Exercices de géométrie affine
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1. D finition 27 Parall lisme RDO2 5 2 1 4 FRE I 2 2 D finition 7 Soient F g deux sous espaces affines d un espace affine de direction respective F et G On dit que F est faiblement parall le amp si F c G On dit que F et F sont parall les si F G Il y a donc deux notions de parall lismes attention la formulation La premi re relation est videmment transitive r flexive mais en g n ral pas sym trique alors que la deuxi me est une relation d quivalence Ce pendant en pratique et notamment en dimension finie on ne distingue pas vraiment les deux car on sait si les espaces ont m me dimension ou pas L exercice qui suit fait cho au retour de la relation d quivalence Zp L espace affine quotient r n est rien d autre que l ensemble des sous espaces affines de de direction F Exercice 21 Sous espaces affines de direction donn e Soient un k espace affine de direction E et F un sous espace vectoriel de E Munir l ensemble des sous espaces affines de de direction de F d une structure d espace affine voir l exercice 8 et le point vi de l exercice 20 Comme toujours dans une structure alg brique on a un moyen de construire des sous trucs les images directes et r ciproques par les morphismes Ici a ne se passe pas si bien On peut avoir des images r ciproques vides et c est la source de nombreuses difficult s ou de nombreux ph nom nes int ressants chacun ch2. amp est affine et calculer PR La remarque 20 propose de prendre le temps de r fl chir un peu plus la caract risation viii des fonctions affines et d tudier pourquoi a ne marche pas en caract ristique 2 Remarque 20 Le probl me de la caract ristique 2 Sur F2 montrer que toutes les applications respecte le barycentre de deux points Montrer que toutes les applications ne sont pas affines Une autre illustration des probl mes de la caract ristique 2 on ne peut pas appliquer l associativit du barycentre au syst me A 1 B 1 C 1 pour r duire le nombre de points on ne peut pas remplacer A 1 B 1 par leur barycentre En caract ristique diff rente de 2 pour montrer que viii implique vii on consid re A a B 8 C y et quitte permuter les points on peut supposer que 8 0 sinon on aurait 2 a 8 7 0 La propri t fondamentale de la fl che des applications affines est donn e dans l exercice suivant Elle est fondamentale car elle assure que prendre la fl che d applications lin aires donne beaucoup d informations sur l application affine en question Ainsi on ram ne au moins partiellement et m me compl tement si on a un point fixe l tude d une application affine de l alg bre lin aire ce qui est facile Ce passage la fl che est la base de l tude du groupe affine et de ses sous groupes voir l exercice 19 les groupes des homoth ties tra
3. gt F telle que f Ai Bi Montrer que f est injective resp surjective bijective si B er est affinement libre resp affinement g n ratrice un rep re affine En d duire que GA amp op re simplement et transitivement sur l ensemble des rep res affines de h Le th or me de Desargues TIS p 65 BER 2 5 4 On consid re deux rep res affines A B C et A B C sans point commun d un plan affine amp Montrer que A B C et A B C sont dans la m me orbite sous l action du groupe HT des homoth ties translation de E si et seulement si AB A B AC A C et BC B C7 VII Quelques exercices d applications Les exercices qui suivent offrent l occasion de v rifier qu on a bien compris les l ments de g om trie pr sent s dans ce qui pr c de Exercice 28 Point fixe et application affine Soient un plan affine ABC un vrai triangle de amp et A B ES a Soit C amp Montrer qu il existe une unique application f 6 telle que f A A f B B et F C C b Comment construire C A B pour que f soit sans point fixe Exercice 29 Classe de similitude affine Soient un plan affine sur un corps de caract ristique diff rente de 2 et ABC un vrai triangle de amp Soit 2 resp 2 une droite de On note a 2 N BC resp a D N BC b ZN AC resp b D N AC et c 2 N AB resp c 2 N AB E
4. o A est point fixe de y et 7 une translation alors T 7 et y y Autrement dit on a unicit dans la d composition pr c dente RDO2 5 3 3 3 De m me en supposant de plus que A est dans l image de f montrer que f peut s crire sous la forme f yor o est point fixe de y et T une translation ce ne sont pas les m mes 7 et que pour la d composition ci dessus Montrer que si f y o T o A est point fixe de y et T une translation alors 7 7 et y y Autrement dit on a unicit dans la d composition pr c dente Attention dans les r sultats pr c dents il est important de souligner qu on a d montr l unicit d une d composition d une application affine sous la forme application affine o le point A choisi l avance est fixe et translation et pas l unicit d une d composition sous la forme application affine point fixe et translation m Dans la remarque qui suit on souligne le fait que comme dans toute structure alg brique les bijections affines se comportent bien ce sont des isomorphismes pour la structure affine autrement dit l inverse d une bijection affine est encore affine Remarque 26 Bijection affine FRE IL3 Proposition 4 Soient F deux k espaces affines de direction respectives E et F et f 6 gt F une bijection affine Montrer que F est une bijection lin aire de E dans F D duire de exemple 25 que f7 est aussi affine Ainsi
5. espace des translations de amp On d finit la dimension de amp comme la dimension de sa direction On remarquera que pour la d finition d espace affine on ne demande aucune compatibilit de l action de k due la structure d espace vectoriel sur la direction E avec l action de la direction sur On demande simplement l existence de cette action de k sur E de telle sorte que E soit bien un espace vectoriel Cette structure vectorielle sur la direction r v lera toute son importance lors de la d finition des morphismes c est dire des applications affines et des sous espaces affines Pour d autres d finitions quivalentes bien s r voir RDO2 5 1 1 1 FRE Chapitre I 1 BER 2 1 6 ou encore AUD Notation 8 Action de groupe et espace affine Soient k un corps un k espace affine et E sa direction On consid re amp et u E Plut t que de noter l action de u sur A de fa on habituelle par uA ou u on utilise la notation u De m me plut t que de noter amp A B l image de A B par l application associ e l action simple et transitive de amp sur E voir la question b de l exercice 4 on utilise la notation AB pour A B Ainsi par d finition de et des notations on a A B A AB B Enfin pour on note ya E la bijection associ e A Par transfert de structure via A on peut munir amp d une structure d espace vect
6. l aide de f les l ments sur lesquels on veut faire les calculs dans X on fait le calcul correspondant dans X et on le renvoie dans Y l aide de f voir les formules 1 2 et 3 de l exercice 1 C est la question a de l exercice 1 qui justifie cette heuristique Pourquoi s int resser cette notion dans un cours de g om trie affine En g om trie affine on dispose de nombreuses bijections entre un ensemble l espace affine et un espace vectoriel la direction de l espace affine ces bijections correspondent aux choix d une origine dans l espace affine ce sont les bijections Y de l exercice 4 On se sert donc de ces bijections pour transf rer un certain nombre de structures suppl mentaires sur l espace affine par exemple la topologie la distance ou la mesure de Lebesgue d un R espace affine de dimension finie sont obtenues par transfert de structure voir la question d de l exercice 4 La question c de l exercice 1 justifie pourquoi ces exemples fonctionnent et d finissent de fa on canonique une topologie une distance ou une mesure alors que la structure d espace vectoriel transf r e depuis la direction sur l espace affine n est elle pas canonique L exercice 1 propose donc une r vision rapide de la notion de transfert de structure La question a d finit la notion de transfert de structure et justifie l heuristique de cette notion La question b r pond la question quand une appl
7. presque Exercice 16 Caract risation des applications affines FRE II 1 BER 2 3 1 RDO2 5 3 1 2 Soient 6 F deux k espaces affines de direction respectives E et F et f amp gt F une application Montrer que les conditions suivantes sont quivalentes i f est une application affine ii Il existe tel que f soit une application lin aire de a dans Fpa iii Pour tout A amp l application f est une application lin aire de a dans 7 4 iv Il existe tel que l application fa ga 0 f o pa E F soit lin aire Indication on pourra utiliser la remarque 19 v Pour tout A l application fa f a to fopa E F est lin aire vi L application f conserve les barycentres vii L application f conserve le barycentre de trois points De plus si cark 2 les propositions pr c dentes sont quivalentes viii L application f conserve les barycentres de deux points Les deux remarques qui suivent mettent en exergue deux r sultats qui apparaissent dans la d monstration pr c dente Remarque 18 Lorsqu on utilise le transfert de structure FRE II 1 lemme 1 S il existe un point A amp tel que l application fa Prat ofoga E F soit lin aire alors fu fa pour tout M et c est l application f Remarque 19 Vectorialisation ou non Montrer que l application ya E gt amp A est lin aire En d duire que l application ya E
8. E Pr g gt gx c Soit x X Montrer que l application est une bijection G quivariante pour l action de G sur lui m me par translation gauche En d duire une structure de groupe sur X dont l l ment neutre est x la structure de groupe d pend donc du choix de x X elle n est pas canonique Dans le cas d un espace affine cette action s appelle la vectorialisation en x voir la notation 8 d Pour x y X calculer y l en fonction de x y Moralit la question c de l exercice 1 et le calcul pr c dent montre que les structures qu on peut transf rer sur X partir de G sont celles qui sont invariantes par translation droite ce qui n est bien s r pas le cas de la structure de groupe comme on l a vu la question pr c dente puisque la translation droite n est pas un morphisme de groupes Cependant la translation droite tant un hom omorphisme d un R espace vectoriel de dimension finie on peut par transfert de structure d finir une topologie sur un R espace affine de dimension finie De m me pour un espace affine de dimension finie sur R l invariance de la mesure de Lebesgue par translation sur R permet de d finir une mesure de Lebesgue sur un espace affine voir la question c de lexercice 1 e On d finit alors sur X x X la relation d quivalence Z1 associ e c est dire x x y y lt B x x y y autrement x x Z y y si o
9. Ziy le graphe de la relation Z a Montrer les quivalences i Z1 gt 2 c est dire si on a rZ y alors on a aussi tr 2y ii PCT iii m2 se factorise par m c est dire il existe f X 1 gt X 2 v rifiant T2 f o m1 iv les classes d quivalence modulo 2 sont r unions de classes d quivalence modulo Z1 b On suppose que les conditions de la question a sont v rifi es D finir sur X 1 une relation d quivalence not e H Z v rifiant Tilt Ra A mi y lt x R2Yy Pour simplifier les v rifications on pourra penser utiliser l application f de iii a Montrer que le quotient X 21 22 21 est en bijection avec X 22 c Soient G un groupe et H1 H2 deux sous groupes distingu s de G Pour 1 2 on d finit Z la relation d quivalence associ e H Donner une condition n cessaire et suffisante sur H et H2 pour que les conditions de la question a soient v rifi es Que deviennent dans ces conditions la relation Z2 et la bijection de la question b voir aussi la question 7 a de l preuve de MG 1996 3 Action de groupe compl ments L axiomatique de la g om trie affine repose de fa on essentielle sur la notion d action de groupe un espace affine est un ensemble sur lequel le groupe sous jacent un espace vectoriel agit de fa on fid le et transitive voir la d finition 7 Dans cette partie on rappelle donc quelques d finitions standards des actions de groupes ai
10. l inverse d une bijection affine est encore affine Remarquer aussi qu une application affine est injective resp surjective si et seulement si sa fl che l est m 3 Le groupe affine Le long exercice qui suit propose l tude d taill e du groupe affine centre groupe des commutateurs un syst me de g n rateurs Cette tude utilise les d finitions de l exercice 24 Gr ce l application fl che on peut utiliser tout ce qu on conna t d j sur le groupe lin aire usuel centre groupe des commutateurs syst mes de g n rateurs C est d ailleurs l occasion de r viser tout a La difficult repose donc sur l ajout des translations Cet exercice fournit ainsi un exemple de groupe pour enrichir un peu les le ons sur les groupes Exercice 19 Groupe affine Soit amp un k espace affine de direction E Montrer que l ensemble GA des bijections affines de dans lui m me forme un groupe On consid re la suite 0 E GA GL E 1 GA o le deuxi me morphisme est donn par t 7 et le troisi me morphisme par f F v rifier qu il s agit bien de morphismes voir l exemple 23 l exercice 17 et la remarque 26 a Montrer que la suite est exacte voir l exemple 23 pour l exactitude en E et GA voir l exemple 25 pour l exactitude en GL E FRE IV 1 b On va montrer que cette suite exacte est scind e et donner explicitement des scindages un scindage pour
11. aire continue si et seulement si ho f E E lest La facilit de cette question peut la faire para tre stupide Mais dans la pratique lorsqu on transf re une structure ce sont les applications f o g ou ho f qui ont le plus souvent une description simple et explicite c Soient E E deux groupes resp espaces vectoriels espaces topologiques F un ensemble et f E F g E F deux bijections Les deux structures de groupe resp espace vectoriel espace topologique construites sur F par transfert de structure via f et g co ncident si et seulement si g7 o f E E est un morphisme de groupes resp lin aire un hom omorphisme Autrement dit on d finit une seule structure sur F et non deux sig lo f E E est un isomorphisme pour cette structure 2 Un peu de quotient Dans l exercice qui suit on s int resse ce qui se passe lorsque plusieurs relations d quivalence sur un m me ensemble entrent en jeu Seule la question a est utile pour la suite des exercices elle sert en fait de pr paration la question g de l exercice 4 La question b est l pour rendre le propos un peu plus exhaustif Enfin la question c illustre par un exemple classique les r sultats des questions a et b Exercice 2 Comparaison de relations d quivalence Soient X un ensemble et Z1 Z2 deux relations d qui valence sur X Pour 1 2 on pose m X X la surjection canonique et T x y EX x X
12. indications des exercices ne pas rater l exercice 5 pour se remettre les id es en place l exercice 9 question de cours exercice 12 un grand classique l exercice 14 question de cours la d fini tion 17 et l exercice 16 questions de cours l exercice 17 questions de cours les exemples 23 25 des exemples omnipr sents et surtout l exercice 19 pour illustrer les le ons sur les groupes et bien comprendre le groupe affine l exercice 20 question de cours exercice 28 pour viter de tomber dans le vide l exercice 22 encore un pi ge viter Quelques compl ments th oriques pour faire de la g om trie Cette partie est divis e en trois sous parties La premi re sous partie est consacr e la notion de transfert de structure La deuxi me sous partie se penche sur les quotients successifs Enfin la troisi me sous partie la plus longue est consacr e des rappels sur la th orie des groupes 1 Transfert de structure Le transfert de structure est une notion simple D un cot on a un ensemble X muni d un structure groupe anneau espace vectoriel espace topologique etc de l autre on dispose juste d un ensemble Y sans rien de plus enfin pour relier les deux on suppose qu on a une bijection ensembliste f X Y entre X et Y Cette bijection permet de construire sur Y une structure identique celle de X De fa on heuristique lorsqu on veut calculer dans Y on envoie
13. op re pas 3 transitivement quel condition deux triplets de points A B C et A B C sont ils dans la m me orbite Montrer que les orbites sont param tr es par k x 0 1 d Encore une utilisation des projections Soient F un sous espace vectoriel de E et amp et deux sous espaces affines de dont les directions respectives G1 et G2 sont des suppl mentaires de F dans E On consid re une famille Z er de sous espace affine de ayant tous les m mes directions F et er k une famille de scalaires dont la somme est non nulle Pour I et j 1 2 on note A j Fi NS v rifier que les A existe bien Montrer que F le sous espace affine de direction F passant par le barycentre de A 1 ser contient le barycentre de A 2 ier on pourra utiliser la projection sur parall lement F et que F est le barycentre de la famille Z X ier voir l exercice 21 pour d finir le barycentre d une famille de sous espaces affines de direction fix e VI Rep res Dans cette partie on s int resse la notion de rep re notamment celle de rep re affine La notion de rep re est l quivalent affine de la notion de base On pr sente ici deux types de rep res le rep re cart sien une origine et une base de la direction et le rep re affine qui m ne lui la notion de coordonn es barycentriques Au passage on g n ralise au cas affine les notions de familles libres et de familles g n ratri
14. qui ne parle pas de l application fl che L outil fl che est un outil fondamental de la g om trie affine Il est important de bien le comprendre et de savoir le manipuler En particulier le fait que les items de la d finition 17 sont quivalents doit devenir une banalit L autre int r t de cette d finition des applications affines en revenant l alg bre lin aire est mettre en avant l action du corps de base sur la direction Elle n appara t pas vraiment dans la d finition d espace affine voir la d finition 7 alors qu elle est explicitement pr sente dans la d finition des applications affines puisque u voir ci dessous pour le sens de u doit commuter avec l action des l ments de k le corps de base Remarquer que les axiomes de la d finition 17 se groupent par deux a et e b et f c et g et d et h sous la forme je peux changer il existe en un pour tout Cette propri t omnipr sente en g om trie affine voir l exercice 16 l exercice 20 ou encore la question e de l exercice 22 se r sume par si c est vrai un endroit c est vrai partout D finition 17 Application affine RDO2 5 3 1 AUD Soient F deux k espaces affines de direction respectives E et F et f E F une application Montrer que les propri t s suivantes sont quivalentes aJuc VE F VOMe f M f 0 OM baueZ E F VOMe f O M u OM cie SEP VABE CIBI u os B d
15. transitive et libre BER 1 4 4 1 L exercice suivant qui est le c ur de cette r vision sur les actions de groupes tudie la situation suivante On consid re un groupe G qui agit simplement et transitivement sur un ensemble X Les questions a d mettent en place les notations pour la suite de l exercice et tudient les propri t s l mentaires d une action simple et transitive on verra appara tre en particulier la question b une version abstraite de la relation de Chasles Dans cette situation on peut d finir sur l ensemble X x X deux relations d quivalence questions e et f et on tudie dans la question g quand ces relations d quivalence sont comparables On en d duit alors gr ce au transfert de structure une structure de groupe sur l ensemble quotient X x X G C est cette construction qui permet de d finir la structure de groupe sur les angles orient s dans le plan euclidien voir les exemples 5 et 6 Exercice 4 Action simple et transitive Soit G un groupe agissant simplement et transitivement sur un ensemble X a Montrer que pour tous x y X il existe un unique g G tel que y gx On pose alors g x y intuitivement x y est l unique l ment de G qui fait passer de x y b Montrer qu on d finit ainsi une application qui est surjective lorsque X est non vide t xX G x y gt x y Quel axiome est synonyme de la relation de Chasles y z x y P x z
16. une unique parall le une droite donn e Montrer qu une droite qui a deux points dans un plan est contenue dans le plan Dans la question e on s int resse l intersection de deux sous espaces affines F et F de direction respective F et G Il est important de remarquer que la condition d une intersection non triviale de F et Z s exprimer l aide de la somme F G ce qui peut para tre tonnant au premier abord Il est donc important de bien r fl chir cette question et surtout faire un dessin e Montrer l quivalence des propositions suivantes i Il existe A B F x F tel que AB EF G ii Pour tout A B E F x ona ABc F G iii FNS 40 f On suppose F et Z de dimension finie Quel est la dimension de F UZ Jag L encore un dessin s impose de m me que la remarque si on a un point dans l intersection tout se passe comme en vectoriel g Retrouver le fait que deux droites resp deux hyperplans non parall les d un plan resp espace affine se coupent en un seul point resp suivant un sous espace de codimension 2 h D duire de la question e que si F G E alors F NF i D duire de la question e que si F G E alors F NS est un singleton En particulier l intersection d un hyperplan affine et d une droite affine qui ne lui est pas faiblement parall le est r duite un point 3 Point fixe d une application affine Comme on l a d j soulign voir l e
17. Cours de Math matiques 2 Alg bre et applications la g om trie Dunod 1998 SOR R SORTAIS et Y SORTAIS La g om trie du triangle exercices r solus Hermann 2002 TIS C TISSERON G om trie affine projective et euclidienne Hermann 2000
18. E F soit un sous espace vectoriel de E iii F Z et pour tout F l ensemble Fa ya F est un sous espace vectoriel de E iv Il existe A tel que F soit un sous espace vectoriel de amp 4 v F Z S et pour tout A F l ensemble F est un sous espace vectoriel de amp 4 vi Il existe un sous espace vectoriel F de E tel que F soit une classe d quivalence pour la Zp voir lexer cice 8 vii F Z et il existe un sous espace vectoriel F de E tel que l action de E sur induise une action de F sur F et que cette action soit transitive viii Il existe une structure d espace affine sur F telle que i soit une application affine ix F S et tout barycentre d une famille de points de F est dans F z x F et tout barycentre d une famille de trois points de F est a F De plus si cark 2 les propositions pr c dentes sont quivalentes F xii et tout barycentre d une famille de deux points de F est dans F Si F v rifie ces propositions on dit que F est un sous espace affine de amp Le sous espace vectoriel F ou FA de E des points i ii iii vi et vii ne d pend pas de A et est appel la direction de F Il est donn par F AB A BEF On remarquera que sauf dans le cas d un sous espace affine de l espace affine vide un sous espace affine n est jamais vide On peut maintenant d finir la notion connue depuis bien longtemps de parall lisme
19. Pr paration l agr gation Ann e 2009 2010 ENS Cachan Vincent Beck G om trie 0 Mode d emploi L objectif de ces feuilles d exercices est de vous fournir une base de travail pour l apprentissage de la g om trie affine J y ai volontairement mis beaucoup de r f rences aux ouvrages classiques pour que vous preniez le r flexe salvateur le jour de l oral d aller voir dans les livres Le contenu et surtout l organisation de ces feuilles refl tent ma fa on d aborder la g om trie affine qui n est peut tre pas la v tre j ai essay de dissocier les r sultats th oriques g n raux pour les mettre en avant dans la partie I et garder la g om trie affine comme une illustration de ces r sultats g n raux C est pourquoi la premi re partie est tr s th orique et s attarde principalement sur des rappels de th orie de groupes Dans la deuxi me partie on d finit les espaces affines La troisi me partie est consacr e aux barycentres La quatri me partie s int resse aux applications affines et la cinqui me aux sous espaces affines La sixi me partie tudie les notions de rep re Enfin la septi me partie propose quelques exercices d applications de l ensemble des notions En fonction des connaissances que vous avez d j n h sitez pas sauter d une partie une autre Pour ceux qui ont envie de faire tout de suite de la vraie g om trie affine commencez donc par la partie II Voici quelques
20. autres utilisations des projections on pourra aller voir dans SOR p 16 25 les d monstrations des th or mes de M n la s et Ceva Exercice 25 Le th or me de Thal s ou quoi a sert de savoir que les projections sont affines BER 2 5 1 Soit amp un k espace affine de direction E a Soient 4 B AG trois hyperplans parall les distincts de et Zi et 2 deux droites de qui ne sont pas faiblement parall les au 7 Montrer que 4 N J est r duit un point pour xz A B C et i 1 2 Pour i 1 2 on note A N D FH ND B Ho nN D Ci Montrer que A B _ AB ACi AC Indication on pourra utiliser la projection sur Z parall lement 4 et exprimer le rapport entre AB et A1C1 sous forme barycentrique b R ciproquement soit D Z2 x A tel que AB _ AB A C AD alors D C2 Attention dans cette g n ralit on ne peut pas noncer la r ciproque du th or me de Thal s comme une condition de parall lisme sur les hyperplans 4 b et puisqu il existe plusieurs hyperplans passant par et A2 et qui ne sont pas deux deux parall les il n y a qu faire tourner autour de la droite A1 A2 cette condition ne marche que lorsque dim amp 2 c Le th or me de Thal s du point de vue des actions de groupes Le groupe affine d une droite agit 2 transitivement sur la droite affine voir les questions a et g de l exercice 27 Montrer qu il n
21. ces D finition 30 Rep re RDO2 5 4 2 et 5 4 3 FRE IIL 2 1 Soient un k espace affine de direction E Un rep re cart sien R O B est la donn d un couple form d un point O de amp et d une base B de E Lorsque est de dimension finie un tel rep re permet d identifier l espace affine k Montrer que GA op re simplement et transitivement sur l ensemble des rep res cart siens de Une famille A er est dite affinement libre si pour tout i I A Aj j ijas Montrer que A ier est affinement libre si et seulement s il existe I tel que A A jer i soit une famille libre de E si et seulement si pour tout I la famille A A jer est libre Une famille A er est dite affinement g n ratrice si et seulement si A i IJag Montrer qu une S famille Aj ser affinement g n ratrice si et seulement s il existe I tel que A A er y soit une famille gt g n ratrice de E si et seulement si pour tout A la famille AA er est g n ratrice Une famille A er est un rep re affine si et seulement si elle est affinement libre et g n ratrice Dans l exercice suivant on d finit la notion de coordonn es barycentriques Exercice 26 Rep re affine et barycentre Soient A er un rep re affine d un espace affine Montrer que pour tout point A de amp il existe une unique famille er k v rifiant SX 1 te
22. chaque point de Fixons A Montrer que l ensemble GA a des bijections affines de dans qui admettent A pour point fixe est un sous groupe de GA est il distingu quels sont ses conjugu s et que l application f F est un isomorphisme de groupe entre GA a et GL E L isomorphisme inverse r alise alors le scindage attendu de la suite exacte Ainsi on a d crit la structure de groupe de GA comme produit semi direct de deux groupes connus E k et GL E GL k RDO2 5 3 3 3 Pour la suite de l exercice on suppose que est de dimension finie c tude du centre de GA amp partir de celui de GL E lorsque k Z F2 Soit f ZGA Montrer que F est une homoth tie vectorielle En d duire que f est une homoth tie ou une translation En utilisant le principe de conjugaison cher Perrin de fa on plus pr cise si g est une bijection affine de que vaut gha ag et que vaut g7g montrer que f id si f est une homoth tie on pourra conjuguer f par toute les translations si f est une translation on pourra conjuguer f par toutes les homoth ties Ainsi GA a un centre trivial en d duire que GA n est pas isomorphe au produit direct de E par GL E d tude des commutateurs de GA amp partir de celui de GL E lorsque k 7 F2 On suppose que k Fo et de dimension finie En consid rant le commutateur d une homoth tie et d une translation montrer que tout
23. d inconnue G est ou iel xd b Si XA 0 alors il existe une unique solution l quation S GA 0 d inconnue G amp Cette solution iel iel G v rifie VMe z gt MCSSAMA iel iel On dit que G est le barycentre du couple A ier Xi ier ou encore le barycentre des A affect s des coefficients A ou encore barycentre des points massiques A hier On remarquera que la d monstration pr c dente repose uniquement sur la relation de Chasles qui est d ailleurs le seul outil notre disposition pour le moment Dans les deux remarques et les deux exercices qui suivent on tudie les propri t s l mentaires du bary centre Les deux propri t s vraiment importantes tant celle d associativit et de d sassociativit du barycentre puisqu elles sont la base de nombreux r sultats usuels Remarque 12 Commutativit du barycentre RDO2 5 1 2 1 c Supposons que nous sommes dans la situation de la question b de l exercice 9 et consid rons o Gr Montrer que le barycentre des points massiques A5 Xier est aussi le barycentre des points massiques A 5 Ao i Jiel m Remarque 13 Poids RDO2 5 1 2 1 b Supposons que nous sommes dans la situation de la question b de lexercice 9 et consid rons k Montrer que le barycentre des points massiques A hier est aussi le barycentre des points massiques A AAi Jier Montrer aussi que le barycen
24. de Quels sont les groupes qui op rent simplement sur l ensemble vide Quels sont les groupes qui op rent transitivement sur l ensemble vide Combien une action transitive a t elle d orbites On consid re pr sent une action sur un ensemble quelconque Montrer qu une action simple est presque toujours fid le Quel cas fait exception Donner des exemples d action fid le non simple on pourra penser Gn ou GL V Cette m ditation sur le vide n est pas si anecdotique En g om trie affine la question du vide est importante l intersection de deux sous espaces affines peut l tre l ensemble des points fixes d une application affine aussi alors qu on a envie que ce soient des sous espaces affines L exercice qui suit fait le lien entre action simple et transitive et action fid le et transitive il est l notamment la question b pour faire cho la d finition 7 d un espace affine Exercice 3 Action simple transitive et fid le a Montrer qu un groupe qui op re transitivement et librement sur X non vide op re en fait de fa on transitive et fid le Cette question est en fait une reformulation de la remarque 3 l hypoth se de transitivit tant ici totalement superflue Cette hypoth se de transitivit est en fait pr sente pour faire le parall le avec la question qui suit b Montrer qu un groupe ab lien qui op re transitivement et fid lement sur X op re en fait de fa on
25. e 2 h tude des commutateurs de GA amp partir de celui de GL E lorsque k F2 On suppose que k F2 et de dimension finie sup rieure ou gale 3 voir les questions j et pour la dimension 1 et 2 Montrer que GA amp est son propre groupe des commutateurs i tude du centre de GA amp lorsque k F2 Que peut on dire de la fl che d une bijection affine qui commute avec toutes les transvections En d duire que lorsque k F2 le centre ne contient que des translations Lorsque dim amp gt 2 c est dire qu il existe vraiment des transvections montrer que ZGA 1 voir la question j pour la dimension 1 j tude de GA amp lorsque amp est une droite affine sur F2 quel groupe classique GA amp est il isomorphe Dans cet isomorphisme que deviennent les translations les homoth ties les dilatations et les transvections D terminer le groupes des commutateurs de GA amp k tude de GA amp lorsque amp est une droite affine sur F3 quel groupe classique GA amp est il isomorphe Dans cet isomorphisme que deviennent les translations les homoth ties les dilatations et les transvections D terminer le groupes des commutateurs de GA amp 1 tude de GA amp lorsque E est un plan affine sur F2 quel groupe classique GA est il isomorphe Dans cet isomorphisme que deviennent les translations les homoth ties les dilatations et les transvection
26. e la surjection canonique 7 F est affine et d terminer P d R ciproquement soit Z une relation d quivalence sur On suppose que est muni d une structure d espace affine telle que la surjection canonique x amp soit une application affine Montrer qu il existe un sous espace vectoriel F de E tel que Z Zp e Soit f amp F une application affine Montrer que f passe au quotient par Zp si et seulement si F C Ker F III Barycentre La g om trie affine est le monde des barycentres C est l outil et l objet intrins que on ne repasse pas par de l alg bre lin aire attach la g om trie affine La condition d existence des barycentres est tr s simple la somme des coefficients doit tre non nulle Mais il ne faut pas l oublier L exercice qui suit faire absolument donne la d monstration de l existence et de l unicit du barycentre le tout reposant uniquement sur la relation de Chasles Exercice 9 D finition des barycentres RDO2 5 1 2 FRE Chapitre IIL3 AUD Soient amp un k espace affine de direction E I un ensemble A er une famille d l ments de amp et jjier k une famille d l ments de k telle que l ensemble des I v rifiant 0 est fini a Montrer que si A 0 alors le vecteur um X A MA ne d pend pas de M puis que l ensemble des solutions icl iel gt de l quation S GA 0
27. e translation est un commutateur En d duire que le groupe des commutateurs de GA amp est SA amp s EGA G fe SL E e tude d une famille de g n rateurs de GA amp lorsque k F2 On suppose que k Z F2 Montrer que l ensemble des dilatations voir la d finition l exercice 24 engendre GA amp pour obtenir les translations on pourra consid rer deux dilatations de m me direction ayant des hyperplans parall les on pourra aussi se souvenir que GL E est engendr par les dilatations vectorielles f tude d une famille de g n rateurs de SA amp pour un espace de dimension sup rieure ou gale 2 On suppose que amp de dimension finie sup rieure ou gale 2 si dim 1 alors SA est l ensemble des translations et il n y a pas de transvection Montrer que l ensemble des transvections voir la d finition l exercice 24 engendre SA pour obtenir les translations on pourra consid rer deux transvections de m me direction ayant des hyperplans parall les on pourra aussi se souvenir que SL E est engendr par les transvections vectorielles g tude d une famille de g n rateurs de GA amp lorsque k F2 On suppose que k F et de dimension finie sup rieure ou gale 2 Que se passe t il lorsque est de dimension 1 voir la question j Montrer que l ensemble des transvections engendre GA En particulier montrer que GA amp est engendr par des l ments d ordr
28. elle fois les probl mes li s au vide On peut cependant comme pour toutes les structures alg briques d finir une notion d espace affine engendr par une partie non vide On passe aussi un peu de temps examiner en d tail l exemple pas si trivial de l intersection de deux sous espaces affines On s attardera en particulier sur la question e pour bien se mettre en t te la condition d intersection non vide qui s exprime au niveau vectoriel en terme de somme et non d intersection Par ailleurs on notera que la question i est tr s utile en pratique elle permet notamment de d finir les projections Exercice 22 Intersection d espaces affines RDO2 5 2 2 FRE I 2 1 corollaire et 1 2 3 Th or me 2 Soit un k espace affine a Soit 7 er une famille de sous espaces affines de Montrer que N7 iel est vide ou un sous espace affine dont on donnera la direction b Soit X une partie non vide de Montrer qu il existe un plus petit sous espace affine de contenant X que ce sous espace affine est l intersection des sous espaces affines contenant X Il est not X ag et est appel le sous espace affine engendr par X c Montrer que X A est l ensemble des barycentres des points de X d Exemples o on retrouve ce qu on sait depuis tr s longtemps En d duire que par deux points distincts d un espace affine il passe une droite et une seule Montrer que par un point d un espace affine il passe
29. ent E et le groupe des bijections affines f de dans lui m me telles que f idg Cet isomorphisme est donn par tr Exemple 24 Homoth tie FRE II 2 exemple 3 Soit un espace affine de direction E Soient A et A E k 0 1 On d finit l homoth tie de centre A et de rapport par ha x Mr A AM remarquer le lien avec la formule 1 ci dessous Montrer que hA est affine et que ha x didg et ha a A A R ciproquement soit f une application affine telle que F idg avec kx 0 1 Montrer que f admet un unique point fixe qu on note A et que f ha x Les trois exemples pr c dents peuvent se r sumer par si f est une application telle que p soit une homoth tie de E alors f est constante si le rapport est nul une translation si le rapport est 1 une homoth tie affine sinon Apr s avoir pr sent les homoth ties et les translations en voici une premi re caract risation g om trique Pour une utilisation g om trique du groupe des homoth ties translations on pourra aller voir la question h de exercice 27 ou encore TIS p 65 66 par exemple une d monstration des th or mes de Pappus ou Desargues Exercice 18 Homoth tie translation Encore un avatar du fait qu une homoth tie vectorielle est caract ris e par le fait que tout vecteur est transform en un vecteur proportionnel Soient un k espace affine et f E gt E une application affine On suppose que pour toute dro
30. est donn un sous espace de c est F et un sous espace de E c est G on n a pas d espace X au dessus de G En fait la construction des applications affines va justement reposer sur le fait qu on fait varier les espaces F au dessus de G a Projection sur F de direction G FRE II 2 exemple 4 RDO2 5 3 2 2 Pour x on consid re Z l espace affine de direction G passant par x Montrer que s N F est un singleton qu on note p x faire un dessin Montrer que l application p x p x est affine D terminer P montrer que l ensemble des points fixes de p est F et calculer p o p b Affinit d espace directeur F et de direction G et de rapport a k RDO2 5 3 4 4 Pour x on note p x le projet de x sur F parall lement G On note fZ G alx l l ment de donn par f2 cal2 pla ap r r faire un dessin Montrer que fF Ga gt fz ca x est affine D terminer fx Ga d terminer l ensemble des points fixes de fz G a Calculer po fx amp a En d duire l expression de fF G a fz c 8 Montrer que fg co p est la projection sur F parall lement G Montrer que fg c ide Montrer qu une affinit de rapport non nul est bijective Quel est son inverse On suppose que la caract ristique de k est diff rente de 2 montrer que faza ide On dit que fzo id est la sym trie par rapport F de direction G Une affinit dont l espace directeur est un hyperplan es
31. groupe F la description analytique du groupe GA des bijections affines d une droite affine une telle transformation est donn e par x ax b avec b F et a F et la suite exacte courte O F GA F 1 o d est l application qui a x ax b associe a et t est l application b associe x x b L utilisation de cette suite exacte est tout fait normale il s agit de la suite structurelle du groupe affine ce n est rien d autre que la suite GA de lexercice 19 en dimension 1 Remarque 11 Calcul diff rentiel et espace affine BER 2 7 7 La place naturelle du calcul diff rentiel et particuli rement la d finition d application diff rentiable est en fait dans un espace affine Soient et F deux R espaces affines de dimension finie de direction respective E et F et Y un ouvert de On dit que f Y gt F est diff rentiable en A U s il existe u Z E F telle que f A T f A u R o h En effet les expressions T e amp et f A u R F prennent tout leur sens dans un espace affine L utilisation de l affine met en avant la dissociation entre l espace de d part de l application f qui est l espace affine et celui de sa diff rentielle en un point qui est la direction de l espace affine Elle explique aussi la dissym trie entre le x et le h dans la d finition de diff rentiabilit Cette dissociation sera encore plus pr sente lors de l tude des sous va
32. ication qui part ou qui arrive dans un espace muni d une structure transf r e est elle un morphisme Enfin la question c tudie la question qui nous int resse particuli rement en g om trie affine que se passe t il lorsqu on veut transf rer l aide de plusieurs bijections une m me structure sur un ensemble quelles conditions peut on le faire Exercice 1 Transfert de structure Soient E E un groupe resp E g un espace vectoriel sur k E Tn un espace topologique F un ensemble et f E F une bijection a Montrer qu il existe une unique structure de groupe resp d espace vectoriel d espace topologique sur F telle que f soit un morphisme de groupes resp une application lin aire un hom omorphisme Montrer que la loi de groupe resp les lois d espace vectoriel la topologie sur F est donn e par Yzy EF sry ffe f y 1 resp Yz y EF VAEk py f f x s fu Ara fA f x 2 et Te f U UE A 3 On dit que F resp F F Ip est la structure de groupe resp d espace vectoriel d espace topolo gique obtenue par transfert de structure via f b Soient E un groupe resp espace vectoriel espace topologique g EF h F E deux applications Montrer que l application g est un morphisme de groupes resp lin aire continue si et seulement si f7 og E gt E l est Montrer que l application h est un morphisme de groupes resp lin
33. iques qu il est indispensable d avoir sa disposition On d finit en particulier les translations exemple 23 les homoth ties exemple 24 et on donne un moyen de construire les applications affines dont la fl che est donn e exemple 25 Pour d autres exemples d applications affines usuelles sans structure suppl mentaire on pourra aller voir l exercice 24 Exemple 22 Application constante FRE IL2 exemple 1 Soient F deux k espaces affines et f E gt F une application constante Montrer que f est affine et que F 0 R ciproquement si f E gt F est affine et 0 montrer que f est constante Exemple 23 Translation FRE II 2 exemple 2 Soit un espace affine de direction E Pour t E on d finit l application E T Ar A t Montrer que 7 est affine et que 7 id voir aussi le lien avec la relation 1 ci dessous R ciproquement soit f 6 6 tel que F idg Montrer qu il existe t E tel que f t Soient t u E Montrer que 7 Tu si et seulement si t u remarquer que c est synonyme du fait que l action est fid le Soient t u E Montrer que Tu Tt O Tu et que To ide remarquer que ces relations sont en fait exactement synonymes des axiomes des actions de groupe En d duire que pour t E 7 est une bijection affine de dans lui m me de bijection inverse T Finalement on a construit un isomorphisme de groupes entre le groupe additif sous jac
34. ite D de f D est une droite de parall le D Montrer que f est une homoth tie ou une translation En anticipant sur l exercice 19 montrer que l ensemble form des homoth ties et des translations est un sous groupe distingu du groupe des bijections affines GA L exercice montre que pour construire une application affine il suffit de se donner l image d un point et la fl che et donne une formule explicite pour cela c est la relation 1 Ceci montre en particulier la surjectivit de l application fl che qui sera fondamentale pour l exercice 19 Exemple 25 Surjectivit de l application fl che FRE II 2 exemple 5 Soient F deux k espaces affines Ae BEeFetueZ E F Montrer qu il existe une unique application affine f E F v rifiant F u et f A B et v rifier que cette application f est donn e par gt f M B u AM 1 En d duire que l application i w F Z E F f f est surjective et que pour amp fix l application A E F F x L E F AA f FA F est une bijection affine retrouver la dimension de l espace affine y F lorsque amp et F sont de dimension finie Le cas o amp F un pas de plus vers la compr hension du groupe affine GA Soient f gt une application affine et Montrer que f peut s crire sous la forme f T o Y o A est point fixe de et T une translation Montrer que si f T o y
35. l que A est barycentre iel des A X ier On dit que est la 4 coordonn e barycentrique de A ne pas oublier la condition d homog n it sur la somme des L application A est videmment une forme affine par associativit du barycentre Maintenant qu on a d fini les rep res affines on tudie leurs propri t s l mentaires on a un th or me du rep re affine incomplet ou trop complet question c et d Comme pour les bases les rep res affines permettent de d finir des applications affines en fixant les images des l ments du rep re Enfin on termine cet exercice par le th or me de Desargues dont on donne la version action de groupe Exercice 27 Un peu de travail autour des rep res affines a Qu est ce qu un rep re affine sur une droite affine b Qu est ce qu un rep re affine dans un plan affine c Montrer que toute famille affinement libre se compl te en un rep re affine d Montrer que de toute famille affinement g n ratrice on peut extraire un rep re affine Soient F deux espaces affines A er et Biher F e Montrer que si A er est affinement libre il existe au moins une application affine f 6 F telle que f A Bi f Montrer que si A er est affinement g n ratrice il existe au plus une application affine f E gt F telle que Ai Bi g Montrer que si A er est un rep re affine il existe une unique application affine f 6
36. lculer le barycentre de la famille x ier c Applications affines entre espace vectoriel Soit F un k espace vectoriel muni de sa structure affine D terminer la forme des applications affines de E dans F d Sous espace affine d un espace vectoriel D terminer les sous espace affines de E e Montrer qu un sous espace affine F de E engendre l espace vectoriel E si et seulement si F est un hyperplan affine non vectoriel ou F E Exercice 6 Espace affine produit FRE Chapitre L 2 3 Soient amp er une famille de k espaces affines pour ceux qui pr f rent on peut se restreindre I 1 2 a Munir d une structure de k espace affine dont on donnera la direction iel b Applications affines issues d un produit Soit i I montrer que p amp amp est affine donner pi iel c Applications affines valeurs dans un produit Soient F un k espace affine et f F TI iel une application Montrer que f est affine si et seulement si p o f pour tout i I Autrement dit se donner une application affine valeurs dans un produit revient se donner une application affine valeurs dans chacun des d Barycentre dans un produit Soient A es une famille d l ments de o A Pier et Aj jes kO iel tels que ZA 0 jEJ D terminer le barycentre de la famille A Aj jes e Sous espace affine dans un produit Pour tout i I on fixe F un sous espace affine de amp Mon
37. n passe de x x de la m me fa on qu on passe de y y Montrer que 21 est bien une relation d quivalence et que lorsque X est non vide induit une bijection de X x X 1 gt G f Montrer que G agit sur X x X de la fa on suivante xXxX XxX gx y gx gy On note Z la relation dont on v rifiera qu il s agit bien d une relation d quivalence associ e cette action c est dire x x Z2 y y si et seulement s il existe g G tel que y y gx gx g On suppose X non vide Montrer l quivalence des propositions suivantes i Z2 F ii Bi gt M iii ZAN Fa iv G est commutatif h Montrer que si ces conditions sont v rifi es on a une bijection entre X x X G avec G donn e par le fait que KAN Ra et donc X X X A X X X Lo Moralit de l exercice 4 lorsqu un groupe commutatif G agit simplement et transitivement sur un ensemble X l ensemble des couples d l ments de X o on identifie deux couples lorsqu ils diff rent d un l ment de G c est dire le quotient X x X G on identifie x x et y y s il existe g G tel que gx gx y y est en bijection avec G la classe du couple x x on associe x l l ment de G qui fait passer de x x qui ne d pend pas du choix de x x dans la classe puisque G est commutatif Ainsi par transfert de structure on peut munir X x X G d
38. n de sous espaces affines et donc celle d espace affine engendr La troisi me partie tudie les points fixes d une applications affines Le d nominateur commun entre ces deux parties est le fait que dans chacun des cas l ensemble consid r peut tre vide Dans la quatri me sous partie on d finit certains types d applications affines en lien avec les sous espaces affines Enfin la cinqui me sous partie est consacr e au th or me de Thal s 1 D finition Parall lisme Ici on donne donc une d finition caract risation des sous espaces affines qu il est int ressant de comparer avec les caract risations des applications affines on retrouve entre autre la d finition par le lien avec le vectoriel on a une direction qui est un sous espace vectoriel et le lien avec les barycentres On retrouve aussi les probl mes li s la caract ristique 2 On remarquera enfin le retour de la relation d quivalence Zp voir l exercice 8 et une nouvelle apparition du principe si c est vrai en un point c est vrai partout Exercice 20 D finition des sous espaces affines RDO2 5 2 1 Th or me I et Th or me II FRE 1 2 1 Soient amp un k espace affine de direction E et F une partie de On note i F amp l application d inclusion Les conditions suivantes sont quivalentes i Il existe A et F sous espace vectoriel de tel que F A F ii Il existe F tel que va 7 AB B
39. n particulier on suppose que ces points existent a Montrer qu il existe une unique application affine f E gt E resp f E amp telle que f A a f B b et f C c resp F A a F B b et F C c b D terminer X En d duire que f a un point fixe Le construire et r duire f gt on pourra introduire l application g M Milieu de Mf M et montrer qu elle est affine c D duire de la question pr c dente qu il existe h GA telle que Afh 1 f Exercice 30 Compos e d affinit Soient un plan affine et ABC un vrai triangle de On fixe a BC avec a distinct des points B et C b AC distinct des points C et A et c AB distinct des points A et B a Montrer qu il existe une unique affinit o resp op oc d axe directeur Aa resp Bb Cc envoyant B sur C resp C sur A sur B On pose f Oc 0 Op O Oa t g Oa Op O Ge b Calculer f on pourra chercher un point fixe pour f et calculer X7 on pourra chercher l image des droites BA et BC par f c On se place sur R Quand f est il d ordre fini tude de la configuration et des l ments de f d M mes questions pour g R f rences AUD M AUDIN G om trie de la licence l agr gation Belin 1998 BER M BERGER G om trie Cedic Nathan 1977 FRE J FRENKEL G om trie pour l l ve professeur Hermann 1973 RDO2 E Ramis C DESCHAMPS et J Opoux
40. ncts de a Montrer l quivalence des propri t s suivantes i AB CD et AD BC ii AB DC iii AB BC Si la caract ristique de k est diff rente de 2 les items pr c dents sont quivalents iv AC et BD ont le m me milieu Si est un R espace affine euclidien les items pr c dents sont quivalents v AB CD et AD BC Si A B C D v rifie ces propri t s on dit que c est un parall logramme b On suppose ici que la caract ristique de k est diff rente de 2 Soient A B C D quatre points de On note I le milieu de AB L le milieu de BC Ig le milieu CD et I4 le milieu de DA Montrer que 11 12 13 14 est un parall logramme Dans l exercice qui suit on donne quelques exemples de barycentres classiques en g om trie euclidienne Exercice 14 Quelques exemples de barycentres Soient amp un plan affine euclidien et A B C un vrai triangle de amp a Montrer que O le centre du cercle circonscrit A B C est barycentre de A sin 2 B sin 2B C sin 20 On commencera par montrer que O existe bien SOR p 110 b Montrer que H l orthocentre du triangle A B C est le barycentre de A tan B tan B C tan C si A B C n est pas rectangle En d duire dans quelle situation H est l int rieur de A B C On commencera par montrer que H existe bien SOR p 108 c Montrer que I le centre du cercle inscrit au triangle A B C est le ba
41. nsi que les liens entre elles voir la d finition 1 la remarque 2 et l exercice 3 On prend aussi le temps de r fl chir sur l ensemble vide qui a son importance en g om trie affine remarque 3 L exercice central de ce rappel est l exercice 4 qui utilise les rappels pr c dents et anticipe sur la notion d angle dans le plan L objet de cet exercice est l tude des actions simples et transitives des groupes ab liens Pour commencer notre tude des actions de groupes rappelons quelques d finitions usuelles D finition 1 Action simple action transitive action fid le BER 1 3 et 1 4 Soit G un groupe agissant sur un ensemble X On dit que G agit transitivement sur X si pour tous x y X il existe g G tel que y gx On dit que G agit simplement ou librement sur X si pour tout x X le stabilisateur Gy g G gx x de x est r duit l l ment neutre On dit que G agit fid lement sur X si Ge 1 xrEX La remarque qui suit caract rise la fid lit d une action en terme du morphisme associ l action Remarque 2 Action fid le Soit G un groupe agissant sur un ensemble X Montrer que G agit fid lement sur X si et seulement si le morphisme de groupes G Gx associ l action est injectif on fera l effort de donner une formule g n rale pour le noyau de 4 Remarque 3 M ditation sur le vide Quels sont les groupes qui op rent fid lement sur l ensemble vi
42. nslations et dans le cas d un espace affine euclidien les groupes des isom tries ou celui des similitudes voir l exercice 15 de la feuille de g om trie affine euclidienne Exercice 17 Fonctorialit RDO2 5 3 1 2 FRE II 3 proposition 2 Soient F et amp trois espaces affines et f EF et g F deux applications affines Montrer que go f Y o Fi et Ide Idg L exercice qui suit est tr s similaire l exercice 7 Ce similarit provient du fait que 7 est en fait un sous espace affine de F Exemple 21 Espace des applications affines FRE IL3 Th or me 2 Soient F deux k espaces affines de direction respectives E et F montrer que l ensemble F est un espace affine dont on donnera la direction et la dimension lorsque et F sont de dimension finie Soient fi er une famille d applications affines de dans F et Ai ier k tel que D x 0 iel D terminer l application affine barycentre de la famille fi ier Soient A B En d duire l aide de l exemple 22 que si k est un corps de caract ristique diff rente de 3 l application M gt Isobarycentre de AMB est une application affine Montrer l aide de l exercice 6 que si k n est pas de caract ristique 2 l application E2 A B milieu de AB est affine 2 Exemples concrets d applications affines Les exemples 22 25 pr sentent une certain nombre d applications affines class
43. nulle Montrer qu un l ment de GA amp d ordre fini a un point fixe Est ce vrai en caract ristique p e Plus g n ralement en caract ristique nulle montrer que tous les l ments d un sous groupe fini de GA ont un point fixe commun et s identifient dont un sous groupe de GL E Est ce vrai en caract ristique p f Un r sultat difficile un d veloppement voir par exemple BER 2 7 5 10 On suppose que est un espace affine euclidien et G un sous groupe compact de GA Tous les l ments de G ont un point fixe commun Ainsi G s identifie un sous groupe compact de GL E et donc un sous groupe ferm de O E 4 Des exemples d applications affines construites partir de sous espaces affines Dans l exercice qui suit on donne quelques autres grandes familles d applications affines On a report leur d finition et leur construction ici puisqu elle utilise la notion de sous espace affine et d intersection de sous espaces affines On d finit ainsi les projections les affinit s et dilatations et les transvections Les projections sont la base du th or me de Thal s quant aux dilatations et transvections elles sont la base de l tude du groupe affine Exercice 24 Quelques nouvelles sortes d applications affines Soient un k espace affine de direction E F un sous espace affine de de direction F et G un sous espace de E v rifiant E F amp G On remarquera qu on s
44. oisira son point de vue Exemple 28 Machine construire des Aure pars affines RDO2 5 3 1 4 FRE II 3 Th or me 1 Soient F deux k espaces affines et f gt F une application affine a Montrer que l image par f d un sous espace affine X de est un sous espace affine de F dont on donnera la direction en fonction de celle de Z b L image r ciproque d un sous espace affine de F est elle un sous espace affine de Encore une fois ne pas marcher trop vite au risque de tomber dans le vide Lorsque c en est un quelle est la direction c Exemple Soient A M R et b R Que peut on dire de l ensemble des x R tel que Ax b d Exemple On consid re une quation diff rentielle lin aire avec second membre Que peut on dire de len semble des solutions Dans la le on de d nombrement plut t que de compter comme tout le monde les sous espaces vectoriels d un espace vectoriel de dimension finie pensez donc regarder ce qui se passe en affine ou m me on verra a plus tard en projectif Exemple 29 Un peu de d nombrement a D terminer le nombre de droites affines d un plan affine sur un corps fini b Plus g n ralement d terminer le nombre de sous espace affine de dimension k d un espace affine de dimension n sur un corps fini 2 Intersection de sous espaces affines DL exercice qui suit tudie l intersection d espaces affines On retrouve une nouv
45. on entre 2 x 2 SO 2 et SO 2 m Exemple 6 Angle orient de droites dans le plan Soient E un plan vectoriel euclidien on ne suppose pas le plan orient L orientation ne sert qu mesurer les angles pas les d finir et 2 l ensemble des droites vectorielles de E Montrer qu on a une bijection entre 2 x 2 SO 2 1 et SO 2 1 m Il G om trie affine d finition d un espace affine Cette partie est divis e en deux sous parties Dans la premi re sous partie on donne la d finition d espace affine l aide des notions rappel es dans la premi re partie On fait aussi le lien entre les notations usuelles et les notations introduites dans la partie I La deuxi me sous partie est quant elle consacr e l tude d exemples usuels d espaces affines espace vectoriel vu comme espace affine espace affine produit espace affine quotient espace affine de fonctions 1 La d finition On d finit maintenant la notion d espace affine un espace affine est un ensemble muni d une action pas tout fait quelconque d un certain type de groupes un groupe additif sous jacent un espace vectoriel D finition 7 Espace affine Soit k un corps Un k espace affine ou espace affine sur k est un ensemble muni d une action de groupe du groupe sous jacent un k espace vectoriel qui est fid le et transitive L espace vectoriel agissant sur est appel la direction de ou l
46. oriel d origine qu on appelle le vectorialis de amp en A On le note alors A pour rappeler le choix de l origine i SAUTER AC Te Remarque 9 Relation de Chasles La relation AA 0 n est alors que la r criture de l axiome 1 x x pour tout x des actions de groupes La relation de Chasles n est alors qu une r criture de l axiome Va g EG Vxex gg x g g x des actions de groupes En effet par d finition on a A AB B A AB B B B C Ainsi AB BG E envoie A sur C donc est gal AC voir la question b de l exercice 4 ou la moralit de ce m me exercice m L exercice qui suit fournit un exemple original d espace affine Il est aussi l occasion de faire un peu de th orie des groupes et de compl ter l tude des groupes non ab liens d ordre pq avec p q deux nombres premiers distincts Exemple 10 Un exemple d espace affine un peu bizarre Soit G un groupe non ab lien d ordre pq avec p q deux nombres premiers v rifiant p lt q a Montrer que p q 1 b Munir l ensemble des p Sylow de G d une structure de droite affine sur F c Montrer que l action de g G par conjugaison sur l ensemble des p Sylow est affine En d duire que G est un sous groupe du groupe des bijections affines d une droite affine d Retrouver le r sultat de la question pr c dente en utilisant la classification des groupes d ordre pq la cyclicit du
47. re les morphismes Dans le cadre de la g om trie affine elles s appellent applications affines Cette partie est divis e en trois sous parties Dans la premi re partie on trouve la ou plut t les d finition s d application affine et les in luctables commentaires l accompagnant remarques 18 20 on insiste aussi lourdement sur la fl che d une application affine exercice 17 qui sert en permanence Enfin on termine par l tude de l espace des applications affines La deuxi me sous partie est consacr e aux premiers exemples d applications affines les homoth ties et les translations Il s agit d applications affines qui se caract risent par des donn es simples les homoth ties un centre et un rapport les translations un vecteur On tudie aussi les applications affines dont on conna t la fl che et l image d un point exercice 25 La troisi me partie se r sume long exercice indispensable sur le groupe affine qui est la fois l occasion de revoir ce qu on sait sur le groupe lin aire mais aussi de l appliquer 1 D finition et caract risations des applications affines J ai choisi de d finir les applications lin aires en me ramenant l alg bre lin aire et non pas en utilisant les barycentres voir pour cela l exercice 16 pour mettre en avant le r le fondamental de la fl che car comme le dit Mneimn je mets une mauvaise note une le on de g om trie affine
48. ri t s 2 Exemples standards de construction d espaces affines Les exercices 5 8 fournissent des exemples classiques d espaces affines qui apparaissent r guli rement dans les applications Pour pouvoir regrouper tout dans un seul exercice portant sur le m me sujet ils anticipent largement sur les notions pr sent es par la suite On pourra donc commencer par les premi res questions de chacun pour y revenir par la suite L exercice 5 pr sente la structure affine canonique d un espace vectoriel celle laquelle on ne pense plus tellement on s en est d j servi Il est indispensable de repasser 5 minutes r fl chir dessus L exercice 6 pr sente la notion d espace affine produit on v rifie en particulier que c est bien un produit cat gorique L exercice 7 pr sente l espace affine des fonctions valeurs dans un espace affine comme d habitude les fonctions valeurs dans quelque chose h rite de la structure de ce quelque chose Enfin l exercice 8 s attarde sur le lien entre quotient et espace affine Ces trois derniers exercices peuvent tre fait uniquement en seconde lecture Exercice 5 Espace vectoriel espace affine FRE Chapitre L 2 1 Soit E un k espace vectoriel a Montrer que l action de translation gauche munit E d une structure de k espace affine b Barycentre dans un espace vectoriel Soient x er une famille d l ments de E et hier k tels que D x 0 iel Ca
49. rycentre de A a B b C c On commencera par montrer que I existe bien SOR p 112 d Si M est int rieur au triangle A B C montrer que M est le barycentre des points massiques A aire MBC B aire MAC et C aire AMB SOR p 112 e Si M est un point d un plan montrer que M Bar A det M M B det M M C det M MB AUD DL exercice qui suit propose l tude de quelques lignes de niveaux qui font intervenir les barycentres Exercice 15 Ligne de niveau et Barycentre RDO2 6 1 1 5 Soit amp un espace affine euclidien a Soient A jcr une famille de points de amp et A Jicr R D terminer les lignes de niveau de la fonction M gt SX MA attention la condition d existence des barycentres icl b Soient A B D terminer les lignes de niveaux de M MA MB c Soient A B C align s avec C A B D terminer l ensemble des points M du plan tel que C soit le pied de la bissectrice issue de M dans le triangle M A B d On suppose que amp est un plan affine euclidien Soient deux cercles de D terminer l ensemble des points M de amp tel que le rapport de la puissance de M par rapport et de la puissance de M par rapport soit constant IV Applications affines Comme dans toutes les structures alg briques plus encore que la structure elle m me ce qui compte ce sont les applications qui conservent la structu
50. s D terminer le groupes des commutateurs de GA amp m Quelques classes de conjugaisons tudier les classes de conjugaison dans le groupe affine des homoth ties translations transvections dilatations sym tries voir la d finition l exercice 24 n Un peu de groupes Montrer que tous les sous groupes de G d ordre 20 sont conjugu es on pourra utiliser les th or mes de 5 Sylow Montrer qu ils sont isomorphes au groupe affine d une droite affine sur F5 Plus g n ralement montrer que tous les sous groupes d ordre p p 1 de o p est un nombre premier sont conjugu s et montrer qu ils sont isomorphes au groupe affine d une droite affine sur Fp o Topologie Soit amp un R espace resp un C espace affine de dimension finie Combien GA amp a t il de com posantes connexes p Un isomorphisme classique On note HT le sous groupe des homoth ties translations de GA amp Mon trer que GA amp HT et PGL E sont isomorphes c est une illustration de G HK G H HK H FRE IV 1 exercice 1 q Dresser un bilan propre de l tude de GA centre groupe des commutateurs g n rateurs V Sous espace affine Comme toujours dans l tude d une structure on d finit les sous trucs Cette partie est divis e en cinq sous parties La premi re sous partie d finit la notion de sous espace affine ainsi que la notion bien connue de parall lisme La deuxi me sous partie tudie l intersectio
51. t appel dilatation c Transvection d hyperplan et de direction D On d signe par 7 un hyperplan affine de de direction H D C H une droite de E et g k une quation de et xo D K 0 Montrer que l application fi r x g x xo est une bijection affine dont on calculera l inverse Calculer F d terminer l ensemble des points fixes de f d R ciproquement la question a Soit p amp une application affine telle que p o p p Montrer que p est un projection sur l ensemble de ses points fixes parall lement Ker P e R ciproquement la question b On suppose que la caract ristique de k est diff rente de 2 Soit f E une application affine telle que f o f ide Montrer que f est la sym trie par rapport l ensemble des points fixes de f parall lement Ker f idg f On suppose que la caract ristique de k est diff rente de 2 Soit f 4 une application affine telle que 2 idp f est elle une sym trie On pourra penser aux sym tries gliss es voir aussi la forme r duite des isom tries g Soit f amp une application affine laissant fixe point par point un hyperplan de Que dire de f 5 Le th or me de Thal s les projections sont affines Maintenant qu on a d fini les projections on peut s en servir par exemple pour d montrer le th or me de Thal s qui est en fait presque un synonyme du fait qu une projection est affine Pour d
52. tique diff rente de 2 et 3 On se place dans un plan affine sur k Montrer que les trois m dianes d un triangle sont concourantes en l isobarycentre des sommets et que cet isobarycentre est situ en 2 3 de la m diane en partant du sommet On se place dans un k espace affine de dimension 3 Montrer que les 4 m dianes d un t tra dre c est dire la droite passant un sommet et l isobarycentre de la face oppos e sont concourantes en l isobarycentre des sommets et que cet isobarycentre est situ au 3 4 de la m diane en partant du sommet Exercice 12 Encore un autre exemple d associativit du barycentre Th or mes de M n la s et Ceva Soient A B C un triangle et M N P appartenant respectivement BC AC et AB et n tant pas sur les sommets Montrer que M N et P sont align s si et seulement si MB NC PA 1 MC NAPB Montrer que AM BN et CP sont parall les ou concourantes si et seulement si MB NC PA MC NA PB Pour approfondir l tude de cette configuration crire une condition en terme de produit de rapport de longueur alg brique pour que MN soit parall le AB Peut elle tre v rifi e dans le premier ou le second cas Pour d autres d monstrations des th or mes de M n la s et Ceva voir SOR p 16 25 Exercice 13 Parall logramme et associativit du barycentre RDO2 5 1 2 3 FRE IIL3 exercice 2 Soient amp un k plan affine et A B C D quatre points disti
53. toute leur g n ralit alors qu elles sont tr s simples utiliser en pratique En voici une liste d exemples Les exercices 12 et 14 sont des grands classiques qu il est d licat de ne pas avoir vu L exemple 15 qui n est pas tr s int ressant en lui m me sert par contre dans de nombreux exercices on peut le voir comme une sorte de lemme retenir L exemple 16 et l exercice 13 quant eux proposent de d montrer des r sultats connus depuis le coll ge ou le lyc e dans ce nouveau cadre L exercice 15 vous rappellera s rement des souvenirs de Terminale mais pose aussi quelques questions purement g om triques Exemple 14 Un exemple de d sassociativit On suppose que G est le barycentre de G1 01 G2 02 que G est le barycentre de A a1 B 81 C 71 et G2 est le barycentre de A 2 B 82 C y2 Montrer que G est le barycentre de a 0101 T202 o1B1 a2 2 T11 T22 ai bity az b2 9 2 ai tbi y az b2 ai bi y az b2 2 Exemple 15 Un exemple d associativit du barycentre AUD Soit A B C trois points non align s et a B 7 tel que a B y 0 On note G Bar A a B 8 C 7 Montrer que AG et BC sont parall les si et seulement si 6 y 0 On suppose que 8 y 0 Montrer que l intersection de AG et BC est le barycentre de B 8 et C y m Exemple 16 Un autre exemple d associativit du barycentre FRE II 3 exercice 3 Soit k un corps de caract ris
54. tre d une famille de point massique ne change pas si on ajoute ou retire des points de masse nulle Exercice 10 Associativit du barycentre RDO2 5 1 2 2 Th or me I FRE IIL 3 proposition 2 Soient amp un k espace affine de direction E I un ensemble A er une famille d l ments de amp et ier k une famille d l ments de k telle que l ensemble des i I v rifiant 0 est fini On suppose que A 0 iel Soit l es une partition de I telle que pour tout j J on ait On note Gy le barycentre de A ier Montrer que le barycentre de A j ier et le barycentre de Gj oj jes co ncident Exercice 11 D sassociativit du barycentre RDO2 5 1 2 2 Th or me II FRE IIL 3 proposition 3 Soient amp un k espace affine de direction E J un ensemble G es 7 une famille d l ments de amp et o jez k une famille d l ments de k telle que l ensemble des j J v rifiant o 0 est fini On suppose que c 0 j J Soit I un ensemble et consid rons une famille A er 1 Pour j J on suppose qu il existe une famille Aiz Jier k de somme non nulle telle que G soit barycentre de A Pour i I on pose Mere En x je iel Montrer que le barycentre de G 0 ey et le barycentre de A er co ncident Les propri t s d associativit et de d sassociativit du barycentre ne sont pas simples noncer dans
55. trer que J F est un sous espace affine de Quel est sa direction Existe t il d autres sous espaces affines iel iel Exercice 7 Applications valeurs dans un espace affine Soient un k espace affine de direction E et X un ensemble a Munir amp F X l ensemble des fonctions de X dans d une structure d espace affine Donner la direction de cet espace b Barycentre d applications Soient f er une famille d applications affines de X dans et ier k tels que D x 0 il D terminer l application barycentre de la famille fi Ai Jier c Fonctions affines issues de amp Soit x X Montrer que l application f X f x est affine d Fonctions affines valeurs dans X Soient F un espace affine et f F X Montrer que f est affine si et seulement si pour tout x X l application A F f A x amp est affine e Sous espace affine de X Pour chaque x X on fixe 7 un sous espace affine de Montrer que fe f 2 E Fa est un sous espace affine de amp En existe t il d autres Exercice 8 Espace affine quotient FRE Chapitre I 2 4 Soient un k espace affine de direction E et F un sous espace vectoriel de E a Montrer que la relation AZKB si et seulement si AB F est une relation d quivalence b Munir Zr qu on note plut t F d une structure de k espace affine dont on donnera la direction c Montrer qu
56. ue Z E F VAES VxeE f A x f A u x elueZ E F 30 VMe f M f O u OM fiueZ E F 30e6 VMe f 0 f M u OM giuc Z EF JAE VBe amp y f A f B u de A B haueZ E F JAE VreE f A x f A u x Si f v rifie ces propri t s on dit que f est une application affine On note E F l ensemble des applications affines de dans F V rifier que dans chacun des items quivalents de la d finition l application lin aire u est uniquement d finie par f et les huit applications lin aires obtenues sont en fait toutes identiques On note cette application lin aire et on dit que c est la fl che de f Ici nous avons choisi de d finir les applications affines en utilisant la structure lin aire sous jacente Dans l exercice qui suit on voit qu on peut utiliser pour les caract riser l outil purement affine que sont les barycentres caract risation vi Il est indispensable de savoir d montrer l quivalence entre i et vi rapidement et surtout de retenir que les applications affines sont pr cis ment les applications qui conservent les barycentres Citons pour la culture et ceux qui veulent aller plus loin le th or me fondamental de la g om trie affine Il donne une autre caract risation des applications affines ce sont enfin presque les applications qui conservent l alignement voir le livre de Frenkel FRE Chapitre V pour une d monstration et des d tails sur le enfin
57. une structure de groupe ab lien isomorphe G La loi de groupe est donn e par x x y y z x x y y z Attention dans l galit pr c dente ainsi que dans les suivantes les couples d signent en fait leur classe d quivalence dans le quotient X x X G Montrer que dans ce cadre on dispose de versions abstraites de la relation de Chasles x x 2 2 x x et aussi de la relation du parall logramme ar u x mri rr Les trois exemples qui suivent donc des exemples concrets de la situation de l exercice pr c dent Le premier est directement en lien avec la d finition d espace affine Les deux autres traitent de la notion d angle Exemple 4 La direction d un espace affine vu comme l ensemble des bipoints quipollents Soit un espace affine de direction E voir la d finition 7 D duire de la construction pr c dente une bijection entre x amp E qu on appelle l ensemble des bipoints quipollents voir RDO2 5 1 1 d finition III et E m Pour les probl mes d angles on pourra consulter le livre de Frenkel FRE Partie 2 Chapitre V qui est excellent sur le sujet Exemple 5 Angle orient de demi droites dans le plan Soient E un plan vectoriel euclidien on ne suppose pas le plan orient L orientation ne sert qu mesurer les angles pas les d finir et 2 l ensemble des demi droites d origine O de E Montrer qu on a une bijecti
58. xercice 25 l existence de points fixes pour une application affine est tr s utile on se ram ne du vectoriel et donc c est facile C est cette tude que propose l exercice suivant Le point fondamental est la question b qui assure l existence et l unicit d un point fixe lorsque 1 n est pas valeur propre de la fl che La fin de l exercice est consacr e l obtention de points fixes pour une ou plusieurs applications affines par un autre moyen moyenner Exercice 23 Point fixe d une application affine FRE IV 2 Th or me 2 RDO2 5 3 2 1 Soient amp un k espace affine de direction E et f amp une application affine a Montrer que l ensemble des points fixes de f est vide ou un sous espace affine dont on donnera la direction Lorsque l ensemble des points fixes de f est non vide en choisissant comme origine l un des points fixes f se ram ne une application lin aire et devient donc bien plus simple tudier b La remarque fondamentale en particulier pour l tude des isom tries Si Fi idg est une bijection de E en dimension finie c est assur par le fait que Ker f idg 0 ou encore que 1 n est pas valeur propre de F alors f admet un unique point fixe En particulier l ensemble des points fixes est non vide c Retrouver le fait qu une homoth tie ait un centre d Une deuxi me fa on d obtenir des points fixes moyenner On se place en caract ristique
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