Cours : la numération décimale
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1. texte elles insistent sur la place des probl mes Au cycle 2 les l ves acqui rent le sens des nombres et des op rations travers la r solution de quelques grandes cat gories de probl mes e exprimer et garder en m moire une quantit une position dans une liste rang e le r sultat d un mesurage e comparer des quantit s ou des grandeurs notamment lorsque les collections sont mat riellement loign es l une de l autre e pr voir quel sera le r sultat d actions sur des quantit s des positions ou des grandeurs augmentation diminution r union partage d placement Le r f rentiel de comp tences de fin de cycle est lui m me ordonn selon les diff rents types de probl mes propos s 2 2 Groupements et changes le codage L activit de base de la construction de la num ration d cimale consiste d nombrer une collection importante On proc de par regroupements de 10 le nombre d l ments qui ne peuvent pas rentrer dans un groupement donne le chiffre des unit s On regroupe ensuite les paquets de 10 en gros paquets de 10 paquets Le nombre de paquets inclassables donne le chiffre des dizaines Deux m canismes sont donc constitutifs de cette traduction le regroupement par paquets de dix et l change de dix paquets contre un paquet de la cat gorie sup rieure Les activit s de groupement par 10 s effectuent d s le CP mais les l ves ne font pas forc ment le lien avec la n2. 0000 CM1 les grands nombres Les items ci dessous proviennent des I O de 1995 Au cycle 2 par rapport la num ration d cimale on a e Coder une quantit par la mise en uvre de proc dures de groupements par dizaines et centaines R aliser des groupements par dizaines gt R aliser des groupements par dizaines et par centaines gt noncer le r sultat de groupements Coder des regroupements suivant un code arbitraire Coder des regroupements suivant un code conventionnel gt Comprendre la signification des diff rents chiffres de l criture d cimale gt Ma triser l emploi du z ro dans la num ration de position Rep rer des erreurs dans des groupements r alis s Rectifier des erreurs dans les groupements organis s e Coder une quantit par la mise en uvre de proc dures d changes par dizaines et centaines Proc der des changes en respectant une r gle gt Proc der des changes en modifiant une r gle gt R aliser des changes de dizaines R aliser des changes de dizaines et de centaines Proc der des changes l aide de pi ces de monnaie Comparer des collections apr s changes gt Coder des changes gt Coder le r sultat d un change en respectant un code arbitraire Coder le r sultat d un change en respectant un code conventionnel Rep rer des changes dans des groupements r alis s gt Rectifier des changes dans les groupements organis s gt
3. La num ration d cimale 1 Compl ments 1 1 Un peu d histoire L utilisation des chiffres 0 1 9 provient des Indiens VI si cle via les Arabes fin du VII d but du IX Ils ne se sont impos en Occident qu aux XIIT et XIV L origine remonte certainement aux doigts de la main 1 2 R sum du mode d emploi e Les chiffres utilis s sont dans l ordre 0 1 9 e Chaque chiffre a une valeur diff rente selon la position qu il occupe dans l criture du nombre e Dix unit s d un ordre donn constituent une unit de l ordre imm diatement sup rieur e Tout nombre peut se d composer en puissances de dix e Le chiffre 0 indique l absence de groupement d un ordre donn 1 3 Les grands nombres partir des milliers on travaille en fait en base mille la base dix devenant une base interm diaire Nicolas Chuquet en 1484 invente une nomenclature des grands nombres 1000 se note 1 000 mille 10 1 000 000 million 106 1 000 000 000 000 billion 10 1 000 000 000 000 000 000 trillion 1018 D une mani re g n rale on appelle N illion le nombre 10 o N d signe le pr fixe latin tri quadri qui six septi octi noni d ci und ci duod ci Parall lement d autres choix existent utilisant le milliard ou reposant sur autre conven tion ainsi les am ricains utilisent ils encore une chelle selon laquelle le N illion repr sente 106A 3 Depuis la Nomenclature offici
4. Reconstituer une collection partir d un codage donn Utiliser des compteurs Ma triser les r gles de l algorithme de la num ration e Nommer les nombres gt Conna tre le nom des nombres de 0 16 Conna tre le nom des nombres multiples de 10 de 20 60 Conna tre le nom des nombres multiples de 10 de 70 90 gt Conna tre le nom des nombres de 17 19 et de 22 29 gt Conna tre le nom des nombres de 100 1000 Ma triser les r gles conventionnelles de d signation des nombres Nommer un nombre crit sous forme chiffr e dans les entiers gt Lire les nombres gt Ma triser la lecture globale des nombres Lire un nombre crit sous forme litt rale Lire un nombre crit sous forme chiffr e gt Ma triser les r gles conventionnelles de lecture d un nombre d signation des diff rentes classes Ma triser la lecture de nombres comportant un z ro final Ma triser la lecture de nombres comportant un z ro intercal e Conna tre la signification de chacun des chiffres composant un nombre entier gt Distinguer les notions de chiffre et de nombre Conna tre le sens des termes unit dizaine centaine Distinguer le chiffre des dizaines du nombre de dizaines Conna tre l ordre des classes dans l criture des nombres gt Associer au nom du nombre une d composition additive Les IO de 2002 ne remettent pas en cause ce r f rentiel cependant conform ment l orientation g n rale du
5. elle des Poids et Mesures datant de 1948 le syst me de Chu quet est le syst me officiel On a enfin invent r cemment 101 le googol 109 Je googolplex 1 Si on tait rest en base 10 on aurait invent un mot pour 10 000 1 3 1 Quelques exemples L ge de lunivers est d environ 15 milliards d ann es donc 4 7 10 7 s La distance terre soleil est d environ 150 millions de km et le diam tre de lunivers de 107 km Le nombre total de particules dans lunivers est compris entre 1072 et 108 A trente ans on a v cu environ un milliard de secondes et un peu plus de 10000 jours 1 4 L orthographe Depuis l arr t du 28 d cembre 1976 l usage du trait d union dans trente quatre p ex est facultatif La r gle normale est de mettre le trait d union entre des l ments moindres que cent sauf s ils sont joints par et ex quatre cent quatre vingt douze Vingt et cent acceptent le pluriel s ils ne sont pas suivis Quatre cents mais quatre cent un Cependant l arr t de 1976 tol re le pluriel dans tous les cas Mille est invariable Million milliard sont variables 17 700 380 dix millions sept cent mille trois cent s quatre vingts 2 L apprentissage 2 1 Les programmes PS MS les nombres jusqu 20 GS les nombres jusqu 10 sont acquis CP les nombres jusqu 100 sont acquis exploration un peu plus loin CE1 les nombres jusqu 1000 CE2 les nombres jusqu 1
6. hocolat Les chocolats sont vendus par paquets de dix e analyser une collection d j organis e utilisation de mat riels de num ration e comparaison des nombres partir de leur criture chiffr e r gles le plus long e utiliser les nombres dans les calculs 2 5 Des outils supports e La monnaie le Monopoly en enlevant les pi ces et billets qui ne sont n cessaires la base 10 e Les barrettes et autre plaques multibase e Les compteurs e Les plaques cache 3 Les singularit s de l oral Les enfants sont d abord familiaris s avec les nombres travers l oral Cependant le d codage est plus difficile e Probl me des exceptions du d but onze douze treize quatorze quinze seize e L intrusion de la base vingt d origine celte 3 quatre vingt et soixante exception dans l exception on ne dit pas trois vingt mais on fait tout comme entre 70 et 79 Les nombres sont construits suivant une logique additive et multiplicative quatre vingt onze 4x20 11 Ces irr gularit s sont plus perturbantes que les pr c dentes car les nombres 11 16 sont familiers C est l id e de dire dix et un dix deux qui serait tonnant pour les enfants 4 e La difficult li e l ordre vingt quatre quatre vingt 2 Onze douze treize viennent du latin undecim duodecim tredecim qui lui n tait pas irr gulier 3 La langue bretonne compte les vingtaines et non les di
7. um ration Si on demande combien il y a d l ments dans la collection ils comptent unit par unit En fin de CP les l ves doivent ma triser cette activit pour les quantit s inf rieures 100 Les centaines arrivent au CE1 les milliers au CE2 L utilisation du raccourci des dizaines ne deviendra n cessaire que si la collection est trop importante variable didactique l effectif de la collection Activit classique les fourmillions Le ma tre rapporte une collection monstrueuse une grosse bo te d allumettes par exemple Il s agit de d nombrer les allumettes Il induit les regroupements par paquets 2 3 Le d codage Il faut construire le d codage de l criture 2356 en deux paquets de mille 3 bo tes de cent 5 sacs de dix et 6 unit s Le passage de 99 100 par exemple reste un temps associ la proc dure dynamique d change on ne se contente pas d ajouter un on range des objets dans la bo te La suite crite est r guli re on peut organiser la frise num rique en lignes superpos es de 10 nombres on constate que les chiffres des unit s sont constants dans une colonne 2 4 Des probl mes permettant cette prise de sens e organiser une grande collection en vue d crire le nombre de ces l ments e compter de 10 en 10 de n en n e reconna tre l organisation en base dix dans une criture chiffr e exemple combien de paquets faut il pour que 435 enfants aient chacun un c
8. zaines 63 trois vingt et trois tIl y a galement des perturbations plus loin li es une apparition de la base 100 ainsi tol re t on les expressions onze cents douze cents notamment pour les dates
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