n° 118 - IREM de Dijon - Université de Bourgogne
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1. Euler dont l approche est pr sent e dans cet article en fit partie La multiplicit des approches conf re au probl me un int r t particulier certaines sont pr sent es 1c1 en langage de permutations de s ries probl me de capes de matrices ou d ensembles 1 Euler et le probl me de de Montmort L tude des Jeux tait Taube du XVII un vaste pays inculte o peine voyait on cinq ou six pas d hommes crit Fontenelle dans son loge de M de Montmort Il s y engagea poursuit le secr taire de l Acad mie Royale des Sciences avec un courage de Christophe Colomb et en eut aussi le succ s Ce fut en 1703 qu il donna son Essai d Analyse des Jeux de Hasard o il fit d couvrir un nouveau Monde aux g om tres Au lieu des courbes qui leur sont famili res des sections des cyclo des des spirales des logarithmiques c taient le Pharaon la Bassette le Lansquenet l Ombre le Trictrac qui paraissaient sur la Sc ne assujettis au Calcul et dompt s par l Alg bre Parmi ces Jeux de hasard le Jeu du Treize ou probl me des rencontres et sa ses solution s connut une certaine fortune parmi les math maticiens De Moivre Euler Laplace apr s De Montmort s y int ress rent galement FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 35 e Les Joueurs tirent d abord qui aura la main Supposons que ce soit Pierre et que le nombre des Joueurs soit tel qu on voudra Pierre ayant un jeu entie2. et en posant p n k n GI p 0 P 5 Le langage des ensembles La formule du crible de Poincar fournit une r ponse ensembliste au probl me des d rangements Soit ASI 2 aus n et l ensemble des permutations laissant i invariant Le nombre des d rangements de A n est autre que le cardinal de l ensemble des permutations ne laissant aucun entier invariant c est dire Card A NA Min NA n kCard A VA a t IA On a Card U Ais A CD E Card A A O Ag kal lt il lt i2 lt ik lt n Une permutation laissant p l ments fixes est compl tement d termin e par celle qui change les n p autres par cons quent Card A O gt O NO A n k d et D Card A nOA a0 1 lt i1 lt i2 lt ik lt n k k et donc Card O A4 n HD QUE k I e et Card A NA NA A n GD gt k 1 c est dire d n S 1 LN k 0 k MISE EN PAGE Fran oise BESSE COMITE DE REDACTION ET DE LECTURE Catherine LABRUERE CHAZAL Alain MASCRET Jean Fran ois MUGNIER Marie No lle RACINE REDACTEUR EN CHEF Catherine LABRUERE CHAZAL DIRECTEUR DE LA PUBLICATION Catherine LABRUERE CHAZAL Directrice de l IREM D P T L GAL n 195 2 semestre 2010 IMPRESSION Service Reprographie FEUILLE DE VIGNE Universit de Bourgogne UFR Sciences et Techniques IREM 9 Avenue Alain Savary BP 47870 21078 Dijon cedex 03 80 39 52 30 Fax 03 80 39 52 39 iremsecr u bourgogne fr http ma
3. et l on a E B BE x Les points J et E tous deux situ s sur BC sont donc confondus et HE HE Le demi p rim tre du parall logramme EFGH est donc gal GH HJ qui est sup rieur ou gal GJ d apr s l in galit triangulaire dans le triangle GHJ L galit a lieu au H est sur GJ c est dire lorsque le c t GH est parall le la diagonale DB FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 e Remarque Si HG est parall le DB on a aussi EH parall le AC En effet si HG est parall le DB les angles HJB et DBC sont correspondants donc gaux Leurs compl mentaires JHB et BDC le sont aussi Mais JHB BHE car J E est le sym trique de E par rapport AB et BDC CAB dans le rectangle ABCD Finalement les angles correspondants BHE et CAB sont gaux ce qui prouve le parall lisme de EH et AC Figure 11 7 Qu apporte un logiciel de g om trie dynamique Les principaux avantages d un logiciel de g om trie dynamique sont la qualit et la rapidit de r alisation d une figure Le risque de dessiner des cas particuliers qui induisent en erreur n existe plus puisqu il est possible de modifier la figure tout moment D autre part une figure n est pas un simple dessin ses l ments doivent tre d finis explicitement partir des donn es du probl me Si ce n est pas le cas la d formation de la figure l emp chera de correspondre au probl me Pour ob
4. 0 8432 0 5376 lt O 0 07584 0 99712 PROBL ME 67 Quel est le seul nombre premier qui peut s crire sous la forme n 22 n 148n 282n 27 avec n entier naturel Solution La r ponse est 7 En effet 3 et 9 sont des racines videntes du polyn me n 22 n 148 n 282 n 27 lequel se factorise donc selon P n 3 n 9 n 10n 1 Les facteurs n 3 et n 9 diff rent de 6 Donc pour que P soit premier 1l faut que n 3 ou n 9 soit gal 1 ou 1 Cela laisse 4 possibilit s n e 2 4 8 10 Le troisi me facteur n 10 n 1 vaut alors respectivement eg JEE eer oa A Seul le dernier cas n 10 convient pour lequel P vaut 7 1 1 7 M Lucien Sautereau a r solu les deux nonc s Jeu 67 et Probl me 67 P atras t Eananie Michel LAFOND Mots cl Cube d coupages minimum patron R sum Une tude des patrons du cube ax e sur l conomie de papier Ici l conomie est celle du papier et les patrons sont plus souples que dans la r alit Tout le monde a construit un cube partir d un rectangle de papier ou de carton 1l est donc naturel de se poser la question suivante Trouver un rectangle de surface minimale dans lequel on puisse d couper un patron du cube unit Ce probl me figure sous la r f rence D431 sur le site diophante fr Il a t pos par Lucien Pianaro dans
5. 26 JANVIER 2011 Rallye math matique des lyc es de Bourgogne Jux P rd ne Michel LAFOND mlafond001 yahoo fr JEU 68 Soient A V5 422 2V5 B V11 2429 416 24 29 24 55 10 29 A t on A B PROBL ME 68 _ D montrer que si p est un nombre premier alors la partie enti re de SC est paire D Solutions JEU 67 Quelle est la suite logique de 0 6 0 8 1 0 28 0 96 1 0 936 0 352 1 0 8432 0 5376 1 Solution C est 0 07584 0 99712 1 En effet La cl est l identit de Lagrange xX vi x u v ux vy vx uy 2 2 2 2 3 4 3 4 4 3 ui permet d crire A Ey OE A E Ee E E E x qui p od BI Si E sl 2 2 D o l implication x y 1 BH d sen i 3 4 3 4 SE 2 b 5 5 xX I5 5 que l on peut crire matriciellement x 4 3 y 4 X y Sr 5 3 X d un angle d et que l on peut interpr ter comme la rotation du vecteur unitaire y de cosinus 0 6 et de sinus 0 8 0 53 1 Ainsi en posant xo 0 6 et yo 0 8 3 4 4 avec la r currence us 3 e PM EE LE SCH S Y on obtient successivement x 0 28 y 0 96 xX 0 936 y2 0 352 X3 0 8432 y3 0 5376 x4 0 07584 y4 0 99712 La suite logique de ce qui est propos est donc les signes sont ignor s 0 07584 0 99712 1 Interpr tation g om trique 0 28 0 96 e
6. IX X xjr 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 4 Ai Io 4 18 96 600 4320 35280 322560 SEN 1 3 14 78 504 3720 30960 387280 d l 2 11 64 426 3216 27240 256320 el l 9 53 362 2790 24024 229080 fageja gt 44 309 2428 21234 205056 gl t 265 2119 18806 183822 b he 1854 16687 165016 si l e se 14833 148329 kl J j s e dl 133496 la diff rence du triangle de Pascal chaque nombre n est pas la somme de celui qui est au dessus et de celui qui le pr c de mais est gal leur diff rence le triangle d Euler est alors tr s simple compl ter la premi re ligne tant celle des factorielles Il ne reste alors plus qu sommer les colonnes pour d terminer le nombre de rencontres en fonction du nombre de cartes dans le jeu L activit ne manquerait pas d int r t dans une classe Il manquera toutefois toujours au tableur l intelligence du math maticien et son ing niosit celles l m me qui pouss rent Euler en trouver une expression simple Euler note si pour le nombre des cartes m le nombre des cas qui font gagner A un certain coup est p amp le nombre des cas qui le font gagner au m me coup si le nombre des cartes est m 1 soit q amp le nombre des cas qui le font gagner au coup suivant r le nombre des cartes demeurant m 1 on aura toujours r q p Donc pour le nombre des cartes m
7. le nombre de tous les cas tant 2 3 m M l esp rance de A de gagner un certain coup sera P que je m nommerai P Or pour le nombre des cartes m 1 le nombre de tous les cas tant M m 1 l esp rance de de gagner au m me coup sera een qui soit pos e Q amp M m 1 FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 j l r l i gt l esp rance de gagner au coup suivant qui soit R Cela pos on aura M m 1 e H P y bien R 0 M m 1 m Ainsi e Donc posant le nombre des cartes n 1 puis que lesp rance de A de gagner au premier coup est pour le nombre des cartes n lesp rance de de gagner n i l l n 2 au second sera l n n l n n l n Or l esp rance de A de gagner au second coup que le nombre des cartes est n 1 tant n nous en concluons que lorsque le nombre des cartes est n son esp rance de gagner au troisi me coup sera n 2 n 3 n 5n 7 n 2 n 2 Dr Gear Cher Ge Da il poursuit e Pour peu qu on r fl chisse sur la forme de ces formules on trouve que le nombre des cartes tant n l esp rance de A de gagner sera au premier Coup au deuxi me coup E _ ZT P HE EE ZE au troifi me coup che jt n m 1 5 2 BE Ne e ES ES au quatri me coup gt SES 1j 2 statlis zlez St E SEH 2 nu au CINQUIEME coup SE 1 sis Ui 1 2 r EN n 1 15 4 rt 2 E EE PEN EE au zi me coup P s
8. PM est sup rieur ou gal OM car c est l hypot nuse de MOP L galit n a lieu que si P est en O c est dire si OH OG OM OC OB La somme de deux nombres dont le produit est constant est minimale lorsque ces deux nombres sont gaux 6 Minimum du p rim tre d un parall logramme inscrit dans un rectangle Dans son article Une situation pour introduire les fonctions paru dans le PLOT num ro 31 troisi me trimestre 2010 V ronique Cercl propose de faire tudier aux l ves la situation suivante ABCD est un rectangle E un point de BC F un point de CD G un point de FailledV ignen 118 D amp mire 2010 m DA et H un point de AB tels que BE CF DG AH x Il s agit de faire exprimer l aire de EFGH en fonction de x puis de chercher pour quelle valeur de x cette aire est minimale Pour plus de d tails je vous renvoie cet article o sont analys es les difficult s rencontr es par des l ves de seconde La solution propos e est alg brique Si a est la longueur et b la largeur du rectangle l aire du parall logramme EFGH est obtenue par diff rence entre l aire du rectangle et la somme des aires des triangles rectangles AGH BHE CEF et DFG Mes l ves de troisi me comme ceux de V ronique Cercl ont travaill sur un exemple num rique Aire de EFGH ab x a x x b x ab a b x 2x Pour visualiser le minimum d une fonction Geogebra est tr s pratique puisqu il suffi
9. Se nombre de cas qui font gagner A au troisi me tirage il faut ter ceux qui m le font gagner au premier et au second Euler recherche alors un proc d DEE M Pour juger donc de combien il faut diminuer le nombre des cas favorables m chaque coup ou pour en conna tre le nombre de ceux qui ont d j eu une rencontre dans quelque coup pr c dent voil comme je m y prends Je con ois que la carte qui se rencontre au coup propos soit t e de l un amp de l autre jeu amp l ordre des cartes amp le nombre des cas sera le m me que si le nombre des cartes tait d une unit moindre FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 T L exemple du cas m 4 lui indique que des 24 tirages possibles le 3 sort au troisi me coup dans les cas 1 6 10 12 20 21 en tant des ces tirages le n 3 il vient la table A B sixlrx zlal als 2H2l4ltaitlrlz alalalrlalels De ces cas o le 3 appara t en 3 position il en faut retrancher ceux qui ont d j eu une rencontre ou dans le premier coup ou dans le second il est clair que ce nombre retrancher se trouve des cas de trois cartes en ajoutant ensemble les cas o gagnerait alors au premier coup amp au second Il poursuit En g n ral donc si le nombre des cartes est m qu on veuille savoir de SE Kach M X combien il faut diminuer le nombre de cas qui ont une rencontre un coup m quelconque il faut avoir reco
10. avoir 1 ou amp 1 Si 1 la permutation s crit 2 Le a o le ol est Pun des d d rangements des entiers 3 4 n 44 Si 1 alors l G ze SE est l un des d d rangements de 1 3 n n Nous en d duisons donc la formule de r currence d n 1 d d pourn23 et ds d 1 Ces valeurs nous permettent de calculer de proche en proche celles de d et la relation permet de trouver une expression simple de d voir ci dessous d Soit p la probabilit qu une permutation n l ments soit un d rangement nous avons d n l d d wa ES n n n nl dn Ge n r Di nn Ji n 2 HA l n 1 n n n hial d o l Pr Hai L Pn 2 soit alors v la suite de terme g n ral y ps A DER l v v rifie v For OU encore v l 1 1 et par une r currence imm diate v Kie ee SH n et COMME v p Re S E e WC ed Il vient finalement v AN e n Maintenant nous avons la somme 2 is gt Pr Pr Ps Po k 2 k 2 TE et donc He CD k2 k que l on peut galement crire sous la forme Hey 1 ko k 1 e Notons dans un tableau les nombres de parties avec rencontres et d de parties sans rencontres FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 we Nombre de cartes Parties avec Rencontres R Parties sans Rencontres d Une r gle simple de formation des termes de ces
11. passant par et C Nous obtenons donc le r sultat suivant que l on peut formuler de diff rentes fa ons Parmi tous les rectangles inscrits dans un cercle donn celui qui a le plus grand p rim tre est le carr Parmi tous les rectangles ayant la m me diagonale celui qui a le plus grand p rim tre est le carr La somme de deux nombres dont la somme des carr s est constante est maximale si et seulement si ces deux nombres sont gaux FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 Se Remarque Le recours aux angles inscrits r serve la d monstration la classe de troisi me mais les l ves de quatri me admettent facilement ce r sultat pratiquement vu en d montrant les th or mes sur le triangle rectangle et son cercle circonscrit 4 Rectangle d aire maximale et de p rim tre fixe Ces recherches rappellent souvent aux l ves un r sultat analogue vu en sixi me ou m me l cole Parmi tous les rectangles qui ont le m me p rim tre celui dont l aire est la plus grande est le carr Essayons de d montrer ce th or me a Figure 4 Le demi p rim tre est constant Nous le repr sentons par un segment AA qui restera fixe Sur AA pla ons un point B mobile permettant de construire les diff rents rectangles ABCD dont le p rim tre est le double de la longueur de AA T Le point C est l intersection du cercle de centre B passant par A et de la perpendiculaire AA passant par B D
12. premier temps joignons IS figure 6 et rempla ons le trap ze A B C D par son sym trique ABCD La face sup rieure du cube qui dans la figure 4 tait compos e des deux rectangles sera maintenant compos e des deux trap zes in gaux CDHG et EFCD En proc dant de m me pour la partie basse de la figure 4 on aboutit au patron visible ci dessous Figure 7 S 1l y a des sceptiques faites comme moi construisez ce patron en papier ou en carton F illede V ignen 118 D amp mire 2010 2 L angle amp une tangente gale KS KI 1 35 Voir figure 6 5 l On tire cos et sin Avec MN 4 tan a 4 5 on trouve V26 V26 facilement l aire du parall logramme contenant le patron de la figure 7 cette aire vaut 36 5 7 2 On progresse En effet ce parall logramme n est pas un rectangle mais on va en faire un rectangle dans un deuxi me temps en remarquant ceci Lors du pliage du patron de la figure 7 M se transforme en M et N se transforme en N Le triangle MPN rectangle en P peut donc tre d plac et mis en IM PN En proc dant sym triquement pour la partie Nord de la figure 7 on aboutit au curieux patron visible ci dessous dans la figure 8 facile construire partir des donn es pr c dentes Figure 8 Calculons l aire du rectangle minimal contenant ce patron en pointill dans la figure 9 Do Has Waff Figure 9 K
13. rectangle R sum Utilisation d un logiciel de g om trie dynamique pour rechercher au niveau du coll ge des probl mes de minima et de maxima en g om trie rectangle d aire maximum ou de p rim tre maximum inscrit dans un cercle ou de diagonale fixe rectangle d aire maximum et de p rim tre fixe maximum du produit de deux nombres de somme constante minimum de la somme de deux nombres de produit constant minimum du p rim tre d un parall logramme inscrit dans un rectangle Afin de pouvoir animer les figures elles seront d pos es sur le site du groupe de g om trie dynamique de l IREM de Dijon http geowiki u bourgogne fr Les logiciels de g om trie dynamique permettent d aborder les probl mes par des manipulations Il est ais de voir ce qui varie et dans quel sens se produit cette variation La recherche de maxima ou de minima appara t naturelle et les conjectures sont faciles tester Il reste bien s r les d montrer 1 Pr sentation La plupart de mes l ves disposent d internet D s le d but de l ann e je leur conseille de se servir de logiciels de g om trie dynamique en particulier de Geonext qui me para t tr s facile d acc s ou de Geogebra Ils trouvent les liens vers les sites officiels de ces logiciels sur geowiki u bourgogne fr Le passage d un logiciel l autre ne pose pas de probl me aux l ves car les logiciels actuels se ressemblent beaucoup Pour traiter les prob
14. 54x 16 84y 63 37 b 11 14 CC 16 84x 3 54y 213 05 A q c 6 71 We d 11 14 O poly1 74 78 D B D placer D placer ou s lectionner un ou des objets Ctri Raccourci Esc 2 Saisie a Commande Figure 1 Nous nous sommes interdit de toucher aux points A et C Nous pouvons modifier la figure l aide du point B Nous constatons que l aire est maximale quand le rectangle est un carr Au passage nous retrouvons que le cercle de diam tre AC est circonscrit au rectangle ABCD Nous tra ons ce cercle Il s agit maintenant de prouver notre conjecture Parmi tous les rectangles ayant la m me diagonale celui qui a l aire la plus grande est le carr Les l ves savent depuis l cole calculer l aire d un rectangle en multipliant sa longueur par sa largeur Malheureusement quand la longueur augmente la largeur diminue et vice versa Comme tout l heure tout bouge en m me temps Il faudrait s appuyer sur une longueur fixe Nous en connaissons une la diagonale Notre rectangle est partag en deux triangles rectangles de m me aire par la diagonale AC Il est donc possible de calculer l aire du rectangle partir de celle des triangles rectangles en utilisant la diagonale qui est leur hypot nuse FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 L aire du rectangle ABCD est le double de celle du triangle ACB c est dire BH x AC AC est fixe BH est inf rieur ou gal au rayon du cer
15. E GI 2 d En d duire que d n ko k l E On a P X gt X gt x n gt 0 ko El Sch L GU s rie dont le terme g n ral p est donn par p gt Ea k 0 et donc d n gt CD o k 4 Le langage des matrices Soit l endomorphisme de P X d fini par P P P X 1 Dans la base 1 XX H admet pour matrice 3 O o o o oO m e CE CE ea GE O o0 ODO e N e O O me LA LA 0 Le terme g n ral tant o JI cette matrice est appel e matrice de Pascal l triangulaire sup rieure il en existe deux autres Uer P respectivement triangulaire inf rieure et sym trique dont les c fficients sont galement les c fficients binomiaux Ona D r E E DM Comme L est triangulaire sup rieure avec les l ments diagonaux tous gaux 1 elle est inversible et donc dd d OL 2m Le La d termination de L se fait sans peine on a KK A X A X aa X et donc C X ses X V X OAI X L comme X Urs AURA x k 0 d composition de X dans la base X pour k 0 n on en d duit alors 1 1 1 l 0 1 2 3 100 1 e loo o Be 0 0 0 0 0 0 0 0 avec Q ll pour i lt j l Propri t formule d inversion de Pascal Si Be Hi k 0 k n AIP alors bc A CD d Ja er k FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 a De l galit ds dd 0 LI 21 un D il vient nl hu k et d apr s la formule d inversion de Pascal Ge W INI k 0 L n SE 2 n k
16. EL NHE D mb e 2016 ailledeV one WW A A A A F2 2 2 bh e ZOE demnim UE IA XIM gi d mar LE L C UUA UG I OIU E IE JE UE U OCE 2 ts ke Gud Eat n auel rIM amp IrIaIE fl 4p o Iren deDija 2010 Sanmalre v Agenda 1 v Jeux et Probl mes 3 Articles v Patrons et conomie Michel LAFOND 7 v Recherche de minima et de maxima en g om trie Alain MASCRET 23 V Le probl me des rencontres le jeu de treize Tristan DERAY 35 ditaial Pas de bonne feuille de Vigne sans un dito PIREM on souhaite tourner pour cette t che Alors cette fois ci on a fait appel un retrait qui passait par l Avant de pr senter ce num ro IS le retrait de service d barrass des contraintes hi rarchiques du fonctionnaire qu il a t aimerait en profiter pour exprimer quelques tats d mes qui le turlupinent depuis plusieurs ann es Lorsque j ai commenc IKEA de Dijon c tait une ruche bourdonnante de dizaines de membres dans chacun des quatre d partements On y cherchait tous azimuts et tous niveaux sans cloisonnement au contraire en communiquant Actuellement m me si on y produit encore des choses fort int ressantes et si certains stages ou journ es de formation r unissent un nombre important de coll gue
17. ITIRE A Si p 12 on aura S 1952786758 4 44 Sie A S1 P 13 0n aura S 199966 g A ELSE A Il sera facile partir de cette table de d terminer la probabilit P d une rencontre Si p l1 alors P 1 A Si p 2 doas Pat AS A 2 2 Si p 3 alors P A AT A E A 4 AG Si p 4 ne P A G A EHS A 4 iie E E 2 2 3 2 3 4 a Il reste pour expression du sort de Pierre cette suite tr s simple l l l l 72 2 3 2 3 4 1 2 3 45 Euler reprit le probl me tudi par de Montmort et y apporta sa propre solution en notant que e l on peut supposer que ces deux personnes dont l une soit nomm e amp l autre B aient chacune un certain amp m me nombre de billets marqu s des nombres 1 2 3 4 5 amp c amp que chacune en tire un billet apr s l autre jusqu ce qu elles rencontrent le FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 m 38 m me num ro la fois amp que ce soit la personne A qui gagne alors Or s il arrive que ces deux personnes tirent tous leurs billets sans rencontrer jamais le m me nombre la personne B gagne Comme il est indiff rent de quel num ro chaque billet soit marqu il est permis de supposer que tire ses billets selon l ordre 1 2 3 4 5 amp c Ou pour faire l application aux cartes on concevra les cartes de l un amp l autre jeu tellement num rot es selon l ordre comme elles sont tir es successivement par de sort
18. Jouer Jeux Math matiques n 8 L auteur affirme que le rectangle minimum a une aire gale 189 26 mais en l absence d une d finition pr cise de PATRON on va voir que la r ponse est loin d tre aussi simple Une remarque avant d entamer le d bat La surface lat rale du cube unit ayant une aire gale 6 on a d j une borne inf rieure aux aires des rectangles contenant un patron du cube Le rectangle de Lucien Pianaro a une aire d environ 7 27 A Une d finition provisoire de PATRON gt Disons qu un patron on ne r p tera pas qu il s agit du cube unit est une ligne polygonale ferm e d limitant un int rieur pas n cessairement convexe mais connexe et qui apr s un nombre fini de pliages rotations autour de segments permet d obtenir exactement le cube unit complet Il est essentiel que le pliage soit physiquement r alisable sans faire appel au scotch et donc la contrainte de connexit est indispensable Sinon un rectangle de 2 x 3 d coup en 6 carr s unit ferait l affaire La version papier du patron sera donc en un seul morceau FailledV ignen 118 D mire 2010 Par ailleurs les contraintes de la d finition sont minimales 1l n est pas impos que l aire du patron soit gale 6 ce qui autorise implicitement les recouvrements lors des pliages et on ne s en privera pas Il n est pas non plus impos que le patron soit une r union de carr s unit Une face p
19. a formule restant vraie pour k n La famille B O lt k lt n forme une partition de S une permutation ne pouvant appartenir deux ensembles B distincts on a donc 3 card B Card S k 0 o afn c est dire 3 Ja erf n n n n en posant p n k gt Jante gt je p 0 n p p 0 P 2 b Soit P la s rie g n ratrice de la suite p Montrer que FOE A X o E X gt SN n gt 0 n gt 0 n On sait que le terme g n ral de la s rie g n ratrice du produit E X x P Y est par d finition du produit l d On a donc y x ko n k n k g Leo k n k dies GE HIS nl Af n et donc E X xXE Y gt X n gt 0 2 c D terminer la s rie g n ratrice inverse de E X Supposons que EK existe il s crit E X Sb X n20 n Le produit E X xE X admet pour terme g n ral SE Der k 0 FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 Se 48 et donc l agbo C ab a b et donc puisque c 0 b az a b Ce qui montre que le terme g n ral d une s rie g n ratrice doit tre non nul pour que celle c1 soit inversible 7 l m Dans le cas pr sent a a on tablit alors sans peine que l l D Sab b 1 b Tar b 7 3 CD et l on peut raisonnablement supposer que b TE Une r currence permet d tablir le r sultat En effet n l b a gt amp xb k l n l ik ege LED k 1 k n k 1 n l n 1 SS Se CD Eed l n CDS n 1 S
20. a i acte ER TEE m 3 4 m amp c 42 Carte Rencontre 2 tirage n 3 n 4 n 2 n 3 n 1 n 2 Curae OO OOOO OOO eae L esp rance pour A de gagner au troisi me coup sera pour un jeu de n cartes Beie E e GE EE b l n n n n 1l n n 1l n 2 finalement e L esp rance de de gagner en g n ral quelque coup que ce soit sera exprim e par la somme de toutes ces formules prises ensemble Euler somme alors suivant les colonnes n l l La somme de la premi re vaut tout simplement nx 1 n n 1 1 k n n D k 1 1 2 La somme de la troisi me fait appara tre la somme des nombres triangulaires n n 1 n n 1l n 2 La somme de la seconde est gale 1 3 6 10 1 2 1 2 3 Un 2 elle vaut donc EE SE 1 2 3 Et Euler de poursuivre l l e la somme des quatri mes des cinqui mes amp ainsi de suite 1 2 3 4 128 45 De l il s ensuit donc que le nombre des cartes l efp rance de gagner de ant fera JI Ge 2 1 I 2 I alt 1 2 1 2 3 I I I tI ins L244 I I I ia ins Leg 12345 L_ 1 I I 1 2 I 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 I 2 3 4 5 6 prenant de cette suite toujours autant de termes qu il y a de cartes FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 ge Prenant le cas limite n Euler en conclut que l esp rance de gagner de A sera 1 1 et celle de B r e e Si l ens
21. b g b D NN a a b Figure 5 b Le r sultat g om trique obtenu peut s noncer galement Le produit de deux nombres dont la somme est constante est maximum lorsque ces deux nombres sont gaux c La d monstration n utilise que des notions vues en sixi me aire p rim tre et les propri t s de la sym trie axiale F illede V ignen 118 D amp mire 2010 sg 5 Maximum du produit de deux nombres dont la somme est constante autre d monstration Voici une autre d monstration g om trique de ce r sultat dans laquelle le produit n appara t pas comme une aire Elle utilise une relation m trique dans le triangle rectangle que l on peut faire d montrer pr alablement aux l ves Dans un triangle rectangle la hauteur est moyenne proportionnelle entre les segments qu elle d termine sur l hypot nuse En g n ral pour d montrer cette D propri t les l ves tentent d utiliser le ta th or me de Pythagore mais ceux qui viennent bout des calculs sont rares ef C est l occasion de leur montrer combien la trigonom trie simplifie les choses Figure 6 Les angles CAH et ABH sont chacun compl mentaires de ACH donc gaux HC SE HA tan CAH tan ABH o HA HB HC HA op don R Venons en la d monstration proprement dite Le produit de deux nombres dont la somme est constante est maximum lorsque ces deux nombres sont gaux Un point H se d place
22. cle qu il atteint lorsque H est en O Tra ons la perpendiculaire AC passant par O qui coupe le cercle en F et E Si H est en O B est en F ou en E sur la m diatrice de AC ce qui prouve que ABCD est un carr Figure 2 Remarques a Nous pouvons reformuler ce r sultat d une fa on diff rente Parmi tous les rectangles inscrits dans un cercle donn celui qui a l aire la plus grande est le carr b Et si les l ves connaissent le th or me de Pythagore Le produit de deux nombres dont la somme des carr s est constante est maximum si et seulement si ces deux nombres sont gaux 3 Et le p rim tre Quand est il maximum La question est naturelle et les l ves la posent Pour essayer de la traiter 1l est possible de faire afficher la valeur du p rim tre et de s apercevoir qu elle semble elle aussi maximale lorsgue ABCD est un carr Mais ceci n est pas tr s visuel et ne nous aidera pas prouver cette conjecture Faisons appara tre visuellement le p rim tre ou le demi p rim tre du rectangle sur la figure si possible sous la forme d un segment dont la longueur va varier Ensuite nous t cherons de comparer cette longueur la longueur d un segment fixe de la figure Commen ons par mettre bout bout la longueur et la largeur du rectangle Pour cela tra ons le cercle de centre B passant par C qui coupe la droite AB en deux points dont un en dehors du segment AB C est celui ci q
23. discussion en direct Pour ce qui est du pr sent num ro je pense que ses articles qui ne sont pas prendre tout crus pour faire cours peuvent faire l objet d une concertation pour les exploiter au coll ge ou au lyc e M me s ils paraissent d un e bon niveau math matique l ancien professeur de coll ge voit bien comment on pourrait y trouver mati re pour de jeunes l ves Les patrons de cube de Michel Lafond sont d abord l occasion de trouver les ll patrons peut tre par des m thodes moins rigoureuses qu partir des 35 hexaminos mais aussi formatrices l heure du d veloppement durable le jeu du minimum daire devient m me un jeu cologique L article de Tristan Deray me fait penser que d s la classe de 6 les arbres de choix les tableaux permettant le d nombrement sont souvent absents de l enseignement Ils se justifient encore plus de nos jours o les statistiques et les probabilit s ont le vent en poupe dans les programmes L annonce des rallyes bourguignons est l aussi pour rappeler l agr ment du travail en quipes qu on se le dise bonne lecture et bonne recherche concert e Jean Fran ois MUGNIER Il est vrai que les conditions mat rielles 2 HSA au minimum taient fort diff rentes et que la reconnaissance de l institution tait tout autre 2 Sisi 7 D D D D D 2 g Je n accuse personne les responsabilit s sont sans doute tr s diverses et historiques mai
24. e que Nrl sera la carte que A tire la premi re Nr 2 celle qu il tire la seconde Nr 3 la troisi me amp ainsi de suite Euler envisage comme De Montmort les cas o le nombre m de cartes est peu lev Si m 1 gagne coup s r Si m 2 la probabilit pour A de gagner est gale Dans le cas m 3 Euler donne tous les tirages possibles B TETTETETT ARANE slelis laia De ces 6 cas il y en aura donc deux le premier amp le second qui feront gagner A amp o le jeu finit par cons quent au premier coup des quatre autres cas il n y en a qu un savoir le cinqui me qui fera gagner au second coup amp qui y finit le jeu Parmi les trois cas il y a encore le troisi me qui fait gagner A au troisi me coup La probabilit pour le joueur A de gagner est donc de 8 Dans le cas m 3 Euler donne nouveau dans un tableau tous les tirages possibles aw et E IE alalalsl lzlsllrol r211 3 ralzsl6lazlr8lrol2ol21l22l23l24 d him AN ee je 212131313131313j414 4 4 4 14 2122 818 41 1313l4 411111414117 SE I 3 EE lol lale als 4 3 1 al TL 213142141213 e 2 IER NNNMNsMNN 3 2 I La probabilit pour le joueur A de gagner dans ce cas est de 2 ou A 8 Le cas m 5exclut du fait de ses 120 permutations la pr sentation des r sultats sous forme de tableau le caract re heuristique de la recherche doit laisser place une approche m thodique il fau
25. emble du texte d Euler pourrait tre abord en lyc e sous forme d activit n k guid e la fin de celui ci et l tude de la suite de terme g n ral c demandera k 0 une autre activit particuli re qu un sujet de bac proposait 1l y a quelques ann es l Sg Lo S Soit la suite 1 d finie pour tout entier naturel n non nul par 1 Sech 1 x e dx n a l aide d une int gration par parties calculer I T l la b Prouver que pour tout entier naturel n non nul 0 lt Z lt Le dx n En d duire lim Z n 00 c Montrer en utilisant une int gration par parties que pour tout entier naturel n non l n n 1 2 On consid re la suite r elle a d finie sur R par a 0et pour tout entier ei naturel n non nul a 4 n 1 nul on a Is e J l a D montrer par r currence que pour tout entier naturel n non nul a 1 1 e b En d duire lim og n gt 0 Si une multiplicit de math maticiens se sont int ress s au jeu de Treize une multiplicit d approches m nent la solution en voici quelques unes 2 Le langage des permutations On appelle d rangement toute permutation de f LR n qui n admet aucun point invariant Soit d le nombre de ces d rangements Consid rons un d rangement de IL 22 n il peut s crire sous la forme fo O rie o avec zl est donc l une des n 1 valeurs 2 3 n Supposons que Ou 2 Nous pouvons
26. est le quatri me sommet du rectangle En d pla ant B nous constatons que l aire de ABCD est maximale lorsque ABCD est un carr c est dire lorsque B est confondu avec le milieu M de AA Pour le prouver nous allons tracer un carr de c t AM et montrer que l aire de ABCD est toujours inf rieure ou gale l aire de ce carr Les longueurs AB et BC jouant le m me r le 1l suffit de faire parcourir B le segment A M Tra ons le carr AMFE de fa on que D soit sur EA Les droites EF et BC se coupent en H Le rectangle FGCH est un carr En effet FG MF MG MA BC MA BA MB GC 28 Consid rons la sym trie d axe GH diagonale du carr FGCH L image de C est F puisque GH est diagonale du carr GCHF L image de CH est FH L image de B est le point B de FH tel que B F BC avec F sur B H L image de GF est GC L image de M est le point M de GC tel que M G MG avec G sur M C L aire du rectangle ABCD est donc gale l aire du rectangle AMGD augment e de celle du rectangle FB M G puisque MBCG et FB M G sont sym triques Mais les deux rectangles AMGD et FB M G sont int rieurs au carr AMFE l aire de ABCD est donc inf rieure ou gale celle de AMFE L galit est obtenue si B est en E Mais alors B est en M ce qui prouve le r sultat annonc Remarques a En choisissant a AM et b MB la figure utilis e permet de visualiser l identit a b a
27. faut aller chercher un patron conomique Avec eux le mieux que l on puisse faire est un rectangle d aire 10 On n a d ailleurs pas le choix Regardons alors ce qui se passe lorsqu on clate les faces F illede V ignen 118 D amp mire 2010 S C Quelques patrons dans des rectangles d aire 8 Une id e qui para t excellente est de choisir pour rectangle un carr avec le patron ci dessous qui apr s pliage donne un cube avec 5 faces enti res et une face clat e en quatre triangles Figure 3 L aire du carr est gale O2 8 c est nettement mieux que 10 pour le patron classique vu en B mais encore loin du minimum th orique 6 Il y a bien d autres exemples de rectangles d aire 8 et l un deux figure 4 est particuli rement int ressant car c est celui qui d bouche apr s quelques manipulations g om triques au record 189 26 de Lucien Pianaro Ici apr s pliage on a un cube avec 4 faces enti res et 2 faces clat es en deux rectangles D Am lioration de la figure 4 pour aboutir une aire de 189 26 lt 8 On va proc der en deux temps A B B A Figure 5 Dans le pliage du patron de la figure 5 A vient en A et B vient en B Cela se traduit par une sym trie centrale dont le centre est le milieu S de BB Cette sym trie change les deux rectangles sup rieurs Voir la figure 6 ci dessous qui repr sente le haut de la figure 5 Figure 6 Dans un
28. haines Vous aurez les r ponses toutes ces questions et beaucoup d autres lors de cette conf rence Autres petites nouvelles C est bien V nus que vous voyez le matin c t de la Lune Elle sera visible tout l hiver le matin Elle est au maximum de luminosit actuellement Par contre le soir c est Jupiter que l on aper oit au sud Si vous voulez voir l exposition sur la Lune au jardin des sciences de Dijon parc de l Arquebuse d p chez vous elle se termine le 2 janvier FailledeV ignen 18 D mire 2010 l 13 JANVIER 2011 Journ e de formation Jeux et math matiques anim e par Nicolas PELA Y Doctorant en Didactique des Math matiques Lyon 1 Objectifs de la formation D couvrir et utiliser le jeu en classe comme support p dagogique Contenus _Appr hender l aspect p dagogique et didactique de nombreux jeux et activit s existants Conna tre des jeux pour les utiliser en classe afin de diversifier l enseignement des math matiques Cr er des activit s ou des variantes de jeux avec un objectif pr cis en groupe classe en rem diation D marche p dagogique Alternance de mise en situation des stagiaires et d expos s de nature th orique R f rents th oriques Outils th oriques de la didactique des math matiques Vous pouvez vous inscrire par mail l IREM 1iremsecr u bourgogne fr 21 JANVIER 2011 Rallye math matique des coll ges 21 amp 71
29. i ee 12 partir de cos a et sin SE on obtient facilement V26 J26 la longueur VM MW 4 cos a sin la largeur KL LW 4sin a cos a D o l aire 4 cos d 4 sin d 17 sin cos a 4 17x5 26 189 26 7 27 On retrouve tous les points de la figure 9 dans le cube associ apr s pliage sur la figure 10 ci dessous Bien entendu les pliages font qu la fin certains points sont confondus 1l s agit de F D B L M A O Q G J R U V N Figure 10 A M Jusque l on n a pas exploit le recouvrement lors des plages Comme le recouvrement gaspille de la surface cela semble bizarre dv faire appel et pourtant E Une meilleure solution La preuve par 7 Les 4 sch mas ci dessous montrent un rectangle d aire 7 qui l aide de 8 plis permet d obtenir un cube unit entier Le rectangle patron figure 11 1 est tout simplement une bande de longueur 7 et de largeur 1 Les pliages figures 11 2 et 11 3 sont effectu s le long des 6 c t s communs et de 2 diagonales FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 e Figure 11 1 D A C B C B D A Figure 11 2 A D B m S C B Figure 11 3 CS La face sup rieure du cube non seulement est clat e mais elle a une double paisseur F On s approche de optimum On a bien progress passant d une aire gale 10 dans le meilleur des cas avec les patrons classiques
30. iss e de C sur cette droite Le point D est obtenu comme sym trique de B par rapport au milieu O de AC En fait Geogebra donne automatiquement des noms aux points cr s en suivant l ordre alphab tique L l ve doit donc renommer les points pour que sa figure corresponde au probl me C est ce qui explique la pr sence de ce point B que Geogebra avait d abord appel B et qui est devenu B quand l l ve a impos son point B Je ne reviendrai plus sur cet aspect du fonctionnement de Geogebra Voici figure 1 une copie de l cran montrant la figure et la fen tre alg bre contenant les coordonn es des points les longueurs des segments les quations des droites et l aire du rectangle appel poly1 Je cache cette fen tre quand je ne m en sers pas Mais si un l ve veut savoir le sens de ce qui est affich il va de soi que je n lude pas la question l aide de la souris ou du crayon si l on dispose d un tableau blanc interactif les points libres peuvent tre d plac s Les autres points sont d pendants Ils sont construits partir des points libres et suivent le mouvement Les valeurs num riques sont bien s r actualis es dans la fen tre alg bre 24 Fichier diter Affichage Options Outils Fen tre Aide Objets libres A 0 46 3 86 B 17 3 7 4 C 12 74 0 42 B Objets d pendants f B 1 84 2 71 D 11 36 6 15 0 6 6 1 72 a 13 O a 6 71 b 3
31. l mes de minima ou maxima j utilise plut t Geogebra qui dispose d une fen tre alg bre permettant d afficher les longueurs et les aires Je FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 5 renvoie le lecteur int ress par ce logiciel au mode d emploi pour les l ves de coll ge crit par Nicolas Vissac et publi dans la Feuille de Vigne 117 Dans ma salle de classe je dispose d un ordinateur sur le bureau et d un vid oprojecteur Les l ves sont habitu s passer au tableau en venant au clavier de l ordinateur Les figures sont construites devant eux soit par un l ve soit par moi 2 Aire maximale d un rectangle dont la diagonale a une longueur fixe Nous sommes en classe de quatri me Les l ves viennent de voir la propri t caract ristique du triangle rectangle relative son cercle circonscrit La question pos e est Quelle est la plus grande aire possible d un rectangle dont la diagonale a une longueur fix e L l ve au bureau trace un rectangle comme d habitude partir de la longueur et de la largeur en utilisant le bouton droites perpendiculaires Malheureusement cette figure ne peut pas nous aider parce que tout bouge en m me temps y compris la diagonale qui devait rester fixe La deuxi me figure partira donc de la diagonale AC laquelle on s interdit de toucher Pour placer le point B l l ve choisit de tracer une droite AB passant par A et la perpendiculaire aba
32. la longueur du rectangle se fait en projetant par exemple le trajet AEG joignant 2 bords oppos s Cela donne longueur 4 cos 2 sin Le calcul de la largeur du rectangle se fait en projetant par exemple le trajet DGFH joignant 2 bords oppos s Cela donne largeur 2 cos 2 sin D o l aire gale 8 o Ar 12 LS ler Iir 8 cos 4 sin a 12 sin a cos d M EIEI 1 Les 3 autres cas se traitent de la m me mani re Dans ce cas on a bien f t Le minimum de l aire a lieu pour t 1 3 et vaut f 1 3 11 2 Pour les autres patrons classiques tous les r sultats donn s en B se traitent de la m me mani re 20 Sitographie Le site diophante fr dans lequel figurent plus d un millier de probl mes avec la plupart du temps les solutions des lecteurs Chaque mois 1l y a environ 5 nouveaux probl mes parfois un casse t te Bibliographie Je n ai pas les r f rences pr cises sur Jouer Jeux Math matiques n 8 par Lucien Pianaro FailledeV ignen 118 D amp mire 2010 5j H ehaededeminima de maxima a Alain MASCRET Coll ge La Champagne Gevrey Chambertin Mots cl Maximum minimum g om trie dynamique visualisation g om trique de r sultats num riques rectangle inscrit dans un cercle aire maximale rectangles p rim tre maximum maximum d un produit minimum d une somme parall logramme inscrit dans un
33. ourra donc tre clat e en plusieurs morceaux dans le patron pour former un carr unit seulement apr s pliages Nommons PATRON CLASSIQUE la r union connexe de six carr s unit sans recouvrement et connect s par des c t s entiers aussi appel e hexamino comme extension de domino Dans les patrons classiques la connexion doit se faire par c t s entiers pour viter les situations comme celle de la figure 1 ci dessous dans laquelle les pliages se font aux contacts des carr s gras et selon les pointill s Figure 1 Remarquons ou apres les pliages quatre des faces du cube sont clat es en deux morceaux B Examen des patrons classiques Il est bien connu et c est un bon exercice pour les l ves qu il y a exactement 11 patrons classiques du cube Nous admettrons ce r sultat d montrable en examinant les 35 hexaminos et en rejetant ceux qui ne conviennent pas Ceci n est pas un patron Un bon exercice pour les plus grands est de trouver les 54 patrons du pav droit parall l pip de rectangle Donnons en figure 2 pour chacun de ces 11 patrons l aire du plus petit rectangle le contenant Cela donne lieu 11 exercices de g om trie analyse trigonom trie int ressants dont un repr sentatif est trait en annexe Aire 12 Aire 12 Aire 12 Aire 10 8 Aire 12 Aire 10 Aire 12 Aire 11 Aire 10 5 Comme on le constate ce n est pas dans le classique qu il
34. r compos de cinquante deux cartes m l es discr tion les tire l une apr s l autre nommant et pronon ant un lorsqu il tire la premi re carte deux lorsqu il tire la seconde trois lorsqu il tire la troisi me et ainsi de suite jusqu la treizi me qui est un Roy Alors si dans toute cette suite de cartes il n en a tir aucune selon le rang qu il les a nomm es il paye ce que chacun des Joueurs a mis au jeu et c de la main celui qui le suit la droite Mais s il lui arrive dans la suite des treize cartes de tirer la carte qu il nomme par exemple de tirer un as dans le temps qu il nomme un ou un deux dans le temps qu il nomme deux ou un trois dans le temps qu il nomme trois et s il prend tout ce qui est au jeu et recommence comme auparavant nommant un ensuite deux etc Il peut arriver que Pierre ayant gagn plusieurs fois et recommen ant par un n ait pas assez de cartes dans la main pour aller jusqu treize alors il doit lorsque le jeu lui manque m ler les cartes donner couper et ensuite tirer du jeu entier le nombre de cartes qui lui est n cessaire pour continuer le jeu en commen ant par celle o il est demeur dans la pr c dente main Par exemple si en tirant la derni re carte il a nomm sept il doit en tirant la premi re carte dans le jeu entier apr s qu on d coup nommer huit et ensuite neuf etc jusqu treize moins qu il ne gagne plus t t auquel cas ils recommenceront nomman
35. r selon un segment non r duit un point Un pliage selon un point n est pas r aliste avec une feuille en papier mais math matiquement c est possible le pliage devenant une rotation autour du point Cette possibilit permettrait d envisager le patron d aire 6 de la figure ci dessous qui avec 2 d coupes 4 pliages normaux et deux pivotements aboutirait au cube unit FailledV ignen 118 D mire 2010 la fin du pliage 3 est en bas 5 est en haut la face 1 vient en avant et la face 6 en arri re Pour viter ce genre de situation je propose la d finition suivante du patron qui est physiquement acceptable Un patron du cube unit est une ligne polygonale ferm e d limitant un int rieur pas n cessairement convexe mais connexe et qui apr s un nombre fini de pliages rotations autour de segments non r duits des points aboutit exactement au cube unit complet L clatement des faces les d coupes pr servant la connexit et les recouvrements restent autoris s On peut alors se poser de nouvelles questions comme Trouver un ensemble convexe de surface minimale dans lequel on puisse d couper un patron du cube unit Trouver un carr de surface minimale dans lequel on puisse d couper un patron du cube unit Je pense sans preuve que pour cette derni re question un carr de c t V6 A e gt 0 arbitraire devrait convenir H ANNEXE Comment trouver le plus petit rec
36. re 12 2 F illede V ignen 118 D amp mire 2010 i 16 La coupure permet un premier pliage selon CC pour aboutir la figure 12 3 ci dessous A B 1 C I e Figure 12 3 D E Le segment CC n a pas t coup connexit oblige donc on peut plier le rectangle de la figure 12 3 selon le petit segment CC pour aboutir la figure 12 4 qui est compos e de 4 carr s unit dont une bande rectangulaire de dimensions 1 x en gris a une triple paisseur Figure 12 4 D Appelons transformation T la succession d op rations permettant de passer de 12 1 12 4 Il suffit pour terminer de partir du patron de la figure 12 5 qui est contenu dans un rectangle de dimensions 6 x 1 4e et de lui faire subir deux transformations T sym triques comme vu ci dessus Ce qu on obtient figure 12 6 est un patron classique la r serve pr s qu il poss de deux bandes en gris de dimensions 1 x ayant une triple paisseur Cela n emp chera pas les 5 derniers pliages aboutissant un cube unit Le tout n cessite 9 pliages peut tre peut on faire mieux Figure 12 5 Figure 12 6 Le rectangle contenant le patron 12 5 a pour dimensions 6 x 1 4 son aire est aussi proche de l optimum 6 que l on veut G Une nouvelle d finition d un patron et de nouvelles questions Dans la d finition provisoire d un patron on a oubli de dire qu un pliage devait s effectue
37. s notre IREM ressemble plut t un quarteron d initi s joint un club de retrait s De m me la r gionale APMEP ne rassemble qu une poign e de membres pour ses A G quoi cela tient il qu en Bourgogne les professeurs de math matiques semblent aussi peu attir s par le travail en quipe Pour ma part lorsque j ai t nomm dans mon premier poste en Lorraine j ai eu la chance d tre aussit t int gr un groupe IREM local Dans ce coll ge existaient des classes dites coop ratives dans lesquelles le travail en groupes tait institu D j habitu au travail en quipes par le milieu des centres de vacances je me suis f licit de l un et de l autre et j ai b n fici de l exp rience de mes coll gues plus exp riment s Arriv en C te d Or c est tout naturellement que j ai voulu participer une quipe IREM De m me un peu plus tard les r unions de la Commission nationale inter IREM Coll ge ont t des occasions de formation continue incomparables Le but n est pas de raconter ma carri re mais simplement de lancer un appel pour que les jeunes et les moins Jeunes comprennent l importance et l int r t du travail en quipe Il m a toujours paru impensable qu en mati re d ducation et d enseignement le travail en quipe ne Soit pas une institution une obligation M me si de nos jours Internet permet des changes divers et rapides rien ne remplace la
38. s dans quelques acad mies les IREMS sont encore tr s actifs et mieux dot s Et c est tr s bien ainsi car n cessaire la formation du citoyen FailledV ignen 118 D mire 2010 NOUVELLES ASTRONOMIQUES DE DECEMBRE 2010 Une clipse de Soleil plus de 60 ce n est pas si courant Elle aura lieu le mardi 4 janvier maximum 9 h 10 Pour l observer avec vos l ves le Comit de Liaison Enseignants et Astronomes CLEA propose des filtres test s prix co tant 10 les 7 frais de port compris Il s agit du Vis clipse Sol Obs 14 un verre de soudeur n 14 sur support antichoc b n ficiant du label de RETINA FRANCE et recommand par le Secr tariat d tat la Sant et par l Acad mie Nationale de M decine Il est r utilisable pour les prochaines clipses http acces inrp fr clea aLaUne viseclipses Et une clipse de Lune aura lieu deux semaines avant le matin du 21 d cembre au coucher de la Lune Tous les d tails sur ces deux clipses sur http www inrp fr Acces clea cahiers clairaut CLEA CahiersClairaut 131 05 pdf Pour tout savoir sur ces clipses une conf rence de la Soci t Astronomique de Bourgogne le mardi 14 d cembre 18 h 30 salle de la NEF 1 place du th tre Dijon anim e par Pierre Causeret Comment observer ces clipses Quelles pr cautions faut il prendre Combien de temps durent ces ph nom nes Pourquoi voit on si peu d clipses Quelles seront les proc
39. suites peut tre trouv e R nR D et d nd 1 La formule donnant D s tablit par une simple r currence partir de la relation donn e plus haut 3 Le langage des s ries Vieux probl me le probl me des d rangements demeure d actualit puisqu il faisait l objet d une partie du second probl me du CAPES 2010 dont le th me g n ral tait l tude des s ries g n ratrices et leurs diverses applications Voici la partie sur les d rangements Soit neN On note S l ensemble des permutations de f D in n Un d rangement de l ensemble 1 2 n est une permutation o sans point fixe c est dire telle que pour tout entier i elt GE n oli i On note die nombre de d rangements de l ensemble 1 geg n n d On pose d 1 et pour tout entier naturel n p SS n 1 Calculer d d d 2 a Pour O lt k lt n on note B l ensemble des permutations de S ayant exactement k points fixes n Montrer que le cardinal de B v rifie l galit caracb Jana et en d duire que KS hu nl k 0 46 n Une permutation de B poss dant k points fixes il y a donc NM fa ons de choisir les points fixes ces points tant choisis 1l reste alors n k l ments qui ne sont pas fixes et qui d finissent un d rangement de n k l ments le nombre de ces d rangements tant n par d finition d il y aura donc WM xd _ permutations de S laissant k points fixes l
40. sur un segment BC dont la longueur est la somme des deux nombres x BH et y CH Tra ons un demi cercle de diam tre BC et de centre M La perpendiculaire BC passant par H coupe ce demi cercle en A La perpendiculaire BC passant par M le coupe en R Comme AH HB HC chercher le maximum du produit HB HC revient chercher celui de AH ou encore celui de AH le maximum ou le minimum d une longueur ayant lieu en m me temps que le maximum ou le minimum de son carr Figure 7 Dans un cercle la longueur d une corde est toujours inf rieure ou gale celle du diam tre La demi corde AH est donc inf rieure ou gale au rayon MR l galit n ayant lieu que si H est en M c est dire si BH CH Comme AH HB HC le produit HB HC est aussi maximum si BH CH 30 5 Minimum de la somme de deux nombres dont le produit est constant Il semble naturel de se poser le probl me dans l autre sens Cette fois nous recherchons le minimum de la somme de deux nombres dont le produit est constant Tra ons un cercle de centre O et de diam tre BC Son rayon fixe est choisi gal la racine carr e du produit des deux nombres Par O menons la perpendiculaire BC qui coupe le cercle en M et M Q2 Figure amp partir d un point quelconque P de la droite BC pris comme centre tra ons le cercle passant par M et M On obtient OH OG OM OB OC OH OG HG 2 PM gt 2 OM BC BO OC
41. t d abord un ensuite deux et le reste comme on vient de l expliquer D o il para t que Pierre peut faire plusieurs mains de suite et m me qu il peut continuer le jeu linfini La solution donn e par De Montmort est exacte mais n est pas d montr e L auteur envisage les diff rents cas suivant le nombre de cartes dans le jeu Si largent du jeu est exprim par l Dans le cas de deux cartes le sort du Joueur sera S SC Dans le cas de trois cartes le sort du Joueur sera Ee Ca 15 Dans le cas de quatre cartes le sort du Joueur sera A GE 76 Dans le cas de cinq cartes le sort du Joueur sera A EIN De Montmort fait un simple d nombrement des cas de rencontres 1l donne alors sans plus d explications une formule pour le cas g n ral ainsi qu une table GENERALEMENT Si l on nomme A le sort que l on cherche le nombre des cartes que Pierre tient tant exprim par p g le sort de Pierre le nombre de cartes tant p 1 on aura _8 p l d D 36 Cette formule donnera tous les cas ainsi qu on les voit r solus dans la table ci jointe TABLE Si 2 1 on aura S A Si p 2 on aura S LA Si p 3 on aura S 54 A e A Si p 4 on aura S 4 144 14 Si p on aura S BA A t Si p 6 on deel Sip 7 on aura S tid LA i TT 170 840 Er 31641 4 Zei ont ere A Si p 10 on aura S BRA LA 1210 4 Sip 11 onaura S fire A FA S
42. t d crire dans la ligne de saisie ou dans l une des cellules du tableur l expression en x de la fonction pour obtenir le trac de sa courbe repr sentative 14 a BE 5 En modifiant la position du curseur a on d place d une part le point E ce qui fait changer l aire du parall logramme ABCD 3 d autre part sur la courbe le point R d abscisse a et d ordonn e l aire de ABCD t aire est minimale pour a 2 On Dout voir la figure anim s sur geowiki u bourgogne fr cl O 1 2 3 4 5 6 7 B H 10 11 12 13 14 15 Figure 9 Comme d habitude le probl me du minimum du p rim tre s est pos mais les calculs sont beaucoup plus compliqu s que pour le minimum de l aire c est pourquoi nous avons essay de r soudre le probl me g om triquement En d pla ant le point E et en regardant la valeur affich e du p rim tre par Geogebra il semble que le minimum du p rim tre soit atteint lorsque les c t s du 32 parall logramme sont parall les aux diagonales du rectangle Figure 10 Tra ons la diagonale DB ainsi que la parall le DB passant par G qui coupe BC en J Le quadrilat re GJBD dont les c t s sont parall les deux deux est un parall logramme Ses c t s oppos s ont m me longueur JB GD x Pour comparer la longueur du demi p rim tre de EFGH la diagonale DB GJ prenons le sym trique EH de E par rapport AB La droite AB est la m diatrice de EE donc B est le milieu de EE
43. t faire des remarques g n rales qui nous puissent conduire la connaissance des plus grands nombres de cartes sachant d j les probabilit s pour les plus petits nombres Euler entend trouver une relation liant la probabilit pour A de gagner lorsque le nombre de cartes est m en fonction des probabilit s de gagner lorsque le nombre de cartes est plus petit Tout d abord Euler note que le nombre de tirages possibles pour m cartes est autant de fois que le produit 1 2 3 m contient d unit s M Appelant M ce nombre il remarque en second lieu qu il y aura cas o la m D D D M s L premi re carte tir e par B est I qu il y aura cas o la premi re carte tir e par B m est 2 amp qu il y aura autant de cas o la premi re carte de B est ou 3 ou 4 ou 5 amp c ou enfin m De plus si nous faisons abstraction que le jeu finit aussit t que B aura rencontr la carte de amp que nous supposions qu ils continuent tirer leurs cartes jusqu la fin quoiqu il y fut arriv une ou plusieurs rencontres il est aussi clair qu il y aura m cas o la seconde carte de B sera 2 amp autant de cas o la troisi me carte sera 3 ou la quatri me 4 ou la cinqui me 5 ou la sixi me 6 amp ainsi de suite M S Toutefois des cas qui font gagner A au second coup il faut ter ceux qui le m font gagner d s le premier car dans ce cas le jeu s arr te et du m me M
44. tangle contenant un patron Soit le patron P ci contre On ne conna t pas a priori l orientation du rectangle minimal contenant P L orientation du rectangle sera d finie par le param tre angle aigu que fait le support d un c t par rapport l horizontale Il faut faire varier ode 0 7 2 a tant donn on trouve facilement les deux parall les nord et sud faisant un angle amp avec l horizontale puis les deux parall les perpendiculaires aux pr c dentes et qui contiennent au mieux le patron Le rectangle minimal correspondant a une aire f a 18 Direction de param tre o f est continue rationnelle par morceaux et d finie par 2 ER O lt 1 lt 1 3 IEN 2 EE 1 3 lt 1 lt 1 2 f Si o t tan a 2 ml un Aerer ED 2 3 4t E Ee ED La courbe repr sentant f est visible ci dessous SO G e EEN ih ech ih VM d n F illede V ignen 118 D amp mire 2010 E Explications Il est clair qu on a 4 cas de figure selon que rest compris dans O 1 3 1 3 1 2 1 2 1 ou 1 o Traitons par exemple le deuxi me cas t e 1 3 1 2 avec la figure A1 ci dessous Figure Al Puisque t tan a 1 3 1 2 et que tan BDO 1 3 tan HEF 1 2 les contacts du rectangle et du patron se font en A D G H Ona irse d o cos ol cos d l sin sin ol cos amp 1 ee 1 1 li Le calcul de
45. tenir des figures solides l l ve doit faire preuve de rigueur dans ses constructions En ce qui concerne les probl mes de minima ou de maxima la possibilit de faire bouger les points en faisant afficher la valeur de la grandeur qui nous int resse permet d approcher par t tonnement la solution et parfois de mettre sur la voie de sa d monstration Il est peu probable par exemple que la solution du probl me pos au paragraphe 6 ait m me t aper ue sans un logiciel de g om trie dynamique Une fois remarqu e une particularit stable de la figure le besoin de tenter de la d montrer est tr s motivant au moins pour certains l ves L id al est de conduire la recherche en petits groupes de fa on ce que l enthousiasme de certains puisse plus facilement se transmettre aux autres 34 L eprdmeds raatre Leg detraze Tristan D RAY Lyc e Hilaire de Chardonnet Chalon s Sa ne e L esprit du Jeu n est pas estim pour ce qu il vaut Fontenelle Eloge de M de Montmort Mots cl Jeu de rencontres jeu de treize probabilit probl me des chapeaux De Montmort Euler nombre e d nombrement d rangement permutation sans point fixe crible de Poincar inversion de Pascal jeu de hasard R sum Le jeu de rencontre connu galement sous le nom de jeu de treize ou dans sa version moderne du nom de probl me des chapeaux formul par De Montmort fut tudi par de nombreux math maticiens
46. th u bourgogne fr IREM
47. ui nous int resse appelons le G En d pla ant le point B nous constatons que la longueur de AG est maximale lorsque B est en F Dans ce cas elle semble tre le double de celle de AF Construisons donc le point K sym trique de A par rapport F ce qui va nous 26 permettre de visualiser l cart entre AG et son maximum probable AK Pour cela tra ons le cercle centre F qui passe par A et qui recoupe la droite AC en K Figure 3 Quelle surprise Le point G se d place sur ce dernier cercle Les l ves font bouger le point B pour y croire Pas de doute Mais si G se d place sur le cercle de centre F passant par A la corde AG est toujours plus courte que le SN diam tre AK Le maximum de AG NN est atteint lorsque G est en K c est dire si ABCD est un carr C est termin Je dois temp rer un peu l enthousiasme car 1l faut tout de m me prouver que G est sur le cercle de centre F et de diam tre AK C est visible et tout le monde y croit mais 1l faut le d montrer B est sur la m diatrice de CG qui est aussi bissectrice de CBG Comme CBG est droit sa bissectrice fait un angle de 45 avec la droite AB Figure 3 Mais l angle FBA est inscrit dans le cercle de centre O et l angle au centre FOA E ee est droit On obtient donc FBA Weg 45 et la droite FB est la bissectrice de CBG donc la m diatrice de CG ce qui prouve que G est sur le cercle de centre F
48. une aire gale 8 en clatant certaines faces puis une aire gale 7 27 avec un peu de chirurgie et enfin une aire gale 7 en utilisant le recouvrement Mais une impr cision dans la d finition d une ligne polygonale ferm e va encore permettre une am lioration consid rable puisqu on va trouver des rectangles d aires aussi proches de 6 qu on le souhaite 14 En effet examinons une bande de plusieurs carr s unit accol s et se terminant par un rectangle comme le montre la figure 12 1 ci dessous Figure 12 1 Le rectangle de droite a pour dimensions 1 et 1 2 R alisons une coupure selon le segment BC de la figure 12 1 Avec une version papier la coupure se r alise avec une paire de ciseaux ou un cutter pour les plus audacieux Math matiquement tout ce qu on souhaite est un pliage du rectangle selon le segment CC La coupure se r alise math matiquement en disant que la ligne polygonale ferm e r alisant le patron est dor navant la ligne A B C D EF G A de la figure 12 2 dans laquelle le segment BC est doubl C est bien une ligne polygonale ferm e qui d limite sans ambigu t un int rieur connexe La nouveaut est que deux segments de la ligne ont une partie commune Mais ce n tait pas interdit La d coupe selon BC est permise puisque dans l nonc le patron doit tre d coup dans le rectangle sans plus de pr cision D E A Figu
49. urs au nombre des cartes m 1 amp en chercher les cas qui feraient gagner quelqu un des coups pr c dents amp le nombre de tous ces cas TP M ensemble sera celui dont il faut diminuer le nombre pour avoir le nombre de cas m qui feront gagner actuellement A un coup propos Soit alors a respectivement b c d e le nombre de cas qui font gagner A au premier coup respectivement second troisi me quatri me et cingui me lorsque le jeu poss de 3 cartes D Mi ml On a videmment a c est dire m m De m me si le jeu poss de m 1 cartes en notant de mani re analogue a respectivement b c d e le nombre de cas qui font gagner A au premier coup respectivement second troisi me quatri me et cinqui me lorsque le jeu poss de 3 MT ua et m m e en continuant le jeu nonobstant les rencontres d j arriv es il y aura M cas aussi o arriverait une rencontre au second coup mais de ceux ci il faut exclure ceux qui ont d j eu une rencontre au premier coup amp ce nombre tant a comme nous avons vu ci dessus nous aurons b M a pour le nombre des cas qui font actuellement gagner au second coup cartes on aura De mani re analogue Euler tablit et plus g n ralement 40 ces relations permettent partir des calculs faits pour les cas m 1 2 3 de dresser le tableau suivant NOMBRE DES CARTES TITI IV V VI VI VH
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