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SON ET MUSIQUE

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1. 2 Les instruments 2 1 Les cordesl 2 1 1 Battements accord et consonancel 2 2 Les lames 2 2 1 Lame pos e aux deux extr mit s 2 3 Les membranes 2 4 Les tubes 2 4 1 Commande en pression 2 4 2 Commande en vitesse 2 5 Timbre des instruments 2 5 1 Nature du spectre 2 5 2 Enveloppe du son 2 6 Sujets d tudel 2 6 1 Vibration d une corde cas g n ral 2 6 2 Corde pinc e 2 7 Travaux pratiques sur ordinateur 2 7 1 Cr ez votre synth tiseur 2 6 3 Corde frott e par un archet 2 6 4 Corde r duite un degr de libert 2 6 5 Syst me coupl cordes chevalet et ph nom ne de r manence 2 6 6 Calcul de l inharmonicit pour une corde r elle 2 6 7 Fr quence de co ncidence d une onde dans une plaque 2 6 8 R sonance du bourdon 2 6 9 R sonance d un tube cylindrique avec commande mixte 2 6 10 R sonance d un tube conique 1 2 6 11 R sonance d un tube conique 2 F 2 7 2 Modifiez le timbre de votre instrument 2 7 3 Son r manent sos em ris 3 3 1 Petite histoire du La 3 3 5 Sujets d tude 3 5 1 3 6 Travaux pratiques sur ordinateur Fr quences de quelques gammes 3 5 2 Battements des quintes
2. e l chantillonnage qui consiste pr lever les valeurs sn s t du signal analogique des instants r guli rement espac s tn NT o 7 est appel e la p riode d chantillonnage La fr quence d chantillonnage Fe 1 7 standard pour les CD audio est de 44 1kHz e la quantification qui consiste approcher et remplacer ces nombres r els sn qui peuvent 109 110 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE avoir une infinit de d cimales impossible stocker par des nombres r pris dans un ensemble fini comportant L 2 valeurs possibles Ces nombres r sont alors cod s sur b bits pour tre stock s ou transmis En qualit audio on utilise g n ralement un codage sur 16 bits soit 2 octets Le signal obtenu est un signal num rique Il n a pas d autre r alit physique que d tre pr sent sous forme de nombres quelque part dans l univers informatique en attendant d tre trait par une carte son Il est constitu de la suite des nombres r la variable tant maintenant l entier n c est une variable discr te Pour la restitution sonore le signal num rique est reconverti en signal analogique lectrique par un convertisseur num rique analogique CNA DAC en anglais et poursuit son chemin travers les autres composants classiques de la cha ne La question qui vient naturellement l esprit est la suivante quelle est la perte d infor mation occasionn e par la conversion en signal num rique Nous
3. 2x 3 3 LES GAMMES TEMP R ES 93 et la condition b b donne e 20 8 0 dont la solution qui nous int resse est x 1 4960 La quinte Si Faf est accord e avec le m me rapport Toutes les autres quintes sont accord es justes c est dire avec le rapport 3 2 Les octaves sont bien s r accord es galement justes Ceci est rendu possible du fait que l on a effectivement 15 x 3 2 128 0057 128 Ce temp rament comporte donc des tierces majeures plus ou moins proches de la tierce harmonique la plus proche tant celle de la tonalit principale Do majeur et elles vont en s agrandissant lorsqu on s en loigne Chaque tonalit aura ainsi sa sonorit propre au contraire de ce qui se passe avec le temp rament gal Ces d veloppements th oriques que nous venons de faire et qui concernent plut t les instruments clavier dont le son est fixe partaient de l hypoth se que les cordes produisent des harmoniques ce qui n est pas tout fait exact comme nous l avons vu au 8 2 5 1 La r alit est donc en fait plus complexe et dans la pratique les accordeurs font en sorte que les quintes et les octaves battent l g rement le moins possible par d faut pour les quintes et par exc s pour les octaves En poussant m me un peu plus loin l accordeur S Cordier 1 a r cemment propos d accorder les quintes sans battements ce qui am ne des octaves l g rement largies cf aussi 4 2 2
4. T T cos0 sin0 T T cos0 sin 0 La corde a pour longueur L et le point M de coordonn es L 2 u t est astreint se d placer sur une ligne verticale on ne consid re pas les vibrations longitudinales 1 En faisant l approximation sin 0 tg 0 montrez que la force F exerc e sur le point M est F 0 4uT L 2 En utilisant la relation fondamentale de la dynamique F my montrez qu en l absence de forces ext rieures on a mu t Ku t o K 4T L est la raideur du ressort vertical quivalent aux deux fils lastiques 3 Montrez que les solutions sont des vibrations sinuso dales de fr quence 1 JT e TEN y o u m L On remarque que cette fr quence est inf rieure au fondamental de la vraie corde pour laquelle m est remplac par 2 Cela s explique par le fait que dans ce mod le simplifi toute la masse a t concentr e au milieu augmentant l inertie de la corde 2 6 5 Syst me coupl cordes chevalet et ph nom ne de r manence Chaque note de piano hormis les graves est compos e de deux trois cordes accord es Punisson Typiquement le son produit comporte deux phases une premi re phase de d croissance rapide suivie d une phase d croissance plus lente que l on appelle le son r manent Une premi re explication est la suivante au d but ce sont les vibrations per pendiculaires la table d harmonie qui pr dominent Celles ci s amortiss
5. o t cf fig 11 3 qui suivent le mouvement des mol cules d air et v rifient donc 21 t v 1 t et zh t v xa t t on crit la relation fondamentale de la dynamique F d mv dt o t Siple t plz 0 2 s Ja ato S plo tof Deb plas olas tai 4 xa t o dates 22 t 5 rezine p x1 t v x1 t date 1 t ce qui donne en divisant par x2 x et en faisant tendre 12 x vers 0 r p x t dE pr t v x t Op z t u z t De nouveau si les variations par rapport l tat d quilibre sont petites avec p x t po ep1 x t on obtient en n gligeant les termes en e l quation d Euler E pr x t povi z t 1 3 Equation d tat En supposant qu il n y ait pas d change de chaleur entre tranches d air ou avec l ext rieur compression et d tente adiabatiques car tr s rapides l quation d tat exprime que la va riation de pression est proportionnelle la variation de densit pit t cp1 x t 1 4 12 CHAPITRE 1 LES SONS relation qui exprime aussi que l air a un comportement lastique il r agit comme un ressort En substituant cette expression dans 1 2 on obtient une autre expression de l quation d tat p t pp0 v1 z t 0 1 5 1 1 2 Equation des ondes En d rivant par rapport au temps l quation d tat 1 5 et par rapport x quation d Euler 1 3 on obtient p x t
6. galement une tierce majeure compos e de deux tons et les intervalles R La Mi Si et Fa Do forment une quinte compos e de trois tons et demi et correspondant au rapport de fr quence 27 02 1 5 Gammes mineures Il y deux types de gammes diatoniques mineures utilis es selon que la m lodie monte ou descend e la gamme mineure m lodique ascendante constitu e des intervalles ton demi ton ton ton ton ton demi ton En partant de Do cela donne la suite de notes Do R M Fa Sol La Si Do FIG 1 9 gamme en Do mineur m lodique ascendant e la gamme mineure m lodique descendante constitu e des intervalles ton demi ton ton ton demi ton ton ton En prenant Do comme tonique cela donne les notes Do R Mib Fa Sol Lab Sib Do Si l on prend La comme tonique cela donne les notes La Si Do R Mi Fa Sol La o aucune alt ration n est pr sente Cette derni re gamme est appel e gamme mineure relative la gamme majeure en Do 2 gt FIG 1 10 gamme en Do mineur m lodique descendant Un peu part on trouve la gamme mineure harmonique figure 11 utilis e comme son nom l indique pour composer les accords l harmonie accompagnant une m lodie crite en mineur et constitu e des intervalles ton demi ton ton ton demi ton un ton et demi demi ton En partant de Do cela donne la suite de notes Do R Mib Fa Sol Lab Si Do Les inter
7. n gt 1 la moiti de celle que nous avions observ e pour la commande en pression Sous ce r gime de fonctionnement l instrument joue une octave en dessous Le m me ph nom ne se produit d ailleurs dans le cas d un tube command en pression ferm l autre extr mit cf 2 6 8 Dans les orgues de tels tuyaux s appellent des bourdons cf fig 2 12 e La suite des fr quences propres est donn e par fn 2n 1 f leur progression est maintenant proportionnelle aux entiers impairs 1 3 5 eL e les harmoniques pairs ont disparu Cette absence est justement l un des l ments qui permettent l auditeur de reconna tre des instruments anche comme la clarinette et leur donne cette sonorit que certains qualifient de nasillarde Elle explique galement le fait que la clarinette quintoye lorsque l on souffle plus fort on passe directement du registre fondamental registre de chalumeau au registre situ une oc tave plus une quinte au dessus registre de clairon alors que sur une fl te on passe seulement l octave sup rieure En superposant les diff rents modes harmoniques on obtient un son r sultant st y Qn cos 2n 1 7 fit 0 n l 66 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS somme o ol de sinus L L L ii l 0 0 5 1 1 5 2 25 3 5 T 7 T T somme de cosinus o 0r 5 y f 0 0 5 1 15 2 25 3 t FIG 2 13 malgr les apparences ces
8. noter qu elles ne sont pas stationnaires FIG 1 7 une onde sph rique harmonique coupe 2D Elle s amortit en 1 r 1 1 4 Intensit sonore Nous avons crit plus haut la pression cas d une onde plane sous la forme p x t po ep1 x t o po est la pression l quilibre ou pression moyenne La diff rence p x t po est appel e pression acoustique Pa Pa t t E p z t Po Pour mettre l air en mouvement il a fallu fournir une certaine quantit de travail La pro pagation de la d formation de lair correspond une propagation de l nergie initiale On 16 CHAPITRE 1 LES SONS appelle intensit sonore le flux moyen d nergie en valeur absolue par unit de temps et de surface Elle est mesur e en Watts m et est donn e par la formule I x T rate Dete n de o l chelle de temps T d pend du contexte Cette int grale peut tre nulle si par exemple pa et v sont en quadrature de phase diff rence de phase gale 7 2 Dans le cas d une onde plane progressive p x t g x ct le calcul via l quation d Euler 1 3 et l quation d tat 1 5 donne v x t pa x t cpo d o 1 I x Ta T I p x t dt 1 10 0 Si Ponde est harmonique par exemple palz t pa sin kx 2r ft on obtient pour T 1 f Hu Pa Dog 2cpo 415 avec Pef Pa V2 formule habituellement employ e pour le calcul de l intensit Dans le cas d une onde sph r
9. quation de Bessel dont les solutions born es en z ro sont les fonctions de Bessel d ordre m de premi re esp ce not es Jm IC adm lt Il reste prendre en compte la condition aux limites sur le pourtour y R 0 Cela impose Jm k R 0 donc k R est un z ro de Jm Les z ros de Jm sont not s zmn Jalmi 0 Le tableau 2 1 donne les premi res valeurs de Zmn m n 0 1 2 3 4 5 0 2 40 5 52 8 65 11 79 14 93 3 83 7 02 10 17 13 32 16 47 5 14 8 42 11 62 14 80 17 96 6 38 9 76 13 02 16 22 19 41 7 59 11 06 14 37 17 62 20 83 8 77 12 34 15 70 18 98 22 22 OH ND O O r 1 TAB 2 1 z ros de Jm Les solutions harmoniques sont donc de la forme u x y t Iml2mnr R aexp im0 Bexp im0 exp 237 finnt avec les fr quences propres _ ZmnC Jmn IR et les solutions de l quation des ondes s obtiennent ici encore par superposition de ces solu tions harmoniques Contrairement aux cas des cordes ou des lames ces ondes ne sont pas n cessairement stationnaires Pour m gt 1 il peut y avoir des ondes tournantes de la forme ici dans le sens de l horloge 2 15 u x y t aJm zmnr R exp Qir fmnt im la vitesse angulaire de rotation tant 27 fmn m la valeur de u est constante sur tout point mobile d crivant un cercle de centre 0 0 et d quation 0 27 fmnt M constante Les modes propres stationnaires sont quant eux de la forme u x y t aJm
10. 2ir f ED exp 2ir ft En int grant cette quation par rapport x on obtient k L v z t aa lt exp 2i7 ft g t 2 21 icpo sin kL 62 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS Pour d terminer la valeur de la constante par rapport x d int gration g t on utilise P quation d Euler 1 3 On en d duit que g t 0 et si l on suppose que la vitesse est de moyenne nulle on a g 0 Ainsi en passant dans le domaine physique i e en prenant les parties r elles une pression d entr e de fr quence f po t cos 27 ft correspond une vitesse de l air en sortie de tube v L t sin 27 ft 1 cposin kL qui sera d autant plus grande que sin kL est proche de 0 et th oriquement infinie si sin kL 0 c est dire si k nx L 0 05 T 1 7 7 0 04 F 7 0 03 7 0 02 F J ONO 0 1 1 1 0 200 400 _ 600 800 1000 Fr quence Vitesse en sortie FIG 2 10 vitesse absolue en sortie du tube en fonction de la fr quence Le tube entre en r sonance aux fr quences o apparaissent les pics En r alit il y a un l ger amortissement d une dissipation de l nergie sous forme de chaleur et cette vitesse en sortie ne sera pas infinie mais seulement tr s grande Les fr quences propres associ es ces valeurs de k nc fn h n gt 1 produiront donc un son puissant et seront favoris es au d triment des autres cf fig 2 10 ce sont celles ci qui
11. Sans tenir compte de l inharmonicit cela donne un rapport d octave x devant satisfaire 3 2 27 soit x 2 0039 Le battement produit au niveau de l octave Do 3 Do 4 est alors de 2 2 0039 x 262 1Hz Autrement dit le battement de 1Hz de la quinte 3 2 associ une octave juste a t report sur l octave Pour certaines compositions comme les sonates de Beethoven o les doubles voire triples octaves sont fr quentes cela peut se r v ler d sagr able En ce qui concerne la pratique instrumentale des musiciens qui ajustent eux m mes la hauteur de la note pendant le jeu violons vents le temp rament gal est loin d tre la r gle Si les quintes sont jou es justes les instrumentistes font en g n ral la diff rence entre un Dof et un R b avec une nette tendance raccourcir les demi tons des notes sensibles E Leipp rapporte dans son ouvrage que le Si sensible de la tonique Do est parfois jou moins d un quart de ton du Do sans que cela g ne l auditeur Quant au chant il est parfois difficile par l analyse de d terminer quelle est la hauteur exacte d une note Sur l extrait de la Norma par Maria Callas pr sent sur la figure L 18 o le diapason est 441Hz l analyse sur 1 8s du La 4 th oriquement 882Hz t 7s a donn la figure sur laquelle la hauteur moyenne semble plut t tre autour de 900Hz Mais c est Maria Callas 3 3 1 Petite histoire du La 3 C est au luthier an
12. celle du fondamental 112 34 Ge A O 8 Do Do Sol Do Mi Sol Sib Do R Mi Faf Sol Solfi En criture musicale ce sont quelques cents pr s cf 2 5 1 les notes suivantes FIG 3 1 La suite des treize premiers harmoniques du Do 1 lr sultant de la co ncidence entre l harmonique 3 de la note grave et l harmonique 2 de la note aigu 89 90 CHAPITRE 3 LES GAMMES Si nous ramenons toutes ces notes l int rieur d une m me octave en divisant les fr quences par une puissance de 2 convenable et les ordonnons par fr quence croissante nous obtenons les rapports de fr quence suivants 3 1 Do R Mi Faf Sol Solf Sib Do 1 9 8 5 4 11 8 3 2 13 8 7 4 2 Ces notes ne correspondent aucune gamme classique mais on les entend tres bien par exemple sur une fl te traversi re lorsqu on souffle tr s doucement sans faire r sonner le tube Ce sont essentiellement sur les deux premiers harmoniques distincts de l octave Sol et Mi que porteront les innombrables discussions qui ont eu lieu au cours des si cles sur les intervalles de la gamme 2 3 1 La gamme de Pythagore gt FIG 3 2 gamme diatonique de Pythagore Toutes les quintes et quartes entre notes cons cutives sont justes c est dire dans un rapport 3 2 pour les quintes 4 3 pour les quartes rapport des fr quences aigu grave Au VISE si cle av J C
13. chantillons ont t produits avec MATLAB en calculant les valeurs s t avec tn n F et Fe 10000 Pouvez vous expliquer ce qui se passe en particulier l instant t 1s 2En fait cela vaut uniquement pour la partie paire de s t c est dire sa partie r elle repr sent e sur ce graphique Pour la partie impaire la partie imaginaire le repliement s accompagne d un changement de signe comme ce qui se serait produit si nous avions analys pr c demment le cas d un sinus au lieu de celui d un cosinus 118 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE 5000 F 4000 Fr quence ee o o o D o o o 1000 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 Temps FIG 5 8 son ascendant et ph nom ne de repliement vous montez ou vous descendez 5 1 2 Quantification Devant l impossibilit de stocker les nombres r els sn s nT pouvant avoir un nombre illimit de d cimales et prendre une infinit de valeurs distinctes on a recours la quantifi cation qui consiste convertir coder chaque nombre r el en un mot de longueur finie pris lui m me dans un ensemble fini Le quantum en question est l cart minimal qu il faut entre deux nombres pour tre cod s diff remment Cette conversion s accompagne bien entendu d une perte d informations irr m diable second obstacle la reconstruction parfaite du son d origine Nous d crivons ici le proc d le plus simple de quantification la quantification unif
14. po wv x t z2p x t po izv 2 et en comparant ces deux relations on en d duit l quation des ondes zpi x t c 0 2p1 x t 1 6 On peut alors montrer que la solution g n rale de cette quation est de la forme pi x t glx ct h x ct La fonction g x ct est constante sur les points qui v rifient x ct constante une telle courbe x t est appel e une caract ristique et repr sente une onde progressive se propageant sur l axe des x la vitesse du son c de la gauche vers la droite De m me la fonction h x ct est constante sur les points d abscisse x ct constante et repr sente une onde progressive se propageant la vitesse c de la droite vers la gauche Pour l air la temp rature T exprim e en degr s Kelvin avec 0 C 273K les valeurs approximatives de vitesse du son de densit et de pression atmosph rique en pascals et en bars sont 353 c 20VT po pe po 1 013 10 Pa 1 013 bar 0 C c 330 m s 0 C c 340 m s 16 C g x ct FIG 1 4 trois photographies d une onde plane progressive le long d un axe 1 1 PROPAGATION DES SONS 13 Par exemple les fonctions u x t sin kx 27 ft u_ x t sin kx 27 ft avec k 27 f c sont des solutions de l quation des ondes Elles sont p riodiques en temps et en espace la p riode en espace 27 c k f tant appel e la longueur d onde C est une des formes les plus
15. E S 2 0 p A 0 5 1 10000 8000 en p De si B Di Tie P 6000 f M made rl o PY a P A g Fr quence 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 Temps FIG 1 20 le siffleur des montagnes peut tre moins pictural mais beaucoup plus m lodique L air qui nous est interpr t est tr s proche de Mi Do Mi Faf Sol R 28 CHAPITRE 1 LES SONS 1 3 4 Le bruit Fin de la s quence nature revenons dans nos villes Par quoi sommes nous entour s en permanence par du bruit Le bruit certes moins charmant est associ la notion de son non structur pr sentant un caract re al atoire Par exemple un signal s t o chaque valeur s t est une variable al atoire suivant une loi donn e gaussienne par exemple les variables s t et s t tant ind pendantes deux deux pour tout t t est un bruit qui ressemble un souffle continu ou la friture qui appara t lorsqu un r cepteur radio n est branch sur aucune station FIG 1 21 vous n avez pas entendu un bruit Le bruit blanc par analogie avec la lumi re blanche est un son dans lequel toutes les fr quences audibles sont galement pr sentes Par exemple le son suivant N st gt cos 27 fnt On n 1 fera un bruit blanc tout fait convenable pour N est assez grand quelques centaines les fr quences fn tant choisies de mani re al atoire et uniforme sur l intervalle 20Hz 20 kHz et les phases 0 choisies
16. Vous devez aussi pr ciser dans ce fichier l instrument le nom de la fonction que vous voulez jouer Ceci fait lancez la commande play et jouez Remarque 2 3 Sous le syst me windows il existe une application nomm e Vienna qui permet de cr er des soundfonts banque de sons partir d chantillons ce qui permet ensuite de les jouer soit partir d un clavier virtuel l cran soit partir d un vrai clavier connect l ordinateur par une prise MIDI Pour en savoir plus sur ce sujet voir par exemple le site http perso club internet fr michbuze Musique midi htm De tels outils existent aussi sous le syst me Linux mais posent pour le moment des probl mes d installation en r seau 2 7 2 Modifiez le timbre de votre instrument Maintenant que votre synth tiseur fonctionne vous pouvez vous amuser modifier le timbre de votre instrument en jouant sur les poids des harmoniques ou partiels dans votre fichier instrument m et couter l effet produit via le programme play Par exemple que se passe t il si l on supprime le premier harmonique Si l on modifie la forme de l enveloppe Ou le poids relatif des harmoniques Si l on introduit de l inharmonicit 2 7 3 Son r manent Les notations et les donn es sont celles du sujet d tude Cr ez un fichier de com mandes intitul unisson m dans lequel vous allez programmer les calculs n cessaires On d crit ici le mod le deux cordes Il s
17. a ik pour des raisons physiques 2 6 SUJETS D TUDE 83 la solution croissant exponentiellement est cart e De plus tant stationnaire son intensit sur une p riode T est nulle cf 1 6 4 Par contre si c w gt c alors k est r el l onde est progressive le comportement en z est sinusoidal et le son porte La fr quence f laquelle se produit l galit c w c est appel e fr quence de co ncidence 3 On suppose maintenant que c w gt c et l on s int resse l intensit sonore en un point x y z La vitesse r elle toujours not e v est prendre la partie r elle de 2 27 E v z y z t w cos kx sin wt sz En utilisant l quation d tat Op c po 0 v yV zvz montrez que la pression acoustique pa est Pal y 2 t polksin kzx cos wt kz kcos kr sin wt Kkz D duisez en que l intensit au point x y z a pour valeur cpow cos kx c 1 y 2 c u I Conclusion 2 6 8 R sonance du bourdon Le bourdon de l orgue peut tre consid r de fa on simplifi e comme un tube command en pression l entr e en x 0 la particularit de ce tube tant d tre ferm l autre extr mit en x L avec les notations du cours o la vitesse s annulle donc v L t 0 pour tout t 1 En utilisant la relation d Euler montrez que la pression p x t l int rieur du tube v rifie la condition aux limites his 0
18. agit essentiellement de programmer une boucle pour calculer X 1 MX avec Xn X nT et M exp TA Pour cela il faut initialiser les donn es en particulier Xy et A on pourra utiliser celles mentionn es dans le sujet d tude 2 6 5 mais vous pourrez trouver plus amusant de chercher par vous m me les valeurs des param tres qui produisent le ph nom ne de r manence Initialisation de Xp il s agit l d un vecteur colonne la commande s crit par exemple X 0 0 0 1 90 noter le prime qui a pour effet de transposer ici changer une ligne en une colonne 88 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS Initialisation de A appuyez vous sur l exemple suivant pour initialiser la matrice 1 A 0 2 D RPN OP la commande s crit A 123 011 220 notez le pour passer la ligne suivante Le calcul de M se fait par la commande M expm tauxA o tau est le pas de temps choisi pour repr senter le son Le son lui m me est donn par la position du chevalet troisi me composante du vecteur X L initialisation du vecteur son et la boucle de calcul s crivent si nt est le nombre de pas de temps son zeros i nt son 1 X 3 for n 2 nt X MxX son n X 3 end Enfin pour couter et observer graphiquement le son produit les commandes sont soundsc son 1 tau plot 20 1og10 abs son 1e 3 Chapitre 3 Les gammes Dans l tude des corps vibrants du chapitre 2 nous avons constat que ceux ci
19. c1 augmente avec la force avec laquelle est jou e la note ce qui traduit typiquement un comportement non lin aire de l instrument Une mani re d analyser la r partition des harmoniques d un son consiste observer quelle vitesse les coefficients de Fourier les amplitudes des harmoniques d croissent Un r sultat math matique nonce que si une fonction p riodique admet des d riv es de carr int grable jusqu l ordre m alors ses coefficients de Fourier cn v rifient CO 5 n c 1 lt co n 00 et en particulier d croissent plus rapidement que 1 n le terme g n ral de la s rie tendant an o lim e n 0 nm n 0O vers 0 on a cn 2 5 TIMBRE DES INSTRUMENTS 69 10000 F 8000 F 6000 F Fr quence 4000 f EEE 2000 F Temps FIG 2 14 harmoniques d une fl te traversi re Solf 3 quatre petites cl s Or si l on reprend l exemple de la corde libre frapp e ou pinc e cf 2 4 2 5 2 6 ainsi que 2 6 2 on constate que les coefficients de Fourier sont d termin s par les conditions initiales des conditions initiales peu d rivables pincement par le bec du sautereau du clavecin avec l ongle ou un m diator pour la guitare correspondront des coefficients de Fourier d croissance relativement lente d o un son riche en harmoniques aigus et vice versa Fr quence Temps F1G 2 15 note de clavecin La 2
20. cessite donc une gamme bien temp r e qui ne signifie d ailleurs pas temp rament gal et le syst me de Zarlino avec certaines quintes trop raccourcies est pour cela tout fait inad quat Qu cela ne tienne revenons Pythagore et poursuivons le cycle des quintes amorc jusqu avoir parcouru les douze demi tons de la gamme Notons au passage que la gamme chromatique ainsi obtenue tait d j connue des chinois au 1V si cle av J C qui s en servaient pour transposer les gammes pentatoniques typiques de la musique orientale En partant de Fa le cycle Fa Do Sol R La Mi Si Fat Dof Solf R f Laf Mif va donner comme rapport de fr quence entre la premi re et la derni re note 3 2 129 7463 Par ailleurs on aimerait que ce Mit soit un Fa ne serait ce que pour limiter le nombre des notes dans un clavier Or le Fa le plus proche correspond au rapport 27 128 Tout le probl me est l 129 7463 3 2 4 27 198 ce qui rend impossible d avoir la fois des octaves justes et des quintes justes Le rapport entre ces deux notes 3 2 2 27 1 0136 s appelle le comma pythagoricien Il fallait donc trouver un compromis Celui ci fut trouv par Werckmeister la fin du XVII si cle En posant l quation 12 quintes 7 octaves et en privil giant la justesse des octaves il d cida de r partir le comma exc dentaire entre les 12 quintes en les raccourcissant chacune l g rement Ainsi nais
21. es sauf s il y a des masses de Dirac cet endroit mais ceci est une autre histoire 1 5 FILTRAGE 39 En se rappelant que H f h f la r ponse impulsionnelle h s obtient en utilisant 1 14 w h t f Lexp 2ir ft df SU _B T Ainsi on a h t 2B sinc 2Bt o la fonction sinus cardinal cardinal car s annulant sur les entiers 4 0 est donn e par i t sinc t a T Le filtre passe bande id al de fr quences de coupure fo B gt 0 et fo B fig 1 33 est donn par sa fonction de transfert H f Ce filtre laisse donc passer sans modification les fr quences interm diaires f fol lt B et bloque les autres fr quences 1 si If fol lt B 0 sinon 1 27 H t 0 5 0 4 2 0 2 4 Hz 5 E h t 0 5 3 2 1 0 1 2 3 s FIG 1 33 fonction de transfert et r ponse impulsionnelle du filtre passe bande id al de fr quences de coupure 1 et 3 Le calcul de sa r ponse impulsionnelle donne h t 4B sinc 2Bt cos 2r fot On remarquera que celle ci est une fr quence cos 27 fot dite porteuse en communications radio modul e en amplitude par la r ponse impulsionnelle du filtre passe bas id al Enfin le filtre passe tout au nom trange laisse tout passer Sa fonction de transfert est de module 1 et donc de la forme H f exp i0 f Olf ER Un son pur exp 2ir ft passant dans ce filtre se transforme en exp 2ir ft i0 f il a donc su
22. et vibrant librement est fourni par la bo te musique La lame tant suppos e encastr e en x 0 la fonction y x 2 8 s annule en 0 ainsi que sa d riv e Au point L o la lame est libre nous admettrons que ce sont les d riv es seconde et troisi me qui s annulent Il est plus commode ici d crire y x sous la forme quivalente mais avec des constantes diff rentes x ach Kx Bsh Kx ycos Kx sin Kx Les deux conditions au point x 0 donnent a 7 0 P 0 0 d o p x alch Kx cos Kx B sh Kx sin Kx Les deux conditions au point x L s crivent l a ch KL cos KL B sh K L sin KL 0 a sh KL sin K L B ch KL cos KL 0 Ce syst me admet des solutions non nulles si et seulement si son d terminant est nul ch KL cos K LD sh KL sin K L 0 qui apr s simplification donne 1 KL 0 KL cos K L 56 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS Notons A les solutions positives rang es par ordre croissant de l quation transcendante 200 cos Ay 0 2 12 Les solutions de 2 7 sont donc obtenues pour Kn An L et fn ge K 2r soit _ 12 9CL fn An 211 2 13 et on peut v rifier qu ici encore les modes propres sont stationnaires Les quatre premiers sont repr sent s sur la figure FIG 2 6 quatre premiers modes propres amplifi s d une tige encastr e Contrairement au cas pr c dent lame p
23. ne acoustique e Commande en pression dans ce cas la source des vibrations de l air consiste en une pression po t impos e l entr e ici gauche du tube p 0 t po t pour tout t Ce mod le correspond approximativement aux vents d pourvus d anche comme par exemple la fl te ou les tuyaux bouche de l orgue qui fonctionnent sur le principe de la fl te e Commande en vitesse dans ce cas c est la vitesse de Pair vo t qui est impos e l entr e du tube v 0 t vo t pour tout t Ce mod le correspond approximativement aux instruments anche comme par exemple la clarinette ou les tuyaux anche de l orgue 4Cette hypoth se est valable si l on suppose que la paroi du tube est parfaitement rigide et tanche Dans ce cas la vitesse perpendiculaire la paroi est nulle sur la paroi et l on d duit de l quation d Euler que la d riv e normale de la pression est nulle sur la paroi Vp n 0 n tant un vecteur unitaire perpendiculaire normal la paroi Ceci rend possible le fait qu t fix la pression soit constante en tout point d une section droite du tube autrement dit soit une onde plane il en existe cependant d autres types 60 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS Comme nous allons le voir le type d excitation ou commande a dans le cas d un tube cy lindrique une influence majeure sur le timbre pr sence ou absence des harmoniques de rang impair mais galement
24. nuant d autres mais sans jamais faire changer la fr quence d un harmonique donn Par exemple la courbe de la figure 2 10 0 est rien d autre que la fonction de transfert d un instrument vent On pourrait dire que l art du facteur d instrument consiste en grande partie ajuster la fonction de transfert au go t des musiciens Parfois celle ci peut tre modifi e par le musicien lui m me comme c est le cas pour le pavillon de la trompette qu il bouche avec la main ou une sourdine Ainsi comme nous l avions constat sur l exemple de la figure 2 10 ce sont les fr quences propres du r sonateur qui seront amplifi es Parfois cela a des effets ind sirables comme ce qui se passe sur des instruments qui ont un mode propre trop prononc Par exemple la premi re r sonance du violon qui est une r sonance de la cavit se situe peu pr s au niveau du Dof et est suivie juste au dessus par un trou dans la r ponse 4 au niveau du R Ainsi en notant f la fr quence du Dof f celle du R et H f la fonction de transfert du r sonateur on a dans ce cas H f2 lt H f En supposant que le signal e t fourni par le chevalet soit sinusoidal de fr quence f le son produit par le violon sera H fje t cf L 5 Si Pon joue les deux notes cons cutivement le Dof sonnera alors bien plus fort que le R ce qui obligera le violoniste compenser avec l archet cette diff rence d intensit et lui fera trouve
25. riode T 3 par quel facteur devrait on multiplier l amplitude de ce violon pour obtenir une augmen tation de l intensit de 104B De 20dB r ponse par V10 3 16 par 10 4 Les 10 violons jouent maintenant tous ensemble Au point x la pression acoustique totale et la vitesse associ e sont donc 10 10 Palz t S pi x t v x t S ua i 1 i 1 Montrez que l intensit totale Jio au point x vaut 1 T 10 2 Lo cpoT da s t e dt En utilisant l in galit de Cauchy Schwarz 1 2 E g t h t dt lt on Fa E rat d duisez en que l on a 0 lt o lt 10011 et que les niveaux en d cibel associ s v rifient Lho lt Li 20dB 5 A quelle s situation s correspond le cas Lze Lr 10dB mentionn dans le cours 1 6 4 Intensit d une onde stationnaire Soit une onde de pression stationnaire de la forme Palx t asin k x xo cos 27 f t to En utilisant l quation d Euler pour d terminer la vitesse v montrez que l intensit sur une p riode T 1 f est nulle Interpr tation une onde stationnaire ne transporte pas d nergie celle ci ne fait qu osciller sur place 1 6 5 Son d une sir ne La sir ne fut invent e par l ing nieur francais Cagniard de La Tour 1777 1859 Pour un son de la forme s t sin 2r F t on appelle fr quence instantan e la fonction f t F t D terminez l expression s t d une sir ne dont la fr quence instantan e varie de mani re sinus
26. simple d un son de violon 22 CHAPITRE 1 LES SONS SL 27 PSS DR D Ur FIG 1 14 ajout des harmoniques 1 2 3 4 mod le simplifi d un son de violon La figure est obtenue de la m me mani re mais avec les harmoniques de rang impair n 1 3 5 7 Ici on s approche d un signal rectangulaire qui est le mod le le plus simple d un son de clarinette AT AT O E E el ES ld del de F1G 1 15 ajout des harmoniques 1 3 5 7 mod le simplifi d un son de clarinette Typiquement les instruments son entretenu comme le violon l orgue ou l accord on produisent un son p riodique au moins sur une p riode de temps significative L analyse de tels sons peut se faire avec l outil math matique suivant S ries de Fourier Le math maticien Joseph Fourier 1768 1830 est l origine de l analyse des sons p riodiques et de leur d composition en s ries trigonom triques qui portent son nom les s ries de Fourier Cette th orie a t labor e alors qu il tudiait la propagation de la chaleur dans un solide Si s t est un son T p riodique int grable sur l intervalle 0 T les coefficients de Fourier Cn n E Z sont d finis par E Gn 7 s t exp 2irnt T dt 1 13 Ceci constitue l analyse de Fourier On montre alors que sous certaines conditions suppl mentaires 1 3 QUELQUES TYPES DE SONS 23 la s rie ci dessous appel e s rie de Fourier converge vers s t 00 s t
27. 1 Echantillonnage On consid re un son s t o la fonction s est continue et born e sur R Une p riode d chantillonnage 7 gt 0 ayant t choisie le son chantillonn consiste en la suite des valeurs ou chantillons Sn s nT n 1 0 1 2 La figure repr sente un son de dur e 0 01s chantillonn 2000 Hz la quantification pr s cf 5 1 2 les valeurs s sont celles qui seront stock es sur un CD audio Une description plus labor e du son chantillonn abondamment utilis e en th orie du signal consiste le repr senter sous la forme d une infinit d impulsions de Dirac chacune tant localis e au point tn et ayant pour masse la quantit Tsn le facteur T ne servant que de mise l chelle voir quation 5 1 Nous avons d j rencontr l impulsion de Dirac au Un bit digit en anglais vaut 0 ou 1 Un octet byte en anglais est compos de 8 bits 5 1 ECHANTILLONNAGE 111 L L L L J 0 0 002 0 004 0 006 0 008 0 01 0 5F presos tota ras 1 L L L L J 0 0 002 0 004 0 006 0 008 0 01 0 5F FIG 5 2 son initial s t en haut et son chantillonn se t en bas point 0 1 22 De mani re g n rale l impulsion de Dirac au point a et de masse u C not e La v rifie la relation J oie 00 pour toute fonction p continue et nulle en dehors d un intervalle born Pour mieux se figurer ce qu est cette impulsion on peut consid rer la su
28. 18 table d harmonie 47 70 tambour 57 temp rament 17 52 gal 18 92 temps fr quence analyse 31 repr sentation 29 t tracorde 95 TFD 31 tierce 70 90 majeure 19 21 93 mineure 19 23 timbale 57 timbre 66 72 ton 18 90 91 104 tonalit 92 tonie 103 104 tonique 18 91 transform e en z 126 transitoire d attaque 72 trompette 71 74 tube 71 conique 60 84 cylindrique 59 84 tuyau anche 59 bouche 59 tympan 103 valeur propre 58 variable continue 109 discr te 110 ventre 13 67 vibraphone 53 155 vibration entretenue 22 47 59 libre 47 vibrato 24 144 violon 21 68 69 71 vitesse d un battement 51 de l air 10 de propagation 12 49 53 55 du son 12 voix 24 133 137 144 c leste 133 Werckmeister 92 winzip 125 Wurlizer 145 xylophone 53 Yamaha DX7 137 Young module de 48 53 82 Zarlino 52 Zwicker 106 156 INDEX Bibliographie A N e al 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 S CORDIER Piano bien temp r et justesse orchestrale Buchet Castel 1982 P BAILHACHE Une histoire de l acoustique musicale CNRS Editions 2001 L FICHET Les th ories scientifiques de la musique Librairie J Vrin 1996 N H FLETCHER ET T D RossinG The physics of musical instruments Springer Verlag 1991 S JARGY La musique arabe collection Que sais je PUF 1971 J JOUHANEAU Notions l men
29. 2 Reprenez alors V tude de la r sonance du tube command en pression du 42 4 1 avec maintenant dpp x t e 2p z t 0 dans le tube p 0 t polt l entr e Orp L t 0 l autre extr mit et montrez que les fr quences propres sont les m mes que pour le tube ouvert command en vitesse n 1 2 c fn 9L gt n gt 1 84 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS 2 6 9 R sonance d un tube cylindrique avec commande mixte Nous tudions le cas d une onde plane harmonique p x t y x exp 2i7 ft dans un tube cylindrique de longueur L engendr e par une commande mixte c est dire que les conditions aux limites s crivent pour a et b r els c est un choix particulier il y en a d autres ap 0 t b0 p 0 t exp 2irft l entr e p L t 0 la sortie 1 On rappelle que y x est de la forme px aexplikx Bexp ikx o k 27 f c Montrez que les conditions aux limites ci dessus imposent a a ikb b a ikb 1 a exp ikL Bexp ikL 0 et d duisez en que B exp ikL zexp ikL Zexp ikL exp ikL zexp ikL zexp ikL o z a kb 2 En crivant z sous la forme z rexp 0 montrez que les fr quences de r sonance c est dire les valeurs de f pour lesquelles a et 3 ne sont pas d finis sont les nombres nr Oc 271 fas nEzZ Que retrouve t on pour les cas particuliers a b 1 0 et a b 0 1
30. 2 6 10 R sonance d un tube conique 1 Une diff rence majeure entre la clarinette d une part le saxophone le hautbois et le basson d autre part est que dans le premier cas la perce est cylindrique alors que dans le second elle est conique L r side en grande partie la diff rence de timbre entre ces instruments qui sont par ailleurs tous les trois anche simple ou double et donc fonctionnant en premi re approximation sous un r gime de commande en vitesse Alors que les harmoniques pairs sont quasiment absents d un son de clarinette nous allons voir que ce n est plus du tout le cas du hautbois et du saxophone On consid re un tube conique tronqu dont le prolongement aurait son sommet lori gine d limit par les extr mit s r a et r b avec 0 lt a lt b la longueur du tube tant L b a on utilise les coordonn es sph riques avec r y 13 23 En r gime harmonique la pression acoustique l int rieur du tube est de la forme pot a PUR Ann exp 2ir ft 2 6 SUJETS D TUDE 85 1 On note n le vecteur unitaire sortant normal la surface d limitant l entr e du tube r a Sachant que l quation d Euler pour une onde de pression acoustique s crit Vp r t podu r t montrez que la commande en vitesse v r t n exp 2ir ft impos e l entr e r a devient d p a t 2irpof exp 2ir ft 2 La pression tant suppos e nulle la sortie du tube montrez
31. 2nr n E Z Une propri t importante de l quation des ondes est d tre lin aire et homog ne Ceci entra ne que si p1 x t cos k x 27 fit et po x t cos kax 27 fat sont solutions de cette quation ce qui est le cas pour k 27 fi c i 1 2 alors a1p1 x t a9pa x t sera aussi solution de l quation des ondes En un point donn x le son per u sera alors de la forme s t a cos 27 fit 01 az cos 27 fot 07 Ce son plus complexe est la superposition Pour une fonction r elle la fr quence est toujours suppos e positive ou nulle En criture complexe sachant que cos 27 ft exp 2rift exp 2rift 2 on est oblig de consid rer galement le cas des fr quences n gatives ici f 1 3 QUELQUES TYPES DE SONS 21 des deux fr quences 1 et 2 En continuant ce proc d on constate qu une onde acoustique q peut produire en un point de l espace un signal sonore de la forme s t Son cos 27 fnt On 1 11 n gt 1 Si la somme comporte un nombre infini de termes certaines conditions sont imposer sur les a et les fn pour que la somme converge Le spectre d un tel son c est dire l ensemble des fr quences fn pr sentes est dit spectre discret On consid re qu une excellente oreille peut percevoir les fr quences situ es entre 20Hz et 20 kHz et que les sons deviennent inaudibles en dehors infra sons ou ultra sons 1 3 1 Sons p riodiques Un cas int ressant
32. A A M AJ M A AN N Vw VV V F MANN Ed Ar A A AE A pe Auf CL IMA AA A PARA PANA i a e M M MAMAMA MM MMM o NAF J PA M PALA N bo LIMA WP WN WU WU LJ MM I a PA A M M MA t upufuu u Y WWW W AAA AJ UN AJ w AJ pu UMA PA Mu VANA PANA Dota LM NA UN ad S A N W e dy o 0 1 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 A n o FIG 6 2 quelques exemples de sons produits par la technique de Chowning Ils sont de la forme sin 27 fot Bsin 2r fit f1 avec fo 10 8 20 et de haut en bas fi 10 15 20 25 30 35 0 PAVO NAVA VA VA VIVA VAYA AY AI Y HUUU UUU AAAA AUUUUUUUUUL 0 1 o i 1 o FIG 6 3 modification de la richesse harmonique du son en fonction de 6 toujours avec fo 10 A gauche f 10 droite f 20 et de haut en bas 8 0 10 20 30 40 La ligne 3 se retrouve dans les lignes 1 et 3 de la figure pr c dente Le param tre 8 permet quant lui de modifier le spectre en fonction de l intensit pour B 0 on a un son pur qui s enrichit ensuite en harmoniques aigus au fur et mesure que l on augmente 8 comme ce qui se passe avec la majorit des instruments musique cf fig 6 3 6 2 EFFETS TEMPORELS CHO ET R VERB RATION 137 Aussi lorsque les claviers num riques furent capables de r agir l attaque de la touche on put faire varier le timbre en faisant cro tre 8 en m me temps que l attaque Cett
33. Concevez un protocole d exp rimentation et tracez les courbes de masquage fr quentiel correspondant votre propre audition pour les fr quences masquantes suivantes 200Hz 1000Hz et 3000Hz 4 3 3 Son ascendant perp tuel En vous inspirant de l exemple de la gamme ascendante de Shepard construisez un son qui semble monter en glissando ind finiment tout en repassant p riodiquement par les m mes valeurs 4 4 Travaux pratiques sur ordinateur 4 4 1 Masquage fr quentiel crivez un programme qui superpose un son pur de 1000Hz le son masquant et un son pur de fr quence 1010Hz le son masqu celui ci tant successivement d un niveau sonore relatif de 40dB 35dB 30dB 25dB 20dB 15dB par rapport au premier partir de quel niveau discernez vous le second son M me questions pour un son masqu de fr quence 1100Hz et d un niveau sonore relatif de 40dB 35dB 30dB 25dB 20dB 15dB 1500Hz et d un niveau sonore relatif de 40dB 35dB 30dB 25dB 20dB 15dB 2500Hz et d un niveau sonore relatif de 50dB 45dB 40dB 35dB 30dB 25dB 4 4 2 Gamme ascendante perp tuelle Utilisez les formules du cours pour programmer la gamme en tons perp tuelle Pour cela cr ez une fonction du m me format que la fonction instrument d j cr e appel e par exemple notegp et produisant un son s dont la r partition harmonique suit le mod le du cours Pour cr er une suite de N 1 notes juxtapos es de
34. On crit f sous la forme f x p x a q x o p et q sont aussi 2L p riodiques p tant paire p x p x et q impaire q x q x On a ainsi u x t plx ct plc ct q x ct q x ct Les conditions initiales sont donn es par u x 0 uo x d u x 0 volz Montrez que l on a 1 1 qe 5wa pla 3 Vola A o V x vo x et A est une constante 4 Ces galit s ont lieu pour tout x si l on suppose que wo et Vo sont prolong es respectivement en des fonctions impaire et paire 2L p riodiques D duisez en que ulz t uo r ct uo o ct gt maero al et que cette fonction est T p riodique en temps avec T 2L c 2 6 2 Corde pinc e Pour une corde pinc e guitare clavecin les conditions initiales sont typiquement une vitesse nulle et une position wo x affine par morceaux faisant un angle l endroit o la corde est pinc e 1 En utilisant le sujet d tudel2 6 1 repr sentez graphiquement la position u x t de la corde quelques instants cons cutifs pris l int rieur d une m me p riode 2 En utilisant l analyse de Fourier que peut on dire propos de l harmonique de rang n si la corde est pinc e exactement au point d abscisse L n 2 6 SUJETS D TUDE 77 2 6 3 Corde frott e par un archet En 1877 tudiant le mouvement d une corde frott e par un archet Helmholtz observa que celle ci se d formait d une fa on tr s p
35. Pythagore privil giait la simplicit arithm tique des rapports de longueurs Mis par le rapport d octave 2 le rapport de quinte 3 2 est le plus simple qui apparaisse dans le tableau 3 1 Aussi Pythagore mit en avant la quinte pour construire par reproduction r p t e de cet intervalle la gamme diatonique qui porte son nom C est le cycle bien connu des quintes Fa Do Sol R La Mi Si qui donne les rapports de fr quence sulvants Do R Mi Fa Sol La Si Do 1 9 8 81 64 4 3 3 2 27 16 243 128 2 Cette gamme est arithm tiquement tr s l gante au sens qu elle ne donne que deux types d intervalle entre notes cons cutives le ton de rapport 9 8 et le demi ton de rapport 256 243 Cependant mise part la quinte et bien s r l octave elle ne co ncide pas avec les harmoniques Par exemple la tierce de rapport 81 64 1 2656 est plus grande que celle de l harmonique correspondant du tableau 3 1 qui vaut 5 4 1 25 La diff rence peu sensible l int rieur d une m lodie le deviendra par contre en harmonie c est dire dans un accord cause du ph nom ne des battements cf 2 1 1 pour un Do de fr quence 262Hz la tierce harmonique Do Mi ne produira aucun battement alors que la tierce pythagoricienne Do Mi produira un battement de 5x1 4x81 64 x262Hz 16Hz parfaitement audibld Pour nos oreilles habitu es au temp rament gal que nous verrons plus loin la t
36. analogique passe bas adapt Ce qui explique pourquoi la fr quence g n ralement utilis e en qualit audio est choisie sup rieure 40kHz 5 1 ECHANTILLONNAGE 115 Impossibilit th orique Tout cela est fort int ressant mais il y a un hic part la fonction nulle il n existe pas de fonction support compact nulle en dehors d un intervalle born et dont la transform e de Fourier soit galement support compact cf 1 4 2 Ah bon Et alors Alors dans le th or me de Shannon on a suppos que s f tait nulle en dehors de B B Donc s t ne peut tre nulle en dehors d un intervalle born Tout le probl me est l le th or me ne s applique qu des signaux ayant une dur e de vie infinie ce qui n est jamais le cas en mu sique tout son enregistr a un d but et une fin Et par cons quent contient n cessairement des fr quences arbitrairement lev es Cela nous am ne la question suivante Que se passe t il si le critere de Nyquist n est pas satisfaite P Voyons cela sur un exemple Pour une qualit audio interm diaire prenons comme fr quence d chantillonnage Fe 30kHz et chantillonnons le son pur s t 2cos 27 ft exp 2ir ft exp 2ir ft de fr quence f 27kHz absolument inaudible Son pur f 27kHz son repli f 3kHz X f kF k 0 1 xo q n X l l q 60 45 30 15 15 30 4
37. congr s de Vienne de 1885 Cela ne l emp cha pas de continuer sa fuite en avant et l on retrouve plus tard sa trace dans une conf rence internationale r unie Londres en 1953 qui le porte 440Hz Entre temps l Acad mie Fran aise avait solennellement mais en vain essay de le faire revenir son ancienne valeur 435Hz Aujourd hui il se prom ne en libert surveill e entre 440 et 444Hz selon les orchestres Mais les adeptes de la musique baroque pr f rent jouer sagement au La 415 c est plus prudent pour les instruments cordes anciens 3 3 2 D signation des notes Guy d Arezzo cherchait au d but du XI si cle un syst me de codification des inter valles C est lui que l on doit les noms des notes attribu s dans les pays latin Ut Do R Mi Fa Sol La le Si ou Sib n appara tra vraiment que plus tard et il est galement l origine de la port e Il proposa comme proc d mn motechnique un hymne saint Jean Baptiste attribu Paul Diacre vers 770 dans lequel les six premi res notes de la gamme diatonique d butent chaque vers UT queant laxis 3 4 AUTRES EXEMPLES DE GAMMES 95 REsonare fibris Mlra gestorum FAmuli tuorum SOLve polluti LAbii reatum Sancte Ioannes On peut douter aujourd hui de l efficacit mn motechnique du proc d Auparavant on uti lisait des lettres pour les notes usage conserv dans les pays anglo saxons et allemands notation l
38. constant qui donnent les m mes chantillons que l on appelle crit re de Nyquist ou condition de Shannon Pour le raisonnement qui suit il est plus commode de passer dans le domaine complexe Rappelons que dans ce cas on doit aussi envisager le cas de fr quences n gatives et le crit re ci dessus devient Fe gt 2 F 5 3 On se pose donc la question suivante si deux signaux harmoniques s1 t c1exp 2ir fit sa t caexp 2ir fat produisent les m mes chantillons sont ils gaux De s 0 sa2 0 on d duit d abord que C1 Ca et on pose amp Si c 0 alors s1 t s2 t 0 pour tout t et les deux signaux sont gaux On suppose maintenant que c 0 L galit des deux signaux t 7 donne cexp 2ir f r cexp 2ir for d o exp 2ir f1 f2 r 1 et fi f r kFe kEZ 5 4 Or si l on suppose que les deux fr quences f et f2 satisfont le crit re de Nyquist 5 3 on a Fe F RF z Ifi fal lt fil f2l lt Ta Fe avec k entier ce qui impose k 0 et donc f f2 Par contre si l on n impose pas le crit re de Nyquist k peut tre choisi non nul et dans ce cas f f2 De plus si l on observe les chantillons suivants on constate que S1 tn cexp 2ir fint c exp 2ir f1Tr c exp 2ir f2Tr cexp 2ir font s2 tn ce qui fait qu on a effectivement les m mes chantillons pour des signaux diff rents Ainsi le crit re de Nyquist est n cessaire et suf
39. dans une gamme 18 d lai 137 demi ton 18 90 92 densit 10 53 Diacre 94 diapason 17 93 dictionnaire 125 Dirac impulsion de 37 111 120 139 masse de 110 dispersion 55 distribution 37 111 dominante 18 Doppler 145 doublette 70 dynamique rel fond 11 48 78 151 chantillon 110 chantillonnage 109 fr quence d 109 p riode d 109 chelons d intensit 101 cho multiple 138 simple 137 effet Doppler 145 Leslie 145 sonore 133 wah wah 142 l ments finis 58 enharmoniques 18 enveloppe 72 quation d tat 11 12 d Euler 11 de Bessel 58 de continuit 10 de Helmholtz 14 49 61 64 des ondes 12 homog ne 14 excursion fr quentielle 136 144 exitateur 47 facteurs d orgue 70 133 de piano 68 fen tre elissante 32 121 ovale 103 106 Fender 53 filtrage 37 104 continu 128 discret 128 num rique 125 filtre 35 71 r ponse inpulsionnelle finie 126 r ponse inpulsionnelle infinie 126 coupe bande 143 passe bande 35 129 141 id al 39 passe bas 35 129 152 id al 38 114 passe haut 35 129 passe tout 39 129 fl te 59 68 d accord 93 Fletcher 99 100 FM 135 fonction support compact 33 variables s par es 14 de Bessel 58 147 de transfert 35 128 141 fondamental 21 49 60 104 formants 34 134 137 141 Fourier analyse 24 analyse de 22 coefficients 22 68 s rie 23 60 synth se 23 24 t
40. de la figure montre le traitement qui en r sulte pour un codage sur 3 bits On note au passage que la repr sentation des premiers chantillons n est pas tr s satisfaisante Dans le cas pr sent une quantification non uniforme avec des intervalles plus petits pr s de 0 aurait probablement donn un meilleur r sultat Le tableau B 1 donne pour les premiers chantillons les valeurs de bn et rn associ es Sn 0 000 0 386 0 131 0 255 0 224 0 241 0 373 Tn 0 125 0 375 0 125 0 375 0 125 0 125 0 375 bn 100 101 100 101 100 100 010 TAB 5 1 r sultat de la quantification approximation num rique et codage Erreur due la quantification Pour chaque chantillon l erreur ou bruit de quantification En Sn Tn v rifie par construction h A A MERE 2 L 2 Le rapport signal sur bruit Rsp est la mesure en dB du rapport entre l intensit sonore cf 1 1 4 du signal I et celle du bruit Jp soit en prenant pour I sa valeur maximale I A et p 101 s gt 101 A 20 blog 2 6bdB Ha 101087 08 TAJ 0g2 En particulier l ajout d un bit augmente le rapport signal sur bruit de 6dB Pour une qualit dite t l phonique on utilise une quantification sur b 12 bits qui donne un Rs de 72dB En qualit audio avec 16 bits de quantification le Rs passe 96dB ce qui rend le bruit de quantification quasiment imperceptible cf chapitre f4 On obtient la m me estimation mais de mani re plus rigou
41. de la m me mani re sur l intervalle 0 27 Dans le bruit rose c est log fn qui est choisi al atoirement et uniform ment sur log 20 log 20000 de sorte que la puissance l intensit est la m me l int rieur de toute octave Le bruit blanc est par exemple utilis par les ing nieurs du son pour rep rer avant le concert les fr quences de r sonance de la salle ces fr quences seront moins att nu es que les autres dans la r ponse de la salle au bruit blanc Ceci signifie qu au cours du concert ces fr quences seront amplifi es par rapport aux autres S il s agit d un concert sonoris l ing nieur du son pourra alors compenser cet effet ind sirable en utilisant l qualiseur de sa table de mixage il lui suffira d att nuer avec des filtres cf 1 5 ad quats ces fr quences de r sonance En filtrant un bruit blanc avec des filtres passe bande qui ne laissent passer que les fr quences situ es dans un intervalle donn on peut obtenir toute une gamme de bruits et les utiliser pour des effets sonores par exemple pour imiter le souffle produit par un instrument vent 1 4 REPR SENTATION DU SON 29 1 4 Repr sentation du son Lors de l tude des quelques types de sons des paragraphes pr c dents nous avons t confront s au probl me de la repr sentation du son sous forme temporelle ou fr quentielle Chacune a ses avantages et ses inconv nients mais si l on suit l intuition musicale on sent l
42. de masquage sont tudi s de mani re exhaustive dans masquage temporel o un son intense masque un son plus faible qui le suit ou m me qui le pr c de masquage d un son pur par un bruit blanc masquage entre bruits de largeur de bande variable etc L int r t d un bon mod le des ph nom nes de masquage est de pouvoir en d duire des algorithmes de compression des sons bas s sur le principe simple suivant il est inutile de conserver ce que l auditeur ne percevra pas Par cons quent on peut faire passer la trappe tous les sons masqu s et gagner ainsi sur le volume des donn es repr sentant le son Ceci permet en particulier d augmenter le d bit dans les transmissions par c ble ou satellite Les techniques de compression seront tudi es au chapitre 5 Nous tudions ici le cas simple mais int ressant du masquage d un son pur par un autre son pur de fr quence et d intensit diff rentes les deux sons tant mis simultan ment La proc dure typique pour mesurer exp rimentalement l effet de masquage est la suivante l intensit du son masquant tant maintenue fixe et partant d une intensit nulle pour le son masqu il est demand au sujet de tourner graduellement un bouton agissant sur son 106 CHAPITRE 4 PSYCHOACOUSTIQUE 8000 F 6000 F Fr quence S o o o 2000 Temps FIG 4 5 un ternel recommencement intensit jusqu ce qu il devienne audible En faisant un gra
43. de propagation du son not e c En l absence de vent ce que nous supposons ici cette vitesse v oscille autour de 0 et p et p oscillent autour de leurs valeurs moyennes po et po Dans la tranche d air de section S comprise entre a et b cf fig L 2 contenant la masse d air m t on gale le flux de masse qui rentre dans cette tranche et la variation la d riv e de cette masse P t m t avec b m t sf p x t dz D t S p a t u a t p b t v b t ce qui donne en notant 0 la d riv e partielle par rapport au temps E E E E E od a En divisant par b a et en faisant tendre b a vers 0 on obtient apr s simplification par S dr p x t u x t p x t 1 1 L hypoth se de l acoustique lin aire consiste supposer que les variations par rapport l tat d quilibre sont faibles d o le param tre suppos petit vola evi x t p z t po epilz t En substituant ces expressions dans 1 1 et en n gligeant les termes en e on obtient alors l quation de la conservation de la masse appel e aussi quation de continuit 0pi x t podyui x t 0 1 2 1 1 PROPAGATION DES SONS 11 Equation fondamentale de la dynamique p x 0 0 p x 0 D x D x FIG 1 3 tranche d air en pleine migration Son acc l ration est la r sultante des forces de pression Pour la tranche d air comprise entre les abscisses z u1 t et 12
44. dent s applique galement dans ce cas il s effectue par rapport chacun des axes verticaux d abscisses F 2 20kHz et F 2 20kHz Les deux repliements sont repr sent s en pointill s sur le graphique de gauchd figure 5 7 Le r sultat du repliement vient se superposer au son initial qu il perturbe donc l g rement Ce ce qui sera effectivement entendu apr s le passage dans le CNA c est l addition du son d origine avec le repliement repr sent en pointill s sur le graphique de droite de figure Dans la partie hautes fr quences de l intervalle 20kHz 20kHz le son r sultant est l g rement enrichi par les contributions des fr quences du son original qui taient sup rieures 20kHz Cette perturbation sera d autant moins perceptible que les valeurs de f seront faibles en dehors de l intervalle 20kHz 20kHz FIG 5 7 gauche s f et les deux repliements A droite en trait plein 5 f en pointill Paddition des trois spectres restreinte l intervalle 20kHz 20kHz C est le son qui sortira du CNA avec la partie hautes fr quences l g rement alt r e Pour terminer voici sur la figure 5 8 le spectrogramme du son ascendant s t cos 27 1000t 2000 dont la fr quence instantan e qui augmente progressivement avec le temps est donn e par la formule d Finst t zz 20008 20001 1000 4000 5 5 Il s agit l d un son synth tique et les
45. dessus La notation b signifie ici note baiss e d un quart de ton Do R Mibt Fa Sol La Sib Do R Mi Faf Sol La Sib Do R R Mib Fa Sob La Sib Do R ou R 96 CHAPITRE 3 LES GAMMES 3 5 sujets d tude 3 5 1 Fr quences de quelques gammes Compl tez le tableau 3 1 Le Fa le plus grave est Fa 2 Dans tous les cas on prendra comme fr quence de r f rence un Do 3 261 6Hz et on supposera que les octaves sont accord es sans battement Les fr quences seront donn es avec une d cimale de pr cision La gamme bien temp r e est celle d crite dans le cours pour jouer Bach Celle avec inharmonicit sera calcul e en utilisant la formule du sujet d tude et en consid rant que B a la m me valeur pour toutes les notes B 0 4 1200 ce qui correspond au cas d un petit piano droit Gamme de Fa Faf Sol Sol La Sib Si Do Dof R Pythagore Zarlino bien temp r e temp rament gal avec inharmonicit Gamme de R f Mi Fa Faf Sol Solf La Sib Si Do Pythagore Zarlino bien temp r e temp rament gal avec inharmonicit TAB 3 1 fr quences pour diff rentes gammes 3 5 2 Battements des quintes et tierces majeures Utilisez les r sultats du sujet d tude pour compl ter les tableaux 3 2 et Gamme de Fa Do Faf Dof Sol R Solf R f La Mi Sib Fa Pythagore Zarlino bien temp r e temp rament gal avec in
46. deux signaux sont compos s exactement des m mes fr quences Ce sont les phases des harmoniques qui les distinguent son p riodique de hauteur f Rappelons qu une telle somme peut s crire indiff remment avec des sinus ou des cosinus d s lors que l on fait appara tre les phases Les phases peuvent d ailleurs avoir une incidence notoire sur l allure du son La figure reproduit respectivement les deux sons 10 1 s1 t gt ni sin 2n 1 nt Ll sa t y TE cos 2n 1 rt n 1 Graphiquement la diff rence semble importante et pourtant ce sont exactement les m mes fr quences qui sont pr sentes Cependant l audition de ces deux signaux ne r v le que peu de diff rences l oreille semble assez peu sensible la phase Dans le cas de la clarinette on peut observer l une ou l autre de ces deux formes parmi d autres interm diaires selon la hauteur et l intensit de la note jou e 4 2 5 Timbre des instruments D finir ce qu est le timbre d un instrument n est pas une chose simple et la litt rature sur le sujet est aussi abondante que diversifi e Nous nous contentons pour le moment de d crire et d illustrer par quelques exemples deux caract ristiques permettant de distinguer entre eux de mani re certes incompl te les divers instruments e la nature du spectre du son qui d pend d une part de l excitateur corde anche lame membrane et d autre part du r sonateur table d
47. ebioa 00 1 22 pour toute fonction continue et nulle en dehors d un intervalle born voir aussi 815 1 On montre alors que v dans 1 20 est le produit de convolution de h par s 00 v t h x s t f h t u s u du 1 23 00 1 5 2 Cas du spectre continu Venons en maintenant au filtrage de sons spectre continu c est dire rappelons le de la forme 00 s t f S f exp 2ir ft df 00 o est la transform e de Fourier de s cf quation 1 15 Le module f donne lam plitude de la composante fr quentielle exp 2ir ft et argument de S f donne la phase l origine de cette composante Comme pour les cas tudi s pr c demment le filtrage de s par un filtre dont la fonction de transfert est H f donnera un signal v t qui aura pour transform e de Fourier H f S f Us HPS 1 24 La fonction H f est la transform e de Fourier d une fonction h t toujours appel e r ponse impulsionnelle et l on a encore le produit de convolution v hx s 1 25 La th orie math matique sous jacente a t d velopp e au XIX si cle et au d but du XXme si cle en particulier par Laurent Schwartz 1915 2002 l inventeur des distribu tions Application le son que re oit l auditeur dans une salle de concert peut tre vu comme le r sultat du filtrage du son provenant de l orchestre par le filtre que constitue la salle elle m me dont on peut avoir une id e de la r
48. et non leur diff rence qui d termine notre perception de la distance entre ces deux notes Nous retrouvons ici la loi de Fechner rencontr e propos de l intensit la sensation de hauteur varie comme le logarithme de la fr quence cette loi est en fait prise en d faut dans l extr me grave et l extr me aigu nous y reviendrons au chapitre 4 Par exemple les deux intervalles musicaux 110 Hz 220 Hz et 220 Hz 440 Hz sont per us comme tant gaux car les rapports des fr quences sont gaux 220 110 440 220 alors qu au sens math matique du terme le second intervalle est deux fois plus grand que le premier 440 220 2 x 220 110 L intervalle entre deux telles notes est appel octave 1 2 2 Num rotation des notes Les sons produits par deux notes l octave l une de l autre sont tr s ressemblants nous verrons pourquoi au 2 1 1 tel point qu ils sont d sign s par la m me note Ainsi la note de fr quence 880 Hz l octave du La du diapason produira aussi un La mais plus aigu Pour les distinguer entre elles nous adopterons la convention suivante le La 440 Hz sera not La 3 le suivant 880 Hz sera not La 4 suivi du La 5 a 1760 Hz etc De m me on trouve en descendant le La 2 220 Hz le La 1 110 Hz etc Nous proc derons de la m me mani re pour les autres notes en attribuant le suffixe 3 aux notes comprises entre le Do 261 6 Hz et le Si 493 9 Hz et qui se trouvent p
49. fonctions p x t sin nrx L exp 2i7 ft L D e e ee icpo qui sont encore solution de l quation des ondes mais plus des conditions aux limites 2 16 En particulier la pression est nulle l entr e du tube alors que la vitesse y atteint son amplitude maximale Cela fait dire certains auteurs 20 qu il s agit l d une commande en vitesse et non en pression Ces modes correspondent cependant aux fr quences pour lesquelles le probl me de la commande en pression s est trouv tre singulier 2 4 2 Commande en vitesse Dans les instruments anche c est plut t la vitesse de l air l entr e du tube qui com mande la r sonance du tube L anche agit comme une soupape alternativement ouverte ou partiellement ferm e au passage de l air selon qu elle est plus ou moins d coll e du bec 64 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS tuyau ouvert uyau ferm bourdon tuyau ouvert commande en pression commande en vitesse FIG 2 12 noeuds et ventres de la pression pour les trois premiers modes en fonction de la commande et de la nature de la sortie ouverte ou ferm e Les tuyaux deux fois plus courts produisent le m me fondamental mais n ont pas d harmoniques pairs noter qu un haut d bit fourni par l instrumentiste aura tendance fermer l admission d air au contraire de ce qui se passe au niveau des l
50. harmonie tuyau qui va amplifier et colorer le son produit e l enveloppe du son qui d finit la mani re dont na t vit et meurt un son musical donn Il y a bien d autres l ments qui rentrent en ligne de compte comme le vibrato le souffle dans les vents ou l impact initial dans les instruments percussion la r verb ration des 2 5 TIMBRE DES INSTRUMENTS 67 autres cordes dans un piano ou encore le d phasage effet Doppler effet Leslie dont usent par exemple les musiciens de jazz en bougeant ou en faisant tourner leur instrument Les gambistes aussi ont cette trange coutume qui leur donne para t il le mal de mer Nous aborderons quelques uns de ces aspects au chapitre 6 2 5 1 Nature du spectre Tous les instruments de musique produisent des sons qui ont en gros un spectre discret Par cons quent les d crire revient dire quelles sont les fr quences fn pr sentes et quelles sont la phase p et l amplitude a relatives ces fr quences dans la repr sentation du son s t gt An cos 27 fnt On n gt 1 valable au moins sur un intervalle de temps assez court Ces trois ensembles de donn es donnent d j lieu une grande diversit de timbres Harmoniques ou partiels inharmonicit du piano Une premi re caract ristique que l oreille d un musicien sait parfaitement distinguer est si le son est p riodique ou non il ne confondra pas le son d un piano avec celui d une cloche
51. harmoniques Do 1 prin cipal Do 2 prestant Sol 2 quinte Do 3 doublette Mi 3 tierce Sol 3 quinte Do 4 sifflet On remarque l absence du septi me harmonique jug peu esth tique En conti nuant d enrichir avec des octaves tierces et quintes sup rieures on obtient des jeux aux nom vocateurs fournitures cymbales mixtures plein jeux noter que lorsqu on voulut construire tout un clavier sur ce principe se posa le probl me qu partir d une certaine hau teur il n tait plus possible de raccourcir les tuyaux Les facteurs d orgue utilis rent alors la reprise consistant d caler vers le bas d une octave les notes ajout es allant jusqu super poser des graves aux notes aigu s Nous verrons d ailleurs au chapitre 4 que cette technique constitue l ingr dient du son ascendant perp tuel de Shepard son qui semble monter ind finiment tout en repassant p riodiquement par exactement les m mes notes Dans les synth ses fl t es o sont mis en uvre des tuyaux de taille plus large aux sons plus doux le principe est le m me sauf que la synth se est limit e aux six premiers harmoniques avec pr sence obligatoire du cinqui me jeux de tierce et de cornet Enfin dans les synth ses d anches n interviennent que des octaves R le du r sonateur Tous les instruments de musique utilisent un r sonateur pour rayonner efficacement les vibrations produites par l instrumentiste
52. hauteur du fondamental noter que cette diff rence s estompe voire dispara t dans le cas d un tube conique hautbois basson saxophone comme le montrent les sujets d tude 2 6 10 et Le terme de commande en pression ou en vitesse fait ici r f rence la condition qui est impos e l entr e du tube et non ce que peut prouver le musicien qui n agit pas directement sur le tube mais sur ce qui le met en vibration anche filet d air l vres cf aussi remarque 2 2 Par ailleurs il existe encore d autres types de commandes mixtes cf 2 6 9 o ce qui est impos concerne a p 0 t Bu 0 t et dont les pr c dentes ne sont que des cas particuliers pression ou vitesse impos e p 0 0 L FIG 2 9 pression dans un tube cylindrique coupe avec les conditions aux limites En tout tat de cause il s agit l de deux modeles simplifi s et la r alit est plus complexe En particulier les tubes ne sont pas forc ment cylindriques ou coniques ils peuvent s vaser leur extr mit comme le pavillon des cuivres la source et le tube peuvent interagir de mani re non lin aire rendant l tude plus difficile et faisant encore l objet de recherche intensives De plus nous supposons que le tube n a pas d autres ouvertures que les extr mit s ce qui est loin de la r alit de nombreux instruments vent sont perc s de trous lat raux pour pouvoir changer de note Et cons
53. l mentaires de son musical de hauteur ou fr quence f dont le timbre est proche de celui d une fl te douce Ces deux fonctions u4 et u progressent en sens inverse En les additionnant on obtient une nouvelle fonction int ressante galement solution de l quation des ondes pi x t sin kx 27 ft sin kx 2r ft 2sin kx cos 27 ft On constate qu aux points x nr k n Z ensemble des entiers relatifs la pression est constante gale po ces points sont appel s des n uds de vibration alors qu aux points x n 1 2 r k n Z la pression p x t po 2e cos 27 ft subit ses variations d amplitude maximale ces points sont appel s des ventres de vibration De telles ondes sont dites stationnaires PS Poe Jo 41 SN SX 1 N Y noeud ventre 7 N p ra O E o N y x NN 7 Z NXN DEN 1 N SL Ty NS A FIG 1 5 trois photographies d une onde plane stationnaire 1 1 3 Equation de Helmholtz En physique une onde ne comportant qu une seule fr quence c est dire de la forme pi x t y x exp 2irft o peut aussi tre une fonction complexd et f R ensemble des nombres r els est dite harmonique Les parties r elles ou imaginaires d une telle onde sont galement harmoniques IL usage des nombres et fonctions complexes est la fois pratique et courant Pour obtenir le signal physique associ une fonction complexe il suffit d en prendre la
54. l intensit en phones d un son pur de 1000Hz donc de la forme s t a cos 20007t 0 est gale sa mesure en d cibels x dB x phones 1000Hz 4 1 Ensuite pour un son pur de fr quence quelconque f son intensit en phones est par d finition l intensit en phones du son pur de 1000Hz qui produira la m me sonie Cette nouvelle raccourci de MPEG Layer 3 qui signifie moving picture expert group partie 3 audio 99 100 CHAPITRE 4 PSYCHOACOUSTIQUE dB 100 80 F 60 40 20 F FIG 4 1 courbes d isosonie de Fletcher Le maximum de sensibilit de l oreille se situe entre 3000 et 4000Hz mesure de l intensit est not e Ly Bien entendu la d finition ci dessus d pend a priori de auditeur aussi est il n cessaire de faire des exp rimentations sur un grand nombre de sujets puis d en faire la moyenne ce qui a amen l tablissement d une norme internationale fixant avec pr cision la relation entre les niveaux Ly en dB et Ly en phones La figuref4 1 montre quelques courbes d isosonie c est dire des courbes le long desquelles la sonie d un son pur est constante Compte tenu de la d finition une courbe de niveau Ly cphones passe par le point de coordonn es 1000Hz cdB On lit par exemple sur la courbe d isosonie Ly 60 phones que le son pur de fr quence 100Hz et d intensit Lry 70dB ou celui de fr quence 50Hz et d intensit Ly 80dB donnent la m me
55. la fabrication d un son synth tique imitant un instrument de musique acoustique ainsi qu quelques exp riences sur le timbre La derni re partie facultative ne peut tre faite que si vous avez trait le sujet d tude 2 7 1 Cr ez votre synth tiseur Nous allons crire une fonction MATLAB charg e de cr er des sons par synth se addiditive addition de sinus cf aussi chapitre 6 et utilisation d une enveloppe pour contr ler l intensit au cours du temps La synth se additive fera appel la fonction synthad m d j utilis e aux TP du chapitre 1 Ecrivez votre fonction instrument Cr ez une fonction ayant pour en t te functions instrument f1 T Fe Rappelons que le fichier s appelle alors instrument m vous pouvez remplacer le mot ins trument par celui de votre choix Cr ons d abord un son de la forme np s t Saz sin 2r fihgt O lt t lt T k 1 Comme il s agit l d un instrument particulier qui est programm le nombre d harmoniques ou de partiels np leur amplitude ax et leur fr quence normalis e hg sont tous d finis par vous dans la fonction elle m me la fr quence du partiel num ro k est alors f hy En principe c est l effet de la normalisation on a h 1 h 0 5 pour une cloche et Fih1 f f1 2 pour une cloche est la fr quence du premier harmonique ou partiel Une fois d finies ces valeurs vous pouvez faire appel l int rieur m me de la fonction instru
56. loi logarithmique c est une loi de type puissance fractionnaire N en o n est le nombre d instruments log 2 0 301 et c est une constante qui d pend de instrument 4 2 Hauteur des sons 4 2 1 L oreille Pour comprendre comment nous arrivons distinguer entre elles les diff rentes fr quences une petite excursion anatomique dans l oreille s impose fig 4 2 et 4 3 L l ment vibratoire cl est la cochl e fin canal de longueur 32mm environ rempli de liquide lymphatique accroch sur l ar te d une fine lame osseuse et d limit en partie par deux membranes la membrane basilaire et la membrane de Reissner Ce canal est tapiss sur sa longueur par quatre rang es comportant chacune environ 3500 capteurs ce sont les cellules de Corti qui envoient vers le cerveau des impulsions lectriques via le nerf acoustique On estime que chaque cellule peut atteindre une cadence maximale de 1000 d charges par seconde insuffisante pour rendre compte de la discrimination de sons de fr quence sup rieure 500Hz cf 5 1 C est le fonctionnement conjoint de nombreuses cellules de Corti qui permet une telle discrimination 2Plus pr cis ment cela vaut lorsque le son le plus faible se situe au dessus de 40dB En dessous de 40dB l cart donnant la sensation de doublement cro t r guli rement de 3 10dB 102 CHAPITRE 4 PSYCHOACOUSTIQUE OREILLE EXTERNE MOYENNE INTERNE nerf acoustique fen tre
57. mani re suivante g te r fa Fe 1 tg m fo Fe 1 d cos 27 fun Fe H z 6 8 142 CHAPITRE 6 SYNTH SE ET EFFETS SONORES on obtient un filtre passe bande de largeur de bande fp centr e sur fm c est dire de fr quences de coupure fm f 2 fm fo 2 Pour un filtre non id al une fr quence de cou pure fe correspond par convention une intensit divis e par deux soit 3dB par rapport au maximum dans la bande passante normalis 1 et donc H4 f 1 V2 l inten sit tant proportionnelle au carr de l amplitude comme nous l avons vu au chapitre 1 l int rieur de la bande passante on a H f gt 1 V2 alors qu l ext rieur H4 f lt 1 V2 La figure 6 5 repr sente trois exemples de filtres passe bande construits sur la relation 6 7 1 0 87 0 67 0 4 F 0 2 F FIG 6 5 trois filtres passe bande correspondant 2fm Fe 0 2 0 4 0 6 et fe fm 10 Les fr quences de coupures du premier filtre sont 0 19F 2 et 0 21 F 2 6 3 2 Effet wah wah L effet wah wah consiste appliquer un tel filtre passe bande au son en faisant varier au cours du temps la fr quence m diane fm La largeur de bande peut tre maintenue fixe ou non selon les go ts Puisque fm et f varient chaque instant il en va de m me des coefficients c et d de la relation de r currence 6 7 qui devient Yn 1 Cn En En2 2 dn 1 C
58. me F x Tou s t La relation fondamentale de la dynamique F my donne pour l acc l ration verticale Tdku x dz t TOu x t pdxrdpu x t En divisant par dx et en faisant tendre dx vers 0 nous retrouvons l quation des ondes 1 6 dpu x t 20 24 zx t En notant S et AL la section et l allongement de la corde on a T SEAL L o E est le module de Young du mat riau de la corde de l ordre de 210 Pa pour Pacier avec 1 Pa 1Nm 2 1 LES CORDES 49 t x Tin 2 1 est maintenant cf analyse faite au 1 1 2 la vitesse de propagation d une onde transversale progressive parcourant la corde ne pas confondre avec la vitesse d un point de la corde Comme nous l avons fait dans le chapitre 1 on peut commencer par chercher les solutions harmoniques u x t p x exp 2i7 ft o y x est solution de l quation de Helmholtz avec k 2r f c p x k o x 0 2 2 Les solutions de cette quation sont de la forme p x a explikx Bexp ikz La prise en compte des conditions aux limites 0 p L 0 donne le syst me lin aire homog ne suivant a fB 0 l aexp ikL Bexp ikL 0 qui ne peut avoir de solution non nulle que si le d terminant exp ikL exp ikL 2isin kL est nul c est dire sf k kn T n E Zi nc 23 C est la loi de Taylor pour la corde vibrante Si tel est le cas on a alors a f et p x est proportionnelle sin k x Nous obteno
59. naires et ont la m me forme Par contre les fr quences propres fn suivent une progression quadratique 1 4 9 16 0 n n qui s oppose la progression arithm tique des fr quences propres de la corde Remarque si milaire concernant la longueur les fr quences propres sont maintenant inversement propor tionnelles au carr de la longueur Derni re diff rence on peut voir le mode comme la 2 2 LES LAMES 59 superposition de deux ondes progressives alexp i 27 fat Khx exp i 27 fat Khx 2i u x t se propageant la vitesse 27 fn Kn V2T9CLfn qui maintenant d pend de la fr quence On dit qu il y a dispersion car une onde progressive concentr e en espace ira en s talant les composantes hautes fr quences allant plus vite que les composantes basses fr quences En superposant les parties r elles des solutions harmoniques on obtient finalement les solutions physiques qui s crivent sous la forme ue Ed y an sin nr x L cos 2r fut bn n gt 1 Toutes les fr quences tant des multiples entiers de la premi re fr quence le r sultat est un son p riodique de p riode 1 f dans lequel certains harmoniques sont absents octave quinte au dessus ce qui contribue la sonorit particuli re du xylophone La r solution compl te en fonction des donn es initiales s effectue comme pour les cordes 2 2 2 Lame encastr e une extr mit L exemple type de lame encastr e une extr mit
60. ovale pavillon cellules de Corti tympan 4 Tog duo Tes contient les osselets cochl e d roul e liquide lymphatique FIG 4 2 sch ma du fonctionnement de l oreille L organe essentiel la cochl e est en milieu aqueux r miniscence de notre pass de poisson Les osselets servent de levier pour assurer le changement de milieu air liquide canal cochl aire membrane de Reissner lame osseuse nerf acoustique cellules de Corti membrane basilaire C G TO 0 10000Hz 2000Hz 50Hz FIG 4 3 coupe transversale de la cochl e et localisation des fr quences 4 2 HAUTEUR DES SONS 103 En assignant chaque impulsion lectrique d une cellule de Corti la valeur 1 0 correspondant l absence d impulsion et en supposant que les 4 x 3500 14000 cellules puissent fournir simultan ment 1000 impulsions par seconde on obtient pour le d bit d une oreille donc en mono la sympathique valeur de 14Mbit s En comparaison la piste mono d un CD audio chantillonn 44kHz sur 16 bits cf chapitre 5 a un d bit de 0 7Mbit s soit vingt fois moins que l estimation maximale de celui l oreille Cela t moigne de la bonne performance de l oreille mais aussi du fait qu augmenter la qualit audio des CD d un facteur sup rieur 20 ne devrait plus apporter d am lioration audible La section de la cochl e va en diminuant de la f
61. ponse impulsionnelle en frappant dans ses mains ou en mettant un son tr s bref Selon vous que percevra l auditeur si la fonction de transfert de la salle ressemble au graphique de la figure L31 38 CHAPITRE 1 LES SONS 0 8 IH I 0 4 F 0 2 F 0 1000 2000 3000 Hz FIG 1 31 fonction de transfert d une salle 1 5 3 Filtres id aux passe bas passe bande et passe tout Terminons ce chapitre par la description de trois mod les de filtres fondamentaux que nous aurons l occasion d utiliser plusieurs reprises 1 H H 0 5t 0 2 1 0 1 2 Hz 2 mE h t el D 0 4 f f f f f 3 2 1 0 1 2 3 S FIG 1 32 fonction de transfert et r ponse impulsionnelle du filtre passe bas id al de fr quence de coupure B 1 Le filtre passe bas id al de fr quence de coupure B gt 0 fig 1 32 est donn par sa fonction de transferi 1si f lt B 0 sinon 1 26 mu Ce filtre laisse donc passer sans modification les fr quences f lt B et bloque les fr quences f gt B on ne peut rien dire du cas limite f B 8dit id al car non r alisable physiquement On peut simplement l approcher d aussi pr s que l on veut par un syst me lectronique condition d accepter un certain retard sur la sortie La valeur de H aux deux extr mit s B et B n a en principe aucune importance car l int grale ne voit pas les valeurs ponctuelles isol
62. produisent selon les cas des harmoniques cordes et tubes ou des partiels cloches membranes percus sions Il semblerait que l homme ait t davantage sensible aux premiers qu aux seconds pour construire ses chelles musicales cela on peut avancer l explication suivante les cordes provenant de l arc du chasseur et les tubes premi res fl tes en os produisent des sons plus longs que les percussions et il est bien plus facile de percevoir les harmoniques des premiers en fonction de leur degr de consonance cf 2 1 1 que les partiels des seconds Aussi est il probable que la forte consonance de la correspondant un rapport de fr quence 3 2 se soit impos e tr s t t dans l histoire musicale Nous avons vu que la division successive d une corde de longueur L en segments de lon gueurs L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 produisait la suite des harmoniques de fr quences gales 1 2 3 4 5 fois le fondamental f Nous voyons appara tre l deux suites de nombres la premi re harmonique la seconde arithm tique Remarquons qu elles seraient apparues dans l ordre inverse si au lieu de raccourcir la corde nous avions multipli sa longueur par 1 2 3 4 5 pour obtenir des fr quences gales f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 Les treize premiers harmoniques correspondent en gros aux notes donn es dans le tableau suivant o la ligne sup rieure indique aussi bien le rang de l harmonique que le rapport de sa fr quence
63. que les conditions aux limites donnent respectivement en r a et r b az explika Bzexp ika 2ira pof aexp ikb Bexp ikb 0 o z ika 1 et d duisez en que 2ira po f exp ikb 2ikb zexp ikL zexp ikL j Aedo 3 Montrez que les fr quences de r sonance c est dire les valeurs de f pour lesquelles a et B ne sont pas d finis sont solution de l quation transcendante tg 2rfL c 27 fa c 0 et d duisez en que les fr quences de r sonance sont de la forme c arctg 27 fha c nr 211 fn n Z 4 Tracez graphiquement les courbes d quation y tg 2rfL c et y 2r fa c dont les points d intersection donnent en abscisse les valeurs fn et d duisez en que pour a amp Let n pas trop grand ona Conclusion 2 6 11 R sonance d un tube conique 2 Reprendre le sujet d tude 2 6 10 en supposant cette fois ci que l on a une commande en pression c est dire que les conditions impos es aux extr mit s sont p a t exp 2ir ft et p b t 0 Solution les fr quences de r sonance sont exactement les nombres nc f zr On constate ainsi que la diff rence provenant du type de commande pour un tube cylindrique devient n gligeable pour un tube conique pour ce qui concerne les fr quences de r sonance 86 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS 2 7 Travaux pratiques sur ordinateur Cette seconde s rie de travaux pratiques est consacr e
64. ressant de pouvoir dire quelle est la fonction de transfert associ e au filtrage discret y hx x Pour ne pas la confondre avec la transform e en z de h nous noterons cette fonction de transfert H f Celle ci est alors reli e la transform e en z de h par la formule qui suit Hi f H exp 2ir f F 5 14 Autrement dit les valeurs de la fonction de transfert sont obtenues en prenant les valeurs de la transform e en z de h sur le cercle unit du plan complexe L quivalence avec le filtrage continu se traduit alors de la mani re suivante apr s re conversion du son num rique y h x x en son analogique par passage dans le CNA que nous notons toujours y celui ci aura pour transform e de Fourier NE HTA o x d signe maintenant le son analogique qui avait produit les chantillons x Ceci permet d interpr ter l action d un filtrage num rique en consid rant les valeurs de H4 f Sous la condition de Shannon on a 2 f 0 si f gt F 2 Par cons quent les seules valeurs de H f qui nous concernent sont celles pour lesquelles f F 2 F 2 ou encore 2f F 1 1 De plus en rempla ant x par h et en prenant z exp 2ir f Fe dans 5 10 on a 00 H exp 2irf Fe Y hnexp 2nirf Fe n 00 d o l on d duit en utilisant 5 14 que pour un filtre coefficients r els hn on a He et qu il suffit donc de conna tre les valeurs de H f pour f gt 0 En d fin
65. s sur une variation p riodique de l amplitude s t 1 nsin 2rfit sin 2r ft 6 9 ou de la fr quence s t sin 2r ft Bsin 2r fit f1 6 10 L effet AM cr e un battement de fr quence f1 que nous avons rencontr plusieurs reprises L effet FM produit un vibrato de fr quence f et d excursion fr quentielle 8 cf 6 1 3 Dans l effet Leslie les deux se combinent avec un effet st r o 6 4 1 Vibrato La voix et de nombreux instruments produisent un vibrato dont la fr quence varie peu pr s entre 4 et 12Hz Il est facile de produire un tel vibrato par synth se additive il suffit d crire chaque harmonique sous la forme 6 10 La figure 6 8 repr sente le son suivant de fondamental 440Hz avec un vibrato de 5Hz 9 s t e t y an Sin 880nrt 7Vnsin 10rt n 1 Les autres param tres sont 0 1000 300 0 01 0 01 0 01 3 0 5 1 4 et 6 7 n Une seule enveloppe a t utilis e de forme trap zo dale 8000 F Fr quence o o o r S o o 2000 Temps FIG 6 8 vibrato d un son comportant 9 harmoniques Cela ne vous rappelle t il pas quelque chose En dehors de la synth se additive un tel effet qui modifie la fr quence du son peut tre obtenu par une vitesse de lecture variable des donn es ou son quivalent num rique Mais il ne peut pas tre r alis au moyen de filtres car la condition d invariance par rapport au temps n e
66. s t Jo u sin 27 ft X Jalu sm2r f ng t 1 sin 2r f ng t n gt 1 3 Nous faisons ici abstraction du fait que certains J 1 peuvent tre nuls Que peut on dire de s t ce son est il p riodique Si oui quel est son fondamental Quels sont les harmoniques pr sents dans les cas suivants es f e g f q avec q gt 0 entier e y pf q avec p q gt 0 entiers et premiers entre eux r ponse le fondamental est f q 6 6 Travaux pratiques sur ordinateur 6 6 1 Synth se de sons Enregistrez et analysez temps fr quence et temps fr quence une note d un instrument de votre choix A partir de cette analyse cr ez sur le mod le de la fonction instrument crite lors des TP du chapitre 2 une fonction qui imite le mieux possible le son que vous avez enregistr 6 6 2 Synth se de Chowning Toujours sur le mod le de la fonction instrument cr ez une fonction nomm e chowning ayant pour en t te functions chowning f0 T Fe et d livrant un son de la forme s t sin 2r fot Bsin 2r fit f1 Les valeurs de f et 5 seront sp cifi es l int rieur m me de la fonction Nous conservons ainsi le format g n ral des fonctions instruments ce qui permet de jouer chowning via la fonction play sans modifier celle ci Testez diff rentes valeurs Pour cr er un son st r o vous pouvez cr er un canal gauche sg et un canal droit sd selon le mod le pr c dent puis les r unir en une seule ma
67. s t exp 2i7nk N 1 16 C est ce que l on appelle la transform e de Fourier discr te TFD DFT en anglais d ordre N Comme pour la s rie de Fourier une transformation inverse permet de retrouver les s t partir des N 1 s t y Cn exp 2irnk N 1 17 n 0 La fr quence la plus bassq est donc ici f 1 1 7Hz Les amp en fait leur amplitude sont repr sent s sur la figure non pas en fonction de n c est un entier qui n a aucun sens physique mais en fonction de la fr quence associ e fn n 1 7Hz On constate que certaines fr quences sont plus fortes que d autres en particulier autour des fr quences 110Hz 220Hz 330Hz 440Hz 570Hz 700Hz qui correspondent peu pr s aux harmoniques d une note de fondamental 110Hz La 1 produite par les cordes vocales Le d faut de cette repr sentation fig est de ne donner aucune information sur l volution temporelle du signal sonore alors que celui de la figure tait de ne donner aucune information sur les fr quences pr sentes dans ce son D o l int r t d introduire un autre type d analyse l analyse temps fr quence fournie par le spectrogramme 1 4 2 Le spectrogramme 0 0 5 1 1 5 2 25 3 s A s t s t x fen tre t 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3s FIG 1 26 multiplication du signal par une fen tre rectangulaire Le principe pour effectuer l analyse temps fr quence d un signal sonore s t t 0 T est le suivant On commence p
68. se produiront lorsque le musicien soufflera dans l instrument Leur pro gression tant proportionnelle la suite des entiers 5 A n nous sommes en pr sence d harmoniques Pour l auditeur le son r sultant s t sera alors de la forme s t y an sin 2n7 fit bn n gt 1 2 4 LES TUBES 63 son p riodique de hauteur le fondamental donn e par la loi de Bernoulli C h gt 35 On remarque que c est la m me formule que celle qui nous a donn le fondamental de la corde mais pas le m me c Par exemple pour qu un tuyau d orgue donne le Do grave 32 7Hz il faut un tuyau de longueur L 340 2x 32 7 5 2m Pour les vents l accord se fait mise part la facture par ajustement de la longueur du tuyau au niveau de l embouchure Pour les orgues il se fait en d pla ant une bague coulissante l extr mit du tuyau fig 2 11 mais galement au niveau de l anche en jouant sur sa longueur cas des lames ou au niveau de la sortie en jouant sur sa forme plus ou moins ouverte Sachant qu un orgue peut comporter plusieurs milliers du tuyaux l orgue de l op ra de Sydney en compte 10500 cela repr sente un travail cons quent bouche BN l vre sup rieure lt biseau coulisse d accord F1G 2 11 accord par ajustage de la longueur Remarque 2 2 Si l on examine le cas limite o sin kL 0 c est dire kL nr en multipliant par sin kL les quations et on obtient les
69. sensation d intensit sonore qu un son pur de fr quence 1000Hz et d intensit Ly 60dB On constate ainsi que les sons tr s graves ou tr s aigus galement n cessitent plus d nergie pour tre per us au m me niveau de sonie La courbe inf rieure Ly 3 phones d limite le seuil d audition tout son pur situ en dessous de cette courbe est inaudible Vers 2000Hz et 5000Hz le seuil d audition correspond 0dB Ces courbes ont t obtenues pour des sons purs Des tudes et comparaisons similaires que nous n aborderons pas ici ont t men es pour d autres types de sons bruits bandes variables sons p riodiques etc 4 1 2 Le sone Le phone est reli au d cibel par la relation et les courbes de Fletcher Il correspond bien une mesure de la perception sonore en ce sens que deux sons purs de fr quences diff rentes qui ont la m me mesure en phones seront per us comme tant au m me niveau sonore Cependant il ne nous renseigne pas a priori sur le niveau en d cibels ou en phones que devrait avoir un son pour tre per u comme tant deux fois plus fort qu un autre son 4 2 HAUTEUR DES SONS 101 La loi de Fechner vue au 8 nonce bien que la perception de l intensit suit une loi logarithmique mais ce point de vue m rite en l occurrence d tre nuanc 15 De nombreuses exp riences men es sur des sons purs de 1000Hz ont montr qu en moyenne les sujets trouvent que la sonie est doubl e lorsque l i
70. signal n occupe plus que 2280 bits soit un taux de compression de 74 pour une erreur quadratique relative de 20 En raffinant beaucoup ce proc d le standard MP3 arrive des taux de compression de l ordre de 90 tout en maintenant une excellente qualit sonore 5 2 2 Compression entropique A l issue de la compression psychoacoustique on dispose d une suite de nombres ou mots binaires m1 M2 mx de longueur variable Ce sont les coefficients quantifi s de la TFD Il arrive fr quemment que l on ait plusieurs mots cons cutifs identiques aussi commence t on par remplacer chaque s quence d un mot mx r p t p fois par les deux mots p mx On obtient ainsi une deuxi me suite de mots binaires plus courte Ces mots qui composent un texte 3Une variante consiste faire tous les calculs dans le domaine r el en prolongeant par parit les chantillons Tn Cette variante s appelle la transform e en cosinus discr te TCD DCT en anglais dans la mesure o une fonction paire se d veloppe en s rie de cosinus C est elle qui est en fait utilis e le plus fr quemment 5 3 FILTRAGE NUM RIQUE ET TRANSFORM E EN Z 125 font eux m mes partie d un dictionnaire comportant un nombre fini de mots d On procede alors un changement de dictionnaire un peu comme si l on traduisait le texte dans une nouvelle langue en s appuyant sur le principe l mentaire suivant coder sur des mots courts les mots les plus fr que
71. sortie du CNA le m me signal lectrique puisque le CNA prend en entr e les chantillons et rien d autre Au moins l un des deux signaux reconstruits sera diff rent du signal de d part Pour comprendre quelle limitation il faut imposer au son s t pour pouvoir le reconstruire de mani re exacte au travers de la cha ne CAN CNA commen ons par examiner le cas d un signal sinuso dal s t a cos 2r ft 0 Sachant que l on a affaire un signal sinusoidal mais dont l amplitude la fr quence et la phase sont a priori quelconques quelle est la fr quence minimale d chantillonnage imposer pour pouvoir reconstruire s t partir de ses seuls chantillons On pourrait proposer de prendre un chantillon chaque fois que s t passe par un maximum c est dire un chantillon par p riode mais cela ne suffira pas distinguer un son oscillant d un son constant cf fig B 4 Compte tenu de ce qui pr cede il semblerait logique qu il faille prendre au moins un chantillon chaque fois que s t passe par un maximum ou un minimum c est dire au moins deux chantillons par p riode Sachant que la p riode vaut 1 f cela nous am ne consid rer l hypoth se suivante 1 T lt 2f La fr quence d chantillonnage tant Fe 1 7 cette condition s crit de mani re quivalente F gt 2f 5 2 5 1 ECHANTILLONNAGE 113 1 Q 0 5 o 0 5 0 0 5 1 1 5 2 20 3 FIG 5 4 cosinus et signal
72. temp r correspond un rapport de fr quences gal 2 1 05946 et le cent correspond par cons quent un rapport de fr quences 42 1 0005778 Dire que deux fr quences f lt f2 sont 1 cent d intervalle signifie que 1 loga f2 log2 f1 x 21 1200 logs f 1200 log f 1 cent La loi de Taylor f yT u QL nous dit que l on ne change pas la fr quence si l on maintient constante la valeur Lp o y est la masse lin ique proportionnelle au carr du diam tre Par exemple si l on divise par 2 la longueur et multiplie par 2 le diam tre sans modifier la tension on obtient la m me note Le probl me est que l on a augment la raideur de la corde 68 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS o log est le logarithme en base 2 log 2 n commode utiliser dans la mesure o l intervalle d octave correspond justement un rapport 2 Les facteurs de piano ont alors constat que pour une note de fondamental th orique f l cart en cents d un partiel par rapport l harmonique correspondant est peu pr s proportionnel au carr du rang de l harmonique An 1200 La valeur de C f d pend de la note et de Pinstrument Dans 7 on trouve la formule loga fn logo nf d 9 A PATTES 10 o d est le diam tre de la corde L sa longueur et f sa fr quence ce que confirme l tude propos e au 8 2 6 6 Cela donne par exemple f 0 3 dans le m dium d un piano de 107cm de haut
73. th orie du signal analogique et num rique d algorithmique et d informatique compression MP3 des sons et bien entendu de musique L objectif de ce cours est de donner un aper u global sur le son musical depuis sa produc tion par les instruments de musique classiques jusqu aux sons obtenus par synth se num rique sans chercher pour autant l exhaustivit il ne s agit pas d un catalogue mais je l esp re d une porte d entr e permettant d aborder ensuite sans difficult tout autre th me du m me domaine Apr s une initiation l acoustique et une tude de diff rents types de sons au cha pitre 1 nous aborderons au chapitre 2 les modes vibratoires de quelques instruments l tude de leur timbre et ferons le lien avec la question des gammes temp raments au chapitre 3 la suite d une excursion psychoacoustique au chapitre qui sera l occasion de faire la connais sance d une belle illusion acoustique nous traiterons plusieurs aspects du son num rique dans les chapitres Pl et 6 l chantillonnage la compression bas e sur les propri t s de l audition MP3 les effets sonores simulation de la r verb ration d une salle effet Leslie et les sons de synth se comme par exemple la technique FM de Chowning rendue tr s populaire par la s rie des DX7 Le mode d emploi de ce cours est papier crayon ordinateur instrument de musique Papier crayon car il s agit d un cours scientifique et pour bien co
74. ton en ton vous pouvez crire une boucle de la forme for k O N f fOxton k s s notegp f T Fe end o ton est le rapport qu il y a entre deux tons cons cutifs et fO est la fr quence de la premi re note Chapitre 5 Le son num rique D une mani re g n rale on appelle signal analogique un signal produit par un dispositif m canique ou lectronique Dans un tel signal la variable est le temps qui s coule de mani re continue Il y a peine quelques dizaines d ann es toute cha ne de production sonore tait enti rement analogique par exemple le son produit par les musiciens le signal lectrique d livr par les micros le signal transmis par ondes hertziennes ou grav sur un disque de vinyle le signal re u et amplifi par votre cha ne Hi Fi et finalement le son fourni par le haut parleur sont tous des signaux analogiques y mu CD HP FIG 5 1 cha ne audio num rique Avec la formidable augmentation de la puissance des ordinateurs est apparu un nouveau maillon dans cette cha ne le son num rique Une fois capt par le micro le son est transform en une suite de nombres binaires form s de 0 et de 1 qui sont transmis stock s ou grav s sous cette forme L appareil qui assure cette conversion s appelle un convertisseur analogique num rique CAN ADC en anglais pour analog to digital converter Il effectue en fait deux op rations distinctes sur un signal analogique s t
75. verrons que sous certaines hypoth ses il n y en a aucune Ces hypoth ses ne sont malheureusement jamais v rif es et ne le seront jamais il y a l un obstacle th orique fondamental mais elles le sont presque Tout est dans ce presque imperfection incontournable mettez ici votre proverbe pr f r mais sans cesse r duite par les pouss es de la technologie Lorsque l on cherche r duire l erreur introduite par le maillon num rique le prix payer r side dans la quantit lev e de donn es obtenue pour repr senter le son actuellement une heure d enregistrement st r o chantillonn 44 1kHz sur 2 octets occupera 3600 x 2 x 44100 x 2 635Mo Mega octets sur un CD audio Nous verrons qu il est possible de r duire la taille des donn es en utilisant les propri t s psychoacoustiques de l ou e ce qui s av re tr s utile en particulier pour la transmission par internet Bien entendu cette compression s accompagne g n ralement d une perte d information d autant plus grande que la compression est pouss e Mais les algorithmes mis en uvre sont con us de telle sorte que les donn es perdues soient le plus possible celles qui justement n auraient pas t entendues Nous terminerons ce chapitre par quelques notions sur le filtrage num rique et tablirons le lien avec le filtrage analogique Ces notions nous seront utiles au chapitre 6 en particulier pour ce qui concerne les effets sonores 5
76. verticalement la fr quence f et dont la position sur l axe des z est d crite par une fonction de la forme u x y t cos kx exp iwt avec w 2r f L quation des ondes transversales pour une plaque s crit E p 1 v o h est l paisseur de la plaque E p et y sont respectivement le module de Young la densit et le coefficient de Poisson du mat riau suppos homog ne et isotrope cz est la vitesse des ondes longitudinales dans la plaque et A u A Au qui se r duit ici A u dau 1 En supposant k gt 0 montrez que h2 2 Opu Au 0 wy 12 k her et que l onde transversale stationnaire u x y t est la superposition de deux ondes progressives se propageant dans la plaque en sens inverse la vitesse qui d pend de la fr quence w whcr JT 2 Les vibrations de la plaque engendrent une onde acoustique dans l air occupant le demi espace z gt 0 Les composantes du vecteur vitesse de l air sont suppos es nulles sauf la composante en z not e v x y z t qui co ncide en z 0 avec la vitesse de la plaque vz z y 0 t iw cos kx exp iwt On suppose que v x y z t est de la forme vz y Z t iw cos kx exp iwt ikz 2 27 Sachant que v est solution de l quation des ondes 1 9 montrez que Une premi re conclusion est que si c w lt c alors k est imaginaire pur et Ponde acoustique aura une d croissance exponentielle en exp az avec 0 lt
77. vres du trompettiste La vitesse ob it comme la pression l quation de Helmholtz Dans le cas harmonique pour une vitesse d entr e vo t exp 2ir ft elle est de la forme v x t w x exp 2ir ft avec g x k p x 0 dans le tube w 0 1 l entr e 2 22 g L 0 la sortie La condition en sortie de tube w L 0 appel e condition de Neumann provient de l quation d tat 1 5 et de la condition p L t 0 qui donnent Cpodrv E t E dp L t 0 pop L exp 2i7 ft 0 La solution g n rale de la premi re quation de 2 22 est p x a explikx Bexp ikx et les conditions aux limites imposent maintenant a pi aikexp ikL Bikexp ikL 0 2 4 LES TUBES 65 Ce syst me lin aire a une solution unique si et seulement si comparer avec 2 19 cos kL H 0 Si tel est le cas le calcul donne a exp ikL 2cos kL et l on obtient cos k L z PUIS cos kL La vitesse dans le tube est donc cos k L x Here cos amp L exp 2ir ft et une vitesse d entr e v 0 t cos 27 ft correspond une vitesse en sortie ML 0D cos 27 ft Les valeurs critiques ont chang Ce ne sont plus les fr quences telles que sin kL 0 qui vont tre amplifi es mais celles pour lesquelles cos 27 fL c cos kL 0 autrement dit les fr quences propres _ n 1 2 c n AL Nous pouvons faire alors deux constatations int ressantes e La premi re fr quence propre est
78. y Cn exp 2innt T n 00 Ceci constitue la synth se de Fourier le signal s t est reconstitu partir de la somme de ses composantes fr quentielles cn exp 2irnt T de fr quence n T Cette somme peut galement s crire avec des sinus et cosinus 00 s t Y an cos 2rnt T bn sin 2rnt T n 1 avec an Cn C n et bn Cp Cn Lorsque s t est int grable sur l intervalle 0 T intensit du son sur une p riode cf 1 10 est reli e aux coefficients de Fourier par la relation de Parseval 00 1 E 2 2 zj ora Y lar n 00 1 3 2 Sons avec partiels D autres instruments comme par exemple les cloches la plupart des instruments per cussion fig 1 16 ainsi que le piano dans une faible mesure produisent des sons de la forme 1 11 mais qui ne sont plus p riodiques En termes de fr quences cela se traduit par le fait qu il n existe pas de fr quence f telle que toutes les fr quences fn soient des multiples entiers de f Dans un tel cas l analyse par s rie de Fourier ne s applique plus directement FIG 1 16 exemple de son non p riodique timbale Les fr quences pr sentes dans le son sont alors appel es partiels Un exemple de son de cloche donn dans est compos des fr quences 0 5 fp fp 1 2fp 1 5 fp 2fp 2 5 fp et 3fp Le deuxi me partiel est appel le principal c est lui qui donne la hauteur de la note Les fondeurs de cloches accordent souvent celles ci pour que
79. zmnr R sin m 8 0p exp 2t7 fmnt Sur la figure 2 8 sont repr sent es les lignes de niveau des huit premiers modes Les valeurs Zmn ont t calcul es num riquement partir des valeurs propres de la matrice d l ments finis 9 associ e au probl me et sont proches de celles donn es dans le tableau 2 1 2 4 LES TUBES 59 z 2 406 z 3 8396 di id Zo2 5 543 O FIG 2 8 lignes de niveau des huit premiers modes propres calcul s num riquement 2 4 Les tubes Quittons maintenant les percussions pour rejoindre la section des vents et examinons le r sonateur de ces instruments le tube Contrairement aux cas abord s jusqu pr sent il s agit d instruments de musique son entretenu soit directement par le souffle de l ins trumentiste bois cuivres soit par une soufflerie m canique orgue Nous tudions ici le cas d un tube cylindrique de longueur L cf fig 2 9 en se pla ant dans l hypoth se o il est parcouru par une onde plandi de direction l axe du tube Ox La pression acoustique Pa dans le tube ne d pend alors que de x et de t et on la note simplement p x t La vitesse moyenne des particules d air dans le tube est not e v x t Dans le mod le simplifi que nous d crivons l excitation acoustique produite par l embouchure est donn e et l on tudie la r action du tube cette excitation On peut alors distinguer deux types d excitation ou de commande du ph nom
80. 05 gt 0 L L fi L L 200 400 600 800 1000 1200 0 MAPA 1 1 1 1 1 1 1 200 400 600 800 1000 1200 FIG 5 10 en haut le signal chantillonn r repr sent en trait continu pour la lisibilit extrait de notre air f tiche la Norma Au milieu trois fen tres w cons cutives avec en trait plein celle qui est en cours d utilisation En bas la tranche des Un Wn X Tn m analyser et compresser avec ici m 3 x 512 4 384 et n 0 1 511 repr sente pas l indice n mais la fr quence associ e fn nF 512Hz o 512 F est la dur e de la tranche analys e Nous voyons appara tre en particulier quelques pics fr quentiels marqu s par de petits cercles Lorsque ces pics ont une intensit situ e au moins 7dB au dessus de leurs proches voisins on les appelle composantes tonales Les autres pics sont appel s composantes non tonales Dans le codage MP3 un traitement diff renci est appliqu ces deux types de composantes que nous ne d crirons pas ici Sur cette m me figure apparaissent en pointill les masques fr quentiels produits par ces pics ceux que nous avions d crits au 4 2 3 En Poccurrence nous avons ici 7 pics qui ont chacun g n r un masque M i 1 2 7 Le masque M repr sent sur la figure est l enveloppe sup rieure de ces 7 masques et du seuil d audition S c est dire que ses valeurs discr tes My sont d finies par M max M gt M MP Sh o as Ainsi la partie de
81. 2 Effets temporels cho et r verb ration 97 97 99 99 99 100 101 101 103 105 108 108 108 108 108 108 108 109 110 112 118 120 120 121 124 125 126 126 129 129 129 130 131 132 132 6 TABLE DES MATI RES A e a 137 a ei 138 E aa D dr ls RETO de D ne Ba 139 ra AA A ba e g u 141 Le a A a R ERA RE 141 6 3 2 Effet wab wabol 142 PA a Dir Remo a 144 ac a a a E 144 ad USER NRA Aa D a a a 145 A A a a 147 6 5 1 Effet Doppler 5 sida ar da e eine 147 6 5 2 FM et Chowning Sos a E AR ADA 147 D RE te ad de a e A 148 A A A SN AT 148 6 6 2 Synth se de Chowning 148 TE RE a li dea ni Ua al E 149 A EA E ARA 149 DER AAA AAA AA ADS 149 Bibliographie 156 Introduction Ce cours s adresse aux tudiants de deuxi me ann e de l INSA Toulouse Il a t cr l occasion d une r forme p dagogique mise en place en septembre 2002 qui a introduit en particulier des modules d ouverture gt cens s apporter de la transversalit aussi bien que d velopper la culture g n rale C est dans cet esprit que ce cours a t con u La nature de l objet tudi fait que l on aborde tout naturellement des notions de physique g n ration et propagation des sons de math matiques analyse de Fourier de psychoacoustique tude de la perception des sons qui se diff rencie de ce que peut donner une mesure physique de
82. 2ir ft En reportant cette expression dans 2 16 on retrouve que y x est solution de l quation de Helmholtz o k 2r f c avec des conditions aux limites non homog nes g x k p x 0 dans le tube w 0 1 l entr e 2 18 pLE 0 la sortie La solution g n rale de la premi re quation est y x aexp ikx Pexp ikz et les conditions aux limites imposent a fB 1 aexp ikL Bexp ikL 0 Ce syst me lin aire a une solution unique si et seulement si le d terminant est non nul autrement dit sin kL 4 0 2 19 Si tel est le cas le calcul donne a exp ikL Qsin kL 8 iexp ikL 2sm kL et Pon a i _ texp ik L x iexp ik L x _ sin k L x p 2sin kL __ sin kL La pression dans le tube soumis l excitation harmonique 2 17 est donc _ sin k L x plz t a exp 2ir ft 2 20 La premi re remarque que l on peut faire est que l on obtient une onde stationnaire comme pour les cordes et les lames Maintenant que se passe t il pour les valeurs interdites o sin kL 0 Pour r pondre cette question examinons en particulier ce qui se passe la sortie du tube en x L o est produit le son qui va rayonner dans l air libre La pression y est constamment nulle c est donc plut t la vitesse que nous allons consid rer D apr s l quation d tat 1 5 nous savons que sin k L x c po rvlx t dp x t
83. 3 fait appel aux bancs de filtres utilis s en signal qui sortent du cadre de ce cours Nous n en pr senterons donc qu une version modifi e mais bas e sur le m me principe 5 2 1 Compression psychoacoustique Dit en deux mots celle ci consiste passer dans le domaine fr quentiel afin d effectuer une quantification des composantes de Fourier sur un nombre de bits variable prenant en compte les propri t s de l ouie Avant de rentrer dans les d tails on peut faire l observation suivante qui claire l utilit du passage au fr quentiel pour les sons musicaux supposons par exemple que l on ait un son p riodique chantillonn la fr quence Fe et quantifi sur 16 bits D apr s 5 6 le Rsp est de 96dB Une compression temporelle suppl mentaire serait par exemple de coder ces chantillons sur 8 bits On passerait alors un Rs de 48dB et le bruit de quantification deviendrait perceptible ce n est plus le son initial que l on entendrait mais celui ci accom pagn d un l ger souffle un bruit blanc Par contre si l on quantifie les coefficients de Fourier sur 8 bits on introduira certes une l g re modification dans les poids relatifs des diff rents harmoniques mais on ne fera pas appara tre de fr quences suppl mentaires Il n y aura donc aucun souffle la reconstruction du son mais seulement une modification de timbre peu ou pas perceptible ce niveau de quantification On peut m me descen
84. 39 reprise 70 104 r sonateur 47 70 retard 34 127 r verb ration 139 dur e de 140 RIF 126 RII 126 Risset 74 105 saint Jean Baptiste 94 salle de concert 28 101 Savart 71 saxophone 60 84 Schwartz 37 seconde 19 septi me majeure 19 mineure 19 seuil d audition 16 100 de douleur 16 de masquage 106 Shannon condition de 113 126 128 th or me de 73 114 Shepard 104 Shore 93 sifflet 70 signal bande limit e 114 analogique 109 causal 127 num rique 110 reconstruction du 114 120 INDEX rectangulaire 22 sinuso dal 20 sonore 20 triangulaire 21 69 sinus cardinal 39 sixte majeure 19 mineure 19 son 9 spectre continu 24 aigu 17 analogique 128 avec partiel 23 diff rentiel 106 chantillonn 110 entretenu 22 grave 17 hauteur 103 143 masqu 105 masquant 105 num rique 109 128 p riodique 21 prise de 114 pur 20 99 105 r flexion 40 137 r manent 72 78 87 vitesse 10 12 sonagramme 29 sone 101 sonie 99 souffle 28 sourdines 133 spectre continu 24 discret 21 67 repliement de 116 spectrogramme 29 32 Stevens 103 Stradivarius 71 suite arithm tique 89 harmonique 89 synth se additive 134 d anches 70 INDEX de sons musicaux 133 des principaux 70 fl t e 70 FM 134 135 par mod lisation physique 133 par mod les de signaux 134 par sons chantillonn s 134 137 soustractive 134 t tracorde
85. 440 880 1320 p 0 0 01 pi 2 T 1 Fe 11025 si synthad a f p T Fe s2 synthad a 1 5 f p T Fe s3 synthad a 2 f p T Fe s s1 s2 s3 soundsc s Fe L avant derni re ligne donne un vecteur s r sultant de la mise bout bout des trois vecteurs s1 s2 s3 Nous avons ici utilis la fonction soundsc plut t que la fonction sound qui ne marche correctement que si toutes les valeurs sont comprises dans l intervalle 1 1 La 1 7 TRAVAUX PRATIQUES SUR ORDINATEUR 45 fonction soundsc sc pour scale c est dire mise l chelle multiplie automatiquement le son par un nombre appropri pour que toutes les valeurs soient dans cet intervalle Analyse temporelle C est la repr sentation temporelle du signal qui se fait par la commande plot x Vous pouvez zoomer en appuyant sur l ic ne et en d limitant la zone agrandir avec le bouton gauche de la souris Zoom arri re en cliquant sur le bouton droit de la souris Analyse fr quentielle Pour effectuer l analyse fr quentielle d un son s t de dur e T sur la bande de fr quence 0 Fmax o l on impose Fmax lt Fe 2 l explication viendra au chapitre 5 ex cutez les com mandes suivantes o l on a pris ici Finax 4000 z fft s T length s 1 Fe fr 0 1 T 4000 nf length fr plot fr abs z 1 nf Si par exemple vous avez pris pour s un son p riodique ayant pour harmoniques 440Hz 880Hz et 1320Hz vous dev
86. 5 60 kHz o FIG 5 5 pour une fr quence donn e f d autres fr quences donnent les m mes chantillons Attention celles qui tombent dans la bande F 2 F 2 D apr s l analyse que nous avons faite au B 1 1 et en particulier 5 4 exp 2ir ft pro duit les m mes chantillons que exp 2ir fit avec f f Fe 3000Hz et exp 2ir ft produit les m mes chantillons que exp 2ir fat avec fo f Fe f Par simple ad dition l chantillonnage tant lin aire s t exp 2i7 ft exp 2ir ft a donc les m mes 116 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE chantillons que v t exp 2i7 fit exp 2t7 fat exp 2tr fot exp 2ir fat 2 cos 27 fat avec f 3000Hz Cela signifie que v n F s n F pour tout n Z autrement dit ve t selt D autres fr quences de la forme f kF donneraient galement les m mes chantillons cf fig 5 5 Prenons alors par exemple B 14kHz Comme Fe gt 2B et le son pur v t est bande limit e B B on peut appliquer v le th or me de Shannon et donc le signal reconstruit par filtrage de se par un filtre passe bas id al h de bande passante F 2 Fe 2 sera exactement le son v t h x se t h x ve t v t D un son pur inaudible de 27kHz on est pass un son pur de 3000Hz l o l ou e est la plus sensible Imaginez l effet produit par l intrusion de ce sifflement aigu lors de l coute de
87. Cn 5 8 et par cons quent il suffit de conna tre la moiti 1 des coefficientd Ch C1 C256 Ce sont donc ces 257 premiers coefficients complexes 512 coefficients r els car cy et C256 sont r els qui seront quantifi s et stock s apr s la compression entropique d crite au paragraphe suivant Lors de la d compression ult rieure en g n ral au moment de l coute on recalcule l ensemble des 512 coefficients cn en utilisant 5 8 on effectue leur TFD inverse 1 17 et on termine par l addition des tranches successives Ceci redonnerait exactement les chantillons Tn si Von n avait pas cod les cn sur un nombre restreint de bits Le son initial est ainsi reconstitu avec une erreur qui en principe n affecte que des composantes imperceptibles avant compression 0 0 005 0 01 0 015 0 02 0 025 apr s compression 0 0 005 0 01 0 015 0 02 0 025 FIG 5 13 son initial en haut et son apr s compression d compression en bas Lors de la compression psychoacoustique la partie de la TFD situ e au dessus du masque a t cod e sur 8 bits alors que la partie situ e en dessous a t cod e sur 2 bits Un extrait du son initial et sa reconstitution obtenue par ce proc d sont repr sent s sur la figure 5 13 L chantillon sonore initial comportait 512 valeurs cod es sur 16 bits soit en tout 8704 bits Cod e et compress e ensuite par un codage entropique que nous verrons bient t la TFD du
88. Le 10 partiel se retrouve alors 30 cents au dessus de l harmonique correspondant soit un tiers de ton Sur un piano queue avec une corde de diam tre divis par 2 mais deux fois plus longue mais aussi avec une tension deux fois plus forte pour conserver la m me fr quence cette valeur sera divis e par 2 x 24 32 et l cart ne sera plus que d environ 1cent Tout pianiste entend parfaitement la diff rence m me s il ignore son origine Richesse en harmoniques aigus Une seconde caract ristique du timbre est la r partition des harmoniques ou des par tiels un son riche en harmoniques aigus sera qualifi de brillant voire m tallique alors qu un son pauvre en harmoniques aigus sera qualifi de rond doux voire terne Dans la premi re cat gorie on trouve par exemple le violon le clavecin un piano aux marteaux tr s durs Dans la seconde on trouve les fl tes certains jeux d orgues un piano avec des marteaux au feutre mou Les figures et montrent respectivement le son d une fl te traversi re et d un clavecin 16 La diff rence de richesse en harmoniques aigus est frappante La classification par instruments est cependant discutable car un m me instru ment selon la mani re dont on en joue et en particulier selon l intensit produira plus ou moins d harmoniques aigus sur peu pr s tous les instruments on constate que l intensit relative des harmoniques aigus le rapport c
89. NATEUR 43 que vous nommerez test1 m et crivez dans ce fichier la liste des commandes pr c dentes sans le gt Pour ex cuter l ensemble de toutes les commandes contenues dans ce fichier il suffit alors de taper la commande test1 sous le prompt de MATLAB apr s avoir bien s r enregistr le fichier Modifiez maintenant votre gr les valeurs de Fe T et f dans le fichier test1 m et interpr tez ce que vous entendez l ex cution du fichier 1 7 3 Cr ons des sons plus complexes utilisation des fonctions Nous voulons maintenant cr er un son plus complexe comportant plusieurs fr quences On peut poursuivre l criture dans le fichier de commande pr c dent mais il est plus commode d utiliser une fonction si l on veut faire des essais vari s la diff rence des fichiers de commande les fonctions renvoient le s r sultat s d un calcul utilisant un ou plusieurs arguments Ces fonctions sont galement crites dans un fichier ayant l extension m mais la premi re ligne appel e en t te est obligatoirement de la forme function y1 y2 yp fonct x1 x2 xq o fonct m est le nom du fichier T l chargez en cliquant sur le bouton droit de la souris ouvrez et lisez le fichier synthad m qui se trouve sur ma page web www gmm insa tlse fr guillaum la rubrique TP son et musique Les lignes commen ant par sont des commentaires Ex cutez par exemple les commandes suivantes les autres argument
90. a n cessit d une repr sentation faisant intervenir la fois le temps et la fr quence c est ce que l on appelle une repr sentation temps fr quence C est un domaine o la th orie est la fois riche et complexe Nous nous contenterons d en d crire une version simplifi e en l introduisant par un exemple musical Supposons que l on joue la fl te la suite de notes La Do Mi de fr quences 440 523 25 et 660Hz chacune d une dur e d une seconde en commen ant l instant t 0 Le musicien crira FIG 1 22 repr sentation musicale de la s quence La Do Mi On suppose que chaque note contient les quatre premiers harmoniques d amplitudes respectives 64 16 4 et 1 les an Effectuons alors sur chaque intervalle de temps 0 1 1 2 et 2 3 analyse des coefficients de Fourier et reportons sur une figure ces coefficients en fonction du temps avec un trait dont l paisseur varie avec l amplitude On obtient alors le graphique de la figure appel sonagramme ou spectrogramme Dans ce graphique la 4000 3000 2000 Fr quence 1000 0 0 5 1 15 2 2 5 FIG 1 23 spectrogramme de La Do Mi dans le cas de quatre harmoniques par note fr quence est en ordonn e et le temps en abscisse Le parall le avec la partition fig 1 22 est vident le spectrogramme comportant l information suppl mentaire sur la composition en harmoniques du son analys En fait un tel spectrogra
91. a source de ces sons les instruments de musique La compr hension du mode de production des sons musicaux a toujours t une pr occupation majeure des compositeurs musiciens et scientifiques Jean Philippe Rameau affirmait par exemple que la simple r sonance du Corps Sonore donne la loi toute musique th orique et pratique De nombreux math maticiens et physiciens y ont apport leur contribution 3 Cependant nous sommes bien loin de disposer de mod les complets permettant de d crire de mani re exacte les instruments de musique Leur fonctionnement peut tre extr mement complexe et faire appel des th ories tr s so phistiqu es comme celle de la turbulence pour d crire les oscillations du filet d air produit au niveau de l embouchure d une fl te ou d un tuyau d orgue a De mani re simplifi e un instrument de musique comporte deux parties essentielles l excitateur la source des vibrations et le r sonateur Une corde seule ne produit qu un son peine audible Il faut lui associer un r sonateur pour mettre l air en mouvement transformer l nergie m canique de la vibration en nergie acoustique Il est possible que les hommes pr historiques se soient rendus compte de ce ph nom ne en se servant de leur bouche pour tendre un arc une peinture rupestre de la grotte des Trois Fr res Ari ge vielle de 10000 15000 ans repr sente un sorcier tenant la partie sup rieure de l arc entre les dents la pa
92. a Un CnYn 2 AN tel fo n F 1 te rfo n Fe 1 dn COS 27 fm n Fe Dans les exemples pr sent s sur les figures 6 6 et on a choisi fn n et fj n de la mani re suivante Fm n 2000 1000sin 27n F feln fmtn 10 6 3 EFFET PAR MODIFICATION DU TIMBRE On notera que l effet wah wah ne modifie pas la hauteur du son c est bien visible sur la figure 6 7 Il ne fait que changer les poids relatifs des diff rentes composantes fr quentielles la mani re des formants de la voix humaines Une variante de l effet wah wah consiste mettre en parall le plusieurs filtres passe bande ou ventuellement coupe bande variables agissant chacun sur une partie du spectre Fr quence FIG 6 6 effet wah wah sur un bruit blanc La fr quence m diane fm du filtre passe bande ls E o 0 5 1 1 5 Temps Fr quence o 0 5 1 1 5 Temps varie entre 1000 et 3000Hz avec une largeur de bande fm 10 5000 4500 4000 3500 3000 Fr quence N a 2000 1500 1000 500 FIG 6 7 effet wah wah sur un son p riodique M mes param tres que pr c demment Fr quence 1 Temps o 0 v v 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 4 Temps o ot i al 144 CHAPITRE 6 SYNTH SE ET EFFETS SONORES 6 4 Effets sonores de type AM ou FM Ces effets sont bas
93. alcul de l enveloppe Pour calculer l enveloppe en particulier si l on veut faire l analyse du son d un instrument on peut s inspirer de la technique de d modulation d amplitude utilis e en communication radio Pour cela on fait d abord passer le signal s t dans un redresseur double alternance un pont de diodes qui d livre le signal r t s t fig P 19 Ensuite on fait passer le signal redress dans un filtre passe bas de r ponse impulsionnelle h t qui lisse les variations rapides pour ne conserver que l enveloppe et l on obtient e t a hx s o a est une constante qui d pend de s En fait on peut montrer le r sultat suivant Soit un signal de la forme s t e t v t o e t gt 0 pour tout t et v t est T p riodique de fondamental f 1 T Si l on a amp f 0 pour tout f gt B avec 0 lt B lt f 2 et si h t est le filtre passe bas id al de fr quence de coupure f1 2 alors on a 1 1 fT et hl o I lo t dt FIG 2 19 son d origine s t et son redress v t s t M me si les conditions portant sur e f et B ne sont pas remplies mais que e t varie suffisamment lentement par rapport v t ce qui est le cas pour les sons instrumentaux alors la diff rence entre e t et h x s t co sera faible cf fig 2 20 Nous retrouverons exactement les m mes conditions dans le th or me de Shannon cf chapitre 5 Utilisation de plusieurs envelo
94. ant rapidement les vibrations parall les la table d amortissement plus lent prennent alors le relais Le son r manent peut tre galement produit par un l ger d saccord des cordes comme l illustre la figure Celle ci a t obtenue en fait par un mod le num rique simplifi que nous d crivons maintenant en d tail Nous reprenons le mod le pr c dent avec cette fois ci plusieurs cordes reli es un chevalet lui m me mobile Chaque corde est r duite un point M de masse m et de coordonn es L 2 u t Le chevalet est galement r duit un point Q de masse me et de coordonn es L g t On suppose qu il est reli un point fixe par un amortisseur de raideur Ke et de r sistance R En pr sence d une force ext rieure b t qui sera dans la suite celle exerc e par les cordes l quation qui r git le mouvement du chevalet est donc meg t Rg t Keg t b t 2 6 SUJETS D TUDE 79 FIG 2 25 niveau sonore d un son de piano Le son r manent provient ici d un l ger d saccord entre les cordes FIG 2 26 corde r duite un point M t de masse m reli e au chevalet lui m me r duit un point Q t de masse me 1 On commence par examiner l interaction d une seule corde avec le chevalet cf fig 2 26 Les forces s exer ant sur le point M sont Ti T cos 0 sin 4 Tz T cos p 0 sin 0 o T est la tension de la corde En utilisant le
95. ant t 0 en d crivant un cercle avec une vitesse angulaire constante Dans le premier cas on tablira les limites des fr quences instantan es pour t oo et l on tudiera aussi le cas particulier o les vecteurs M et V sont colin aires 6 5 2 FM et Chowning Soit le son modul en fr quence s t sin 2r ft Bsin 2rgt 9 Nous allons effectuer l analyse fr quentielle de ce son et d terminer les cas int ressants o il est p riodique On utilisera les deux formules trigonom triques suivantes sin a b sin a cos b sin b cosa 2 sin a cos b sin a b sin a b 1 On pose u B g V rifiez que s t sin 27 ft cos usin 2rgt cos 27 ft sin usin 2rrgt On remarque que exp iusin 2rgt cos usin 2mgt sin usin 279t La fonction de Bessel de premi re esp ce rencontr e propos des membranes peut s crire o 1 2r 27 Jn y exp i usin x nx dx 6 11 Montrez que le d veloppement en s rie de Fourier de exp iusin 2rgt est le suivant 00 exp iusin 2rgt y Cn exp 2imngt n 00 148 CHAPITRE 6 SYNTH SE ET EFFETS SONORES avec Cn Int 1 2 V rifiez que Jn u est r el puis en effectuant le changement de variable y 7 x dans 6 11 v rifiez que Jh u 1 J n u D duisez en que cos usin 27gt co 2 y Can COS 4Tngt n gt 1 sin usin 27gt 2 gt Con 1 sin 27 2n 1 gt n gt 0 et montrez finalement que
96. ar d couper le signal en M petites tranches sg t telles que T n s t si t Ie kT M k 1 T M 0 sinon Une autre fa on d crire cela est de poser s t w Mt T k s t 6Cette fr quence n a aucun sens physique et ne fait que refl ter le fait que le son a une dur e de 1 7s 32 CHAPITRE 1 LES SONS avec w 1 site f0 1 0 sinon c est dire que chaque tranche s4 t est obtenue en multipliant s t par la fen tre glissante rectangulaire w Mt T k La figure L 26 montre un signal s et la troisi me tranche s2 pour T 3 et M 10 Remarquez ici comme la fr quence augmente avec le temps dans le signal s comme au d but d une sir ne Sur chaque intervalle 74 k 0 1 M 1 on effectue ensuite une TFD du signal s t et pour chaque coefficient c l indice k indiquant que lon est sur l intervalle T associ la fr quence fh nM T on reporte sur le spectrogramme un trait joignant les points de coordonn es kT M fn et k 1 T M fn avec une paisseur proportionnelle c Typiquement chaque TFD est d ordre 256 ou 512 Dans la pratique au lieu d utiliser des intervalles disjoints qui peuvent rendre invisible ce qui se passe la jonction un saut par exemple on utilise des intervalles qui se chevauchent et au lieu d une fen tre rectangulaire on utilise des fen tres qui ont une coupure moins brusque comme celles repr sent es sur la figure I
97. articuli re repr sent e sur la figure 2 23 L archet joue un double r le d une part il est responsable de la forme de cette onde et d autre part son action permanente fournit l nergie qui sera d pens e par la table d harmonie Nous allons retrouver ce mouvement de la corde en supposant que celle ci est libre et sans amortissement les conditions l instant t 0 tant pour 0 lt x lt L et a quelconque u x 0 0 Oju x 0 a L x FIG 2 23 mouvement d une corde frott e lire en tournant dans le sens des aiguilles d une montre En utilisant le sujet d tude 2 6 1 qui nous dit que u est T p riodique en temps avec T 2L c montrez que sur la p riode T 2 lt t lt T 2 on a L z ct L x ct u x t ic Remarque malgr les apparences cette fonction est affine par morceaux par rapport x et t les termes de degr 2 s annulant et d crit bien le mouvement repr sent sur la figure 2 23 2 6 4 Corde r duite un degr de libert FIG 2 24 corde r duite un point M t de masse m Le mod le le plus simplifi d une corde fix e ses deux extr mit s cf fig 2 24 consiste r duire celle ci un point mobile M de masse m reli aux points d attache de la corde 78 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS par deux fils lastiques sans masse exer ant chacun sur le point M une force T qui a pour module la tension de la corde T
98. atine Do R Mi Fa Sol La Sib Si Do notation anglo saxonne D E F G A Bb B C notation allemande C D E E G A B H C 3 4 Autres exemples de gammes La simplification de la gamme occidentale a sans doute t impos e par la polyphonie Dans d autres cultures o la composition musicale s organise davantage autour de la richesse m lodique et rythmique les gammes sont bien plus complexes que la n tre et comportent une foison d intervalles de largeur variable quarts de tons trois quarts de tons dont notre oreille occidentale a bien du mal distinguer les finesses go NE n O OO O O O Te LA _ _ _ _ _ _ CAOa a AA A FIG 3 5 formules m lodiques sur le maquam Rast Les Sib et Mib doivent tre jou s un quart de ton au dessus de leur fr quence habituelle La notion de gamme est d ailleurs trop restrictive pour les musiques orientales et aucun terme ne peut rendre le sens exact du maqu am de la musique arabe qui d crit simultan ment les intervalles utilis s le mouvement de la m lodie ou sa vie propre 5 les points de d part d arr t momentan et de repos final tout cela organis g n ralement l int rieur d un t tracorde une suite de quatre notes cons cutives Dans le tableau ci dessous sont indiqu s les intervalles utilis s dans les maquam Rast Hijaz et Saba tir s de o vous pourrez trouver des m lodies associ es dont celle reproduite ci
99. bi un d phasage d angle 0 f variable selon la fr quence mais aucune modification d amplitude Ce genre de filtre s utilise par exemple pour simuler la r verb ration cf chapitre 6 40 CHAPITRE 1 LES SONS 1 6 Sujets d tude Chaque chapitre est accompagn de sujets d tude qui permettent d approfondir certains points effleur s dans le cours La difficult et la quantit de travail demand e sont indiqu es par des ast risques pour facile pour moyen et pour difficile 1 6 1 R flexion normale sur un mur Dans le demi espace x gt 0 de coordonn es x y z une onde plane incidente p x t sin kx 27 ft est r fl chie par un mur Ce mur d quation x 0 est suppos parfaitement rigide La vitesse de l air est donc nulle en x 0 L onde plane incidente produit une pression acoustique DALE t pix t pr x t o pr x t Bsin kx 27 ft est Ponde r fl chie 1 En utilisant l quation d Euler montrez que 0 pa 0 t 0 pour tout t 2 Calculez la valeur de 8 et montrez que pa 1 t 2cos kx sin 27 ft Quelle est la nature de cette onde plane 1 6 2 Filtrage en peigne par un micro situ proximit d un mur Lors de l enregistrement d un son pur de fr quence f engendrant une onde acoustique har monique un microphone est plac suffisamment pr s d un mur pour que l on puisse consid rer que l onde produite y est plane On suppose ainsi que les condit
100. c est dire des harmoniques rappelons que dans ce cas tous les fp sont des multiples entiers de f1 avec des partiels les autres cas alors que ces instruments sont tous deux percussion et ont une enveloppe assez ressemblante caract ris e par un impact suivi d une d croissance marqu e Cependant certains pianos de faibles dimensions petits pianos droits et crapauds aux cordes plus courtes compens es par un diam tre plus forf produisent un son un peu acide qui justement fait penser un son de cloche Cela provient pr cis ment du fait que les fr quences produites par une telle corde s cartent de la progression des entiers ch re aux pythagoriciens C est ce que l on appelle l inharmonicit Une fa on l mentaire d expliquer sa cause est la suivante le deuxi me harmonique est produit par la division de la corde en deux longueurs gales deux ventres s par s par un n ud fig P 2 Ceci vaut pour une corde parfaite Mais pour une corde r elle qui pr sente une certaine raideur le n ud ne se r duit pas un point ce qui fait que les longueurs des deux ventres s en retrouvent l g rement r duites et a pour effet d augmenter un peu la fr quence du second harmonique et ce d autant plus que la corde sera plus courte Le m me ph nom ne accentu se produit pour les harmoniques sup rieurs Pour mesurer l inharmonicit on utilise comme unit logarithmique le cent ou centi me de demi ton Un demi ton
101. ce moyenne par exemple la fonction suivante cf fig 4 4 H f 1 cos r 2log f 18 8 si 32 lt f lt 8192 Osinon On consid re les fr quences fx 220 x 24 6 k 0 1 2 qui constituent une gamme ascendante en tons La gamme ascendante perp tuelle est alors constitu e des sons p riodiques suivants remarquez que les sommes sont finies 00 Net Y H 2 fy sin 272 ft n gt 00 L cart entre deux harmoniques cons cutifs quelconques de la note N4 est d une octave Par ailleurs les harmoniques de Nz 1 sont tous situ s exactement un ton au dessus de ceux de Ng puisque les fr quences correspondantes sont dans un rapport fk 1 fk 21 6 Par cons quent Nx 1 Sera per u comme tant un ton plus haut que N4 Or on a par construction Ns Mo Et de m me N m Nm pour tout m On a donc la situation paradoxale suivante bien 6 que chaque note soit plus haute que la pr c dente on revient la m me note six notes plus tard exactement comme dans le c l bre dessin d Escher qui repr sente un escalier en boucle ferm e Le spectrogramme des huit premi res notes est repr sent sur la figure Sur le m me principe Risset a r cemment construit un son ascendant perp tuel continu c est dire en glissando 14 4 2 3 Masquage fr quentiel Lorsqu entre deux sons mis ensemble ou presque l auditeur n en percoit qu un on dit que l autre est masqu par celui ci Les effets
102. ci Lors de la phase ult rieure de d compression l objectif est de reconstruire le signal de d part x Pour cela les signaux d compress s u et v sont re filtr s par g et h de la mani re suivante on calcule p 2gxr q 2hxs o r et s sont les signaux dits interpol s T uo O u1 0 uz O s vo 0 v1 0 v2 0 42 Montrez que Pn 1 qn 1 Tn pour 0 lt n lt N Ainsi malgr les apparences aucune information n a t perdue et x a pu tre reconstruit L ensemble de ces op rations filtrage d cimation interpolation filtrage addition constitue ce qu on appelle un banc de filtres reconstruction parfaite 132 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE 5 5 Travaux pratiques sur ordinateur 5 5 1 Repliement du spectre Programmez dans un fichier de commandes le son chantillonn obtenu partir du son s t cos 27 1000 t 2000 en prenant comme fr quence d chantillonnage Fe 11025Hz et comme dur e quelques se condes Qu entendrait on si l on coutait le son continu calculez la fr quence instantan e coutez le son num rique obtenu que constatez vous Confirmation visuelle utilisez la fonction specgram pour analyser le son Chapitre 6 Synth se et effets sonores Les premiers pratiquer la synth se de sons musicaux ont peut tre t les facteurs d orgue qui en juxtaposant plusieurs tuyaux essayaient de reproduire la voix humaine famille des r
103. d effets sonores effet Leslie dans les orgues lectroniques p dales de la guitare wah wah sustain r verb ration saturation etc D sormais la technologie num rique peut reproduire tous ces effets et en cr er de nou veaux linfini 17 Par manque de place nous n en d crirons que quelques uns 6 1 Synth se de sons musicaux Les techniques de synth se num rique de sons musicaux peuvent se classer en deux grandes cat gories il y a celles qui mettent en uvre une mod lisation physique et celles qui utilisent des mod les de signaux pr d finis La synth se par mod lisation physique consiste partir d un mod le physique simplifi de l instrument que l on cherche produire ou reproduire et effectuer ensuite les calculs num riques donnant la r ponse du mod le une excitation donn e Un exemple l mentaire en est fourni par le sujet d tude 2 6 5 capable en particulier de rendre compte du ph nom ne 133 134 CHAPITRE 6 SYNTH SE ET EFFETS SONORES de r manence C est un domaine que nous ne d velopperons pas davantage mais o la re cherche est tr s active 18 et qui commence appara tre dans les instruments num riques du commerce La difficult essentielle de la mod lisation physique est de prendre en compte les ph nom nes lin aires et non lin aires au niveau de l excitateur de mani re la fois suf fisamment simple pour pouvoir effectuer les calculs en temps r el ex
104. de musique 2 2 1 Lame pos e aux deux extr mit s L exemple type de lame pos e aux deux extr mit s est fourni par le xylophone Dans le mod le simplifi o l on suppose que la lame est pos e exactement aux extr mit s ce qui 3g e V12 pour une lame d paisseur e g r 2 pour un cylindre de rayon r 54 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS n est pas tr s r aliste mais passons la fonction y x s annule en 0 et L ainsi que les d riv es secondes en l absence d efforts de flexion cf fig P 5 Ceci donne en 0 a B y 0 0 a P y 0 0 d o l on d duit que a f et y et p x 2 ash Kx iysin Kz Au point x L les deux autres conditions aux limites s crivent l ash KL iysin KL 0 2 9 ash KL iysin KL 0 u x t 0 o u x t variable f 9 2 u xt 0 FIG 2 5 lame pos e Aux deux extr mit s la position est constante la pente varie au cours du temps et la courbure est nulle On carte le cas K 0 qui donnerait u 0 Le syst me admet des solutions a y 0 0 si et seulement si sin KL 0 c est dire K nr L avec n gt 1 puisque K gt 0 Dans ces cas on a a 0 et compte tenu de 2 7 les solutions harmoniques ou modes propres sont ainsi de la forme u x t asin K 1 exp 2i7 fnt 2 10 avec Kp nrT L et fn gc K 27 ou encore 2 JCLT n 2 11 Remarque 2 1 On constate que comme pour les cordes les modes propres sont station
105. de piano les harmoniques aigus s teignent plus vite que les graves 2 5 TIMBRE DES INSTRUMENTS 75 5000 MR 27 4000 E RA A p PH lt lt g 3000 L gt Err a 5 x lt _ a c m oO Sl e LE 5 i 0 O aaae I S E C 2000 z z 7 E a 1000 Re z y F po A ot E A M Cig f 0 0 5 1 1 5 2 2 5 Temps FIG 2 21 un extrait du trompettiste Miles Davis dans The Sorcerer Il s agit d une note tenue Dof 4 avec des harmoniques qui arrivent d autant plus tard qu ils sont aigus 5000 F 4000 3000 k Fr quence 2000 1000 Temps FIG 2 22 Do 3 d un piano Les harmoniques d marrent tous en m me temps mais leur dur e d croit avec leur hauteur On remarquera les battements produits par un l ger d saccord entre les trois cordes 76 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS 2 6 Sujets d tude 2 6 1 Vibration d une corde cas g n ral Le mouvement d une corde libre de longueur L fix e ses deux extr mit s peut tre d termin par l analyse de Fourier vue en cours Il peut aussi tre d termin directement de la mani re suivante Nous savons d j que ce mouvement est de la forme u x t f x ct g x ct 1 Montrez que la condition u 0 t 0 pour tout t entra ne que g y f y et donc u x t f x ct f x ct 2 Montrez que la condition u L t 0 pour tout t entra ne que f est 2L p riodique 3
106. dre 4 bits sans que la perturbation produite soit tr s g nante alors que le bruit produit par une quantification temporelle sur 4 bits est carr ment insupportable Venons en maintenant aux d tails Notre point de d part servant d illustration est un son chantillonn la fr quence Fe 22050Hz quantifi sur 16 bits et not re t Pour traiter celui ci on commence par le d couper en petites tranches comportant chacune 512 chantillons Chaque tranche est obtenue en multipliant le signal par une fen tre glissante w comme celle que nous avions utilis e pour le spectrogramme au 1 4 2 deux tranches cons cutives se recouvrant l g rement La figuref5 10 montre comment est obtenue la deuxi me tranche Cette tranche u en cours d analyse comporte donc 512 chantillons up cod s sur 16 bits que nous souhaitons compresser Les propri t s psychoacoustiques que nous allons mettre en uvre ont rapport aux composantes fr quentielles pr sentes dans ce signal aussi la premi re op ration consiste calculer sa TFD transform e de Fourier discr te Les coefficients de cette TFD sont les 512 coefficients complexes amp donn s par la formule 1 16 que nous notons ici Cn pour simplifier Leur intensit Ly n 20 log en est repr sent e en trait plein sur la figure Comme dans la figure 1 25 l abscisse ne 122 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE 0 1 L L L L L L de 200 400 600 800 1000 1200 y
107. du OO L int grale a t remplac e par la somme et t et u ont t remplac s respectivement par n et k Ce qu il est important de noter c est que tout filtrage analogique faisant appel selon les cas des dispositifs acoustiques ou lectroniques peut tre effectu de mani re quivalente ou peu pr s dans le domaine num rique d s lors que la condition de Shannon est v rifi e ou peu pr s et que l on dispose des chantillons de la r ponse impulsionnelle du filtre utiliser Lorsque le nombre de coefficients h non nuls est fini le filtre est r ponse impulsionnelle finie et on l appelle filtre RIF en anglais FIR Dans le cas contraire il est r ponse impulsionnelle infinie et on l appelle filtre RIT en anglais ITR 5 3 2 Transform e en z Que se passe t il c t Fourier pour les signaux chantillonn s Ces signaux ont bien une transform e de Fourier mais sa d finition requiert un outil math matique qui sort du cadre de ce cours la th orie des distributions Nous d crivons ici un autre outil tr s proche de la transform e de Fourier la transform e en z Nous verrons que celle ci permet de repr senter de mani re tr s pratique les op rations concernant le filtrage discret D finition Soit un signal discret x n nez On appelle transform e en z du signal x la fonction de la variable complexe z 00 Xe y Das 5 10 n 00 Nous utilisons la m m
108. e cela para t absurde que se passe t il si l on modifie les valeurs de s t entre les chantillons sans changer ceux ci La reconstruction ne pourra pas marcher Il se passe justement la chose suivante et c est ce que dit aussi ce th or me il est impossible de modifier les valeurs s t entre les chantillons sans modifier ceux ci tout en restant bande limit e B B La moindre modification fait n cessairement appara tre des fr quences sup rieures B et le th or me ne s applique plus Effectivement la reconstruction ne marchera pas mais c est parce que les hypoth ses du th or me ne sont plus satisfaites Cons quences Voyons sur un cas concret les implications de ce r sultat Notre oreille n entend pas les fr quences sup rieures 20kHz Aussi dans une prise de son il est inutile d enregistrer les fr quences sup rieures 20kHz Ceci peut tre r alis peu pr s cf paragraphe suivant soit par un filtrage passe bas du signal enregistr soit tout simplement par le fait que le micro n est pas assez sensible pour capter les ultra sons Nous sommes donc dans les conditions du th or me avec B 20kHz qui nous dit que si l on chantillonne ce signal une fr quence sup rieure 2B 40kHz alors le signal d origine ou plus exactement celui dont on avait retir les fr quences sup rieures 20kHz peut tre reconstruit de mani re exacte en filtrant le signal chantillonn par un filtre
109. e la tierce majeure Dans ce cas l accord ne se fait pas par suppression d un battement mais par ajustement de sa vitesse Le Fa 2 produit un cinqui me harmonique de fr quence 5 x 174 6Hz 873Hz Le La 2 produit lui un quatri me harmonique de fr quence 4 x 220Hz 880Hz Ces deux harmoniques produisent donc ensemble un battement de 7Hz perceptible par une oreille attentive La vitesse de ce battement d pend bien s r de la hauteur de la tierce Par exemple il sera deux fois plus rapide une octave plus haut On remarque qu en raccourcissant la tierce majeure ici avec un Fa 2 de fr quence 880Hz 5 176Hz on obtient une tierce sans battements utilis e par exemple dans la gamme non temp r e de Zarlino 1 7 Nous reviendrons sur le temp rament au chapitre 3 2 2 LES LAMES 53 Si comme le fit Helmholtz au XIX si cle on d finit le degr de consonance comme d crivant quel point les harmoniques de deux notes jou es simultan ment co ncident ou au contraire battent entre eux l octave est l intervalle le plus consonant suivi imm diatement par la quinte d o l importance de cette derniere dans la construction des gammes 2 2 Les lames Quittons la section des cordes et consid rons maintenant le cas d une tige ou d une lame de section rectangulaire ou circulaire C est la source de vibration de nombreux instruments comme l accord on le xylophone son de bois en grec le vibraphone xylophone
110. e nombre d op rations effectuer cro t au fur et mesure que n augmente environ 3n m op rations pour calculer yn alors que dans 6 3 le calcul de y n cessite au plus une addition et une multiplication Remarque 6 2 En prenant la transform e en z de 6 3 qui s crit galement Yn JYn m n On trouve cette fois ci 1 g2 Y 2 X z2 En consid rant le polyn me a z 1 gz on a donc a z Y z X 2 ce qui signifie d apr s que y est le r sultat du filtrage de x par le filtre qui a pour transform e en z la fonction 1 H 2 6 5 6 5 En appliquant avec 00 1 _ 1 n mn Sa 2 on en d duit que le filtre h a pour chantillons hmn g n gt 0 les autres hk k non multiple de m tant nuls C est un filtre RII Si l on utilise pour calculer hx x avec ces coefficients on retrouve bien le r sultat calcul la main 6 2 EFFETS TEMPORELS CHO ET R VERB RATION 139 6 2 3 R verb ration Dans une salle o il y a plusieurs parois on entendra de multiples r flexions des instants vari s qui finiront par se fondre pour produire la r verb ration En musique lectronique on obtient une r verb ration artificielle en faisant passer le signal reconverti provisoirement en signal m canique dans plusieurs ressorts de longueurs diff rentes ce sont les chambres cho fabriqu es en premier par Hammond que l on trouve dans la plupart des amplis de g
111. e notation pour le signal analogique x et le signal discret repr sent par la suite des chantillons n Ceci peut ventuellement pr ter confusion mais le contexte devrait en principe permettre de d terminer quel est le signal consid r 5 3 FILTRAGE NUM RIQUE ET TRANSFORM E EN Z 127 Cette somme n est en g n ral pas d finie pour tout z mais seulement dans une partie du plan complexe de la forme suivante appel e couronne Clo R 42 C p lt lz lt R sur laquelle la fonction X est holomorphe qui signifie d rivable par rapport z En pratique on peut toujours se ramener au cas o 0 pour tout n lt 0 Un tel signal discret est dit causal Dans ce cas on a R 00 et si p lt 00 X z admet une limite en 00 le nombre xy ce que nous supposons d sormais La question qui se pose alors naturellement est la suivante tant donn une fonction u z qui v rifie ces hypoth ses peut on lui associer un signal discret x tel que X z u z dans la couronne C p oo Pour y r pondre consid rons la fonction v z u 271 d finie pour z lt 1 p D apr s la th orie des fonctions holomorphes elle admet un d veloppement en s rie de la forme 00 v z a En EC n 0 On a alors 00 u z v 2 1 D 5 11 n 0 Nous avons donc trouv un signal discret x n nen N tant l ensemble des entiers naturels tel que X z u z De plus par unicit du d veloppement en s rie de v ce s
112. e point 138 CHAPITRE 6 SYNTH SE ET EFFETS SONORES Remarque 6 1 En utilisant la formule du retard la relation entre x et y devient par transform e en z Yld g X 2 En consid rant le polyn me b z 1 gz on a donc Y 2 b 27t X z ce qui signifie d apr s que y est le r sultat du filtrage de x par le filtre qui a pour transform e en z la fonction H z b 27 6 2 et d apr s avec v b ce filtre a pour chantillons ho 1 hm g les autres hy tant nuls C est un filtre RIF 6 2 2 cho multiple Examinons maintenant le cas de deux parois qui se font face et qui engendrent une suite d chos qui vont en diminuant c est l cho multiple Supposons par exemple que l auditeur et la source soient situ s pr s de l une des deux parois Apr s une premi re r flexion sur la paroi oppos e le son reviendra puis retournera s y r fl chir une seconde fois puis une troisi me etc Appelons y le son ainsi produit Pour prendre en compte le fait que maintenant le signal provenant de la derni re r flexion n est plus g n m mais 9Yn m la relation se transforme alors en la suivante Un Tn JYn m 6 3 C est une relation de r currence que l on peut r soudre la main ce qui donne Yn Tn ITn m Dn Tasset d a a s 6 4 Cette relation fait appara tre les r flexions successives de plus en plus amorties puisque 0 lt g lt 1 mais n a pas d int r t pour le calcul car l
113. e technique FM offrait de plus une mise en uvre tr s simple il suffisait d enregistrer les chantillons de la porteuse dans un registre une m moire puis de lire ces chantillons une vitesse variable Ainsi naissait la c l bre gamme des synth tiseurs Yamaha DX dont le tr s populaire DX7 Par la suite Chowning utilisa cette m me technique pour imiter le chant en reprenant cette fois ci fo multiple entier de f par exemple fo 17 f ou fo 25 fi imitant les formants de la voix 6 1 4 Synth se par utilisation de sons chantillonn s La synth se par utilisation de sons pr alablement chantillonn s est la technique actuelle ment la plus r pandue pour l imitation des instruments acoustiques ou lectroniques Plut t que de mettre en uvre l une des synth ses mentionn es et dont le r sultat est souvent loin de satisfaire les musiciens on utilise des sons d instruments pr alablement enregistr s et chantillonn s qu il suffit alors de restituer au moment voulu Cela n cessite une capacit de stockage assez importante Les premiers instruments utilisaient un seul chantillon pour plusieurs notes une octave par exemple mais les changements d chantillon taient percep tibles en effet un Sol d un instrument quelconque est diff rent d un Do dans lequel toutes les fr quences auraient t simplement multipli es par 1 5 Les poids relatifs des harmoniques changent en g n ral les poids relatifs des harm
114. en tre ovale jusqu son extr mit l h licotr me alors que la membrane basilaire lastique va au contraire en s largissant aussi curieux que cela puisse para tre Le m canisme complet est difficile analyser du point de vue m canique mais en faisant une observation directe V B k sy a constat vers 1960 que l amplitude des vibrations de la cochl e dues aux hautes fr quences est maximale dans la partie proche de la fen tre ovale alors que pour les basses fr quences c est vers l extr mit que l amplitude est maximale 15 cf fig 4 3 Ce fonctionnement avait d ailleurs t pr dit en partie au XIX Me si cle par le physiologiste et physicien H Helmholtz On retiendra donc qu chaque son correspond une signature sonore qui se produit sur la cochl e et qui est envoy e au cerveau par les cellules de Corti Tous les autres l ments de l oreille sont l pour assurer le relais entre l ext rieur et la cochl e puis entre celle ci et le cerveau e L oreille externe capte les ondes sonores par le pavillon et les achemine au travers du conduit auditif jusqu au tympan e l oreille moyenne comporte un dispositif charg de diminuer l amplitude des vibrations tout en augmentant leur efficacit effet de levier assurant la transmission air liquide des variations de pression c est la cha ne des osselets sollicit e par le tympan et qui transmet les vibrations la fen tre ovale e
115. ensation d un son l g rement plus grave L r side peut tre l explication des ternels conflits entre musiciens qui s accusent de jouer faux en parti culier lorsque certains jouent dans les coulisses qui par un effet de filtrage peuvent en effet supprimer certains harmoniques Par ailleurs il est noter que la tonie varie galement avec l intensit les sons graves semblent baisser lorsque leur intensit augmente alors que les sons aigus semblent monter la variation apparente de hauteur pouvant atteindre un ton entier lorsque l intensit sonore passe de 40dB 100dB pour des fr quences de 150Hz ou 5000Hz Pour des sons de 2000Hz la variation de la tonie est insignifiante 0 10 10 10 Hz FIG 4 4 fonction de troncature des harmoniques Terminons ce paragraphe par une belle illusion acoustique sur la hauteur le son ascendant perp tuel synth tis sur ordinateur par Shepard 14 et pr sentant une certaine analogie avec la reprise dans les orgues cf 2 5 1 L id e est sur une gamme ascendante quelconque par exemple la gamme en tons une pens e Claude Debussy de faire rentrer au fur et mesure dans chaque note des harmoniques par le grave en m me temps qu on les fait sortir par 4 2 HAUTEUR DES SONS 105 Paigu Pour cela on se donne une fonction H nulle en dehors de l intervalle 32Hz 8192Hz les logarithmes des bornes en base 2 sont 5 et 13 et maximale autour d une fr quen
116. ensuite quelques types de sons et plusieurs facons de les repr senter Nous terminerons par la notion de filtrage qui permet par exemple d isoler certaines fr quences 1 1 Propagation des sons FIG 1 1 ondes de pression dans un tube ouvert droite pression impos e gauche La propagation des ondes sonores se fait a priori dans toutes les directions et d pend des obstacles rencontr s Nous tudions essentiellement les ondes planes c est dire ne d pendant que d une seule direction d espace Nous supposons que cette direction est l axe des x et par cons quent la pression p z y z t ne d pend ni de y ni de z On peut donc la noter simplement p x t Cette forme de fonction repr sente une onde plane se propageant dans l espace mais galement l onde sonore l int rieur d un tube cf fig L 1 comme par exemple celle qui se propage dans un tuyau d orgue 10 CHAPITRE 1 LES SONS 1 1 1 Un peu de mod lisation physique L quation qui r git le d placement des ondes sonores s obtient partir de trois quations fondamentales issues de la physique des milieux continus Conservation de la masse v a t v b t FIG 1 2 bilan de la masse dans la tranche d air il n y a ni cr ation ni disparition On note p x t la densit de Pair et v x t la vitesse moyenne des mol cules d air qui se d placent sous l effet de l onde sonore ne pas confondre avec la vitesse
117. er 141 r verb rateur 140 mot 118 MP3 99 121 122 Music V 135 musique arabe 95 baroque La 3 94 orientale 95 nerf acoustique 103 noeud 13 67 nombre binaire 109 118 note alt r e 18 sensible 18 tonale 18 Nyquist crit re de 113 octave 17 21 93 103 105 octet 110 ondes quation des 12 48 57 de torsion 48 harmoniques 13 harmoniques sph riques 15 hertziennes 109 longitudinales 48 53 p riodiques 13 planes 9 progressives 12 153 sonores 9 stationnaires 13 14 41 tournantes 58 transversales 48 53 op ra de Paris 94 orchestre coulisses 104 La 3 94 tutti 99 101 oreille 101 orgue 59 68 70 osselets 103 oule 99 110 partiel 23 56 67 pascal 12 p dales 133 perte d information 110 phase 20 phone 99 piano 50 67 68 74 piccolo 99 plein jeux 70 PM 135 Poisson coefficient de 82 polyphonie 91 95 port e 18 porteuse onde 39 135 pr lude 92 pression 9 acoustique 15 99 atmosph rique 12 prestant 70 principal 23 70 probabilit 125 uniforme 120 psychoacoustique 99 110 pulsation 20 Pythagore 49 qualit audio 103 110 114 119 t l phonique 119 quantification 109 121 non uniforme 120 154 uniforme 118 quarte 19 quinte 19 21 70 89 91 93 quintoyer 65 rapport signal sur bruit 119 rayon de giration 53 r cit 133 r gales 133 relation de r currence 138 r ponse impulsionnelle 37 1
118. es trois accords majeurs de tonique Fa Do et Sol sont donc tr s consonants et ne produisent aucun battement Mais les choses se g tent singuli rement quand on change de tonalit Par exemple la quinte R La a un rapport de fr quence gal 40 27 1 48 inf rieur la quinte juste de rapport 1 5 Pour un R de fr quence 294Hz la quinte R La de Zarlino produira un battement de 3 x 1 2 x 40 27 x 294Hz 11Hz ce qui est pouvantable pour une quinte Par ailleurs il y a maintenant trois types d intervalles entre notes cons cutives contre deux dans la gamme de Pythagore le demi ton de rapport 16 15 et deux types de tons les tons Do R Fa Sol et La Si de rapport 9 8 et les tons R Mi et Sol La de rapport 10 9 L cart entre ces deux types correspond un rapport de fr quence gal 9 8 10 9 81 80 intervalle appel comma et valant approximativement un neuvi me de ton Tout cela n tait pas tr s satisfaisant et tout particuli rement dans le contexte de la mu sique occidentale o se d veloppait la polyphonie combin e avec le d sir de pouvoir transposer dans toutes les tonalit s 92 CHAPITRE 3 LES GAMMES 3 3 Les gammes temp r es Le clavecin bien temp r de J S Bach fut compos au d but du XVIII si cle C est un ensemble de pr ludes et fugues crits dans les vingt quatre tonalit s majeures et mineures Comme l indique le titre de l uvre jouer ces pr ludes et fugues n
119. est lin aire et invariante par translation temporelle et le syst me qui transforme s en v s appelle un filtrd La fonction H f qui n a t ici consid r e que pour les fr quences fn mais peut tr s bien tre d finie pour toutes les fr quences f s appelle la fonction de transfert du filtre Quel est l int r t du filtrage Essentiellement de modifier la composition fr quentielle du signal Si par exemple le son est jug trop brillant on appliquera un filtre pour lequel les H fn sont faibles voire nuls pour les hautes fr quences et de l ordre de 1 pour les basses fr quences Un tel filtre est appel filtre passe bas On peut aussi faire le contraire att nuer les basses fr quences on a alors affaire un filtre passe haut On peut enfin vouloir s lectionner des fr quences interm diaires et att nuer les autres auquel cas le filtre est dit passe bande Nous y reviendrons un peu plus loin Par exemple le signal peu pr s triangulaire de la figure 1 14 courbe du bas form des quatre premiers harmoniques a t filtr par chacun des trois filtres dont les fonctions de transfert sont repr sent es dans la colonne de gauche de la figure 1 29 un passe bas un passe bande et un passe haut Dans la colonne de droite sont repr sent s les signaux de sortie Pour les deux premiers ce filtrage a permis d isoler respectivement les composantes de fr quence 1Hz et 2Hz Le troisi me filtre a isol la som
120. et tierces majeures E 47 48 50 53 53 55 57 59 60 63 66 67 72 76 76 76 77 77 78 80 82 83 84 84 85 86 86 87 87 TABLE DES MATI RES 3 6 1 Construction de quelques gammes 3 6 2 Ecoute des battements 4 Psychoacoustique 4 1 Intensit sonore et somiel 0 4 EA aa D O ns ne o D e es ie De de A SU ue M 4 2 Hauteur des sons serae piano eu use gi nf a Le e 4 CEA a a A ee 5 1 a DA a a a rs e 4 2 3 Masquage fr quentiel A a a E e 4 3 1 Niveaux d isosonie 4 3 2 Masquage fr quentiel 4 3 3 Son ascendant perp tuel 4 4 Travaux pratiques sur ordinateur 4 41 Masquage fr quentiell 4 4 2 Gamme ascendante perp tuelle MR A O A ie us Re LD o SEM AE SSSR RU a GARE de DANS SIT US RER Res a ST ari AE O d o LR sa 5 2 2 Compression entropiquel D ena ee Clyde dle Be sr a 5 3 1 Filtrage num riquel DATE p Ban m unes dde PU de ea A e a a a r n e a a a e a a 5 4 1 Crit re de Nyquist 5 4 2 Repliement d un son ascendant us 5 4 3 Autre cas de reconstruction 5 4 4 Banc de filtres l mentaire 5 5 Travaux pratiques sur ordinateur 5 5 1 Repliement du spectrel A a SE a pea AREA 6
121. eu pr s au milieu du clavier du piano 1 2 3 Partage de l octave en douze demi tons Les autres intervalles sont d termin s par le choix du temp rament qui fixe de mani re pr cise les rapports de fr quence entre les diff rentes notes et que nous discuterons en d tail 3Nous verrons dans la section suivante qu il s agit de la fr quence du fondamental de la note 18 CHAPITRE 1 LES SONS au chapitre 3 Nous nous placons ici dans le cas du temp rament gal Dans celui ci l octave est partag e en douze intervalles gaux appel s demi tons de rapport de fr quence 21 12 1 0595 Si partant d une note de fr quence f on monte douze fois de demi ton en demi ton on obtient successivement les notes de fr quence 2 12 puis 21 12x 91 12f 92 12f puis 23 12f 211 12 f et finalement 212 12f 2f ce qui nous a bien amen l octave sup rieure par intervalles gaux Ces treize notes forment ce que l on appelle la gamme chromatique qui fut invent e par les chinois il y a plus de quatre mill naires En partant de Do ce sont les notes Do Dof R R Mi Fa Faf Sol Solf La Laf Si Do le signe f indiquant que la note a t augment e d un demi ton la note obtenue tant dite alt r e En utilisant le signe b pour abaisser une note d un demi ton cette suite de notes peut galement s crire Do R b R Mib Mi Fa Solb Sol Lab La Sib Si Do Les notes Dof et R b sont dites enharmoniques et so
122. ez s f avec h f s f h tant le filtre passe bas id al de fr quence de coupure 1 27 D duisez en que s t h x se t Remarque dans la r alit s t est remplac dans 5 15 par s nr ce qui introduit une l g re erreur d autant plus faible que e est petit 5 4 4 Banc de filtres l mentaire tant donn un signal discret x n o lt n lt N on consid re deux filtres discrets g et h d finis respectivement par leurs sorties y et z 1 Yn 3 En F nal 1 Zn 3 En ni avec la convention n 0 si n lt 0 ou n gt N Le r sultat est ainsi y g x et z hx zx 1 Calculez les coefficients gn et hn de ces deux filtres 2 Calculez leur transform e en z et repr sentez graphiquement le module de leur fonction de transfert G f et H f Quelle est la nature de chacun de ces filtres plut t passe haut ou passe bas 3 Les sorties y et z sont donc respectivement les composantes basses fr quences et hautes fr quences du signal x Supposons que l on veuille utiliser ces donn es pour compresser le signal C est assez mal parti dans la mesure o l on a peu pr s multipli par deux le volume des donn es Aussi n en conserve ton qu un terme sur deux on pose Un Yon U 2 m 0 lt 2n lt N I1 proc d appel d cimation Ces deux signaux u et v sont ensuite compress s par un proc d quelconque mais sans perte suppl mentaire d informations que l on ne discute pas i
123. ez voir appara tre trois raies d abscisses 440 880 et 1320 de hauteur proportionnelle aux poids les an de chacun de ces harmoniques Analyse temps fr quence L analyse temps fr quence se fait en utilisant la fonction specgram de MATLAB specgram s 512 Fe Le nombre 512 indique la largeur de la fen tre d analyse cf 1 4 2 et la vitesse de calcul de la FFT est optimale si ce nombre est une puissance de 2 Essayez diff rentes valeurs et interpr tez les spectrogrammes obtenus 1 7 5 Filtrage Nous allons filtrer le son steinwayE wav t l charger sur ma page et lire dans MATLAB en utilisant la commande s Fe wavread steinwayE wav Nous admettrons que les lignes suivantes r alisent un filtrage passe bas de fr quence de coupure W Wn F 2 o Wp 0 1 b1 fir1 100 Wn si filter b1 1 s Faites varier Wn de telle sorte que W varie entre 100Hz et 1000Hz et coutez le r sultat De m me nous admettrons que les lignes suivantes r alisent un filtrage passe haut de m me fr quence de coupure W Wn x F 2 b2 fir1 100 Wn high s2 filter b2 1 s Faites galement varier W dans l intervalle pr c dent et coutez le r sultat 46 CHAPITRE 1 LES SONS Enfin effectuez un filtrage passe bande de votre choix en consultant l aide en ligne de la fonction firl Chapitre 2 Les instruments Apr s avoir tudi la propagation et la nature des sons musicaux allons maintenant l
124. f 500 1Hz me 300 Ke 27 fe Me avec fe 50Hz R 10y Keme Xo 0 0 0 1 9 0 2 6 6 Calcul de l inharmonicit pour une corde r elle L quation qui r git le mouvement d une corde r elle poss dant un diam tre non nul et donc une certaine raideur est une combinaison de celles d une corde id ale et d une tige Son expression est la suivante Op u x t 9 2u 1 t AO au x t 0 o c T u T tant la tension de la corde et u sa masse lin ique et rr E 4T E tant le module de Young de la corde et r son rayon Nous tudions les solutions harmoniques de la forme u x t y x exp 2i7 ft qui existent que pour certaines valeurs fn de la fr quence que nous allons d terminer Nous verrons que ces fr quences ne sont plus des harmoniques comme dans le cas d une corde id ale mais des partiels 1 Montrez que y est solution de l quation Xp x p x Kp x 0 2 25 2 6 SUJETS D TUDE 81 avec k 2r f c 2 Les solutions de cette quation sont des combinaisons lin aires d exponentielles de la forme exp Kx Montrez que exp Kx est une solution si et seulement si AK Kk k 0 et d duisez en que la solution g n rale de 2 25 est de la forme p x aexp K 1 Bexp K 1 yexp iK2x 0exp 1K32x 2 26 avec gt 1 vV1 4Ak 2 1 v1 4 k E n A 2 3 Les 4 constantes dans 2 26 doivent ob ir aux conditions impos es aux extr mit s de la corde No
125. fig L 14 et 2 16 ou rectangulaire fig L 15 et l on cherche le filtre qui donnera en sortie un son imitant celui des cordes frott es dans le premier cas des instruments anche dans le second Cette technique est toutefois assez gourmande en calculs et semble avoir eu moins de succ s que les autres 6 1 2 Synth se additive Reprenant la d marche des facteurs d orgue les concepteurs d instruments lectroniques puis num riques utilis rent la synth se additive pour cr er des sons synth tiques imitant les instruments acoustiques ou produisant de nouvelles sonorit s Ces sons sont de la forme s t Y en t I sin 27 fnt On b t I n que nous avons d j rencontr e au 2 5 2 ent T est Venveloppe de l harmonique ou partiel de rang n Ici a t rajout un bruit b t 1 qui pourra imiter le souffle d un instrument vent le frottement de l archet sur la corde le bruit de percussion au d but d une note de piano etc Le param tre I repr sente l intensit laquelle la note va tre jou e il ne suffit pas en effet de tout multiplier par une m me quantit pour obtenir une note plus forte car l intensit relative des harmoniques ou partiels peut varier ainsi que leur enveloppe Le poids 6 1 SYNTH SE DE SONS MUSICAUX 135 et la forme de e t 1 doivent donc voluer en fonction de l intensit J On s apercoit ainsi que dans le cas de l imitation d un instrument acoustique la mise e
126. fisant pour que deux signaux harmoniques qui produisent les m mes chantillons soient forc ment gaux Ceci est un cas particulier 114 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE d un r sultat fondamental en th orie du signal le th or me de Shannon Avant de l noncer nous avons besoin de la d finition suivante soit B gt 0 et s t un signal admettant une transform e de Fourier S f Rappelons que l on a 1 14 00 s t f 5 f exp 2ix ft df 00 c est dire que s f est la densit de la fr quence f dans le signal s t On dit qu un signal s t est bande limit e B B si S f 0 pour tout f gt B autrement dit si le signal ne comporte aucune fr quence f gt B Par exemple bien que nous n ayons pas d fini la transform e de Fourier de s t exp 2i7 ft ce signal a pour fr quence f et il est donc bande limit e f fI Th or me de Shannon Soit s t une fonction qui admet une transform e de Fourier S f bande limit e B B On chantillonne cette fonction la fr quence Fe Si Fe v rifie le crit re de Nyquist F gt 2B alors s t est l unique fonction bande limit e B B qui a pour chantillons les valeurs s n Fe nez De plus si h t est le filtre passe bas id al de fr quence de coupure F 2 alors on peut reconstruire s t partir du signal chantillonn se t en lui appliquant ce filtre s t h x se t Les sceptiques pourront objecter qu
127. gales ou les sonorit s des instruments de l orchestre cf 2 5 1 Par exemple dans les jeux de gambe deux tuyaux jouant ensemble taient l g rement d saccord s afin de produire un battement imitant l ondulation des instrument cordes c est la voix c leste jeu typique du r cit romantique Au cours du XX si cle on a assist la naissance d instruments de synth se lectroniques tout particuli rement des orgues combinant entre autres circuits oscillants et filtres pour produire des sons musicaux Aujourd hui un avantage remarquable fourni par la technologie du num rique est la possibilit de r aliser sur ordinateur toutes sortes de sons depuis l imitation des instruments acoustiques ou lectroniques jusqu la cr ation de sons enti rement synth tiques comme le syst me de synth se Modalys d velopp par PIRCAM 18 Nous verrons quelques proc d s simples pour g n rer de tels sons M me s il est difficile de d finir avec pr cision ce qui les distingue d un son propre ment dit on peut dire que les effets sonores sont des modifications de sons pr existants Ils ont sans doute t utilis s de tous temps et les instruments acoustiques en donnent de nombreux exemples p dales des clavecins et pianos sourdines diverses pour la trompette mais aussi vibrato produit par l instrumentiste lui m me Avec l av nement des instruments lectroniques la musique rock a t une grande utilisatrice
128. glais John Shore que l on doit l invention vers 1711 du diapason fourche plus pr cis que les fl tes d accord utilis es auparavant Le La 3 du diapason a 94 CHAPITRE 3 LES GAMMES repr sentation fr quentielle 1200 T T T 1000F J 800 f o 600 el al l 200 1 1 1 1 1 Mor io gai ca 0 800 820 840 860 880 900 920 940 960 980 1000Hz FIG 3 4 analyse fr quentielle du La 4 par M C pour ceux qui ont suivi o l on mesure bien la distance qu il y a entre les modeles simples que nous d crivons et la complexit de la r alit beaucoup vari au cours des si cles mais galement d un endroit l autre ce qui n allait pas sans poser quelques probl mes aux musiciens qui voyageaient Selon certains le diapason utilis dans une ville d pendait pas mal de l tat de ses finances si les fonds venaient manquer on rognait sur le budget orgue en raccourcissant l g rement les tuyaux et le diapason grimpait Les autres instruments devaient alors suivre le mouvement Le diapason de l op ra de Paris de 1704 tait 405 3Hz plus bas que le Lab actuel puis il monta graduellement jusqu 449Hz en 1858 Au m me instant il tait 434Hz Londres et 455 5Hz Bruxelles Aussi un d cret de 1859 le fixa en France 435Hz ce qui fut confirm par le
129. harmonicit Gamme de Si Faf Do Sol Dof Solf R La R f Laf Mi Si Pythagore Zarlino bien temp r e temp rament gal avec inharmonicit TAB 3 2 battements des quintes pour diff rentes gammes 3 6 TRAVAUX PRATIQUES SUR ORDINATEUR 97 Gamme de Fa La Fat Laf Sol Si Solf Do La Dof Sib R Pythagore Zarlino bien temp r e temp rament gal avec inharmonicit Gamme de Si R f Do Mi Dof Fa R Faf R f Sol Mi Solf Pythagore Zarlino bien temp r e temp rament gal avec inharmonicit TAB 3 3 battements des tierces majeures pour diff rentes gammes 3 6 Travaux pratiques sur ordinateur 3 6 1 Construction de quelques gammes Reprenez le fichier play m vu au chapitre 2 et sauvez le sous un nouveau nom par exemple gammes m Dans ce nouveau fichier modifiez le vecteur fr tel qu il est crit il contient les fr quences d une gamme chromatique temp r e l g rement tir e de telle sorte qu il contienne les fr quences de la gamme de Zarlino ou de celle de Pythagore et coutez la diff rence entre ces gammes et la gamme temp r e 3 6 2 coute des battements Nous allons couter les battements produits entre deux notes Ouvrez un nouveau fichier et programmez un accord de deux notes Pour cela vous pouvez au choix passer par la fonction instrument que vous avez cr e lors des TP du chapitre 2 et crire dans votre fic
130. hier apr s les initialisations n cessaires s instrument f1 T Fe instrument f2 T Fe ou bien passer par la fonction synthad cf TP du chapitre 1 en crivant s synthad a fr1 p T Fe synthad a fr2 p T Fe Dans le premier cas f1 et f2 sont les fondamentaux des deux notes de l accord dont on veut entendre les battements Dans le second cas les vecteurs fr1 et fr2 contiennent la liste des harmoniques de la forme fri 1 n f1 o n est le nombre d harmoniques On pourra jouer sur les amplitudes contenues dans le vecteur a Vous testerez les cas suivants e f1 et f2 tr s proches e f1et f2 cart es d une quinte l g rement diminu e Entendez vous les battements Les entendez vous encore si vous supprimez les harmoniques de rang 2 et 3 e f1 et f2 cart es d une tierce majeure de Pythagore ou de Zarlino ou temp r e Faites ces tests diff rentes hauteurs Quels sont les harmoniques qui rentrent en jeu dans les battements Les entendez vous encore si vous supprimez ces harmoniques On trouve 98 CHAPITRE 3 LES GAMMES l une explication de la difficult qu ont les fl tistes s accorder en jeu de tierce avec des fl tes tr s douces Ajoutez y la quinte pour comparer les accords majeurs de base Chapitre 4 Psychoacoustique La psychoacoustique est l tude de la perception des sons Le traitement du son effectu par l oreille et le cerveau est extr mement complexe et son tude es
131. ichier en vous appuyant sur les formules du cours Pour plus de r alisme vous pouvez faire d marrer le vibrato une demie seconde apr s le d but du son 6 6 5 Effet Leslie Ouvrez un nouveau fichier sur le mod le instrument m que vous appellerez leslie m et dans lequel vous programmerez un son d orgue rappelez vous qu une note d orgue est typiquement compos e de plusieurs tuyaux dont les fondamentaux sont en progression har monique typiquement 1 2 3 4 5 A l int rieur de cette fonction vous ferez appel une nouvelle fonction cr er synthadl m sur le mod le de synthad m qui fournira en sortie un son st r o cf synth se de Chowning pour le format d un tel son et dans laquelle chaque harmonique sera programm sur le mod le d crit dans le cours L enveloppe sera pro gramm e dans la fonction synthadl m elle m me Utilisez ensuite le programme play pour jouer de votre nouvel instrument Index ensemble des entiers naturels 127 ensemble des entiers relatifs 13 ensemble des nombres r els 13 ensemble des nombres complexes 14 cos cosinus 13 sin sinus 13 tg tangente 48 ch cosinus hyperbolique 55 sh sinus hyperbolique 55 log logarithme en base dix 16 log logarithme en base deux 68 Rs rapport signal sur bruit 119 A N Z Acad mie Fran aise 94 accord 50 56 63 104 majeur 91 accord on 53 acoustique lin aire 10 air 9 comportement last
132. id rer que la pr sence d un trou donne peu pr s le m me r sultat que si le tube tait coup son niveau n est qu une approximation assez grossi re 2 4 1 Commande en pression La source des vibrations est donc ici la pression l entr e du tube po t Par ailleurs une approximation raisonnable est obtenue en supposant que la pression acoustique est nulle la sortie du tube tuyau ouvert sur l air environnant Ce n est pas tout fait exact et les facteurs d instruments vent savent en tenir compte en modifiant en cons quence la longueur du tuyau ou la position des trous par rapport la longueur donn e par le mod le simplifi Compte tenu de l tude de l quation des ondes men e au chapitre 1 nous obtenons le syst me lin aire suivant pplz t c20 2p 1 t 0 dans le tube p 0 t polt l entr e 2 16 p L t 0 la sortie La source po t est suppos e tre p riodique de p riode T 1 f Elle peut donc tre d compos e en s rie de Fourier 00 po t y Cn exp 2i7 fnt n nf n o0 2 4 LES TUBES 61 Le syst me tant lin aire la r ponse du tube sera la somme des r ponses chacune des excitations Cn exp 2i7 fnt et l on peut donc restreindre l tude au cas o l excitation est harmonique c est dire polt exp 2i7 ft 2 17 ce que nous supposons d sormais La pression est alors aussi harmonique c est dire de la forme p z t p z exp
133. ierce pythagoricienne 24 condition bien s r que l harmonique 5 du Do et l harmonique 4 du Mi entre qui se produit ce battement soient pr sents dans les notes 3 2 LA GAMME DE ZARLINO 91 est per ue comme brillante ou dure Le battement de la tierce temp r e est nettement plus lent environ 10Hz 3 2 La gamme de Zarlino Au IV si cle av J C Aristox ne le Musicien l ve d Aristote recommandait dans ses l ments d harmonique de ne pas tourner le dos la sensation et de se fier l oreille plut t qu la raison math matique Aussi proposait il de construire l accord majeur sur la base des harmoniques donc dans les rapports de fr quence 1 5 4 3 2 C est un accord qui ne produit aucun battement et sonne tr s pur Il tait jug par Aristox ne et ses disciples plus esth tique et plus conforme la physique FIG 3 3 les trois accords majeurs servant construire la gamme de Zarlino Tierces et quintes harmoniques dans chaque accord Les autres font ce qu elles peuvent Au XVI si cle cette id e fut reprise par Zarlino qui partit des trois accords majeurs Fa La Do Do Mi Sol et Sol Si R avec comme rapports de fr quence 1 5 4 3 2 pour construire sa gamme diatonique appel e aussi gamme des physiciens Les rapports de fr quence sont les suivants Do R Mi Fa Sol La Si Do 1 9 8 5 4 4 3 3 2 5 3 15 8 2 Dans cette gamme l
134. igence du musicien et suffisamment fine pour obtenir un bon rendu sonore Dans la synth se utilisant des mod les de signaux pr d finis valable aussi bien dans le domaine lectronique que num rique on peut distinguer au moins quatre types de techniques qui peuvent d ailleurs se combiner e la synth se soustractive o l on part d un son tr s riche dont on mod le le spectre par filtrage afin d obtenir le son d sir comme le sculpteur qui part d un bloc plein auquel il retire de la mati re e la synth se additive o l on proc de par ajout de sons purs de diff rentes fr quences en jouant sur leur pond ration et sur leur enveloppe comme le sculpteur qui proc de par ajouts successifs de mati re e la synth se par modulation de fr quence FM invent e par Chowning inspir e de la technique de transmission par ondes hertziennes e la synth se par utilisation de sons pr alablement chantillonn s 6 1 1 Synth se soustractive La synth se soustractive n cessite comme point de d part un son riche mais n anmoins suffisamment structur pour pouvoir en extraire un son musical et proc de par filtrage de ce son Elle imite en cela le r sonateur d un instrument de musique qui filtre le signal produit par l excitateur ou l appareil vocal qui filtre le son produit par les cordes vocales faisant appara tre les formants fig L 28 On prend par exemple comme point de d part un son triangulaire
135. ignal x est l unique signal causal qui a pour transform e en z la fonction u z Effet d un retard Si un signal chantillonn x est retard de m chantillons ce qui correspond un retard temporel du signal analogique de r m F s on obtient un signal discret y de coefficients Un Tn m La transform e en z de y s crit 00 00 00 00 Fils J p TE J inim E J Ta Te J Dior n 00 n 00 Nn 00 n 00 ce qui donne en d finitive Fes X 2z 5 12 Le retard de m chantillons se traduit donc tout simplement par la multiplication de la transform e en z par z Filtrage et transform e en z Pour terminer nous aurons besoin des deux r sultats importants suivants qui nous per mettront de manipuler et d interpr ter le filtrage discret 128 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE Soient x et h deux signaux discrets et y h x le produit de convolution d fini par 5 9 Soient X H et Y leur transform es en z respectives d finies sur des couronnes not es Cx Cy et Cy Alors pour tout z Cx et Cy on a z Cy et Y 2 H 2 X 2 5 13 Ici encore on remarquera l analogie avec la relation y f h PF qui s applique aux signaux analogiques associ s D autre part compte tenu de l quivalence avec le filtrage continu d crite au 5 3 1 et en se pla ant dans l hypoth se o x est l chantillonn la fr quence Fe d un son analogique v rifiant la condition de Shannon il est int
136. ions du sujet d tude sont satisfaites 1 Quelle sera en un point donn l intensit sonore sur une p riode T 1 f 2 Le microphone plac une distance d du mur est suppos ne r agir qu aux variations de pression Pour quelles valeurs de la fr quence l amplitude a f du signal per u par le microphone sera t elle maximale minimale quel est l effet de la distance d sur ces valeurs Repr sentez graphiquement 10 log a t 3 M me question si l on suppose que le microphone ne r agit qu aux variations de vitesse cf 6 pour en savoir plus sur les micros 1 6 3 Addition des intensit s Un auditeur est plac suffisamment loin de l orchestre pour que l on puisse consid rer que les 10 violons de cet orchestre produisent chacun son niveau une onde de pression plane progressive pile t ule ca i 1 2 10 1 En utilisant l quation d Euler et l quation d tat montrez que la vitesse de l air corres pondante est v x t p x t cpo L auditeur est plac en un point x fix Chacun des violons joue la m me note de fonda mental f avec la m me force de sorte que pi x t s t ES pi 1 7 TRAVAUX PRATIQUES SUR ORDINATEUR 41 o les y refl tent les diff rences de phase qu il peut y avoir entre les sons au point zx la fonction s tant T p riodique avec T 1 f 2 Calculez d abord en fonction de s l intensit sonore J produite en ce point par un seul violon sur une p
137. ions repr sent es sur la figure 6 1 correspondent aux signaux suivants AM s t je sin 27 fot m t gt O PM s t sin 27 fot m t 7 lt m t lt 7 FM s t sin 27 fot M t M t m t En modulations PM et FM il est important pour la d modulation ult rieure lors de l coute que m t soit bande limit e B B avec 0 lt B lt fo la fr quence de la porteuse doit tre nettement sup rieure aux fr quences de la modulante 136 CHAPITRE 6 SYNTH SE ET EFFETS SONORES L id e qu eut alors Chowning en 1973 illustre on ne peut mieux quel point une id e simple peut r volutionner un domaine Son id e pour synth tiser des sons fut tout simplement d utiliser la modulation de fr quence avec une modulante de fr quence sup rieure ou gale celle de la porteuse Autrement dit les sons qu il cr ait ainsi taient de la forme s t sin 27 fot Bsin 2r fit f1 avec f1 gt fo Ici la fr quence instantan e cf 5 5 est donn e par finst t fo Bcos 2r fit et m t Bcos 2r fit La fr quence de la modulante est f1 et 8 est l excursion fr quentielle la fr quence instantan e varie dans l intervalle fo B fo 5 On obtient ainsi toute une gamme de timbres ne d pendant que des seuls param tres 8 et f La figure 6 2 montre la richesse des sons que l on peut ainsi obtenir rien qu en faisant varier f1 N A AA y V VIVA AAA AAA Ne MW V V V V V V MY
138. ique 12 densit 10 12 vitesse moyenne 10 aliasing 116 AM 135 amplification 34 amplitude 20 anche 47 59 63 archet 77 Aristote 91 Aristox ne 91 B k sy 103 Bach 92 Baldwin 145 banc de filtres 121 131 bar 12 basson 60 84 battement 51 90 92 106 150 Beatles 145 bit 110 bo te musique 53 55 56 bourdon de l orgue 65 bruit 28 100 blanc 28 105 de quantification 119 121 rose 28 Callas 24 93 104 CAN 109 caract ristique 12 carte son 120 CD audio 109 110 celesta 53 cellules de Corti 101 cent 67 chambre cho 139 chant 24 chevalet 47 70 78 Chladni 71 chorale 106 Chowning 135 clarinette 22 59 65 84 clavecin 68 69 76 clavier num rique 137 cloche 24 67 CNA 110 128 cochl e 101 106 codage 110 118 125 comma 91 pythagoricien 92 composante non tonale 122 tonale 122 compress 125 compression 99 105 110 INDEX entropique 121 psychoacoustique 121 condition aux limites 49 54 58 61 du pr fixe 125 consonance 53 convertisseur analogique num rique 109 num rique analogique 110 convolution 37 discr te 126 coordonn es polaires 57 corde 48 76 78 80 frott e 77 pinc e 76 vocale 31 134 Cordier 93 104 cornet 70 couronne 127 cymbales 70 d Arezzo 18 94 d cibel 16 99 d cimation 131 d codable 125 d compression 124 d modulation d amplitude 73 d phasage 34 Debussy 104 degr
139. ique palz y 2 t pasin kr 2r ft r le calcul donne Pa 1 I x y z L intensit d un son provenant d une source ponctuelle est ainsi en l absence de dissipation inversement proportionnelle au carr de la distance cette source Le seuil d audition est approximativement lo 10 W m le niveau normal pour une conversation est de 1 210 W m et le seuil de douleur environ 1W m Nous verrons dans le chapitre 4 que ces seuils varient en fonction de diff rents pa ram tres et tout particuli rement de la fr quence On remarque en passant que la dynamique de l oreille est assez impressionnante 10121 l unit W m on pr f re souvent le bel du nom de A G Bell professeur dans une cole de malentendants et inventeur du t l phone ou le d cibel unit a dimensionn e qui mesure le logarithme en base 10 du rapport un seuil donn par exemple le seuil d audition ce qui donne en notant Ly cette nouvelle mesure de l intensit acoustique I Lr 10log T dB 0 Ainsi le seuil d audition est par convention de OdB le seuil de douleur est de 120dB et celui d une conversation est d environ 70dB Sachez que dans certains concerts de rock l intensit d passe parfois les 140dB Une petite question que se passe t il dans un orchestre symphonique lorsque l on multiplie le nombre de violons par 10 R ponse cf 1 6 3 le niveau sonore est augment de 10dB Autrement dit l augmenta tion de
140. it sous forme complexe s t aexp 2irft On peut effectuer sur ce son deux op rations de base qui sont e l amplification d un facteur a gt 0 v t as t e le d phasage d angle 8 0 27 va t exp 2ir ft i0 Ce d phasage peut tre aussi interpr t comme un retard de T 0 27 f puisque 27 ft 0 2r f t 0 27 f et par cons quent va t s t 7 Si lon effectue les deux op rations simultan ment on obtient le son v t aaexp 2in f t 7 aexp 2irfr s t et le son initial a t multipli par le nombre complexe H aexp 2in fT v t Hs t Cette op ration constitue la base du filtrage amplification et ou d phasage Cette op ration est videmment lin aire et invariante par translation du temps c est dire que filtrer puis 1 5 FILTRAGE 39 translater d un intervalle de temps to donne le m me r sultat que translater de ce m me intervalle de temps puis filtrer s t gt ut Hs ut ut to dis dit 0 eut 119 On v rifie en effet que Pon a ua t va t Hs t to Fonction de transfert Prenons maintenant un son plus complexe alt y Cn EXP 2iT fnt n et appliquons chaque terme de fr quence fn l op ration pr c dente de multiplication par un nombre complexe d pendant de la fr quence not H f On obtient en sortie un son modifi v t Y H fn en exp 2ir fnt 1 20 Comme pr c demment cette op ration
141. ite de fonctions suivantes d finies pour n gt 1 cf fig 5 3 o a 2 et u 1 _ unsilt al lt 1 2n Un t l 0 sinon Ces fonctions v rifient toutes 00 f un t dt y Ce qui est obtenu la limite n est pas une fonction on l appelle une distribution mais on a 00 00 lim 0 p t dt pla f PAO iS 00 OO Le son chantillonn est alors d fini par 00 st gt 60 5 1 Nn 00 et sa repr sentation graphique au facteur 7 pr s est donn e au bas de la figure 5 2 avec la convention que les cercles ont pour ordonn e la masse de l impulsion de Dirac associ e 112 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE 5 4 n 4 3t 2 nee H t n 2 Sl 1 DURS les A 0 1 0 1 2 3 4 FIG 5 3 suite de fonctions un t dont la limite est l impulsion de Dirac au point a 2 de masse u 1 not e avec le trait vertical et le petit cercle d abscisse a et d ordonn e y 5 1 1 Crit re de Nyquist et th or me de Shannon La question fondamentale est de d terminer sous quelle condition on pourra reconstruire le son d origine partir de la seule connaissance de ses chantillons premi re vue la t che semble impossible on voit bien sur la figure que l on peut modifier les valeurs de s t comprises entre deux chantillons sans pour autant changer leur valeur Par cons quent deux sons distincts ayant les m mes chantillons produiront la
142. itive les valeurs consid rer sont les H f pour lesquelles 2f E 0 1 e ce qui est la mani re dont sont repr sent s les filtres discrets dans le logiciel MATLAB Les quatre mod les de base de filtres sont repr sent s sur la figure 5 4 SUJETS D TUDE 129 1 1 0 8 0 8 0 6 0 6 0 4 0 4 0 2 0 2 0 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 1 0 8 0 8 0 6 0 6 0 4 0 4 0 2 0 2 0 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 21 F 2f E FIG 5 14 repr sentation graphique de H f pour les quatre mod les de filtres les plus courants La phase de H f peut varier en fonction de f non repr sent e En haut gauche filtre passe bas de fr quence de coupure 0 5xF 2 et droite filtre passe haut de fr quence de coupure 0 5 x F 2 En bas gauche filtre passe bande de fr quences de coupures 0 3 x F 2 et 0 7 x F 2 et droite filtre passe tout 5 4 Sujets d tude 5 4 1 Crit re de Nyquist Dans le cours nous avons analys ce qui se passait si le crit re de Nyquist n tait pas v rifi en prenant comme exemple le son s t 2cos 27 ft avec f 27kHz et Fe 30kHz Reprendre cette analyse pour le son s t sin 27 ft 5 4 2 Repliement d un son ascendant Tracez en fonction de f la fr quence effective du son reconstitu apr s chantillonnage la fr quence Fe 1000Hz du son s t cos 27 ft D duisez en l i
143. l action du souffle pour les vents ou de l archet pour les cordes Nous tudierons la vibration libre des cordes des lames et des membranes la vibration entretenue dans un tube et nous verrons en quoi les diff rents types de fonctionnement induisent les propri t s caract ristiques des instruments leur timbre 2 1 Les cordes Examinons une corde de longueur L et de masse lin ique u masse par unit de longueur fix e ses deux extr mit s et soumise une tensiorf T Trois types de vibrations sont possibles transversales longitudinales et en torsion Nous n tudions que le premier type et supposons que la vibration a lieu dans un plan xOy Dans ce plan la corde a pour extr mit s les points 0 0 et 0 L et la position de la corde l instant t est donn e par l quation y u x t Les conditions aux limites imposent u 0 t u L t 0 pour tout t y T y 0 x dx O x x dx FIG 2 1 segment de corde en plein effort Pour obtenir l quation r gissant le mouvement de la corde on consid re un instant donn t les forces qui agissent sur un petit segment de corde situ entre les abscisses x et x dx cf fig 2 1 On note 0 x langle que fait la corde avec l axe Ox Au point x dx la composante verticale de la force due la tension est F x dx T sin 0 x de Ttg0 x dx T gulzx dx t l approximation tant valable si 0 x est proche de 0 Au point z on trouve de m
144. l i Mii 6000 F I jii 4000 E Fr quence 2000 F FIG 1 27 repr sentation temps fr quence de le chapeau Les voyelles sont assez mu sicales la consonne ch est plut t bruyante Appliqu notre exemple ce proc d donne la figure On constate en particulier qu une consonne comme ch est bien plus riche en fr quences lev es qu une voyelle On voit galement appara tre dans les sons e a et 0 les harmoniques que nous avions observ s dans la figure 1 25 L volution au cours du temps du signal reste cependant pr sente nous avons bien la fois des informations temporelles et fr quentielles Toutefois on constate que cette image manque de nettet Cela n est pas d un probl me technique de traitement de l image mais un r elle impossibilit d avoir un signal concentr la fois en temps et en fr quence et cela pour deux raisons 1 4 REPR SENTATION DU SON 33 La premi re raison qualitative est que pour toute fonction donn e s t il est impossible que les fonctions s t et s f soient toutes deux support compact c est dire nulles en dehors d un intervalle born mis part bien s r le cas s 0 En particulier si un son a une dur e finie alors il contient n cessairement des fr quences arbitrairement lev es quel que soit le seuil choisi fs ce son poss de des composantes fr quentielles de coefficient non nul et de fr
145. l oreille interne en forme de lima on enroul sur deux tours et demi environ est un tube contenant la cochl e qui baigne dans du liquide lymphatique mis en vibration par la fen tre ovale e le nerf acoustique transmet les informations des cellules de Corti vers le cerveau 4 2 2 Fr quence et hauteur La sensation de hauteur ou tonie est li e bien s r la fr quence En premi re approxima tion en retrouve la loi de Fechner la tonie varie comme le logarithme de la fr quence Par exemple l cart que nous percevons entre un son de 100Hz et un son de 200Hz est le m me qu entre un son de 200Hz et un son de 400Hz c est l intervalle d octave correspondant au doublement de la fr quence L intervalle mesur en octaves entre deux sons purs est donc gal la diff rence des logarithmes en base 2 de leur fr quence Mais ceci ne vaut plus pour les hautes fr quences et un son pur de 6000Hz para t tre bien loin en dessous de l octave d un son de 3000Hz L chelle des mels chelle de Stevens a pour but de rendre compte de cette distorsion Par d finition on attribue 125 mels ou 131 ou 1000 selon les sources un son pur de 125Hz idem puis par des exp rimentations sur de nombreux sujets on talonne l chelle des mels de telle sorte qu un son pur de 2x mels donne la sensation d tre exactement une 104 CHAPITRE 4 PSYCHOACOUSTIQUE octave au dessus d un son pur de x mels Par exemple la suite d octave
146. la TFD significative pour l audition est celle situ e au dessus du masque M repr sent e gauche de la figure Nous notons J les indices des coefficients Cn correspondants La partie situ e en dessous du masque repr sent e droite de la figure 5 12 est a priori inaudible car masqu e couverte par la premi re Nous notons K les indices des coefficients cn relatifs cette seconde partie La compression psychoacoustique consiste alors quantifier les coefficients de la TFD en utilisant moins de bits pour coder les cg k K que pour coder les cj j J Par ailleurs compte tenu de la formule qui donne les vi n y 2 uxexp 2innk N 5 2 COMPRESSION AUDIO dB 80 F 70F 50 F 40 20 F OF seuil d audition 10 10 Hz 123 FIG 5 11 masque global du spectre la TFD des 512 chantillons un Il prend en compte la fois l effet masquant des composantes fr quentielles de forte intensit sonore et le seuil d audition isosonie 3 phones dB 80 60 ES 40 4 20 Hz dB 80 F 60 F 40t 20 f Hz FIG 5 12 s paration des parties du spectre situ es au dessus figure de gauche et en dessous figure de droite du masque en vue d une compression diff renci e nombre de bits variable par coefficient de Fourier 124 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE on constate que l on a une sym trie conjugu e CN m
147. lames m talliques auquel on a rajout des tubes qui servent de r sonateur et un dispositif clapets tournants pour faire varier l amplitude de mani re p riodique le celesta tiges frapp es par un marteau le piano lectro acoustique Fender idem les bo tes musique et dans les vents l anche elle m me Comme pour le cas des cordes plusieurs types de vibrations sont possibles et nous nous int ressons aux ondes transversales dans un plan Oy laxe central de la lame ayant pour extr mit s les points 0 0 et 0 L La position de laxe l instant t a pour quation y u x t Le mod le m canique est plus complexe que celui des cordes et nous admettrons que le mouvement de la lame est r gi par l quation Opu x t g ci au x t o g est le rayon de giration qui d pend de la forme de la section de la lamd cr VE pest la vitesse de propagation des ondes longitudinales dans la lame Y est le module de Young du mat riau et p sa densit Les solutions harmoniques sont toujours de la forme u x t p x exp 2ir ft mais y x est maintenant solution d une quation diff rentielle d ordre 4 9 2 px Kto x K gt 0 k 22 2 7 gCL La solution g n rale de cette quation homog ne s crit p x aexp Kx Bexp Kx yexp iKr 6exp iKx 2 8 les constantes tant d termin es par les conditions aux limites dont nous examinons les deux cas les plus courants pour les instruments
148. le central dans toute la musique classique la gamme majeure et la gamme mineure qui se distinguent es sentiellement par leurs troisi me et sixi me degr appel s pour cette raison notes tonales Les airs enlev s brillants ou gais marches airs de f te danses sont souvent crits en ma jeur alors que les airs recueillis tristes ou sombres requiem nocturnes marches fun bres sont plut t crits en mineur Les autres gammes sont appel es gammes modales et furent largement utilis es tout au long du Moyen ge en particulier dans la musique eccl siastique Gamme majeure Une gamme diatonique majeure est constitu e des intervalles suivants ton ton demi ton ton ton ton demi ton Par exemple en partant de Do cela donne la suite de notes Do R Mi Fa Sol La Si Do represent es sur une port e de la mani re suivante Ce proc d de notation est d Guy d Arezzo d but du XI si cle Les diff rents degr s de la 1 2 UN PEU DE SOLF GE 19 S FIG 1 8 gamme en Do majeur commen ant par Do 3 et finissant par Do 4 gamme sont alternativement pos s sur et entre les lignes de la port e Les intervalles Do R Do Mi Do Fa Do Si s appellent respectivement seconde tierce majeure quarte quinte sixte majeure et septi me majeure Cette appellation fait bien s r r f rence l intervalle entre les notes et non aux notes qui le composent Ainsi les intervalles Fa La et Sol Si constituent
149. le troisieme partiel soit situ une tierce mineure de rapport 23 12 1 189 au dessus du principal ce qui leur conf re leur sonorit caract ristique On trouve ensuite une quinte une octave une tierce majeure En 5En toute rigueur ce son est aussi p riodique de p riode 10 fp les 7 fr quences tant des multiples entiers de fp 10 Mais en le consid rant comme tel les 4 premiers harmoniques sont nuls De plus si on ajoute des harmoniques plus lev s la valeur fp 10 ne conviendra plus il faudra la diminuer Enfin ces fr quences ne sont que des approximations il se peut tr s bien que pour les valeurs exactes on ne puisse trouver aucun diviseur commun 24 CHAPITRE 1 LES SONS fait exemple pr c dent ne contient pas assez de partiels pour reconstruire un son r aliste L analyse d une grande cloche a donn pour fp 233Hz Sib 2 les fr quences suivantes et leur intensit s respectives f 0 5 1 1 188 1 530 2 000 2 470 2 607 2 650 2 991 3 367 4 137 4 487 4 829 5 385 5 863 6 709 8 077 8 547 9 017 9 530 11 026 12 393 x fp I 350 950 500 150 700 100 250 370 1000 180 300 100 150 300 100 100 50 20 10 35 5 15 Combin es avec une enveloppe ad quate cf 2 5 2 ces donn es donnent une reconstitution assez ressemblante 1 3 3 Sons spectre continu Le chant est encore assez proche d un son p riodique mais avec des sons plus complexes comme la voix parl e n
150. m me l int rieur d une formation musicale Nous n gligeons ici l inharmonicit qui sera d crite au 2 5 1 et prise en compte au 8 3 Un piano comporte trois cordes par note accord es l unisson c est dire la m me fr quence les graves n ont qu une ou deux cordes D apr s et 2 3 le fondamental 2 1 LES CORDES 51 d une corde est donn par a 2L y La longueur L et la masse lin ique u tant d termin es par le constructeur l accord se fait en jouant sur la tension T noter que la tension totale sur l ensemble des cordes d un piano de concert contemporain d passe vingt tonnes Le r glage de la tension de chaque corde se fait au moyen d une cheville que l on tourne pour obtenir la fr quence d sir e Pour l accord on utilise un diapason qui sert de r f rence le La 3 qui peut varier entre 440Hz et 444Hz cf 3 3 1 et l on proc de ensuite par comparaison en utilisant le ph nom ne de battement que nous analysons maintenant Pour cela prenons pour commencer deux cordes d un unisson l g rement d saccord d livrant deux fondamentaux s et s2 de fr quences proches f lt fa FIG 2 3 deux fr quences proches et leur superposition qui produit un battement Le graphique sup rieur de la figure 2 3 repr sente les deux fondamentaux dans le cas s1 t sin 20 x 27t sa t sin 22 x 2rt Le choix de ces fr quences a t fait pour la lisibilit de
151. m me la rudimentaire guimbarde qui utilise la r sonance de la bouche Pour les instruments corde le r sonateur est une table d har monie en pic a qui re oit l nergie m canique de la corde par l interm diaire du chevalet SLes principaux sont des jeux bouche de taille diam tre interm diaire entre les jeux taille large fl tes et bourdons de son assez doux et les jeux taille troite gambes et saliciaux con us dans l intention d imiter les cordes 2 5 TIMBRE DES INSTRUMENTS 71 fig 2 17 Pour les vents le r sonateur est le tube lui m me Pour les percussions c est en g n ral une caisse cheville d accord 7 po N E a i table d harmonie FIG 2 17 l ins parable corde r sonateur Dans tous les cas on constate en premi re approximation que la r ponse du r sonateur l excitation est lin aire par exemple la r ponse du violon deux cordes jou es simultan ment est gale la somme de celles des cordes jou es s par ment On constate galement qu elle est invariante par rapport au temps cf 1 19 de mani re imag e couter demain ce que vous jouez aujourd hui revient au m me qu attendre un jour pour couter ce que vous jouerez demain Ceci para t anodin voire idiot et pourtant ces deux seules hypoth ses permettent de dire que le r sonateur est un filtre cf L 5 amplifiant certaines fr quences en att
152. me des deux composantes de fr quence 3Hz et 4Hz Dans la figure 1 30 la m me op ration a t r p t e sur le signal peu pr s rectangulaire de la figure 1 15 Pouvez vous l interpr ter TOn peut en fait montrer que toute op ration lin aire et invariante peut s crire sous cette forme 36 filtres 4 0 5 0 2 4 6 Hz 4 0 5 0 0 2 4 6 Hz 4 0 5 0 0 2 4 6 Hz filtres 1 0 5 0 0 2 4 6 Hz 1 0 5 0 0 2 4 6 Hz 1 0 5 0 0 2 4 6 Hz FIG 1 30 diff rents filtrages du si o 1 0 5 CHAPITRE 1 LES SONS filtrage du signal triangulaire VU qi FIG 1 29 diff rents filtrages du signal triangulaire filtrage du signal rectangulaire 1 0 5 0 0 5 6 1 2 3s 3s signal rectangulaire Que se passe t il 1 5 FILTRAGE 37 R ponse impulsionnelle Par ailleurs on peut montrer que sous certaines conditions H f est la transform e de Fourier d une fonction int grable h t HU h f 1 21 La fonction h t est appel e la r ponse impulsionnelle du filtre c est le signal que l on trouve en sortie du filtre lorsque l entr e est l impulsion de Dirac en 0 Cette derni re not e t est un signal infiniment bref qui n est pas une fonction dont la masse est concentr e en 0 et qui v rifie la relation T
153. ment la fonction synthad Quelques suggestions pour le choix de la r partition des harmoniques ou partiels exemple de la cloche du chapitre 1 les deux types de lames les deux types de tubes ou la membrane de ce chapitre Il ne vous reste plus qu tester votre fonction par exemple en ex cutant les commandes suivantes Fe 22050 s instrument 220 3 Fe sound s Fe Ajoutez une enveloppe T l chargez la fonction envelop m sur ma page web Pour comprendre ce que fait cette fonction ex cutez les commandes suivantes t 0 1 41 a 0 1 3 0 env envelop t a Fe plot env 2 7 TRAVAUX PRATIQUES SUR ORDINATEUR 87 puis recommencez en faisant varier les valeurs et leur nombre dans les vecteurs t et a Vous y tes Pour ajouter une enveloppe au son cr e par votre fonction instrument il vous suffit alors d y rajouter la fin du fichier les lignes de commande suivantes apr s avoir sp cifi vous m me dans la fonction les valeurs num riques des vecteurs t et a en veillant ce que le premier l ment dans t soit O et le dernier la dur e T env envelop t a Fe s env s Testez nouveau votre fonction Et jouez de votre instrument T l chargez le fichier play m toujours au m me endroit ditez le et lisez le Vous allez y apporter quelques modifications Ce programme calcule les 13 notes d une gamme chroma tique en partant d une fr quence grave fO que vous pouvez choisir
154. mme n est pas calcul en prenant des intervalles d une seconde qui seraient beaucoup trop longs pour des sons variant plus rapidement que celui de l exemple pr c dent Nous d crirons un peu plus loin le proc d exact utilis 30 CHAPITRE 1 LES SONS 1 4 1 Transform e de Fourier Discr te Les trois figures 1 24 et montrent trois types d analyse du son parl enregistr le chapeau La figure repr sente le signal temporel La figure montre l analyse en 4 peau Pression acoustique 0 5 1 _z gt 0 0 5 Temps 1 1 5 FIG 1 24 repr sentation temporelle de le chapeau assaisonn e d un l ger bruit de fond fr quence de ce m me signal Pour cela on a consid r que le signal enregistr s t repr sentait 2 o Amplitude Cn D o o o 0 200 Fr quence 600 800 FIG 1 25 repr sentation fr quentielle de le chapeau Les voyelles sont responsables des pics aux multiples de 110Hz une p riode de longueur T 1 78 d un signal p riodique dont on a calcul les coefficients de Fourier cp 00 s t y Cn exp 2irnnt T pour 0 lt t lt T n 00 En fait ces coefficients cn ne sont pas calcul s de mani re exacte par la formule 1 13 mais par une int gration approch e utilisant la formule des trap zes des instants tx kT N 1 4 REPR SENTATION DU SON 31 k 0 1 N 1 qui donne 1 N 1 En N 2
155. mprendre et assimiler les notions abord es il est n cessaire de refaire certains calculs par soi m me en changeant les donn es ou les hypoth ses et en interpr tant les variations obtenues dans les r sultats Ordi nateur car une bonne partie du cours concerne le son num rique et l ordinateur fournit un instrument formidable pour analyser des sons faire des exp riences avec eux effets sonores et cr er de nouvelles sonorit s Et finalement instrument de musique car vous devinerez par vous m me 8 TABLE DES MATI RES Remerciements Je remercie sinc rement Brigitte Bidegaray pour la lecture tr s atten tive qu elle a faite de ce document ainsi que pour ses suggestions et anecdotes que j ai ins r es dans le texte sans plus de formalit s Je tiens galement remercier chaleureusement tous les coll gues de l INSA qui m ont encourag dans la cr ation de ce cours Chapitre 1 Les sons Le son et Pair sont intimement li s il est bien connu que les luniens les habitants de la lune n ont pas d oreilles Aussi commencerons nous l tude du son par celle de son moyen de transport lair Les sons qui se propagent dans notre atmosph re consistent en une variation de la pression p x y z t en fonction de la position x y z et du temps t Ce sont ces variations de pression que notre oreille per oit Dans ce chapitre nous tudierons d abord la mani re dont elles se propagent sous forme d ondes Nous d crirons
156. musicaux deviennent m connaissables en particulier s il s agit d instruments percussion Dans la synth se de sons musicaux le tran sitoire d attaque peut en partie tre obtenu par une mont e tr s rapide de l intensit sonore au d but de l enveloppe mais ce n est pas toujours suffisant attaque d croissance a x son r manent extinction FIG 2 18 signal sinusoidal sin 60rt modul en amplitude par l enveloppe e t Dans l exemple suivant s t e t sin 60rt O lt t lt 1 2 23 le signal sinusoidal sin 60rt est modul en amplitude par une fonction e t gt 0 Penveloppe de s t repr sent e sur la figure L enveloppe repr sent e est typique des instruments percussion Elle comporte quatre p riodes principales une p riode pendant laquelle le signal cro t rapidement l attaque d une dur e de quelques millisecondes quelques centi mes de seconde une p riode de d croissance suivie d une autre p riode de d croissance plus lente et une derni re p riode d extinction du son Ceci n est bien s r qu un exemple et chaque p riode peut elle m me tre re d coup e en plusieurs parties Pour les instruments son entretenu l enveloppe peut avoir une allure tr s diff rente l attaque est souvent plus lente et l intensit peut ensuite tre constante voire croissante pendant la majeure partie de la dur e de la note 2 5 TIMBRE DES INSTRUMENTS 73 C
157. n uvre s av re tr s d licate il faut avoir au pr alable analys avec pr cision le son que l on veut reproduire diff rentes intensit s et d terminer un bon mod le pour faire varier les enveloppes et le bruit en fonction de l intensit Cette technique a t utilis e en particulier par Mathews dans son programme Music V pour cr er des sons par ordinateur 13 C est une m thode qui est galement assez gourmande en calculs 6 1 3 Synth se FM La technique de synth se FM a t mise au point par Chowning en 1973 Rappelons d abord les trois types de modulation utilis s dans les communications hertziennes la modu lation d amplitude AM la modulation de phase PM et la modulation de fr quence FM Dans les trois cas on dispose de deux signaux e une onde porteuse qui est un signal sinusoidal de haute fr quence autour de 1MHz en AM 100MHz en FM servant de v hicule de transport de la forme v t sin 2r fot au d phasage pres e une onde modulante m t qui est l information v hicul e par la porteuse en g n ral bande limit e B B avec B lt fo 1 L _ A AAN i i Aav A v t PM AAA NAN AAA A 0 3 FM FIG 6 1 onde modulante la porteuse et les trois types de modulation Pour les modulations PM et FM m t et M t ont t multipli s respectivement par 20 et 200 afin de rendre visibles les variations dans le signal Les trois modulat
158. naire motl mot2 mot3 mot4 mot5 mot6 mot7 mots probabilit 0 25 0 22 0 19 0 11 0 11 0 05 0 05 0 02 code de Huffman 10 00 110 010 011 1110 11110 11111 TAB 5 3 le codage optimal de Huffman 5 3 Filtrage num rique et transform e en z Terminons ce chapitre par quelques l ments de filtrage num rique qui nous seront utiles au chapitre 6 Pour les signaux analogiques nous avons vu au deux relations fon damentales 1 25 et 1 24 sur le filtrage si l on fait passer un signal x dans un filtre de r ponse impulsionnelle h et donc de fonction de transfert h le signal sortant y v rifie NF RP EP Nous allons voir comment se traduisent ces relations du c t de leurs chantillons 126 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE 5 3 1 Filtrage num rique Notons respectivement n hy et yn les chantillons des signaux analogiques x h et y h x x Nous admettrons le r sultat suivant Si la condition de Shannon est v rifi e par x ou h l un des deux au moins est bande limit e B B avec Fe gt 2B alors y est bande limit e B B et l on a 1 Un F 7 Ahn kTk 5 9 k o0 Cette relation d finit ce qu on appelle la convolution discr te des signaux An nez et n nez et l on conserve la m me notation en crivant y hxx On remarquera d ailleurs la forte analogie avec la convolution continue 1 23 que nous rap pelons ici 00 y t h x x t f h t u x u
159. nd nombre de telles exp riences on obtient une moyenne qui sert de mod le L exp rience est r p t e en faisant varier les fr quences des sons masquants et masqu s pour couvrir toute l tendue des sons audibles La figure repr sente le seuil de masquage ou masque produit par un son masquant de fr quence 1000Hz et d intensit 80dB C est la courbe en trait plein sup rieure Tout son situ en dessous de cette courbe est masqu donc inaudible Pour certains sons ceux qui sont situ s au dessus de cette courbe mais en dessous de la courbe en pointill le son masqu n est pas entendu mais l auditeur per oit par contre le son diff rentiel produit par le battement cf fig 2 3 entre les deux sons Par exemple si le son masqu a pour fr quence 1200Hz et une intensit de 60dB le son diff rentiel entendu a pour fr quence 1200Hz 1000Hz 200Hz La forme du masque varie la fois en fonction de la hauteur et de l intensit du son masquant La figure 4 7 montre les seuils de masquage pour diff rentes intensit s Ly du son masquant toujours de fr quence 1000Hz Les courbes de seuil de masquage pr sentent une dissym trie assez nette un son grave intense masque assez facilement un son aigu faible alors qu un son aigu intense aura plus de mal masquer un son grave Une explication possible 21 r side dans la localisation des fr quences cf fig les basses fr quences pour aller exciter l extr mit de la c
160. ne telle membrane de rayon R dispos e horizontalement et dont la hauteur est une fonction u x y t telle que u x y t 0 si r yx y R le pourtour FIG 2 7 huiti me mode propre d une timbale On suppose que la tension T est uniforme dans toute la membrane et la masse par unit de surface est not e u En reprenant la m me d marche que celle suivie pour la corde l g rement compliqu e par le passage en dimension 2 on peut montrer que u est solution de l quation des ondes avec A 0 2 0 2 poste TAu z y t 2 14 Les solutions harmoniques de fr quence f de la forme u x y t y x y exp 2ir ft donnent report es dans 2 14 toujours avec k 21 f cetc y T p Ap k p 0 Le bord de la membrane tant circulaire il est commode pour l analyse de passer en co ordonn es polaires r 0 Cherchons les solutions qui peuvent s crire sous la forme s par e x y y r o 8 en utilisant la formule du laplacien en coordonn es polaires A 8 2 O r 0g2 1 Apr s division par y r o 0 r le calcul donne sn O IA PARU 2 5 _o 6 Tu OR Cette expression est n cessairement une constante que nous notons m On a alors d une part 0 0 m o 0 d o o 0 aexp imb Bexp imb 58 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS De plus la fonction tant 27 p riodique m est n cessairement un entier On a d autre part PY r ry r r mijo 0 qui est l
161. nons par un dernier exemple de spectrogramme analyse des 5 voyelles fig 1 28 Ces sons sont plut t concentr s sur les basses fr quences Par ailleurs pour chaque voyelle on 34 CHAPITRE 1 LES SONS voit appara tre des zones plus fonc es qui correspondent aux diff rentes r sonances produites par les variations de forme de l appareil vocal on les appelle les formants Avec un peu d attention ces formants sont galement visibles sur la figure o l on constate que pendant les six premi res secondes les harmoniques sup rieurs ne suivent pas du tout la ligne m lodique La Sol La Do Sib La Sol Sol des deux premiers mais semblent au contraire faire du sur place Cela provient du fait que ce ne sont pas les harmoniques aigus de m me rang au d but 1 2 6 7 8 9 qui sont intenses dans chacune de ces notes mais ceux qui se trouvent dans la plage 2500 4000Hz Le son est mis en forme par l appareil vocal qui renforce certaines fr quences et en att nue d autres d o le nom de formants 1 5 Filtrage Le filtrage d un son correspond entre autres l op ration que vous effectuez lorsque vous tournez le bouton des aigus ou des graves sur votre cha ne audio ce qui a pour effet de modifier la proportion graves aigus du son Nous en donnons ici une br ve description math matique 1 5 1 Cas du spectre discret Revenons pour commencer un son pur ne comportant donc qu un seul harmonique de fr quence f cr
162. ns ainsi toute une famille d ondes stationnaires u x t asin k x exp 2ir fat La premi re fr quence est le fondamental fi et les autres fr quences fn sont des multiples entiers de f ce sont donc des harmoniques Ces fr quences de r sonance sont appel es les fr quences propres du syst me et les ondes harmoniques correspondantes les modes propres Les trois premiers modes propres sont repr sent s sur la figure 2 2 La relation nous dit en particulier que la fr quence est inversement proportionnelle la longueur de la corde ce qui avait d j t observ par Pythagore 500 ans A C qui partit de cette constatation pour construire la gamme diatonique partir d un cycle de quintes cf chapitre 3 On peut alors montrer que toute solution de l quation des ondes pour la corde fix e ses deux extr mit s s obtient par addition des modes propres cf aussi 2 6 1 pour une autre technique de r solution et s crit donc sous la forme g n rale 00 u x t D Cn Sin knT exp 2in fnt 2 4 n 00 2Le cas n 0 est cart car donnant une solution nulle u 0 noter que les fr quences n gatives se ram nent des fr quences positives lorsque l on repasse dans le domaine r el 50 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS fondamental second harmonique a noeuds Li troisi me harmonique FIG 2 2 les trois premiers modes propres de la corde Do Do Sol Les fr quences tant to
163. nt gales dans le temp rament gal Il en va de m me pour les autres notes enharmoniques R f et Mib Faf et Solb etc noter cependant que les musiciens qui comme les violonistes ont la possibilit de d terminer eux m mes la hauteur des notes jouent tr s souvent le Dof l g rement plus haut que le R b L intervalle compos de deux demi tons s appelle bien entendu un ton il y en a donc six dans une octave Les notes correspondantes forment la gamme en tons dont se servit abondamment Claude Debussy 1 2 4 Gammes diatoniques Les gammes classiques ne sont ni la gamme chromatique ni la gamme en tons mais les gammes diatoniques dans lesquelles on rencontre les deux types d intervalles le ton et le demi ton et qui constituent une suite de huit notes dont la derni re est l octave au dessus de la premi re Ces gammes r sultent de la juxtaposition de deux tr tracordes quatre notes cons cutives comportant chacun obligatoirement deux tons d o le nom de diatonique Le placement du demi ton dans chaque t tracorde d termine alors les diff rents modes ou gammes possibles Les notes d une gamme sont appel es degr s de la gamme le premier et le huiti me puisque c est la m me note s appelant la tonique le cinqui me la dominante et le septi me la note sensible qui dans l harmonie classique appelle gt tre suivie de la tonique Il y plusieurs types de gammes diatoniques dont deux ont jou un r
164. nt de mani re diff rente les phases de chacune des fr quences reproduisant l action d une salle sur les sons Remarque 6 3 En prenant la transform e en z de 6 6 on obtient ici m 942 Y 2 W 2 o EE we et la transform e en z du filtre associ est _ m IE e a 1 gz La fonction de transfert de ce filtre est d apr s _ g exp 2mir f F 1 gexp 2minf F Hi qui g tant r el v rifie HP 1 Ce filtre est donc bien un filtre passe tout il ne modifie pas l intensit des sons purs il ne fait que changer leur phase 6 3 Effet par modification du timbre Nous d crivons ici l effet wah wah et son implantation num rique Cet effet fait penser aux formants des voyelles o et a d o bien videmment son nom Il consiste rajouter au son initial le son obtenu par filtrage de celui ci par un filtre passe bande de bande passante variable grave pour le son ressemblant au o plus aigu pour le son ressemblant au a cf fig 1 28 6 3 1 Un exemple de filtre passe bande On peut obtenir un filtre passe bande num rique demandant peu de calculs par la formule de r currence Yn 1 c n Tn 2 2 d 1 c yn 1 CYn 2 6 7 dont la transform e en z est donn e par 1401 2732 1 d i cz lez 2 Rappelons 5 14 que la fonction de transfert du filtre est alors H f H exp 2ir f F En choisissant les param tres de ce filtre de la
165. ntensit sonore est augment e de 10dB ce qui correspond une multiplication de la pression acoustique par v10 3 16 cf 8 1 1 4 C est exactement cette relation que traduit la seconde unit de sonie le sone Un accord international a fix comme point de r f rence le son pur de 1000Hz et d intensit 40dB et lui a attribu une sonie de 1 sone Le niveau sonore en sones est not N Compte tenu des exp rimentations mentionn es le niveau de sonie d un son pur de 1000Hz est donc N 9 Ln 40 10 Pour trouver ensuite le niveau en sones d un son pur de fr quence quelconque il suffit de se reporter sur les courbes d isosonie de Fletcher En reprenant l exemple vu plus haut le son pur de fr quence 100Hz et d intensit Ly 70dB ou Ly 60 phones a donc un niveau de sonie N 4 sones En supposant que ce qui pr cede se g n ralise aux autres sons on peut faire les remarques suivantes dans une salle de concert le bruit de fond est voisin de 40dB soit environ 1 sone et un tutti d orchestre atteint 110dB Les huit chelons d intensit ppp pp p mp mf F ff ff correspondent alors plus ou moins 40 50 60 110dB soit 1 2 4 128 sones Nous avons vu au 1 1 4 que la multiplication par dix du nombre des instruments correspondait une augmentation de 10dB de l intensit sonore Il faut donc multiplier par dix le nombre des instruments ou par 10 leur amplitude pour multiplier la sonie par deux Plut t qu une
166. nterpr tation de la figure 130 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE 5 4 3 Autre cas de reconstruction Le th or me de Shannon nous dit que si le crit re de Nyquist est satisfait alors la recons truction d un son s t par filtrage passe bas id al du son chantillonn 00 SNET gt s nT nr n 00 est exacte s t h x se t Nous allons remplacer chaque impulsion de Dirac n par l approximation vue en cours Onr t us t nT avec 1 e si t lt e 2 0 sinon o l on suppose que O lt lt 7 T tant la p riode d chantillonnage 1 En faisant le changement de variable t t nr e v rifiez que pour toute fonction p continue sur R on a 00 00 lim uselt nr p t dt p nr f p t n t dt e gt 0 Jo 2e 2 Le son chantillonn se t est remplac par 00 Selt T gt s t ue t nT 5 15 On pose 00 velt T y ue t n7 V rifiez que la fonction v est 7 p riodique 3 La fonction ve s crit donc sous la forme 00 ve t gt D ck exp 2irkt T k oo0 o les cy sont ses coefficients de Fourier Montrez que 00 Bf XO cif k 7 k c on admettra l interversion f X 57 f 4 Le crit re de Nyquist tant satisfait on a S f 0 si f gt B avec B lt 1 27 Repr sentez 5 4 SUJETS D TUDE 131 graphiquement sur l intervalle 2 7 2 7 Pallure de la fonction S en fonction de celle de 5 V rifiez que co 1 et compar
167. nts Pour cela on compte le nombre d occurrences de chaque mot d dans le texte et en fonction de la fr quence ou probabilit de chacun de ces mots on cr e le nouveau dictionnaire en appliquant le principe pr c dent Deux exemples de dictionnaires sont donn s dans le tableau motl mot2 mot3 mot4 mot5 mot6 mot7 mot8 dicol 0 10 110 1110 11110 111110 1111110 11111110 dico2 00 01 10 1100 1101 1110 111100 111101 TAB 5 2 deux codages possibles des mots rang s par fr quence d croissante Une fois traduits les mots sont crits les uns la suite des autres sans espace entre eux Pour que le texte obtenu soit d codable il ne faut donc pas qu un mot donn puisse tre le d but d un autre mot car cela provoquerait plusieurs interpr tations possibles Par exemple si les trois mots B et C taient cod s 0 1 et 10 le texte 10 pourrait tre interpr t aussi bien comme C que comme BA Cette condition s appelle la condition du pr fixe Il existe plusieurs strat gies pour construire ce nouveau dictionnaire mises en uvre par exemple dans les applications telles que winzip ou dans les commandes unix telles que gzip ou compress En particulier il en existe une qui est optimale l algorithme de Huffman cf par exemple 12 En reprenant l exemple pr c dent il produit le dictionnaire du tableau 5 3 Bien entendu lorsque l on transmet un texte ainsi traduit il ne faut pas oublier de transmettre le diction
168. o dale entre deux fr quences fo PB et fo 6 1 7 Travaux pratiques sur ordinateur Cette premi re s rie de travaux pratiques est consacr e la fabrication l coute et l ana lyse de sons en utilisant le logiciel MATLAB 42 CHAPITRE 1 LES SONS Convention typographique les objets math matiques sont crits en italique par exemple le son s t Les objets MATLAB sont crits en style typewriter par exemple le troisi me l ment s 3 1 7 1 Premier son les vecteurs Sur ordinateur un son s t est repr sent par ses valeurs dites discr tes sn s tn avec tn nT et T 1 F Deux instants cons cutifs tn et t 1 sont ainsi s par s par un petit intervalle de temps 7 appel p riode d chantillonnage et le nombre d chantillons par seconde est gal Fe que l on appelle fr quence d chantillonnage ces notions sont abord es en d tail au chapitre 5 Dans MATLAB les valeurs s peuvent tre rang es dans un vecteur s et l acc s l l ment num ro n se fait en crivant s n Exemple de cr ation d un vecteur et d acc s l un de ses l ments apr s avoir lanc MATLAB crivez les lignes suivantes le signe gt est le prompt qui appara t lorsqu on est dans MATLAB en appuyant sur la touche entr e la fin de chaque ligne gt s 1 0 5 2 3 gt 8 gt s 3 Attention la virgule sert de s parateur entre les nombres et le point est la notation anglo sax
169. o yd SINSA TOULOUSE d MODULE D OUVERTURE DEUXI ME ANN E SON ET MUSIQUE Philippe GUILLAUME IN IN SEO DNS AS RSS Table des mati res Introduction 1 Les sons a e a e RG O E E e D OS A nn mn E 1 1 4 Intensit sonore A e a a A ae nn 1 2 2 Num rotation des notes PT TRS a dea ca D de ne a E ES De se dat de di a e a aR a a e a a e a AAA Re r ara D a a a a e e ES 3 4 Le DTU sosa aa a a ad A A ce A a a ad 1 4 1 Transform e de Fourier Discretel Re een a pas aaa aaa a ete aa da do 1 5 1 Cas du spectre discret 1 5 2 Cas du spectre continu 1 5 3 Filtres id aux passe bas passe bande et passe tout A 1 6 1 R flexion normale sur un mur l 1 6 2 Filtrage en peigne par un micro situ proximit d un mur 1 6 3 Addition d s intensit s less cea mon aug de ue eu 1 6 4 Intensit d une onde stationnaire 1 6 5 Son d une sir ne es ere oa A ed ee Ci ie no a a ou 1 7 1 Premier son les vecteurs 1 7 2 Faisons varier les param tres le fichier de commandes 3 TABLE DES MATI RES 1 7 3 Cr ons des sons plus complexes utilisation des fonctions 1 7 4 Analyse 1 7 5 Filtragel
170. ochl e doivent passer par la zone de r ception des hautes fr quences et donc peuvent avoir une incidence sur la perception de ces derni res Par contre les hautes fr quences localis es au d but de la cochl e pr s de la fen tre ovale n agissent pas sur l extr mit de la cochl e o sont capt es les basses fr quence et il n est donc pas surprenant qu elles n aient que peu d incidence sur ces derni res En se rappelant que les femmes chantent peu pr s l octave au dessus des hommes Zwicker trouve dans cette dissym trie l explication du fait que les hommes sont moins nombreux que les femmes dans les chorales Eh non ce n est pas un ph nom ne socio culturel 4 2 HAUTEUR DES SONS 107 dB i r 100 L O audible diff rentiel audible _ inaudible son masquant ne 80 o J seuil d audition 1 L L 10 10 10 Hz FIG 4 6 fr quences masqu es par un son pur de 1000Hz 80dB dB 100 F 80 10 10 10 Hz FIG 4 7 effet de masque pour un son masquant de 1000Hz d intensit variable Ly 108 CHAPITRE 4 PSYCHOACOUSTIQUE 4 3 Sujets d tude 4 3 1 Niveaux d isosonie Les courbes d isosonie de Fletcher ont t obtenues en faisant la moyenne sur un grand nombre de personnes Concevez un protocole d exp rimentation et tracez les courbes d iso sonie correspondant votre propre audition 4 3 2 Masquage fr quentiel
171. on seulement on s loigne des sons p riodiques mais on n a m me plus affaire une somme de fr quences ponctuelles comme dans 1 11 On se trouve au contraire en pr sence d un ensemble continu de fr quences au lieu de s crire comme une somme de termes en exp 2ir fnt de fr quences fn de tels sons s t peuvent se repr senter l aide d une int grale de termes de m me nature synth se de Fourier 00 s t f MNatidad 1 14 o la fonction s f appel e transform e de Fourier de s est donn e par la formule d analyse 00 js f stand 1 15 Chaque nombre complexe s f indique l amplitude et la phase la fr quence f Le spectre d un tel son par opposition au spectre discret dans 1 11 est dit spectre continu Cette repr sentation s applique en particulier toute fonction s t int grable sur R telle que 3 f soit aussi int grable sur R Cependant une telle repr sentation ne donne pas enti re satisfaction pas plus d ailleurs que 1 11 car la fonction S f ne donne pas d information directe sur le d roulement tem porel du signal sonore On souhaiterait pouvoir utiliser une autre repr sentation faisant in tervenir la fois temps et fr quence comme celle qui est utilis e par les musiciens lorsqu ils retranscrivent sur une partition un morceau de musique Par exemple les figures L 17 et repr sentent l analyse du chant de Maria Callas dans la Norma de Bellini Nous expliquerons dans la section sui
172. oniques lev s vont en diminuant lorsque la fr quence du fondamental augmente Avec l accroissement des capacit s des m moires on en est venu un puis plusieurs chantillons par note pour rendre compte galement de la variation d une m me note en fonction de son intensit La tendance actuelle est partir d un mod le physique et d une base d chantillons pour chaque note de r aliser un traitement de ces chantillons pour construire le son en fonction des param tres d intensit de dur e etc 6 2 Effets temporels cho et r verb ration Ces effets s appliquent directement sur le signal temporel On consid re ici un signal discret x Aa provenant de l chantillonnage d un son la fr quence F de longueur finie N 1 Deux chantillons cons cutifs sont donc s par s par l intervalle de temps 7 1 Fe Par convention on pose n 0 pour n lt O0 oun gt N 6 2 1 cho simple L cho simple est l effet le plus facile programmer Il consiste rajouter au son initial le m me son retard d un d lai r et att nu d un facteur 0 lt g lt 1 qu on appelle gain On suppose ici que r est un multiple entier de 7 r mr Le signal obtenu y v rifie donc Yn Tn Jln m 6 1 C est l cho qui serait produit par la r flexion du son sur une paroi parfaitement r fl chissante situ e une distance d cr 2 avec g 1 2d si l on suppose que la source et l auditeur sont plac s au m m
173. onne pour la virgule des nombres d cimaux Notez que le r sultat de l op ration ne s affiche pas ou s affiche selon que la ligne se termine par un point virgule cas de la premi re ligne ou non lignes 2 et 3 Pour g n rer un vecteur x a a h a 2h a nh dont les l ments sont quidistants c est tr s simple il suffit d utiliser la commande x a h a nx h apr s avoir affect des valeurs aux variables a h et n Premier son son pur interpr tez et ex cutez les lignes de commande suivantes gt Fe 22050 gt f 440 gt T 1 gt dt 1 Fe gt t 0 dt T gt s sin 2 xpixf t gt sound s Fe Un outil indispensable l aide en ligne Pour avoir une description sommaire d une fonction MATLAB il suffit d ex cuter la commande help suivie du nom de la fonction par exemple help sinouhelp sound Et si vous voulez de l aide sur l aide tapez help help Une particularit de la plupart des fonctions MATLAB est de retourner un vecteur si l argument est lui m me un vecteur Par exemple le vecteur s ci dessus est compos des valeurs s t sin 2r ftn sur l intervalle 0 T qui a t sp cifi 1 7 2 Faisons varier les param tres le fichier de commandes Si l on veut faire varier la fr quence par exemple c est peu pratique de tout r crire Il vaut mieux utiliser un fichier dans lequel on crit toutes les commandes Ouvrez un fichier 1 7 TRAVAUX PRATIQUES SUR ORDI
174. orme 12 Soient N chantillons s n 0 1 2 N 1 que l on souhaite coder en nombres binaires les mots sur b bits Par exemple dans le cas b 3 ces mots sont 000 001 010 011 100 101 110 et 111 qui sont l criture en base 2 des entiers 0 1 2 7 Il y ena en tout L 2 Le cas standard b 16 donne 65536 mots Soit ensuite A une valeur telle que lt sn lt A pour0 lt n lt N 1 Avec les L mots que nous avons notre disposition la quantification uniforme consiste e partitionner l intervalle A A en L sous intervalles 14 de longueur gale h 2A L Ip A k 1 h A kh k 1 2 L Nous n avons pas pr cis si l intervalle est ferm ou ouvert chaque extr mit cela restera pr ciser lors du codage e assigner chaque chantillon s son code binaire bn qui est le num ro cod en base 2 de l intervalle dans lequel il se trouve Pour la reconstruction qui suivra on assigne galement chaque valeur sn en fait chaque bn le nombre rn milieu de l intervalle dans lequel il se trouve La figure qui 5 1 ECHANTILLONNAGE 119 1 L L L 1 L L L L L J 0 0 001 0 002 0 003 0 004 0 005 0 006 0 007 0 008 0 009 0 01 FIG 5 9 chantillonnage et quantification sur 3 bits Il y dans ce cas 8 intervalles La valeur Tn assign e un chantillon est le milieu de l intervalle dans lequel il se trouve et son code binaire est le num ro de l intervalle reprend l exemple
175. os e les fr quences propres f ne sont plus des multiples entiers de la premi re fr quence f ni d ailleurs d aucune autre fr quence f Les fr quences f ne sont donc pas des harmoniques mais des partiels En r solvant num riquement 2 12 on trouve que les fn sont proportionnels la suite 1 6 27 17 55 34 39 On constate que la progression est au d but plus rapide que pour la lame pos e Cependant on peut d duire de qu asymptotiquement on a A n 1 2 r d o pour n assez grand 2 YCLT progression quadratique comparable celle de la lame pos e 2 11 L accord des lames se fait en g n ral en agissant sur l paisseur en retirant de la mati re par exemple au niveau du point d attache pour faire baisser la fr quence ou au niveau de l extr mit pour faire monter la fr quence Quant la solution physique elle est toujours obtenue par addition des solutions harmo niques mais elle ne produit plus en g n ral un signal p riodique C est un son que l on peut juger moins m lodieux Toutefois il faut prendre en compte le r sonateur ou l oreille qui peuvent liminer les partiels lev s ce qui est le cas par exemple des bo tes musique 2 3 LES MEMBRANES 57 2 3 Les membranes Outre les tiges frapp es la section des percussions comporte aussi des instruments constitu s d une membrane lastique fix e sur un pourtour circulaire timbales tambours tam tams Consid rons u
176. partie r elle Le signe de f indique le sens de parcours du cercle trigonom trique Lorsque l on passe dans le domaine r el sachant que cos x cos x et sin x sin x on peut toujours supposer que la fr quence f est gt 0 quitte changer le signe du sinus 14 CHAPITRE 1 LES SONS D une mani re g n rale on appelle fonctions variables s par es les fonctions de la forme pr x t p x d 1 7 Si de plus y est r elle on dit que l onde est stationnaire un coefficient r el multiplicatif pr s y x tous les points subissent simultan ment la m me variation de pression Y t Nous retrouverons ces ondes dans l tude des cordes des lames et des tubes En reportant l quation dans 11 6 on obtient apr s division par p 1 4 t y _ ag t ple expression qui visiblement ne peut tre qu une constante Si on pose que cette constante vaut 2r f avec f r el arbitraird on obtient d une part Y 2rf Y t dont la solution g n rale est d t Aexp 2i7 ft Bexp 2i7 ft Si B 0 ou 0 londe est harmonique de fr quence f D autre part pour k 2r f c on obtient l quation de Helmholtz homog ne c est dire sans autre terme que l inconnue g g x y x 0 1 8 dont la solution g n rale est y x aexplikx Bexp ikx li H li D f ui li i o NN De Li o m a SOS j a A FIG 1 6 une onde plane ha
177. passe bas les a sont des nombres al atoires dont la densit suit une loi gaussienne normale centr e 7 1 F comme d habitude d est une dimension caract ristique de la salle dont on veut simuler la r verb ration et y est un param tre suppl mentaire de r glage qui fait d ailleurs double emploi avec d h bxw Wn An EXP unT d Dans les deux cas le calcul de la convolution A x n cessite un grand nombre d additions et multiplications ce qui rend cette m thode difficilement utilisable pour les applications en temps r el Utilisation d chos et de filtres passe tout Cette technique consiste combiner les deux types d chos vus pr c demment La figure 6 4 montre un exemple de structure pour simuler une r verb ration Dans ce qui suit pour ne 140 CHAPITRE 6 SYNTH SE ET EFFETS SONORES j R1 7 El R2 K E2 A LS HO R3 E3 x R4 e mM y FIG 6 4 r verb rateur de Moorer constitu de lignes retard d chos multiples E et d un filtre passe tout P Les repr sentent des additions pas alourdir la notation nous ne mettons pas d indices sur les param tres g H associ s aux diff rents l ments R et E tant entendu qu ils peuvent varier d un l ment l autre Les l ments not s R sont de simples retards qui ont pour but de simuler le
178. peut additionner deux vecteurs que s ils ont m me forme ligne ou colonne vous maintenant de jouer sur les valeurs des amplitudes et des fr quences que vous passerez la fonction synthad et de comparer les sons obtenus Pour le cas harmonique vous pouvez en particulier jouer sur la d croissance plus ou moins rapide des coefficients an ou sur la pr sence ou non des harmoniques pairs Pour le cas des partiels essayez les valeurs du cours donn es pour une cloche Interm de bruits et sir nes Sur le mod le de synthad m cr ez une fonction bruit m ayant pour en t te function s bruit T Fe et fabriquant un bruit soit sur l un des mod les d crits en cours soit tout simplement en utilisant la fonction randn de MATLAB pensez au help Cr ez galement une fonction sirene m d en t te function s sirene f f1 beta T Fe et renvoyant les chantillons du son s t sin 2r ft Bsin 2r fit f1 1 7 4 Analyse Vous allez maintenant analyser un son de votre choix que vous aurez cr e ou t l charg parmi les fichiers son extension wav que vous trouverez sur ma page web Pour lire par exemple le fichier flute wav utilisez la commande s Fel wavread flute wav noter que le vecteur s se pr sente sous forme d une colonne Ci dessous un exemple de son compos de trois notes cons cutives comportant chacune trois harmoniques nous ne ferons d sormais plus appara tre le prompt gt gt a 100 10 1 f
179. pinc e au dixi me de sa longueur ce qui a pour effet de supprimer les harmoniques de rang multiple de 10 De m me dans le cas du violon l archet impose la corde un mouvement en dents de scie appel signal triangulaire repr sent sch matiquement sur la figure cf aussi 2 6 3 chaque p riode la corde est d abord entra n e par l archet jusqu ce que la tension de la 70 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS corde l emporte sur les forces de frottement provoquant un brusque retour de la corde Un tel signal correspond au cas m 1 a des coefficients en 1 n et le cas limite o la pente du retour serait infinie signal discontinu donnerait des coefficients en 1 n C est une d croissance relativement peu rapide d o ici encore un son riche en harmoniques aigus FIG 2 16 quelle scie R partitions diverses des harmoniques Nous avons d j vu que dans le cas p riodique une autre caract ristique qui ne trompe pas est la quasi absence d harmoniques pairs C est le cas en particulier de la clarinette et du bourdon de l orgue De mani re analogue un grand nombre de timbres diff rents peut tre obtenu en favorisant une certaine cat gorie d harmoniques par rapport aux autres Cette technique est employ e de mani re intensive par les facteurs d orgue Dans la synthese des principaua 1I ils additionnent plusieurs tuyaux pour jouer une m me note Do 1 par exemple correspondant la progression des
180. ppes Pour certains instruments une seule enveloppe pour l ensemble du son se r v le tre insuffisante pour le d crire fid lement Il faut alors recourir une enveloppe distincte en t 74 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS pour chaque harmonique et le son est alors repr sent sous la forme s t y En t sin 27 fnt On n Pour analyser chaque enveloppe on applique la technique du paragraphe pr c dent chaque composante en t sin 27 fnt On que l on peut isoler par un filtre passe bande ad quat La figure 2 20 montre l enveloppe des trois premiers harmoniques d une note de piano calcul e selon la m thode du paragraphe pr c dent ainsi que celles des harmoniques isol s 1 et 3 obtenus tous par filtrages passe bande de la note On constate en particulier que le troisi me harmonique subit une chute d intensit bien plus brutale que le premier trois premiers harmoniques ensemble MERE CES FIG 2 20 diff rentes enveloppes harmoniques du Do 2 130 8Hz d un piano Terminons ce chapitre par deux spectrogrammes qui illustrent deux comportements diff rents des enveloppes des harmoniques fig P 21 et 2 22 On y constate que dans un son de trom pette les harmoniques aigus arrivent en retard par rapport au fondamental ph nom ne mis en vidence par les travaux de J C Risset cf 20 ce qui constitue en partie la signa ture acoustique de cet instrument alors que dans un son
181. quence sup rieure fs La seconde raison quantitative est connue en m canique quantique comme le principe d incertitude de Heisenberg qui nonce qu il est impossible de mesurer avec une pr cision arbitraire la fois la position et la vitesse d une particule Ce principe est en fait un r sultat math matique qui dit que pour une fonction s t de carr int grable telle que f s t 2dt 1 l cart type associ la densit de probabilit s t et l cart type amp associ la densit de probabilit 5 t ob issent l in galit A 1 T6 2 1 18 Quelle est la cons quence de ces deux propri t s Imaginons que dans le graphique de notre spectrogramme nous n ayons qu un petit carr noir de dimension X correspondant un tel signal s t Cela signifierait que la dur e du signal dans le temps est e et que les fr quences seraient concentr es dans un intervalle de longueur ce qui contredit d j la premi re propri t Mais m me si cela tait possible on aurait n cessairement lt 2 ainsi que F lt e 2 ce qui report dans donne gt 1 r d o gt 1 y 7 r solution graphique en dessous de laquelle il est impossible de descendre dans la repr sentation temps fr quence 4000 z Fr quence Temps FIG 1 28 repr sentation temps fr quence des voyelles Regardez le son o comme tout 0 qui se respecte il fait un joli rond Termi
182. r l instrument in gal propos des modes propres du violon Savart observa vers 1830 par des mesures utilisant la m thode de Chladnf que le fond d un bon violon et sa table d harmonie ont leur premi res fr quences propres cart es d un demi ton vitant ainsi d accentuer de mani re trop forte l une ou l autre de ces fr quences ces mesures furent faites sur des Stradivarius et Guarnierius d soss s 20 qui consiste saupoudrer une plaque horizontale de fins granules et observer la disposition des grains lorsqu on excite la plaque avec une vibration m canique de fr quence donn e f Aux fr quences propres de la plaque les grains se disposent naturellement le long des lignes de n uds du mode propre associ 72 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS Dans tous les cas en plus de sa fonction d amplificateur le r sonateur agit directement sur la r partition spectrale du signal qu il re oit et joue donc un r le fondamental dans le timbre que produira l instrument 2 5 2 Enveloppe du son Une troisi me caract ristique fondamentale d un son est son enveloppe qui est en quelque sorte son emballage et dont la figure 1 20 nous avait donn un bel exemple Celle ci d finit la mani re dont appara t vit et dispara t le son musical Le d but du son appel transitoire d attaque est tr s riche en fr quences et joue un r le crucial dans la reconnaissance de lins trument Priv de cette partie de nombreux sons
183. ransform e 24 114 transform e discr te 31 121 fournitures 70 fr quence 13 20 99 101 de co ncidence 83 de coupure 38 114 129 142 de r sonance 28 49 instantan e 41 117 136 m diane 142 propre 49 fugue 92 gain 137 gamme ascendante perp tuelle 105 chromatique 18 de Pythagore 90 de Zarlino 91 des physiciens 91 diatonique 18 en tons 18 majeure 18 mineure 18 modale 18 temp r e 92 INDEX Guarnerius 71 guimbarde 70 guitare 69 76 gzip 125 Hammond 139 145 harmonie 90 harmonique 21 60 67 68 89 haut parleur 145 hautbois 60 84 hauteur 17 Heisenberg principe d incertitude 33 Helmholtz 53 77 103 hertz 20 holomorphe 127 Huffman algorithme de 125 illusion acoustique 104 inharmonicit 67 80 93 intensit sonore 16 99 104 internet transmission par 110 interpolation 131 intervalle 17 IRCAM 133 isosonie 100 jeux de gambe 133 La 93 lame 53 encastr e 55 pos e 53 le clavecin bien temp r 92 Leipp 93 Leslie 145 loi de Bernoulli 63 de Fechner 17 101 103 de Taylor 49 longueur d onde 13 maquam 95 masquage 99 105 masque 106 122 masse lin ique 80 Mathews 135 INDEX matlab 41 128 mel 103 m lodie 90 95 membrane 57 basilaire 101 de Reissner 101 mixtures 70 Modalys 133 mode propre 49 71 modulante onde 39 135 modulation d amplitude 135 de fr quence 135 de phase 135 Moor
184. reuse du Ry en supposant que le signal sn prend ses valeurs avec 120 CHAPITRE 5 LE SON NUM RIQUE une probabilit uniforme sur l intervalle A A et que l erreur prend ses valeurs avec une probabilit uniforme sur l intervalle h 2 h 2 Dans ce cas les intensit s moyennes respectives de Sn et c est dire leur moyenne quadratique sont donn es par A 2 w roo LA 24 3 h 2 odz h 1 TAN Ly TL 5 an h B2 AA 2 et lon retrouve la valeur pr c dente I Rsb 10 log 7 10 log 2 6 02bdB 5 6 b Bien entendu cette valeur ne sera plus la m me en cas d une r partition non uniforme cas o pr cis ment il peut tre appropri d utiliser une quantification galement non uniforme 5 1 3 Reconstruction du signal sonore La reconstruction du signal sonore s appuie sur le th or me de Shannon qui nous dit que si ses hypoth ses sont v rifi es on a s t h se t o h t est le filtre passe bas id al 1 26 de fr quence de coupure Fe 2 Or ici nous ne disposons plus des valeurs s mais seulement des valeurs approch es par quantification rn Le signal reconstruit sera donc r t h re t s t o comparer avec 5 1 00 ner Y mt 5 7 n 00 Ici intervient un troisi me obstacle la reconstruction parfaite on ne sait pas g n rer un train d impulsions de Dirac 9 7 Ici nous sommes au niveau de la carte son le CNA charg e de d livrer ces impul
185. rmonique Elle se propage le long de l axe Ox coupe 2D sans amortissement Ainsi les ondes de pression harmoniques de fr quence f sont de la forme pi x t a exp ikx Pexp ikx exp 2ir ft o a B C ensemble des nombres complexes seront d termin s par les conditions aux limites cf chapitre B tandis que les ondes harmoniques stationnaires de fr quence f sont de la forme pi x t asin k x xo exp 2ir ft 2Le choix de la constante n gative nous permet de s lectionner les solutions physiques qui nous int ressent celles qui sont sinusoidales en temps Il existe d autres solutions mais nous ne les utiliserons pas 1 1 PROPAGATION DES SONS 15 En appliquant la m me d marche i e en partant des trois quations fondamentales on montre que dans le cas g n ral o les ondes ne sont plus forc ment des ondes planes la pression est solution de l quation des ondes trois dimensions d espace O p1 x y 2 t Api z y 2 t 1 9 avec Oy2 0 2 0 2 et l quation de Helmholtz devient Ap z y 2 Kp x y z 0 Par exemple les ondes harmoniques sph riques provoqu es par une source ponctuelle sup pos e plac e l origine sont de la forme avec r y 12 y 22 exp ikr 207 ft Pile y 2 1 Q r Ces ondes sont dites sph riques car t fix tant donn e une sph re centr e sur l origine la pression y est la m me en tout point de cette sph re
186. rtie inf rieure par la main gauche et jouant sur la corde de la main droite Dans la majorit des instruments cordes le r sonateur est une plaque en pic a appel e table d harmonie une pi ce de bois h tre ou rable appel e chevalet servant d interm diaire entre la corde et la table Dans les vents l excitateur peut tre une anche en roseau clarinette saxophone hautbois les l vres de l instrumentiste cor trompette trombone un jet d air fl te orgue et le r sonateur est la colonne d air d limit e par l instrument parfois galement le tuyau lui m me selon le mat riau dont il est fait L objectif de ce chapitre est d tudier les mod les simples de vibration des corps sonores qui sont la base du fonctionnement de tous les instruments de musique Ces vibrations peuvent se classer en deux cat gories les vibrations libres et les vibrations entretenues Dans la premi re cat gorie on trouve les instruments percussion le clavecin le piano la guitare mais aussi le violon lorsque l on joue un pizzicato Les vibrations sont dites libres car apr s une action br ve percussion pincement le corps n est plus soumis aucune action et continue de vibrer librement Dans la seconde cat gorie on trouve les instruments vent bois cuivres orgue et les instruments cordes frott es violon violoncelle contrebasse Le 47 48 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS son y est entretenu par
187. s 500 1000 2000 mels correspond peu pr s aux valeurs 500 1010 2050Hz Toutefois la pertinence de cette chelle peut tre mise en cause pour au moins deux raisons la tr s grande variabilit selon les individus et le fait qu elle ne vaut que pour des sons purs peu pr s inexistants pour ce qui concerne les instruments acoustiques Il n emp che que c est sans doute l que r side l explication de la pratique de nombreux accordeurs de piano qui ont tendance largir les octaves dans l aigu et cela fournit une certaine justification th orique au temp rament quintes justes de Cordier cf 8 3 Peut tre cela explique t il aussi le La 4 de Maria Callas fig Pour des sons plus complexes comportant plusieurs harmoniques la sensation de hauteur n est pas forc ment fournie par la fr quence de l harmonique pr sent le plus grave Pour s en convaincre il suffit d couter de la musique sur un petit poste radio qui ne d livre aucune fr quence en dessous de 150Hz par exemple Ceci n emp chera pas l auditeur de reconna tre parfaitement les notes jou es alors que certains fondamentaux sont absents En fait il semble rait que pour identifier une note de fondamental 100Hz par exemple la pr sence de quelques harmoniques multiples de 100Hz soit suffisante 10 Supprimer les harmoniques graves peut toutefois donner la sensation d un son l g rement plus aigu alors que supprimer les harmo niques aigus peut donner la s
188. s approximations sin 9 tg 0 cos 0 1 mon trez que la composante verticale des forces exerc es sur M vaut 2T 2u g L et d duisez en que mu t Ku t Kg t 2 avec K AT L Montrez de m me que la composante verticale des forces exerc es par la corde sur Q vaut 27 u g L et d duisez en que meg t Rg t Keg t Kg t 2 Ku t 2 2 On consid re maintenant le cas de deux ou trois cordes u t soumises chacune une tension T et l on pose 2 ou 3 AT K K Za q Montrez que les quations du syst me complet deviennent l mu t Kiu t Kig t 2 i 1 2 sn meg t Rg t Ke Ks 2 g t X Kiui t 2 80 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS 3 Pour la r solution num rique on traite ici le cas de 2 cordes on pose w v g h X u1 u2 g v1 v2 h Montrez que le syst me diff rentiel 2 24 peut s crire sous la forme matricielle X t AX avec 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 A 0 0 0 0 0 1 K m 0 K 2m 0 0 0 0 K2 m K2 2m 0 0 0 K1 2m lt Ko 2me K Ks 2 m 0 0 R me La solution est alors X t exp tA X0 o le vecteur Xo contient les conditions initiales X 0 La r solution num rique consiste par exemple choisir un pas de temps 7 calculer M exp rA et Xn X nr s obtient par r currence Xn MA Les param tres utilis s pour la figure ont t les suivants m 1 K 27f m avec f 500Hz et
189. s conservant leurs valeurs ant rieures a 1 p 0 gt s synthad a f p T Fe gt sound s Fe Gr ce cette fonction nous allons pouvoir g n rer des sons plus complexes si l on passe comme arguments synthad les vecteurs a ai a2 m f f1 f2 fm P 01 02 0 et les nombres T F la fonction retournera dans le vecteur s les chantillons s t du son m s t ansin 27 fnt 0n O lt t lt T n 1 Quelques pr cisions techniques avant d aller plus loin Op rations sur les vecteurs La transposition d un vecteur ligne en vecteur colonne ou r ciproquement se fait en ajoutant une apostrophe x L addition ou la soustraction de vecteurs de m me taille se fait avec les op rateurs et Plus curieux l addition a x d un nombre a et d un vecteur x ajoute a chaque composante de x La multiplication ou la division d un vecteur x par un nombre a se fait en crivant a x et x a MATLAB dispose d outils pratiques pour effectuer des op rations sur les vecteurs sans effectuer de boucles ce sont les op rateurs et qui op rent terme terme Pour lever tous les termes d un vecteur x la puissance m on crit x m Pour illustrer cela tapez les commandes suivantes gt x 1 2 3 y 2 2 3 gt x gt x 44 CHAPITRE 1 LES SONS gt x y gt Xx y gt x 0 1 gt 3xx gt x 2 gt X y gt x y gt x 72 gt x y La ligne x y a provoqu une erreur On ne
190. s figures Le graphique inf rieur repr sente leur somme s 52 Lorsque les deux sinuso des sont en phase elles se renforcent t 0 0 5 et 1 En opposition de phase aux instants t 0 25 et t 0 75 elles s annulent mu tuellement C est le ph nom ne de battement le son s amplifie et s att nue p riodiquement la fr quence f2 f ici 2Hz Ce ph nom ne peut aussi se d duire de sin 2r fit sin 2x fat 2sin 27 Pp cos 2r Pn Le son r sultant est un son de fr quence interm diaire f f2 2 modul en amplitude par cos 2Tt f f2 2 Le maximum d amplitude est atteint aux instants tels que cos 2rt f f2 2 1 d o une fr quence du battement gale 2 fi f2 2 f2 f Pour ajuster les deux cordes la m me fr quence il suffit donc de faire dispara tre ce battement cf aussi 2 6 5 Ce n est pas la fr quence d une corde individuelle que mesure l oreille de l accordeur ou du musicien mais la fr quence on dit aussi la vitesse du battement produit par deux cordes diff rentes En effet une diff rence d un demi hertz entre deux cordes jou es cons cutivement est inaudible m me pour l ou e la plus fine alors qu un battement 52 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS d un demi Herz entre deux cordes jou es simultan ment est parfaitement audible pour une oreille un tant soit peu entra n e Le m me proc d peut tre utilis pour accorder d autres intervalles q
191. s premi res r flexions Ils d livrent chacun un signal de la forme Un IT n m o m rFe r tant le d lai qui peut varier par exemple entre 20 et 100ms pour l ensemble des l ments R Le coefficient g est l intensit de l cho simple que l on peut prendre de la forme g u cr o 0 lt u lt 1 repr sente l absorption de la salle et cr la distance parcourue par le son pour revenir son point de d part apr s r flexion Les l ments not s E sont des chos multiples combin s avec des filtres passe bas Un tel l ment E recevant un signal u d livre un signal w uhxwv o u est toujours un param tre d absorption h est un filtre passe bas sinon on obtient un son m tallique et v v rifie une variante de 6 3 Un Un m JUn m Chaque gain g associ un l ment E est pris de la forme g 10737 Tr o r est le d lai associ pris entre 50 et 80ms et TR est la dur e de r verb ration qui est par convention le temps que met un son bref r verb r pour diminuer en intensit de 60dB Enfin le dernier l ment not P est un filtre passe tout cf L 5 3 Recevant un signal w il d livre un signal y qui v rifie l quation de r currence Un JYn m Wn m JWn 6 6 6 3 EFFET PAR MODIFICATION DU TIMBRE 141 Les param tres de ce filtre propos s par Moorer 17 sont g 0 7 et m 6F 107 toujours suppos entier Ce filtre brouille les cartes en modifia
192. saient les gammes bien temp r es dont le cas particulier du temp rament gal o toutes les quintes sont gales et correspondent au rapport 27 12 1 4983 Dans le temp rament gal la quinte R La R 294Hz produira un battement de 3 x 1 2 x 27 12 x 294Hz 1Hz 3 2 ce qui est bien plus acceptable que celui de 11Hz produit par la quinte R La de Zarlino Le demi ton temp r correspond quant lui un rapport de 21 12 1 0595 Dans cette gamme tous les demi tons sont gaux et il n y a pas de diff rence entre les f et les b une m me touche du clavier servant jouer Dof et R b En fait de nombreux temp raments interm diaires entre celui de Zarlino et le temp rament gal furent en usage l poque de Bach On trouvera dans 7 une description de plusieurs temp raments historiques dont le suivant conseill pour jouer le clavecin bien temp r de J S Bach Les tonalit s y sont d autant plus consonantes qu elles sont proches de la tonalit de Do majeur En partant du Do on effectue un cycle de 4 quintes Do Sol R La Mi gales de rapport l g rement inf rieur 3 2 de sorte que la quinte Do Sol batte par d faut la m me vitesse que la tierce majeure Do Mi bat par exc s c est le clavier bien temp r Si lon note x le rapport de ces quintes cela donne les battements battement Do Mi par exc s b1 5 4x 4 zt 5 battement Do Sol par d faut b2 3 2x 3
193. se produit lorsque toutes les fr quences sont des multiples entiers d une fr quence donn e f gt 0 fn nf Dans ce cas le signal s t E an cos 27n ft On n gt 1 est p riodique de p riode T 1 f c est dire que s t T s t pour tout t En effet cos 27n f t T 8n cos 27n ft 2n7 0n cos 27n ft 0 Bien entendu il n existe pas de sons r ellement p riodiques ne serait ce que parce qu ils n ont pu commencer avant le big bang FIG 1 13 son p riodique approximation d un son de trompette En musique la fr quence f est appel e le fondamental et la fr quence fn nf est appel e l harmonique de rang n ne pas confondre avec une onde harmonique Si par exemple f est la fr quence du Do 3 261 6Hz alors f2 est l octave au dessus Do 4 f3 se situe une quinte plus haut Sol 4 f4 est l octave suivante Do 5 fs est l g rement en dessous de la tierce majeure Mi 5 etc f 261 6Hz 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f 9f Do Do Sol Do Mi Sol Sib Do R 1 12 Un son comportant un grand nombre d harmoniques sera per u comme riche exemple du clavecin ou du violon alors qu un son ne comportant que peu d harmoniques sera per u comme pauvre exemple de la fl te douce La figure montre le signal obtenu en ajoutant un par un les termes sin 27rnt n n 1 2 3 4 On s approche de plus en plus d un signal triangulaire qui est le mod le le plus
194. sions et d en filtrer la somme Tout ce que l on saura faire c est g n rer de br ves impulsions plus ou moins rectangulaires comme celles repr sent es sur la figure 5 3 Cela introduira donc un dernier facteur de distorsion que l on pourra partiellement corriger au moyen d un filtre ad quat C est tout l art des fabricants de cartes son 5 2 Compression audio La compression du son num rique est bas e sur le principe de ne garder que ce qui est perceptible et fait donc appel aux propri t s psychoacoustiques tudi es au chapitre 4 Elle vient se placer apr s la proc dure d chantillonnage et de quantification que nous venons d tudier Nous d crivons ici les id es principales mises en uvre par les algorithmes de compression dont le plus connu l heure actuelle est le codage MPEG Layer 3 en abr g MP3 Le codage comporte deux tapes distinctes 5 2 COMPRESSION AUDIO 121 e une premi re tape de compression psychoacoustique accompagn e d une perte de cer taines informations celles qui sont jug es inutiles au regard des caract ristiques de l ou e e une seconde tape de compression entropique qui r alise une compression sans pertes du r sultat de la transformation pr c dente La description compl te de ces deux tapes est assez technique cf par exemple 12 aussi ne ferons nous qu en esquisser les grandes lignes De plus la premi re tape telle qu elle est implant e dans MP
195. st pas satisfaite 6 4 EFFETS SONORES DE TYPE AM OU FM 145 6 4 2 Effet Leslie L effet Leslie a t invent par Donald Leslie dans les ann es 1940 Il fut utilis dans les orgues lectroniques Hammond Baldwin ou Wurlizer mais fut galement appliqu aux voix comme dans Blue Jay Way des Beatles Il est r alis par deux haut parleurs oppos s mis en rotation produisant un effet Doppler cf 6 5 1 coupl avec une variation de l intensit FIG 6 9 effet Leslie produit par deux haut parleurs en rotation Il fut rendu populaire par les orgues lectriques Cet effet n cessairement st r o consiste en une variation sinuso dale de l amplitude et de la fr quence en opposition de phase entre les deux canaux gauche et droite les variations d amplitude et de fr quence tant sur chaque canal en quadrature de phase comme indiqu sur la figure 6 10 pour un tour complet du dispositif La vitesse de rotation est de l ordre de 3 6 tours s gauche droite 1 2 1 2 L m 1 1 S E 0 8 0 8 0 6 0 6 O 90 180 270 360 O 90 180 270 360 w 222 222 2 3 220 220 o D L 218 218 O 90 180 270 360 O 90 180 270 360 FIG 6 10 effet Leslie variations d amplitude en haut et de fr quence en bas de chaque canal lors d un tour complet des haut parleurs On peut implanter un tel effet en proc dant par synth se additive des canaux gauche et droite s t et salt Pour cela on crit chaque harmoniq
196. t rendue d licate par intervention de la subjectivit Nous n en traiterons ici que quelques aspects l intensit et la hauteur qui int ressent directement le musicien et les effets de masquage dont l tude est tr s utile pour la mise au point de techniques de compression audio comme le c l bre format MP que nous tudierons au chapitre 4 1 Intensit sonore et sonie L intensit sonore L que nous avons d finie au chapitre 1 exprim e g n ralement en d cibels est une mesure physique de la pression acoustique Cependant cette mesure ne co ncide pas avec notre sensation de l intensit sonore appel e sonie dont l tude a t d velopp e par Fletcher dans les ann es 1940 Tout d abord nous n entendons les sons que dans une gamme de fr quences comprises entre 20Hz et 20kHz Mais m me l int rieur de cet intervalle pour un niveau en d cibels donn la sonie n est pas la m me pour toutes les fr quences L ouie pr sente en particulier un maximum de sensibilit entre 3000 et 4000Hz cf fig 4 1 ce qui permet par exemple au piccolo d merger sans efforts d un tutti d orchestre Si vous retournez la figure vous remarquerez galement que les harmoniques de la soprano sont plus intenses dans cette gamme de fr quences permettant sa voix de couvrir facilement l orchestre Deux unit s de sonie rendent compte de la subjectivit de notre ou e le phone et le sone 4 1 1 Le phone Par d finition
197. taires d acoustique lectroacoustique ditions TEC amp DOC 2000 H JUNGHANNS Der Piano und Fl gelbau Verlag Das Musikinstrument Frankfurt 1979 W M HARTMANN Signals Sound and Sensation Springer Verlag 1998 P LASCAUX ET R TH ODOR Analyse Num rique matricielle appliqu e Part de lPing nieur Masson Paris Milan Barcelone 1994 E LEIPP Acoustique et musique Masson 1980 M V MATHIEWS The Technology of Computer Music M I T Press 1969 N MOREAU Techniques de compression des signaux Masson 1995 J PIERCE Le son musical bibliotheque Pour La Science Belin 1999 J C RISSET Hauteur harmonie timbre synth se in Musique rationalit langage l harmonie du monde au mat riau L Harmattan Paris Montr al 153 167 1999 E ZWICKER ET R FELDTKELLER Psychoacoustique l oreille r cepteur d information Masson 1981 Colloque acoustique et instruments anciens factures musiques et science Mus e de la musique 1998 DAFX Digital Audio Effects John Wiley Sons 2002 Proceedings of the International Symposium on Musical Acoustics July 2 6 1995 Le Normont Dourdan France Ed SFA Encyclop die Universalis Les instruments de l orchestre biblioth que Pour La Science Belin 1995 Sons et musique biblioth que Pour La Science Belin 1979 157
198. trice reconnue par la fonction sound Les 6 6 TRAVAUX PRATIQUES SUR ORDINATEUR 149 commandes sont les suivantes calcul de sg fO f0 0 8 calcul de sd s sg sdl noter la l g re modification de fr quence avant de passer au calcul de sd en vue de produire un effet de phase Explication de la derni re ligne sg et sd sont deux vecteurs lignes a priori c est ainsi qu on les a programm s et le qui les s pare indique qu ils sont rang s Pun sous l autre dans une matrice deux lignes et autant de colonnes que sg a d l ments Cela n cessite que sg et sd aient le m me nombre d l ments Enfin le prime transpose cette matrice pour qu elle soit sous la forme reconnue par la fonction sound dans le cas de sons st r os 6 6 3 R verb ration Le r verb rateur de Moorer est programm dans le fichier reverb m qui se trouve sur ma page web T l chargez le lisez le et faites le lien avec la description faite en cours Cela vous permettra de jouer sur les diff rents param tres retards temps de r verb ration etc Utilisez cette fonction l int rieur de l une vos fonctions instruments pour en modifier la sonorit 6 6 4 Vibrato Utilisez la formule d crite dans le cours pour ajouter du vibrato votre instrument Pour cela le plus pratique est de modifier la fonction synthad m enregistrez la sous un nouveau nom synthadv m par exemple et faites les modifications dans ce nouveau f
199. ue l unisson la diff rence que ce ne sont plus les battements entre fondamentaux qu il faut utiliser mais ceux qui se produisent entre les harmoniques de rangs variables selon les notes accorder Examinons les trois cas illustr s pas la figure 2 4 Fa 3 o o o a l Fa 2 O A O O 6 o O l l l l Fa 2 O o E O O o o O g l l battement entre les 2 harmoniques La 2 Deir O o OO E Fa 2 O oO Or O ne Or O ce Oe 0O Il 2 3 4 5 6 7 8 o Tz num ros des harmoniques du Fa 2 FIG 2 4 co ncidence d harmoniques pour l octave et la quinte l ger d calage pour la tierce majeure temp r e Fa La au niveau des harmoniques respectifs 5 et 4 e Accord de l octave Supposons accord le Fa 2 174 6Hz en temp rament gal Le Fa 3 devrait tre accord 2 x 174 6 349 2Hz Supposons qu il soit l g rement d saccord par exemple 351 2Hz Le second harmonique du Fa 2 qui a pour fr quence 349 2Hz produira donc avec le fondamental du Fa 3 un battement de 2Hz L accord se fera alors en diminuant progressivement la fr quence du Fa 3 jusqu disparition de ce battement e Accord de la quinte Consid rons maintenant un Do 3 de fondamental th orique 3 x 174 6 2Hz Son deuxi me harmonique a pour fr quence 3 x 174 6Hz ainsi que le troisi me harmonique du Fa 2 L accord de la quinte se fera donc en coutant les battements entre ces deux harmoniques jusqu leur disparition e Accord d
200. ue sous la forme modul e en 146 CHAPITRE 6 SYNTH SE ET EFFETS SONORES amplitude et en fr quence solt Y ente 1 nsin 2r frt sin nf 2rt usin 2rf1t f1 n gt 1 salt X en 1 n9sin 27 frt sin nf 27t usin 27 frt fL n gt 1 o f est la fr quence du fondamental e t est l enveloppe de chaque harmonique et par exemple 7 0 3 y 0 01 et fr 4 noter que les fr quences instantan es sont en faisant abstraction de l effet produit par la variation d amplitude Jinst g n nf 1 p cos 2r fLt Jinst dn nf 1 a cos 2r frt Le spectrogramme de chaque canal est repr sent sur la figure Pour la visibilit les valeurs de u et y ont t exag r es 7 1 et y 0 1 Fr quence 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 Temps FIG 6 11 spectrogrammes de l effet Leslie on a un peu forc le trait 6 5 SUJETS D TUDE 147 6 5 Sujets d tude 6 5 1 Effet Doppler Une source sonore ponctuelle harmonique de fr quence f plac e l origine g n re une onde de pression de la forme exp ikr 237 ft r plx y 2 t avec r y 22 y 22 Dans les deux cas suivants calculez et repr sentez graphiquement la fr quence instantan e percue par un auditeur qui se d place avec un mouvement rectiligne uniforme sa position est donc de la forme M t Mo tV V Vi Va V3 tant le vecteur vitesse et Mp sa position l inst
201. uitare Mod liser une r verb ration num rique qui soit la fois peu gourmande en calculs et r aliste est tout un art et fait l objet de nombreuses publications cf et la bibliographie associ e Nous allons d crire succinctement deux m thodes e la premi re consiste utiliser la r ponse impulsionnelle de la salle mais elle n cessite un grand nombre d op rations e la seconde superpose des chos simples et multiples en combinaisons avec des filtres passe tout Elle est moins gourmande en calculs mais donne des r sultats peut tre moins r alistes Utilisation de la r ponse impulsionnelle Nous avons d j mentionn au que le son y per u par l auditeur tait de la forme y hxx o x tait le son produit par l orchestre et h la r ponse impulsionnelle de la salle Ceci concernait des signaux analogiques Cela reste vrai pour les signaux chantillonn s associ s cf 5 3 1 toujours not s x h et y Par cons quent si l on dispose des chantillons de la r ponse impulsionnelle de la salle que l on peut obtenir par l enregistrement d un son bref approchant l impulsion de Dirac on peut obtenir le son discret y en effectuant le produit de convolution des signaux chantillonn s x et h Si l on ne dispose pas de la r ponse de la salle une autre possibilit consiste l imiter en utilisant un g n rateur de nombres al atoires 17 Dans la r ponse impulsionnelle suivante h b est un filtre
202. us supposons que celles ci sont les suivantes 0 0 g 0 0 0 g L 0 Montrez que les deux premi res conduisent a 8 et y La solution est donc de la forme p x 2 ash K1x iysin K2x Montrez alors que les deux derni res conditions conduisent des solutions non nulles si et seulement si sin KoL 0 on calculera le d terminant du syst me homog ne de 2 quations deux inconnues a et y 4 On a donc la condition suivante qui porte sur K K n la d pendance par rapport n portant en fait sur k kn 27 f c KL nr En posant B Ar L d duisez de cette condition que 2 2 n T k2 a T2 1 Bn2 et montrez finalement que le partiel fn a pour expression fn nf V1 Bn o f c 2L est le fondamental de la corde en l absence d inharmonicit On remarque que pour r 0 la corde id ale on a 0 et l on retrouve la formule fn nfi 82 CHAPITRE 2 LES INSTRUMENTS 2 6 7 Fr quence de co ncidence d une onde dans une plaque Le r sonateur de nombreux instruments de musique est constitu d une plaque en bois Celui ci pic a par exemple est choisi pour que la vitesse de propagation des ondes trans versales y soit lev e Nous allons voir en quoi cela est utile pour obtenir un bon rayonnement de l onde sonore Pour simplifier on consid re une plaque infinie dont la tranche m diane est situ e au repos dans le plan xOy vibrant
203. utes des multiples entiers de f1 il s ensuit que le son produit est p riodique de p riode 1 f1 En fait la r alit s loigne un peu de ce mod le simplifi nous y reviendrons la fin du chapitre dans la discussion sur le timbre Pour terminer la d termination des coefficients cn se fait en consid rant les conditions initiales la position wo x et la vitesse vo x de la corde l instant t 0 La corde tant fix e aux extr mit s on a uo 0 uo L 0 En prolongeant wo x et vo x de fa on impaire sur l intervalle L L on obtient deux fonctions 2L p riodiques Celles ci se d composent de mani re unique en s ries de sinus qui co ncident avec wo x et vo x sur l intervalle 0 L dr y un sin nrx L 2 5 n gt 1 volz EN Un sin nrx L 2 6 n gt 1 La comparaison terme terme de ces deux quations avec 2 4 et sa d riv e par rapport t la vitesse en utilisant kn nr L 2r fn c et sin 2rk_ x sin 27rk x donne pour chaque n gt 1 le syst me Cn C n Un CniTCn L cninc n L Un de d terminant 2cnir L 0 ce qui d finit compl tement les valeurs de c n et cn 2 1 1 Battements accord et consonance Nous d crivons ici l utilisation des battements pour accorder un instrument en pre nant comme exemple le piano Ce proc d s applique naturellement d autres instruments comme le clavecin l harmonium l accord on et l orgue mais aussi aux musiciens eux
204. valles Do Mib Do Lab et Do Sib s appellent respectivement tierce mineure sixte mineure et septi me mineure et repr sentent des intervalles d un ton et demi quatre tons et cinq tons 20 CHAPITRE 1 LES SONS AI FIG 1 11 gamme en Do mineur harmonique 1 3 Quelques types de sons Un auditeur plac en un point donn x de l espace percevra la variation en ce point de la pression de l air qui est une fonction du temps que nous noterons s t pa x t C est le signal sonore Nous avons d j rencontr le signal sinusoidal que l on crit sous diff rentes formes selon le contexte s t a cos wt 0 a cos 27 ft 0 Re a exp 10 exp 2ir ft acos 2r ft bsin 2r ft c exp 2ir ft ca exp 2i7 ft o Re z d signe la partie r elle de z et e w gt 0 est la pulsation en radians s ef w 2r gt 0 est la fr quencd d unit le hertz Hz elle indique le nombre de vibrations par seconde a gt 0 est l amplitude 8 est la phase l origine mesur e en radians avec 0 0 2x a acos prendre t 0 b acos 0 7 2 prendre 2r ft 7 2 c a ib 2 c2 a ib 2 amp utiliser exp ix cos x sin x DCS CCS FIG 1 12 son sinusoidal qualifi de son pur Ce son sinusoidal est l un des sons les plus simples on dit que c est un son pur Pour une onde plane pa 1 t acos kx 27 ft c est celui qui se produit en tous les points x tels que kz 0
205. vante comment est obtenue une telle repr sentation Vous remarquerez le c l bre vibrato qui a suscit tant d admirateurs et sa remarquable r gularit 1 3 QUELQUES TYPES DE SONS 25 8000 6000 Fr quence 4000 j FIG 1 17 d but de la Norma par Maria Callas La premi re note est un La 3 441Hz Les deux premiers harmoniques sont tr s nets Il y a ensuite un trou entre 1000 et 2500Hz et l nergie fr quentielle r appara t entre 2500 et 4000Hz l o elle est particuli rement efficace pour couvrir l orchestre A noter bien s r le vibrato mais aussi le s gt t 6 8000 PAN 6000 Fr quence FIG 1 18 plus loin la c l bre mont e Si Do R Mi Fa Sol La La Sib La Sol Fa Sol 26 CHAPITRE 1 LES SONS Enfin les humains n tant pas les seuls chanter voici pour les amoureux de la nature le chant du chardonneret de nos campagnes en temps et temps fr quence Pression o 10000 8000 F Fr quence o o S o o o 2000 FIG 1 19 une petite touche bucolique dont nous r gale le gourmand de chardons Cela pourrait tre un tableau musical 1 3 QUELQUES TYPES DE SONS 27 ou pour ceux qui pr f rent l altitude celui du siffleur des montagnes Au passage on remar quera la mani re dont le signal temporel est envelopp nous en reparlerons propos des instruments au 1 T T T T T T T 0 5F 7
206. volume para t tre la m me lorsque l on passe de 1 10 violons que lorsque l on passe 1 2 UN PEU DE SOLF GE 17 de 10 100 violons C est un cas particulier de la loi du physiologiste Fechner la sensation varie comme le logarithme de l excitation cf L0 mais aussi pour un avis plus nuanc que nous aborderons au chapitre 4 Le m me ph nom ne se produit pour la perception de la hauteur les intervalles La 1 La 2 et La 2 La 3 sont per us comme gaux une octave alors qu ils correspondent un rapport 2 des fr quences 110 220 et 220 440 1 2 Un peu de solf ge Avant d aller plus loin il est peut tre n cessaire de nous remettre en m moire quelques notions l mentaires de solf ge et le vocabulaire associ Une note de musique est caract ris e par trois param tres principaux sa dur e son intensit et sa hauteur Nous nous int ressons ici la hauteur Celle ci est reli e la fr quencd de la note aux basses fr quences corres pondent les sons graves et aux fr quences lev es correspondent les sons aigus La fr quence de r f rence pour le musicien est le La 440 Hz ou diapason c est la note que vous entendez lorsque vous d crochez votre t l phone 1 2 1 Intervalles octave En th orie de la musique la distance qui s pare deux notes distinctes est appel e intervalle Lorsque notre oreille value l intervalle entre deux notes c est le rapport de leur fr quence
207. votre andante de Mozart favori Ce ph nom ne s appelle le repliement de spectre aliasing en anglais Cette terminologie vient du fait que cette fr quence de 3kHz est le point sym trique de 27kHz par rapport la moiti de la fr quence d chantillonnage F 2 15kHz C est comme si l on avait repli la figure 5 5 le long de l axe vertical d abscisse F 2 Le m me repliement a lieu autour de l axe d abscisse F 2 Le raisonnement que nous venons de faire vaut pour le cas g n ral Ce qui se produit dans la r alit c est que les sons enregistr s ne sont pas tout fait bande limit e 20kHz 20kHz cause de l impossibilit th orique vue plus haut mais ont toutefois une densit de fr quence faible au del de 20kHz i gt 0 8 F 0 6 F 0 4 F 0 2 F 0 1 1 1 40 30 20 10 0 10 20 30 40 kHz FIG 5 6 transform e de Fourier 5 f La figure 5 6 est une repr sentation r aliste de ce que peut tre la transform e de Fourier d un tel son il reste un peu de hautes fr quences l ext rieur des pointill s d limitant la 5 1 ECHANTILLONNAGE 117 bande 20kHz 20kHz mais nous n gligeons les fr quences qui sont l ext rieur de la bande 40kHz 40kHz car cela demanderait des d veloppements th oriques qui d passent le cadre de ce cours Supposons que ce son soit chantillonn la fr quence 40kHz Un repliement similaire celui d crit sur l exemple pr c

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