Des activités autour de l`idée
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1. AH passant par E Soit D la parall le AB passant par C D et D se coupent en F et D coupe BC en I Montrer que CEBF est un losange 14 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Fiche 2 Le parall logramme de Saint M en Voici 3 nonc s de probl mes et 3 d monstrations qui correspondent la m me figure avec la m me question Un enseignant a r dig pour chacun de ces nonc s une ou deux d monstrations mais il a oubli d indiquer l nonc correspondant chacune de ces d monstrations Travail demand Apr s avoir d termin pour chaque d monstration l nonc auquel elle correspond explique pour chaque d monstration comment tu peux savoir qu elle ne convient pas chacun des autres nonc s Ecris tes r ponses sur la fiche EXEMPLE DE REPONSE La d monstration C ne convient pas l nonc 1 parce que AL NE n est pas une donn e de l nonc 1 nonc 1 Soient les points A N J E L et I tels que N et E sont sym triques par rapport I J et A sont sym triques par rapport I J et L sont sym triques par rapport E Montrer que ELAN est un parall logramme Enonc 2 Soit NJE un triangle quelconque Soit I le milieu de NE et A le sym trique de J par rapport au point I On m ne par A la parall le la droite NE elle coupe la droite JE en L Montrer que2. la lecture est souvent un zapping du texte Ils rep rent des propositions mais ne voyant pas les mots de liaison ils ne savent pas s il s agit d une hypoth se ou d une conclusion interm diaire par exemple dans la d monstration C du Losange de Cesson EF est perpendiculaire BC est parfois pris pour une donn e Quelques difficult s li es certaines expressions le mot hypoth se pr te discussion en particulier parce qu en Sciences de la Vie il est utilis dans le sens de conjecture le mot orthogonal n est pas familier expression la parall le D AH n est pas comprise et induit la question quelle est la parall le D expression un point distinct de E provoque la question qu est ce qu un point distinct b Comprendre la consigne La t che est nouvelle pour les l ves La fiche r ponse que nous proposons les aide beaucoup comprendre la consigne Cependant certains cherchent des fautes dans les d monstrations au lieu de chercher quel nonc elles conviennent et quels nonc s elles ne conviennent pas Avec les fiches initiales certains essayaient d crire leur propre d monstration Cette difficult semble avoir disparu avec la derni re version de nos fiches c La figure Avant que nous proposions une figure dans l nonc beaucoup d l ves passaient beaucoup de temps faire la figure sans
3. probl me pos par exemple dans l nonc 3 du Losange de Cesson la phrase Soit E un point de AB quidistant de B et C suppose une construction complexe pour faire la figure et par la longueur des textes de d monstration tudier La d monstration B du Losange de Cesson qui utilise les angles est particuli rement ardue aux yeux des l ves Nous avons exp riment plusieurs versions de ces fiches Le parall logramme de Saint M en dans deux 4 du coll ge de Cesson et trois 4 du coll ge de Saint M en Le losange de Cesson dans une 4 du coll ge de Cesson dans une 4 du coll ge de Saint M en dans une 2 au lyc e Br quigny de Rennes et dans une 2 au lyc e Jacques IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Cartier de Saint Malo Ces exp rimentations nous ont permis de les mettre au point et de mieux conna tre les difficult s des l ves Nous avons choisi de mettre sur ces fiches une figure qui convient aux trois nonc s Cela d gage un temps non n gligeable pour se concentrer sur l essentiel de l activit Cependant dans ces conditions les l ves ne refont pas eux m mes la figure et utilisent rarement un codage pour noter les donn es sur la figure C est pourquoi nous leur proposons trois figures identiques avec comme consigne de les coder en tenant compte de chacun des nonc s La question pos e concerne les a
4. d erreurs sur les raisons qui permettent d affirmer qu une d monstration ne convient pas un nonc Mais le d bat en classe permet de surmonter ces erreurs Lors de ce d bat les l ves ont pu constater que l utilisation d une proposition qui n est pas une donn e du probl me ne peut tre admise dans une d monstration que si elle est justifi e contrairement l utilisation d une donn e du probl me et qu il n est pas toujours n cessaire d utiliser toutes les donn es d un probl me pour qu une d monstration soit coh rente La discussion a permis de faire un tat des lieux sur les expressions qu on rencontre dans des manuels scolaires on sait que par hypoth se d apr s l nonc etc Elle a t l occasion de faire sentir que r diger une d monstration comporte certaines libert s et qu il n est pas obligatoire de s exprimer la virgule pr s comme le fait le livre ou le professeur la suite de ces activit s les l ves semblent mieux comprendre ce qu on attend d eux dans une d monstration surtout en ce qui concerne le r le des donn es du probl me En 2 pour Le Losange de Cesson les l ves font peu de fautes Cette fiche est une tr s bonne mani re de relancer l activit de d monstration dans cette classe 24
5. flexion il nous para t recevable Enfin l argument tel th or me utilis dans la d monstration n est pas utile dans la situation d crite par l nonc est aussi tout fait recevable Voici pour faciliter la correction des r ponses des l ves deux tableaux donnant les r ponses possibles pour Le losange de Cesson et pour Le parall logramme de Saint M en Les r ponses possibles pour Le losange de Cesson Premi re affirmation qui n est pas une Autres affirmations qui ne sont pas des Choses d montr es alors qu elles sont Autre argument donn e donn es des donn es A ne convient pas 1 EB FB D m diatrice de BC A ne convient pas 3 EB FB D m diatrice de EB EC BC B ne convient pas 1 EB EC EB CF B ne convient pas 2 EF AH EB EC M diatrice de BC Th or me parall le EB CF perpendiculaire l envers C ne convient pas 2 IE AH I milieu de EF EF perpendiculaire BC C ne convient pas 3 I milieu de EF I milieu de BC BC D ne convient pas 1 D m diatrice de BE BF I milieu de BC BC D ne convient pas 3 D m diatrice de BE BF I milieu de EF 19 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Les r ponses possibles pour Le parall logramme de Saint M en Prem
6. B ne convient pas l nonc parce que La d monstration B ne convient pas l nonc parce que 12 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils La d monstration C convient l nonc La d monstration C ne convient pas l nonc parce que La d monstration C ne convient pas l nonc parce que La d monstration D convient l nonc La d monstration D ne convient pas l nonc parce que La d monstration D ne convient pas l nonc parce que 13 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Aide pour le Losange de Cesson Vous pouvez si vous le souhaitez coder ces figures pour mieux comprendre chacun des nonc s nonc 1 Soit ABC un triangle quelconque de hauteur AH Soit I le milieu de BC La parall le D AH passant par I coupe AB en E Placer F pour que I soit le milieu de EF Montrer que CEBF est un losange nonc 2 Soit ABC un triangle quelconque de hauteur AH Soit D la m diatrice de BC D coupe BC en I et coupe AB en E On construit sur la droite D un point F diff rent du point E tel que BE BF Montrer que CEBF est un losange nonc 3 Soit ABC un triangle quelconque de hauteur AH Soit E un point de AB quidistant de B et C Soit D la parall le
7. ELAN est un parall logramme nonc 3 Soit JEAN un parall logramme de centre I et soit L le sym trique de J par rapport E Montrer que ELAN est un parall logramme 15 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Le parall logramme de Saint M en Fiche 2 D monstration A JEAN est un parall logramme donc NA JE et NA JE J et L sont sym triques par rapport E donc JE EL et J E et L sont align s D o NA EL et NA EL Un quadrilat re ayant deux c t s oppos s parall les et de m me longueur est un parall logramme donc ELAN est un parall logramme D monstration B En utilisant la sym trie de centre I on a I milieu de NE et I milieu de JA les segments NE et JA ont donc m me milieu Or un quadrilat re dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parall logramme Donc JEAN est un parall logramme et par suite NA JE et NA JE Comme J et L sont sym triques par rapport E alors JE EL et les droites JE et EL sont confondues On en d duit que NA EL et NA EL ELAN est par cons quent un parall logramme car il a deux c t s oppos s parall les et de m me longueur D monstration C Pour montrer que ELAN est un parall logramme il suffit de d montrer que ses c t s oppos s sont parall les deux deux On sait d j que AL NE Montrons que NA EL Comme J est le sym trique de A par ra
8. I La conception des fiches Notre id e est de pr senter aux l ves plusieurs nonc s de probl mes et plusieurs d monstrations et de leur demander d associer chaque d monstration l nonc qui convient id e d j exp riment e en 4 et pr sent e dans Quelles lectures pour quelles t ches IREM de Rennes Nos activit s ont pour objet de faire comprendre aux l ves qu une d monstration n est pas bonne dans l absolu elle peut convenir un nonc et ne pas convenir un autre La compr hension du r le singulier jou dans la d monstration par les donn es du probl me est fondamentale Dans ce but il est essentiel de surmonter les difficult s de lecture et en particulier celles des mots de liaison Plus pr cis ment il s agit de reconna tre t che inhabituelle qu une d monstration est fausse si elle contient comme donn e d un pas une proposition qui ne figure pas dans l nonc qui n est pas d j d montr e ou qui ne r sulte pas d une construction d objets nouveaux faite par celui qui r sout le probl me Les deux activit s propos es Le losange de Cesson Fiche 1 page 11 et Le parall logramme de Saint M en Fiche 2 page 16 n utilisent que des notions et des propri t s rencontr es en 5 Ces fiches peuvent donc tre utilis es n importe quel moment en 4 On peut imaginer une situation plus simple sur les m mes th mes pour r aliser un
9. ance on pourra proposer la classe des r ponses d l ves judicieusement choisies L exp rience montre que la classe saura rejeter les r ponses fausses La s ance peut se conclure par quelques institutionnalisations s appuyant sur les formulations des l ves D une part on explicite qu une d monstration ne convient pas un nonc si elle contient des affirmations qui ne sont pas d montr es et qui ne sont pas des donn es de l nonc sion y d montre des propositions qui sont des donn es de l nonc si on utilise un th or me inadapt D autre part on peut discuter sur la question des sous entendus sur la grande diversit des mots de liaison sur le sens pr cis de ces mots sur la libert dans l ordre d criture d une d monstration etc Ill Synth se Le but des activit s Le losange de Cesson et Le parall logramme de Saint M en est comme nous l avons d j soulign de faire mieux comprendre nos l ves le r le des donn es du probl me dans la d monstration De ce point de vue les exp riences r alis es sont 23 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils convaincantes En 4 avec les derni res versions qui comportent une figure et une fiche r ponse tous les groupes comprennent la consigne et la plupart trouvent les bonnes associations entre les nonc s et les d monstrations On trouve environ 30
10. ations A et B ne conviennent pas 1 et c est donc la d monstration C La deuxi me r ponse est finalement acceptable car le point I est ici tr s important dans l nonc puisqu il permet de situer N par rapport E et J par rapport A Pour la troisi me il peut s agir d une simple confusion entre les d monstrations A et B Pour la quatri me r ponse B convient 2 l l ve a pu proc der encore une fois par limination elle constate que la d monstration A ne convient pas 2 cinqui me r ponse correcte et la d monstration C est d j prise par I Le fait qu il n y ait rien pour expliquer que la d monstration C ne convient pas 2 est encourageant puisque C convient 2 Enfin les trois derni res r ponses sont acceptables m me si l argument pour rejeter la d monstration B est un peu faible bien s r on sait que JEAN est un parall logramme mais il n est pas crit que I est milieu de JA et NE La copie se terminant mieux qu elle ne commence n y a t il pas une certaine progression de l l ve dans la compr hension de ce qu est une d monstration 3 Les difficult s des l ves a La lecture La plupart des l ves n ont pas de r elles difficult s de lecture Cependant certains sont d courag s par la longueur du texte lire Il s agit plut t d un manque de motivation pour la lecture d un texte long On constate aussi que pour les l ves moyens ou en difficult
11. cette donn e cach e ils estiment parfois qu il manque une explication dans la d monstration Par exemple ils affirment La d monstration D ne convient pas l nonc 3 parce que dans la d monstration D on dit que I est sur BC et dans l nonc 3 D coupe BC en I Ces difficult s li es aux sous entendus restent souvent implicites en 4 alors qu elles d provoquent des discussions en 2 4 L utilisation de ces fiches a Niveau Ces deux fiches n utilisent que des connaissances de 5 Le parall logramme de Saint M en convient parfaitement la 4 assez t t dans l ann e peut tre m me en fin de 22 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils 5 nous n avons pas fait d exp rience de ce type Le losange de Cesson n cessite d avoir d j une certaine pratique de la d monstration Elle est donc plus abordable en milieu d ann e de 4 de pr f rence avant les derniers conseils de classe et ventuellement apr s Le parall logramme de Saint M en Ces deux fiches mais surtout la deuxi me peuvent tre utilis es avec profit en 3 ou en 2 La figure qui est sur la fiche des nonc s est indispensable dans tous les cas car pour ces activit s 1l est plus int ressant que les l ves consacrent plus de temps une r flexion sur la d monstration qu la construction de figures En revanche en 2 i
12. d ailleurs forc ment la r ussir Cette difficult a 21 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils pratiquement disparu Mais comme les l ves n ont pas faire la figure 1ls ne pensent jamais pour chacun des nonc s coder sur la figure les donn es et de ce fait ont des difficult s diff rencier les hypoth ses des diff rents nonc s la seule lecture du texte C est pourquoi nous proposons dans une aide trois figures qui peuvent tre cod es d Comprendre ce que peut tre une d monstration L erreur la plus fr quente pour prouver qu une d monstration ne convient pas un nonc est de v rifier pour une information tir e de l nonc qu elle n appara t pas dans la d monstration Cette information peut tre assez g n rale comme le point I est dans l nonc et on n en parle pas dans la d monstration ou une donn e plus pr cise comme AH est la hauteur qu on recherche telle quelle dans la d monstration Cette erreur s exprime encore sous la forme il faut utiliser toutes les donn es de l nonc L id e qu une d monstration peut tre bonne pour un nonc et fausse pour un autre a du mal faire son chemin Quand dans une d monstration les l ves rencontrent une affirmation non d montr e 1l est fr quent que leur premi re r action soit de chercher une d monstration Ce n est que dans un deuxi me temps q
13. e activit en fin de 5 a Les difficult s de conception La premi re difficult est d obtenir une lecture qui ne soit pas superficielle Pour cela nous avons essay de choisir trois nonc s qui correspondent la m me figure et qui posent la m me question simplement les donn es du probl me sont diff rentes De cette fa on les diff rences entre les d monstrations proviennent uniquement de la nature des propositions utilis es comme donn es Une deuxi me difficult est de pr senter aux l ves des d monstrations qui leur donneraient une bonne repr sentation des contraintes et des libert s d criture Des d monstrations au style st r otyp seraient moins adapt es pour cet objectif Des d monstrations qui ne pr sentent pas dans l ordre les pas de d monstration peuvent faire prendre conscience aux l ves de l importance des mots de liaison Dans ce cas en effet les mots jouent un r le essentiel pour comprendre quelles sont les donn es et la conclusion de chaque pas Mais il ne faut pas non plus d sorienter compl tement les l ves par des textes trop loign s de la pratique habituelle Nous avons eu de nombreuses discussions pour tendre vers un juste quilibre b Les fiches auxquelles nous avons abouti Nous avons mis au point deux fiches dans cet esprit Le losange de Cesson et Le parall logramme de Saint M en La premi re est plus difficile la fois par la complexit du
14. ermin pour chaque d monstration l nonc auquel elle correspond explique pour chaque d monstration comment tu peux savoir qu elle ne convient pas chacun des autres nonc s Ecris tes r ponses sur la fiche EXEMPLE DE REPONSE La d monstration B ne convient pas l nonc 1 parce que EB EC n est pas une donn e du probl me Enonc 1 Soit ABC un triangle quelconque de hauteur AH Soit I le milieu de BC La parall le D AH passant par I coupe AB en E Placer F pour que I soit le milieu de EF Montrer que CEBF est un losange nonc 2 Soit ABC un triangle quelconque de hauteur AH i Soit D la m diatrice de BC D coupe BC en I et coupe AB en E On construit sur la droite D un point F diff rent du point E tel que BE BF Montrer que CEBF est un losange B C Enonc 3 Soit ABC un triangle quelconque de hauteur AH D9 Soit E un point de AB quidistant de B et C Soit D la parall le AH passant par E Soit D la parall le AB passant par C D et D se coupent en F et D coupe BC en I Montrer que CEBF est un losange IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Le losange de Cesson Fiche 1 D monstration A Pour montrer que CEBF est un losange il suffit de montrer que ses 4 c t s sont gaux On sait d j d apr s l nonc que EB FB Comme D est la m diatrice de BC et que E et F sont des p
15. i re affirmation qui Autres affirmations qui ne Choses d montr es alors n est pas une donn e sont pas des donn es qu elles sont des donn es A ne convient pas 1 JEAN est un parall logramme A ne convient pas 2 JEAN est un J et L sym triques par parall logramme rapport E B ne convient pas 2 J et L sym triques par rapport E B ne convient pas 3 On ne sait rien sur la JEAN est un sym trie de centre I parall logramme C ne convient pas 1 AL NE I milieu de NE C ne convient pas 3 J sym trique de A par I milieu de NE JEAN est un rapport I parall logramme 2 L analyse des copies L analyse des copies reste un exercice difficile Par exemple en discutant de la copie ci dessous on s est aper u qu on peut avoir sur elle des avis tr s diff rents EME UNE COPIE DE 4 POUR LE PARALLELOGRAMME DE SAINT MEEN La d monstration C correspond l nonc 1 La d monstration A ne convient pas l nonc 1 parce qu ils ne parlent pas du Point I dans la d monstration La d monstration B ne convient pas l nonc 1 parce qu ils disent que JEAN est un parall logramme dans la d monstration mais pas dans l nonc La d monstration B convient l nonc 2 La d monstration A ne convient pas l nonc 2 parce qu ils disent que JEAN est un parall logramme dans la d monstration mais pas dans l nonc Pas d explication pou
16. l le AH De plus IE est confondu avec EF car I est le milieu de EF Comme dans le triangle ABC AH est une hauteur elle est perpendiculaire BC Par cons quent EF est perpendiculaire BC Comme par hypoth se I est milieu de BC et de EF CEBF est un losange D monstration D D est la m diatrice de BC et elle coupe BC en I donc I est milieu de BC Comme les points E et F appartiennent D EF et BC sont perpendiculaires en I Or BE BF le triangle BEF a deux c t s gaux il est donc isoc le en B Puisque I est sur BC BI et EF sont perpendiculaires BI est donc la hauteur issue de B dans le triangle BEF Dans un triangle isoc le la hauteur issue du sommet principal est aussi la m diatrice de la base Donc est milieu de EF Comme I est aussi le milieu de BC et que BC est perpendiculaire EF le quadrilat re a ses diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu c est donc un losange 11 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Le losange de Cesson Fiche de r ponses CHOUP NS Rennes prie Classe Compl te les pointill s par 1 2 ou 3 La d monstration A convient l nonc La d monstration A ne convient pas l nonc parce que La d monstration A ne convient pas l nonc parce que La d monstration B convient l nonc La d monstration
17. l n est sans doute pas n cessaire de donner la fiche avec des figures coder b Pr paration Il n est pas n cessaire de faire une pr paration sp cifique ces fiches En revanche il est utile que les l ves aient pris l habitude devant un nonc de coder sur la figure les donn es du probl me et qu ils aient eu l occasion de rencontrer des textes de d monstration de styles vari s s cartant de st r otypes comme je sais que hypoth ses or propri t donc conclusion Pour Le losange de Cesson la d monstration avec des angles semblant d courager certains l ves cette activit peut tre l occasion de proposer un ou deux exercices de r vision sur les angles dans les semaines qui pr c dent ou dans la semaine qui suit c Mode d emploi Pour une meilleure efficacit il est pr f rable d organiser le travail par groupes de trois ou quatre Chaque l ve remplit une fiche r ponse pour lui m me et le groupe remplit une fiche r ponse pour la rendre l enseignant C est cette derni re fiche qui sert lors de l exploitation Chaque activit repr sente environ une heure de travail en 4 d Exploitation Malgr les difficult s un nombre important d l ves expriment un moment ou un autre des id es pertinentes Mais ces id es restent fugitives Il est donc absolument n cessaire de consacrer une s ance consolider les connaissances entrevues Au cours de cette s
18. oints de D on a EB EC et FB FC En effet tout point de la m diatrice d un segment est quidistant des extr mit s de ce segment Les trois galit s obtenues nous donnent le r sultat D monstration B Les droites EF et AH tant parall les toute perpendiculaire l une est perpendiculaire l autre Comme BC est perpendiculaire AH par hypoth se BC est perpendiculaire EF Consid rons le triangle EBC Il est isoc le en E puisque EB EC La droite EF tant perpendiculaire BC c est la hauteur issue de E C est donc aussi la m diatrice de BC et la bissectrice de l angle BEC On en d duit d une part que BEF FEC et d autre part que FC FB car tous les points de la m diatrice d un segment sont quidistants des extr mit s de ce segment Les droites EB et CF tant parall les et coup es par la s cante EF les angles alternes internes BEF et CFE sont gaux TS TS On en d duit FEC CFE Comme le triangle CEF a ses angles la base gaux il est isoc le en C donc CE CF On sait d j que CE EB et que CF FB Ainsi le quadrilat re CEBF a ses quatre c t s gaux c est donc un losange D monstration C Pour prouver que CEBF est un losange il suffit de montrer que ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu On sait que si deux droites sont parall les toute perpendiculaire l une est galement perpendiculaire l autre Or IE paral
19. ont sym triques par rapport I J et L sont sym triques par rapport E Montrer que ELAN est un parall logramme Enonc 2 Soit NJE un triangle quelconque Soit I le milieu de NE et A le sym trique de J par rapport au point I On m ne par A la parall le la droite NE elle coupe la droite JE en L Montrer que ELAN est un parall logramme Enonc 3 Soit JEAN un parall logramme de centre I et soit L le sym trique de J par rapport E Montrer que ELAN est un parall logramme 18 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Il Bilan des activit s 1 Les r ponses attendues Apr s les exp rimentations notre point de vue a chang sur les r ponses que l on peut attendre et accepter Bien s r nous attendions pour expliquer qu une d monstration ne convient pas un nonc un argument du type telle chose est une donn e dans la d monstration et pas dans l nonc Il est d ailleurs plus souvent exprim plus bri vement l nonc ne dit pas telle chose Nous pensions que pour cet argument les l ves choisiraient la premi re affirmation qui n est pas une donn e a n a pas t toujours le cas Un autre argument consiste dire telle chose est d montr e alors que c est une donn e de l nonc Nous n attendions pas ce type d argument Cependant la r
20. pport I I est le milieu du segment JA Or I est aussi le milieu de NE donc le quadrilat re JEAN est un parall logramme puisque ses diagonales se coupent en leur milieu On en d duit que NA JE Comme les droites JE et EL sont confondues on a NA EL ce qui ach ve la d monstration 16 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Le Parall logramme de Saint M en Fiche de r ponses Groupe TN ne Classe Compl te les pointill s par 1 2 ou 3 La d monstration A convient l nonc La d monstration A ne convient pas l nonc parce que La d monstration A ne convient pas l nonc parce que La d monstration B convient l nonc La d monstration B ne convient pas l nonc parce que La d monstration B ne convient pas l nonc parce que La d monstration C convient l nonc La d monstration C ne convient pas l nonc parce que La d monstration C ne convient pas l nonc parce que 17 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Aide pour le parall logramme de Saint M en Vous pouvez si vous le souhaitez coder ces figures pour mieux comprendre chacun des nonc s Enonc 1 Soient les points A N J E L et I tels que N et E sont sym triques par rapport I J et A s
21. r la d monstration C ne convient pas l nonc 2 La d monstration A convient l nonc 3 parce qu on ne sait pas encore que I est le milieu de JA et de NE La d monstration C ne convient pas l nonc 3 parce qu ils disent qu on sait d j que NE AL mais non ce n est pas vrai Dans une interpr tation pessimiste on peut estimer que l l ve utilise de mauvaises id es pour comparer les informations contenues dans la d monstration et dans l nonc En effet la deuxi me r ponse A ne convient pas 1 parce qu ils ne parlent pas du point I dans la d monstration correspond la strat gie erron e tout ce qui est dans l nonc doit tre dans la d monstration La troisi me r ponse ils disent que JEAN est un parall logramme dans la d monstration B mais pas dans l nonc 1 fait appara tre l incapacit de distinguer dans la d monstration ce qui est donn e de ce qui est d duit Enfin la seule association r ussie la d monstration A avec l nonc 3 est peut tre obtenue avec l argument l nonc et la d monstration commencent pareil 20 IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils On peut au contraire interpr ter les erreurs de mani re optimiste La premi re r ponse C convient 1 s expliquerait parce que l l ve op re par limination il pense avoir trouver que les d monstr
22. rguments qui permettent de dire pourquoi une d monstration ne convient pas un nonc Il nous para t en effet impossible pour un l ve de 4 de trouver et m me de comprendre les arguments qui expliqueraient pourquoi une d monstration convient un nonc Pour que les l ves comprennent bien ce que l on attend d eux nous avons opt pour une fiche r ponse incitant ainsi les l ves bien justifier pourquoi telle d monstration ne convient pas tel nonc Pour le choix des textes de d monstration nous avons modifi ceux que nous avions initialement choisis Nous les avons raccourcis et surtout nous avons supprim certaines tournures inhabituelles par exemple consid rons remplac par soit droite men e par remplac par droite passant par Pour Le parall logramme de Saint M en nous avons choisi des lettres pour d signer les points qui permettent d viter les confusions entre les diff rents parall logrammes de la figure IREM de Rennes La d monstration au coll ge Quelles t ches Quels outils Fiche 1 Le losange de Cesson Voici 3 nonc s de probl mes et 4 d monstrations qui correspondent la m me figure avec la m me question Un enseignant a r dig pour chacun de ces nonc s une ou deux d monstrations mais il a oubli d indiquer l nonc correspondant chacune de ces d monstrations Travail demand Apr s avoir d t
23. u ils se disent implicitement qu il ne peut y avoir un long morceau de d monstration sous entendu On rencontre aussi des fautes parfois grossi res sur les r sultats math matiques sous de 1 Eee jacents par exemple un groupe de 2 dit 4 c t s gaux cela fera un carr Il faut quelque chose en plus pour un losange Au cours des discussions entre les l ves on voit appara tre leurs fausses repr sentations de ce que peut tre un texte de d monstration par exemple un groupe d l ves dit propos du mot consid rons si on mettait a dans un texte on nous mettrait z ro e Le r le des sous entendus Dans plusieurs cas la donn e de l nonc qui est utilis e dans la d monstration est reformul e Par exemple dans la d monstration B du Losange de Cesson il est crit EF et AH tant parall les alors que les donn es de l nonc 3 s expriment sous la forme D est la parall le AH passant par E D et D se coupent en F Souvent les l ves ne voient pas ces donn es cach es parce qu ils recherchent dans l nonc une proposition identique celle de la d monstration Par exemple ils ne voient pas que E et F sont sur la droite D est une donn e de l nonc alors que celui ci contient les phrases soit D la parall le AH passant par E D et D se coupent en F Mais m me quand ils reconnaissent
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