comment l`histoire de la géométrie analytique peut aider les
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1. D montrer que la droite MN garde une direction fixe lorsque l angle droit MAN pivote autour du point fixe Film de la r solution zy 1 A a a 5 6 1 y a7 t z a 8 l B gt tz z a z a 1 0 10 zy 1 La racine x a est vidente 11 Produit des racines 11 Coordonn es de M z 1 ta y ta 10 Les coordonn es de N s obtiennent en changeant t en 1 t 11 z t a y ajt 10 Inutile d crire quation de MN 12 Le calcul de la pente suffit On trouve a 8 En faisant tendre M vers on trouve que a est la pente de la normale en 3 SE HISTOIRE DE LA G OM TRIE ANALYTIQUE CHRONOLOGIE SOMMAIRE 1 Phase heuristique EUCLIDE Calcul g om trique ARCHIM DE sans alg bre sans coordonn es APPOLONIUS Sections coniques 262 200 av J C ORESME De latitudinibus formarum 1361 Les coordonn es g ographiques Les nombres n gatifs ne sont pas encore familiers cette poque FERMAT Interpr tation de l Alg bre par la g om trie d s 1629 Etude g om trique de courbes d finies alg brique ment DESCARTES La G om trie r sout des probl mes g om triques 1637 par l Alg bre Pas de coordonn es institutionnalis es Les quatre quadrants sont tudi s s par ment exemple le folium de DESCARTES n tait vu que dans le premier quadrant on compl tait par sym trie Commentaires 1 Dans la page d APPOLONIUS on ne trouve ni axe ni coordonn es mais ce qu2. BE est le produit de cette multiplication Ou bien s il faut diviser BE par BD ayant joint Jes points E et D je tire AC parall le DE et BC est le produit de cette division Ou s il faut tirer la racine carr e de GH fig 2 je lui ajoute en ligne Fig 2 11 Conunent on peut uter de chiffres en r om tric G GLAESER droite FG qui est l unit et divisant FH en deux parlies gales au point K du centre K je tire le cercle FIH puis levant du point G une ligne droite jusques l angles droits sur FH c est GI Ja racine cherch e Je ne dis rien ici de la racine cubique ni des autres cause que j en parlerai plus commod ment ci apr s Mais souvent on n a pas besoin de tracer ainsi ces lignes sur le papier el il suffit de les d signer par quelques lettres chacune par une seule Comme pour ajouter la ligne BD GH je nomme l une a et l autre b et cris a b et a b pour soustraire b de a et ab pour les multiplier l une par l autre a A aa AEA et g pour diviser a par b et aa ou a pour multiplier a par soi m me 1 el a pour le multiplier ercore une fois par a et ainsi l infini et Va b A3 Cependant Descartes r p te presque toujours les facteurs gaux lorsqu ils ne sont qu au nombre de deux Nous avons ici constamment adopt Ia notation af pa ESSAI SUR LES CONIQUES Pascal 1640 Pour appr cier la lenteur de l volution examinons ce
3. en Chine et dans le Nouveau Monde On y cite trois types d quations de droites y ar b y ar b y ar b sous entendu a et b sont deux nombres positifs ce qui t moigne d une peur des nombres n gatifs Encore cette poque on fait une diff rence entre positif et n gatif comme entre le chaud et le froid Mais on ne trouve pas d quation de la forme y ax b car dans ce cas la droite ne traverse pas le premier quadrant Pour ceux qui ont la nostalgie du latin voici une page d EULER qui donne une interpr tation des nombres positifs et n gatifs avec r f rence aux dextrorsum et sinistrorsum INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM EULER 1748 LIBER SECUNDUS Caput I DE LINEIS CURVIS IN GENERE l Quoniam quantitas variabilis est magnitudo in genere considerata omnes quantitates determinatas in se complectens in Geometria huiusmodi quantitas variabilis convenientissime repraesentabitur Fig 1 per lineam rectam indefinitam RS Cum enim in a P a ie RE R linea inde nita magnitudinem quam A cunque determinatam abscindere liceat rei ea pariter ac quantitas variabilis eandem quantitatis ideam menti offert Pri mum igitur in linea indefinita RS punctum assumi debet A unde magni tudines determinatae abscindendae initium sumere censeantur sicque portio determinata AP repraesentabit valorem determinatum in quantitate variabili comprehensum 2 Sit igitar x quantitas variabilis quae per rectam ind
4. les l ves avec la g om trie et les instruments de dessin Peu de d monstrations sont exig es dans le texte cependant chaque enseignant peut demander l une ou l autre justification en s adaptant au niveau de son auditoire La brochure comprend neuf chapitres Quelques courbes Coni ques Cycloide El ments de g om trie de CLAIRAUT Poly gones r guliers Le nombre m Poly dres r guliers Autour de la sph re Observations en architecture Ces neuf chapitres reprennent les points propos s par l option de g om trie en Terminale A2 A3 Les math matiques dans cette section doivent permettre des l ves ayant perdu le go t des sciences d acqu rir des connaissances par le biais de la pluridis ciplinarit histoire langues trang res dessin et par l tude de documents C est pourquoi nous donnons de longs extraits de li vres anciens ou trangers que nous avons comment s et compl t s afin de les rendre utilisables en classe prix de vente 45 F port compris ch que l ordre de l Agent Comptable de PULP IREM 25
5. passage de l Essai sur les coniques que PASCAL crivit douze ans apr s la parution de la G om trie de DESCARTES Le jeune g om tre y raisonne sur la figure ci dessous o il a construit une droite auxiliaire CB La longueur AB a t choisie gale la moyenne g om trique entre les demi axes de l ellipse Il prouve alors que la somme des carr s de DE et DF est gale au carr de AB Nous devons faire un effort de d cryptage pour reconna tre ici la premi re apparition de l quation L artifice de la droite CB n inter vient que pour viter d crire que DF a b DE ce qui n est pas dans les habitudes de l poque 12 HISTOIRE DE LA G OM TRIE ANALYTIQUE 3 Pour Blaise PAscAL 1623 1662 il n y a pas de formules automati ques il faut chaque fois inventer une construction Il est probable que PASCAL n ait jamais vraiment compris ce qu taient les nombres n gatifs La seule citation sauf erreur que l on puisse trouver dans ses oeuvres est J en sais qui ne peuvent comprendre que qui de z ro te quatre reste z ro PASCAL Oeuvres Compl tes Edition Pl iade 1954 p 1109 CHRONOLOGIE SOMMAIRE suite 2 Construction de l algorithme EULER Introductio in Analysim infinitorum Tome 2 1748 Pr sentation des coordonn es cart siennes positives ou n gatives Changement de coordonn es Classification des coniques et des quadriques Pas d tude
6. position r ciproque des points vient changer par suite du d placement d un ou de plusieurs d entre eux c est a dire d s l instant o l une quelconque des distances ab ac bc devient inverse ou r trograde par rapport l origine d o elle se me sure en allant toujours de la gauche vers la droite selon notre hypoth se invariable En effet si le point b par exemple fig 102 s est trans Ho re Te Fig 103 7 gt 5 5 fga yri porte fig 103 d un mouvement continu quelconque de la gauche la droite de c la distance bc ayant chang de sens on aura fig 102 dans l ordre iacb ac ab bhe relation caract ristique qui ne diff re de ac ab bc qu en ce que be a pris un signe contraire celui qu il avait primitive ment c esta dire est devenu negatif en m me temps qu in verse en passant par zero Or il en sera evidemment dust de toutes les autres relations m triques qu on pourra d duire de ceHe b alg briquement et qui correspondront chacune cha cune aux premi res de la combinaison iabe appartenant la fig 02 elles ne diff reront toutes de leurs corr latives que par le changement de signe de bc Si donc on voulait rendre applicables la seconde situation ach des points a b et c les relations trouv es pour la pre mi re abc il suf rait de changer be en bc dans la relation primitive et dans toutes ses d riv es D sormais nous cesserons pour la simplici
7. premiers professeurs de l Ecole Polytechnique qui dress rent ce formulaire en d gageant son mode d emploi MONGE LACROIX Dans la phase suivante ce formulaire acquit de la souplesse par intro duction de variantes et de symboles plus maniables d terminant plan complexe quaternions vecteurs L introduction des coordonn es n gatives et de la g om trie orient e se heurta longtemps un v ritable goulot d tranglement Voici un extrait du Trait l mentaire de Trigonom trie rectiligne et sph rique et d application de l Alg bre la G om trie de LACROIX 16 HISTOIRE DE LA G OM TRIE ANALYTIQUE APPLICATION DE L ALG BRE LA G OM TRIE par LACROIX Pourtrouver la valeur de r qui r pond au point fo la ligne D F rencontre l axe AB des abscisses il frat faire Y o ce Qui donne b ax b o et s gt df Lorsque x restant toujours n gatif sera devenu plus grand que la quantit y lui m me deviendra n gatif Mais au del du point f la ligne DF se trouve au dessous de la ligne AB l ordonn e p n tombera donc d un c t oppos celui o elle toit situ e d abord et par cons quent les valeurs n gatives de y doivent se porter d un c t de la ligne A B oppos celui qu on a adopt pour les valeurs positives Ces remarques qui confirment ce qui a t dit dans le n 72 ne sont pas particuli res Ja ligne droite On ne sauroit y fai
8. simple trans mission de nos connaissances Il faut en outre se livrer une ducation sur les mani res d aborder une question ou de conduire un calcul Cette intervention p dagogique devrait se produire en toutes occasions m me titre de commentaire d une m thode utilis e par un professeur L OUVERT 44 1986 HISTOIRE DE LA G OM TRIE ANALYTIQUE QU EST CE QUE LA G OM TRIE ANALYTIQUE Le calcul g om trique La r solution de probl mes de g om trie par l alg bre L interpr tation de l alg bre par la g om trie Va et vient entre 2 et 3 L usage de coordonn es institutionnalis es UOTE CO LS L usage de divers outils de rep rage coordonn es rectangulaires ou obliques planes repr sentations param triques plan complexe vecteurs 7 Usage d objets orient s axes angles de droites 8 Le formulaire 9 Choix habile de l outil le plus appropri dans les formulaires 10 Usage d algorithmes 11 Mise en oeuvre d heuristique 12 L art d invoquer des calculs qu on n effectue pas L histoire de la G om trie analytique s tend sur 22 si cles avant APPOLONIUS jusqu nos jours Voici comment ces diff rents points interviennent dans la r solution d un probl me qui n cessite peu de connaissances mais met en vidence la complexit de l ducation donner aux l ves 7 G GLAESER Probl me nonc
9. voir qu Origine o x eft z ro la valeur de rge io y eR 34 Aa a elt donc la grandeur de la pr mi re ordonn e Suppolant euluite pofitive ou voit qu me Re xx 3 fure qu elle augmente les termes za amp augmentent aufi a fans que le terme conflant 4a diminu ce qui prouve que 15 G GLAESER rs a m xx lablcifle x croiflant lordonn e y tetta qui eft pofitive croit aufli Donc du c t des abfcifles pofi tives la Courbe n a qu une branche ad qui tombe toute entidre dans l angle des coordonn es pofitives amp qui par tant de Fextr mit a de la pr mi re ordonn e Aa linfini amp de PAxe des abfcitl s amp de l Axe d necs Pour conno tre le cours de cette Ligne du c t des ablcifl s n gatives on fera x n gative ce qui change l q S cloigne cs ordon xx XX Jar trta en I x Hha O lon voit XX NT que x tant moindie que 64 ra cit moindie que x de A fa on que le terme conflant 4 elt moins augment par le e XX 0 e terme pofitif zg due diminu par le terme n gatif x y 2 Etablissement du formulaire 1768 1820 De nos jours on enseigne souvent l Analytique en tr s peu de temps on pr sente la liste de formules encadrer et apprendre par coeur qui expriment les faits g om triques simples Il s agira de choisir et combiner ces formules puis de les appliquer automatiquement Ce furent principalement les
10. AESER CALCUL G OM TRIQUE exemple Les hauteurs d un triangle Il s agit d abord d crire l quation de la hauteur issue de A On peut y parvenir p niblement en utilisant des coordonn es cart siennes en axes rectangulaires apr s avoir indiqu les coordonn es des trois sommets Mais le calcul devient plus suggestif si l on remarque que l ensemble des points X du plan euclidien satisfaisant I XB XC 1 AB AC Cons quence imm diate du th or me de PYTH AGORE est la perpendi culaire men e de A sur BC En appelant D le point de rencontre des hauteurs issues de et de B on en conclut qu il satisfait aux deux galit s suivantes I DB DC AB AC I De DA BC BA d o l on d duit en ajoutant membre membre la cons quence DA DB CA B Elle exprime que D se trouve sur la troisi me hauteur En outre les galit s crites prouvent que I AB DC BC DA P CA DB Conclusion L enseignant traditionnel ne trouve aucune difficult enseigner la g om trie analytique Il exp die la pr sentation du formulaire et s tonne de trouver des l ves travailleurs qui ont bien appris le cours si maladroits dans la mise en oeuvre de la m thode C est que la difficult ne porte pas tellement sur l enseignement des connaissances que sur l ducation d
11. COMMENT L HISTOIRE DE LA G OM TRIE ANALYTIQUE PEUT AIDER LES PROFESSEURS DANS LEUR ENSEIGNEMENT Georges GLAESER L article qui suit est une conf rence la R gionale de l A P M faite le 30 janvier 1986 Mulhouse et le 6 f vrier 1986 Strasbourg Il a t r dig par Claudine KAHN et Odile SCHLADENHAUFEN Ce n est pas en r sumant la vie de DESCARTES en deux lignes au bas d une page d un manuel ou en donnant la date du Discours de la M thode qu on apporte une information utile dans l enseignement de la g om trie analytique D autant plus que ce qui est dit est parfois faux ce n est pas DESCARTES qui a cr la g om trie analytique Cette affirmation deviendrait plus raisonnable si l on prenait pour d finition de la g om trie analytique l application de l alg bre la g om trie Celle ci ne pouvait tre ant rieure la mise au point d un calcul alg brique Pour d terminer les diverses tapes de la constitution de cette branche de la math matique la m thode utilis e est la suivante en examinant syst matiquement des travaux de g om tres des si cles pass s il ap para t que les proc d s ont consid rablement volu certains exploits de PONCELET ne pouvaient pas figurer dans les travaux de PAscAL Non seulement les connaissances ont augment mais surtout les pratiques et les savoir faire ont gagn en efficacit Notre enseignement ne peut se r duire aujourd hui une
12. ctement K77 en prenant cette droite pour l incon nue on aura x c ab oux o Ey 40 ab dont la valeur positive est pr cis ment la m me que celle qui s toit pr sent e dans le premier cas avec le signe n gatif Donc quoique les deux racines de l quation x tc y 4c ab soient l une positive et l autre n gative elles doivent tre prises toutes les deux dans le m me sens par rapport au point fixe K Ainsi la r gle qui veut que ces racines soient prises en sens oppos s porte faux Si au contraire le point fixe K toit pris sur le diam tre m me AB et non sur le prolongement on trouveroit pour deux valeurs positives et cependant elles devroient tre prises en sens contraire l une de l autre La r gle est donc encore fausse pour ce cas 18 HISTOIRE DE LA G OM TRIE ANALYTIQUE 4 Il semble que ce soit PONCELET qui mentionna pour la premi re fois la relation de CHASLES dans le texte suivant APPLICATION D ANALYSE ET DE G OM TRIE Troisi me cahier Sur la loi des signes de position en g om trie la loi et le principe de continuit 1864 PONCELET pr tend avoir d j trouv cela en 1815 1816 Loi des signes de position relative aux points rang s sur une ligne droite une circonf rence de cercle etc Ces d finitions et notions premi res tant admises passons l examen du syst me de trois points en ligne droite en vertu du rapprochement que la fig rot tabli
13. efinitam RS repraesentetur atque manifestum est omnes valores determinatos ipsius z qui quidem sint reales per portiones in recta RS abscindendas repraesentari posse 14 HISTOIRE DE LA G OM TRIE ANALYTIQUE Scilicet si punctum P in ipso puncto capiatur intervallum AP evanescens exhibebit valorem x 0 quo magia autem punctum P ab A removetur eo maior valor determinatus ipsius z intervallo AP repraesentabitur Vocantur autem haec intervalla AP abscissae Atque ideo abscissae exhibent variabilis x valores determinatos 3 Quia vero recta RS indefinita utrinque ab in infinitum excurrit utrinque etiam omnes ipsius z valores abscindi poterunt Quodsi autem yalores affirmativos ipsius x ab dextrorsum progrediendo abscindamus intervalla Ap nn marne sinistrorsum abscissa valorcs ipsius z negativos exhibebunt Cum enim quo Lxonnanpr Eurert Opera omnia I 8 Introductio in analysin infinitorum utrinque de part et d autre En 1750 CRAMER dans son Analyse des lignes courbes tudie la courbe d quation z 6ax 5a 6ay 0 Il regarde ce qui se passe lorsque x augmente obtient ainsi la branche infinie positive Puis il change x en z de mani re incorrecte mais arrive au r sultat INTRODUCTION D ANALYSE DES LIGNES COURBES ALG BRIQUES par Gabriel CRAMER 1750 Aiufi dans la Combe que repr l nte l q xx 6ax XX x e ana Eiaa X Hsia ay o o y raria Ga l quation fait
14. es savoir faire Le didacticien ferait bien d tudier minutieusement la pratique de la g om trie analytique travers les textes des pionniers sans oublier ORESME FERMAT PASCAL NEWTON LACROIX LAM Il reprendra les articles de g om trie parus dans les journaux historiques de Crelle de Liouville comme s il corrigeait des copies d l ves Il s tonnera des maladresses pr sentes dans les textes de nos pr d cesseurs et s interrogera A quel moment voit on appara tre tel ou tel perfectionnement dans l art de calculer ou d viter des calculs inutiles Pour le didacticien qui s efforce de d couvrir ce que nos l ves ont du mal trouver tout seuls et sur quoi nous devons les aider l histoire fiction qui 24 HISTOIRE DE LA G OM TRIE ANALYTIQUE se r duit Descartes 1637 est un obstacle au progr s On saute ainsi pieds joints par dessus des si cles de t tonnements et d incertitudes pour d crire le progr s scientifique comme une succession de miracles ponctuels La brochure ACTIVIT S G OM TRIQUES de la SIXI ME LA TERMINALE de C KAHN et O SCHLADENHAUFEN est nouveau disponible la biblioth que de PI R E M Les connaissances math matiques n cessaires pour appr hender ce fascicule sont modestes Les nombreuses constructions g om tri ques propos es tout au long de l ouvrage peuvent tre r alis es d s la classe de 6 et familiariser ainsi
15. i est crit peut tre transcrit assez simplement en utilisant des coordonn es Si bien que tout un livre d APPOLONIUS correspond la moiti de ce qu on enseignait en Terminale il y a quelques ann es 9 G GLAESER Les coniques d Apollonius de Perge PROPOSITION XI Si un c ne est coup par un plan passant par l axe et s il est coup par un autre plan coupant la base du c ne suivant une droite perpen diculaire la base du triangle passant par l axe si de plus le dia m tre de la section est parall le l un des c t s du triangle passant par l axe le carr de toute droite men e de la section du c ne paral x EUR LLUC QC toule droe mence de Ja section du c ne l lement ta section commune du plan s cant et de la base du c ne jusqu au diam tre de la section quivaut uu rectangle d limit par Ja droite qu elle d coupe sur le diam tre du c t du sommet de la section e y xP et par une certaine droite dont le rapport la droite situ e entre l angle du c ne et Le sommet de fa section est le m me que celui du carr de la base du triangle passant par l axe au rectangle d limit par les deux c t s restants du triangle Nous nppellerons une telle section une parabole Soit un c ne dont le sommet est le point A et dont la base est le cercle BI Coupons le par un plan passant par l axe lequel d termine comme section le triangle ABL Coupons le aussi par un autre plan cou
16. it besoin daller plas loin il est visible que les observations ci dessus relatives au systeme des points a b c Jig 102 se reproduisent galement dans toutes les autres permutations de ces points l gard des changements de signe que doivent subir les distances de la relation primi tive pour qu elle devienne applicable indistinctement toutes les situations possibles En particulier quand les points a b c prennent la position indiqu e par la fig 105 ci dessous les distances sont devenues la fois inverses ou r trogrades par rapport celles de la fig 102 mais alors on a ac ab be soit ac ab be ves distances sont donc aussi devenues simultan ment nega tives ce qui confirme la r gle alg brique On vait par la d ailleurs que les signes ne sauraient sans convention ex presse fixer la position absolue des points a b sur la droite AB on pourra toujours les renverser sym triquement sans que les relations en soient troubl es en changeant le sens de la g n ration des lignes de la droite vers la ucie 1 Donc pour rendre une relation appartenant au systeme de trois points quelconques en ligne droite et relative une situation donn e de ces points applicable toutes les situa tions possibles des m mes points il suffit de changer dans cette e relation le signe des distances devenues inverses ou r tro grades par rapport au sens ans lequel on les supposait primis vement en
17. on que des cercles et des lignes droites Tous les probl mes de peom lrie se peuvent facilement r duire tels termes qu il n est besoin par apr s que de connoitre la longueur de quelques lignes droites pour les construire Et comme toute l arithm tique n est compos e que de quatre o cing Comment le veleul d aritit m tique se et l extraction des racines qu on peut prendre pour une esp ce de division vaprorteaux op ralons de g am trie cherche pour les pr parer tre connues que leur en ajouter d autres ou en ter ou bien en ayant une que je nommerai l unit pour la rapporter d autant mieux aux nombres et qui peut ordinairement tre prise discr tion puis en ayant encore deux autres en trouver une quatri me qui soit l une de ces deux comme l autre est l unit ce qui est le m me que Ja multiplication ou bien en trouver une quatri me qui soit l une de ces deux comme l unit est l autre ce qui est le m me que la division on enfin trouver une ou deux ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l unit et quelque autre ligne ce qui est le m me que tirer la racine carr e ou cubique elc Et je ne craindrai pas d introduire ces termes d arithm lique en la p om lrie afin de me rendre plus intelligible Soit par exemple AD fig 1 l unit et qu il faille multiplier BD par BC Fig 1 E D A B je m ai qu joindre les points A et C puis tirer DE parall le CA et
18. pant la base du c ne suivant une droite AE perpendi culaire ta droite BI lequel d termine la ligne AZE comme section dans la surface du c ne tandis que le diam tre ZH de la section est parall le l un des c t s AT du triangle passant par l axe Menons du point Z la droite Z8 perpendiculaire la droite ZH et faisons en sorte qu une droi te Z0 soit la droite ZA comme le carr de fa droite BI est au rectangle d limit sous les droites BA AT Enfin pre nons un point quelconque K sur la section et menons par ce point K la droite KA parall le la droite AE Je dis que le carr de la droite KA quivaut au rectangle d limit sous les droites 87 ZA 2 Quant DESCARTES il cherche des relations entre les longueurs donne des quations mais n introduit pas de coordonn es Pour lui la chose importante est la g om trie l alg bre n est qu un outil Il critique m me les gens qui comme FERMAT tudient des courbes d finies par des quations sans r f rences des probl mes pos s par la g om trie traditionnelle 10 HISTOIRE DE LA G OM TRIE ANALYTIQUE LIVRE PREMIER Des probl mes qu on peut construire sans y employer La multiplea tion La division L extraction de la racine carr e op rations qui sont l addition la soustraction la mnltiplication la division ainsi n a t on autre chose faire en g om trie touchant les lignes qu
19. re trop d attention car c est de l usage des quantit s n gatives dans les figures que d pendent en grande partie les diverses formesqu affectent les lignes ourbes L quation y ax b ne renfermant que deux cons tantes a et b dont la valeur particularise la droite qu on consid re en la distinguant de toute autre il s ensuit que deux conditionssuffisentpour d terminer cette droite Celles qui s offrent les premi res sont de l assujettir passer par deux points donn s tre parall le ou per pendiculaire une autre droite donn e t passer en outre par un point donn Nous aurons besain dans la suite de conno tre la forme que prend l quation y a x b pour satisfaire ces diverses conditions c est pourquoi nous allons les examiner chacune en par ticulier 84 Si on cherche l quation de la ligne droite qui 17 Passe par deux points dont les abscisses soient a ete et les ordonn es 8 et 8 on mettra successivement et la place de x et 8 celle de y et on aura pour d terminer a et b les deux quations LP S B aa 4 b a A 3 a e dont on tirera x n a B a Lh b EN aB am t B j 0 et il en r sultera _ 8E 8 a B ap I gt a 2 w o pour l quation de la droite cherch e On peut donner ce r sultat une forme plus simple Car si on retranche de l quation y x b l une des deux quations ci dessus la premi re par e
20. s et tangentielles Das barycentrische Kalk l Repr sentation des transformations par des matrices Coordonn es pl ck riennes Allusion des calculs non ex cut s limination de la triple x une lettre pour d signer un vecteur une matrice une fonction 22 HISTOIRE DE LA G OM TRIE ANALYTIQUE En particulier il y a des propri t s qui s expriment mal par calcul qu on prend l habitude de traiter par des raisonnements synth tiques par exemple exprimer qu un triangle est quilat ral o l usage de coordonn es rectangulaires masque les sym tries et les invariances Il arrive qu il soit avantageux de changer plusieurs fois de syst me de coordonn es au cours d un m me probl me Enfin on voit appara tre des calculs o le choix des coordonn es n est pas explicit calcul vectoriel ou barycentrique CHRONOLOGIE SOMMAIRE suite 4 RENOUVEAU HEURISTIQUE vers une g om trie analytique sans axes ni coordonn es SALMON Flexibilit dans l emploi des nouveaux symboles 1848 1862 virtuosit heuristique BOULIGAND 1924 G om trie vectorielle XXSsi cle Alg bre lin aire Dans le livre de SALMON on reconna t l art du calcul oppos la science du calcul Voici une illustration du calcul g om trique sans utilisation de coor donn es Cette r solution met en oeuvre un proc d de g om trie ana lytique 23 G GL
21. sendrecs En G autres terme suj it de regarder comme posiiives Tes quantit s qui en le m me sens l gard de l extr mit d o elles se mesurent et comme n ga tives celles qui changent de sens par rapport ce m me point 21 G GLAESER Ainsi il y aura variation de signe et permanence en m me temps que variation ou permanence de position relative Il est visible en outre que la permanence aura licu toutes les fois que la distance ne sera devenue ni nulle ni infinie et que re Ciproquement la variation n arrivera que dans l hypoth se Coniriire Apr s que la r solution de probl mes de g om trie ait t r duite l ex cution automatique d un algorithme on voit se constituer au courant des XIX et XX si cles des habitudes heuristiques Elles conduisent des calculs l gants et concis contrastant avec la lourdeur qui r gnait auparavant Ge _ _ _ _ _ mn CHRONOLOGIE SOMMAIRE suite 3 EXTENTION DE L ID E DE COORDONN E WESSEL 1799 ARGAND 1806 HAMILTON 1847 HAMILTON GRASSMANN 1844 LAM 1818 BOBILLIER 1797 1832 PL CKER 1801 1868 MOEBIUS 1827 CAYLEY 1843 PL CKER 1828 et PONCELET l Le plan complexe Les quaternions Le calcul vectoriel Notations abr g es on parle de la droite d quation l 0 au lieu de az by c o Coordonn es homog ne
22. syst matique de la droite LAGRANGE 1770 laboration du formulaire De 1768 1820 La d nomination G om trie Analytique par MONGE 1795 LACROIX pr tend faire pour la G om trie ce LACROIX et que LAGRANGE avait r alis auparavant pour leurs l ves la M canique analytique Application automatique de s quences algorith miques Stock d alternatives pour exprimer les m mes questions usage de d terminants BIOT 1809 Premier manuel scolaire de G A G LAM 1818 Examen des diff rentes m thodes pour r soudre les probl mes de g om trie ouvrage de r flexion l usage des math mati ciens apparition de techniques nouvelles L CARNOT La g om trie de position 1803 Critique des difficult s caus es par les nombres n gatifs Le mot abscisse d signe encore une distance PONCELET 1862 G om trie orient e CHASLES Sur la loi des signes de position en G om trie publi en 1862 recherches de 1815 1816 MONGE Aires et volumes orient s 13 G GLAESER Commentaires 1 EULER ne traite pas de quation de la droite il a peur de la trivialit c est un ph nom ne pist mologique important La premi re mention de l quation de la droite est faite dans un ouvrage de LAGRANGE 1770 La m me ann e paraissent deux manuels scolaires l un du Marquis de P HOSPITAL l autre de Marie Gaetana AGNESI en usage chez les J suites ainsi qu
23. t de distinguer les relations d riv es de la relation primitive parce qu elles sont des cons quences rigoureuses de celle ci alg brique ment ou g om triquement parlant 9 Consid rons maintenant la troisi me et derni re disposi tion distincte que peuvent prendre les points a b c par exemple celle o le point c de la droite AB passe en r trogra dant gauche du point a On a alors fig 104 dans l ordre enb ac be ab ou alg briquement ac ab be 20 HISTOIRE DE LA G OM TRIE ANALYTIQUE relation qui fait voir que par suite du d placement du point e de la fig 102 la fig 104 ac et be ont chang la fois de signe de m me que les distances qu elles repr sentent deve nues inverses ont chang de sens relativement l ordre pri mitif des points ou des lettres Si donc l on veut rendre applicable la derniere de ces figures les relations diverses trouv es pour la premi re il suffira d y changer les signes des deux distances bc et ac de venues fig 102 cb ct ca dans l ordre r trograde D ailleurs ces diverses relations et leurs d riv es alg bri ques auront licu pour toutes les grandeurs des lignes qui y entrent et qui rapport es la m me unit de mesure pour raient tre repr sent es par des lettres quelconques la ma ni re de Vi te et cela quand bien m me elles changeraient de signe ou de sens en passant par l infini i0 Suns qu il so
24. t entre les dis tances lin aires les arcs et les angles ce que nous dirons des uns pourra s appliquer imm diatement aux autres c est pourquoi dans ce qui suit je me bornerai consid rer les distances lin aires seules mais on devra se rappeler que les m mes choses s appliquent aux arcs et aux angles 7 Svient donc a b c fig 102 trois points donn s sur la droite ind finie AB l on aura videmment pour le cas o b est entre a et c en cheminant de la gauche vers la droite c est a dire dans l ordre ube ac ab be Or cette reiauon intuitive aura lieu tant que b sera entre s et c quelles que soient d ailleurs les distances qui s parent ces points c est dire tant que a b c n auront pas chang de position entre eux ou si l on veut encore tant qu aucune de leurs distances mutuelles ne sera devenue invers r trograde par rapport au sens et l ordre primitifs Il en sera de m me videmment de toutes les autres rela tions d riv es de la premi re soit g om triquement soit al g briquement par exemple de celles ci 1 1 ab ac bc ac ab bc aab be an 1 1 ab ac bc zac bc etc etc car elles en sont des transformations exactes et rigoureuses toutes ces relations demeurent imm diatement applicables sans aucun Changement de signe l tat suppos du syst me 19 G GLAESER 8 Mais la m me chose n a plus lieu d s l instant o la dis
25. xemple disparo tra et il viendra ons B a xr a cette derni re quation sera celle d une droite assujettie passer par le point dont les coordonn es sont a ct et faisant d ailleurs avec l axe 4 B n angle quelconque en y mettant au lieu de a la valeur trouv e pr c dem ment on aura r n e e S La distance des points propos s u la partie gils interceptent sur la droite cherch e aura pour expres sion Ve F ER cela se voit videmment en supposant que Net N re pr sentent ces points car leur distance NN tant Phy poth nuse du triangle rectangle NRN il s ensuit que NN SNR HN R AP APR PIN PNY H 2 G GLAESER 3 Dans le probl me qui suit CARNOT essaie de d terminer une corde mm qui ait une longueur donn e mais il tombe sur une racine n gative qu il ne parvient pas interpr ter Son livre est un t moignage de l incompr hension des nombres relatifs l poque G OM TRIE DE POSITION par Lazare CARNOT Supposons KA a KB b mm c Km x on aura donc par les propri t s du cercle ab x c c8 Hag y donc ss cy ab o o x 1cty 0 ab w a donc deux valeurs la premi re qui est positive satisfait sans difficult la question mais que signifie la seconde qui est n gative Il paro t qu elle ne peut r pondre qu au point zz qui est le second de ceux o Kz coupe la circonf rence et en effet si l on cherche dire
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