plaidoyer pour des transformations qui changent les formes
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1. Quand M est sur T M est confondu avec M Les l ves expliqueront ces observations On pourra faire d int ressantes observations propos de frac tions dont le num rateur est fix et dont le d nominateur est de plus en plus voisin de 0 ou de plus en plus grand c est une premi re approche de la notion de limite On distinguera bien s r le plan math matique infini et l cran graphique avec son nombre fini de pixels On peut comprendre ainsi pourquoi l cran M peut se trouver en O prendre R petit et M loin de O On construit ensuite une nouvelle figure T et une droite D On place M sur D point sur objet On construit l image M de M par l inversion au moyen d une des quatre macros au choix On d place M sur D et on observe M On mat rialise la ligne o se d place M en construisant le lieu de M quand M varie sur D commande lieu cliquer sur M puis sur M On obtient la figure suivante Inv_droite fig sur laquelle on peut agir de diff rentes mani res on d place D parall lement elle m me saisir A ou en la basculant autour de A On peut aussi d placer T ou modifier son rayon Le lieu est recalcul instantan ment Ces images dynamiques sont fort complexes et doivent tre longuement fix es tudi es et comment es On regardera en particulier ce qui se passe quand D s approche de O M me travail quand M se d place sur un cercle La figure Inv_2. avec utilisation de l outil informatique Activit s math matiques et scientifiques n 61 75 76 Tout probl me suppose d abord un travail en environnement papier crayon tableau pour le comprendre le traduire par des relations envisager la construction de figures dynamiques Quelles figures Comment les construire Vient ensuite le travail avec Cabri le probl me peut tre le moyen de d couvrir et d utiliser diff rentes commandes du logi ciel Cette tape rec le de nombreux pi ges une figure Cabri est un ensemble de liens logiques Bien des l ves se contentent d une figure approximative qui ne r siste pas aux d placements de ses l ments L interpr tation des figures la mise en vidence des invariants constitue une tape capitale du travail Elle donne lieu en fin de parcours un compte rendu crit qu avons nous fait Qu avons nous constat Quelle interpr tation proposons nous Com ment le d montrer L ensemble de l activit Coll ge peut s taler sur tout un tri mestre Ainsi les l ves apprendront g rer une activit de longue dur e et r investir dans un probl me de nombreuses connaissances parses Le travail en groupe est un attrait sup pl mentaire Ces activit s propos es en Coll ge peuvent constituer dans le m me contexte d utiles r visions en Seconde La seconde partie de l activit avec Graph x peut se traiter dans le m me c
3. c dente onn e suivante caract re pr c dent caract re suivant ide fface gauche nnule commande fface textes lancement trac fface sous curs i ppel disque nue courbe ourbe pr c dente fface ligne imprine ise z ro ourbe suivante aut d but ligne nu tableau rie x _0 0000 00 y O 0000E 00 _F1 ZO00M F2 IMPRIME F3 TRACE F4 TEXTE ECH CONCLUSION L l ve de coll ge ou de lyc e qui a particip aux activit s d crites dans cet article a un regard neuf sur les transforma tions Il a compris que celles qui conservent sont loin d tre la g n ralit Il sait maintenant en fabriquer de nombreuses qui transforment une droite en courbe complexe Il a pratiqu de nombreux changements de cadres et de registres dont on conna t le caract re formateur Il a rencon tr au passage une transformation g om trique l inversion qui Activit s math matiques et scientifiques n 61 73 joue un r le essentiel en cartographie projection st r ogra phique en lectronique et en m canique des fluides sans par ler de la g om trie Enfin il a fait les indispensables allers retours entre les envi ronnements papier crayon et informatique qui permettent au prix d un travail soutenu de transformer des conjectures n es de l observation patiente des figures informatiques en propri t s d montr es l informatique n est d aucune utilit dans cette tape G
4. rard KUNTZ conseiller scientifique des IREM IREM de Strasbourg 74 Coll ge Lyc e ANNEXES MISE EN PLACE DE GRAPH X L auteur de l article peut envoyer sur demande gkuntz sesa math net l ensemble des fichiers voqu s dans l article dans un unique fichier zip Voici le mode d emploi de ce fichier zipp Proc der l extraction des fichiers Une fois les extractions effectu es on trouve un fichier traceur exe et les fichiers de l article suffixe grx dans le r per toire Graph x Un double clic sur traceur exe g n re les fichiers indispen sables Aux diff rentes questions pos es cette tape r pondre y et valider y pour yes Le fichier programme est GRAPH X On pourra mettre un raccourci sur le bureau Le r pertoire exemples contient de tr s nombreux exemples des possibilit s du logiciel Le fichier Demo est un fichier de d monstration Par les touches Alt F10 on acc de au disque On choisit un fichier suffixe grx puis on le lit La touche F1 lance le trac La touche Echap interrompt le trac et permet de modifier param tres et quations des courbes Un bandeau en bas de l cran pr cise diff rentes com mandes Une aide sommaire est obtenue par la touche F10 MISE EN UVRE DE CES ACTIVIT S AVEC DES L VES L activit propos e en Coll ge entre dans le cadre des travaux de synth se au troisi me trimestre par exemple
5. Cette approche a ses difficult s propres Ici on ne d place pas les courbes la souris mais en agissant sur leurs quations Ce n est pas triste 68 Coll ge Lyc e e INVERSION ASYMPTOTES ET TANGENTES Les questions 7 et 8 ouvrent sur des prolongements qui m ri tent attention Comment sont transform es par inversion les branches infinies des courbes En Premi re S on peut aller au del des conjectures pourvu qu on ait compris la notion de d ri v e et son versant g om trique la tangente Traitons en d tail l exemple suivant On veut transformer par inversion de centre 0 et de rapport 2 P hyperbole d quation y x 1 t Sous Graph x on d finit une courbe n 1 de la fa on suivante a Mel S ICourbe num ro 2 TD T Insertion Il Cart siennes jka 37 14 368 ae Ensemble d etude PE 1 1 x TH Position de l origine en cm partir du coin en bas gauche E13 TE Longueur des axes en cn MIPE MIFARE onn e pr c dente donn e suivante caract re pr c dent caract re suivant ide fface gauche Aennule commande fface textes lancement trac 1 nule courbe ourbe pr c dente i i ise z ro ourbe suivante t F2 ran tre hgt coordonn es aut fin ligne in programme es hange mode j P i onfiguration Longueur des axes en cn IERE MIARE Activit s math matiques et scientifiques n 61 69 En lan ant le trac on obtient les d
6. qui est la m me que OM admet la m me position limite La courbe inverse de l hyperbole com pl t e par O admet donc en O une tangente d quation y x Un raisonnement analogue montre qu elle admet en O la droite Oy comme tangente montre que OM tend vers une position limite parall le Pour la parabole d quation y x 0 5 on montre que l in verse compl t e par O admet deux titres Oy comme tan gente en O la position limite de OM est mise en vidence par xX 0 5 x la limite l infini de Il en est de m me de l inverse de toute courbe ayant des branches paraboliques de direction Oy Il est int ressant de consid rer de ce point de vue le curieux insecte obtenu en inversant la courbe d quation 1 2 cos x On peut rompre la sym trie de la courbe inverse en rempla ant cos x par cos x 1 par exemple y 0 3 On peut aussi s interroger sur la r ciproque de la propri t mise en vidence soit une courbe passant par O et ayant en O une tangente parall le une droite D Comment se traduit cette propri t sur la transform e de cette courbe priv e de O 9 ka est la tangente trigonom trique de l angle OM 10 Point de rebroussement Activit s math matiques et scientifiques n 61 71 11 Transformation e UNE TRANSFORMATION INVOLUTIVE 1 dont le carr gale ne l identit Enfin cons quence de la facilit de transform
7. Coll ge Lyc e PLAIDOYER POUR DES TRANSFORMATIONS QUI CHANGENT LES FORMES par G rard KUNTZ conseiller scientifique des IREM IREM de Strasbourg Les diff rentes transformations ponctuelles qui sont propo s es aux l ves tout au long du Coll ge et du Lyc e poss dent des vertus rares et pr cieuses dans la grande famille des trans formations ponctuelles elles conservent les formes les angles g om triques parfois orient s l alignement le parall lisme l orthogonalit les barycentres le contact L l ve qui subit l num ration puis la d monstration r p titive de ces propri t s finit par se dire qu elles sont la r gle Cette erreur de pers pective explique l ennui perceptible en Premi re et Terminale face des d monstrations de th or mes consid r s comme vi dents par accumulation Rien de tel pour r veiller l int r t que de proposer aux l ves une transformation ponctuelle qui ne soit pas syst matiquement conservatrice par exemple l inversion Elle fut longtemps enseign e en Terminale avant l mergence de l outil informatique puis injustement oubli e Elle peut tre tudi e aujourd hui gr ce l informatique d s le Coll ge On se contente ce niveau d observer de d crire et d tablir quelques propri t s li es sa d finition En Premi re la d marche th orique peut partiellement expliquer et justifier cer taines images informatiques tonn
8. adre et le m me esprit en Premi re et Terminale Coll ge Lyc e
9. antes En Terminale l inver sion est un excellent sujet de travaux dirig s en relation avec les nombres complexes par exemple DES ACTIVIT S EN COLL GE e UN PROBL ME D AIRE On propose l nonc suivant On donne un carr OABC dont la longueur du c t est R On donne un point M sur la demi droite OA Construire un point P sur la demi droite OB de fa on que le rectangle OMNP ait m me Activit s math matiques et scientifiques n 61 1 Les l ves de Seconde et m me de Premi re Scientifique ont de la peine entrer dans une d marche math matique demandant plusieurs tapes et la construction de savoirs interm diaires L informatique permet de MONTRER d embl e les images d une courbe et de sa transform e Elle cr e un choc visuel qui peut veiller l int r t puis l attention pour l indispensable et difficile tape d interpr tation et d explication des images C est son m rite principal 59 60 2 Commande distance et longueur aire que celle du carr Sur quelle ligne se d place N quand M par court la demi droite OA Il est conseill de construire la figure avec un logiciel de g om trie dynamique Dans l article nous utiliserons Cabri pour r aliser les figures On trace une demi droite d origine O que l on fait tour ner rotation de centre O et d angle 90 On place A et M sur la premi re demi droite puis B par la m me r
10. ce unique parmi les tra ceurs il permet de transformer une courbe d finie pas son quation en une courbe 6 par simple introduction des formules math matiques de la transformation Si I transforme M x y en M x y tel que x f x Y y g x y il suffit d crire l qua tion param trique de 6 sous Graph x x 2 f x Y 5 IO gx Y 6 Graph x num rote les courbes Activit s math matiques et scientifiques n 61 67 7 On l obtient en fixant 7 le param tre de Trait cf plus loin 8 Il a t crit par un professeur de math matiques Paul Moutte et a se voit Le logiciel interpr te x et y comme coordonn es du point courant de la courbe i 6 et trace alors point par point la courbe i 1 6 image de par I le trac point par point doit tre demand au logiciel c est p dagogiquement tr s important comme nous l avons d j signal plus haut Il faut encore pr ciser que la courbe initiale peut tre introduite en machine indiff remment sous forme cart sienne param trique ou polaire Ces qualit s sont suffisamment importantes pour que nous continuions utiliser ce logiciel malgr son c t un peu archa que sur le plan technique On peut gr ce ces propri t s tracer les inverses des courbes donn es par une quation pourvu qu on connaisse les formules caract risant l inversion C est l id e du probl me q
11. cercle fig en t moigne Elle permet les m mes exp riences qui appellent de nombreux commentaires Si on d finit un objet triangle ABC on peut choisir M sur cet objet Si on transforme M en M par une des macros il reste d finir le lieu de M quand M parcourt le triangle ABC Activit s math matiques et scientifiques n 61 65 Inv_triangle fig Les modifications du triangle conduisent d int ressantes modifications de l image On peut g n raliser en rempla ant l objet triangle par un objet polygone Inv_ droite fig Inv_cercle fig 66 Coll ge Lyc e Inv triangle fig Les l ves qui sont arriv s jusqu ici ont fait des math matiques int ressantes et vari es qui sont indispensables pour cr er ces images Ils ont au passage pris contact avec plusieurs notions appel es un bel avenir au lyc e param tre et diverses formes de Jonction Il leur reste formuler leurs conjectures c est loin d tre simple et d montrer que cette transformation ne conserve pas les distances ce qui est tout fait leur port e Il reste prolonger ces d couvertes au lyc e en passant dans le cadre alg brique APPROCHE ALG BRIQUE ET PROLONGEMENTS DE CETTE ACTIVIT EN LYC E On peut aussi traiter l activit qui pr c de dans le cadre alg brique l aide du traceur de courbes Graph x Celui ci poss de une qualit essentielle et ma connaissan
12. e aucune formule Autre interpr tation g om trique sugg r e par OM OP R celle d une hauteur d un triangle rectangle moyenne propor tionnelle entre les segments qu elle d termine sur l hypot nuse La figure 3 en rend compte Une seconde interpr tation de cette relation dans le triangle rectangle celle d un c t de l angle droit moyenne propor tionnelle entre les segments qu elle d termine sur l hypot nuse pr sente une difficult technique Elle suppose deux constructions diff rentes suivant que OM est sup rieur ou inf rieur R Cabri prend en charge de telles constructions conditionnelles comme le Activit s math matiques et scientifiques n 61 61 Donn e R c t du carr OABC POINT LIBRE SUR Ox M O 0M OP se traduit par OAJ0M 0P OC Le rectangle OMNP a m me aire que le carr OABC 3 Suivant la position de OM par rapport R Cabri construit la partie de lieu correspondant cette situation Figure 2 Thal s Donn e R c t du carr OABC POINT LIBRE SUR Ox M OC 0M 0Q 0M OP car OC est la hauteur du triangle rectangle en C MCO Le rectangle OMNP a m me aire que le carr OABC Figure 3 montrent les deux copies d cran a et b de la m me figure dyna mique figure 4 tr_rectl Mais la construction du lieu se fait aussi en deux temps partir des deux situations On le voit les diff rentes interpr tation
13. e la macro associe un unique point M situ sur OM et v rifiant OM OM R On retrouve un processus fonctionnel d j signal plus haut mais largement complexifi A tout couple Cercle point cette fonction associe un unique point M En g n ral on fixe le cercle T son centre O et son rayon R et on d finit ainsi la fonction J qui associe tout MO l unique point M Z M M I est appel e inversion de cercle T T joue le r le de param tre de 7 Les macros r alis es sont successivement enregistr es sous les noms Inv_num Inv Thal s Inv_tr_rect Inv_tr_rectl ce sont des fichiers mac Elles sont alors utilisables tout moment d une activit g om trique avec Cabri Coll ge Lyc e partir de l on peut traiter la suite du probl me On ouvre les quatre macros commande fichier puis ouvrir et d si gner successivement chaque macros Elles sont ajout es au menu macro et utilisables la demande On construit I O R et le point M Dans le menu macros on clique sur Inv_ Thal s par exemple puis on d signe les objets initiaux cercle I cliquer et point M cliquer partir de ces objets initiaux Cabri construit M inverse de M On peut alors nommer ces deux points puis d placer M et observer M On remarque que quand M s approche de O M s en loigne jusqu o quand M s loigne de O M s en approche jusqu quel point
14. er une courbe sous Graph x il n est pas tr s compliqu de mettre en vidence le caract re involutif de l inversion Il suffit de proposer la question suivante Pour chaque courbe transform e par l inversion on cherche transformer la courbe image courbe n 2 par la m me inversion Comment r aliser ce projet sous Graph x Que d couvre t on Expli quez le ph nom ne observ Pour distinguer la courbe initiale n 1 de la courbe finale n 3 on peut ne pas tracer la courbe n 2 Trait et mettre la courbe n 3 dans une couleur distincte de la courbe n 1 Voici ci dessous l cran correspondant la courbe 3 qu il convient d ajouter pour obtenir dans chaque cas le r sultat demand la courbe l inverse et l inverse de l inverse Ce qu on observe la probable superposition des courbes 1 et 3 s explique par le fait que l inversion change M et M OM OM R 1 MM I MM ICourbe num ro 3 Kku f1826 Insertion I Param triques 21 18 07 336144 MENT 13 13 LP x2 272 y2 2 MESE y2 Cx2 2 y272 unit s cn TE TH couleur m 05 Position de l origine en cm partir du coin en bas gauche N3 TE Longueur des axes en cn STEREL3 MFAS e DES USAGES PERFORMANTS DE GRAPH X EN COLL GE Il serait erron de croire que Graph x n a d applications qu en Lyc e On peut poursuivre en Coll ge l exploration des trans f
15. eux courbes sur le m me cran x _0 0000 00 y 0 0000 00 F1 ZO0M F2 IMPRIME F3 TRACE F4 TEXTE ECH 7 La commande Zoom appliqu e r p titivement un rectangle centr l origine donne les trac s suivants x _0 0000 00 y O 0000E 00 _F1 ZO00M F2 IMPRIME F3 TRACE F4 TEXTE ECH eanas x 0 0000E 00 y 0 00000E 00 _F1 ZO00M F2 IMPRIME F3 TRACE F4 TEXTE ECH Coll ge Lyc e On n est gu re surpris que la courbe transform e entre dans un rectangle contenant l origine les points les plus proches de O de la courbe initiale sont transform s en les points les plus loign s de O de la courbe image Les points tr s loign s de O sont transform s en des points tr s proches de O Les zooms successifs autour de O font appara tre des trous que l on peut r tr cir sans jamais les combler en agissant sur les ensembles de d finition Mais ils laissent aussi entrevoir que la courbe transform e compl t e par le point O poss de en O deux tan gentes parall les aux asymptotes de la courbe initiale Il n est pas bien difficile de le prouver Prenons par exemple un point M de l hyperbole dont l abs cisse tende vers plus l infini L tude de la limite l infini de LCR X l asymptote y x 1 Un raisonnement g om trique simple conduit aux m mes conclusions Dans ces conditions OM tend vers 0 M tend donc vers O sur la courbe inverse La droite OM
16. oite OM d origine O et v rifiant OM OM R Pourquoi fait on l hypoth se M O Construisez M partir de M Observez le d placement de M en fonction de M Commentez Cette transformation conserve t elle les distances Placez M sur une droite D Sur quelle ligne semble alors se d pla cer M on pourra utiliser la commande lieu D placez D D crivez Placez M sur un cercle C Sur quelle ligne semble se d placer M on pourra utiliser la commande lieu D placez D D crivez Placez M sur un triangle T Sur quelle ligne semble se d placer M on pourra utiliser la commande lieu D placez T D crivez On voit bien le rapport de cette partie avec le d but de l nonc o l on construisait P puis N partir de M On peut remplacer les donn es de O et de R par celle du cercle T de centre O et de rayon R On construit ensuite la demi droite OM et celle qui s en d duit par rotation de centre O et d angle 90 Nous sommes alors exactement dans la situation qui vient d tre trait e On a donc 4 mani res distinctes de construire P dont on d duit M intersection de OM et du cercle O OP On peut ensuite pour chacune des constructions r alis es d finir la macro construction associ e Dans ces quatre macros les objets initiaux sont T et M L objet final est le point M chaque donn e d un cercle et d un point distinct du centre du cercl
17. ormations qui changent les formes d s qu on a la notion de coordonn es d un point dans un rep re On peut alors proposer une activit papier dont les r gles sont les suivantes tout M x y on associe M x y x et y tant calcul s partir de x et de y par exemple x 2x 3y y x y On peut calculer la main x et y pour plusieurs points et mettre en place M On peut regarder ce que devien nent les images de points align s les images de trois points for mant un triangle etc De nombreuses notions et propri t s sont accessibles ces d marches simples et exp rimentales hors envi ronnement informatique Quand la d marche est bien comprise on peut l automatiser par Graph x comme nous l avons fait pr c demment Rien n em 72 Coll ge Lyc e p che de donner aux l ves l quation de courbes simples on part videmment des droites et de jouer sur les transformations On peut aussi leur demander d inventer des formules qui donnent des images int ressantes L activit cr e des images mentales fort importantes pour la suite En voici un exemple image de la droite d quation y x 1 s GRAPHIX Ioix an ee m E 413 ezz x1 2 y1 xi 2 yi unit s lt cn gt EH TH HEC EEE 65 Position de l origine en cm partir du coin en bas gauche E13 TE ngueur des axes en cn MISGE MIFARE fionn e pr
18. otation appliqu e sur la seconde demi droite Les hypoth ses se traduisent par la relation OM OP R On peut l interpr ter de diff rentes mani res R2 OM On fait alors afficher la longueur R de OA et celle de OM On introduit ces valeurs dans la calculatrice de Cabri pour valuer la longueur de ON que l on reporte report de mesure sur la demi droite OC On obtient ainsi le point P Il suffit alors de construire N droite perpendiculaire et point sur deux objets En d pla ant M sur la demi droite OA point sur objet N se d place sur une ligne on dira une courbe qui passe par B on demande la raison aux l ves On peut mat rialiser cette courbe avec la commande trace Malgr sa complexit je lui pr f re la commande lieu qui g n re un objet Cabri contrairement trace qui g n re un dessin Point n est besoin d entrer dans le d tail de la notion de lieu il suffit d ex pliquer qu il s agit de dessiner et de conserver diff rentes posi tions de N quand M varie Je propose de configurer les pr f rences du lieu en d cochant lier les points et en choi sissant 100 points pour le lieu On obtient le trac point par point du lieu en figure 1 On vite ainsi de cr er dans l esprit des l ves les id es fausses d exhaustivit et de continuit dans le trac propos par Cabri Dans le cadre num rique on crit OP Le profe
19. s de la relation initiale n ont pas le m me co t 62 Coll ge Lyc e On peut ainsi propos de cet exercice simple mobiliser de nombreuses connaissances math matiques et conduire les l ves pratiquer nombre de changements de cadres et de registres Nous allons maintenant utiliser ces acquis pour aborder une notion plus abstraite celle de transformation Donn e R c t du carr OABC POINT LIBRE SUR OA M OT gt 0M OH dans le triangle rectangle OTM Le rectangle OMNP a m me aire que le carr OABC Figure 4a Donn e R c t du carr OABC POINT LIBRE SUR OA M OT 0M OH dans le triangle rectangle OTH Le rectangle OMNP a m me aire que le carr OABC Figure 4b Activit s math matiques et scientifiques n 61 63 4 Dans la premi re partie les demi droites taient premi res et M tait sur une de ces demi droites Ici c est M qui est la donn e initiale dont on d duit les demi droites C est essentiel si on veut que les futures macro constructions puissent tre valid es 5 Attention Inv_tr_rectl a deux objets finaux correspondant chacun un des deux cas de figure 64 e UNE TRANSFORMATION PONCTUELLE QUI SORT DE L ORDINAIRE On peut proposer des prolongements l nonc initial en ces termes On donne un point fixe O et une longueur R tout point M distinct de O on associe le point M situ sur la demi dr
20. sseur pourra faire remarquer qu chaque point M distinct de O chaque longueur de OM distincte de 0 cor respond un unique point N On dira alors que N est fonction de M Il en est de m me pour P qui est aussi fonction de M Cette propri t se traduit ici par une formule OP r Autre notion int ressante celle de param tre d un pro bl me Le carr OABC est certes donn Mais rien n emp che de d placer A donc de choisir une autre valeur de R Pour chaque choix de A Cabri recalcule la figure et en particulier le lieu de N C est spectaculaire et tr s parlant Coll ge Lyc e On le voit dans cet exercice simple se profilent des notions essentielles traduit par OP R 0M p OP 2 21 cm R 6 35 cm Donn e R c t du carr OABC POINT LIBRE SUR OA M Le rectangle OMNP a m me aire que le carr OABC se o A OM 18 26 cm Figure 1 Dans le cadre g om trique la relation OM OP R est sus ceptible de multiples interpr tations Une premi re r criture en 2 au nous conduit au registre Thal s On peut l crire qui traduit le parall lisme des droites CM et AP La construction de P puis de N en d coulent voir figure 2 Tha l s Dans cette interpr tation aucune longueur n est directement utilis e cette construction diff re profond ment de la pr c dente On d finit ici une fonction qui transforme M en P ou M en N qui n est li
21. ue voici ne transformation originale inversion Une transf ti ginale P O est un point fixe donn du plan R est un r el donn non nul OLJ est un rep re orthonorm I O R est la fonction du plan dans lui m me d finie ainsi Au point M du plan I O R associe le point M tel que a O M M soient align s b OM OM R EOE 1 Montrez que la condition b est quivalente OM OM R 2 Quel est l ensemble de d finition de I O R Y a t il des points invariants Pr cisez les 3 Pour toute la suite on prendra R 2 a partir de la d finition de I O 2 comment volue M quand M s approche de O Quand M tend vers O Quand M s loigne de O O se trouve M quand M est tr s loin de O b Soient x y les coordonn es de M x y celles de M Calculez x et y en fonction de x et y 4 Sous Graph x tracez une droite D ne passant pas par O Tracez l image de D par I O 2 Conjecture Que se passera it il si D contenait O 5 Tracez un cercle ne contenant pas O Quelle est son image par I O 2 6 Tracez un cercle passant par O Quelle est son image par 1 0 2 7 Quelle est l image de la parabole d quation y x 0 5 8 Appliquez I O 2 des courbes qui vous paraissent int ressantes dans ce contexte expliquez pourquoi Les six premi res questions du probl me reprennent dans le cadre alg brique l activit trait e plus haut sous Cabri
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