Modèle des chemins pour les représentations des algèbres de Lie
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1. R4 et donc v 1v a Z ce qui n est pas possible Vj 1 Etape 3 Notons uj Salvi sii S j S k et uj vj autrement de sorte ce que fal pi Ur Alors pi gt gt Hr Preuve On sait que n gt gt Vr et on peut donc choisir w1 W W tels que vi wilo et wi gt gt Wp Soit 1 lt l lt le plus petit entier tel que pour l lt j lt i sav gt vj En particulier par la proposition 1 47 v a gt 0 Comme atteint son minimum en v vi on a m me v a 0 pour l lt j lt i On pose alors Sawi Sl lt j lt k Vi Wi autrement Tout d abord vj u uj En effet sii lt j lt k v a Saw v SV hj sSl lt j lt i v a Sawj v SaVj vj pj car vj aY 0 pour les autres valeurs de j v 4 w v vj pj De plus pour tout j vj gt v 41 En effet remarquons d abord que pour j compris entre 4 et k au sens large vj a gt 0 et donc d apr s la proposition 1 47 ii saw gt wj Ensuite si j lt l 1 c est vident si j l 1 wj gt Wj 1 SaWj lt Wj SaWj 1 gt Wj 1 d apr s la d finition de l et le th or me 1 50 ii montre que wj gt SaWj autrement dit Uj gt Uj 1 sil Sj lt k Wj Z Wj 1 SaWj gt Wj SaWj 1 gt Wj 1 et le th or me 1 50 iii montre que saw gt SaWj 1 Soit V gt Vj 1 si j k Uj SaWj gt Wj gt Wj 1 Vj 1 s2. et on a le r sultat Il reste v rifier que la r union est disjointe Si ce n tait pas le cas on aurait 71 et ng avec B m x m et B T N2 d intersection non vide Comme ils sont tous deux engendr s par un chemin et les op rateurs de racine ils seraient gaux Mais p T m1 et p T1 2 appartiennent tous deux I et 4 11 montre donc T1 1 T1 N2 et M1 M2 On en d duit comme corollaire le th or me 3 10 r nonc ci dessous Corollaire 4 17 Soient et 2 deux poids dominants et m1 72 IY tels que m1 1 1 et m2 l A2 Alors Tu 8 Pa PT o la sommation porte sur les n B m2 tels que m n Ir Preuve En prenant les caract res des familles de chemins de la proposition pr c dente on obtient Char B m Char B r2 Char B m x B m y Char B m n soit par le th or me 3 9 et comme la somme et le produit des caract res correspondent respectivement la somme directe et au produit tensoriel des repr sentations Char T 8ra Char Pain 38 Finalement comme une repr sentation est uniquement d termin e par son ca ract re on obtient bien Tu ST x Tant 39 R f rences D N Bourbaki Goupes et alg bres de Lie Chapitres 7 et 8 Masson 1990 V Deodhar A splitting criterion for Bruhat orderings on Coxeter groups Communications of Algebra 15 pages 1889 1894 1987 W Fulton et J Har
3. r uw On obtient alors comme corollaire un r sultat nonc dans la section pr c dente savoir que W agit simplement transitivement sur l ensemble des bases Th or me 1 29 Le groupe de Weyl agit simplement transitivement sur l en semble des bases Preuve On sait d j que l action est transitive th or me 1 17 il reste donc voir que si S est une base si w W et si w S S alors w 1 Mais sous ces conditions w P est un syst me positif contenant S c est donc P par le th or me 1 15 P d signant le syst me positif associ S et donc n w 0 ce qui donne w 0 puis w 1 Remarque 1 30 W agit donc aussi simplement transitivement sur l ensemble des chambres de Weyl 1 3 Ordre de Bruhat Dans ce paragraphe on va d finir un ordre sur le groupe de Weyl et en tudier les propri t s d signe toujours une base de R et P le syst me positif associ D finition 1 31 L ordre de Bruhat strict sur W not gt est la relation an tir flexive transitive suivante Pour v w W on dit que v gt w si il existe une suite wo W W1 Wyp v telle que i Vi 0 lt i lt r 1 Ja R Wi 1 SaWi i Vi 0 lt i lt r l lw 1 gt l w La relation d ordre associ e est not e gt Remarque 1 32 On pourrait tout aussi bien d cider dans la premi re condition de multiplier droite par Sa Mais les deux d finitions sont q
4. 8 et on souhaite montrer que w lt v On raisonne par r currence sur v r le cas initial tant trivial Si i1 gt 2 alors w est une sous expression de s v lt v donc par hypoth se de r currence w lt s v puis w lt v Si i 1 l hypoth se de r currence fournit Sip 8i lt 82 5 Enfin en utilisant la proposition 1 37 on obtient soit W Siy Sig X S2 Sr lt V SO W Si Sig 81 Sr V On peut maintenant passer la d monstration du th or me 1 36 Preuve du th or me 1 36 On raisonne par r currence sur w v Si cette quantit vaut 1 alors w 1 et v Sa pour un certain a S si bien qu il n y a rien d montrer Supposons pr sent l w l v gt 1 Comme v 1 v poss de une expression r duite v s1 Sr D apr s le th or me 1 38 w s crit Si Sig pour certains 1 lt i1 lt lt iq lt r Posons s s On a alors sv lt l v Il y a deux cas consid rer w lt sw Si 41 1 alors sw est une sous expression de su 52 5 si bien que th or me 1 38 w lt sw lt sv lt v Si 1 w lui m me est une sous expression de sv et donc th or me 1 38 w lt su Si w sv il n y a rien faire sinon on a aussi w lt sv Maintenant dans les deux cas l hypoth se de r currence fournit une cha ne entre w et sv que l on compl te facilement en une cha ne entre w et v sw lt w L hypoth se de r currenc
5. IZ Alors vi Vr W 31 Preuve Soit une racine simple Comme p v IIT le minimum de ha est gt 1 par 1 20 p a 1 De plus par le lemme 4 4 c est un entier il est donc gal 0 et v II Choisissons alors par l absurde minimal avec v W et a une racine simple telle que v a lt 0 Comme v est localement entier on peut de plus choisir w gt gt wp tels que wj v vj En particulier par 1 47 Sawi lt wi et on peut trouver une expression r duite de w commen ant par Sa Sa S crit alors comme sous expression de cette expression r duite et par 1 38 w gt Sa On en d duit que pour tout j lt i Wj gt Sa Mais wj fixe v car vj W Par on peut trouver une expression r duite de w faisant intervenir des r flexions fixant vj Comme par 1 42 Sa en est une sous expression Sa fixe vj et v a 0 Finalement v vi a v a lt 0 ce qui contredit le fait que v reste dans 9 Voici enfin le r sultat principal de ce paragraphe Proposition 4 7 Soit v 11 x Vp IIT un chemin localement entier Alors i B v est enti re voir d finition 3 5 ii Si u B v est tel que p u H u v iii v est engendr e par v et les op rateurs fa it B t dr tl rat iv B v est finie Preuve i Cela r sulte de la stabilit des chemins localement entiers par les op rateurs de racine et du lemme 44 i
6. Nous tenons remercier Marc ROSSO pour la richesse du sujet qu il nous a propos la gentillesse avec laquelle il nous a conseill et la profondeur des fauteuils de son bureau Table des mati res Introduction Mode d emploi Remerciements 1 Syst mes de racines et groupes de Weyl 1 1 Syst mes de racines bases T2 Longur 2 ue res La a a ara PO LL a sas sue 1 3 Ordre de Bruhat 1 4 Chambres de Weyl r gteat pheaca d sonia male tenons 1 5 Syst mes de racines locaux 2 G n ralit s sur les alg bres de Lie 2 1 Alg bres de Lie 2 2 Alg bres de Lie semi simples 2 3 Repr sentations des alg bres de Lie semi simples 3 Le mod le des chemins 3 1 Op rateurs de racine 3 2 Les th or mes de Littelmann 4 D monstrations des th or mes 4 1 Chemins localement entiers 4 2 Structure de B T S ge 44 us aie A sup Buse ppp 4 3 D monstrations des th or mes de Littelmann R f rences 21 21 22 23 24 25 27 28 28 33 36 40 1 Syst mes de racines et groupes de Weyl Dans cette partie on introduit et on tudie un ensemble de configurations g om triques tr s simples qui apparaissent de mani re naturelle dans l tude des repr sentations des alg bres de Lie semi simples 1 1
7. Il existe alors un entier k gt 0 tel que kna kma gt 1 Par la proposition 3 2 iii cela implique que ex e 1 k n est d fini alors que ex 1 k n ne l est pas Mais par le premier point de cette d monstration les graphes G kT et G k 1 sont isomorphes kn correspondant k n C est une contradiction Etape 5 La proposition 4 10 est vraie pour m II quelconque 39 Preuve crivons 7 A x Ap IF comme limite de chemins tels qu l tape pr c dente Comme on peut approcher les par des multiples rationnels de poids en les d composant sur la base des racines simples et en approchant les coefficients par des rationnels on peut supposer que est un multiple rationnel de poids Il reste alors approcher les par des chemins tels qu l tape pr c dente En les d composant sur la base des racines simples et en s parant coefficients positifs et n gatifs on crit y Vi o p et v sont des multiples rationnels de poids dominants Alors est limite des 45 x F o la puissance k i me repr sente la concat nation de k chemins identiques On peut alors conclure en passant la limite les r sultats de l tape pr c dente on obtient l isomorphisme des graphes d sir par continuit des op rateurs de racine proposition 3 2 v et la propri t d int gralit car une limite d entiers est un entier On conna t pr sent la
8. Si Sav lt v alors la proposition 1 50 ii montre que v gt saw et Riu est le syst me de racines engendr par a et Rv saw donc on a la fois v gt Salu v saw est le couple associ V Sa Finalement dans ce cas Ry est le syst me de racines engendr par a et Ry sa u Supposons maintenant sav gt v Remarquons que ceci impose v a gt 0 par la proposition 1 47 i et donc v a 0 d apr s Phypoth se puis s4 7 v Gr ce au th or me 1 50 iii on sait que Sav Saw et Rssvsaw Sal Rov w puis V Salu Soit alors v W tel que v Saw soit le couple associ v Sa u L in galit saw gt w impose v gt v car v gt w et v vt v Deux cas se pr sentent alors Si v gt saw alors v v Il vient Sav gt v gt Saw ce qui montre que a Rsavsaw Sal Ruw et donc que Rsavsaw Ro w Ainsi Ro w est le syst me de racines engendr par a et Ry saw Cela signifie vu ce qui a t montr pr c demment que Ry est le syst me de racines engendr par a et Ry sa p Sinon pour des raisons de longueur v sav et donc dans ce cas Rs Sal Ruu Par la proposition 1 47 ii on sait que sav gt v et saw gt w En utilisant le th or me 1 50 iii il vient saV gt Saw et donc Sal V gt Salu Le m me raisonnement que celui tenu en i montre que s w est le minimum de W sat Par ailleurs soit v Wp s v avec v gt saw Il vient par la proposition
9. suivantes Va BE S sasg e50 1 o m w d signe l ordre de w pour w W Th or me 1 23 Soit S une base de R Alors W est engendr par les r flexions Sa pour dans S Preuve Notons provisoirement W le sous groupe de W engendr par les 54 a S et soit P le syst me positif associ S Soit 8 P On souhaite mon trer que B poss de un conjugu sous W dans S et ceci montrera le r sultat car alors si w 6 a S il vient sg w saw soit sg W puis W C W car W est engendr par les sg avec 8 P Mais W 6N P est un ensemble non vide contient 8 fini de racines positives et on choisit alors Y Ducs Caa dans cet ensemble avec ca gt 0 avec J aeg Ca minimal Il vient 7 7 X acg Caly gt 0 et donc il existe a avec y a gt 0 Si y a alors Saly 7 2 aa a est dans W BNP ce qui contredit la minimalit de y Donc y a est un conjugu de 8 dans S On fixe une base S de R Le th or me pr c dent motive alors lintroduction des notions de longueur et d expression r duite D finition 1 24 Une expression r duite de w W est une expression du type W 81 8r O Si Saj Qi E S qui fait intervenir un nombre minimum de r lexions simples une r flexion simple est une r flexion par rapport une racine simple mais attention cela n a de sens que si une base S a t fix e La longueur de w W not e w est le nombre r dans l expr
10. w On consid re alors maximal pour cette pro pri t et donc 1 lt lt m 1 Le lemme de croisement montre que sous ces conditions Wi 1 Sawi Alors Saw SaWo lt Wo lt W1 lt lt Wi S SaWir1 lt SaWm Sa est une cha ne entre SaW et Sav avec pour racines associ es 81 bi Sal bi 2 Sal Bm Dans ce cas Bi a donc nouveau le syst me de racines engendr par 1 Bm E R est sa Rsav saw Ceci montre que Rew est bien d fini avec Rsav saw Sal Row Supposons pr sent que Saw gt w On utilise le lemme suivant Lemme 1 49 Soient v w E W eta S On suppose v gt w et Saw gt w Alors SaV 2 W 18 Preuve Si sav gt v on conclut par transitivit de l ordre de Bruhat Sinon soit W Wo lt W1 lt lt Wm v une cha ne entre v et w avec pour racines associ es 61 Bm et i maximal avec s w gt w Le lemme de croisement implique sawi wi 1 donc i41 Pour j gt i saWwi 1 lsawi 1 et SaWit 1 Ss 8 41 SaWi remarque 1 33 Ainsi on a la cha ne suivante entre w et Sa Ww Wo lt lt Wi S SaWi i lt t lt SaWm SaV avec pour racines associ es 1 Bi Sal bi 2 lt Sa Bm Ainsi v gt Sav gt w et partir d une cha ne w wo lt w1 lt lt Wm V avec racines associ es 61 Bm on peut construire une cha ne entre w et Sau avec racines associ es 1 Bi Sal bi 2 S
11. 1 47 ii Sav lt v et w lt Saw Par le th or me 1 50 i Sav gt w et comme sav W sav gt v par d finition de v puis v gt sav par le th or me 1 50 iii Ainsi le couple associ sa v sa y1 est bien saV Saw et sous ces conditions le th or me 1 50 iii nouveau donne Rsav saw Sa Ru w et donc Re L sa u Sa Ru On sait gr ce la proposition 1 47 ii que sav gt v si bien que sav gt w et salv gt u Montrons pr sent que le couple associ sa v u est pr cis ment sav w Pour cela il suffit de montrer que si v W 4 sa v v rifie v gt w alors v gt sav Mais tant donn un tel v sav W donc par la proposition 1 47 ii Sav lt v Par ailleurs u a gt 0 et w est l l ment minimal de W donc par cette m me proposition saw gt w 20 Alors le th or me 1 50 ii montre que sav gt w Comme sav W Sav gt v On a alors Sav gt v Sav gt v et v gt Sav donc d apr s le th or me 1 50 iii v gt s4v ce qui montre ce que l on voulait On en d duit alors facilement que Rs est le syst me de racines engendr par a et Riu v u 2 G n ralit s sur les alg bres de Lie 2 1 Alg bres de Lie D finition 2 1 Une alg bre de Lie complexe est un C espace vectoriel g de dimension finie muni d une application bilin aire antisym trique gxg gt g satisfaisant
12. Finalement u wo lt w lt lt wg w est une cha ne entre u et w puis u lt w Le fait que u W7 est clair Voici un corollaire qui d coule imm diatement de l galit des notions de longueur et du th or me 1 40 Corollaire 1 42 Soit W etw E W tel que w A Alors w poss de une criture r duite qui ne fait intervenir que des r flexions simples fixant toutes Preuve Notons Wy le fixateur de sous l action de W sur E Alors Wy est engendr par les r flexions simples qu il contient th or me 1 40 autrement dit il existe J C S tel que Wy soit le groupe de Weyl associ au syst me Ry notations pr c dentes Le corollaire d coule alors de l galit l ly Dans la fin de ce paragraphe on va d finir l aide de W et W une relation sur E et en tudier certaines propri t s D finition 1 43 Soient v u E vt u leurs conjugu s dans W sous W Alors on note v gt p si il existe v w W avec v vt v w u u et v gt w pour l ordre de Bruhat On va s attacher tant donn v u E v rifiant v u d terminer deux l ments particuliers v et w respectivement dans W et W Le second est directement fourni par le th or me 1 41 Th or me 1 44 Il existe dans W un minimum w pour l ordre de Bruhat Preuve Posons J a S salu ut et w W Alors W w W y et le r sultat provient directement du th o
13. Par ailleurs sg R R donc sg envoie bien Ry dans lui m me et Ry est un syst me de racines g n ralis les autres conditions tant trivialement satisfaites Tout l ment de R s crit comme combinaison lin aire coefficients tous positifs ou tous n gatifs d l ments de S donc si en plus cet l ment est dans Vect J il s crit comme combinaison lin aire coefficients tous positifs ou tous n gatifs d l ments de J et J est bien une base de Ry Finalement le groupe de Weyl de Ry est le groupe engendr par les Sa pour a J c est donc Wy On montre plut t ny w n w pour tout w Wy d apr s le th or me 1 28 Mais soit a P P7 Alors a geg Cal et il existe y S J avec c gt 0 On voit alors que pour tout w Wz w a P c ne change pas Ainsi les racines positives de R ventuellement envoy es sur des racines n gatives de R par un l ment w W sont exactement les racines positives de Ry ventuellement envoy es sur des racines n gatives de Ry par w Ceci est exactement dire que ny w n w Soient w w Wy Supposons w lt w D apr s l galit l ly on peut consid rer une expression r duite au sens de W comme au sens de Wz de w comme produit de r flexions simples associ es des racines de J Mais alors l in galit montre par le th or me 1 38 que w est une sous expression de cette expression r duite au sens de W et donc toujours par le m me th or m
14. Syst mes de racines bases E d signe un espace euclidien Pour a dans E Sa d signe la r flexion d hy perplan a D finition 1 1 Un syst me de racines R dans E est un ensemble de vecteurs non nuls satisfaisant i R est fini et engendre FE ii Va R RNRa a a ii Va E R sa R R Les l ments de R sont appel s racines Le groupe de Weyl W associ R est le sous groupe de O E engendr par les sa Remarque 1 2 W est alors fini car le morphisme naturel de W dans le groupe des permutations de R est injectif Remarque 1 3 On utilisera souvent dans la suite le fait simple suivant si w W et a R alors wsQw Sw a Remarque 1 4 On appelle syst me de racines g n ralis un ensemble fini de vecteurs non nuls v rifiant les deux derni res conditions C est donc un syst me de racines du sous espace vectoriel qu il engendre EXEMPLE 1 5 Soit ei lt i lt n 1 la base canonique de R et E l hyperplan de R d fini par l quation 1 n 0 Alors les e e 4 forment un syst me de racines de E not A La r flexion d hyperplan orthogonal e e agit dans R comme une per mutation des vecteurs de la base canonique c est une transposition changeant ei et ej Par cons quent le groupe de Weyl W qu ils engendrent s identifie au groupe sym trique Gn 1 Etant donn un syst me de racine R dans FE on va s int resser des
15. de la structure de B r pour x II On y utilise de mani re importante les propri t s g om triques des syst mes de racine et la combinatoire du groupe de Weyl d velopp es dans la premi re partie Le lecteur qui ne souhaiterait pas lire ces d monstrations un peu techniques peut admettre le th or me 4 11 et passer directement au dernier paragraphe o sont d montr s les deux th or mes principaux 3 9 et 3 10 On reprend les notations des parties pr c dentes on se place dans l espace euclidien E muni du syst me de racines R et sur lequel agit le groupe de Weyl W On choisit une base S de R et on note p la demi somme des racines positives II est l ensemble des chemins lin aires par morceaux trac s dans E joignant 0 un poids IT et Il sont constitu s des chemins de IT trac s respectivement dans la chambre de Weyl dominante W et dans son int rieur pour t gt 0 4 1 Chemins localement entiers On commence par traiter un cas particulier auquel on se ram nera dans le paragraphe suivant Il s agit d une famille de chemins qui se comportent par ticuli rement bien vis vis des op rateurs de racine les chemins localement entiers Si E on note l unique conjugu de dans W voir proposition 1 40 On identifie de plus un l ment de E avec le chemin t t D finition 4 1 Soient 7 1 des l ments de E On note n gt gt Vr s il existe w1 w W tels que vi wil
16. i saw lt Wi 1 O SaWi lt SaWi 1 Si pour tout i SaWi lt SaWi 1 alors par transitivit Saw lt Sav Sinon soit i le plus petit indice tel que sawi lt wi 1 Il vient SaW S lt SaWi S Wii S Sv 2 D apr s ce qui pr c de on a Saw lt V OU SaW lt Sav Le premier cas ne peut pas se produire car s w l v mais saw v Ainsi comme SaW Sav il vient saw lt Sav Mais alors v saw lt l sav et donc v lt Sav Une sous expression d une expression r duite w s Sp de w W est un produit du type Si Si avec 1 i1 lt lt iq lt r Le th or me suivant traduit l ordre de Bruhat en terme de sous expressions Th or me 1 38 Soient v W et v s sp une expression r duite de v Soit aussi w W Alors w lt v si et seulement si w peut tre obtenu comme sous expression de cette expression r duite 11 Preuve gt Si v w il n y a rien faire Sinon v gt w et on prend une suite wo wW wW1 w v telle que pour tout 0 lt i lt r 1 w 1 gt w et il existe Bi R wi41 sg wi Il vient s8 _ v lt v donc par th or me d change on peut crire wy_1 51 8 s Cette expression n est pas forc ment r duite mais cela ne d range pas pour it rer car le th or me d change ne suppose pas l expression r duite In fine on obtient bien w comme sous expression de v lt On se donne une sous expression W 8
17. il appartient la chambre de Weyl dominante 9 On peut alors d crire les repr sentations irr ductibles de g en termes de poids Th or me 2 14 Soit L une repr sentation irr ductible de g Alors il existe un unique poids dominant intervenant dans cette repr sentation tel que siv Vy pour toute racine simple a et tout l ment Xa de ga Xav 0 On dit que est le poids dominant de T R ciproquement si est un poids dominant il existe une unique repr sentation irr ductible T de poids dominant 23 Il reste d crire ces repr sentations irr ductibles T et plus pr cis ment d terminer les multiplicit s des poids x dans l L objet qui en rend compte est le caract re de T D finition 2 15 On note Z Aw l anneau dont une Z base est e eaw et o la multiplication est d finie par e 1e 2 eh1 tH2 Le caract re Char p de la repr sentation p g gl V est l l ment gt dim V e de Z Aw o V V est la d composition de V en es HEAw LEAwW paces de poids On v rifie ais ment que les caract res de la somme directe et du produit tensoriel de deux repr sentations sont respectivement la somme et le produit des caract res de ces repr sentations De plus le caract re d une repr sentation la d termine uniquement Le formule de Weyl permet d expliciter les caract res des repr sentations irr ductibles de g Th or me 2 16 Formule de Weyl Notons p la dem
18. irr ductibles du produit tensoriel de deux repr sentations Mode d emploi Ce m moire se compose de quatre parties La premi re qui suit en grande partie le tr s bon livre 4 d crit la th orie g n rale des syst mes de racine et de leurs groupes de Weyl Seule la lecture du premier paragraphe est essentielle pour la compr hension des nonc s des th or mes de Littelmann qui suivront mais la connaissance de l int gralit de cette partie est requise pour le lecteur qui souhaite lire le d tail des d monstrations on y tablit des r sultats techniques n cessaires aux preuves La deuxi me partie est une description de la th orie l mentaire des repr sentations des alg bres de Lie semi simples complexes Aucune d monstration n est donn e et le lecteur pourra se reporter 6 pour une pr sentation l gante et concise 3 pour des exemples d taill s et 1 pour un ouvrage de r f rence Dans la troisi me partie on nonce les th or mes de Littelmann Ils sont ensuite d montr s dans la quatri me partie l aide notamment des r sultats de la premi re partie On suit en le d taillant l article 5 Il convient de noter que le lecteur qui ne d sire pas rentrer dans le d tail des preuves parfois un peu techniques et qui n a pas lu l int gralit de la premi re partie pourra admettre le th or me 4 11 et ne lire de la quatri me partie que le dernier paragraphe Remerciements
19. le cas ch ant Ja P n x 7 P faln n D o le r sultat La d monstration de la proposition 4 10 s effectue en plusieurs tapes en tablissant sa validit pour des familles de chemins de plus en plus g n rales Etape 1 La proposition 4 10 est vraie pour rm u o et u sont des poids dominants Preuve On consid re la famille de chemins ms 1 s x u s de sorte ce qu on ait en particulier mo u et m1 p et on pose Bs B ri Si s est rationnel m est localement entier Le minimum de h t x t a est constant car c est un entier et une fonction continue de s Par cons quent far est bien d fini si et seule ment si fams est bien d fini Gr ce la continuit des op rateurs de racine proposition 3 2 v cet argument montre par r currence imm diate sur r que no fai fa To est bien d fini si et seulement si ns fai fan Ts est bien d fini Posons alors Bo B no m V rifions que cette application est bien d finie si no fa fa T0 f6 fo To l argument d int gralit et de continuit ci dessus montre que eg p far fanmi est bien d fini C est un l ment de B dont l extr mit est u Mais comme les l ments de B sont de longueur A u ce ne peut tre que A u m1 et fai fa T1 fpi f8 71 est donc bien d finie Par 4 7 iii est de plus d finie sur tout Bo Les
20. m mes arguments permettent de construire un inverse 7 Bo B no m En particulier est bijective et est l isomorphisme recherch entre G ro G x u et G m1 G X u G X x wu 1 Etape 2 La proposition 4 10 est vraie pour t x u IT o et u sont des poids dominants Preuve Comme et u sont localement entiers B A et B u sont enti res Le corollaire 3 6 montre alors qu il existe une injection G A x u G A G u et B A u est bien enti re 34 Ensuite la premi re tape permet d appliquer le lemme 4 12 on a un iso morphisme G A xG u G u xu xG u On obtient donc une injection G Ax u G u u xG x qui en envoyant Ax u sur A u u u induit une bijection G A x u G A u x u x u Finalement comme B 1 u est enti re que 4 y est entier et qu aucun op rateur de racine ne peut s appliquer u yu la proposition 3 4 montre que G u u x u G u D o le r sultat Etape 3 La proposition 4 10 est vraie pour t 1 x II o les sont des poids dominants ou des oppos s de poids dominants Preuve On raisonne par r currence sur r le cas r 1 tant vident On pose T amp M kA em Tout d abord par int gralit de B x et de B X et l aide du corol laire 3 6 on a une injection G r Ar G r
21. op rateurs ea v C est un chemin localement entier de II auquel on peut appliquer 4 7 Comme B v B v on a le r sultat voulu 4 2 Structure de B T On cherche pr sent d montrer le th or me 4 7 pour un chemin 7 II quelconque Pour cela on se ram ne au cas connu des chemins localement entiers On a besoin au pr alable de la d finition suivante D finition 4 9 Soit x II On note G r le graphe orient et colori dont les sommets sont les l ments de B x et dont on relie deux sommets n et n par une ar te de couleur a si n fan De m me si 71 72 II on notera G r1 x G m2 le graphe orient et colori dont les sommets sont les l ments de B r1 x B m2 et dont on relie deux sommets 7 et 7 par une ar te de couleur a si n fan La proposition pr cise que l on va d montrer est alors la suivante Proposition 4 10 Soit x II Alors B r est enti re et G r G r 1 L isomorphisme d crit par la proposition ci dessus permet de montrer pour m ce qu on sait d j pour 7 1 qui est lui localement entier En particulier on en d duit la proposition 4 7 dans le cas g n ral Th or me 4 11 Soit x IT Alors i B x est enti re ii Sin B T est tel que pxn I n 7T iii B x est engendr e par n et les op rateurs fa iv B r est finie Preuve i est dans l nonc de 4 10 et iii et iv d coulent imm diatement de l isomorphis
22. racines est bien d fini c est dire ne d pend pas de la cha ne Th or me 1 48 Soient v w W avec v gt w et w wo lt W1 lt lt Wm v une cha ne entre v et w avec pour racines associ es b1 Bm Le syst me de racine engendr par ces racines ne d pend pas de la cha ne choisie et est appel syst me de racines local associ v et w not Row Row si v w Preuve On raisonne par r currence sur l v l w k Si v lI w lt 1 alors le r sultat est clair Sinon supposons le r sultat acquis pour l v l w lt k 1 On fait alors aussi une r currence sur v gt l w Si v w v w et c est fini Sinon soit S telle que sav lt v existe car v 1 Supposons d abord que saw lt w Alors l sav l saw k et I sav lt L v L hypoth se de r currence s applique donc pour dire que le syst me de racines local Rs v saw est bien d fini On consid re alors une cha ne w wo lt W1 lt lt Wm vV avec l wiy1 l w 1 et 61 8m E R tels que Wi Sg Wi Deux cas se pr sentent 1 Pour tout i s4w lt wi Alors pour tout i l saWi 1 l saw 1 et SaWi 1 Ss 8i Sa Wi On en d duit que SaW SaWo lt S W1 lt lt SaWm Sa est une cha ne entre Saw et Sav avec pour racines associ es 84 1 Sal bm Alors le syst me de racines engendr par 61 Bm R est dans ce cas SalRsav saw 2 Il existe i avec Sawi gt
23. si s a gt a et par r sr s a sinon Alors si s a gt a o r a lt b est quivalent oa lt srb Mais comme ci dessus srb lt Tb si bien que ga lt srb implique ga lt Tb R ciproquement supposons ga lt Tb Alors comme soa cs a gt ga par le m me raisonnement que ci dessus o W7 s a Wy et s a gt a l in galit ii montre que ca lt srb Si s a lt a or a lt b est quivalent os a lt sTb autrement dit soa lt sTb Or soa lt ca sTb lt Tb et les in galit s i et iii montre que soa lt sTb est quivalent ga lt Tb et go r convient encore Finalement on a r ussi construire dans les trois cas une fonction g conve nable ce qui ach ve la r currence On peut maintenant passer la d monstration du th or me 1 45 Preuve du th or me 1 45 Soit w le minimum de W et v W tel que v gt w Soit J a S s vT vt Consid rons o 7 les minima respectifs de wW et v W j Montrons d abord que lt 7 Pour cela consid rons une cha ne vo v gt v gt gt Un T avec pour tout i Wir Vis Si r flexion simple v rifiant s v v Supposons v gt pour un certain indice 16 i Alors par minimalit de o os gt g et comme vis lt vi l in galit ii montre que v 1 gt o Comme vo gt on a bien Um T gt Remarquons au passage que cela d montre le deuxi me point car si u et v sont homoth
24. structure de B x Cela va nous permettre de d montrer dans le paragraphe qui suit les deux th or mes principaux de ce m moire 4 3 D monstrations des th or mes de Littelmann Attaquons nous tout d abord au th or me 3 9 On commence par un lemme Lemme 4 13 Soit B C II une famille finie de chemins stable par les op rateurs de racine Alors Char B est stable par le groupe de Weyl Preuve Soit a une racine simple Par la proposition 3 2 si u est un poids tel que u a k gt 0 e et fE sont des bijections r ciproques entre les chemins de B d extr mit s u et s4 u respectivement Ainsi Char B est invariant par sa Comme ces r flexions engendrent W Char B est invariant par W Voici enfin la proposition importante de ce paragraphe elle permettra de faire le lien l aide de la formule de Weyl entre caract res des repr sentations irr ductibles de g et caract res des familles de chemins Proposition 4 14 Soit B C II une famille finie de chemins stable par les op rateurs de racine Char B est alors donn par la formule suivante N e we Char B XY Y e wjet tw wEW nEB weW pxneng o d note la signature Preuve Par le lemme pr c dent les deux membres sont invariants par W Comme W agit transitivement sur les chambres de Weyl Remarque 1 30 il 36 suffit de v rifier que les coefficients des poids dominants co ncident c est dire que 5 e w e Ptn0 5 eP
25. sym trise des parties de m jusqu obtenir ce d calage de a ii Apr s avoir appliqu ea 7 le to auquel on s est arr t de sym triser est le plus grand t o a atteint son minimum C est donc exactement partir de ce point qu on sym trisera lorsqu on appliquera fa Les valeurs de t correspondant aux parties qu on sym trise lorsqu on applique ea m et fa ean sont donc les m mes et fear T L autre galit se d montre de m me iii A chaque application de fa r 1 a diminue de 2 et ma de 1 Par cons quent r 1 a Ma diminue de 1 Comme fa est bien d finie si et seulement si r 1 a m gt 1 on obtient le r sultat Le r sultat similaire pour ea se montre de m me iv C est vident sym triser jusqu obtenir un d calage de a puis dilater d un facteur k revient commencer par dilater d un facteur k puis sym triser jusqu obtenir un d calage de ka v Cela r sulte de la formule explicite pour les op rateurs de racine D finition 3 3 Soient 71 72 I On d finit leur concat nation Ti T2 par m 2t si 0 lt t lt 1 2 m 1 m2 1 2t sil 2 lt t T1 T t 1 Ta t lt 1 Soient B et B deux familles de chemins On d finit leur concat nation B B comme l ensemble des concat nations d un chemin de B et d un chemin de D Pour que les op rateurs de racine se comportent bien vis vis de la
26. t0 w n EQ EA p nEllo o Q w n w p n 1 W Notons Q le sous ensemble de Q constitu des w n tels que le chemin w p x n rencontre une face de la chambre de Weyl Comme il s agit exactement de ceux pour lesquels on n a pas w Id et p n I on doit en fait montrer 5 e w e Ptn0 s w n eQ Soient a 1 lt i lt n les racines simples et F la face de la chambre de Weyl orthogonale a Posons Q l ensemble des l ments w n de Q telle que la derni re face de la chambre de Weyl rencontr e par w p n soit F S il y en a plusieurs on requiert que ce soit celle avec un indice minimal On obtient ainsi une partition Q J Q de Q et il suffira de montrer que pour tout i 5 elwjet m0 0 w n EQ Pour cela on construit une involution y de Q telle que si w w 7 w n on ait w p n 1 w p x 7 1 et e w e w Les termes de la somme ci dessus s annuleront alors deux par deux Soit donc w n et notons k w p a Si k gt 0 comme w p 7 rencontre F le minimum de n t aY est plus petit que k et e n est bien d fini par la proposition 3 2 iii De m me si k lt 0 fg 7 est bien d fini On pose alors saw ek m sik gt O Saw faf n sik lt 0 Notons w w n w n C est un l ment de Q en effet si on note to le plus grand t tel que w p n t soit sur le bord de W w p n t w p n t pour
27. toutes de la forme 5l C 50 C ou 5p2 C L tude de ces alg bres de Lie pourrait donc se faire au cas par cas Le langage g n ral des syst mes de racines permet d unifier nonc s et d monstrations 2 3 Repr sentations des alg bres de Lie semi simples Soient g une alg bre de Lie semi simple h une sous alg bre de Cartan R son syst me de racines dont on choisit une base S et W le groupe de Weyl correspondant Nous d crivons ici les repr sentations de g Th or me 2 12 Compl te r ductibilit Toute repr sentation de g s crit comme somme directe de repr sentations irr ductibles c est dire sans sous espace propre invariant Ce th or me permet de ramener l tude des repr sentations de g celle de ses repr sentations irr ductibles Th or me 2 13 Soit p g gl V une repr sentation de g Alors l action de b sur V est diagonalisable Plus pr cis ment il existe des sous espaces V de V tels que V Qv HEb et que VH b Vve V Hv u H v Les u qui interviennent dans la d composition ci dessus sont les poids de la repr sentation et les V associ s sont les espaces de poids La dimension de V est la multiplicit de u dans p Les poids doivent v rifier la condition d int gralit si a R u a Z Cela les force appartenir un r seau Aw de E dans lequel A pg est d indice fini C est le r seau des poids Un l ment de Aw est dit dominant s
28. x G X Cela montre d j la propri t d int gralit De plus l hypoth se de r currence permet d appliquer le lemme 4 12 on a un isomorphisme G r G X G r 1 xG X On obtient donc une injection G r x Ar G r 1 x G X qui en envoyant m sur r 1 x induit une bijection G r Ar G r 1 Alors par la premi re ou la deuxi me tape selon que est un poids dominant ou l oppos d un poids dominant on obtient G r x Ar G r 1 r Etape 4 La proposition 4 10 est vraie pour t x x IF o les sont des multiples rationnels de poids dominants ou d oppos s de poids dominants Preuve Il existe n gt 0 tel que n m s crive comme concat nation de poids dominants et d oppos s de poids dominants Par la troisi me tape on a donc G nx G nT 1 Mais par la proposition 3 2 iv les graphes G r et G r 1 peuvent tre retrouv s comme sous graphes engendr s par les op rateurs f et e de ces deux graphes Par cons quent on a un isomorphisme G r G r 1 Il reste d montrer la propri t d int gralit Pour cela soit n B T et a une racine simple On note Ma le minimum de t gt n t a et na le minimum de t m t a qu on sait tre entier par les propri t s des chemins localement entiers Montrons Ma Na ce qui conclura Supposons par l absurde que Ma lt Na l autre cas tant similaire
29. 1 gt n w r par une it ration de la proposition 1 25 ce qui fournit l in galit cherch e Pour tablir la seconde in galit on va avoir besoin du th or me de suppres sion suivant Th or me 1 27 th or me de suppression Soient w W etw s1 Sr Si Sax une expression de w comme produit de r flexions simples non n cessairement r duite Supposons n w lt r Alors il existe 1 lt i lt j lt r tels que Qi Si 1 Sj 1Q Qj si i J 1 Sil Sj 5 Si Sj 1 W S Si Sja Sre Preuve Si pour tout j lt r 81 8 _10 P alors par la proposition 1 25 n w r Comme ce n est pas le cas il existe un j lt r tel que s1 8 _1Q P Mais a P donc il existe un gt 1 tel que s s _1a P et a Si 1 85 10 P Alors a est une racine positive envoy e par s sur une racine n gative D apr s la proposition 1 19 c est Qi Si 1 Sj 1Qj Qi D