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n° 101

1. _ Souhaite recevoir une convocation Feille V igen10 Oddve 216 3 LES RALLYES PENSEZ VOUS INSCRIRE Lyc es 24 janvier 2007 Coll ges C te d Or et Sa ne et Loire Bassins Montceau et Chalon 26 janvier 2007 LA BIBLIOTH QUE Informatisation de la biblioth que o La biblioth que vous propose d effectuer vos recherches l aide d une base de donn es permettant de consulter sur place ainsi qu distance les r f rences d ouvrages et de p riodiques dont elle dispose Pour ce faire connectez vous au site de l IREM de Dijon partie Documentation et cliquez sur le lien Vous pourrez interroger diff rentes bases par Auteur Titre Mot Mot cl Les crit res de s lection sont vari s Choisissez de pr f rence contient et d bute par qui sont les plus pertinents Le fonds de publications des IREM est en cours d enregistrement Vous pourrez acc der ces r f rences au fur et mesure de leur traitement en s lectionnant la base de Litt rature Grise sur l cran d acc s Les nouveaut s seront rentr es en priorit N h sitez pas contacter la documentaliste pour toute question il vous sera galement possible de proc der des r servations Nouvelles acquisitions la biblioth que Actualis le 11 octobre 2006 Tout enseignant de l Acad mie peut emprunter des ouvrages la biblioth que Les ouvrages Statistique Cours et probl mes S rie Schau
2. qui s crit 4 m gt aire A 6 2 x fa 3 x fs aire A x 2 s 4 d apr s E3 4r 4r on en tire 2s 4 lt lt lt 22 8 d o s lt 13 4 aire A 0 552 25 Feille V igen 101 Oddwe 206 Cela prouve que G ne peut pas avoir plus de 13 sommets donc qu il n y a pas plus de 13 boules autour de S V L IMPOSSIBILIT DE PLACER LA 13 BOULE Pour le d montrer il faut affiner la repr sentation graphique pr c dente Leech a eu en 1956 l id e suivante La majoration pr c dente s lt 13 4 est insuffisante et pour diminuer 13 4 il faut augmenter les aires des faces du graphe G Pour cela il faut augmenter les longueurs de certains arcs et une mani re d y parvenir est de relier entre eux des sommets qui ne l taient pas avant Comme dans IV on remplace chaque boule de l amas par son point de contact avec S On obtient ainsi les sommets d un graphe G sur S Mais pour avoir les arcs de G relions deux sommets si et i q A 1 seulement si l arc de grand cercle qui les joint ne d passe pas Arc cos D 1 427 G a donc les m mes sommets que G mais ses arcs XY relient les sommets X et Y si et seulement si XY est compris entre 1 047 minimum qui se produit en cas de contact des sph res et Arc cos D 1 427 maximum par d finition Il va falloir minorer les aires des triangles des quadrilat res et des pentagones du graphe G de Leech Il faudra jouer fin car c
3. 1 Th or me 4 p est un nombre premier fix diff rent de 2 et de 5 Si m n est pas un multiple de p on sait que 1 p et m p ont des p riodes de m me m ROS E longueur On pose gt UUU U OU les u d pendent de m On a alors u u 4 k x 10 1 avec 1 lt k lt d 1 On s int resse l ensemble des valeurs que peut prendre k quand p est fix et que m parcourt l ensemble des entiers relatifs non multiples de p ou l ensemble des entiers de 1 p 1 ce qui revient au m me Si j est une valeur possible pour k d j est galement une valeur possible pour k m Preuve Ona m p u uu U donc m p u uu 4 4 1 1 0 u u 4 d o mI p u 1 0 v v v avec v 10 1 u pour 1 lt i lt d En effet si v 10 1 u pour 1 lt i lt d ona Ou u 4 0 v v v 09 9 1 Si Du j 10 1 alors S y E S 10 1 5 d 10 1 33 d j 10 1 ce qui prouve bien le r sultat annonc Th or me 5 On suppose que la p riode du d veloppement d cimal de 1 p p premier a une longueur s divisible par d gt 1 On pose s ds On suppose de plus d multiple de I avec l gt 2 et I 1 lt 10 Soit m premier avec p La fraction m p a une p riode de m me longueur s On crit ra Uq UU Uy On a alors u u u kx 10 1 avec Eske 43 FailledeV ignen 101 Odare 200
4. entier non nul v rifiant 10 1 mod p On remarque que 1 p et m p ont des p riodes de m me longueur 1 3 Premi re d monstration du th or me de Midy On peut ainsi conduire les l ves vers une d monstration 35 FailledeV ignen 101 Oddre2006 B On suppose dans ce qui suit que le plus entier non nul s tel que 10 1 mod p est pair et on pose s 25 a Montrer que 10 1 mod p Indication p divise 10 1 10 1 10 1 b Montrer que pour tout n20 ona r r 0 mod p En d duire que r r s P c Soit x un r el quelconque Montrer que si x n est pas entier alors E x E 10 x 9 E x d signe la partie enti re d un r el x 1 d Justifier que pour tout n 21 ona a E D En d duire que pour tout n gt 1 ona a a 9 e On consid re les deux nombres 4 a a A et u Apap a obtenus en juxtaposant et non en multipliant les chiffres a a ef 4 A Que vaut u u f On donne 1 7 0142857 1 11 0 09 2 11 0 18 3 11 0 27 1 13 0 076923 2 13 0 153846 1 17 0 0588235294117647 1 101 0 0099 1 21 0 047619 1 707 0 001414427157 V rifier pour vous m me que pour chacune des fractions ci dessus le nombre u u s crit avec le seul chiffre 9 Ceci n est pas vrai pour les deux derniers exemples expliquer pourquoi dans votre copie Commentaires et r ponses 36 a p ne divise
5. 14 28 et 57 Or 14 28 57 99 Ce n est qu en janvier 2004 qu un tudiant de l universit de Yale Brian Ginsberg a remarqu et prouv ce r sultat citer en exemple pour que nos l ves fassent l effort de d busquer les propri t s oubli es Les questions qui suivent doivent tre pr c d es de l expos de la seconde preuve du th or me de Midy C Le nombre p est un nombre premier diff rent de 2 et diff rent de 5 On suppose que le d veloppement d cimal de 1 p a une p riode de longueur s divisible par 3 On pose s 3s 1 On a donc 0 q A Ao cm Der AS P U 4 O On pose 4 U apy e das Us die a les chiffres a tant ici juxtapos s et non multipli s On a ainsi 0 4 4 u P a Montrer que p divise 1 10 10 On rappelle que s 3s est le plus petit entier non nul tel que p divise 10 1 b En d duire que O u u u 0 u uzu 0 uzu u est entier A priori quelles sont les valeurs possibles de cet entier On veut montrer que 0 u u u 0 u uzu 0 u uu 1 c Montrer que 7 r 7r 0 mod p Comme pr c demment la suite r est la suite des restes qui apparaissent dans la division usuelle de 1 par p En d duire que n 7 n P 10r 10r d Ona a Fa 05844 qe e A a Ds p p p Montrer que a a 4 lt 10 e En d duire que 0 u u u 0 u uzu 0 u u u lt 1 3 puis que O u u u 0 uzuzu 0 uzu
6. Contenus Induction statistique et citoyennet Th orie de l estimation par intervalles de confiance et des tests d hypoth se notions de risque Illustration par des exemples dans le cadre des programmes de lyc e voire de coll ge dans le cadre des th mes de convergence ayant une forte signification citoyenne interdisciplinaire et montrant la n cessit d une formation math matique dans ces domaines pour d crypter le monde moderne Enseigner le calcul des probabilit s A qui l ves du primaire Coll giens Lyc ens quelles s ries l ves techniciens l ves ing nieurs tudiants Et quel moment d un cursus Quoi quels savoirs et quels savoir faire et pour quoi faire mancipation ou r ussite aux valuations et aux examens Comment Diff rentes mani res d enseigner Ce que nous r v le l histoire et l analyse sociologique de l enseignement de cette discipline Comment les l ves lesquels re oivent cet enseignement Comment s approprient ils les connaissances et les savoir faire probabilistes Rep rage de certains obstacles et de certaines difficult s Comment comprendre le pourquoi de certaines r ussites dans cet apprentissage D marche p dagogique Expos s suivis de discussions et d bats 7 d cembre 2006 Lieu IREM Facult Sciences Mirande Matin 9h 12h Fonctionnement de l IREM Apr s midi 13h30 16H30 QCM outil de f
7. En gris dans la figure 14 quadrilat re E X C D o Figure 14 D La figure 14 montre ce que l on voit n cessairement autour du quadrilat re Q Elle contient 11 sommets 22 ar tes et 12 faces Il manque 2 sommets 10 ar tes et 9 faces triangulaires qui sont de l autre c t de la sph re Si on retourne celle ci on voit le reste du graphe sur la figure 14 X Y sont les deux sommets manquants et de A B C D E F G partent au total 10 arcs pour que ces sept sommets soient bien d ordre 5 Seul le sommet gris est d ordre 4 H las en comptant l ar te XY cela fait 11 ar tes soit une de trop C est impossible Figure 14 b Le sommet d ordre 4 n appartient pas au quadrilat re Q Figure 15 Figure 15 La figure 15 montre ce que l on voit n cessairement autour du quadrilat re Q dont les 4 sommets sont d ordre 5 Elle contient 12 sommets 24 ar tes et 13 faces Il manque 1 sommet 8 ar tes et 8 faces triangulaires qui sont de l autre c t de la sph re Ces 8 ar tes devraient toutes aboutir au sommet manquant invisible X C est impossible X tant d ordre inf rieur ou gal 5 Rien faire la 13 boule ne tient pas vive Newton 29 Feille V igen 101 Odawe ao ANNEXES I Les formules d Euler Un graphe G sur la sph re poss de s sommets f faces et a ar tes fs est le nombre de faces triangulaires f4 le nombre de faces quadrangulaires fs le nombre de faces pentagonales
8. Voici la fiche que j utilise avec mes l ves d s la sixi me PETITE GRAMMA RE DE LA G OM TRIE Phrases types Le point est sur la courbe La courbe passe par le point La courbe coupe la courbe au point La courbe et la courbe sont s cantes au point Le point est l intersection des courbes et La droite est parall le la droite La droite est perpendiculaire la droite Le symbole doit tre remplac par le nom du point de la courbe ou de la droite Le mot peut tre remplac par quand on parle de milieu extr mit segment cercle parall logramme pav centre ue Kg sym trie sph re pou triangle quadrilat re olygone sormet gle q gt polyg angle pied hauteur bissectrice droite demi droite courbe segment cercle m diatrice segment bissectrice angle m diane triangle quadrilat re dk hauteur triangle trap ze parall logramme axe sym trie cylindre diam tre cercle c t triangle quadrilat re polygone diagonale quadrilat re polygone demi droite c t angle c t triangle quadrilat re polygone ar te pav prisme pyramide poly dre m diane triangle quadrilat re segment lt 7 hauteur triangle trap ze parall logramme diam tre rayon cercle cylindre sph re corde cercle 10 Cette fiche a besoin d tre pr sent e et expliqu e si l on veut que l l v
9. aide du logiciel Maple Le programme utilis est pr sent ci contre Onprend p 229 ona alors s 228 2 3 19 On choisit de prendre s 27 4 et d 3x19 57 c est dire que l on scinde la p riode de m 229 en 57 blocs de 4 chiffres Si l on crit Don 0u Us le th or me 5 affirme que u us kx9999 avec 19 lt k lt 38 Le th or me 5 autorise donc a priori 20 valeurs possibles pour k mais l on peut v rifier que si m parcourt l ensemble des entiers relatifs seules 4 valeurs sont effectivement prises par k les valeurs 26 27 30 et 31 On remarque sur cet exemple que 26 31 27 30 d ceci est justifi par le th or me 4 Affiner l encadrement ou d crire l ensemble des valeurs effectivement prises par k me semble tre un probl me ardu IV ORDRE DE GRANDEUR MOYEN DE S P UNE CONJECTURE IV 1 Position du probl me 44 Si f n est une fonction d finie sur l ensemble des entiers naturels et si g n est une fonction simple d finie sur ce m me ensemble telle que f 1 f 2 f n g 1 g 2 g n on dit que g n est un ordre de grandeur moyen de f n Consid rons par exemple la fonction d qui un entier naturel n associe le nombre de diviseurs de n Cette fonction d a un comportement tr s irr gulier mais la somme d 1 d 2 d n se comporte beaucoup plus r guli rement puisque le th or me d D d 2 d n ninn Inl In2 Inn Un ord
10. aire A B C 2 aire ABC aire ABC aire A BC aire AB C aire ABC 2a 28 27 2 aire ABC aire ABC aire A BC aire AB C aire A B C 2a 28 27 Un peu de vision dans l espace montre que le crochet est pr cis ment l aire de l h misph re nord 2 7 30 En divisant par 2 on a bien B y x pour l aire du triangle sph rique d angles a y sur la sph re unit avec multiplication par R sur une sph re de rayon R Cette formule est due Albert Girard 1595 1632 3 Les formules de calcul Il faut calculer l aire donc les angles du triangle sph rique ABC en gris dans la figure 17 on voit les cordes du triangle les arcs de la sph re eux sont invisibles Q est le centre de la sph re unit Les c t s du triangle ABC mesurent a b c qui sont tous compris entre 1 et 2 Figure 17 A Calculons par exemple l angle y des plans QAC et QBC Le plan perpendiculaire QC passant par A coupe QC en H et BC en K west la mesure de l angle AHK Posons HQ u HC v et notons 4 la mesure de l angle QCB et 4 celle de l angle BCA Ona AH 1 w b Y et u v 1 QC Ontire w v 1 b donc u y 1 b 2 D o CH y 50 et AH 4 57 Cela donne AH 4 6 2HK Dans le triangle 2BC cos 9 5 et dans CHK tan 9 b 1 _a 2HK 2 44 a De 1 tan 9 ontire tan 9 in d o Fi dE UE cos 9 a a b 2a 2 Dans CHK Pythag
11. b divisible par p Comme a b aq b a b l un des facteurs a b ou a b Vest galement Euler sans pouvoir le d montrer affirme toutefois 2n il est possible de trouver des valeurs de a et b telles que a b ne soit pas divisible par p et dans ce cas n cessairement a b l est En posant p a et q b on obtiendra donc une somme de carr s divisibles par 4n 1 sans que p et q ne le soient eux m mes 2 Maintenant si p et q ont un diviseur commun alors p q m r s avec m non divisible par p donc la somme r 5 admet parmi ses diviseurs eux m mes somme de deux carr s le nombre p qui est donc somme de deux carr s Ainsi d faut de le montrer de fa on g n rale Euler illustre son id e par quelques exemples Si 4n 1 5 n 1 lexpression a 1 est divisible par 5 si pour a on choisit une valeur telle que le reste de la division de a par 5 soit l un des r sidus des carr s associ s 5 savoir les valeurs 1 et 4 De m me si 4n 1 13 c est dire si n 3 les restes des carr s dans la division par 13 sont 1 4 9 3 12 10 d o si l on substitue a l une des valeurs restantes 2 5 6 7 8 11 l expression a 1 ne sera pas divisible par 13 donc af 1 le sera 18 De m me si 4n 1 17 c est dire si n 4 les restes des carr s dans la division par 17 sont 1 4 9 16 8 2 15 13 d o
12. k 0 9k On en d duit que la p riode a a a est divisible par 9 Ce raisonnement n est valable que si s gt 1 mais l on sait que p divise 10 1 donc si s 1 alors p divise 10 1 9 donc p 3 On a donc prouv le th or me suivant Th or me 2 Si p est un nombre premier diff rent de 2 de 3 et de 5 alors la p riode du d veloppement d cimal de 1 p est divisible par 9 111 2 Les valeurs possibles de k Dans les conditions du th or me pr c dent ona u u k 10 1 avec 1 lt k lt d 1 L entier d gt 1 tant fix ces d 1 valeurs peuvent elles toutes tre prises par k La r ponse est n gative en g n ral puisque nous avons vu question C h que si d 4 alors k 2 42 Plus g n ralement Th or me 3 A d Si S uuu Uug avec d pair alors u u ug FA 1 p La d monstration est tout fait similaire celle effectu e la question C h san M i U U Up On crit Ug UU Usg u u u avec d 2d et U Ugy Uag On sait partie B que u u 9 9 t Uy Ugy Uag Le nombre ug U se termine donc par s chiffre 9 avec s ds or U y FU lt 2 10 1 19 98 lt 19 9 avec s chiffre 9 On en d duit que u u 9 9 10 1 On montre ainsi de proche en proche que u u 10 1 pour tout i v rifiant 1 lt i lt d On en d duit finalement u u u d x 10 1 Es 10
13. quateur vu du dessus dans la figure 4 montre que la distance 2B de Q AD vaut FER Ce qui prouve que B est la verticale de B et de E Voir Figures 2 et 4 Le quadrilat re ABDE est donc un carr de c t 2 puisque ses diagonales sont perpendiculaires se coupent en leur milieu B et puisque l angle en B est droit AD 24 2 8 AB BD Lorsque la figure 2 est compl te on arrive au fameux cubocta dre dont on voit une repr sentation dans la figure 5 a Le cubocta dre Figure 5 Figure 6 Ce poly dre fait partie des poly dres archim diens les faces sont des polygones r guliers donc les ar tes sont gales et de chaque sommet en tournant on voit les m mes polygones dans le m me ordre Ainsi dans le cubocta dre de chaque sommet on voit un triangle un carr un triangle un carr On le note traditionnellement 3 4 pour abr viation de triangle carr triangle carr Les 5 solides de Platon sont videmment archim diens Les 12 sommets du cubocta dre sont tous sur la sph re de centre Q et de rayon 2 et les calculs pr c dents montrent que si on place 12 sph res unit aux 12 sommets du cubocta dre elles seront toutes tangentes la sph re centrale sans empi tement AD gt 2 Plus pr cis ment chacune des 12 sph res est tangente 4 autres et la sph re centrale Ce qu on obtient ressemble la figure 6 Il y a de la place perdue par le fait que les sph res en A et
14. si l on substitue a l une des valeurs restantes 2 3 5 6 7 10 11 12 14 alors l expression af 1 ne sera pas divisible par 17 donc a 1 le sera Euler en vient enfin son ultime proposition Proposition Si un nombre de la forme 4n 1 se d compose de fa on unique en une somme de deux carr s premiers entre eux alors ce nombre est premier D monstration Si le nombre n est pas premier il se d compose en facteurs qui sont somme de deux carr s on aura 4 n 1 a b c d 2 que l on peut crire sous la forme 4n 1 ac bd ad bc 4n 1 ad bc ac bd y Ces carr s sont diff rents sauf si ac bd ad bc ou ac bd ac bd Dans le premier cas ac bd ad bc 0 donc a b c d 0 donc a b ou c d mais alors a2 b ou c d est un nombre pair ce qui n est pas possible car il diviserait 4n 1 impair Dans l autre cas b 0 ou d 0 et nous avons 4n 1 a c d2 ou 4n 1 a b c et dans ce cas 4n 1 n est pas somme de deux carr s premiers entre eux et admet au moins deux d compositions Par cons quent si 4n 1 est compos alors il admet au moins deux d compositions diff rentes Corollaire 1 On peut ainsi lorsqu un nombre est de la forme 4n 1 utiliser cette propri t pour affirmer que le nombre est premier lorsqu il n admet qu une repr sentation comme somme de deux carr s sans avoir essayer de le diviser par les nombres premiers inf rieurs sa racine carr e comme il est d usage
15. L entier r r r tant un multiple de p on a donc h r r p 10 7r 7 P gt 1 e a est le premier chiffre de 0 u u u donc Ou u u lt gt i d Pour tout x ona E x lt x donc a a apy S 10 a l bo l De m me Ou u u lt o et 0 uzuu lt AE A on en d duit a ta ES E 13 10 10 Or on sait question b que Ou u u 0 4 4 4 Ou u u est gal 1 ou 2 on en d duit que s 1 1 3 0 u uzu Ou u u 0u u u lt 0 u u u Ou u u Ou u u 1 f Ouuu u 10 10 u 10 105 u 10 10 Ousus 4 10 410 u3 10 2 410 H Hu 0 10 Ouuu 44 10 10 u 00 410 u 10 410 D o en ajoutant s 25 s 1 1 u u 4 107 10 u u u 10 a oa 39 FailledeV ignen 101 Odare 2006 Et donc finalement u u u 10 1 9 9 g 7 69 23 99 232558 1395348 8372093 9999999 1 9 89 99 42 85 71 198 2x99 On constate sur ce dernier exemple que le r sultat prouv pour un nombre de la forme 1 p n est pas valable pour un nombre de la forme m p m me si m et p sont premiers entre eux On peut n anmoins partant de la question C b Ou u u Ou u u Ou u u est gal 1 ou 2 et s inspirant des questions qui suivent montrer qu une fraction m p dont la longueur de la p riode est divisible par 3 s crit 0uu u avec u
16. de placer la 13 boule Supposons 13 boules plac es donc s 13 On proc de comme dans IV on a vu que d apr s les formules E1 et E2 d Euler 25 4 3f 4fi 5f5 2 f fa f f 2f4 3f5 E3 L aire de S est la somme des aires de toutes les faces de G donc d apr s les minorations ci dessus 4n gt aire A x f 2 aire Q x f4 3 aire P x fs qui se minore ainsi 4T gt 0 551 f 1 333 fa 2 226 fs et qu on transforme en 4n gt 0 551 48 2 x fa 3 x f5 0 231 fa 0 573 fs ou encore 4n2 gt 0 551 2s 4 0 231 fa 0 573 fs s 13 25 4 22 donc 41 gt 0 551 x 22 0 231 fa 0 573 fs ou 0 231 fi 0 573 fs lt 4 n 0 551 x 22 lt 0 445 On en d duit 0 231 fx lt 0 445 donc fa lt 2 autrement dit f4 vaut O ou 1 e Sifa 0 alors il reste 0 573 fs lt 0 445 donc fs fe etc sont tous nuls Il est clair que les minorations de aire fa forment une suite croissante e Si fa 1 alors 0 231 0 573 fs lt 0 445 implique 0 573 fs lt 0 214 donc fs fo etc sont tous nuls Ainsi les faces de G sont ou bien uniquement des triangles ou bien des triangles avec un seul quadrilat re Premier cas G n a que des triangles Donc f f D apr s E2 2a 3f et d apr s El s f a 2 don 2s 2f 2a 4 3f 4 D o f 4 2s 26 soit f 22 et a s f 2 33 G aurait donc 13 sommets 33 ar tes et 22 faces triangulaires exclusivement Mais un angle au s
17. est plaint de trouver dans les copies des phrases n ayant aucune signification Les milieux d une droite ou d un cercle les points perpendiculaires ou parall les ne sont pas rares Cependant si l on fait pr ciser l l ve ce qu il a voulu dire par exemple en lui faisant faire une figure la plupart du temps il est capable de dessiner ce qu il pense avoir d crit correctement Dans ces conditions lui faire modifier sa phrase est tr s difficile et souvent il ne comprend pas ce que nous attendons de lui Comment dans ce cas l aider r soudre son probl me d expression Il lui faudrait un outil si possible simple utiliser qui lui permette de d tecter si les phrases qu il crit sont correctes ou non par exemple un outil qui lui permette de choisir entre les phrases La droite AB passe par le point K 1 Le point K passe par la droite AB 2 La droite AB passe par le segment CD 3 Ces trois phrases lui semblent a priori aussi correctes l une que l autre La difficult provient sans doute de l utilisation du verbe passer qui exprime le mouvement alors que nos figures sont statiques Nous utilisons le vocabulaire fran ais en dehors de son contexte habituel Un autre exemple est donn par le verbe couper La droite AB coupe le segment CD 4 Le point K coupe le segment CD 5 Une droite a le droit de couper quelque chose mais pas un point Ce qui nous para t naturel
18. Alain Mascret qui met tr s justement en vidence le probl me de l criture en fran ais des math matiques et pas seulement d elles Lorsqu il y a bien longtemps c tait au vingti me si cle j ai re u pour la premi re fois un Inspecteur dans ma classe il m a expliqu que je ne devais pas emb ter mes petits l ves de coll ge avec les notations qui sont si compliqu es en math matiques que si l on comprenait en lisant la droite AB qu il s agissait de la droite AB il n tait pas la peine de faire de remontrances aux auteurs de cette expression contradictoire Mais on en est revenu Et lorsque le professeur lit dans une copie AB CD alors que les segments sont diff rents il r agit les plus radicaux enl veront 1 point sur 20 il faudrait demander Alain s il en est certains se contenteront de quelques remarques voire d une totale indiff rence a m tonnerait qu Alain en soit Mais il semble quand m me qu il n est pas vraiment possible d avoir les id es claires sur des concepts sans en avoir une nonciation claire Comment comprendre les subtilit s du calcul vectoriel si l on ne peut dans l criture m me en distinguer les caract ristiques Sans m me parler de classes d quivalence de bipoints quipollents nous n avons pas int r t laisser passer des erreurs d criture qui trahissent une pens e floue Le sujet est discut dans les IR
19. CD 8 FailledeV ignen 101 Oddre2006 Quelle phrase faut il crire C est le contexte qui permet de r pondre Ici nous parlons de segment il faut donc utiliser le mot milieu et non le mot centre qui sera r serv au cercle au parall logramme la sph re et la sym trie centrale Enfin l outil que nous allons mettre la disposition de l l ve doit se contenter de guider sa r flexion et non la rendre inutile Il serait relativement facile d crire un programme informatique qui analyserait les phrases qui lui seraient soumises une sorte d analyseur s mantique sp cialis dans la g om trie Mais un tel logiciel au lieu de tendre l autonomie de l l ve risquerait au contraire de le rendre d pendant en accomplissant le travail sa place D autre part sa mise en uvre n cessitant l utilisation d un ordinateur serait trop lourde et par l m me peu efficace L id al est que l l ve puisse disposer tout moment d une aide suffisamment simple pour qu il ait envie de s en servir Ce sera une simple fiche de format AS Cette fiche sera coll e sur un carton et rang e dans son cahier Il pourra s y reporter chez lui quand il r digera ses exercices et ses devoirs ainsi qu en classe y compris pendant les contr les Il y trouvera deux tableaux le premier lui donnant une s lection de phrases types et le second lui permettant de choisir son vocabulaire en fonction du contexte
20. analytique des nombres 2 lt n lt x l lt n lt x 1 xr x D z car a l 2 lt n lt x 1 XT X ro car la fonction 7 est en escalier 2 2 N PAE xX x Or d apr s le th or me des nombres premiers on a m x Fe donc xz x F et nx nx x x 1 1 2 TX 1 x 1 2 ro t dt E dt 2 car 2 d 2 2 Int 2lnt 242 Int 2 In x Int Int 1 On d duit de ceci que S p D cn REN p lt x n lt x IV 4 Ordre de grandeur moyen de s p 2 On d duit du r sultat qui pr c de l quivalent D 2Kp D 2Kp K A donc si conform ment la n p lt x 7 lt p lt x x x conjecture formul e en IV 2 on a Y s p Ki alors D sp D 2Kp 7 lt p lt x 7 lt p lt x p lt x On peut donc formuler ainsi notre conjecture Un ordre de grandeur moyen de s p serait 2Kp 0 60 p 47 FailledeV ignen 101 Oddre2006
21. est loin de l tre pour nos l ves Comme nous le voyons les probl mes rencontr s ici sont d ordre grammatical Il s agit de donner des r gles strictes de formation des phrases permettant d liminer les incorrectes et surtout d en produire des correctes Pour cela nous allons rep rer les phrases les plus utiles la r daction des probl mes de g om trie et pr ciser leur mode de fonctionnement Reprenons les exemples donn s ci dessus Les phrases 1 2 et 3 se caract risent par les mots passe par Etudions le fonctionnement d une phrase de ce type Le sujet du verbe passe peut tre une droite un segment une demi droite un cercle un arc de cercle une courbe quelconque en tout cas pas un point Nous d signerons cette cat gorie de mots par le mot courbe Derri re le mot par nous ne pouvons trouver qu un point et jamais une courbe Nous pouvons donc proposer la phrase type La courbe passe par le point 6 Dans cette phrase le mot courbe pourra tre remplac par droite demi droite segment cercle mais pas par point De m me le mot point pourra tre remplac par n importe quel mot d signant un point milieu centre sommet ce niveau se pose le probl me du choix du terme employ et l encore l l ve a besoin d tre aid Voici par exemple une confusion fr quente La droite AB passe par le centre du segment CD 7 La droite AB passe par le milieu du segment
22. etc a Il faut prouver s f a 2 El El est vraie si G est r duit un sommet s 1 f 1 a 0 Dans ce cas Z s f a 2 Or la quantit Z est invariante lors des deux op rations suivantes de la figure 16 gauche ajout d une ar te pendante en gras s et a augmentent chacun de 1 droite ajout d une ar te fermante en gras a et f augmentent chacun de 1 LAN LD Figure 16 Il suffit donc en partant d un sommet de G de construire le graphe de proche en proche par adjonction d ar tes en connection avec ce qu on avait b Il faut prouver 2a 3f 4f 5 fs E2 On suppose bien s r que G a au moins une face donc deux faces car on est sur une sph re Chaque ar te de G est commune deux faces et une face triangulaire contribue pour 3 ar tes une face quadrangulaire contribue pour 4 ar tes etc E2 en d coule imm diatement 2 Calcul de l aire d un triangle sph rique Tout est dans la figure 7 qu il faut bien lire Appelons tranche a la portion de la sph re d finie par l angle a c est dire la partie de S limit e par les plans ACA et ABA 2 mu A e a L aire de tranche a est videmment gale 47 x A 2 TT Ainsi aire ABC aire A BC 2 a De m me aire ABC aire AB C 28 et aire ABC aire ABC 2 y Ajoutons membre membre 3 aire ABC aire A BC aire AB C aire ABC 2a 28 27 Transformons et utilisons la sym trie pour crire aire ABC
23. eux alors p est une somme de carr s Le deuxi me point de la d monstration consiste alors montrer que si p est de la forme 4n 1 alors p divise une somme de carr s premiers entre eux Suivons Euler dans la d monstration de sa premi re tape Proposition 1 Soit p un nombre premier somme de deux carr s Si le produit pq est somme de deux carr s alors q est somme de deux carr s Si pq a b si p c d est un nombre premier alors c et d sont premiers entre eux On a _ b 24d Le nombre c2 a2 b est divisible par c d et la diff rence a c b c a c a d c est dire comme q est entier a2 b est divisible par c d c a b a c d l est aussi donc b c2 a d l est elle m me 16 Comme c d est un nombre premier qui divise b c a d bc ad bc ad l un des deux facteurs est n cessairement divisible par c d Soit bc ad mc md Posons b mcw xet a md y En substituant ces valeurs dans bc ad il vient mc cx md dy mc md x d D o cx dy 0 donc y C Comme d et c sont des nombres premiers entre eux on a n cessairement x nd et y nc donc a md nc et b mx nd On obtient ainsi les valeurs de a et b pour lesquelles pq a b est divisible par le nombre premier p c e En substituant ces valeurs de a et b dans pq ona pq m d 2mncd n c mc 2mncd n d Soit pq m n 2 c2 d Comme
24. par aucun nombre qui ne soit lui m me somme de deux carr s FailledeV ignen 101 Oddre2006 17 D monstration Soit a b deux entiers premiers entre eux Supposons que a b soit divisible par l entier p Supposons que p ne soit pas somme de deux carr s 1 Ps Pale p D apr s la proposition 3 il existe c et d tels que 2 p et c d divisible par p Posons c d pq D apr s ce qui pr c de comme p n est pas somme de deux carr s si qne l est pas il poss de des facteurs premiers r qui ne se d composent pas en somme de carr s 1 1 1 Ona PAS SE et donc 4 2P et donc HP c2 d est divisible par r donc il existe deux nombres e et f tels que e f soit divisible par r et tels 1 1 ue e f lt r lt p q FS Lp Comme r n est pas somme de deux carr s on peut continuer ainsi et trouver une somme de deux carr s divisible par un nombre qui n est pas somme de deux carr s On aboutit ainsi n cessairement une contradiction car le proc d ne peut continuer ind finiment Euler doit ensuite tablir le deuxi me point de sa d monstration Si p est de la forme 4n 1 alors p divise une somme de carr s premiers entre eux Dans son tude il affirme ne pouvoir l tablir et se contente simplement d une tentative de d monstration Soit p un nombre premier de la forme 4n 1 a et b deux entiers quelconques non divisibles par p alors nous avons d apr s le petit th or me de Fermat a
25. un nouveau reste r 4 La suite a i des chiffres qui apparaissent apr s la virgule et la suite r des restes sont donc obtenues par divisions euclidiennes successives 1 mM 10r a p r 10r a p r 10r dy P Fasi Ces suites sont donc d finies par r currence de la fa on suivante n m a et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de 10r par p Remarque On peut pr f rer cette pr sentation volontairement na ve la pr sentation faite dans le Terracher Ferachoglou 2002 ex 109 p 364 1 2 Premi res cons quences Cette introduction faite on peut amener les l ves tablir quelques r sultats g n raux 34 A a Montrer par r currence que pour tout entier naturel n ona r m10 mod p On remarquera que les entiers r v rifiant O lt r lt p 1 cette relation d termine compl tement la valeur de 7 b En d duire que si p est un nombre premier diff rent de 2 et diff rent des alors r 0 pour tout n On considere dans tout ce qui suit un nombre premier p diff rent de 2 et diff rent de5 c Soit s le plus petit entier non nul tel que 10 1 mod p Montrer que s existe et que s lt p 1 d Montrer que pour tout n 2 0 onar r et que pour tout n21 ona a a n Interpr ter ce dernier r sultat Commentaires et r ponses a La relation est vraie pour n 0 car r m m mod p Supposons cette relation vraie un rang n quelc
26. 01 Oddre 2006 41 III CAS G N RAL LE D VELOPPEMENT D CIMAL DE 1 P A UNE LONGUEUR DIVISIBLE PAR D II 1 Th or me Th or me 1 On suppose que la p riode du d veloppement d cimal de 1 p p premier a une longueur s divisible par d gt 1 On pose s ds Soit m premier avec p La fraction m p a une p riode de m me longueur s m OE On crit Ug UU Uy On a alors u u u kx 10 1 avec 1 lt k lt d 1 Preuve p divise 10 1 10 D 4 10 109 donc p divise 1 10 10 car p ne divise pas 10 1 puisque s lt s ds et s est le plus petit entier non nul tel que p divise 10 1 1 10 1049 On en d duit que O RO est entier P a 1 10 10 m P On en d duit que Ou u 0 u uu 0u u Uu est entier donc q 1 d 2 ab ab d 1 UM UUU Ugu HUU Ugy Ugl Uga Ou 4 04 u u 04 Ug k aveel lt k lt d l En effet m est premier avec p donc Ou u u 0 9 1 d o Ou u 4 lt 1 On en d duit en raisonnant comme en C f 1 u u A0 107 k u U 107 x U t u FF 4 qe 10 1 D o finalement u u k 10 1 Un cas particulier Posons m p a a a a et appliquons le th or me pr c dent avec d s Les nombres u s identifient alors aux chiffres a de la p riode et l on a donc u u 4 a a
27. 256 263 262 269 268 271 5 277 69 281 28 283 141 293 146 307 153 311 155 313 312 317 79 331 110 337 336 347 173 349 116 353 32 359 179 367 366 373 186 379 378 383 382 389 388 397 99 401 200 409 204 419 418 421 140 431 215 433 432 439 219 443 221 449 32 457 152 461 460 463 154 467 233 479 239 487 486 491 490 499 498 Nous avons utilis le logiciel Maple pour les calculs qui pr c dent et pour repr senter ci dessous la fonction Ce th or me est en fait plus pr cis d 1 d 2 d n nimn 27 Dn O n o y est la constante d Euler Cette notion d ordre de grandeur moyen est utiliser avec prudence comme le montre le r sultat suivant Grossi rement on a donc pour presque tout entier n d n 2 Inn Inn Le fait que l ordre de grandeur moyen de d n soit plus grand que Inn Ve gt 0 on a pour presque tout entier n 20 67 lt d n lt 204 Mmn P presq poss dant un nombre de diviseurs beaucoup plus grand que Inn Voir par exemple Hardy et Wright An introduction to the theory of numbers chapitres 18 2 et 21 13 FailledeV gnen 101 Oddre2006 In 2 est d une minorit d entiers n 45 F xb Y s p Sur le graphique de droite nous comparons cette fonction la fonction T lt p lt x 2 X A G xb TEE
28. 5 Rouen Dessiner l espace 1989 Nancy Quelles math matiques faire vivre l cole Quels outils pour les ma tres 2005 Copirelem 50 probl mes et plus si affinit s Pour les l ves de Sixi me et Cinqui me 2005 Lyon 50 probl mes et plus si affinit s Pour les l ves de Quatri me et Troisi me 2005 Lyon Math matiques et surdit 2005 Lyon De l arithm tique au coll ge 2004 Lyon Atelier scientifique 2004 Lyon Feuille de Vigne n 99 2006 Dijon Extraits du trait des fluxions de Colin MacLaurin 1975 Paris Nord Le Hasard Actes des journ es acad miques Lille IPR Apprentissages et consolidations en math en Terminale STI STL 2005 Limoges CRDP Papiers Crayons Aborder la g om trie par le dessin 2006 Paris Nord Rallye Math matique de Bourgogne 2006 Dijon Compte rendu du rallye Math matique des coll ges de C te d Or 2006 Dijon Quatre fragments d histoire des math matiques 2006 Toulouse Feuille de Vigne n 100 2006 Dijon Histoire d Aires 2005 Orl ans Prends ton temps 2006 Besancon L ouvert n 113 juillet 2006 Strasbourg Oral de math matiques au Bac S 2006 Clermont Tableurs en 1 L 2006 Clermont Enseigner les math matiques en France en Europe et ailleurs 2006 COPIRELEM J aime faire des maths Cahier d exercices 6 5 SEGPA 2006 Math matiques en liaison avec des probl mes concret
29. 6 Remarques Avec I d on retrouve le th or me 1 Avec I 2 on retrouve le th or me 3 Le meilleur encadrement de k que peut fournir ce th or me est obtenu en prenant pour le plus petit diviseur de d diff rent de 1 On trouvera une preuve du th or me 5 sur le site de l irem http www u bourgogne fr irem C est une d monstration technique o il faut manier les indices avec pr caution Je ne suis malheureusement pas parvenu simplifier cette d monstration Quelques exemples Onprend p 337 ona alors s 336 27 3 7 On choisit alors de prendre s 2 16 et d 3 7 21 c est dire que l on scinde la p riode de m p en 21 blocs de 16 chiffres Si l on crit Ou u le th or me 5 affirme que u u k x 9999999999999999 avec 7 lt k lt 14 Ces 8 valeurs de k sont effectivement atteintes nous donnons les plus petites valeurs positives de m with numtheory kkk proc p q local L s sr i j for i from 1 to d 1 do L i od s order 10 p if irem s d 0 then sr s d for j to p 1 do k 12 pour 17 337 o e ed ee add trunc 3 10 k sr p k 1 d 1 k 13 pour 25 337 gt if nops L i 0 then k 14 pour 21 337 L i op Llil jl fi od fi gt for i to d 1 do print k i L i 0d gt end gt kkk 337 21 k 7 pour 1 337 k 8 pour 3 337 k 9 pour 5 337 k 10 pour 9 337 k 11 pour 41 337 VVvvvVvvovoy Ces r sultats ont t obtenus l
30. D par exemple ne sont pas tangentes Ce placement des 12 sph res n est donc pas unique et on pourrait esp rer remplacer le cubocta dre par une figure avec plus de triangles et moins de carr s car la configuration de trois sph res tangentes deux deux et la sph re centrale est un optimum local en ce qui concerne la place perdue 22 e Une autre mani re de placer les 12 boules est de consid rer l icosa dre r gulier dont l ar te est 2 On calcule que son diam tre est 4 10 245 3 804 Si on place 12 sph res unit aux 12 sommets de cet icosa dre chacune sera tangente 5 voisines et dans l espace central on a la place de mettre une sph re de diam tre 3 804 2 1 804 lt 2 A fortiori on peut donc placer 12 sph res unit au contact d une sph re unit Newton et Gregory connaissaient videmment l icosa dre probablement le cubocta dre et savaient donc qu en placant 12 boules autour d une boule il restait un peu de place disponible III CE QU IL FAUT SAVOIR POUR L TUDE DE LA 13 BOULE Les d monstrations d impossibilit sont parfois compliqu es mais celle de Leech est accessible Je l ai trouv e dans un livre de l IREM de Besan on Jeux de formes formes de jeux de Bernard Bettinelli paru en 1984 J ai d taill tous les calculs et j ai rectifi l erreur page 329 concernant l aire d un pentagone du r seau de Leech c est le point le plus d licat de la d monstration John Leech
31. EM qui sont parmi les rares endroits o les acteurs de terrain c est dire nous peuvent parler de leur pratique et refaire le monde de l cole Tandis que les d cisions reviendront toujours aux d cideurs bien videmment Mais on peut tout craindre apr s la r cente pol mique st rile sur la m thode d apprentissage de la lecture en Feille V igen 101 Oddvearo particulier une attaque contre la dictature des maths chacun voit midi sa porte S il y en a un qui voit Midy sa porte c est bien Emmanuel Moreau Voyez comme des probl mes en apparence simples nous am nent d ambitieux d veloppements Comme l crit Emmanuel nous pouvons d montrer nos l ves qu ils ont leur port e des r sultats oubli s ou non encore trouv s L article montre aussi quel point l arithm tique est une source d aventure intellectuelle C est aussi le cas du texte de Tristan Deray on mord l hame on de Fermat mais chacun s en tait dout Euler tait l aff t Les passionn s d arithm tique se r galeront en parcourant l ensemble des propositions sur la somme de deux carr s du pur Euler m tin de Fermat quand m me Euler qu on retrouve dans le texte de Michel Lafond en tant que ma tre de l espace en compagnie d un autre prince des math matiques le grand Gregory Pour faire le pendant de tous ces arithm ticiens Michel nous entra ne dans un monde de b
32. L ar te en pointill s est sur la calotte non visible de S E1 dit que s f a 6 7 11 2 Et comme le graphe contient 6 triangles et 1 quadrilat re E2 dit que 22 2a 3f4 4f3 5f 3x6 4x1 2 L aire d un triangle sph rique Un triangle sph rique est un domaine de S limit par trois grands cercles La figure 7 ci dessous montre le triangle sph rique ABC Il poss de 3 angles a B y a est l angle des tangentes en A aux deux grands cercles qui passent par A ou ce qui revient au m me l angle des deux plans ACA et ABA dont l intersection AA est un diam tre de la sph re S En fait A et B d terminent sur le grand cercle unique qui passe par A et B deux arcs Et de m me pour B et C Il y a donc en r alit plusieurs triangles qui pourraient revendiquer le nom ABC 23 Feille V igen 101 Odawe 20 Pour s y retrouver il faut dans la d termination des angles orienter les demi tangentes aux arcs de la fronti re et consid rer l angle qui regarde vers l int rieur du domaine souhait Voir figure 8 Dans ces conditions sur une sph re de rayon R Le triangle sph rique d angles a B y en radians a une aire gale a B y mR T La d monstration est en annexe 2 Remarquons que la peau d une orange coup e en 8 d termine un triangle sph rique dont les trois angles sont droits Ce triangle m rite bien de s appeler triangle rectangle Son aire vaut G gt 5 T R
33. REAU Lyc e Davier a Joigny gt 0 142857 142857 142857142857 ce que l on note j 0 142857 On scinde la p riode 142857 en deux et on obtient les deux nombres 142 et 857 On ajoute ces deux nombres 142 857 999 On obtient un nombre qui n est form que de 9 L analogue de ce r sultat reste vrai pour tout nombre de la forme m p p premier diff rent de 2 et de 5 et m premier avec p si la longueur de la p riode du d veloppement d cimal de m p est un nombre pair C est le th or me de Midy Scindons maintenant la p riode en trois on obtient les trois nombres 14 28 et 57 ajoutons 14 28 57 99 Ce dernier r sultat qui est vrai pour tout nombre de la forme 1 p dont la longueur de la p riode est divisible par 3 p premier n a t d couvert et prouv qu en janvier 2004 Ces propri t s amusantes sont tout fait la port e de nos l ves de Terminale S qui font de l arithm tique Nous consacrerons les deux premiers paragraphes de cet article des d monstrations de ces r sultats telles qu elles pourraient tre expos es en classe de Terminale I et ID Il nous sera alors facile de g n raliser III 1 si le d veloppement d cimal de la fraction m p o p est premier est p riodique et que l on peut scinder la p riode en d nombres de s chiffres c est dire si l on peut crire m U UU Uy alors u u u kx 10 1 avec 1 lt
34. allons contigus de cages poly driques et d entrelacs de cordes mais accrochez vous quand m me le contenu est loin d tre enfantin Michel ne serait il pas l un de ces dictateurs d nonc s par le Monde de l ducation Et il se double d un tortionnaire comme le sont galement la plupart des auteurs de ce num ro les lecteurs ont du remue m ninge en perspective Une seule solution pour faire face cette t che soyons cent un Bonne lecture Fr d ric M tin Ce qui m emb te fort parce que j avais pari r cemment que le Ministre allait passer aux math matiques et a n est pas encore venu pourquoi tarde t il Heureusement il y a le num ro d octobre du Monde de l ducation ACTIVIT S 2006 2007 Actions de formation continue dont l IREM est le responsable p dagogique 06A0073049 Maths Appropriation des contenus didactiques 14 11 06 9432 Maths Eclairages historiques PEER 08 02 07 TEESI sur la d monstration math matique 06A0073049 Maths Appropriation des contenus didactiques M N RACINE 30 11 06 9432 Maths L espace point de vue A MASCRET 12 04 07 IREM math matique conomique S LANAUD g ographique 06A0073050 Maths L Histoire des Maths comme outil didactique 9434 Maths L Histoire des Maths comme outil didactique F METIN 23 11 06 SE P GUYOT 16 03 07 A F METIN 29 11 06 is P GUYOT 15 02 07 TARON 06A0073051 Maths Utiliser les ma
35. ant que chaque entier xi est major par R1 Posons M Ri 1 Chaque entier xi est donc strictement major par M Si la deuxi me question de B est Q2 1 M M M M la r ponse de A sera R x x2 M x3 M x4 M xs M B conna t R2 et M Il peut calculer les xi ainsi Rz s crit x KM avec x lt M x est donc gal R2 modulo M reste de la division de R2 par M R x Ensuite F gt 77 4 M x M x M x k M avec x lt M x2 est donc gal F modulo M reste de la division de F par M Et ainsi de suite En fait B n a qu d terminer l criture de R2 en base M Les 5 chiffres de cette criture constituant le quintuplet cherch Faille de V ignen 101 Oddre 2006 Ce n est pas fini Pour d montrer que 2 est bien le nombre minimal de questions poser il faut d montrer qu on ne peut pas deviner un quintuplet arbitraire en une seule question Raisonnons par l absurde en supposant que la question miracle Q a b c d e permet de deviner un quadruplet arbitraire x1 X2 X3 X4 X5 par la seule connaissance de R ax bx cx3 dx1 exs Aucun des 5 nombres de la question n est nul car si par exemple a tait gal O B n aurait aucun moyen pour distinguer entre les quintuplets x O 0 O 0 qui donneraient tous la m me r ponse 0 Mais puisque a et b ne sont pas nuls B ne peut pas distinguer les quintuplets distincts b O 0 O 0 et 0 a 0 0 0 qui donneraient to
36. aux l ves Dans la phrase 22 les risques d incorrections proviennent essentiellement des mots milieu et centre et l utilisation de la fiche permet de les viter Telle qu elle est ma petite grammaire de la g om trie est certainement tr s imparfaite En particulier la liste des mots qu on y trouve pourrait tre compl t e et am lior e Cependant je la crois capable de rendre service aux l ves L exp rience montre que tr s peu ne parviennent pas l utiliser L l ve qui fait l effort de s en servir m me s il a des difficult s en fran ais peut contr ler les phrases qu il r dige et produire des textes compr hensibles Petit petit il prendra de bonnes habitudes de r daction et pourra finalement s en passer ce qui est le but atteindre 13 FailledeV gnen 101 Oddre2006 Sanme de dax arr Tristan DERAY Lyc e Hilaire de Chardonnet Chalon s Sa ne Travaillez prenez de la peine C est le fonds qui manque le moins Jean de la Fontaine le laboureur et ses enfants Fermat affirmait tre le premier avoir fermement d montr que Tout nombre premier surpassant d une unit un multiple de 4 est somme de deux carr s Tout nombre premier qui d passe d une unit un multiple de 3 est somme d un carr et du triple d un autre carr Ainsi par exemple 5 2 17 et 13 3 27 ou 7 2 317 et 13 17 3 27 Euler re ut en h ritage l arithm tique de Fermat et s attacha don
37. carr s horizontaux de c t s 2 sym triques par rapport un point Q de sorte que la distance de 2 aux 8 sommets des deux carr s soit gale 2 Figure 1 Ces 8 sommets sont sur la sph re de centre Q et de rayon 2 qu on notera 2 On dira dans la suite qu on place une sph re en M pour dire qu on consid re la sph re unit de centre M A partir de la figure 1 si on place la sph re centrale en Q et 8 sph res aux sommets des deux carr s ces sph res seront toutes tangentes la sph re centrale Consid rons maintenant un point A situ sur la sph re 2 dans le plan horizontal passant par Q quateur de et quidistant de deux sommets cons cutifs B et C du carr sup rieur Voir Figure 2 Figure 1 Figure 2 21 Feille V igen 101 Oddwe 206 Dans la figure 1 chacune des deux pyramides est base carr e avec ses 8 ar tes de mesure 2 Un petit peu de Pythagore montre que la hauteur d une telle pyramide mesure 4 2 Coupons la figure 2 par le plan vertical QAH o H est le milieu de BC On obtient la figure 3 dans laquelle HK V2 donc AH V3 quateur Q gt i A A Figure 3 Figure 4 D Dans le triangle rectangle ABH de la figure 2 on a AB AH BH 3 1 4 Donc AB 2 Par sym trie A est donc la distance 2 de B C E F Ce qu on a fait pour le point A on le refait pour les trois autres points cardinaux de l quateur Si A est l est le sud D est visible dans la figure 2 L
38. che en pointill s et provoquer cette sorte d erreur Cependant ce genre d expression est courant et l l ve doit tre capable de l analyser Les phrases plusieurs verbes posent aussi un probl me En effet les phrases types n en poss dent qu un La m thode consiste donc casser la phrase en plusieurs morceaux qui seront analysables En voici un exemple Le milieu du c t AC du triangle ABC est sur le cercle de centre O qui passe par E 16 deviendra Re Le milieu du c t AC du triangle ABC est sur le cercle de centre O 17 t Le point est sur la courbe 12 et la proposition relative sera r crite CA Le cercle de centre O passe par E 18 La courbe passe par le point 6 Enfin toutes les phrases types possibles ne sont pas sur la fiche par manque de place En voici quelques unes qui auraient pu s y trouver La courbe L et la courbe L se coupent au point U 19 La droite O et la droite 1 sont parall les 20 La droite L et la droite sont perpendiculaires 21 Mais il est facile de faire d river la phrase 19 de la phrase 15 ou encore de celle qui la suit sur la fiche De m me les phrases 20 et 21 apparaissent comme une autre forme des deux derni res phrases types de la fiche De telles transformations ne g nent pas les l ves On pourrait peut tre regretter l absence d une phrase type construite autour d
39. de la relation XY 2 Arcsin Fa Ici a XY Arccos ER implique cos a t 2 sin d o sin S f 7 7 2 2 7 2 n 2 Arecos L 7 112 3a qui donne l aire du triangle sph rique de c t s 1 1 a est croissante sur le domaine np 5s4 2 Par ailleurs la fonction F2 a Arccos y i 2 lo qui est celui des valeurs de la corde BD puisque BD varie de Arc cos D S L aire minimale d un quadrilat re est donc obtenue en faisant a BE dans la formule A2 et en multipliant par 2 Voir figure 11 On trouve Aire Q gt 2 4rccos gt 2 Arccos D 77 4 Arccos D 2 Arc cos D 1 333892 e Pour un pentagone On admet que l aire minimale d un pentagone P ABCDE est obtenue dans un des cas sym triques de la figure 12 o le seul param tre est a Fi 13 Figure 12 Y dd AC et AD ne sont pas des arcs de G puisque P est un pentagone Donc a gt Ap L aire de P vaut F a aire ACD 2 aire ABC Fi a 2 F a Une tude graphique montre que F est maximale lorsque P est r gulier alors a 1 618 et F a 2 633 et que F est minimale lorsque a Ap alors F a 2 2262 En r sum Dans le graphe de Leech l aire d un triangle est minor e par 0 551 celle d un quadrilat re est minor e par 1 333 et celle d un pentagone est minor e par 2 226 27 Feille V igen 101 Odawe ao 2 D monstration par l absurde de l impossibilit
40. de le faire Ainsi par exemple le nombre 73 admet l unique repr sentation en somme de deux carr s 73 64 9 il est donc premier Si l exemple est ici vident il l est d j moins dans un autre m moire se proposant d tablir ou de rejeter la primalit du nombre 1 000 009 suivre FailledeV ignen 101 Oddre 2006 19 L MareGr py Michel LAFOND Un probl me c l bre et plus que tricentenaire est le probl me du nombre maximal de sph res qu on peut mettre en contact avec une sph re centrale donn e Bien entendu toutes les sph res ont le m me rayon qu on prendra gal 1 On peut exp rimenter avec des balles de ping pong ou des boules en polystyr ne qu on trouve de diff rentes tailles dans le commerce I LES FAITS HISTORIQUES Ce probl me est tr s ancien puisqu en 1694 une controverse opposait Isaac Newton et l astronome cossais David Gregory Gregory est celui de la formule A 1 gt gt dite de Gregory Leibnitz Newton pensait qu on ne pouvait mettre que 12 boules autour de la boule centrale alors que Gregory supposait sans le d montrer qu on pouvait en mettre une 13 C est Newton qui avait raison mais les premi res d monstrations ne datent que de 1874 Bender Hoppe puis 1875 G nther suivies de d montrations plus courtes et plus rigoureuses 1953 Sch tte et Van der Waerden puis 1956 John Leech II PLA ONS D ABORD 12 BOULES e Consid rons dans l espace deux
41. e s en serve J y consacre environ une semaine pendant laquelle nous faisons des exercices d analyse de phrases et nous laborons un mode d emploi Soit par exemple analyser la phrase La droite AB est perpendiculaire l extr mit E du segment EF 9 a Tout d abord chercher le verbe C est le verbe qui permet de s lectionner dans le premier tableau la phrase type Tous les mots en caract res gras dans la phrase type doivent se retrouver aux flexions grammaticales pr s dans la phrase analyser b Recopier la phrase type quelques lignes au dessous de la phrase analyser et indiquer par des fl ches les remplacements de mots La droite AB est perpendiculaire l extr mit E du segment EF 9 La droite est perpendiculaire la droite 10 c Utiliser le deuxi me tableau de la fiche pour v rifier Les fl ches indiquent le sens de lecture les verticales correspondent la deuxi me colonne du tableau et les horizontales la troisi me Si les remplacements sont incorrects il faut barrer les fl ches correspondantes Une seule fl che barr e suffit pour que la phrase soit incorrecte Voici un autre exemple avec cette fois une phrase correcte Le centre O du cercle c est sur le c t AB du triangle ABC 11 Le point est sur la courbe L 12 Le mot courbe pointe sur le mot c t bien que la fiche ne le permette pas de fa on exp
42. est c l bre pour avoir trouv un empilement tr s dense de sph res en dimension 24 dans lequel chaque sph re est en contact avec 196560 autres sph res a ne lui a s rement pas pos de probl me pour redescendre b tement notre dimension 3 Cette d monstration est tr s int ressante dans la mesure o elle fait appel de nombreux domaines des math matiques Pour la comprendre en plus des cellules grises on a besoin de deux choses a Les 2 relations d Euler sur les graphes de la sph re b Le calcul de l aire d un triangle sph rique 1 Les relations d Euler Notons dans la suite S la sph re de rayon 1 centr e en 2 Soit un graphe G sur S c est dire un ensemble non vide de points de la sph re appel s sommets et un ensemble d arcs non orient s chaque arc relie un couple de sommets Les arcs ne se croisent pas et le graphe est connexe Dans un tel graphe il y a s sommets f faces et a ar tes Une face est un polygone sph rique dont les sommets et les c t s font partie du graphe Si f est le nombre de faces triangulaires f le nombre de faces quadrangulaires fs le nombre de faces pentagonales etc alors La premiere relation d Euler dit que s f a 2 El La seconde relation d Euler dit que 2a 3f3 4f4 5f5 E2 La d monstration est en annexe 1 Exemple Sur le graphe ci contre imaginer qu il est trac sur la sph re S On a s 6 sommets f 7 faces et a 11 ar tes
43. est compos alors N p q2 r2 s avec a pr qs b ps gr C ps qr d pr qs c b c b r On en d duit a d 2qs et c b 2qr donc T Si la fraction est rendue irr ductible S a a S alors r s est le diviseur de N Corollaire 2 De mani re analogue lorsque l on intervertit les nombres a b et c d lorsque l on rend Leto atc axd ds r 2 irr ductible les fractions TF ou ER alors la fraction irr ductible permet de trouver le diviseur SE TC S r s du nombre N propos Corollaire 3 Bien que plusieurs diviseurs puissent se d duire de ces formules seuls deux conviennent lorsque le nombre se d compose en une somme de deux carr s Aas 7 6 K s gt E Par exemple si N 85 9 22 72 6 les formules pr c dentes e m nent apr s r duction 1 4 5 3 R aux fractions A E parmi lesquelles seules les deux premi res conviennent et donnent les diviseurs 2 1 5 et 42 1 17 Si la d composition en somme de carr s se fait avec des nombres de parit diff rente les num rateurs et d nominateurs doivent galement tre de parit diff rente ce qui permet d liminer les fractions dont les num rateur et d nominateur sont impairs La d monstration du th or me 1 est bien plus d licate et se fait en plusieurs tapes la premi re bas e sur la m thode de descente de Fermat consiste montrer que si p est un nombre premier impair divisant une somme de carr s x y premiers entre
44. est la cl du succ s de la d monstration 1 Les minorations Nous admettrons facilement que les aires minimales sont obtenues pour les cha nes de sph res c est dire les configurations o chaque sph re est en contact avec la suivante collier ferm e Pour un triangle pas de changement par rapport au graphe G on a vu que aire A 0 5512 est l aire minimale d un triangle e Pour un quadrilat re Q ABCD Dans le cas particulier o ABCD est un carr QABCD est une pyramide base carr e dont les 8 ar tes mesurent 1 Les diagonales de la base mesurent 42 Mais AC 42 implique 4C 5 1 570 gt Arccos D Si ABCD n est pas un carr c est un losange de c t 1 et l une des diagonales disons AC est sup rieure V2 AC sera sup rieur gt donc Arccos D donc A C ne sont pas reli s dans G Cela prouve au passage que les ar tes de G ne se croisent pas De plus AC gt J2 implique BD lt V2 donc BD est inf rieur 3 Mais BD est sup rieure Arc COS D Sinon B D seraient reli s et dans le graphe de Leech Q ne serait pas un quadrilat re mais la r union de deux triangles L aire minimale d un quadrilat re sera donc celle du quadrilat re dont les arcs sont ceux de la figure 11 et dont les cordes sont celles de la figure 11 26 A Arccos P 7 l Figure 11 D Figure 11 3 24 XY La valeur 2 de la corde BD dans 11 vient
45. i 0 170 NeAdra 07 y LUL UUW C ZUUU AICC UC 1 Fren de DHG a i r U 11 PAILE Y diMMiMldl1 E UC 19 Yala TE N SOMME ae OUX arre O R avel rimatria e ssn 0246 5752 Sanmaire Y Bloc notes Y Jeux et Probl mes Articles Y Une petite grammaire de la g om trie Y Somme de deux carr s Y L affaire Gr gory v Autour d un r sultat m connu le th or me de Midy Alain MASCRET Tristan DERAY Michel LAFOND Emmanuel MOREAU 15 21 33 MISE EN PAGE Francoise BESSE COMIT DE R DACTION ET DE LECTURE Patrick GABRIEL Sylvie LANAUD Marie No lle RACINE Jean Francois MUGNIER R DACTEUR EN CHEF Patrick GABRIEL DIRECTEUR DE LA PUBLICATION Patrick GABRIEL Directeur de l IREM N D ENREGISTREMENT 0411 B 07793 D P T L GAL n 176 2 semestre 2006 IMPRESSION Service Reprographie FEUILLE DE VIGNE Universit de Bourgogne UFR Sciences et Techniques IREM 9 Avenue Alain Savary BP 47870 21078 Dijon cedex T 03 80 39 52 30 Fax 03 80 39 52 39 iremsecr u bourgogne fr http www u bourgogne fr irem Edivial Cat un t il s riremtE un tire Peut tre cette question vous para t elle superflue suspecte Vous risquez de changer d avis en lisant l article d
46. i soit le huiti me de l aire totale de la sph re 4 m R Figure 7 Comment calculer les angles a p y Dans la suite on n aura besoin de calculer que les aires de triangles sph riques isoc les des deux types ci dessous Figure 9 Figure 9 Si X et Y sont deux points de S la distance euclidienne entre X et Y la corde sera not e XY mais la distance sur la sph re S c est dire l arc de grand cercle passant par X et Y il s agira toujours du petit arc sera not e XY Puisque le rayon de S est 1 XY est aussi l angle sous lequel depuis Q on voit i er ag XY Entre XY et XY on a la relation XY 2 Arcsin Fo Les r sultats ci dessous d coulent de la formule A d montr e en annexe 3 24 Dans la figure 9 l aire du triangle sph rique ABC de c t s a a 1 est _ 2 Fi a co Piao 2 A1 a 4 a ax 12 3a Faire b a et c 1 dans A Dans la figure 9 l aire du triangle sph rique ABC de c t s 1 1 a est 3 2a7 2 Arc cos q A2 V12 3a F a Arccos Faire b 1 et c 1 dans A Bien s r il faut a lt 2 Mais les valeurs de a qui interviendront dans la suite seront toutes inf rieures 2 et de toutes fa ons la mesure a d une corde de S ne peut pas d passer le diam tre de S 2 IV L IMPOSSIBILIT DE PLACER PLUS DE 13 BOULES Soit un amas de plusieurs sph res unit toutes en contact avec la sph re cen
47. k lt d 1 Dans la partie 111 2 nous nous int ressons aux valeurs que peut prendre k pour une fraction donn e nous donnons dans certain cas un encadrement meilleur que le pr c dent Nous terminons l article IV en formulant une conjecture portant sur l ordre de grandeur moyen de la longueur de la p riode d une fraction de la forme m p 33 Fauillede V ignen 101 Oddre 2006 I D MONSTRATIONS DU TH OREME DE MIDY 1 1 La division usuelle formalisation et cons quences Le th or me de Midy nonce une propri t des chiffres de la p riode terme qu il nous faudra d finir du d veloppement d cimal d un nombre de la forme m p Regardons comment apparaissent ces chiffres lorsqu on effectue la division de m par p Nous pouvons sans perte de g n ralit supposer 0 lt m lt p Effectuons par exemple la division de 2 par 7 20 7 2 est plus petit que 7 on met donc un z ro derri re le 2 et on 6 0 3 dit en 20 il y a 3 fois 7 et il reste 6 ce qui revient effectuer la division euclidienne de 20 par 7 20 3x7 6 On obtient ainsi le premier chiffre apr s la virgule a 3 et un reste 7 6 On pose r m 2 on a ainsi effectu la division euclidienne de 107 par 7 20 7 On met un z ro derri re le 6 60 10 38 En 60 il y a 8 fois 7 et il reste 4 4 On effectue donc la division euclidienne de 60 10r par 7 60 8x7 4 On obtient ainsi le second chiffre apr s la virgule a 8 et
48. l que N a b et N c d a b c d positifs Supposons a gt b et c gt d comme les repr sentations sont distinctes on a a c et b Hd Supposons a gt c etb lt d posonsa c xetd b y Nous avons a b c d donc 2cx x 2by y 2cx x2 2by y est divisible par x et par y posons alors 2cx x 2by y xyz donc O pa X PR y PERA 2 2 2 2 Note de l diteur Note de l diteur Euler ne dit pas ici que x y z sont entiers De numeris qui sunt aggregata duorum quadrtorum Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 1752 FailledeV gnen 101 Oddre2006 15 x272 y2 y272 x Y _ 2 x 1 2 4 E 4 Si x y n est pas divisible par 4 alors cette somme est elle m me un diviseur de N donc N a2 b Et si x y est divisible par 4 ou un nombre compos quelconque alors certains de ses facteurs sont des diviseurs de N Comme x a c et y d b le nombre N a b c d admet pour diviseur a c d bY ou le quart de cette valeur et puisque nous pouvons intervertir a et b c et d entre eux les facteurs de N sont a d y c by ou puisque a b c d peuvent tre pris n gatifs nous pouvons avoir pour diviseurs a sE c a b ou a d c E b Soit encore le quart de ces valeurs Ainsi lorsqu un nombre admet deux repr sentations en sommes de carr s il est n cessairement compos Il poursuit Corollaire 1 Lorsque N a b c d
49. les deux courbes sont extr mement proches nx Nous avons obtenu cette deuxi me fonction par une m thode uniquement graphique 2 5e 17 2 58 077 2e 17 2e 07 1 5e 07 1 5e 07 1e 07 1e 07 5e 16 5e 067 0 6000 10000 15000 20000 25000 30000 0 5o00 10000 15000 20000 25000 30000 2 Sur les graphiques ci dessous nous avons repr sent la fonction xH F x Fr en utilisant deux plages nx de valeurs diff rentes afin de v rifier la vraisemblance de la constante 3 10 utilis e ci dessus Mais s il semble bien y avoir convergence de cette fonction vers un r el K la convergence est trop lente pour que l on puisse en donner une bonne estimation Nous nous contenterons de l approximation K 0 30 La premi re partie de notre conjecture peut donc tre formul e ainsi 2 La fonction x SE converge vers un r el K et Pona K 0 30 nx 7 lt p lt x 0 34 0 34 0 32 0 32 0 3 0 3 0 28 0 28 0 26 0 26 0 2000 4000 6000 8000 10000 0 20000 40000 60000 80000 100000 IV 3 Un quivalent quand x tend vers l infini de la fonction x gt gt P p lt x On d finit la suite c en posant c 1 si n est premier et c 0 sinon 46 On a ainsi De p D cn et on remarque que de x o m x est le nombre de nombres psx n lt x n lt x premiers inf rieurs ou gaux x Pour obtenir un quivalent de cette s rie nous allons utiliser une transformation d Abel Cette transformation est classique en th orie
50. licite Ici le remplacement se fait en deux temps courbe gt segment c t Voyons maintenant quelques difficult s rencontr es par les l ves lors de l utilisation de la fiche Tout d abord une mauvaise position des fl ches La droite AB passe par le cercle de centre O 13 La courbe passe par le point U 6 Dans cet exemple il est tentant de faire pointer la fl che qui part de point vers centre puisqu un centre est un point et d en conclure que la phrase est correcte D o la r gle Les fl ches qui partent des mots de la phrase type doivent toujours pointer le premier nom du groupe et non ses compl ments Dans notre jargon nous disons qu il faut viser la locomotive et non les wagons car la notion de compl ment de nom n est pas toujours tr s claire pour un l ve de sixi me Une autre r gle analogue est qu une fl che horizontale ne doit jamais passer au dessus du verbe sinon les wagons seraient mal accroch s 11 FailledeV ignen 101 Odare 2006 BESS LEE LEE En E II Sen OS DV A r Os O PT 4 La m diatrice de AB coupe le segment CD au point K 14 La courbe coupe la courbe au point 15 Ici seuls les crochets de la notation AB permettent de rep rer qu il s agit d un segment tandis que devant CD se trouve crit le mot segment ce qui peut inciter tracer la fl
51. m 1993 Spiegel Probabilit s Cours et probl mes S rie Schaum 1973 Lipschultz Formules ordinaires de probabilit s et de statistiques 1993 Frugier Probabilit s fortuites Exercices et probl mes 1993 Frugier Mathematical modeling for the life sciences 2005 Istas Martingales et cha nes de Markov 2000 Baldi Probabilit s Master Agr gation Tome 2 2004 Ouvrard L essentiel en th orie des probabilit s 2003 Jacod Protter Exercices de probabilit s Licence Master 2005 Cottrel Genon Catalot Weighing the odds A course in probability and statistics 2004 Williams Les casse t te math matiques de Sam Loyd 1970 Gardner Oedipeland La plan te nigmes 1997 Cohen Zardi Labidi Logique math matique 1971 Kleene Elemens de g om trie 1987 Clairaut Rapport sur les progr s de la g om trie 1870 Chasles TP et TD de topologie g n rale 1973 Faisant Physique et physiciens 1979 Massain Math matiques et math maticiens 1959 Dedron Itard Panoramath 4 Panorama 2006 des comp titions math matiques Cl ment Criton L induction statistique au lyc e illustr e par le tableur 2005 Dutarte A l cole des probabilit s 2006 Courtebras Clavius une cl pour Euclide au XVI me s 2005 Rommevaux G om trie diff rentielle et m canique analytique 1969 Godbillon Abr g d Histoire des math matiques 1700 1900 T 2 1978 Myst re des chiffres 2003 Stabilit structurelle et mo
52. ner les d monstrations que les marges trop troites ne permettaient pas de consigner un si cle plus t t En digne h ritier il sut enrichir le legs comme nul autre au si cle des Lumi res si ce n est dans le cr puscule de celles ci Legendre et Lagrange qui toutefois re urent peut tre davantage l h ritage transmis et enrichi par Euler lui m me que celui de Fermat Si l arithm tique avait t regard e davantage comme une activit ludique de l esprit que comme une discipline part enti re les travaux d Euler plus que ceux de quiconque mirent fin cette id e en introduisant l arithm tique au c ur des math matiques et au carrefour de nombreux domaines Euler laissait ses successeurs un immense continent explorer dont il avait b ti de ses mains sur les rivages des ports et des voies d acc s dans les terres inconnues sans doute l image des Tsars qu il servait et qui avaient fait jaillir Saint P tersbourg du n ant des marais de la N va Il proposa ainsi deux th or mes en cho Fermat gx 3 1 is 2 s gt Th or me 1 Un nombre premier p s crit de mani re unique sous la forme x y si et seulement si p est de la forme 4n 1 Th or me 2 Un nombre qui admet deux ou plusieurs repr sentations en somme de deux carr s n est pas premier mais est le produit d au moins deux facteurs Euler n eut que peu de peine tablir le second th or me Soit N un entier te
53. ommet d un graphe de Leech tel y de la figure 13 est minimal avec les donn es de la figure 13 XY et XZ maximaux YZ minimal que YZ soit on non un arc de G 1 Dans l annexe 3 la formule 3 1 sin es permet le calcul de la mesure de y ay4 a a af donne y Arcsin E 1 059 gt Z Donc il y a au plus 5 arcs aboutissant un sommet de G On dit que l ordre d un sommet quelconque de G est inf rieur ou gal 5 5 Cela entra ne que le nombre total d ar tes ne peut d passer 5 32 5 lt 33 ce qui est absurde Deuxi me cas G n a que des triangles et un seul quadrilat re Donc f f fa et f 1 D apr s E2 2a 3f 4 et f f 1 D apr s El 2s 2f 2a 4 3 f 1 4 4 3f 5 donc f 25 35 21 d o a 32 G poss derait donc 13 sommets 32 ar tes 21 faces triangulaires et un quadrilat re Soit x le nombre de sommets d ordre 5 de G Les autres sont d ordre au plus 4 Le double d nombrement des ar tes donne 64 2a lt 5 x 4 13 x x 52 d o x212 Ainsi il y a dans G 12 ou 13 sommets d ordre 5 Si x tait gal 13 tous les sommets de G seraient d ordre 5 ce qui entra nerait 2 a 5 s 65 c est impossible Donc G a 12 sommets d ordre 5 et un sommet d ordre 4 puisque le d nombrement des ar tes donne 64 2 a 5 x 12 4 Le sommet d ordre 4 appartient ou non au quadrilat re soient deux cas tudier 28 a Le sommet d ordre 4 appartient au quadrilat re Q
54. on crit LE 0 u u ona u u kx3 3 o k est gal P 1 2 ou 3 L essentiel de la d monstration tient au fait que la p riode de 1 p est divisible par 9 donc par 3 voir IT 1 1 4 Deuxi me d monstration du th or me de Midy On conserve les hypoth ses pr c dentes m p a une p riode de longueur paire 2s et on pose m a 0 uu avec U 4 4 A t U di Ap les chiffres a tant juxtapos s 10 m U UU On a alors s can E m 10 m 10 1 m Le Or 10 1 0 mod p d apr s la question B a donc est entier on en d duit P P que 0 u u 0 u u est entier Or cette somme est strictement comprise entre 0 et 2 on en d duit que O u u 0 u u 1 On pourrait presque crire Donc 0 u u 0 u u 0 999 donc u u 9 9 10 1 Mettons y quelque peu les formes On a Ouu 4 10 10 10 u 1077 10 Et 0 424 u 10 10 10 u 1077 107 D o 0 u u 0 u u u u x10 x 1 107 107 107 1 1 10 On en d duit que eo d o finalement u u 10 1 ce qui est pr cis ment le th or me de Midy 37 FailledeV ignen 101 Oddre2006 II UNE G N RALISATION IGNOR E PENDANT 167 ANS Es 0 142857 7 La p riode de 1 7 est de longueur divisible par 2 mais aussi par 3 et l on peut sur le mod le pr c dent former partir de 142857 trois nombres de m me longueur
55. onque On a 10r a P r on en d duit r 10r a p donc r 10x10 0 mod p On a donc 1 bien r 10 mod p b r 0 gt r 0 mod p gt 10 0 mod p On en d duit que p divise 10 2 x5 donc p 2 ou p 5 Par cons quent si p n est gal ni 2 ni 5 alors r 40 pour tout n c D apr s le th or me de Fermat on a 1077 1 mod p donc il existe bien un plus petit entier s v rifiant 10 1 mod p etona s lt p 1 Remarque il ne nous est pas indispensable ici de prouver que s divise p 1 mais il serait dommage d aborder ce sujet sans d montrer cette int ressante propri t On peut consulter ce sujet le Terracher Ferachoglou 2002 ex 75 p 391 d r mx10 mx10 x10 mx10 r mod p On en d duit d apr s la remarque faite la question a que r F n D autre part a d pend uniquement de r p est fix donc r r apus Zara Ceci tant vrai pour tout n 2 0 ona a a pour tout n21 Interpr tation le d veloppement d cimal de m p est p riodique et ceci d s la virgule Les r sultats obtenus l issue de cette question d nous autorise poser la d finition suivante D finition Si p est un nombre premier diff rent de 2 et diff rent de5 et si m est un entier premier avec p on appelle p riode de m p le nombre aja a form des s premi res d cimales de m p le chiffres a tant juxtapos s et non multipli s o s est le plus petit
56. ore donne CK yCH HK Le a a b c Dans ABC Al Kashi donne c a b 2 ab cos 4 d o cos 4 E E a Dans KCA Al Kashi donne AK KC b 2 b KC cos 4 d o apr s simplifications AK be a Enfin dans KHA le m me Al Kashi donne AK HK AH 2 HK AH cos y d o en rempla ant AK HK AH par leurs valeurs et en simplifiant 2 a b a b cos y ab V4 a V4 b 31 Feille V igen 101 Oddwe 206 Il suffit de permuter circulairement a b c pour avoir les deux autres angles et ensuite appliquer la formule d Albert Girard de l annexe 2 pour avoir l aire du triangle sph rique ABC de c t s a b c Formule de calcul de l aire de ABC de c t s a b c O 02 D 597 a PINCE LI I 2 a b c a b PA ECOS 2 b c a b c 2 c a b c a Aire ABC Arccos Arccos ab 4 a 4 p be 4 b 4 0 ca 4 c Y 4 a 2 T BIBLIOGRAPHIE Jeux de formes formes de jeux de Bernard Bettinelli IREM de Besan on 1984 Les math matiques aujourd hui Biblioth que POUR LA SCIENCE Belin L article Les empilements de sph res page 53 Les dessins ont tous t r alis s avec le logiciel WORD 97 et la barre d outils nomm e Dessin On peut ajouter cette barre en cliquant sur Affichage puis sur Barre d outils et en cochant Dessin 32 A utar dun r ultat m mnu le th reme de M dy 1836 Emmanuel MO
57. ormation et d valuation anim par D Gardes Depuis deux ans le QCM peut tre une forme d exercice d valuation donn au bac en math matiques De nombreux QCM apparaissent dans les manuels dans des sites math matiques Qu valuent ils Est ce une mode Pour r pondre ces questions nous essaierons de recenser les diff rents types de QCM rep rer leurs diff rences et leurs similitudes montrer que certains QCM permettent de d velopper certains comportements math matiques difficilement travaill s lors d exercices plus habituels 25 janvier 2007 9h 17h Lieu IREM Facult Sciences Mirande Journ e de formation organis e en collaboration avec l IUFM de Bourgogne DIDACTIQUE DES MATH MATIQUES ET ENSEIGNEMENT AU VU DES PROGRAMMES QUELLES MATHEMATIQUES ENSEIGNER POURQUOI COMMENT Andr PRESSIAT Ma tre de conf rences de math matiques l IUFM Orl ans Tours Objectifs de la formation Promouvoir une approche co disciplinaire des questions tudier au coll ge et au lyc e tout en revalorisant la place et le r le des math matiques Am liorer la justification de l tude des math matiques enseign es tant en ce qui concerne les secteurs traditionnels que ceux qui sont plus nouveaux Identifier les besoins math matiques du professeur induits par l volution des moyens de calcul et de repr sentation Contenus Mettre en vidence l int r t d un enseignement des math matiques s app
58. p c d alors q m2 n et la proposition est d montr e Euler d duit quelques corollaires de cette proposition Corollaire 1 Si la somme de deux carr s est divisible par un nombre premier lui m me somme de deux carr s le quotient qui en r sulte est galement somme de deux carr s Si la somme de deux carr s est divisible par l un des nombres premiers suivants 2 5 13 17 29 37 41 73 alors le quotient de la somme par ce nombre est somme de deux carr s Euler tablit alors la proposition suivante Proposition 2 Si le produit pq est somme de deux carr s et si le facteur q n est pas somme de deux carr s alors si le facteur p est premier il n est pas somme de deux carr s et s il n est pas premier il possede des facteurs premiers qui ne sont pas sommes de deux carr s Puis Proposition 3 Si la somme de deux carr s premiers entre eux a2 b est divisible par un nombre p alors il est possible de trouver une somme de deux carr s c2 d divisible par p telle que la somme TO sd c d soit inf rieure gt p D monstration Soit a2 b divisible par le nombre p comme a et b sont premiers entre eux on peut ERE 1 crire a mp c et b np d avec A On a alors a b m p2 2mcp c2 n p2 2ndp d Comme cette expression est divisible par p alors n cessairement d c l est aussi Comme ed lt zp alors c d lt Proposition 4 La somme de deux carr s premiers entre eux n est divisible
59. pas 10 1 sinon 10 1 mod p ce qui contredit le caract re minimal de 2s p divise donc 10 1 d o 10 1 mod p b r r m 10 10 m 10 10 x10 m 10 10 0 mod p De plus 0 lt r 7 d apr s la question A b et r r lt 2p 2 lt 2p donc r r s P c On a pour tout x x 1 lt E x lt x donc 8 lt E x E 10 x lt 10 De plus E x E 10 x est un entier donc E x E 10 x est gal 9 ou 10 Mais si x n est pas entier on a E x lt x donc E x E 10 x lt x 10 x 10 on en d duit E x E 10 x 9 d Pour tout n 21 a est le quotient dans la division euclidienne de 10r par p an est donc le plus SP o 107 i 10r _ grand entier inf rieur ou gal In on a donc bien a E e y P P 1 1 On en d duit que 4 4 Or E OP P p 10 10r Or Fa F p d apr s la question B b donc se e E ES P P On pose x x n est pas entier car p ne divise pas 10 et p ne divise pas r _ d apr s A b donc a a E x E 0 x 9 Et ceci pour tout n gt 1 e Il n y a qu effectuer na vement l addition On obtient 9 9 10 1 f 21 et 707 ne sont pas premiers 21 est un nombre de la forme 3p o p est un nombre premier diff rent de 2 et de 5 i 1 On peut montrer que dans ce cas si 1 p a une p riode paire et si m est premier avec 3p alors H D 1 ai a une p riode de m me longueur et si
60. re de grandeur moyen de d n est donc Inn de Dirichlet permet d affirmer que Si p est un nombre premier diff rent de 2 et de 5 s p est le plus petit entier non nul v rifiant 10 1 mod p L ensemble de d finition naturel de la fonction s tant l ensemble des nombres premiers il nous faut tendre un peu la d finition d un ordre de grandeur moyen On dira que la fonction g est un ordre de grandeur de s si gt s p y g p IV 2 La fonction s p On sait que s p divise p 1 7 lt p lt x T lt p lt x D apr s une c l bre conjecture d Emil Artin la proportion des nombres premiers v rifiant s p p 1 1 5 19 41 C serait 26202 2e _ DEP 037395581 p p premier P On le remarque ceci n est qu une conjecture peu de r sultats sont tablis concernant la fonction s On donne ci dessous les couples p s p pour p lt 500 7 6 11 2 13 6 17 16 19 18 23 22 29 28 31 15 37 3 41 5 43 21 47 46 53 13 59 58 61 60 67 33 71 35 73 8 79 13 83 41 89 44 97 96 101 4 103 34 107 53 109 108 113 112 127 42 131 130 137 8 139 46 149 148 151 75 157 78 163 81 167 166 173 43 179 178 181 180 191 95 193 192 197 98 199 99 211 30 223 222 227 113 229 228 233 232 239 7 241 30 251 50 257
61. rimaire et de l enseignement secondaire Etude de situations d apprentissage autour du raisonnement dans diff rents domaines exemples de productions d l ves proc dures et erreurs Pr sentation de diff rents manuels scolaires et de la place qu ils accordent ces questions R flexion sur les diff rents aspects du calcul mental calcul r fl chi et automatique Pourquoi comment et quand le mettre en place pour favoriser les apprentissages num riques et alg briques l cole et au coll ge D marche p dagogique Pr sentation des probl matiques sous forme d expos s suivis de d bats Travail en groupes sur l tude de documents ou de situation suivi d une restitution collective 10 mai 2007 Matin Intervention de Monsieur Jannin sur les machines calculer Apr s midi Nombres et proportion dans la peinture Mus e des Beaux Arts IREM ACTIVITES 2006 2007 Papillon retourner l IREM B P 47870 21078 Dijon cedex Nom Pr nom Etablissement Souhaite m inscrire L 5 octobre 2006 _ Journ e du 16 11 06 B COURTEBRAS amp P DUTARTE L journ e du 7 d cembre 2006 QCM outil de formation et d valuation _ Journ e du 25 01 07 A PRESSIAT _ Journ e du 22 03 07 B ANSELMO amp R CABASSUT _ Journ e du 10 05 07 _ Matin Intervention de Michel Jannin sur les machines calcul _ Mus e Nombre et proportion dans la peinture Visite du Mus e des Beaux Arts
62. rphogen se 1972 La vie r v e des maths 2001 15 ans de probl mes corrig s 1994 Math matiques Deug Sciences T 4 1997 Math matiques Sp ciales Analyse 2 1996 Maths T 3 1987 Math matiques 2 ann e de Deug T 2 1987 Math matiques pour le Deug Alg bre et g om trie 2001 Math matiques pour le Deug Analyse 2000 Analyse avec MAPLE 2000 Alg bre et g om trie avec MAPLE 2001 Acta Didactica Universitatis Comenianae Mathematics Issue 5 Trait de g om trie g om trie dans l espace 1922 Math matiques g n rales Agr gation interne 1991 Exercices de math matiques T 3 Analyse II 1980 Dieudonn Ouaknin Thom Berlinski Franchini Jacquens Azoulay Franchini Jacquens Liret Zisman Kree Vauthier Prochasson Prochasson Fredon Fredon Kostyrko Rouch Tissier Serfati L IREM remercie chaleureusement Tristan DERAY Robert FERACHOGLOU Suzanne GUELORGET Fr d ric METIN pour les dons d ouvrages qu ils ont faits sa biblioth que Production des IREM Information Math matique du n 1 au n 18 Cd Rom 2005 Aix Marseille Des math matiques en Sixi me 1996 Inter Irem Math matiques en liaison avec des probl mes concrets Volume 1 Aix Marseille Feuille de Vigne n 98 2005 Dijon Pour un suivi en arithm tique de la Troisi me la Terminale Toulouse Les syst mes plan taires dans la Gr ce antique 198
63. s T II 2006 Multim dia et proportionnalit MathEnPoche 2006 Feille V igen10 Oddve 26 Aix Marseille Aix Marseille Rennes Jax Pr me Michel LAFOND JEU 51 Ma montre avance d une minute toutes les 44 minutes Elle est l heure midi A quelle heure exacte les deux aiguilles seront elles de nouveau en co ncidence PROBL ME 51 La somme des chiffres de 2 147573952589676412928 est gale 110 Celle de 2 10141204801825835211973625643008 est aussi gale 110 D montrer que si les critures d cimales de 2 et 2 ont la m me somme de chiffres alors m n est un multiple de 6 Solutions JEU 50 Un joueur A choisit 5 entiers naturels X1 X2 X3 X4 X5 X Un joueur B essaie de deviner X Pour cela B pose une question du genre Q ai az az as as A lui r pond en lui donnant uniquement le r sultat du produit scalaire a1 X1 22 X2 a3 X3 a4 X4 3a5 X5 Ensuite B pose une autre question du genre Q bi b bz ba bs A lui donne le r sultat du produit scalaire bi x1 b2 x2 b3 x3 b4 X4 bs xs etc Quel est le nombre minimal de questions que B doit poser pour tre certain de trouver X Solution X1 X2 X3 X4 xs X est le quintuplet de A que B doit deviner Il suffit pour cela B de poser 2 questions En effet si la premi re question de B est Q 1 1 1 1 1 la r ponse de A sera Ri x1 X2 X3 X4 xs B sait mainten
64. ths dans d autres disciplines JEBRANE A 08 02 07 IREM 9436 Maths Utilisation des LABRUERE CHAZAL C 15 02 07 statistiques Journ es de formations Les enseignants int ress s par ces formations peuvent s inscrire l IREM qui sur demande enverra une convocation sous r serve d accord du chef d tablissement Les frais ne sont pas pris en charge par 1 IREM 5 octobre 2006 Lieu IREM Facult Sciences Mirande Matin 9h10 12h Accueil Budget politique d achat heures desco plan de formation 2006 2007 questions diverses de fonctionnement de l IREM Apr s midi 13h30 16H30 Pr sentation de tous les groupes de travail de l IREM Projets 2006 2007 Discussion et questions diverses 16 novembre 2006 9h 17h Lieu IREM Facult Sciences Mirande Journ e de formation organis e en collaboration avec l IUFM de Bourgogne FORMES ET SENS DES ENSEIGNEMENTS DE STATISTIQUES ET DE PROBABILIT S COURTEBRAS Bernard certifi au Coll ge de Saint Roch Bourg en Bresse 01 DUTARTE Philippe agr g au Lyc e E Branly Cr teil 94 Objectifs de la formation Permettre aux participants de mieux conna tre les probl matiques de l enseignement des probabilit s et des statistiques dans le secondaire et le sup rieur Donner une vision comparative critique des diff rentes approches D velopper la r flexion sur les aspects sociologiques historiques et moraux de cet enseignement Feille V igen10 Otde216 1
65. trale unit S La premi re chose faire est de se ramener un probl me 2 dimensions en rempla ant chaque boule de l amas par son point de contact avec S On obtient ainsi les sommets d un graphe G sur S Pour avoir les arcs du graphe relions deux sommets si et seulement si les sph res concern es sont tangentes La figure 10 ci dessous montre en coupe un arc XY du graphe Sph re centrale Figure 10 Dans le graphe G une face est un triangle lorsque trois sph res de l amas sont tangentes deux deux La face triangulaire est un triangle XYZ sph rique quilat ral qu on notera A Le centre Q de S et les centres des trois sph res forment un t tra dre r gulier de c t 2 donc X Y Z et Q forment un t tra dre r gulier unit Par suite les trois arcs de A mesurent La formule A2 avec a 1 donne aire A 3 x Arccos m 0 5512 Il est clair que aire A 0 5512 est l aire minimale d un triangle du graphe Si dans le graphe G une face est un quadrilat re son aire vaut au minimum 2 x aire A Si dans le graphe G une face est un pentagone son aire vaut au minimum 3 x aire A etc D apr s les formules E1 et E2 d Euler 2s 4 2a 2f 2a 3f 4f1 5fs donc 2s 4 3f 4fi 5f5 2 f5 a f f 2f 3f E3 Or l aire de S est la somme des aires des faces de G donc d apr s les minorations ci dessus 4 m gt aire A x fs 2 aire A x fa 3 aire A x fs
66. u 1 f En d duire que u u u 9 9 10 1 g Quelques exemples On donne Ac 0 076923 13 5 0 023255813953488372093 ie 0 010989 91 3 FE 0 428571 38 Calculer u u u dans chacun de ces cas Le dernier exemple appelle une remarque que vous formulerez h Le nombre p est d sormais un nombre premier tel que le d veloppement d cimal de 1 p a une p riode de longueur s divisible par 4 On crit Le O uu u u p Montrer que u u u 4 2x9 9 2x 10 1 o 4s s Commentaires et r ponses a La m thode est analogue celle utilis e pour r soudre la question B a On part de l identit 10 1 10 1 1 10 10 p divise 107 1 par d finition de s 3s et p ne divise pas 10 1 car s lt s On en d duit que p divise 1 10 10 s 2s b QuUUU U4 4 4 U t UU MU U P P 1 10 10 On ajoute 0 4 4 4 U 4 44 U U UUU P 1 10 10 De ee da eani Or est entier d apr s la question pr c dente donc 0 u u u 0 u uzu Ou u u est P entier Ces trois nombres sont strictement compris entre O et 1 donc 0 u u u 0 u uzu Ou u u est gal 1 ou 2 c On sait que pour tout entier naturel n ona r 10 mod p question A a donc To Fry r 1 10 107 0 mod p d apr s la question C a Or n l r lt p l etr lt p 1l donc ISh r n lt 2p 1
67. u u 10 1 ou u u u 2x 10 1 Nous prouverons un r sultat plus g n ral dans ce qui suit IIL 1 h La partie B montre que si 1 p a une p riode de longueur divisible par 2 alors on peut crire 1 p Ouu avec u u 9 9 La partie C montre que l on a un r sultat analogue si la longueur de la p riode est divisible par 3 on peut crire 1 p 0 u 4 4 avec u u u 9 9 Il est naturel de se poser la question et si la longueur de la p riode est divisible par 4 par 5 Soit p un nombre premier tel que la p riode de 1 p a une p riode de longueur s divisible par 4 On crit 0 4 u uu La longueur de cette p riode est aussi divisible par 2 on peut crire 0u 4 avec u 4 4 z a z les nombres u u tant juxtapos s u 4 U D apr s la partie B on a u u 9 9 2s chiffres 9 avec s 4s d o uu usu 9 9 10 u u u u Or 10 u u gt 10 gt 9 9 s chiffres 9 le nombre u u est donc un nombre qui se termine par s chiffres 9 Mais u lt 9 9 et u lt 9 9 s chiffres 9 dans les deux cas donc u u lt 19 98 lt 19 9 s chiffres 9 R capitulons u u est un nombre qui se termine par s chiffres 9 u u lt 19 9 avec s chiffres 9 On en d duit que u u 9 9 puis que u u 9 9 d o finalement u u u u 2x9 9 2x 10 1 Ce qui est le r sultat souhait 40 FailledeV ignen 1
68. u verbe tre seul En effet de telles phrases se rencontrent souvent en particulier dans les d finitions et les th or mes En voici deux exemples Le centre du cercle c est le milieu du diam tre AB 22 Un rectangle est un parall logramme qui a un angle droit 23 L important est ici de faire remarquer aux l ves que de chaque c t du verbe tre doit se trouver un objet de m me nature un point dans le cas de la phrase 22 un quadrilat re dans celui de la phrase 23 La formalisation de telles phrases conduirait la phrase type L objet L est l objet 1 24 dont le degr d abstraction d passe largement les possibilit s d un l ve moyen de sixi me De plus son fonctionnement serait diff rent des autres phrases types D une part n importe quel mot pouvant tre mis la place du mot objet son remplacement n apporterait aucune contrainte qui pourrait permettre de rejeter 12 les phrases incorrectes D autre part v rifier que chacun des deux objets est de m me nature conduirait placer une fl che au dessus du verbe tre contrairement notre deuxi me r gle et introduirait certainement plus de confusion que de clart Le centre du cercle c est le milieu du diam tre AB 22 L objet C est l objet O 24 Les inconv nients de l introduction d une telle phrase type d passent donc largement les avantages qu on peut esp rer en obtenir D ailleurs ce genre de phrases pose peu de probl mes
69. us la m me r ponse a b la question Q Il y a contradiction 2 est bien le nombre minimal de questions poser PROBL ME 50 ABC est un triangle quilat ral quelconque AB C1 dans le m me ordre que ABC est un triangle quilat ral quelconque BC2A2 dans le m me ordre que ABC est un triangle quilat ral quelconque CA3B3 dans le m me ordre que ABC est un triangle quilat ral quelconque I est le milieu de A2A3 J est le milieu de B Bs K est le milieu de C1C2 D montrer que IJK est un triangle quilat ral Solution Soient a b c les affixes de A B C dans le plan complexe az b3 b1 C1 C2 a2 celles de Az B3 Bi C1 C2 Az T 1 Posons w e w correspond la rotation de 1 3 dans le sens direct Ona b c w a c ci a w b a a b w c2 b 1 Les affixes de I J K sont respectivement 1 1 1 Zi a as Zi b bx Zk c c 2 gt gt 3 Pour d monter que IJK est quilat ral il suffit de d montrer que Zk Zi w Z Zi V rifions donc que 22 Zk Zi w Z Zi est bien nul En utilisant 1 et 2 on obtient 22 a c2 b a3 w bi a c2 b w b1 c b a w a3 c c2 b En remarquant que w w 1 il reste apr s simplifications 2Z a Cc w b a qui est nul car le triangle ABC est quilat ral C Q F D 8 U nepdite grammaire de la g m rie Alain MASCRET Coll ge La Champagne Gevrey Chambertin Qui d entre nous ne s
70. uyant plus fortement sur les grandeurs au coll ge mais galement au lyc e Proposer des techniques pour le professeur pour justifier l tude d un secteur des math matiques et pas seulement une notion figurant au programme Proposer des situations articulant l emploi d outils de calcul nouveaux calculatrices et TICE avec l enseignement de techniques et leurs justifications th oriques D marche p dagogique Mises en situation Travaux de groupes Expos s 22 mars 2007 9h 17h Lieu IREM Facult Sciences Mirande Journ e de formation organis e en collaboration avec l IUFM de Bourgogne L APPRENTISSAGE DU RAISONNEMENT ET LE CALCUL MENTAL DU PRIMAIRE AU SECONDAIRE Bernard ANSELMO certifi au Coll ge Marie Laurencin Tarare 69 Richard CABASSUT Agr g l IUFM de Strasbourg Objectifs de la formation Avoir une meilleure connaissance des programmes de math matiques de l cole primaire et du secondaire des ruptures et continuit s intra ou inter cycles des difficult s des l ves et de la place accord e l apprentissage du raisonnement et au calcul mental Avoir une meilleure connaissance de la place de l apprentissage du raisonnement dans certains domaines r solution de probl mes les nombres la g om trie grandeurs et mesures Contenus Place du raisonnement de l argumentation et de la d monstration dans les textes officiels des programmes et documents d accompagnement de l cole p

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