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1. 23 D marche via l angle d ouverture Dans cette m thode de r solution l angle au sommet du triangle isoc le sera notre variable amp Fich Edit Aff Trac Edit Action Interactif x 38 97 BHx2HC Define Are2 x 5 Aired x EHx2HC Define Aire2 x 7 done E Aire2 x Hie Aa DATES cos sl M ZEN IN RE Ala Standard R el Rad dill Deg R el Capture 3 7 Capture 3 8 Capture 3 9 Capture 3 7 Le compas sera mod lis maintenant par un triangle isoc le dont l angle d ouverture sera notre inconnue x Capture 3 8 Nous retrouvons gr ce aux formules de trigonom trie dans son demi triangle rectangle associ form par la hauteur du triangle isoc le l aire en fonction de l angle au centre Aire a cos 2 sin 2 Capture 3 9 Fonction que nous pouvons repr senter en partageant la fen tre de la calculatrice 24 ti Edit Zoom Analyse X 8 Edit Action Interactif amp Fich Edit Aff Trac AB DC0E0 Leme HAIFESLKI 7 done cel Sal 3 Aire x Aire2 x el 3 2 LEE EES EES SE VE CE LE x LEO ELEC x x constn 1 7 solve Ans 0 x Deg Ala Standard R el Rad Capture 3 10 Capture 3 11 Capture 3 12 Capture 3 10 Il ne reste qu faire une recherche du maximum sur l intervalle tudi ici 0 180 Capture 3 11 Notons que le calcul formel permet au travers du calcul de la d riv e de retrouver les r ponses recherch es Il sera2. gt nTune ip n 2 approx n gt 54 37324194 solve 21 1 gt 5x1016 n n gt 2009000000 000000E a Int2 approx in gt 54 873241943 Alg Standard R el Red Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 1 Le mode principal a un calcul formel bien performant Il est possible de retrouver sans difficult la formule permettant d obtenir la somme des termes d une suite g om trique n U qu 1 Su x qi 1 q i 1 1 Dans notre cas q 2 U 1 On trouve que pour la n case il y aura 2 1 grains de riz Capture 3 2 Nous trouvons aussi les propri t s de la fonction ln x Capture 3 3 ll est d s lors possible de trouver le num ro de la case permettant de d passer la production mondiale 7 27 1 gt 3 x 1016 La fonction solve donne une solution que la partie algorithmique nous avait d j fourni savoir n gt 54 37 Solution que nous pouvons envisager gr ce la fonction In 7 2 1 gt x10 7 2 gt 7X10 1 7 nin 2 gt In x 1016 1 In Y x 1016 1 LE In 2 La case 55 sera le maximum mondialement possible 43 Notes personnelles 44 Courbe exponentielle point par point L introduction de la fonction exponentielle permet quelques r flexions p dagogiquement int ressantes Comment tracer la courbe repr sentative d une fonction de type exponentielle passant par deux points donn s Questionnement de base
3. nm AnaS Edit don i Es ai Ti i L vu ta La henti ere 5 hrs shert chesta LEA ggi ahett te A lis mil si agii I 1 ari Par Jean Philippe Blaise CASIO www casio education fr Introduction Un petit mot pour vous pr senter ce manuel d di la Fx CP400 graphique formelle de la gamme CASIO Dans un premier temps il est noter que cet ouvrage n est pas un mode d emploi d utilisa tion de la calculatrice ll n a pas vocation vous offrir les d marches pr cises pour manipuler ce formidable outil Son but sera de vous offrir des axes de r flexion p dagogique autour de diff rents probl mes math matiques plus ou moins classiques en exploitant au mieux les possibilit s techniques offertes par ce support Ainsi nous trouverons dans cet ouvrage des applications exploitant la g om trie dyna mique le calcul formel le tableur l approximation l algorithmique etc Le tout parfois dans des exemples s appliquant m langer les axes de r solutions pour offrir une parfaite autonomie d analyse et d interpr tation Les exercices abord s devront tre consid r s comme des pistes de r flexions et non comme des valeurs didactiques fig es et c est dans ce sens que les d monstrations ainsi que les axes suppl mentaires d investissement resteront la charge du lecteur Je vous souhaite une belle exp rience math matique la hauteur de l ambition qui est
4. Al D cimal R el Rad qm Alo D cimal R el Rad Capture 1 4 Capture 1 5 Capture 1 6 Capture 1 4 Le probl me historique vient du fait qu il y ait 6 possibilit s de faire la somme recherch e autant pour le 9 que pour le 10 Malheureusement ce raisonnement ne tient pas compte des combinaisons Alors qu il semble que les d s soient indiscernables en les lan ant ce n est pas le cas et la suite du document nous le montrera via une exp rimentation Capture 1 6 Le mode suite de la calculatrice peut lui aussi r cup rer la suite cr e par le programme pr c dent la source est disponible la racine main S Il s agit d une liste repr sentant des effectifs Rien ne nous emp che d en faire l interpr tation graphique ici en nuage de points 29 Questionnement 2 tableur et probabilit Calcul des probabilit s et mise en place d un visuel La boucle FOR utilis e pr c demment en it ration permet rapidement de conclure et de calculer les probabilit s ad quates Par contre elle a l inconv nient de laisser perplexes les plus sceptiques Du coup via l utilisation du tableur nous allons pouvoir r ellement trier et classer toutes les combinaisons possibles et faire apparaitre un arbre des possibles comme sur le papier amp Fich Edit Graph Calc TT Fich T ATTE aa amp Fich Edit Graph I Formule C Plage C7 C216 Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 La colonne C rep
5. Moyennes arithm tiques et g om triques ll est facile de calculer quelques valeurs d une suite g om trique U de raison 2 et de terme initial Uo 1 Mais comment faire pour approximer une valeur interm diaire Questionnement 1 Algorithme et introduction On veut dessiner point par point la courbe repr sentative de la fonction suivante f x 2 alors que la notion de fonctions puissances ou exponentielles n est pas encore introduite Comment passer de quelques valeurs discr tes la courbe compl te Pourrait on trouver une m thode permettant de retrouver l image de n importe quelle valeur x en n utilisant que des ant c dents entiers 2 Questionnement 2 45 Questionnement 1 volution exponentielle Le cas discret Un nonc classique consiste imaginer une population qui double son effectif chaque jour qui passe Si on pose n le nombre de jours coul s Nous pouvons sans souci calculer la taille de la population en fonction de n on trouve une suite g om trique telle que par exemple Ug 1 Un Un 1 X 2 Par contre comment estimer la taille de la population la mi journ e Cherchons par exemple l estimation de la population la mi journ e du 5 jour Edit Action Interactif R currence Explicite define Uin 1x2 n n n de l U 5 l Ona D Eby Cna O Co U 5 U 6 2 Rad R el o mil Al D cimal R el Rad al Red R el Cap
6. Alg Capture 3 7 Capture 3 8 Capture 3 7 Travaillons dans le triangle rectangle CWX par pliage on arrive retrouver qu il est semblable au triangle pr c dent Capture 3 8 Nous pouvons calculer WX wx sin tan 3 sin tan 8 8 Capture 3 9 Le d pliage de la feuille fait apparaitre quelques sym tries Par exemple il est visible que le triangle LWK est rectangle isoc le Nous pouvons donc calculer la longueur LK qui repr sente la longueur recherch e de l octogone 20 14V2 2 Soit environ la valeur visible directement sur le graphique capture 3 7 le 0 224 C QF D 16 Le compas du professeur Voici un probl me simple mettre en uvre et qui pourtant permet d avoir diff rents questionnements Pour quelle ouverture d un compas forme t on un triangle isoc le d aire maximale P Questionnement de base Travail en g om trie dynamique Quelle est l ouverture d un compas permettant d avoir une aire maximale Peut on r pondre ce type de questionnement sans avoir de notions complexes en math matiques Questionnement 1 Formule de l aire Peut on trouver la r ponse logiquement sans d marche calculatoire 2 Questionnement 2 La fonction aire Peut on retrouver la r ponse via l analyse d une fonction 2 Quelle inconnue choisir P Y aura t il coh rence des r ponses que l on prenne l angle d ouverture comme param tre ou la longueur d ouver
7. simple d envisager de tenter un grand nombre de fois cette exp rience al atoire bien entendu rien ne nous emp che d envisager la recherche d un intervalle de confiance pour choisir le bon chantillon oDe N CL ClrText Print Nb de lancers Print N Print Print Print print Print Print Print print Nb de 9 tir s nbl Sort en 4 nb1l Nx100 Nb de 10 tir s nb2 Soit en nb2 Nx100 Editeur Programme Editeur Programme Capture 3 1 Capture 3 2 Some Capture 3 1 Le programme pour faire cette simulation se d roule en deux temps Dans cette premi re capture d cran on lance N lancers de trois d s Et on incr mente deux variables pour compter les 9 et les 10 Capture 3 2 Enfin la fonction Pause permet de stopper l action avant d afficher le bilan des op rations effectu es 34 156 4 41 Jb de lancers ne 4 6 1 Dossier main lvl 1 1 6 ji ird EE a Les Nomi DDD_exp re 11 1 2 Soit en RER 9 3 63 5 Param tre 14 6 92 NE de 10 tir s i6 1 4 6 2 9 1 5 61 Nb de lancers Capture 3 3 Capture 3 4 Capture 3 5 Capture 3 3 Ex cutons le programme pour 20 lancers Lorsque les tirages sont effectu s la pause s actionne et il faut cliquer sur le bouton vert pour finir le programme Capture 3 4 On trouve des r ponses bien loin de la th orie Un grand nombre de lancers sera n cessaire pour que l
8. trouver le rapport de longueur entre les c t s des deux octogones Bien entendu un travail sur la figure serait n cessaire pour justifier que le polygone rouge est une r duction du bleu La piste des angles est acceptable pour une d monstration rapide amp Fich Edit Aff Trace ce Edit Se Interactif V2 13 2 expand V2rata 5 828427125 fe simplify i EES V241 72 241 expand 22 3 D Alg Standard R el Rad mi Capture 1 4 Capture 1 5 Capture 1 6 Capture 1 4 Int ressons nous la longueur XY repr sentant la longueur d un des c t s du polygone bleu XY XZ ZY avec XZ qui repr sente la demi longueur a du grand octogone et ZY la longueur du triangle rectangle isoc le vu dans le questionnement de base xyz 2 2 2a 2Y Capture 1 5 La longueur XZ correspond aussi au c t quivalent du polygone rouge Du coup on peut directement calculer le rapport des longueurs entre les deux figures XY Rapportiongueur XZ Rapportiongueur 1 V2 Dans un agrandissement r duction le rapport d aire est le carr du rapport des longueurs On obtient Rapportgire 1 V2 RapPortuire 3 2V2 Capture 1 6 On retrouve la valeur de la capture 1 2 Rapportgire 5 83 10 Questionnement 2 origami et calcul d aire Construction papier Voici le diagramme permettant d obtenir un octogone r gulier via une feuille de papier en forme de carr 11 C
9. 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 Cr ons un nouveau document texte il est possible de le mettre en forme et d y ajouter des lignes de calculs Par exemple Clear A z efface les variables Notons que les variables d une eActivity sont locales du coup il n y a pas d interaction avec le reste de la calculatrice et nous pouvons conserver nos calculs autant de temps que n cessaire Define f x sera notre premi re ligne de calcul c est ici que nous allons changer de fonctions au gr des demandes Pour notre premier exemple f x x x0 nous donnera l abscisse o la tangente devra tre calcul e Capture 2 2 Ainsi dans cette feuille de calculs en changeant les valeurs de f x et de Xo nous pouvons avoir le d roulement logique et expliqu d un sch ma de calculs sans en avoir les inconv nients 66 Capture 2 3 Ici nous avons fait apparaitre les courbes des fonctions ad quates Pour ne pas avoir les modifier si les exemples changent Il suffit d crire dans ce mode graph int gr On retrouve pour Pour Calculons l quation de la tangente la courbe en un point d abscisse x Clear a zZ 1 D finissons la fonction f define f x xxIn x done 2 Calculons sa d riv e d 3 Eixa mCx 1 3 En quele abscisse xU 7 180 Ala D cinal R el Rad Capture 2 4 Capture 2 4 en Capture 2 5 Capture 2 6 TI Une fois la tangente calcul e il est aussi
10. Editer Animations Tout Lancer une fois Supp Lancer plusieurs fois Tout Lancer 3 et de X l Arr ter Capture 1 4 Capture 1 5 Capture 1 6 Capture 1 6 Nous pouvons finir la figure en dessinant l intersection des deux segments puis en affichant les donn es utiles Par exemple ici pour un couloir de 3 34 m tres les chelles se croisent une hauteur h 2 46m Capture 1 7 Cr ons une animation permettant de faire d placer le point M sur le segment AB Capture 1 8 D finissons le pas du d placement pour que la pr cision soit acceptable amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac Ta TE io Cadre de Zoom AM 3 2 200m avant lt oom arri re Zoom plein cran Commuter axes Gril Animation UI Capture 1 7 Capture 1 8 Capture 1 9 55 Capture 1 7 Capture 1 8 Capture 1 9 Le mode Animation Ul fait apparaitre un curseur qui nous permet de faire voluer le point M sur le segment AB En d pla ant M on trouve une valeur approch e de la taille du couloir Comme nous avons partag l animation en 100 pas la pr cision n est pas forc ment acceptable d gt 4 85m ll suffit de s lectionner les points A et M pour affr ter la longueur AM une valeur plus pr cise XI l5q gD i Cost Vilsgeg Dt gintt xt 2 L a sin t yt2 yt2 I KES 56 Calcul formel et solveur d quation questionnement 2 Retrouvons la hauteur h en fonction d
11. affecter au segment AM la valeur la plus pr cise que nous ayons trouv e AM 4 857138 Capture 3 6 on retrouve une hauteur pour l intersection des deux chelles de h 12 1 62 Tangeante la courbe Dans la plupart des programmes de terminale il est demand un moment ou un autre de calculer l quation de la tangente la courbe repr sentative d une fonction en un point d abscisse donn Plusieurs m thodes peuvent r pondre ce type de questionnement Mode Graph Peut on trouver directement en faisant apparaitre la repr sentation graphique de la fonction f x xin x l quation de sa tangente au point X 1 Questionnement 1 eActivity pour automatiser ll est possible d automatiser le calcul en utilisant le mode eActivity Et ainsi avoir une r daction propre du calcul fournir pour avoir une explication coh rente Questionnement 2 Le calcul formel Retrouvons l quation de la tangente sous sa forme g n rale au travers du calcul formel de la calculatrice Pour automatiser la d marche lors des calculs venir Questionnement 3 63 Mode graph questionnement 1 Un calcul direct utilisation du mode graphique de la calculatrice Parfois si l quation de la tangente est demand e sans calcul ni explication autant directement utiliser la calculatrice _ qne Effacer cran Feulllet Feullle2i Feuilles Feulled 4 el e eujlle uill lele Feulllet Feulllez
12. exp rience soit en accord avec la probabilit d crite Capture 3 5 Sans surprise pour 5000 tirages on retrouve des valeurs proches des valeurs recherch es L exp rience est concluante et donc Il est n cessaire dans un tirage de 3 d s de ne pas n gliger l ordre des d s 35 Notes personnelles 36 L chiquier seuil et algorithme Le probl me de l chiquier est un classique en math matiques Selon la l gende il a t propos par l inventeur du jeu d chec pour se faire r compenser de sa trouvaille Par contre rappelons simplement qu il est demand que l on pose un grain de riz sur la premi re case de l chiquier et qu on double les grains pos s en avan ant de case en case Une analyse d cimale pour une suite g om trique Au bout de la 64 case quelle est la somme de grains de riz pos e Notons qu avec environ une centaine de milliers de grains de riz on a une masse de 3 Kg Questionnement 1 Une analyse algorithmique une question de seuil Un travail autour de la programmation peut tre envisag Une id e d algorithme et de seuil peut convenir aux questionnements suivants e Peut on retrouver la r ponse pr c dente en g rant un algorithme P e Pour quelle case la somme des grains de riz pos e d passe t elle la production mondiale annuelle Notons une production d environ 700 millions de tonnes pour les ann es venir Questionnement 2 Somme d une suite
13. int ressant de voir la bascule entre le mode Degr et le mode Radian en un simple clic au bas de l cran Capture 3 12 La g om trie dynamique associ e cette machine permet directement de s lectionner l angle et de lui affecter les 90 trouv s 23 Notes personnelles 26 Les trois d s Encore un probl me assez simple qui permet une mise en uvre multiple et donc des approches riches en enseignement Lorsqu on lance trois d s et qu on s int resse leur somme pourquoi le 10 semble sortir plus souvent que le 9 alors que leur somme est associ e pour chacun six additions diff rentes Questionnement de base Algorithme et d couverte de toutes les combinaisons Une utilisation des boucles dans un algorithme permettra de lever cette incoh rence historique Questionnement 1 Utilisation du tableur et probabilit En utilisant le tableur nous allons classer les diff rentes combinaisons pour r pondre la question en levant l ambigu t Questionnement 2 Algorithmique et exp rimentation Alors que la th orie semble accept e rien n emp che de retrouver ces r sultats par une exp rimentation o un grand nombre de lancers des d s semble n cessaire Questionnement 3 2a Questionnement 1 combinaisons Utilisation de la boucle FOR Dans le mode programmation il est facile de faire recenser les diff rents cas de ces trois d s L imbrication de plusieurs bou
14. 9399999999 3 999999997 Capture 2 7 Il suffit de renseigner le param tre x qui devra bien entendu tre compris entre les valeurs extr mes donn es ici entre 1 et 8 Capture 2 6 Recherchons la valeur approch e pour x 6 on trouve 26 64 Capture 2 7 l utilisation du graphique permet de voir le d placement de la dichotomie utilis e 50 Am lioration du programme pour n importe quel xo L id e reste de ne calculer que des valeurs d ant c dents entiers pour trouver par dichotomie la valeur x recherch e Notons toutefois que la calculatrice sait sans probl me calculer directement f x La d marche algorithmique qui suit une telle r flexion n a de but que d ancrer l introduction d une fonction de type exponentielle et de son passage du cas discret connu d s l utilisation de suites g om triques au cas continu while abs xi xo gt pas Input xo Valeur de xo XaFxb 2 x1 InputFunc fix vaxyb 0 5971 xa va M print M print Pont d arriv e xb vb M int Solution pour xo print M l XO int environ print Fonction f x print f x Editeur Programme il Editeur Programme Capture 2 8 Capture 2 9 Capture 2 8 Dans cette premi re partie du programme nous pouvons d couvrir que les entr es ne se limitent pas des valeurs ou des chaines de caract res L instruction InputFunc f x permet d affecter une fonction sa d finition en foncti
15. Feuilled 4 E Dossier me Dossier Ci o A Nom UE o o o v Nom Expo d y Llv2 O Param tre 0 5 Param tre 1 v 0 DEN de Een En EN EE EA me m EEES EE EFE El EET ri Let Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 4 Capture 2 2 Ex cutons le programme avec un pas de 0 5 La courbe repr sentative point par point est visuellement acceptable Capture 2 3 Avec un pas de 0 1 on retrouve une construction sans rupture visuelle Il est incroyable de constater que l it ration sur les milieux des abscisses permet la construction d une courbe ne connaissant que deux de ses valeurs Capture 2 4 Nous retrouvons la courbe recherch e via le mode graph de la calculatrice 49 Recherche d une valeur pr cise L utilisation de la moyenne sur les abscisses permet une construction ne connaissant pas l quation de la fonction Mais cette moyenne ne permet pas pour l instant de trouver l image par f d une valeur pr cise en abscisse Am liorons notre algorithme pour trouver l image de f x pour un x donn 256 vb 0 000000001 pas while abs xi xo pas xatxb 2 xi va ybi 0 5 vi If xi gt xo Editeur Programme Capture 2 5 Capture 2 5 Voici un programme faisant une dichotomie sur l axe des abscisses Dossier main T Nom _Expo dic OO Jr Param tre 6 Capture 2 6 1 999999999 3 9999939997 1 999999999 3 999999997 1 999999999 3 999999997 1
16. TIAME 4 Ei e Mvisxeinix vis Mviscxeinix C1y2 0 va Texte Cv2 0 y3 0 y3 Tangente y3 0 C y4 0 Myd Normale Fy4 0 L Inverse aw Cercle Verticale Horizontal l Rad R el Rad R Rad R el Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 Nous pouvons afficher la repr sentation graphique de la fonction f telle que f x xin x Capture 1 2 Une fois trac e le mode Analyse permet diff rents calculs dont la repr sentation de la tangente en un point d abscisse donn Il suffit de rentrer X 1 Capture 1 3 Une fois l abscisse s lectionn e la tangente se dessine et son quation s affiche Tx 1 Y X 1 64 Edit Action Interactif xin x Feuillet Feuille2 ER 4 EF LE x In x M yi x In x d xxIn x M y 2 x 1 i dx y3 0 lni x l x 1 y xx b y x ln x x n x x b x In x b 1l x 1l 0 b 1 solve ans b b 1 D Alg D cimal R el Rad bE Rad Capture 1 4 Capture 1 5 Capture 1 6 Capture 1 4 Dans le mode principal nous pouvons retrouver l quation de la tangente en x 1 l utilisation du sachant permet d affecter des valeurs en gardant une galit compr hensible La r solution de l quation de degr 1 n est qu une formalit Capture 1 5 Le mode graphique peut aussi servir de v rification Si on dessine la courbe et la tangen
17. ac li amp Fich Edit Aff Trac Aire ABC 0 25 Aire ABC 0 25 Aire ABC 0 2 Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 Dessinons un triangle ABC et une parall le la base AB Soit CH la hauteur de ce triangle Capture 2 2 Quelle que soit la position du point C sur la parall le l aire ne change pas Base x Hauteur Aire ire 7 Capture 2 3 Une vidence qu il est souvent utile de rappeler Ainsi dans notre cas de compas la base du triangle cf Capture 1 1 ne change pas Il n y a que la hauteur qui volue Pour trouver sans mod liser par du calcul litt ral le probl me il suffit de rechercher la hauteur maximale que peut atteindre le triangle en se d pla ant sur un cercle 20 a Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac Ce Pien Edit Aff Trac ds en 136 82 0 63 Aire 0 35 NA Mod lisation d un compas Mod lisation d un compas Mod lisation d un compas Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 6 Capture 2 4 Sur notre mod lisation du compas rajoutons la perpendiculaire AB passant par le point C Elle va nous repr senter une hauteur au triangle Capture 2 5 Un travail avec le curseur d animation permet de se rendre compte que la hauteur est maximale lorsque qu elle atteint la longueur d un rayon du cercle Capture 2 6 C est dire lorsque l angle vaut 90 Un travail de r daction permet de le prouver et ainsi d avoir lev l incertitude sur la co
18. aphique en nuage de points des 10 premiers termes avec les deux m thodes La moyenne arithm tique semble s loigner de la repr sentation voulue Pour une valeur approxim e de 10 5 on trouve Uio U11 1536 2 Alors que U10 X U41 1448 47 Questionnement 2 algorithme de construction Repr sentation point par point L utilisation de la moyenne g om trique des ordonn es permet d imaginer la construction d une fonction exponentielle simple en connaissant deux de ses valeurs Ainsi si on cherche construire la courbe repr sentative de la fonction f x 2 Il suffit de choisir deux valeurs enti res pour les abscisses et d it rer sur un point repr sentant la moyenne arithm tique en abscisse et g om trique en ordonn e dans un algorithme ll ne sera question que de r gler un pas ad quat pour que les diff rentes valeurs soient acceptables visuellement while abs xa xb 2 pas XDSXI vbS VI while abs xi xa 2 pas xa x1 2 x1 va y1 0 5 71 PlotOn x1i Vi Editeur Programme Capture 2 1 48 Capture 2 1 Les point A 1 2 et B 8 256 d finiront notre domaine de construction Le point sera l interm diaire repr sentant les moyennes ad quates Notons que le pas est affect directement au lancement du programme 9 Edit Zoom Analyse 4 x 3 Edit Zoom Analyse 4 x 9 Edit Zoom Analyse 4 Feulllet Feuille Feuilles
19. cises un d placement de 89 intervalles va nous permettre une vision pr cise du mouvement 18 amp Fich Edit Aff Trac x amp Fich Edit Aff Trac 498726 499681 Hi 499681 198726 497135 494911 492056 488572 Mod lisation d un compas 184469 479746 Capture 1 4 Capture 1 5 Capture 1 6 Capture 1 4 En s lectionnant les deux segments AB et AC l angle BAC s inscrit dans l onglet sup rieur de l cran Il suffit de cliquer sur l ic ne tableur pour avoir une liste de valeurs correspondantes au d placement du point C dans l animation d finie Capture 1 5 En s lectionnant les trois segments du triangle ABC l aire apparait De m me on peut afficher ses diff rentes valeurs possibles pour l animation du point C Un maximum semble atteint pour un angle de 90 Capture 1 6 Un curseur permet de faire d placer l animation et ainsi de retrouver que l aire semble maximale pour un triangle rectangle isoc le Logiquement on retrouve Pour AB 1 Une aire qui semble correspondre Ai e mecs 19 Formule de l aire et recherche de maximum Analyse g om trique de la figure L aire d un triangle est donn e par une formule simple et pourtant difficile int grer dans l esprit de chacun Un travail sur la rupture de la repr sentation intellectuelle de cette formule est envisager pour pallier les contraintes inexistantes dans la g om trie r elle amp Fich Edit Aff Tr
20. cles FOR va nous y aider Edit Ctrl E S Divers JOUE 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dossier main Te CNE O om 00 T Param tre Effectifs des sommes 10 0 1 8 5 10 15 21 25 27 37 ru de combinaisons 11 57407407 rint Effectifs des sommes Print Print Nombres de combinaisons Print NE Editeur Programme Al D cimal R el Rad ini Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 L utilisation d une liste ici S permet de comptabiliser directement les sommes des lancers des d s Les boucles FOR sont rapides et permettent de ne pas avoir besoin de recenser les diff rents cas Bien entendu rien ne nous emp che d utiliser plusieurs listes pour faire apparaitre les donn es utilis es dans ce recensement Capture 1 2 On trouve 216 combinaisons des 3 d s R sultat vident que nous aurions pu retrouver directement 6 216 llest noter que le nombre de combinaisons pour faire une somme de 9 est de 25 alors que pour un 10 on en a deux de plus Il semble alors vident que la probabilit d avoir un 10 sera l g rement sup rieure celle d obtenir un 9 Capture 1 3 Notons qu apr s l ex cution d un programme les donn es utilis es sont disponibles dans le mode principale de la calculatrice Si on pose S la variable al atoire repr sentant la somme on trouve 25 P S 9 216 11 6 27 28 Edit Action Interactif Edit Action Interactif POSE SEN 10 10 10
21. e 1 les 64 cases U 1 SOMME 1 RANG 1 Tant que rang lt 64 U U 2 U SOMME SOMME U RANG RANG 1 Fin de condition Afficher U Afficher SOMME Capture 2 0 Voici un premier algorithme permettant de r pondre la question initiale savoir le nombre de grains de riz pos sur un chiquier complet ll permet entre autre de s impr gner l id e de la boucle Tant que GrainAiz N J ClrText Dossier man OO Te 1 U 1 5 18R While RC 64 2 ale Print Derni re case Print R Print Derniers grains pos s Print U Editeur Programme Capture 2 1 Nom Grann el Param tre Nombre de grains pos s 1 844674407E 19 Derni re case 64 Derniers grains pos s J 2290124019 7E 18 Capture 2 2 ui Edit Action Interactif Define U n 21 1 U 1 U 2 64 gt Utn nsl 1 844674407E 19 4 ans 1000003 J 334023222E7 14 ans 1000 5 534023222E 11 ans 1073 903 4023222 Alg D cimal Cplx Red OO Capture 2 3 Capture 2 1 Dans le mode Programme nous pouvons retranscrire l algorithme pr c dent L usage de la boucle While permet de stopper le calcul de cette suite la 64 case 39 Capture 2 2 Lan ons le programme on retrouve le nombre de grains de riz pr c dent Un test est utile en l affichage du rang Print R afin de v rifier que notre programme s arr te la case voulue Capture 2 3 Le mode principale de la calculatrice permet une grande soupl
22. e la largeur d Utilisons la figure pr c dente pour aborder une vision analytique de ce questionnement On sait DM 5 AE 8 Et posons Capture 2 1 DA En utilisant la propri t de Pythagore dans les triangles ADM puis AEM nous avons Soit Puis AD d 5 AD y25 d EM d 8 EM y64 dP La propri t de Thal s va nous offrir deux galit s Et Que nous pouvons additionner Et obtenir Edit Action Interactif 05 Taxe Ea 6r iasi VS 2 d 23AD d2 643EM 1 1 hx EM AD 1 1 el eL LE n y d2 25 J 1 h ere solve hx igt ns y d4644y d2 2 Ala Standard R el Rad ami Capture 2 2 Alg Edit Action Interactif EL LL CEM AD 7 r J a2 64 Por o f a2 64 42 25 de nia 2284 2225 0246444 d2425 done h 4 85 1 020949024 h 4 86 0 9915710916 solve hdi 1l d 4857137978 d 4 857137978 hid 857 y iga mps h AG EM d h MG AD d 4 AG MG _ EM DA d h d 64 d x V25 d V64 d V25 d Feuille Feuille ele a TF P Wyi hix M y 2 1 Cy8 0 Cly4 0 yS 0 i yT 0 1 000408522 D cimal R el Rad Capture 2 3 58 ii Rad R el Capture 2 4 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 4 Capture 2 5 Nous pouvons dans le mode principal affecter une variable ayant plusieurs le
23. esse Ainsi il est possible de r pondre directement la question historique et de faire visualiser l id e de somme L algorithme n tant qu une fa on m canis e de la retrouver 64 gt Un 1 84 x 101 R 1 Notons que 3Kg de riz repr sentent environ 100000 grains Ainsi le poids des grains de riz sur l chiquier d passe les 550 milliards de tonnes I Algorithme 2 un travail de seuil U 1 SOMME 1 RANG 1 Tant que SOMME 100000 3 lt 700 109 U U 2 U SOMME SOMME U RANG RANG 1 Fin de condition Afficher U Afficher SOMME Capture 2 0bis Voici un second algorithme qui permet de parler de seuil et d arr ter de rajouter des grains de riz lorsqu une condition est v rifi e 40 Edit Ctrl E S Divers El 5331 2 il GrainRiz N ClrText 1 1 5 lR While S 100000 3 lt 700 10 9 dXUSLI SHLISS R 1 R WhileEnd Nombre de grains pos s 2 Um h i is Nombre de grains pos s n 1 S dues grans poc 3 602879702r 16 1 801439851E 16 Derni re case ans 1000003 DJ Derniers grains pos s J 404319553E 11 1 801439891eE 16 ans 1000 PE case 340431955 3 ans 1076 540 4319553 Editeur Programme Ala D cimal Cplx Rad mi Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 6 Capture 2 4 Dans ce programme seule la condition change Il est donc ais de ne transformer qu une ligne et garder le programme pr c dent Notons que S repr sente la somme de grains de riz donc Un ki
24. ession coh rente Dans un premier temps une figure devra nous tre utile pour nous approprier le probl me u Fich Edit Aff Trac Ce Edit Aff Trac m I En m P m Ed A H HEEE E FE AE Era s s dd go re e r En L F Le ujunar RE runs RE s ds Capture b 1 Capture b 2 Capture b 3 Capture b 1 Le mode G om trie permet de construire directement la figure via le menu n gon II suffit de proposer le nombre n de c t s voulus n 8 Capture b 2 Nous avons un octogone r gulier ABCDEFGH Posons AB a Capture b 3 Il est maintenant possible de trouver une piste permettant un calcul de l aire en fonction de la longueur a du c t du polygone Pour ce faire nous avons prolong les c t s et inscrit cet octogone dans un carr Un moyen pour ne pas utiliser l aire des triangles isoc les souvent utilis s pour ce type de calcul Dans un second temps la figure va nous permettre d avoir la possibilit d envisager quelques calculs Le Edit Aff Trac Edit Action Interactif Le Edit Aff Trac DEA UES DES UES GCI DEN El DEA DESGESVESC JA 2 JH 2 4H 27 AH a JA 2 JH2 a 2 JA 14 JH22a2 JA JH q JH2 a 2 Solve 2 JH za JH ra _ Viea a JH JA 2 V2 a _V2 a 2 lA 2 JH Alg Standard R el Rad Capture b 4 Capture b 5 Capture b 6 Capture b 4 Le triangle JHA est rectangle en J et son hypot nuse est connue AH a Capture b 5 Le mode principal permet de
25. ette construction permet de faire apparaitre la figure du questionnement pr c dent Nous avons physiquement construit un octogone r gulier ainsi que son octogone int rieur r duit La construction fait apparaitre une autre vision du probl me Une piste exploiter pour retrouver le rapport des aires entre ces deux figures amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 Il est possible de reproduire les plis du diagramme de l origami directement dans le mode g om trie On commence par un carr puis le menu bissectrice va tre r p t 8 fois Capture 2 2 Ce mode de construction permet d obtenir le pliage de l octogone dans sa version d pli e Capture 2 3 Nous trouvons une figure int ressante que nous exploiterons dans le questionnement 3 Il est agr able de visualiser l octogone r gulier via une autre m thode que la construction directe d un n gon comme dans le questionnement pr c dent 12 amp Fich Edit Aff Trac Edit Action Interactif a 2 2V2 2 A ade 2 242 a 2 ABS 22 313 2 4a2 a 22242 a2 Je 242 4ua2 Y3 1 2 2v 2 3 Alg D cimal R el Rad Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 6 Capture 2 4 Le d pliage complet fait apparaitre l octogone ainsi que sa version r duite Avec l origami nous avons une autre vision de l aire de la r duction Rappelons que l aire d un octogone est Ai
26. faire des calculs formels complexes La propri t de Pythagore nous donne JA JH AH L utilisation du sachant permet d affecter des variables explicites JA JH les valeurs correspondantes au probl me Ainsi on trouve que l aire du triangle JHA vaut a Aire HA 4 Capture b 6 Pour calculer l aire de l octogone nous pouvons calculer l aire du carr JLMK et lui enlever les aires des triangles rectangles isoc les correspondants La longueur du carr l est connue en fonction de a JA AB BM MER PRE ELLE L a v2 1 l Ce Edit Action Interactif Edit Action Interactif us re br fils a2 2V 2 2 a 3 Qe 2eV 2 2 expand 18 2418 approx 43 45584412 T 2 JA AB BM 24x2 VZata a2 collect Ans a 2 a2 2 V242 Ale Standard R el Rad Alg Standard R el Rad mi Capture b 7 Capture b 8 Capture b 9 Capture b 7 Il est possible d affecter les valeurs formelles trouv es pr c demment des variables Ainsi le calcul se simplifie et devient compr hensible directement par lecture sur l cran On trouve d s lors l aire d un octogone r gulier en fonction de la longueur d un de ses c t s Aif egctogone 4 2V2 2 Capture b 8 Calculons l aire d un octogone r gulier ayant 3 cm de c t On trouve Aireoctogonesem 9 2V2 2 Aif eoctogone 3cm 18V2 18 AIRE crouone sem A346 CM Capture b 9 La g om trie dynamique
27. g om trique Pourrions nous trouver directement la r ponse du questionnement pr c dent en utilisant une r solution d quation 2 Questionnement 3 Fl Echiquier seuil et algorithme questionnement 1 Un calcul direct utilisant le mode Suite Dans un premier temps le mode suite de la calculatrice permet de r gler le probl me historique en tr s peu de manipulations comme nous le d montrent les captures d cran suivantes mM Edit Type n an 4 D finir s quence i paaa R currence ERPTCI Vider feuille R currence Explicite I ana dran E ana Sdran Dr nc a1 1 a 1 L E 1 4 Ll Dei T L 1 En i T i Dia E bi sa bis lE 15 rr El 2E 15 QE 19 Cnn O Cnn O 5e15 9E 15 SU Ci DE 15 2e 16 2E 16 dE 16 dE 16 fE 16 TE 16 1E 17 lE 17 dE 1 7 3E 17 GE 17 GE 17 lE 18 lE 18 2E 18 2E 18 DEIS SE 18 QE 18 05 18 MENE ps Rad Cplx Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 D finissons la suite a r pondant au probl me comme suit Puis demandons l affichage de la somme des valeurs calcul es Capture 1 2 Lan ons le calcul des 64 premiers termes de cette suite Capture 1 3 On trouve un nombre de grains de riz pos bien pharaonique 1 84 x 101 A savoir le poids des grains de riz sur l chiquier d passe les 550 milliards de tonnes 38 Echiquier seuil et algorithme questionnement 2 Un travail sous la forme d algorithmes Algorithm
28. ibilit d utiliser la propri t de Pythagore Notons qu il est possible directement sur la calculatrice de r soudre l quation qui en d coule en fonction du param tre x que nous avons d fini Capture 3 3 Une fois que nous connaissons la hauteur du triangle en fonction de la longueur de sa base Il est ais de calculer l aire ad quate On trouve Base X hauteur Al ire x 2 Soit xV4 x Aire x 4 Avec 0O lt x lt 2 22 amp Edit Zoom JAnalysel XIII 88 Edit Zoom Analyse EE E Trac Dessin z Cal x Cal y E F Aire x define Aire Modifi Racine define Aire x Pesexiauteur Min Max done Aire x fhin Aire x 22 fMax fn ER solve GEL i x 3 EMT 4 z Intersection y EM 2e x2 4 Del x2 4 inflexion x x Jaa T AT 42 05 exe ex 244 A 122 Distance A JG dx L3 TE Rad R el Standard R el Rad Capture 3 4 Capture 3 5 Capture 3 6 Capture 3 4 Par un glisser d poser il est possible de faire afficher la courbe directement dans une fen tre graphique sur l cran de la calculatrice Sans souci il est alors possible de redimensionner la fen tre pour optimiser la vue et de lui demander de r soudre graphiquement la recherche du maximum de la courbe Capture 3 5 On retrouve un maximum pour une aire de 0 5 Capture 3 6 Un travail autour de la d riv e de la fonction permet de retrouver les valeurs exactes ag EE Aire V2 AL Aire V2
29. lo de riz sera donn par S X 100000 i 700 millions de tonnes de riz une production annuelle et mondiale venir en Kg 700 x 108 x 1000 700 x 10 Capture 2 5 Il suffit de lancer le programme On trouve qu la 55 case la production annuelle est d pass e I Capture 2 6 Un retour par le mode principal permet de v rifier le calcul D s la 55 case la production mondiale est d pass e Il reste pourtant un grand nombre de cases et donc ce probl me pose bien un souci historique qui est encore d actualit 41 Echiquier quation questionnement 3 R solution d quation ll est possible d envisager directement ce probl me sans avoir calculer les sommes engendr es par la suite mod lisant le probl me Ainsi recherchons pour quelle valeur de n la somme des grains de riz d passe en poids la production mondiale Edit Action Interactif n T Uoxgi i Uo gH Uo qui factor Uo an 1 q 1 D Uoxgi HJ q4 2 Uo 1 an T00000x1 gx 100000 10000000000000000000 3 Standard R el Rad Et Edit Action Interactif T00 10 9 100000 3 a 2 333333333E 16 In 2 n mini 2 1079100000100 1r 16 Int7f3 mt7 In mCt7x10 16 In 7 16 m 5 16 In 2 p Alg Standard R el Red In 2 nin 2 In 6 In 7 In 3 42 Int2 n 1 im Ex1016 imn 22 1 sn 7 41 SM 5 n P solve In 2 n 1 in 2x1016 gt
30. njecture pr c dente faite l aide d un tableau de valeurs L aire est maximale pour un triangle rectangle isoc le de c t 1 unit soit Aire 2 On peut rapidement avec la propri t de Pythagore retrouver les caract ristiques compl tes d un tel compas Angle d ouverture 90 Longueur d ouverture y 17 12 Longueur d ouverture V2 1 Aire maximale 2 Unit s d aire 21 Analyse fonctionnelle et recherche de maximum Une d marche de r solution du probl me par la recherche d un maximum d une fonction est possible Nous allons le voir sous deux angles L aire que repr sente le compas peut tre en fonction de l angle d ouverture ou en fonction de la longueur d ouverture que repr sente le compas Int ressons nous ce cas pour l instant D marche via la longueur d ouverture amp Fich Edit Aff Trac Edit Action Interactif IDE El Tests BOSCH 24 HB2 2 RTE CH solve ans CH TEREN SE He x H i H Alg Standard R el Rad Capture 3 1 Capture 3 2 Edit Action Interactif ix SUIVE LOL LU FA Er x2 4 Y x2 4 CH 9 HA xbase YeR tA auteur 2 x2 4 2 define Aire x SERRAANTENT done Airetx Al Standard R el Rad T Capture 2 3 Capture 3 1 Dessinons un triangle ABC isoc le en C avec AC BC 1 et posons H le pied de la hauteur ce triangle Capture 3 2 Comme BCH est un triangle rectangle en H on a la poss
31. nous confirme cela directement en affectant 3 la longueur AB et en mesurant l aire de la figure AB 3 cm donne AIT CA BCDEFGH xX 43 4558 cm Un moyen de v rification utile lors de calculs complexes Questionnement 1 rapport d aire Appropriation du probl me et mise en uvre Quel est le rapport entre l aire de l octogone de d part et la r duction trouv e en joignant les sommets loign s tous les 3 en 3 P Dans le m me mode op ratoire nous allons compl ter la figure g om trique pr c dente pour y trouver les liens avec un mode calculatoire complexe qui nous permettra d aboutir un rapport ll nous faudra simplement envisager une v rification sur la figure avant de conclure Q Fich Edit Aff Trac F AITTA dAire gd 43 46 FAB 3 00 ElAire pt 7 46 Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 En utilisant la cr ation de segments ainsi que le bouton intersection nous pouvons construire rapidement la figure ad quate ll est partir de l possible de la colorier menu style et d y prendre les mesures d aire Capture 1 2 Dans la figure nous pouvons y faire glisser les aires mesur es et ins rer une expression math matique en fonction des r sultats trouv s EXPRESSION Q1 2 o 1 repr sente l aire du grand octogone et 2 celui du petit Ce qui nous donne un rapport approximatif Rapportgire 5 83 Capture 1 3 Les polygones color s en bleu et en rouge vont nous servir
32. ns l quation pour ne pas avoir une erreur de calcul Le mode eActivity sera donc bien plus souple pour aboutir au bon r sultat 69 Notes personnelles 70 Notes personnelles 71 Notes personnelles 72 Ration trance casior SN teur Jean Philippe Blaise N R alisation Arc ad Diffusion Professeurs de UE i exclusivement q Juin 2014 ll II EX2 FX CP400 2014
33. on de x Capture 2 9 Le programme en lui m me n est qu une dichotomie sur les abscisses entre les valeurs enti res encadrant xo al A Point de d part 12 100 Point d arriv e Valeur de xo environ 2 300000001 donne 199 1262318 Capture 2 10 Capture 2 11 Capture 2 12 Capture 2 10 La demande de la fonction input se fait dans une fen tre de saisie Capture 2 11 La saisie de la fonction f via la fen tre de saisie permet de faire tourner le programme pour diff rentes fonctions sans avoir le modifier L id e sera bien entendu d y introduire f x e Capture 2 12 On trouve donc dans cette exemple pour f x 10 f 2 3 199 53 Alors que nous n avions calcul que f 2 100 Et FG 1000 22 Les deux chelles Dans un couloir aux murs perpendiculaires au sol deux chelles l une de 5 m tres et l autre de 8 se croisent 1 m tre du sol Quelle est la largeur du couloir d G om trie dynamique En utilisant la g om trie dynamique trouvons une valeur approch e de la taille de ce couloir Questionnement 1 Calcul formel et solveur d quation En calculant la hauteur de l intersection des deux chelles en fonction de la largeur du couloir retrouvons une valeur approch e r pondant au probl me initial Questionnement 2 Algorithme Un programme est possible pour retrouver la r ponse en partant d une largeur de couloi
34. possible d ins rer une ligne g om trique Y1 f x Y2 y x x3 x0 Ta y 8x 16 f x x en xp 4 Calculons la pente de la droite f x0 mxx0 p pour l abscisse x define y x Smaxtp L quation de la tangente est y x d f x 1x x0 m dx Retrouvons l ordonn e l origine V MXTE P Y TE Il suffit de remplacer par le point ACxO f x0 A 1 0 f x mxx0 p 7 Rad R el TI Alg D cimal R el Rad Capture 2 5 Capture 2 6 Un autre exemple avec la fonction f x xin x Xo 1 Les calculs permettent de retrouver la d marche vue graphiquement L quation de la tangente est bien y x 1 ll est possible dans la repr sentation de choisir une chelle logarithmique pour afficher la courbe et sa tangente Ce qui permet d ouvrir un nouveau champ des possibles dans l acquisition des notions rencontr es en math matiques 67 Le calcul formel questionnement 3 De part l usage du calcul formel il est possible de retrouver le cas g n ral de l quation de la tangente la courbe repr sentative de la fonction f x au point d abscisse xo Edit Action Interactif Edit Action Interactif Edit Action Interactif Idefine f x xxIn x E j define f x x 3 fix lim Eat f x Pix h gt 0 h Li v ax b a f x0 Intx l ixO si exU xerb FOCx0 x0 F x0 b In x l solve f x0 x0 E ix b b d tte Ix 1 b x0 f x0 f x0 dx
35. r initiale Questionnement 3 02 G om trie dynamique questionnement 1 Une animation pour visualiser la r ponse Dessinons la situation pour comprendre Fich Edit Aff Trac Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac HEF Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Soit AB un segment de 5 unit s Et un point M se d pla ant sur AB tel que AM repr sentera la taille d de notre couloir Pour l instant il suffit de dessiner les segments AD et EM qui repr senteront les murs jusqu l extr mit de chacune des chelles Il est inutile que AB soit sup rieure 5 unit s de longueurs La g om trie dynamique de cette calculatrice permet rapidement d affecter des objets leurs caract ristiques Ainsi en s lectionnant les segments nous pouvons imposer les angles droits sans avoir utiliser de perpendiculaires DM repr sentera l une des chelles A nouveau simplement en cliquant sur le segment nous pouvons lui associer la longueur de 5 unit s sans avoir utiliser les intersections de cercles comme dans une g om trie dynamique classique 54 amp Fich Edit Aff Trac iti Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac sgl Annuler R p ter DEEE ft LATEX Tr dE Annuler contraintes d 2 Tout montrer AM Style Propri t s Animi Ajouter Animation Coup Remplacer Animation Copie Trac Colle
36. r sentera le troisi me d Proposons nous de lui faire d rouler ses 6 faces l une apr s l autre Capture 2 2 La fonction Remplir plage permet d avoir directement une formule copier coller dans les 216 lignes de ce tableur Comme le d n a que 6 faces A la case C7 nous devons crire C7 C1 Et remplir les lignes avec cette formule qui sera incr ment e correctement Capture 2 3 En descendant dans le tableau on retrouve que la 216 ligne finit bien par un 6 30 amp Fich Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc Formule B Plage B37 B216 Capture 2 3 Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 3 La colonne B repr sentera le second d Nous avons d couvert que l ordre influence les r sultats Pour en convaincre une classe il suffit de lancer trois d s de couleurs diff rentes Si le troisi me d est un 1 c est que nous avons chang de face pour le second d Le classement devient naturel et on obtient une corr lation avec les boucles FOR imbriqu es La formule utilis e est Celllf C7 1 B6 1 B6 Capture 2 4 La fonction Remplir plage permet de la recopier jusqu la ligne 36 Attention car le d n a que 6 faces A la 37 ligne on recommence B37 B1 Capture 2 5 De nouveau on peut remplir les lignes restantes avec cette formule 31 amp Fich Graph Calc amp Fich Edit ne Calc amp Fich Edit Graph Calc pi 3 ner p
37. sous entendue tout au long des probl mes que vous rencontrerez au fil des pages Math maticalement Jean Philippe BLAISE Sommaire L octogone r gulier page 5 Le compas du professeur page 17 Les trois d s page 27 L chiquier seuil et algorithme page 37 Courbe exponentielle point par point page 47 Les deux chelles page 53 Tangeante la courbe page 63 L octogone r gulier Voici un probl me qui va nous permettre d aboutir divers raisonnements et mises en uvre Quelle est l aire d un octogone r gulier en fonction de la longueur d un de ses c t s Questionnement de base Rapport d aire Lorsqu on relie les sommets d un octogone r gulier de 3 en 3 on obtient un nouvel octogone r gulier Quel est le rapport d aire entre l octogone de d part et celui ainsi construit Questionnement 1 Octogone et origami ll est possible de construire un octogone r gulier partir d un carr de papier Peut on par ce biais retrouver le rapport d aire du questionnement pr c dent Questionnement 2 Rapport de longueur Le m me type de questionnement qu la question 2 est possible Quel est le rapport entre la longueur d un carr de papier et la longueur du c t de l octogone obtenu par pliage de ce carr 2 Questionnement 3 Questionnement de base formule d aire Utilisation de la g om trie pour r pondre ce probl me et du calcul formel pour formuler une expr
38. sse la taille recherch e 1 alors on change le pas du param tre unit et on recommence ia 23 L m Dossier main y 6100172569 Dossier main Nom dich ech Y o nr Nom dich_ech F OOE e 810 Ps Param tre 7958597427 Param tre 8125 e 057722005 875 8937207695 84372 T 057723005 25705566 879 000116329 9633852171 857177734 gaoa fo 39997592959 057723005 857116699 8515625 000116329 006622127 857177734 859375 9841510431 9999377553 857177734 Be O 9999377553 Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 4 Capture 3 2 Ex cutons le programme directement On trouve avec un pas de 0 001 d 4 856 Capture 3 3 En rajoutant des lignes print d print h Il est possible de visualiser les calculs effectu s Nous remarquons que nos conditions ne permettent pas dans notre algorithme une bonne optimisation de la programmation Ainsi lorsqu une des conditions n est plus acceptable la distance reprend sa valeur pr c dente ce qui engendre deux fois le m me calcul Ce programme ne demande du coup qu tre am lior Capture 3 4 Avec un pas plus petit nous retrouvons la valeur propos e par le solveur d quation d 4 857 m 6l amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac 4 857138 FG Sl 00 FG 1 00 Capture 3 5 Capture 3 6 Capture 3 5 un retour dans le mode de g om trie permet d
39. t sctogons 2V2 2 Capture 2 5 Laire de la r duction se trouve par soustraction en lui enlevant les 8 triangles rectangles isoc les qui apparaissent dans les pliages pr c dents 2 a AiTer duction a2 2V2 T 2 8 Capture 2 6 On retrouve via le mode principal un rapport d aire directement sans passer par le carr du rapport de la longueur que nous retrouvons via ce calcul A TEoctogone R taire T sn AT Er duction r a 2V2 2 ADDOTL ies n pp atre q2 2V2 ui 2 Rapportgire 3 2V2 Rapportgire 5 83 13 Questionnement 3 origami et rapport de longueur Utilisation du diagramme d pli La feuille de papier sera consid r e comme notre longueur de d part Quel est le rapport entre la taille de son c t et l octogone obtenu P amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac 3 v T 7 approx F OQ i 0 4142135624 0 A XI Alg Standard R el Rad m Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 1 M me pour une figure complexe avec plusieurs degr s d implications il est possible d imposer un redimensionnement Ainsi posons EF 1 Capture 3 2 La s lection directe du c t du carr permet de donner une valeur approximative du rapport entre la longueur du carr et l octogone obtenu BC Rapportorigami EF Rapportorigami S 4 46 ll est aussi possible de v rifier en s lectionnant
40. te directement on retrouve une seule intersection pour x 1 Bien entendu pour le nombre d riv en 1 l utilisation de la formule de d rivation est n cessaire uv u v uv Capture 1 6 Un agrandissement de la zone repr sentative est envisageable pour visualiser le tout Notons que les quations de droites verticales sont possibles 65 eActivity questionnement 2 Pour automatiser Lorsque plusieurs quations de tangentes diff rentes courbes sont demand es il est utile de savoir automatiser le travail pour ne plus avoir g rer les tapes soit en calcul direct soit via le mode graph vu pr c demment L eActivity permet l dition sous la forme de texte avec insertion de modules math matiques Ce Fich Edit Ins Action Ce Fich Edit Ins Action Ce Fich Edit Ins Action Calculons l quation de la Calculons la pente de la droite a fix0 m x0 gt p tangente la courbe en un pour l abscisse x point d abscisse xU define v x smextp L quation de la tangente est Clear _a_z vx f x Lx x0Sm Sex dx done 1 L fimssons la Fonction f repr sentation graphique define f x i x 2 Retrouvons l ordonn e done l origine 2 Calculons sa d riv e YV IMX p f x p y mx dx Il suffit de remplacer par le point A 3 En quelle abscisse xU 7 ACxO f x0 dsxi A 4 16 El f x0 mXxx0 El Alg D cimal R el Rad Alg D cimal R el Rad Alg D cimal R el Rad Capture 2
41. ter ple CLsTst lalslelplelr e JE Len EE Format Choix RATE Remplir plage Ins 3 s 1 i Formule A1 1l Couper Plage AS87 A216 Copier i 34 1 Coller Capture 2 6 Capture 2 7 Capture 2 8 Capture 2 6 La colonne A repr sentera le premier d Il va garder ces faces 36 fois pour chacune de leur valeur A1 1 Capture 2 7 Du coup la 37 ligne on change de face A37 A1 1 Capture 2 8 On n a qu faire de m me jusqu au bas du tableau amp Fich Edit Graph Calc amp Edit Aff Type Calc qu Edit Aff Type Calc Capture 2 9 Capture 2 10 Capture 2 11 32 Capture 2 9 La colonne D va repr senter la somme des trois d s D1 A1 B1 C1 Capture 2 10 En la s lectionnant on peut afficher un diagramme permettant de retrouver les effectifs pour chaque somme Capture 2 11 Et y lire les diff rentes probabilit s que nous pouvons recenser dans le tableau suivant tt Fich Edit Graph Calc eaa 11 57 E si 6 10 6 7 15 T 8 amp 8 2l 8 SE 25 9I 10 27 a GO l5 16 6 2 78 d6 17 8 1 89 m 18 i 0 46 19 Capture 2 12 Capture 2 12 Notons qu il est aussi possible de r utiliser la suite S fabriqu e par l algorithme pr c dent 33 Questionnement 3 exp rimentation Lan ons les d s Au lieu de chercher les diff rents v nements possibles que d finissent ce probl me il est aussi
42. ttres Ainsi les longueurs AD et EM peuvent directement tre utilis es La fonction solve va nous offrir l expression de h en fonction de d en utilisant la propri t de Thal s d crite pr c demment V64 d x V25 d V64 de V25 d que nous pourrions aussi crire h d 1 1 Poe V64 d v25 d ll est maintenant possible de retrouver une valeur approch e plus pr cise en r solvant l quation h d 1 d 4 857 m Solution que nous pouvons retrouver graphiquement 59 Algorithme questionnement 3 Retrouvons la r ponse pr c dente l aide d un programme Le but maintenant est de retrouver la largeur du couloir via un algorithme de programmation Pour ne pas faire une dichotomie d j pr sente dans le manuel nous allons it rer la longueur du couloir en lui ajoutant toujours la m me valeur e Edit Ctrl E S Divers ClrText 0 001 pas l unite 1 d Do 1 64 d 2 1 4 25 d 2 h if h gt l then unite 2 unite d 2 unite d ifend d unite d if d 5 or d gt o then unite 2 unite d 2 unite d ifend LpWhile abs h l 2pas print d print hi Editeur Programme Capture 3 1 Capture 2 2 Voici un programme non habituel qui va nous permettre de faire voluer la largeur du couloir d en fonction d un param tre unit Les contraintes de programmations 60 sont telles que si la hauteur h n est pas d finie ou si elle d pa
43. ture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 Le mode suite donne directement les informations utiles savoir Us 32 Us 64 Capture 1 2 Une premi re approche serait d imaginer la moyenne des valeurs et d estimer la population 48 Capture 1 3 Par contre une analyse rapide de la repr sentation en ligne bris e de cette volution permet de constater que le milieu d un segment n est pas pr cis pour des n assez grands 46 Edit Action Interactif amp Fich Edit Graph Calc 29 28 1 5B 82843 24 2 55 85685 25 3 511 3137 26 4 522 6274 B2 B3 0 5 U 5 0 6 2 Uin lixUintl vUin l ixUcntl Al D cimal R el Rad B23 2 828427125 Capture 1 4 Capture 1 5 Capture 1 6 Capture 1 4 La moyenne arithm tique des abscisses correspond la moyenne g om trique des ordonn es Ainsi si on veut calculer une valeur interm diaire pour un n qui ne serait plus un nombre entier comme dans la suite de d part il suffit d associer ces deux moyennes On trouve pour n 5 5 Pin n m U V32 x 64 45 25 et non 48 Capture 1 5 Le mode Tableur permet de faire ces calculs interm diaires et de les repr senter graphiquement Ainsi pour des valeurs enti res initiales nous avons la possibilit de trouver leurs valeurs moyennes La repr sentation en nuage de points permet une repr sentation harmonieuse que nous ne retrouvons pas dans la capture suivante Capture 1 6 Voici la repr sentation gr
44. ture du compas 2 Questionnement 3 17 Une analyse directe via la g om trie dynamique Lieu et tableau de valeurs La g om trie dynamique du Classpad 400 alliant un module d animation des figures et un tableur va nous permettre de trouver l angle maximum sans avoir effectuer quelque calcul que ce soit Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac Ciu k 0 Annuler R p ter Annuler contraintes Tout montrer en 139 45 Style BC 0 67 BC Propri t s Animi Ajouter Animation Coup Remplacer Animation Copi Trac Colle Editer Animations Tout Lancer une fois Supp Lancer plusieurs fois Tout Lancer 3 et de Arr ter Retirer _ Mod lisation d un compas Mod lisation d un compas Capture 1 1 Et Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Dessinons un mod le du compas Un travail autour des agrandissements r ductions permettra de se convaincre que l aire maximale recherch e ne d pend pas de la taille du compas De ce fait posons AB 1 A 0 0 B 1 0 Le compas tant isoc le il est inscrit dans le cercle de centre A et de rayon AB ll nous suffit de cr er une animation du point C sur ce cercle ainsi d fini On cherche une ouverture de compas Donc nous allons faire d placer dans l animation le point C sur le demi cercle pr c dent par sym trie inutile de faire un tour complet Pour avoir des valeurs pr
45. un c t du petit octogone que le rapport correspond aux conclusions pr c dentes Capture 3 3 A savoir 1 Rapport E pp octogone 1 d 2 Rapportoctogone 0 41 14 amp Fich Edit Aff Trac rune Te Capture 3 4 Capture 3 5 Capture 3 5 Capture 3 4 Edit Action Interactif porom tan 2 a M amp Fich Edit Aff Trac ner Z tan a tan a 2 1 tan x d 1 2 x x 2 1 X na x2 1 solve ans x x V 2 1 x 2 1 0 Alg Standard R el Rad m Capture 3 5 Capture 3 6 De m me si on d cide de poser comme unit le c t du carr on trouve pour EF BC 1 EF 0 22 Rapport que nous allons retrouver avec le calcul Travaillons dans le triangle BCX rectangle en C TT CX tan 5 CX V2 1 Retrouvons pourquoi tan 2 4 2 1 P On sait que 2tan o tan 2 o 1 tan2 0 tan Z tan T Il suffit de r soudre l quation du second degr x 2x 1 0 Avec x tan 15 amp Fich Edit Aff Trac Edit Action Interactif V2 13CX 2 1 Sin Ri B XCASMVX 2 1 242 2 expand V 2 V2 4 v V2 2 2 2 approx 0 1585126678 VS LV 2 1 v 2 2 2 LW24LW2 V3 1 2 V3 2 E Edit Action Interactif 131 2 V3 2 3 expandit 7 2 3 72 7 5 SL da Tv 210 2 14 2 20 2 approx 0 2241707646 E Standard R el Rad mi Capture 3 9 Alg Standard R el Red
46. y f CO xx x0 f CO x0 1 v xef Cx0 x0 f x0 f x0 CL Ex Ix DIX C1 i ax b d res y Law dx 60 1x 2 v ansx x 2 f 2 v ds x 2 4 expand vedex dl dx factorOut xef x0 xOef x0 LI f x0 f x0 y x x x0 Jet x0 y f x0 x x0 f x0 Alg D cimal Capture 3 1 Capture 3 2 R el Rad m Alg D cimal R el Rad m Alg D cimal R el Rad m Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Un travail direct en conservant les formes g n riques de la fonction f x permet de trouver une quation de la tangente bien connue Tx Y f xo X xo f xo FactorOut permet de mettre en facteur un l ment particulier ici f xo La fonction solve nous propose l ordonn e l origine alors que le calcul formel n est d fini sur aucune fonction ni valeur Un travail autour de la limite et du nombre d riv permet si on le souhaite d expliquer l id e de cette tangente Par exemple pour xln x on retrouve sa d riv e comme d finition du nombre d riv um FC IM lim h In x 1 Soit xin x In x 1 68 Capture 3 3 Et nous retrouvons directement en rempla ant dans l quation pr c dente pour Xo 1 E T 1 y x 1 Attention toutefois l utilisation d une forme pour le calcul de la tangente ne nous prive pas d un travail m canique Ainsi l abscisse x devra tre remplac e au bon endroit da
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