Exercices de géométrie affine (suite)
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1. amp D terminer j pour que F v rifie la propri t universelle comparer la question f de l exercice 2 En particulier soient F un espace vectoriel et H un hyperplan affine de F ne passant pas par 0 V rifier que F est une enveloppe vectorielle pour H on se servira de ceci dans l exercice 9 question g de la feuille de g om trie projective Remarque 16 Donn es suppl mentaires Comme pour la construction de l ensemble des combinaisons lin aires formelles voir la remarque 6 la construction explicite de l enveloppe vectorielle d un espace affine fournit quelques propri t s suppl mentaires Dans notre cas on obtient l injectivit de et donc l identification de amp un sous espace affine de E et le fait que i est un hyperplan affine de m Remarque 17 O on ne doit pas tre tonn que i est un hyperplan Heuristiquement pour obtenir l unicit de l application T il faut que i engendre l espace vectoriel E Or les seuls sous espaces affines d un espace vectoriel qui engendrent l espace vectoriel en entier sont les hyperplans affines non vectoriels et l espace tout entier Si i tait l espace tout entier alors on obtiendrait une structure vectorielle canonique sur amp et on a d j vu que ce serait tr s tonnant Par ailleurs si n tait pas injective cela imposerait des relations suppl mentaires si i A i B avec B alors l image du vecteur A devr2. Ainsi X doit en tre une base E II Enveloppe vectorielle Cette partie est divis e en quatre sous parties La premi re sous partie fait quelques rappels de g om trie affine La deuxi me sous partie donne la construction de l enveloppe vectorielle Dans la troisi me sous partie on prend le temps de revenir sur la forme des l ments de l enveloppe vectorielle Enfin dans la quatri me sous partie on tudie les cons quences de la propri t universelle 1 Rappel de la premi re feuille Avant de s attaquer la construction de l enveloppe vectorielle on rappelle quelques propri t s des espaces affines vues sur la premi re feuille d exercice Remarque 8 Rappel de g om trie affine Soit E un espace vectoriel muni de sa structure canonique d espace affine On consid re A A ic1 une famille de points pond r s de E qui admet un barycentre c est dire que le nombre de non nuls est fini et la somme des est non nulle Le barycentre G de la famille A AiJicr est donn par l G DA DAA iel iel En effet en notant O l origine de E on a gt G OG D DAOA DA aa iel iel iel iel Voir la question b de l exercice 5 de la premi re feuille Par ailleurs soient F deux espaces affines et f gt F une application affine Alors f est injective resp surjective bijective si et seulement si ri l est voir la remarque 26 de la premi re feuille Injectivit Supposons F i
3. affine projective et euclidienne Hermann 2000
4. au quotient par U Pour cela il suffit de montrer que a U 0 Supposons donc que G soit le barycentre de la famille A er Comme f est affine f G est le barycentre de la famille f A hier on a donc puisqu on est dans l espace vectoriel F 1 fG Ex DAFA iel iel Comme f a o e l galit pr c dente se r crit par lin arit de a iel iel Autrement dit a est nulle sur tous les g n rateurs de U et donc sur U On en d duit que a passe au quotient par U et d finit une application lin aire f E gt F telle que Ff or On a donc f oi foro e ao e f L unicit de l application lin aire f v rifiant f o i f r sulte du fait que i est une partie g n ratrice de l espace vectoriel E En effet 6e amp est une partie g n ratrice m me une base de k et donc z de il est une partie g n ratrice de k U E Montrons que i est injective Pour montrer l injectivit de 4 on va utiliser le raisonnement abstrait suivant On commence par v rifier que l injectivit de est uae l existence d un espace vectoriel F et d une application affine injective f 6 F En effet si est injective le couple E i convient R ciproquement s il existe un espace vectoriel F et une application affine injective f amp gt F la propri t universelle permet d crire foi f et donne l injectivit de i On cherche donc un espace vectoriel F et une application affine in
5. la question d f Caract risation intrins que des couples v rifiant la propri t universelle Soient X un ensemble et E un k espace vectoriel On suppose que E admet une base index e par X D terminer d X E telle que E d v rifie la propri t universelle Remarque 6 Donn es suppl mentaires L objectif premier de la notion de combinaisons lin aires formelles est de construire un espace vectoriel v rifiant la propri t universelle Lorsqu on construit cet espace vectoriel on obtient des propri t s suppl mentaires qui r sultent de la construction et non pas de la propri t universelle ici le fait que l application est injective et que l espace vectoriel admet une base index e par X Ce ph nom ne est g n ral lors des constructions d objets par propri t s universelles Pour plus de d tails sur le sujet on pourra consulter http agreg maths univ rennes1 fr documentation docs propuniv pdf m Remarque 7 O on ne doit pas tre tonn que l espace construit admet une base index e par X Heuristiquement un espace vectoriel v rifiant la propri t universelle doit contenir X de fa on libre pour assurer lexistence de l application lin aire En effet pour pouvoir construire une application lin aire qui prend les valeurs qu on veut sur certains vecteurs ces vecteurs doivent tre libre Maintenant pour obtenir l unicit de lapplication amp il faut que X engendre l espace en question
6. qui conserve le barycentre il faut donc que les l ments 2i G et gt A qui sont distincts dans 4 deviennent gaux On quotiente donc k pour rendre ces l ments gaux c est le sens du sous espace vectoriel U ci dessous Passons maintenant aux choses s rieuses et la construction en elle m me Dans l espace 4 on consid re le sous espace vectoriel U Ex 5e _SX6a G barycentre de la famille A Aidit iel iel ev On pose E k8 U l espace vectoriel quotient 7 k DE la surjection canonique et i T o e 6 E On a d fini et i Il s agit maintenant de v rifier qu ils ont les propri t s souhait es On commence par v rifier que est affine en montrant qu elle conserve les barycentres Supposons que G soit le barycentre de la famille A ier Par construction de E on a r ZA G Da 0 iel iel La lin arit de x c est la surjection canonique d un espace vectoriel sur son quotient donne alors 1 iG Ex Ai iel iel c est dire puisqu on est dans l espace vectoriel E que i G est le barycentre de la famille i A X ier voir la remarque 8 Ainsi conserve bien le barycentre D montrons pr sent la propri t universelle Soient F un k espace vectoriel et f F une application affine D apr s la proposition 2 il existe une unique application lin aire a k gt F telle que a o 6e f Le fait que f soit affine va permettre de faire passer a
7. ux vy wz 0 repr sente une droite de amp On pourra utiliser l exercice pr c dent ou montrer que l application x y 2 tel que z y z 1 gt uzr vy wz est affine ou m me faire les 2 m thodes pour mieux comprendre Lorsqu il s agit d une droite d terminer un vecteur directeur de la droite en fonction de u v w On dit que l quation ux vy wz 0 est l quation barycentrique Si on ne l a pas encore fait faire le lien avec l exercice pr c dent ux vy wz 0 est l quation d un plan de P b Soit M resp M de coordonn es barycentriques d e f resp d e f D terminer l quation barycen trique de la droite MN c D terminer l quation barycentrique des hauteurs des m diatrices des bissectrices et des m dianes de ABC puis retrouver les r sultats de lexercice 14 remarquez l avantage de la sym trie ce qui n est videmment pas le cas lorsqu on se place par exemple dans le rep re cart sien A AB Al Pour les m diatrices et les hauteurs on pourra les crire comme ligne de niveau d une fonction de Leibniz mais ce n est pas oblig R f rences BER M BERGER G om trie Cedic Nathan 1977 BPM V BECK J MALICK et G PEYR Objectif Agr gation H amp K 2004 EID J D Erpen G om trie analytique classique Calvage et Mounet 2009 FRE J FRENKEL G om trie pour l l ve professeur Hermann 1973 TIS C TISSERON G om trie
8. vectorielle on pourra consulter BER 3 1 FRE 3 1 ou TIS Th me 2 La troisi me partie tudie les premi res propri t s de l enveloppe vectorielle et notamment son lien avec les objets de la premi re feuille d exercice Pour de nombreuses illustrations du calcul barycentrique et de l enveloppe vectorielle on consultera EID ou TIS Th me 1 D un point de vue g om trique les exercices ne pas manquer sont les exercices d application 5 8 Pour ceux qui pr f rent insister sur les propri t s universelles on fera les exercices 1 2 et 4 Combinaison lin aire formelle Cette premi re partie est consacr e l tude des combinaisons lin aires formelles il s agit d associer un ensemble not ici X un espace vectoriel de fa on satisfaisante ici X sera une base de l espace vectoriel construit En fait plut t que de demander que X soit une base de l espace vectoriel construit on demande que l espace vectoriel construit v rifie une propri t universelle Le fait que X soit une base de l espace construit sera alors une cons quence de la construction voir la remarque 6 Cela peut sembler tr s abstrait de demander la v rification une propri t universelle mais c est en fait extr mement utile en pratique pour pouvoir cr er des applications lin aires L espace construit s appelle l espace des combinaisons lin aires formelles C est un sous espace vectoriel de l ensembl
9. Pr paration l Agr gation Ann e 2009 2010 ENS Cachan Vincent Beck Enveloppe vectorielle ou Transformer de l affine en du vectoriel 0 Mode d emploi Cette note propose la construction de l enveloppe vectorielle d un espace affine L enveloppe vectorielle plonge l espace affine en question dans un espace vectoriel plus grand de fa on ce qu il en soit un hyperplan affine De cette fa on les calculs affines peuvent tre remplac s par des calculs vectoriels donc plus simples Par exemple dans l enveloppe vectorielle l criture 2A 3B 7C pour A B C trois points de l espace affine aura un sens voir la remarque 11 Cette note est aussi l occasion de mettre en avant les propri t s syst matiques des propri t s universelles qui sont finalement assez nombreuses au programme de l agr gation propri t universelle du quotient propri t universelle des polyn mes voir les exercices 1 2 et 4 l application 5 corollaire 15 En effet dans cette note on d finit deux objets partir de leur propri t universelle les combinaisons lin aires formelles et l enveloppe vectorielle La note se d compose en trois parties La premi re tudie la notion de combinaison lin aire formelle qui est la base pour la construction de l enveloppe vectorielle La deuxi me partie donne la construction de cette enveloppe vectorielle et ses propri t s fonctorielles Pour d autres constructions de l enveloppe
10. ait tre nulle dans tout espace vectoriel dans lequel amp s envoie de fa on affine On a vu en choisissant 4 dans la preuve de la proposition 9 que ce n tait pas le cas Il clairage de la g om trie affine la lumi re de l enveloppe vectorielle Les exercices qui suivent proposent un retour sur les notions classiques de la g om trie affine sous l il de l enveloppe vectorielle On commence par les applications affines puis l expression des applications affines sous forme de matrices l aide des diff rents types de rep res cart sien ou affine Dans l exercice 7 on tudie les sous espaces affines Enfin on termine en tudiant la notion d quation barycentrique Exercice 5 Enveloppe vectorielle et applications affines Soient 7 deux espaces affines Montrer que l ensemble des applications affines de amp dans F s identifie un sous ensemble de Z E fF qu on d terminera en fonction de Ag et Ag En particulier cela montre que l application f f du corollaire 15 est injective Retrouver la dimension de l espace affine des applications affines de dans F Exercice 6 Enveloppe vectorielle rep re base et matrice Soient F deux espaces affines et f E gt F une application affine a Interpr ter le choix d un rep re cart sien de amp en terme de base de P b Interpr ter le choix d un rep re affine d une famille affinement libre d une famille affinement g n rat
11. ase Remarque 3 Commentaires L application injective x permet d identifier X un sous ensemble de k c est dire que pour simplifier l l ment 6 est not x Avec cette convention un l ment de k va avoir une criture sous la forme D At xeX o l ensemble des x X tel que est non nul est fini De plus on a unicit de cette criture l galit Det Y Ut zeX zeX est synonyme de Hz pour tout x X Ceci justifie le nom donn l ensemble k de l ensemble des combi naisons lin aires formelles d l ments de X le combinaison lin aire s attachant bien s r la repr sentation sous la forme et le formelle s attachant la propri t d unicit de l criture L application u de la deuxi me partie de la proposition est une application quelconque en particulier elle n est pas forc ment lin aire puisque X n est pas en g n ral un espace vectoriel Ainsi on a construit partir de X un espace vectoriel de base X et on peut alors transformer les applications qui partent de X et arrivent dans un espace vectoriel en applications lin aires qui partent de 9 on a lin aris la situation Enfin revenons sur la deuxi me partie de la proposition 2 la propri t universelle On note X M l ensemble des fonctions de X dans M La propri t universelle d montr e peut aussi s noncer de cette fa on pour tout k espace vectoriel M l ap
12. cons quences de la propri t universelle a Dans le corollaire 15 on a montr qu un couple F j v rifiant la propri t universelle est unique unique isomorphisme pr s Cette question montre qu on peut construire tr s facilement de tels couples Elle est rapprocher de la question a de l exercice 5 4 de BPM et la question e de l exercice 2 Soient F un espace vectoriel et f E F un isomorphisme lin aire Montrer que le couple F f oi v rifie la propri t universelle et que l application a du corollaire 15 est en fait f b Toujours avec les notations du corollaire 15 montrer que f est injective resp surjective bijective si et seulement si f l est on pourra commencer par d montrer qe si f 6 F est une application affine injective resp surjective alors il existe une application affine g F amp telle que gf ide resp fg idz une autre m thode pour d montrer la surjectivit consiste remarquer que engendre l espace vectoriel F Remarquer la similarit de cette question avec la question c de l exercice 2 c V rifier que si F j est un couple v rifiant la propri t universelle alors j est injective et j est un hyperplan affine de F qui n est pas un hyperplan vectoriel d Caract risation intrins que de l enveloppe vectorielle Soient un espace affine et F un espace vectoriel ayant un hyperplan affine et pas vectoriel qui est isomorphe en tant qu espace affine
13. de k En particulier l application X k x T r est injective Propri t universelle Par ailleurs pour tout k espace vectoriel M et toute application u X M il existe une unique application lin aire amp 29 M telle que o x u c est dire qu on a le diagramme commutatif x gt M x O kZ De plus on dispose d une expression explicite de l application amp elle est donn e par ke M F1 Sir Niue zeX xeX o l ensemble des x X tels que est non nul est fini Preuve L ensemble k est un sous espace vectoriel de k En effet pour f g kK et k on a Supp 0 2 Supp f g C Supp f USupp g et Supp Af C Supp f Montrons que la famille 0 ex est une famille libre Supposons qu on ait une combinaison lin aire n Aiz 0 avec A E E i 1 En valuant la relation pr c dente en xj on obtient 0 Montrons que la famille 6 4ex engendre k Soit f k on note Supp f 21 2n avec x Tj si i j Par construction l application n i 1 co ncide avec f sur Supp f et est nulle en dehors du support de f Elle est donc gale f Comme la famille 6 zex est une base de k il existe une unique application lin aire de k dans M telle que 04 u x c est dire telle que o 6x u L expression de amp r sulte alors imm diatement de la formule donnant une application lin aire lorsqu on conna t l image de la b
14. e 1992 Partie I C on trouvera un autre exemple d utilisation de la notion de combinaisons lin aires formelles en lien avec les groupes finis Application 5 Fonctorialit Consid rons pr sent deux ensembles X et Y et f X Y une application On introduit alors les notations X k Y k x et y gt r yY dy Montrons que l application f s tend de fa on unique en une application lin aire de k dans k De fa on pr cise on va montrer qu il existe une unique application lin aire f k k v rifiant f o x y o f C est en fait une cons quence imm diate de la propri t universelle proposition 2 qu il suffit d appliquer l application y o f X k qui est bien valeurs dans un espace vectoriel k En terme de diagramme on a les donn es suivantes X L Y s y P TE gt LV o F est lin aire O on explique le tend Lorsqu on identifie s x et donc X un sous ensemble de k et de m me avec Y voir la remarque 3 l galit f o x y o f se r crit f x f x pour tout x X et on comprend alors pourquoi on dit tendre f on d finit une application f sur tout 100 qui co ncide avec f sur X kO Enfin la propri t universelle donne aussi l expression explicite pour f qui est ke k f D A0 X Ar f x zeX xeX o l ensemble des x X tel que est non nul est fini En utilisant les conv
15. e des fonctions de X dans k le sous espace des fonctions qui s annulent sauf en un nombre fini de points Dans cette partie on commence par rappeler quelques notations avant de donner la d finition de l ensemble des combinaisons lin aires formelles puis on tudie les cons quences de la propri t universelle Notation 1 Applications valeurs dans un corps Soient k un corps et X un ensemble On note k l espace vectoriel des applications de X dans k en fait c est m me une k alg bre mais dans cette note on ne va pas se servir de la structure multiplicative On rappelle que l addition des l ments f et g de k et la multiplication de f par le scalaire k sont d finies par f g xr f x g x et Af x f x Pour f k on d finit le support de f et on note Supp f xeXx f x 0 Attention la notion de support d finie ici n est pas la m me que celle du support d une fonction continue support compact notre objectif est purement alg brique et nous ne prenons donc pas en compte de topologie Pour x X on d finit l application y qui vaut 0 partout sauf en x o elle vaut 1 c est dire Ox y 0 si y x et Ox x 1 ou encore z y x y pour tout y X Proposition 2 Combinaison lin aire formelle On d signe par k l ensemble des applications de X dans k dont le support est un ensemble fini C est un sous espace vectoriel de k La famille 8 4ex forme une base
16. e la propri t universelle se r sume ainsi une application affine valeurs dans un espace vectoriel c est la m me chose qu une application lin aire qui part de l enveloppe vectorielle On pourra comparer ce paragraphe au dernier de l application 2 Le corollaire suivant examine les cons quences formelles de la propri t universelle Il est rapprocher de l application 5 et de l exercice 2 Il s agit en fait de propri t s syst matiques des objets v rifiant une propri t universelle pour les savants ce qui est cach derri re est la repr sentabilit des foncteurs Corollaire 15 Unicit et fonctorialit tant donn un espace affine le couple E i est unique unique isomorphisme pr s De fa on pr cise si F j est un couple form d un espace vectoriel et d une application affine j 6 F v rifiant pour tout espace vectoriel F et toute application affine f amp F il existe une unique application lin aire f F gt F telle que f o j f alors il existe un unique isomorphisme Jincan a gt F tel que a o i j comparer la question d de l exercice 2 Soient E et F F deux espaces affines et f gt F une application affine On note ip amp gt et ir F gt F les inclusions canoniques Il existe une unique application lin aire f E F telle que ip o f f oig c est dire qu on a le diagramme commutatif comparer l application 5 D
17. e plus si F F est un espace affine et f F F une application affine on a Fof f fo f Enfin ide idg comparer aux questions a et b de l exercice 2 Preuve Il s agit de raisonnements classiques lors de l tude d objets universels L application j est affine et valeurs dans un espace vectoriel on peut donc crire j a o i avec a lin aire De m me comme est affine on peut crire Bo j On a donc j apj et i Bai Comme j est affine il existe une unique application lin aire F gt F telle que y o j j Or l application idp convient Donc par unicit y idp af De m me Ba idg puisque 2 est affine on voit ici qu on ne se sert absolument pas de la forme de a ni du fait que amp soit un hyperplan de E L application ip o f est affine compos e d applications affines et valeurs dans l espace vectoriel F On en d duit la factorisation souhait e Comme dans l application 5 l galit ip o f fo ip s interpr te lorsqu on identifie amp ig amp et F ir 7 en un prolongement de f En effet on a construit une application lin aire de E dans F telle que pour tout on ait f A FA c est dire que la restriction de f est f Par ailleurs par construction on a iwof of floipof fo foie ce qui donne l galit souhait e par unicit Enfin on a ig ig 0 ide id 0 ig et on a l galit souhait e par unicit E Exercice 4 Encore quelques
18. e telle que a l 1 i alors a oi est l application constante gale 1 et donc par unicit dans la propri t universelle on a a Remarque 10 Retour sur la construction Revenons quelques instants sur le sens g om trique de la proposition 9 Fixons un espace affine La proposition 9 propose la construction d un espace vectoriel l espace E qui contient la fois et sa direction E et ceci de fa on agr able Plus pr cisement l injectivit de et de 7 permet d identifier et E leur image dans E qui sont respectivement un hyperplan affine et l hyperplan vectoriel qui lui est parall le Lorsque est de dimension 2 resp 1 cela donne la repr sentation graphique suivante qu il est fondamental d avoir en m moire lorsqu on manipule l enveloppe vectorielle Cette situation sera aussi tr s utile pour la g om trie projective E w E 3 Manipulation de l enveloppe vectorielle Dans cette sous partie on tudie la forme des l ments de E ce sont des combinaisons lin aires de points de amp Ce sont les relations barycentriques de amp qui donnent les identifications entre deux combinaisons lin aires On donne aussi une formule explicite pour le calcul du f de la proposition 9 Remarque 11 Les l ments de E Qu est ce qu un l ment de Par construction est un quotient de k Ainsi un l ment de E est l image par m la sur
19. entions de la remarque 3 fse r crit kI k PET AE xEeX zeX Exercice 2 Fonctorialit suite On reprend les notations de l application 5 On consid re Z un ensemble et g Y Z une application a Calculer go f soit en utilisant l unicit dans la propri t universelle soit en utilisant la formule explicite b Calculer idx c En d duire que f est injective resp surjective bijective si et seulement si F Pest aussi soit en remarquant que pour une application injective resp surjective il existe f Y X telle que f f idx resp f f idy soit en utilisant la formule explicite d Soient X un ensemble et E d un couple form d un k espace vectoriel E et d une application d X gt E On suppose que E d v rifie la propri t universelle suivante pour toute application f X M o M est un k espace vectoriel il existe une unique application lin aire g E gt M telle que go d f Montrer qu il existe un unique isomorphisme lin aire y k gt E tel que yo x d autrement dit le couple k9 6x est unique unique isomorphisme pr s En d duire que d est n cessairement injective et que la famille d x ex est une base de E e Soient X un ensemble E un k espace vectoriel et f k E un isomorphisme d espaces vectoriels Montrer que le couple E f o x v rifie la propri t universelle de la question d et que f est le morphisme de
20. fine de E et E un sous espace vectoriel de E De plus il existe une unique forme lin aire E k telle que A71 1 i amp et A71 0 Ker F E En particulier E un hyperplan vectoriel de et est un hyperplan affine de E qui lui est parall le Preuve La m thode de construction de est une m thode tr s classique pour la construction d objets al g briques on construit tout d abord un objet immense ici k puis on quotiente par ce qu il faut ici U pour obtenir les propri t s qu on souhaite la partie III du sujet de math matiques g n rales de l agr gation externe 1992 propose une autre construction de ce genre la construction du produit tensoriel en donne encore une autre Pr cisons la d marche dans le cas qui nous int resse ici On veut construire un espace vectoriel qui contient amp comme sous espace affine On commence par construire un espace vectoriel qui contient On a vu dans la premi re partie de cette note qu on savait le faire on prend k Le probl me est que l inclusion de amp dans k n est pas du tout affine On va donc quotienter par le bon sous espace vectoriel pour rendre l application affine On utilise pour cela la caract risation des applications affines par la conservation du barycentre D apr s la remarque 8 le barycentre G des points massiques A 4 est donn dans k par 1 iA D Pour obtenir une application
21. jection canonique d un l ment de k f On peut donc crire x E sous la forme x n y avec y D DAA 1 i 1 o la derni re expression utilise l identification de amp avec son image dans klf par Gr ce la lin arit de 7m on peut crire n n z J Amda gt XAi i 1 i 1 o la derni re expression utilise l identification de avec son image dans E par i m o Ainsi comme dans les l ments de E sont des combinaisons lin aires des points de La diff rence avec l espace des combinaisons lin aires formelles est qu on n a pas unicit de l criture justement puisqu on est pass au quotient dans E l galit nm nm 5Y AAi uidi avec si Aj i 1 i 1 n implique pas Hi En fait quotienter par U permet pr cis ment d crire que si G est le barycentre des points massiques A5 Ai i lt i lt n alors dans E on a l galit 5x G SIXA i 1 i 1 Autrement dit dans E on peut identifier diff rents l ments l aide de relations barycentriques Par exemple si D est le barycentre de A 2 et B 3 alors dans E on a 2A 3B 7C 5D 7C Exercice 3 Deux v rifications qu on n crit pas n importe quoi Soit un espace affine de direction E Pour A et x E expliquer pourquoi l l ment A x calcul dans amp co ncide avec l l ment A x calcul dans E pi Justifier aussi pourquoi l l ment A B AB E
22. jective f 6 F On choisit A amp F amp A le vectorialis de en A et f ide L application f est videmment injective V rifions qu elle est affine Pour M on a f M M A AM ya AM f A pa AM La derni re galit vient du fait que dans a f A A est l l ment neutre Or par d finition de la structure d espace vectoriel sur a l application pa est lin aire Finalement f est bien affine avec f pa et on obtient linjectivit de puis celle de gr ce la remarque 8 Passons la d finition et la construction de Maintenant qu on dispose de la propri t universelle cette construction est tr s facile on consid re l application affine f k constante gale 1 D apr s la propri t universelle il existe une unique forme lin aire E k telle que o f En particulier on a i amp 1 R ciproquement soit x E tel que A x 1 On peut crire x y avec y k puis y J Ai a avec A Eg l On a alors z J AilA et 1 A z P A Al A SX i 1 i 1 i On note alors G le barycentre de la famille A A lt i lt n Comme i conserve le barycentre on a i G Z YMi A a On en d duit que x i Ainsi i amp 71 1 Finalement i amp est un hyperplan affine de E dont la direction est TE A 0 Pour finir v rifions l unicit de Si a E gt k est une forme lin air
23. lle et sous espace affine Soient un espace affine de direction E et E son enveloppe vectorielle On note Affe l ensemble des sous espaces affines de amp et Vects p l ensemble des sous espaces vectoriels de E non contenus dans E Montrer que les applications suivantes sont des bijections r ciproques l une de l autre ps Vectg p Y p Affe 4 F vect F F FNn amp D terminer le lien entre la dimension d un sous espace affine et la dimension du sous espace vectoriel de E qui lui est associ Finalement il revient au m me de se donner un sous espace affine de et un sous espace vectoriel de E non contenu dans E En particulier il revient au m me de se donner une droite de ou un plan vectoriel de E non contenu dans E Exercice 8 quation barycentrique d une droite EID Chapitre 1 TIS Th me 1 1 On suppose que est de dimension 2 On choisit ABC un rep re affine de c est dire un vrai triangle Ainsi A B C est une base de tout l ment de se d compose de fa on unique x A yB 2C avec x y z k Un point de amp est alors rep r par ses coordonn es barycentriques G rA yB 2C si et seulement si x y z 1 et dans ce cas x y z sont les coordonn es barycentriques de G dans le rep re affine ABC c est dire que G est le barycentre de A x B y et C z a Soit u v w k quelle condition l ensemble des x y z tel que x y 2 1 et
24. njective Si f A f M alors FAM 0 et donc AM 0 et A M R ciproquement on suppose f injective Soient x y E tels que F a f y On fixe 6 et on pose B A 7 et C A y Ainsi f B f C puis B C et donc x y Surjectivit Supposons surjective On fixe B f A f amp Pour C F il existe x E tel que Fia BC On a alors f A x f A f x C f Ainsi f est surjective R ciproquement supposons f surjective Soit y F et B F On peut crire B f A et C B y f A On a alors y FAA Ces r sultats proviennent en fait directement de la relation f M f A AM qui peut aussi s crire f pra F o pa o ya et Pfa sont des bijections m 2 Construction de l enveloppe vectorielle L objectif de la construction de l enveloppe vectorielle est de vectorialiser l affine pour le rendre plus facile Dans la premi re feuille d exercice exercice 4 question c on a vu qu on pouvait par transfert de structure mettre une structure d espace vectoriel sur l espace affine L inconv nient de cette technique tait que la structure obtenue n tait pas unique et d pendait du choix de l origine exercice 4 question d de la premi re feuille La construction de l enveloppe vectorielle d un espace affine va contourner cette difficult de la canonicit de la structure vectorielle sur un espace affine de la fa on suivante on ne va pas construire une structu
25. plication Z k M F X M p gt po x est une bijection De mani re heuristique cette propri t s nonce de la fa on suivante se donner une appli cation de X dans M revient se donner une application lin aire de k 9 dans M Exercice 1 Propri t universelle Pour les propri t s universelles que vous connaissez propri t universelle du quotient propri t universelle des polyn mes propri t universelle de Z ou de Z nZ etc Donner un nonc pr cis en terme de bijections comme ci dessus puis un nonc heuristique Exemple 4 Polyn me L ensemble des polyn mes une ind termin e coefficients dans k est construit de cette fa on il s agit de l ensemble kM Simplement plut t que de noter n ou encore 6 l image de n N dans kN on la note X La premi re notation est bannie car elle pr terait trop confusion comment distinguer entre 2A A et 2 gt Par ailleurs on privil gie la notation X la notation pour tenir compte du fait que sur N il y a une addition C est cette addition qui permet de d finir le produit de deux polyn mes en posant XX K t ce qui est plus habituel que la notation n m n m La situation est la m me pour l ensemble des polyn mes r ind termin es k X1 X kO On utilise la notation X1 X plut t que dinde Dans le probl me de math matiques g n rales d agr gation externe d
26. pplication constante donc affine 1 Ainsi d apr s 1 on a nm a N AA gt j 1 j 1 Utilisons cette expression pour montrer que tout l ment de E qui n est pas dans E peut s crire sous la forme AG avec k et G amp autrement dit tout l ment de E qui n est pas dans E est colin aire un l ment de Consid rons pour cela x E E On crit suivant la remarque 11 TX sa jA j 1 On a alors Alz 0 _ car x E A71 0 Ainsi on peut crire x A x G o G est le barycentre de la famille A qui existe bien puisque 0 j 1 Cela se voit aussi imm diatement sur le dessin de la remarque 10 toute droite vectorielle qui n est pas contenue dans E rencontre 4 Enveloppe vectorielle et propri t universelle Dans cette sous partie on tudie les cons quences abstraites de la propri t universelle de E Ces propri t s sont tr s similaires celles vues dans la premi re partie pour l espace des combinaisons lin aires formelles Remarque 14 Retour sur la propri t universelle de E De fa on informelle la propri t universelle s nonce par lorsqu on dispose d une application affine issue de et valeurs dans un espace vectoriel on peut la prolonger en une application lin aire De fa on pr cise pour tout espace vectoriel F l application P F gt A E F p poi est une bijection Enfin l heuristique d
27. re d espace vectoriel sur un espace affine l affine est et restera toujours de l affine mais on va construire un grand espace vectoriel E qui va contenir simultan ment l espace affine et sa direction E de telle fa on que soit un hyperplan affine parall le l hyperplan vectoriel E En particulier on pourra d finir des combinaisons lin aires d l ments de amp qui ne sera plus forc ment un l ment de amp mais un l ment de E Cette technique l avantage de simplifier de nombreux calculs en vitant le recours une origine La construction de l enveloppe vectorielle pr sente aussi un int r t pour la g om trie projective elle permet de d finir la compl tion projective d un espace affine voir la feuille de g om trie projective La proposition suivante donne une construction de l enveloppe vectorielle d un espace affine On en trouvera d autres moins abstraites mais o les v rifications sont bien plus fastidieuses dans BER 3 1 et FRE III 1 1 Proposition 9 Enveloppe vectorielle Soit E un k espace affine Il existe un k espace vectoriel E et une application affine i v rifiant la propri t universelle suivante pour tout k espace vectoriel F et toute application affine f F il existe une unique application lin aire f E F v rifiant foi j Les applications i amp Eet i E sont injectives Elles permettent d identifier un sous espace af
28. rice de en terme de base resp famille libre famille g n ratrice de E Comment s interpr te alors les coordonn es barycentriques c On fixe une rep re cart sien resp R de amp resp de F et on identifie Z F avec les matrices via le choix de la base de E resp F associ e Z resp 2 D terminer la forme de la matrice associ e f comment calculer l image d un point par f en fonction de ses coordonn es dans Z d On fixe une rep re affine Z resp Z de resp de F et on identifie Z E F avec les matrices via le choix de la base de E resp F associ e Z resp 2 D terminer la forme de la matrice associ e f comment calculer l image d un point par f en fonction de ses coordonn es dans 2 e On fixe une rep re affine Z resp un rep re cart sien Z de amp resp de F et on identifie Z E F avec les matrices via le choix de la base de E resp F associ e Z resp 4 D terminer la forme de la matrice associ e f comment calculer l image d un point par f en fonction de ses coordonn es dans Z f On fixe une rep re cart sien 2 resp un rep re affine 2 de resp de F et on identifie Z E F avec les matrices via le choix de la base de E resp F associ e Z resp Z D terminer la forme de la matrice associ e f comment calculer l image d un point par f en fonction de ses coordonn es dans Z Exercice 7 Enveloppe vectorie
29. s identifie B A E Remarque 12 Une expression explicite pour a Consid rons un espace affine F un espace vectoriel et f 6 F une application affine D apr s la propri t universelle il existe une Wide application lin aire f E F telle que f oi f On va d crire explicitement T gr ce la construction a on en a donn e dans la preuve de la proposition 9 l application f est obtenue en la prolongeant d abord k gr ce la propri t universelle des combinaisons lin aires formelles puis en passant au quotient En reprenant les notations de la d monstration de la proposition 9 on construit a k F telle que a gt Asda X Asf 2 zeX xeX o l ensemble des x tels que 0 est fini Cette application a est nulle sur U et passe donc au quotient pour d finir l application f cherch e Ainsi f est unique application lin aire v rifiant f om a Ainsi lorsque suivant la remarque 11 on crit 2 ZNA AA DORE Su es j l Jj 1 on obtient f x fox sa q gt as f A j 1 j 1 Finalement on obtient pour f l expression Eva D 1 j j Du fait que T est obtenue par passage au quotient lexpression 1 a bien un sens bien que l criture de x sous m la forme J jA ne soit pas unique m j 1 Exemple 13 La forme lin aire tudions la forme lin aire E k Elle est obtenue gr ce la propri t universelle appliqu e l a
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