a galement un crit re d ind pendance Si X et Y sont des v a enti res on appelle fonction g n ratrice de X Y la fonction d finie pou
77. 00 Sn nm 1 f Pla lt lt b gt e 2 oyn SIr Ja Preuve Ceci r sulte du th 2 7 24 et de la prop 2 7 22 y Convergence en loi et fonction de r partition Soit F une fonction de r partition sur R Rappelons que F cro t de 0 1 et que F est continue droite On note C F l ensemble des points de continuit de F Noter que C F est au plus d nombrable Th or me 2 7 26 Soient un et u des probabilit s sur R de fonction de r partition Fn et F Alors un converge troitement vers u ssi pour tout x C F Falz gt n F x Preuve i On suppose que un converge troitement vers u Soit x C F On a u x F x F x 0 et prop 1 7 5 Fax un 00 1 gt n p x F x 11 On suppose que pour tout x C F Fh x gt n F x Montrons d abord que la suite un est tendue def 1 7 7 Soit gt 0 Il existe a lt b tels que F b F a gt 1 et C F tant au plus d nombrable on peut supposer a b C F On a alors F b EF a n F b F a et il existe no tel que pour tout n gt no F b Fnla gt 1 E i e un a b lt e La suite un est donc tendue Supposons que Hn converge troitement vers v Vu i on a F x F x pour tout x C F NC E Ce dernier ensemble tant dense son compl mentaire est au plus d nombrable on a F F et p v Ces deux propri t s impliquent la convergence
78. 4 une sous suite Hn telle que Hn converge faiblement vers y My On pose y fin D apr s 1 14 on a pour tout y RI Jo Dato 74 f is rata du Passant la limite en k on a la justification est la m me qu au cours de la preuve du th 1 7 9 Jul dula 29790 ein ou u de On a donc vu 1 14 falni du Joren u o u du D o th 1 6 8 Alu g ou p u gilou p p et g tant gt 0 Alu p u p p Soit E 4 pj on a A E 0 Il existe donc n E tel que zn 0 On a pour tout n f x zn et les deux fonctions tant continues en 0 0 0 On a donc y 1 0 0 fi 0 u 1 et prop 1 7 2 y converge troitement vers u On en d duit th 1 7 9 que et que un converge troitement vers u 1 8 Mesures sign es Soit E B un espace mesurable 5 ns Ii oo On a r serv le nom de mesures aux applications o additives de B dans R mais on peut aussi s int resser aux applications o additives de B dans R D finition 1 8 1 On appelle mesure sign e toute application u de B dans R telle que i 0 0 ii pour tous An B deux deux disjoints et de r union A la s rie X An converge et Y H An H A Remarquons qu une mesure born e est une mesure sign e mais qu une mesure non born e n est pas une mesure sign e cause de la valeur 00 26 Chapitre I Rappels d int gration I 8 Mesures sign es E
79. 4 g x est n gligeable Si y est une probabilit on dit presque s rement en abr g p s pour presque partout On note N la classe des ensembles n gligeables Il faut noter que si A M on a UnAn N SiN C B l espace mesur E B u est dit complet Si ce n est pas le cas on peut le compl ter de la fa on suivante On d finit B 0 B N Alors A B ssi A BUN avec B Bet N N On peut prolonger y B en posant A u B il est facile de voir que ceci ne d pend pas de l criture de A L espace E B u est alors complet et s appelle le compl t de E B u Enfin on v rifie ais ment que si f E R est B mesurable il existe g h E R B mesurables telles que g lt f lt h et g h p p Dans la suite la plupart du temps on partira d un espace mesurable ou d un espace de probabilit sans se soucier de sa construction Il est n anmoins indispensable de s assurer de l existence de tels objets On va s int resser aux mesures sur B R finies sur les intervalles born s On verra une seconde m thode de construction en 1 5 Observons d abord que a b oo lt a lt b lt 00 est une classe stable par intersection finie et que o C B R Il r sulte alors de la prop 1 2 3 qu une mesure y sur B R finie sur les intervalles born s est d termin e par les valeurs Ja b Ensuite tant donn e une telle mesure si on pose F 0 0 F x 010 2 x gt 0 F x n x 0 x
80. 5 4 S 2 12 p 0 p s iii On pose Wp sup S Snol n2 1 lt k lt n 1 On a P W n gt e lt E W 2 n Mais W2 lt gt ins Sy S 2 et E W2 lt K 2n 1 Donc a n2 1 P W n gt e lt K 2n 1 2 n et lem 2 5 4 W n gt n 0 p s iv Notons m la partie enti re de yn On a my lt yn lt my 1 et S Sn Sr La 1 Wm Sml m a A A ps gi pl Mn gt el Elm e ir nr pr 2 S 2 Par d finition 52 gt n 1 vu iii 25 0 p s et vu ii 22 0 p s Ceci montre n n que Ba gt n 0 p S m Consid rons maintenant une suite X de v a r ind pendantes de m me loi avec E X lt 00 On peut appliquer la prop 2 6 6 et l on a Be n E X1 p s C est la loi forte des grands nombres En fait il suffit d avoir E X1 lt 00 comme on verra au chapitre 5 et Pon a Th or me 2 6 7 Soit Xn une suite de v a r ind pendantes de m me loi avec E X4 lt On a 1 z Xn gt n E X1 p s et dans L 2 7 Annexe 2 7 1 Fonctions caract ristiques La plupart des r sultats de cette section sont une simple traduction en termes proba bilistes de ceux de la section 1 6 Soient X et Y deux v a ind pendantes valeurs Rt On pose S X Y Cherchons la loi de S On a pour toute f B
81. ANT lt n E Fa Remarque 1 On v rifie imm diatement que Fr est une tribu et que si T est constant et gal n alors T est un temps d arr t et Fr Fn Remarque 2 Vu les formules T lt n Uk o T k T n T lt n WT lt n 1 on peut remplacer dans i et ii T lt nj et AN T lt n par T n et AN T n On note 7 l ensemble des temps d arr t de la filtration Fn On a les propri t s suivantes 75 IV 1 Processus al atoires Chapitre IV Cha nes de Markov Proposition 4 1 6 Soit T T T alors 1 7 7 TAT sont dansT ii si Ti lt Ta alors Fr C Fr Preuve i Dune part 7 Ta n Ur T1 k N T n k Fn D autre part TiAT D n N fT gt n U T gt n N D n E Fn ii Soit A F7 On a AN T n UF ANT k N D n Fn et donc AE Fr E Soit X un processus adapt on veut d finir la position du processus l instant T ie Xr w w Il y a un probl me lorsque T w 00 On se donne une v a Xo Fsx mesurable et on pose Xr Xn sur T n neN Proposition 4 1 7 Soit T un temps d arr t Les v a T et Xr sont Fr mesurables Preuve Pour T ceci r sulte de la d finition Pour Xr on a Xr AJN T n Xn ALOT n EFnau Exemples de temps d arr t Soit X un processus al atoire adapt valeurs dans E D finition 4 1 8 Pour A E on d finit avec la convention inf 00 e Le temps d entr e du processus dans A soit TA in
82. An B si An A ie 14 3 L Lra et si pour un no u An lt 00 An H A Si E U E avec En B et En lt 00 la mesure y est dite o finie Si u E lt 00 la mesure y est dite born e Si u E 1 la mesure y est appel e une probabilit Remarque La propri t ii de la def 1 2 2 s appelle o additivit Si dans la def 1 2 2 on suppose que B est seulement une alg bre la d finition a encore un sens en rajoutant dans ii la condition Un An B On a ainsi la notion de mesure sur une alg bre 8 Chapitre I Rappels d int gration 1 2 Mesures Proposition 1 2 3 Soient y et v deux mesures sur E B et C C B une classe d ensembles stable par intersection finie On suppose que pour tout A C u A v A lt 00 et que E lim En avec En C Alors A v A pour tout A o C Preuve Supposons d abord E v E lt 00 Soit M A B A v A On v rifie imm diatement que les hypoth ses de la prop 1 1 2 sont v rifi es On a donc o C M Le cas g n ral se traite en appliquant ce r sultat aux mesures u A AN En et Vn A v ANE Soit E B u un espace mesur Un sous ensemble de E est dit n gligeable ou u n gligeable s il y a ambigu t si A C B avec B B et u B 0 Une propri t est vraie presque partout en abr g p p si elle est vraie en dehors d un ensemble n gligeable Par exemple f y p p signifie que x E f x
83. D SX Zo Zn gt n Malf Pe ps 0 lt k lt sSn Cette convergence a donc lieu aussi pour toute suite strictement croissante d entiers qui tend vers 00 A l entier m N on associe l unique entier v m tel que gan lt m lt SEE alors v m gt m 00 et D ogcpem Kay Xx v m 1 Pg p s Vo v m Losresi m FO D_o lt kem Xx Locresrtmn FOR v m 1 v m Jockem Lay Ar v m 1 les termes lat raux tendant vers f Pz p s on a donc D t HX f Pa ps 4 25 E Lis Xp Ecrivant f ft f7 on a 4 25 pour f L X Enfin si f g LA et Ar g 4 0 on a 4 25 pour f et g et on fait le quotient 4 6 Th orie du potentiel des cha nes de Markov Soient Q une matrice de transition et X Q F F Xh P la cha ne canonique associ e Cette section a pour objet de donner des proc d s de calcul de quantit s telles que U x x P S lt 00 E S qui sont d terminantes pour l tude de la nature de la cha ne Op rateurs induits Soient S et T deux temps d arr t On consid re R T S o Or Sur T 00 R est d fini sans ambigu t par R 00 et on n est pas g n par le fait que 07 ne soit pas d fini Par exemple si T est le temps d entr e dans et S le temps d entr e dans B R est le premier temps de visite B apr s avoir visit A On a ce sujet Lemme 4 6 1 Soient S et T deux temps d arr t et R T Sor Alors R est un te
84. Dans le cas r current nul si on note A la mesure invariante pour toute f LUA n 1 gt AS k 0 Preuve e 1 Il suffit de prendre g 1 dans le th 4 7 7 e 2 On prend g 1 p dans le th 4 7 7 avec F fini C E on a en supposant f positive 19 ro 20 ds Da SEE AE et donc lim EN Xk lt lt X2 p s pour tout F fini d o le r sultat puisque A E 00 a 98 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 8 Stabilisation des cha nes de Markov 4 8 Stabilisation des cha nes de Markov D finition 4 8 1 On dit qu une cha ne de Markov se stabilise s il existe une proba bilit n sur E telle que pour tout point y E et toute loi initiale u on ait im Pa Xn y lim uQ y y En fait puisque Q x y lt 1 et uQ y Der Q x y u x une simple application du th or me de Lebesgue montre que la stabilisation est quivalente la convergence de Q x y vers r y pour tout x E On remarque aussi que m est n cessairement invariante puisque 4Q y Der uQ x Q x y et de nouveau le th or me de Lebesgue permet d affirmer que Q 1 y converge vers TQ y mais cette quantit converge aussi vers y Cette propri t de stabilisation est tr s importante car elle signifie que pour n grand on peut approximer la loi de X par la probabilit m et ceci quelles que soient les conditions initiales Dans le cas r current irr ductible les fractions figurant dans le thm 4 7 9 pour f Li
85. E x Ex avec B E97 2 On d finit alors une probabilit P sur Q Fn en posant P A un B puis une fonction d ensembles sur Un Fn par P A P 4 si A Fn Il s agit de prolonger P en une probabilit sur o Un Fn Remarquons que Un Fn tant stable par intersection finie ce prolongement sera unique prop 1 2 3 L existence de ce prolongement a t montr e par Kolmogorov et on a Th or me 4 1 4 Soit Hn n gt 0 une famille de probabilit s sur E t E9 1 v rifiant 4 1 Il existe une unique probabilit P sur l espace canonique Q F d fini par 4 2 telle Q F Xn n gt 0 P soit un processus de r partitions finies Un n gt 0 Exemple 1 Soient vo Vn une suite de probabilit s sur E On veut construire un mod le pour une suite de v a ind pendantes de lois Yo 1n On d finit un sur E 1 S M 1 par un vo 8 8 Vn et on applique le th 4 1 4 On obtient une probabilit P sur Q F telle que les X d finies par 4 2 soient une suite de v a ind pendantes de loi vo Vn Exemple 2 Cet exemple est la base de la construction des cha nes de Markov que l on tudiera plus loin On consid re un ensemble E d nombrable muni d une probabilit u et d une matrice de transition Q x y x y E C est dire une matrice termes positifs telle que pour tous zx y E Qly 20 Y Q x y 1 yeE 74 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 1 Pr
86. E X E Z E f X et les tribus o X et B sont ind pendantes a Remarque On v rifie facilement que si X est ind pendante de B 3 9 est vraie pour toute f Li ux Proposition 3 4 3 Soient X une v a valeurs R et B une sous tribu de A Alors X est ind pendante de B ssi pour tout t RI EB lt 6X gt E e lt 6X gt p s 3 10 Preuve i Si X est ind pendante de B on a 3 10 vu la prop 3 4 1 ii Supposons 3 10 Soit Z une v a r B mesurable On a pour tout t R et tout TER EEE 2 E e72 pE CAES E eiTZ DORE 2 Ele 02 E e72 et donc prop 2 7 5 X et Z sont ind pendantes s On peut g n raliser la prop 3 4 1 Proposition 3 4 4 Soient F et G des sous tribus de A et X une v a int grable On suppose que G est ind pendante de o o X F Alors E X o F G E X F p s 66 Chapitre III Esp rances conditionnelles HI 5 Lois conditionnelles Preuve Soit Y E X F Evidemment Y est o F G mesurable Soient U DF et V bG on a E XUV E XU E V E YU E V E YUV Il suffit maintenant d appliquer la prop 3 2 7 4 Corollaire 3 4 5 Si X est int grable ou positive et si la variable al atoire U est ind pendante du c
87. P Pour qu une variable al atoire B mesurable et int grable U soit une version de E X il suffit que l on ait EU uY EX hY ou bien U dP X dP Mier Y B Mies YieB ieJ iEJ pour tout sous ensemble fini J C I et tous h Eija ou bien B Etablissons deux propri t s plus sp cifiques des esp rances conditionnelles 62 Chapitre III Esp rances conditionnelles II 2 D finition et propri t s Proposition 3 2 9 Soient U et V des v a positives ou telles que UV et V soient int grables avec U B mesurable alors EB UV UE V p s Preuve Consid rons le cas positif Soient Y UEF V et Z B Alors Y B et on a prop 3 2 6 E ZY E ZUE V E ZUV i e Y E UV p s Le cas int grable se traite en crivant U Ut U et W V V y Proposition 3 2 10 Soient C C B des sous tribus de A et X une v a positive ou int grable alors EC X EC EF X p s Preuve Il suffit de consid rer le cas positif Posons Y EC EP X Y C Soit Z Ct c BY On a E ZY E ZEC ES X E ZE X E ZX ie Y ESO a G n ralisation des in galit s de Schwarz et de Jensen aux esp rances conditionnelles Proposition 3 2 11 Soient X Y L Alors E XY lt EP X 2 E 2 p s
88. P A gt 0 C est la loi sur N d finie par ple e E metier E x Si X est une v a de loi P A ce qu on note X P A on a E X A Var X d Loi g om trique de param tre a 0 lt a lt 1 C est la loi sur N d finie par ple 1 aja z 0 1 n 38 Chapitre II Notions de probabilit s 11 3 Variables al atoires r elles e Loi uniforme sur a b not e U a b C est la loi sur R de densit 1 h x g a 2 Si X U a b E X ar Var X Ma f Loi gamma de param tre a c a gt 0 c gt 0 not e G a c Rappelons que la fonction 00 Tr a edge 2 5 est d finie pour tout a gt 0 et que Pon a F a 1 al a et T n n 1 Donc ha x ro Lg a 2 6 est une densit de probabilit sur R La loi de densit Aa s appelle la loi G a c On a si X G a c E X a c Var X a c g Loi normale ou de Gauss Ni m o On appelle loi N m 0 la loi sur R de densit 1 z m m o2 e 27 2 7 fm o2 2 ir 2 7 Si X Ni m o E X m Var X o Notons que si X N1 0 1 Y m oX Ni m o Fonction de r partition D finition 2 3 5 Soit X une v a r de loi px La fonction Fx t P X lt t ux 00 t s appelle la fonction de r partition de X La fonction Fx est croissante continue droite et lim a Fx t 0 lim 0 Fx t 1 La fonction Fx a donc d
89. Partant d un point d une classe transitoire le comportement est moins clair si la classe transitoire soit T est finie la cha ne sor tira presque s rement de cette classe puisque E Nr gt _yer U x y lt oo et donc P Nr lt 1 Dans ce cas la cha ne passera soit dans une autre classe transi toire soit dans une classe de r currence o elle restera pi g e Si la classe transitoire est infinie le m me raisonnement que ci dessus montre que la cha ne sortira presque s rement de tout sous ensemble fini de T En d finitive pour les cha nes irr ductibles on a la dichotomie suivante Corollaire 4 5 15 Soit X une cha ne de Markov irr ductible alors e Soit pour tous x y E U x y lt 00 alors tous les tats sont transients et la cha ne est dite transiente e soit pour tous x y E U x y 00 alors tous les tats sont r currents et la cha ne est dite r currente Le crit re de r currence suivant est tr s utilis 90 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 5 R currence et transience Proposition 4 5 16 Soit X une cha ne de Markov admettant une probabilit invari ante 1 Tout tat y tel que Ay gt 0 est r current 2 Si de plus X est irr ductible alors X est r currente Preuve Soit une probabilit invariante et y E gt AQ y 2 My AU y Exa U x y lt U y y 226 U y y AU y On en d duit que si A y gt 0 alors AU y
90. Qu Proposition 4 6 3 Pour f Et v Uf est la plus petite solution positive de l quation v f Qu 93 IV 6 Th orie du potentiel Chapitre IV Cha nes de Markov Preuve On a v f Qu Soit w ET v rifiant w f Qw Evidemment w gt f Supposons NT eo w gt gt po Qf ona n n 1 w f Qu gt f Q 0Q7 of k 0 k 0 Donc pour tout n w gt Xpo Q f et la limite w gt v u Remarquant que U1 y x U x y on a Corollaire 4 6 4 Pour tout y E v x U x y est la plus petite solution positive de l quation v y 1 Qo y vlz Qu x x y Ceci peut fournir un moyen de calculer la matrice potentielle Il faut faire attention que par solution positive on entend solution valeurs 0 00 En particulier v 00 fait partie des solutions de l quation consid r e et dans de nombreux cas ce sera la seule Probl mes de passage On s int resse l op rateur Qr d fini par 4 26 et qu on notera Q4 On a donc QAf x Es lira lt c o f Xra f EET 4 28 Remarquons que si f 1 on a Qul x P Ta lt 00 qui est la probabilit pour que la cha ne partant de x atteigne A et que si f Lip Qal yy 2 Pa Ta lt 00 Xr y 4 29 qui est la probabilit pour que la cha ne partant de x p n tre dans A par le point y Th or me 4 6 5 Pour f E u x Quf x est la plus petite solution positive du syst me u x f x TEA u x Qu x x A
91. R E f S E X Y fe y duxloday y gt f dux uy 48 Chapitre II Notions de probabilit s II 7 Annexe d apr s 1 9 On a donc Proposition 2 7 1 Soient X et Y deux v a ind pendantes valeurs RY On a Ux y px py D finition 2 7 2 Soit X une v a valeurs R On appelle fonction caract ristique de X la fonction sur R x t x t Efe EX Propri t s l mentaires e Dx est continue px 0 1 lpx t lt 1 e daxqo t lt pyx at a E R b RI d_x t px t si px ux px est r elle Du th 1 6 8 r sulte Th or me 2 7 3 Soient X et Y deux v a valeurs R Si x y ux My Si x E LHA ux h A avec h x 27 TSE g t dt De m me le th 1 6 3 et la prop 2 7 1 impliquent Th or me 2 7 4 Soient X et Y deux v a ind pendantes valeurs R On a x y OxPy Preuve En fait cela se montre imm diatement gr ce au cor 2 2 9 x y t ESA ELE AS E es lt tX gt D S x Hoy t Le th or me suivant est souvent appel crit re Fourier d ind pendance Th or me 2 7 5 Des v a X1 Xn valeurs R RU sont ind pendantes ssi pour tous t RA tout tn RA PX Xn EL stn x t1 E tn Preuve En effet cette condition est quivalente th 2 7 3 U X1 Xn Lx ux ce qui quivaut
92. Universit Pierre et Marie Curie Master de Math matique 2005 2006 Probabilit s Approfondies Polycopi J Lacroix amp P Priouret Cours J Lacroix Universit Pierre et Marie Curie Master de Math matiques et Applications Ann e 2005 2006 Probabilit s Approfondies Jean Lacroix z Pierre Priouret Mode d emploi Ce polycopi est destin aux tudiants de U E Probabilit s Approfondies du Master de Math matiques de l Universit Pierre et Marie Curie En principe il s adresse donc des tudiants ayant suivi un cours d int gration et un premier cours de probabilit s Cependant le chapitre 1 contient un rappel de tous les r sultats d int gration utilis s par la suite Quant au chapitre 2 qui introduit les principales notions de probabilit s il est relativement autonome et peut ventuellement tre abord par un tudiant n ayant jamais suivi de cours de probabilit s Le chapitre 3 pr sente les esp rances condition nelles et le calcul des lois conditionnelles Les chapitres 4 et 5 sont consacr s aux deux sujets essentiels de ce module d une part l tude des cha nes de Markov temps discret et valeurs d nombrables et d autre part l tude des martingales temps discret Un certain nombre de r sultats figurant classiquement dans un cours de probabilit s au niveau ma trise ont t s rejet s en annexe car ils ne sont pas vraiment n cessaires pour la compr hension des deux chapitres
93. X lt 00 Il suffit alors d appliquer le thm 2 6 5 u La prop 1 7 5 et le th 1 7 8 deviennent Proposition 2 7 22 Soit Xn une suite de v a convergeant en loi vers u Pour tout A B RY tel que u 9A 0 on aP X A gt n u A Th or me 2 7 23 Soit Xn une suite de v a telle que pour tout e gt 0 il existe un compact K tel que pour tout n P X K gt 1 e alors il existe une sous suite Xn convergeant en loi Le th oreme de la limite centrale Th or me 2 7 24 Soit X une suite de v a de ES ind pendantes et de m me loi On pose m E X K K X1 Sn X1 Xn Alors Sn nm converge en loi vers Na 0 K 56 Chapitre II Notions de probabilit s II 7 Annexe Preuve On peut supposer E X1 0 Soit Y N 0 K On a pas t GG De plus vu la prop 2 7 6 6x 0 0 2o r 0 6x 0 Kjk 5 SE dv 0 On a donc x t py t ltl et eH gt o 0 Si u v C avec u lt 1 u lt 1 on a Ju v lt nlu v et donc vu que py t expl KE r 25 t t 1e t dy t l py 1625 t by 6 ox 77 Gr E t a E ll lt t elca et a Sn converge en loi vers N 0 K d apr s le th 2 7 17 lt nl x Corollaire 2 7 25 Soit X une suite de v a r ind pendantes de m me loi de carr int grable On pose m E X1 0 Var X1 Sn X1 Xn Alors pour 00 lt a lt b lt
94. Xo F De plus si T est un temps d arr t on a l galit E X Fr Xr Preuve On prouve tout d abord que X E X Fs e Soit Fn d apr s le th or me 5 5 2 alin a 1 on a Jxcas fx dp xa A A A et par cons quent on a Sa X dP lt Sa X dP pour A U F et donc pour F ce qui prouve que X lt E X F puisque les deux membres sont Feo mesurables e Pour obtenir l in galit dans l autre sens on remarque que si Z est born e alors lim E Z F E Z F puisque dans ce cas la martingale E Z Fn est born e dans L On a donc pour tout p gt 1 Xo lim E X Fn gt limE X A p F E X Ap Foo et l on obtient la majoration souhait e en faisant tendre p vers l infini e Si T est un temps d arr t il suffit de prouver que Xn 1ir n E X Fr Lir n pour n E N ce qui r sulte nouveau de la prop 5 4 8 y 5 6 Annexe 5 6 1 Application aux cha nes de Markov Les fonctionnelles des cha nes de Markov fournissent une grande part des exemples concrets de martingales et surmartingales Nous commen ons par un exemple de calcul d esp rance de temps d entr e Exemple Soit Y Y une suite de v a r ind pendantes telles que pour tout n P Y 1 p P Y 1 q 1 p avec 0 lt p lt 1 On pose So 0 Fo 9 0 et pour n gt 1 Sn Yi Yn
95. a valeurs E Nous allons conditionner par T Soit o T 0 T7 F F On sait que prop 1 1 4 Proposition 3 3 1 Soit Z une v a valeurs R resp R Z est o T mesurable ssi il existe f mesurable de E dans R resp mesurable de E E dans R telle que Z foT Pour X int grable ou positive on d finit l esp rance conditionnelle de X sachant T comme l esp rance conditionnelle de X sachant o T i e E XIT E Xlo T 3 7 Il r sulte alors de la prop 3 2 6 Proposition 3 3 2 Soit X une v a int grable resp positive Alors Y E X T ssi Y est de la forme Y R T avec h Bi R resp B R et E g T Y Elg 1 X 3 8 pour toute g E resp toute g ET La fonction h ci dessus est unique au sens suivant Si E X T A T h T R T R T p s et donc h h ur p p ur tant la loi de T On crit alors un peu incorrectement h t E XIT t Cette criture devient correcte si P T t gt 0 et alors h t Po Jr X dP Supposons X L et soit B une sous tribu de A Le th 3 2 2 montre que Y E X B est la projection orthogonale de X sur K Z L Z a un repr sentant B mesurable L N B P Donc E X Y inf E X ZY Z e I Z B mesurable Si B o T on a alors que pour A T E X T E X h T inf E X g T g L ur
96. a valeurs Z ind pendantes et de m me loi v et ind pendantes d une variable al atoire Xo Pour n gt 0 on pose Xn 1 Xn Unii 4 14 Xn Xo U Un est donc une cha ne de Markov de matrice de transition Q x y P x U y v y x Ce processus s appelle la marche al atoire de loi v On peut remarquer que dans ce cas on a Q x y v y x o v est la ni me puissance de convolution de y c est dire la loi de U1 U Il est aussi facile de constater que si une matrice de transition Q sur Z est invariante par translation Cest dire Q x z y 2 Q x y pour tous points x y z alors c est la matrice de transition d une marche al atoire de loi v y Q 0 y Cha nes de Markov stationnaires et r versibles D finition 4 3 6 Une cha ne Xn est dite stationnaire si pour tous k n N la loi de X0 Xn est gale la loi de Xy Xn x Elle est dite r versible si pour tout entier T gt 1 la loi du vecteur Xo X1 Xr est identique la loi du vecteur retourn Xr Xr 1 X0 D finition 4 3 7 On dit qu une mesure positive sur E est excessive ou surhar monique si gt AQ invariante ou harmonique si AQ On dit que A est r versible si pour tous x y E x Q x y My Q y 2 On voit imm diatement qu une mesure r versible est invariante car si est r versible AQC Y MaJQlz y
97. a Xi lt E X B par cons quent E IX lt EX et J Xl dP lt f X dP Ai As Or P 4 lt E X a lt E X a Pour e gt 0 on sait qu il existe gt 0 tel que P A lt f X dP lt e Pour e donn il suffit donc de choisir a assez grand pour que P 4 lt quel que soit i et on aura alors f a Xil dP lt e quel que soit i m On obtient de m me le r sultat suivant Proposition 3 2 15 Soit X une famille uniform ment int grable et B une sous tribu de A La famille Y E X B est uniform ment int grable Preuve L ensemble B Y gt a est B mesurable et d apr s l in galit de Jensen on a Yi lt E X 1B par cons quent Yi SEUN et f ylas f x aP Bi Bi D apr s 2 6 2 la famille X est born e dans L par une constante C lt oo et donc P B lt E Y a lt E X a lt C a Pour e gt 0 on sait toujours d apr s 2 6 2 que la famille X est quicontinue c est dire qu il existe gt 0 tel que P B lt gt Jp X l dP lt e Pour e donn il suffit donc de choisir a assez grand pour que P B lt 8 quel que soit i et on aura alors f B Y dP lt e quel que soit i 64 Chapitre III Esp rances conditionnelles II 3 Conditionnement par une v a 3 3 Conditionnement par une variable al atoire Soit T une v
98. a sont born es par 1 on peut donc prendre l esp rance E et appliquer le th or me de Lebesgue Vu que E 14 Xx Q y x on obtient i si X est r currente positive de probabilit invariante 7 n 1 0ky 0 gt r 0 k 0 ii si X est r currente nulle 1 n 1 Q uz gt 0 k 0 Dans le cas d une cha ne transitoire on a bien s r lim Q y x 0 puisque la s rie est convergente Ceci montre que le seul cas o l on peut esp rer une limite non triviale pour la suite Q x y est le cas r current positif et c est donc le seul qui va nous int resser ici Malheureusement m me dans ce cas une telle limite n existe pas toujours comme le montre la cha ne d terministe valeurs E 1 2 de matrice de transition 0 1 Q E 0 de p riodicit En fait ce probl me est d j celui qui est rencontr dans l tude des suites r currentes de type un 1 F u Il se peut tr s bien que l quation u F u admette une solution unique sans que la suite un converge Dans notre cas on choisit une mesure initiale y et on d finit la suite Un 1 UnQ F un L existence et l unicit de la solution de uQ y dans M E ne garantit pas la convergence de la suite Hn vers cette solution voir par contre le cas des cha nes de Doeblin thm 4 8 11 En effet Q I et Q2 Q On voit ici appara tre un ph nom ne Soient Y une matrice de transition et X la cha ne canonique de matrice d
99. a pour tout A B A f hdlu avec h 1 Preuve On a 4 ANS ANS all ANS ul ANS Sasy Lise dla Th or me de Radon Nikodym Si u A f hdA est une mesure sign e on a videmment pour A B MA 0 implique A 0 Il est remarquable que cette propri t suffise caract riser les mesures ayant une densit par rapport D finition 1 8 6 Soit une mesure sur E B On dit qu une mesure sign e sur E B ou o finie y est absolument continue par rapport si AEB et X A 0 impliquent u A 0 On note alors u amp On a 27 1 8 Mesures sign es Chapitre I Rappels d int gration Th or me 1 8 7 On consid re un espace mesur E B A o finie i Soit y une mesure sign e sur E B telle que y lt A Il existe LA unique un A p p pr s telle que pour tout A B u A f dx ii Soit y une mesure o finie sur E B telle que y lt A Il existe p B unique un A p p pr s telle que pour tout A B u A f dx Preuve i Supposons d abord y mesures born es et y lt A On pose p pu Ona L p C Lilo C Lilu et f g p p p implique f g y p p On peut donc d finir I f f f du pour f L p et Pon a HDI lt f fldu lt f Ifl dp lt p E 2 f If ap Ceci montre que f I f est une forme lin aire continue sur L p Il existe donc g L p telle que I f lt g f gt et donc g L p telle
100. a M X est une v a r gaussienne On a E Y b ME X b Mm et prop 2 44 K Y K MX MK X M MKM y Th or me 2 7 11 Soit X un vecteur al atoire de moyenne m et de matrice de co variance K Le vecteur X est gaussien ssi sa fonction caract ristique est donn e par 1 x t exp it m z KO 2 13 Preuve i Supposons X gaussien Alors lem 2 7 10 tX Ni t m t Kt et dyx 1 E e exp it m 51 Kt d o 2 13 i Supposons 2 13 Alors dq x u E e X exp iua m hu a Ka donc a X est une v a r gaussienne et X un vecteur gaussien s 52 Chapitre II Notions de probabilit s II 7 Annexe Toute loi gaussienne sur R est donc d termin e par sa moyenne m et sa matrice de covariance K On note Ng m K une telle loi On a vu exemple ii que Na 0 Ia existe mais on n a pas tabli l existence dans le cas g n ral On a Lemme 2 7 12 Soit K une matrice d x d sym trique semi d finie positive Il existe une matrice d x d sym trique semi d finie positive A telle que K AA Preuve Soient 1 Ag les valeurs propres de K qui sont gt 0 Il existe une matrice orthogonale C i e CC I telle que C KC D diag A1 Ag o diag 1 Ag d signe la matrice diagonale ayant 1 4 sur la diagonale On a alors CDC K Soit A diag vVA1 VAg On pose A CAC On a AA CAC CAC CACC AC CDC Appliquant
101. antes et de m me loi si on les consid re comme des l ments valeurs dans l espace d nombrable des mots finis non vides construits sur l alphabet E C est cette propri t fondamentale qui est la base d une bonne part de la th orie des processus de Markov Nous allons maintenant passer aux probl mes de communication entre points de E Irr ductibilit L tude suivante va permettre de d composer l espace des tats E en classes de points de m me nature En fait on se restreindra souvent dans la suite au cas o E sera form d une seule classe que l on appellera cas irr ductible D finition 4 5 9 On dit que x conduit y ce qu on note x y si P T lt 00 gt 0 On dit que la cha ne est irr ductible si x y pour tout couple x y Vu que T lt 00 Un gt 0 Xn y on obtient imm diatement Lemme 4 5 10 x y est quivalent l une des conditions suivantes 1 Il existe n gt 0 tel que Q x y gt 0 88 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 5 R currence et transience 2 Il existe une suite o L Tn 1 Tn y avec Q xr_1 k gt 0 pour k gt 1 3 U x y gt 0 Lemme 4 5 11 Soit x y z trois points de E alors P T lt 00 gt P T lt 00 P T lt 00 En cons quence si x y et si y z alors x z La relation binaire cRy si x y et y x est donc une relation d quivalence sur E Preuve On a utilisant 4 23 P T
102. ar X aussi bien la v a X que sa classe d quivalence dans LP En particulier on crira pour une v a X LP aussi bien que X Moments Remarquons que LP C L4 si p gt q puisqu alors X lt 1 XPP D finition 2 3 1 Soit X une v a r Pour p 1 00 E X s appelle moment absolu d ordre p de X pour p E N si X LP E X s appelle moment d ordre p de X Notons que E X f x dux x E X f x dux x Les deux moments les plus importants sont le moment d ordre 1 qui n est rien d autre que l esp rance de X on dit aussi la moyenne de X et le moment d ordre 2 On pose pour X L Var X E X E X 2 4 On a Var X E X E X et Lemme 2 3 2 Si X L E X a est minimum pour a E X et ce minimum est Var X Preuve En effet si m E X E X a E X m m a a On note aussi o pour Var X ox s appelle l cart type Une v a X L est dite centr e si E X 0 Une v a X L est dite centr e r duite si E X 0 et E X Var X 1 Noter que si X L a X E X est centr e r duite 37 11 3 Variables al atoires r elles Chapitre II Notions de probabilit s Proposition 2 3 3 i Soit X LP p gt 1 On a pour tout gt 0
103. ar fa t f lt t gt du x Vu que Je t7 gt lt 1 Ll u t gt t est continue cor 1 3 6 Si y est sym trique Le u A p A est r elle Enfin on a AG lt a0 A 0 1 12 Si on note f f ads 7e 20 on a pour y h A A t A t Th or me 1 6 3 Soient u v My On a px v t t t Preuve En effet puisque e lt 7 Y gt lt 1 Liu Qv on a th 1 4 2 jo v t J e lt b gt ui x v a f cr du e dv y z ei lt t gt dy UE qu x ODE a 20 Chapitre I Rappels d int gration I 6 Convolution et transformation de Fourier Ce paragraphe est consacr quelques r sultats techniques utiles pour la suite On pose pour o gt 0 et x R z go x 270 Y exp ds la z 2 1 13 On a go Co f golx dz 1 Mateo dx o d ar gt Lemme 1 6 4 g t exp Preuve Soit p t 2m 71 2 f gitug u 2 du t R Vu que Left lt lu Ll e 2 1 on peut appliquer la prop 1 3 7 et on a t any fe de 42 nt etre 2 du to t d o t Ce 9 2 e puisque 0 1 Alors th 1 4 2 d ira ie RT S Eana f ctas de e 7H ii Lemme 1 6 5 Pour toute f Co f fl o0 0 Preuve Notons d abord que f go x dx lt ll 29 x dr lt o d Ixl gt a Ixl gt a Soit gt 0 f tant uniform ment continue il existe a gt 0 tel que pour tous x y v rifiant lx y lt a
104. cherie P A Mever Probabilit s et Potentiel Vol 2 Hermann Paris 1980 R Durrett Probability Theory and Examples Wadsworth and Brooks Pacific Grove 1991 P Hoel S Port C Stone Introduction to Stochastic Processes Houghton MifHin Boston 1972 G Letac Problemes de probabilit Collection SUP PUF Paris 1970 133 BIBLIOGRAPHIE BIBLIOGRAPHIE 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 G Letac Int gration et probabilit s analyse de Fourier et analyse spectrale Ex ercices Masson 1997 L Mazliak P Priouret P Baldi Martingales et cha nes de Markov Hermann Paris 1998 J Neveu Bases math matiques des probabilit s Masson Paris 1964 J Neveu Martingales temps discret Masson Paris 1972 J R Norris Markov chains Cambridge University Press 1997 D Revuz Mesures et int gration Hermann Paris 1994 D Revuz Probabilit s Hermann Paris 1997 W Rudin Analyse r el et complexe Masson Paris 1995 A N Shiriyaev Probability Springer Verlag New York 1984 D Williams Probability with Martingales Cambridge Math Textbooks Cam bridge 1991 134
105. dans L 2 6 5 la convergence p s jointe la proposition 5 3 2 impliquait la convergence dans L Corollaire 5 3 5 Soit X L Alors la martingale Xn E X Fn est born e dans L et sa limite X v rifie XX E X F et donc Xn E Xo Fn 117 V 3 Martingales dans L Chapitre V Martingales Preuve D apr s l in galit de Jensen on a E X F lt E X F et en prenant l esp rance E X2 lt E X ce qui prouve que X est born e dans L Pour tout F on a donc d apr s le th or me 5 3 4 l galit f Xn dP f X dP f X dP Ceci implique que les deux mesures A f X dP et v A f X dP coincident sur l alg bre de Boole U F et donc sur la c alg bre engendr e soit Fo La variable al atoire XX tant F gt mesurable on a la propri t demand e m D composition de Doob de X D finition 5 3 6 Soit Xn une martingale de carr int grable On note X2 M A la d composition de Doob de la sous martingale X fournie par la proposition 5 1 5 On a alors An 1 An E X2 X Fn E Xn H1 Xn Fa 5 3 puisque pour une martingale de L E XnXn 1 Fn Xn E Xn 118 x PS La preuve du th or me suivant exige l utilisation d un lemme dit lemme de Kronecker que nous reproduisons ci dessous Lemme 5 3 7 On consid re une suite re lle x
106. e M l ensemble des mesures born es sur B R Si f C et u My on crit indiff remment f f du p f ou lt y f gt On note la mesure de Lebesgue sur R et dx pour d x Si u My a une densit h par rapport A on crit p h A convolution Soit l application de R x R dans Rd x y gt y D finition 1 6 1 Soient u v My On appelle produit de convolution de y etv et on note u x v la mesure sur R image de y v par D apr s 1 8 u v est caract ris e par pour toute f B R9 fra v fre y du x dr y 1 9 19 1 6 Convolution et transformation de Fourier Chapitre I Rappels d int gration On a donc yx v 1 y 1 v 1 et u v Mp Supposons que u On a tout est positif J raurn rte n e dedv y gt te f se a dv y de et donc si on pose o ole u v 1 10 pxv lt p p et on a A xv bxv Noter que 1 10 est d finie sans probl me pour 6 L v et v E Mp Supposons que u et v 4 4 On a tout est positif 1 d pxv J f e vjola dedy J KON d x yyb y dy de et donc si on pose a f e x y dy 1 11 oxp lt 00 p p et on a 9 4 x Y A d Noter que 1 11 est d finie sans probl me pour L A et y LHA Transformation de Fourier D finition 1 6 2 Soit y appelle transform e de Fourier de u et on note la fonction sur R d finie p
107. e Markov canonique On a pour tout n gt 0 toute loi initiale u et toute Y EDF resp F EL Vo 0 F Ex Y P pos 4 21 ce qui quivaut pour toute E bFn toute Y E bF resp toute D F7 toute VEF E PY o 0n E PE x Y Preuve La relation 4 21 est vraie pour 1 x ap Xp ap t Y 1 xo b0 Xp b p gt 108 deux termes tant alors gaux H ao Q ao 01 Q an 1 An L an bo bo b1 Q bk 1 bx Par sommation on en d duit 4 21 pour 9 Ft et Y FF k quelconque On conclut facilement en utilisant le cor 3 2 8 m Ce r sultat s tend sans peine aux temps d arr t Consid rons maintenant un temps d arr t T Evidemment par temps d arr t on entend temps d arr t de la filtration Fa de l espace canonique 4 15 On d finit 07 de T lt 00 dans Q par la formule Or w 07 W On a alors sur l ensemble T lt 00 et pour tout n gt 0 Xno0r Xn r 07 Xo 0 Xn En XT 0 XT n En Th or me 4 4 4 Soient X une cha ne de Markov canonique et T un temps d arr t On a pour toute loi initiale u et toute Y bF resp VE F En Lir lt ooy Y o Or Fr Lir lt o LX q vw A P p s 4 22 ce qui quivaut pour toute D bFr toute Y E bF resp toute D FF toute VEF Enllir lt oy PV o Or En
108. e Riesz 17 1 5 Mesures de Radon sur R Chapitre I Rappels d int gration Th or me 1 5 2 Soit I une forme lin aire positive sur Cg Il existe une et une seule mesure de Radon u sur B R telle que pour toute f Ck I f J fan Ce th or me fournit une seconde m thode pour construire des mesures Consid rons par exemple C R Pour f C R on peut construire fe f x dx par des m thodes l mentaires sommes de Riemann ou limite de fonctions en escalier Appliquant ce th or me on en d duit l existence de la mesure de Lebesgue sur R La d monstration du th 1 5 2 est difficile Notons cependant que l unicit est une cons quence imm diate de la prop 1 2 3 En effet Lemme 1 5 3 Soient u et pa des mesures de Radon sur B R On suppose que pour toute f Ck f dun f f du2 Alors m po Preuve Soit C la classe des ouverts born s Pour tout U C il existe fn Cp telle que Lry lim 1 fn On a donc convergence monotone 1 U ua U lt 00 Comme C est stable par intersection finie engendre B RI et que R lim 7 Un Un C on conclut par la prop 1 2 3 a Si la mesure y est born e Cy C Ll y et I f gt f f du est une forme lin aire positive sur Co On a r ciproquement Th or me 1 5 4 Soit I une forme lin aire positive sur Co Il existe une et une seule mesure born e u sur B RY telle que pour toute f Co I f J f du Toute mesure de Radon est r guli re au
109. e moyen de visites y de la cha ne partant de x Les termes U x y et P T lt 00 sont li s par Proposition 4 5 2 Pour tout couple x y on a U x y Pa Ty lt 00 U y y Preuve On a en appliquant la propri t forte de Markov 4 22 U zx y Ex Ny Ex Nyl gr lt ooy z E y Liy A Xn LiT lt o n gt Ty X Es lir lt o l y Xn o 0m Y E L r cooExr liy o Xn Y Ex l r lt o Ey 1 yy Xn n gt 0 n gt 0 PAT lt 00 gt Elu 0 XX P T lt 00 yy n gt 0 Remarque Cette proposition montre que la fonction x gt U x y atteint un maximum au point y Cette propri t est parfois appel e principe du maximum D finition 4 5 3 On pose a x P S lt 00 On dit que x est r current si a x 1 et transient si a x lt 1 Le r sultat fondamental est Th or me 4 5 4 Soit x E 86 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 5 R currence et transience 1 Six est r current alors Py Ny 00 1 et U x x 00 2 Si x est transient alors P Ny lt 00 1 et U x x 1 a x 7 lt De plus sous Pz la variable al atoire Nz valeurs dans N suit une loi g om trique de param tre a x Preuve On a utilisant 4 23 Pelor lt 00 Pa Sp lt 00 Sg 0 gn 1 lt 00 Pis lt o
110. e transition Q Pour a E on pose Ta n gt 0 Q a a gt 0 4 31 99 IV 8 Stabilisation des cha nes de Markov Chapitre IV Cha nes de Markov D finition 4 8 2 Lorsque I a est non vide on appelle p riode de a et on note da le pgcd de l ensemble I a Si tous les tats ont une p riode et que celle ci vaut 1 la cha ne est dite ap riodique Proposition 4 8 3 Si X est une cha ne irr ductible tous les tats ont une p riode et c est la m me Preuve Soient x y Puisque y gt x et x y on a I y 4 0 et pour n I y on a Q y y gt 0 Comme x y il existe n et na tels que Q 1 x y gt 0 et Q 2 y x gt 0 Alors QE x x gt QU 2 y 0 y 2 gt 0 et QUA x 2 gt Q x y Q y y Q y x gt 0 donc dg divise n no et n n n2 et donc n d o dy lt dy Par sym trie dy lt dy et dx dy n Remarque Il r sulte de la prop 4 8 3 que si X est irr ductible elle est ap riodique d s qu un tat est de p riode 1 en particulier d s qu il existe a E tel que Q a a gt 0 Lemme 4 8 4 Soit A C N un ensemble stable par addition et de p g c d gal 1 Alors il existe N tel que A contienne tous les entiers gt N Soit A AU 0 L ensemble 4 4 est un sous groupe de Z qui est donc de la forme dZ o d est le plus petit l ment non nul de 4 4 et de plus 4 4 contient A Tout l ment de A tant divisible par d on en c
111. e v a Xn converge en loi vers une probabilit u resp une v a X si la suite x converge troitement vers y resp vers ux 54 Chapitre II Notions de probabilit s II 7 Annexe La distinction entre convergence en loi vers u ou vers X est une simple affaire de langage car en fait c est la loi de X qui converge vers u et donc vers T se de X pour toute v a X de loi u Ceci signifie donc que pour toute f Co E f Xn f f dux gt n f fdu E f X D apr s la prop 1 7 2 il suffit de le v rifier a f Ck et d apr s les th 1 7 9 et 1 7 10 on a Th or me 2 7 17 La suite Xn converge en loi vers u resp vers X ssi pour tout t ER dx t gt n ft resp x t Th or me 2 7 18 Soit X une suite de v a telle que pour toute t R bx t gt n p t Si d est continue en 0 il existe une probabilit u sur Rd telle que Y et Xn converge en loi vers u Examinons le lien entre la convergence en loi et les convergences des v a tudi es dans la section pr c dente L La grande diff rence entre cette notion de convergence et les pr c dentes conver gence en probabilit convergence p s convergence dans LP est que e Cette notion de convergence n est pas de type produit c est dire que si Xn et Y convergent en loi vers X et Y il se peut tr s bien que le couple Xn Yn ne converge pas en loi e Cette notion de convergence n est pas de type espace vecto
112. endant exacte pour des temps d arr t valeurs dans un intervalle born de N Le th or me d arr t born D finition 5 2 1 Un temps d arr t T est dit born s il existe M R tel que pour presque tout w Q on ait T w lt M Th or me 5 2 2 Soient Xn une surmartingale resp martingale et T lt T2 deux temps d arr t born s alors Xr et Xr sont int grables et E Xn Fr lt Xr p s resp 5 2 Preuve On suppose 0 lt Ti lt To lt m EN On a Xr lt Xol Xm L pour i 1 2 Soit alors A Fr vu la prop 5 1 6 f xmap a XTaNm sy puisque AN T k E Fp n LA dP f Xn dP ANT1 A Si Xn est une surmartingale et T un temps d arr t tel que P T lt 00 1 mais pas born bien comprendre la diff rence on sait que pour tout n E Xran lt E X0 puisque X Tan est une surmartingale Alors T tant p s fini XTan gt n Xr p s et tout le probl me est de savoir si E XTan E Xr Ce n est pas toujours vrai mais on a Corollaire 5 2 3 Soient X une surmartingale resp martingale et T un temps d arr t On suppose P T lt 00 1 E EA nlir gt ny gt n 0 Alors E Xr lt E Xo resp 114 Chapitre V Martingales V 2 Etude sur un intervalle de temps fini Preuve On a E Xran lt E X0 et E XTan E Xrlire
113. engendr par H On a V Co et pour toute g V unl g u g Soient f E Coet gEV ona lun f U f lun f untg l lunlg 9 lug ulf If gllun 1 lunlg gl IIF olla IN IA 23 1 7 Convergences de mesures Chapitre I Rappels d int gration On a donc lim lua f uf lt Uf gil A u 1 Cette derni re quantit tant arbitrairement petite un f p f et uy converge faiblement vers u Le th or me suivant montre que l ensemble u My p 1 lt M est faiblement com pact Th or me 1 7 4 Soient un My telles que sup Hn 1 lt 00 Il existe une sous suite Un et y My telles que un converge faiblement vers m Preuve Soit V 1 02 0x un ensemble d nombrable dense dans Co On a pour tous n et k un dx lt All xl La suite a D1 tant born e il existe nt telle que Li 1 converge la suite la 02 tant born e il existe nz C ni telle que line 02 converge La suite diagonale nf est telle que link converge pour toute V On pose y Hink Pour f E Coet be V ona nr 9 ln 0 D lal un CP Fl tn 1 Intel D IF ollen D o lim n supy 44 HAC lt 2A f di Cette derni re quantit tant arbi trairement petite y f est une suite de Cauchy et donc converge pour toute f Co On pose I f lim f Alors f gt I f est une forme l
114. es limites gauche qu on note Fx t On a alors P X t px t Fx t Fx t Si X a une densit h on a Fx t f h u du ce qui implique F t h t p p OO Plus g n ralement on appelle fonction de r partition toute application de R dans R croissante de 0 1 et continue droite Le th 1 2 5 montre que toute fonction de r partition F est la fonction de r partition d une probabilit sur R et donc qu il existe une v a X de fonction de r partition F Le th or me suivant fournit un moyen de construire une telle v a partir d une v a de loi U 0 1 Th or me 2 3 6 Soient F une fonction de r partition et U une v a r de loi U 0 1 On pose Flu inf t F t gt u Alors X FU a pour fonction de r partition F 39 II 4 Variables al atoires vectorielles Chapitre II Notions de probabilit s Preuve Vu la continuit droite de F on a t F t gt u Ft u o et donc u lt F t Flu lt t Alors P X lt t P F HU lt t P U lt F t F t et X a pour fonction de r partition F y 2 4 Variables al atoires vectorielles Notations e On note pour z 21 14 RI le 21 e On note M la matrice transpos e de la matrice M On peut repr senter x R par un vecteur colonne i e une matrice d x 1 et on crira indifferemment x 1 q o 1 a Pour x 51 24 et y y Ya on a x y ty TgYya lt x y gt et xy
115. est la matrice de terme g n ral x y e On note LE X X1 Xa E X P lt 00 e Si X L on note E X E X1 E Xa X X1 Xa est un vecteur al atoire ssi pour k 1 d Xy est une v a r Ceci entra ne Proposition 2 4 1 Soient X1 X des v a r et Fn o X1 Xn Une v a r Y est Fa mesurable ssi Y f X1 X avec f fonction bor lienne sur Rd Preuve Soit X X1 Xn On a Fn o X et il suffit d appliquer la prop 1 1 4 a Soit X X1 Xa un vecteur al atoire Les lois x u1x s appellent les lois marginales de X On sait th 2 2 7 que les composantes X1 X4 sont ind pendantes ssi uX UX Q Q Uxa Si X a une densit h on a imm diatement Lemme 2 4 2 Soit X un vecteur al atoire de densit h Les composantes X Xa sont ind pendantes ssi h x1 ta g1 x1 ga ta p p et alors Xy a pour densit hx u gk u JR grv dv Rappelons la formule de changement de variables dans R Si 4 est un diff omorphisme de l ouvert U sur Pouvert V on a pour toute f B R9 f f o de f H u 1T u du 2 8 V U o J est le d terminant de la matrice des s Il en r sulte 40 Chapitre II Notions de probabilit s II 4 Variables al atoires vectorielles Proposition 2 4 8 Soit X un vecteur al atoire de densit h On suppose que X D p s D ouvert de R So
116. eu o 04 est la mesure de Dirac du point u et on a E X U 1 n eF LU E 7 A E PDT 21 00 i 3 6 2 Le cas gaussien On considere des v a T et X valeurs R et R1 et on suppose que le couple T X est gaussien de matrice de covariance KEY 20 3 14 Kx Ya K X On suppose que T est non d g n r e i e que det K T 0 On s int resse la loi conditionnelle de X sachant que T t On pose T T E T X X E X On a donc K T E TT K X E X X 22 E TX Da E XT Yo On cherche crire X sous la forme X AT Z avec T et Z ind pendantes ce qui revient chercher une matrice A telle que X AT et T soient ind pendantes Le couple X AT T tant gaussien comme fonction lin aire de T X X AT et T sont ind pendantes th 2 7 14 ssi pour tous i j Cov X AT Tj 0 ce qui s crit E X AT T 0 soit encore Ya AK T 0 On a donc pour ZE K7 T X AT Z avec T et Z X AT ind pendantes Evidemment la v a Z est gaussienne avec E Z E X AE T et K Z E X AT X AT K X E21K T E12 On en d duit cor 3 5 3 que la loi condi tionnelle de X sachant que T t est la loi de At Z On a tabli Proposition 3 6 1 Soit T X un vecteur gaussien de matrice de covaria
117. f n gt 0 Xn A e Le temps de retour du processus dans A soit SA inf n gt 1 Xn A e Les temps de retour successifs du processus dans A soit S9 0 puis pour k gt 0 SET inf n gt 94 Xn A e Le nombre de visites du processus A soit Na Xpo Lia o Xn Proposition 4 1 9 Ta Sa S sont des temps d arr t et Na Lao Xo ra Lisz lt o Preuve On peut crire T4 n Xo A X1 A Xn 1 A Xn A Fn On montre de m me que S4 S est un temps d arr t puis par r currence on obtient le m me r sultat pour S en crivant 93t p WIH S4 k Xka A Xp 1 A Xp A L Lorsque T est un temps d arr t p s fini et X un processus adapt on peut d finir sans probl me la variable al atoire Xr Il se peut tr s bien que tous les X soient 76 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 2 Matrices de transition int grables et m me que sup E X lt co sans que Xr le soit Par exemple sur Q N on considere la filtration Fn o 1 2 n n 1 00 le processus adapt Xn d fini par Xn i nlyn i et le temps d arr t fini T i i On a alors Xr i i Si Pon choisit la probabilit P telle que P n c n on a E Xr alors que E X c n Bien s r une telle situation ne peut se produire s il existe une variable al atoire int grable U telle que X lt U puisqu alors Xr lt U Le r sultat suivant fournit cependant u
118. f fdu lt 00 Pour l int gration des fonctions r elles ou complexes on pose LUE Bu f Bn fldu lt 00 13 10 Chapitre I Rappels d int gration 1 3 Int gration SifeL ft et fT sont int grables et on pose fran fra ru Il est facile de voir vu que f gl lt f gl que est un espace vectoriel et que f gt J f du est une forme lin aire positive sur L1 De plus pour f L f fdul lt f fl du Si f est B mesurable valeurs C on pose f d signant le module Le LE E B u f B mesurable complexe fu du lt 00 1 4 On d finit alors pour f LE f fdu R f du i f S f du Ll est un espace vectoriel sur C et f f f du une forme lin aire sur LE On a aussi pour f Ek S fdul lt f Ifl du Propri t s e i Si f Bt et si f f du lt 00 f lt 00 p p e ii Si f BT et si f f du 0 f 0 p p e iii Si f Lh et si A B fiiy Lo On pose alors Jane rie du AEB feLbuBt A e iv Si f L et si pour tout A B JA f du gt 0 alors f gt 0 p p Il nous reste noncer les r sultats concernant les passages la limite Le premier d o d coulent facilement les autres s appelle th or me de convergence monotone ou th or me de Beppo Levi Th or me 1 3 2 Soit f B une suite croissante alors lim Jan Jima fn du Corollaire 1 3 3 Soit gn B alors Y fondu E ondu Proposition 1 3 4 Lemme de Fatou e i
119. gale et An processus croissant pr visible Preuve On d finit Ao 0 An 1 An E Xn 1 XnlFn alors par construction An est un processus croissant pr visible int grable et M Xn An v rifie E M 1 Mn Fn 0 puisque An 1 est F mesurable L criture est unique car si Xn My An M 4 on a Ao Ap 0 et Ahyi Ar Xn 1 Xn Mi 1 Mh d o en conditionnant par Fn Ahyi Ah E Xn 41 XnlFn Any1 An d o Af Ap puis My My u Martingales arr t es Si Xn est un processus et T un temps d arr t on d finit le processus arr t XT par XT Xanrr On a alors Proposition 5 1 6 Soient X une surmartingale resp martingale et T un temps d arr t alors XT est une surmartingale resp martingale 113 V 2 Etude sur un intervalle de temps fini Chapitre V Martingales Preuve On a Xnarl lt Xo Xn donc XT est int grable On a alors vu que T gt n ST lt n E Fa 3 Aa Fa EX yor Fo Y E X Lir i Fr EX 1 grp Fn k 0 gt Xrlir r lr E Xn411Fn lt YX Lera Leroy An Anar X a k 0 k 0 5 2 Etude sur un intervalle de temps fini Soit X une martingale On a pour tout n E X E X0 La question est de savoir si on a encore E Xr E Xo pour T temps d arr t La r ponse est en g n ral n gative mais cette propri t est cep
120. h or me 4 6 8 alors on a P S lt 00 Qu y et E Sy 1 Qu y Preuve Il suffit d utiliser la relation Sy 1 T o 0 et d appliquer la propri t de Markov a 95 IV 7 Cha nes irr ductibles r currentes Chapitre IV Cha nes de Markov 4 7 Cha nes irr ductibles r currentes On consid re une cha ne de Markov canonique X de matrice de transition Q irr ductible et r currente On a donc pour tous x y E P N 1 Nous allons commencer par l tude des mesures p invariantes harmoniques c est dire telles que pQ p ou excessives surharmoniques c est dire telles que pQ lt p D finition 4 7 1 On dit qu une mesure sur E est triviale si c est soit la mesure nulle soit la mesure valant 00 en tout point Ces deux mesures triviales sont consid r es comme parasites car ce sont toujours des mesures invariantes et leur prise en compte n offre aucun int r t Lemme 4 7 2 Soit p une mesure excessive non triviale alors p est strictement positive et finie en tout point Preuve Soient a et b deux points de E Vu l irr ductibilit il existe n gt 0 tel que Q b a gt 0 Comme p gt pQ ona pla gt Y p c Q c a gt p b Q b a On en d duit facilement le r sultat u Lemme 4 7 3 Soit p une mesure excessive finie en tout point alors p est invariante Preuve Puisque pQ x lt p x lt oo on peut consid rer la mesure positive
121. i Soient u v My Si pour tout t t t on a u v ii Soit u My Si LULA on a u h X avec hy m4 gt au du Preuve i Vu 1 15 on a pour toute f Ck f go f x du x f go f x dv x et donc lem 1 6 5 f f x du x f f x dv x et lem 1 5 3 u v ii Consid rons 1 15 pour f Cp Lorsque o 0 le terme de gauche tend vers J f x dute lem 1 6 5 et e gt g ou f u f y gt 27 Po Er Qu f y en restant born par A u f y LHA 8 A On peut donc appliquer le th de Lebesgue au terme de droite et on obtient la limite f f x dul 27 I 7 i lt Y0u gt A u f y dudy f m f e lt gt alu du dy f Foa dy donc lem 1 5 3 y h A a 22 Chapitre I Rappels d int gration 1 7 Convergences de mesures 1 7 Convergences de mesures Soient Un My On veut donner un sens un converge vers u La premi re id e est de dire que un converge vers y si pour tout B R un A A Mais ceci est tr s restrictif Par exemple si un 91 MR on n a pas la convergence en ce sens de un vers u o puisque JO 1 1et que JO 1 0 On va plut t d finir la convergence en utilisant la dualit avec certains espaces de fonctions continues D finition 1 7 1 Soient un My On dit que un converge vers u vaguement si pour toute f Ck J f dun f f du faiblement si pour toute f Co f f dun gt J fdu troitement si
122. i X P A et Y P u X Y ind pendantes alors X Y PAA u c Loi gamma G a c Si X G a c ona px t rt Jo e are L de Utilisant la prop 1 3 7 et int grant par partie on obtient ic NS LA iac Le 1 J ette ya dx e ef T TCT ya dx P a Jo P a it c Jo d o x t 1 4 puisque px 0 1 Noter que pour a N on prend la d termination continue valant 1 en 0 Si X G a c et Y G b c X Y ind pendantes t px t 50 Chapitre II Notions de probabilit s II 7 Annexe alors X Y G a b c En particulier si X1 X sont des v a ind pendantes de m me densit eL R et donc de loi G 1 A Sn X1 Xn Gln A et a pour densit re x i Rty 2 d Loi normale N m 0 On sait lem 1 6 4 que si Y N1 0 1 dy t e 7 Soit X m oY alors X Ni m o et o t x t E eitX E em aY em E eitoY gt exp itm _ 7 On en d duit imm diatement Proposition 2 7 8 Si X Ni m o et Y Nill p X Y ind pendantes alors X Y Ni m l 0 p Transformation de Laplace Pour des v a positives on peut avoir int r t utiliser la transformation de Laplace Soit X une v a valeurs I R de loi ux On appelle transform e de Laplace de X ou plut t de ux la fonction sur RY px X E 0X J E 2 10 L espace vectoriel V des fonctions sur R de la forme Y ce VE est une alg bre s parant les points de
123. ice de transition Q donn e par Q z 1 y y Q x y Q x y Corollaire 4 8 8 Soit X une cha ne irr ductible r currente positive et ap riodique Alors la cha ne coupl e est r currente positive irr ductible Preuve On v rifie facilement que Q x x y y Q z y Q x y On a donc prop 4 8 5 Q 2 2 y y gt 0 pour tout n assez grand ce qui montre que la cha ne Z est irr ductible De plus si m est la probabilit invariante de X alors m 7 est une proba bilit invariante pour Z Il ne reste plus qu utiliser la prop 4 5 16 a Le r sultat fondamental est Th or me 4 8 9 Soit X une cha ne irr ductible r currente positive ap riodique de probabilit invariante n Alors cette cha ne se stabilise Plus pr cis ment 1 Pour toutes probabilit s a B sur E sup aQ y BQ y gt n 0 yEE 2 Il s en suit que pour tous x y E Q x y n y Preuve On choisit un point fix a E et on pose R inf n gt 0 Zn a a Puisque la cha ne Z est r currente irr ductible on sait que Pags R lt 00 1 Pour deux fonctions f et g dans on a Ecagp F Xn 9 Xn Ea f Xn Ee 9 X7 2Q F 8Q 9 Par cons quent aQ f Ego f Xn Ewop HXn Lir gt ny Eoo f Xn Lir x ES ES gt Il Etes f Xn l iron Y Eos lir r Eiaa f Xn k
124. ient y un diff omorphisme de D sur un ouvert et Y Y X alors Y a pour densit hT UII U La 1 Preuve On a pour toute f B R E f Y E X L F 2 h a de ro Fu DIIODWIdy u Exemple Soient X et Y des v a r ne de lois respectives G a c et G b c 2 6 a b c gt 0 On pose S X Y T On veut calculer la loi du couple S T Vu Vind pendance le couple X Y a pour densit hr Range Y ooon eooo Y Soit d l application x y gt s x y t rie est un diff omorphisme de 10 00 x 0 00 sur 0 co x 0 1 De plus J 71 s t s La densit de S T est donc prop 2 4 3 hs r s t Bn e 1 0 o0f 5 140 11 Le lem 2 4 2 montre que S et T sont ind pendantes que S a pour densit cete T a b hs s ct sf i e S G a b c et que T a pour densit T a b 407 rS TOTO b 1 0 Loin t Puisque hr est une densit de probabilit on a montr au passage la formule Ag _1 _ Fla T b f st bare Covariance Soient U et V deux v a r de carr int grable On appelle covariance de U et V la quantit Cov U V E U E U V E V E UV E UJE V A1 II 4 Variables al atoires vectorielles Chapitre II Notions de probabilit s U V Cov U V est une forme bilin aire et Cov U U Var U Si U et V sont ind pendantes Cov U V
125. ilisation du th 2 7 14 On peut avoir X et Y v a r gaussi ennes Cov X Y 0 sans que les v a X et Y soient ind pendantes Par exemple si X N1 0 1 si U est une v a ind pendante de X telle que P U 1 P U 1 et si Y UX on v rifie facilement que Y N1 0 1 On a Cov X Y E XY E UX E U E X 0 et X Y donc X et Y ne sont pas ind pendantes En fait le couple X Y n est pas gaussien Le cas non d g n r On dit que la loi Ny m K est non d g n r si det K 4 0 Dans ce cas Th or me 2 7 15 Si X Na m K et si det K 4 0 X admet la densit hmr 2 21 det K pl a m K e m Preuve Soit A tel que K AA on a det A det K et A est inversible Soit Y Na 0 I4 un vecteur gaussien de densit 27 exp B On a lem 2 7 10 Y m AY Na m K et pour f B RI d 2 E f X E f m AY ent f mayor ay On effectue le changement de variable y 47 x m on a DE det A47 et EFD 2 det A 1 ES e Comme K 44 471 47 on a la formule annonc e u 2 7 3 Convergence en loi On consid re dans cette sous section des v a valeurs R Rappelons que si X est une telle v a on note ux sa loi et x sa fonction caract ristique Nous ferons un usage intensif des r sultats de la section 1 7 D finition 2 7 16 On dit qu une suite d
126. in aire positive sur Co il existe donc th 1 5 4 u M telle que I f u f et ui converge faiblement vers u u ln CP an A lt Convergence troite Pour le probabiliste c est la plus int ressante puisqu elle conserve les probabilit s Revenons d abord au probl me de la convergence sur les ensembles On a vu que un peut converger troitement vers y sans que A converge vers u A La question est o de savoir pour quels ensembles on a cette convergence On note OA A A la fronti re topologique de A i e la fermeture moins l int rieur Proposition 1 7 5 Soient un u My On suppose que un converge troitement vers u Alors pour tout A B RY tel que A 0 un A gt u A Preuve Il existe fp gp C telles que gp Lay Fo 1 Len alors u gp u et fn T A On a donc vu l hypoth se gp fp gt p 0 et vu que fp lt L 4 lt Gp Un fp L 9p E Hn A ULA lt Un 9p Sp d o un A 4 4 lt lun 9p 4 fp tn fp H g9 On a donc lim n un A u A lt 2 u gp H f Cette derni re quantit tant arbitrairement petite un A u A a Le th 1 7 4 n est pas valable pour la convergence troite car la masse de un peut aller l infini il suffit de consid rer un n On va pr ciser ce point 24 Chapitre I Rappels d int gration 1 7 Convergences de mesures Lemme 1 7 6 Soit un Mp une suite convergeant troitemen
127. it b On a D P Xn gt 0 gt pn donc si X pn lt 00 on a prop 2 2 11 que Xn gt 0 n a p s lieu que pour un nombre fini de n donc Xn n 0 p s R ciproquement si Y pn 00 on a prop 2 2 11 que Xn an a p s lieu pour une infinit de n donc Xn ne converge pas p s vers 0 Donc Xn 0 p s ssi Y pp lt 00 Xn EX anPn Donc Xn 0 dans L ssi anPn n 0 c LL d E X apr Donc Xn n 0 dans L ssi a2pn n 0 Si on choisit pn L an 1 Xn converge vers O dans L mais pas p s Si on choisit _ 1 O 1 g o nl Pn 52 An N Xn converge vers 0 p s mais pas dans L Si on choisit pn z7 An N Xn converge vers O dans L mais pas dans L Crit res de convergence p s Proposition 2 5 4 Si pour tout e gt 0 X P X X gt lt 00 alors la suite Xn converge p s vers X Preuve PiUran Xx X gt lt Y 7 P IXx X gt k n Il suffit alors d utiliser la prop 2 5 2 y On en d duit les corollaires suivants Corollaire 2 5 5 S il existe une suite n gt 0 avec lime 0 et gt P X X gt En lt 00 alors la suite Xn converge p s vers X 44 Chapitre II Notions de probabilit s II 5 Convergence des suites de v a Corollaire 2 5 6 De toute suite Xn convergeant en probabilit on peut extraire une sous suite Xn convergeant p s Preuve Vu que pour tout k P X X gt
128. l mentaire Par exemple pour montrer que y est r current on peut crire 89 IV 5 R currence et transience Chapitre IV Cha nes de Markov Puisque x y il existe n gt 1 tel que Q x y gt 0 D apr s le principe du maximum 4 5 2 on peut crire ose ven does Qu k k V gt YN Qt 2 Q z y U r 2 Q 2 y 00 k Corollaire 4 5 14 L espace E se d compose donc en classes transitoires et classes r currentes telles que 1 x et y appartiennent deux classes distinctes si et seulement si U x y 0 ou U y x 0 2 Dans une classe transitoire on a 0 lt U x y lt pour tout couple x y 3 Dans une classe r currente on a U x y 00 pour tout couple x y De plus une classe r currente est close c est dire qu en d signant par C une telle classe si x E C alors P 3n gt 1 Xn C 0 Preuve Au vu de la proposition 4 5 12 et du principe du maximum il ne reste qu prouver l assertion relative aux classes closes Soit C une classe de r currence x C et y C tels qu il existe n gt 1 avec P X y gt 0 On aurait donc x y et par cons quent y x d apr s 4 5 12 ce qui est impossible puisque x et y ne sont pas dans la m me classe q A Tissue de cette tude on peut donc pr ciser le comportement d une cha ne de Markov Partant d un point r current celle ci restera dans sa classe de r currence et visitera une infinit de fois tous les points de la classe
129. l de fonctions r elles born es d finies sur Q etC un ensemble de parties de Q stable par intersection finie On suppose que e IEH e si fh EH etsiO lt fn 1 f born e f EH e pour tout A EC lip EH Alors H contient toutes les fonctions o C mesurables born es Preuve Soit M A 1 4 H On a C C M et vu les hypoth ses sur H on peut appliquer la prop 1 1 1 Donc o C C M Ceci implique que si f est tag e sur Q o C f H C est encore vraie prop 1 1 2 par passage la limite croissante si f est positive born e o C mesurable puis par diff rence pour toute f born e o C mesurable a Proposition 1 1 4 Soit f une application de E dans un espace mesurable F F et h E gt R resp E gt R Alors h est o f mesurable ssi il existe g F resp gE F tel queh go0f Preuve Evidemment si h go f alors h est o f mesurable composition des applications mesurables R ciproquement on pose H 4p ER p Y0of Y E Fo On v rifie facilement que H est un espace vectoriel de fonctions born es sur E v rifiant les conditions du th or me 1 1 3 avec C o f et par cons quent H contient toutes les fonctions o f mesurables born es On conclut en consid rant d abord des fonctions h born es 1 2 Mesures Chapitre I Rappels d int gration 1 2 Mesures Soient J un ensemble d nombrable et a i I une famille d l ments de R On veut d finir gt 7 ai Soit une num ration de
130. le i e valeurs Rf et yx hx A A tant la mesure de Lebesgue sur RY On dit alors que X est une v a de densit hy Dans ce cas on a pour toute f BW R9 E f X ftx d 2 2 Ind pendance Toutes les tribus consid r es sont des sous tribus de A Tribus ind pendantes D finition 2 2 1 Des tribus B i 1 n sont dites ind pendantes si pour tous Bi P N _ A PA i 1 Une famille quelconque B i I de tribus est dite ind pendante si toute sous famille finie est ind pendante Cette d finition a comme cons quence vidente mais importante Lemme 2 2 2 Si les tribus B i I sont ind pendantes et si pour chaque i I B est une sous tribu de B les tribus B i I sont ind pendantes 33 11 2 Ind pendance Chapitre II Notions de probabilit s Proposition 2 2 3 Soient Cx C P Q k 1 n des classes stables par intersection finie et contenant Q On suppose que EE pour tous Ay Ck k 1 n P M _ 4x P Az 2 3 k 1 Alors les tribus o Cx k 1 n sont ind pendantes Preuve On considere la propri t pour k 1 n l az T E Pr VA 0 C i 1 k 1 VA Ci i k n P N _1Ax Par hypoth se P est vraie Supposons P On pose M B VA ao Ci i 1 r 1 VA EC i r 1 n P A Ar 1BAr 1 An P A1 P 4 _1 P B P 4 41 P An M contient Q est stable par li
131. llim Q rg lim Q rg hpg La suite TB Xn est une surmartingale positive et hg X est une martingale positive elles convergent donc P p s et ces suites tant born es elles convergent dans Lt Or on a L Nx 00 9 On Ling ooy et donc hB Xn Ex 1 invg 00y Ex Li Np o OnlFn LL Ex Ling ooy Fn 126 Chapitre V Martingales V 6 Annexe Le th or me 5 5 4 implique que hg X converge Py p s vers Y Li Si Z est la limite de rg X on a bien s r Z gt Y et le th or me de Lebesgue implique que Es 2 limE rae X lim Qrp x hplx Es Y et donc Z Y P ps Cette proposition a d importantes cons quences et permet de retrouver une bonne partie des r sultats obtenus dans la classification des tats d une cha ne de Markov Proposition 5 6 5 Soit x E Alors P N ne prend que les valeurs O ou 1 Preuve La proposition 5 6 4 implique que la suite hz Xn Lin converge Py p s vers Lin Mais cette suite est gale h x pour une infinit de valeurs de n et donc hy x lin 00 Pa p s On en d duit que si h x gt 0 alors h x 1 Ce r sultat avait d j t obtenu dans le th or me 4 5 4 Proposition 5 6 6 Soit x et y E avec P N 1 Alors pour tout point z E E il n y a que deux cas possibles o PLE lt P N P N 1
132. llir lt yoy PExr V Preuve Soient E et Y FT On remarque que Pl r n F7 On a alors En Lir lt o00 PY o 0r Y En l iron PV o On n gt 0 gt _En Lr n PEx 4 Eull re oo PExp U u 84 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 5 R currence et transience Evidemment le th 4 4 4 implique le th 4 4 3 Traditionnellement la propri t 4 21 s appelle la propri t de Markov et la propri t 4 22 s appelle la propri t forte de Markov Vu que UB 1 8 o Or 4 22 s crit pour des ensembles P HT lt NANO B ErlLir lt ro Lia Pxp B AE Fr BEF 4 23 Simulation d une cha ne de Markov donn e par sa fonction de transition On pr sente une deuxi me m thode pour construire une cha ne de Markov de loi initiale p et de matrice de transition Q donn es Elle a le double int r t de montrer que toute cha ne est de la forme 4 13 et de fournir un moyen de simuler une cha ne partir d une suite de nombres al atoires compris entre 0 et 1 surtout si E est fini On suppose E N cas auquel on peut toujours se ramener en num rotant les points de E On pose pour tous N et x 0 1 n 1l so 0 s1 Doa k 0 n 1 so i 0 s1 i Q 1 0 sn 1 gt Q k k g x ksix Sx Sk 1l g 1 0 gli x k si zx sx 2 Sk 1 gli 1 Evidemment si u k 0 on a sx S 4 1 auquel cas s
133. loi uQ On d duit galement de 4 7 que si u x gt 0 P Xo Xn y Q x y 4 9 Par ailleurs si f est une application de E dans R positive ou born e on a il suffit de sommer dans 4 6 AVEO E A Ile y f z 0 n ulzo Q zx0 1 QUA AS n 4 10 L0 En Si dans 4 10 on choisit f xo n Lao z0 14 3 n Ai C E on obtient P Xo Ao Xn An u xo Q xo 1 Ql n 1 n 4 11 20 A0 n An Si dans 4 11 on choisit x pour certains indices et A E pour d autres on a pour b lx EN P X To Xi X1 ba z zk uQ xo Q xo 21 HE qu Es A zk 4 12 L exemple g n rique de cha nes de Markov 80 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 3 Suites markoviennes Th or me 4 3 5 Soit U1 Un une suite de v a valeurs G G ind pendantes et de m me loi Xy une v a valeurs E ind pendante de la suite U et g une application de E x G dans E telle que pour tout x E ur g x u soit G mesurable On pose pour tout n gt 0 Xn 1 LL g Xn Ungi 4 13 Alors Xn est une cha ne de Markov de matrice de transition Preuve Soit Fn o Xo U1 Un et f On a d apr s la prop 3 4 6 E F Xn41 Fn E Hg Xn Un 1 Fn Xn o D x E f g x Un 1 E f g x U1 Qf x a Un cas particulier important est le suivant On consid re une suite U1 Un de v
134. mite croissante et contient vu P C donc prop 1 1 1 M contient o C et P 1 est vraie On a donc P qui est le r sultat cherch a Enfin on a l ind pendance par paquets Proposition 2 2 4 Soient Bi i I des tribus ind pendantes et Ij j J une partition de I Alors les tribus o B i Ij j J sont ind pendantes Preuve Il suffit de consid rer le cas J fini Soit Cj B B A A2 An Ax Uier Bi Vu l ind pendance des B on a pour tous B Cj P NB P B Mais les C sont stables par intersection finie Q C et o C o B i I On applique la prop 2 2 3 Variables al atoires ind pendantes D finition 2 2 5 Des v a X 1 I valeurs E Ei sont dites ind pendantes si les tribus o X i I sont ind pendantes Des v nements A i I sont dits ind pendants si les tribus o A i I sont ind pendantes On a imm diatement Lemme 2 2 6 Si les tribus B i I sont ind pendantes et si pour chaque i I X est une v a B mesurable les v a X i I sont ind pendantes 34 Chapitre II Notions de probabilit s 11 2 Ind pendance Preuve On remarque que o X C B et on applique le lem 2 2 2 a Le r sultat essentiel est Th or me 2 2 7 Soient X des v a valeurs E i 1 n Les propri t s suivantes sont quivalentes i Les v a X1 X sont ind pendantes ii Pour tous T Ei
135. mps d arr t et sur R lt 00 Xp Xs 0r 92 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 6 Th orie du potentiel Preuve On a R n Uf_p1T k N S 00 n k Fn pour tout n car 9S o 0k n k 0 S n k Fn vu 4 20 De plus R lt 00 implique T lt 00 et S o r lt 00 et alors Xrlw XT wmts op w w X stop w Orw Xs o 0r w n 1 On en conclut par exemple que sur S lt oo gn i Xs o s X o Osy Soit T un temps d arr t On d finit l op rateur Qr de E dans E ou de dans par Qrf z Er Uir lt oy f Xr 4 26 On a alors Proposition 4 6 2 Soient X une cha ne de Markov canonique S et T deux temps d arr t On pose R T S 007 On a alors QR QrQs Preuve Soit f E Alors d apr s le th 4 4 4 et le lem 4 6 1 QrQsf x Exlliraroy Qsf Xr Er lir lt o Exr lis lt 0 f Xs Ex LT lt 00 L S007 lt 00 f Xs 0 OT Es lircto f XR QRf x u Calcul de la matrice potentielle Si f ET v U f s appelle le potentiel de f On a compte tenu de 4 18 20 Q f x Dreo Ex f Xk Ex D 20 F Xx d o FX f EEF 4 27 Me U f x Ez gt Il 0 En particulier si f 1 4 A C F on a U x A Ul a x Es Pa 1106 Es Na k 0 De la relation U I QU on d duit que v f
136. n EX Lir gt ny Vu que P T lt 00 1 Xrlir lt ny ES Xr PS et IXT Lir lt n lt Xp d o E XrlirT lt n gt n E Xr Donc vu la derni re hypoth se E Xr lim E Xran lt E Xo a In galit s maximales On appelle in galit s maximales des in galit s relatives sup Xn ou sup Xnl Proposition 5 2 4 Pour un processus Xn on pose X SUPo lt k lt n Xk 1 Soit Xn une surmartingale On a pour tout a gt 0 et tout n aP X gt a lt E Xo Xn dP lt E Xo E X Xi lt a 2 Soit Xn une sous martingale On a pour tout a gt 0 et tout n aP X gt a lt Xn dP lt E X X7 gt a Preuve Soit T inf k gt 0 Xy gt a An Le temps d arr t T est born par n et de plus on a les inclusions XF lt a C T n et X gt a C Xr gt a On en d duit E Xr J Xr dP Xr dP gt aP X gt a Xn dP X3 gt a X7 lt a X lt a D apr s le th or me d arr t born e lorsque X est une surmartingale on a E Xp7 gt E Xr et donc E Xo gt aP X gt a J Xn dP Xi lt a e lorsque X est une sous martingale on a E X gt E Xr et donc E Xn gt aP X gt a I Xn dP Xi lt a Ceci fournit les premiers membres des in galit s
137. n gt Un Yn Un oz E An Xn 1 Fn 1 22n 1E Yn Un lFn 1 E Yn Un laa n 2Zn 1E Yn Un E Yn ial E o 0 On verra plus loin que cette propri t correspond la d composition de Doob de la sous martingale Z2 e On se place comme ci dessus dans le cas de variables al atoires ind pendantes mais on suppose de plus qu elles suivent toutes une loi normale centr e r duite On pose Xo 1 puis pour n gt 1 Xn exp Sn n 2 Alors X est une martingale positive puisque E Xn Fn 1 E Xn 1 exp Yn 1 2 Fn 1 Xn 1E exp Yn 1 2 Xn 1 Cette martingale souvent appel e martingale exponentielle est tr s utilis e en calcul stochastique mais elle est aussi la base de nombreux contre exemples En effet d apr s la loi forte des grands nombres la suite S n converge p s vers O et donc Xn exp n Sn n 1 2 converge aussi p s vers O alors que son esp rance est constante gale 1 On n a donc pas convergence dans L bien que cette martingale soit born e dans L D composition de Doob d une sous martingale On dit qu un processus est un processus croissant pr visible si Ay 0 An lt An 1 et si A 1 est F mesurable On note lim An Proposition 5 1 5 Toute sous martingale Xn s crit de fa on unique sous la forme Xn Mn An avec M martin
138. n OS lt 00 En 1 gn oo PX gn Se lt 00 P S lt 00 Po Sy lt 00 a x e 1 Si a x 1 alors pour tout n P S lt 00 1 Vu 4 24 on a P N 00 1 et a fortiori U x x E N 00 e 2 Si a x lt 1 alors vu 4 24 OO U x 0 E N 1 Pa s lt 00 1 a x lt 00 n 1 et a fortiori P N lt 00 1 De plus on a P Ny gt n P S lt 00 a x et donc Ngy suit une loi g om trique de param tre a x sous Py a Autrement dit partant d un point x l on revient une infinit de fois en ce point avec une probabilit gale 0 ou 1 On retrouve donc une certaine forme de la loi du 0 ou 1 puisque l v nement NV 00 est mesurable par rapport toutes les tribus Bn O X Xn 1 et donc par rapport leur intersection Ceci constitue l un des r sultats les plus remarquables sur le comportement des cha nes de Markov Proposition 4 5 5 Si E est fini il existe au moins un tat r current Preuve En effet Y eg Ny Ne 00 d o Y eg U x y Ex d_yez Ny 00 Il existe donc y E tel que U x y 00 mais prop 4 5 2 U y y gt U x y et y est r current s Supposons que la cha ne parte de x Alors son comportement est r gi par la loi Pz Elle revient en x l instant Sz D apr s la propri t forte de Markov son comportement apr s S est r gi par la loi Px mais Pxs P et donc son compor
139. n sur E Consid rons l espace canonique Q EN w wn nz0 Xnlw un Fn 0 Xp k lt n F 0 Xp k gt 0 4 15 Alors il existe une unique probabilit P sur Q F telle que Q Fn F Xn n gt 0 P soit une cha ne de Markov de loi initiale u et de matrice de transition Q Preuve On d finit une probabilit un sur E 1 par UnlZo Tp u xo Q xo x a Q Tn 1 Tn Ces probabilit s v rifient la condition 4 1 du th 4 1 4 Donc il existe une unique prob abilit P sur Q F telle que P Xo 0 En AAA NO 0 1 Q n 1 n 82 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 4 Cha nes canoniques On conclut par le th 4 3 4 a On note P la probabilit relative loi initiale u Si y 07 0 tant la mesure de Dirac du point on note Py pour P5 En vertu de 4 6 on a pour tout A F P 4 Y u r P 4 4 16 eE On peut maintenant introduire l objet sur lequel nous allons dor navant travailler D finition 4 4 2 Soit Q une matrice de transition sur E On appelle cha ne de Markov canonique de matrice de transition Q un processus Q Fn F Xn n gt 0 P sur l espace canonique d fini par 4 15 et o pour chaque y M P est une probabilit sur Q F v rifiant pour tous n To Tn Pets Xn ho OT 4 17 Alors pour chaque u Mi Q Fn F Xn n gt 0 Pu est une cha ne de Markov de loi initiale u et de matrice de transition Q Dans ce cadre on a les formules s
140. nce donn e par 3 14 avec det K T 4 0 La loi conditionnelle de X sachant que T t est une loi gaussienne de moyenne E X x KT t E T et de matrice de covariance K X Za K UT 12 En particulier E X T E X EykK UTD T E T p s 71 II 6 Annexe Chapitre III Esp rances conditionnelles 72 Chapitre 4 Chaines de Markov 4 1 Processus al atoires G n ralit s D finition 4 1 1 Soit Q F 1P un espace de probabilit On appelle processus al atoire valeurs E un terme X Q F Xn n gt 0 P o pour tout n Xn est une v a valeurs E L application n X w s appelle la trajectoire associ e la r alisation w Posons F a X0 X1 Xn On sait prop 3 3 1 qu alors une v a r Z est F mesurable ssi Z p Xp X1 Xn avec 6 En particulier un v nement A appartient F ssi A w Xo w X1 w Xn w 1 avec D Les v nements de F sont donc les v nements dont on sait s ils ont eu lieu ou non si on conna t les valeurs prises par Xp X1 Xn Cependant dans de nombreux cas ce qu on conna t l instant n ne se r sume pas aux seules valeurs de X0 X1 Xn on peut tr s bien conna tre les valeurs prises par d autres processus jusqu l instant n C est pourquoi on introduit D finition 4 1 2 On appelle espace de probabilit filtr un terme Q F F P o Q
141. ndance a E XJE Y 0 et de m me E YX 0 a Proposition 2 4 6 Soit X L On a P X E X Im K X 1 Preuve Comme toujours on peut supposer E X 0 Soit V Im K X Si dim V d il n y a rien montrer Supposons dim V r lt d Il existe a1 adq r Ker X tels que x E V ssi ax 0 k 1 d r pour voir cela il suffit de se placer dans une base o K X est diagonale On a alors vu la prop 2 4 4 E a X Var a X K a X a K X ag 0 d o a X 0 p s et X V p s a 42 Chapitre II Notions de probabilit s 1 5 Convergence des suites de v a 2 5 Convergence des suites de variables al atoires Le chapitre 5 sur les martingales tant en grande partie consacr ce sujet on se contente de pr senter les diff rents types de convergence et d noncer la loi des grands nombres La convergence en loi qui n est que tr s peu utilis e dans la suite est rejet e en annexe Pour z R Ix d signe une norme quelconque les d finitions ci dessous tant ind pendantes du choix de cette norme Les diff rents modes de convergence D finition 2 5 1 Soient Xn et X des v a valeurs RC e On dit que la suite Xn converge en probabilit vers la v a X si pour tout e gt 0 P Xn X gt 0 e On dit que la suite Xn converge presque s rement en abr g p s vers la v a X
142. ne formule tr s utile dans le cas particulier d un temps d arr t int grable associ une marche al atoire Identit de Wald Proposition 4 1 10 Soient Yn n gt une suite de v a r ind pendantes int grables de m me loi et T un temps d arr t int grable On pose Xy 0 et Xn Yi Y2 Yn pour n gt 1 Alors Xr est int grable et E Xr E Y1 E T Preuve Puisque T est int grable P T lt 00 1 De plus on peut supposer que les Y sont des variables al atoires positives il suffira dans le cas g n ral d appliquer le r sultat obtenu aux suites Y et Y On a alors T Xr 5 gt Yei lirswi n 1 n gt 0 E Xr y EYa rilir gt n 1 gt E E Yn 1 Lir gt n 1 Fn n gt 0 n gt 0 Y Ele 1 7 E Y1 Y Ell r gt 3n 1 n gt 0 n gt 0 EM E T la troisi me ligne ci dessus tant obtenue en utilisant le fait que T gt n 1 Fn et que la variable al atoire Y 1 est ind pendante de Fn u Dans la suite de ce chapitre E d signe un espace fini ou d nombrable 4 2 Matrices de transition On note l ensemble des applications de E dans R E l ensemble des applications born es de E dans R MT l ensemble des mesures positives sur E M u Mt Y cp u x 1 Evidemment E tant d nombrable y MT est d termin
143. nit une mesure sur B et on a pour toute f B I P J f du 14 Chapitre I Rappels d int gration 1 3 Int gration Preuve Soient An B des ensembles deux deux disjoints d union A on a 114 D La lim LA et H A 1 L 43 lim f X Lay lim1 I Leap lim D 1 L 4 3 Y An k 1 k 1 k 1 n Ce qui montre que y est une mesure On a alors pour toute f eBt I f f f du On conclut facilement en utilisant la prop 1 1 2 a Donnons deux applications Mesures densit Proposition 1 3 10 Soient E B 1 un espace mesur et h B La formule v A Sa hdu A B d finit une mesure sur B appel e mesure de densit h par rapport p On a pour toute f BF fra firan 1 7 De plus f B est v int grable ssi fh est int grable et l on a dans ce cas 1 7 Preuve On considere la fonctionnelle I f f fhdu f B et on applique la prop 1 3 9 La derni re assertion est pure routine en crivant f ft f a Mesures images Proposition 1 3 11 Soient h une application mesurable de E B dans F F et y une mesure sur E B La formule v A u h7 A A F d finit une mesure sur E F appel e mesure image de u par h On a pour toute f F fra rendu 1 8 De plus f F est v int grable ssi f o h est int grable et l on a dans ce cas 1 8 Preuve On considere la fonctionnelle Z f f fo hdp f F et on applique la prop 1 3 9 La mesure a
144. nstante 104 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 9 Annexe Preuve Supposons que toute fonction excessive soit constante Soient y E et f x P Ty lt 00 Vu que T 0 91 lt 00 C T lt 00 on a Qf x Ea Px Ty lt 00 Pa Ty o 01 lt 00 lt Po Ty lt 00 f x i e f est excessive et donc constante Comme f y 1 f 1 et X est r currente car en utilisant la relation Sy 1 Tz 00 on a Pts lt P 0 0 lt Er Px Tz lt La 4 9 2 Etude d exemples Problemes de passage On considere la cha ne de Markov valeurs Z de matrice de transition Q r 2 1 p Qle r 1 q o p q gt 0et p q 1 On pose pour a b Z a lt b et C C Z To inf n gt 0 Xn C T T AT On veut calculer pour a lt x lt b P T lt 00 Py Ta lt Tp et Pal Tp lt Ta D apr s le cor 4 6 6 u x P T lt 00 Pz Tja bje lt 00 est solution de u la 1 u b 1 ate Qu a lt lt On a donc pour a lt x lt b u x 1 pu x 1 qu x 1 d o lon tire Lula u x L ula u a dl a a x 1 oi u a 1 u a Ecrivant u x u a res 1 u y on obtient que pour x gt a u x ula 004 1 8 u a 1 ula bala 1 A en Ce 4 32 Puisque u a 1 et u b 1 1 06 b on a 0 et u x P T lt 00 1 D apr s le cor 4 6 7 v x Py Ta lt Th Pe Xr able a est solution de
145. nt noncer le r sultat principal de ce chapitre Commencons par le cas L Th or me 3 2 2 Soit X une v a r de carr int grable Il existe une v a r Y de carr int grable B mesurable unique une quivalence pr s telle que pour toute v a Z de carr int grable B mesurable E Y Z E X Z 3 3 Preuve Remarquons d abord que l unicit r sulte de la prop 3 2 1 Montrons l existence Soit X L avec labus de langage usuel H L Q A P est un espace de Hilbert et K Z H Z aun repr sentant B mesurable est un sous espace ferm de H puisque K L Q B P Soit Y un repr sentant de la projection orthogonale de X sur K On a pour tout Z K X Y L K i e E Y Z E XZ a Th or me 3 2 3 Soit X une v a r int grable resp positive Il existe une v a r Y int grable resp positive B mesurable unique une quivalence pr s telle que pour tout B B f Y dP X dP 3 4 B B 60 Chapitre III Esp rances conditionnelles II 2 D finition et propri t s Preuve Ici encore l unicit r sulte de la prop 3 2 1 Montrons l existence On suppose X gt 0 Soit Xn X An Xn L Il existe donc Y B mesurable tel que pour tout B B Sy YndP fp Xn dP La prop 3 2 1 implique que Y est positif et que Y lt Y 1 On pose Y lim Yn Y est B mesurable et Beppo Levi pour tout B B ds Y dP lim fpYndP lim 7 fp XndP f
146. nt grable puisque si X lt Z Jixi gt a X dP lt Liz gt a Z dP Ceci implique qu une famille finie de v a r int grables est uniform ment int grable Un outil de base sera Proposition 2 6 2 La famille H est uniform ment int grable ssi i La famille H est born e dans Lt i e supxen EIX lt 00 ii La famille H est quicontinue i e pour tout e gt 0 il existe a gt 0 tel que P A lt a implique supxex JA IX dP lt e Preuve a Supposons la famille H uniform ment int grable On a pour tous A et X H xt f IXl2axico a Xiao P lt aP 4A Xx dP Pour A Q on a supxen E X lt 00 Pour montrer ii on choisit a tel que pour toute X H supxen E X 1x gt 03 lt 5 et on a pour tout A H f4 X dP lt e si E b Supposons i et ii Soit M supxen E X On a P X gt a lt E X et donc pour toute X H P X gt a lt al et il suffit d utiliser ii a La prop 2 6 2 va nous permettre d tablir Proposition 2 6 3 Soit 1 lt p lt Si Xn converge dans LP la famille X est uniform ment int grable Preuve On v rifie i et ii de la prop 2 6 2 Soit X la limite de X dans LP Vu l in galit la b P lt 2P 1 al b on obtient que E X lt 2 1 E X X P E X P et donc 46 Chapitre II Notions de probabilit s 1 6 Int grabilit
147. nt l inclusion Xn ne converge pas C sup Xn 00 inf Xn oo On sait d j que A lt 00 C Xn converge Pour obtenir l inclusion inverse on ne peut appliquer directement le second alin a du th or me 5 6 10 car X n est peut tre pas accroissements born s Par contre on peut reprendre la preuve de ce second alin a en consid rant la sous martingale X2 En effet avec les m mes notations en posant T inf n gt 0 X2 gt a on aura Xion AL rn X 7 Lim lt ny lt 2p 1X 7 Xp 117 lt En utilisant la majoration y x lt y x 2 x ly x on obtient que X4 X7 l lt K 2K yP et on peut alors recopier la fin de la preuve s Remarque On ne peut pas esp rer un r sultat aussi fort sans hypoth se sur les sauts de Xn Soit Y Yn une suite de v a r ind pendantes telles que P Y an Pn P Yn an pn et P Y 0 1 2pn avec an gt 0 0 lt pn lt Xn Xg Yk est une martingale de carr int grable et An Xg E Y 25 pna On a Xn P Yn 4 0 2 Pn Donc si Y Pn lt 00 d apr s Borel Cantelli Y 0 partir d un certain rang p s et Xn y Y converge p s alors qu on peut avoir Ag 2 pna 00 prendre par exemple p n7 et a n 5 6 3 Suites de v a r ind pendantes Soit Y1 Yn une suite de v a r ind pendantes int grables et centr es On pose So 0 Fo 9 0 et pour n gt 1 Sn Yi Yn Fn 0 Y1
148. o EN gt n 0 on peut construire une suite croissante ny telle que P X X gt 274 1 lt 2 k 1 T suffit alors d utiliser le corollaire 2 5 5 5 Les deux r sultats suivants s appuient sur la propri t de Cauchy des suites convergentes dans R Proposition 2 5 7 Soit Xn une suite de v a r Si X P Xn 1 Xn gt En lt 00 pour une suite En gt 0 v rifiant Y n lt 00 la suite Xn converge p s Preuve D apr s le lemme de Borel Cantelli prop 2 2 11 il existe un ensemble Q de prob abilit 1 tel que pour tout w Q il existe no w tel que pour tout n gt no w Xn 1 w Xp w lt en On a donc pour n gt m gt no w n 1 n 1 PQ Xmlco lt Y Xrga io Xk o lt D es k m k m Vu la convergence de X en ceci implique que X w est une suite de Cauchy et donc Xh w converge Proposition 2 5 8 Une suite Xn de v a r converge p s ssi pour tout e gt 0 lim P sup Xp n Xy gt 0 N c p gt 0 Preuve Une suite converge p s si et seulement si elle est de Cauchy pour presque tout w Autrement dit il existe un ensemble Q C Q de probabilit 1 v rifiant Vw Q Ve gt 0 IN tel que p q gt N gt Xplw Xalo lt e ou encore en posant Qe Un gt o Mip gy gt 0 lA N p XNtal lt et Q NesoQ on devrait avoir P Q 1 Le probl me est que pour d finir Q on utilise de nouveau une intersection non d nombrable et qu il n est donc pas
149. ocessus al atoires On d finit un sur E 1 par un zo 21 Tn H ro Q to 21 Q tn_1 Tn et on applique le th 4 1 4 On obtient une probabilit P sur Q F telle que les vecteurs Xo X1 Xn d finis par 4 2 aient pour loi un Processus quivalents Soit Y W G Yh hn gt 0 Q un processus valeurs E E On d finit une application mesurable vu la d finition de F Soit P l image de Q par c est dire la probabilit d finie sur Q F par P A Q 971 4 A F Cette probabilit P s appelle la loi du processus Y On a pour tout Bo Bn P Box xBpx Ex P Xo Bo Xn Bn Q Yo Bo Yn Ba ce qui implique que P est la probabilit sur l espace canonique associ e par le th 4 1 4 aux r partitions finies de Y Le processus Q F X n gt 0 P s appelle alors la r alisation canonique de Y On dit que deux processus sont quivalents s ils ont m me loi Donc deux processus ayant m mes r partitions finies sont quivalents et un processus est toujours quivalent sa r alisation canonique 4 1 2 Temps d arr t Soient Q F F P un espace de probabilit filtr et Fo o Fn n gt 0 D finition 4 1 5 Soit T une application de Q dans N i On dit que T est un temps d arr t de la filtration Fn si pour tout entier n gt 0 T lt n e Fa ii On appelle tribu des v nements ant rieurs T et on note Fr la tribu Fr AEF pour toutn gt 0
150. oi de Yp On pose n n k 1 k 1 131 V 6 Annexe Chapitre V Martingales On a Eq Zn 0 Varo Za Varo Y Varo Y 2Var Y Vu que les processus S n gt 1 Q et S n gt 1 Q ont m me loi que Sn n gt 1 P le lem 5 3 3 implique que S et S convergent Q p s et donc aussi gt Zk 94 S On a donc vu A puisque les Z sont centr es et p s uniform ment born es gt Varg Zn lt 00 d o 5 Var Y lt 00 D apr s A Dz Y E Y4 converge p s et puisque DE Yk converge E Y converge Remarque On ne peut pas esp rer 2 sans hypoth ses suppl mentaires Voir l exemple de la remarque suivant 5 6 13 Crit re des trois s ries Th or me 5 6 18 Soient Y Y une suite de v a r ind pendantes et K gt 0 On pose Y K Ya Law lt xy ll y a quivalence entre 1 Ny Yk converge p s 2 Les s ries Y P Yn gt K EYE Y Var Y convergent Preuve 1 Supposons que Yn converge p s Alors gt P Y gt K lt 00 car si D P Y gt K 00 on a p s prop 2 2 11 Y gt K infiniment souvent et Sn diverge p s Alors la convergence de gt P Y gt K implique prop 2 2 11 que p s Y gt K n a lieu qu un nombre fini de fois Les s ries X Y et X Y sont donc p s de m me nature et SYE converge p s Puisque Y F lt K on peut appliquer le th
151. oi stationnaire qui est r versible si 7 4 lt 00 i e si p lt q 4 9 3 Marches al atoires sur Z Soit Y une suite de v a ind pendantes valeurs Z de m me loi y d finies sur W G Q On pose So 0 Sn Y1 Yn n gt 1 On sait 4 3 5 que Sn Q est une cha ne de Markov de matrice de transition Q z y v y x 107 IV 9 Annexe Chapitre IV Cha nes de Markov Le processus S Q a donc m me loi que la cha ne canonique Xn Po de matrice de transition Q Si on pose II Y go v on voit que U x y II y x et par cons quent U x x U 0 0 II 0 Il s en suit que tous les points de Z sont de m me nature et qu il suffit donc de d terminer si O est r current ou non pour avoir la r ponse pour tous les autres points Il faut bien noter que dans ce cas il n est pas n cessaire d imposer Pirr ductibilit pour que tous les points soient de m me nature On pose olt D t J e lt br gt dv x y lt te gt y r zez on a donc y x 27 i Let gt dt T o en On a alors 24 0 0 Po X 0 Q S 0 Mais Y a pour fonction caract ristique P t et Sn a pour f c d o Q 0 0 Q S 0 2x fra t dt On en d duit pour 0 lt r lt 1 Ur 0 0 Y r Po Xn 0 rl t dt n gt 0 n gt 0 a r 4 ro 2 nm ls a r ue 27 1e os ent e gl condition de justifier ce calcul Mais vu que t lt 1 1 l r N
152. oient X une martingale resp une sous martingale et f R R convexe resp convexe croissante On suppose f Xn int grable Alors f Xn est une sous martingale 111 V 1 D finition et premi res propri t s Chapitre V Martingales Preuve D apr s l in galit de Jensen E F X 4 HF gt f E XnH1 Fn F Xn p s si Xn est une martingale et f E Xn 1 Fn gt f Xn p s si f est croissante et X une sous martingale puisque dans ce cas E Xn 1 Fn gt Xn P S Ceci implique que si Xn est une martingale X P p gt 1 est une sous martingale si X LP et que si Xn est une sous martingale positive X p gt 1 est une sous martingale si X LP D finition 5 1 3 Soit 1 lt p lt On dit que le processus Xn est born dans LP si sup E Xn lt oo L S il existe U LP avec Xn lt U alors la suite X est born e dans LP mais ces deux propri t s ne sont pas du tout quivalentes voir par contre 5 3 2 Lemme 5 1 4 Une sous martingale resp une surmartingale est born e dans L ssi sup E X lt 00 resp sup E X lt 00 Preuve Soit Xn une sous martingale E X gt E X0 et E E Xo E Xn 2E X7 E X lt 2E X Exemples e Soit X L On pose Xn E X F On a
153. onclut que d 1 et que donc il existe a et b dans avec a b 1 On a n cessairement a A et si b 0 la preuve est termin e on peut donc supposer b A Alors l entier N b convient puisque sin gt N on peut crire n b bq r avec 0 lt r lt b et donc n b b q r r b 1 E A Proposition 4 8 5 Supposons X irr ductible et ap riodique Alors pour tous x y E il existe N tel que pour tout n gt N Q x y gt 0 Preuve Soit a E Il est imm diat que si p q I a p q I a par cons quent d apr s 4 8 4 il existe n tel que Z a contienne tous les entiers gt n1 Consid rons maintenant x y E Il existe na et ng tels que Q 2 x a gt 0 Q a y gt 0 et pour n gt n on a Qt x y gt Q x a Q a a Q a y gt 0 On choisit donc N n no n n Remarque 4 8 6 Il faut noter que dans la prop 4 8 5 l entier N d pend des tats x et y Cependant elle montre que si E est fini il existe N tel que pour tout n gt N la matrice Q ait tous ses termes strictement positifs D finition 4 8 7 Soit X Q Xn Pa une cha ne canonique et soit X 0 X Po une copie ind pendante de X On d finit la cha ne coupl e Z par Z Q x V Xn X Pags 0 Pago Pa O Ph 100 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 8 Stabilisation des cha nes de Markov On v rifie facilement que Zn X X est une cha ne de Markov valeurs dans E x E de matr
154. ouple T X on a E X T U E XIT p s Terminons par un r sultat tr s utile pour le calcul d esp rances conditionnelles Proposition 3 4 6 Soient B une sous tribu de A et T X des v a valeurs E et F F On suppose que T est B mesurable et que X est ind pendante de B Alors pour toute hE ESF U E 89 F E A T X B T p s o d t E h t X Preuve Supposons h gt 0 Soit Z B Notons ux et urz les lois de X et de T Z On a olt J h t 2 dux x et E Zh T X E E J 2 i h t 2 dux a dur z t 2 i z lt dur z t 2 E ZA T d o T E A T X B p s a Corollaire 3 4 7 Avec les notations de la Proposition 3 4 6 si T et X sont des vari ables al atoires ind pendantes on a E R T X IT t E h t X p s 3 5 Lois conditionnelles Commen ons par un exemple l mentaire Soient X Y des v a enti res ind pendantes de loi de Poisson P A et P u Soit T X Y On sait que que T P A u et Pon a pour 0 lt k lt t P X k T t P X HP t k MESHE ie S RQ MA v DE M t tl AP RH G A AF RE DNA la A C p 1 py Es N k oup A 67 11 5 Lois conditionnelles Chapitre III Esp rances conditionnelles On dira que N k 0 lt k lt t est la loi conditionnelle de X sachant que T t Ici il s agit de la loi binomiale B
155. oute loi P une surmartingale resp une martingale g n ralis e positive Preuve Soit par exemple f Et harmonique On a alors Ep Yny1 Fn Qf Xn f Xn Yn Py DS Proposition 5 6 2 Soit X une cha ne de Markov irr ductible Si X est r currente alors toute fonction excessive est constante Preuve Soit f une fonction excessive Alors f X est pour toute loi P une surmartingale positive g n ralis e et pour tous x y E P T lt 1 D apr s le cor 5 5 3 pour tous x y E f x Es f X0 gt Es f XT f y d o x y tant arbitraires f x f y Ce r sultat avait d j t obtenu en 4 9 2 a D finition 5 6 3 Soit BC E On pose rate Ps Tp lt hr P N2 0 Proposition 5 6 4 La fonction Tg est sur harmonique la suite d croissante Q rg x converge vers la fonction harmonique hg x De plus pour tout x E la Py surmartin gale Tp X et la Py martingale hg Xn convergent P p s vers Lx Preuve On pose T inf n gt k Xn B alors Leirg lt o liT lt o o 0 et Qrg x Ez Tp O Xx E Px Tg lt 00 E Es Lit lt oc o OF P T lt 00 lt mB x Ceci prouve que TB est sur harmonique et que lim Q Tg x lim P T lt PURE lt hg z n n car les T forment une suite croissante On en d duit imm diatement que hpg est harmonique puisque Qhg Q
156. p X dP Notons que si X est int grable Y galement et donc Y lt 00 p s Si X L on crit X Xt X y Remarque 1 On peut donner une d monstration directe du th 3 2 3 en utilisant le th or me de Radon Nikodym th 1 8 7 Soit X L Q A P Posons pour B B vx B So X dP vx est une mesure sign e sur Q B et notant Pg la restriction de P B on a pour tout B B Pg B 0 implique vx B 0 On peut appliquer le th 1 8 7 sur l espace Q B Il existe donc Y L Q B P unique telle que pour tout BEB vx B xar var var B B B On a donc p Vx E XIB xB TE La v a Y d finie par le th 3 2 3 s appelle l esp rance conditionnelle de X sachant B et se note E X B ou EP X Si X l a A E l 1 18 se note P A B et s appelle la probabilit conditionnelle de A sachant B Si X Xy Xa L le vecteur al atoire E X1 B E Xal B s appelle encore l esp rance conditionnelle de X sachant B et se note aussi E X B Remarque 2 Si on crit X X X E X B E X B E XT B est d finie sans ambigu t d s que E X lt 00 ou E X7 lt 00 Proposition 3 2 4 Du th 3 2 3 et de la prop 3 2 1 r sulte imm diatement e E 1 B 1 p s et si B 0 0 E X B E X X gt 0 ou int grable
157. pitre 5 Martingales 5 1 D finition et premi res propri t s Soit Q Fn F P un espace de probabilit filtr D finition 5 1 1 Un processus r el adapt Xn est une martingale resp une sur martingale resp une sous martingale si pour tout n X est int grable et E Xn 1 Fn Xn p s resp lt resp gt Le cas positif et non n cessairement int grable sera trait plus loin Donc si X est une surmartingale X est une sous martingale et r ciproquement Xn est une martingale ssi X est la fois une surmartingale et une sous martingale L La notion de martingale est relative une filtration F et il serait plus correct de parler de F martingale ce que l on fera s il y a la moindre ambigu t Si aucune filtra tion n est pr cis e on dit qu un processus r el X Q F Xn P est une martingale si c est une F martingale o F o X0 Xn Si Xn est une martingale E X est constant si Xn est une surmartingale E X est d croissant si X est une sous martingale E X est croissant Soit Xn est une surmartingale on a pour n gt m E Xn Fm EE E Xn Fn 1 Fm lt E Xn 1 Fm lt E Xm41 Fm lt Xm p s Il en r sulte qu un processus int grable X est une surmartingale ssi pour tous n gt m pour tout Fm le Xn dP lt j Xm dP 5 1 A A Proposition 5 1 2 S
158. principaux savoir les chapitres 4 et 5 Il est n anmoins vivement recommand au lecteur d en prendre connaissance Ce polycopi est divis en chapitres sections et sous sections Ainsi 3 2 4 renvoie au chapitre 3 section 2 sous section 4 et 5 4 renvoie chapitre 5 section 4 A l int rieur d une m me section les nonc s sont num rot s en continu Ainsi d apr s le th 5 4 6 renvoie au chapitre 5 section 4 nonc 6 Quant aux galit s elles sont num rot es entre parenth ses et en continu au sein d un m me chapitre Ainsi vu 3 5 r f re la cinqui me galit num rot e du chapitre 3 Le signe a indique la fin d une preuve Enfin une courte bibliographie pr sente quelques ouvrages de base sur le sujet ainsi que quelques textes d exercices corrig s Table des mati res 1 Rappels d int gration 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 DU SAS AUS o he a ed tinta id MURS ii Mesures LL AAA A Da sen st ete Int gration cra a ne nie n an LE a a a E a E Mestres produits ss sorsra ri to mehr tonte A Jason Mesures de Radon sur Rd Convolution et transformation de Fourier Convergences de mesures a Mesures sign es Notions de probabilit s Espace de probabilit Ind pendance
159. que si Q est une matrice de transition Q op re sur b et que si 4 une probabilit alors uQ est une probabilit Si E est fini E peut s identifier 1 2 n Alors on identifie f Ep au vecteur colonne de composantes f 1 f 2 f n et Qf est le vecteur colonne produit de la matrice Q par le vecteur colonne f De m me on identifie y M au vecteur ligne de composantes 4 1 1 2 u41 n et uQ est le vecteur ligne produit du vecteur ligne u par la matrice Q 4 3 Suites markoviennes Nous allons pr ciser la d finition d une cha ne de Markov D finition 4 3 1 Soit Q une matrice de transition sur E Un processus X Q F Fan Xn P valeurs dans E est une cha ne de Markov homog ne de matrice de transition Q et relativement la filtration Fn si pour tout f E F Xn H 1 Fa QF Xn P s 4 3 La loi de Xo s appelle la loi initiale de la cha ne 78 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 3 Suites markoviennes A partir de maintenant nous ne consid rerons que des cha nes de Markov homog nes et nous omettrons le mot homog ne Consid rons les tribus F 0 Xo Xn De l inclusion F C F il r sulte imm diatement que E F Xn41 Fn E EA Fn Fn QF Xn Par cons quent la cha ne est aussi de Markov relativement la filtration F C est donc cette filtration qui sera choisie si aucune n est pr cis e mais quelq
160. r Ol lt DY E n 0 n 0 et on peut appliquer le th de Lebesgue on peut aussi majorer le reste Vu que convergence monotone lorsque r 1 0 0 0 _r Q 0 0 1 Y Q 0 0 U 0 0 n gt 0 n gt 0 On a alors Proposition 4 9 4 Soit Sn une marche al atoire sur Z de loi v Les points de Z sont r curents ssi lim R r l Jr 1 0 B Consid rons maintenant la marche al atoire l mentaire sur Z4 Soient 1 e1 ds More 0 0 1 et v ei v ei 27 108 Chapitre IV Cha nes de Markov IV 9 Annexe On a 1 olt F 2 COS tk Sur le compl mentaire d un voisinage de 0 de type Ca t lt a dans T la fonction t 1 ro t est born e inf rieurement uniform ment en r lt 1 et par cons quent la limite de l int grale est finie sur cet ensemble Sur un tel voisinage si est suffisament petit la fonction r 1 1 rg t est croissante positive et donc le th or me de limite monotone permet de se ramener l int grabilit de 1 1 t sur Ca Or 1 1 t est quivalente 2d t et e mg dt ssi d lt 2 puisque en utilisant les coordonn es polaires dans R on obtient f Ca ledt fo 123 dr Donc la marche est r currente si d lt 2 transiente si d gt 3 Il faut noter que pour tout d la mesure de comptage sur Z d finie par pour tout a Zi A x 1 est une mesure invariante 109 IV 9 Annexe Chapitre IV Cha nes de Markov 110 Cha
161. r u v 1 1 par gx yy u v E u vY Y P X n Y m Ju to 2 12 n 0 Alors les v a X et Y sont ind pendantes ssi pour tous u v voisins de 0 0 g x y u v gx u gy v 2 7 2 Vecteurs gaussiens On dit qu une probabilit u sur R est gaussienne si elle a pour densit 2 7 ou si u m Il est normal d adjoindre les mesures de Dirac aux lois gaussiennes car lem 1 6 5 la mesure Ny m 0 converge troitement vers m lorsque 0 Une v a r elle est dite gaussienne si sa loi est gaussienne D finition 2 7 9 Un vecteur al atoire X X1 Xa est dit gaussien si pour tout a R aX a1X1 04X4 est une v a r gaussienne En particulier chaque composante Xy est une v a r gaussienne mais cela ne suffit pas assurer que le vecteur X est gaussien On appelle loi gaussienne sur Rf toute loi d un vecteur gaussien Exemples i X 0 R est un vecteur gaussien 11 Soit X X1 Xa avec X1 Xq ind pendants de m me loi N 0 1 Alors prop 2 7 8 aX agXa N1 0 a as et X est un vecteur gaussien Cette notion est invariante par transformation lin aire plus pr cis ment Lemme 2 7 10 Soit X un vecteur gaussien valeurs R de moyenne m et de matrice de covariance K Pour tous b R et M matrice r xd Y b MX est un vecteur gaussien valeurs R de moyenne b Mm et de matrice de covariance MK M Preuve En effet a Y a b
162. re E8 X la v a 1 Y 2 EJ x lip 3 1 On a dans ce cadre la caract risation suivante Proposition 3 1 1 La v a Y d finie par 3 1 est l unique v a B mesurable telle que pour tout B B f Y dP i X dP 3 2 B B 59 IIT 2 D finition et propri t s Chapitre III Esp rances conditionnelles Preuve Puisque tout B B est r union disjointe de Bk pour montrer que Y v rifie 3 2 il suffit de le v rifier pour B By ce qui est imm diat R ciproquement soit Z une v a B mesurable v rifiant 3 2 On a Z X gt ckl B et fp Z dP P Bx fp X dP d o ck pers JB X dP et Z Y p s u On arrive au probl me suivant Soient B une sous tribu de et X une v a int grable existe t il une v a Y B mesurable v rifiant 3 2 et est elle unique 3 2 D finition et propri t s Soit B une sous tribu de A Dans la suite on utilisera souvent le r sultat suivant Proposition 3 2 1 Si X et Y sont deux v a r B mesurables toutes deux positives ou toutes deux int grables v rifiant pour tout B B fa X dP gt Ja Y dP resp alors X gt Y p s resp Preuve Soit Fab X lt a lt b lt Y B Puisque X lt Y Ua peQFa b il suffit de montrer que pour tous a lt b P Fa p 0 Mais si P F gt 0 X dP lt aP F lt bP Fue lt f Y dP Fab Fab ce qui contredit l hypothese On peut maintena
163. reprise dans 5 4 2 D finition 5 6 9 On dit qu un processus Xn est accroissements born s s il existe un r el K lt tel que Xn Xn 1 lt K p s pour tout n gt 1 Th or me 5 6 10 Soit Xn une sous martingale et Xn Mn An sa d composition de Doob 1 Si Xn est positive alors Xn converge p s sur l ensemble Ax lt oo vers une limite p s finie 2 Si Xn est accroissements born s alors on a l inclusion sup Xn lt oo C X converge dans R N LA lt o p s ce qui implique en fait l galit p s de ces deux ensembles En particulier pour une sous martingale positive accroissements born s on a Xn converge dans Ry As lt 00 p s Preuve e Pour un entier p gt 0 on pose Tp inf n An 1 gt p Tp est un temps d arr t AT An lt p et Tp 00 sur Ax lt p Alors Zn Mr nn est une martingale telle que Z7 lt p elle est par cons quent born e dans Lt et converge donc p s On en d duit la convergence p s de Zn et donc celle de Xn sur Tp 00 et enfin celle de Xn sur Up Tp 00 A lt 00 e On peut supposer Xy 0 en consid rant la sous martingale X Xo qui a le m me processus croissant On pose pour un entier p gt 0 Tp inf n gt 1 X gt p On a XTonn Xn liT gt n XT Li lt n lt 2p K donc E X nn lt 2p K La sous martingale Xyr 1n est donc born e dans L et par cons quent elle converge p s On en d duit que X converge p s s
164. riel c est dire que si Xn et Y convergent en loi vers X et Y on ne peut en g n ral rien dire sur la convergence en loi d une combinaison lin aire de X et Yn D ailleurs la convergence en loi n est pas proprement parler une notion de conver gence de variables al atoires mais comme son nom l indique une notion de conver gence de suites de lois de probabilit Proposition 2 7 19 Si X converge en probabilit vers X alors Xn converge en loi vers X Preuve Il suffit prop 1 7 2 de montrer que pour toute f Ck E f Xn gt n E f X Soient donc f Cp et e gt 0 Il existe f tant uniform ment continue a gt 0 tel que f x f y lt si x y lt a On a alors mn E F Xn E X lt EUX FX xs x1 lt a HE Xn FX gx x1 gt 03 2 FP Xp X gt a d o lim 4 E Xn E H X lt et E F Xn gt n E J X u Exemple Soir Xn une suite de v a r telle que P X 1 pn et P X 0 1 pn avec 0 lt pn lt 1 Xn n 0 en probabilit ssi pn n 0 Xn n 1 en probabilit ssi Pn n 1 et sinon ne converge pas en probabilit tandis que vu que E f X 55 11 7 Annexe Chapitre II Notions de probabilit s Pnf 1 1 ph f 0 Xn converge en loi ssi pn gt n p Ceci montre qu en g
165. roitement vers u implique que fin t t R ciproquement supposons que pour tout t RY An t A t On a en particulier un 1 n 0 A 0 u 1 d o A sup Hn 1 lt 00 et l n t lt l n 0 lt A Soit f Ck on a vu 1 15 f go F 2 dun e 21 UE q ou An u y dudy i lt y u gt i lt y u gt Par hypoth ses e gi ou fn u f y e gi ou fi u f y son module tant born par Agi ou f y L dudy On a donc th de Lebesgue Gr 2 e 7 ou fn u f y dudy n 27 e ou f u f y dudy Ce dernier terme est gal vu 1 15 f Jo f x du x Donc pour toute f Cp Pg f x dun x go f x du x Les go o gt 0 f Cr tant denses cor 1 6 6 25 1 8 Mesures sign es Chapitre I Rappels d int gration dans Co Hn converge faiblement vers y prop 1 7 3 Comme un 1 p 1 Hn converge troitement vers u prop 1 7 2 S il est souvent facile de calculer la limite p t de fin t il est plus d licat de voir si est une transform e de Fourier Le th or me de P L vy r pond cette question Th or me 1 7 10 Soient un Mp telles que pour tout t R fin t t Si la fonction p est continue en 0 il existe y M telle que D et un converge troitement vers p Preuve Vu que Hn 1 n 0 0 on a sup 1 lt 00 De plus fin t lt An 0 lt A et p t lt A Il existe donc th 1 7
166. roposition 2 1 3 Soient Bn n N une partition de Q avec Bn A etP B gt 0 On a pour tout A A tel que P A gt 0 et tout n FR S PEPA 31 II 1 Espace de probabilit Chapitre II Notions de probabilit s Preuve OnaP B Ja EGPRS HAGA et P A E P AN BE Es P Bx P AIBx A Proposition 2 1 4 Soient A An des v nements tels que P A An gt 0 Alors P A An P 41 JP 42 41 P 43 4149 P Anl 41 An 1 Preuve Par r currence Si P A B P 4 Poccurrence de A n est pas influenc e par celle de B on dit que les v nements A et B sont ind pendants Ceci s crit aussi P A N B P 4 P B On voit facilement qu alors A et B A et B A et B sont aussi ind pendants En fait ce sont les tribus o A 9 0 A A et o B 9 0 B B qui sont ind pendantes Nous d velopperons cette notion en 2 2 Variables al atoires Les variables al atoires sont les fonctions qui d pendent du hasard celui ci tant mod lis par le tirage d un point w Q D finition 2 1 5 On appelle variable al atoire en abr g v a valeurs E toute application mesurable de Q A dans E Si E est d nombrable et P E on parle de v a discr te si E R et BR on parle de v a positive si E R et B R on parle de v a r elle v a r si E R et E B R9 on parle de v a vectorielle si E C et B
167. s Lt En effet ce r sultat est g n ralement faux dans L voir par exemple le cas de la martingale exponentielle cit e en exemple dans la section pr c dente Proposition 5 3 2 Soit X une martingale dans L Alors E sup Xn lt 4sup E X2 Par cons quent si la martingale Xn est born e dans L il existe une variable al atoire U L avec Xn lt U Preuve La suite X est une sous martingale Par cons quent en posant Y maxy lt n Xy on a d apr s la proposition 5 2 4 la majoration aP Y gt a lt E X 1 y ay pour a gt 0 En int grant celle ci sur a JO oo on obtient 00 TR 1 allpa de lt f TE AR soit encore en utilisant le th or me de Fubini et l in galit de Schwarz E Yi 2 lt El XnlYn lt 11Xn11211Y1l2 D o finalement E Y lt 4E X La suite Y tant croissante le th or me de limite monotone permet d obtenir la majoration cherch e puisque sup Y sup X Par cons quent si X est born e dans L on peut choisir U sup X On rappelle un crit re de convergence p s tabli dans le second chapitre voir 2 5 8 116 Chapitre V Martingales V 3 Martingales dans L Lemme 5 3 3 Une suite Xn de v a r converge p s ssi pour tout gt 0 lim P sup Xp n Xn gt 0 no pz0 Th or me 5 3 4 Soit Xn une martingale born e
168. s Ta Th or me 4 6 8 v x Ez T4 est la plus petite solution positive de v x 0 xE A v x 1 Qu x Te A Preuve e Si x A v x 0 Sixe A on a v x Eg Ta Ex S1 1 Ez T4 00 1 E Ex T4 1 E v X1 1 Qu x e Soit w ET v rifiant w x 0 x A w x 1 Qu x x A On pose T Ta et Yn w Xnar n AT Alors Ez Yn Ex Yo w x Pour montrer ceci on va de nouveau prouver beaucoup plus savoir que Y est une martingale c est dire que Ex Yn 1 Fn Yn On remarque tout d abord que la quantit Ynt1l ren Yn Lir lt ny est Fan mesurable et donc Yni Yn 1Lgr lt ny W Xa41 n 1 L 7 gt n Es Yn 11Fn Yamnliar lt ny Esg w Xn 1 n 1 Lir gt n Fn Ynyilircn A roy Er w Xn 41 n 1 Fn Ynliren lir gt n Qw Xn n 1 Yn En effet sur l ensemble T gt nj on a Xn A et donc w X Qw X 1 Or sur T lt oo la suite Y converge vers w Xr T T et sur T oo la suite Yn converge vers 00 donc dans tous les cas cette suite converge vers T On a par cons quent E 1 lt lim Ez Yn Ez Yo w x u Corollaire 4 6 9 Si l on a calcul les fonctions u x Pa Ty lt 00 et v x Ez Ty par exemple en utilisant le corollaire 4 6 6 ou le t
169. ssoci e I est va 1 4 At ohdu gora de MAA On conclut facilement 15 I 4 Mesures produits Chapitre I Rappels d int gration 1 4 Mesures produits Soient E1 B1 E2 B2 deux espaces mesurables On d finit une tribu sur Ej x Ep appel e tribu produit de B et Ba et not e B1 Ba par B 8 B2 o Ai x Ao A Bi Asa Ba Alors si f E1 x E2 R est une fonction B B2 mesurable on a que pour tout z Ej 2 gt f 11 12 est B3 mesurable et que pour tout xa Ez 11 gt f 11 12 est B mesurable En particulier si A B1 Q Ba Ar 11 11 12 A Bi et Az t2 11 12 A B2 On en d duit facilement que si f B B2 et si u est une mesure sur E B x gt f f x1 22 dua x2 est B mesurable et 12 gt f f x 1 2 du 121 est B2 mesurable Th or me 1 4 1 Soient E1 B1 p1 et E2 B2 u2 deux espaces mesur s avec uz et na a finies Il existe une unique mesure sur B1 Y Ba not e 11 Q u2 et appel e mesure produit de u et u2 telle que pour tous Az Bs A2 Ba H S Ai X A2 111 41 42 De plus pour toute f B1 amp B2 T f di 8 pa H 21 22 dur 21 dp2 22 il 0 f c1 22 duz e3 da 21 Preuve i Unicit On applique la prop 1 2 3 C A A A x 4 Aj Bi A2 Ba u A1 lt 00 u A2 lt 00 ii Existence On applique la prop 1 3 9 Z1 f f f f x1 x2 du xi1 dua x2
170. t era 1 ax gt az Ls lt 1 0 On a donc B lt 1 et la martingale Z est born e dans L Il s en suit que la s rie gt Vn converge p s On applique alors le lemme de Kronecker avec an 1 A et zx Xk Xx 1 On a que sur l ensemble 4 00 la suite 0 p s ce n qui implique que a 0 p s u n 119 V 4 Martingales dans L Chapitre V Martingales 5 4 Martingales dans L La question est de savoir ce qui subsiste de la section pr c dente lorsque l on suppose seulement que la martingale X est born e dans L A priori seule subsiste la conver gence p s et si l on veut obtenir la convergence L l on va devoir imposer une propri t suppl mentaire dite de r gularit Le r sultat essentiel est Th or me 5 4 1 Soit Xn une sous martingale resp une surmartingale born e dans L alors X converge p s vers une v a int grable Xo La preuve de ce th or me va r sulter d une succession de lemmes Lemme 5 4 2 Soit Xn une sous martingale telle qu il existe une constante K lt avec X lt K Alors la suite Xn converge p s Preuve Soit Xn Mn An la d composition de Doob prop 5 1 5 de Xn On a E A E Xn E Mo E X E X0 lt 2K et donc E Ax lt 00 d o Az lt 00 p s Comme dans 5 3 8 pour un entier N gt 0 on pose Ty imf n gt 0 An 1 gt N Ty est un temps d arr t Aryan lt N d o
171. t ind pendante d elle m me Si A B on a donc P A P A N A P 4 P 4 i e P A 0 ou 1 Si X est une v a B mesurable P X lt a 0 ou 1 Donc si c sup a P X lt a 0 P X c lim P X lt c lim f P X lt c e 1 a Applications Soit X1 Xn une suite de v a r ind pendantes On a 5 Xn converge B donc une s rie de v a r ind pendantes converge p s ou diverge p s De m me lim L X1 Xn est une v a B mesurable et donc cette Tim est p s constante Lemme de Borel Cantelli Rappelons que pour des v nements An lim As An Uk gt n Az lim Uk gt n k On a donc lim An w w An pour une infinit de n Xn L 4 00 Proposition 2 2 11 Soit An n gt 0 une suite d v nements 36 Chapitre II Notions de probabilit s 11 3 Variables al atoires r elles i Si Y P An lt 00 P lim An 0 ii Si les An sont ind pendants et si 3 P A 00 P lim An Preuve i Ona Pim An lim n P Uz gt n 44 lt lim ln Y P 4x 0 k n ii Vu Pin galit 1 u lt e et l ind pendance des A on a P N A Tr 45 1 P A lt exp Y 7 P As k n k n donc pa lim m P n 47 0 si Y P An 00 Passant au compl mentaire on a P UL Ax 1 et P lim An 1 u 2 3 Variables al atoires r elles Dans la suite LP d signe LP Q A P On ne distinguera pas deux v a r gales p s ce qui fait qu on d signe p
172. t vers y alors pour tout e gt 0 il existe un compact K tel que pour tout n un K lt e Preuve Pour a assez grand x gt a lt e Soit f Cs telle que 1g0j gt 0a 1 lt F lt L flxl gt a On a u f lt e et donc pour tout n gt no unl f lt d o un A lx lt a 1 lt e On conclut facilement En fait cette condition suffit assurer la compacit troite c est le th or me de Prokhorov D finition 1 7 7 Une suite un My est dite tendue si pour tout e gt 0 il existe un compact K tel que pour tout n un K lt e Th or me 1 7 8 Soit un My une suite tendue v rifiant sup Hn 1 lt 00 N existe une sous suite lin convergeant troitement Preuve On sait th 1 7 4 qu il existe une sous suite u fin convergeant faiblement vers u E Mp Soit e gt 0 Il existe c est l hypoth se un compact K tel que pour tout n un K lt e et aussi quitte agrandir K u K lt e Soit f Cp 0 lt f lt 1 f gt lx Ona0 lt 1 f lt lika et ln 1 UOD S ln A BP a 1 F HU F lt lun f fl 2e Donc lim 11 1 u 1 lt 2e et y 1 1 Vu la prop 1 7 2 y converge troitement vers U m Le crit re suivant est essentiel en probabilit s Th or me 1 7 9 Soient un My Alors un converge troitement vers u ssi pour toutt R fin t gt A t Preuve Puisque t gt e lt gt est continue born e un converge t
173. tement apr s Ss est ind pendant de son comportement avant Sy et est r gi par la m me loi C est ce que formalise la proposition suivante Proposition 4 5 6 Soit x un point r current et Yo Y1 Yn des v a r Fg mesurables Pour 0 lt k lt n on note py la loi de Yp sous P Alors sous P les v a Yo Y o 0s1 Yn o Osp qui sont bien d finies P p s sont ind pendantes et de lois respec tives po P1 Pn 87 IV 5 R currence et transience Chapitre IV Cha nes de Markov Preuve Vu que Osp Ogn 1 o s1 on a pour des fonctions positives f0 fn al J AE o 857 k 0 rx Yo Y o Og 1 o 0 k l E fo Yo Ez TI Fi Y o 03 k 1 Esf Yo ErAN Es i frk o os k 2 al fu Yr Tru fr d o le r sultat annonc s Remarque 4 5 7 Cette proposition montre que les tribus Fs 07 Fe OS sont ind pendantes sous Pz Cette proposition sera surtout utilis e dans le cas particulier suivant Corollaire 4 5 8 Soit f une fonction sur E et x un point r current On pose Zo n 1 Ds Xy puis Zn Zoo sa Alors Zn a Xk et sous Pz les variables al atoires Zn n gt 0 sont 1 1 d En fait le m me argument montre que les excursions successives c est dire les portions de trajectoires En X Sh X sett s parant deux passages au point x sont sous P des variables al atoires ind pend
174. uefois ce n est pas celle qui est la mieux adapt e pour prouver qu une suite est markovienne On peut aussi remarquer que la d finition est quivalente P Xn 1 Y Fn Q Xn y PX n41 Y Xn VyEE ce qui signifie que la loi conditionnelle de X 1 connaissant l histoire du processus jusqu l instant n c est dire Fn est en fait d termin e par Xn c est dire l tat l instant n C est pourquoi ces processus sont quelquefois appel s processus sans m moire En utilisant la caract risation de l esp rance conditionnelle relativement une tribu engendr e par un syst me de variables al atoires voir cor 3 2 8 on obtient Proposition 4 3 2 Soit Q une matrice de transition sur E Une suite Xn d finie sur Q F P et valeurs dans E est une cha ne de Markov homog ne de matrice de transition Q si pour tout syst me fk E k 0 1 n 1 et tout n gt 0 on a n 1 n E f x EQ fa Xn f x 4 4 k 0 k 0 Il est aussi indiqu dans le cor 3 2 8 qu il suffit de prendre des fonctions fg de la forme indicatrice d ensembles dans Mais E tant d nombrable on peut se contenter d indicatrices de points et ceci conduit la d finition plus l mentaire suivante D finition 4 3 3 Soit Q une matrice de transition sur E Une suite Xn d finie sur Q F P et valeurs dans E est une cha ne de Markov homog ne de matrice de transition Q si pour tous Xp 71
175. uivantes vu 4 9 Pour tous n gt 0 g ET u Mi Pe Xn y Q x y Ex g Xn Qg PyulXn y uQ y 4 18 En 9 Xn X u x Q g x uQ g 4 19 Evidemment une cha ne de Markov n est pas toujours donn e sous forme canonique Cependant si X 0 Fl F X7 n gt 0 P une cha ne de Markov de loi initiale ju et de matrice de transition Q et si X Q Fn F Xn n gt 0 P est la cha ne canonique de loi initiale u et de matrice de transition Q les processus X et X ont m me loi voir 4 1 1 2 et on peut effectuer tous les calculs sur la cha ne X Par exemple on a P X visite A P X visite A La propri t de Markov Le principal int r t de se placer sur l espace canonique est l existence d un op rateur de translation On consid re l espace canonique 4 15 On d finit une application 0 de Q dans Q par w wn n gt 0 gt 0 w Wn 1 n gt 0 Cette application s appelle l op rateur de translation sur Q On pose alors 0o Td 01 0 On 0n 1 ob 000 1 On a donc Xk 0 0 Xn k pour tout k gt 0 On a en particulier pour tous p et n Oz Xo z0 Xp pr Xn tia Anip m tpr ce qui montre que n est une application mesurable de Q 0 Xy k gt n dans Q F et que pour tous n et p On Fp do ROA IO E 4 20 IV 4 Chaines canoniques Chapitre IV Cha nes de Markov On peut alors noncer Th or me 4 4 3 Soit X une cha ne d
176. un espace mesurable S il est souvent possible de d crire les l ments d une alg bre il n en est pas de m me pour ceux d une tribu On remarque que P E est une tribu et que l intersection d une famille quelconque de tribus est une tribu Donc tant donn C C P E on peut consid rer la plus petite tribu contenant C c est l intersection de toutes les tribus contenant C Cette tribu se note o C et s appelle la tribu engendr e par C Le r sultat suivant appel th or me de classe monotone sera d un usage constant dans la suite Proposition 1 1 1 Soient C C M C P E On suppose que C est stable par intersec tion finie que E M que AB E M et AC B impliquent BY AE M et que M est stable par limite croissante Alors o C C M Supposons E R et soit O la classe des ouverts de E La tribu o O s appelle la tribu bor lienne de R et se note B R Il est facile de voir qu elle est aussi engendr e par les ferm s par les boules par les pav s et m me par les pav s coordonn es rationnelles cette derni re famille ayant l avantage d tre d nombrable Si d 1 on consid rera outre B R B R A B R ACR B R 0 B R 20 00 et B R o B R 00 On tend les op rations usuelles R en posant 00 x 0 0 x 00 0 Soient E1 B1 et E2 B2 deux espaces mesurables Une application f de Ej dans Ez est dite mesurable si pour tout A Ba f7 4 B Il est
177. ur Tp 00 Par ailleurs E Ar 1m E XT an lt XT nn donc C sup E Ar am lt 00 et par limite croissante E A7 lt C d o Ar lt 00 p s et Ay lt 00 p s sur Tp 00 On conclut en remarquant que sup Xn lt 00 Up Tp 00 D Corollaire 5 6 11 Soit Yn n gt 0 un processus positif int grable On pose pour n gt 1 Xn Y Yn Xn AA E YnlFn 1 et Xo Yo Xo 0 Alors on a De lt C X lt avec galit si le processus Yn est born par une constante K lt co 128 Chapitre V Martingales V 6 Annexe Preuve Il suffit de remarquer que X est une sous martingale positive dont le processus crois sant est Xn et d appliquer le th or me 5 6 10 a On en d duit facilement le lemme de Borel Cantelli conditionnel Proposition 5 6 12 Soit B gt 1 une suite d v nements avec Bn Fn On a p s De 1 lt 00 I PB lt 00 n gt 1 n gt 1 On peut aussi pr ciser le th or me 5 3 8 lorsque les sauts de X sont born s Corollaire 5 6 13 Soit X une martingale de carr int grable accroissements born s et soit An le processus croissant dans la d composition de Doob de X2 Alors p s Az lt 00 Xn converge dans R A lim Xn 00 lim Xy 00 Preuve En appliquant le th or me 5 6 10 aux sous martingales X et Xn on obtie
178. v a 1 v b 0 v x Qvz a lt z lt b Vu 4 32 on a v x v a palx et v b 0 1 a b d o 0 et Palb dalz Palo 105 v x IV 9 Annexe Chapitre IV Cha nes de Markov Comme Py Ty lt Tr Pa Tp lt Ta 1 on obtient finalement pour a lt x lt b et p q q ne LE CE Po Ta lt Tp 2a 2 i gt Po To lt Ta am p Si p q on obtient D za Py Ta lt Tr pea P Ly lt Ta b c est dire les formules cherch es Processus de naissance et de mort Il s agit de la cha ne de Markov valeurs N de matrice de transition Q 0 1 Po Q 0 0 TO Qe 1 Pr Q x x Tr Q z x 1 Gr 21 o po gt 0 ro gt 0 po ro 1 et pour x gt 1 Pr qx gt 0 Tz 20 Pr rx 4e 1 On pose pour a N e da 1 idas dx Patti Pr La cha ne est videmment irr ductible Pour tudier sa nature il suffit de calculer U 0 0 Mais cor 4 6 4 u x U x 0 est la plus petite solution positive de Yala 1 Pla sE xt gt a u 0 1 Qu 0 u x Qu x x gt 1 Cherchons d abord une solution telle que u 0 lt oo Dans ce cas d apr s le principe du maximum 4 5 2 u x est finie en tous points On a donc u 0 1 pou 1 rou 0 d o Pon tire u 1 u 0 Er On a alors pour x gt 1 u x pau x 1 rsu x qu x 1 1 e A A A ulz 1 ule Lula ue D LE ola On en d duit pour x gt 1 1 x 1 1
179. x sk 1 0 De m me pour les skli Soit Uo U1 Un une suite de v a ind pendantes de m me loi uniforme sur 0 1 On pose Xo g Uo Xn 1 g9 Xn Un 1 On sait th 4 3 5 que Xn est une cha ne de Markov de matrice de transition P g i U1 j Mais on a P Xo j P g Uo j P Uo s sil sj 1 sj u i P g i U1 j P U1 s i sj 1 0 D sj 1 i sy i QG 5 Donc Xn est une cha ne de Markov de loi initiale u et de matrice de transition Q 4 5 R currence et transience On reprend dans le cadre d une cha ne canonique les d finitions de temps d entr e temps de retour successifs nombre de passages d un processus dans un ensemble don n es dans 4 1 8 L utilisation de l op rateur de translation 0 permet d obtenir un certain nombre de relations videntes e S4 1 T4 09 P Ta 0 1 pour x A P T4 SA 1 six A 85 IV 5 R currence et transience Chapitre IV Cha nes de Markov e Sur l ensemble 9 lt oo on a SY 5 S40 Osa Sa 5 0 054 eDans le cas o est r duit un point x E on a OO No 1 X Lissctoo s Pa p s 4 24 n l D finition 4 5 1 On appelle matrice potentielle de Q ou de X la matrice 00 U I Q Q Q k 0 La matrice potentielle peut s interpr ter l aide la cha ne X car OO OO OO gt Q a y D Pa Xr y D Er liy o Xp Ex Ny k 0 Donc U zx y est le nombr
180. xemple Soit y u1 ua avec u1 u2 mesures born es alors y est une mesure sign e on verra que toutes les mesures sign es sont obtenues ainsi Si 11 et u2 ont des densit s h et ha par rapport une mesure on a A f hd avec h h ha LUA Si on pose S h gt 0 on a pour tout A u AN S fa hlysy d gt 0 et u AN S f a Rlgse d lt 0 i e S porte la partie positive de y et S porte la partie n gative de u En fait cette situation est repr sentative du cas g n ral et on peut montrer Th or me 1 8 2 Soit u une mesure sign e sur E B Il existe S B tel que pour tout AEB ANS gt 0 ANS lt 0 On pose u 4 MANS u_ 4 H ANS ul u u 1 16 Alors u 1 u sont des mesures born es sur E B appel es partie positive partie n gative et valeur absolue de u On a videmment u u u_ Donnons en quelques propri t s simples Corollaire 1 8 3 u est la plus petite mesure telle que pour tout A B v A gt IA Preuve D une part u A MANS MANS lt HAN 5 MAN Ss Inl A A S In AN S ul 4 D autre part si pour tout A v A gt u 4 on a v A HANS MANS gt MANS MANSO IAN S In ANS ul A u Corollaire 1 8 4 Si y vi v2 V1 V2 mesures born es on a vi gt Uy et vo gt u_ Preuve On a u4 A ANS lt m ANS lt n A et u_ A u ANS lt m AN Ss lt v A A Corollaire 1 8 5 On

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