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1. l adresse http www sciences univ nantes fr sites genevieve tulloue Dans le premier cas les deux couleurs de traces d pendent des conditions BC2 gt AB2 AC ou BC2 lt AB2 AC Dans le second cas ces deux couleurs d pendent des conditions Angle BAC gt 90 ou Angle BAC lt 90 L exp rience consiste a d placer les points pilotes pour rep rer gr ce leurs traces les points A v rifiant les conditions ci dessus La r alisation de cette exp rience l exp rimentation qui lui est associ e produit un tr s grand nombre de donn es des traces qui sont interpr t es dans une tape ult rieure Notons que nous ne balayons pas tout le plan mais une zone relativement proche des points B et C Notons aussi que l utilisation de la vid o permet d viter d avoir r aliser la figure Cabri ce qui demande une certaine expertise mais aussi d avoir utiliser le logiciel Ce que l on obtient dans les deux cas c est une trace qui occupe semble t il le disque de diam tre BC et une autre qui occupe l ext rieur de ce disque Les interpr tations que l on fait peuvent se traduire sous forme de conjectures L ensemble des points A du plan v rifiant BC gt AB2 AC est l int rieur du disque de diam tre BC L ensemble des points A du plan v rifiant BC2 lt AB2 AC est l ext rieur du disque de diam tre BC Par voie de cons quence et appliquant le th or me des va
2. il resserre le lien bris par le texte lire Les exemples que j ai pr sent s ont illustr des d marches o les techniques d pendaient des cadres dans lesquels les investigations taient men es les cadres principaux ont t illustr s les cadres d ing nierie de mod lisation et scientifique Les vid os que je propose peuvent remplir bien d autres fonctions que nous allons d tailler dans la suite 6 D autres vid os pour d autres fonctions en liaison avec des d marches d investigation 6 1 Groupes de vid os pour sc nariser des s quences de cours Dans le cadre de la convention de recherche entre l IREM de Toulouse et le coll ge Anatole France de Casablanca ma collaboration avec Myriam Bouloc Rossato et certains de ses coll gues m a amen mettre au point des sc narisations de certaines s quences importantes du programme incluant une utilisation de la g om trie dynamique pour d velopper des d marches exp rimentales de d couverte Afin de diffuser le travail que nous avions r alis j ai enregistr pour chaque s quence des s ries de vid os qui sont pr sent es ci dessous 6 1 1 Sc nario pour le th me th or me de Pythagore Pr sentation de la s rie de vid os Ce sc nario se r sume en une s rie de 4 vid os dont les titres suivent avec leurs liens Notons que cette sc narisation est le fruit d un travail de plusieurs ann es avec des reprises des am liorations r sultant d e
3. Autre anecdote Andrew Wiles raconte dans Le dernier th or me de Fermat crit par Simon Singh qu au cours d un de ses moments de d couragement il s tait presque persuad que le th or me qu il cherchait d montrer tait probablement ind cidable Il est curieux de constater que la communaut math matique avance comme si G del n avait pas exist en esp rant que toujours la d monstration viendra en point d orgue du processus de d couverte 3 2 5 Le r le de la vid o dans cet exemple En quelques minutes une investigation est pr sent e r alis e les conjectures atteintes avec des techniques bien pr cises qui n cessiteraient expertise et temps pour tre mises en place En quelques minutes l information est transmise De plus comme on l a vu ci dessus cette vid o peut tre utilis e par le professeur comme un outil d investigation le mat riel est fourni l enseignant avec le mode d emploi pour tre utilis en situation de classe Cette vid o constitue donc une ressource part enti re une ressource pour la formation l information de l enseignant mais aussi une ressource pour la mise en place d une d marche exp rimentale pour aller vers la d couverte en utilisant des techniques qui font de cette d marche une investigation 3 3 Une investigation utilisant un param trage multiple niveau lyc e 3 3 1 Pr sentation de la vid o et sa lecture Cette investigation est pr sent e dans la vid
4. Description du principe de la repr sentation cartographique de Mercator de mani re ludique Notons qu en r alit ce n est qu une approche de la repr sentation de Mercator qui doit conserver les distances Notre repr sentation est en r alit la repr sentation d Archim de remarque d Etienne Ghys Mercator_m ridiens_paralleles l adresse http voutu be IYiZSWa Es 9 Visualisation simultan e du trac des fronti res d un pays sur le globe terrestre g n rant le trac de sa repr sentation de Mercator Mercator_repr sentations_pays l adresse http youtu be rgxD C2YS4k 10 Visualisation du ph nom ne de discontinuit dans la repr sentation de Mercator Mercator_discontinuit repr sentation l adresse http voutu be qYXnswhyCmc 11 Latitude et longitude sont illustr es par le trac simultan des demi m ridiens et des parall les sur le globe terrestre et sa repr sentation de Mercator Mercator longitude latitude l adresse http voutu be 76AoNba150s 12 On illustre de mani re exp rimentale la d formation de certains pays dans leur repr sentation de Mercator en raison de leur proximit des p les Mercator_Groenland_autres l adresse http voutu be fe85KY h4cc Derni re remarque l ensemble de ces vid os a t vu environ 6000 fois depuis leurs cr ations soit environ le quart des vues de la cha ne Ceci montre l importance de la coop ration avec d autres disciplines pour mettre au point des
5. de perpendicularit alors l galit des aires s en d duit On comprend ainsi que le logiciel d duit bien des conditions g om triques qui lui sont impos es qu une certaine propri t est v rifi e C est la d duction assist e par le logiciel dans tous les cas de figure que l on peut tester nous travaillons au niveau G2 Informatique derni re tape exp rimentale avant le niveau G2 c est a dire la d monstration qui reste a faire La troisi me vid o montre comment utiliser un fichier Cabri 2 Plus r alis pour le professeur afin qu il puisse montrer a sa classe un condens de toutes les investigations men es Un syst me de boutons Cacher Montrer permet de d tailler tout ce qui a t fait sans avoir a faire aucune construction La quatri me vid o d crit une investigation utilisant les lieux mous qui cherche a convaincre les l ves exp rimentalement de la v racit de la condition n cessaire et suffisante du th or me de Pythagore Cette vid o a t pr sent e et comment e au paragraphe 3 2 6 1 2 Sc nario pour le th me Triangle rectangle et cercle circonscrit Pr sentation de la s rie de vid os Ce sc nario se r sume en une s rie de 6 vid os dont les titres suivent avec leurs liens Il a t mis au point avec un coll gue qui pr parant son dossier de CAPES interne voulait d velopper une analyse de s quence qu il aurait exp riment en classe Nous avons donc mis au point
6. l ves est apparue tr s rapidement apr s que nous leur ayons pr sent un minimum de techniques A la fin de chaque ann e Myriam Bouloc Rossato a r alis un petit film en mettant bout bout les animations r alis es par les l ves du club Nous comptons faire cela cette ann e avec l atelier 3D et nous mettrons en ligne les r alisations des l ves comme le film post sur YouTube par notre coll gue italienne Carla Palmieri o les l ves utilisaient seulement Cabri 2 Plus Je vous conseille d aller voir cette remarquable vid o The wonderful World of Cabri Le fabuleux monde de Cabri l adresse http www youtube com watch v DfyOKPGoafE Cette mani re de travailler nous a t inspir par le travail r alis par Kate Mackrell de la Queen s University de Kingston qui a montr apr s une exp rience faite avec deux classes au Canada qu une utilisation cr atrive de Cabri 3D par les l ves n cessitait une initiation pr alable de quelques techniques de base comme celle cit e plus haut concernant la mod lisation de l ouverture d une porte 7 Les l ves entrent ainsi plus facilement dans le monde des figures vitant autant que faire se peut le monde plus statique du dessin 6 7 Vid os de conf rences concernant des articles d crivant des d couvertes exp rimentales Depuis que j utilise les environnements de g om trie dynamique Cabri j ai eu tr s souvent l occasion de cr er soit pour moi m
7. o Decomposition_ canonique dynamique consultable l adresse http youtu be CMC6RdZAkoE Vous pouvez la visualiser en double cliquant sur la vignette ci dessous P x av 2h Px 0 63 x 1 95 2 0 98 Cette vid o a t r alis e avec le fichier Cabri 2 Plus Decomposition_canonique fig 3 3 2 Pr sentation de l investigation L encore la vid o commence par la pr sentation du montage c est dire de la figure et de la mani re de la manipuler Le montage propose de faire appara tre gr ce un bouton Cacher Montrer la courbe repr sentative de la fonction p x u x v 2 w Ce montage propose aussi 3 curseurs pour commander les param tres u v et w Dans une premi re partie une premi re exp rience est propos e dont le protocole est le suivant utiliser les curseurs pour modifier les valeurs de 3 param tres afin d en induire l influence de ces param tres sur la forme de la courbe L exp rience est r alis e et permet d arriver une conjecture sur le d placement et la d formation de la courbe initiale qui semble pouvoir atteindre toutes formes paraboliques du plan m me si les domaines des curseurs sont restreints Cette premi re partie est une exploration car on cherche produire des donn es qui permettent de nous clairer sur les formes de courbes d pendant de 3 param tres sans a priori de chances d aboutir Cette exploration a t men e gr ce une exp rimentation g n
8. rerait l galit des valeurs de BC et AB AC ainsi qu une valeur d angle BAC gale 90 et ce quelle que soit la position du point A sur ce cercle et quel que soit le nombre de d cimales affich es Cela peut tre fait ais ment avec le logiciel en construisant le cercle de diam tre BC et en red finissant A sur ce cercle Peut tre se rendrait on compte du probl me pos par le positionnement de A sur B ou C probl me qui n en est pas un quand on se focalise sur le th or me de Pythagore qui n cessite l utilisation d un vrai triangle trois points Notons que l apparition de la conjecture se fait au niveau que nous avons qualifi de G1 Informatique v rification perceptive sur l cran de l ordinateur mais sur une figure calcul e par l ordinateur alors que la validation non effectu e ici mais qui fonctionne se fait un niveau plus proche de la d monstration la d monstration est au niveau G2 ce niveau de v rification est qualifi de G2 Informatique o le niveau de v rification est un niveau de d duction assist par le logiciel Ce niveau de v rification augmente le niveau de plausibilit de la conjecture ainsi v rifi e 3 2 4 Le doute le doute toujours le doute M me si cette investigation validative avait t men e et m me si elle avait corrobor notre conjecture nous ne pouvons garantir les galit s qu avec la pr cision apport e par la technologie De plus les v rif
9. 20 secondes ce qui correspond la moyenne pour l ensemble de la cha ne Cela signifie pour commencer que le temps pour communiquer est limit et l efficacit devrait nous conduire des vid os d une dur e n allant pas trop au del de la minute des exceptions pr s que nous voquerons plus loin Apr s ces g n ralit s d gageons les raisons qui peuvent justifier de la pertinence didactique d une telle vid o Pour cela faisons une premi re tentative pour d tailler les principales fonctions didactiques d une telle vid o Sa premi re fonction est de fournir un sc nario d investigation partir d un fichier tr s simple a construire o l enseignant d couvrira l approche empirique d une recherche et la mani re de la mener en classe Sa seconde fonction est de faire comprendre l enseignant qu une investigation est associ e une technique Sa troisi me fonction est d tre une ressource part enti re dans la mesure o la lecture de la vid o avec des pauses bien choisies doit permettre l enseignant d animer une recherche investigative avec sa classe comme s il disposait du fichier de g om trie dynamique utilis Sa quatri me fonction est de distiller une terminologie de l exp rimental avec des mots qui prennent sens dans leur contexte d utilisation exp rience exp rimentation conjecture validation et bien d autres et de familiariser les l ves avec des techniques d in
10. Si nous devinons une relation nous devrons la v rifier exp rimentalement au cours d une seconde exp rience Exploration c est l ex cution du protocole au cours duquel les donn es sont produites et visualis es Ce protocole et cette exploration sont d crits dans la vid o protocole_exploration1 accessible l adresse http youtu be LOvhpWkWkvI ou directement partir de la vignette suivante Cette vid o a t r alis e avec le fichier Cabri 3D protocole _exploration1 cg3 Interpr tation notre facult induire est mobilis e pour deviner partir des quelques donn es fournies une formule qui serait vraie dans le cas g n ral C est la phase de traitement inductif des donn es Cette interpr tation pourra se traduire par une conjecture nous aurons men une exp rience g n rative Cette interpr tation est d crite dans la vid o interp_exp_generative1 accessible l adresse http youtu be 1zMF5bdpsklou directement partir de la vignette suivante Tle phh 4 Vid o interp_exp_generative1 double clic sur l image pour d marrer la vid o Cette vid o a t r alis e avec le fichier Cabri 3D interp_exp_generative1 cg3 Lorsque nous faisons des v rifications exp rimentales nous parlons d exp rience validative Une telle exp rience est d crite dans la vid o interp_exp_validative1 accessible l adresse http youtu be RY1yZhm iYw ou directement partir de la
11. ces vid os est que le montage est fourni et que l activit peut se concentrer sur l exp rimentation g n rative qui est le c ur de investigation mise en place 6 4 Vid os pour mod liser des ph nom nes physiques interdisciplinarit Ces vid os ont fait l objet d un long article dans la rubrique Math matiques en environnement Multim dia de G rard Kuntz dans le bulletin vert N 502 de l APMEP pages 96 97 et 98 On y d couvre que ce travail est le point d orgue d une collaboration avec un professeur de G ographie du coll ge Anatole France de Casablanca Denis Baud Celui ci en me voyant travailler sur mon ordinateur avec Cabri 3D et Cabri 2 Plus a tout de suite compris ce qu il pourrait obtenir de mon expertise pour aborder les probl mes de cartographie qu il devait voquer en cours d histoire Je suis donc intervenu plusieurs fois dans ses classes de sixi me et de cinqui me pour illustrer dynamiquement et ludiquement la repr sentation de Mercator avec des fichiers Cabri 3D que j avais pr alablement cr s Devant l int r t des l ves face une telle approche j ai retravaill mes fichiers afin d en faire des vid os attractives D autres points en rapport avec la terre le soleil les saisons ont ensuite t abord s qui m ont donn l occasion de cr er finalement une s rie de 12 vid os dont les noms et les liens suivent Notons que ces vid os ont re u une appr ciation tr s positi
12. convexe du patron pli d un cube En r alit je d sirais savoir quand le volume de cette enveloppe convexe tait maximum J ai donc fait une investigation exp rimentale avec Cabri 3D qui m a fait rechercher le maximum du rapport des volumes de l enveloppe convexe et du cube initial Le param trage choisi fut l angle entre le plan horizontal et une face lat rale exprim en degr s sexag simaux L originalit de cette recherche est qu elle a conduit un rapport maximum de 4 014 pour un angle de 40 14 en excluant les d cimales suppl mentaires Cette pr cision a pu tre atteinte exp rimentalement avec Cabri 3D et a pu laiss croire en une relation lin aire du simple au d cuple entre ces deux expressions La d monstration utilisant des fonctions trigonom triques donne seulement la d cimale suivante commune 4 0141 pour 40 141 Ce travail a t pr sent au congr s ATCM 2007 5 Cette recherche a t r sum e dans la vid o pr c demment r f renc e Conference_JJ_ DAHAN_C2I_LYCEE_PARTIE_5 l adresse http youtu be FR9cb5 pVnA Ce type de vid o montre comment la technologie ici Cabri 3D et le calcul formel de la Voyage 200 peuvent inspirer et aider un chercheur dans ses investigations Noter que la technique d investigation utilis e ici est tr s l mentaire elle est du m me type que celle mobilis e pour les investigations men es pour d couvrir les volumes de la sph re et du dod ca dre Une telle vi
13. e pour p et voir si elle coincide avec celle de la fonction f dont on se proposait d effectuer la d composition canonique Si oui la d couverte est prouv e sinon la d couverte est fausse Il faudra donc r examiner les coefficients test s et voir comment les changer pour que le d veloppement se fasse comme attendu on est ramen a des techniques calculatoires papier crayon Finalement on a men une investigation g n rative suivie d une validation de type d monstration Le cadre d investigation est encore un cadre d ing ni rie par it ration on voit qu on a modifi les valeurs des param tres de mani re m thodique pour obtenir la superposition attendue Les modifications n ont pas t pratiqu es au hasard mais r sultent de la conjecture r sultat de l exploration pr liminaire 3 3 3 Le r le de la vid o dans cet exemple Plus que dans toute autre vid o la monstration du montage et du protocole permet d entrer tr s rapidement dans la d marche d investigation propos e et d y adh rer Le r le de ressource formation information pour l enseignant est encore flagrant ainsi que son utilisation possible en classe pilot e par le professeur Ajoutons un point non encore signal jusque l et concernant l information de l enseignant chaque vid o est accompagn e sur YouTube d un commentaire explicatif et parfois raisonnablement didactique Voici titre documentaire le commentaire qui accompagne cette vi
14. la validation est une technique de comparaison des donn es produites a celles g n r es par la formule conjectur e Quelques remarques sur l exp rimental Une exp rience se compose toujours m me si ce n est pas de mani re explicite des 4 maillons montage protocole exploration interpr tation En g om trie dynamique il y a interp n tration des deux premiers maillons car la mani re dont la figure est construite dicte la mani re dont celle ci peut tre manipul e L exploration consiste le plus souvent en la g n ration des donn es pertinentes Notons que de mani re plus g n rale une exploration est une mani re d agir propre nous faire avancer vers une meilleure connaissance d un ph nom ne d couvrir des indices permettant d avancer vers cette connaissance Nous remarquons que dans ce processus nous avons g n r deux s ries de donn es pour essayer de mettre en vidence une relation de proportionnalit Cela doit tre obtenu tout simplement en demandant d afficher le rapport des deux volumes qui seront produits par la r alisation de l exp rience puis en observant si ce rapport reste invariant ou pas Ce processus est une technique bien connue en sciences exp rimentales m me en math matiques quand on est amen deviner une formule qui sera ensuite tablie par r currence L utilisation d une telle technique qui nous donne beaucoup plus de chances de d couvrir un invariant nous fait basculer dans
15. le monde de l investigation Comme un enqu teur au cours d une enqu te criminelle qui va rechercher des donn es sp cifiques pour les traiter de mani re sp cifique recherche d empreintes digitales pour les comparer aux empreintes d un fichier r pertoriant des empreintes connues nous utilisons une technique qui nous donne des chances d aboutir sans la garantie finale de succ s D s qu une technique connue est utilis e dans une d marche exp rimentale nous parlerons d investigation I est bien vident que toute investigation puisqu elle est associ e a une technique s appuie sur des connaissances Des recherches r alis es en Angleterre dans le cadre du projet PACKS 2 ont d ailleurs men la cr ation d une preuve d investigation ouverte dont l objectif est plus de mesurer les connaissances des l ves l occasion des initiatives prises sur le probl me qui leur tait propos que leur aptitude r aliser des montages pour nous r aliser des figures dynamiques 2 1 5 Le r le de la vid o apr s ce premier exemple Cette vid o qui dure 3 minutes et 12 secondes est la seconde vid o la plus regard e de ma cha ne YouTube pr s de 2300 vues depuis plus de 90 pays diff rents soit environ 9 de toutes les vues notons qu ce jour la cha ne contient 120 vid os Celle ci a donc suscit un certain int r t Notons que la moyenne du temps de visualisation pour cette vid o est d environ 1minute et
16. me soit pour des stagiaires IUFM qui me les r clamaient soit pour des coll gues des sc narios de s quences int grant des parties exp rimentales mobilisant l utilisation de la g om trie dynamique Plusieurs fois j ai t amen cr er des fichiers Cabri relativement classiques sur lesquels je me suis laiss aller modifier des param tres par curiosit intellectuelle ou tout simplement par la curiosit naturelle du chercheur qui a horreur des cas particuliers et qui va toujours chercher plus loin que le bout de son nez Ce qu il y a de surprenant c est que plusieurs fois ces investigations qui partaient d une situation archi connue m ont amen des d couvertes inattendues Je dois reconna tre qu assez souvent ces d couvertes ne furent que des red couvertes de th or mes d j connus mais quelle satisfaction de voir que la m diation experte par Cabri m avait permis d galer m me tr s fugacement Chasles 3 Je ne rentrerai pas dans le d tail de ces d couvertes faites avec Cabri 2 Plus Je pr f re m attarder sur d autres d couvertes plus originales permises par Cabri 3D Les deux r sultats que je vais vous pr senter ont fait l objet d articles pr sent s aux cours des conf rences ATCM de 2007 a Taipei Taiwan et 2012 a Bangkok Thailande 6 7 1 Th or me du 4014 La possibilit de r aliser des patrons de poly dres convexes dans Cabri 3D fait que je me suis int ress l enveloppe
17. me vid o est la seconde aide institutionnalisation que m ne le professeur C est une d monstration assist e par Cabri 2 Plus de l une de deux propri t s pr c demment nonc es Le pas pas peut permettre au professeur de d rouler le raisonnement d ductif par un dialogue avec sa classe La sixi me et derni re vid o est un retour au probl me initial avec Cabri 3D pour r pondre la question dans l environnement o elle a t pos e Ceci montre l un des int r ts de la mod lisation qui est de pr voir 6 2 Vid os pour illustrer des d finitions dynamiquement 6 2 1 D finition du cosinus au niveau coll ge Cette vid o reprend un fichier Cabri professeur avec des boutons Cacher Montrer dont l objectif est double faire d couvrir de mani re exp rimentale invariant cosinus dans un triangle rectangle dynamique puis le prouver d ductivement La partie exp rimentale permet de d rouler une investigation permettant d tablir un lien lin aire entre deux s ries de donn es Cosinus l adresse http youtu be GpdxUh KpdA 6 2 2 D finition de la mesure d un angle en radian par enroulement Cette vid o illustre gr ce un fichier Cabri 2 Plus comment l enroulement d un fil autour d un cercle unit permet de d finir les mesures d angles en radians Enroulement_sur_cercle_trigonom trique l adresse http youtu be fMIx9EVQLFE 6 2 3 D finitions des fonctions trigonom triques niveau ly
18. que l intuition ou la pens e ont des facilit s pour cerner Le mod le abstrait qui rend compte d un ph nom ne concret et dans ce cas c est une transcription abstraite mais contr l e par la pens e logique et math matique d une r alit concr te empirique dont l tude directe ne donnerait que des relations approximatives 3 2 Une investigation utilisant la technique des lieux mous niveau coll ge 3 2 1 Pr sentation de la vid o et sa lecture Cette investigation est pr sent e dans la vid o Equivalence_de_Pythagore consultable l adresse http youtu be xVraGuiyNnk Vous pouvez la visualiser en double cliquant sur la vignette ci dessous Editon ROMA EE a BC 24 80cm AB2 AC2 24 79 cm Angle BAC 98 2 Cette vid o a t r alis e avec le fichier Cabri 2 Plus PREUVE_MOLLE fig 3 2 2 Pr sentation de l investigation Vous avez pu constater que cette exp rimentation commence par la pr sentation du montage deux triangles s appuyant sur une base BC de m me longueur et le sommet A qui peut tre d plac a partir d un point pilote un pour chaque triangle On montre ensuite que les d placements des deux points A g n rent des traces a chaque fois de deux couleurs diff rentes Cet effet a t obtenu par la technique des constructions conditionnelles de Genevi ve Tulloue Au passage je recommande fortement son site Figures anim es pour la physique
19. semble tre un nombre simple nous ne pouvons imaginer que cela puisse ne pas tre le cas Je dois d ailleurs reconna tre que je suis tomb sur cette investigation tout fait par hasard en pr parant la conf rence donn e en Juin 2012 devant la commission inter IREM lyc e r unie a Toulouse sur le th me de la d marche d investigation au lyc e Mon objectif tait l origine de trouver un exemple d investigation analogue au premier pr sent mais portant sur des objets moins connus Vous connaissez la suite Elle tient aussi au fait que d s qu on arrive une d couverte la phase de validation qui suit est toujours une phase tr s brouillonne o on fait preuve de moins de m ticulosit penser aux t moignages bien connus de Poincar et Hadamard Ici en particulier je navais pas pens augmenter le nombre de d cimales du quotient affich 1 50 Ce type de comportement avait d j t not dans ma th se quand on observait le niveau des techniques de validation qui suivaient imm diatement l apparition de la conjecture qu on pense tre la bonne dont le degr de plausibilit a d pass le seuil qui va faire que nous nous sentons convaincus Ce niveau dans les probl mes de g om trie est un niveau tr s l mentaire niveau G1 ou G1 informatique o la validation est essentiellement perceptive Nous avons compris le r le du doute dans cette d marche Douter jusqu une prochaine v rification jusqu
20. un carr c est dire avec les outils de mesure de Cabri Notons le travail possible permis par le logiciel sur la plausibilit croissante de la conjecture quand on fait afficher plus de d cimales des mesures affich es en particulier du 90 0 mesurant l un des angles d un quadrilat re sens tre un carr La seconde vid o illustre pour commencer la notion de protocole puisque les l ves doivent ex cuter une s rie d actions bien pr cises afficher 3 mesures d aires en additionner deux en vue de comparer cette somme la troisi me mesure Ensuite ils doivent mener une investigation dans la mesure o ils doivent exp rimenter en utilisant une technique bien pr cise cette technique consiste d former le triangle ABC en d pla ant le point A jusqu rep rer une position o deux des nombres affich es semblent tre gaux somme des aires des carr s s appuyant sur les c t s issus de A gale laire du carr s appuyant sur BC Une telle position est rep r e par un point confetti qui d finit un triangle ABC solution Plusieurs triangles solutions sont ainsi construits jusqu ce que la conjecture merge le triangle doit tre rectangle Cette investigation est donc men e dans un cadre d ing nierie it ratif et aussi par essai erreur L exp rimentation qui sous tend cette investigation est du type g n ratif Il est bien sp cifi dans la vid o que le professeur doit sentir le moment o
21. un sc nario initial qui a t test en classe En fonction des observations que nous avons pu faire ce sc nario a t une premi re fois modifi avant d tre test cette fois par Myriam Bouloc Rossato dans deux de ses classes Le sc nario qui suit est celui auquel nous nous sommes arr t s apr s trois s ries d exp rimentations en classe triangle rectangle_1 l adresse http youtu be tCjT P9VV A triangle rectangle_2 l adresse http youtu be x6RsbObY40c triangle rectangle_3 l adresse http youtu be 96kiN yJHvk triangle rectangle_4 l adresse http youtu be rB5AAlcDsCc triangle rectangle_5 l adresse http youtu be 1zTNafk3AHs triangle rectangle_6 l adresse http youtu be 90skBloT9D8 nee mee pure men reem see FRE g Pa Le ea E Ac 330 94 Vignettes des vid os triangle_rectangle_3 et triangle_rectangle_6 Contenu des vid os On utilise Cabri 3D dans la premi re vid o pour introduire notre probl me de mani re ludique partir d un probl me de chasse au tr sor Sa mod lisation est r alis e dans un second fichier Cabri 2 Plus montr dans la seconde vid o fourni aux l ves qui ex cutent les consignes donn es La premi re de ces consignes est la prise en main de la figure c est le montage La seconde consiste en la r alisation d une investigation permettant de rep rer des points voyant un segment sous un angle de 90 Cette investigation men e par essai erreur est un
22. 7 fr 5 Dahan J J 2007 Two explorations with Cabri 3D leading to two theorems The maximum of the volume of the convex envelope of a net of a cube Quasi tessellations of a cylinder with isosceles triangles linked to the Schwarz paradox in Proceedings ATCM 2007 Taipei Taiwan http atcm mathandtech org EP2007 Contributed Papers Math Research Combine df pages 50 a 52 6 Andersen K 2007 The Geometry of an Art The History of the Mathematical Theory of Perspective from Alberti to Monge Springer New York 7 Mackrell K 2007 Cabri 3d An Environment for Purposeful Mathematical Activity in Proceedings Rencontre annuelle du Groupe Canadien de Math matiques http publish edu uwo ca cmesg pdf cmesg2007 pdf 8 Dahan J J 2008 Les param tres didactiques cruciaux pour comprendre l int gration de l exp rimental dans la pratique et l enseignement de la g om trie Exemplification gr ce a Cabri 2 Plus et Cabri 3D in proceedings of 5th International Colloquium on the Didactics of Mathematics University of Crete Rethymnon 9 Dahan J J 2012 A didactical transposition of the perspective theorem of Guidobaldo Del Monte with Cabri 3D in Proceedings ATCM 2012 Bangkok Thailand http atcm mathandtech org EP2012 regular papers 3472012 19914 pdf
23. Il pa jamais t question de d crire une vraie recherche avec toutes ses phases successives qui ne d roule pas les phases d crites plus haut dans l ordre id al propos Une vraie recherche est une sorte de patchwork des phases d crites avec des aller retours des r p titions 7 4 Bilan final sur les fonctions affect es aux vid os que je mets en ligne Apr s ce long expos il ressort que j affecte a toutes ces vid os une fonction de formation en direction de nos coll gues qui sont submerg s de responsabilit s nouvelles sur des comp tences qu ils n ont jamais acquises durant leur cursus universitaire La formation continue tant en train de mourir dans notre pays on voit mal comment ils peuvent se recycler C est pourquoi j estime que mettre disposition du plus grand nombre le fruit de mon expertise et les r sultats de toutes les recherches men es avec les professeurs du terrain gr ce a des conventions initi es par IREM de Toulouse fait partie de mon devoir IREMien de formateur aussi bien que de chercheur J ai montr toute une s rie de fonctions de mes vid os la liste ne se veut pas exhaustive mais au contraire elle se veut un point de d part pour des recherches ult rieures sur une classification de ces fonctions Ceci permettrait aux futurs auteurs de vid os de respecter une sorte de cahier des charges qui permettrait aux utilisateurs de s y retrouver Comme je l ai montr parmi les fonctions rep r
24. QUZ5ips Filou l adresse http voutu be 7H8LItaMw7s LETTRE R l adresse http youtu be tb8S3zv52fY Filou_avec_spheres l adresse http youtu be J6U8bUAs3RY INITIATION_CABRI_3D_LETTRE_V l adresse http youtu be zgECqeAdhNg Initiation_Cabri_3D_Chewing_ gum l adresse http youtu be mFZ7z3h57qM Cette mise disposition en ligne a permis aux l ves de l atelier de reprendre chez eux les techniques que nous leur avons apprises Cela permettait aux l ves absents de se tenir au courant du travail qu ils avaient pu manquer Cela constitue aussi une excellente initiation l utilisation de ce logiciel pour aborder de mani re ludique la g om trie dans l espace Les deux objectifs que nous visons avec cet atelier sont les suivants 1 Enseigner des techniques de base pour cr er des animations ces techniques mobilisent des connaissances math matiques qui le sont sans qu on ait a les enseigner Par exemple la mod lisation de l ouverture d une porte n cessite l utilisation de l outil rotation dans l espace que nous avons utilis sans le d finir Son utilisation participe la compr hension du concept 2 Laisser libre cours l imagination cr ative des l ves et continuer diffuser des techniques la demande Nous avions d j fix ces deux objectifs l atelier de g om trie dynamique 2D utilisant Cabri 2 Plus que nous avions pilot pendant 3 ans au coll ge Anatole France La partie cr atrice des
25. Vid os et d marche d investigation Jean Jacques Dahan IREM de Toulouse Science sans conscience n est que ruine de l me Fran ois Rabelais 1 Introduction 1 1 De l apparition des technologies la d marche d investigation Avant que les premi res calculatrices au milieu des ann es 70 ne renvoient les tables de logarithmes aux oubliettes des exercices taient propos s au baccalaur at qui n cessitaient la ma trise et l utilisation de ces tables Bouvard et Ratinet Il n a pas fallu plus de deux ans pour que de tels exercices disparaissent des pratiques de classe et de l examen Les tables num riques de Laborde comme les r gles calculs furent des outils indispensables pour l preuve de calcul num rique des concours d entr e aux grandes coles L aussi les performances croissantes et les prix d croissants des calculatrices ont fait dispara tre de telles preuves Le remplacement d outils calculatoires sur support papier par les nouveaux outils informatiques d abord les simples calculatrices puis les calculatrices programmables puis les calculatrices graphiques a perturb pendant longtemps les enseignants de math matiques qui avaient l impression de perdre du temps d enseignement en initiant leurs l ves ne serait ce qu la programmation des valeurs d une fonction Je ne parle pas des critiques abondantes faites ceux qui utilisaient en classe des calculatrices pour traiter des donn es afin d es
26. a mobiliser notre aptitude induire qu on nomme intuition ce qui caract rise plut t un raisonnement de type empiriste en r gle g n rale oppos un raisonnement de type rationaliste Rappelons qu un raisonnement est un processus cognitif qui permet d obtenir de nouveaux r sultats ou de v rifier un fait en faisant appel diff rentes lois ou exp riences quel que soit leur domaine d application 2 1 2 Pr sentation de l exp rience 1 Montage on construit une sph re et le cylindre circonscrit cette sph re Notons R le rayon de cette sph re le cylindre a une base circulaire de rayon R et comme hauteur 2R Nous savons donc que son volume Vc est donn par la formule 2IIR3 Le rayon de la sph re peut tre modifi en d pla ant un point du cercle de base de son cylindre circonscrit Notre but est d exp rimenter dans le but de deviner la formule donnant le volume Vs de la sph re en fonction de R Ce montage est d crit dans la vid o montagel accessible l adresse http voutu be 91quEcBbXEO ou directement partir de la vignette suivante EELEE Cette vid o a t r alis e avec le fichier Cabri 3D montage1 cg3 Protocole c est la planification de ce qui devra tre entrepris dans la phase suivante d exploration Nous devrons afficher les volumes respectifs du cylindre et de la sph re fournis par le logiciel puis observer les variations relatives de ces donn es quand on modifiera R
27. activit s d investigation Ces investigations peuvent mobiliser des exp rimentations g n ratives pour faire d couvrir des ph nom nes longueur du jour suivant la latitude par exemple ou des exp rimentations validatives pour v rifier des lois connues ph nom ne des saisons par exemple 6 5 Vid os d information th oriques et pratiques vid os de PowerPoints 6 5 1 Pour une information th orique sur la d marche exp rimentale Une information th orique un peu plus approfondie que cet article a t donn e au cours de la pr sentation que j ai faite au cours de la r union de la C2I lyc e qui a eu lieu l IREM de Toulouse en Juin 2012 Cette pr sentation portait sur la d marche d investigation en lyc e d o certains des exemples pr sent s ont t repris J ai enregistr le Powerpoint de cette pr sentation en format vid o avec les commentaires originaux sur ma cha ne YouTube L int gralit de la pr sentation est disponible dans les 7 vid os qui suivent Conference_JJ_DAHAN_C2I_LYCEE_ PARTIE _1 l adresse http youtu be m2gipOKCqBU Conference_JJ_ DAHAN_C2I_LYCEE_PARTIE_2 l adresse http youtu be KkqR6CV81Ws Conference_JJ_ DAHAN_C2I_LYCEE_PARTIE_3 l adresse http youtu be oMNsAapZsCA Conference_JJ_ DAHAN_C2I_LYCEE_PARTIE_4 l adresse http youtu be A2L1hPbFrlA Conference_JJ_ DAHAN_C2I_LYCEE_PARTIE_5 l adresse http youtu be FR9cb5 pVnA Conference_JJ_ DAHAN_C2I_LYCEE_PARTIE_6 l adresse http
28. airement Les amateurs de perspective en particulier les photographes trouveront une justification enfin disponible dans le langage d aujourd hui de l existence de ces points de fuite 7 Conclusions 7 1 D composition formelle d une d marche de d couverte exp rimentale m di e par la technologie 4 Nous n avons pas voqu la mani re dont la d marche de d couverte se d roule id alement suivant le mod le que j ai mis en vidence dans ma th se Nous devons le faire bri vement pour voir si la d marche d investigation si abondamment illustr e par les vid os pr sent es suit ce mod le En quelques mots cette d marche se d compose comme suit Trois phases pr conjecture La phase de recherche erratique La phase de recherche ordonn e La phase d acc l ration de la recherche qui m ne Une phase de conjecture Deux phases post conjecture La phase de validation un premier niveau G1 Informatique en g om trie La phase de validation un second niveau G2 Informatique en g om trie En une phase de conclusion provisoire Enonc d une conjecture fortement plausible Cette conclusion doit tre l ouverture vers une phase de doute qui doit mener d autres tentatives de validations exp rimentales tant qu une preuve d ductive ne vient mettre un point d orgue final la d marche 7 2 Vers une d composition formelle de la d marche d investigation La phase de recherche erratiqu
29. c e Les fonctions trigonom triques y sont d finies par les coordonn es d un point convenable sur le cercle trigonom trique Les propri t s imm diates sont d gag es la fois visuellement et d ductivement L approche avec le logiciel permet de montrer comment le changement du nombre consid r fait changer la position du point qui d finit les sinus et cosinus de ce nombre La visualisation de cette vid o par les l ves leur permet une approche dynamique de la d finition donc plus riche pour l appr hension du concept Definitions_sinus_et_cosinus l adresse http youtu be EWXOLqBxUO4 Une s rie de deux autres vid os permet de construire dynamiquement les courbes repr sentatives de ces deux fonctions a partir de la d finition pr c dente On utilise la technique de la monstration dans le sens donn par Joshua 1 c est a dire une exp rimentation dont les donn es produites suffisent convaincre l exp rimentateur de ce qu il inf re que Joshua appelle une exp rience cruciale Courbe_de_la_fonction_sinus l adresse http youtu be VvrirM960Wc Courbe _de la_fonction_cosinus l adresse http youtu be RegH5C31or4 6 3 Vid os pour sc nariser des th or mes avec Cabri 2 Plus Nous allons pr senter deux exemples avec des objectifs qui sont les m mes d couvrir un th or me mais avec des finalit s diff rentes Essentiellement le premier et le troisi me permettront la d couverte exp rimentale d un th or
30. ciel comme Cabri 2 Plus Notons en particulier que l investigation que nous venons d voquer a donn lieu a des va et vient entre l environnement informatique et l environnement papier crayon dik a 6 6 Vid os pour accompagner des activit s d ateliers de g om trie dynamique Dans le cadre de la convention cit e plus haut Myriam Bouloc Rossato a pu mettre en place au lyc e Lyautey de Casablanca un atelier de g om trie dynamique 3D que nous animons ensemble Dans un premier temps pour faire conna tre l existence de cet atelier j ai r alis trois vid os pour montrer les possibilit s d animation avec le logiciel Cabri 3D que le coll ge a acquis entre temps Ces vid os ont t mises en ligne sur le site du Lyc e Voici ces vid os Claude_en_manege m4v l adresse htip youtu be mNS06owreml Swinging_Claude m4v l adresse http youtu be boq9YZoRjO 1 2 3 m4v l adresse http youtu be N86E0yett6g Une fois l atelier en route les vid os d taillant le pas pas des techniques enseign es chaque s ance ont t mises en ligne imm diatement apr s chaque s ance Voici quelques exemples des vignettes de ces vid os telles qu elles apparaissent sur YouTube Et voici toutes les vid os publi es ce jour Initiation_Cabri_3D_bouliers l adresse http voutu be MOWE8qP6kls petite maison_3D l adresse http youtu be hX45Hnz3_Ac Initiation_Cabri_3D_manege_1 l adresse http youtu be XHEj
31. d o Cette vid o r alis e avec Cabri 2 Plus montre exp rimentalement comment on peut d couvrir la d composition canonique d un trin me du second degr On visualise d abord les courbes de fonctions y u x v 2 w pour prendre conscience qu elles semblent prendre les positions de toutes les paraboles du plan On donne ensuite deux exemples qui permettent de superposer de telles courbes des paraboles donn es et donc d couvrir des valeurs approximatives des coefficients de la d composition canonique d un trin me donn il faudra au final prouver la v racit de la conjecture en d veloppant l expression d couverte et constater qu on retrouve bien le trin me dont on se proposait de r aliser la d composition canonique On peut constater que je suis rest tr s raisonnable concernant les intentions didactiques seul le terme conjecture appara t N anmoins le montage et le protocole sont succinctement d crits Pour les utilisateurs de ma cha ne je conseille vivement de prendre connaissance de ces commentaires ils permettent souvent quand la vid o est plus longue que la normale de se faire la fois une id e du contenu et de mes intentions avant visualisation 4 Deux nouvelles investigations pour illustrer les cadres de mod lisation 4 1 Mod lisation des perspectives cavali res et militaires d un cube 4 1 1 Deux investigations distinctes dans deux vid os Ces deux perspectives qui sont des perspectives axo
32. d o peut donc montrer aux l ves qu une recherche peut d marrer simplement avec des id es simples mais surtout des techniques qui enrichissent les investigations n cessaires mais pas toujours suffisantes la d couverte Derni re remarque cette investigation n est que la premi re d une s rie d investigations sur une recherche qui est toujours en cours et qui doit mener une mise en vidence d invariants dans des probl mes du type de celui pr sent 6 7 2 Th or me de Guidobaldo Del Monte et ses g n ralisations Quelquefois les themes de recherche peuvent tre le fruit du hasard et de la n cessit Ce fut le cas de celui ci Apr s le travail sur la g ographie initi par un coll gue de coll ge j ai t sollicit par ce m me coll gue Denis Baud et sa femme Katia Baud enseignant elle les Lettres pour pr parer leurs l ves a un concours de photographies dont le th me tait Math matiques dans la ville Ces deux coll gues d siraient que je sensibilise leurs l ves la perspective avant qu ils ne se jettent dans l aventure photographique Sp cialiste des perspectives axonom triques avec Cabri 2 Plus j avais assez de fichiers pour leur faire comprendre le principe de la perspective cavali re Mais ne m tant jamais sp cialement int ress a la perspective centrale il a fallu que je me documente sur ce type de repr sentation avec leurs points de fuite J ai pu tr s rapidement a pa
33. e tait interactif toutes les figures pouvaient tre anim es en ligne gr ce a l utilisation des ActiveX de Cabri Mais la grande originalit fut de cr er une vid o pour chaque figure qui en d taillait la sc narisation 23 vid os post es sur YouTube ont constitu l amorce de ma chaine dont nous allons parler dans la suite de cet article Cette cha ne est accessible a l adresse mustangbase elle contient a ce jour environ 120 vid os visualis es environ 26000 fois depuis plus de 130 pays le pourcentage de vues en France est de 45 Le pilier central de tout ce travail est ma recherche soutenue par l INRP qui a conduit en 2005 la soutenance d une th se 4 sur la d marche exp rimentale m di e par la technologie en math matiques t l chargeable l adresse http tel archives ouvertes fr tel 00356107 fr La suite logique de cette recherche consista en une collaboration avec des professeurs du terrain convention de recherche entre l IREM de Toulouse et le coll ge Anatole France de Casablanca puis le p le Casablanca de l AEFE pour essayer de d gager un format pertinent de ressources qui puissent tre facilement consultables et utilisables sans ventuellement avoir de connaissances sp cifiques sur un logiciel Leur format devait permettre 1 Une information formation de l enseignant sur ce qu est la d marche exp rimentale de d couverte en g n ral et la d marche d investigation avec
34. e tant une phase d exp rimentation g n rant des donn es que l exp rimentateur n arrive pas interpr ter ne peut tre une phase de la d marche d investigation Cette phase serait plus typiquement une phase d exploration c est dire une phase o on se familiarise avec le probl me plus qu on ne le recherche La phase de recherche ordonn e tant une phase o l exp rimentateur se focalise sur une situation particuli re un sous probl me particulier cette phase peut donner lieu une investigation si l exp rimentateur avance dans cette phase en s aidant de techniques reconnues C est une phase critique o l on sent l aptitude la recherche se montrer car les exp rimentations men es sont g n ratives et donc mobilisent l intuition du chercheur pour la d couverte La phase d acc l ration de la recherche tant la phase o une conjecture fortement convaincante tr s plausible appara t et o l exp rimentateur tente de mani re brouillonne de la valider c est une phase typiquement d investigation En effet chaque v rification met en jeu une technique sp cifique m me si elle est simple et men e sans beaucoup d application gr ce des exp rimentations validatives Apr s l mission de la conjecture Les phases de validations au niveau perceptif ou au niveau d ductif du logiciel sont encore des phases fortement investigatives car associ es des techniques utilis es pour mener des exp rimentation
35. e curieusement semblable c est dire que Vs 1 5 Vp et donc que Vp 3 Vs Enfin le volume du dod ca dre serait donn par la formule Vp SUR soit Vp SOR 9 Je dois avouer que j ai t fort surpris par le r sultat de cette investigation Je me sentais assez fier d avoir d couvert un r sultat aussi simple avec une investigation somme toute l mentaire Mais vous l avez vu si vous avez visionn la vid o jusqu au bout j ai ressenti un plus grand plaisir quand mes tentatives de validation se sont sold es par un rejet de cette conjecture En effet le probl me crucial qui se pose l enseignant de math matique qui alterne des phases empiriques et des phases de d ductions logiques est le suivant comment choisir la bonne investigation qui va faire que nos l ves exp rimentateurs doutent m me de leurs inf rences les plus s res Un tel exemple venant juste apr s le pr c dent me semble tre la bonne investigation ou du moins une investigation adapt e La bonne formule pour le volume du dod ca dre est la suivante Volume dod ca dre 5 5 V5 R o R est le rayon de sa sph re circonscrite Pour plus d information consulter le document en ligne de Benjamin Barras sur les poly dres r guliers l adresse http boitamath free fr FAC agregation geometrie espace pdf Notons que nous aurions pu mener une exp rimentation validative pour confirmer cette formule il aurait fallu calculer cette express
36. e investigation dans un cadre d ing nierie par essai erreur puis par it ration Cette investigation est men e en menant des exp rimentations g n ratives g n rant la d couverte du cercle de diam tre le segment en question La d couverte est valid e perceptivement niveau G1 informatique On montre comment on peut valider au niveau G2 informatique par une red finition sur ce cercle C est la technique par essai erreur pour d couvrir des positions r pondant la question qui justifie ici le qualificatif d investigation Dans la troisi me vid o on montre comment le professeur peut r aliser avec son propre fichier le bilan de la recherche men e par les l ves Il a en prime la possibilit de faire plus d essais que les l ves par un balayage de l cran qui laisse des traces de couleurs diff rentes suivant que le segment est vu de notre point manipul suivant un angle plus grand ou plus petit que 90 technique des constructions molles Cela permet de corroborer la conjecture mise par les l ves Il finit par un nonc de la propri t d couverte dans un langage compr hensible par les l ves Ce fichier est donc une premi re aide l institutionnalisation La quatri me vid o permet au professeur de faire noncer la propri t trouv e sous forme de deux nonc s du type si alors Un jeu d animations et de couleurs permet cette aide une approche plus formelle de telles propri t s La cinqui
37. es voici celles qui me paraissent essentielles D crire des situations de cours o le professeur m ne ou fait mener des d marches d investigation pour d couvrir ou faire d couvrir des th or mes qui seront ventuellement d montr s il vaut mieux initier une d marche de d couverte exp rimentale pour mettre en vidence un r sultat qui sera finalement admis que l admettre ex abrupto Bien mettre en vidence les techniques utilis es qui sont la caract ristique de la d marche d investigation Distiller r guli rement des exemples de rejets de conjecture pourtant rendues fortement plausibles par les exp rimentations d crites D crire gr ce des s ries de vid os des sc narisations de s quences compl tes sur une partie de cours bien pr cise Mettre en sc ne en utilisant la dynamicit de la g om trie dynamique relay e par le format vid o des notions difficiles ma triser y compris par le professeur Permettre un suivi en ligne d activit s r alis es en classe surtout si celles ci ont utilis des technologies particuli res Montrer des investigations un niveau plus lev que le niveau coll ge ou lyc e pour d mystifier notre discipline qui reste une discipline essentiellement exp rimentale m me si un niveau professionnel des connaissances des savoir faire calculatoires des m thodes sont indispensables pour pouvoir mener avec succ s la phase ultime de toute recherche math matiq
38. ications n auront t faites que pour un nombre limit de points du plan m me si ce nombre est important Enfin rappelons un point que j ai d couvert au cours de mon travail de th se on peut acc der dans le carr d termin par 4 pixels contigus d un cran environ 64 milliards de points sur lesquels on peut faire toutes les v rifications permises sur les figures construites du moins sous Cabri 2 Plus dans l environnement Windows et avec l ordinateur utilis l poque cette remarque montre que la plausibilit de notre conjecture reste entach e par le nombre infinit simal de v rifications que nous pourrions faire Mais c est la magie de l intuition la magie de l induction et la beaut des math matiques qui nous am nent a d couvrir partir de poussi res d toiles des propri t s de l Univers Tout cela pour rappeler qu en sciences le doute est permanent en attendant la prochaine validation mais qu en math matiques on peut quelquefois avoir le dernier mot avec la d monstration N anmoins restons extr mement modestes n oublions pas que G del avec ses th or mes d incompl tude a d finitivement enterr les certitudes que nous aurions pu avoir ce sujet Paul Cohen a magistralement enfonc le clou en d montrant que l hypoth se du continu tait ind cidable il a d ailleurs obtenu en 1966 la m daille Fields pour ses travaux en liaison avec ce r sultat en appliquant la m thode du forcing
39. il doit donner la parole aux diff rents groupes de chercheurs pour faire merger la bonne conjecture dans un processus de d bat qu il doit ma triser Ce n est qu ensuite qu il remet ses l ves en activit d exp rimentation validative en leur proposant de valider la conjecture mise par le groupe classe en utilisant les outils de Cabri On montre les investigations men es par les l ves qui consistent en une exp rimentation validative o ils mesurent les angles A des triangles rep r s par des confettis Les mesures obtenues sont proches de 90 Il est noter que bien que n obtenant pas exactement 90 les l ves consid rent qu ils n invalident pas la conjecture ils ont une parfaite conscience de la stabilit des propri t s observ es voir l article sur La stabilit en g om trie de Roger Cuppens dans le N 478 du bulletin vert de l APMEP Les l ves font des validations perceptives justifiant qu ils se mettent au niveau G1 Informatique On indique pour finir une validation possible au niveau G2 Informatique qui consiste construire deux droites perpendiculaires issues de B et Cet red finir le point A en le point d intersection de ces deux droites cette red finition fait appara tre une galit parfaite entre les aires compar es attention parfaite veut dire avec la pr cision maximum du logiciel On voit bien ici que si le triangle est rectangle d clar tel au logiciel par la propri t
40. ion dans le logiciel pour R gal au rayon de la dite sph re et comparer au volume affich directement par le logiciel Les r sultats affich s doivent tre les m mes m me avec un affichage maximum de chiffres significatifs et m me quand on modifie le rayon de la sph re Attention cette validation exp rimentale n est qu une v rification avec la pr cision du logiciel d une condition n cessaire impliqu e par notre formule dans un grand nombre de cas certes mais pas dans tous les cas La d monstration est le pas franchir pour tre s r de la formule avanc e 2 2 4 Qu apprend on de plus avec cette vid o sur la d marche d investigation Si on m ne une investigation exp rimentale c est qu on esp re que celle ci va nous conduire la d couverte Le fait d utiliser des techniques r f renc es nous rassure quand l aide que ces techniques peuvent apporter notre intuition ces techniques nous permettent un traitement m thodique des donn es g n r es par exp rimentation avec une relative confiance dans l apparition d un invariant Nous accordons donc une plus grande valeur heuristique une investigation en raison de ces techniques qui la fondent Mais l induction aussi puissante soit elle on l a vu peut nous conduire induire l erreur Pourquoi nous sommes nous fourvoy s dans cette seconde investigation La raison tient d abord notre confiance en l harmonie math matique si un invariant
41. itaire Cette vid o a t r alis e avec le fichier Cabri 2 Plus perspectives fig La encore nous avons men des investigations g n ratives dans un cadre de mod lisation La encore le pouvoir de la vid o est l acc s quasi direct vers les notions comprendre ou a manipuler en utilisant de mani re transparente le logiciel de g om trie dynamique choisi Pour beaucoup les constructions montr es peuvent faire l objet d activit s manipulatoires dont l objectif est en r alit une meilleure compr hension du concept associ ces perspectives Il est noter que pendant plusieurs ann es j ai fais construire par mes l ves de seconde ou de premi re un cercle en perspective cavali re et m me un cube tournant comme cela a t montr dans cette vid o 4 2 Mod lisation de la perspective cavali re d une sph re La repr sentation des corps dits ronds en perspective cavali re n est pas un probl me vident Je me souviens qu elle faisait l objet d une s ance de formation pour les stagiaires IUFM de Toulouse au d but des ann es 90 avant la diffusion de quelque logiciel de g om trie dynamique que ce soit Ce travail se faisait en environnement papier crayon J ai le souvenir d avoir commenc une telle s ance par la r tro projection d un transparent o l on pouvait voir une repr sentation en perspective cavali re d une sph re sous forme d une ellipse Mais c est surtout la r action offusq
42. les techniques qui lui sont associ es en particulier 2 Une utilisation en tant qu activit investigative qu il pourra mener avec ses l ves Le format auquel ce long cheminement a men est le format vid o qui sera pr sent et illustr ci dessous 1 3 Mes objectifs pour cet article Cette longue introduction avait pour but de montrer que le travail d exemplification qui va suivre est sous tendu par une r flexion th orique sur la d marche exp rimentale s appuyant la fois sur ma longue exp rience personnelle d enseignant utilisateur des technologies de formateur en formation initiale ou continue IUFM de Toulouse et IREM de Toulouse de travail de recherche sur le terrain avec des enseignants et plus particuli rement Mme Bouloc Rossato dans les divers tablissements o elle a enseign Coll ge Fabre de Rodez coll ge Anatole France de Casablanca et lyc e Lyautey de Casablanca mais aussi sur mon expertise dans l utilisation des environnements de g om trie dynamique Cabri 2 Plus et 3D Je vais la fois pr senter une formalisation de la d marche exp rimentale et des exemples de telles d marches en situation pour mieux comprendre toute la terminologie de l exp rimental laquelle il faut bien se r f rer et montrer le r le des vid os dans la mod lisation d une telle d marche Je mettrai en vidence la n cessit d un choix d exemples devant susciter un besoin de preuve d un niveau sup
43. leurs interm diaires en actes ce que les l ves font de mani re automatique on arrive la conjecture 1 qui dit que L ensemble des points A du plan v rifiant BC AB2 AC2 est le cercle de diam tre BC Le m me raisonnement sur le second triangle nous conduit cette fois la conjecture 2 qui dit que L ensemble des points A du plan v rifiant Angle BAC 90 est le cercle de diam tre BC Si nous groupons ces deux conjectures nous en inf rons la conjecture 3 qui dit Il y a identit entre l ensemble des points du plan v rifiant BC AB2 AC et ceux v rifiant Angle BAC 90 Cette derni re conjecture n est autre que la propri t non ant le th or me de Pythagore sous sa forme de condition n cessaire et suffisante Nous avons donc men une exp rimentation g n rative puisqu elle a conduit a une conjecture De plus une technique bien pr cise a t utilis e alliant constructions molles traces obtenues par balayages et th or me des valeurs interm diaires Le cadre d investigation est ici un cadre d ing nierie au hasard car c est un balayage al atoire qui nous permet de rep rer les deux cat gories de points qui feront merger les deux conjectures principales la 1 et la 2 3 2 3 Une investigation validative non r alis e Si nos conjectures tait vraies elles impliqueraient comme conditions n cessaires que l appartenance de A au cercle de diam tre BC g n
44. me alors que le second permettra de d couvrir et prouver d ductivement un th or me 6 3 1 Les diff rentes formes du th or me de Thal s Ces fichiers Cabri 2 Plus ont t mis au point avec Myriam Bouloc Rossato et test s dans ses classes Leur utilisation a t faite par le professeur qui pilotait l investigation suivie par les l ves sur un tableau blanc interactif Ces fichiers ont donn lieu la cr ation des trois vid os qui suivent Pour la classe de quatri me la d couverte exp rimentale du th or me de Thal s est illustr e par la vid o Thales1_direct 1 l adresse http youtu be x9hYBXOUGKkI Pour la classe de troisi me la d couverte et la d monstration du th or me de Thal s tendu deux droites s cantes et la d couverte exp rimentale de sa r ciproque sont illustr es par les vid os Thales2_ direct l adresse http youtu be 9SdZvgGLwk0O Thales2_reciproque l adresse http youtu be D 3Vm0VZPPQ 6 3 2 Les identit s remarquables et leur monstration d monstration Les identit s remarquables sont abord es g om triquement avec Cabri 2 Plus pour en d gager leurs formes alg briques formes sous lesquelles elles doivent tre connues Le travail pr sent est un travail de monstration qui est en m me temps un travail de d monstration Le professeur peut s en servir pour faire trouver ou retrouver ces identit s Elles ont d ailleurs t utilis es en classe avec ces deux options Le
45. mis en uvre pour aborder exp rimentalement des probl mes ouverts Je rappelle que dans cette recherche le but de l investigation men e par l l ve n avait pas le m me but que celui de l enseignant qui propose la recherche L enseignant cherche mesurer les connaissances mises en uvre 2 Rappelons qu il existe toujours l agr gation de physique en France une preuve dite de montage Certes des connaissances sont mises en jeu mais ce sont surtout les aptitudes manipulatoires qui sont valu es Quatre cadres d investigation ont donc t mis en vidence la suite de cette recherche Le cadre d engagement on exp rimente pour exp rimenter sans savoir o l on va Le cadre de mod lisation on mod lise pour reproduire un ph nom ne Le cadre d ing nierie on essaie d optimiser un effet souhait au hasard ou par it ration Le cadre scientifique on essaie d appr cier des tendances partir de deux ou plusieurs valeurs observ es Les deux exemples donn s illustrent typiquement le cadre d investigation scientifique Nous allons pr senter d autres exemples illustrant le cadre d ing nierie cadre o le r le monstratif de la vid o s av re puissant Rappelons les deux types de mod le possibles auxquels on peut se r f rer Le mod le concret qui rend compte d un ph nom ne abstrait dans ce cas c est une mat rialisation des nonc s de la science dans un objet concret presqu autonome
46. n ligne l adresse http youtu be ZZEIN4ALHPE Volume dod ca dre Volume sph re X Cette vid o a t r alis e avec le fichier Cabri 3D DODECA cg3 Encore tr s bri vement nous construisons un dod ca dre pos sur le plan de r f rence puis sa sph re circonscrite Dans un premier temps on essaie encore de d couvrir une relation possible entre leurs volumes partir d une collecte de mesures que l on est amen observer ou traiter pour arriver la conjecture concernant le r sultat attendu Dans un second temps on tente de valider la formule conjectur e par comparaison aux volumes affich s par le logiciel A ce moment on comprendra l accouplement de cet exemple au pr c dent pour montrer comment on peut amener les l ves passer de la conjecture la n cessit d une d monstration 2 2 2 Pr sentation de l exp rience 1 Montage on construit un dod ca dre et sa sph re circonscrite Notons R le rayon de cette sph re Nous savons donc que le volume Vs de la sph re est donn par la formule SUR Le rayon de la sph re donc les dimensions du dod ca dre peut tre modifi en d pla ant un point du pentagone de base du dod ca dre Notre but est d exp rimenter dans le but de deviner une relation entre Vs et Vp afin d en d duire la formule donnant le volume Vp du dod ca dre en fonction de R Ce montage est d crit dans la vid o montagel accessible l adresse http yo
47. nom triques projection sur un plan suivant une direction donn es font l objet de ce paragraphe La premi re la perspective cavali re qui est utilis e de mani re naturelle depuis que les l ves sont amen s repr senter des objets simples de l espace sur une feuille de papier l est aussi dans beaucoup de manuels de cours du coll ge et du lyc e Mais aucun moment dans la formation initiale des enseignants une information claire n est donn e ni sur sa d finition ni sur ses caract ristiques Il en est de m me pour les l ves qui ne re oivent que des bribes d informations L enseignement de la repr sentation d objets en perspective cavali re serait mon avis bien plus profitable que d autres items du programme ne serait ce que le travail sur la proportionnalit en liaison avec le coefficient d une telle perspective C est pourquoi j ai r alis les deux vid os qui suivent et qui mod lisent de mani re ludique la perspective cavali re par l ombre projet d un cube sur un plan vertical face l observateur Rappelons que la perspective militaire diff re de la cavali re par le plan de projection qui est le plan du sol par rapport l observateur Ce que je montre est une investigation g n rative dans un cadre de mod lisation dans la mesure o les manipulations r alis es sur les figures utilis es doivent faire g n rer certaines des caract ristiques de chacune de ces perspectives Ces deux vid os s
48. ns nous fait Nous avons mis en place une exp rience c est dire une proc dure devant g n rer des donn es dont l interpr tation doit mener soit une conjecture soit la confirmation ou au rejet d une conjecture L exp rience 1 est une exp rience g n rative car les donn es produites nous ont conduit produire la conjecture Vc 1 5 Vs c est dire la conjecture attendue sur le volume de la sph re Vs SUR Notons qu un affichage des donn es avec plus de d cimales doit amener les l ves qui utilisent leur calculatrice mieux sentir le bon invariant 1 5 Une seconde exp rience validative vue dans une vid o ci dessus aurait pu tre men e Elle aurait consist en le calcul de l expression 3 A par la calculatrice du logiciel avec pour valeur de R le rayon de la sph re et la comparaison du r sultat obtenu avec le r sultat affich L identit des r sultats doit perdurer aussi bien quand on change le rayon que quand on augmente la pr cision de l affichage num rique Ces observations s interpr tent comme une validation de la formule conjectur e le mot validation est utilis ici dans le sens de corroboration de non rejet de la conjecture avanc e Une telle exp rience est une exp rience validative Notons que pour mener cette exp rience pour la r aliser c est dire pour exp rimenter il aura fallu modifier le montage et donc le protocole La technique mise en ceuvre pour
49. ommand es narrations de recherche issues des travaux de lIREM de Montpellier par exemple d autres moins connues comme les probl mes longs de l IREM de Lyon auraient m rit une plus large diffusion D autres pratiques ont t impos es comme les TPE associant d autres disciplines ou comme MPS r cemment D autres pratiques se sont diffus es grace un appui financier institutionnel qui leur permet de vivre comme les recherches d velopp es sous le label MATh en JEANS ou Hippocampe Les questions cruciales qui se posent d abord l enseignant sont les suivantes Qu est ce que la d marche d investigation Comment la caract riser Comment la pratiquer et comment l valuer Ou au mieux comment mesurer son impact dans l apprentissage Je pense qu il est de la plus grande importance de r pondre clairement ces questions et au moins la premi re de ces questions afin que l enseignant soit ma tre de ses choix didactiques m me s il travaille en quipe et surtout s il travaille en quipe 1 2 Un long cheminement vers un format vid o pour faire conna tre et pratiquer cette d marche d investigation Depuis le d but des ann es 90 j ai beaucoup r fl chi cette question et propos des r ponses aux stagiaires de 2 de ann e de l IUFM de Toulouse o j tais formateur associ niveau PLP2 Une mani re pertinente d utiliser les calculatrices pour des investigations nouvelles et des sc narios d en
50. ont consultables aux adresses respectives http youtu be HAgOkDKHc8I et http voutu be EjkWbxzqtyE Vous pouvez aussi les visualiser en double cliquant sur les vignettes ci dessous Ces vid o ont t r alis es avec les fichiers Cabri 3D PC cg3 et PM cg3 4 1 2 Deux investigations simultan es dans une vid o Pour voir comment appliquer les r gles de repr sentations mises en vidence au cours des deux vid os pr c dentes avec Cabri 3D voici une nouvelle vid o o l on montre sur une figure Cabri 2 Plus des repr sentations simultan es d objets tels que cercles cylindres pav s cube L avantage de l utilisation d un logiciel de g om trie dynamique par rapport la feuille de papier est de bien voir que ces repr sentations ne sont pas une bonne repr sentation de ce que l on voit en particulier lorsqu on fait pivoter un cube autour de son axe vertical Cela permet aussi de voir l int r t p dagogique de la repr sentation en perspective militaire pour repr senter des cubes un niveau l mentaire en particulier en vitant de repr senter le carr de base par un parall logramme mais par un vrai carr en vrai grandeur Cette vid o est consultable l adresse http voutu be p6kp30036w4 Vous pouvez aussi la visualiser en double cliquant sur la vignette ci dessous coeff 0 68 0000 ooo O 0000 oo o oo Perspective cavali re Perspective mil
51. professeur a ensuite fourni les adresses de ces vid os a ses l ves pour qu ils puissent les revoir loisir Ceci permet aux l ves de bien s impr gner de la technique qui consiste a interpr ter le d coupage d un rectangle comme une galit alg brique Ces vid os sont list es ci dessous avec leurs liens Identite_troisieme_1 l adresse http voutu be EsZe7139NVQ Identite_troisieme_2 l adresse http voutu be EolrDArDECs Identite_troisieme_3 l adresse http youtu be HJFck1GiQel 6 3 3 D couverte exp rimentale des d riv es des fonctions trigonom triques Afin de faire d couvrir les d riv es des fonctions trigonom triques sinus et cosinus Myriam Bouloc Rossato m a demand de lui cr er deux sc narios qui en permettent une d couverte facile et rapide L investigation propos e permet d utiliser la d finition locale de la d riv e tangente la courbe pour g n rer la reconnaissance globale de la d riv e reconnaissance de la fonction d riv e par la reconnaissance d une courbe connue Cette technique est celle qui peut aussi tre utilis e pour d couvrir les formules donnant les d riv es des fonctions puissances fait dans une autre vid o La sc narisation propos e l est gr ce aux deux vid os qui suivent Derivation_experimentale_de_sinus l adresse http youtu be QLnFiradmac Derivation_experimentale_de_cosinus l adresse http youtu be qxSltgNUT aM L avantage de l utilisation de
52. rative et mobilis notre intuition c est dire notre aptitude deviner une loi g n rale partir de l examen de quelques cas particuliers La seconde partie se veut elle plut t une investigation car c est une exp rience dont le r sultat attendu est la d couverte de la forme canonique d un trin me du second degr donn avec utilisation d une technique bien pr cise qui nous donne beaucoup de chances de conclure exactement pour peu que le r sultat ne soit pas complexe Cette technique consiste afficher la courbe de la fonction f dont on d sire trouver la forme canonique puis modifier les valeurs des param tres u v et w jusqu obtenir superposition de la courbe de p celle de f Les valeurs de u v et w obtenues sont celles qu on peut conjecturer tre les bonnes la pr cision pr s de l exp rience Un peu de bon sens et d intuition fait choisir les bonnes valeurs m me quand le logiciel n en fournit que des valeurs approch es On comprend bien que si la fonction f est une fonction coefficients entiers les valeurs de u v et w ne pourront tre qu enti res ou rationnelles et donc une valeur affich e de 3 05 nous fait conjecturer 3 comme possible vraie valeur idem pour 4 27 et 17 4 L avantage de cette technique c est qu elle permet d aboutir a un r sultat qui peut tre valid d ductivement le saut vers la d monstration est possible et simple Il suffit de d velopper l expression conjectur
53. rieur a celui de la validation exp rimentale plus commun ment appel e preuve exp rimentale Le chemin vers la n cessit dans le sens de besoin imp rieux de la d monstration sera donc abord avec des pistes que nous avons exp riment es Je ne vais pas commencer mon expos par des d finitions th oriques Laissons nos exp rimentations nous mener elles pas pas Nous utiliserons les logiciel Cabri 2 Plus et Cabri 3D 2 Deux investigations pour deux conjectures 2 1 Pour d couvrir exp rimentalement la formule donnant le volume d une sph re en fonction de son rayon 2 1 1 Lecture de la premi re vid o D marrez la vid o volume _sphere avi qui suit qui vous montrera la d marche propos e Cette vid o est consultable en ligne l adresse http voutu be 4p AjDV Wh8 a oe r Volume du cylindre f multipli par Volume de la boule hk Cette vid o a t r alis e avec le fichier Cabri 3D BOULE cg3 NB le pr requis pour cette investigation est le suivant On suppose que la formule donnant le volume d un cylindre est connue Tr s bri vement nous construisons une sph re et son cylindre circonscrit et essayons de d couvrir une relation possible entre leurs volumes partir d une collecte de mesures que l on est amen observer ou traiter pour arriver la conjecture concernant le r sultat attendu Cette d marche partant du r el ou du r el mod lis par Cabri 3D v
54. rmation et de formation sur ce sujet la condition que l information soit attractive le r le de la dynamicit et des couleurs permet d aller dans ce sens 5 Un premier bilan sur la trilogie Investigation Technologie Vid os Nous avons vu comment l utilisation d un logiciel de g om trie dynamique pouvait changer notre approche exp rimentale d un probl me c est dire les actions que l on pouvait initier pour avancer vers la r solution de ce probl me Ces actions qu on peut mener sont des exp rimentations r alisation d une exp rience des processus qui g n rent des donn es dont on esp re que l interpr tation va nous permettre d induire une conjecture concernant le probl me traiter Dans ce cas les exp rimentations sont qualifi es de g n ratives Si l interpr tation des donn es a pour but de corroborer une conjecture d j mise on parlera d exp rimentations validatives Cette corroboration consiste en la v rification de conditions n cessaires impliqu es par la conjecture Notons que s il n y a pas v rification la conjecture est en principe rejet e dans le cadre de ce type d exp rimentation Comment avoir l id e d une exp rience pour nous venir en aide dans la r solution de probl me assist par la technologie ici par Cabri 2 Plus ou Cabri 3D La connaissance et la mise en ceuvre de techniques est absolument fondamental Lorsqu on met en place une exp rience s appuyant sur de
55. rofil de formateur chercheur producteur de ressources dont les enseignants ont tant besoin dans ces temps de disette de formation continue Enfin une remarque plus pratique Toutes les vid os ont t enregistr es sur mon Mac book pro avec le logiciel QuickTime Player avec lequel elles ont t mises au format MP4 avant d tre enregistr es sur ma chaine Youtube accessible a l adresse Voici titre d ere l volution du nombre d vues par mois depuis la cr ation de la cha ne 0 avril 2011 mars 2013 statistiques fournies par YouTube Bibliographie 1 Johsua M A Johsua S 1987 Les fonctions didactiques de l exp rimental dans l enseignement scientifique premi re partie in Recherches en didactique des math matiques 8 3 231 266 La Pens e sauvage ditions 2 Millar R 1996 Investigation des l ves en science une approche fond e sur la connaissance in Didaskalia N 9 editions INRP Lyon France 3 Dahan J J 1998 What Filou has behind his head or stories about parabolas in The Derive Newsletter N 34 The bulletin of the Derive user group TI92 Vienna 4 Dahan J J 2005 La d marche de d couverte exp rimentalement m di e par Cabri g om tre en math matiques Un essai de formalisation partir de l analyse de d marches de r solutions de probl me de bo tes noires th se de doctorat Universit Joseph Fourier Grenoble http tel archives ouvertes fr tel 0035610
56. rtir de photos faire d couvrir aux l ves l existence de ces points de fuite qui d pendaient de l orientation de l appareil photo A ce stade j ai pu faire mes interventions mais ma curiosit tait veill e Je d sirais savoir o taient ces points de fuite par rapport l op rateur l appareil photo l objet photographier Ne trouvant pas de r sultat math matique correspondant mes objectifs dans les livres sur la perspective ou les livres d architecture j ai d marr ma recherche avec Cabri 3D qui a abouti tr s rapidement la d couverte du th or me fondamental r gissant les points de fuite de la perspective centrale ce que l on voit ou ce qui est vu par une cam ra J ai donc publi cette recherche et ce n est qu apr s publication que j ai d couvert une r f rence math matique aux points de fuite de la perspective centrale des peintres dans un livre remarquable crit par une chercheuse danoise en histoire des math matiques Kirsti Andersen 6 Le th or me que j avais d couvert avait t mis en vidence bien avant moi en 1600 par Guidobaldo Del Monte mais pas explicitement dans le cas g n ral o je lai trait Notons que ma d monstration ne prend que 3 lignes alors que le travail de Guidobaldo Del Monte s tale sur 6 livres o il multiplie les tudes de cas particuliers et les m thodes L int r t de ma recherche c est la recherche elle m me comment le th or me a t d couvert et commen
57. s exclusivement validatives Cette phase qu on appelle en sciences exp rimentales la preuve exp rimentale peut mener soit la corroboration de la conjecture soit son rejet En math matiques cette corroboration doit mener quand cela est possible la d marche de d monstration 7 3 Types d investigations pr sent es dans les vid os Les vid os mises en ligne qui d crivent une d marche d investigation ont t choisies pour leur fort pouvoir monstratif c est dire leur fort pouvoir informatif N oublions pas que le public vis est en priorit un public d enseignants m me si de mani re corr lative j esp re une utilisation de ces vid os pour aider ceux ci mener avec leurs l ves les investigations d crites Ces investigations sont assez souvent b ties suivant le m me sch ma par souci de simplicit et d exemplification On entre rapidement dans la phase de recherche ordonn e car d une certaine mani re comme le montage est donn e et que les donn es g n rer sont choisies la technique utiliser s impose ou du moins j esp re qu elle finira par s imposer On y m ne des exp rimentations g n ratives qui permettent de d gager une conjecture assez rapidement Ensuite on entre dans les phases de validations de v rifications de conditions n cessaires impliqu es par la conjecture mise en menant des exp rimentations validatives qui sont pratiquement toujours de type investigatif
58. s techniques bien rep r es comme cela a t montr dans le cas des probl mes de recherches des formules donnant les volumes de sph re et dod ca dre on parle d investigation Le r le des vid os est de montrer a travers les exemples qu elles traitent des techniques simples qui doivent faire partie du bagage du chercheur en herbe Elles donnent du sens aux processus de g n ration ou de validation de conjectures Elles essaient de bien distinguer ces deux types d exp rimentations qui s entrem lent souvent dans les d marches qu on observe de visu ou dans les narrations de recherche par exemple Je rappelle qu apr s tant d ann es o j ai assur tant de formations d enseignants sur l utilisation des technologies en classe mon souci essentiel a t de trouver le moyen de transmettre mon expertise non pas sur la technologie mais sur son utilisation pertinente Comment donner aux enseignants le recul sur une d marche qualifi e d investigation Ma r ponse apr s bien des tatonnements des essais des propositions qui se sont affin es et ce stade de ma r flexion consiste mettre disposition des vid os comme celles pr sent es ci dessus Tout cela pour dire que mon interlocuteur premier est l enseignant qui doit recevoir la plus grande information possible sur la pratique de la d marche exp rimentale m di e par la technologie Le format vid o permet d allier la voix et l image dans un temps limit
59. sayer d en induire des conjectures combien de fois n a t on pas t apostroph par des Vous ne faites pas des math matiques Il est curieux que le remplacement d une technologie par une autre n ait pas g n r de nouvelles pratiques et de nouveaux probl mes La loi de Moore qui illustre l acc l ration de la puissance des technologies informatiques est peut tre la raison de cet effroi devant ces outils et un repli de beaucoup sur les math matiques pures et dures Il pest pas question ici de faire un historique des d veloppements technologiques a disposition des math maticiens et des enseignants de math matiques depuis lors Revenons en 2013 o les pratiques incluant l utilisation des technologies sont fortement recommand es La d marche d investigation est recommand e tous azimuts dans les programmes de coll ge et de lyc e Cette forte incitation succ de une p riode o les programmes mettaient l accent sur le r le de l exp rience facilit e par les technologies dans les domaines des nombres et de la g om trie Une lecture attentive de tous les documents officiels publi s depuis 2000 montre une incitation de plus en plus forte pour une pratique de la d marche d investigation sans qu aucun moment le terme d investigation ne soit d fini de mani re pr cise Toute la terminologie associ e a une d marche exp rimentale m di e ou pas par la technologie n y est pas plus pr cis e Des pratiques sont rec
60. seignement nouveaux ont t propos s Ces propositions ont fait l objet de multiples pr sentations durant les ateliers de journ es de l APMEP depuis 1996 Mais depuis le d but des ann es 2000 je me suis attel cette t che de mani re syst matique En participant la r daction des ouvrages de seconde et de premi re de la collection Belin j ai permis l dition de deux CD d accompagnement du livre du professeur dans lesquels des centaines de fichiers Cabri G oplan Excel des dizaines de programme pour les calculatrices TI et Casio illustraient des exercices propos s aux l ves En proposant des sc narisations de situations d enseignement concernant Pythagore Thal s et d autres avec Cabri dans un format qui mettaient la disposition des professeurs 6 documents 3 fichiers de g om trie dynamique et 3 fichiers texte Ce travail a t le r sultat d une recherche men e avec un professeur du terrain Myriam Bouloc Rossato Nous avons tout de suite not que l accueil enthousiaste des enseignants tait quand m me temp r par le temps d appropriation des documents m me si tout tait fourni En proposant en ligne le r sum de la pr sentation faites aux journ es de l APMEP de Paris en 2010 sur une nouvelle mani re d enseigner les notions de p rim tre aire et volume grace a Cabri 2 Plus et Cabri 3D consultable en ligne l adresse http www irem ups tlse fr dahan La nouveaut a t que le text
61. t cette d couverte peut faire l objet d une activit pour nos l ves dans le cadre d un travail sur la g om trie de l espace avec un logiciel comme Cabri 3D Cette recherche a t pr sent e au congr s ATCM 2012 9 Dans un tr s proche futur j enregistrerai une s rie de vid os en anglais qui reprendront ma pr sentation en totalit comme je l ai fait pour la conf rence donn e IREM de Toulouse l initiative de la C2I lyc e En plus de cette pr sentation j ai anim au cours de cette m me conf rence avec Jean Marie Laborde un atelier au cours duquel nous avons fait red couvrir ce th or me avec Cabri 3D La red couverte men e au cours de cet atelier est d crite dans une s rie de 6 vid os en anglais r f renc es ci dessous Workshop_ATCM_Dahan_Laborde_0 m4v l adresse htip youtu be VU XQ wpjM8 Workshop_ATCM_Dahan_Laborde_1 m4v l adresse http youtu be Ftqfpph_GGs Workshop_ATCM_Dahan_Laborde_2 m4v l adresse htip youtu be iBsQ3pTNI7c Workshop_ATCM_Dahan_Laborde_3 m4v l adresse htip youtu be iL4MHsuExrM Workshop_ATCM_Dahan_Laborde_4 m4v a l adresse http youtu be Fx6rKmjioHk tet Qi L int r t de ces vid os est de donner acc s nos l ves au monde de la recherche o les investigations sont faciles comprendre et suivre m me si ici les commentaires oraux sont en anglais langue de la recherche Les exp rimentations g n ratives et validatives y apparaissent tr s cl
62. u e de l un des stagiaires qui m est rest e l esprit celui ci s tonnait devant ses camarades que quelqu un comme moi qui ose avancer des sottises pareilles put tre formateur l IUFM Je ne me suis pas formalis de ce comportement si peu diplomatique car j ai vite compris que ce jeune professeur n avait jamais rencontr ni la d finition de la perspective cavali re ni la d finition d aucune autre perspective Je me suis content de lui demander a quoi ressemblait l ombre d un ballon sur la plage le soir au soleil couchant est ce un disque parfait comme il le pr tendait ou une forme ovale Ce ne fut pas suffisant pour le convaincre et il a fallu que je lui donne la d finition d une perspective axonom trique pour qu il accepte ma mod lisation par l ombre du ballon comme un argument d finitif validant la repr sentation r tro projet e Ce fut entre autres le point de d part de mon travail sur ces repr sentations l aide du logiciel Cabri 2 Plus La raison profonde de la croyance de ce jeune professeur en la mati re est vraisemblablement chercher dans les manuels scolaires o au milieu de repr sentations de cubes ou de pav s en perspectives cavali res se glissent des repr sentations de sph res par un cercle repr sentant le contour apparent et une ellipse tangente int rieurement ce cercle pour repr senter le cercle quatorial J ai d j eu l occasion de montrer il y a une dizaine d ann es a
63. u cours d une conf rence donn e dans une cole europ enne de Bruxelles que de telles repr sentations ne pouvaient tre des repr sentations en perspective cavali res car l ellipse repr sentant le cercle quatorial d borde le cercle utilis pour repr senter le contour Ayant encore rencontr au cours de cette derni re ann e des enseignants pour qui ces notions restaient sot riques j ai r alis les deux vid os qui suivent mod lisant d abord la repr sentation en perspective cavali re d une sph re et ensuite comment on peut essayer de se rapprocher de la repr sentation des manuels partir de la bonne repr sentation en perspective cavali re Elles sont consultables aux adresses respectives http youtu be Tcxk5B1E49s et http youtu be ksORKvyley4 Vous pouvez aussi les visualiser en double cliquant sur les vignettes ci dessous PP EL NE hagra double clic sur l image pour d marrer la vid o Ces vid os ont t r alis es avec les fichiers Sphere_perspective_cavaliere cg3 et Sphere_perspective_cavaliere_livre cg3 Elles d taillent encore et toujours des investigations g n ratives dans un cadre de mod lisation Elles ont comme but essentiel de proposer une mod lisation de la repr sentation en perspective cavali re de la sph re avec Cabri 3D s appuyant sur l ombre au soleil de cet objet Le nombre de vues correspondant ces vid os sur ma cha ne YouTube est un bon marqueur du besoin d info
64. ue qui est la d monstration 7 5 Remarques finales J esp re avec cet expos avoir apport la fois De l information sur ce qu est la d marche d investigation et Des ressources utiles avec les vid os pr sent es Je voudrais enfin insister sur un point qui me para t tr s important c est dire le type de travail que j accomplis depuis des ann es et qui ma men ces productions Le travail d enseignant accoupl celui de formateur quand il est associ une expertise dans un domaine technologique m me pointu peut amener celui ci l occasion d un simple travail de cr ation p dagogique avec des coll gues du terrain d vier vers une vraie recherche math matique m me si elle n est pas du niveau de la recherche professionnelle cela est passionnant et valorisant quand cela arrive Le fait de travailler l IREM dans ce creuset remarquable a t plus que le catalyseur de mes succ s Ma coll gue de physique Mathilde Arragon me disait d j il y a d j une quinzaine d ann es que nous tions des enseignants chercheurs cause du profil commun qui nous amenaient cr er du neuf avec l utilisation des technologies A l poque j avais souri car ce qualificatif me semblait r serv a nos coll gues du sup rieur Maintenant je pense qu elle avait raison et que le profil qui m a permis de faire les recherches que j ai faites de produire les ressources que j ai produites devrait servir de base a un p
65. une prochaine validation est fondamental pour aiguiser l esprit critique pour encourager un travail de groupe et l argumentation Quelquefois la visualisation d un r sultat dans un unique cas particulier est tellement sid rante que les sp cialistes rejettent le doute le plus l mentaire Roger Cuppens me racontait un pisode d une de ses recherches qui l avait men exp rimenter par le biais d une figure assez complexe qu il avait r alis e avec Cabri 2 Il voulait faire une investigation sur la valeur d un birapport dans des positions particuli res obtenues par red finition le premier affichage qu il obtint fut la valeur 1 Pour lui cet unique affichage tait tellement particulier qu il ne pouvait tre du au hasard Il m a racont qu il n avait m me pas manipul sa figure pour obtenir des validations par d autres cas particuliers Il tait assez convaincu pour passer imm diatement la d monstration Ce comportement repose sur une base de connaissances tr s tendue et une ma trise d un ensemble de configurations relatives au sujet tudi au dessus de la moyenne 3 D autres vid os pour illustrer et mettre en uvre d autres techniques d investigation 3 1 Les cadres d investigations ouvertes selon Lubben et Millar Nous avons voqu ci dessus le projet de recherche anglo saxon PACKS Procedural and Conceptual Knowledge in Science qui a conduit a classifier les cadres d investigations qui taient
66. utu be ZKkrgCuYg7c ou directement a partir de la vignette suivante Cette vid o a t r alis e avec le fichier Cabri 3D montage1 cg3 Protocole c est toujours la planification de ce qui devra tre entrepris dans les deux phases suivantes Nous devrons afficher les volumes respectifs du dod ca dre et de la sph re fournis par le logiciel puis observer les variations relatives de ces donn es quand on modifiera R Si nous devinons en utilisant les m mes techniques que dans l investigation pr c dente une relation entre Vs et Vp nous devrons la v rifier exp rimentalement au cours d une seconde exp rience Exploration c est l ex cution du protocole au cours duquel les donn es sont produites et visualis es Ce protocole et cette exploration sont d crits dans la vid o protocole _exploration1 accessible l adresse http youtu be NF8TMuaJGRU ou directement partir de la vignette suivante Cette vid o a t r alis e avec le fichier Cabri 3D protocole_exploration1 cg3 Interpr tation c est toujours notre facult a induire qui est mobilis e pour deviner a partir des quelques donn es fournies une formule qui serait vraie dans le cas g n ral C est la phase de traitement inductif des donn es 2 2 3 Ex cution de l exp rience 1 exp rimentation 1 et sa conclusion x Quand on modifie R l utilisation des techniques pr c dentes nous conduit une SJ 2 conjectur
67. ve de la part d Etienne Ghys auteur du film Dimensions http www dimensions math org 1 Illustration anim e du mouvement de la terre autour du soleil de sa rotation autour d elle m me et autour d un axe inclin par rapport au plan de l cliptique justifiant les saisons MVT_TERRE_AUTOUR SOLEIL l adresse http voutu be 0klefinGuCo 2 Justification exp rimentale de la courbure de la terre par observation d un voilier s loignant l horizon COURBURE TERRE l adresse http youtu be BP0agP3 Olo 3 Fichier Cabri 2 Plus illustrant les dimensions relatives de la terre et du soleil ainsi que leur distance Terre_soleil_ dimensions _ distance l adresse http youtu be wRus7fRJ4WU 4 Fichier en 3D illustrant de mani re anim e pourquoi en t pour l h misph re nord les zones proches du p le nord sont clair es 24 heures sur 24 Jour_polaire l adresse http youtu be hB3TVdFyflc 5 Fichier en 3D illustrant de mani re anim e pourquoi en hiver pour l h misph re nord les zones proches du p le nord sont dans la nuit 24 heures sur 24 nuit_ polaire l adresse http youtu be vNFxHmlKHFg 6 Br ve vid o en 3D montrant la taille de la terre par rapport celle du soleil Terre _soleil_ dim l adresse http youtu be v6k2uLKadfc 7 Vid o montrant pourquoi le jour dure plus longtemps Casablanca qu Londres qui est plus au nord jour _ nuit Londres_Casa l adresse http voutu be GtCMsMiaoNw 8
68. vestigation qu ils pourront mettre en uvre d autres occasions ici c tait la technique de traitement d une s rie statistique double afin d en d gager une relation de proportionnalit ou de lin arit c est d ailleurs la premi re technique laquelle on doit penser dans de tels traitements de donn es Sa cinqui me fonction est d tre un r f rent de travail pour l l ve qui a la possibilit de revenir en ligne sur le travail fait il retrouvera la d marche et s en impr gnera et plus particuli rement de la technique d investigation utilis e 2 2 Pour d couvrir exp rimentalement la formule donnant le volume d un dod ca dre en fonction du rayon de sa sph re circonscrite Le choix de ce second exemple n est pas anodin Quand vous prendrez connaissance du d but de la vid o qui l illustre vous aurez certainement l impression de revivre l investigation pr c dente puisqu on va s appuyer sur une formule connue pour essayer d en conjecturer une autre en utilisant la m me technique investigative que la pr c dente Soyez patients et vous d couvrirez d autres fonctions de cette vid o dans le cadre de l illustration de la d marche d investigation On suppose ici que la formule donnant le volume d une sph re est connue 2 2 1 Lecture de la seconde vid o D marrez la vid o Investigation_ volume _dod ca dre qui suit qui vous montrera la nouvelle d marche propos e Cette vid o est consultable e
69. vignette suivante 214 6 cm 321 9 cm R sultat 1 50 4 A Vid o interp_exp_validative1 double clic sur l image pour d marrer la vid o F4 aw i e aj Cette vid o a t r alis e avec le fichier Cabri 3D interp_exp_validative1 cg3 2 1 3 Ex cution de l exp rience 1 exp rimentation 1 et sa conclusion Quand on modifie R l examen des donn es affich es ne m ne pas facilement vu ci dessus a une conjecture sauf si on s arrange pour que le volume de la sph re soit voisin d un entier multiple de 100 et dans ce cas on peut deviner que celui du cylindre semble tre 1 5 fois celui de la sph re en effet quand Vs est voisin de 100 Vc est voisin de 150 quand Vs est voisin de 200 Vc est voisin de 300 quand Vs est voisin de 300 Vc est voisin de 450 Sinon la technique naturelle qui s impose est celle qui consiste valuer avec la calculatrice du logiciel le rapport des deux volumes pour voir appara tre l invariant La conjecture qui se d gage de l exp rimentation est que les donn es g n r es pour Vc semblent tre obtenues en multipliant les donn es g n r es pour Vs par 1 5 La cons quence ou plut t l inf rence imm diate est que Vc 1 5 Vs soit Vs Eve 2201 SUR qui est la formule connue Une exp rimentation est la r alisation d une exp rience une exp rience serait comme un programme et une exp rimentation serait une r alisation de ce programme 2 1 4 Qu avo
70. xp rimentations r alis es dans les classes de Myriam Bouloc Rossato des sc narios interm diaires ont d ailleurs fait l objet d un atelier aux Journ es de l APMEP de La Rochelle en 2008 Decouverte_Pythagore_1 l adresse http youtu be 11DnEHo90F4 Decouverte_Pythagore_2 l adresse http youtu be rt8jiJ Pug 1w Decouverte_Pythagore_3 a l adresse http youtu be mAQfYvDYW2q Equivalence_de_Pythagore l adresse hittp youtu be xVraGuiyNnk Contenu des vid os La premi re vid o montre la premi re partie de l activit propos e aux l ves en salle d informatique Cette premi re partie commence par la prise en main de la figure fournie c est le montage On propose aux l ves d essayer de d placer tous les points d pla ables et de noter ces points Ils constateront que les sommets d un triangle sont ces points la Ce faisant ils constateront que les quadrilat res s appuyant sur chacun des c t s semblent tre et rester des carr s ils m nent ainsi une exp rimentation g n rative au niveau G1 informatique o la validation est perceptive sur l cran de l ordinateur Il leur est propos de survalider cette conjecture avec les outils du logiciel ce qui revient a leur demander de mener une exp rimentation validative au niveau G2 Informatique c est a dire a un niveau d ductif assist par le logiciel Cette exp rimentation va consister v rifier exp rimentalement les propri t s caract ristiques d
71. youtu be 6vlIOy OO9SU Conference_JJ_ DAHAN_C2I_LYCEE_PARTIE_7 l adresse http youtu be XKOdWSO6Gb0 Pour ceux qui seraient int ress s par un document crit je leur recommande l article que j ai crit pour le colloque de Rethymnon en Cr te 8 6 5 2 Pour montrer des approches diff rentes permises par la technologie Pendant la dur e de deux ann es scolaires nous avons mis au point puis test avec Myriam Bouloc Rossato en classe des activit s s appuyant sur les possibilit s offertes par la g om trie dynamique Cabri 2 Plus et surtout Cabri 3D pour traiter tous les probl mes de sections de solides au programme du coll ge A la fin de ce travail nous en avons fait un r sum aux journ es nationales de l APMEP de Grenoble Le Powerpoint pr sent a t enregistr avec les commentaires originaux et post sur YouTube sous le nom SECTIONS_SOLIDES_COLLEGE l adresse http youtu be Pxd6CIMATpU On peut y d couvrir en une quinzaine de minutes la mani re avec laquelle nous avons pu abord ce th me en inversant les pratiques habituelles En particulier au lieu de commencer par d finir les solides pour tudier ensuite leurs d coupes possibles nous avons choisi de g n rer les solides par animation de leurs sections pour les reconstituer comme dans les deux figures qui suivent Mieux qu un article papier une telle vid o participe a la diffusion de pratiques innovantes permises par une connaissance experte d un logi

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