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Calcul Moulien

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1. 4 Introduction sie AA A A A A AD dns A A 3A 8 CIDO SE PS A O S E 6 Les Taisons UE nesta td A A A Ad a RE Battle dc E 6 Pr sentation standard des moules 4 4 2424222 7 Plan du MI tati AAA AA A AAA 6 ARAS nn RA AAA AAA ES 11 Remerciements 20e ut che he ee e o Pe DG Re ne ee on a a a a ad Re nue NS 2 Partie I Pr liminsaires sesione nes ddd eee eisieieeeeeeeueseeeeee 3 1 Alg bre associative et alg bre de lie libre 4 44 44 rr 13 2 Cop bres Gti pite Dres es A SN AA nn DP RS en A die 17 2 1 Cogebres et Coprod Uli tin dite 22052272 he ROUE 20 74 222900 2 ne 7 2 2 Big bres et graduations 2e etida de desert duos dat prb as 17 Classification math matique par sujets 2000 17B40 17A50 17B62 17B70 JACKY CRESSON 2 37 CAPO 2e ia A A A a ET ana ol DEA EE 2887 18 2 4 Alg bre de d rivations seps iusiose A mot es eee desde 18 2 5 Alg bre d op rateurs diff rentiels 20004000440 0400004000040000 0 00000000 0000 22 Partie II Calcul Monleras 24 1 Moules A A tn E NER DPR A EE DRE RA NA EE re BE 24 2 Les big bres A et Essia ge EAR sonne N tata uses DR RARA etes 25 3 Combinatoire sur et E battage et battage contractant 2 26 3 17 Combinatoire sur AQ ue die Ha ee a en ae LUN
2. e 1 e Te lt il 1 elel 1 O We EWI Wi Lemme 11 10 Le moule Se est sym trel D monstration Elle se fait par r currence sur la longueur des s quences On commence par noter que w En Wer 11 82 Se Ma D 46 D apr s le lemme IT 6 on a JACKY CRESSON y Set y Sel Y Set wEcsh wl w wEcsh wl ww w wecsh wl _ 2 ur Se wecsh wl pe 1 vP w3 d o en utilisant 11 82 w2 wl e r m ma D se se Gers 4 see Gee wEcsh w w a A em w w lt m 1 w2 lt r 1 CES e Se Maa e Se Se EI D C TE y el lt e e WU 1 e ENT he Mal 1 Se Se Se Se On a donc le lemme CALCUL MOULIEN 47 PARTIE III ALG BRE COMPOSITION DES MOULES La correspondance entre moules et s ries formelles non commutatives permet de munir l ensemble des moules d une structure d alg bre non commutative On introduit aussi une op ration appell e composition et qui est l analogue non commutatif de la substitution des s ries formelles Cette op ration n existe pas dans les travaux combinatoires usuels comme par exemple dans l tude des alg bres de Hopf On introduit aussi les groupes alterna e l et symetra e l 1 Structure d alg bre Soit X un ensemble d l ments X indic s par un semi groupe Q On suppose X muni d un coproduit not A On note K X l alg bre des s ries formel
3. 0 On dit que est d ordre 0 Un op rateur diff rentiel est homog ne en ordre d ordre d si il est de la forme B Y EG d 90 JACKY CRESSON Quelle est la d composition ad quate des op rateurs B On peut imposer deux contraintes naturelles dans le cadre de ce probl me i On isole dans les B des op rateurs diff rentiels homog nes en ordre ceux ci tant d ja homog nes en degr ii Les coefficients de ces op rateurs sont des produits de termes d pendants des Bi La condition ii est n cessaire si l on veut facilement majorer la norme de ces op rateurs ce qui est essentiel pour notre propos 5 4 Codage du proc d de d composition Le proc d de d composition peut se coder via deux op rations sur les op rateurs homog nes en ordre et en degr et donne naissance une fois formalis la m thode d arborification D finition V 8 Soient B et Ba deux op rateurs diff rentiels homog nes en degr et en ordre 12 d o les bis sont dans Cl x On note Ba2 lt 2 biale 8 02 2 32 et Bios 2 bo x rott Par r currence sur la longueur des suites on peut coder lensemble des parties ho mog nes en degr d un op rateur Bn CALCUL MOULIEN 91 Notons B nta dr i 1 2 3 On a B123 a Bal j dr Ba 21 0 Et 2 _ D Bl zi 82 Bot Or B3 h ye 2 B3 k dz B3 1 0 Ba B2
4. CALCUL MOULIEN 89 Essentiellement la question laquelle nous allons r pondre est la suivante comment affiner notre estimation de la norme de la s rie moulienne Va 5 3 Premier pas homog n it et sym trie La construction du normalisateur Na utilise des op rateurs diff rentiels homog nes en degr Ba n A X Les diff rentes combinaisons B de ces op rateurs sont encore des op rateurs diff rentiels homog nes de degr n Peut on pr ciser ce point Il suffit de faire un calcul en longueur 2 pour avoir une id e du r sultat g n ral Soit B et B2 deux op rateurs de degr n et n respectivement de la forme B S B 2 0 1 2 j 1 L op rateur compos B 1 9 B1B2 s crit V 65 Baz Y Brlx5 0s Ba 25 10 Y B1 xi Ba x 82 ij tj De la m me mani re on a V 66 Bou Balx5 0s Br 25 10 Y B1 xi Ba x 82 ij tj On voit que le second terme du d veloppement de Bo est le m me que celui de Ba gt Devant ce terme le coefficient est Nat Na Comme le moule Na est sym tral on a Na Na Na Na Que faut il retenir de ce calcul On peut d composer les B de fa on profiter des sym tries du moule Na pour obtenir des majorations plus fines Avant de pr ciser la d composition on introduit la notion d ordre d un op rateur diff rentiel D finition V 7 Pour tout v uplet 9 8 0 d entiers positifs on note 0 0
5. En d autres termes on a pour 1 lt lt t ys est gal soit une composante de y soit une composante de y soit la contraction d une composante de y et une composante de y Pour 1 lt lt t on pose dy si Ys Y est une composante de y g J J 2 11 22 by Q yo sl Ys Ys est une composante de y X k g Uy 4 Uy SL Ys Ys 1 s 2 J Alors by gt by 0 0 C par le lemme 11 2 et by bys 0 0 yt y ce qui prouve que si y csh y y alors 11 23 ee On d montre maintenant la direction inverse savoir si y Ys Ys est tel que y y Cy alors y csh y y Par le lemme 11 2 on sait que 11 24 E y by net bys 0 0 Wa ee Yst Ys Y 1 2 g avec bys Ay Qy POUT 1 lt lt t et 8 8 Si ya Ya Supposons que y Yki Yk t y Yy Y On constate donc que et 11 26 y Yh gt Yim Ys gt Ys 32 JACKY CRESSON Avec les conditions s s s pour 1 lt lt t ceci force la valeur de chaque Yst et ys2 En effet on a forc ment Yk 0 si ys Yk est une composante de y 11 27 Ys1 Ys Du si Ys y est une composante de y Yk Vin si s k l est une somme Ceci termine la d monstration de la proposition 11 2 4 l ments primitifs de et E 4 1 l ments primitifs de A On se place de nouvea
6. Remarque V 8 Le lemme pr c dent traduit simplement le fait qu la r i me tape on ne touche pas les composantes de degr inf rieur r du champ Le calcul explicite des moules T ram est possible car on a une expression exacte des moules du champ simplifi Il n est pas n cessaire d it rer la composition du moule Sam En effet nous avons les deux relations suivantes V 51 Tram Tram o Sam V 52 Tram Sam o Tram qui proviennent toutes les deux de la stabilisation des compos s it r s du moule Sam sur Tram De ces deux formules seule la premi re fournit une relation de r currence En effet on d V 53 Fram ere y Tram Il Sam Sam ul uT w ram R am x ram ram V 54 T 01 00 Saml lle uw p ur ul uT w Si au moins un w 0 alors le moule Tram r est d fini par r V 55 Tram ire gt Tram l Sam Sam ul ur w r lt n 1 Par ailleurs si tous les w sont nuls on a par alternalit pour toute suite de longueur gt 2 V 56 Tram Q Remarque V 9 Le moule Tram est associ une forme pr normale Il est donc nul sur toute suite w telle que w 0 i e sur les suites non r sonantes Malheureusement si w 0 alors le moule Tram disparait dans la seconde quation 5 Arborification une introduction Un probl me important dans la normalisation des champs de vecteurs ou dift omor phismes est celui de la converg
7. A X de longueur r par V 34 Nat La w wr o w 8 avec A1 Ay CALCUL MOULIEN 77 Th or me V 4 Universalit du moule Ne de lin arisation Cas des diffeos Soit Le Le 1 r N la famille de fonctions valeurs complexes Le C gt C d finies par erit er Vaa res e it ar _ 1 erat 20 1 er 1 pour tout 11 t CA Se o le lieu singulier est donn par V 36 Se 2 0 J r 21 0 LJ ri zr 0 Si F poss de une partie lin aire de spectre e e non r sonant alors le moule de lin arisation formelle est donn pour toute suite s A F de longueur r par V 37 Ne be wi Wr o w si avec A1 Ap Le calcul moulien permet donc d isoler dans le probl me de lin arisation ce qui est 19 intrins que de ce qui ne l est pasl 4 Pr normalisation 4 1 Formes pr normales On d finit en suivant Ecalle Vallet 15 la notion de forme pr normale continue D finition V 2 Une forme pr normale d un champ X dont la partie semi simple est diagonale est la donn e d un champ de vecteur Xpran de la forme V 38 X pran Xlin X avec Xin X 0 Le champ X est donc uniquement constitu de mon mes r sonnants Remarque V 4 La classique forme normale de Poincar Dulac est une forme pr nor male D finition V 3 Soit X un champ de vecteur local de C sous form
8. Le but de cette partie est de montrer le langage des moules et comoules en action sur le probl me de la recherche des formes normales d objets analytiques locaux comme les champs de vecteurs et les diff omorphismes de C On d montre les versions mouliennes de th or mes classiques th or me de Poincar forme normale r sonante de Poincar Dulac th or me de Bruyno et ceci aussi bien pour les diff omorphismes que les champs de vecteurs analytiques locaux Outre leurs int r ts conceptuels ces d monstrations donnent des expressions explicites des normalisateurs et permettent de mettre en vidence des coefficients universels dans ces probl mes qui sont justement des moules Au passage on donne une pr sentation originale de la m thode d arborification qui restaure la convergence des s ries mouliennes et dont le domaine d applications d passe largement celui de la th orie des formes normales 1 Objets locaux champs de vecteurs et diff omorphismes 1 1 Champs de vecteurs Soit y N On consid re un champ de vecteur de C de la forme V 1 X Y Xil Xi x C x i 1 avec la notation simplifi e 0 0 Nous tudions les champs de vecteurs locaux i e tels que V 2 X 0 0 1 v On note Xin la partie lin aire de X En suivant Brjuno 3 on d compose le champ X sous la forme V 3 X Xlin Dn neA X 14 C est dire des changements de variables 15 Nou
9. Nous crivons 11 T pour un l ment de X L entier r s appelle la longueur de la suite si r 1 alors x X et l unique l ment de X de longueur 0 est Notons C X l ensemble des couples de suites de X on note un couple de suites 12 21 En ET Em D finition 11 4 chaque x X soit Cz le sous ensemble de C X de couples de suites engendr par A x i e apparaissant dans l expression de A x CALCUL MOULIEN 27 e Pour r 0 ona A A 181 0 80 donc Co 0 0 e Pour r 1 on a A x x 1 1 7x donc Cz e 0 0 2 e Pour r 2 on a g z1 2 et A x1 2 A z A z2 7191 18 zq 1281 18 22 T1T2 1 T2 Q T1 T1 Q T2 1 Q 211 zO TOT T QT 0 x donc Cy s1 xa X D 1 22 2 21 2 e Pour tout r gt 0 on a Cz 2 si x contient r composantes distinctes De mani re g n rale on voit que l ensemble des couples apparaissant dans l expression de A x c est dire les couples de C est donn par IL 6 Cr es 2 G P h o 11 7 est une suite de X de longueur r la d finition de l ensemble P des paires de suites d entiers associ un entier r gt 1 est donn e dans la d finition 1 4 du 81 2 4 et pour 1 b1 2n j is Im on a Lj lu Zin Ej Ej gt gt gt Ej Nous arrivons maintenant la d finition et aux r sultats principaux
10. Par contre en posant D 1 Do Di D2 D2D on obtient 137 Di Dajey D1 Dalz y e Dr Daly Par cons quent D1 Da Der A et fait de Der A une alg bre de Lie appel e alg bre de Lie des d rivations ou alg bre de d rivations de A Soit F A D Di une famille finie de d rivations de Der A On note K F 4 l anneau des s ries formelles sur l alphabet F 4 Pr cisons que nous consid rons l identit id comme l unique op rateur diff rentiel d ordre 0 et nous l identifions avec l l ment 1 K De cette mani re tous les l ments de K F A sont des op rateurs sur A On peut munir l alg bre K F 4 d une structure de cog bre Counit On note e l homomorphisme 1 38 K Der A gt K d fini en associant chaque s rie formelle de K F 4 son terme constant Coproduit A toute d rivation D Der A on associe un op rateur de AQ A dans AQ not D par 1 39 D 8 Yv Dh v 6 Dy 20 JACKY CRESSON Si D et D sont deux d rivations on construit une application naturelle de A A dans A not e D Da d finie par 1 40 D Dr g Y Dig Do Finalement on d finit une application lin aire A de Der A dans Der A Der A par 1 41 Der A Der A Der A D gt D 1 1 D On note que 1 42 D A D De plus en notant u l op rateur lin aire de A dans A d fini par Y 0 4 on
11. 2 IV 28 Fw Y MEN Y f u ME FAN soit o Eu 1V 29 Fw f w f u L application f est donc un morphisme de 0 e dans K x 7 3 2 Exemples Soit Q un alphabet de lettres w R Pour tout moule M sur M O et pour toute suite w Q on d finit une application eY par IV 30 eY Me elel ge Remarque IV 4 Cet automorphisme intervient naturellement dans les probl mes de formes normales des diff omorphismes locauz 3 3 Automorphismes et moules symetrels Le lemme suivant est l analogue de la relation liant derivations et moules symetrals dans le cas des automorphismes et des moules symetrels Lemme IV 5 Soit Q un alphabet M Q l alg bre des moules sur Q et Af un auto morphisme admissible sur M Q Soit M un moule tel que IV 31 Af MJ 1 41 x M Alors le moule M est sym trel D monstration Pour toute suite w on a IV 32 f w ME M2 M2 62 JACKY CRESSON soit 1 gt 2 IV 33 M2 MA l f w _1 On a donc 1 gt gt M E gt f w ME wW immi weCSh u v weCSh u v IV 34 1 y ye 1 Hue weCSh u v car la valeur de f sur un mot ne d pend pas de l ordre des lettres Les propri t s du battage contractant via le lemme 11 6 donnent 1 22 gt 2 gt 2 De MIME ME Me MEME wecsh u v f uv 1 d A Fo f u 1 f u 1 1 DO DI MUM car f uv f u f v par
12. Lemme V 1 Soient p x Y amz E Cl lx et Bw i 1 r une famille d op rateurs diff rentiels ME degr n satisfaisant V 16 Baila Brant ge C Ona V 17 gt ana m X AV O a e C D monstration On a gt LR am B nl J m y am B Tad yue Bar X Par ailleurs on a pour tout n y am Brix S an PB matt Une r currence imm diate termine la d monstration On en d duit le corollaire essentiel suivant Corollaire V 1 Pour toute suite s on a V 18 Xin Ds A s Ds Ds X in D monstration On a en utilisant V 17 y En AA nn ju t Sn Comme Xjn 1 ne on en d duit Xin BnD X 20m go ment Oman agree soit KE nolz 20m gr m 8 m HAN A n per tn T Y am B um 8 men 4 ma Etre 72 JACKY CRESSON D monstration du th or me V 1 On a en utilisant le corollaire V 1 V 19 Xii X men Y VM D 3 M DeXiin La multiplication gauche par O7 donne OXO D 0 x VO D Y 0 OD Xin Comme 6 16 1 on a Y 8 6 D Xin Xhin soit O Xji10 gt 0 x VO D Xin On a donc Xin Y Ca D Xin Y Na VNa D Y Na I Na D On en d duit le r sultat Pour les diff omorphismes la d monstration est analogue 3 Lin arisation formelle Dans cette section on red montre le th or me de lin arisation formelle de Poincar L outil moul
13. de mots homog nes de longueur n On a donc 1 16 Assx Q Ass Lx QL r 0 r 0 On prend les compl t s par rapport ces graduations que l on note 1 17 Assx 4ss x r 0 r 0 un l ment m d un tel compl t peut tre repr sent par une serie formelle 1 18 MS MX r 1 r 0 we avec Y Ass nous noterons cette somme de mani re condens e 1 19 ma Y MX Un l ment de Assx est enti rement d termin par la donn e de ses coefficients M Soit M Assy l id al engendr par l ensemble fini X c est donc l id al des s ries formelles sans terme constant On d finit les applications 1 20 exp M gt 1 M log 1 M M par les formules usuelles x 29 a x 1 21 exp x gt T log 1 x 1 a On a 1 22 exp log log exp 1 On d finit le produ t tensoriel compl t 1 23 Assx Assx 455 0 Ass Pp CALCUL MOULIEN 17 et on note que le coproduit A s tend aux compl t s ainsi que le th or me 1 1 c est dire que Lx s identifie l int rieur de Assy avec l ensemble des m ASS tels que A m m 1 1 m dans Assx Assx On a le r sultat important suivant Th or me 1 3 L application exp d finit une bijection de l ensemble des l ments pri mitifs a M c est dire tels que Aa 1 1 a vers l ensemble des B 1 M tels que AB B B 2 Cog bres et big bres 2 1 Cog bres et coprodu
14. le calcul moulien est per u comme compliqu et difficile manier Cette remarque permet aux sp cialistes des divers champs d applications du calcul moulien de le laisser de c t Une autre cons quence est que les apports de ce calcul par exemple dans l tude des champs de vecteurs et des diff omorphismes sont souvent mal cern s voir ignor s Le but de ce texte est de montrer la simplicit d usage du calcul moulien et son ap port aussi bien th orique que pratique dans le probl me classique des formes normales 1 Je pense ici aux r centes contributions de Jean Ecalle en th orie des nombres sur la combinatoire des polyz tas 2 Ce texte est bas sur mon cours de DEA Calcul moulien et s ries formelles non commutatives donn l Universit Semlalia de Marrakech en avril 2002 et une s rie d expos s intitul s Calcul moulien et polyz tas donn s en Mai 2002 Paris VI en compl ment du cours de DEA de Michel Waldschmidt Valeurs z tas multiples 3 Quand il n est pas vu comme une th orie des moules CALCUL MOULIEN 7 de champs de vecteurs via la d monstration de plusieurs th or mes connus notamment celui de Bryuno sur la lin arisation analytique des champs de vecteurs non r sonnants en pr sence de petits diviseurs Bien entendu les moules permettent aussi de d montrer des r sultats nouveaux souvent difficiles d atteinte pour les m thodes classiques Mais il est plus fa
15. le poids On tend cette d finition A par lin arit On a IV 40 Exp Exp z Xy ze X EN o les y sont les composantes homog nes de poids de Exp Or l alphabet y v rifie IV 41 A yi gt Yi D Yk l k i En effet on a IV 42 A yi A y Exptzx z 2 i On a IV 43 A z e g 21 02 resh a 2 Comme la somme 1V 42 fait intervenir tous les x tels que x i on peut la re crire en utilisant 1V 43 IV 44 Ayi Exp Exp x zx 22 22 t l o nous avons implicitement utilis le fait que le moule Exp d pend seulement de la longueur des suites 64 JACKY CRESSON En regroupant les termes on a finalement IV 45 A yi Y 3 1 Yr l k i ce qui termine la d monstration La d monstration du th or me IV 3 s en d duit comme suit Soit Sa la s rie formelle non commutative associ e au moule Sa sur X Par d finition de la composition des moules on a IV 46 Sa Sa r SeY Y xEX YEY Comme l alphabet est constitu de lettres groupe like pour le coproduit A et le moule S e est symmetrel alors la s rie gt Se Y est groupe like pour le coproduit A On en d duit Yey que le moule Sa est symmetral puisqu il d finit un l ment group like sur un alphabet primitif Le d monstration du passage entre moule alternel et alternal est analogue CALCUL MOULIEN 65 PARTIE V TH ORIE DES FORMES NORMALES D OBJETS LOCAUX
16. trals muni de la multipli cation et Mou Q des moules alternals muni de la composition sont des sous groupes non distingu s de M Q et M Q respectivement La d monstration repose sur le lemme suivant Lemme II 5 Soient A Miym Q B Miym Q C Mou Q et E Mou Q on a i 4 E Moym Q ii CO D Mau Q iii A x B Moym Q iv C o E Mau Q v B x C x B Man Q D monstration On peut d montrer i et iii en utilisant la formule de Campbell Hausdorff Soit x et y deux l ments de Lx alors exp x exp y expz o z Lx Tout moule sym tral s obtient par le lemme 111 1 comme exponentielle d un moule alternal La formule de Campbell Hausdorff assure que o A D Y B D D 4 x B D s crit sous la forme exp F D o F est un moule alternal Par d finition on a donc exp F Matt De m me on obtient facilement 4 Msym N La propri t v exprime la stabilit des d rivations via une conjugaison par un automor phisme de U Elle est donc vidente Les propri t s ii et iv repose sur le fait que toute transformation associ e un moule alternal transforme un l ment de L x en un l ment de L x Elles d coulent donc de la d finition m me de la composition des moules interpr t e en terme d op rateur dans le lemme 111 2 On note ret Xy gt Xo l involution qui a toute suite w w1
17. 66 se shik uw ut taa 7 n 1 2 2 sE Shot _ 102 2 1 na TE s Sh 02 w02_ Par ailleurs le moule T tant alternal jusqu l ordre r 1 on a les galit s y Teg y TS 0 11 67 se Shu wm aw se Sh wL _ 02 1 02 gt TE gt TS 0 sE Shot w2 _ 2 5 shet ow wt a L quation 11 66 peut donc s crire sous la forme 1 1 X PL 2 r WES w w sE shot NOREA wi 11 68 i i y sl 1 2 1 Wn Wm W 09 se Shot awm On d compose les deux sommes sous la forme 11 69 TE T y TE se sh ui _ w2 wi se sh u Wm ul yw se sh w 1wZ m 2 7 105 TS gt TS y T se sh wl _ 2 _ 0 se sh w joues ul 1 se sh w Wm 2 2 12 N x CALCUL MOULIEN 43 On note 11 70 A Ti B TE se shwt owm wi selShiwt w2 _ w2 _4 L quation 11 68 s crit donc 1 1 J TE A l Ee w2 w WZ wi wlw T 5l 11 71 wESh wt w A HB f A w2 wl wt w zl Par hypoth se d alternalit de T jusqu l ordre r 1 on a 172 A B 0 2 Wm 1 Wir w soit en notant C a wl w et Cg w w les coefficients de A et B dans 11 71 11 73 Y Te A Ca w w Cp w w wESh w w Un simple calcul donne C a wl w C w w 0 d o le r sultat 6 2 Un moule alternel Le moule alternel le plus
18. Er wi de e e w 1 riwi Wp 82 JACKY CRESSON On en d duit l expression du moule F exp J x E On a F 0 et F E donc F 0siw 0 et F 1 sinon pour un mot de longueur r gt 1 on a Fr exp JE exp D LEE ess exp J 1 r 1 per donc FP 0 si un au moins des w est nul Si aucun w n est nul alors wi gt gt gt wr 1 Dor rl Wr r 1w wr y EDF AA Wr W1 W r k DUk D Foi wr _ k 1 Sam F D on a Sam F D 0 et 1 si w 0 am Osiw 0 Pour toute suite de longueur r gt 2 on a si au moins deux w sont nuls alors F D 0 donc Sam 0 si un seul w est nul F 0 et 1 1 i 1 w r 2 wi we Sam si tous les w 1 lt lt r sont non nuls alors r mue CE r k wry gt gt gt Wr 2 k VUD r k 1 Sam k 1 On en d duit le lemme Pour terminer la d monstration du th or me il suffit de remarquer que par it ration les champs X m garde une forme de type V 44 de m me pour Xiram sa V 49 Xiram Xtin Y _Tram D On en d duit le th oreme Les moules de la forme lagu e ont une expression alg brique simple Lemme V 5 Le moule de la forme lagu e est d finie par V 50 Tram Samy o Sam Sam o o Sam n fois CALCUL MOULIEN 83
19. Pr normalisations nav sauts O A te Cafe a SO 396047 E E EE AA ee ET TT 471 Formes pr normales 5 218 nie RE RRR Rat A MR NE A En LEE dre M aa 77 4 2 Forme normale de Poincar Dulac 442 ee 78 5 Arb rification une introduction e A dat as tes Dee a 83 5 1 Convergence sans arborification le th or me de Poincar 5 1 1 Demonstration du lemme VCD E E 908 0 tes aa meet di AA me Se PAS die 87 5 2 Le probl me des petits diviseurs et le th or me de Bruyno 5 3 Premier pas homog n it et sym trie 44444ses ssssssssssss 5 4 Codage du proc d de d compositioN ooooococcconcnccnncaranenonana cra nano nora rene 5 5 D finition formelle de P arborificati0NO oooococcccoccncncnccncnrnncn cnn ren 5 6 D monstration du th or me de Bruyno cccceccccccccececececeececececrccooaroeeees Notations sniken 2 dS L A dt CAA E T Mn dice 95 R f rences dd ltd AT a ref O rial 96 4 JACKY CRESSON AVANT PROPOS SUR LE CALCUL MOULIEN par Jean Ecalle Les moules sont des objets on ne peut plus concrets et banals ce sont de simples fonc tions d un nombre variable de variables ou si l on pr f re des fonctions d finies sur un monoide Mais l dessus viennent se greffer i trois op rations de base plus une douzaine de secondaires ii quatre grands types de sym trie ou d alternance plus une do
20. Res RA eme 9 2 Combinat ire sur EL Ces RS EER A A nn in IAE 4 l ments primitifs de Ae A A A E ARET 0 6 da 4 1 l ments DECS d ii SES A E A AA A A SARL Ant 4 2 criture dans l alg bre de Lie 4 3 l ments primitifs de E 5 l ments group like de et E 5 1 l ments sroup liker der e Riddle tt e td RE RENE RENE as 38 5 2 l ments TOU PEKE FEA HAE A noms in A LADA NON EEP AL D TA SAT a IES 40 6 Exemples de moules alterna e l sym tra e l 0440 41 6 Unimoule alternas eresien RSR ES SI A me rat in tee at diet 41 6 2 Un moul alterne aia i 2001 C e dr a a et ue 43 6 3 Un moule sym tral 44 6 4 Un moule sym trel 45 Partie III Alg bre composition des moules 2 47 Te Structure d alge Dre RS Ent EAR ANTAS IA RE te A ASEO 47 21 COMPOSITION RER Es AR AE ASADA RAS E SRA AAA A ent D den a 48 3 Groupe alterna e l et sym tra e l 4 4444444 eus narran 49 Partie IV Sym tries secondaires et d rivations 2 53 1 Sym tries alternil et sym tril ccecccccececcceccececccrececerecrooereceooececeeseoeroes 53 2 D riyations et sym tries des MoOules iii ne CESE EES GADE SANA E LERI OSE HS DEA TA ERR C DE RAS 55 2 1 D rivations sur l alg bre des moules 4444 coronar 55 2 25 Constructi
21. a l galit 1 43 Dop po0A D traduisant la commutativit du diagramme A D ASA A9A 1 44 A a A On peut d finir directement A en posant 1 45 A B Y B Bj t j r Notons que A 1 1 9 1 et de plus on a la formule utile 1 46 A B1B2 A B1 A B2 Pour le voir on commence l ordre 2 A D D2 DD Q 1 D Q D Do Q D 1 Q D D 1 47 D 1 1 D D gt 1 1 D A D A D9 et on continue par r currence Lemme I 1 Le triplet D K Der 4 A e est une cog bre D monstration Il suffit de v rifier les axiomes de la d finition 1 2 i e idp o idp o idp D gt D idp 8 A oA A idp o A D D D D o D K Der A4 1 48 CALCUL MOULIEN 21 Montrons d abord qu elles sont valables pour 1 D ensuite pour une d rivation D puis pour un op rateur diff rentiel d ordre r et finalement pour un objet quelconque de D i e une combinaison lin aire infinie des objets ci dessus Pour 1 en fait c est vident Soit donc D D une d rivation On a idp Se o A D idn SE D 1 1 D 1 49 D E amp idp D 1 1 D et idn A A D idp 8 A D81 18D 1 50 De8181 18D81 1818D A idp D amp 1 1 D Montrons maintenant que les relations sont satisfaites pour tout op rateur diff rentiel B K Der A Nous savons que B D o D30 0 D nous allons profiter de l equation 1 4
22. analytique local f d alphabet A F Soit Na et Ne des automorphismes de conjugaison de X et F 16 Rappelez vous que l on cherche un changement de variable x h y o est le syst me de coordonn es initial 70 JACKY CRESSON respectivement Comme Na et Ne sont des automorphismes de C on peut les chercher sous la forme V 10 Na Y Na D SEA X avec Na un moule sym tral pour X et V 11 Ne Y Neb sEA F o Ne est un moule sym trel pour F Via ces changements de variables on obtient des objets conjugu s de la forme V 12 Xcon Xim D Or DZ Fon Xint D CEB SEA X seA F o les moules Ca et Ce sont alternal et sym trel respectivement Dans ce cas Xconj est bien une d rivation de Cl x et Fconj un automorphisme de Cl x L quation de conjugaison pour un champ de vecteur et un diff omorphisme s crit donc en terme moulien sous la forme Xin gt Ca D Nep xu gt ro Eu Fin 3 Ce B gt Net fn gt re Ewes V 13 respectivement o 7 est le moule l ment neutre pour la composition Th or me V 1 Conjugaison Les quations de conjugaison V 13 sont quivalentes aux quations mouliennes V 14 Na e x V Na e Na e x I x Na e Cale o V est la d rivation moulienne d finie par V 15 VM Y s A MA La d monstration de ce th or me repose sur le lemme technique suivant CALCUL MOULIEN 71
23. de Gallavotti O C est le cas de l tude de la convergence de la correction introduite par J Ecalle et B Vallet 15 qui met en vidence un ph nom ne purement alg brique de suppression des petits diviseurs surmultiples Or ces derniers appara ssent dans les manipulations classiques 18 et la convergence de la s rie se d montre alors au prix d estimations tr s fines connues sous le nom de compensation d Eliasson 8 JACKY CRESSON w se note l w n On indicera les l ments de sous la forme w et ses composantes comme w wi w On note w e w la suite obtenue par concat nation des suites w et w ou wtw si aucune confusion n est possible La plupart des textes sur le calcul moulien donne la d finition suivante les moules sont des fonctions un nombre variable de variables L avantage de cette pseudo d finition est qu elle est parlante et que l on devine assez bien ce qui se cache sous ce type d objet Dans la suite nous adopterons la d finition suivante D finition 1 Soit K un anneau commutatif On appelle moule une application de Q dans K i e o K w M v On notera un moule M et son valutation sur une suite w par M Cette notation pose de nombreux probl mes et peut pr ter confusion N anmoins afin de faciliter la lecture des textes d Ecalle par la suite et de permettre une comparaison nous allons conserver cette notation Les
24. de cette section D finition II 5 Soit x x un couple de suites On appelle battage de x x et on note sh x x l ensemble des suites obtenues en m langeant les l ments des deux suites x et x en pr servant l ordre interne de chacune d elles Exemple Soit x a b et x c alors IL 7 sh x x a b c a c b c a b 28 JACKY CRESSON Proposition II 1 Soit x x un couple de suites L ensemble des mots s telles que x1 x soit dans C est donn par l ensemble de battage sh x x D monstration Pour d montrer cette proposition nous introduisons une action de X sur C X qui nous aidera classer les couples apparaissant dans C Soit x X et x x X La multiplication dans K X x k X des deux l ments A X et x 8 x donne 11 8 A z 1 x zr 01 z 9 zx Cette formule peut se traduire en une action ou plut t une somme de deux actions de X sur C X En effet d finissons deux actions de X sur C X comme suit at XxC X C X x 1132 gt dX xx a XxC X gt C X 2 833 gt 2 21 2 o x xt d note la concat nation des suites x et x dans X Pour tout x Q les op rateurs a et af v rifient opt Aygo go A gt Les actions de af et de a sont non commutatives at atat j ad tE On a a af a a resp a zo x si et seulement si 1 2 1122 12 1 21 Ur L galit 11 8 s
25. diff rentes propri t s des moules alterna e lit sym tra e lit proviennent de la contraction avec des op rateurs non commutatifs v rifiants certaines colois sp cifiques Ces op rateurs interviennent naturellement dans l tude des champs de vecteurs et diff omor phismes locaux de C D finition 2 Soit A une alg bre sur un corps de caract ristique z ro K Soit B une alg bre d op rateurs sur A non commutatifs munie de la composition usuelle On appelle comoule une application de dans B On note x B w H gt By Buy i Bar n On notera un comoule Be Ces alg bres seront toujours munies d une coloi A B gt B x B application lin aire compatible avec la loi de composition sur B Dans ce cas B A forme une big bre au sens 5 On peut n anmoins lui trouver une justification par la suite dans la relative simplicit qu elle induit sur les manipulations alg briques effectives des moules CALCUL MOULIEN 9 de Bourbaki 1 calle consid re deux types de colois qui sont i A B gt B 01 1808B i A B Y B B 0 wi Fw w Le cas i correspond aux alg bres de d rivations sur et ii g n ralise l alg bre des op rateurs diff rentiels d ordre p gt 1 L objet contract d un moule et d un comoule se note Py M B tant entendu que la somme est faite sur toutes les suites possibles de Q Deux questions se posent naturellement dans ce cadre i Py e
26. lt s Na 3 lt r Ca gt 0 V 60 Ba luvs r C2 P Ba Nov gt gt gt Bar luv C2 gt 0 V 61 Ba lluv lt Cuv Cuv gt 0 V 62 c N lt C3 N C gt 0 o n m n et N n n n est le poids de n c N est le nombre de mots de poids N La d monstration est donn e dans la prochaine section On d montre la convergence normale du normalisateur Na On a 1 NorB lt GT Ba lloy gt gt B luv 025 e lt C NON lt Cuv Par cons quent on a N N B lt Y Na B uv l n r N n N UV ln r N n N c N lt Ch 037 Cr gt Cry DA EO lt C3C2 Ci Comme r lt N ona 1 2 1 C Co On en d duit CONS n Ci l n r N n N U V Pour un bon choix de U V on peut rendre Cy y aussi petit que l on veut La s rie est donc normalement convergente CALCUL MOULIEN 87 5 1 1 D monstration du lemme V 6 Par hypoth se tous les w n sont de parties r elles strictement positives Par ailleurs l absence de petits diviseurs impose que pour tout w w gt C gt 0 On a donc Vw P X Re w gt C On en d duit pour tout r wit 0 gt Re w 0r gt rC On a donc 1 Nat lt IS rlCr 5 2 Le probl me des petits diviseurs et le th or me de Bruyno L existence des petits diviseurs conduit des difficult s analytiques s rieuses Nous avons le th or me de Siegel Th or me V 7 En pr sence de petit
27. non commutatives associ es On donne la traduction des diverses propri t s alg briques des s ries primitive group like sur les moules associ s pour les big bres A et E consuisant aux sym tries alterna e l symetra e l respectivement 1 Moules Soit A un alphabet On note A l ensemble des mots construits sur A Les moules sont d finis par D finition 11 1 Soit A un alphabet et K un anneau Un moule sur valeur dans K est une application not e M de A dans K La notation M pour d signer une application de A dans K n est pas usuelle mais elle coincide avec la notation utilis e par Jean Ecalle Par convention un moule M tant donn on note M la quantit M a pour tout a A Les moules sont videmment en correspondance bi univoque avec les s ries formelles non commutatives de K 4 En effet a tout moule M sur A on associe la s rie S M Ma et vice versa ac A La structure d alg bre de K 4 se transporte sur l ensemble des moules sur va leur dans K not Mx A Nous allons voir que ce passage des s ries aux coefficients est souvent int ressant dans de nombreuses applications Par ailleurs les diff rentes propri t s alg briques des s ries S M se lisent compl tement sur le moule associ ce qui justifie a posteriori la terminologie CALCUL MOULIEN 25 2 Les big bres et E Le travail
28. on obtient en notant x y A w wEQ exp A w de M w wEN wENQ 1 D M gt rzad A DA M k gt 1 Ce lemme permet notamment de d montrer sans aucun calcul sur les suites la sym tralit du moule GUL str 1 wi w1 wo wi gt gt gt wr tudi au 85 1 En effet on a Ve xT avec I evidemment alternal Par ailleurs le seul moule M v rifiant VM 0 pour tout suite w telle que w 14 0 est le moule constant gal 0 On en d duit donc que S est sym tral 3 Automorphismes et sym tries 3 1 D finition Commen ons par une d finition D finition IV 5 Soit A une application de Mx Q dans MK Q lin aire Le moule image d un moule M par A est not A M L application A est un automorphisme de l alg bre Mx Q x si elle v rifie IV 26 A M x N A M x A N pour tout moules M et N de Mx Q CALCUL MOULIEN 61 On peut chercher construire des automorphismes simples de la forme 1V 27 A M f 0 M o f est une application de 2 dans K L application f doit bien entendu satisfaire certaines contraintes Lemme IV L application A de Mx Q dans Mx Q d finie par 1V 27 est un automorphisme de Mx Q si et seulement si f est un morphisme de Q e dans K x D monstration Il suffit d tudier la relation induite par la relation 1V 26 Soient M et N deux moules On obtient pour toute suite w
29. permettent de conclure 2 La convergence normale de la s rie arborifi e s en d duit sans peine Remarque V 10 ma connaissance il n y a pas de th or me g n ral concernant la m thode d arborification qui permet de pr ciser son domaine d application Le fait que la m thode restaure la convergence se fait au coup par coup sur les exemples 22 Je ne ferai pas ces calculs ici qui ne sont pas simplifi s par la m thode d arborification ou l utilisation du formalisme des moules Jean Ecalle souligne qu il faut utiliser les estimations obtenues par Bruyno 8 p 207 224 CALCUL MOULIEN 95 NOTATIONS Soit K un anneau On note K x l ensemble des polyn mes coefficients dans K K x l ensemble des s ries formelles coefficients dans K K x les s ries analytiques Soit X un alphabet Ax alg bre libre sur X Lx l alg bre de Lie libre construite sur X Mx l id al de K z form des s ries formelles sans terme constant UL x alg bre enveloppante de l alg bre de Lie Lx X l ensemble des mots construits sur X X l ensemble des mots de longueur r gt 0 Mx X l ensemble des moules sur X valeurs dans K sh application de battage csh application de battage contractant coproduit sur coproduit sur E M le moule M MS le moule M valu sur la suite s M Varborifi du mo
30. section Th or me III 2 L algebre des moules muni des op rations X 0 est une alg bre composition i e i M N o A M oA N o A 111 12 i M x N oA M 0A x N o A La d monstration repose sur des calculs l mentaires 3 Groupe alterna e l et sym tra e l Dans les calculs pratiques sur les moules il est commode de conna tre le comportement de la propri t d alternalit resp sym tralit vis vis des lois de composition et de multiplication On commence par noter le simple r sultat suivant 50 JACKY CRESSON Lemme III 3 L ensemble des moules M tels que MY 4 0 forment un groupe not M 0 dont les l ments sont les moules poss dant un inverse multiplicatif D monstration Soient M et N deux moules dans M Q On note 4 M x N Par d finition on a 4 M N Comme M 0 et N Z 0 on en d duit A 4 0 La caract risation des moules ayant un inverse se fait par r currence sur la longueur des suites Soit M un moule poss dant un inverse multiplicatif not N alors on doit avoir 1 M x N soit 1 lt Y MANS wiwp u On a donc une r currence pour d terminer le moule N via la relation s Me Ne M N wiwz w w1 0 La condition w O fait que les moules N intervenant dans la somme sont associ s des suites de longueur inf rieur celle de w On peut donc trouver de mani re it rative l e
31. simple est d fini par J 0 et pour toute suite w w1 w par fe F Lemme II 6 Le moule J est alternel D monstration Elle se fait par r currence sur la longueur des suites Pour w w1 w2 on a w w wa w wi w 1 1 Pa e RE e Jal a D un La propri t d altern lit est donc v rifi e pour les suites de longueur 2 Pour les suites de longueur gt 3 on note la propri t suivante du battage contractant Lemme II 7 Pour toutes suites w et w avec l w n gt 0 et lw m gt 0 l ensemble csh w w est la r union disjointe des trois ensembles suivants csh wi 1 w wi JI csh w w2 _1 wa JI eshlwe_1 aa wi we s D monstration Comme pour le lemme II 5 il suffit de constater que toute suite ap partenant csh w w a comme derni re composante soit w soit w soit la somme des deux A4 JACKY CRESSON On a aussi y JE r 1 y JE lt r 1 sEcsh w ww sEcsh w w On d duit donc du lemme I1 6 l galit S a r 1 o A E e Pi E 2 A sEcsh w w sEcsh w w lt n 1 sEcsh wi lt m 1 w 2 02 m r 1 sEcsh wl lt m 1 2 lt n 1 Par hypoth se de r currence ces trois sommes sont nulles d o le r sultat 6 3 Un moule sym tral On d finit le moule S par S 1 et 1y 11 74 E EU P uw wa wi gt gt gt On a Lemme II 8 Le moule S est sym tral D mon
32. w01 ws w n D ci i 1 L alg bre des moules muni des op rations X 0 est une alg bre composition Par ailleurs on a les r sultats de stabilit suivants sur les moules CALCUL MOULIEN 11 Propri t s de stabilit des moules On note SUN un moule sym tra e l et AU un moule alterna e l On a i Sa e l x Sa e l Sat ii Se e l 1 x AUN x GUN gate iii AXN o AXN Aa Il y a d autres propri t s qui seront d taill es par la suite Plan du m moire Ce m moire est constitu de 5 parties La partie 1 consiste en quelques rappels de la th orie des alg bres de lie des alg bres enveloppantes d alg bres de lie et les notions importantes de cog bres et big bres qui seront au coeur de ce travail La partie 2 est enti rement consacr e au calcul moulien i e la combinatoire de deux big bres not es et E qui interviennent dans tous les travaux d Ecalle On en donne deux sources naturelles savoir les d rivations sur une alg bre et les op rateurs diff rentiels On y d finit aussi les principales sym tries des moules et leurs traductions dans la terminologie des alg bres de lie libres La partie 3 introduit l op ration de composition des moules qui est l analogue non com mutatif de la substitution des s ries formelles On d crit en d tail la structure d alg bre composition ainsi obtenue ainsi que diverses structures associ es comme les groupe
33. x Belar Ba Bas l Bo x B3 x 1 0 TT TR On a deux op rateurs diff rentiels d ordre 1 trois d ordre 2 et un d ordre 3 Soit en reprenant les notations de la d finition V 8 Bi23 B 1 2 3 lt B 1 2 3 lt B 2 3 lt 1 B 1 2 lt 3 B 1 3 lt 2 Bio2es La mise en forme de cette d composition n cessite un alphabet nouveau dit arborifi D finition V 9 Une appelle suite arborescente et on note w lt une suite construite sur A X avec les symboles lt et BD On note Arb X l ensemble des suites arborescentes Sin A X on note Arb n l ensemble des a lt Arb X intervenant dans la d composition de B On a donc Bye BR a lt cArb n On peut donc r ecrire la s rie moulienne de Na sous la forme Y Na Ba N Not Bas neA X ee Les coefficients Nal d finissent un moule sur Arb X not Na D finition V 10 Le moule Na est appel moule arborifi de Na Le moule arborifi est bien entendu une combinaison lin aire du moule initial Si on note X a lt l ensemble des suites n de A X telles que a lt Arb n ona b Nat nEX a lt Il nous reste formaliser cette construction afin de simplifier sa pr sentation 92 JACKY CRESSON 5 5 D finition formelle de l arborification Les d finitions pr c dentes sont li es au codage de la construction des op rateurs diff rentiels homog nes en ordre et degr On peut evidemment donner une d fini
34. 404 gt G SERIE De O n 1 lt s Ona 1 82 83 8 S1 Sn 1 VU Z 01 Vn Se TU e UE 1 lt s s1 1 83 8n 81 Sn 1 J Se LOS y 1 lt s s2 1 IV 6 gt Se ane ye Ue A 1 lt s 8222 ze 1 83 8n 853 1 sn 1 Sig 01 V3 Un J A E 1 lt s V4 vi PE Un x 1 82 83 8n 51 Sn 1l o Vi v1 Un J e E ee 1 lt s 8222 CALCUL MOULIEN 55 Par ailleurs on a 81 82 83 8n 81 1 S2 Sn 1l V2Z V1 Un gt IEA S 1 lt s s 1 1 83 8n 81 1 S2 sn 1 Se y UA l lt 8 81 1 IV 7 gt G e81 82 83 58n 911 52 D pal 1 lt s 8122 z 1 83 8n 83 1 sn 1 Sigluz Un J ee E T 1 lt s V vi 32494 Un e 1 82 83 8 S1 1 52 Sn 1 o Ve V1 Vn gt Se NS A SUI 1 lt s 8122 En posant s s 1 s 52 1 dans V2 on montre que IV 8 Ve Finalement on a 1 _U U3 Un V2 Un IV 9 Z V1 Un Sig Sig Vi Vo Le cas g n ral s en d duit sans peine Remarque IV 1 i La sym trie alternil ne provient pas de la sym trie alternel traduite sur les fonctions g n ratrices ii On peut se demander si la sym trie symetral donne naissance une nouvelle sym trie En fait il est clair vue l quation 1V 5 avec csh remplac par sh que la fonction g n ratrice d un moule sym tral est encore un moule sym tral 2 D rivations et sym tries des mou
35. 6 Supposons donc que les relations sont satisfaites pour tout op rateur diff rentiel d ordre lt r on vient de voir que c est vrai pour r 1 Posons B Di o D30 0 D _1 On a alors idp e A B idp E A B A I 51 idp amp E xz a E D e idp A B c 9 idp A D le Q idp A B o l hypoth se de r currence a t utilis e dans la troisi me galit et on utilise aussi le fait que e idp et idp sont des homomorphismes de K alg bres Pour la m me raison pour la deuxi me relation on a simplement idp amp A A B idp amp A A B A D idp A A B idp A A D 1 52 A 8 idp 8 idp PEN A idp A B A D A idp A B Pour terminer la d monstration du lemme on tend le coproduit A tout K Der 4 par lin arit 22 JACKY CRESSON 2 5 Alg bre d op rateurs diff rentiels Un deuxi me type de coproduit intervient naturellement dans l tude des op rateurs diff rentiels d ordre r gt 1 que nous notons B ou B pour les distinguer des d rivations habituellement not es D Nous avons vu que l ensemble des op rateurs diff rentiels d ordre r sur A pour tout r gt 1 forme une A alg bre not e Op 4 sous la multiplication correspondant simplement la composition des op rateurs partir de B on d finit une application de AQ A dans AQ A par 1 53 B 8 1 Y Bib 9 B v i j r o le s
36. AN sisi s sls2 s Y Aa A MENE sls s On a donc le th or me suivant Th or me IV 1 L application D es une d rivation si et seulement si A v rifie Asis Asi s2 4 y s g E Q CALCUL MOULIEN 57 Il existe deux exemples importants de d rivations simples On note lang la d rivation simple d finie par le moule IV 11 Ae l e o e est l application longueur de la suite i e IV 12 langM l s M On note y la d rivation simple d finie par le moule IV 13 e e Notons que cette expression a un sens si et seulement si 2 possede une structure de semi groupe Par ailleurs comme A M dit appartenir K cela impose s K On a donc IV 14 ME s ME Ces d rivations interviennent dans la th orie des formes normales de champs de vecteurs ou diff omorphismes locaux 2 2 2 Autres constructions Soit un moule Dar avec Dar 0 On d finit un op rateur dar de Mx 90 dans Mx Q en posant dar Mx Q gt MKN IV 15 M gt dar M Miles Dar WJ W2W3 W o la somme est d finie sur toutes les factorisations de w Lemme IV 2 L op rateur dar est une d rivation sur Mx Q x D monstration On note E dar M x M3 et F M x M3 On a IV 16 EY y perlezliws payo W W1W2W3 Comme F vllw2lh 3 y M M on a O w1 wo ws ponlle NT MMS X MPM llol eo llwa ez En rempla ant dans 1V 16 on obtient E Y M
37. Calcul Moulien Jacky CRESSON Institut des Hautes tudes Scientifiques 35 route de Chartres 91440 Bures sur Yvette France Mai 2006 IHES M 06 22 CALCUL MOULIEN par Jacky Cresson R sum Ce texte est une introduction au calcul moulien d velopp par Jean calle On donne une d finition pr cise de la notion de moule ainsi que les principales propri t s de ces objets On interpr te les diff rentes sym tries alterna e l symetra e l des moules via les s ries formelles non commutatives asso i es dans des big bres gradu es not es et E correspondant aux deux types de colois tudi es par Ecalle savoir A a a481 18 a et A ai 5 a ap On illustre en d tail application de ce formalisme dans le domaine l k i de la recherche des formes normales de champs de vecteurs et diff omorphismes Abstract Mould calculus This paper is an introduction to mould calculus as in troduced by Jean calle We give a precise definition of moulds and describe there main properties We translate mould symmetries alterna e l and symetra e l using non commu tative formal power series in two given bialgebras A and E corresponding to two coproducts structure given by A a a amp 1 1 a and A ai 5 a ap We apply this formalism l k i to the problem of normal forms for vector fields and diongo hiik Table des mati res Avant propos sur le calcul moulien
38. Dulac Actualit s Math Herman Paris 1992 Ecalle J ARI GARI la dimorphie et l arithm tique des multiz tas un premier bilan 62 p Pr publication Math matiques d Orsay para tre dans le Journal de th orie des nombres de Bordeaux 2003 Ecalle J A tale of three structures the arithmectics of multizetas the analysis of singula rities the Lie algebra ARI para tre dans les actes du colloque Singularities and Stokes phenomena Groningen 2001 Ecalle J Vallet B Correction an linearization of resonant vector fields and diffeomorphisms Math Z 229 249 318 1998 Ecalle J Vallet B The arborification coarborification transform analytic and algebraic aspects para tre aux actes du colloque R surgence et calcul tranger Eisenbud D Commutative Algebra with a view toward algebraic geometry Graduate Texts in Math 150 Springer 1995 Eliasson H Absolutely convergent series expansions for quasi periodic motions reports Department of mathematics University of Stockholm no 2 1988 Jacobson A Lie algebras Interscience Tracts in Pure and Applied Math 10 1962 Lafontaine J Introduction aux vari t s diff rentielles Collection Grenoble Sciences Presses universitaires de Grenoble 1996 CALCUL MOULIEN 97 21 Mac Lane S Categories for the working mathematician 2 edition Graduate texts in Math 5 Springer 1998 22 Martinet J Normalisation des champs de vecteurs h
39. Dy On note Der A l ensemble des d rivations sur A Soient D Dz Der A on a Di D2 xy Di xy Do xy Diz y D y D2x y x Day D Di xy x D Do y Par cons quent D Do Der A De m me on a D Der A si a K On voit 1 31 donc que Der A est un K espace vectoriel On peut composer les d rivations la composition de D et D est donn e par D2Di xy Do Dix y x Diy 1 32 On peut m me donner la formule g n rale pour l action d un op rateur diff rentiel B D o 0 D d ordre r sur xy elle n est pas bien belle mais elle peut tre utile D finition 1 4 Pour chaque entier r gt 1 nous introduisons l ensemble P de paires 1 33 Ga Sa E idm de suites d entiers sous ensembles de la suite 1 r telles que n m r 1 lt lt t lt lt in lt T 1 34 LE ji lt Jo lt i lt Jm lt T irsin f ares Im J 0 NE M D O T au b CALCUL MOULIEN 19 Les paires 9 lus d et a Se 0 sont incluses dans P Nous crirons souvent i pour 1 in et j pour j Jm donc i j Pr L action d un op rateur diff rentiel B est donn e explicitement par 1 35 B zy Y Bix B y 1 3 E Pr o La composition de r d rivations forme un op rateur diff rentiel d ordre r qui n est pas une d rivation si r gt 1 l ensemble des d rivations ne forme donc pas une alg bre pour cette multiplication
40. J Y MEA yeY Y Min Asta 276 Ys Ysr EY Mater A Ys Ax Ys 11 50 gt a a Usr Ys Ys EY MYs1Ysr y Yk Q m ie y Yk amp w Ys Ysr EY k1i li s1 kr Hlr 8r y MYs1 Ysr gt Yki lt gt gt Y Q Yh lt gt Yl Ys Ysp EY ki li si 1 lt i lt r Ici par la d finition de A les yy et y appartiennent Y U c est dire que la somme porte sur l ensemble des r uples de couples Ge d s Yr avec k l si restants Soit l ensemble de ces r uples de couples moins les deux l ments suivants 11 51 bnd d a eo 151 0 et 11 52 usa Yter Yr us 0 35 L expression de A P donn e dans la derni re ligne de 11 50 devient alors AP Y M3yg1 Y M y yeY yeY 11 53 FY X Um Ou yEY A P amp 1 1 P R 38 JACKY CRESSON o 11 54 R SN M S Yue Vivi yeY A P est donc primitif si et seulement si R 0 Posons y Yki Yk et y Yu Yi notons que contrairement aux apparences les longueurs de y et y ne sont pas forc ment gales r puisque l on ignore les composantes gales La proposition 11 2 dit qu un couple yt y appartient C si et seulement si y E csh yt y E On voit donc que le coefficient de chaque expression y y dans la somme R est gal 11 55 Y M2 yE csh y y R s annule donc si et seulement si M est alternel 5 l ments sroup l
41. Om On 1 lt i1 i4 lt v 1 lt j1 ja lt d o d est le nombre de suites arborescentes identiques n lt qui interviennent dans la d composition de n nf n 1 Pour une suite arborescente a lt a a S et une suite n n n on note lt proj a le nombre de bijection de 1 r dans 1 r nul si r Z r v rifiant si 41 lt iz dans a lt alors o i1 lt oi dans n et n a si j o i On a alors les relations pour tout moule S et as Ba proj Bas a lt eArb x de 5 6 D monstration du th oreme de Bruyno Par construction on a Ba uv CO Q gt 0 pour une constante C d pendant de U et V et a N lt Q7 9 Q2 gt 0 La disparition du r dans la majoration des op rateurs arborifi est vidente On devrait s attendre la retrouver dans la majoration des moules arborifi s Mais et c est l que joue fond les sym tries on a Lemme V 8 Pour toute suite arborescente n on a V 67 Na SON 232 0 94 JACKY CRESSON La d monstration de cette in galit n est pas contrairement au cas des comoules B lt une cons quence directe de la m thode d arborification Elle r sulte du fait que l quation diff rentielle satisfaite par le moule Na s arborifie i e que l on a V 68 A Na 1 1 x Nach 1 La forme du moule Na est donc la m me que celle de Na et les estimations classiques sur les petits diviseurs
42. P P914 18 Pa n lt 0 n lt 0 donc P est primitif Inversement si P est primitif on a A P P81 18P 5 A P n lt 0 UP 91 18 Pa Rn n lt 0 P81 18P 5 Re n lt 0 1 36 Donc gt lt p Rn 0 et comme il s agit d une s rie formelle non commutative chaque partie homog ne Ra 0 On obtient donc A P P 1 1 P pour tout n gt 0 i e P est primitif On peut donc raisonner composante homog ne par composante homog ne Supposons donc P primitif alors chaque P est primitif et par le th or me II 3 la partie homog ne M du moule M est alors alternal Donc M est alternal Inversement si M est alternal alors chaque M l est donc chaque P est primitif donc P est primitif 4 2 criture dans l alg bre de Lie Rappelons que l alg bre associative K X s identifie avec l alg bre enveloppante universelle de l alg bre de Lie libre L x sur l alphabet X on a un homomorphisme injectif Lx K X IL 37 gt T 2 2 H xx xz CALCUL MOULIEN 35 Par le th or me 1 1 les l ments primitifs de K X sont exactement les l ments dans l image de Lx Les moules alternaux de peuvent donc tre vu comme des l ments de l alg bre de Lie libre Lx Nous en donnons l expression explicite dans le th or me suivant Rappelons d abord quelques faits de la section 1 1 Soit M l id al M de K X engendr par les s ries formelles sans term
43. PDar M2 Y MM Dara W W1W2W3 eo lla es 58 JACKY CRESSON Comme w est de la forme 41 wa w2 dans le premier terme de la somme et tel que 4 0 w une expression analogue pour amp dans le second terme on a finalement E Y dar Mi M Y MP dar M2 W W U ce qui termine la d monstration On peut choisir le moule Dar pour que la d rivation dar soit alternale Lemme IV 3 La d rivation dar d finie par IV 15 est alternale si et seulement si le moule Dar est alternal Il existe d autres d rivations construites avec l op rateur di f f d fini par diff M Q gt M O IV 17 M diffi w QUE gt GENE Go w Ew ce qui suppose que MY soit diff rentiable en chacune des variables w w Remarque IV 2 Une alg bre de Hopf sur un corps K est un sch ma en groupe affine sur K voir 26 p 9 Il serait interessant d avoir une interpr ation fonctorielle sur le groupe d une d rivation moulienne 2 3 D rivations et moules sym trals Jean Ecalle m a sugg r le r sultat suivant permettant de d montrer sans trop d efforts la sym trie de nombreux moules Th or me IV 2 Soit Dy une d rivation et M un moule v rifiant l quation diff rentielle IV 18 DIM 4 x M avec i Le moule A v rifie 0 pour tout s l s gt 1 ii On a M 1 iii le moule A est alternal alors le moule M est symetral D mons
44. aill dans la partie 2 9 On trouve aussi la terminologie moins courante d l ment diagonal 0 La terminologie de moule correspond bien cette id e 10 JACKY CRESSON sym trals resp sym trels Nous avons le diagramme suivant exp M Matah log N M yma Q P exp M Mate Q e N Me Les diff rentes op rations sur les moules notamment les op rations d addition multi plication et composition se d duisent des op rations correspondantes sur les op rateurs formels associ s On d montre ainsi que Matta e muni de la composition et Msima e muni de la multiplication sont des groupes Jean calle d gage donc de ces questions une alg bre appel e alg bre des moules et qui suivant les remarques pr c dentes interviendra dans toutes les questions d ordre constructif sur les big bres gradu es B A et B A L alg bre des moules que nous pr sentons formellement ici sera d taill e et explicit e dans le reste du texte Alg bre des moules Soit M Q l ensemble des moules d finis sur Q muni des op rations i addition A M N AX Me Ne i multiplication A M xN A2 Y NMP wlew2 w forme une alg bre non commutative Si Q a une structure de semigroupe l alg bre des moules peut tre munie d une loi de composition not e o compatible avec les lois et x et d finie par s iii composition A M o N AL M hel net Ne f o s gt 0
45. ans l alg bre des s ries formelles voir 7 annexe 21 p 398 400 D finition 111 2 Soit Q un semi groupe On note l application de Q dans Q d finie pour tout w wi w par 111 2 lo w wr Soit M et N deux moules dans Mx Q Le moule compos A M o N est d fini par 111 3 A 5 Ml 8 gt 0 wl ws w wi lol yor Ne y L l ment neutre pour la composition est le moule I d fini par 111 4 I 1 si w 1 et I 0 sinon Cette op ration d apparence compliqu e peut s expliquer de la mani re suivante Soient M et N les deux s ries formelles associ es aux moules M et N M Y Me III 5 C N y New wEN L application permet de construire un nouvel alphabet partir de M CALCUL MOULIEN 49 tout w Q on associe la lettre 111 6 mam De Mio Wen wl uw La s rie N o M est alors d finie comme suit IIL 7 NoM S Nm Avec ces notations nous avons le r sultat suivant Lemme III 2 La s rie N o M poss de un d veloppement moulien de la forme IIL 8 NoM Y N o M wEN D monstration Il suffit de d velopper l expression 111 7 On a 9 NoM S NA S Ml Y MEN wleN llwt w WwrEN lu w Soit w Q fix Le coefficient dans 111 9 pour toute d composition IIL 10 Ds de w est donn par 111 11 Nlel le lpge Me ce qui termine la preuve On a le th or me principal de cette
46. ar Alors l automorphisme de lin arisation du th or me de Poincar th or me V 2 est analytique La d monstration suit la d marche usuelle mais sur les moules Elle va nous permettre de d gager des majorations importantes pour la suite D monstration La premi re tape consiste se ramener via un changement de va riables analytique en fait m me alg brique une situation o l alphabet est tel que les w sont toutes de partie r elle positive C est finalement uniquement ce fait qui assure la convergence de la normalisation 20 En effet comme les valeurs propres sont dans P il existe un 0 R tel que P z C Re ze gt 0 On peut donc via une rotation se ramener au cas o toutes les valeurs propres sont dans le demi plan Re z gt 0 Il existe donc une constante p gt 0 telle que pour tout i Re A gt p Une cons quence importante est qu il n existe qu un nombre fini de w dans Q tels que Re w lt 0 Il existe donc un changement de variable polynomial tel que X s crive X Xm Y Ba neP X o P X est le nouvel alphabet tel que Vn P X Re w n gt 0 Nous avons le lemme suivant 20 Nous allons le voir ceci implique que les combinaisons lin aires des w Q intervenant dans le moule de lin arisation ne peuvent pas tre trop petites 86 JACKY CRESSON Lemme V 6 Pour toute suite n de longueur r on a V 59 Na
47. bre K Y munie du coproduit A de la d finition 11 3 Rappelons que Y est un alphabet cod par un semi groupe et que Y d note l ensemble des suites ys Ys de r l ments de Y la suite de longueur r 0 est On consid re la concat nation yy de deux suites dans Y il est entendu que y y y la longueur de la suite concat n e de deux suites de longueurs n et m respectivement est n m D finition 11 6 Comme au 83 1 nous associons chaque y Y un ensemble de couples de suites C engendr par A y ie contenant tous les couples apparaissant dans la somme A y e Pour r 0 d apr s la d finition 11 3 on a A 0 1681 donc 11 12 Co 0 0 e Pourr 1ety Y ona 11 13 Ag Y Y Yu k l s On a donc 11 14 C uy k 1 3 0 lt k l lt s 30 JACKY CRESSON e Pour r 2 si y et y sont deux lettres de Y et on pose y y y on a Lnon Z wen k l i k 4V j YkYk YrYr k l i k H j IL 15 On obtient donc On arrive la d finition et aux r sultats principaux de cette section D finition II 7 Soit yt y un couple de suites On appelle battage contractant de yt y et on note csh y y l ensemble des suites obtenues par battage de y y suivi de la contraction ventuelle 11 17 Ys Ys Ysl si gt d une ou plusieurs paires Y 1 Y 2 d l ments cons cutifs provenant de y et y Si Sj 3 z Propos
48. cile de s appercevoir de la puissance de ce langage en comparant le degr de compr hesion obtenu en suivant le chemin classique de d monstration d un th or me bien tabli et l approche moulienne Outre un apport conceptuel vident il am liore la compr hension de r sultats existants au point parfois de remettre en cause des ph nom nes pourtant bien tablis La puissance des moules s illustre aussi par son vaste champ d applications notamment i R surgence quation du pont ii quations diff rentielles th orie des invariants holomorphes th orie des formes nor males iii quations aux diff rences iv quations fonctionelles v Analyse de Lie vi Th orie des nombres multizetas symboliques J en oublie surement et je renvoie aux travaux d Ecalle notamment son article de revue 14 pour plus de d tails Passons maintenant la pr sentation standard des moules Pr sentation standard des moules La pr sentation des moules qui va suivre est essentiellement celle donn e par Ecalle dans ses articles comme rappels sur les moules Soit un semigroupe additif On note 2 l ensemble des suites construites sur Q Un l ments de Q sera not w w1 w avec w Q pour tout i La longueur d une suite 4 Par exemple la d monstration de l analyticit de la correction dans 15 pour un champ de vecteur quelconque qui correspond dans le cas hamiltonien la conjecture
49. d calle repose sur l tude combinatoire de deux big bres not es A et EU et qui m ment pour l essentiel les propri t s des big bres D et B des s ries formelles sur les d rivations et les op rateurs diff rentiels respectivement Soit K un corps Soit X un alphabet et Y y en un alphabet cod par un semi groupe additif02 On note K X resp K Y la K algebre des s ries formelles non commutatives form e sur X resp Y D finition 11 2 On note A K X A la cog bre d finie par i le coproduit A est d fini sur les lettres x de X par IL 1 A x r 1 1 zx Vre X Le coproduit d un mot x z y se calcule via la propri t II 2 A z z A x A 2 Vx x X On tend K X par lin arit en particulier AM At 18 1 ii On d finit la counit e par KNX gt K 11 3 Y Mig gt M xEX Le coproduit A de A est le coproduit naturel La propri t 11 2 traduit le fait que A est un morphisme d alg bre 11 Pai emprunt cette notation C Even 12 Pour simplifier l expos j ai choisi de coder l alphabet par le semi groupe N N anmoins l ensemble des calculs men s sur Y se transposent sans probl mes sur un alphabet Ya yw wen o Q est un semi groupe quelconque Dans ce cas d ailleurs on remplace la lettre y par l l ment du semi groupe w si aucune confusion n est possible Dans la suite lorsque des w appara tron
50. de Sig D finition IV 2 Un moule M est sym tril resp alternil si IV 2 Y M MEM resp 0 seShi z y o shi x y s obtient comme csh x y en rempla ant l addition des variables par un symbole abstrait d crivant l valuation de M suivant la r gle 1 Ti Yj les termes en pointill s pouvant comporter eux aussi le symbole x IV 3 M ME Mov f Le rapport aux s ries g n ratrices est donn par Lemme IV 1 Le moule Sig est sym tril 13 Des s ries de m me type interviennent d ja dans le travail de Jean Ecalle via la m thode d amplification voir 11 54 JACKY CRESSON D monstration Il suffit de calculer Sigt Sig r Par d finition on a IV 4 Did Sage For Sepa e E 1 lt s Comme le moule Se est sym trel on a Gest SeSr ir 8n z gt Ses seCSh 51 8r 831 80 soit IV 5 Sig Gigt n ES y gt Se vi a 1 lt 8i sECSh 81 8r Sr41 8n Cette somme contient deux types de termes 8 51 1 snl i des termes de la forme J Se vj vir o s E csh 81 Sr Sr41 58n n 1 lt s ii des termes de la forme Seite qa yn ue 1 lt s Pour i on obtient via une r organisation des v Sig vEeCSh vi 0r Ur41 0n Pour ii cest un peu plus compliqu Nous allons le faire sur un exemple Le cas g n ral s en d duisant sans peine Soit 1 82 83 8n 81 1 sn 1 Z f 22 5
51. de vecteurs le groupe des automorphismes ainsi d fini est isomorphe au groupe des diff omorphismes tangents l identit D finition 11 10 Un moule M est dit sym tral si 11 58 Y M MME Yre eX zeSh z1 x2 Th or me II 4 Un l ment Y Mz E est group like si et seulement si M est un moule sym tral D monstration Soit P 1 Q 1 y Mx Ona w 0 A P 1 1 Y MEA x 11 59 sA Ua 1914Q81 18Q Y Mt X rer zEX r z1 x2 ECz o l on rappelle que C d note l ensemble de couples zt x apparaissant dans la somme A z et Es d note le sous ensemble des couples avec x 4 x 4 Q On a aussi PeP 181 Q81 180 090Q o 11 60 Q8Q Y MM r r 240 224 Pour que P soit group like il faut donc que le reste de 11 59 soit gal 11 60 Soit 21 x un couple de suites intervenant dans 11 60 Rappelons de la proposition II 1 83 1 que ce couple x x appartient C si et seulement si x appartient sh x x 40 JACKY CRESSON Pour un couple donn zt x le coefficient du terme x x dans le reste de 11 59 est Y M2 zeSh x a donc donn par Le reste de 11 59 est donc gal 11 60 i e P est group like si et seulement si 5 ME ME M zesh at z2 d o le th or me lt 5 2 l ments group like de E La condition de sym trie d un moule correspon dant au fait d tre group like da
52. e 1 erit tor 1 evzt err 1 eur 1 V 30 Nes 76 JACKY CRESSON On d duit alors de la relation Ne x Ne 1 la formule de Ne ei gt wr e 1 e Gite 1 V 31 Net Comme Ne v rifie l quation V 27 on d duit du lemme IV 5 que le moule Ne est symetrel i e que Ne est bien un automorphisme de C x 3 3 Universalit du moule de lin arisation On peut qualifier le moule Va ou Ne de coefficient universel et ceci pour au moins deux raisons deux champs de vecteurs de m me partie lin aire et de m me alphabet ont exactement le m me moule de lin arisation tous les champs de vecteurs non r sonants se lin arisent via un moule dont l expression formelle est fixe Pr cis ment nous avons les th or mes suivants qui n ont jamais ma connaissance t formul s dans les textes de Jean Ecalle ou de l un de ses collaborateurs Th or me V 3 Universalit du moule Va de lin arisation Cas des champs Soit La La 1 r N la famille de fonctions valeurs complexes La C C d finies par 1 A An V 32 Larlires tp E pour tout x1 t C Sa o le lieu singulier est donn par V 33 Sa z1 0 l ai 50 04J tz xr 0 Si X poss de une partie lin aire de spectre A1x1 non r sonante alors le moule de lin arisation formelle est donn pour toute suite s
53. e constant Alors nous avons un homomorphisme que l on d finit sur les mon mes et tend par lin arit Y M gt Lx Liria gt 1 11 38 elle mln mal el Or l inclusion naturelle Lx C k X donne en fait Lx C M Le th or me de projection I 2 voir section 1 1 dit que Th or me II 2 Soit M un moule alternal et x une suite de longueur r gt 0 Soit o x l ensemble des suites de longueur r d duites de x par permutation des composantes Alors l l ment y Mu appartient Lx C M CK X et s crit uEo x 1 u 11 39 gt XO MY lu x uEo x o 11 40 xi lt gt gt a A le D monstration Comme M est alternal il est primitif c est dire y Mu Lx uEo x et le r sultat d coule alors imm diatement de 11 38 et du th or me de projection Remarque II 1 Dans les applications du calcul moulien ce n est pas ce th or me que nous utiliserons mais sa contrepartie dans le cas o l alg bre sous jacente est li e Par exemple soit K Der A la big bre introduit au 81 2 3 Un l ment P K Der 4 s crit 11 41 PEN PD o Da Da o D o oDa a An 1 36 JACKY CRESSON Pour savoir si P est primitif pour le coproduit A de K Der A on associe P son repr sentant libre not e P d fini par 11 42 P Y P a K X Le th or me 11 1 s applique et on a si le moule M est alternal alors l l
54. e d expliciter les ensembles E On a donc pour toute suite w de longueur gt 2 la relation 0 M24 HMO Y M8 1 2 Y Me Y M9 III 16 sE Fi sE EF sE Eo Fa 1 D M ME NE sEEn 2 On en d duit 111 17 Ne Me ce qui termine la d monstration du lemme CALCUL MOULIEN 53 PARTIE IV SYM TRIES SECONDAIRES ET D RIVATIONS On introduit la sym trie sym tril alternil qui intervient dans des travaux r cents de Jean Ecalle sur la combinatoire des polyz tas On d montre aussi que l on peut lire directement la sym trie de moules v rifiants certaines quations diff rentielles Au passage on d finit quelques d rivations et automorphismes importants sur l alg bre des moules 1 Sym tries alternil et sym tril Les sym tries alternal el sym tral el sont uniquement li es la traduction du caract re primitif ou group like des s ries formelles non commutatives les coproduits et A tant donn s Les sym tries alternil sym tril sont d une autre nature elles proviennent de l utilisation de s ries g n ratrices associ es des moules alternel sym trel Ces deux sym tries ont donc un statut particulier vis vis des quatre premi res 13 D finition IV 1 Soit Se un moule sym tral La s rie g n ratrice associ e Se est un moule Sig d fini par IV 1 Gig r Sepi a 1 lt s La notation Sig fait r f rence la sym trilit
55. e la forme a a a Ax et par ceux de la forme J a b c a b c b c a c a b avec a b c Ax L alg bre quotient AXx I est appel alg bre de Lie libre sur X et se note Lx Soit ULx l alg bre enveloppante universelle de Lx Cette alg bre est isomorphe l alg bre Assx de polyn mes associatifs mais non commutatifs sur X Nous utilisons la notation suivante pour ces polyn mes L ensemble X tant suppos fini posons X X Xn Pour tout r gt 1 on note Q l ensemble des suites w w1 w avec w E 1 N pour 1 lt lt r Pour chaque r on note 2 le sous ensemble de Q constitu des suites de longueur r A toute suite w u1 w Q on associe un mot de Assy savoir Xo X Ap Un l ment m Assy s crit alors 1 4 me N MX WEN avec les M K presque tous gaux 0 L inclusion de Ly dans son alg bre enveloppante universelle UL x donne une inclusion Lx gt Assy puisque U Lx Assy ce morphisme est donn explicitement par Lx lt Assx Le produit direct Lx x Lx est aussi une alg bre de Lie munie du produit de Lie donn par L 6 2 2 4 4 lu y On a l homomorphisme diagonal d alg bres de Lie Lx gt Lx X Lx 1 7 xz gt 12 CALCUL MOULIEN 15 Comme on a un isomorphisme 1 8 U Lx x Lx SULxQULx donn par 1 9 zy gt z 1 1 y l homomorphisme diagonal induit un homomorphisme appel c
56. e pr par e Une forme pr normale est dite continue si elle est continue par rapport aux op rateurs Dn n A X le spectre de X tant fix Nous avons le r sultat suivant 19 Pour une utilisation de cette propri t d universalit dans un probl me de bifurcation de champs de vecteurs on renvoie 5 et 6 78 JACKY CRESSON Lemme V 3 Soit X un champ de vecteur local de C de partie lin aire diagonale Xin d alphabet A X Le champ V 39 Xoran Xin Y Pran D ecA X o le moule Pran est alternal et v rifie V 40 Pran 0 si wl 40 est une forme pr normale continue D monstration Le champ Xpran est une forme pr normale car Xpran Xin ne Contient que des termes r sonnants via V 40 Par construction Xpran est evidemment continue par rapport aux Dn n A X le spectre de X tant fix Remarque V 5 Le moule Pran d pend seulement de l alphabet A X Autrement dit si deux champs de vecteurs locaux X et X de m me partie lin aire d finissent le m me alphabet i e A X A X3 alors le moule Pran d finissant la forme pr normale V 39 est le m me pour X et X 4 2 Forme normale de Poincar Dulac La forme normale de Poincar Dulac est construite par it ration On rappelle ici le proc d de construction On associe X un champ dit simplifi de la forme D D D Xsam gt gt 2 dd gt 2 2 o de porte su
57. e traduit par la relation r cursive suivante sur les ensembles C IL 9 Ce x ne os Che Oise Qr Css o l on tend les a et a aux ensembles de paires en prenant la somme Autrement dit on a l nonc suivant qui d coule en fait imm diatement de cette re marque Lemme II 1 Soit x x1 x Alors les l ments de C sont donn s par 11 10 a Used 0 gi or EH iS lt 57 Nous terminons maintenant la d monstration de la proposition I 1 Une direction est facile si x sh x x alors II 6 montre que xt x Cz CALCUL MOULIEN 29 Supposons donc que x est une suite telle que zt xz est dans C Alors la longueur r de x est gale la somme des longueurs de x et de xz disons n et m respectivement avec n m Tr Ecrivons x 1 x On a vu au lemme 11 1 que les 2 l ments de C sont donn s par agt a 0 0 o g 1 Si xt x Cz i e si x est un r uple tel que 1 11 azar 0 0 21 22 alors il y a n des o qui sont gaux 1 disons o gt 0 1 et les m autres sont gaux 1 disons oj Oj 1 o i1 in U jis jm Ad r et STE A AA SCT 2 Alors II 11 implique que sus ok ob et sl ire 82 ce qui quivaut dire que x sh x x 3 2 Combinatoire sur E Pla ons nous maintenant dans la big bre JE c est dire dans l alg
58. ement de variable formel ou non sur ces objets On note x les variables initiales dans lesquelles sont explicit s X et F On consid re un changement de variable x h y On note l op rateur de substitution associ h d fini pour tout Cl x par V T Ep poh O 0h La remarque importante est Proposition V 1 L op rateur de changement de variable O est un automorphisme de Cilx D monstration L application O est C lin aire et h tant un diff omorphisme de Cl z l application gt o h est bien d finie et correspond 7 Par ailleurs on a Oly 4 oh oh oh 0 9 0 1 et O est bien un morphisme de C x Remarque V 1 Connaissant l automorphisme O on retrouve le changement de va riable associ en appliquant O l application identit de C D finition V 1 Soient X et F un champ de vecteur resp diff omorphisme analy tique local de C Un champ Xconj resp un diff omorphisme Feonj est dit conjugu X resp F si il existe un changement de variable h tel que V 8 Kon OX resp Fesnj eFO CALCUL MOULIEN 69 o O est l op rateur de substitution associ h i e si le diagramme suivant commute C xz gt Cr V 9 10 10 Cy 3 C y L origine de ces quations de conjugaison est la suivante Un champ de vecteur X en x est une d rivation sur les germes de fonctions en x Soit h un diff omorphisme L i
59. ence divergence de l automorphisme de conjugaison Ce probl me est la source des travaux de Siegel Bruyno Russman Arnold Moser et Yoccoz La m thode d arborification coarborification permet de d montrer la convergence lorsque c est le cas des s ries formelles construites via le calcul moulien 84 JACKY CRESSON Pourquoi a t on besoin d arborifier corarborifier la s rie pour tablir sa convergence Les s ries obtenues par le calcul moulien se prettent mal l analyse Une semi norme sur les op rateurs de C x tant donn e on obtient en g n ral de tr s mauvaises estimations sur la semi norme de la s rie Cet artefact est d la majoration directe d op rateurs de la forme B Bn qui ne sont pas homog nes Une id e est donc de re crire la s rie en faisant appara tre des op rateurs homog nes Le codage de ce proc d est la m thode d arborification Commencons par d finir une norme D finition V 4 Soient U et V deux voisinages compacts de O dans C tels que V C U Pour tout germe de fonction de C x en 0 on d finit V 57 Lo llu sup p z xEU De m me pour tout op rateur P de C x dans lui m me on d finit V 58 IP lluv sup Po lv llollu lt 1 On dit que la s rie d op rateurs gt P est normalement convergente si la famille P est sommable pour une paire U V au moins 5 1 Convergence sans arborification le th or me de Poincar La d mons
60. ens de cette somme est comme dans 1 35 On obtient un coproduit A d fini sur K Op A par Op 4 5 Op 4 Op A 1 54 B gt y B 9 Bj i4j r On a bien s r pour tout B Op A en conservant les notations pr c dentes 1 55 Bou poA B Notons que l equation 1 46 reste valable pour A Lemme 1 2 L espace vectoriel K Op A muni du coproduit A et de l application lin aire e du lemme 1 1 forme une cog bre D monstration Pour tout op rateur diff rentiel B d ordre r gt 0 nous v rifions direc tement que ide 8 A A B idz 8 A Y Bi B i j r Y idz 9 A B Bj i j r Y B A B i j r y B gt z B Q B i j r i j j Y Geo i i j r et CALCUL MOULIEN 23 A 9 ido A B A ide gt B B y A idp B S B i4j r Y A B O Bj i j r Y d B 9 By 9 Bj i j r i j i Y B B Bj i j j r qui est videmment la m me chose Pour la deuxi me relation on a ide e A B idz e Y Bi B i j r i j r B puisque e B 0 sauf si j 0 auquel cas B 1 et e B 1 De m me bien s r on a e idp A B e idg 03 Bi 8 B SES idy B B B i j r ce qui termine la d monstration 24 JACKY CRESSON PARTIE II CALCUL MOULIEN On d finit les moules et les principales op rations alg briques sur ces objets via les s ries formelles
61. hypoth se On peut sans doute d montrer un th or me analogue dans le cas de l quation IV 36 A M 1 E M o E est un moule alternel mais la complexit des calculs est beaucoup plus importante 4 Dualit des alg bres A et E Le th or me qui suit donne une application permettant de passer de E A et vice versa La sym trie symetrel alternel est beaucoup plus complexe et couteuse en terme de calculs que la sym trie symetral alternal Il peut donc tre utile de passer de E dans A pour v rifier des propri t s de sym trie Th or me IV 3 Soit Se resp E un moule symetrel resp alternel et Exp le moule exponentiel d fini par 1V 37 Exp 1 Exp 1 r Vs 5s1 8 20 Le moule IV 38 Sa Se o Exp resp 4 E o Exp est un moule symetral resp alternal CALCUL MOULIEN 63 Autrement dit il existe une dualit entre les alg bre et E via la composition par le moule exponentielle La d monstration repose sur le lemme suivant Lemme IV 6 Soit Q un semi groupe Le moule exponentielle Exp d finit un alphabet Y tel que chaque lettre Y est groupe like par rapport au co produit A i e IV 39 AGS 37 Mon w1 Fw w D monstration Soit X un alphabet de type A et x un mot de X On associe chaque lettre x un poids p N Le poids d un mot est la somme des poids de ces lettres On note x
62. idemment le champ Xy n est d termin que modulo l action du groupe des diff omorphismes formels laissant Xy invariant 1 2 Diff omorphismes On considere un diff omorphisme locale de C de la forme f ise JE boire f x C x tel que On associe f son op rateur de substitution F p p0f On d montre que F peuvent se mettre sous la forme V 6 F Fin 2 PA B Fin H gt Mirti o les Bn sont des op rateurs homog nes de degr n n n1 n N gt 0 sauf au plus un qui peut valoir 1 On note A F l ensemble des degr s des op rateurs B obtenus dans la d composition V 6 On remarque que Bn n A F est un op rateur diff rentiel cela provient de la formule de Taylor Son coproduit est donc Alle D BO P wi w w Exemple V 1 On consid re le diff omorphisme de C d fini par f x x 2 Soit olx DE dat un l ment de C x On veut expliciter l op rateur de substitution F pof Ona po f x Y a Xr 2 Comme Mr 22 Y Cay OT on a en regroupant correctement les termes 2 n i o f x y 2 Do AS E k n gt k 68 JACKY CRESSON Par ailleurs on a d n ne qe 20m mA ce qui donne F Fin 1 Y Br en posant k gt 1 2 k Jk p E k dx 2 Conjugaison des objets analytiques locaux 2 1 Conjugaison Soit X resp F un champ de vecteur resp diff omorphisme sous forme pr par e On regarde l effet d un chang
63. ien permet de renouveler son approche en mettant en vidence des coefficients universels de lin risation qui n apparaissaient pas dans la litt rature classique du sujet 3 1 Le th or me de Poincar On cherche le normalisateur Na tel que Xin NaX Na ou ce qui revient au m me X Na Xi Na Par construction nous supposons que Va est de la forme Na N No Da c est dire dans D On a Na l Y Nat Dy L quation de lin arisation donne V 20 X Ne D Xin Eu Xn Y I D CALCUL MOULIEN 73 o 1 est le moule l ment neutre pour la composition On en d duit l galit suivante sur les moules V 21 V Na 1x Nat 1 o y est la d rivation sur l alg bre des moules d finie par YVM w M2 On a donc 17 les formules de r currence suivantes Ya E TANYA ee VN Na xl Nous avons donc la version explicite suivante du th or me de Poincar Th or me V 2 Poincar Soit X Xin gt D un champ de vecteur local nEA X de C avec Xin NONE Do A1 Av Pour tout s s1 8r A X i 1 s A X on note w s w1 wr C le vecteur d fini par wi si i 1 v et w s wi gt gt gt wr On suppose que le champ est non r sonant i e w s O pour tout s A X Alors le champ X est formellement lin arisable par un automorphisme formel de C r de la forme Na Y NoD avec pour tou
64. ike de et JE 5 1 l ments group like de A Rappelons de la d finition 1 3 qu un l ment P K X est dit group like pour le coproduit A K X gt K X Sk K X s il v rifie 11 56 A P P 8 P A Deux observations permettent de pr ciser la nature des l ments group like de Aucun polyn me ne peut v rifier 11 56 En effet d finissons la longueur d un produit tensoriel P Y P2 de deux mon mes comme tant la somme n m o n est la longueur de P en tant que mon me et m la longueur de Pa Soit P un polyn me de K X et soit M le mon me le plus long apparaissant dans P Alors on voit que la longueur de chaque terme apparaissant dans A P est inf rieure ou gale la longueur de M alors que le terme M amp M deux fois trop long appara t dans P P Ceci montre que si un l ment de K X a une chance d tre group like il doit s agir d une s rie formelle De m me A P fait apparaitre des couples 1 x ou x 1 ce qui n est possible dans P P que si on fait intervenir la suite vide La s rie P doit donc avoir un terme constant a 0 La condition A P P P implique alors que ce terme constant v rifie CALCUL MOULIEN 39 a 1 1 a a donc a 1 Ces deux observations nous conduisent consid rer les moules de la forme 11 57 P Y Mx xzEeX avec M 1 Remarque 11 2 Si les d rivations proviennent d un champ
65. it Soit K un corps D finition 1 2 On appelle cog bre sur K un triplet E A e ou E est un K espace vectoriel est une application K lin aire E gt E x E dit coproduit de E et e E K est une application K lin aire tels que 1 24 c idg A o A 8 idg o A On donne un exemple dans la prochaine section 2 2 Big bres et graduations Une big bre est un quintuplet E u n A e tel que 1 E u n est une alg bre i e E est un K espace vectoriel et u E x E gt E et n K gt E sont des applications K lin aires telles que 6 po 81 po 189 14 E 8g E xk E gt E 7 uno 181 po n 1 1 E gt E en identifiant K Sk F E x K E 2 E A e est une cog bre voir 82 1 3 A et sont des homomorphismes d alg bres Une big bre est gradu e si l alg bre sous jacente est munie d une graduation D finition 1 3 Dans toute la suite un l ment x d une big bre E munie d un copro duit sera dit primitif si 1 28 Ar rx81 108x 18 JACKY CRESSON et group like si 1 29 AGE DE 2 3 Exemples 2 4 Alg bre de d rivations On renvoie au livre de Jacobson 19 chap 1 82 p 7 8 pour plus de d tails Soit A une K alg bre non associative quelconque Une d rivation D ou op rateur diff rentiel d ordre 1 sur A est une application lin aire de A dans satisfaisant 1 30 D xy Dx y x
66. ition II 2 Soit y y un l ment de Y x Y L ensemble des suites y telles que y y soit dans C est donn par le battage contractant de y y D monstration Soient a et a les op rateurs introduits au 83 1 Notons les faits suivants e Pour ys Y les l ments de C s obtiennent en appliquant au couple 0 seul l ment de C tous les op rateurs 11 18 Ay A avec s1 sa 5 0 lt 81 82 lt 8 e Pour y Ys Ys Y r gt 2 les l ments de C s obtiennent en appliquant tous les op rateurs 11 19 Ay Ar avec k ko s 0 lt k ko lt 81 aux couples de Ge On r sume ce r sultat dans l nonc suivant Lemme II 2 Soit y Ys Ys une suite de Y et C l ensemble des couples de suites engendr par A y Tout l ment de C est de la forme 11 20 bys Dys gt bys 0 CALCUL MOULIEN 31 o chaque op rateur by est de la forme Ed SIA i 11 21 bys Oy aj avec si 53 Si 0 lt 81 8 lt Si 1 2 Terminons maintenant la d monstration de la proposition I 2 Pour la premi re direction on suppose que y Ys Ys csh y y t lt r Ceci veut dire que y est obtenu d un l ment de sh yt 32 donn par une partition de 1 r comme d habitude en deux sous ensembles i1 1 et J1 Jmy avec n m r par additions successives de paires d l ments adjacents provenant de y et y respectivement
67. les 2 1 D rivations sur l alg bre des moules Dans les applications on est souvent conduit utiliser des d rivations sur l alg bre des moules Ce paragraphe donne en suivant Ecalle 15 un proc d de construction d une grande quantit de d rivations suffisantes pour la plupart des applications On commence par une d finition D finition IV 3 Soit D une application de Mx Q dans Mx Q lin aire Le moule image d un moule M par D est not D M L application D est une d rivation sur 56 JACKY CRESSON l alg bre Mx Q x si elle v rifie IV 10 D M x Ny D M x N M x D NJ pour tout moules M et N de MK Q Certaines d rivations respectent des sym tries des moules D finition IV 4 On dit que la d rivation est alternale si elle pr serve l alternalit du moule sur lequel elle agit On v rifie directement que les d rivations YJ et lang d finies ci apr s sont alternales 2 2 Construction de d rivations 2 2 1 D rivations simples On peut chercher construire des d rivations simples de la forme DM M5 o est un moule fix Quelles sont les propri t s que doit v rifier pour que l application D ci dessus soit une d rivation Il suffit de calculer D M x N On a DAM x M E Yo MENE sts 2 s Si D est une d rivation on a l identit de Leibniz qui impose Dx M x MN D M x N 5 M x DN Y Ma MENS Y ME
68. les non commutatives form es sur X muni du coproduit A On note MK Q l ensemble des moules sur Q La structure d alg bre de K X se traduit directement sur les moules Soient Y M D et D ND deux l ments de K X On d finit l addition et la multiplication de deux moules via les relations Y M D Y N D Y M N D 11 1 wo X ole p SM x NID On peut donc munir MK Q de la structure d alg bre suivante Th or me IIT 1 L ensemble des moules Mx Q muni des op rations A M N gt AL M24 Ne A MXxN lt A Y MENS wlew w est une alg bre non commutative L l ment neutre pour la multiplication est le moule 1 d fini par 1 1 si w et 1 0 sinon On peut pr ciser la relation entre les moules alternaux et sym traux via le th or me 1 3 48 JACKY CRESSON D finition 111 1 Soit M un moule on appelle exponentielle de M et on note z X Ax M exp M la s rie exp N y avec la convention M 9 1 Une simple application de la formule de Leibniz donne Lemme IIT 1 Pour tout moule sym tral M il existe un moule alternal N tel que M exp N D monstration Il suffit de voir que ep N D Y exp N D par d finition du moule exponentielle Le th or me 1 3 permet de conclure 2 Composition On peut munir l alg bre des moules d une composition Cette loi de composition est l analogue de la notion de substitution d
69. longueur des suites On doit v rifier pour toutes suites w w la propri t Yo HN weSh w w La propri t est trivialement vraie si w 2 Soient w w w1 et w w w telles que n m r gt 2 Supposons que la propri t d alternalit soit vraie pour toutes les suites de longueur lt r 1 On commence par noter que 1 wr FT Wy_1 On a de plus la propri t suivante du battage de deux suites 11 65 TW 0r Ter Lemme II 5 L ensemble sh w w est la r union disjointe des quatre ensembles sui vants gt 32 2 2 1 2 1 2 sh w gt VW lt m 2 Win su Th m i 00 4 JI 1 2 2 1 T 2 1 1 aiokaan I sh wt 2 W Vn su o w lt d note la sous suite wi w des j premi res composantes de w D monstration Soit w sh w w Alors l w r et on peut se demander que peuvent tre les deux derni res composantes de w Comme le battage ne m lange pas l ordre interne des composantes de w et de w on voit que les deux derni res composantes de w en 42 JACKY CRESSON l ordre doivent former l un des couples suivants wl_ wl w21 w2 w w2 w2 wt Les r 2 premi res composantes de w sont donc forc ment obtenues par battage des composantes restantes de w et w ce qui d montre le r sultat On a donc 1 Te 7 2 3 V2 0521 gt wESN w w se sh w1w2 _ w2 4 taa f s wl w2 wl 11
70. lt i lt r sont non nuls alors wr k bips Wr k Dir k D Tr 1 4 2 V 45 Sam k 1 Si un seul w s annule 2 1 7 V 46 Sam si i 1 r lo 01041 lt Wr Enfin si plus d un w s annule alors Sam 0 Remarque V 7 Le champ simplifi poss de un d veloppement moulien mais n est pas une forme pr normale Il contient des op rateurs non r sonnants D monstration On commence par noter que O peut s crire comme neM V 47 DE S PD nESM o le moule J est d fini par L pad y 8i w et w 0 0 sinon 80 JACKY CRESSON L exponentielle de O poss de un d veloppement moulien de la forme exp O exp J D nes m Par d finition on a exp 9 2 1 Ai x J Or un simple calcul donne 1 f E E 7 si w w w avec tous les w 40 i 1 r 1 Wr r facteurs sinon On a donc 1 sie o 1 exp 9 sie 4w w avec tous les w 0 Ti Wr 0 sinon Par d finition de Xsam nous avons X sam Y exp J B X Y exp J B Or X Xin gt D qui poss de l criture moulienne nen X Xin STD o 1 est le moule d fini par 11 1 et I 0 si l w gt 2 On a donc l expression moulienne compl te de X am X sam X eo D Xun 5 I D 1D Comme X exp J D Ji Xun S exp on Y exp J x expl J De avec V la d rivation su
71. mage de X par h71 49 est un champ de vecteur en y htx donc une d rivation sur les germes de fonctions en y Notons Xnj ce champ image Comment lui donner un sens Soit un germe de fonction en h7 x alors oh est un germe de fonction en g On peut faire agir X dessus et on obtient le germe X o h en x Comme Xconj doit tre un germe en h7 x on transporte X o h par h droite soit X H0h 1 oh Cette fonction est d finie sur un voisinage de y h x c est donc un germe de fonctions en y Une d finition est donc Xconj o OXO7 H pour tout germe en h x o O est l automorphisme de substitution associ h On renvoie 20 p 96 pour plus de d tails Pour les automorphismes un raisonnement analogue au pr c dent conduit au r sultat La conjugaison est dite formelle resp analytique si le changement de variables associ est formel resp analytique Lorsque Xconj XAlin O Feon Fin on parle de lin arisation Remarque V 2 On peut imposer des contraintes sur la forme des objets conjugu s Si le champ conjugu ne contient que des termes r sonants on parle de pr normalisation Si de plus le nombre de ces termes est minimal parmis toutes les formes pr normales on parle de normalisation On renvoie au 8 4 pour plus de d tails 2 2 quation de conjugaison Soit X un champ de vecteur analytique local d alphabet A X et F l op rateur de substitution d un diff omorphisme
72. ment P S MX est primitif Evidemment on ne capte pas de cette fa on tous les l ments primitifs Consid rons les s ries formelles non commutatives construites sur l alphabet trois lettres D1 D2 D3 o D Da et D3 sont trois d rivations sur une alg bre A telles que 11 43 D Di Da Alors l l ment 11 44 D2D1 D D DiD3 est primitif sans que le moule associ soit alternal En effet cet l ment est associ au moule M d fini par 11 45 M 1 M 1 M 1 et M 0 sinon Ce moule n est pas alternal car on a 11 46 MY M 1 Pourtant comme 11 47 DD D D D Dz D3D1 D D3 c est bien un l ment primitif Jean calle utilise constamment ce va et vient entre les objets construits sur des alg bres li es et leurs repr sentations libres 4 3 l ments primitifs de E D finition 11 9 Un moule M est dit alternel si 11 48 Y M 0 Yyy E Y 0 yecsh y y CALCUL MOULIEN 37 Pla ons nous maintenant dans la cog bre E d alg bre sous jacente gale IK Y sur l alphabet libre Y index par le semigroupe N On a alors le th or me suivant analogue du th or me II 2 Th or me II 3 Un l ment y My E est primitif si et seulement si M est un yeY moule alternel D monstration On note P y My P primitif signifie que yeY 11 49 AP P 1 19 Or on a AP
73. mes pour le th or me de Bruyno car elles ne d pendent pas du spectre de la partie lin aire Le seul changement est dans l estimation de la taille du moule de lin arisation Na qui d pend fortement des propri t s arithm tiques des w Lemme V 7 Pour toute suite n on a V 64 Na lt Q Q gt 0 Une estimation directe de la norme de Na donne en gardant les in galit s V 60 V 61 V 62 du lemme V 6 gt Na B lt E e 3 l n r N n N U V ce qui ne permet pas de conclure quand la convergence de la s rie Les majorations pr c dentes ne peuvent pas tre am liorer Autrement dit le th or me de Bruyno est inaccessible via lexpression moulienne initiale du normalisateur Na Si convergence il y a il faut affiner l analyse de cette s rie La m thode d arborification donne un proc d alg brique pour tudier la convergence de ces s ries N anmoins et c est un point important cette m thode prend sa source dans un probl me d analyse et sa mise au point n est pas un probl me alg brique 1 Du fait de l utilisation d arbres et autres suites arborifi es les sp cialistes des alg bres de Hopf y ont souvent vu un relicat des bases de Hall Or l arborification n a strictement rien voir avec ce probl me qui lui est purement alg brique Bien entendu une fois la m thode formalis e rien n emp che une tude purement alg brique de ses propri t s comme dans 16 par exemple
74. ns E est donc D finition 11 11 Un moule M est dit sym trel si 11 61 Y MI MEM VWy y EY yecsh y y Th or me 11 5 Un l ment My E est group like si et seulement si M est YEY un moule sym trel D monstration Elle est analogue au cas sym tral En effet il suffit d adapter la d monstration du th or me 11 4 en rempla ant 11 59 par AMP 1 1 Y M2A y 11 62 ger Le 181 Q81 18Q 9 M Y y oy yeY o la deuxi me somme porte sur tous les couples y y tels que y y Yk Y Yu gt Yi avec ventuellement certains Ur OU y gaux al hotes pour 1 lt i lt r si y Ys Ys y A0et y 0 Par la proposition 11 2 le coefficient d un terme donn y S y est donn par 11 63 Y Mz yecsh y y Comparant donc le reste de 11 62 avec 11 60 on voit que P est group like si et seulement si le moule associ M est sym trel y CALCUL MOULIEN 41 6 Exemples de moules alterna e l sym tra e l 6 1 Un moule alternal Dans cet exemple nous prenons pour Q un ensemble d nombrable d ind termin es et pour le corps K le corps Q Q des fractions rationnelles dans les l ments de Q On d finit le moule l mentaire T par TV 0 T 0 Wen 1 1 1 7 e ds wo w1 w3 w2 Wr Wr 1 On a Lemme II 4 Le moule T est alternal D monstration Elle se fait par r currence sur la
75. olomorphes d apr s A D Brjuno S minaire Bourbaki no 564 1980 23 Reutenauer C Free lie algebras London Math Soc Monographs new series 7 1993 24 Ram A Quantum groups a survey of definitions motivations and results Princeton 1996 25 Serre J P Lie algebras and Lie groups W C Benjamin Inc 1965 26 Waterhouse W C Introduction to affine group schemes Graduate Texts in Math 66 Sprin ger 1979 27 Loray F Analyse des s ries divergentes dans Quelques aspects des math matiques actuelles ed Ellipse A El Kacimi Alaoui H Queff lec C Sacr V Vassalo p 113 173 28 Candelpergher B Nosmas J C Pham F Approche de la r surgence Hermann Paris 1993 29 Malgrange B Introduction aux travaux de Jean Ecalle L enseignement des math matiques 44 p 41 63 1985 30 Candelpergher B Une introduction la r surgence Gazette des math maticiens 42 p 36 64 1989 JACKY CRESSON e E mail cresson math univ fcomte fr Equipe de Math matiques de Besan on CNRS UMR 6623 Universit de Franche Comt 16 route de Gray 25030 Besan on cedex France
76. on de d rivation sert E ERA AA re 2 2 1 D rivations simples 5 t sar A urnes uit te 1 4 2 2 2 Autres COnStru tionsi saga nent ad eme ee ee ee fe peas 2 3 D rivations et moules sym trals 3 Automorphismes t Sym tries oae de ae aaa nan names ado ae man da 28 OR nan a tsar s 70 221 A se 0 20 e 00202A N 0 EA Y A 227014 324 NEE a tm den 900 119 ne CSC RE OS 3 24 EXemples 133221206 A PR e E a D VO S ER A Rene ma men DA ada Dee ad 3 3 Automorphismes et moules symetrels ssscccseccssrerosesoasscsosecoaneenanes 61 4 Dualit desralgebres Ar et Enz iina se o EN A ee PE E A area 62 Partie V Th orie des formes normales d objets locaux 2 65 1 Objets locaux champs de vecteurs et diff omorphismes 65 1 1 Champs de vecteurs scene nr A de te RE NRA A man T 65 A A DO RC E RNE 66 1 52 Diff omorphismes ss hands A A A A AA AAA A AA ia 67 2 Conjugaison des objets analytiques locaux 4 4 44e 68 DA Conjugason kds e ts te tee E A a a R TE SR tin 2 2 quation de conjugaison us Lin arisation formelle enake sir ren A e BdA RA A a ee a a me 2604 AE NE 3 1 Le th or me de Poincar CALCUL MOULIEN 3 2 Cas des diff omorphises ecru ci s is a A esta see A sienne Meet 74 3 3 Universalit du moule de lin arisation eee re 76 Ay
77. oproduit A ULx gt ULxQULx 1 10 x rol 1 x Comme U x Assx nous avons donc un coproduit 1 11 A Assx gt Assy Assx Le r sultat important suivant caract rise de mani re naturelle la sous algebre de Lie L x l int rieur de Assx Th or me I 1 Soit X un ensemble fini alors l alg bre de Lie libre Lx sur X coincide avec l ensemble des l ments primitifs de Assx c est dire 1 12 Lx me Assx Am m 1 1 m Soit M l id al de l alg bre Assx engendr par l ensemble X c est dire l id al de tous les polynomes sans terme constant il est engendr par les mon mes non commutatifs On d finit une application 1 13 Yv M gt Lx en posant 1 1 14 PX de Xu cu Xan Xw Xw31 Hu Xal Xon pour les mon mes et en l tendant par lin arit tout M Comme Lx C Assy et d ailleurs m me Lx C M on peut restreindre 4 ce sous ensemble et on obtient le r sultat suivant appel th or me de projection Th or me 1 2 L application y est une retraction de M sur Lx i e on a dr ide 16 JACKY CRESSON Par exemple on sait que l l ment X1X9 X2X M appartient en fait Lx puisqu il s agit de X X2 on a bien 1 1 1 15 p X X gt X2X 5 M X2 5 X2 Xi X1 Xo Les alg bres Lx et Assx sont munies de graduations naturelles par la longueur on appelle L resp Ass l ensemble des combinaisons lin aires de crochets resp
78. que c est presque toujours pos sible toujours payant et souvent indispensable d s qu on vise des r sultats tant soit peu pr cis Et l on pourrait ajouter que les moules s incrivent dans une d marche typiquement analytique ils permettent en effet de cerner les difficult s puis de les s rier puis de les vaincre en les examinant tour tour pour les composantes de longueur 1 2 3 etc jusqu ce que les m canismes en jeu se d voilent et livrent la solution g n rale C est pr cis ment cette d marche qui a permis en th orie KAM de dissiper la chim re CALCUL MOULIEN 5 des petits diviseurs surmultiples qui n ont aucune esp ce d existence mais qui hantaient la th orie depuis son origine La m me d marche s applique avec le m me succ s l analyse des objets analytiques locaux champs de vecteurs diff omorphismes quations ou syst mes diff rentiels ou fonc tionnels et en particulier l tude de leurs invariants holomorphes Ces derniers sont souvent r put s non calculables alors qu ils le sont minemment gr ce aux moules Les moules interviennent aussi en th orie de la r surgence o d ailleurs ils prennent leur origine car c est l un contexte typiquement non commutatif qui chaque pas requiert des indexations sur le monoide engendr par C Il y a aussi tout le champ des fonctions sp ciales et sa compl tion naturelle qui est justement le champ des mo
79. r l alg bre des moules d finie par VM wM on obtient l quation moulienne suivante pour Sam V 48 Sam exp J x Y exp J exp J x I x exp J CALCUL MOULIEN 81 Cette quation permet de calculer l expression du moule Sam par r currence sur la longueur des s quences Le moule C exp J x I est d fini par 0 si au moins un des w 1 lt i lt r 1 est nul Cr sinon r Dl W 1 Le moule D C x exp J est donc d fini par D 0 D 1 Pour une suite w de longueur r gt 2 on a porer car exp J w 2 r de C2 ap I 8 has Curr On a plusieurs cas si au moins un des w est nul 1 lt lt r 1 alors tous les C 1 i avec j gt 1 son nuls ainsi que tous les exp J pour k lt i Donc on a Dir CAJA On a donc 0 si au moins deux w sont nuls peter 1 7 i 1 r wr Se 5 1 Wi 1 E wr si un seul w 1 lt i lt r 1 est nul si seul w est nul alors D 1 7 Ct et on a 1 Der wr r Vlw1 Wr 1 si aucun w n est nul alors CD 1 E porer r kjlwo w w r 2 lus w 1 J 1 x r 2 w1 Wr 2 wr r 1 lur wr 1 soit 1 D ws pier WI Wr gt k 1 r k De m me on montre facilement que E V exp J est d fini par E 0 et plus g n ralement 0 si au moins un des w 1 lt i lt r et nul
80. r tous les multi entiers n n1 n Q tels que w Z 0 C est le proc d classique de supression des termes non r sonnants du champ On peut it rer ce processus et passer la limite On appelle forme normale de Poincar Dulac le champ limite et on le note Xiram On a donc V 42 XXE gt Xt gt gt gt Xiram m sam Nous avons le th or me suivant Th or me V 5 La forme normale de Poincar Dulac est une forme pr normale continue appel e forme pr normale lagu e et not e Xiram V 43 Xiram Xtin Y Tram D CALCUL MOULIEN 79 La d monstration repose sur une r ecriture de la construction classique en terme de moules et comoules faisant apparaitre ainsi les constantes universelles Tram Remarque V 6 i La forme normale de Poincar Dulac n est pas une forme normale dans le sens de Baider Sanders ou Ecalle C est pour eviter toute confusion qu Ecalle appelle cet objet forme pr normale lagu e Dans la suite de cet article nous utiliserons la terminologie d Ecalle ii Les constantes universelles Tram sont explicites voir le lemme V 5 D monstration Elle repose en partie sur le lemme suivant Lemme V 4 Le champ simplifi X sum associ X poss de un d veloppement moulien de la forme V 44 Xsam Xun Y Sam D o le moule Sam est d fini par Sam 0 Sam 0 si w 0 et Sam 1 si w 0 sil w gt 2 et tous les w 1
81. risation est Ne FNe Fin soit NeFinNe F Via le calcul moulien on a donc X Nes Ein Loera So ET 2 Fin o 1 est le moule l ment neutre pour la multiplication On en d duit la relation suivante sur les moules V 26 eV Ne x Ne 1 1 CALCUL MOULIEN 75 o eY est un automorphisme de l alg bre des moules d fini par eV M2 elel ye On a donc la relation suivante V 27 eY Net 1 I x Wer Lemme V 2 Soit F Fin l De Ba un automorphisme local de C x neA F Fin Cllx gt Cl x d fini par Finl ple zx ez pour tout C I x On note A1 Ay C Pour toute suite s s1 s A F s A F on note w s w1 wr le vecteur de C d fini par w s A et w s wit wr Si F est non r sonnant 1 e V 28 w s 14 0 pour tout s A F alors il existe un automorphisme de lin arisation formelle de la forme Ne S Ne B avec pour tout s 51 8r AY F si A F eit twr 2 N V 29 ene 1 e7 Wittwer 1 O Wi Si D monstration On calcule le moule Ne par r currence sur la longueur des suites Pour l w 1 on a Ne Nee 1 Ne 1 d o i Ne De Pour l w r w w1 wr On a elel ez Nee Nevar soit Vez Ne R ujk 1 ell 1 Une simple r currence donne la formule suivant
82. rme constant voir la partie D Proposition 11 3 On note X l ensemble des mots de longueur r construits sur X L l ment Mx est un l ment primitif si et seulement si pour tout couple de suites LEX T xt x avec la n gt 0 1140 m gt 0 n m r ona 11 30 Y M SD zeSh x a D monstration Posons 11 31 FE M Lex En utilisant la formule 11 29 on voit que A P A y Mz Y M2 A 2 TEX T TEXT 11 32 Y MU 81 181 R xzEX r PO1 18 P R o le reste R est gal 11 33 5 se y zer TEX xl E Cz Par d finition gt Mx est un l ment primitif si et seulement si R 0 TEXT Soit xt x un couple de suites de 11 33 Par la proposition 11 1 l ensemble des mots x X engendrant ce couple i e tel que ce couple appara t dans Cz est obtenu par battage de 1 x En regroupant dans 11 33 les termes avec le m me couple zt x on 34 JACKY CRESSON r ecrit 11 33 comme somme d l ments de la forme 11 34 Y Mjr or zeSh x1 x Le reste dans 11 32 est donc nul si et seulement si on a la condition 11 30 Th or me 11 1 Un l ment P gt Mx est un l ment primitif si et seulement EA si le moule associ M est un moule alternal D monstration On peut crire P comme somme de composantes homog nes P P Or si P est primitif pour chaque n lt 0 on a n lt 0 11 35 A PJ NS A P Y P 801 18
83. s alerna e ls et symetra e ls La partie 4 qui peut tre omise dans une premi re lecture tra te de questions th oriques sur les moules On donne une interpr tation des sym tries secondaires alternil symetril On d montre que certaines sym tries de moules peuvent s tablir sans calculs si ces moules v rifient une quation diff rentielle donn e 12 JACKY CRESSON La partie 5 enfin discute la construction des formes normales d objets analytiques locaux champs de vecteurs et diff omorphismes Remerciements Je remercie Jean calle pour ses commentaires et les fichiers qu il m a envoy dans les quels j ai largement puis des exemples de Moules Je remercie galement Leila Schneps pour sa relecture critique du manuscrit et son aide dans la refonte de certains passages Guillaume Morin m a beaucoup facilit la tache en reprenant la r daction du dernier cha pitre et en r digeant mes expos s oraux et mes notes sur la m thode d arborification pour son m moire de DEA Enfin j exprime ma gratitude tout ceux qui m ont encourag dans cette r daction notamment Jean nicolas D nari Herbert Gangle Pierre Lochak Michel Petitot George Racinet Pierre Cartier et Michel Waldschmidt CALCUL MOULIEN 13 PARTIE I PR LIMINAIRES Cette partie consiste en quelques rappels succincts sur les alg bres de Lie libres les notions de big bres et de cog bres 1 Alg bre associative et alg bre de lie libre On ren
84. s diviseurs les s ries mouliennes de O et O sont g n riquement divergentes N anmoins on imagine bien qu un contr le de la vitesse de convergence des w n vers O lorsque n augmente doit permettre de r tablir la convergence de la s rie C est ef fectivement ce qui se passe sous une condition appel e condition diophantienne de Bruyno On note w k la quantit e d finie par V 63 w k inf fam Y Mim m lt 2FH et Am o i 1 o les m sont tous positifs sauf au plus un qui peut valoir 1 de somme m gt m gt 0 i 1 La condition diophantienne de Bruyno est La s rie S y logt et Da convergente B Le th or me de Bruyno s nonce a comme suit Th or me V 8 Bruyno Soit X un champ de vecteurs analytique dont le spectre de la partie lin aire v rifie la condition B Alors ce champ est analytiquement lin arisable 88 JACKY CRESSON La d monstration originale de Bruyno est longue et difficile Une pr sentation claire et soign e de son travail est donn e par Martinet 22 Ce que peut apporter le calcul moulien dans ce probl me c est un cadre conceptuel clair qui guide les diff rents calculs et estimations n cessaires la d monstration En tout premier lieu il faut comprendre pourquoi ce probl me est beaucoup plus difficile que le th or me de convergence sous la condition de Poincar Les majorations du lemme V 6 concernant les op rateurs B sont les m
85. s donnerons un sens pr cis cette terminologie dans le texte 66 JACKY CRESSON o les D sont des op rateurs homog nes de degr n avec n n1 n et tous les n gt 0 sauf au plus un qui peut valoir 1 i e V 4 Di Gan E C m N On note A X l ensemble des degr s des op rateurs homog nes intervenant dans la d composition V 3 On remarque que pour tout n A X D est une d rivation 1 1 1 Exemple Soit X x y un champ de vecteurs de C de la forme X x y A10 By y azox a112y ao24 3 b207 biixy bo2y Oy o a j EC bij E C pouri i 2 i jeN La d composition V 3 s crit X Xin Dio Doi D 12 Do _1 O Xin TO bydy et Dio at 0 b111y0 Doi anyrOx boy 0y V 5 4 VRD D_12 ao r Do 1 bap1 0 On a donc A X 1 0 0 1 1 2 2 1 Dans la suite on supposera toujours que la partie lin aire du champ est sous forme diagonale i e v Xin gt AGO i 1 o A A1 A est le spectre de Xin Le champ est alors dit sous forme pr par par Ecalle Cette condition est elle restrictive Non si on se place dans la classe des champs de vecteurs formels En effet en suivant Martinet 22 6 1 1 tout champ de vecteur formel peut via un diff omorphisme formel se mettre sous la forme X Xin Xy CALCUL MOULIEN 67 o Xin est lin aire diagonale et Xy est nilpotent avec X Xy 0 Ev
86. s mouliennes 6 JACKY CRESSON INTRODUCTION Les raisons du texte Toute nouvelle notion en math matiques comme ailleurs est souvent source de diffi cult s C est notamment le cas des moules et comoules introduits par Jean Ecalle au cours de ses nombreux travaux aussi bien dans le domaine des formes normales de champs de vecteurs que dans celui de l tude des singularit s ou plus recemment des propri t s alg briques des polyz tas Par ailleurs il n est pas toujours facile de situer ces nouvelles notions et ses ventuelles connexions vis vis des domaines math matiques existant Il n existe pas de texte introductif sur le calcul moulien facile d acc s et r pondant ces interrogations Or ce travail devient n cessaire du fait de l utilisation de ce for malismes dans des domaines tr s diff rents de son champ d application initial Y L objet 2 est de combler ce vide Nous allons d finir les moules et les comoules et de ce texte expliciter certaines m thodes associ es comme la m thode d arborification Mais surtout nous allons pr ciser le cadre th orique de ces objets savoir celle de la combinatoire des alg bres de Lie libre et des big bres gradu es On verra notamment que certains des mots nouveaux sont en fait connus depuis longtemps sous une autre terminologie comme par exemple l quivalence entre un moule alternal et un l ment primitif d une alg bre de Hopf La plupart du temps
87. st il un l ment primitif i e A Py Pu amp 1 1 Py m me chose avec A ii Py est il un l ment group like i e A Py Pu Py m me chose avec A Cette information est toute enti re contenue dans les propri t s alg briques du moule M Autrement dit les propri t s du moule dictent la nature de l objet formel associ 1 Dans le cas ou les comoules appartiennent une alg bre de d rivation on obtient les l ments primitifs si le moule est alternal et les l ments group like si le moule est sym tral Si les comoules proviennent d un op rateur de coloi ii alors on a un l ment primitif si le moule est alternel et group like si le moule est sym trel On note M Q l ensemble des moules sur Q Mana Q resp Mane Q l ensemble des moules alternals resp alternels et Msyma Q resp Msyme 0 l ensemble des moules Dans ce cas l alphabet N doit poss der une structure de semi groupe pour donner un sens w1 w2 8 Le naturel dont il est question ici peut prendre deux formes suivant l int r t du lecteur soit au niveau des applications en montrant que la recherche des l ments primitifs et group like est indispensable C est ce qui est fait dans le dernier chapitre sur les formes normales de champs de vecteurs et diff omorphismes soit au niveau alg brique ou ces deux notions correspondent aux d rivations et automorphismes de l alg bre sous jacente ce qui est d t
88. stration Elle se fait par r currence sur la longueur des suites On doit v rifier pour toutes suites w w la propri t S se 5e se wEsh w w La propri t est vraie si l w 2 En effet on a se 0 Ge201 wEsh w1 w2 11 75 2 gt ne W1 wi w2 welwy w2 gu gu ww Soient w wl wI et w w w2 deux suites telles que w lw r r gt 2 Supposons que la propri t de sym tralit soit vraie pour toutes les suites de longueur lt r 1 On commence par noter que 1 11 76 Summon 2 Sera CALCUL MOULIEN 45 o w wi gt gt wr On a de plus la propri t suivante du battage de deux suites Lemme II 9 Pour toutes suites w et w avec l w n gt 0 et lw m gt 0 l ensemble sh w w est la r union disjointe des deux ensembles suivants 11 77 sh w wm Jun shui vu La d monstration est laiss e au lecteur On a donc mn sel Wer 1 2 Xen 0 weSh wl w weSh wt w 11 78 E 1 gi 1 y gi iell 2 l l seSh wl _ sesht w n Comme l s r 1 on en d duit par hypoth se de r currence RE EA a wW W 11 79 WwES w w IS El o en utilisant la relation 11 76 En simplifiant on obtient finalement So ge ANH NAN go gus 11 80 res co SN x suse ce qui termine la preuve 6 4 Un moule sym trel On d finit le moule lll e IL81 Seto
89. t dans le context de l alphabet Y il faudra comprendre le cas g n ral o on a un semi groupe pour coder l alphabet 26 JACKY CRESSON D finition 11 3 Rappelons que Y est un alphabet cod par un semi groupe Notons E K Y Y A la cog bre d finie par Le coproduit A est d fini sur les lettres de Y par IL4 Aly Y 31 Yj i j r On tend A Y par la propri t 11 5 A y y T A y A y Vy y A On tend A K Y par lin arit ii la counit sur E est d finie comme dans la d finition 11 2 11 On voit que les cog bres A et E sont en fait des big bres en effet K X resp K Y est une alg bre A et A sont des homomorphismes d alg bres et la condition sur e est vidente Encore une fois et E sont des big bres gradu es car les alg bres K X et K Y sont munies de la graduation naturelle donn e par la longueur des mots dans l alphabet X resp Y 3 Combinatoire sur et E battage et battage contractant 3 1 Combinatoire sur On prend comme ci dessus un corps K de caract ristique z ro et un alphabet X On consid re la K alg bre K X Pla ons nous dans la big bre gradu e obtenu en munissant K X du coproduit A de la d finition 11 2 Soit X l ensemble des mots ou suites de lettres de X y compris le mot vide
90. t s s1 Sr A X si A X 1 Nal wi wi wo w1 wo gt wr O Wi 53 D monstration On calcule Na par r currence sur la longueur des suites On a Na 1 par hypoth se Pour l w 1 on a wNa Na I Na I 1 7 Comme nous allons le voir ces formules d finissent le moule Na par r currence sur la longueur des mots ce qui n est pas vident a priori 18 Le normalisateur est donn explicitement 74 JACKY CRESSON d o 1 Na gt w si w O Pour l w r w u1 w on a la relation de r currence V 23 w Na Nater fer d o pour w 0 on a 1 V 24 Na N giors d Une simple r currence donne la forme g n rale de Na savoir 1 V 25 ile Ml wo w wo gt gt gt w Comme Na v rifie l quation V 21 on sait d apr s le th or me IV 2 que le moule Va est sym tral i e que l objet Na est un automorphisme formel de C x Ceci termine la d monstration du th or me Remarque V 3 i L op rateur Na est un objet formel Pour tudier son ventuelle convergence Ecalle a introduit la m thode d arborification Nous renvoyons l article d Ecalle 10 pour plus de d tails ii Si le champ de vecteur est hamiltonien le changement de variable est par construc tion automatiquement symplectique 3 2 Cas des diff omorphismes L quation de lin a
91. tion purement alg brique de ces objets comme par exemple les suites arborescentes D finition V 11 Une suite arborescente sur A X est une suite n d l ments de A X avec sur les indices un ordre partiel appel ordre arborescent chaque i de 1 r poss de au plus un cons quent not i On note n amp n l union disjointe de nf et n dans cette suite l ordre partiel interne est conserv mais les l ments de nf et n sont incomparables Un n lt est dit irr ductible s il ne poss de pas de d composition non triviale nf NS autrement dit s il poss de un plus grand l ment On peut toujours repr senter une suite arborescente par un arbre Les op rateurs arborifi s peuvent alors se d finir directement par r currence D finition V 12 Pour une suite arborescente donn e n n n lt on d finit Bh lt comme tant l unique op rateur v rifiant les trois propri t s suivantes Bo lt 9V D Bago Bast lt n lt ny Ong n Si la suite n lt se d compose en eaxctement d suites irr ductibles non vides alors B lt est un op rateur diff rentiel homog ne d ordre d Si n lt nino alors Bus Bis Bro CALCUL MOULIEN 93 Ces trois propri t s d finissent bien B lt qui se calcule par r currence de la mani re suivante V Bn lt F Y B 2 0s si l n 1 i 1 Bis Y Bas Bno ti Or si n n no i 1 Dis Pm y Bus zi m Bus zia
92. tration Commen ons par introduire une notion qui nous sera utile pour la suite CALCUL MOULIEN 59 Le moule M est sym tral jusqu l ordre r si il v rifie la condition de sym tralit y ME M MY sesh s1 s2 pour tout couple de suites s1 3 telles que st 1 s r Supposons M sym tral jusqu l ordre r Soient s et s deux suites telles que Us 1 8 r 1 Ona IV 19 jus Y Mi Y AMS sesh s s sesh s s car IV 20 As s1s2 Vs E sh s s soit IV 21 jan Y Ms 3 2 ar sesh s s sesh s1s2 u0 8 On obtient donc Agg Y ME SAT Y M2 sesh s1s2 i 0 vesh sl gt 1 52 IV 22 FLE a AA Pat Y oe 1 0 vesh s1 s2 gt i Par sym tralit de M d ordre r on en d duit Us 1 s2 IV 23 Asis y ME y ASS ys ys y y AS MEME sesh s s i 0 i 0 soit l s s2 5152 D ME M Y po ya Ms SAS ME seSh s s2 i 0 ico e An ME MS A2 ME M MEME Aa ho Mem Mis 60 JACKY CRESSON Comme A 0 pour toute suite s Q on obtient IV 25 D M2 M ME sesh s s donc la sym tralit de M l ordre r 1 Une simple r currence termine la preuve Remarque IV 3 L quation IV 18 est sugg r e par le r sultat classique suivant Pour tout x K lt lt Q gt gt avec x primitif on a z 1 k 1 x qe l z D e geile Dale gt Dx e k gt 1 avec ad x y xy yx Du point de vue moulien
93. tration de la convergence normale des s ries mouliennes ne n cessite pas toujours le re cours la m thode d arborifcation C est le cas des s ries du th or me de lin arisation de Poincar Vue la forme du moule intervenant dans le probl me de lin arisation cette convergence ne peut avoir lieu que sous une contrainte sur la vitesse laquelle les w n peuvent s approcher de O lorsque n augmente Cette vitesse d pend essentiellement de la disposition des valeurs propres du spectre de la partie lin aire du champ D finition V 5 Soit une collection de valeurs propres dans C On d finit le domaine de Poincar P comme l ensemble des dont l enveloppe convere ne contient pas 0 le domaine de Siegel S comme le compl mentaire du pr c dent CALCUL MOULIEN 85 Une condition de contr le tr s forte du spectre est l absence de petits diviseurs D finition V 6 On dit que le champ X ne contient pas de petits diviseurs s il existe une constante C gt 0 telle que Ww EQ w gt C Si le champ ne poss de pas de petits diviseurs il est n cessairement non r sonant donc formellement lin arisable d apr s le th or me de Poincar voir th or me V 2 La conver gence de la s rie normalisante est assur e par le th or me suivant Th or me V 6 Soit X un champ de vecteur ne contenant pas de petits diviseurs et dont le spectre est dans le domaine de Poinc
94. u dans la cog bre d alg bre sous jacente K X sur l alphabet X Rappelons qu un moule est naturellement associ une s rie non commutative dans les variables x X i e un l ment Y M x K X xEX D finition 11 8 Un moule M est dit alternal si 11 28 Y M S Mois ex ii zeSh xt x Soit x 11 T une suite et L x r sa longueur L action de A sur x donne une expression de la forme 11 29 A s z81 18z2z dez x1 x2 ECz o Cr Ca 2 0 0 2 Le but des deux th or mes suivants est de d montrer que l alternalit d un moule exprime sa primitivit en tant qu l ment de la cog bre on rappelle que P A est primitif si A P P 1 1 P Une propri t essentielle des l ments primitifs est la suivante Lemme II 3 Un l ment primitif P a un terme constant gal 0 D monstration En effet si le terme constant de P e le coefficient de 1 est gal a K alors le terme constant de A P est gal a 1 amp 1 alors que le terme constant de CALCUL MOULIEN 33 P 1 1 P est gal a 1 1 a Si P est primitif on a donca91 18 a a0 a On en d duit a 1 8 a 1 aga a81 18a 181 2a 1 2a 1 soit a 1 2a 1 et donc a 0 Ceci correspond au fait que les l ments de Lie dans une alg bre associative libre ap partiennent tous l id al M engendr par les s ries sans te
95. ule M 96 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 JACKY CRESSON R f rences Bourbaki N Groupes et alg bres de lie Chapitre 2 et 3 Hermann Paris 1972 Bourbaki N Alg bres I Chapitres 1 3 Hermann Paris 1970 Brjuno A D Analytical form of differential equations Trans Moscow Math Soc 25 1971 p 131 288 McConnel J C Robson J C Noncommutative noetherian rings Pure and applied Mathe matics Wiley Interscience series 1987 Cresson J Schuman B Formes normales et probl me du centre Bull Sci Math 125 3 2001 p 235 252 Cresson J Obstruction a la lin arisation des champs de vecteurs polynomiaux Canad Math Bull Vol 45 3 2002 pp 355 363 Dieudonn J El ments d analyse Tome IV Gauthier Villars 1971 Ecalle J Les fonctions r surgentes Vol 1 Les alg bres de fonctions r surgentes Publications Math matiques d Orsay 1981 Ecalle J Les fonctions r surgentes Vol 3 L quation du pont et la classification analytique des objets locaux Publications Math matiques d Orsay 1985 Ecalle J Singularit s non abordables par la g om trie Ann Inst Fourier 42 1 2 1992 73 164 Ecalle J Schlomiuk D The nilpotent and distinguished form of resonant vector fields or diffeomorphisms Ann Inst Fourier 43 5 1993 1407 1483 Ecalle J Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de
96. ules sp ciaux Expliquons nous L Analyse du 19 si cle avait pour id al la r solution explicite des quations diff rentielles etc au moyen d un certain nombre de fonctions sp ciales r pertori es d crites et tabul es une fois pour toutes Mais cela s est vite r v l impraticable car aucune collection de fonctions sp ciales n y suffisait Aussi l optique a t elle chang et pour la common wisdom du 20 si cle le but tait au contraire de trouver des algorithmes de r solution C tait un progr s mais un recul aussi on perdait en transparence ce qu on gagnait en g n ralit Heureusement les deux choses sont conciliables si le champ des fonctions sp ciales est trop restreint pour tout exprimer le champ des moules sp ciaux lui y suffit tout en incorporant l aspect al gorithmique vu le mode de d finition par r currence sur la longueur de la plupart des moules sp ciaux Qui dit fonctions sp ciales dit aussi constantes trancendantes sp ciales les deux choses vont de pair L aussi les moules sont l outil idoine ils sont le langage pr adapt dans lequel se construit et s tudie le corps d nombrable Na des naturels qui contient presque toutes les constantes transcendantes naturelles commencer par les multizetas pour qui les principales conjectures viennent justement d tre r solues par une d marche qui du d but la fin utilise les notations et les op ration
97. uzaine de secondaires iii une batterie de r gles et recettes simples qui disent comment telle ou telle op ration affecte conserve transforme etc telle ou telle propri t iv une transformation de grande port e l arborification qui sert surtout rendre conver gentes des s ries mouliennes divergentes mais qui poss de aussi la propri t inattendue de respecter l expression analytique des principaux moules utiles v et enfin bien s r un bestiaire de quelque trente moules fondamentaux qui surgissent et resurgissent un peu partout soit directement soit comme ingr dients ou pi ces d tach es partir desquelles sont construits les moules secondaires eux m mes en quantit ind finie Aussi labor que puisse para tre cet appareil il reste malgr tout d cid ment l mentaire dans ses ressorts Aussi serait il trompeur mon avis de parler d une th orie des moules On serrerait sans doute la v rit de plus pr s en parlant leur propos d un syst me de notations doubl d un mode d emploi sophistiqu qui permet souvent de poursuivre les calculs m me l o la complexit des expressions manier semble redhibitoire On pourrait aussi parler d un tat d esprit moulien c est la mentali de celui qui ne se contente pas de th or mes g n raux d existence d unicit etc nous laissant sur notre faim mais qui d lib r ment recherche l explicite car il sait par exp rience
98. voie au livre de Serre 25 LA Chap 4 et Bourbaki 1 chap 2 pour les d monstrations des r sultats rappel s dans le 81 On rappelle qu un magma libre est un ensemble M muni d une application M x M gt M not e x y gt ty D finition 1 1 Soit X un ensemble fini On d finit par r currence une famille d ensembles X n gt 1 tels que i X X ii pour n gt 2 1 1 112 p q n p q21 o d note la r union disjointe Remarque 1 1 Un l ment de X est un couple x y avec x y X un l ment de Xz sera de la forme x y z ou bien x y z etc De mani re g n rale l ensemble Xn est l ensemble des mots parenth s s de longueur n On note Mx JI Xa et on d finit la multiplication n 1 I 2 Mx x Mx gt Mx j La KT gt Lp Ta Apte C Mx o Tp Xp Lq et la fl che d note l inclusion canonique d finie par ii Mx est un magma libre sur X Un l ment w de Mx peut tre vu comme un mot non commutatif et non associatif de X Sa longueur w est l unique n tel que w Xn 14 JACKY CRESSON Soit K un corps et soit Ax la k alg bre du magma libre Mx les l ments Ax sont les sommes finies 1 3 a y Cm M Cm EK meMx La multiplication dans Ax tend la multiplication dans Mx on continue donc la noter L algebre Ax est appel e l algebre libre Ax sur X Soit J l id al de Ax engendr par les l ments d
99. wn associe retw Wn ess w1 Lemme 111 6 L inverse multiplicatif d un moule symetral MY est donn par M2 1 K prete 52 JACKY CRESSON D monstration Elle se fait par r currence sur la longueur de w Pour simplifier l criture on note N le moule inverse de M Pour w f on a 1 M N d o N 1 Pour w w1 on a 1 MANO MIN d o N M 1 Un calcul int ressant est donn par la longueur 2 qui fournit la clef de la d monstration Pour w w wa on a 19 M9 N9 M NY MON En utilisant l expression de N on obtient 0 M 2 161 M N La propri t de sym tralit de M permet de simplifier cette expression et on obtient 0 M4 42 0102 yea q Nu do Neie2 ME Plus g n ralement pour tout suite w de longueur n gt 1 on a 111 13 12 Y MENS Ne f o w lt W1 wi et w wi 1 Wn avec les conventions w j et w gt Les suites w7 intervenant dans la somme sont toutes de longueur lt n Par hypoth se de r currence on a NE 1 9 MT amp 9 pour tout suite s telle que 1 s lt n On a donc n 111 14 12 Y 1 me Mr Ne i l soit n 1 j 111 15 12 M Y y MS Ne i 1 seSh wi ret w gt i On note S sh w ret w pour i 1 n 1 On d finit une suite E 1 n 2 d ensembles par r currence tel que S ret w E S Ej_1 1 E avec Sn 1 w En 2 Il n est pas util
100. xpression du moule N si et seulement si M 0 Soit M M Q on notera M le moule inverse Lemme III 4 L ensemble des moules M tel que M 0 et M 40 si l w 1 forment un groupe not M 2Q2 dont les l ments sont les moules poss dant un inverse pour la composition D monstration Soient M et N deux moules dans M Q On note 4 M o N Par d finition on a A M N Comme MY 0 et N 0 on en d duit A 0 De plus A M N si w 1 Comme M Z 0 et N 0 on a A Z 0 et 4 MO La caract risation des moules ayant un inverse pour la composition se fait par r currence sur la longueur des suites Soit M un moule poss dant un inverse de composition not N alors on doit avoir 1 M o N soit P Y Miel llerll ayre ye TZ 01 wy w On a donc une r currence pour d terminer le moule N via la relation P Y JS mikeelge yer 4 pele yw r gt 1 ill wr La condition r gt 1 fait que les moules N N intervenant dans la somme sont associ s des suites de longueur inf rieur celle de w On peut donc trouver de mani re CALCUL MOULIEN 51 it rative l expression du moule N si et seulement si MI 4 0 pour tout w soit MY Z 0 lorsque l w 1 Soit M M N on notera M 53 le moule inverse Le r sultat principal de cette section est Th or me III 3 Les ensembles M m Q des moules sym

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