Analyse - Didier
Contents
1. 1 Parmi les quations suivantes quelles sont celles que l on peut r soudre sans utiliser le discriminant a x 6x 0 b 2x2 2x 6 0 c 3x2 4 0 d x2 2x 1 0 e 2x2 8 0 f x D x 4 0 on 0 3 4 2 2 R soudre toutes ces quations g 3x 4x 0 N Aide exercice r solu 4 EJ R soudre les quations a X2 5x 3 2x 3 b 2t 1 t 4 t 4t 6 36 2 D terminer le nombre de solutions de l quation f x 0 c t 2 2 2t 5t 2 d x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 CT On consid re la courbe P y x 3x 3 et la droite y x 2 1 Repr senter et sur le m me graphique 2 D terminer graphiquement les solutions de l quation xX2 3X 3 X 2 3 R soudre cette quation par le calcul f On consid re les courbes P y x 4x et P y 3x 4x 2 1 l aide de votre calculatrice d terminer graphiquement les solutions ventuelles de l quation x 4x 3x 4x 2 2 Calculer les coordonn es des points d intersection des courbes P et Z A ALGORITHMIQUE L algorithme des racines 1 crire en langage naturel un algorithme qui demande les coefficients d un trin me de degr 2 et affiche le discriminant du trin me 2 Le modifier pour qu il annonce le nombre de racines du trin me et affiche les racines s il en a cy ALGORITHMIQUE Programmer l algorithme crit l exercice 42 sur une calculatrice ou un logiciel Factorisation du trin me CT2. Sa CA Dans un rep re d origine S d axe des abscisses S F d axe des ordonn es S S et d unit 1 m la trajectoire de la balle est une partie d une parabole P La joueuse frappe la balle avec une vitesse de 163 km h 7 une hauteur h 2 67 m avec un angle amp par rapport l horizontale Dans chacun des deux cas suivants la balle passe t elle au dessus du filet Si oui arrive t elle dans le rectangle de service a Sia 5 P y 2 67 0 087x 0 0024x2 b Si 6 5 P y 2 67 0 1 14x 0 0024x2 un toit qui a la forme d un trap ze rectangle repr sent ci dessous par le quadrilat re ABCD Les panneaux solaires occuperaient le rectangle MAPN AB 8m AD 7m CB 3m On note h la longueur AP en m et 4 h l aire du rectangle MAPN en m2 1 Calculer tan 2 En d duire que PN 14 2h 38 Source Tangente HS n 19 CT On souhaite poser des panneaux solaires sur 3 Exprimer l aire 4 h du rectangle MAPN en fonction de h Pr ciser l ensemble de d finition de la fonction 51 4 Comment doit tre h pour que 4 h 24 m 5 Dresser le tableau de variation de 4 et donner l aire maximale de MAPN 61 f Carr s imbriqu s Dans un carr de 10 cm de c t on a colori une bande de largeur x cm et un carr de c t x centr comme sur la figure ci contre D terminer pour quelles valeurs de x l aire de la partie color e est inf rieure l air
3. a 5 x 1 x 5 b x 6x 1 c 7 x 3 x d x 1 3 ET Coefficients du trin me Soit f x ax bx c une fonction trin me dont on conna t le tableau de valeurs suivant Sans calcul mais en justifiant donner la valeur de c le signe de a puis celui de b Forme canonique ET Mettre sous forme canonique a 2x2 8x 2 b x 3x 1 c x2 2x 5 d 3x2 x 4 N Aide exercice r solu 3 Chapitre 1 Second degr 35 ercices 32 Mettre sous forme canonique a x 4x 5 b 3t 6t 9 c 9a 18a 1 d 2x x 1 N Aide exercice r solu 3 ET Soit f x 2x 6x 1 pour tout x r el 1 Mettre f x sous forme canonique 3 Contr ler graphiquement la calculatrice ET Soit f x x 5x 6 pour tout x r el 1 Mettre f x sous forme canonique 2 En d duire une factorisation de f x 3 R soudre l in quation f x gt 0 4 Contr ler graphiquement la calculatrice quations du second degr 35 R soudre les quations suivantes a 2x 12x 18 0 b x x 6 0 c 3x 4x 1 0 d 2x x 1 0 N Aide exercice r solu 4 ET D terminer les racines des trin mes suivants a 2x 3x 2 b 3x2 4x 1 N Aide exercice r solu 4 E IE 3 EJ D terminer les ventuels points d intersection des paraboles suivantes avec l axe des abscisses a y xX 4x 3 b y 3x 2x 3 c y x 9x 20 d y x 2x EJ Avec ou sans discriminant
4. x 1 1 et x2 x 1 1 5 Pour quelles valeurs de n l entier n4 n2 1 est il un nombre premier Point histoire Le r sultat de l exercice 99 a t obtenu sans logiciel de calcul formel par Sophie Germain 1776 1831 Chercher qui tait Sophie Germain 42 g Les nombres de Sophie Germain ne 1 Que signifie la distance d un point une droite 100 f Une d finition g om trique 2 Exp rimentation avec un logiciel de g om trie a Tracer une droite d horizontale et placer un point F qui n appartient pas d b Placer un point A sur la droite d Construire le point M gale distance de F et de A tel que AM soit perpendiculaire d c En activant la trace du point M et en d pla ant le point mettre une conjecture sur l ensemble P des points quidistants de F et de d 3 D termination analytique a Placer un rep re O l J orthonorm tel que Ol soit confondu avec d et OJ avec OF b On note M x y et F 0 a Exprimer la distance MF et la distance de M la droite d en fonction de x y et a c D terminer une quation de l ensemble P d Construire P sur la figure A Pour aller plus loin prolongement sur le site 101 Longueur variable AB est un segment de longueur 4 cm Pour chaque point M de AB on construit la figure ci dessous dans laquelle APM et BOM sont des triangles rectangles et isoc les On consid re que si M est en A P l est aussi et qu
5. 2 3 Fanny trouve deux solutions l quation k x 0 X 1 et x 5 Sa camarade Lucie affirme que c est impossible Expliquer Chapitre 1 Second degr 41 fcices Approfondissement 96 f Un peu de technique R soudre les in quations a x 2x 3 x2 2x 2 lt 0 2x 3x 20 0 x 97 f quations bicarr es On pose X x2 Exprimer x4 en fonction de X puis r soudre les quations suivantes a x 12x2 27 0 b x 3x2 4 0 98 quations avec changement d inconnue 1 R soudre l quation 2x 5x 2 0 2 En utilisant un changement d inconnue en d duire les solutions de l quation 2 5 2 0 x 12 x 1 3 Par une m thode analogue r soudre l quation x 5x 3 0 l inconnuex 0 Un nombre premier est un nombre sup rieur ou gal 2 qui a pour seuls diviseurs 1 et lui m me Par exemple 15 n est pas premier 3 est un diviseur de 15 autre que 1 et 15 7 est premier On s int resse au probl me suivant Pour quels entiers naturels n le nombre n4 n 1 est il un nombre premier 1 D apr s les copies d cran ci dessous que renvoie la commande idivis sur le logiciel Xcas ilidivis 1 2 lidivis 29 1 2 4 3 6 12 1 29 2 a Donner une liste de 10 nombres de la forme nt n 1 neN nz1 b Tester s ils sont premiers l aide du logiciel 3 Factoriser n4 n 1 l aide du logiciel 4 R soudre les quations x
6. duire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nuls S 2 4 2n 3 En d duire la somme des n premiers nombres entiers non nuls R y S y
7. galent trente neuf unit s c est dire avec notre notation symbolique actuelle x 10x 39 AI Khw rizmi donne la r gle ci contre Quelle solution donne cet algorithme V rifier qu elle est bien solution de l quation propos e R gle La r gle est que tu divises les racines en deux moiti s ici on obtient cinq que tu multiplies par lui m me on a 25 que tu ajoutes 39 et on obtient 64 Tu prends la racine qui est 8 tu en retranches la moiti du nombre des racines qui est 5 il en vient 3 qui est la racine du carr 2 Une interpr tation g om trique que tu cherches le carr est 9 Reproduire main lev e les figures ci dessous et indiquer les aires des diff rentes parties afin d expliquer pourquoi l algorithme permet bien de trouver une solution de l quation X 10 3 Appliquer cet algorithme pour r soudre l quation x 8x 84 4 a Appliquer cet algorithme pour r soudre l quation x ax b o a et b sont deux nombres positifs b R soudre cette quation avec les outils actuels c Commenter ces r sultats Point histoire Au d but du 1x si cle AI Khw rizmi astronome et math maticien de langue arabe install Bagdad crit ce qui est consid r comme le premier trait d alg bre Il r pond ainsi une demande du Calife de fournir un ensemble doutils pour r soudre des probl mes de la vie quotidienne par exemple des partages d h ritages Mais A Khw rizmi va plus loin e
8. l aide d un tableau de signes d terminer le signe de f x selon les valeurs de x 2 Une conjecture dans le cas g n ral Soit f x ax bx c avec a b c r els et a O a Lire graphiquement le signe de f x et celui de a pour chacune des six courbes repr sentatives de f donn es dans la question 3 de l activit 3 b Si le discriminant A de f x est n gatif ou nul quelle conjecture peut on mettre sur les signes de f x et dea Etsi A gt 0 Chapitre 1 Second degr 23 Cours ee ee 0e 0e 0e 0e ee 0e 06 PER o Fonction polyn me de degr 2 Soit la fonction f polyn me de degr 2 f x gt ax bx c a b c r els a O VOCABULAIRE On dit aussi que f b est une fonction trin me Elle est repr sent e par une parabole dont le sommet S a pour abscisse F a de degr 2 ou du second Dans un rep re orthogonal la parabole P admet un axe de sym trie degr car son expression comporte trois termes sia gt 0 Si a lt 0 P est orient e vers le haut P est orient e vers le bas X DA EGA AEDI a a AE A A Ie 2a le 2a 23 f x ax bx c a fo ax2 bx ce 7 2a n 2a D monrtrations Propri t 1 Soit x lt x On compare f x et f x en tudiant le signe de leur diff rence f x f X a x 2 x2 b x x x x a x x b a x
9. me L ensemble des solutions de l in quation k x lt 0 est donc de degr 2 par l allure 3 1 33 3 1 33 de la parabole D T S Voir exercices 45 45 3 R soudre une in quation de degr 2 nonc 1 R soudre l in quation x 2x 3 gt x 2 2 Contr ler graphiquement le r sultat la calculatrice Solution 1 x2 2x 3 gt x 2 amp xX 2x 3 x 2 gt 0 amp XxX x 1 gt 0 xX x 1 est un trin me de degr 2 On cherche les racines ventuelles du trin me pour tudier son signe A 1 4x1x1 3 lt 0 donc le trin me n a pas de racine Il est donc toujours du signe du coefficient de x c est dire toujours positif On a donc pour tout x r el x x 1 gt 0 C est dire x2 2x 3 gt x 2 pour tout x r el 2 Soit f x x 2x 3 etg x FXT 2 Dire que f x gt g X pour tout x r el c est dire que la parabole repr sentant f est toujours au dessus de la droite repr sentant g Voir exerc ER Chapitre 1 Second degr 29 Travaux pratiques Oo E Er Poe Pre Pr Pr ee eee 12 Algorithmes noms OBJECTIF X Reprendre contact avec des algorithmes crits en langue naturelle Valider une affirmation Interpr ter des expressions alg briques Avec leur calculatrice Jean Paul fait fonctionner le programme de calcul A et Louis le programme de calcul B Programme A Programme B Choisir un nombre Choisir un nombre E 1 Le multiplier par 3 Lui ajouter A
10. x X x 2 cara 0 Par hypoth se x lt x donc x x gt 0 et par suite f x f x a m me signe que a x x Li a e Sens de variation de f sur 2 a b b X lt X lt xX x lt et par suite x x lt 0 On examine donc deux cas a a a e si a lt 0 f x f X gt 0 soit f x lt f x et fest strictement croissante sur 2 a b e si a gt 00 f xX f x lt 0 soit f x gt f x et f est strictement d croissante sur a e Sens de variation de f sur 2 oo a b b b lt x lt X donc lt x x etde ce fait 0 lt X x 2a a a b e Si a lt 0 on en d duit que f x f x lt 0 puis que f est strictement d croissante sur TA oo a b e Sia gt 00 f x f X gt 0 puis que f est strictement croissante sur F o a a CHhercices E Tracer une parabole nonc Soit la fonction g x gt 3x2 4x 1 sur R Tracer la parabole d quation y g x Solution g est une fonction trin me du second degr dont les coefficients sonta 3 b 4etc 1 Comme a gt 0 la parabole est tourn e vers le haut Le sommet S de la parabole a pour abscisse 4 2 Xe aa et pour ordonn e E 4 Ys 9g T On pr cise quelques points dans un tableau de valeurs puis on trace la courbe a Voir exercices 17 18 EJ Variations d u
11. 2x 2x 1 1 c y 5X x 2 d y x x N Aide exercice r solu 1 18 f Tracer les paraboles d quations 2 X x 5 a y x 3 b y 2x y r y gt 2 c y 2 x 1 2 d y 402 19 Sans d velopper donner l allure des paraboles a P y x x 4 b P y 2 x 7 4 ET Sans calculatrice 1 Donner une allure possible de la parabole P d quation y 2x 4x 8 2 Lire graphiquement le nombre de solutions de l quation 2x 4x 8 3 ET Soit goo 3 Dx 3 1 Donner l expression d velopp e de g x 2 Donner l allure de la courbe repr sentant g 3 D terminer le point d intersection de P et de l axe des ordonn es 4 D terminer les points d intersection de P et de l axe des abscisses 22 f Intersections Sur la calculatrice tracer les courbes repr sentant les fonctions fet g d finies par f x x y 1et 1 g x ru 2x 6 a R soudre graphiquement l quation f x g x b Montrer que l quation f x g X est quivalente l quation x 3 x 5 0 c En d duire les solutions exactes de l quation f x g x 23 f Paraboles en famille Pour tout r el m on consid re la parabole not e P d quation y 2x 6mx 12m 1 crire l quation de P P d signe la parabole P obtenue pour m 0 et la tracer sur votre calculatrice 2 Tracer P et P sur le m me graphique 3 D montrer qu un m me point
12. 4 b 1 3 c 0 5 d autre SI VRAI FAUX R ponses page 341 Sans calculatrice EZ Soit g la fonction d finie par g x ax bx c avec a 0 78 AEE OMA A A paia EANN Si A 0 alors 0 est le minimum de la fonction g y 3x2 9x 1 M l quation x 2x a 0 EX 2 et3 sont les solutions de l quationx2 x 6 0 atoui ions disti 4 ka et gt sont tes solutions de lEQUATION XX OU toujours deux solutions distinctes ET La fonction x 3x2 8x 2 admet un maximum 89 La courbe ci contre est une allure possible de la courbe repr sentative de ET Le minimum de la fonction f d finie par lafonction x 4x2 5x 6 0 X f X x2 5x 1 est 2 5 cy Par lecture graphique 82 l quation 7x 8x 9 0 admet deux solutions la forme canonique o de la fonction trin me ET Le discriminant du trin me 3x 4x 1 est 28 e PrESeNT RE CL CON est x 2 6 Pour tout r el x 3x 6x 4 1 Pu EJ f L in quation x2 3x 2 gt x2 4x 4 a pour ensemble de solutions 1 5 2 85 Pour tout r el x 5x2 8x 4 0 ET La fonction f x gt 3x2 7x 4 est strictement p 7 d croissante sur un Hravailspersonnel SI Faire le point sur les m thodes Des questions souvent rencontr es Voir Setester Tracer une parabole et d terminer le sens de variation d une fonction polyn me Exercices 1 et 2 Exercices 18 27 de degr 2 Mettre
13. Factoriser si possible les trin mes suivants en un produit de deux polyn mes de degr 1 a 3x2 6x 9 b x2 12x 28 c X 5x 10 d 3x2 V2x 6 45 f M me nonc que l exercice 44 b x x 6 d 16x2 24x 9 a x2 4x 1 c 3xX2 7x 2 46 f 1 Factoriser en un produit de trois polyn mes de degr 1 le polyn me P X 4x3 5x 9x 2 R soudre l quation P x 0 CI Soit f x zX 3x 4 X 1 1 Tracer la courbe repr sentant la fonction f la calculatrice Quelle remarque peut on faire pourx 1 2 Factoriser x2 3x 4 3 En d duire une expression simplifi e de f x Est elle valable pour tout r el x Signe du trin me in quations 48 1 Dresser les tableaux de signes de a 2x2 5x 7 c 4x2 11x 3 b x2 6x 9 d x 3x 5 2 Contr ler graphiquement la calculatrice N Aide exercice r solu 5 g D terminer le signe des trin mes b 4x2 8 d 3x2 x 10 a x2 4 c x 2 x 3 ET Avec ou sans discriminant R soudre les in quations suivantes a x2 1 lt 0 b 4 2x lt 0 1 c 3xX2 4Xx lt 0 d x lt X On v rifiera les r sultats graphiquement 51 f R soudre les in quations suivantes 1 a x 3x 8 gt 0 b x2 3x 5 lt x 4 D ee 2 c 2 x 1 3x gt 2 2x N Aide exercice r solu 6 52 ABCD est un carr de c t 6 cm et E un point de la diagonale BD G est un point de D N C
14. NVA l Ceci quivaut x ou x d o les solutions annonc es 2a 2a 2a 2a 2 N bY VA b VA b VA Par l galit 1 onaax bx c al x qax x 2a 2a 2a 2a 2a 2a d o ax bx c a x x4 X X2 26 CHercices et EJ Mettre sous forme canonique et factoriser nonc 1 Mettre g x 5x 9x 4 sous forme canonique 2 Factoriser g x Solution 1 On met 5 le coefficient de x2 en facteur dans 5x2 9x On a alors g x sl ex 4 9 81 9 On remarque que x4 X x 5 100 10 2 1 On a donc g x 5 ne 4 10 100 e On d veloppe partiellement pour obtenir la forme canonique de g x 9 5 g60 5 100 o 0 2 Solution 1 g x 5 PRE es gx 2 5 9 1 9 1 4 dongo s 2 2 2 s o Solution 2 on r sout g x 0 propri t 3 On trouve deux solutions 4 X ro o donc g x 5 ni Ca CD R soudre des quations de degr 2 nonc R soudre les quations suivantes a x2 2x 5 0 b 5x 4x 1 0 oc 3x2 15 0 d 4x2 3x 0 Solution a C est une quation de la forme ax bx c 0 avec a 1 b 2 et c 5 On calcule le discriminant A b 4ac 22 4x 1 x 5 16 A lt 0 donc l quation x 2x 5 0 n a pas de solution b C est une quation de la forme ax bx c 0 avec a 5 b 4 et c 1 On calcule le discriminant A b 4qac 42 4Xx5x 1 36 A gt 0 don
15. appartient toutes les paraboles P ET Sans calculatrice Soit h la fonction d finie sur R par h x 2x 1 x 5 1 Laquelle des courbes trac es ci dessous peut elle repr senter graphiquement la fonction h 2 D terminer les coordonn es des points A B C et D plac s sur la figure Figure a Figure b Figure c y D Sens de variation 25 f Minimum ou maximum Dire pour chaque fonction si elle admet un minimum ou un maximum et en quelle valeur de x il est atteint a f x 3x 4 b h x 2x2 8x 1 c g x 2 x 4 8 ET Dresser le tableau de variation de la fonction a f xX x2 4x 6 b 900 2x 5x CHercic c k x x D x 2 N Aide exercice r solu 2 d h x 3x2 3 27 Soit f X 2x2 6x 3 pour tout x r el 1 Dresser le tableau de variation de f 2 Calculer f 2 3 En d duire les solutions de l quation f x 1 4 Tracer la parabole repr sentant f 5 R soudre l in quation f x 1 ET Soiti 5 3 etf la fonction d finie par f x 3x2 6x 7 1 Dresser le tableau de variation de f En d duire le minimum et le maximum de f sur f x 10 b f x 17 2 3 Donner les solutions sur I des in quations a c f x lt 17 d f x gt 20 ET Chercher l intrus Voici les tableaux de variation de trois fonctions Retrouver parmi les expressions suivantes une expression possible de f x g X et h x Justifier
16. briquement des questions concr tes Une coccinelle l tat larvaire ou adulte se nourrit de pucerons Les coccinelles sont donc parfois utilis es dans la lutte biologique contre les pucerons Ayant observ la population de coccinelles dans un jardin pendant plusieurs ann es on a constat que si x d signe le nombre des centaines de coccinelles pr sentes une ann e avec 0 lt x lt 1 le nombre de coccinelles dans ce m me jardin l ann e suivante est f x 2 8x 1 x 1 Dresser le tableau de variation de f sur 0 1 2 Tracer la courbe P repr sentative de f sur 0 1 dans un rep re orthonorm du plan 3 En 2010 on d nombre 10 coccinelles d terminer par lecture graphique le nombre de coccinelles en 2011 puis en 2012 Contr ler ces r sultats par le calcul 4 D terminer le nombre de coccinelles tel que la population reste stable l ann e suivante 5 Combien doit on avoir de coccinelles pour en avoir au moins 20 de plus l ann e suivante Chapitre 1 Second degr 33 fcices Le plan est muni d un rep re orthogonal E Le point C 2 7 appartient il la droite d quation y 3x 13 EN Quelle est l ordonn e du point d abscisse 2 qui appartient la droite d quation y x 5 g Quelle est l abscisse du point d ordonn e 2 qui appartient la droite d quation y x 5 4 Dans un rep re orthonorm on donne A 2 4 etB 5 6 D terminer les coordonn es du
17. la forme 1 b b alors son successeur aussi c quelle courbe appartiennent les 20 points plac s Justifier la r ponse a Pour aller plus loin On consid re un triplet 1 b a Justifier qu il existe un r el k tel que c b k b On suppose que a b c 1 b b K crire le triplet suivant et d montrer qu il est de la m me forme CHhercli c quelle courbe appartiennent les 20 points plac s Tester quelques exemples sur le tableur ag Soit le trin me ax bx caveca 0 c 0 1 La proposition suivante est elle vraie ou fausse Si a et c sont de signes oppos s le trin me a toujours des racines 2 Sa r ciproque est elle vraie ou fausse GI Vrai ou faux On consid re un trin me ax bx c a 0 et son discriminant A a Si ax bx c lt 0 pour tout x r el alors A lt 0 b Si A lt 0 alors ax bx c lt 0 pour tout r el x 68 Une solution vidente 1 Donner une condition n cessaire et suffisante pour que 1 soit solution de l quation ax bx c 0 2 D terminer alors la seconde solution de l quation ax bx c 0 en fonction de a b et c g Une solution de Descartes xvii si cle Soit p et q deux nombres positifs et l quation E x2 px q 0 E Descartes propose la construction g om trique suivante pour trouver les solutions Construire un triangle ABC rectangle en B avec AB q et BC 5 C
18. r sultats par le calcul 5 Pour quelles valeurs de x l aire du triangle CMM est elle sup rieure au quart de celle du carr gt Cordes de paraboles TE LYLA tudier une propri t g om trique des milieux de cordes parall les d une parabole Amener progressivement r soudre une quation de degr 2 avec param tres 1 On consid re la parabole d quation y 7 son sommet S et le point C de P d abscisse 2 Construction d une figure dynamique 1 Donner les coordonn es des points S et C Aide GeoGebra 2 Construire la parabole 9P sur un logiciel de g om trie 00er Entrer dans la zone de saisie Construire le segment SC Saisie y 114 x 2 3 a Placer un point A de P puis construire le point B de P tel que AB soit parall le SC b Construire les milieux des segments AB et SC 4 Quelle conjecture peut on mettre sur les milieux des segments AB eee Clic droit sur le milieu de AB On pourra activer la trace du milieu de AB puis d placer A puis s lectionner Trace activ e Appeler le professeur pour lui soumettre votre travail B D monstration 1 Dans un cas particulier On consid re le point A d abscisse 4 qui appartient la parabole P a D terminer des quations des droites SC et AB b Quelle quation doit v rifier l abscisse du point d intersection de AB et de R soudre cette quation c D montrer la conjecture mise dans la partie
19. tel que OAB OAC et OBC sont des triangles rectangles isoc les en O On prendra OA 4 cm C Pour tout r el x de 0 4 on place le point M sur OA tel que OM x La parall le AB passant par M coupe OB en N les parall les OC passsant par M et N coupent CA et CB respectivement en Q et P A 1 a Faire une figure dans le plan OAB puis d terminer MN en fonction de x b D terminer de m me MQ en fonction de x 2 Exprimer l aire 4 x du rectangle MNPQ en fonction de x 3 Dresser le tableau de variation de la fonction 4 et d terminer o placer M pour que cette aire soit maximale Eg ALGORITHMIQUE Une r gle d Adraste 11 si cle On consid re un algorithme qui demande un triplet de nombres r els a b c a 0 affiche 19 nouveaux triplets de nombres obtenus en rempla ant successivement chaque triplet a b c parle triplet a a b a 2b co Donc a b c est remplac par a a b a 2b 1 Calculer la main les 5 premiers triplets donn s par cet algorithme si on entre a b c 2 3 5 2 a Programmer cet algorithme sur un tableur b Repr senter graphiquement les 20 points P b c associ s aux diff rents triplets obtenus c quel type de courbe ces points semblent ils appartenir 3 Un cas particulier a b c 1 b b a Donner une quation de la courbe laquelle semblent appartenir les points plac s b D montrer que si un triplet est de
20. trouv e la question pr c dente d terminer une criture de h x sous la forme 4 x Je d R soudre l quation h x 0 2 En suivant la m me d marche mettre k x sous forme canonique puis r soudre l quation k x 0 a k x 2x2 4x 4 b k x x 5x 5 c k x 4x 4x 1 Activi E Le discriminant On consid re la fonction f d finie sur R par f x ax bx c avec a b c r els et a O On note 6 la courbe repr sentative de fet S xs Ys son sommet 1 Donner x en fonction de a et b et calculer y f x lt en fonction de a b et c A 2 V rifier que y ae o A b 4ac a 3 Dans chacun des cas suivants On met ici en uvre lire graphiquement le signe de y et de a En d duire celui de A une disjonction de cas e lire graphiquement le nombre de solutions de l quation f x 0 4 mettre une conjecture sur le nombre de solutions de l quation ax bx c 0 en fonction de A Pourquoi appelle t on A le discriminant de ax bx c a Le signe du trin me de degr 2 Revoir une tude de signe utilisant un tableau de 1 Un exemple signes Soit f la fonction d finie sur R par f x x 6x 5 pour tout x r el Conjecturer graphiquement a la calculatrice conjecturer le signe de f x selon les valeurs de x la propri t g n rale b Mettre f x sous forme canonique et en d duire une factorisation de f x du signe du trin me c
21. une expression du second degr sous forme canonique et sous forme factoris e Exercices 33 44 D terminer le signe d un trin me de degr 2 X valuer ses capacit s 92 quations du second degr R soudre les quations suivantes a 5x2 6x 8 0 b 2x2 3x 3 0 c 4x2 5x 3 0 93 ABCD est un rectangle tel que AB 3 cm et BC 5 cm Les points M N P Q appartiennent aux c t s du rectangle et AM BN CP DQ On note x la longueur AM en cm et 4 x l aire de MNPQ en cm2 _ I 5 I Pr ciser l ensemble de d finition de sf D montrer que x 2x2 8x 15 1 2 3 Peut on placer M de telle sorte que a MNPQ ait pour aire 9 cm b MNPQ ait une aire inf rieure 9 cm 4 Dresser le tableau de variation de sf R ponses page 341 R solutions d taill es sur le site 5 Quelle est l aire maximale de MNPQ Et son aire minimale ET Des expressions la courbe Soit h la fonction d finie sur R par x 5x2 3x 2 1 Factoriser h x 2 Donner la forme canonique de h x 3 En d duire parmi les graphiques suivants lequel est celui de la repr sentation graphique de h Justifier 4 Donner alors les coordonn es des points remarquables plac s sur la figure correspondante y y y C A Dx A Dx A o D x B C C Figure a Figure b Figure c 95 Contr ler P est une parabole d quation y k x dont le sommet a pour coordonn s S
22. vecteur AB 1 2 ENS TAT g Les vecteurs u 2 etv sont ils colin aires L 2 g Quel graphique peut correspondre la parabole 1 d quation y Ta 2x 8 y a 0 X Eg Quel graphique peut correspondre la parabole 1 d quation y x 7x 39 4 y y Olx a b OIx c olx 1 Ey Calculer le discriminant de 4x2 5x 9 f D terminer le nombre de solutions de l quation 7x2 2x 12 0 10 f 1 est il solution de 25x 23x 2 0 1f Compl ter x 6x x 3 12 f Compl ter x x 3 x X 6 a Sans crayon sans calculatrice LIAE Le plan est muni d un rep re orthogonal Trin me de degr 2 et parabole 13 Les expressions suivantes sont elles des trin mes de degr 2 Si oui donner leurs coefficients a 2x2 3x 4 b 3x 9 c x 4 3x 2 d 4x2 5 ET M me nonc que l exercice 13 a 2 x 3 7 b 9x2 11x 2 FT d x 1 x 2 x 3 15 D terminer les coordonn es du sommet de la parabole d quation a y xX 4x 5 b y x 4 x 2 c y 3x 4 d y x x Contr ler les r sultats obtenus la calculatrice N Aide exercice r solu 1 16 f Dans chacun des cas suivants d terminer l axe de sym trie de la parabole et en donner une allure a y 2x 1 b y 2x 6x 4 c y 2x 1 8x 4 17 Tracer les paraboles d quations a y x 4x 5 b y
23. A Appeler le professeur pour lui soumettre votre travail an Iroavaux Oratioibles 2 Dans le cas g n ral Soit le point de P d abscisse a a En reprenant la d marche pr c dente d montrer que l abscisse de B est solution de l quation x 2x 2a 0 b En mettant x 2x 2a a sous forme canonique d terminer l abscisse de B puis conclure a Pour aller plus loin On consid re dor navant les cordes AB de qui sont parall les la droite d quation y mx o m est un r el donn l aide du logiciel conjecturer une quation de la droite laquelle semble appartenir les milieux des cordes puis d montrer cette conjecture BL ME 6 Construction la r gle ox On choisit trois nombres r els a b et cavec a 0 Dans le rep re O I J orthogonal on place les points C 0 c B 0 c b A 0 a b c etP 1 a b c On construit la droite PB On choisit un nombre et on place le point Q de la droite PB qui a pour abscisse On construit alors le point R d abscisse 1 et de m me ordonn e que Q On trace la droite CR et on construit le point M de CR qui a pour abscisse R aliser la construction sur un logiciel de g om trie avec a b et c variables Quelle est la courbe d crite par M quand a d crit R D apr s l alg bre mode d emploi G Charri re NW AWV OA N O Ox Etudier l volution d une population OINA Mod liser en traduisant alg
24. AB tel que AG 2 cm M et N sont les projet s orthogonaux de E sur BC et CD On pose EM x E IM Pour quelles valeurs de x l aire de sS DNEMG est elle sup rieure la moiti de celle du carr 53 f Position relative de courbes On note 6 et 6 les courbes repr sentatives des fonctions f et g d finies sur R par f X x 5x et g x x 3x 1 R soudre l in quation f x gt g x 2 Que peut on en d duire pour les courbes 6ret Contr ler graphiquement ces r sultats N Aide exercice r solu 6 ET Fonction born e 4x2 5 x2 x 1 1 Montrer que l ensemble de d finition de fest R Soit la fonction f d finie par f x 2 Montrer que pour tout r el x f x lt 5 et f x gt 6 CHercic 3 Quelles valeurs de Y min et de Ymax choisir pour tracer la courbe repr sentant f sur la calculatrice 55 f Soit g x xX 5x2 12x 6 sur R 1 Lire sur la calculatrice le signe de g x 2 a Montrer que 1 est solution de g x 0 b D terminer trois r els a b et c tels que g x x 1 ax bx c c En d duire le signe de g x 16 ET Soit f x x pour tout x gt O X 1 D montrer que pour tout x gt 0 f x 8 2 Quel est le minimum de f sur 0 oo Second degr en situation ET chronophotographie On a r alis une chronophotographie des rebonds d une balle avec un intervalle de temps dt 36 ms 1 Ouvrir le fichier GeoGebra disp
25. BM Activer la trace de ce point et observer la courbe qu il d crit quand M d crit CA 2 D monstration dans un cas particulier On prend A 4 2 etM 4 t t gt 0 a D terminer une quation de BM et une quation de la droite AN Aide GeoGebra i Utiliser l outil t b D montrer que les coordonn es de P sont 2 z c Exprimer t en fonction de l abscisse xp de P puis en d duire que P appartient une parabole T dont on donnera l quation Contr ler en tra ant F sur le logiciel EKercCh d Quand t d crit 0 quelle partie de la parabole le point P d crit il e Quelle construction de l autre partie de la parabole sugg re la figure de Philippe de la Hire 103 f Faisceau de droites Dans le rep re O I J orthogonal on consid re la parabole P d quation y x 3x 11 et le point R 0 2 Quelles sont les valeurs de m pour lesquelles la droite de coefficient directeur m passant par le point R coupe la parabole y J NNa QT Est ce possible On consid re un r cipient cylindrique de rayon int rieur 10 cm et de hauteur int rieure 22 cm On place une boule de rayon 5 cm au fond du r cipient puis on verse de l eau jusqu recouvrir exactement la boule cette boule tant de densit plus grande que l eau ne flotte pas On enl ve cette boule et on la remplace par une seconde boule de m me densit et de rayon diff rent l
26. Re La cha ne trophique Dans un cosyst me les esp ces en pr sence interagissent entre elles et avec leur environnement et l effectif de leur population varie dans le temps en fonction de ces interactions Des mod les math matiques faisant intervenir des suites ou des fonctions et leurs d riv es permettent de simuler ces volutions Les applications sont multiples de la compr hension des ph nom nes d extinction l optimisation des politiques de p che en passant par la mise en uvre de bior acteurs efficaces Pour en savoir plus tourner la page Le 12 d cembre 1999 6h du matin la mer est forte au large de Penmarc h Finist re Le p trolier Erika trans portant 37 000 tonnes de fioul lourd lance un appel de d tresse Il cou lera quelques heures plus tard 150 000 oiseaux marins meurent des phoques des dauphins des poissons les algues et le microplancton sont largement contamin s par les r sidus canc rig nes d hydrocarbures C est tout un cosyst me qui vacille en quelques jours Peut on optimiser une strat gie de d pollution pour limiter l impact de la mar e noire sur les popu lations animales ou v g tales les plus fragiles Quelle a t l influence long terme de cette mar e noire sur les co syst mes de la r gion Il est tr s diffi cile de r pondre de telles questions sans avoir recours des mod les de pr diction et de simu
27. be repr sentative de la fonction f polyn me de degr 2 d finie sur R par f x x2 3x 2 1 R soudre l quation f x 2 2 En d duire une quation de l axe de sym trie de cette parabole puis les coordonn es du sommet S de la parabole 3 En reprenant la m me d marche d terminer l abscisse xs du sommet S de la parabole d quation y ax bx c aveca 0 a Pour aller plus loin Montrer que pour toute fonction dont l expression est f x ax bx c aveca 0 2 b f 0 LO En d duire selon le signe de a si f admet un maximum ou un minimum en xs 2 Forme canonique et quation f x 0 A Aspect graphique 1 Soit g la fonction d finie sur R par g x x 1 4 a Justifier que g admet un minimum en 1 b Donner les coordonn es du sommet S de la courbe Gg repr sentant g 2 On consid re la fonction f d finie sur R dont l expression est f x 2x2 6x 4 et on note sa courbe repr sentative a D terminer les coordonn es x et y du sommet S de amp b Conjecturer les valeurs des r els et B tels que f x 2 x B Prouver votre conjecture c R soudre l quation f x 0 B Aspect alg brique 1 On consid re la fonction h x gt 4x2 24x 27 d finie sur R a Donner une autre criture de h x sous la forme 4 27 b Recopier et compl ter x 6x x d o x2 6 x c En rempla ant x 6x par l expression
28. c l quation a deux solutions CNET OM NES 2a 2x5 2a 2x5 5 c 3x2 15 08 x2 58x 1V5 ou x v5 3 d 4x2 3x 0 amp x 4x 3 0 lt x 0 ou or N Voir exercices 3 L 32 34 Conseils e Pour r soudre une quation de degr 2 onnese lance pas t te baiss e dans le calcul du discriminant Quand il manque le terme en x ou le terme constant on n a pas besoin du discriminant e On contr le graphiquement les r sultats l aide de la calculatrice les solutions de ax bx c 0 sont les abscisses des points d intersection de P y ax bx c avec l axe des abscisses A Voir exercices 35 38 Chapitre 1 Second degr 27 Cours et Signe d un trin me de degr 2 Soit le trin me ax bx c avec a 0 et A son discriminant e Si A lt 0 le trin me a m me signe que a pour tout r el x l eA b e Si A 0 le trin me a m me signe que a pour tout r el x et s annule en T a e Si A gt 0 le trin me s annule en deux r els distincts x et x Si x lt x le tableau de signes du trin me est X oo X X signe oppos 0 signe de a celui de a 9 signe de ax bx c signe de a 0 On retient souvent cette propri t sous la forme condens e suivante ax bx c est du signe de a sauf entre ses racines s il y en a On peut aussi retrouver graphiquement le signe de ax bx c en s aidant de l allure de la
29. die peut soudainement se d velopper puis dispara tre sans s tre tendue toute la communaut ce que l on a observ dans d innom brables pid mies au cours des si cles a Mod liser pour pr dire et prot ger l environnement L activit s humaines induisent de nombreuses perturbations sur les cosyst mes Il devient indispen sable d acqu rir une meilleure connais sance de tous les facteurs susceptibles d induire des effets perturbateurs sur les organismes vivants et de leurs effets sur les diff rents niveaux d organisa tion biologique individu population communaut Le d veloppement de mod les math matiques vis e pr dictive appara t donc n cessaire pour une meilleure gestion de l envi ronnement dans la perspective d un d veloppement durable Source DocSciences n 8 SC R N Pour reprendre contact Fonction du second degr 1 Une fonction de la forme f x ax bx c est repr sent e ci dessous a Comment s appelle cette courbe b Quelles sont les coor
30. donn es du sommet de la courbe c Quelles sont les solutions de l quation f x 3 De l in quation f x lt 3 d Quel est le signe de f x selon les valeurs de x 2 Dresser le tableau de variation de la fonction f oO D velopper factoriser Recopier et compl ter a 3x 4 b x2 6x x c x2 8x x d x2 3x x Choisir la bonne forme Voici trois expressions d une m me fonction g d finie sur R g x 2 x 4 18 g x 2 x D x 7 g x 2x2 16x 14 En choisissant l expression la mieux adapt e r pondre aux questions suivantes 1 La fonction g admet elle un maximum ou un minimum Pour quelle valeur de x 2 D terminer la ou les solution s de l quation g x 0 3 D terminer la ou les solution s de l quation g x 14 4 D terminer la ou les solution s de l quation g x 54 Avec les tableaux de signes Recopier et compl ter le tableau suivant signe signe de3 x 3 X signe du a 2x 4 3 x Activit s ee 0e ee D terminer les coordonn es du sommet de la parabole partir de son quation Faire le lien entre la forme canonique et le sommet de la parabole et r soudre une quation de degr 2 Pour un trin me du second degr l criture a x o B est dite forme canonique a H O se trouve le sommet Voici la cour
31. e de la partie blanche 62 Nombres triangulaires Des math maticiens grecs la suite de Pythagore repr sentaient g om triquement certains nombres Ci dessous sont repr sent s des nombres appel s nombres triangulaires 1 Repr senter sur le quadrillage de votre feuille le 6 nombre triangulaire T Donner Te 2 Conjecture a Faire afficher le tableur de GeoGebra menu Affichage et compl ter la feuille de calcul b S lectionner la plage de cellules A2 B7 puis par un clic droit choisir Cr er une liste de points c quel type de courbe ces points semblent ils appartenir 3 On cherche une fonction trin me de degr 2 dont la courbe passerait par les points plac s la question 2 Posons f x ax bx c avec a O a Que doivent valoir f 1 f 2 et f 3 En d duire trois quations que doivent v rifier a b et c b En d duire l expression de f x c Tester la solution trouv e sur GeoGebra d Quelle formule peut on conjecturer pour T en fonction de n n 1 En est on s r pour tout entier n sup rieur ou gal 1 4 Proposer une d monstration g om trique du r sultat pr c dent l aide de la figure ci contre 63 On doit partager de mani re gale une somme de 30 000 entre un certain nombres de personnes S il y avait 4 personnes de moins la part de chacun serait augment e de 1 250 Combien sont ils gy OABC est un t tra dre
32. e si M est en B Q aussi Q A M B Une longueur tant donn e en cm on cherche si on peut placer M de telle sorte que PQ On note AM x 0 x lt 4 1 Faire la figure sur un logiciel de g om trie et mettre une conjecture sur les longueurs possibles 2 a D montrer que PQM est rectangle en M b En d duire que PQ x 4x 8 3 a Dresser le tableau de variation de la fonction qui x associe PQ sur 0 4 b En d duire un encadrement de PQ puis de PQ c Montrer que si amp 2 24 2 il n existe pas de point M tel que PQ 4 Soit le point d intersection des droites AP et BQ D montrer que a ne d pend pas de la position du point M b IM 5 a En d duire une construction g om trique d un point M la r gle et au compas et montrer qu elle est possible pour tout de 2 22 b Effectuer cette construction sur papier pour 3 102 Histoire La figure ci dessous illustre le trait Sectiones conicae de Philippe de la Hire 1640 1718 paru en 1685 1 Sur un logiciel de g om trie a Cr er les points B 0 0 1 1 0 et J 0 1 b Cr er un point A du plan hors des axes du rep re comme sur la figure et le point C de l axe Ol tel que AC soit perpendiculaire cet axe c Cr er un point M de la demi droite CA et le point N de la demi droite BJ tel que BN CM i d Cr er le point d intersection P de AN et
33. eau recouvre nouveau exactement la seconde boule On se demande quel est le rayon r de cette boule 1 Quel est le rayon maximal r que l on peut choisir 2 a Quel est le volume d eau contenu dans le r cipient lors de la premi re exp rience b Exprimer le volume d eau V r contenu dans le r cipient lors de la seconde exp rience 3 a crire une quation dont rest solution b Montrer qu elle est quivalente une quation de la forme r 5 ar br c 0 o a b et c sont d terminer c Conclure Chapitre 1 Second degr 43 CICEs Prendre des initiatives Ne pas h siter utiliser calculatrices ou logiciels pour r soudre ces probl mes 105 PROBL ME OUVERT Le triangle de c t s 3 4 et 6 n est pas rectangle Peut on en ajoutant une m me longueur chacun de ses c t s obtenir un triangle rectangle 106 Vrai ou faux a La somme de deux trin mes de degr 2 est un trin me de degr 2 b Un trin me du second degr peut toujours s crire comme la somme de deux trin mes du second degr 107 PROBL ME OUVERT Quelle somme minimale peut on obtenir quand on ajoute un nombre strictement positif et son inverse 108 PROBL ME OUVERT Les trois longueurs d un triangle ABC sont AB 2x 1 BC 3x 2 et CA 4x 3 o x est un r el D terminer la ou les valeur s de x telle s que le triangle ABC est rectangle 109 PROBL ME OUVERT On dispose d un fil
34. ion et propri t 3 sont aussi appel es racines du trin me On consid re le trin me ax bx c avec a 0 ax bx c Le nombre A b 4ac est appel discriminant du trin me ax bx c L quation ax bx c 0 Factorisation de ax bx c Note n Si A gt 0 a deux solutions Si 0 on a ax bx c _ b VA _ b VA ax bx c a x x x x A X Xp X X X1 et x l 2a 2a On dit que x est une racine o double de ax bx c b l puisqu elle compte Si A 0 a une unique solution x De ax bx c a x Xo double dans la mer ET Gdor SiA lt O n a pas de solution r elle D monstrations a gt gt b gt b b bY Propri t 2 Commea 0 ax4 bx c a xt x c Or x x x gt a a 2a 2a a b bY bY o D o ax bx c al lx c alx c soit 2a 2a 2a 4a 2 b 4 b b 4 ax bx c afx LITE 4 II suffit de poser et B TA 2a 4a 2a 4a A Propri t 3 De l galit 1 ci dessus on d duit que ax bx c 0 sfx 2 Er avec b 4ac a a A 7 e 1 cas si A lt 0 alors a lt 0 et l quation n a pas de solution a 2 2 A e 2 cas A 0 alors x efh 2 EA 2a 4a 2a 2a b Par l galit 1 on a ae bx e afx a X Xg AVEC Xp 2a 2a 2 A b A bY VA e 3 cassi gt O alors L gt Oet x 2e xs 2 vA 4a 2a 4a 2a 2a o res b VA b
35. jouter 2 au r sultat obtenu lever le r sultat au carr Multiplier par le nombre de d part Multiplier par 3 de Soustraire 4 au r sultat Soustraire au r sultat 1 Qu obtient on pour les nombres 4 2 et 7 avec ces deux programmes 2 Apr s de multiples essais Jean Paul affirme qu il ne peut pas obtenir moins de 4 avec le programme A E Ea a a 13 Louis affirme quant lui que le minimum qu il puisse obtenir avec le programme B est Fa Leurs affirmations sont elles vraies ou fausses Justifier A Pour aller plus loin Quelle s question s peut on se poser sur ces deux programmes de calcul Y r pondre Tout est m lang ui OHANA Relier alg brique et graphique Ce travail est faire sans calculatrice ni logiciel On a repr sent ci dessous dans des rep res orthogonaux trois courbes 64 6 et d quations b y x 2 3 Eiy x 2x 1 63 y 4 x 1 x 2 Comment retrouver les graduations du rep re pour chaque graphique Expliquer votre d marche A Figure a Figure b Figure c on Travaux oratioles D Un ancien algorithme n 72 we OMAN tudier un ancien algorithme de r solution d une quation de degr 2 Au d but du X si cle le math maticien Al Khw rizmi propose dans son trait Kitab al jabr wa mugab lah diff rents algorithmes de r solution d quations de degr 1 ou 2 1 Pour r soudre l quation Que le carr et dix racines
36. lation de la dyna mique des populations Ces mod les sont aujourd hui comme ceux des pr visions m t orologiques extr mement complexes au niveau math matique et informatique ils n cessitent de gros moyens de calculs Cependant ils sont fond s sur des principes simples la bor s bien avant l invention des ordi nateurs Mod lisation une question de choix uel que soit le mod le choisi celui ci reste une repr sentation simplifi e du monde r el et se fonde sur des hypoth ses simplificatrices et mod lisation plus ou moins r alistes il est crit sous forme d quations La complexit des mod les math matiques cro t avec la quantit de d tails que l on veut prendre en compte dans la description du processus Ainsi certains mod les ne n cessitent gu re plus qu un papier et un crayon pour tre appr hend s tandis que d autres engendrent parfois plusieurs jours de calcul sur des grappes d ordinateurs travaillant en parall le a La dynamique des populations du xl si cle nos jours oiiro de mod les math ma tiques en sciences de la Vie a connu un engouement partir du milieu du XX si cle On peut toutefois dater de 1202 le tout premier mod le propos en dynamique des populations On le doit Leonardo Pisano math maticien italien plus connu sous le nom de Fibo nacci 1178 1250 qui dans son Liber abaci a tent de d crire la croissance d une po
37. m tallique de longueur 50 cm On le partage en deux parties A EO 4 Eng lish Cor ner 113 1 Write each quadratic expression in completed square form a 2x 4x 2 b x2 5x 1 c 6 2x x 2 For each quadratic expression f x above consider the graph y f x Write down the coordinates of its maximum minimum point 3 For each quadratic expression f x above solve the equation f x 0 A function is defined as f x x 7x2 10x Factorize f x completely Decide which of the graphs below is a sketch of y x 7x2 10x 44 Avec l une on fabrique un triangle quilat ral et avec l autre un carr Est il possible que le triangle ait un p rim tre plus petit que le carr mais une aire plus grande 110 PROBL ME OUVERT Les singes de Bh skara x si cle La cinqui me partie de la troupe moins 3 lev e au carr tait all e dans une caverne et un singe tait en vue grimp sur une branche Dis combien ils taient Source Math matiques au fil des ges d Gauthier Villars 11 PROBL ME OUVERT ABC est un triangle quilat ral de c t a a gt 0 On place M N P Q sur les c t s comme sur la figure de telle sorte que MNPQ soit un rectangle O placer M N P et Q pour que le rectangle MNPQ ait une aire maximale 112 Somme d entiers 1 D terminer un polyn me P de degr 2 tel que P x 1 P x 2x et P 0 0 2 En d
38. n donnant ces outils selon une construction th orique Il pr sente les outils de l alg bre que sont les nombres l inconnue et sa racine et les quations il classifie les quations du 1 et 2 degr avant d en donner des algo rithmes de r solution qu il justifie de fa on g om trique il en donne ensuite des applications Ces m thodes alg briques se r pandront peu peu en Europe Elles s appuient sur deux op rations al jabr wa l mugab lah Al jabr donnera le terme alg bre et cest du nom Al Khwa rizmi que vient celui d algorithme a Pour en savoir plus couter M Djebbar l adresse www math ens fr culturemath video Djebbar index html Chapitre 1 Second degr 31 QUES D Probl me d aire OHANA R soudre un probl me l aide d une fonction trin me de degr 2 Probl me tudi ABCD est un carr de c t 6 Le point M appartient AB Le point M de AD est tel que AM AM On veut d terminer la ou les position s de M et M telle s que l aire du triangle CMM soit sup rieure au quart de celle du carr ABCD M On note x la longueur AM exprim e en cm et 4 x l aire de CMM exprim e en cm 1 quel intervalle appartient x Exprimer s x en fonction de x 2 Dresser le tableau de variation de la fonction sf 3 l aide de la calculatrice d terminer si l on peut trouver x tel que a A xX 9 b x 18 4 Retrouver ces
39. ne fonction polyn me de degr 2 nonc Soit f la fonction d finie sur R par f x 3x 8x 5 Dresser le tableau de variation de la fonction f Contr ler graphiquement les r sultats l aide de la calculatrice Solution f est une fonction polyn me de degr 2 dont le coefficient du terme en x est 3 La parabole repr sentative de la fonction f est donc tourn e vers le haut Le sommet S de cette parabole a pour abscisse X a our ordonn e 1 1 TE RE NS amie 3 On obtient ainsi le tableau de variation suivant On entre la fonction f sur la calculatrice et on choisit une fen tre adapt e aux coordonn es trouv es pour S L outil Trace permet de contr ler les coordonn es du sommet S Voir exercices 26 27 28 Chapitre 1 Second degr 25 Cours 0 0 0e 0e 0 0 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 LS E 72 Forme canonique et quation ax bx c 0 Pour tout trin me ax bx c avec a 0 on peut trouver deux r els et B tels que pour tout x r el ax bx c a x B L criture a x B est appel e forme canonique du trin me VOCABULAIRE Dans la forme canonique ci dessus les coefficients et 5 sont l abscisse et l ordonn e du sommet S de la parabole d quation y ax bx c Les solutions de l quation 2 _ x bx c TEE TFT os y D finit
40. onible sur le site dans lequel l image a t import e 2 En relevant des coordonn es de points sur le logiciel donner des quations de paraboles permettant de simuler sur un jeu vid o la trajectoire d une balle lors de deux rebonds cons cutifs On pourra faire les calculs la main ou avec un logiciel de calcul formel 3 Tracer cette trajectoire sur GeoGebra Point info Histoire des arts Les progr s de la photographie au xIx si cle offre des possibilit s nouvelles partir des ann es 1870 le Fran ais tienne Jules Marey 1830 1904 et sa suite l Am ricain Eadweard Muybridge 1830 1904 se ser vent d instantan s photographiques pour d composer le mouvement des tres vivants Lanalyse de films est tou jours utilis e aujourd hui pour am liorer les gestes et les performances des athl tes course prise d lan saut etc Chapitre 1 Second degr 37 fcices ET Une entreprise fabrique des pantalons Pour une quantit q produite le co t de production en euros est C q 0 04q 40q 8 000 La recette par pantalon vendu est 25 et on suppose que toute la production est vendue Combien l entreprise doit elle fabriquer de pantalons pour tre b n ficiaire EJ Le service au tennis On mod lise de fa on simplifi e un service fait par une joueuse situ e en S qui frappe la balle en S perpendiculairement au filet La longueur du rectangle de service est F B 6 4 m
41. onstruire le cercle de centre C passant par B La E droite AC coupe le cercle en D et E E AC D La longueur AE est une solution de l quation E Analyser cette m thode Obtient on bien une solution de E Quelle est l autre solution 70 Charles affirme avoir trouv une solution enti re l quation x 2 V2 x V8 0 Qu en pensez vous Chapitre 1 Second degr 39 lravailspersonnel SI QCM Choisir la ou les bonne s r ponse s R ponses page 341 Donner la r ponse juste sans utiliser de calculatrice gy L quation 2 5x2 5x 2 0 a pour solutions o 5 45 roa kan Ne EN l quation 3x2 7x 4 0 ii 5 5 5 j 5 a admet 2 solutions n gatives e J5 et 5 d autres b admet 1 solution positive c 2 E c n admet aucune solution r elle 75 La forme factoris e de 2x 6x 8 est 2 d admet une solution positive une solution n gative 5 2x x 3 8 b x z 12 5 2 c 2 x 4 x 1 d x 4 x 1 72 Quelle est une quation possible de la courbe ci contre 76 Soit f x 5x2 9x 4 sur R a y X 2x 8 a f x gt 0 pour tout x r el b y 3x2 4x 1 b f x lt 0 pour tout x r el c y 5x 8x 4 c f X n est pas de signe constant d y 2x2 x 3 0 x d f x lt 0 sur ce 0 77 L in quation 3x 6x 24 lt 0 a pour ensemble de ET x 3x 1 a pour discriminant solutions a b 5 c 13 d 13 a 2
42. parabole parmi les 6 cas possibles suivant le signe de a et de A SiA lt O SiA 0 SiA gt 0 aucune racine une seule racine deux racines x et x gt Sia gt o la parabole est tourn e vers le haut Sia lt 0 la parabole est tourn e vers le bas D monrtrations Propri t 4 e SiA lt O dans la d monstration de la propri t 3 page 26 on a d montr l galit smse t rdet ax bx c al x a x 2a Aa 2a 4a 2 A Comme x z 0 et 4 gt 0 on en d duit que ax bx c a le signe de a a a e Si A lt 0 on a ax bx c a x xg d o le r sultat annonc e Si A gt 0 ax bx c a x x4 X X2 Un tableau de signes am ne au r sultat annonc 28 CHercices F tudier le signe d un trin me de degr 2 nonc Soit k x x 3x 6 une fonction trin me du second degr d finie sur R R soudre l in quation k x lt 0 Solution 1 Comparer le trin me k x 0 revient tudier son signe On cherche les racines du trin me x 3x 6 On calcule le discriminant A 3 4 x 1 x 6 33 gt 0 donc l quation x 3x 6 0 admet deux solutions 0 NN E l 2a 2 x 1 2 5 2a 2 avec x gt X3 Le coefficient de x dans x 3x 6 tant n gatif on obtient le tableau de signe suivant Conseils e Bien ranger x et x dans ordre croissant de signe d un trin
43. pulation de lapins donnant ainsi naissance la fameuse suite de Fibonacci Un bond de plusieurs si cles dans l histoire nous am ne aux travaux du pasteur anglican et conomiste bri tannique Thomas Malthus 1766 1834 qui pr dit cette poque d in vitables catastrophes d mographiques si les naissances ne sont pas contr l es dans les populations humaines Plus tard des mod les concurrents au mod le de Malthus seront propos s Le plus c l bre des mod les de dynamique de deux populations en interaction est celui de Lotka Volterra Dynamique des populations Sandrine Charles ma tre de conf rences universit de Lyon laboratoire de Biom trie Biologie volutive CNRS et Hubert Charles ma tre de conf rences universit de Lyon INSA de Lyon laboratoire de Biologie fonctionnelle INRA Il fut propos ind pendamment par Alfred James Lotka math maticien et statisticien am ricain en 1925 et Voti Volterra math maticien et physi cien italien en 1926 afin d expliquer l volution par oscillations du niveau des p ches de sardines et de requins dans la mer Adriatique depuis 1827 La richesse des math matiques offre d autres approches de la dynamique des populations qui prennent en compte la structuration interne de la population en classes classes d ge et de taille stades de d veloppement L pid miologie utilise un d coupage analogue pour comprendre com ment une mala
Download Pdf Manuals
Related Search