Mémoire de magistère de mathématiques LES POSTULATS DE LA
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1. le a atome est il dans l tat B b si oui le b atome est il dans l tat C c 26 Si nous consid rons maintenant une mesure de B n engendrant aucune s lection ce qui revient virtuellement trier les diff rents tats vu comme un gain d information mais sans les s lectionner physiquement le r sultat obtenu se veut tre gal la somme de toutes les probabilit s de chaque choix de b parmi toutes les valeurs que peut prendre B Prob a M B sans selection c gt Prob a b Prob b c b Nous disons que la mesure d forme le syst me en physique quantique puis qu on a souvent Prob a M B sans selection c F Prob a 1 c Par exemple consid rons une mesure du m m dans l experience de Stern Gerlach suivant un axe z A une suivant un axe perpendiculaire B et une troisi me suivant l axe z C Nous avons Prob ee M B sans selection E yo Itte Rs Prob b Prob b j F ES 29 9 9 a b c Prob a dans la mesure o les seuls r sulats possibles pour B sont et et que toutes les probabilit s consid r es sont gales puisque 1 1 1 Prob cos 790 sin 790 Prob gt Par contre Prob i ue Prob E 0 pour des raisons logiques le m m ne peut tre suivant la direction de l axe z et la direction de l axe z en m me temps La mesure qu on peut plus g n ralement appeler int2. il y a ceux qui pensent que la fonction d onde repr sente texto les propri t s physiques d un syst me et qui rejoignent donc l interpr tation de Schr dinger malheureusement fausse comme nous l avons vue pr c demment et puis il y ceux qui pensent que la fonction d onde n a aucune essence physique mais qu elle est une entit math matique pure repr sentant la connaissance que avons d un syst me Ce point de vue est galement d licat si deux observateurs poss dent des informations diff rentes du m me syst me ce syst me poss de t il deux 22 fonctions d onde diff rentes Quel serait alors la description math ma tique absolue de ce syst me ind pendante de l observateur Il apparait que la fonction d onde est un m lange subtil de ces deux ex tr mes La construction que nous avons faite de la fonction d onde la structure de son lieu de vie et son interpr tation comme tant l information que nous pouvons avoir d un syst me conduit au premier postulat de la physique quantique modulo la structure de C espace vectoriel qui est provisoire ment admise 2 3 Comment on en arrive un monde probabiliste Devant l impossibilit d interpr ter la fonction d onde comme Schr dinger l aurait souhait Born Max propose une interpr tation probabiliste Il obtient exp rimentalement que la densit de probalit de trouver la par ticule en x est proportionnelle l amplitude de la fonction d onde
3. par Cauchy Lipshit sa position et sa vitesse initiale C est la v racit de ce formalisme qui fait de notre monde un univers d terministe il existe un rapport de cause effet nous permettant de pr dire avec pr cision les ph nom nes physiques Par analogie Schr dinger d finit l tat d une particule quantique en in troduisant la fonction d onde A la grande diff rence de la m canique clas sique il voit la particule comme une onde en vertue de la dualit onde corpuscule et son extension est donn e comme toute onde en g n ral par D RC dx t Volx then Etpe Schr dinger pense l poque que les particules ne nous apparaissent comme ponctuelles que parceque nous les observons trop grande chelle alors qu en r alit elles sont de minuscules paquets d ondes Il met aussi rapide ment en place une quation r gissant le mouvement des particules quan tiques l quation de Schr dinger dont la construction est relativement in tuitive mais qui deviendra la pierre angulaire de la physique quantique moderne Il r ussit m me montrer que dans le cas d un oscillateur har monique le paquet d onde associ ne s tale pas et reste donc sous forme de particule Il est noter que de son cot Heisenberg met en place une th orie en com p tition avec la m canique ondulatoire que vient de d velopper Schr dinger la m canique des matrices dont les r sultats sont conformes ceu
4. tait pas non plus un m m On peut noter que l action de mesurer A et pas B est implicite ment contenue dans l criture a et pas b Nous introduisons galement deux autres symboles 13 la s lection accepter tout 1 la s lection refuser tout 0 Nous allons construire une alg bre sur ces symboles La premi re op ration not e multiplicativement repr sentera une succes sion de mesures s lectives Suivant la logique bool enne elle repr sente la conjonction ET Il vient logiquement aiai ajaj dj aiai ainsi que 1 ajai aia 1 aja aja 0 0 aja 0 11 1 10 01 0 00 0 Ensuite on associe le la conjonction OU aia ajaj ajaj a a qui correspond l action mesurer A a A aj et trouver 0 En effet mesurer et trouver a est quivalente mesurer A a et trou ver 0 On a aussi Qili 0 0 Qili Aili 1 0 0 1 1 0 0 0 On g n ralise facilement aux sommes m l ments et on a l galit intui tive n D Aili 1 i 1 14 n tant le nombre total de valeurs que peut prendre A Egalit qui peut se retrouver gr ce n Vi XC aia aia a101 aja anan aiai aiai 0 0 i 1 La notation a a reste tout de m me une invitation la symbolique ajaj avec i j Mais quel en serait le sens Nous avons impli
5. tat m m ou m m peut tre vu comme une probabilit gr ce au grand 24 nombre d atomes pr sents dans l exp rience cosh 1 P 1 P o par exemple Prob est la probabilit que l atome entrant dans l tat m m change ensuite son tat en m m Vu que logiquement nous avons Prob Prob 1 On obtient les formules Prob 296 cos 40 Prob Es sin 30 Si le premier s lecteur tait un m m il suffit de remplacer dans les calculs 0 par x 0 d o les r sultats Prob Prob 2 3 2 G n ralisation Plus g n ralement si nous mesurons une propri t sur un atome et s lectionnons l tat a nous symboliserons ceci par la cr ation d un a atome lt a Continuons maintenant en consid rant une autre propri t B Nous pouvons la mesurer sur le a atome sans sp cifier quel type de mesure pour rester le plus g n ral possible action qu on notera M B lt a M B Enfin la d tection de cet atome provoque l annihilation de son tat lt a M B a gt En effet comme nous le verrons bientot la mesure perturbe le syst me d tude et le a atome change d tat symbolis par une destruction Nous obtenons donc le nombre P a M B lt a M B a gt Pour clarifier les id es une mesure de B pourra tre par exemple 25 s lectionner l tat B b M B b g
6. Consid rons maintenant l observable position Q qui prend une quantit non d nombrable de valeurs possibles Nous avons donc le produit hermi tien d espace de Hilbert suivant 00 zabiz J FEY x da CO Remarque 1 le formalisme que nous utilisons impose une condition sup pl mentaire la fonction d onde comme nous l avons vu pr c demment 31 la probabilit de trouver dans le cube infinit simal de volume dz centr en x au temps t s crit dP x t Y x t dr et plus g n ralement la probabilit de trouver une particule dans une zone A de l espace au temps t est Pb f vet 2 dr Nous supposerons donc la convergence de ces int grales Attention ceci n est pas un postulat mais une obligation nous faisons tou jours l hypoth se en physique de quelconque branche que ce soit de l in existence de l infini dans notre monde au passage l existence de l infini en math matique est purement axiomatique Remarque 2 dans la mesure ou nous utilisons une probabilit les r sultats de cette d rni re doivent tre compris entre 0 et 1 et v rifier la relation Pet f lelet P de sojo Avec cette condition gt est dite normalis e Nous verrons cf 2 5 3 stabilit par multiplication par un complexe qu un tat multipli par un nombre complexe repr sente le m me tat Du coup cette condition ne restreint pas l ensemble des tats possibles dans la me sure o
7. est pour l instant sujette aucune contradiction Remarque 2 comme nous l avons soulign pr c demment ces espaces de Hilbert sont construits sur C Le produit scalaire usuel est alors remplac par un produit scalaire hermi tien i e une forme sesquilin aire sym trie hermitienne d finie positive le surlignage repr sente la conjugaison complexe lt Y y gt lt Y gt lt gt lin aire droite lt Y A y 9 gt lt 4 o gt A lt gt antilin aire gauche lt p gt lt y gt sym trie hermitienne lt gt gt 0 positive lt gt 0 amp 0 d finie 2 2 3 Un peu de dualit Mais si nous admettons une structure d espace de Hilbert pour l ensemble des vecteurs y gt quelle est la signification des objets lt a Pour un espace de dimension infinie un espace de Hilbert poss de des propri t s topologiques qui le rend tr s souple manier c est entre autre 18 pour cette raison que nous avons suppos notre espace complet la phy sique quantique tant d j suffisament compliqu e comme a Ici nous nous int resserons exclusivement aux propri t s de son dual Dans le cas de la dimension finie un espace et son dual sont toujours iso morphes il est facile d exhiber une base du dual de m me cardinal que la dimension de l espace et il existe toujours une injection canonique de l es pace dans
8. gt 2 gt lt Y p gt lt po Y gt Nous appelons hermitien ou autoadjoint un op rateur B qui v rifie B B On peut voir l op rateur B comme agissant gauche lt 4 B Y gt lt y By gt lt YB 4 gt o lt YB est la forme in aire lt YB gt gt lt 4 B gt Remarque 2 d s maintenant mais nous le d montrerons proprement un peu plus tard nous pouvons voir que les a gt sont des vecteurs propres En effet si nous consid rons l observable A prenant pour valeurs les a A J a gt a lt a alors A a gt a a gt qui est bien une quation aux valeurs propres 30 2 3 5 Quelques remarques quant au produit hermitien Bienque nous avons affirm l intervention d un produit scalaire hermitien en physique quantique aucun moment nous avons pr cis duquel s agissait il Consid rons deux vecteurs d tat y gt et 9 gt et d composons les dans une base de vecteurs propres d une observable A prenant un nombre fini de valeurs nous nous pla ons donc dans un espace de dimension finie n yay lt alp gt l a gt i 1 n asy saloa i 1 et donc n lt h d zuhr ca i 1 la conjugaison hermitique transforme un coefficient complexe en son conju gu en vertue de la sym trie hermitique du produit hermitien alors solt selan rala laal Sy Wa ij i 1 i 1 qui correspond au produit hermitien le plus classique qui soit
9. id e que nous venons de d velopper En effet si y gt H donc combinaison lin aire des a gt alors nous avons N vijes lu gt lt lp gt i 1 qui correspond bien la d composition suivant une base au sens o nous l entendons Mais quel serait alors le sens de ce vecteur Yy gt Nous interpr tons g n ralement ce vecteur comme tant l tat d un sys t me il repr sente ici la somme de tous les vecteurs repr sentant les dif f rentes valeurs possibles d une grandeur physique A pond r es par des 17 coefficients Nous verrons un peu plus loin que lt a gt contribuera traduire la sensibilit qu aura le syst me dans l tat gt prendre la valeur a une fois la propri t mesur e Nous appelons y gt le vecteur d tat d un syst me Remarque 1 si nous avons consid r une propri t physique A poss dant un nombre fini de valeurs possibles il faudra g n raliser notre formalisme pour prendre en compte nombre de propri t s qui prennent un nombre infini de valeurs d nombrables ou non Nous sommes alors amen s consid rer non plus des espaces euclidiens complets par finitude de leur dimension au passage mais des espaces pr hilbertiens Pour des raisons pratiques nous supposerons que ces espaces sont com plets pour la norme issue du produit scalaire c est dire des espaces de Hilbert Cette hypoth se n est physiquement pas aberrante et n
10. ou au moins de fa on approch e toute la physique et m me la m thode scientifique s ffondreraient une exp rience faite aujourd hui n aurait pas les m mes r sultats qu une exp rience iden tique faite le lendemain Cependant d apr s Dirac la dilatation de 53 l espace temps aurait une inflence dans le temps sur les constantes cosmologiques et cela changera t le groupe de Lorentz Si nous appliquons deux sym tries de suite nous cr ons bien videmment une nouvelle sym trie et on voit apparaitre la structure de groupe L effet g n ral d une transformation du groupe de Gallil e est du type zx Rr ut a t t t s o x R R SO 3 v R a R s R et on crit T R a v s Remarque 1 seule la translation en temps en temps nous sera utile pour d montrer l quation de Schr dinger mais la pr sentation plus g n ral du groupe de Gallil e pourra clairer le fond du raisonnement De la m me fa on qu en m canique classique les lois de la physique quan tique non relativiste se doivent d tre invariante par ces transformations Comme nous l avons vu pr c demment une famille d op rateurs unitaires un param tre peut d crire une transformation de r f rentiel Du coup nous repr senterons les transformations du groupe de Gallil e en physique quantique gr ce aux produits 10 Ur JI Kesu u 1 o u 1 10 d fini les 10 composantes 3 rotations 3 tr
11. B lv gt lt 4 A B 4 gt gt 1 TI gt l 5 1 lt TO CIT E CQFD Par exemple nous pourrions d montrer la relation de commutation entre l op rateur position Q et l op rateur impulsion P Q P ih qui conduit la relation d incertitude AyQAyP gt h D Ainsi si nous cherchons localiser une particule et que nous voulons augmenter la pr cision de cette localisation alors partir d une certaine 42 petitesse d chelle il nous sera impossible de d terminer pr cis ment la vitesse de la particule En fait si nous nous pla ons dans le cas le plus agr able AyQAyP z La pr cision de mesure de la position est inversement proportionnelle celle de la mesure de la vitesse En cons quence la structure m me du monde quantique nous interdit de connaitre simultan ment la position et la vitesse d une particule de fa on pr cise Rappelons qu en m canique classique la connaissance pr cise de ces deux quantit s est indispensable la connaissance de l tat d un sys t me 2 5 C Espace vectoriel Apr s avoir doucement esquiss les lois du monde quantique nous allons maintenant tudier quelques propri t s nous conduisant la structure de C espace vectoriel annonc e au postulat 1 2 5 1 Une quation de conservation bien connue Si en lectromagn tisme par exemple l usage des nombres complexe dans la fonction d onde est d un usage pratique en m ca
12. a le m rite d tre ma th matiquement correcte C est son point de vue que nous d velopperons ici et nous permettra d ex pliquer la provenance des postulats 1 et 2 2 1 L experience de Stern Gerlach 1922 Le principe de cette exp rience est de mesurer le moment magn tique d une particule expos e l action m canique d un champs magn tique Depuis un four des atomes d argent sont mis restreints en un faisceau gr ce des fentes puis traversent un aimant pour au final impacter un cran nous permettant de visualiser le r sultat de l exp rience cf sch ma suivant En effet le moment magn tique qu on notera m m de la particule va compl tement d terminer sa trajectoire dans la mesure o elle n est sou mise aucune autre force et sa localisation sur l cran nous donnera direc tement une mesure du m m Pour simplifier consid rons cette exp rience une dimension i e un champs magn tique n ayant qu une composante sui vant z pour fixer les id es Intuitivement les atomes devraient se r partir suivant quelquechose comme une courbe de Gauss r partie entre deux va leurs extremales du m m mettons m m et m m puisque le champs est uniforme Il n en est rien Les atomes sont uniquement d vi s aux deux positions extr males m m et m m et aucun atome n aterrit au milieu Ceci est un exemple de la quantification qui r git beaucoup de ph nom nes quantiques d o la terminologie au pass
13. de pr dire l volution d un syst me En ce sens la nature probabiliste suppos e du monde quantique n est pas si impr visible qu on pourrait le croire l quation de Schr dinger impose un certain d terminisme aux variations probabilistes d un syst me Remarque 2 nous aurions pu d terminer plus pr cisement les op rateurs pour chaque variable dynamique l aide de raisonnements utilisant les sy m tries du groupe de Gallil e Si nous ne pouvons d velopper plus au risque de trop d border du su jet que nous nous sommes impos s mais nous donnerons tout de m me quelques r sultats pour le plaisir de remarquer l analogie avec la m ca nique classique m me si le formalisme change les variables dynamiques 57 que nous utilisons b n ficient des m mes contributions J QXxP __ P P H 557 Eo P MV o M et Eo sont des multiples de l identit Remerciements J aimerais remercier Julian Schwinger pour avoir pris le contrepied du mou vement pessimiste de la physique quantique Tout comme lui je pense que nous n avons tout simplement pas le droit de croire en une physique quantique obscure au point d emp cher fatalement l homme d en avoir une compr hension globale Ensuite les crits de L Ballentine m ont surpris par leur claret leur concision Je lui doit la d monstration de l quation de Schr dinger dans les grandes lignes J ai appr ci l approche tr s ma th matique et philosophique
14. e donc de 180 Imagi nons maintenant qu une fois avoir franchis le premier s lecteur un m m pour fixer les id es on en place un deuxi me orient diff remment Que se passe t il si nous orientons le champs vers 90 Pour imaginer la cons quence de positions interm diaires on peut imaginer une rotation progres sive dans le temps du champs de 0 180 dont le temps de passage dans les diff rentes zones est pond r par l orientation que l on veut donner au syst me Ainsi pour 0 90 on peut imaginer qu une moitit de par ticule va tre d vi e en haut m m et l autre en bas m m Mais que va t il se passer individuellement pour chaque atome Nous n avons au cun moyen de controler ni de pr voir ce que fera chaque atome indivi duellement Nous pouvons simplement tre s r de ce qu il se passera en moyenne sur un grand nombre d atomes Par exemple 0 0 Tous les atomes dans l tat m m Moyenne 1 0 90 50 des atomes dans l tat m m et 50 des atomes dans l tat m m Moyenne 0 0 180 Tous les atomes dans l tat m m Moyenne 1 G n ralisons ce principe une angulaison moins particuli re Intuitive ment la moyenne correspond au projet du vecteur angulaison sur l axe orient 180 0 ce qui s applique bien aux cas particuliers que nous avons vu pr c demment La pond ration qui oriente la particule en direction de l
15. en ce point ji LUC x v x C est dire que la probabilit de trouver la particule entre x et x dx est gale y x dx Elle rend maintenant plausible l existence de fonctions d onde d extension infinie ce qui n tait pas le cas avec l interpr tation de Schr dinger Remarque ici le sens de cette probabilit est vue comme la limite du rap port Nombre d expriences ou l on trouve la particule entre x et x dx EE A CL Em Nombre d expriences total pour un nombre d exp riences tendant vers l infini Biens r cette d finition de la probabilit est suj te controverses du type quel est le sens de un temps fix la probabilit qu il fasse beau Stras bourg est Dans la mesure o l on ne peut r it rer l exp rience on met en d faillance la coh rence de la d finition 23 Mais comment d finir ce qu est une probabilit est un sujet qui d passe largement le cadre de ce m moire et on se contentera modestement de ce model courament utilis par les physiciens Schwinger va maintenant rendre compte de cette interpr tation de la fonc tion d onde qui est une r alit experimentale en conservant ses notations 2 3 1 Un exemple Dans l exp rience de Stern Gerlach pour s lectionner un m m il faut orien ter le champs magn tique d une certaine fa on que nous prendrons comme origine de notre graduation 0 Pour avoir un m m l orientation devra tre oppos
16. o an gt est un vecteur propre d une observable quelconque et l apostrophe indique l tat du syst me ob serv apr s d placement de l observateur i e du r f rentiel d tude Apr s les quelques d finitions suivantes nous utiliseront le th or me de Wigner sans d monstration D finition 1 Un op rateur lin aire U sur un C espace de Hilbert est dit unitaire s il pr serve le produit hermitien V gt Y gt H lt Up Uy gt lt 6 gt Cette condition est quivalente UU UUT Id D finition 2 Un op rateur A sur un C espace de Hilbert est dit anti unitaire s il est antilin aire c est dire queA a y gt b p gt aA Yy gt bA 6 gt et si il v rifie V gt Y gt E H lt A Ab gt lt ply gt Cet op rateur l ne sera donc pas suppos lin aire a contrario de tout les autres Remarque le carr d un op rateur unitaire comme d un anti unitaire est un op rateur unitaire Un exemple classique d op rateur anti unitaires en m canique ondulatoire est l op rateur renversement du temps T x y x cf criture de la 49 fonction d onde dans l introduction historique la conjugaison complexe transforme la phase de l onde en son oppos Th or me 2 de Wigner Soit Yy gt Y gt une application d un espace de Hilbert H sur lui m me qui satisfait YI gt Y gt EH lt y gt j g Y gt l alors il existe un op ra
17. parceque la translation en espace est une symetrie En physique classique l ensemble des transformations qui pr servent les quations de mouvements de syst mes relativistes forment un groupe ap pel groupe de Lorentz Si nous supposons la vitesse du syst me tudi faible devant celle de la lumi re ce qui est ici le toujours le cas l ensemble de ces transformations peut tre remplac par le groupe gallil en le groupe qui pr serve le r f rentiel d inertie c est dire l ensemble des transformations qui envoient un r f rentiel gallil en sur un r f rentiel gallil en Il est compos de 1 L ensemble des translations en espace 2 L ensemble des rotations d espace Nous invoquons ici l isotropie de l uni vers ce n est pas parceque vous regardez suivant une direction sp cifique que vous changerez les lois universelles du mouvement Ce pendant certaines th ories cosmologiques consid rent cela comme non trivial et m me parfois faux Attention une rotation non constante dans le temps n est plus une sym trie Elle rajoute au syst me des forces d inerties 3 L ensemble des acc l rations rectilignes nulles excusez moi je n ai pas trouv de meileur nom Ce sont les transformations qui conf rent au syst me une vitesse constante suivant une direction Nous admet trons que ce sont des sym tries 4 L ensemble des translations dans le temps Si ces translation n taient pas des sym tries
18. r elle non pas que y x t soit valeur dans R puisque comme nous l avons vu la multiplication par un nombre complexe ne change pas la fonction d onde mais telle que la phase soit ind pendante du temps i e telle que la contribution complexe de la fonction d onde soit constante par rapport au temps 45 On a donc all geons un peu les critures Ae P ety Ae T on a ensuite et Du coup 1 j A2 VP 0 m En conclusion nous obtenons une probabilit stationaire la fonction d onde n voluera plus p r t constante par rapport au temps L tat ainsi en gendr ne peut rendre compte de la r alit physique du syst me puisque sans volution Ainsi la fonction d onde se doit d tre complexe pour tra duire la r alit du monde quantique 2 5 3 Le principe de superposition Il affirme que toute combinaison lin aire co fficients complexes d tats reste un tat possible pour le syst me C est cette assertation qui donne une structure de C espace vectoriel l espace des tats D apr s Dirac c est l id e fondamentale nouvelle de la physique quantique Il est math ma tiquement quivalent la lin arit de l quation de Schr dinger on ra pelle qu en m canique classique les quations de Newton ne sont pas li n aires Stabilit par multiplication par un complexe Multiplions un tat gt par un nombre complexe z Soit une observable appliquons l
19. son dual cf suite mais nombre d espaces de dimension infini diff rent compl tement de leurs duals ces derniers tant beaucoup plus gros Nous allons voir que dans le cas d un espace de Hilbert son dual lui est curieusement isomorphe Consid rons H l espace dual topologique associ H l ensemble des formes lin aires continues de H Il est facile de plonger H dans H gr ce l injection lin aire suivante x EH gt fr E H avec fez y gt lt x y gt C est bien une injection puisque si fs 0 alors en particulier f x x 0 et donc z 0 Remarquons que les fy sont bien continus en vertue de l in galit de Cauchy Schwarz Nous allons maintenant montrer que dans un espace de Hilbert cette in jection est en fait un isomorphisme Th or me 1 de repr sentation de Riesz x fx est un isomorphisme Nous aurons besoin du lemme 1 pour d montrer ce th or me Autant dans le cas d espaces euclidiens ce lemme est trivial autant en di mension infini il est impr ssionnant Pour expliquer sa provenance nous 19 donnons simplement pour connaissance le lemme 2 indispensable la d monstration du lemme 1 qui donne une id e du fonctionnement g o m trique des espaces de Hilbert rappelons que par d finition m me un sous espace vectoriel est un espace convexe Ces lemmes sont donn s sans d monstration Lemme 1 Si F est un sous espace vectoriel ferm d un espac
20. un op rateur hermitien appel observable agissant sur les vecteurs de H La valeur moyenne esp r e d une observable A agissant sur un vecteur d tat q gt est donn par lt A gt y lt A Y gt Il formalise la notion d observable et donne son mode d emploi vis vis de la fonction d onde 10 L introduction des observables sera galement faite en suivant le point de vue de Schwinger en 2 3 4 et expliquera la provenance de ce postulat l exeption de l hermicit En 2 4 nous nous consacrerons l tude des ob servables la d monstration de l hermicit des observables et de quelques propri t s crutiales Postulat 3 L volution en temps d un syst me ferm est gouvern par l quation de Schr dinger 0 ihz Y gt HG ye gt o H t est l op rateur dit Hamiltonien associ l nergie du syst me Equation principale de la m canique quantique qui donne l volution en temps des syst mes La partie 3 sera enti rement consacr e la d monstration de cette quation 11 2 Vecteurs d tat et observables selon Schwinger L introduction de la fonction d onde par Schr dinger n est pas math ma tiquement valable en raison des impr cisions et des contradictions dues son interpr tation Schwinger propose quant lui une introduction de ce qui remplacera la fonction d onde le vecteur d tat un peu artificielle puisqu il va tout axer sur une symbolique mais qui
21. va leurs propres de cet op rateur Les vecteurs propres associ s forment une une famille orthogonale et dans certains cas une base le cas de la dimension fini est trivial mais la dimen sion infinie nous r serve bien des surprises et les a gt repr sentent alors les vecteurs propres associ s aux valeurs possibles de la grandeur A Du coup pour chaque grandeur physique poss dant une base de vecteurs propres nous pouvons d composer le vecteur d tat de diff rentes fa ons On appelle une d composition selon une base de vecteurs propres d un op rateur A une A repr sentation La repr sentation la plus utilis e est celle associ e l op rateur position Q poss dant pour chaque position x un vecteur propre associ x gt et on note x lt z y gt Pour une propri t plus quelquonque il arrive aussi d crire lt a Y gt dia Remarque depuis le debut nous travaillons t fix et il serait plus juste d crire y t gt et donc y x t ou Y a t mais nous conserverons nos no tation par soucis de simplicit d criture C est de cette repr sentation que Schr dinger est parti l origine la fonc tion d onde nonc e dans l introduction historique prend formellement la place de notre x repr sentation en m canique ondulatoire Aucune interpr tation claire de la fonction d onde n a t exhib e ce jour mais on peut recenser deux courants extr mes traitant de sa nature
22. A gt lt AY AY gt Av o la derni re galit vient de l hermicit de A et enfin Ay0 A nous ne consid rons que des quantit s positives Idem AyO2 By Vu que l identit commute avec tout op rateur on a aussi 01 02 A B La relation d incertitude est donc quivalente avec nos notations i I A By gt 53 1 lt 4B 4 gt l L in galit de Cauchy Schwarz nous donne I Ay I By gt lt Ay By gt lt y AB gt Si nous consid rons l anticommutateur A B AB BA nous avons la relation AB A Bl A B que nous r inseront dans l quation pr c dente 1 AO AO gt 5 lt Y 4 B 4 B Y gt l 41 Remarquons maintenant que A B est hermitien alors que A B est an tihermitien A BJ 4 B puisque AB BA B A A B BA AB 4 B m me raisonnement pour A B Du coup le nombre lt 4 A B y gt est imaginaire pur puisque lt 4 4B 4 gt lt 4 A4 Bly gt lt A Bly y gt lt 4 A BH gt lt 4 A B y gt De la m me fa on lt y A B Yy gt lt y A Bl Yy gt et lt y A B Y gt est r el On a donc lt y A B A B y gt de la forme a ib et l galit a ib la 0 nous permet de conclure 1 AyO1Ay02 gt 5 lt A B 14 B 4 gt 1 1 ApO1Ay02 2 5 lt Y A
23. M moire de magist re de math matiques LES POSTULATS DE LA PHYSIQUE QUANTIQUE Adrien Hardy La physique quantique labor e d s 1925 par Heisenberg Werner Karl et Schr dinger Erwin est une branche de la physique th orique qui vise comprendre le monde de l infiniment petit Elle se d marque trangement de la physique classique qui pr tend expliquer les r alit s notre chelle et fascine par nombre de ses r sultats qui vont l encontre de notre intui tion Cependant son axiomatisation reste hasardeuse son formalisme est d aux t tonnements de chercheurs voluant dans un monde hostile l ex p rimentation puisque comme nous le verrons plus tard cette chelle l appareil de mesure influe sur le syst me tudier Pour comprendre un ph nom ne physique nous partons d une exp rience l incluant Nous l analysons puis nous essayons de d terminer quelles lois connues y interviennent Si nous sommes confront s un ph nom ne com pl tement nouveau nous cherchons alors un cadre math matique ad quate une formalisation de la nouvelle th orie quitte d velopper de nou veaux outils math matiques et nous tentons ensuite de d terminer empi riquement un nombre d quations ma itresses qui vont nous permettre de pr dire l volution des syst mes soumis ce ph nom ne physique rap pelons que la physique nous sert comprendre l volution des syst mes dans le temps Il es
24. age comme le niveau d nergie des noyeaux dont on ne detaillera pas ici la substance Nous nous servi rons de cette exp rience comme archetype pour construire une forme de logique quantique bas e sur l exp rimentation On peut cr er un s lecteur de moment qui ne va laisser passer qu un atome dans l tat m m ou au choix m m Mais comment d terminer si un tat est pur i e qu un atome dans l tat m m n est pas en m me temps dans l tat m m Il suffit de mettre en 12 s rie deux s lecteurs une fois deux et de recommencer avec un s lecteur etun 1 L atome passe deux s l cteurs c est un m m 2 L atome ne passe pas les deux s lecteurs et ce n est pas un m m donc c est un pur m m Jl f fentes collimatrices aimant 2 2 Quelques jeux de notations 2 2 1 Une alg bre de mesures G n ralisons maintenant cet exemple une propri t physique A ayant pour valeurs possibles a1 an On peut d finir de la m me fa on un s lecteur qui mesure A et ne retient que a ce que Schwinger va noter symboliquement a a aiai repr sente donc l action de mesurer la propri t A sur un syst me sous entendu et de s lectionner l tat A a Pourquoi cette redondance Pour rappeler pour rappeler que dans un test s lectif il faut une fois avoir fait une mesure la v rifier tout comme nous avons fait dans le cas du m m pour nous assurer qu il n
25. anslations d es pace 3 d placements acc l ration nulle 1 translation en temps de la transformation 7 et Vu K est hermitien ce sont les g n rateur du groupe gallil en L tude de ces g n rateurs pourrait nous permettre de comprendre l vo lution des variables dynamiques du syst me Ainsi nous avons la transformation 4 gt Y gt U r v gt A A U r AU r 54 Remarque 2 si T7 T3 alors U T1 U T2 Y gt et U r3 Y gt doivent repr senter le m me tat donc doivent tre gaux un facteur de phase pr s U T U T2 Y gt BU rs Y gt V Yi gt U n U n 20 r3 o w T1 T2 est r el On pourait penser que w T1 T2 d pend aussi de 4 gt mais dans ce cas nous obtiendrions une transformation non lin aire et nous savons d apr s le th or me de Wigner que seul un op rateur lin aire peut repr senter une transformation continue La structure de groupe fond e en mecanique classique ne perdure donc malheureusement plus en physique quantique Nous opterons pour les notations suivantes Transformation Oprateur x Rh 0 x enn Tn Tn An e t Pn Tn Ln Unt etvn Gn t t s gisu o n n 1 2 3 repr sente le n axe coordonn Ainsi Zn n an repr sente un d placement suivant le n axe x Rn 0 x repr sente une rotation autour du n axe etc Les sont artificiellement introduits pour des raisons
26. ante suivant z et S op rateur spin projet suivant z commutent deux deux On trouve alors comme valeurs propres les r sultats connus 1 H nimA gt n ze nim gt n 1 2 L L nim gt L 1 nlm gt l 0 1 n 1 L nlim gt m nim gt m l l 5 nlmX gt A nm gt NI A contrario deux op rateurs qui ne commutent pas ne sont pas mesurables simultan ment Ce r sultat provient du principe d incertitude que nous al lons d montrer Premi rement introduisont une fa on de mesurer la pr cision de nos mesures une fa on de voir comment s agencent nos mesures autour de la valeur r elle de l observable ce moment l s il en est une Ay lt v 4 p gt lt yp A D gt 3 lt A gt y lt A gt 23 lt A lt A gt y gt y qui correspond la notion d cart type en math matiques Remarque si y gt est un vecteur propre de A associ la valeur propre a alors A O et y gt poss de exactement la valeur A a ce moment l Nous allons montrer la relation d incertitude suivante 40 Proposition 1 Principe d incertitude de Heisenberg Soit O et O2 deux op rateurs alors ils v rifient l in galit 1 Ay01 A02 2 5 I lt Y 01 02 gt D monstration On pose A 0 lt 01 gt y Id et B O2 lt O gt y Id Du coup gr ce l hermicit de A A401 lt A gt y lt Y
27. c e de deux fentes parall les On place ensuite derri re cette plaque un cran qu on mu nit d un d tecteur qui peut compter les lectrons impactant en tel lieu de l cran on consid rera un cran monodimensionnel pour simplifier l im pact sera uniquement d termin par son abcisse x On supposera le d tec teur suffisemment sensible et le courant d lectrons d intensit suffisem ment faible pour le mesurer comme une pluie de particule et non comme une courant lectrique le d tecteur donnera une suite de r ponses dis cr tes dans le temps 47 Apr s une longue exposition nous allons reconstituer le nombre d impact x fix N x En divisant par x nous obtenons une distribution statistique qui pour un nombre de coups tendant vers l infini tend vers la densit de probabilit P x de trouver l lectron en x au sens ou nous l avons vu pr cedemment P x dx repr sente la probabilit de trouver un lectron entre x et x dz Supposons que nous ne croyions pas en la dualit onde corpuscule et conser vons notre vision purement m canique de l lectron l lectron passe par la fente 1 OU au sens strict la fente 2 avant d impacter sur l cran Si nous obstruyions la fente 2 resp 1 nous obtiendrons une densit de probabilit P x resp P x telle que P x P2 x P x galit logique impos e par la conjonction OU stricte Cependant on trouve exp rimentalement que P1 x Pi
28. citement suppos dans l exp rience de Stern Gerlach que le champs tait station naire Si nous cr ons un champs qui change pendant le temps de passage de l atome du s lecteur au s lecteur de mani re ce que l atome entre dans le premier s lecteur dans un tat change entre les deux selecteurs puis aie la possibilit de ressortir gr ce son changement d tat On obtiendrait par exemple un tat Pour des mesures successives nous avons ainsi aiaj apar jp aia Remarque 1 cette alg bre n est pas commutative En effet si a aj ona ajaj ajai aja et aja aiaj ajaj donc aja Al ajaj Remarque 2 elle n est pas int gre 15 n aia Si a f aj on a aja ajaj 0 m me si aa 0 Maintenant r fl chissons un peu plus au sens de a a Seul un atome qui a la valeur a pour la propri t A un a atome peut entrer dans l ap pareil de mesure et un aj atome en sort On pourrait imaginer qu au coeur de l appareillage le a atome se d truise et qu un a atome apparaisse On symbolisera cette destruction cr ation de la mani re suivante Qij Qi gt lt Qj gt symbolise donc la destruction et lt la cr ation Pour v rifier l galit vue pr demment aiaj axar djk aicu ie ai gt lt aj ak gt lt a jk ai gt lt a qu on notera pour simplifier ai g
29. du livre de Chris J Isham ainsi que les crits de F Lalo qui m ont beaucoup clair s en des moments o j en avait vrai ment besoin Enfin je remercie vivement Janos Polonyi pour tout le temps qu il m a consacr et de n avoir cess d veiller ma curiosit 58 Bibliographie Quantum mecanics symbolism of atomic measurement de Julian SCHWIN GER Quantum mecanics A modern development de L BALLENTINE Consistent quantum theory de Robert B GRIFFITHS Lectures on quantum theory de Chris J ISHAM M canique quantique I de Messiah Comprenons nous vraiment la physique quantique de F LALO Sym tries en m canique quantique notes de cours de DEA de F LALO Introduction la physique statistique et la physique quantique de F HELEIN et T LEVY Les maths en t te Analyse de Xavier GOURDON Cours de Claude ASLANGUL Licence et Maitrise Universit Pierre et Marie Curie Paris 6 Wikip dia encyclop die sur internet 59
30. e de Hilbert H alors FoFt H Lemme 2 de projection orthogonale sur un convexe ferm Soit C C H un convexe ferm Si x H il existre un unique l ment xc C tel que x xc d x C in fzcc x z xo est alors appel projection othogonale de x sur C et est caract ris par Remarquons que l Yz E C lt z xc x rc gt lt 0 D monstration du th or me Reste montrer la surjectivit Soit L H si L 0 alors L fo et c est termin Sinon KerL L 1 0 est un sous espace vectoriel stricte de H ferm par continuit de L D apr s le Lemme 2 on a Ker L Ker L H Si L tait nulle sur Ker L alors L serait nulle sur H ce qui est absurde par hypoth se Donc il existe a Ker L tel que L a 0 Montrons que Ker L Vect a Soit v Ker L On pose w v Ha qui v rifie L w L v L a 0 Donc w Ker L Par ailleur w est combinaison lin aire d lements de Ker L etw Ker L N Ker L 0 Nous avons v Ha Vect a et on a bien Ker L Vect a Ceci tant posons b a Pour tout x Ker L on a f x lt b x gt lt a x gt 0 car a a Ker L 20 Six Ker L alors il existe C tel que x a donc L falx A fila ET lt a a gt AL a L x Nous avons montr l galit de f et de L sur deux espaces suppl men taires donc f L d o la surjectivit d s
31. eraction avec l exterieur soul ve beaucoup de questions en physique quantique On pourrait se de mander par exemple si la place de l observateur rentre en compte dans 27 la nature du monde Existe t il une r alit objective Ind pendante de ses habitants Faut il un niveau de conscience minimum pour interf rer avec notre monde puisque ne serait ce vivre est une grande quantit d actions de mesure Ainsi un chat un arbre un caillou influe t il sur le monde par les mesures inconscientes qu il engendre La liste d int rogations est longue mais ce qui est s r c est que la nature du monde est loin de res sembler l image classique que nous en avons 2 3 4 Introduction des observables La symbolique que nous utilisons nous am ne poser la question suivante existe t il un symbole repr sentant propri t physique fix e La nature probabiliste du monde quantique a pour cons quence de nous interdire de dire telle propri t a telle valeur en ce moment pr cis Il est m me des fois o la nature nous interdit d obtenir de l information de certains sys t mes sous certaines conditions cf 2 4 4 principe d incertitude Pour ces raisons nous donnerons aux grandeurs physiques que nous mesurons en physique quantique le nom d observable a contrario d observ e faisant r f rence un monde plus d terministe Si nous consid rons une observable B comme une variable al atoire l aide de la notion d
32. ers puis d isoler les termes On supposera pour simplifier que l op rateur poss de une ensemble dis cret de valeurs propres am m mais le cas non discret se d montre de fa on analogue On d fini une fonction d op rateur f A f R R comme f A dre Cette d finition est motiv e par le fait que si a est valeur propre de A a gt a a gt alors VP R X P A a gt P a a gt 33 et qu on a la d composition J O r m En vertue de la d finition de l esp rance math matique on a la formule lt gt y X cmProb A Cm Y gt m O Cm m est l ensemble des valeurs prises par A et non n c ssairement ses valeur propres De la m me fa on lt f A gt y XO J Cm Prob A cm Y gt m En d finissant ensuite la fonction i I si t r t gt Xr 0 sinon On a l galit suivante en supposant que r Cm m lt Xr A gt y Prob A r 4 gt Utilisons maintenant le postulat 2 pour affirmer que lt Xr A gt y lt 4 Xr A V gt mais comme xr A m Xr m Pm par d finition on obtient lt Xr A gt y lt D Xr am Pm gt Le second terme est toujours nul et donc Prob A r y gt moins que r ne soit une valeur propre de A qui d montre le Postulat 2 Dans le cas r ax Valeur propre de A on a lt Xa gt y lt D Xe Gn Pr Y gt lt 4 Pk Y gt m qui d montre le P
33. es r sultats de pr diction que nous avons mis en avant dans la partie 2 4 1 dim m Las gt ZCm j amj gt 1 et du coup 46 Prob A am z gt lt 20 Pm zY gt dim m gt Ein j 1 dim m 2P CD lens P j 1 z Prob A am gt La distribution des probabilit s est simplement multipli par une constante z R qui n influe pas la r partion en probabilit de chaqun des r sultats en tol rant une probabilit totale diff rente de 1 Vu que nous conce vons la fonction d onde comme donnant l information que nous pouvons obtenir du syst me ces deux fonctions sont donc quivalentes Dailleur nous pourrions d finir une relation d quivalence y 9 amp Jz C zy et substituer la fonction d onde par la classe de fonctions 1 ss s 2 A m normalis e zyys Y gt La stabilit par lin arit expliqu e par les fentes d young La justification de la lin arit est exp rimentale Nous savons que le prin cipe de superposition est d j en vigueur en m canique ondulatoire en rai son des interf rences deux ondes peuvent se superposer Il reste mon trer que tout syst me poss de une certaine nature ondulatoire l chelle quantique Nous allons utiliser des fentes d young en prenant pour source un faisceau d lectrons On acc l re des lectrons l aide d une diff rence de potentiel depuis une source en direction d une plaque per
34. esp rance math matique nous pouvons d finir la valeur moyenne ou valeur esp r e obtenue en mesurant B sur un a atome lt B gt a X_ Prob a b b b On remarquera que _Prob a bb S lt a b gt b lt b a gt lt a X b gt b lt b a gt b b b Gr ce au formalisme pr c dent on peut identifier ce que nous sommes en train de mesurer l observable B sa mesure de la mani re suivante B b gt b lt b b et on a alors l galit lt B gt a lt a B a gt 28 Consid rons plus g n ralement un tat Y gt vecteur engendr par la base ai gt pesay lt ulp gt la gt i Nous tendrons la d finition pr c dente de la mani re suivante lt B gt p lt Y B 4y gt o lt B gt y repr sente la valeur moyenne de l observable B mesur e sur un syst me dans l tat 4 Donnons maintenant une repr sentation plus concr tement utilisable de ces observables B 1B1 S a gt lt al BO Je gt se sr lorea BIS gt lt a a a alpes a a B est ainsi d fini par n actes de mesure chaqun caract ris s par les nombres lt a B aj gt que nous pouvons disposer en matrices lt aul Blu gt lt a Bl a gt lt an B a gt es lt an B an gt Ainsi chaque observable nous pouvons associer une matrice dans le cas de la dimension finie seulement mais cela se g n ralise ais ment en dimen sion infini bienque nous perdons le formalisme matriciel Une ob
35. in alors c est une condition n c ssaire Nous utiliseront galement sa forme conjugu e complexe 0e RARES her t Hwy r t La probabilit pour une particule d tre dans la zone d espace Q est donn e par fo V x t dz En d rivant cette expression nous obtenons 2 Fp Ou ras En appliquant l quation de Schr dinger et sa forme conjugu e complexe on trouve LA fu 2 7 Z Loue ET d Sv de 44 et vu que Q est quelconque on peut extirper de cette quation une forme locale ot On peut alors crire ih gt gt r t dio PV Y Y7 D plr t div r t 0 avec J ih gt gt Im VVU UV On a bien exhib un vecteur courant ou flux de probabilit qui convienne une quation de conservation 2 5 2 Un mouvement possible que dans un monde complexe Remarque dire que y t gt est une fonction complexe est quivalent dire que y x t est un fonction du temps valeur dans C pour tout x fix Nous allons montrer que y x t volue de fa on complexe quand t varie En se souvenant que pour z C ona 2i le vecteur flux s crit de fa on plus concise r y t a Im Y V 4 m Si y t gt est valeur dans C on peut crire ylz t A x tjer CD o A x t et P x t repr sentent respectivement l amplitude r elle et la phase de la fonction d onde Supposons maintenant que x t volue en temps de fa on
36. inante math matique et certains aspects de la th o rie physique seront ellid s Du coup cet expos est fondamentalement dif f rent d un cour de physique et se veut accessible un math maticien ayant quelques bases en physique Nous ne consid rerons ici que des situations non relativistes Table des mati res 0 1 Introduction historique housse net sas es 0 1 1 L effet photo lectrique aoaaa aaa 0 1 2 Dualit onde corpuscule ou principe de compl men tarit is e i e a aaa a e n a nee 0 1 3 La fonction d onde selon Schr dinger 1 Enonc des postulats 10 2 Vecteurs d tat et observables selon Schwinger 12 2 1 L experience de Stern Gerlach 1922 12 2 2 Quelques jeux de notations 2 511284 sentis sas 13 2 2 1 Une alg bre de mesures 2 dues pe ENS ue at 13 2 22 Introduction du vecteur d tat 17 2 2 3 Un peu de dualit es petite 18 2 2 4 Diff rentes repr sentations des tats 21 2 3 Comment on en arrive un monde probabiliste 23 23 1 Unexempl n ne pe ane er HE etes 24 2 3 2 Ge n ralisation 22 8512428 Cr Gad End 25 2 3 3 La mesure perturbe les syst mes 26 2 34 Introduction des observables 28 2 3 5 Quelques remarques quant au produit hermitien 31 2 4 Quelques d veloppements quant aux observables 32 2 4 1 Variantes du Postulat 2 aaou 33 2 4 2 N cessit pour une observable d
37. iquer nombres de ph nom nes o la lumi re intervient tel l op tique Le probl me vient du fait que si l on consid re la lumi re comme une onde en augmentant son intensit on devrait pouvoir fournir suffisament d nergie au mat riau pour lib rer un lectron ce qui n est ici manifeste ment pas le cas Einstein Albert r soud ce paradoxe en faisant l hypoth se de non di visibilit l infini de la lumi re il consid re la lumi re comme une pluie de corpuscule les photons Chaque photon poss de alors une nergie pro portionnelle la fr quence du rayonnement E hv Relation de Planck Einstein o h est la constante de planck On utilisera souvent A h 27 Ainsi augmenter l intensit du faisceau lumineux n augmente pas l ner gie des photons mais leur nombre et du coup la fr quence est le seul crit re permettant d arracher ou non un lectron la plaque Il est noter que le premier avoir mis en vidence la quantification d une propri t physique est Planck d o sa constante dans une th orie visant expliquer la nature du rayonnement du corps noir partir de la notion d changes discontinus avec la mati re 0 1 2 Dualit onde corpuscule ou principe de compl mentarit La lumi re poss de donc une double identit Elle se comporte comme une onde d s qu elle intervient en optique interf rences diffraction et elle 6 s assimile une pluie de par
38. ir e CQFD Du coup si nous interpr tons les lt a comme des formes lin aires lt ai Y gt lt ai Y gt il existe donc une fa on de passer des vecteurs cr ation ceux de destruc tion et inversement que nous appellerons conjugaison hermitique B y gt gt Y gt lt y lt vl lt vli v gt Remarque 1 pour cette raison il nous arrive d crire une forme lin aire de la mani re suivante f x lt f x gt notation dite du crochet de dualit Remarque 2 le cr ateur de la notation vectorielle y gt est Dirac qui la baptisa non sans humour notation du Bra Ket Cro Chet en fran ais lt 4 ceci est un Bra gt ceci est un Ket lt Y gt et ceci est un Braket Remarque 3 de ce point de vue l objet aja a gt lt a repr sente un projecteur sur la droite vectorielle engendr e par a gt 2 2 4 Diff rentes repr sentations des tats Nous avons construit l tat d un syst me comme un vecteur d un espace de Hilbert muni d une base de vecteurs intimements li s aux diff rentes valeurs possibles d une propri t physique Nous d montrerons bientot qu en physique quantique nous repr sentons une grandeur physique par un op rateur hermitien c est dire un endo morphisme autoadjoint d un espace de Hilbert agissant sur les vecteurs 21 d tat et que les seules valeurs permises pour une grandeur sont les
39. ire en vertue de la remarque vue plus haut 50 Ensuite les observables elles m mes sont chang es par ces transforma tions soit U une transformation telle que Y gt U y gt soit 4 resp l observable associ e Yy gt resp Y gt Alors doit v rifier l quation aux valeurs propres A al gt an a gt A U an gt anU an gt et UTIA U an gt an an gt L quation aux valeurs propres de A A an gt an an gt entraine U LA U A puisque cette quation est valable pour toutes les valeurs propres Enfin A UAU L op rateur unitaire est donc bien adapt d crire ces tranformations il revient faire un changement de base au moins de fa on vidente en di mension finie Remarque l op rateur unitaire est l quivalent pour un R espace vectoriel de l endomorphisme orthogonal Consid rons maintenant une famille d op rateurs d pendant d un para m tre U s telle que U o Id et que U s1 U s2 U s s2 On pourrait montrer qu il est possible pour toute famille d op rateurs un param tre d obtenir ces conditions l en transformant le param tre mais ce ne sera pas n c ssaire dans la mesure o les op rateurs que nous ren contrerons poss deront de fa on vidente ces propri t s 51 Si s est tr s petit ce qui exprime une transformation infinit simale nous avons le d veloppement limit sui
40. l quivalence est videm ment vraie mais elle ne nous int ressera pas Y y gt EH lt y Aly gt lt 4 A y gt gt VI gt E H Y y2 gt E H lt Y A p2 gt lt Y2 A Y1 gt D monstration Soient y gt et y2 gt deux fonctions d onde et a et b deux nombres complexes On pose y gt a y1 gt b y2 gt On a donc lt y Aly gt al lt yi Alu gt b A vo gt 0 lt dn A yp gt ab lt Yi Aly gt Comme lt 4 A gt est r el a lt yi Alpi gt 1b P lt y A Yp gt l est aussi et Tb lt y A Y2 gt ab lt p2 A Y1 gt est r el galement Pour le choix particulier des variables complexes a b 1 nous obtenons lt pi A y2 gt lt tpl A yi gt lt ti A yp gt lt y A y gt Maintenant choisissons le cas particulier a 1 b i on trouve i lt pi A Y2 gt lt p A pi gt i lt p A Y2 gt lt Y2 A y1 gt En sommant ces deux quations nous trouvons bien lt 1 A y2 gt lt p2 A gt 37 CQFD Il est noter que cette implication est fausse dans le cas de R espaces vec toriels Vu que les valeurs moyennes d un op rateur A se doivent d tre r elle i e V gt EH lt y A y gt lt Y A y4 gt l implication que nous venons de d montrer entraine ainsi l hermicit de l op rateur 2 4 3 Propri t s d un op rateur hermitique L hermici
41. ne interpr tation physique A contrario nous tenterons d expliquer la provenance de cette axiomatique ces pos tulats n en ont souvent que le nom et il existe des cheminements logiques permettant de les retrouver bienque partiellement Il est noter que ces postulats n ont pas exactement le m me statut qu en math matiques une fois l axiomatique pos e la branche ainsi contruite des math matiques se veut autonome quitte tre incoh rente alors que l axiomatique que nous d velopperons ici sera toujours tributaire de la r a lit physique que nous essayons de d crire Postulat 1 La connaissance de l tat d un syst me un instant t est compl tement contenue dans un vecteur appel vecteur d tat habituellement not y t gt L espace auquel appartient ce vecteur est un C espace de Hilbert un C espace vectoriel complet muni d un produit hermitien H appel espace des tats Il pose l existence du vecteur d tat ainsi que son essence Nous introduirons le vecteur d tat grace Schwinger durant toute la par tie 2 2 et nous d gageront progressivement la structure de son espace mais nous aurons ensuite besoin de quelques pr cisions sur le monde quantique ainsi mod lis avant d introduire la structure de C espace vectoriel de l es pace des tats en 2 5 Remarque ce postulat ne pr cise en rien la dimension de l espace des tats Postulat 2 Toute grandeur physique est repr sent e par
42. nique quantique c est la structure m me de l univers qui impose d avoir des fonctions d onde valeur complexe Dans la mesure o nous acceptons l interpr tation probabiliste de la fonc tion d onde et donc que dP x t Y x t dx x t est vue comme une densit de probabilit De la m me fa on que la charge la masse etc sont conserv s qui dit den sit p de syst mes ferm s comme nous consid rons depuis le d but dit quation de conservation de la forme bi 0 getii 43 CE 2 2 PEEN o j repr sente le vecteur courant de la quantit donc on consid re la den sit y En prenant plz t y x t p x t y x t nous cherchons un vecteur courant J qui v rifie l quation de conservation Nous allons utiliser l quation de Schr dinger provisoirement admise sa d monstration constituera la derni re partie de ce m moire mais sous sa x repr sentation c est dire mutipli gauche par lt x n t Hy z t H l hamiltonien est l op rateur associ l observable nergie et peut prendre la forme admis h2 H A 2m En fait HA est l op rateur nergie cin tique Nous simplifions donc ici la situation toutes les contributions nerg tiques d un syst me ne sont pas uniquement dues son nergie cin tique Mais cet exemple sera d j suffisant pour confirmer le caract risation complexe des fonctions d onde si quelques syst mes en ont beso
43. ostulat 2 34 amp Reciproquement on a Postulat 2 et d finition de l esperance math ma tique lt gt y gt amProb A am gt m puis Postulat 2 lt A gt y a lt PnlV gt En utilisant l galit AP GP on obtient LABS APJA dE Enfin gr ce l quation de fermeture Pm Id et la lin arit droite du produit hermitien on retombe sur le postulat 2 lt A gt y lt A Y gt CQED Au final nous avons trouv une fa on simple d obtenir des pr visions de la fonction d onde relativement une observable A Il suffit d crire la fonction d onde dans une base orthonorm e de vecteurs propres de A A repr sentation dim m HET Sedo m j 1 O Cm j lt amj gt i e les composantes de y gt dans la base de vecteurs propres et la probabilit d obtenir tel r sulat en mesurant A est dim m Prob A am Y gt lt 4 Pm Y gt gt Cm j i j 1 Remarque c est maintenant que la A repr sentation prend tout son sens si par exemple nous consid rons la x repr sentation lt x y gt y x 35 o lt x est le conjugu hermitique du vecteur propre norm associ la valeur propre x de l op rateur position Q que nous supposerons non d g n r la signification sera Prob Q x Y gt y x c est dire qu t fix la probabilit de trouver le syst me dans l tat y gt l endroi
44. peut on r ellement parler de base Beaucoup de livres supposent la compl tude de la famille de vecteurs propres i e qu elle engendre l espace des tats dans le cas de la dimension infinie Mais certains contrexemples comme celui de l op rateur quantit de mouvement i montrent qu il existe des op rateurs n engendrant pas de famille compl te de vecteurs propres pour un espace de Hilbert Il faudra s y faire 2 44 Principe d incertitude de Heisenberg Nous d finissons le commutateur de deux op rateurs A et B comme A B AB BA Savoir si deux observables commutent est tr s important en physique quan tique En fait il sera possible d obtenir une information d taill e de deux observables simultan ment si et seulement si elles commutent 39 En effet deux op rateurs qui commutent idem plusieurs op rateur qui commutent deux deux poss dent un syst me de vecteurs propres en communs nous admettrons cette propri t et donc en d composant un tat sur cette base nous obtenons la fois les probabilit s d obtenir telle mesure de A mais aussi celles de B On dit qu ils sont simultan ment mesu rables Par exemple les nombres quantiques utilis s dans la description de l tat de l atome d hydrog ne n l m et le spin not ici permettent une des cription compl te de son tat les op rateurs H l op rateur hamiltonien pour l nergie J J op rateur moment angulaire total J sa compos
45. pratiques Nous pourrons donc crire les dix op rateurs Jn Pa Gn H n 1 2 3 la place des K u 1 10 au besoin 3 3 Mise en place de l quation de Schr dinger D finissons plus proprement l op rateur position Q comme Q Q1 Q2 Q3 tel que les valeurs propres des Q soient exactement les valeurs possibles pour les coordonn es du syst me Q x gt x x gt 55 Pour rendre cette op rateur utilisable nous allons supposer que les Q com mutent entre eux et donc qu ils poss dent un ensemble de vecteurs propres communs E Q z gt z2 r gt x z gt zs D finissons maintenant l op rateur vitesse V de la m me mani re que nous l avons d fini en physique classique d RS re et plus pr cisement d d Ve 5 lt P Qly gt lt VIRG 16 gt La vitesse d un syst me fait donc intervenir des d riv es de fonctions d ondes caract risant l volution du syst me dans le temps L introduction de la vitesse tant un pr texte au calcul de ces d riv es voyons maintenant ce qu il en est Remarquons qu en crivant la translation en temps t t t s c est dire la transformation DE gt eSA y t gt Y t 5 gt en prenant t s nous avons gt e 0S puis en d rivant cette expression il vient d Lu g V gt iHe 0 gt iH 4 gt Exp rimentalement si l on cherche rapporter H l nergie du syst me l e
46. servable est donc un objet qui agit sur les vecteurs d tat puisqu une matrice re pr sente une fonction lin aire les observables sont repr sentables par des op rateurs lin aires agissant sur l espace des tats 29 Tout l art du physicien sera ensuite de d terminer quel op rateur pourra repr senter telle propri t physique et ce pour le plus grand nombre de syst mes possibles corps isol N corps corps spin Il est possible de les d terminer en utilisant des arguments voqu s dans la partie 3 mais ce ne sera pas ici le centre de notre int ret Nous venons de montrer qu une observable B est repr sentable par un op rateur lin aire que maintenant nous omettrons de le pr ciser dont la va leur moyenne relativement un tat Y gt est lt B gt y lt Y B y gt Le sens de l criture lt B y gt devient alors le suivant On fait agir B sur Yy gt B y gt 9 gt B gt puis nous calculons le produit scalaire lt 4 gt lt 4 B 4 gt Ainsi il ne reste plus qu prouver l hermicit de ces op rateurs cf 2 4 2 pour finir de d montrer le deuxi me postulat de la physique quantique Mais au fait qu est ce que l hermicit Remarque 1 le th or me de repr sentation de Riesz cf 2 2 3 pourrait nous permettre de d montrer l existence et l unicit d un op rateur B dit adjoint de B v rifiant YIY gt B 4 gt gt B Y
47. si y gt est un tat alors zJ Y gt lui est quivalent en terme d infor mations et est normalis Nous supposerons du coup tous nos tat normalis s 2 4 Quelques d veloppements quant aux observables Nous sortons maintenant du cadre d interpr tation de Schwinger pour re venir des cas plus g n raux le but tant de voir comment l tude des observable nous permet de mieux comprendre le monde quantique 32 24 1 Variantes du Postulat 2 La deuxi me assertation du postulat 2 La valeur moyenne esp r e d une ob servable A agissant sur un vecteur d tat 1 est donn par lt A gt y lt 4 A d gt est quivalente ces deux autres assertations qui pr cisent un peu mieux la mani re dont nous utiliserons les op rateurs Postulat 2 La mesure d une grandeur physique repr sent par l observable A ne peut fournir comme r sultat que l une des valeur propre de A Postulat 2 Si une mesure de l observable A est faite sut l tat y gt alors la probalit d obtenir la valeur propre particuli re a comme r sultat est Prob A ak Y gt lt Y P Y gt o P est le projecteur sur l espace propre associ la valeur propre am dim k Pg akj gt lt Ak j j 1 D monstration L id e sera de tranformer la formule du r sultat attendu moyen en une somme de r sultats pond r s par des probabilit s ce qui revient crire une esp rance math matique l env
48. t des observables est d une importance capitale Premi rement elle oblige l op rateur avoir des valeurs propres r elles ce qui est plut t rassurant vu que les valeurs possibles prises par une observable sont justement ses valeurs propres Si y gt est un vecteur propre donc non nul associ la valeur propres a on a gr ce l hermicit de A lt y A ly gt lt 4y Aj jy gt lt yl aj y gt lt y a y gt a lt y gt 0 lt 4 Y gt c est dire CQFD Deuxi mement les vecteurs propres associ s des valeurs propres dis tinctes d un op rateur hermitien forment une famille orthogonale 38 Soit A y gt a Y gt et A Ya gt a2 do gt L hermicit de A entraine lt p A gt lt Yo A y gt 0 et donc ai lt Yo Yi gt a2 lt Y1 Ya gt 0 ce qui nous donne ai a2 lt Y2 Y gt 0 soit lt Ya Vi gt lt Y Y2 gt 0 CQFD On pourrait poser le probl me des valeurs propres d g n r es mais il est toujours possible dans un espace de Hilbert admis de transformer une famille de vecteurs non orthogonaux mais lin airement ind pendants en une famille othogonale de combinaisons lin aires des vecteurs pr c dents Aussi des que nous consid rerons une base de vecteurs propres d un op rateur nous supposerons qu elle est orthonorm e tant que tous ces vec teurs sont de norme finie Mais
49. t Deux ondes sont au contraire superposables les interf rences Mais plus g n ralement comment imaginer un syst me S qui se manifeste parfois comme parfois comme B alors que A et B sont deux choses diff rentes On peut voir S comme n tant ni A ni B mais comme quelquechose de plus g n ral que l on ne peut sait toutefois visualiser dans sa totalit Pour donner un exemple on pourrait s imaginer vivre dans un monde bi dimensionnel et essayer de d crire un cylindre suivant une certaine pro jection c est un cercle suivant une autre c est un rectangle alors qu un cylindre n est ni l un ni l autre 0 1 3 La fonction d onde selon Schr dinger On d fini l tat d une particule en m canique classique comme la donn e de son vecteur quantit de mouvement p donc indirectement sa vitesse et de son vecteur position x L ensemble des tats possibles est un espace 6 dimensions appel espace des phases qu on g n ralise un syst me de N particules en un espace 6N dimensions Lorsque le temps varie l tat de la particule repr sent par un point d crit une orbite dans l espace des phases Concr tement l tat d un syst me est l information minimum que l on doit connaitre pour d terminer exactement ce syst me En effet la tra jectoire d une particule classique est solution d une quation diff rentielle du second ordre munie de conditions initiales pour affirmer son unicit
50. t lt aj ak gt lt a jp a gt lt a il faut que la symbolique v rifie lt Qj k gt jk ce qui veut dire cr er un aj atome puis d truire un a atome Dans la mesure o nous voyons les actes de cr ation destruction comme des actes isol s cette galit conserve un sens physique logique cr er un aj atome puis le d tuire est possible repr sent par 1 oui alors que cr er un aj atome et d truire un a atome k j ne l est pas repr sent par 0 non 16 2 2 2 Introduction du vecteur d tat L analogie avec la caract ristique d une base d un espace euclidien est frap pante si nous notons lt gt le produit scalaire associ cet espace et ei sa base alors nous aurons l galit lt Ei ej gt Di Nous consid rerons la famille a gt comme tant une base d un espace euclidien que nous app lerons H et donc nous nous accordons donner aux a gt le statut de vecteur Nous d montrerons en 2 5 que la strucure d espace vectoriel est justifi e et que cet espace est construit sur le corps C Remarque La dimension de H est exactement le nombre de valeurs que peut prendre la propri t A Nous avons vu pr c demment la relation n X ajai i 1 qui s crit avec nos nouvelles notations n a gt lt a 1 i 1 Cette galit qu on appelle une d composition de l identit viens renforcer l
51. t lt b s lectionner plusieurs tats b b M B b gt lt b 0 gt lt b On notera respectivement Prob a b et Prob a b b On remarquera au passage que On a la propri t Prob a b b lt a b gt lt b 0 gt lt a gt lt a b gt lt bla gt lt a b gt lt b a gt Prob a b Prob a b Si B n est autre que A on a Prob a a lt a a gt lt d a gt Si le mesure de B est M B b gt lt b 1 alors Prob a M B Prob a 1 X Prob a b lt a 1 a gt 1 b Ces propri t s sont rassurantes quant penser que Prob a b repr sente une probabilit en l occurence celle de trouver un a atome dans l tat b apr s une mesure de la propri t B Remarque souvenons nous de la sym trie hermitienne de lt gt nous pou vons crire plus simplement Prob a b lt a b gt 2 3 3 La mesure perturbe les syst mes Consid rons maintenant trois observables A B C Nous pouvons de la m me fa on d finir Prob a M B c lt a M B c gt qui reproduit la m me construction que pr c demment sauf que nous rempla ons le d tec teur final s lectionnant a par un autre s lectionnant C c Par exemple si M B b gt lt b nous obtenons Prob a M B c lt a b gt lt b c gt Prob a b Prob b c et le r sultat est conforme l interpr tation puisque nous superposons deux tapes de s lection
52. t esth tique de mettre en place ces quations en usant du formalisme pr c dent et ce de la fa on la plus courte possible C est cette d marche que nous allons essayer de suivre tout au long de ce m moire Une axiomatique de la physique quantique est maintenant mise sur pied et accept e par la majorit de la communaut scientifique Malheureuse ment son formalisme est math matiquement lourd et peu appropri l in terpr tation il est dur de donner un sens physique un espace de dimen sion infini En fait le probl me majeur de la physique quantique est que nombre d objets math matiques couramment utilis s dans la th orie et qui ont plusieurs reprises port leurs fruits dans des pr visions exp rimen tales n ont aucune interpr tation simple vis vis de notre r alit physique du moins celle que nous croyons comprendre Ce m moire vise mettre en lumi re cette structure math matique expli quer au mieux sa provenance exhiber quelques unes de ses cons quences et donner au lecteur un aper u de l tranget et du caract re magique des 2 lois qui gouvernent le monde quantique Des m mes fondations math matiques les chercheurs ont d gag des des criptions du monde quantique radicalement diff rentes En ce sens je ne pourrai pas rester objectif et serai oblig d interpr ter ma mani re diff rents r sultats suivant les lectures qui m auront guid es Ce m moire reste dom
53. t x est de y x Nous retrouvons de cette fa on la pr diction de Born qui est la base em pirique 2 4 2 N cessit pour une observable d tre hermitique Une observable est repr sent e par un op rateur certes mais tout op ra teur repr sente t il une observable Nous allons maintenant montrer la n c ssit pour une observable d tre un op rateur hermitique et donc le reste non d montr du postulat 2 Nous savons dor navant que les seules valeurs possibles que peut prendre une observable sont ses valeurs propres Vu que ce sont des mesure de propri t s elles se doivent d tre r elle parcequ une vitesse gale 3 V2i n a pas vraiment de sens Du coup les valeurs moyennes des op rateurs sont aussi des nombres r els Si A est une observable on a donc V Y gt EH lt y A ly gt ERie lt y Aly gt lt y4y A ly gt Rappel un op rateur est dit hermitien s il v rifie A A Cette propri t est quivalente VIN gt EH Y Y2 gt EH lt 4 A Y2 gt lt p A gt D monstration gt lt y A de gt lt Y1 Ayp gt lt At do gt lt Yo A Y1 gt amp 36 lt p AT gt lt Y2 Adi gt lt Ay do gt lt di A de gt On a donc Y y gt EH Y y2 gt EH lt Y A p2 gt lt Y A y2 gt ie lt 1 A A y2 gt 0 et A est bien hermitien CQFD Maintenant nous allons montrer l implication
54. teur U H H unique au facteur de phase pr s qui est soit unitaire soit anti unitaire et qui v rifie Y yY gt EH Y gt U y gt Au lieu de consid rer un changement de r f rentiel i e un d placement des observateurs nous pouvons consid rer de fa on quivalente des mouve ments du syst me d tude pour un observateur fixe C est ce que nous ferons ici Nous consid rerons donc des transformations menant un tat initial y gt en un tat d plac y gt Notre fa on de voir dite active contrario de la pr c dente dite passive nous permettra de comprendre ce qu il arrivera un syst me si on lui ap plique des transformations g om triques tel une translation dans le temps et cette tude nous am nera directement l quation de mouvement d une particule quantique l quation de Schr dinger D abord tudions un peu mieux les propri t s de ces op rateurs En fait seuls les op rateurs unitaires nous int resserons puisque nous ne consid rerons que des transformations continues En effet si nous prenons l op rateur U l qui d place l observable suivant un axe spatial d une dis tance l il est quivalent de faire cette transformation en deux fois nous invoquons ici la continuit de l espace temps Ainsi VI R4 JA op rateur unitaire ou anti unitaire tel que U l1 A et toute transformation de l espace temps sera donc repr sent e par un op rateur unita
55. ticules dans certains cas tel l effet photo lec trique mais l aspect corpusculaire de la lumi re intervient dans d autres ph nom nes l effet Compton entre autre En 1924 De Broglie Louis affirme que toute particule ob it galement au principe de dualit tout corpuscule peut se comporter comme une onde suivant les situations Davisson Clinton Joseph et Germer Lester Halbert confirment l hypoth se de De Broglie trois ans plus tard en dirigeant un faisceau d lectrons travers une grille cristalline ils obtiennent des motifs d interf rence caract ristique propre aux ondes Nous d taillerons par la suite cf 2 5 3 principe de superposition une ex p rience menant aux m mes conclusions Il est tr s difficile d imaginer un objet qui soit la fois une onde et une corpuscule tel que nous d finissons ces deux entit s en physique classique cause de leurs propri t s oppos es Une particule peut tre localis e pr cisement je vois cette bille elle est ici alors qu une onde est d localis e un son peut tre entendu dans toute la pi ce Il n est possible ni de cr er ni de d truire une particule en m canique classique cette assertation est justement fausse en m canique quantique alors qu il suffit de pincer une corde de guitare pour cr er une onde Les particules sont clairement dissoci es si un atome est un endroit aucun autre atome ne pourra y tre au m me momen
56. tre hermitique 36 2 4 3 Propri t s d un op rateur hermitique 38 2 4 4 Principe d incertitude de Heisenberg 39 25 C Espace vectoriels sa p sokaci ar ai mener NEE E 43 2 5 1 Une quation de conservation bien connue 43 2 5 2 Un mouvement possible que dans un monde complexe 45 2 5 3 Le principe de superposition 46 4 3 L quation de Schr dinger 3 1 Op rateurs unitaires et changements de r f rentiels 3 2 Sym tries pr servant l espace temps 3 3 Mise en place de l quation de Schr dinger 0 1 Introduction historique 0 1 1 L effet photo lectrique D couvert en 1887 par Hertz Heinsrich Rudolf l effet photo lectrique peut tre facilement mis en vidence en clairant une plaque m talique sous l action du rayon lumineux des lectrons sautent du m tal C est cet effet qui donne aux panneaux solaires leur raison d tre Cependant nous nous sommes rendu compte exp rimentalement que les lectrons ne sont mis que si la fr quence du rayonnement est sup rieure un certain seuil qui d pend du mat riau alors que leur nombre qui d ter mine l intensit du courant cr est proportionnel l intensit de la source lumineuse Cet effet ne peut tre expliqu de mani re satisfaisante si l on consid re que la lumi re est une onde Cette id e est solidement ancr e l poque et per met d expl
57. vant U s 1d s Z O s 1d ds s 0 Le fait que U soit unitaire s exprime alors de la fa on suivante dU dU U s U s d s Z i re j O s 1d Id t RL N Le terme en s dZ o a S annule et nous autorise crire T s 0 dU Fes ME s s 0 t avec K Kt dans la mesure o E ji iK ds s 0 ds s 0 On appelle l op rateur hermitien K le g n rateur de la famille d op rateurs unitaires Cette nomination vient du fait que K d termine enti rement la famille d op rateurs En effet en diff rentiant l galit U U y U x y nous obtenons i UE sut ao KU puis en posant s x y nous trouvons d i iu iKU x qui est une quation diff rentielle du premier ordre et avec la condition initiale U 0 Id et nous avons la solution unique 52 3 2 Sym tries pr servant l espace temps Nous appelons sym trie en physique toute transformation qui un syst me associe un autre syst me soumis aux m me lois d volutions Par exemple jetons une boule de neige Avan ons d un pas puis jetons nouveau une boule de neige exactement de la m me fa on que la pr c dente En supposant que les deux boules taient identiques et qu aucun obstacle n obstruait votre champs de vision la deuxi me boule s crasera exactemement un pas plus loin que la pr c dente Si les lois du mouvemement de la boule de neige sont ici pr serv es c est
58. x P x Il y a donc interf rence destructive comme constructive entre les faisceaux d lectron et l assertation l lectron passe par la fente 1 O au sens strict la fente 2 est fausse Cet exemple confirme l hypoth se de Broglie quand la dualit onde corpuscule et affirme qu en supperposant deux tats on obtient un nouvel tat Remarque l tat 0 qui appartient bien l espace de Hilbert n a aucune signification et n est pas consid r comme un tat possible en tant que tel bien qu il fasse partie de la structure 48 3 L quation de Schr dinger 3 1 Op rateurs unitaires et changements de r f rentiels Nous avons vu tout l heure le probl me du r f rentiel d observation puisque l observateur a un r le important en physique quantique Actuel lement nous voyons le monde comme poss dant une structure d espace temps homog ne isotropique et continu dans la mesure o il est isol d actions ext rieures bienque la continuit soit de plus en plus douteuse elle rend impossible introduire la gravit en physique quantique Cela nous am ne supposer que deux observeurs tudiant la m me observable depuis deux endroits diff rents doivent obtenir les m mes pr dictions Mais comment d finir des transformations qui pr servent les pr dictions probabilistes de la physique quantique La conservation de ses pr dictions impose la r gle lt a Y gt lt al Y gt
59. x de Schr dinger Cette nomination vient du fait qu Heisenberg remplace les gran deurs physiques par des observables math matiquement repr sent es par des matrices Dirac Paul montre peu de temps apr s l quivalence de ces deux th ories Mais rapidement la conception ondulatoire de Schr dinger se heurte des difficult s techniques qui ont conduit son abandon Par exemple nous savons maintenant que l oscillateur harmonique est l un des rares cas qui voit son paquet d onde associ rester compact Aussi lors d une collision l onde de Schr dinger se r partit dans toutes les directions comme le fe rait la vague d un caillou tombant dans de l eau alors qu exp rimentale ment la particule suit une direction pr cise Cependant les pr dictions ap port es par la fonction d onde et l quation de Schr dinger restent jusqu pr sent satisfaisantes La physique quantique ressemble actuellement un immeuble dont le dernier tage reste en place alors que les tages inf rieurs se sont effondr s Exposons maintenant le formalisme de la m canique quantique pour com prendre les probl mes de fa on plus pr cise 1 Enonc des postulats Nombre de cours de physique commencent par noncer une fois l intro duction historique pass e les postulats de la m canique quantique A nsi une fois l axiomatique pos e il reste exhiber les propri t s qui en d coulent et tenter d en trouver u
60. xpression de la fonction d onde Y t gt e7 0 gt 56 nous donne H comme la fr quence de l onde imaginaire associ e au syst me qu elle soit une r alit physique ou juste un objet th orique trans portant l information d un syst me Aussi la relation de Planck Einstein E hv que nous avons utilis dans le cas d un photon mais qui est applicable toute particule se comportant comme une onde d apr s De Broglie nous am ne la relation Energie H Aussi nous assimilerons d sormais l op rateur Hamiltionien l nergie du syst me H He R L quation de mouvement s crit alors sous la forme anonc e l quation de Schr dinger d ihg Y gt 5H y gt On pourrait alors nous reprocher de n avoir d termin clairement l op rateur hamiltonien Nous savons d ja qu il existe un op rateur H g n rateur de a translation en temps qui v rifie l quation pr c dente i e qui intervient dans l volution en temps de la fonction d onde Ensuite il est possible avec des raisonnements faisant intervenir les sym tries de d ter miner l op rateur hamiltonien au cas par cas syst me isol syst me N particules particules avec spin Cette argumentation est trop longue pour notre expos et nous nous contenterons de ce r sultat g n ral Remarque 1 cette quation est d une importance fondamentale en phy sique quantique puisqu elle permet
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