A propos du formalisme mathématique de la Mécanique Quantique
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1. A B gt lt AB BA gt lt AB gt lt BA gt lt AB gt lt AB gt lt 2 lt AB gt 2 lt Av Bv gt lt 2 Av Bu 2 lt gt lt B gt 2A AA B Donc AA x AB gt EB En particulier h AP x AQ 3 Le mieux que l on peut faire est donc d optimiser ces relations Th or me 4 3 la famille de vecteurs minimisant les relations de Heisenberg est indic e par le plan positionx impulsion D monstration Un calcul l mentaire montre qu une r alisation des relations de commutation canonique est donn e sur L R dx par Q xx et P ih lt De plus la preuve du th or me pr c dent montre que les in galit s de Heisenberg sont extr mis es lorsque lt Av Bv gt Av Bv c est dire lorsque Av et Bv sont colin aires Dans le cas pr sent cela donne i v x azv x o z azo a c est dire que v x e 28 la conidtion L for ant alors prendre par exemple i R tablissant la moyenne de P et Q qui peut tre quelconque nous donne la famille de vecteurs y3 a 20h ipa h 1 T2 an 174 On voit donc que comme dans le cas des qubits la structure classique appara t comme indice de la structure quantique La limite classique est alors la limite 0 dans la famille de vecteurs FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 21 Retour vers le classique Une fois que l on se place dans2. PROPOS DU FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE THIERRY PAUL TABLE DES MATI RES 1 Introduction 2 Axiomes 3 Intrication Al atoire D coh rence L intrication et le feu rouge L algorithme de la t l portation Intrication et algorithmie quantique Conclusion L al atoire et l intrins que Al atoire pr cision contre d terminisme impr cision Mesure et perte d information Le temps La d coh rence et l extrins que Matrices densit 4 Retour et non retour vers le classique La limite semi classique Retour vers le classique Non retour vers le classique Conclusion 5 Conclusion 6 Appendice R f rences 10 10 11 13 15 15 16 16 16 17 17 19 19 21 23 23 24 25 27 2 THIERRY PAUL L ordinateur a cela de sup rieur l homme qu il peut tout oublier Georges Perec 1 INTRODUCTION Bernard Teissier nous a montr comment notre fa on de percevoir l espace ambiant pouvait influencer la cr ation de concepts math matiques pourtant par d finition abstraits et comment par exemple la notion si math matique de droite puisait ses racines dans le ph nom ne biologique de la vision et du d placement dans l espace Le formalisme de la m canique quantique a la r putation d tre abstrait et est m me parfois pr sent comme contrintuitif Nous voudrions dans cet article pr senter le formalisme math matique de la m canique quantique dans sa pr tendue abstr
3. de Bob Que c est il pass en dehors de l alg bre lin aire Et bien le formalisme nous a permis en n utilisant que des actions lin aires de transf rer la partie int ressante de l tat initialement du c t de chez Alice vers le c t de chez Bob On peut se convaincre facilement que faire la m me chose l int rieur du paradigme classique est totalement illusoire Intrication et algorithmie quantique Un algorithme consiste transformer des bits 0001100101010 en d autres bits 00001100101 Un qubit bit quan tique est un vecteur de l espace des tats indic par un bit classique On le notera 0001100101010 gt On peut bien s r d finir une transformation unitaire qui fait passer du qubit 0001100101010 gt au qubit 00001100101 gt mais gr ce la structure lin aire de la th orie quantique on peut aussi avoir des transformations du type 0001100101010 gt 00001100101 gt V2 Un algorithme quantique est form de telles transformations et d une mesure finale qui donne ou ne donne pas le r sultat L id e d un algorithme quantique repose donc sur le fait que l on puisse v rifier conomiquement la v racit d un r sultat Un algorithme classique est une suite de nombres reli s par des op rations De l input l output des nombres se succ dent reflet d un calcul Les algorithmes quantiques associent ces nombres des objets vectoriels dont les nombre
4. mettre en miroir de la th orie classique o le d terminisme est total et o la sensibilit aux conditions initiales rend les pr dictions s res mais impr cises Ici ce qui est tr s pr cis c est le jeu des possibles les valeurs possibles du r sultat de la mesure Les barres d erreur sont quasiment inexistantes mais le d terminisme a disparu l o il tait total dans une th orie classique o l impr cision pouvait tre totale cause de la sensibilit aux conditions initiales Un algorithme quantique garde r siduellement une part d al atoire mais cette souplesse cette inflexion dans le dogme d terministe d cuple sa puis sance Mesure et perte d information Lors du ph nom ne de mesure le vecteur d tat est brutalement projet sur un vecteur propre Notons que ce fait assure que si l on effectue nouveau la mesure imm diate ment apr s on va retrouver la m me valeur ce qui est satisfaisant car dans le cas contraire on aurait un probl me de continuit par rapport au temps entre les deux mesures cons cutives Cette perte d information et d unitarit est choquant pour beaucoup On invoque en particulier le fameux d terminisme classique et ses vertus curatives En effet la possibilit de renverser le temps en m canique classique est une pierre de touche de la th orie On pourrait tout instant retrouver le pass en inversant le temps dans la solution des quations Mais c est
5. rente effet st r o C est donc bien la superposition des ces deux images qui cr e la troisi me dimension On pourra d ailleurs noter que ce ph nom ne de cr ation de la troisi me dimension par superposition est un fait qui prend ses racines pratiquement d s la cr ation de la photographie voir ce propos le beau catalogue de l exposition Paris en 3D du mus e Carnavalet 2 On trouve aussi dans 2 des lunettes qui permettent de voir 3D des images du XIXi me si cle L exp rience est int ressante lorsque l on regarde en st r oscopie on com mence par voir deux images bi dimensionelles qui convergent au bout de quelques secondes en une image 3D on voit donc en temps r el op rer la magie et le principe de superposition agir La M canique Quantique op re de m me la pratique technique fait ap para tre une ontologie de la superposition et le formalisme nous donne les moyens de manipuler de tels objets quantiques superposition de deux objets classiques FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 5 e Axiome 2 l volution au cours du temps d un syst me physique hors mesure c est dire sans intervention d un observateur est donn e par un groupe un param tre d op rateurs unitaires U t g n ralement d riv d une quation de Schr dinger o ih U t HU E o H est un op rateur sym trique auto adjoint sur H Explicitons un peu Tout vecteur v
6. De plus on trouvera dans les lignes qui suivent un m lange entre texte et formules math matiques de fa on ce que les objets math matiques soient d finis dans leur langage propre d une mani re l mentaire esp rons nous et pr sent s dans la langue vernaculaire FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 3 2 AXIOMES Nous allons passer en revue les 4 axiomes de la formulation dite de Co penhague en fait dus von Neuman 1 de la m canique quantique e Axiome 1 un syst me physique est d crit par un vecteur tat appar tenant un espace de Hilbert H Un espace de Hilbert de dimension finie est avant tout un espace vectoriel muni d un produit scalaire lt gt En dimension infinie c est un espace de Banach espace norm complet dont la norme est donn e par un produit scalaire v lt v v gt c est dire que l on peut associer un vecteur sa longueur et deux vecteurs un angle En particulier deux vecteurs peuvent tre orthogonaux ce qui donne l espace une notion de dimension L aspect vectoriel est tout fait fondamental ici et le qu il contient s exprime dans le c l bre principe de superposition la somme de deux tats possibles est un tat possible On associe tr s souvent au principe de superposition dans le cadre des syst mes mat riels c est dire en dehors des ph nom nes ondulatoires un aspect caract ristique de la m canique q
7. Hilbert H H Q Ho 8 THIERRY PAUL Rappelons que le produit tensoriel de deux espaces vectoriels de bases ui u us u et v ui v v est l espace vectoriel de base w ujv C est donc un espace vectoriel de dimension n x m La signification est imm diate l espace des tats d un syst me comprenant deux sous syst mes ne contient pas seulement les vecteurs produits mais toutes leurs combinaisons lin aires en particulier leurs sommes La somme de deux vecteurs produits peut tre ou non un produit elle m me C est le ph nom ne d intrication que nous tudierons en d tail plus tard Signalons seulement la croissance exponentielle des dimensions lorsque l on consid re un syst me constitu de plusieurs particules Prenons en 100 chacune vivant dans un espace deux dimensions Alors la dimension de l espace des tats du syst me 100 particules est N 2 10 gt gt le nombre d Avogadro Ainsi un ordinateur quantique 100 bits quantiques contient beaucoup plus que l information des positions et vitesses de chaque particule d une m le de gaz e Axiome 4 Une mesure consiste en une observable op rateur autoad joint A pourvue par le th or me spectral de sa d composition spectrale A AIDIL D IL Id Il projecteurs orthogonaux et R Ef fectu e sur un syst me dans l tat v le r sultat de la mesure est al atoire et peut prendre n importe quelle
8. U Id 5x8 0 0 donc 1 Up p g Ke o y 0 a 0 L importance de ce lemme r side dans le fait que la non interaction des support spatiaux implique la non interaction aussi des parties qubits Il suffit enfin de remarquer que l action du hamiltonien sur le syst me total des deux qubits est donn par H Id Id H qui agit sur L R C pour s apercevoir que sous la m me condition sur les supports que pr c demment itH it H Id 1d H e PBICB gt valoa gt Syplop gt paloa gt yplog gt paloa gt e eitH ld et donc par compl tion cit HeId IdeH q gt tH8ld G gt pour tout gt Bob localis comme auparavant l0penser au laplacien 02 02 92 Idy Ids Q 02 FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 23 Non retour vers le classique En fait comme nous l avons vu pour la d coh rence la limite semiclassique commence par tuer les coh rences de phases si ch res la th orie quantique mais gr ce la d localisation d e la sensibilit aux conditions initiales de nouvelles interf rences quantiques peuvent se produire Donnons un exemple tr s simple Une particule se d pla ant librement sur un cercle volue Axiome 2 sous l action de l quation de Schr dinger suivante ih p 0 h o 4 0 Si l on d compose la condition initiale en s rie de Fourier Y 8 S en un calcul l mentaire montre que y 6 5
9. d un espace vectoriel de dimension n se d compose sur une base s identifiant par l m me un vecteur v i 1 n de C Un op rateur lin aire agit alors comme une matrice c est dire une collection de n nombres w j 1 n par la formule ui ui E uv NO uu j 1 n Un op rateur auto adjoint est tel que KT U Uij Uji Uij et un op rateur unitaire est tel que son adjoint est son inverse c est dire X Titik O j 1 n o i est la matrice identit dip 0 i k u 1 Les math matiques nous donnent un moyen graphique de repr senter cette multiplication On range les nombres u dans un tableau n x n uil Ui Uin U21 U22 Un Uni Un2 Unn Un vecteur est repr sent par la matrice 1 x n 2e lecteur qui aurait du mal avec ces notations math matiques doit se souvenir qu elles n ont rien d vident Lorsque Heisenberg a eu l intuition de l usage de la multiplication matricielle dans la physique quantique il ne savait pas ce qu tait une matrice et il a fallu l exp rience de Max Born pour reconna tre une th orie d j ancienne 6 THIERRY PAUL Un et le lecteur peut v rifier que la multiplication pr c dente devient alors la multiplication ligne colonne 1 Ui uil Ui2 Ulin U1 U2 U21 U22 Un V2 r Uy Uni Un2 Unn Un Le fait que l quation de Schr dinger soit lin aire est surprenant et bien s r surprit les contempora
10. de z ro th or me de la preuve stationnaire 5 Conclusion L intrication nous r v le que le monde quantique nous est inac cessible par le paradigme classique Un tat intriqu est tel que l image 3 dimensions dans le film de Hitchkock Nous ne pouvons toucher la main de Grace Kelly et pourtant elle existe bien l sous nos yeux De m me nous ne pouvons que concevoir l tat intriqu du feux lorsqu il nous appara t la magie est partie le feu est vert ou rouge La projection vers le r el se fait par la mesure brutalement comme nous allons le voir L al atoire et l intrins que L al atoire de la m canique quantique choque il est en fait d une sublime l gance Car il faut bien que quelque chose se passe pour que nous voyons les choses Copenhague a choisi de nous les pr senter au hasard mais un hasard qu on aurait tort de comparer au hasard classique ce hasard frustrant qui pallie 16 THIERRY PAUL notre manque de connaissance pr cise du monde En M canique Quantique il n y a pas de variable cach e le ph nom ne de la mesure n est pas une approximation c est un bloc dans la th orie qui se fond magnifiquement au reste Al atoire pr cision contre d terminisme impr cision On dit souvent que la m canique quantique est impr cise alors qu elle donne les r sultats les plus pr cis par exemple les raies spectrales de toute l histoire de la physique Ce fait est
11. on pourrait d ailleurs peut tre et d une certaine mesure voir comme recouvrant les 4 cat gories de principes m taphysiques de la science de la nature kantiens phoronomie dynamique m canique et ph nom nologie c est l une hypoth se qu il faudrait v rifier 10 THIERRY PAUL microscopique C est un trait de la th orie qu il faille choisir la main le statut de l volution qui convient une situation pr cise Ce choix est impor tant il fixe l interface constamment renouvel e entre nous et la nature quantique et il est pist mologiquement tr s original ensuite la puissance qu une telle axiomatique d gage puissance dont nous voyons l heure actuelle une trace dans l informatique quantique et que nous commenterons plus tard 3 INTRICATION AL ATOIRE D COH RENCE Nous allons illustrer ces axiomes par 3 effets modernes de la th orie L intrication et le feu rouge Nous avons vu lors de la description du 3i me axiome qu existent dans le produit tensoriel de deux espaces vectoriels des vecteurs qui ne se factorisent pas On dit habituellement que ces tats chappent notre intuition en ce sens qu ils repr sentent une superposition d tats factoris s Avant de donner un exemple un peu technique et spectaculaire sur l utilisa tion de cette intrication demandons nous si ce ph nom ne est vraiment contraire notre v cu quotidien Lorsque nous arrivon
12. tel choix on d finit UV V et Uuy vi On a donc 1 1 U v vk UV ar k Il reste d finir Uv pour tout v Si v Cyuvx on a puisque les v sont une base de l espace v Y CU Mais puisque lt vp v gt lt Uw v gt et lt Vp v gt lt UV v gt on obtient IG IC Ck Ci C l Uv Uv d o l on d duit que G A m GT GE 0 Gi On montre alors que l on peut faire pour tous les k le m me choix dans l alternative pr c dente On d fnit alors U par soit UOD Chug N CU soit U Cku N CU Il reste encore montrer que le m me choix peut tre effectu pour un autre choix de coefficients C et on a bien alors d fini une transformation lin aire ou antilin aire U On montre alors ais ment que U est soit unitaire soit antiunitaire respectivement E Ce th or me est fort les hypoth ses ne disent rien concernant la lin arit que l on peut voir comme une lin arit entre rayons dans la g om trie pro jective Signalons aussi que bien des tentatives de g n raliser la m canique quantique vers la non lin arit dans l esprit que l tat actuel de la th orie ne serait qu une approximation une lin arisation ont vu le jour et ont t parfaitement d cevantes e Axiome 3 L espace des tats d un syst me constitu de deux parties correspondant deux espaces de Hilbert H et H est l espace de
13. valeur avec probabilit IlLw De plus l tat du syst me imm diatement apr s la mesure de r sultat est v MT Un projecteur est un op rateur matrice gal son carr I III IM au sens de la multiplication des matrices vue plus haut La norme d un vecteur v v est gale fu 4 32 v o d signe le module d un nombre complexe Cet axiome est certainement celui qui a fait coul le plus d encre Nous en parlerons plus tard car il est important de le d crire en corr lation avec les 3 autres mais continuons d s maintenant le revisiter au moyen du cin ma 3D FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 9 Tr s souvent un tat est une superposition de deux vecteurs propres super position typiquement quantique n ayant pas d analogie en physique clas sique Il en est de m me avec les lunettes les deux images tats qui tra versent chacun des deux verres sont des images classiques c est dire 2D correspondant chacune une image projet e La vision est 3D est le r sultat de la superposition de ces deux images et effectuer la mesure 2D c est ca cher un des deux verres Alors la troisi me dimension quantique dispara t et la main de Grace Kelly retourne sur l cran Finissons par deux remarques concernant ces axiomes tout d abord leur grande coh rence nous le discuterons plus tard Ils contiennent en effet et de fa on coh r
14. Ch eithk etk et donc que yin y C est dire que le flot quantique est p riodique avec p riode 2 Cette p riode est pr cis ment la trace de cette combinaison des phases quantiques dont nous venons de parler Elle n a rien de classique et d ailleurs passe dans l infini lorsque 0 3 Disons pour simplifier que la dynamique quantique dans la limite semi classique voit le chaos 1 mais elle le retourne en prenant bras au corps la probl matique un point initial englobe tous les possibles et n est plus sensible l initial Conclusion Les rapports qu entretiennent classique et quantique sont pas sionnels La m canique quantique ne peut pas vraiment se passer de la m canique classique en ce sens qu elle a besoin du mod le classique pour pas changement brutal de paradigme quantification r soudre les probl mes qu on lui a pos stabilit de la mati re par exemple A l inverse la m canique classique se d duit de la m canique quantique par passage au bord mais elle ne sature pas ces bords Il faut noter la grande diff rence entre le passage quantique classique et le passage relativiste classique Dans ce dernier les formules passent relative ment 9si je puis dire en douceur d une situation l autre lorsque l on fait tendre la vitesse de la lumi re vers linfini La limite v2 1 chaos je ne parle ici que de la sensibilit aux conditions initiales 24 THI
15. ERRY PAUL fait changer le paradigme sans trop de heurts permettant au passage de calculer les corrections relativistes 2 2 EEE c 2c Le passage du quantique vers le classique est plus subtil comme nous avons essay de le voir plus haut Cela vient du fait que comme l avait d ailleurs d s le d but not Heisenberg le passage au groupe de sym tries quantiques ne peut pas se voir priori comme une simple d formation de celui clas sique comme c est le cas pour le passage du groupe de Galil e celui de Lorentz Dans le cas quantique il faut passer du groupe de Gali e au groupe de transformations unitaires sur un espace de Hilbert en principe de dimen sion infinie Et puis il y a le fait que la limite semiclassique peut ne pas redonner la m canique classique Notons pour terminer un pendant de ce dernier ph nom ne en infor matique concernant la mod lisation d quations diff rentielles lorsque un programme tourne pour calculer la solution d une quation il y a deux param tres le pas de discr tisation et le temps de calcul Quels sont les th or mes sur la commutativit entre ces deux limites Ras 5 CONCLUSION Nous avons dans ce court expos tent de pr senter le formalisme math ma tique de la M canique Quantique en montrant comment les situations quan tiques avaient des r sonances dans notre facult percevoir le monde clas sique qui nous entoure La difficult cr at
16. Il repr sente l annihilation d un lectron et d un positron donnant nais sance un photon y En voici un autre radioactif celui l Le FF p En fait de tels ph nom ne n existent pas vraiment physiquement ils ap paraissent seulement dans le cadre du d veloppement d une interaction que l on ne sait pas d crire explicitement et que l on peu repr senter par FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 27 w ii i b S A Fo b i l L r s l k 1 E m Fr F Un tel diagramme v ritable black box se d compose g n ralement en une somme p at H E a kg Fa Agiz pee ai T Sa Eg w pP y a On voit donc clairement que le d veloppement perturbatif fait appara tre dans une situation totalement quantique et qui ne nous est pas accessible des strates classiques Le qui intervient ici ne sert pas contrairement au cas classique ajouter des nombres plus exactement il ne sert pas qu cela c est le du principe de superposition le du d but de cet expos R F RENCES 1 J von Neumann Mathematical Foundation of Quantum Mechanics Princeton Uni versity Press 1955 2 Paris en 3D de la st r oscopie la r alit virtuelle 1850 2000 Mus e CARNA VALET Paris encore une fois en terme de repr sentation avec des objets classiques 28 1 S 10 THIERRY PAUL T Paul Reconstr
17. S le percevons et non pas le feu tel qu il est organis par la physique classique Dans cette derni re approche nous savons bien qu il y a une horloge qui tourne et qui fait se succ der des tats du feu nous vert gt leux rouge gt et puis nous rouge gt leux vert gt Le FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 11 nous cachons l un des verres de nos lunettes polarisantes Nous reviendrons l dessus au sujet de la mesure mais signalons tout de suite que ici aussi le formalisme quantique trouve une r sonance dans le monde de tous les jours Les trois premiers axiomes trouvent une application spectaculaire dans le fameux effet abusivement dit de t l portation L algorithme de la t l portation On commence par deux personnages Alice et Bob qui poss dent chacun un qubit les deux qubits tant intriqu s dans un tat EPR me Alice poss de un autre qubit y gt qu elle va transmettre Bob en agissant seulement sur ses propres qubits plus un canal classique qui lui permettra de transmettre un l ment de 1 2 3 4 Plus pr cis ment l tat que l on veut transporter est lY gt qa 0 gt 6I1 gt o q et 8 sont des nombres complexes Les trois qubits deux pour Alice un pour Bob sont dans l tat original lY gt 8 bo gt o Boo gt mie On se place donc dans H H H Alice Bob o H C feu en m tal est bien un objet classique Le feu te
18. a preuve de ce th or me r side dans l argument suivant supposons qu il existe T auto adjoint satisfaisant Consid rons pour e R l op rateur unitaire Ue e teT R Un peu d alg bre montre que U H eU Par cons quent si y est un vecteur propre de H de valeur propre E on a HU UH U H y EU eU o E e U e Par cons quent e est une valeur propre de H et ceci pour toute valeur de e Le spectre de H ne peut donc pas tre born par dessous C est l l argument de Pauli Il y a des subtilit s reli es ce th or me mais gardons seulement cet argument et le fait que les 3 premiers axiomes contiennent en quelque sorte un argument contre l op rateur temps La d coh rence et l extrins que Matrices densit La connaissance partielle se traduit en m canique quan tique par l action d une trace partielle la valeur moyenne d un observable O dans l tat v gt s crit 8 lt v Olv gt Tr Olv gt lt v o v gt lt v est le projecteur orthogonal sur le vecteur norm v gt Lors qu un syst me quantique sur H est coupl un r servoir qui vit dans Hp et que l on consid re une observable qui ne touche que le syst me et pas le r servoir c est dire que 08 14 o ag t sur H et Id sur Hp alors la trace devient Truenr O b gt lt Y Tra Oo Sla trace d une matrice u est la somme de ses l men
19. action et montrer en par ticulier que ses notions caract ristiques telles que superposition intrication trouvent aussi un cho dans notre v cu quotidien Ces exemples ne seront pas des analogies au sens o tout se passerait comme si mais bien des situa tions r elles o nous nous trouvons confront s de tels ph nom nes de telles notions abstraites Le but sera avant tout de nous familiariser avec le formalisme en relation avec des situations connues Mais attention si le formalisme quantique se laisse apprivoiser de la sorte il ne se laisse absolument pas dominer par la situation classique la m canique quantique nous pr sente un changement ontologique profond irr versible et on ne trouvera rien dans les lignes qui suivent qui pourraient ni r duire le monde quantique au monde classique ni ramener des consid rations philosophiques issues des id es quantiques un cadre de pens e traditionnel Il nous semble que lorsque l on dit que la m canique quantique est contrintui tive ce n est pas que l on ne peut la formuler en termes pr tendus d ailleurs intuitifs mais qu on ne va pas chercher assez loin dans son intuition y compris son intuition de tous les jours Ce n est en aucun cas la faute la m canique quantique c est la faute notre intuition AVERTISSEMENT Cet expos se propose de pr senter le formalisme math matique de la M canique Quantique On y trouvera donc peu de physique
20. cette zone limite o les tats sont index s par des points de l espace classique espace de phase on peut se poser la question de leur volution Les r sultats arrivent alors montrant que la trajectoire quantique suit une trajectoire classique c est dire que PaE 0 Ypa Vp a s peu pr s modulo une phase et un changement de forme du vecteur La d rivation des quations que satisfont p t q t redonne pr cis ment la dynamique classique en particulier toute sa structure g om trique On a donc la m me situation que pour les qubits d une certaine mani re la th orie physique classique est contenue dans la th orie quantique ouf tout comme lalgorithmique classique l est dans celle quantique en se restreignant 0001100101010 gt 00001100101 gt Mais tout cela condition de ne pas aller trop loin c est dire trop long temps comme nous le verrons plus loin Voyons comment cela nous donne une vision satisfaisante de la t l portation On pr sente en g n ral l aspect physique de la t l portation en disant que Alice s loigne de Bob En disant cela on a m lang les concepts classiques et quantiques Voyons comment on peut formaliser en M canique Quantique un tel nonc Quand on parle d loignement on parle de distance et donc d espace l tat du syst me doit donc avoir une composante spatiale La fonction d onde d un qubit supposons qu Alice n ai
21. ente la fois la cin matique et la dyna mique quantique Comment nous venons de le voir cette dynamique consiste en deux parties une volution tr s sage unitaire lin aire et le ph nom ne de la mesure brutal et non d terministe Il me semble que combiner les deux dans un syst me coh rent est une grande r ussite d une conomie incroyable Il faut bien comprendre que la coh rence dont il est question ici concerne la fois la coh rence interne chacun des deux types d volution et le fait que l on puisse passer d un type d volution l autre Par exemple le fait que l tat juste apr s la mesure soit un vecteur propre signifie qu une nouvelle mesure effectu e imm diatement apr s donnera coup s r le m me r sultat D autre part la succession des deux types d volution ne pose pas de probl me et l on sait m me maintenant faire voluer des syst mes en effectuant des suites de mesures chacune d entre elles d termin e par le r sultat de la mesure pr c dente Enfin l aspect unitaire de l volution par l quation de Schr dinger assure la conservation de la probabilit globale des v nements intervenant dans la mesure Mais l axiomatique ne dit rien sur celle des deux volutions qu il faut choi sir en pratique c est alors un certain bon sens qui d termine lorsqu un syst me est un appareil de mesure macroscopique ou un syst me quantique 3en 4 axiomes que l
22. ins de Schr dinger En fait un th or me c l bre de Wigner donne lui aussi une justification l aspect lin aire et unitaire Il concerne les sym tries et peut tre formul comme suit 7 9 10 Th or me 2 1 soit une application surjective A d un espace de Hilbert dans lui m me v v A v tel que 11 Di 2 e lt v uw gt lt v u gt En particulier on ne suppose pas A lin aire ni unitaire Alors v p v Uv avec p v 1 et soit U est lin aire et unitaire U au bv aU u bU v et lt U v U v3 gt lt V1 V2 gt soit U est antilin aire et antiunitaire U au bv TU u bU v et lt U v U v2 gt lt V V2 gt D monstration la preuve du th or me de Wigner en dimension finie n est pas difficile mais est un peu fastidieuse Donnons en une id e On commence par choisir une base orthonorm e de l espace de Hilbert vi i 1 On en d duit que lt v v gt 6 Mais puisque lt vi v gt 1 akat on a donc que lt v v gt j Il est imm diat de voir que les v forment une base de l espace Soit maintenant V4 vi v Alors V J Criv On voit facilement que ckk c Z et cu 0 si k let l 1 Lors du choix de la base vi i 1 on peut toujours changer chaque vecteur par une phase et cette FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 7 libert permet de pouvoir prendre Ckk C1 7 Pour un
23. ique c leste elle a aussi t la base de la formulation de la m canique des matrices de Heisenberg Nous nous bornerons ici une rapide comparaison entre les digrammatiques classique et quantique qui nous montrera imm diatement la diff rence entre les deux situations En th orie des perturbations on calcule des d veloppements de Taylor en puissance d un petit param tre taille de la perturbation On doit donc cal culer une suite de nombres et chacun de ces nombres est donn par un calcul alg brique un algorithme tout nombre n est il pas en fait un algorithme La grande complexit de ces calculs surtout lorsque l on consid re des ordres lev s incite repr senter cette alg bre par des diagrammes interpr tables gr ce un mode d emploi Un diagramme typique de calcul de la m canique c leste s rie de Linsted est 26 THIERRY PAUL En th orie quantique des champs les diagrammes de Feynman ont eu une importance cruciale et pas seulement graphique La th orie quantique des champs th orie des particules l mentaires est une autre extension un autre bord de la m canique quantique il s ag t du passage un nombre infini et donc non fix de particules champs C est une th orie fondamentalement perturbative qui n a pas encore peut tre jamais trouv son statut non perturbatif Un exemple typique de diagramme en th orie quantique des champs est le suivant Pa a
24. l que nous le percevons et tel qu il dicte notre r gle de conduite ce feu l me semble assez et partiellement quantique bour Einstein Podolsky Rosen 12 THIERRY PAUL Lorsque Alice et Bob se s parent le syst me de 3 particules est donc dans l tat gt y gt 60 gt 1 al0 gt 00 gt 11 gt 1 gt 00 gt 11 gt V2 1 Fe a J000 gt 011 gt 8 1100 gt 111 gt o l on a fait la convention imm diate LA gt gt SZ Alice Bob Sur son H H Alice fait agir la matrice suivante porte C NOT 1000 0100 Ucnor 000 1 00 10 dans la base 00 gt 01 gt 10 gt 11 gt Cela veut dire que l on fait agir Ucnor Id o Id est l identit sur H sur gt On obtient donc l gt Ucnor I gt 1 7 a 1000 gt 011 gt 6 110 gt 101 gt Ensuite elle fait agir sur son premier qubit une porte de Hadamard c est dire la matrice 1 1 1 Z Cela veut dire encore une fois que l on fait agir sur gt la matrice H Id amp Id FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 13 On obtient B gt Ha QId9Id gt Zao gt 15 00 gt aiea 8 10 gt 1 gt 10 gt 10 gt 1 gt 01 gt 00 gt al0 gt 6 1 gt 01 gt all gt 510 gt 10 gt al0 gt 6 1 gt 11 gt all gt 6 0 gt 1 2 Tous les a 8 sont pass s du c t
25. lier cause du r sultat suivant Th or me 4 1 il n existe pas en dimension finie d op rateurs hermitiens P et Q satisfaisant P Q D monstration soit v la base orthogonale de vecteurs propres de Q de va leurs propres q et soit P la matrice de P dans cette base Alors on devrait avoir qi g P ih ce qui est impossible Notons qu en dimension infinie la relation pr c dente donne en prenant Q xz et P h t x 6 x x o est la masse de Dirac l origine ce qui est vrai par int gration par partie La limite semiclassique ne peut donc s approcher que par passage la dimension infinie mais cela ne suffit pas Les spectres de Q et P d crits pr c demment sont continus et donc les vecteurs propres ne sont pas dans l espace de Hilbert distributions Ceci est en fait une trace du principe de Heisenberg qui est en fait un th or me Th or me 4 2 soit et B auto adjoints et v gt H D finissons A A y lt v Av gt lt v Alv gt et de m me pour B Alors tasiga eaha v v ta 2 20 THIERRY PAUL D monstration D notons lt v v gt par lt gt Notons tout d abord que si A A lt A gt B B lt B gt alors 4 B A B NA A A A B A B et lt A gt 0 lt B gt 0 Il suffit donc de montrer le th or me pour A B avec lt A gt lt B gt 0 On a alors lt
26. mages presque identiques On trouvera dans 2 des exemples de st r oscopie o ce ph nom ne est tr s clair Signalons enfin et c est important que en aucun cas le ph nom ne de d coh rence ne se substitue la mesure Tout d abord il est contenu dans la partie quation de Schr dinger de la th orie Ensuite la r duction de la matrice densit une forme diagonale ne nous dit rien sur la valeur que l on obtiendra si l on effectue UNE mesure un v nement unique On parle ainsi par exemple S Haroche dans son cours au Coll ge de France de l action de la d coh rence comme le fait d effectuer une mesure sans la lire La mesure se passerait donc en deux temps tout d abord la FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 19 d coh rence mesure non lue et r duction des probabilit s classiques puis la r duction du paquet d ondes non d terministe Mesure non lue voil bien un concept sorti du quantique et qui bouscule nos intuitions de pens e 4 RETOUR ET NON RETOUR VERS LE CLASSIQUE La limite semi classique Toute th orie pr sentant de l al atoire poss de des zones limites l une d entre elles est celle o le choix des possibles pour les probabilit s se r sout 0 1 Nous allons voir qu un tel ph nom ne peut se produire et qu alors la m canique classique d terministe est parfois retrouv e Cela n cessite un passage la dimension infinie en particu
27. on il me semble Mais on ne retient souvent que les Thien s r il y en a qui exag rent FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 15 preuves qui marchent Ne faudrait il pas aussi consid rer toutes les preuves les vraies et les fausses Ce nouvel ensemble a la saveur quantique Il pro duit tout un ensemble de r sultats dont un est le bon mais qui chacun a en soi son importance propre certains donnant m me lieu des conjectures L al atoire de la preuve est bien le v cu du math maticien Et ne croyons surtout pas que tout s arr te lorsqu une preuve qui marche est trouv e Com mence alors la souvent lente recherche d une preuve meilleure plus fine plus naturelle et tout recommence Si la logique ses invariants ceux que l on peut penser de fa on universelle nous permettent d atteindre un point dans le monde du raisonnement par le chemin le plus court un mod le quantique de logique nous r f rerait la pra tique du raisonnement qui tend priori non pas d gager une g od sique dans l ensemble des chemins possibles mais remarquer que tous les che mins possibles sont importants leur superposition cr ant l v nement Cette int grale de Feynman sur l ensemble des preuves ensemble de chemins d un point un autre na vement hypoth se et conclusion devrait nous redonner une g od sique lorsqu une certaine constante quivalent A et qui reste d finir devient proche
28. oublier que comme nous venons de le discuter ce d terminisme est dans les faits un leurre et l impossibilit effective de pr dire rend acad mique le d terminisme en quelque sorte Il faudrait une notion de pr dictivisme qui n existe pas Rappelons enfin et c est le sens de la phrase de Georges Perec plac e au d but de cet article que l activit de la pens e utilise norm ment mais d une fa on que nous contr lons mal la fonction d oubli fonction que la micro informatique nous permet d utiliser sati t en vidant la corbeille Le temps La mesure fait appara tre un autre aspect peu familier la rupture avec la notion de temps continu La mesure n est pas d crite par une quation Il y a un avant et un apr s discontinu et totalement al atoire Apr s avoir cass l espace absence de trajectoire la m canique quantique dans un FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 17 soucis n gatif Adornien presque de supr me l gance relativiste casse le temps le broie et le ram ne en fait au doublet 0 o Il y avait de toutes fa ons un probl me avec le temps l int rieur des 3 premiers axiomes comme le montre le Th or me de Pauli 6 Th or me 3 1 il n y a pas d op rateur temps c est dire qu on ne peut pas trouver d op rateur hermitien conjugu l nergie T H ih si l op rateur d nergie a un tat fondamental L
29. rice de nombreux pseudo paradoxes de d crire la physique quantique r side souvent dans un probl me de vocabu laire comment expliquer avec les mots de la physique classique des situations des objets qui chappent d lib r ment au monde classique C est une source d ambigu t qui a g n r nombre de malentendus Pour le formalisme math matique l abstraction nous aide en quelque sorte On trouve ainsi des r sonances telles que celles que nous avons ex pos es ici dans la musique 3 un art qui baigne aussi dans l abstraction qu est ce que l espace de la musique Il reste que le principal probl me pour expliquer la M canique Quantique est avant tout un probl me de LANGAGE Le langage de la M canique Quan tique n existe pas et les palliatifs que sont intrication d coh rence et autres ne suffisent pas repr senter tout ce que la compr hension technique en profondeur nous fait d couvrir De nouveaux l ments s mantiques sont n cessaires FORMALISME MATH MATIQUE DE LA M CANIQUE QUANTIQUE 25 Esp rons que ce nouveau langage verra le jour bient t 6 APPENDICE Perturbations Diagrammes R alisme Nous voudrions finir cette pr sentation succincte par une br ve discussion de la th orie des perturbations en m canique quantique et en m canique classique Source d inspiration pour le d but de la th orie des syst mes dynamiques gr ce aux travaux de Poincar sur la m can
30. s un feu un carre four nous somme confront s deux possibilit s soit le feu est vert soit il est rouge Le feux va bien nous appara tre dans deux tats et l on dit bien le feu est vert ou rouge En fait la raison pour laquelle nous passons au vert et nous arr tons au rouge est que nous savons que si le feu est vert pour nous il est rouge pour les autres et si il est en rouge pour nous il est en vert pour les autres len vert c est les autres Le feux est donc bien pour nous priori c est dire avant qu on ne le regarde dans un tat 1 Inous vert gt leux rouge gt nous rouge gt leux vert gt V2 Bien s r nous ne voyons pas un tel tat Pour voir le feu il faut le regarder et lorsqu on le regarde on projette cet tat sur un des tats factoris s et le feu devient par exemple vert pour nous et rouge pour les autres 5 C est le m me ph nom ne qui se produit lorsque on a l habitude depuis Dirac de repr senter un vecteur par un indice entour de oh et gt c est dire que blabla gt est un vecteur de nom blabla que l on pourrait noter d ailleurs vyabta L int r t et l efficacit d une telle notation se voient dans le passage ladjoint que l on note lt blabla ce qui permet de d finir le produit scalaire de blabla gt avec blabla gt par lt blabla blabla gt 5il faut bien comprendre que ce dont nous parlons ici concerne le feu tel que NOU
31. s initiaux sont les labels des tiquettes Ces objets ont une 0001100101010 gt 14 THIERRY PAUL propri t imm diate et radicale ils peuvent tre additionn s Mais cette addition n a rien voir avec l addition des nombres justement C est une addition dans un monde qui est inaccessible aux nombres le monde des tats quantiques Un calcul classique peut se voir comme quantique en remarquant que l on peut agir sur les objets quantiques en agissant sur les tiquettes mais le monde quantique est beaucoup plus grand et immens ment plus riche en calcul et donc conome en temps de calcul On revient au monde r el celui des nombres on retrouve le r sultat l output par le processus appel mesure qui est fondamentalement al atoire Le r sultat d un calcul quantique n est donc pas acquis en principe mais sujet un al atoire intrins que irr ductible On s arrange bien s r pour avoir une grande probabilit que le r sultat soit le bon dans le cas contraire on refait tourner l algorithme Cela ne marche donc que si le processus de v rification du r sultat est facile et rapide Il me semble qu il y a l quelque chose qui ressemble ce que tout math mati cien vit au quotidien dans la construction de la preuve d un r sultat Essayons de th matiser tr s informellement ce point Les consid rations quantiques que nous venons d exposer sugg rent une d marche La preuve re
32. t qu un qubit n est plus un l ment de C mais un l ment de L R amp C Un tat est maintenant de la forme p z 8 al0 gt 6 1 gt loigner un qubit signifie tout simplement agir sur y par exemple en la translatant de X R Si y est localis e pr s de 0 par exemple y x x r l 2e T on d finit alors yx par px x p x X bien videmment localis e pr s de X On comprend alors bien que dire Alice est loin de Bob veut dire que les supports de wa ice est s par de celui de Bob Par exemple Y Alice Yx t Bob V x Ious voyons ici une des propri t s fondamentales de la M canique Quantique qui oublie totalement la notion ontologique de particule Les diff rents degr s de libert sont trait s comme des particules diff rentes 22 THIERRY PAUL Dire que l action d Alice est locale autour de X veut dire que l op rateur d volution correspondant peut s crire U e avec hR Xx a o est une matrice 2 x 2 hermitienne et y est un op rateur de multiplication dans L R par une fonction C support compact gale un pr s de X Le lemme suivant est crucial et montre encore l ad quation du produit tensoriel notre probl matique Lemma 4 4 Si L R C a un support en x d intersection nulle avec celui de X alors Uy c est dire que l action d Alice est inop rante La preuve est tr s simple il suffit de remarquer que 2 1
33. tenue d un th or me celle que l on publie n a souvent rien voir avec les bauches de preuves parfois totales qui ont permis de l laborer Le math maticien se trompe beaucoup Souvenons nous qu un algorithme quantique produit un vecteur super position de plusieurs vecteurs y dont un contient le r sultat du probl me initialement pos A la fin on effectue une mesure qui proj te le vecteur al atoirement sur l un des vecteurs superpos s avec si possible une grande probabilit que le vecteur choisi soit le bon Lorsqu un math maticien veux prouver un r sultat il essaie une preuve Et cette preuve potentielle est al atoire il la vit comme a Bien s r on value parfois les chances qu a une preuve d aboutir je suis s r que a va marcher tu vas dans le mur je suis s r que a marche pas mais je veux comprendre pourquoi mais la fin et la fin seulement les probabilit s sont r duites 0 et 1 la preuve marche ou ne marche pas Un exemple significatif est celui o l on veut avoir un r sultat de g om trie en dimension quelconque On le montre deux dimensions puis on le g n ralise plus On v rifie que le r sultat est vrai des dimensions plus grandes a peut marcher ou non On consid re souvent mais il y a d bat sur ce point l ensemble des preuves comme constituant du sens d un th or me nous sommes l en pleine G om trie de l Interacti
34. ts diagonaux Tr u Uii 18 THIERRY PAUL o est une matrice densit c est dire que co gt 0 Tro 1 notons que la positivit implique l hermiticit Ce calcul est facile faire et est conseill au lecteur Donc si l on n glige des degr s de libert l tat du syst me n est plus d crit par un vecteur mais par une matrice Une forme de la th orie de la d coh rence affirme que pour un r servoir donn il existe une base pr f r e sur laquelle toute volution coupl e un r servoir laisse une matrice densit devenir diagonale On obtient ainsi des m langes statistiques o le r le des probabilit s est strictement classique venant d un al atoire extrins que puisque palliant le manque d information du r servoir Une intrication un r servoir un passage la dimension infinie macro scopique et un temps de d coh rence voil ce qui donne une base pr f r e c est dire un sujet dans le sens de la v rit donn ici m me par J Y Girard Revenons maintenant notre fil rouge cin phile L usage des lunettes cr e la troisi me dimension et le fait de cacher l un des deux yeux nous reprojette hors du quantique dans la classique 2D Peut on voir le m lange statistique au cin ma La r ponse est oui il suffit d enlever les lunettes Car alors que voyons nous Un cran sur lequel se superposent l g rement d cal es deux i
35. uantique Il n y aurait que les situa tions quantiques qui pr senteraient ce principe En fait on peut trouver bien des situations o la superposition de deux informations cr e la surprise Un tel exemple est le ph nom ne de la vision La troisi me dimension nous est accessible en dehors du sens tactile par superposition de deux informations planaires re ues dans chaque il notons le lien entre ces consid rations et l expos de Bernard Teissier ce m me colloque Bien s r nous voyons aussi en 3 dimensions avec un seul il gr ce la m moire mais pour bien com prendre en dehors de tout aspect psychologique inh rent notre pens e lef fet st r oscopique prenons l exemple du cin ma 3D cin ma en relief comme on disait dans les ann es 50 lil est amusant de noter la grande diversit de l usage des lunettes polarisantes dans la cr ation artistique r cente telle qu elle a t pr sent e ce colloque 4 THIERRY PAUL d ALFRED HIFCHOOCK Nous illustrerons au cours de cet article bien des concepts de la m canique quantique l aide de cet exemple Formalisons Un syst me de cin ma 3D consiste en un cran 2D une paire de lunettes polarisantes et un appareil de projection qui projette deux films sur l cran 2D chaque film tant projet dans une lumi re polaris e qui ne traverse un et un seulement verre des lunettes Lors de la projection chaque il re oit donc une image diff
36. uction and non reconstruction of wave packets preprint T Paul La m canique quantique vue comme processus dynamique dans Logique dynamique et cognition dir J B Joinet Collection Logique langage sciences philosophie Publications de la Sorbonne Paris 2007 voir http www diffusion ens fr index php res conf amp idconf 1551 W Pauli Handbuch der Physik vol V S Flugge ed Springer Verlag 1933 A Peres Quantum theory Concepts and Methods Kluwer 2005 B Teissier G om tire et cognition exemple du continu dans ce volume S Weinberg The quantum theory of fields Vol 1 Cambridge University Press 2002 E P Wigner Ann Math 40 149 1939 D PARTEMENT DE MATH MATIQUES ET APPLICATIONS UMR 8553 ET CNRS ECOLE NORMALE SUP RIEURE 45 RUE D ULM F 75730 PARIS CEDEX 05 E mail address paul dma ens fr
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