format PDF - IREM de Poitiers
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1. Soit D une droite du g om tral qui fait un angle de 7 4 avec la ligne de terre en un point R L image de la demi droite de D contenue dans le demi espace E est le segment RD o D est l intersection de la parall le D passant par O avec le plan du tableau La droite OD est contenue dans le plan parall le au g om tral et passant par O donc D appartient la ligne d horizon intersection de ce plan avec T Les droites D et OD tant parall les tout comme la ligne de terre et la ligne d horizon la droite OD fait un angle de 7 4 avec la ligne d horizon Le triangle OfD est rectangle isoc le en f et Of fD L image de toute droite du g om tral parall le D converge aussi vers le point D Soit D1 et D2 les points de la ligne d horizon tels que OD1 OD2 Of Ces points sont appel s points de distances Les images de toutes les droites de l espace parall les une droite qui fait un angle de 7 4 est ou ouest avec la ligne de terre convergent vers un des points de distance D1 ou D2 Commentaires sur persp06 53w O a pour coordonn es l u 3 avec 1 et u pilotables au clavier TNT EUR CT E R a pour coordonn es n 0 0 avec n pilotable au clavier R est un point libre de la demi droite du plan g om tral faisant 45 avec la ligne de terre La trace de r donne l image de la demi droite du plan g om tral faisant 45 avec la ligne de terre m La commande a fa2. On rabat le point R dans le plan du tableau On construit son projet orthogonal R sur la ligne de terre Il suffit alors de consid rer R comme sommet d un carr RR Kk L image de RR est contenue dans R f Celle de Rk dans k D On obtient ainsi l image du point R not e r Par abus de langage on confond le point R du g om tral et le point obtenu dans le plan du tableau apr s rabattement Commentaires sur poin01 g2w CENTS RS nr Utiliser la commande a pour faire appara tre les diff rentes tapes du trac La position du point f sur la ligne d horizon peut tre modifi e la souris On peut piloter au clavier la hauteur de la ligne d horizon r el a la distance de O au plan du tableau donc les points de distance r el d d Trac dans le plan du tableau de l image d un carr contenu dans le g om tral On trace l image de chacun des sommets avec la m thode du paragraphe c HET TN Commentaires sur pcarr3 g2w On peut piloter au clavier la hauteur de la ligne d horizon r el a On peut modifier la souris la position du point f et celle des points DI et D2 commande a pilotage de S T et R avec U fixe commande d pilotage de T S et U avec R fixe e Construction de l image d un point quelconque de l espace tude de la situation dans l espace On consid re les projet s orthogonaux S et R du point R respectivement sur le g om tral et sur le plan du tableau On
3. Perspective Comprendre Mode d emploi des animations Sommaire I Un peu de vocabulaire IT Image d une droite a Cas g n ral b Cas d une droite perpendiculaire au plan du tableau II Image d un faisceau de droites parall les a Cas g n ral b Cas de droites du g om tral faisant un angle de 7 4 avec la ligne de terre IV Constructions dans le plan du tableau a trac de l image d un carr dont un des c t s est port par la ligne de terre b trac de l image d un cube dont une des faces est dans le plan du tableau et port e par la ligne de terre c trac de l image d un point du g om tral rep r par sa position par rapport la ligne de terre d trac de l image d un carr contenu dans le g om tral e trac de l image d un point Le paradoxe repr senter des situations de perspective artistique en perspective cavali re Mais n oublions pas que le but ultime est le trac direct d objets en perspective La perspective ou perspective lin aire ou artistique est l un des moyens de repr senter les objets de l espace La position de l il tant fix e le tableau tant lui aussi fix l objet dessin est l ensemble des points intersections du plan du tableau et des rayons visuels joignant l il l objet repr senter voir le Portillon de D rer En g n ral l objet dessiner est pos sur un plan horizontal ou g om tral et le plan du tableau est perpendicula
4. construit l image du point S du g om tral on obtient s L image de R R est R f L image de RS est la parall le RS et donc S R passant par l image s de S Et l image r de R est l intersection des deux images p sms x ESE i pS LA 47 Li Commentaires sur persp10 g3w La commande b fait appara tre tape par tape la construction de l image d un point R La commande a fait appara tre titre de v rification le trac de la droite OR tude de la situation dans le plan du tableau On conna t les points S et R projet s respectifs du point R sur le g om tral et sur le plan du tableau On utilise les r sultats pr c dents Commentaires sur poin03 g2w S est le projet orthogonal de R sur le g om tral rabattu dans le plan du tableau et R est le projet orthogonal de R sur le plan du tableau Utiliser la commande b pour faire appara tre le trac par tape de l image r de R La position du point f sur la ligne d horizon peut tre modifi e la souris On peut piloter au clavier la hauteur de la ligne d horizon r el a la distance de O au plan du tableau donc les points de distance r el d la position de R par rapport au plan du tableau point libre R
5. ire au g om tral on se contentera de cela Derri re ce type de repr sentation 1l y a une transformation math matique la projection centrale qui a donn naissance un type de g om trie la g om trie projective Le probl me est le suivant Quelles sont les r gles conna tre pour dessiner directement dans le plan du tableau des objets simples qui sont rep r s par rapport au g om tral Par quelles propri t s de la projection centrale sont elles justifi es Pour toutes les animations Lire les commentaires touche F3 regarder ce qui est pilotable dans le menu et faire varier les param tres I Un peu de vocabulaire E fam Gan fom piin Cons Dan jae lan nn OOO sus AFAT EE E o e S 1e een E mimi mms _ e a a MERE EEE RL Tableau ee A ee ECC Se J eme Dom imsme t n E E E TS E memomamem m il l E I me mm mme o J 1 nd 1 en ne mL el Ta nm 4 Z 2 l 1 g om tral l Ve Re E E d DRE SU l Nes l S 3 Sg i Mie E P J _ a m m mem em em em em e m e m e Le plan du g om tral est xoy et le plan du tableau T est xoz Ligne de terre intersection du g om tral avec T plan du tableau Ligne d horizon intersection d un plan parall le au g om tral et passant par O il avec le plan du tableau Point de fuite principal projection orthogonale d
6. it appara tre les points de distance D1 et D2 La commande b fait appara tre la parall le passant par O la demi droite du plan g om tral faisant 45 avec la ligne de terre Celle ci coupe la ligne d horizon en D1 Ce qui a t fait pour 7 4 est valable pour tout angle Autrement dit toutes les images des droites parall les une droite du g om tral qui fait un angle amp par exemple ouest avec la ligne de terre convergent vers un m me point D situ sur la ligne d horizon Ce point est facile construire il est sur la ligne d horizon et situ d x tan si d est la distance de l il au tableau Tous ces r sultats vont nous permettre de construire directement dans le plan du tableau les images de carr s damiers cubes etc IV Constructions dans le plan du tableau a Trac de l image d un carr dont un des c t s est port par la ligne de terre tude de la situation dans l espace ABCD est un carr dont un c t AB est port par la ligne de terre Les droites AD et BC perpendiculaires la ligne de terre ont leurs images qui convergent en f trac de Af et Bf La diagonale AC a son image qui passe par A et qui converge vers D trac de AD f L intersection de ce segment avec Bf donne l image c de C Pour obtenir l image d de D on peut faire la m me man uvre ou encore tracer la parall le CD donc AB qui passe par c re ERGS H le Pc Co
7. ligne d horizon r el a la distance de O au plan du tableau donc les points de distance r el r Observer la d formation de l image du carr b Trac de l image d un cube dont une des faces est dans le plan du tableau tant port e par la ligne de terre On se place directement dans le plan du tableau La face ABHG est invariante On trace comme pr c demment l image de la face carr e contenue dans le g om tral on obtient le quadrilat re ABCD Il suffit ensuite de savoir que les images des droites perpendiculaires au g om tral convergent vers f et que les images de droites parall les une droite faisant un angle de 45 avec la ligne de terre convergent vers un des points de distance ou que des droites parall les au tableau ont des images qui leur sont parall les Commentaires sur pcube g2vw La commande a fait appara tre les diff rentes tapes du trac TE re NE nro La position des points f A et B sur les lignes d horizon et de terre peut tre modifi e la souris On peut piloter au clavier la hauteur de la ligne d horizon r el a la distance de O au plan du tableau donc les points de distance r el r Observer la d formation de l image du cube c Trac dans le plan du tableau de l image d un point du g om tral rep r par sa position par rapport la ligne de terre Il suffit de consid rer ce point comme sommet d un carr dont un c t est sur la ligne de terre
8. lotable par son abscisse et B par son ordonn e Eom Ti nu ni n Ligi ii m 2 Image d une droite s cante au plan du tableau en I commande b R et R1 d finissent une droite s cante au plan du tableau en I O est le point de cette droite qui n a pas d image commande c On fait appara tre l image r de R commande d On choisit un point R libre sur RR1 et on construit son image r L animation permet de voir l image de RR1 mais aussi d observer que la transformation ne conserve pas la connexit commande z On fait appara tre l origine Z des deux demi droites ouvertes image s de la droite RRI Commentaires sur persp02 g3w Cette transformation ne conserve pas non plus le milieu et a fortiori pas le barycentre MOPE Ce qui va compliquer les constructions On peut se placer dans le plan T1 d fini par O R et R1 pour s en persuader Pour les constructions on supposera que l objet du dessin est situ dans le demi espace d limit par T plan parall le T passant par O il et contenant le tableau Ce qui est la moindre des choses En fait on peut dans une premi re approche se restreindre au demi espace E d limit par T et ne contenant pas O Dans ce cas il nous suffit de savoir que l image d une droite parall le au plan du tableau est une droite qui lui est parall le et est incluse dans le tableau l image d une demi droite D de E s cante avec le plan du tablea
9. mmentaires sur persp07 g3w La commande i fait appara tre tape par tape l image du carr ABCD puis les trac s de BD2 OC et OD titre de v rifications REMARQUE on peut alors obtenir facilement l image du cercle inscrit dans le carr tude de la situation spatiale C est une ellipse section d un c ne oblique de sommet O et de base le vrai cercle avec le plan du tableau CNE SEE TT LC Commentaires sur persp08 g3w On peut voir cette ellipse en vraie grandeur en se pla ant dans le plan xoz Faire varier la position de f pour observer les axes de l ellipse tude de la situation dans le plan du tableau On peut maintenant construire directement l image du carr dans le plan du tableau condition de conna tre la position du c t AB sur la ligne de terre et la position de l il donc la ligne d horizon le point f et les points D et D3 Pour effectuer cette construction on fait subir au g om tral une rotation de 90 autour de la ligne de terre de fa on amener le carr initial dans le plan du tableau en dessous de la ligne de terre Dans l animation le carr obtenu apr s rotation est appel BAEF Commentaires sur PCARRE g2w Utiliser la commande a pour faire appara tre les diff rentes tapes du trac La position des points f B et A sur les lignes d horizon et de terre peut tre modifi e la souris On peut piloter au clavier la hauteur de la
10. u en I est le segment semi ouvert IZ de T o Z est l intersection de la parall le D passant par O et du plan T Cela ne restreint en rien la g n ralit de ce qui suit b Cas d une droite perpendiculaire au plan du tableau Si la droite passe par O son image est f projection orthogonale de O sur T Sinon l image d une droite D perpendiculaire T en I est contenue dans la droite If En effet Of est parall le D donc f est le point Z d fini pr c demment Plus pr cis ment l image d une demi droite contenue dans E et perpendiculaire au plan du tableau en I est le segment ff Le point f appel point de fuite principal Commentaires sur persp03 53w D est une droite perpendiculaire au plan du tableau en I En modifiant la souris la position de S on obtient diff rentes positions de D S est un point libre de la droite D BAS Te A hha Vvpcis I Image d un faisceau de droites parall les a Cas g n ral Des droites parall les entre elles et parall les au g om tral mais pas au plan du tableau ont des images qui convergent en un m me point Z intersection de la parall le ces droites passant par O avec le plan du tableau Ce point est situ sur la ligne d horizon En effet la droite OZ est parall le au g om tral donc elle est contenue dans le plan parall le au g om tral passant par O plan qui coupe le plan du tableau suivant la ligne d hori
11. u point O sur le plan du tableau Pour dessiner un point M de l espace dans T il suffit de tracer le point d intersection m du rayon visuel OM avec T Voir per000 g3w Math matiquement on voit donc que la perspective artistique correspond une projection centrale de centre O sur un plan T Les points du plan T parall le T passant par O n ont pas d image Les points de T sont invariants IT Image d une droite a Cas g n ral Si la droite passe par O alors son image est un point Si D est une droite qui ne passe pas par O on note d la droite intersection du plan D O avec T Si D est parall le T alors d est parall le D En particulier si la droite D est incluse dans T alors elle est invariante Si D n est pas parall le T elle coupe T en un point O qui n a pas d image On peut dire aussi que l image de ce point est linfini Tout autre point de D a une image sur d R ciproquement tout point de d est l image d un point de D except le point Z intersection de la parall le D passant par O et du plan T Z peut tre consid r comme image des points l infini On peut noter que la transformation ne conserve pas la connexit P irr er eme Re ous E F B bisis LAS i E in pra Commentaires sur persp01 53w 1 Image d une droite parall le au plan du tableau commande a AB est parall le au plan T A est pi
12. zon Commentaires sur persp04 53vw la Ii EP el lee E AB est une droite parall le au g om tral et s cante au plan du tableau en I D est parall le AB En modifiant la souris la position de S on obtient diff rentes positions de D M est un point libre de la droite AB N est un point libre de la droite D La commande z permet de faire appara tre la parall le d AB passant par O le point Z intersection de d et du plan T puis les segments IZ et JZ images des deux demi droites Si les droites du faisceau sont parall les entre elles mais pas au g om tral ni au plan du tableau alors leurs images convergent toujours en un m me point intersection de la parall le ces droites passant par O avec le plan du tableau mais qui n est pas sur la ligne d horizon Commentaires sur persp05 53w miens ALLIE EU FERRER ER sit AB est une droite non parall le au g om tral et s cante au plan du tableau en I D est parall le AB En modifiant la souris la position de S on obtient diff rentes positions de D l M est un point libre de la droite AB N est un point libre de la droite D La commande z permet de faire appara tre la parall le d AB passant par O le point Z intersection de d et du plan T puis les segments IZ et JZ images des deux demi droites b Cas de droites du g om tral faisant un angle de 7 4 avec la ligne de terre
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