1 Le costume de saut extrême de Félicien
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1. et le regardant venir lui voir l exemple sur la figure 1 droite D V F Bo pv U a Expliquez le signe moins dans cette expression b Quelle est la dimension de 8 c En utilisant l analyse dimensionnelle donnez l expression de 8 un facteur num rique pr s que vous pourrez consid rer comme tant de l ordre de 1 2 F licien souhaite franchir le mur du son en chute libre c est dire atteindre une vitesse gale celle du son not e c a En utilisant l analyse dimensionnelle donnez l expression de c en fonction de la pression P et de la masse volumique p un facteur num rique pr s que vous pourrez consid rer comme tant de l ordre de 1 b Donnez l ordre de grandeur de la masse volumique p de l air pr s du sol et de la surface c Donnez l ordre de grandeur de la pression atmosph rique P au sol d En d duire l ordre de grandeur de la vitesse du son e Donnez l ordre de grandeur qu aurait la force de frottement a rodynamique si F li cien atteignait la vitesse du son pr s du sol f Comparez cette ordre de grandeur au poids de F licien g Pourquoi F licien doit il aller haute altitude pour relever son d fi 2 Catapulte spatiale 536 2 536 1 Figure 2 Sch ma de la catapulte lectromagn tique F licien songe d abord se faire propulser dans l espace par une catapulte lectromagn tique Il imagine un rail ver2. e sauter d un petit avion d un drone sans vitesse initiale par rapport celui ci Le drone vole une altitude H 40 km 1 Sur les conseils de F licien vous n gligez nouveau tout frottement dans l air et vous choisissez le r f rentiel de l avion en supposant que l avion continue d avancer une vitesse horizontale et constante v par rapport au sol a Justifiez que l on puisse consid rer le sol comme tant plat l chelle du probl me b Faites le bilan des forces appliqu es F licien pendant sa chute et justifiez l emploi du Principe fondamental de la dynamique c Trouvez la vitesse atteinte au bout d une hauteur H parcourue par F licien 2 On continue de n gliger les frottements mais on effectue le calcul dans un r f rentiel li au sol Quelle est la vitesse atteinte par F licien une fois qu il est descendu d une hauteur H 3 F licien vous demande maintenant de consid rer les frottements de l air a Justifiez que la vitesse horizontale de F licien sera rapidement celle de l air On n gligera par la suite cette composante de la vitesse b Faites le bilan des forces appliqu es F licien pendant sa chute Page 3 c Trouvez l expression litt rale de la vitesse limite v sans r soudre l quation du mouvement d Quelle doit tre la masse volumique de l atmosph re p pour que F licien atteigne la vitesse du son Vous donnerez une expr
3. ession litt rale puis un ordre de grandeur e Pour atteindre cette vitesse le plus facilement F licien doit il chuter plat ventre ou debout 4 Vous allez maintenant trouver les variations temporelles de la vitesse de F licien avant qu il n atteigne sa vitesse limite de chute a Montrer que l quation diff rentielle donnant ces variations peut se mettre sous la forme dv vov d Donnez l expression de Quelle est la dimension de d Proposez une interpr tation physique de e Donnez un ordre de grandeur de f Montrez que l on peut se ramener une quation diff rentielle de la forme dw 1 d Donnez l expression et la dimension de 7 g R solvez la nouvelle quation diff rentielle que v rifie la vitesse par la m thode de tion d iabl t s paration des variables en remarquant que i AEE a a 1 0 h Tracez sommairement mais proprement la courbe repr sentant la vitesse en fonction du temps 4 Satellisation de F licien 1 F licien veut maintenant tre satellis autour de la terre une altitude o les frotte ments soient n gligeables a Si l altitude reste constante par rapport la Terre suppos e ronde quelle serait la nature de la trajectoire de F licien b Pour un mouvement circulaire uniforme d un point M une vitesse de norme v constante d montrer que la norme de l acc l rati
4. on a ut o r est le rayon de la trajectoire On pourra pour cela effectuer la d monstration en utilisant les co ordonn es cart siennes x y de M en les exprimant en fonction de 0 tel qu il est pr sent sur le sch ma suivant On cherchera ensuite les expressions la norme et la vitesse de l acc l ration pour faire appara tre la relation d montrer ici Page 4 c Quelle est la vitesse qu il faudrait alors que F licien ait s il est en orbite l altitude h d Estimez cette vitesse pour h 100 km Page 5
5. tical de longueur 500 m muni de bobines supraconductrices qui acc l re une plateforme munie d une bobine d aluminium plateforme sur laquelle il monte Les bobines sont dispos es de sorte fournir une acc l ration constante En bout de course la plateforme est retenue par deux filins d acier Page 2 1 Quelle est la relation entre l acc l ration totale a subie par F licien dans la catapulte et sa vitesse de lancement vo 2 Justif iez qu en bout de course F licien quitte la plateforme et s envole 3 F licien souhaite monter une altitude de l ordre de 40 km a Donnez l expression de la force de gravitation exerc e par la Terre sur F licien lorsque celui ci se situe une altitude h au dessus de la surface de la terre b Comment se simplifie cette force de gravitation lorsque l on consid re que l altitude h est petite devant le rayon terrestre c On consid re la trajectoire de F licien dans le r f rentiel terrestre Peut on consid rer ici que ce r f rentiel est Galil en Pourquoi d En n gligeant les frottements de l air d terminez la relation entre la vitesse vo et l altitude h que devrait atteindre F licien e Calculez l ordre de grandeur de vo pour une hauteur h 40 km f Calculez l ordre de grandeur de l acc l ration qu il devrait subir dans la catapulte g Le frottement de l air est il bien n gligeable 3 Drone F licien choisit d
6. universit PARIS Universit Paris 7 Denis Diderot 2013 2014 DM Le d fi ultime de F licien BeauGarsNerf DIDEROT gt 7 u y Mode d emploi Ce devoir a pour but de vous pr parer l examen de fin d ann e Il peut doit tre r alis en 3h qui serait le temps dont vous disposerez l examen Essayez de vous mettre en condition sans documents sans calculatrice et lancez vous en 3h sans vous interrompre Si au bout de ce temps vous n tes pas parvenus terminer le devoir reprenez les points qui vous posent probl me et profitez en pour r viser Le champion fran ais de saut extr me F licien BeauGarsNerf veut battre le record de vitesse en chute libre et donc le record d altitude du saut Il vous a choisi comme conseiller scien tifique vous qui connaissez non seulement le rayon de la Terre Rr 6400 km et sa masse volumique moyenne pr 5 515 tonne m mais aussi la valeur de la constante de gravitation universelle G 6 67 1074 m kg s72 Figure 1 Gauche le tenant du titre h 38 km Droite F licien BeauGarsNerf 1 Le costume de saut extr me de F licien 1 Avec son beau costume F licien p se 100 kg tout rond Lorsqu il se d place par rapport l air une vitesse v il est soumis une force de frottement a rodynamique f qui ne d pend que de cette vitesse de la masse volumique p de l air et de la surface S de F licien vue d un observateur situ le long de sa trajectoire
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