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1. EINE Am 1010 0 a otc a 125000 Math matiques appliqu es l informatique Page 5 2 a b NUM RATION ET BASES DE NUM RATIONS SYSTEME DE NUM RATION La num ration est une m thode pour former les nombres une convention pour les crire et les nommer Pour compter nous d nombrons une une les unit s partir d une certaine quantit d unit s on cr e un ensemble d une valeur d termin e auquel on donne un nom et que l on met sur le c t pour compter les unit s suivantes jusqu ce qu on puisse les regrouper dans une autre ensemble de m me taille Les regroupements d unit s sont leur tour regroup s en nouveaux ensembles qui portent un autre nom encore Exemple 100 Cents 1 1 000 gr 1 1 000 kg 1T 60 sec 1 min 60min 1h 24h 1 jour T 60 1 degr 60 1 tour 360 1 Pouce 2 54 cm 1 Pied 12 Pouces 1 Yard 3 Pieds 1 Mile 1 760 Yards Dans la vie courante on essaie de compter par dizaines centaines milliers nous essayons de n utiliser qu une seule base la base 10 Les chiffres arabes sont des signes particuliers pour d signer les neufs premiers chiffres et le z ro Dix signes nous suffisent pour crire tous les nombres Les unit s sont autant que possible regroup es par dizaines les dizaines par centaines etc LES BASES DE NUM RATION Une base de num ration est un nombre dont on utilise les puiss
2. Symbole international de la porte ET deux entr es Math matiques appliqu es l informatique Page 57 gt Porte OR Symbole am ricain de la porte OU deux entr es 2 ou quation logique de la fonction OU S A B Table de v rit d une porte O deux entr es Symbole international de la porte O deux entr es 21 Math matiques appliqu es l informatique Page 58 gt Porte NOT En lectronique une porte NON est plus commun ment appel e inverseur Le cercle utilis sur la repr sentation est appel bulle et on l utilise g n ralement dans les diagrammes pour montrer qu une entr e ou une sortie est invers e Symbole am ricain d une porte inverseuse A Doa quation logique de la fonction NOT S A Table de v rit d une porte inverseuse ol rejv Symbole international d une porte 1 Math matiques appliqu es l informatique Page 59 b COMBINAISONS DES FONCTIONS LOGIQUES DE BASE gt Porte NAND NON ET Symbole am ricain quation logique S A B Symbole international j Table de v rit Math matiques appliqu es l informatique Page 60 gt Porte NOR NON OU Symbole am ricain Symbole international 21 Table de v rit Math matiques appliqu es l informatique Page 61 gt Porte XOR OU exclusif Symbole am ricain La sortie
3. Math matiques appliqu es l informatique Page 21 8 NOMBRES DE CODES POSSIBLES AVEC N CHIFFRES EN BASE QUELCONQUE a b c d e EN D CIMAL EN BASE 10 1 chiffre r gt 10 codes diff rents de 0 9 2 chiffres 100 codes diff rents de 00 99 3 chiffres gt 1000 codes diff rents de 000 999 n chiffres x 10 codes diff rents EN HEXAD CIMAL EN BASE 16 1 chiffre 16 codes diff rents de 0 F46 2 chiffres 16 256 codes diff rents de 00 FF 3 chiffres 16 4096 codes diff rents de 000 FFF n chiffres x 16 codes diff rents EN BINAIRE EN BASE 2 1 chiffre r gt 2 codes diff rents O et 1 2 chiffres 2 4 codes diff rents de 00 113 3 chiffres gt 2 8 codes diff rents de 000 111 n bits c 2 codes diff rents TAILLES DES NOMBRES ENTIERS ET NOMBRE DE CODES R ALISABLES Mot de 1byte 8bits appel byte ou octet t 2 256 codes possibles Mot de 2 bytes 16 bits parfois appel word short ou integer t 216 65536 codes possibles Mot de 4 bytes 32 bits souvent appel long 222 4 milliards de codes possibles Mot de 8 bytes 64 bits c 2 16 10 16 milliards de milliards de codes possibles CONCLUSION Le nombre de codes possibles avec N chiffres en base B est B Math matiques appliqu es l informatique Page 22 9 PUISSANCES DE 2 a PR FIXES POUR REPR SENTER LES PUISS
4. 14 13 12 11 10 255 254 253 252 251 250 249 Math matiques appliqu es l informatique Page 33 86 85 84 83 82 81 80 a COMMENT CALCULER LES CODES DES NOMBRES N GATIFS Le calcul se fait en deux tapes 1000 1001 1000 0101 1000 0100 1000 0011 1000 0010 1000 0001 1000 000 122 123 124 125 126 127 128 134 133 132 131 130 129 128 1 Calcul du compl ment 1 Remplacer tous les 0 par des 1 et tous les 1 par des 0 2 Calcul du compl ment 2 Ajouter 1 au compl ment 1 Exemple Comment crire 4 en binaire ou en hexad cimal 4 0000 0100p Le compl ment 1 de ce code est 1111 10110 Ajoutons 1 ce code pour obtenir son compl ment 2 1111 10110 1 1111 11000 FC 16 d cimal sign Le compl ment 2 de 0 est encore 0 Le compl ment 2 de 80H est aussi 80H Les nombres n gatifs et positifs ne sont pas r partis sym triquement Avec un byte la valeur minimum est 128 contre 127 pour la valeur positive N B Le compl ment 1 est aussi appel compl ment logique ou compl ment restreint De m me certains d signent le compl ment 2 par l expression compl ment arithm tique Math matiques appliqu es l informatique Page 34 b ANALOGIE EN D CIMAL 25 Existe t ilun compl ment arithm tique de 17 17 tel qu
5. e Le nombre d unit qui reste inf rieur B est le chiffre le plus droite autrement dit en position O si les positions sont num rot es de droite gauche c M THODE SYST MATIQUE DE DROITE GAUCHE Commengons par rechercher la valeur du premier chiffre droite Ce chiffre les unit s est le reste de la division du nombre N convertir par la base qu ici nous appelons B Ce chiffre en position O a un poids gal la base exposant z ro B 1 l unit En divisant nouveau le quotient de la division pr c dente par la base on obtient le chiffre de position 1 dont le poids est B la base Des divisions r p t es par la base donnent successivement les chiffres de poids B B B B etc ce qui nous permet d crire le nombre de droite gauche Exemples 1 Convertir 1830 10 en binaire divisions successives par 2 1830 915 457 228 114 57 28 14 Le r sultat est 111 0010 01100 915 457 228 114 57 28 14 1 0 reste reste reste reste reste reste reste reste reste reste reste 1 1 1 1 X 219 C est fini il ne reste plus rien diviser 0 unit Math matiques appliqu es l informatique Page 28 2 Convertir 1830 o en hexad cimal divisions successives par 16 1830 16 114 reste 6 6 x 16 6 unit s 114 16 7 reste 2 2 x 16 2 seizaines 7 16 O reste
6. Math matiques appliqu es l informatique Page 70 fixe a 5 Math matiques appliqu es l informatique Page 71 19 REPR SENTATION D INFORMATIONS CONTENUES DANS UN TEXTE SOUS FORME DE TABLEAU SCH MA OU GRAPHIQUE La logique est une forme d op ration de la pens e qui nous permet de raisonner C est par exemple la d marche qui vous permettrait de r soudre l nigme suivante Un homme regarde un portrait et dit lt Je n ai ni fr re ni s ur mais le p re de cet homme est le fils de mon p re Qui est repr sent sur le portrait Les questions de logique sont parfois moins nigmatiques S il fait beau ce soir et si j ai fini ma pr paration j irai me promener Nous tenterons de les ramener des choix simples o les affirmations sont soit vraies soit fausses les r ponses aux questions sont oui ou non il n y a pas de valeurs interm diaires La promenade est li e deux conditions la m t o et le travail qui reste faire Les diff rentes situations sont repr sent es dans ce qu on appelle une table de v rit Il fera beau Mon travail sera achev J irai me promener Oui Oui Oui Oui Non Non Non Oui Non Non Non Non Essayez avec la proposition suivante L accus sera disculp si l enqu te r v le qu il s agit d un suicide ou s il peut faire la preuve qu il tait ailleurs au moment des faits Dans le premier cas la promena
7. l informatique Page 65 fabricants de m moire vive utilisent le terme M gaoctet pour d signer 2 1 048 576 octets alors que les fabricants d unit de disque utilisent le m me terme pour d signer 10 1 000 000 octets entretenant ainsi une certaine confusion Pour rem dier ce probl me l IEC International Electrotechnical Commission a r cemment propos quatre termes pour corriger l utilisation abusive des multiplicateurs du Syst me International savoir Kibi 29 M bi 279 Gibi 22 et T bi 2 9 C LES UNIT S DE CAPACIT Unit Symbole quivalence Exemple Bit bit Unit de base Le code ASCII 7 bits Octet o 1 octet 8 bits Un caract re occupe 1 octet Kilooctet Ko 1 Ko 2 octets Un fichier texte de 10 Ko M gaoctet Mo 1 Mo 2 octets 128 Mo de m moire vive Gigaoctet Go 1 Go 2 octets Un disque dur de 40 Go T raoctet To 1 2 octets Un syst me RAID de 1 To d LES UNIT S DE FR QUENCE Unit Symbole quivalence Exemple Hertz Hz Unit de base Le taux de rafraichissement d un moniteur est de 75 Hz Kilohertz KHz 1 KHz 10 Hz Une pi ce de musique chantillonn e 44 1 KHz M gahertz MHz 1 MHz 10 Hz Un processeur Pentium Il cadenc 300 MHz Gigahertz GHz 1 GHz 10 Hz Un process
8. 20 K 1M 2M 12 K mono u Que vaut 27137 A 16K 64 K 1M 16M 12K mono sy Combien de couleurs peut on coder avec un mot de 32 bits A 256 B 4millions C 16 millions D 4 milliards Que vaut approximativement 222 277 A 1 2K 4K 8 K 12 K mono pm Une transmission 100 Mb s laisse passer chaque seconde 5 A 100 bits seconde B 100 000 bits seconde C 100 000 000 bits seconde D 100 000 000 000 bits seconde Math matiques appliqu es l informatique Page 25 6 Que vaut 2 740 7 Que vaut 275 31 A 16K 64K 1M 16M 12K mong 8 Parmi les r ponses qui suivent laquelle vaut approximativement 27 A 10 B 10 C 10 D 10 Math matiques appliqu es l informatique Page 26 10 CONVERTIR UN NOMBRE ENTIER DANS UNE BASE QUELCONQUE a RAPPEL VALEUR DE CHAQUE CHIFFRE Nous avons vu pr c demment comment convertir un nombre de base quelconque en base 10 Il suffit pour ce faire d avoir compris le principe de la num ration de position Chaque chiffre a une valeur qui d pend du chiffre lui m me et de sa position On obtient la valeur d un nombre en additionnant les valeurs des chiffres qui le composent Une autre mani re d exprimer la m me chose est de dire qu en lisant un nombre de droite gauche on rencontre les puissances successives de la base e unit s lt deuzaines lt quatraines huitaines seizaines etc pour le binaire base 2 e
9. B 10 C 100 D 1000 4 Lechiffre de position 1 dans le nombre 7865 est A Lepremier chiffre gauche Dans l exemple c est le chiffre 7 B Le second chiffre gauche Le chiffre 8 dans cet exemple C L avant dernier chiffre droite C est le chiffre 6 dans l exemple donn D Ledernier chiffre droite Dans l exemple c est le chiffre 5 5 Lechiffre en position 2 dans un nombre octal a pour poids A 8 B 16 C 32 D 64 Math matiques appliqu es l informatique Page 11 4 CALCUL DE LA VALEUR D UN NOMBRE QUELLE QUE SOIT SA BASE La valeur d un nombre est la somme des valeurs de chaque chiffre multipli par leur poids respectif Cette r gle reste toujours la m me quelque soit la base consid r e Elle reste vraie tant que l on applique les conventions de la num ration de position Exemples 197510 1 x 10 9 10 7x 10 5 10 1000 9000 70 5 1975 Cela ne vous pose aucun probl me en base 10 Alors faites de m me avec les autres bases 1011011 11 26 0 2 1 24 1 2 0 22 1 21 1 2 64 0 16 8 0 2 1 91 1755 1 8 7 8 5 8 1 64 7 8 5 1 125 7246 7 x 16 2 x 16 7 16 2 1 112 2 114 Math matiques appliqu es l informatique Page 12 5 NUM RATION BINAIRE En binaire la base est 2 Nous n utilisons que deux chiffres 0 et 1 Remarquez qu en base 2 le chiffre 2 n existe pas tout comme le chiffre 10 n exis
10. BPS BAUDS DE FR QUENCE HZ ET MULTIPLES a LE SYST ME DE NUM RATION BINAIRE Il existe plusieurs unit s de mesure en informatique Il est utile de comprendre ces mesures m me titre qu il est utile de connaitre les grammes les centim tres ou les kilom tres dans la vie de tous les jours Le binaire est cependant l alphabet des ordinateurs puisque ces derniers comptent en base deux Cela signifie qu ils n utilisent que deux chiffres pour faire des nombres savoir O et 1 Les syst mes informatiques actuels tant construits l aide de circuits int gr s ils ne peuvent fonctionner que selon une logique de deux tats le courant ne passe pas 0 ou passe 1 dans le transistor Ainsi les dix premiers nombres du syst me de num ration binaire sont 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 et 1001 l oppos l homme utilise dix chiffres pour faire des nombres 0 1 2 9 L unit de mesure la plus utilis e en informatique est sans aucun doute le bit Binary digit Cette unit l mentaire d information permet de repr senter les deux valeurs du syst me de num ration binaire La manipulation des bits dans un ordinateur s effectuer g n ralement en les regroupant en blocs de 8 bits appel s octets bytes en anglais Consid r isol ment 1 bit a donc peu de signification contrairement 1 octet qui peut servir repr senter des chiffres et des lettres de l alphabet par exemple Alors que seulement 4 bits d inform
11. senter ces trois op rations fondamentales lors d criture d quations logiques C est George Boole un math maticien britannique qui le premier eu l id e de reprendre des notations alg briques pour cr er les bases de ce qui sera la logique informatique Nous ferons donc de la logique bool enne et aussi de l alg bre bool enne en crivant des quations logiques pour exprimer les relations entre les variables logiques appel es aussi variables bool ennes Cette logique a trouv apr s George Boole ses premi res applications dans les circuits lectriques C est Claude Shannon un autre p re fondateur des th ories la base de l informatique qui entreprit de mettre en quation les circuits lectriques o des relais lectriques consid r s comme des variables logiques en agissent sur des contacts ouverts 0 ou ferm 1 i George Boole n le 2 novembre 1815 Lincoln Royaume Uni et mort le 8 d cembre 1864 Ballintemple Irlande est un logicien math maticien et philosophe britannique Il est le cr ateur de la logique moderne fond e sur une structure alg brique et s mantique que l on appelle alg bre de Boole en son honneur Claude Shannon est n le 30 avril 1916 Gaylord dans le Michigan dont il fr quente l universit Et o il obtient une licence de math matiques et de physique Il entre au M I T et dans sa th se de Master Une analyse symbolique des circuit relais et de commutati
12. cimal la valeur du code binaire 0000 0100 Quelle est en d cimal la valeur du code binaire 0001 00000 Le chiffre le plus droite dans un nombre entier repr sente toujours les unit s quelle que soit la base d cimale binaire octale hexad cimale Vrai ou faux A Vrai B Faux Convertir en d cimal la valeur du code binaire 0000 1010 Donnez en d cimal la valeur du nombre binaire 0000 00100 Convertir en d cimal la valeur du code binaire 0000 01110 Math matiques appliqu es l informatique Page 15 6 PES E D UN NOMBRE EN BINAIRE Chaque chiffre dans un nombre y a une importance un lt poids qui d pend de sa position I n existe que deux chiffres en binaire 0 et 1 Le chiffre 0 a toujours la valeur 0 quelle que soit sa position La valeur du chiffre 1 est une puissance de 2 la position du bit compt e de droite gauche est l exposant de cette puissance Exercez vous pour vous familiariser et progressivement apprendre quels sont les poids des bits Quels poids faut il mettre sur la balance pour l quilibrer et obtenir cette valeur p Fi Quels poids faut il mettre sur la balance pour l quilibrer et obtenir cette valeur 218 10 Math matiques appliqu es l informatique Page 16 Quels poids faut il mettre sur la balance pour l quilibrer et obtenir cette valeur pis 23 Quels poids faut il mettre sur balance pour l quilibrer et obtenir cette va
13. l informatique Page 36 6 7 8 9 Que donne le calcul 0 moins 1 s il est fait en hexad cimal avec des nombres de 1 octet Que donne le calcul O moins 1 s il est fait en hexad cimal avec des nombres de 2 octets Le code de 8 bits 7F en hexad cimal a t il la m me valeur si ce nombre est sign ou non A Oui B Non Quelle est la plus grande valeur positive que l on puisse crire avec un nombre sign de 2 octets A 32767 B 32768 C 65535 D 65536 Math matiques appliqu es l informatique Page 37 12 OP RATIONS ARITHM TIQUES EN BINAIRE Nous nous limitons dans ce chapitre au cas des nombres entiers Aussi tonnant que cela puisse para tre il faut bien l avouer ce n est qu de tr s rares occasions qu un informaticien est amen faire par crit des calculs en binaire ou en hexad cimal On dispose bien souvent d une machine une calculatrice ou un ordinateur pour r aliser de telles op rations Il est cependant important de conna tre les m canismes de ces op rations pour saisir comment ces machines fonctionnent tout comme nous nous sommes attach s comprendre les m thodes des changements de bases ou du codage des nombres sign s Les calculs en binaire ou en hexad cimal peuvent toujours se faire exactement de la m me mani re que ceux que nous faisions l cole primaire en base 10 a ADDITION Un plus un fait deux c est un fait ind pendant du mod
14. mentaire qui ne peut prendre que deux valeurs O et 1 Dans la suite de ce cours les variables logiques sont repr sent es par des lettres Les valeurs de ces variables sont priori ind termin es elles sont variables Ainsi si l on crit l quation logique lt S A cela signifie que la variable logique S a exactement la m me valeur que la variable A mais rien ne pr cise quelle est la valeur de A 0 ou 1 On dira que A est une variable binaire puisqu elle ne peut prendre un instant donn qu une des deux valeurs 0 ou 1 NB Un parall le peut tre fait avec les variables alg briques comme par exemple dans la fonction alg brique lt y 2x 5 gt Elle nous indique comment calculer y pour chaque valeur de x mais la valeur de x n est pas fig e C est ici une variable alg brique Les op rations logiques sont en informatique aussi courantes si pas plus que les op rations arithm tiques La logique combinatoire tout comme l arithm tique repose sur quelques op rations l mentaires e En arithm tique ces op rations sont l addition la soustraction la multiplication et la division W est possible partir de l Math matiques appliqu es l informatique Page 42 d imaginer toutes les autres op rations telles que les exposants les racines les logarithmes etc e logique les op rations fondamentales sont le ET le OU et le NON Nous utiliserons des signes particuliers pour repr
15. tranche de 4 en commengant partir de la droite puis chercher dans la table ci dessus quel chiffre hexad cimal correspond chaque quartet Exemple 101000110111102 0010 1000 1101 11100 28DEu6 c ExERCICES 1 Qu est ce qu un bit A Une impulsion lectrique B Uneunit informatique C Un chiffre binaire D 8 bytes 2 Dans quelle base les nombres sont ils trait s au niveau du processeur A Binaire B Octal C D cimal D Hexad cimal 3 Combien de codes diff rents peut on crire avec 4 bits Ge 4 Quelle est la plus grande valeur qu on puisse crire avec 8 bits 2 5 Que vaut 2 exposant 10 Math matiques appliqu es l informatique Page 20 6 Pourquoi utilise t on la base hexad cimale en informatique 2 A Parce que cela prend moins de place en m moire B Car les informaticiens et tous les tres humains en g n ral ont plus facile de manipuler l hexad cimal que le binaire C Car le processeur travaille en hexad cimal D Car c est en hexad cimal que les donn es sont stock es en m moire 7 Comment crit on seize en hexad cimal A 1 B F C 10 D 16 E 1F 8 Comment le code binaire 0000 1111 s crit il en hexad cimal 228 9 Comment appelle t on un code de 8 bits A Un quartet B Un quatuor C Unoctet D Unbyte E Un double mot 10 Que vaut le code hexad cimal Kc Donnez votre r ponse en base 10 bien entendu
16. unit s huitaines lt soixante quatraines gt etc pour l octal base 8 e unit s dizaines centaines milliers etc pour le d cimal base 10 e unit s seizaines lt deux cent cinquante sixaines etc pour l hexad cimal base 16 Voyons pr sent comment coder dans une base B quelconque un nombre N dont on connait la valeur d cimale c est dire son criture en base 10 Il faut pour cela d nombrer les puissances successives de la base e nombre d unit s de lt deuzaines de lt quatraines gt etc pour convertir en binaire e nombre d unit s de seizaines etc pour convertir en base 16 Il y a pour ce faire deux m thodes de lt gauche droite gt et de droite gauche b M THODE INTUITIVE DE GAUCHE DROITE e Quelle est la plus grande puissance p de la base B que l on puisse retrouver dans N et combien de fois y retrouve t on la valeur de BP Cela donne le premier chiffre gauche en position p Exemple Soit convertir 42010 en base 16 420 0 est sup rieur 16 16 256 va fois dans 420 gt le chiffre le plus gauche est 1 Reste repr senter 420 1 x 162 420 256 164 unit s e On r p te la m me question tant que le reste est sup rieur la base 16440 est sup rieur 167 16 va 10 fois dans 164 gt chiffre suivant est Aug Math matiques appliqu es l informatique Page 27 Reste 164 10 x 16 Aunit s
17. x 1 Kilo 1 M ga 36 R ponse D 16 M4 2 24 210 xy 22 2 16 x 1K x 1K 16 M ga 37 R ponse D 4 milliards 222 22 x 210 x 210 x 210 A x 1K x 1K x 1K G 4 milliards 38 212 22 x 210 22 4 et 2 9 1 kilo Onadonc2 4K 39 R ponse C 100 000 000 bits s 1 M ga 1 Million 10 40 1024 41 R ponse B 64 K 216 2 x 210 64 x 1 K 64 Kilo 42 R ponse 10 1 000 et 2 1 024 43 203 2 X 8 0 x8 3 131 10 1010100 C 2 1 x2 1 x2 20Aug 2 16 0 x 16 10 52240 44 166 10 A6 16 100110 11001000 Math matiques appliqu es l informatique Page 84 10049 64 16 102310 3FF06 102340 0011 1111 1111 COCA 6 49 354410 10110110 91 0 2364 15840 4 09549 45 R ponse C Bit 7 Le bit de signe est le msb Most Significant Bit C est le bit le plus gauche Puisque les bits sont num rot s de droite gauche en commen ant par le n 0 le huiti me bit est donc bien le bit 7 46 Dans un octet le bit le plus gauche sert de signe Il ne reste donc que 7 bits pour repr senter tous les nombres positifs 2 128 combinaisons possibles La combinaison la plus petite 0000 0000 pour valeur 0 Le nombre positif le plus grand s crit 0111 1111 en binaire ce qui vaut 127 en base 10 47 1 48 255 49 806 est la valeur la plus n gat
18. 15000 2 715 x 10 834 75 8 3475 x 10 0 0875 875 x 10 0 000004 4 x 10 3 crire les nombres en utilisant la notation scientifique 5000 5x10 025 2 x10 1000000 1x10 0 00025 2 5 10 235 7 2 357 x 10 1010 1 01x10 125000 1 25 x 10 4 Les composants qui sont la base des fonctions logiques agissent comme des contacts Ouverts ou Ferm s Ils ne peuvent repr senter que 2 tats symbolis s par 0 et 1 5 Il y 8 chiffres en octal Ils vont de 0 7 6 Le poids d un chiffre est effectivement la base exposant la position Ce qui donne ici 10 et cela vaut 100 7 Le chiffre de position 1 est celui des dizaines dont le chiffre 6 dans l exemple 8 Math matiques appliqu es l informatique Page 80 La base exposant la position 8 64 9 10005 21x2 8 10 0101 1 2 1 2 5 11 01004 1 x 2 4 12 0001 0000 1 x 2 16 13 Vrai Le chiffre le plus droite est le chiffre en position 0 Son poids est la base exposant 0 Cela donne bien un poids de 1 14 1010 1x2 1x2 8 2 10 15 0010 1x2 2 16 0111 21x2 7 1x2 1x29 442 1 7 17 5 7 o 111001 18 Math matiques appliqu es l informatique Page 81 10 B 10104 110111 19 2 3 10 20 27 11011 21 R ponse un chiffre binaire Bit gt vient de de la contraction de Binary digit Ce qui signifie CHIFFRE BINAIRE Math m
19. 7 7 x 16 0 C est fini il ne reste plus rien diviser Le r sultat est 7266 ce qui concorde bien avec la valeur trouv e en binaire d CONCLUSIONS Ce proc d fonctionne pour toutes les bases mais en informatique seuls nous concernent le binaire et l hexad cimal parfois mais plus rarement l octal base 8 La conversion en binaire est la plus facile le reste vaut 0 pour les nombres pairs et 1 pour les nombres impairs On a donc avantage convertir d abord en binaire Le passage en hexad cimal comme nous l avons vu au d but du cours n est plus alors qu un jeu d enfant e AUTRE M THODE POUR CONVERTIR UNE BASE B EN BASE 10 M THODE DE HORNER Nous avons vu comment calculer la valeur d un nombre quelle que soit la base utilis e pour le repr senter Nous additionnions les valeurs obtenues en calculant les valeurs de chaque chiffre compte tenu de leurs positions dans le nombre La m thode qui suit donne le m me r sultat Montrons comment cela marche pour le binaire mais la m thode est valable quelle que soit la base Voici l algorithme Lire la valeur du chiffre gauche R p ter tant qu il reste des chiffres droite Multiplier par la base Ajouter le chiffre suivant Math matiques appliqu es l informatique Page 29 Exemples 1 11015 2 1x2 41 x2 0 x2 12 13 2 1238 1x8 2 x8 3 83 3 2016 02 16 0 x16 122 524 f EXERCICES 1 Rechercher par la m thod
20. ANCES DE 210 ou 102 Nous sommes amen s en informatique devoir chiffrer des grandeurs tr s grandes et d autres tr s petites La pratique du syst me m trique nous a habitu s exprimer ces nombres l aide de multiples de 10 et m me souvent de 1000 Cela correspond notre habitude de regrouper les chiffres par trois comme dans 1 000 ou 1 000 000 10 et 10 Pour les grands nombres les puissances successives de 10 portent ces noms Kilo 1k 10 M ga 1 M 10 Giga 1G 10 Tera 1T 107 Peta 1P 10 Exa 1E 10P Les petits nombres s expriment au moyen de puissances de 10 milli 1 m 10 micro 1 10 nano 1n 10 pico 1p 10 femto 1 f 10 Exercices 1 Combien y a t il de us dans une ms i 2 Les physiciens utilisent l Angstr m comme unit pour mesurer les tr s petites dimensions C est le cas par exemple pour les dimensions des atomes Un Angstr m est un dix milliardieme de m tre Comment peut on crire cette distance en ne se r f rant qu aux unit s vues ci dessus Math matiques appliqu es l informatique Page 23 b POUR LES INFORMATICIENS 1 K EST CE 1 000 ou 1 024 Nous savons que 2 1024 Ce nombre proche de 1000 est souvent d sign par le pr fixe kilo e Quand il s agit de dimension de m moires on parle de KB kilo bytes ou de Ko kilo octet pour d nombrer des multiples de 1024 bytes De m me 1 MB ou 1 Mo 1024x1024 bytes quand on parle de tailles de m
21. ERS OU NUM RATION DE POSITION a CRITURE DES NOMBRES On a vu que les nombres peuvent tre form s en utilisant plusieurs bases de num ration la base 10 d cimale la base 2 binaire etc Le choix de la base ne suffit pas expliquer comment nous crivons les nombres On utilisera pour cela une notation appel e num ration de position Pour comprendre de quoi il s agit nous allons commencer par montrer ce que serait l criture des nombres sans cette num ration de position b LES CHIFFRES ROMAINS Consid rons le nombre 1975 On sait que les romains employaient eux aussi le syst me d cimal la base 10 mais ils crivaient leurs nombres diff remment Voici comment 1975 s crit en chiffres romains MCMLXXV Cette criture plus compliqu e mais encore utilis e dans certaines circonstances se pr te mal aux calculs crits Essayez donc de faire par crit MMX moins MCMLXXV Pour les romains mille cent dix et un ne pouvaient que s crire avec des signes diff rents car sans le principe de la num ration de position ils ne pouvaient imaginer attribuer leur chiffres des valeurs qui fluctuent selon leur position dans le nombre Ajoutez cela le fait qu ils ne connaissaient pas non plus le chiffre z ro Ils n avaient vraiment pas la chance que nous avons maintenant d tre familiaris s depuis notre plus tendre enfance ces notions qui tonnamment n ont t connues en occident qu partir du XI si
22. MATH MATIQUES APPLIQU ES L INFORMATIQUE ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SUP RIEUR DE TRANSITION Code 012101U21D2 Ann e scolaire 2012 2013 CAPACIT S PR ALABLES REQUISES 1 Capacit s L tudiant sera capable en informatique face un syst me informatique connu en respectant le temps allou les r gles d utilisation du syst me informatique et en utilisant les commandes appropri es e de mettre en en route le syst me informatique e d utiliser ses p riph riques e de mettre en ceuvre des fonctionnalit s de base du syst me d exploitation en vue de la gestion de r pertoires et de fichiers e decr er et d imprimer un fichier e decl turer une session de travail en math matiques e d appliquer les r gles et conventions du calcul alg briques e de r soudre une quation du premier degr une inconnue type simple coefficient num rique e detransformer une formule en fonction du r sultat recherch e d utiliser le syst me m trique prises de mesures et conversions 2 Titre pouvant en tenir lieu Attestation de r ussite de l unit de formation Introduction l informatique de l enseignement secondaire sup rieur de transition et un certificat de l enseignement secondaire inf rieur ou un certificat de l enseignement secondaire du deuxi me degr PROGRAMME L tudiant sera capable face des situations concr tes d acqu rir et de mobiliser d une ma
23. RD par exemple Math matiques appliqu es l informatique Page 75 Table des mati res 1 Notation sclentifique Uu l i E 4 IM TOQUCHION y ERR 4 b Modeder solUtionu eerte teen ete hee td de ntes uda 4 ONES 5 d Entrainement Mine E oet tesa do uite dei utes stesse ir lentes 5 2 num ration et bases de num rations us 6 a Syst me de numi ration iieri II DR SEENEN SII NK ESTIS 6 b Les bas s de n m ratlon teet ette ein o epa rgo dedi exte ul evacuated eR Oen 6 3 criture des nombres entiers Num ration de position 8 8 A 8 c N m ration d pait u eidele 9 4 Calcul de la valeur d un nombre quelle que soit sa base 12 5 Num ration binaire cetero ERE eee ee en prete vete n ese es eed nee alain 13 Poidsgdesbikuu uu entendent nan nan a E RET 13 b Unpeudevocabulaire iii 14 ol Leoa BIU EE 14 d re TEE 15 6 d un nombre en binaire u ll u U L uU ener nennen nnne senes nennen saka 16 7 Num ration hexad eoemalge ULLA G Sana 18 a Chiffreshexad cimaux is co L meer nn ne ee
24. ager la chose serait de consid rer que le bit n 1 a contrairement aux autres bits une valeur n gative 2 Exemple Si un byte est consid r comme un code sign le bit 7 quand il est 1 vaut 128 Si le byte est consid r comme non sign le poids du bit 7 est simplement 2 128 Ainsi 123 128 5 80H 5 85H Math matiques appliqu es l informatique Page 35 d EXTENSION DE LA TAILLE D UN NOMBRE SIGN Pour tendre la taille d un nombre non sign on ajoute des 0 sa gauche Pour tendre la taille d un nombre sign on ajoute sur la gauche des bits identiques au bit de signe Exemples 4 code sur un octet FCus sur deux octets ce code devient 16 FCu6 1111 11000 16 1111 1111 1111 11000 de m me 4 en un octet 044g sur deux octets 0004 16 0446 0000 0100 0004460000 0000 0000 01000 e EXERCICES gt Quiz Nombres sign s 1 Quel est dans un octet le bit qui sert de bit de signe A moo Bit 0 Bit 1 Bit 7 Bit 8 Bit 15 2 Quelle est la plus grande valeur positive que l on puisse crire un nombre sign de 8 bits pu A monos 99 127 128 255 256 3 Quelle est la valeur d cimale du nombre sign FF 6 soit 1111 1111 en binaire 4 Que vaut le nombre non sign 16 soit 1111 1111 en binaire 5 Que vaut le nombre sign 80 6 ou 1000 0000 en base 2 248 249 Math matiques appliqu es
25. ances successives pour former d autres nombres plus importants Ainsi en base 10 les puissances successives sont Un 1 109 Dix 10 10 Cent 100 10 Mille 1 000 10 Dix mille 10 000 10 etc Le syst me d cimal est le plus commun Le choix de cette base n est certainement pas ind pendant du fait que nous ayons 10 doigts pour compter Probablement que nous compterions en base 8 si nous tions des schtroumpfs Math matiques appliqu es l informatique Page 6 Il existe donc diff rentes bases de comptage Base 60 Syst me sexag simal utilis en M sopotamie Il nous en reste 60 minutes 60 secondes Base 20 Le syst me vig simal aurait t utilis par nos anc tres gaulois il nous reste le quatre vingts Quatre vingt dix soixante quinze se basent sur des multiples de 20 Base 12 Syst me duod cimal pour compter les mois les heures et les ufs douzaines Base 10 Celle que nous utilisons tous les jours Base 2 Incontournable en informatique Sans elle ce cours n aurait pas lieu Elle vient du fait que les ordinateurs sont construits partir de composants qui comme les contacts lectriques n ont que deux tats possibles ouvert ou ferm bloquant ou passant 0 ou 1 Base 16 Ressemble fort au binaire notation plus concise Base 8 Tr s en vogue aux d buts de la micro informatique Math matiques appliqu es l informatique Page 7 3 CRITURE DES NOMBRES ENTI
26. ations sont n cessaires pour repr senter chaque nombre du syst me d cimal 7 bits d informations sont n cessaires pour repr senter chaque caract re de l alphabet international d fini dans les ann es soixante aux tats Unis puis repris par les organismes de normalisation des transmissions internationales de donn es Connu sous le nom de code ASCII American Standard Code for Information Interchange cet alphabet comprend 128 caract res distincts En fran ais la norme ISO latin 1 reprend les 128 premiers caract res de l ASCII et y ajoute des caract res accentu s b LES MULTIPLES INFORMATIQUES Dans le domaine informatique les multiplicateurs Kilo M ga Giga et T ra ne sont pas toujours reli s une puissance de 10 car parfois ils sont reli s une puissance de 2 notamment lorsqu il est question de capacit ou de vitesse Lorsque les professionnels de l informatique ont remarqu que 2 2x2x2 x2 1024 quivalait sensiblement 10 10x10x10 1000 ils ont d cid d utiliser le pr fixe kilo pour d signer 1024 Par exemple 1 kilooctet quivaut donc 1024 octets et non 1000 octets 115 ont continu d utiliser cette convention au fil des ans et ce m me si les capacit s de stockage des ordinateurs n ont cess d augmenter Le r sultat aujourd hui est que le grand public ignore ce qu est r ellement un M gaoctet Les http micro info chronique chronique php ld 825 Math matiques appliqu es
27. atiques appliqu es l informatique Page 82 22 Le processeur travaille en binaire car il est construit partir de composants qui ne peuvent prendre que 2 tats distincts que l on repr sente par 0 et 1 23 2f 16 gt 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 24 2 256 mais ils vont de 0 255 donc la plus grande valeur est 255 25 21 1024 26 R ponse B Il est en effet plus facile de retenir A674 que 1010 0110 0111 0100 Ces deux codes sont quivalents mais le premier est donn en hexad cimal le second en binaire est une suite interminable de 0 et de 1 27 R ponse C 10 28 F 29 Un octet ou un byte 30 160 10 x 16 0 160 31 Il y a 1000 ps dans une ms 32 1 Angstr m 10 m tre 0 1 nanom tre 100 picom tres Le nanom tre est davantage utilis que l angstr m Un nanom tre quivaut un milliardi me de m tre soit 10 m tre soit 10 angstr ms 33 212 22x 210 4 x 1024 4096 4 000 222 22 x 210 x 210 210 4 x 1 024x 1 024 x 1 024 2 000 000 000 216 2 x 210 64 x 1 024 64 000 27 27 x 210 x 2 2 128 x 1 024 x 1 024 128 000 000 225 2 x 2 x 2 x 10 64 x 1 000 000 000 64 000 000 000 Math matiques appliqu es l informatique Page 83 34 26 x 10 26 x 26 x 26 x 1000 17 576 000 possibilit s 35 R ponse C 1M 220 2210 22 2 4K x 1K 2 1M 1 Kilo
28. cle alors que le math maticien arabe Al Khwarizmi utilisait d j le chiffre z ro au VII si cle et qu il tait connue en Inde et probablement en Chine bien avant encore La num ration de position combin e l utilisation du chiffre z ro nous permet de repr senter les nombre de mani re bien plus efficace et facilite grandement les op rations arithm tiques Al Khawarizmi n vers 783 originaire de Khiva dans la r gion du Khwarezm Ouzb kistan actuel d qui lui a donn son nom mort vers 850 Bagdad est un math maticien g ographe astrologue et astronome perse membre des Maisons de la sagesse dont les crits r dig s en langue arabe ont permis l introduction de l alg bre en Europe Math matiques appliqu es l informatique Page 8 c NUM RATION DE POSITION Revenons au nombre 1975 crit en base 10 comme nous en avons l habitude La valeur que l on attribue chaque chiffre d pend du chiffre en lui m me et de sa position le 5 vaut 5 x 1 le 7 repr sente des dizaines il vaut 7 x 10 le 9 qui suit repr sente des centaines il vaut 9 x 100 le 1 vaut 1 x 1 000 Nous formons donc les nombres l aide d une notation o la position est tr s importante Le chiffre le plus droite repr sente des unit s celui directement gauche les dizaines etc La position que le chiffre occupe dans le nombre est donc consid rer partir de la droite Nous num roterons donc ces positions e
29. de chaque chiffre 1x10 9x10 7x10 5x10 1 000 900 70 5 1975 21x 10 9 x 10 7 x 10 5 x 10 D une mani re plus th orique on peut dire que la valeur d un nombre N repr sent par n chiffres en base B est la valeur num rique d un polyn me du n 17 degr o B est la base et dont les coefficients sont entiers et inf rieurs i n 1 N c 4B c B co 2 c B i 0 en base 10 B 10 et les coefficients Con C52 Cp Co ont tous une valeur inf rieure 10 La suite de ces coefficients Cn 1 Cn 2 C1 co n est autre que la suite des chiffres qui forment le nombre Mais revenons aux r gles essentielles qu implique ce qui a t vu jusqu ici D sormais nous utilisons des num rations de position quelle que soit la base Le chiffre le plus droite repr sente toujours les unit s Les positions des chiffres se comptent de droite gauche La position du premier chiffre celui de droite est not e z ro Ajouter un z ro droite d un nombre revient multiplier ce nombre par sa base Math matiques appliqu es l informatique Page 10 Petit quiz 1 Dans quelle base de num ration travaillent les ordinateurs A Binaire B Hexad cimal C Octal D D cimal 2 Combien y a t il de chiffres diff rents en base 8 A 2 B 7 8 D 10 3 Le poids des chiffres en position 2 pour un nombre d cimal est A 1
30. de d pend de deux conditions qui doivent tre simultan es Dans le second cas une seule condition suffit pour disculper l accus Math matiques appliqu es l informatique Page 72 Exercices 1 Julie ira au bal ce soir si elle range sa chambre ou nettoie la cuisine 7 2 J irai en vacances au mois de juillet si je gagne au Lotto et si mon patron m accorde mes cong s 3 J irai au restaurant ce soir si je rentre du travail avant 18h00 et si Jean et ou Christine sont disponibles 4 J irai courir ce soir si je rentre du travail avant 18h00 et s il ne pleut pas et si je retrouve mes baskets Math matiques appliqu es l informatique Page 73 20 INTERPR TATION DES INFORMATIONS CONTENUES DANS UN GRAPHIQUE EN LANGAGE MATH MATIQUE ET EN LANGAGE COURANT Math matiques appliqu es l informatique Page 74 21 DIGITAL WORKS 3 04 39 GUIDE PRATIQUE Digital Works Copyright Gr 2001 Mecanique Fraduct I Product version z 10 User a BR VE INTRODUCTION Le logiciel DIGITAL WORKS permet de sch matiser en respectant les symboles standard des circuits logiques et ensuite de les tester Les sch mas r alis s peuvent tre sauvegard s ou simplement copi s pour tre ensuite coll s dans un document de pr sentation comme MS WO
31. e 18h00 n Oui Oui Oui Oui Oui Oui Non Non Oui Non Oui Oui Oui Non Non Non Non Oui Oui Oui Non Oui Non Non Non Non Oui Non Non Non Non Non 59 Je rentre avant Il ne pleut pas Je trouve mes Je vais courir 18h00 baskets Oui Oui Oui Oui Oui Oui Non Non Oui Non Oui Non Oui Non Non Non Non Oui Oui Non Non Oui Non Non Non Non Oui Non Non Non Non Non Math matiques appliqu es l informatique Page 87
32. e 25 Compl ment de 17 25 17 Oui condition de d cr ter que comme dans une machine les nombres ont 08 unetaille fixe au del de laquelle les reports sont ignor s Puisque deux chiffres suffisent pour crire 25 17 et 08 nous limitons la taille de ces nombres 2 caract res La question devient Quel nombre faut il ajouter 25 pour que la r ponse se terminer par les chiffres 08 Ce nombre est 83 En effet 25 83 1 08 mais on ignore le 1 gauche puisque nous avons d cid de donner une taille fixe de deux chiffres pour les nombres de cet exemple 83 est donc dans ce cas le compl ment arithm tique de 17 Comment trouver ce compl ment arithm tique en base 10 La m thode ressemble fort au calcul du compl ment 1 comme en binaire suivi de l addition d une unit Ici en d cimal le compl ment restreint sera un compl ment 9 Compl ment 9 99 17 82 Compl ment arithm tique 82 1 83 99 17 1 100 17 83 c LA VALEUR DU BIT DE SIGNE Le bit de signe est le bit le plus significatif du code MSB Most Significant Bit celui qui est le plus gauche Dans le cas d un nombre de n bits num rot s de 0 n 1 c est le bit n 1 Bien souvent on se contente de constater que ce bit est 1 pour en conclure que le nombre consid r est n gatif La valeur absolue de ce nombre est alors d termin e en calculant le compl ment arithm tique de son code Une autre mani re d envis
33. e de Horner 203 1010100 20A 6 2 M thode au choix 166450 16 10 10040 h 1023 10 E see 26 1003 S 10110115 2364 eer 0 16 enn D Math matiques appliqu es l informatique Page 30 11 NOMBRES SIGN S Nous avons jusqu pr sent parl de nombres entiers naturels 115 ne peuvent par nature qu tre positifs ou nuls Envisageons maintenant les nombres entiers relatifs ou autrement dit munis d un signe ou En d cimal 1 2 3 etc sont des nombres positifs Ils sont sup rieurs 0 n 50 1 2 3 etc sont des nombres n gatifs Ils sont inf rieurs O n lt 0 De m me en binaire 1 10 11 100 101 etc sont des nombres binaires positifs 1 10 11 100 101 etc sont des nombres binaires n gatifs Le probl me est que les circuits lectroniques digitaux ne peuvent enregistrer que des ou des 1 mais pas de signes ou Le seul moyen est alors de convenir que si un nombre est susceptible d tre n gatif on lui r server un bit pour indiquer le signe Reste d terminer le bit qui dans un nombre binaire conviendrait le mieux pour symboliser le signe et quelle valeur de ce bit 0 ou 1 conviendrait le mieux pour repr senter le signe plus ou le signe moins Observons d abord le fait que les nombres cod s en machine o
34. e de repr sentation des nombres En binaire deux s crit 10 10 10 100 1 1 2 j cris 0 et je reporte 1 gt De m me 1 1 1 3 10 10 10 110 1 1 1 3 j cris 1 je reporte 1 gt Pour le 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Ces trois derniers calculs n engendrent aucun report Vous en savez assez maintenant pour additionner par crit deux nombres de n bits II suffit d aligner convenablement ces deux nombres l un au dessus de l autre une colonne droite pour les unit s puis successivement vers la gauche les colonnes des deuzaines des quatraines etc Additionnez ensuite les bits en commengant par la droite sans oublier de noter les reports Exemple I T 1 10 1 1 D 101 10110101 4 100111 gt 1 0 0 11 1 Math matiques appliqu es l informatique Page 38 b SOUSTRACTION Si vous y tenez vous pouvez appliquer nouveau la m me m thode qu l cole primaire Aligner le nombre soustraire sous le premier nombre puis on effectue la soustraction en commengant par les chiffres droite Si le chiffre du dessous est trop important il faut enregistrer une retenue qu on retranche dans le calcul de la colonne suivante Exemple 10 On peut appliquer le m me proc d en binaire 10 10 10 100101 11011 Sachez toutefois que m me les machines ne se donnent jamais ce mal Plut t que de faire une soustraction elles additionnent le compl ment du
35. es et d tre capable de comprendre et d interpr ter les r sultats Math matiques appliqu es l informatique Page 41 13 LOGIQUE BOOL ENNE a b INTRODUCTION La logique si l on consid re l histoire des sciences est une discipline tr s ancienne dont les traces les plus loign es remontent aux philosophes Grecs Logos en grec se traduit par parole et ou raison Aristote parait il s amusait voir comment taient construits les faux raisonnements Mais ce n est pas de cette logique l que nous traiterons ici La logique qui va nous occuper dans les pages suivantes concerne l tude de fonctions logiques l mentaires qui traitent des variables binaires par des m thodes aussi syst matiques que les math matiques Le but est ici de comprendre et d mystifier autant que se peut la mani re dont les ordinateurs effectuent les op rations logiques de base puis d entrevoir comment ces fonctions peuvent tre combin es pour obtenir des r sultats de plus en plus complexes comme par exemple les op rations arithm tiques VARIABLES LOGIQUES Dans les syst mes digitaux syst mes informatiques et autres automatismes num riques toutes les donn es sont trait es et enregistr es partir d l ments d informations binaires Ces informations binaires la mani re des contacts lectriques n ont que deux tats possibles un contact lectrique est ouvert ou ferm de m me le bit est une information l
36. est 1 si une seule des deux entr es vaut 1 quation logique S A QB Symbole international Table de v rit Math matiques appliqu es l informatique Page 62 gt Porte XNOR NON OU exclusif Symbole am ricain A 32 ocu quation logique S A Symbole international 1 Table de v rit gt Porte XOR plusieurs entr es Pour calculer le r sultat de S A xor B xor C il faut d abord faire l op ration entre deux termes puis refaire un OU exclusif entre le r sultat obtenu et le troisi me terme Ce qui se traduit par S A xor B xor C ou par S A xor B xor C On constate que l appellation OU exclusif n est tout fait exact que pour deux variables Avec trois variables le r sultat vaut 1 si une d entre elles ou toutes les trois valent 1 o A p s zd _ B gt o C Le r sultat vaut 1 si le nombre d entr es 1 est impair Math matiques appliqu es l informatique Page 63 c EXERCICE D ASSOCIATION Quels sont les tables de v rit de ces fonctions A B S 0 0 0 m 0 1 1 1 0 1 1 1 0 S 0 0 0 Hx 0 1 0 1 0 0 1 1 1 oO o GA y 2 Bl O oO gt m m XOR A B S 0 0 1 m 0 1 0 f 1 0 0 1 1 0 Math matiques appliqu es l informatique Page 64 17 UNIT S INFORMATIQUES DE MESURE DE QUANTIT D INFORMATIONS BIT OCTET ET MULTIPLES DE D BIT
37. et nous vitent de devoir lire de longues enfilades de 0 et de 1 qui conviennent mieux aux ordinateurs qu aux humains Un groupe de quatre bits permet de former 16 combinaisons diff rentes On peut faire correspondre un chiffre hexad cimal chacune de ces combinaisons de 4 bits L hexad cimal est en quelque sorte du binaire condens Math matiques appliqu es l informatique Page 18 Le code hexad cimal 1A2F est bien plus lisible que 0001 1010 0010 1111 en binaire gt Hexad cimal Binaire Mode d emploi est essentiel est de savoir compter jusqu 15 en binaire et en hexad cimal Exercez vous reproduire le tableau ci dessous jusqu ce que vous sachiez compter sans aucune difficult de 0 15 en binaire et en hexad cimal L tape suivante de votre apprentissage sera de vous exercer faire la correspondance entre les 16 codes binaires et les codes correspondants en hexad cimal D cimal 0 1 10 11 12 13 14 15 Binaire 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Math matiques appliqu es l informatique Page 19 gt Conversion Hexad cimal gt Binaire Remplacer chaque chiffre hexad cimal par le code de 4 bits correspondant Exemples 7 6 1 0111 1010 0110 11000 123446 0001 0010 0011 0100 2 gt Conversion binaire Hexad cimal Grouper les bits par
38. eur Pentium 4 cadenc 2 GHz e LESUNIT S DE TEMPS Unit Symbole quivalence Exemple Seconde S Unit de base Formater une disquette 37 prend environ 120 s Milliseconde ms 1ms 10 s Un disque dur avec un temps d acc s de 12 ms Microsecondellis 1us 10 s L ex cution d instructions sur un syst me de type CISC peut prendre 1us Nanoseconde 1ns 10 s Letemps d acc s de la m moire vive est de 60 ns Picoseconde lb 1ps 10 s Le temps d acc s d une m moire cache peut tre aussi bas que 500 ps Math matiques appliqu es l informatique Page 66 f LES UNIT S DE VITESSE Unit Symbole quivalence Exemple Baud Bd Unit de base Les premiers modems atteignaient 300 Bd Bit seconde bps 1 bps 1 Bd Un fax op re 9600 bps 1 Kbps 10 Kilobit seconde Kbps Bd p Un modem t l phonique op re 56 Kbps 1 Mbps 10 M gabit seconde Mbps Bd ps Une carte r seau Ethernet atteint 10 100 Mpbs 1 Kbps 10 Les routeurs du RISQ qui lient Qu bec et Montr al op rent 2 5 Gbps _ 12 T rabit secande Tbns dia 10 ned le plus rapide a atteint le cap du 1 ne faut pas confondre bps bit seconde et Bps byte seconde ou octet seconde Cette unit est utilis e en anglais pour d signer la vitesse de transfert de donn es Ex un fichier est t l charg partir d Inter
39. fonction OU eerte nana aan 46 Math matiques appliqu es l informatique Page 77 o NE fonction NON REC 47 Table devenite uu dereen hanan deter denen Pone da ede pee o eee od uve qas ah u 47 gt quation logique de la fonction NON 47 15 Combinaisons de fonctions logiques 48 a Combinaisons des 3 fonctions de base 48 gt Correspondance entre sch mas et quations logiques 48 gt Tables M 50 D AR EE 51 16 les portes logiques yasa 57 a Fonctions logiques de base eaa aaa tiaa 57 gt gt cco 57 A cie TT 58 gt Porte NOTE eege de SCENE EE 59 b Combinaisons des fonctions logiques de base 60 gt Port NAND NON ET sixteen ote deese ERE T ente e ve eode Eai 60 gt Port e NOR NON Feu mE 61 gt Porte XOR OU exclusif essere enne esse 62 gt Porte XNOR NON OU exclusif enne enhn enirn nnne nennen nennen nans 63 gt Porte plusieurs eritr es et ri eese dre e 63 C Exercice d associations e eed eee dva er nne xd e Qe ud eve uns 64 17 unit s informatiques de mesure de quantit d in
40. formations bit octet et multiples de d bit bps bauds de fr quence Hz et multiples n nnne 65 a Le syst me de num ration binaire 65 b Les multiples informatiques iii 65 C Lesiunit s de capacit nee Sus u a aa ss 66 d Les unit s de fr quence iii 66 e Lesunit s sea en e ege 66 GR DEE 67 18 Repr sentation graphique d une fonction une variable 68 a Coordonn es dans le plan 68 b Repr sentation graphique d une fonction d une variable 68 c Utilisation du logiciel SINEQUANON I n nuna 69 19 Repr sentation d informations contenues dans un texte sous forme de tableau sch ma ou igzjelnlle 0 CELL E 72 Math matiques appliqu es l informatique Page 78 20 Interpr tation des informations contenues dans un graphique en langage math matique et RETTEN 74 21 DIGITAL WORKS 3 04 39 guide pratique suisses 75 a tee TE 75 Math matiques appliqu es l informatique Page 79 1 Entourer les notations scientifiques parmi les critures suivantes 5 2 25 x 10 0 14 x 10 25 3 x 10 2 5 x 10 10 34 x 10 _ 2 35 x 10 5 3 x 210 1 01 x 10 4 1 x 2 10 x 4 8 2 Compl ter pour que l criture du nombre soit sa notation scientifique 37456 3 7456 x 10 27
41. i la lampe est teinte 0 ou allum e 1 Placons maintenant deux contacts dans le circuit La condition n cessaire pour allumer la lampe d pend de la mani re dont les contacts sont connect s Suivant les cas la condition pour allumer la lampe fait appel aux op rateurs logiques ET ou OU Math matiques appliqu es l informatique Page 44 a LAFONCTION ET La lampe s allume si on active s Lem simultan ment les contacts 5 S 1 si A 1 ET B 1 gt Table de v rit ere O O O O Le contenu de la table de v rit s obtient en imaginant toute les configurations possibles pour le contact A 0 contact rel ch 1 bouton press chacun des tats du contact A on v rifie d apr s le sch ma lectrique ou d apr s l quation logique si la lampe est teinte 0 ou allum e 1 gt quation logique de la fonction ET S A B L op rateur ET est repr sent dans l quation logique par un point Ce signe convient parfaitement puisque la fonction ET donne le m me r sultat qu une multiplication Math matiques appliqu es l informatique Page 45 b LAFONCTION OU SE La lampe s allume si on active le contact A ou le contact B B Rs S 1 si A 1 OU B 1 gt Table de v rit ol O O kA o gt Kquation logique de la fonction OU S A B L op rateur OU est repr sent dans l quation logique par un
42. ius 18 b Pourquoi utiliser la base Ip 18 gt Hexad cimal Binaire Mode d emploi 19 gt Conversion Hexad cimal e Binaire sise 20 gt Conversion binaire gt Hexad cimal ss 20 EXO GS EU EU SL TEE ud 20 8 Nombres de codes possibles avec N chiffres en base 22 a End cimal enm base 10 l e e eec reme leder need e o aad even Ed 22 b Enhexad cimal en base 16 22 En binaire 2 en base 2 nero rnnt eren auo Pha ador Pn e RASSE eaae REESEN Pee inan 22 d Tailles des nombres entiers et nombre de codes r alisables 22 GE eene E 22 Math matiques appliqu es l informatique Page 76 9 Puissances de a Wisasapa sapiy 23 a Pr fixes pour repr senter les puissances de 2 2 ou 10 23 b Pour les informaticiens 1 k est ce 1 000 ou 1 024 a 24 c Calculs approximatifs de 2 avec gt 10 nnne nennen enne rre 24 10 Convertir un nombre entier dans une base quelconque 27 a Rappel valeur de chaque chiffre 27 b M thode intuitive de gauche droite 27 c M thode syst matique de droite gauche 28 d Conclusions ecd serere dee Roe ten dar d ee tte
43. ive qu on puisse crire avec un nombre sign de 8 bits Elle s crit 1000 0000 en binaire 804g 128 en base 10 50 FF en hexad cimal sign vaut 1 Pour preuve dans l absolu sans tenir compte des tailles des nombre FF 1 100 mais comme le calcul est fait ici sur 1 octet seuls les deux derniers 00 du r sultat sont conserv s 51 FFFF est le code qui pr c de 0000 lorsqu on compte avec des nombres de 2 bytes 52 7F non sign 127 7F sign 127 Ces 2 valeurs sont bien les m mes Math matiques appliqu es l informatique Page 85 53 Deux octets 16 bits Il s agit ici d un nombre sign Un bit est donc r serv au signe Il ne reste donc que 15 bits pour faire tous les codes positifs Ce qui fait 2 codes diff rents allant de 0 2 1 32 768 1 32 767 54 Il s agit d un suicide Ailleurs au moment des faits Disculp Oui Oui Oui Oui Non Oui Non Oui Oui Non Non Non Math matiques appliqu es l informatique Page 86 Elle range sa chambre Elle nettoie la cuisine Elle ira au bal Oui Oui Oui Oui Non Oui Non Oui Oui Non Non Non Je gagne au lotto Je suis en cong Je pars en vacances Oui Oui Oui Oui Non Non Non Oui Non Non Non Non 58 Jean est disponible Je rentre avant Je vais au restaurant disponibl
44. leur pe 27 Math matiques appliqu es l informatique Page 17 7 a b NUM RATION HEXAD CIMALE CHIFFRES HEXAD CIMAUX II faut 16 chiffes pour crire les nombres en base 16 Aux 10 chiffres du syst me d cimal 0 9 ajoutons les 6 caract res A B C D E et F pour repr senter ce que nous consid rerons ici comme tant les chiffres de 10 15 Remarquez qu en base 16 le chiffre 16 n existe pas tout comme le chiffre 10 n existe pas en d cimal ni le chiffre 2 en binaire Les principes de la num ration de position sont applicables toutes les bases et en particulier pour celle qui nous occupe ici la base 16 e Le poids d un chiffre d pend de sa position et de la base e Poids base ici en hexad cimal le poids 16 Exemple 1A2F hexad cimal Poids de chaque chiffre 16P95ition Positions 3 2 1 0 Chiffres 1 A 2 F Poids 16 4096 16 256 16 7 16 1 Valeur de chaque chiffre 1x4096 110x256 2x16 15x1 4 096 2 560 32 15 Valeur totale compt e en d cimal 4 096 2 560 32 15 6 703 On peut concevoir les nombres en base 16 comme une suite de coefficients d un polyn me dont chaque terme est fait partir des puissances successives de 16 i n 1 N b X 16171 4 4 b X 16 4 5 X 162 4 b X 161 bo 16 0 POURQUOI UTILISER LA BASE 16 Les codes hexad cimaux sont bien pratiques en informatique Ils repr sentent les codes binaires de mani re compacte
45. leurs indiquer dans la colonne de droite Elles r sultent du fonctionnement du sch ma de contacts ou du calcul de ce que donne l quation logique e D duction partir du sch ma de contacts On consid re qu un contact est actionn si la variable correspondante vaut 1 Le contact est dans sa position de repos comme repr sent sur le sch ma lorsque la variable correspondante vaut 0 Attention ne pas confondre le fait qu un contact soit actionn et le fait qu il soit ferm Un contact normalement ouvert laisse passer le courant quand il est actionn mais un contact normalement ferm laisse passer le courant quand il n est pas actionn e Calcul partir de l quation logique On substitue les variables par les valeurs qui leurs sont attribu es aux diff rentes lignes de la table de v rit Math matiques appliqu es l informatique Page 50 b EXERCICES 1 Quelle fonction logique repr sente cette table de v rit A Sls 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A AND B OR C XOR D NAND E NOR 2 Quelle fonction logique repr sente cette table de v rit A AND B OR C XOR D NAND E NOR Math matiques appliqu es l informatique Page 51 3 Quelle est la table de v rit qui correspond cette quation logique Math matiques appliqu es l informatique Page 52 4 Son quation logique est S AQB Voici sa table de v rit Quelle est cette fonctio
46. moire car le nombre de cellules m moire dans n composant est toujours une puissance de 2 et donc un multiple de 21 ou 2 e Dans les autres cas quand les kilos les m gas et autres gigas ne concernent pas la m moire tous ces pr fixes repr sentent des multiples de 1000 1 kHZ 1000 Hz 20 Go sur un disque 20 milliards d octets et non pas 20x1024x1024x1024 Notez que le pr fixe kilo s crit toujours avec un k minuscule quand sa valeur est 1000 Exemple 1 kHz 1 000 Hertz ici 1k 1 000 Les informaticiens crivent souvent ce pr fixe avec une lettre majuscule pour la valeur 1 024 Exemple 1Ko 1 024 octets ici 1K 1 024 C CALCULS APPROXIMATIFS DE 2 AVEC N gt 10 219 10 car 1024 1 000 Si on accepte cette approximation il est alors possible de calculer mentalement ce que fait 2 m me si n gt 10 Exemple que vaut 2 224 2x 21 x 210 16 x 1 024 x 1 024 16 M 16 000 000 Conclusions Puisque 210 10 on a directement 220 106 2 10 2 1012 etc Exercices 1 Calculer 2 222 216 27 et 22633 2 On a depuis peu utilis tous les codes de num ros d immatriculations compos s de 3 lettres suivies de 3 chiffres pour les plaques belges Combien de nouveaux codes d immatriculation pourra t on faire en pla ant cette fois d abord 3 chiffres puis 3 lettres Math matiques appliqu es l informatique Page 24 uiz 1 2 3 4 5 Que vaut 220 255 A 2 K
47. n allant de droite gauche Ainsi le chiffre de droite aura toujours le m me num ro quelle que soit la taille du nombre Cette num rotation commencera par le num ro 0 pour le premier chiffre droite donc La r gle qui permet de d terminer le poids d un chiffre est la suivante position Poids d un chiffre base La valeur d un chiffre est donc le produit de sa valeur propre et de son poids Le poids d un chiffre est une puissance de la base et l exposant y est la position du chiffre compt e de droite gauche en commengant par les unit s On peut aussi consid rer que la position d un chiffre dans un nombre entier est le nombre de chiffres qu il y a sa droite Ainsi en base 10 En position O se trouvent les unit s Leur poids est 10 En position 1 se trouvent les dizaines dont le poids est 10 En position 2 les centaines dont le poids est 10 En position 3 les milliers dont le poids est 10 En position n les milliers dont le poids est 10 Math matiques appliqu es l informatique Page 9 Voici ce que cela donne pour le nombre 1975 en d cimal Base 10 Le poids du chiffre 5 est 10 sa valeur est 5 x10 5x1 5 Le poids du chiffre 7 est 10 sa valeur est 7 x 10 7 x 10 70 Le poids du chiffre 9 est 102 sa valeur est 9 x 102 9 x 100 900 Le poids du chiffre 1 est 10 sa valeur est 1 x 10 1 x 1000 1000 Positions 3 2 1 0 Chiffres d cimaux 1 9 7 5 Valeurs
48. n logique A AND B OR C XOR D NAND E NOR Math matiques appliqu es l informatique Page 53 5 Quelle est la table de v rit A B C ou D qui correspond cette quation logique S A B A Math matiques appliqu es l informatique Page 54 6 Quelle est cette fonction A AND B OR C XOR D NAND E NOR 7 Quelle fonction logique est illustr e par ce sch ma A AND B OR C XOR D NAND E NOR Math matiques appliqu es l informatique Page 55 8 Parmi les cinq quations propos es quelle est celle qui correspond au sch ma ci dessus A S A B gt S AouB B S A B gt S AetB o S A B C gt S A et B ou pas D SZ A B C 2 s Aet Bou C 5 A B A C gt S A et B ou Pas A et C Math matiques appliqu es l informatique Page 56 16 LES PORTES LOGIQUES Nous avons jusqu ici utilis des boutons poussoirs et une lampe pour illustrer le fonctionnement des op rateurs logiques En lectronique digitale les op rations logiques sont effectu es par des portes logiques Ce sont des circuits qui combinent les signaux logiques pr sent s leurs entr es sous forme de tensions On aura par exemple 5V pour repr senter l tat logique 1 et OV pour repr senter l tat 0 a FONCTIONS LOGIQUES DE BASE Porte AND Symbole am ricain de la porte ET deux entr es Table de v rit d une porte ET deux entr es
49. ndent la fonction OU Des montages en s rie correspondent la fonction ET Uncontact normalement ferm repr sente la fonction NON Exemples A B CIS olo A 5 o 1 1 olo 0 1 110 1 1 0 1 1 S A B 1 1 0 1 1 1 1 1 A B C s o D al 0 0 110 0 1 0 1 0 1 110 1 0 0 1 1 0 1 S A B C 1 1 0 1 1 1 111 Math matiques appliqu es l informatique Page 48 A B CIS o o 0 0 1 1 O 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 S A B A C 1 1 011 1 1 111 Math matiques appliqu es l informatique Page 49 gt Tables de v rit Pour tracer la table de v rit que ce soit partir d un sch ma ou d une quation il faut commencer par d nombrer les variables Les exemples ci dessus comportent chacun 3 variables A B et O II faut remarquer qu une m me variable peut intervenir plusieurs fois dans une quation ou sur plusieurs contacts dans le sch ma C est le cas de la variable A dans le troisi me exemple On trace ensuite une table avec toutes les combinaisons possibles des n variables Cela donne 2 combinaisons 8 2 dans nos exemples Le plus facile est de noter toutes ces combinaisons en consid rant qu elles forment des nombres crits en binaire et de les aligner une une comme si l on comptait en base 2 On est alors certain en faisant de la sorte de n avoir oubli aucun cas Reste maintenant de d duire les va
50. net une vitesse de 100 KBps soit 100 Ko s Math matiques appliqu es l informatique Page 67 18 REPR SENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION UNE VARIABLE a COORDONN ES DANS LE PLAN Dans le plan muni d un rep re on peut faire correspondre chaque point M un couple de deux nombres Ce couple est appel couple des coordonn es de M On crit m est l abscisse de M et yy est l ordonn e de M DA 2 REPR SENTATION GRAPHIQUE D UNE FONCTION D UNE VARIABLE Soit f une fonction d finie sur une partie D de Dans le plan muni d un rep re on appelle repr sentation graphique de f l ensemble des points dont les coordonn es sont x fx avec x D Exemple Consid rons la fonction f xe x 3 d finie sur l intervalle 3 3 et construisons sa repr sentation graphique Pour effectuer cette construction nous commencerons par calculer un certain nombre d images Les r sultats sont inscrits dans un tableau de valeurs x 3 2 1 0 1 2 3 f 6 1 2 3 2 1 6 Math matiques appliqu es l informatique Page 68 Dans le plan muni de son rep re on place les points de coordonn es x f puis on les relie par une courbe c UTILISATION DU LOGICIEL SINEQUANON l aide du logiciel repr sentez le graphique des fonctions suivantes f xex 1 Math matiques appliqu es l informatique Page 69
51. ni re g n rale les connaissances les techniques et les m thodes pour e S approprier le sens du vocabulaire math matique et l utiliser d une mani re rigoureuse dans diverses situations de la vie professionnelle Math matiques appliqu es l informatique Page 2 e d couvrir l impl mentation des op rations arithm tiques l mentaires dans un syst me informatique e mettre en uvre une d marche de r solution de probl mes en utilisant les notions suivantes expression d un nombre d cimal en notation scientifique et vice versa conversion entre les syst mes de num ration d cimale binaire et hexad cimale op rations de l arithm tique binaire addition soustraction multiplication division compl ment 2 repr sentation des donn es num riques et non num riques dans un syst me informatique alg bre de Boole proposition conjonction disjonction n gation tables de v rit loi de De Morgan raisonnement et implication logique unit s informatiques de mesure de quantit d informations bit octet et multiples de d bit bps bauds de fr quence Hz et multiples utilisation et conversion des unit s du syst me informatique repr sentation graphique d une fonction une variable repr sentation d informations contenues dans un texte sous forme de tableau sch ma ou graphique interpr tation des informations contenues dans un graphique en langage math matique e
52. nt une dimension fixe Sur papier les nombres ont des dimensions variables o L addition de deux nombres de 2 chiffres donne un nombre de 2 ou 3 chiffres o La multiplication de deux nombres de 2 chiffres donne des nombres de 3 ou 4 chiffres En machine par contre les nombres ne sont pas extensibles Ils ont des dimensions fixes C est exactement ce que nous avons avec certain compteurs Dans une voiture par exemple le compteur kilom trique s il ne poss de que 6 chiffres ne pourra indiquer plus de 999 999 km De m me dans les ordinateurs les nombres binaires ont aussi des dimensions fixes de 1 2 4 ou 8 octets Revenons l exemple de la voiture et imaginez un compteur kilom trique qui compte les km en marche avant et qui les d compte en marche arri re Que pourrait on lire sur un compteur d une voiture neuve compteur initialement 000 000 si elle parcourt 1 km en marche arri re Le compteur d compte 1 km et affiche donc 999 999 km Ce code correspond parfaitement la valeur 1 puisqu on obtient O si on lui ajoute nouveau 1 1 0 1 dans ce cas ci 999 999 quivaut 1 On exploite cette caract ristique trange qui est due au fait que ce nombre une dimension finie 6 chiffres d cimaux Math matiques appliqu es l informatique Page 31 De m me quel serait le code d un nombre de 8 bits pour repr senter la valeur 1 Le code 1111 11114 convient puisque si on ajo
53. ois appel Quartet ou nibble mais ces termes sont peu utilis s Remarquez que l on parle aussi de Mots binaires Word en anglais lorsque l on veut sp cifier la taille de ce mot On dira de la sorte un mot de 32 bits ou un mot de 64 bits C Z RO GAUCHE Il est parfois int ressant de repr senter les z ros non significatifs pour montrer la taille des codes transcrits Il arrive que ces 0 gauche des nombres ne soient pas non significatifs En effet les codes binaires ne repr sentent pas toujours des valeurs num riques Ce sont parfois simplement des codes qui ne repr sentent ni des quantit s ni des valeurs ordinales Inutile donc de faire de l arithm tique avec ces codes Dans ce cas cela n a aucun sens non plus de vouloir les convertir en d cimal et ce serait une erreur d omettre l criture de ces z ros gauche du code Les amateurs de formulations math matiques se plairont souligner que les bits n cessaires pour crire la valeur N proviennent de la s rie des coefficients du polyn me suivant i n 1 N b 4X2 7 bi x2 b x 22 b x 21 bo 2 b 2 i 0 Les coefficients 0 Da b et bo valent chacun 0 ou 1 Math matiques appliqu es l informatique Page 14 d PETIT QUIZ 1 2 3 4 5 6 7 8 Quelle est en d cimal la valeur du code binaire 0000 10000 Quelle est en d cimal la valeur du code binaire 0000 01014 Quelle est en d
54. oit 10 pris deux fois pour tre multipli par lui m me 10 10 cas particulier retenir 1 10 autre cas particulier int ressant 0 1210 l exposant devient n gatif 0 001210 et continue b MODE DE R SOLUTION Pour crire le nombre 655 957 en notation scientifique il faut le transformer en un produit de deux facteurs e Un facteur qui sera un nombre d cimal dont la partie enti re sera comprise entre 1 et 10 la partie d cimale contiendra tous les autres chiffres crits dans le m me ordre e lautre facteur sera une puissance de 10 Partie enti re Partie d cimale X Puissance de 10 criture d cimale 655 957 Notation scientifique 6 55957 X 10 Math matiques appliqu es l informatique Page 4 c EXEMPLES crire les nombres 2 378 et 0 051 en notation scientifique 2378 2 378 x 10 0 051 d ENTRA NEMENT 1 Entourer les notations scientifiques parmi les critures suivantes 10 34 x 10 2 25 x 10 0 14 x 10 25 3 x 10 2 5 x 10 2 3 x 10 5 3 x 210 1 01 x 10 4 1 x 2 10 x 4 8 2 Compl ter pour que l criture du nombre soit sa notation scientifique 37456 3 RE 2715000 x 10 834 75 8 0 0875 8 75 M mine 0 000004 x 10 3 crire les nombres en utilisant la notation scientifique 5000 assieme nere 0 25 S TN 1000000 suce 0 00025
55. on gt il utilise l alg bre de Boole pour concevoir les circuits de commutation Il apporte ainsi un outil th orique aux concepteurs de circuits logiques qui servira aussi bien pour les circuits relais que pour les circuits int gr s Math matiques appliqu es l informatique Page 43 14 FONCTIONS LOGIQUES DE BASE La mani re la plus simple de comprendre les fonctions logiques est de se les repr senter par des sch mas lectriques qui comportent un ou plusieurs contacts et une lampe Cette lampe s allume lt condition que les contacts lectriques y laissent passer le courant C est dans l expression de cette condition que va intervenir la logique Le sch ma ci contre traduit la condition la plus simple la A amp lampe s allume si le bouton poussoir A est actionn Autrement dit S 1 si 1 Le fonctionnement de ce circuit s exprime l quation logique S A Il n y a que deux cas possibles Ils sont repr sent s dans cette table de v rit e gt ol Une table de v rit a pour le r le de montrer la correspondance entre la sortie et toutes les combinaisons de valeurs que peuvent prendre la ou les entr es Le contenu de la table de v rit s obtient en imaginant toute les configurations possibles pour le contact A 0 contact rel ch 1 bouton press chacun des tats du contact A on v rifie d apr s le sch ma lectrique ou d apr s l quation logique s
56. s ine er ai Reel 29 e Autre m thode pour convertir une base B en base 10 lt M thode de Horner 29 DEMO CI l 30 11 Nombres sign s need et ie er decia es uns 31 a Comment calculer les codes des nombres n gatifs 34 b Analogie en d cimal M teet toe etx aee ER Heer Vea aka sasaqa 35 c La valeur du bit de signe iii 35 d Extension de la taille d un nombre sign nennen enne ns 36 D Ce T 36 gt Quiz Nombres Sign s 36 12 Op rations arithm tiques en binaire ss 38 a AdditiOl cei ll Ee E Ve 38 b Soustraction uy u k riu xe El dixi Tea Ne i rne uisa 39 c Multiplication uy a u E 40 DIVISION LLL 40 e CONCIUSION edd 41 13 Logiquebool enne eerte or E ua eee e Rav anda rue Rev eaa utes 42 a Introd ctiori eire say a u Qn rear SSO Q a de eges 42 b Variables ogigues x yu ee er tenta 42 14 Fonctions logiques de base ire 44 CHILE 45 Table de v rit susan bI mte tnt en bem eve 45 gt Kquation logique de la fonction Elle o Ee 45 b Kafonction a WEE 46 gt Table de v rit ctp Te rem te hay K nn li suadere pone ee petrae Qasa 46 gt quation logique de la
57. signe plus surmont d un point Observons les trois premi res lignes de la table de v rit le r sultat de l op ration OU y est semblable au r sultat d une addition Le r sultat de 1 ou 1 diff re cependant de 1 1 Nous mettons un point au dessus du signe lt gt pour indiquer que l op ration n est pas analogue une addition Math matiques appliqu es l informatique Page 46 LAFONCTION NON Les contacts que nous avons utilis s jusqu ici sont des contacts lt normalement ouverts gt Quand le bouton poussoir est rel ch quand A 0 le courant ne passe pas A Nous utilisons maintenant un contact normalement 5 ferm gt pour illustrer la fonction NON Au repos le courant passe mais il se coupe quand le contact est activ quand A 1 Table de v rit e ol F quation logique de la fonction NON S quiselit S NonA Math matiques appliqu es l informatique Page 47 15 COMBINAISONS DE FONCTIONS LOGIQUES a COMBINAISONS DES 3 FONCTIONS DE BASE Les trois fonctions de base AND OR et NOT se combinent de multiples facons Ces combinaisons peuvent facilement tre illustr es par des montages de contacts lectriques gt Correspondance entre sch mas et quations logiques chaque sch ma imaginable correspond une quation La correspondance entre un sch ma et une fonction logique est syst matique Des montages en parall le correspo
58. t en langage courant CAPACIT S TERMINALES Pour atteindre le seuil de r ussite l tudiant sera capable d exprimer un nombre d cimal en notation scientifique et vice versa de passer d un syst me de num ration l autre d effectuer une addition dans les syst mes binaire et hexad cimal de r soudre un probl me l aide de l alg bre de Boole de repr senter sous forme de tableau sch ma et graphique des informations contenues dans un texte Pour la d termination du degr de ma trise il sera tenu compte des crit res suivants le niveau de pr cision la correction et la rigueur du vocabulaire utilis la pertinence des choix op r s Math matiques appliqu es l informatique Page 3 1 NOTATION SCIENTIFIQUE a INTRODUCTION Lorsqu on utilise un tableur ou une calculatrice scientifique on rencontre fr quemment des nombres exprim s sous la forme 1 23E 6 ou 0 987E 17 Il s agit d un format d expression des tr s petits et tr s grands nombres sous une forme compacte appel e notation scientifique Elle est bas e sur les puissances de 10 Le principe en est tr s simple Le nombre 1 000 est gal 10 x 10 x 10 autrement dit on prend 3 fois le nombre 10 pour le multiplier par lui m me on l a lev la puissance 3 et l on peut crire que 1 000 est gal 10 qui s nonce dix puissance trois Le nombre 3 s appelle ici l exposant En continuant comme cela on aura 100 10 s
59. te pas en base 10 Il s agit toujours d une num ration de position De droite gauche nous avons donc les unit s et ce que nous pourrions appeler les deuzaines les quatraines les huitaines les seizaines les trente deuzaines etc a POIDS DES BITS Prenons l exemple du nombre binaire 10110 Nous avons vu que le poids d un chiffre d pend de sa position et de la base Poids base position Dans le cas du binaire cela devient Le poids d un bit d pend de sa position et de la base Poids 2P9sition Appliquons cette r gle notre exemple 101100 Positions 4 3 Chiffres binaires 1 0 1x2 0x2 Valeurs de chaque chiffre 16 0 1 0 1x2 0 2 2 0 On a donc ici une seizaine une quatraine gt soit 16 4 2 22 et une deuzaine gt Math matiques appliqu es l informatique Page 13 b UN PEU DE VOCABULAIRE Les codes binaires sont incontournables en informatique car l information la plus l mentaire y est le bit Ce mot lt bit gt est form par la fusion des mots Binary digit Ce qui en fran ais se traduit par Chiffre binaire Un mot de 8 bits est appel Octet en fran ais et Byte en anglais Les mots de 8 16 32 ou 64 bits sont courants crits en binaire ils sont plus lisibles si on laisse un espace entre les groupes de quatre bits comme ceci 0100 0001 Un groupe de 4 bits est parf
60. terme soustraire Plut t que de soustraire un nombre nous allons ajouter son compl ment La m thode n a de sens que pour des nombres ayant une taille finie Prenons l exemple ci dessus et fixons la taille des nombres 8 bits i 3 3 1 1 Nous additionnerons donc le compl ment de 0001 1011 0010010 1 Compl ment 1r 1110 0100 11100101 Compl ment 2 11100101 1 EEE Math matiques appliqu es l informatique Page 39 c MULTIPLICATION Les multiplications crites se font de la m me mani re en binaire qu en d cimal II suffit de connaitre la table de multiplication par O et par 1 0 1 0 1 X 0 1 O Exemple d Division aussi nous pouvons utiliser la m me m thode que lors des calculs crits en d cimal En binaire l criture des multiples de 2 se termine par le chiffre 0 Pour diviser par 2 il suffit donc d enlever le z ro droite du nombre Exemple 1010 elo 1 0 0 0 8 10 1 1 1 O0O 1 o 1 0 1 i 1 9 1 0 1 10 1 1 0 1 0 1 1 1 O 1 0 1 E 1 1 s wd 1 0 s d e gt Math matiques appliqu es l informatique Page 40 e CONCLUSION Mis part les additions il est fort rare de faire des op rations arithm tiques en binaire lt la main gt comme il est tout aussi rare de faire de l informatique sans machine Le but du chapitre tait de comprendre comment se font les op rations afin de pouvoir imaginer ce qui se passe dans les machin
61. ute 1 ce nombre on obtient 0000 0000 00416 le bit de report d borde gauche il sort de l espace qui est r serv au nombre et est donc ignor Le bit le plus gauche du mot binaire est celui qui va repr senter le signe Signe n gatif si ce bit vaut 1 signe positif quand ce bit vaut O Si on admet que le nombre peut repr senter des valeurs n gatives on parle de nombres sign s Comme pour les nombres non sign s on peut repr senter 2 256 codes avec 8 bits mais ici le bit de gauche est le signe 1 signe moins 0 signe plus Il y a donc moyen de repr senter e 128 codes avec le bit de signe 1 ce sont 128 nombres n gatifs de 1 128 e 128 codes avec le bit de signe 0 le nombre 0 et 127 nombres positifs de 1 127 Math matiques appliqu es l informatique Page 32 Lu en hexad cimal 7F 7E 10 OF OE OD OC 0B 0A 09 08 02 01 00 FF FE FD FC FB FA F9 Nombre de 8 bits Lu en binaire Lu en d cimal sign Lu en d cimal non sign 01111111 0111 1110 0001 0000 0000 1111 0000 1110 0000 1101 0000 1100 0000 1011 0000 1010 0000 1001 0000 1000 0000 0010 0000 0001 0000 0000 1111 1111 1111 1110 1111 1101 1111 1100 1111 1011 1111 1010 1111 1001 1127 1126 16 15 14 13 12 11 10 9 8 2 1 0 127 126 16 15

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