REGRESSION LINEAIRE
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1. es le point r el pour chaque couple x y des s ries de 2 donn es et le point d abscisse x de la droite propos e Evaluation de l erreur entre le point r el et le point de m me abscisse sur la droite propos e Puisque l erreur commise est tant t positive point au dessus de la droite et tant t n gative point en dessous de la droite la somme de ces erreurs sera quasiment nulle m me si les points sont tr s loign s de la droite Cette somme est donc un mauvais crit re d valuation de la qualit de la r gression lin aire On choisit alors comme grandeur d valuation la somme des carr s des erreurs plus cette somme est faible plus les points sont proches de dE a DE mesur ax mesur b mesures la droite La calculatrice cherche minimiser cette grandeur d o l appellation de crit re des moindres carr s e M thode de r gression lin aire et incertitude Cette m thode n est valable que si incertitude sur les mesures des valeurs en abscisse est n gligeable incertitude sur les mesures des valeurs en abscisse est constante n y a pas d erreur syst matique Si a n est pas le cas il faut utiliser la m thode dite du x qui consiste tracer des ellipses correspondant aux incertitudes sur chaque point et de tracer la droite passant au plus pr s de chaque ellipse Ainsi la droite passe pr s des points les plus certains et plus loin des points plus2. incertains 1 300E 0 RECHERCHE D UN MODELE fonction proposee Fonction affine y x 0 1 D 000E 0 1 200E 0 superposition de y x 0 1 y axx b a 1 016E 00 b 9 502E 02 1 000E 1
3. obtient les sonne suivantes 1 La loi est elle v rifi e 2 Sioui quelle est la valeur de la constante de raideur k du ressort R ponses Exercice 1 1 Droite d quation y 0 6x 0 4 r 1 Les points semblent align s bon coefficient de corr lation la loi semble v rifi e 2 a 0 6 m s et Vo 0 4 ms Exercice 2 1 Avec Cen mol L et t en secondes C f t C 2 10 t 0 0003 r 0 89 In C flt InC 0 0115 t 8 06 r 0 97 1 C f t 1 C 80 2 t 1990 r 1 2 Coefficient de corr lation maximal meilleur alignement la loi suivie semble tre une relation affine entre 1 C et t Pente 80 2 mol L s Intervalle de confiance 95 donn par la calculatrice 80 0 81 0 Exercice 3 1 E enJ en fonction de x avec x en m est bien une droite d quation E 10 01 x 8 10 ordonn e l origine n gligeable r 1 la loi est v rifi e 3 k 9 99 10 J m N m Intervalle de confiance 95 donn par la calculatrice 0 00998 0 0100 Compl ment Chapitre 6 R gression lin aire Lef vre 2014 2015 Pour information e Comment la calculatrice choi sit elle la meilleure droite Il y a de nombreux crit res existant le plus courant tant celui des moindres carr s Proposition de droite y ax b Pour cela la calculatrice propose une droite e d quation y ax b et value l erreur commise entre Points correspondants la s rie de donn
4. s par les deux s ries de donn es fournies on obtient ce qu on appelle un nuage de points Effectuer une r gression lin aire entre les deux s ries consiste trouver la droite qui passe au plus pr s de l ensemble de ces points On peut alors d terminer trois param tres la pente de la droite a et son incertitude son ordonn e l origine b les coefficients de corr lation ou de r gression par exemple r compris entre 0 et 1 Les coefficients de corr lation permettent d valuer la proximit de la droite par rapport la s rie de donn es C est la calculatrice qui effectue cette op ration IIl COEFFICIENTS DE CORRELATION r ET r QUALITE D UNE REGRESSION LINEAIRE A La calculatrice est une machine elle n met pas de jugement sur les op rations qu on lui fait faire si une r gression lin aire est demand e la calculatrice proposera l quation d une droite m me si les points de l chantillon ne sont pas du tout align s II faut donc valuer la qualit de la r gression lin aire Pour ce faire on utilise deux crit res On effectue une v rification visuelle on trace le nuage de points et on v rifie qu ils semblent align s On utilise les coefficients de corr lation ret r 2 e e z z e e z e Plus la valeur de r est proche de 1 meilleure est la qualit de la r gression lin aire e z z e e z e e e e 2 Usuellement on consid rera qu une r gression lin aire
5. Compl ment Chapitre 6 R gression lin aire Lef vre 2014 2015 REGRESSION LINEAIRE Le but d une r gression lin aire est de trouver la meilleure relation affine entre deux s ries de donn es VERIFICATION D UNE RELATION GRACE A UNE REGRESSION LINEAIRE On poss de deux s ries de donn es entre lesquelles on veut trouver ou v rifier une relation Il est tr s facile de v rifier qu une relation est lin aire ou affine entre deux s ries il suffit de v rifier si les points sont align s En revanche il est plus difficile de montrer qu une relation est logarithmique parabolique L id e est donc de construire partir des deux s ries d origine deux s ries de donn es entre lesquelles il existe une relation affine On appelle cette op ration lin ariser une relation Exemple On veut v rifier qu une constante de vitesse k v rifie la relation d Arrhenius k Aexp Ea RT et on dispose pour cela de valeurs de k diff rentes temp ratures T Il faut donc trouver une relation affine entre deux s ries de donn es bien choisies en lin arisant la relation d Arrhenius k Aexp Zay amp lnk InA On trouve une relation du type y ax b avec y ink a E fR x 1 T b InA Conclusion Si la relation d Arrhenius est verifi e on a alors une relation affine entre Ink et 1 T Il PRINCIPE DE LA REGRESSION LINEAIRE Si on place dans un plan les points correspondants aux couples form
6. est satisfaisante si r gt 0 99 Remarque Donner suffisamment de chiffres significatifs pour r pour montrer qu il est sup rieur 0 99 Attention se m fier du seul coefficient de corr lation faire aussi une v rification visuelle Compl ment Chapitre 6 R gression lin aire Lef vre 2014 2015 IV MISE EN UVRE M thode Pour v rifier une relation gr ce une r gression lin aire il faut e Intuiter la relation entre les deux s ries de donner et la lin ariser e Calculer si n cessaire les nouvelles s ries de donn es entre lesquelles la relation est suppos e affine e Tracer le nuage de points et effectuer la r gression lin aire la calculatrice ou l aide d un logiciel e V rifier si cette r gression est de bonne qualit gr ce au trac v rifier visuellement que les points semblent align s qu ils sont proche de la droite et r partis al atoirement au dessus en en dessous de la droite et au e o z Z opo 2 z coefficient de corr lation v rifier que r gt 0 99 Si c est le cas on pourra consid rer que la relation est effectivement correcte Sinon c est que l hypoth se de d part est revoir Chacun doit savoir effectuer une r gression lin aire avec sa calculatrice et est responsable de la maitrise de son mat riel Quelques informations sont pr sent es ci dessous bien s r non exhaustives En cas de besoin lisez votre mode d emploi e Casio A
7. lis on cherchera dans la notice la mani re d obtenir ces donn es si possible VI QUELQUES CONSIGNES e Attention l erreur classique qui consiste changer les deux listes la r gression ne s effectuant pas dans le bon sens e TOUJOURS tracer la droite et donner la valeur de r pour justifier le fait que la r gression est valable Ne pas donner toutefois trop de chiffres significatifs trois suffisent e Indiquez toujours ce que vous tracez Par exemple on trace Ink en fonction de 1 T Compl ment Chapitre 6 R gression lin aire Lef vre 2014 2015 EXERCICES D APPLICATION REGRESSIONS LINEAIRES Exercice 1 Loi de vitesse On tudie le mouvement uniform ment acc l r d un mobile sa vitesse est alors donn e par la loi v at vo On obtient les donn es suivantes 1 La loi semble t elle v rifi e 2 D terminer l acc l ration a du mobile et sa vitesse vo Exercice 2 Cin tique chimique La concentration C d une esp ce chimique est mesur e au cours du temps On obtient les donn es suivantes ao o f 40 1 60 80 200 220 Ras les r gressions lin aires suivantes en donnant l quation et le coefficient de corr lation e Cenfonction det e In C en fonction det 1 C en fonction de t 2 Avec quelle loi les r sultats exp rimentaux s accordent ils le mieux Exercice 3 Raideur d un ressort s s 2 L nergie E d un ressort d pend de son allongement x selon la loi E kx On
8. ller dans le menu STAT et rentrer deux s ries de donn es entre lesquelles la relation est suppos e affine chacune dans une liste Visualiser le nuage de point en tapant GRAPH puis en choisissant un graphe GPH1 par exemple Appara t alors sous le graphe un menu pour obtenir une r gression lin aire y ax b taper X Une fen tre LinearReg donne alors les valeurs a b et ren pr cisant l quation de la droite Attention si plusieurs listes ont t cr es il faut pr ciser quelles listes jouent les r les de x et y Pour cela appuyer sur GRAPH et choisir SET Pour visualiser la droite de r gression lin aire choisir DRAW en bas droite de la fen tre LinearReg e TI Ouvrir l diteur de donn es STAT EDIT 1 Edit Rentrer deux s ries de donn es entre lesquelles la relation est suppos e affine chacune dans une liste Pour visualiser le nuage de point ouvrir l diteur de graphes avec 2ND STAT PLOT 1 Cocher On puis choisir le type de trac par exemple le nuage trac discontinu Entrer le noms des listes qui jouent les r les de x et y Choisir le type de marque par exemple le carr Appuyer ensuite sur la touche GRAPH les points doivent a priori sembl s align s Pour ajuster la fen tre r gler le zoom ZOOM 9 ZoomStat Pour effectuer la r gression lin aire entrer ensuite dans STAT TESTS et choisir la r gression lin aire LinRegTTest Indiquer la lis
9. te choisie pour x et celle choisie pour y Aller sur Calculate La calculatrice donne la pente l ordonn e l origine et le coefficient de corr lation r Pour visualiser la droite de r gression lin aire appuyer sur la touche Y puis CLEAR Entrer ensuite dans VARS 5 Statistics et s lectionner EQ 1 RegEQ Visualiser ensuite le graphe en appuyant sur GRAPH V INTERVALLE DE CONFIANCE Certains logiciels fournissent l incertitude sur la pente et l ordonn e l origine ainsi obtenues Par exemple sur TI choisir la r gression lin aire LinRegTTest Indiquer la liste choisie pour x et celle choisie pour y ainsi que l intervalle de confiance souhait pour la pente par exemple 0 99 Aller sur Calculate La calculatrice donne la pente avec son intervalle de confiance D autres logiciels fournissent l incertitude type u p sur la pente II faut alors multiplier cette incertitude type par le coefficient de Student t correspondant au nombre de valeurs de la liste et l intervalle de confiance souhait Si on ne dispose pas de table prendre t 2 On a alors pente valeur donn e 2 u p En pratique les calculatrices graphiques et les logiciels avec tableur permettent le trac du graphe y x et donnent les coefficients a et b et le coefficient de corr lation r Certains tableurs donnent en plus les incertitudes types sur a et b par exemple R gressi et Latis Pro En fonction du logiciel uti
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