Mécanique quantique - Laboratoire de Physique Théorique et
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1. M CANIQUE QUANTIQUE Christophe Texier 2 me dition E DUNOD DITEUR DE SAVOIRS 5 novembre 2014 Gauche Diffraction d lectrons passant par un trou La figure est obtenue en d pla ant une pointe SPM scanning probe microscope charg e n gativement au dessus d un gaz d lectrons bidimensionnel des lectrons contraints se d placer l interface de deux semi conducteurs GaAs GaAlAs La conductance du trou est mesur e en fonction de la position de la pointe et r v le la densit lectronique ici en pr sence d un flot de courant Image gracieusement fournie par Arthur Gossard amp Mark Topinka tir e de M A Topinka Imaging coherent electron wave flow through 2 D electron gas nanostructures Ph D Thesis Harvard University 2002 FIGURE 1 Principe du dispositif exp rimental Droite Image par microscopie lectronique d un r seau de fils d argent d pos sur un sub strat isolant le pas du r seau est 0 64j m tr s basse temp rature la mesure de la r sistance lectrique en fonction du champ magn tique courbe superpos e l image donne un acc s direct au rapport de la constante de Planck et de la charge de l lectron le quantum de flux magn tique Do h g Ces petites oscillations de la r sistance lectrique sont appel es oscillations Aharonov Bohm et sont la manifestation d un ph nom ne d interf rences quantiques cf chapitre 16 La courb2. 120 EECHER do eth tpe E dee REPE eM easy E a eda ee qot Be E 127 Probl me 7 1 tats coh rents 128 8 Moment cin tique Spin 131 8 1 Moment cin tique 131 8 1 1 Relations de commutation G n rateur des rotations 131 8 1 2 Quelques consid rations sur le groupe des rotations 134 8 1 3 Le moment cin tique en m canique quantique 137 8 1 4 Moment orbital et harmoniques sph riques 143 8 1 5 Op rateurs scalaires vectoriels 146 8 2 Lee MEN a E b ee EE 148 8 2 1 Effet Zeeman crore s s kx e GE RR h 3 y Ug 148 82 27 SPI NEI S LE oeuf ales Sls Sut m oe Ban Rp net SS Petal alis 152 8 2 3 Le mod le non relativiste de l lectron quation de Pauli 154 Annexe 8 A Rotation de 27 du spin dun neutron 163 Ih cuui sas A ode ae AOS R R AT aie te E m S S eu aie QS 166 9 Addition des moments cin tiques 167 9 1 In galit triangulaire 168 9 2 Construction des vecteurs 71 2 7 mMm 170 9 3 Composition de deux spins 1 2 171 TEXT CLCES TE 172 vil TABLE DES MATI RES TABLE DES MATI RES 10 Introduction la th orie des collisions 175 10 1 Ce que le chapitre discute et ce dont il ne parle pas 175 10 2 Collisions en une dimension 178 10 2 1 U
3. Il fallait de toute vidence en arriver fonder une nouvelle m canique o les id es quantiques viendraient se placer la base m me de la doctrine et non pas se surajouter apr s coup comme dans l ancienne th orie des quanta Chose curieuse la r alisation de ce programme eut lieu presque simultan ment par deux voies tr s diff rentes Ainsi se constitu rent la m canique ondulatoire d une part la m canique quantique d autre part doctrines dont l aspect et le formalisme paraissaient d abord tout fait oppos s La physique nouvelle et les quanta Louis de Broglie La m canique quantique est n e entre 1925 et 1927 de la synth se dans laquelle Bohr joua un r le important de la m canique des matrices Born Heisenberg Jor dan de la m canique ondulatoire Schr dinger et de la th orie des transformations Dirac Jordan von Neumann 7 24 C est l aboutissement d un quart de si cle d ef forts de la part de nombreux scientifiques parmi lesquels par ordre chronologique de naissance Max Planck David Hilbert Arnold Sommerfeld Albert Einstein Paul Ehrenfest Max Born Niels Bohr Erwin Schr dinger Louis de Broglie Wolfgang Pauli Werner Heisenberg Enrico Fermi Pascual Jordan Paul Dirac Eug ne Wi gner John von Neumann Pour avoir une id e de la gen se de la th orie quantique mentionnons un certain nombre d tapes importantes regroup es en deux groupes avec un certain arbitraire a Fon
4. om PAL FIGURE 1 7 Principe de superposition Une particule pi g e dans un double puits de potentiel On a trac une fonction d onde da x resp Vp x d crivant l tat lt particule dans le puits gauche gt resp droit La fonction d onde Wo x de l tat de plus basse nergie repr sent e droite est tr s proche de la combinaison lin aire a ba x vp x et d crit un tat lt particule la fois dans le puits gauche et le puits droit gt 19 1 5 Premi res cons quences importantes Introduction 1 5 3 Particule libre dans une bo te quantification L tude d une particule confin e dans une r gion finie de l espace est ce qu on appelle un probl me d tats li s par exemple l tude du mouvement d une plan te autour du soleil ou d un lectron autour du proton Quelles sont les cons quences d un traitement quantique Pour r pondre cette question nous tudierons une situation unidimensionnelle Nous consid rons une particule libre astreinte se d placer dans l intervalle 0 a de IR Cette situation est r alis e pour un potentiel nul dans 0 a et infini hors de l intervalle Classiquement la particule de masse m d nergie E effectue des aller retours dans le puits vitesse constante v 2E m Sa fonction d onde est donc soit une onde plane e d crivant une particule libre se d pla ant dans le sens des z gt 0 d impulsion p mv hk V2
5. 51 2 4 2 Transformation de Fourier 52 Annexe 2 B Distributions 54 2 B 1 Distribution x deDirac 54 2 B 2 Valeur principale 57 erte wu e Rue dey Zeckt ry des Dan de Ne RS DE deb se Poir 58 3 Formalisme de Dirac Postulats 1 61 ST Introduction uen at tunm Bok DNA ee ede ee bs 61 3 2 Pr lude espace des fonctions d onde 62 3 2 1 Produit scalaire et orthonormalisation 62 3 2 2 Op rateurs lin aires 64 3 3 Formalisme de Dirac 65 3 3 1 Espace de Hilbert et vecteurs d tat 65 3 3 2 Op rateurs lin aires et observables 66 3 3 3 Produits tensoriels 73 3 3 4 Probl mes s parables 74 Annexe 3 Rappels d alg bre lin aire 76 SEU A UE SR Hee d ANR Et a NE Ite eed ri eal Shank valde et 77 4 La mesure Postulats 2 79 Al Motivations 4 4 04 3 e ea o RUE SU ne Go rS dt Ne 4 79 4 2 Les postulats de mesure 80 4 3 Valeur moyenne d une observable 83 4 4 Ensemble complet d observables qui commutent ECOC 84 Exercie6S ecu Aa Ea ER MURUS AEG ER Ed G ETA 85 5 volution temporelle Postulats 3 87 5 1 R solution de l quation de Schr dinger 87 5 1 1
6. En 1900 Max Planck 1858 1947 prix Nobel 1918 d montre la loi qui portera son nom interpolant entre les lois de Rayleigh Jeans et de Wien et en bon accord avec l exp rience 2 hu ziel exp hw kpT 1 Uplanc W T 1 2 9 1 2 Br ves consid rations historiques Introduction o kp est une autre constante universelle appel e la constante de Boltzmann cf cours de physique statistique Il identifie l existence d une nouvelle constante fondamen tale h Dans sa d monstration afin de reprendre une m thode combinatoire due Boltzmann Planck supposait l nergie quantifi e Alors qu il ne voyait qu un artifice technique dans cette id e celle ci jouera un r le central dans les travaux ult rieurs d Einstein 16 1 2 5 Une nouvelle constante fondamentale la constante de Planck Il est remarquable de constater que l tude de deux probl mes premi re vue aussi diff rents que la thermodynamique du rayonnement dans une toile et l irradiation d un morceau de m tal font apparaitre la m me constante universelle h Analysons sa dimension l expression 1 2 montre que hw est une nergie autrement dit permet de convertir une pulsation en nergie h Energie Temps 1 3 Longueur Impulsion 1 4 Moment cin tique 1 5 C est aussi la dimension d une action une grandeur physique introduite dans le cadre de la formulation lagrangienne de la m canique classique cf annexe
7. lectromagn tique 1 2 3 La physique statistique La derni re des th ories cadres est la physique statistique laquelle on peut atta cher les noms de Rudolf J E Clausius 1822 1888 et James C Maxwell 1831 1879 3 1 2 Br ves consid rations historiques Introduction pour le d veloppement de la th orie cin tique des gaz Ludwig Boltzmann 1844 1906 et Josiah W Gibbs 1839 1903 La physique statistique s attache l tude des syst mes tr s grand nombre de degr s de libert par exemple les gaz les solides etc et permet de d duire leurs propri t s aux chelles macroscopiques partir de lois gouvernant les constituants l mentaires aux chelles microscopiques par exemple l chelle atomique pour les gaz Bas e sur un langage probabiliste la masse d in formation d crivant les d tails de l chelle microscopique est limin e au profit d un petit nombre de grandeurs entropie statistique temp rature pression etc Contrai rement la m canique newtonienne et l lectrodynamique elle ne vise pas d crire la dynamique des objets l mentaires mais cherche au contraire d gager des lois fondamentales contr lant les ph nom nes collectifs La relation entre la physique statistique et les autres th ories cadres est subtile puisque le choix de la dynamique microscopique classique ou quantique est ind pendant de l id e centrale du passage de l l mentaire au collectif 1 2 4 L
8. enseignement de la m canique quantique il faut laisser de c t un certain nombre de notions devenues intuitives l usage De quelle remise plat des concepts parle t on Pour appr cier cela il est bon de revenir sur la structure des grandes th ories physiques Nous consid rons les th ories cadres voqu es plus haut que nous pourrions appeler les superth ories gt dans lesquelles s imbriquent des th ories plus sp cifiques au sein desquelles on construit des mod les r EXEMPLE M canique newtonienne 1 T Calcul diff rentiel Ju Tal Cin matique position vitesse acc l ration n i Etat d une particule ponctuelle 7 D MT E Cadre conceptuel notions de base outils Principe d inertie i71 Action r action r I I I Th ories plus sp cifiques Th orie de la gravitation newtonienne i I NA E 2 A A a i mpi Er ccr en Mod le plan taire io LM Toute th orie est bas e sur un certain nombre de postulats axiomes qui doivent ob ir quelques r gles transcendantes telles que la causalit la conservation de l nergie impulsion d un syst me isol D autres choix axiomatiques conduiraient des conclusions diff rentes C est donc la confrontation l exp rience qui permet de valider la pertinence du choix des axiomes La justesse d une th orie physique n est donc pas seulement dans
9. M thode g n rale 87 5 1 2 Op rateur d volution temporelle 88 5 1 3 Application 1 volution libre 89 5 1 4 Application 2 Syst me deux niveaux 89 5 2 Th or me d Ehrenfest 92 5 3 Point de vue de Heisenberg 93 Annexe D A Matrice de diffusion matrice S d une lame s paratrice 94 vi TABLE DES MATI RES TABLE DES MATI RES FiX TCLCES M 97 6 Sym tries et lois de conservation 101 Gil Sym tries t S a sus komo s eo Ro or G B VE GO Uya ROBUR nS GE ahs 101 6 2 Transformations en m canique quantique 103 6 2 1 Consid rations g n rales 103 6 2 2 Parit et autres sym tries discr tes 105 6 3 Groupes continus G n rateur infinit simal 108 6 3 1 Quelques groupes continus 109 6 3 2 Loi de conservation Th or me de N ther 111 6 4 Potentiel p riodique et th or me de Bloch 111 6 4 1 Th or me de Bloch 112 6 4 2 Illustration un cristal unidimensionnel 112 hw 4 C nee hot mt Soe ee D est TT 114 Probl me 6 1 Groupe de Galil e 116 7 Oscillateur harmonique 119 7 1 L oscilateur harmonique classique 119 7 2 Le spectre de l oscillateur harmonique
10. applications inspir es par la mati re condens e r sistance quantique capacit quantique effet Hall effet Aharonov Bohm courant permanent antiferromagn tisme Un tr s court xi TABLE DES MATI RES TABLE DES MATI RES chapitre consacr l tude de la dynamique d une particule soumise un champ magn tique dans les deux situations extr mes d un champ uniforme ou concentr en un point s inscrit dans cette logique et cl t l ouvrage J ai galement jug op portun d ins rer un chapitre le 10 sur la th orie des collisions si cette derni re a des applications videntes et bien connues pour la physique des gaz ou la physique des particules elle fournit aussi des outils puissants et assez intuitifs pour l tude des ph nom nes m soscopiques J ai opt pour une pr sentation commen ant par consid rer le cas des basses dimensions 1 et 2 le cas tridimensionnel usuellement dis cut dans les ouvrages n est que bri vement abord Outre que cette approche pr sente des simplifications d un point de vue didactique une telle pr sentation syst matique n est ma connaissance pas disponible dans les ouvrages alors que la question de la m canique quantique en basse dimension est tout fait pertinente pour de nombreux d veloppements modernes en physique atomique avec les progr s spectaculaires dans le domaine des atomes froids ou pour la mati re condens e Ce chapitre est d un niveau plus avanc que
11. approximation 245 13 1 M thode des perturbations cas stationnaire 245 13 1 1 Principe de la m thode 245 13 1 2 Position du probleme 246 13 1 3 Valeur propre de Ho non d g n r e 247 13 1 4 Valeur propre de Ho d g n r e 248 13 2 La m thode variationnelle 250 13 3 La m thode JWKB et l approximation semiclassique 251 13 3 1 Applications 9 me ese RIS eme dede eR e eee LT 254 erugeet m But oA AUS ey os ue dodo Ede E US 256 Probl me 13 1 Th or me de projection et facteurs de Land atomiques 256 Probl me 13 2 M canisme d change Interaction coulombienne dans l atome d helium RUE UE qmd tote zo at ae Ness E e NS eet 259 Probl me 13 3 M canisme de super change Isolant de Mott et antiferro magnetisme Aari et g es Sele on Ea ten ee eer E ta 260 14 Structures fine et hyperfine du spectre de l hydrog ne 263 14 1 Structure fine s 2 2074 Los eue bip Ses Gon Ak Sh RO Rm k de OS Bde dag 264 14 1 1 Termes de correction de masse et de Darwin 266 14 1 2 Couplage spin orbite 267 T4 1 3 Conclusion 2x 2 5 Z 286 2 eR qe HAN ROS us 267 14 2 Corrections radiatives 268 14 3 Structure hyperfine du niveau 19 5 sus RYE ACE hors 268 15 Probl mes d pendant du temps 271 15 1 M thode des perturbations
12. canique quantique les postulats sont rapidement nonc s regroup s en concepts et postulats La p dagogie est ici sacrifi e afin de donner une vue d ensemble Les postulats seront introduits plus en douceur dans les chapitres 3 4 5 et 11 1 4 1 Les concepts Dans la m canique newtonienne l tat d une particule ponctuelle est d fini un ins tant t par des donn es cin matiques une position r f et une impulsion p t ce qui d termine l volution ult rieure i e la trajectoire En revanche la notion de trajectoire disparait dans le cadre quantique et les notions de position et d impul sion qui ne peuvent plus tre d termin es simultan ment prennent un statut assez diff rent comme nous le verrons Comment d crire alors l tat d une particule quan tique un quanton pour employer une terminologie ch re aux auteurs de 35 telle qu un lectron e L tat d une particule est d crit par une fonction d onde v r t chapitre 2 une fonction complexe De mani re plus abstraite l tat est sp cifi par la donn e d un lt vecteur d tat gt not v l ment d un espace de Hilbert Z L espace des tats est un espace vectoriel en g n ral de dimension infinie construit sur le corps des complexes C et muni du produit hermitien produit scalaire not wv satisfaisant la propri t ein v q Il s exprime en terme des fonctions d onde correspondantes comme eu 2 l dret
13. crivons l exp rience un morceau de m tal est plac dans le vide et clair par un rayonnement ultraviolet monochromatique de pulsation w Une diff rence de potentiel V est appliqu e entre le m tal et une cathode Le courant I d lectrons arrach s de l anode est mesur en fonction de la tension V figure 1 3 Lorsque la tension est inf rieure la contre tension Vo les lectrons sont repouss s par la cathode et le courant lectrique ne passe pas Vo fournit donc une mesure de l nergie cin tique maximale des lectrons arrach s max Ee Vo m tal I UV intensit 2 Luxe eee VY iy ST UV intensit 1 CR gt vide Vo 0 V 0 IO s FIGURE 1 3 Effet photo lectrique gauche mission d lectrons par un m tal soumis un rayonnement ultraviolet monochromatique de pulsation w Au milieu courant d lectrons arrach s en fonction de la tension droite contre tension en fonction de la pulsation En augmentant l intensit lumineuse du rayonnement monochromatique on aug mente l nergie d pos e dans le m tal On pourrait penser qu on augmente ainsi l nergie cin tique des lectrons arrach s cependant il n en est rien comme l illustre la figure puisque la contre tension Vo est ind pendante de l intensit lumineuse Seul le flux d lectrons arrach s varie La contre tension est trac e en fonction de la fr quence du rayonnement fi gure 1 3 On observe l
14. d Euler A 1 3 Polyn mes orthogonaux A 1 4 Fonctions cylindriques A 2 Constantes fondamentales B Solutions des exercices et probl mes Bibliographie Index 299 299 299 299 300 303 306 307 354 358 Avant propos Mode d emploi Cet ouvrage propose un cours d introduction la m canique quantique Le c ur du texte a t crit pour servir de support un cours dispens aux tudiants d coles d ing nieurs cole Centrale Sup lec et SupOptique inscrits au magist re de phy sique fondamentale de l Universit Paris Sud et qui avaient le courage d tudier des sujets de physique fondamentale plusieurs soirs par semaine Le cours dont la structure a t pour l essentiel impos e afin de respecter le programme suivi par les tudiants du magist re a t r dig en ayant le souci de produire un texte compact mais suffisamment complet pour pouvoir tre utilis de mani re autonome quelques notions math matiques essentielles sont rappel es dans plusieurs annexes De nom breuses r f rences sont donn es afin de donner des pistes pour un lecteur d sireux d approfondir les sujets pr sent s vers des ouvrages de r f rence comme les livres d A Messiah 38 de L Landau amp E Lifchitz 30 ou de C Cohen Tannoudji B Diu amp F Lalo 8 Des r f rences plus r centes sont les excellents ouvrages de M L
15. existence d une fr quence de seuil ws en de de laquelle la Il est int ressant de noter que d s 1905 Henri Poincar 1854 1912 sugg rait l analo gie entre l existence des raies spectrales atomiques et les harmoniques de certaines quations diff rentielles apparaissant dans d autres domaines de la physique acoustique th orie de l lasticit lectromagn tisme 12 Introduction 1 2 Br ves consid rations historiques lumi re n est pas absorb e Au del de cette fr quence la relation entre contre tension i e nergie cin tique des lectrons et fr quence est lin aire Et hi w ws 1 1 o est une constante universelle alors que ws d pend du m tal en est ind pendante L existence du seuil incompr hensible classiquement sugg re Al bert Einstein 1879 1955 prix Nobel 1921 en 1905 que l nergie du rayonnement monochromatique ne peut tre absorb e que par quanta Eguantum hw L quation 1 1 s interpr te comme un bilan d nergie l nergie d pos e par le rayon nement monochromatique un multiple entier de lt paquets gt Equantum hw se distribue pour partie en nergie cin tique de l lectron et pour partie en nergie po tentielle n cessaire pour l arracher au m tal au minimum Aws expliquant le seuil e quilibre thermique lumi re mati re Dans une toile les photons mis lors de la nucl o synth se diffusent depuis le coeur vers les couches exte
16. tisme lorsque l on s int resse aux chelles atomiques et subatomiques Les notions qui constituent le socle de la physique classique ont t forg es partir de notre exp rience imm diate or si nous pouvons esp rer deviner les lois fondamentales qui r gissent le mouvement des corps mat riels en analysant le mouvement d une boule de billard ou celui des plan tes l aide d un t lescope il ny a a priori pas de raison vidente pour que ces lois s appliquent encore dans le monde atomique et subatomique Il n est donc pas surprenant r trospectivement que la description du comportement des atomes requiere d autres concepts que ceux utilis s pour analyser la dynamique des corps macroscopiques Commengons par quelques consid rations historiques afin de dresser un rapide tableau de l tat de la physique la fin du XIX si cle la veille de plusieurs grands Aujourd hui les progr s de la physique quantique nous permettent de lt voir gt les atomes l aide des microscopes force atomique ou effet tunnel figure 2 2 C tait loin d tre le cas la fin du XIX si cle et les propri t s du monde atomique ne pouvaient qu tre d duites indirectement d observations aux chelles macroscopiques La r alit des atomes tait contest e par quelques grands noms de la physique par exemple Ernst Mach tenants d une approche continue gt oppos e la description atomiste On peut consid rer que la questio
17. 09 et leur interpr tation par Rutherford en 1911 Un faisceau de particules des noyaux d h lium est envoy sur une mince 100 um feuille d or Si la plupart des particules ne sont pas d vi es certaines sont diffus es avec de grands angles L observation de r trodiffusion avait particuli rement frapp Rutherford et invalide le mod le de J J Thomson la r trodiffusion des particules a fortement nerg tiques v 1 8 x 107m s i e Ee zz 7 MeV ne peut s expliquer que parce qu elles rencontrent une concentration extr mement forte de charges le noyau atomique Rutherford va plus loin et explique les donn es exp rimentales l aide de son mod le th orique de diffusion d une charge ponctuelle dans un champ coulombien la particule a dans le champ du noyau d or e Les ions et les isotopes Francis William Aston 1877 1945 prix Nobel 1922 met au point en 1919 la tech nique de spectroscopie de masse consistant d vier un faisceau d atomes ionis s des ions par un champ magn tique et les trier en fonction de leur masse d o le nom 6 Introduction 1 2 Br ves consid rations historiques de la technique Il montre d une part que les masses des noyaux sont approximati vement quantifi es en multiples entiers de la masse du proton le noyau de l atome d hydrog ne et d autre part que la masse du noyau d un m me l ment chimique peut fluctuer de quelques unit s L existence de diff rents isotopes es
18. 1 Je remercie galement Julien Gabelli pour m avoir fourni l image de la capacit quantique tudi e au cours de sa th se figure 10 11 J adresse de profonds remerciements Amaury Mouchet pour ses nombreuses sug gestions et conseils et Jean No l Fuchs avec qui j ai eu l immense plaisir de travailler dans l quipe de m canique quantique d Orsay ainsi que pour ses innombrables et toujours si pertinentes observations qui ont profond ment marqu le texte plusieurs La physique m soscopique s int resse aux ph nom nes quantiques interf rences quantiques et ou effets de la quantification en mati re condens e xii TABLE DES MATI RES TABLE DES MATI RES exercices du livre ont t r dig s avec lui Mon ducation de m canicien quantique doit beaucoup aux enseignants dont les cours lumineux m ont permis d entrer dans l univers quantique Fran oise Balibar Alain Laverne C cile Malegrange amp Bernard Roulet Je remercie Caroline qui a stimul le processus d dition et sans laquelle mon ma nuscript dormirait peut tre encore dans mon bureau Je suis reconnaissant Domi nique Decobecq pour tous ses conseils ditoriaux et Marie Leclerc pour son efficacit Je d die ce travail Marie Flore Michel Barbara et Andrea Orsay 22 Avril 2011 Cette seconde dition impuls e par L titia Herin et mise en uvre par Coline Laqu che que je remercie chaleureusement m a donn l occasion de cor
19. 1 B ce qui explique pourquoi la constante de Planck est d nomm e le quantum d action Sa valeur h 1 054571 68 18 x 107 J s 1 6 extr mement petite compar e aux chelles physiques caract risant le monde qui nous entoure 1 kg 1 m 1s action 1 J s sugg re que les ph nom nes quan tiques n mergent qu de tr s petites chelles dans les deux exemples les processus microscopiques d interaction entre mati re et rayonnement sont en jeu Exercice 1 1 F a Donner l expression de l action de la terre pendant une r volution autour du soleil l orbite tant suppos e circulaire Calculer 55 en unit de h G 6 67 x 107H kg m s7 Mo 2 x 1099 kg Ma 6 x 1021 kg et R 1 u a gt 150 x 109 km b Calculer l action d un lectron d crivant une orbite circulaire autour d un proton un atome d hydrog ne pendant une p riode On rappelle que le potentiel coulombien 2 2 2 RA de EZ HEN E h est V r Ter On consid rera une orbite circulaire de rayon ag 775 0 53 A 10 Introduction 1 3 La structure des th ories physiques 1 3 La structure des th ories physiques On peut v ritablement parler de r volution quantique gt puisque les fondateurs de la m canique quantique ont t progressivement amen s remplacer le cadre conceptuel et abandonner les notions servant de socle la m canique classique C est une des difficult s principales de l
20. 1687 La m canique newtonienne en s appuyant sur les notions de la cin matique po sition vitesse acc l ration et celle de force permet de pr dire le mouvement des corps solides l aide d un certain nombre de lois universelles e Le principe d inertie les lois de la m canique sont les m mes dans tous les r f rentiels inertiels e Le principe d action r action e La relation fondamentale de la dynamique RFD reliant l acc l ration d i e une quantit cin matique d une particule de masse m la force F exerc e sur celle ci i e une quantit dynamique ma F e On doit ajouter ces trois principes une quatri me loi fondant la th orie newtonienne de la gravitation la force d attraction Fg Sn exerc e par une masse M l origine sur une masse en F r o G 6 67 x 1011 m kg s est la constante universelle de gravitation il semble exister une controverse entre Newton et Robert Hooke 1635 1703 quant la paternit de la loi en 1 r La th orie newtonienne a connu des succ s clatants principalement pour la des cription du mouvement des corps c lestes culminant avec la d couverte de Neptune par Urbain Le Verrier 1811 1877 gr ce l analyse des aberrations de la trajectoire d Uranus Communiqu e le 31 ao t 1846 devant l acad mie des sciences de Paris sa Nous sommes tellement habitu s la RFD que nous en oublions quel point celle ci ne va pas de soi C es
21. 271 15 1 1 Cas d une perturbation constante 273 15 1 2 Cas d une perturbation sinuso dale 273 15 1 3 Couplage de yj un continuum d tats v r gle d or de Ber cb anne lire e lip uneven eee EE ELE e P RR 74 275 15 2 Interaction atome rayonnement 277 15 2 1 Approximation dipolaire lectrique 278 15 2 2 Absorption et mission stimul e 279 TABLE DES MATI RES TABLE DES MATI RES 15 2 3 mission spontan e coy lue eo es die ege gie ed BEXeECIC SS A er Sen ee ads Eege BS oe cb dong ME ld aS at Probl me 15 1 R sonance magn tique dans un jet mol culaire 16 Particule charg e dans un champ magn tique 16 L Introduction e as er ee DAN er Ra Los die d qe og eed 16 2 Champ magn tique homog ne 16 2 1 Probl me de Landau bidimensionnel 16 2 2 Pourquoi la dimension d 2 est elle int ressante 16 3 Vortex magn tique 16 3 1 Effet Aharonov Bohm 16 3 2 Diffusion d un lectron parle vortex EELER ebe c eeu M eto an eR c ue Se aE eni ous BL ee RN Probl me 16 1 Conductivit Hall d un gaz d lectrons 2D A Annexe Formulaire A 1 Compl ments math matiques A 1 4 Quelques int grales A 1 2 Fonction T Digamma ap et fonction 8
22. Optics and interferometry with atoms and molecules Rev Mod Phys 81 1051 2009 18 Introduction 1 5 Premi res cons quences importantes 400 Ge 4000 E D 300 lt 3000 2 gt 8 E 2000 200 B 2 i 3 1000 E 100 aa Ke l l l l l l l l 0 l l l l l 0 100 200 300 400 500 60 70 800 150 100 50 0 50 100 130 Position du d tecteur um Position du d tecteur um FIGURE 1 6 Interf rences de particules gauche Exp rience d Young r alis e avec des neutrons de longueur d onde c 2nm i e vitesse v 200 m s Donn es tir es de A Zeilinger Rev Mod Phys 60 1067 1988 droite Diffraction de mol cules de fuller ne Ceo par un r seau de fentes Longueur d onde 4 pm i e v c 130 m s ll Donn es tir es de O Nairz M Arndt amp A Zeilinger Am J Phys 71 319 2003 tion d onde palz respectivement vp x d crivant la particule dans le puits de gauche respectivement de droite figure 1 7 Nous pouvons concevoir une combinai son lin aire de ces deux tats qui d crit donc une situation o la particule est la fois dans le puits droit et dans le puits gauche Nous verrons au chapitre 5 que lorsque les deux puits sont sym triques l tat de plus basse nergie tat fondamental est donn par W x lt a va x vp x une telle situation se produit par exemple dans la mol cule d ammoniac NH3 cf exercice 6 2 page 106
23. antique pour une particule libre d impulsion p hk et d nergie E hw Exercice 1 2 F crire la relation de dispersion relation entre w et k pour une particule non relativiste de masse m puis pour une particule relativiste 1 5 2 Le principe de superposition Une cons quence imm diate du premier des postulats l tat quantique est d crit par une fonction d onde i e un l ment d un espace vectoriel il est possible de construire des combinaisons lin aires de tels tats Soient deux tats normalis s v x et vo z il est l gitime de consid rer y x ayi x 6BYo x ota BEC 1 16 Discutons maintenant l utilit de ce concept a Exp rience d interf rences d Young Le dispositif des fentes d Young est une des exp riences les plus simples permettant de mettre en vidence les ph nom nes d interf rences R alis e au tout d but du XIX si cle par Thomas Young 1773 1829 pour d montrer le caract re ondulatoire de la lumi re l exp rience peut tre r p t e pour tous types d ondes Avec des particules de mati re dans le domaine quantique l exp rience permet de mettre en lumi re plusieurs questions fondamentales le caract re ondulatoire l interpr tation probabiliste et la dualit onde corpuscule 3 l particules 3 V 3 4 _ gt 2 d tecteur FIGURE 1 4 Exp rience d interf rences d Young Le principe de superposition nous permet d analys
24. chev e par James Clerk Maxwell 1831 1879 qui donna une vi sion unifi e de l ensemble des ph nom nes travers les fameuses quatre quations qui portent aujourd hui son nom pr sent es devant la Royal Society en 1864 Il est aujour d hui consid r comme un des pr curseurs de la vision moderne de la physique pour avoir donn une place centrale la notion de sym trie dans une th orie physique C est apparemment des consid rations purement esth tiques on dirait aujourd hui de sym trie gt qui le conduisirent ajouter un dernier terme dans la derni re des quatre quations Ces quatre quations aux d riv es partielles d crivent la dynamique des champs lectrique E r t et magn tique B F t un premier couple d quations fixe des contraintes sur les champs divB 0 et rotE 25B les deux champs d rivent des potentiels scalaire et vecteur un second couple d quations divE a p et rotB oj couo E couplent les champs des sources les g n rant densit de charge p et densit de courant 7 C est Oliver Heaviside 1850 1925 qu on doit cette forme l gante des quations de Maxwell que ce dernier avait pr sent es sous la forme de 20 quations Mentionnons galement le r le d terminant de Heinrich Rudolf Hertz 1857 1894 qui mit en vidence exp rimentalement l existence des ondes lectromagn tiques pr dites par les quations de Maxwell et montra que la lumi re est une forme de rayonnement
25. core hamiltonien le postulat permettant de d duire les quations du mouvement est alors le principe de moindre action de Pierre Louis Moreau de Maupertuis 1698 1759 L existence de plusieurs formulations quivalentes et compl mentaires est une des richesses de la physique th orique Elles fournissent diff rents angles pour attaquer les probl mes e Les limites des th ories Le r le des constantes fondamentales Comme nous l avons d j illustr le cadre d limite une zone hors de laquelle l applica tion de la th orie n a pas de sens Par exemple personne ne remet en cause les succ s de la th orie newtonienne qui est une excellente approximation dans le domaine clas sique de th ories plus g n rales Elle nous apparait aujourd hui cern e de plusieurs c t s En allant vers les hautes nergies on doit lui substituer la th orie de la rela tivit restreinte einsteinienne 1905 Du c t des champs de gravitation intenses on doit lui substituer la th orie de la relativit g n rale gravitation einsteinienne 1916 Enfin du c t des chelles microscopiques elle c de bien s r la place la m canique quantique 1927 Dans la tentative de d finition d un domaine d application des th ories les constantes fondamentales jouent un r le tr s important Rappelons que les constantes fonda mentales associ es aux quatre th ories fondamentales sont la vitesse de la lumi re c relativit restreinte et lectroma
26. dation de la physique des quanta la m canique quantique e 1897 Les exp riences de J J Thomson d montrent l existence de charges quan tifi es i e de l lectron Mesure du rapport qe Me 22
27. de la m canique quantique 13 1 4 1 Les concepts 13 1 2 2 ses e EE 14 1 4 8 Difficult s de Vinterpr tation 15 1 4 4 Diff rentes formulations 15 1 5 Premi res cons quences importantes 16 1 5 1 La dualit onde corpuscue 16 1 5 2 Le principe de superposition 17 1 5 8 Particule libre dans une bo te quantification 20 1 5 4 Spectre quantifi vs continuum 21 Annexe 1 La physique quantique en quelques dates 22 Annexe 1 B Rappels de m canique analytique 31 quation d onde de Schr dinger 35 2 1 quation d onde premi res applications 35 2 1 1 Construction de l quation d onde 35 2 1 2 Densit et courant de probabilit 37 2 13 V r t Vi Equation de Schr dinger stationnaire 37 TABLE DES MATI RES TABLE DES MATI RES 2 1 4 Potentiels constants par morceaux d 1 39 2 2 Fonction d onde dans l espace des impulsions 47 2 3 In galit s de Heisenberg 4T 2 3 1 Moyennes des grandeurs physiques 4T 2 3 2 In galit de Heisenberg 48 Annexe 2 Transformation de Fourier 51 2 A 1 S ries de Fourier transformation de Fourier discr te
28. de voir que l tude des tats li s conduit une quantification des diff rentes quantit s physiques l impulsion l nergie e tats de diffusion continuum Une autre situation physique courante est celle o la particule n est pas confin e dans une r gion finie de l espace par le potentiel les tats quantiques d crivant cette situation sont d localis s dans tout l espace Ils sont appel s tats de diffusion Nous verrons que dans ce cas l nergie n est pas quantifi e de tels tats existent pour des nergies variant contin ment dans certains intervalles de IR Un exemple est le probl me libre les solutions de l quation de Schr dinger libre q 1 13 pour V 0 sur R sont les ondes planes p x A ei h2 d nergie Ej ud L onde plane est indic e par un param tre continu k R Le spectre des nergies est bien un spectre continu E R 21 1 5 Premi res cons quences importantes Introduction Les id es importantes e Interpr tation probabiliste sens physique de la fonction d onde e Dualit onde corpuscule les relations de Planck Einstein 1 14 et de Broglie 1 15 e Principe de superposition e Le probl me du puits infini IS Pour en savoir plus e Un petit texte tr s agr able pr sentant les concepts quantiques sans formule ni calcul 40 e Un excellent ouvrage introductif est 35 Annexe 1 A La physique quantique en quelques dates
29. e Bellac 33 J L Basdevant amp J Dalibard 5 ou encore le monumental livre de C Aslan gul 3 4 d autres r f rences sp cialis es sont occasionnellement mentionn es Le cours s ouvre sur un chapitre introductif rappelant quelques motivations his toriques ayant conduit la r volution quantique du d but du XX si cle L expos se poursuit avec une pr sentation de l quation d onde de Schr dinger approche assez traditionnelle ayant l avantage de jeter des ponts avec les acquis de physique classique des ondes Les premiers postulats sont ensuite pr sent s formalisme de Dirac postu lats de mesure et d volution temporelle Le cadre ainsi dress cf figure ci dessous un chapitre court discute succinctement le r le des sym tries et permet d introduire des notions qui seront tr s utiles pour la suite de l expos Nous tudions ensuite l oscil lateur harmonique et le moment cin tique Le postulat de sym trisation est pr sent La th orie quantique non relativiste de l atome d hydrog ne est expos e puis nous discutons des m thodes d approximation mises en pratique pour l tude des correc tions relativistes dans l atome d hydrog ne et finalement les probl mes d pendant du temps interaction atome lumi re Ces sujets correspondent au programme du magistere d Orsay S il est courant de tirer de la physique atomique les illustrations d un premier cours de physique quantique j ai galement choisi plusieurs
30. e est caract ristique de l chantillon et parfaitement reproductible La temp rature tait T 0 4 Kelvin le champ magn tique varie entre 1 1 et 1 3 Tesla et l amplitude des oscillations est R 2 mQ pour une r sistance R 100 Q fi gure 16 1 L chantillon et les mesures ont t r alis s pendant la th se de F licien Schopfer dans l quipe de Christopher B uerle et Laurent Saminadayar Institut N el Grenoble Donn es publi es dans F Schopfer F Mallet D Mailly C Texier G Montambaux C B uerle amp L Samina dayar Dimensional crossover in quantum networks from mesoscopic to macroscopic physics Physical Review Letters 98 026807 2007 ii iii Marie Flore Table des mati res Avant propos Mode d emploi xi Structure de l ouvrage xiv Notations 145279 Geb D vule eet p poe dett desorden orat foe An Sheet dg XV Introduction 1 1 1 Qu est ce que la m canique quantique 1 1 2 Br ves consid rations historiques 2 1 2 1 La m canique newtonienne 2 1 2 2 L lectromagn tisme 3 1 2 3 La physique statistique 3 1 2 4 Les impasses de la th orie classique 4 1 2 5 Une nouvelle constante fondamentale la constante de Planck h 10 1 3 La structure des th ories physiques 11 1 4 Aper u des postulats
31. er l exp rience sch matis e sur la figure 1 4 Un faisceau de particules collimat par un trou jouant le r le de source S gt est envoy sur un cran perc de deux trous Un d tecteur de particules D gt pouvant tre d plac verticalement compte les particules la sortie du 17 1 5 Premi res cons quences importantes Introduction dispositif Les particules suivent soit le chemin 1 associ l amplitude de probabilit Y1 S D soit le chemin 2 associ l amplitude 2 S D Si les particules d impulsion p hk 2xfi se d placent librement entre les fentes les amplitudes sont donn es par du 8 D x e et 42 D x elt ondes planes o D et Zo sont les longueurs des chemins Si aucun m canisme ne s lectionne une des deux trajectoires comme sur la partie gauche de la figure 1 5 l amplitude de probabilit au niveau du d tecteur est une superposition des deux amplitudes La probabilit correspondante Proba S s Hl TAG D 093 P Eg ask 2 ir pr sente des franges d interf rences lorsque le d tecteur est d plac et que 4 2 varie L existence d une figure d interf rences repose donc crucialement sur le fait que le principe de superposition s applique aur amplitudes de probabilit et non aux probabilit s figure 1 5 NX x Bag gt po oi l po T ici Po 3S gt 2 A FIGURE 1 5 Principe de superposition Probabilit P x d obser
32. es impasses de la th orie classique i on r sume la situation en cette fin de XIX si cle il y a donc d une part une th orie de la dynamique de la mati re la m canique newtonienne on pourrait parler de physique corpusculaire d autre part la th orie lectromagn tique qui est est clai rement de nature ondulatoire puisqu elle d crit la dynamique des champs lectrique et magn tique branlements d un milieu le myst rieux ther pas tr s bien d fini Comme Hertz l a d montr exp rimentalement cette th orie d crit les ph nom nes lumineux c est une th orie du rayonnement L interaction entre mati re et rayonne ment est assur e d une part par l introduction de la force de Lorentz F q E 5x B dans la relation fondamentale de la dynamique et d autre part par les termes de sources donnant naissance aux champs densit de charge p et densit de courant j dans les quations de Maxwell figure 1 1 En d pit des succ s remarquables de ces deux th ories le bel difice tait remis en question la fin du XIX si cle par un certain nombre de probl mes loin d tre secondaires comme nous le verrons qui ne trouvaient pas de solution dans ce cadre Mentionnons une premi re difficult quations de Newton et quations de Max well ne sont pas invariantes sous le m me groupe de transformations d espace temps le groupe de Galil e laisse les premi res invariantes tandis que le groupe de sym trie des secondes es
33. est heureusement pour nous contredit par l exp rience c Impasse n 2 Absorption et mission de lumi re L absorption et l mission de lumi re par la mati re r v lent un caract re discontinu qui ne s explique pas dans le cadre classique Le nombre de neutrons dans le noyau varie d un isotope l autre par exemple dans le carbone 12 6 protons et 6 neutrons et le carbone 14 6 protons et 8 neutrons Les propri t s chimiques des isotopes sont identiques puisqu elles d pendent de la structure lectronique i e du nombre de protons seule la masse varie Pour viter tout anachronisme notons que le neutron dont l existence a t conjectur e par Rutherford en 1920 ne sera d couvert qu en 1932 par Chadwick 7 1 2 Br ves consid rations historiques Introduction e Spectroscopie atomique Les exp riences d absorption ou d mission de la lumi re par un gaz atomique montrent que la lumi re n est absorb e mise qu certaines fr quences discr tes Cet ensemble de fr quences constitue le spectre de l atome et joue le r le de sa carte d identit Cette observation sera l origine du mod le de l atome de Bohr essentiellement le mod le d atome plan taire auquel on ajoute une r gle de quantification e Effet photo lectrique D couvert par Heinrich Rudolf Hertz 1857 1894 en 1887 l effet photo lectrique est l mission d lectrons par un m tal soumis un rayonnement ultraviolet D
34. et in 1 9 e Interpr tation probabiliste La fonction d onde repr sente une amplitude de densit de probabilit v r t dr mesure la probabilit de trouver la particule l instant t dans le volume dr autour de r Une cons quence imm diate est la contrainte de normalisation ewe t 1 1 10 qui exprime que lt la probabilit d tre quelque part vaut 1 gt 13 1 4 Aper u des postulats de la m canique quantique Introduction e Les quantit s physiques les observables sont repr sent es par des op rateurs lin aires chapitre 3 agissant dans l espace des tats J i e sur les fonctions d onde Par exemple l op rateur de position agit comme la multiplication de la fonc tion d onde par r tandis que l op rateur d impulsion agit comme l action du gradient sur la fonction d onde p gt ihV une justification sera propos e au d but du cha pitre 3 1 4 2 Les postulats e Le postulat de sym trisation Le premier des postulats qui sera le dernier discut dans le cours chapitre 11 concerne les propri t s de permutabilit de la fonction d onde N particules identiques Des particules identiques sont indiscer nables La fonction d onde v ri rw doit donc tre sym tris e par rapport aux permutations de particules Si les particules sont des bosons photons m sons la fonction d onde doit tre invariante sous l action de la permutation de deux particules bosons Ea Paco Ve
35. gn tisme la constante de gravitation universelle G la constante de Boltzmann kg quantum d entropie pour la physique statistique et enfin la constante de Planck quantum d action pour la m canique quantique Les constantes fondamentales permettent de d finir des chelles de longueur d nergie etc qui d finissent les fronti res entre les th ories Par exemple la vitesse de la lumi re c permet de discriminer le domaine non relativiste faible nergie cin tique E lt mc et le domaine relativiste Ee gt mc Puisque la constante fondamentale quantique a Nu la dimension d une action on peut proposer le crit re suivant cf exercice 1 1 Action gt h classique 1 7 Action h quantique 1 8 Cependant la d finition du domaine quantique n est malheureusement pas aussi simple cf par exemple la discussion cl turant la section 4 2 page 82 Une distinction 12 Introduction 1 4 Aper u des postulats de la m canique quantique tr s importante entre m canique classique et m canique quantique est l existence de ph nom nes d interf rences quantiques Or ces derniers sont extr mement fragiles et une limitation pratique rendant leur observation difficile i e limitant la coh rence est l interaction d un syst me quantique avec le monde ext rieur extr mement difficile contr ler 1 4 Aper u des postulats de la m canique quantique Cette section donne un aper u de la structure de la m
36. hat provide a physical interpretation of the theory Such further assump tions must take the form of establishing connexions between the results of observations on one hand and the equations of the mathematical formalism on the other The principles of quantum mechanics Paul Dirac Les quelques r gles que nous venons d noncer suivent l interpr tation de Copen hague gt en r f rence la synth se op r e par Bohr en 1927 16 Si elles d finissent un mode op ratoire qui a d montr sa puissance et n a jusque l pas t mis en d faut la question de leur interpr tation continue susciter des d bats plus de 80 ans apres l mergence de la m canique quantique La difficult vient de la juxta position des deux types d volution Consid r e isol ment l quation de Schr dinger 1 13 pourrait sugg rer que la m canique quantique est une physique ondulatoire au m me titre que l optique ou l acoustique d velopp es au XIX si cle mais pour des ondes de mati re Le point d licat vient de l interpr tation probabiliste qui im plique que l quation de Schr dinger ne s lectionne pas une r alit unique mais d crit l volution coh rente de plusieurs ventualit s la superposition de plusieurs r alit s C est la r duction du paquet d ondes au moment de la mesure qui s lectionne de mani re stochastique un r sultat unique une des r alit s pos sibles 28 40 Nous reviendrons su
37. le reste du livre cependant il pr sente le cadre dans lequel s inscrit le concept de matrice S qui sera utilis de mani re intuitive dans plusieurs exercices probl mes dans le corps de l ouvrage J ai b n fici des conseils remarques et encouragements de nombreuses personnes que je remercie chaleureusement H l ne Bouchiat Alain Comtet Marie Th r se Commault Richard Deblock Julien Gabelli Sophie Gu ron Thierry Jolicoeur Ma thieu Langer Alexandre Malamant Gilles Montambaux Nicolas Pavloff Paolo Pedri Hugues Pothier Guillaume Roux Emmanuel Trizac et Denis Ullmo Je remercie Alain Cordier pour la confiance qu il m a t moign e en m ayant propos d assurer ce cours Alain Abergel pour ses conseils initiaux Sandra Bouneau pour les vigoureuses discus sions autour de la r daction de l exercice 2 18 Arthur Gossard professeur l Universit de Californie Santa Barbara et Mark Topinka ont eu la tr s grande gentillesse de m autoriser reproduire leur magnifique figure de diffraction obtenue dans un gaz d lectrons bidimensionnel couverture Je suis reconnaissant Christophe B uerle et Laurent Saminadayar pour m avoir fourni la superbe image de microscopie lectronique reproduite sur la couverture elle montre un r seau de fils d argent de dimensions microscopiques d pos sur un substrat dont ils ont tudi les propri t s de transport lectronique il y a quelques ann es cf l gende page ii et figure 16
38. mE soit une onde plane e oi d crivant une particule allant dans le sens oppos d impulsion p hk crivons principe de superposition y x Ae Be itz 1 18 L nergie de la particule est E E Hors de l intervalle 0 a le potentiel V oo impose la fonction d onde de s annuler y x 0 probabilit nulle de trouver la particule hors de l intervalle 0 a e Raccordement et quation de quantification Admettant la continuit de la fonction d onde nous raccordons y x 0 pour x co 0 U a 4 oo avec 1 18 Il faut donc imposer 0 pla 0 1 19 Nous obtenons deux relations A B 0 amp Aet 4 Be ee 1 20 Ce syst me n admet de solution non triviale que lorsque le d terminant est nul 1 1 cika eika 0 sin ka 0 1 21 Cette condition nous montre que les fonctions de la forme 1 18 ne sont solutions du probl me que si k est solution de 1 21 Cette quation est appel e lt quation de quantification gt seules certaines valeurs discr tes de k et donc de E correspondent des solutions physiques 2 2 ohT 2ma 1 22 T kn n neN et donc E n a alors que classiquement r p tons le toutes les valeurs de E R sont permises 20 Introduction 1 5 Premi res cons quences importantes Ce ph nom ne n est pas fondamentalement nouveau le lecteur aura probablement d j rencontr le ph nom ne a
39. n de l existence des atomes fut tranch e d finitivement par la validation exp rimentale en 1908 par Jean Perrin 1870 1942 prix Nobel 1926 de la description du mouvement brownien propos e par Einstein en 1905 Le mouvement erratique d une petite particule d pos e la surface de l eau r v le les chocs incessants avec les mol cules du liquide 1 2 Br ves consid rations historiques Introduction bouleversements Elles nous aideront mieux saisir les paragraphes suivants qui seront consacr s une description succincte de la structure des th ories physiques et de la m canique quantique en particulier 1 2 Br ves consid rations historiques Faisons un tat des lieux en cette fin de XIX si cle Il va de soi qu une pr sentation de quelques pages ne peut tre que tr s sch matique Nous voquons ici les grandes th ories cadres que sont la m canique newtonienne l lectromagn tisme et la ther modynamique physique statistique 1 2 1 La m canique newtonienne On peut faire remonter les premiers balbutiements de la m canique newtonienne au d but du XVII si cle avec la formulation du principe d inertie par Galileo Galilei 1564 1642 Les principes de la m canique dont la formulation fut rendue possible par l invention du calcul diff rentiel attribu e Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 1716 et Isaac Newton 1642 1727 furent tablis par ce dernier I Newton Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
40. n probl me de diffusion sur une ligne semi infinie d phasage 178 10 2 2 Diffusion unidimensionnelle matrice S 182 10 2 3 Conclusion provisoire 187 10 3 Formulation g n rale quation de Lippmann Schwinger 187 10 4 Diffusion dans la situation bidimensionnelle 189 10 4 1 Deux bases d tatslibres 189 10 4 2 Amplitude de diffusion et section efficace 190 10 4 3 Diffusion par un potentiel radial ondes partielles et d phasages 193 10 5 Diffusion dans la situation tridimensionnelle 195 Annexe 10 A Fonctions de Green 198 10 A 1 Op rateur d volution 198 10 A 2 Fonction de Green de l quation de Schr dinger stationnaire 199 ee 201 Probl me 10 1 R sistance lectrique d un fil quantique unidimensionnel 203 Probl me 10 2 Temps de Wigner et capacit quantique 205 Probl me 10 3 Interaction ponctuelle en dimensiond gt 2 207 11 Particules identiques et permutations Postulats 4 211 11 1 Postulat de sym trisation 212 11 1 1 Op rateur de permutation d change 212 11 1 2 Bosons fotnlolis set de Leaders pod one ee 3 213 11 1 3 Particules l mentaires particules composites 213 11 1 4 Postulat de sym trisation pour 2 particules identiques 214 11 1 5 G n rali
41. nalogue dans l tude des modes propres de vibrations de la corde vibrante pinc e ses deux extr mit s e Les fonctions d onde En revenant au syst me 1 20 pour k k on obtient les coefficients de la fonction d onde comme l quation de Schr dinger est lin aire il reste toujours au moins un coefficient arbitraire ce qui correspond au choix de la constante multiplicative globale Derni re tape importante nous normalisons la fonction d onde afin qu elle satisfasse 1 10 ele E sin 1 23 Quelles id es g n rales peut on retirer Premi rement un probl me d tats li s est caract ris par un spectre discret de valeurs de l nergie chaque valeur discr te de l nergie correspond un tat stationnaire Cela explique l existence des raies spectrales atomiques correspondant des transitions entre diff rents tats quantiques Deuxi mement l nergie ne peut pas tre inf rieure une valeur minimale l nergie de l tat de plus basse nergie appel tat fondamental Autrement dit la particule confin e dans une r gion de dimension a acquiert au moins une nergie cin tique puisque V 0 de l ordre de h EX 1 24 Donnons des ordres de grandeur 7 pour une masse m 1 kg confin e dans a 1m on trouve 2 6 x 10 59 eV ii Pour un lectron confin dans a 1 Je c GeV 1 5 4 Spectre quantifi vs continuum e tats li s quantification Nous venons
42. onceptions sur la structure de notre espace temps Le c ur de la th orie de la relativit restreinte le principe de relativit i e l universalit des lois de la physique m canique et lectromagn tisme dans tous les r ferentiels inertiels apparait comme une r ponse aux exp riences d Albert Michelson et Edward Morley entre 1881 et 1885 d montrant le caract re absolu de la vitesse de la lumi re Les probl mes profonds de la physique classique portent sur les m canismes d interaction mati re rayonnement La discussion de ces questions est inextricablement li e l ex ploration de la structure de la mati re aux chelles atomiques et subatomiques a La recherche des constituants l mentaires e Les atomes Bien que l hypoth se atomique de lt arouos gt indivisible remonte l antiquit grecque ce n est qu au tout d but du XX si cle que l existence des atomes fut mise en vidence en 1908 de mani re indubitable par Jean Perrin par son analyse du mouvement brownien et sa mesure du nombre d Avogadro M4 6 023 x 1023 atomes par mole Les fluctuations le mouvement erratique d un grain de pollen la surface de l eau trouvant son origine dans les chocs incessants avec les mol cules d eau r v lent la nature discr te de la mati re e Les lectrons Les exp riences d ionisation des gaz rar fi s jou rent un r le important jusqu la d monstration en 1897 de l existence de l lectron par J
43. oseph John Thomson 1856 1940 prix Nobel 1906 qui observa la d viation de rayons cathodiques faisceaux 1 2 Br ves consid rations historiques Introduction d lectrons d une lampe vide par un champ magn tique L exp rience fournit une mesure du rapport de la charge par la masse qe Me La mesure de la charge de l lectron qe 1 6 x 10 19 C sera r alis e en 1910 par Robert Andrews Millikan 1868 1953 prix Nobel 1923 E Radium __ ee Mod le globulaire Mod le plan taire J J Thomson J Perrin FIGURE 1 2 La structure de l atome gauche Deux mod les d atomes droite Principe des exp riences de Geiger Marsden et Rutherford bombardement d une feuille d or paisseur 100 um par des particules a mises par une source radioactive de radium e La structure de l atome Au d but du XX si cle deux mod les d atome sont propos s D une part un mod le plan taire propos par Perrin en 1901 d lectrons interagissant avec un noyau charg positivement via l interaction coulombienne d autre part un mod le globulaire pro pos par Thomson en 1903 d lectrons se mouvant sur un fond continu charg positi vement assurant la neutralit lectrique de l atome figure 1 2 24 La question sera tranch e par une s rie d exp riences dues deux tudiants d Ernest Rutherford 1871 1937 prix Nobel 1908 Hans Geiger 1882 1945 et Ernest Marsden 1889 1970 en 19
44. ph rique fonction Gamma d Euler fonction digamma constante d Euler Mascheroni fonction Beta d Euler polyn me d Hermite polyn mes de Legendre polyn me de Laguerre fonction de Bessel fonction de Neumann Bessel de 2 me esp ce fonction de Hankel Bessel de 3 me esp ce fonction de MacDonald Bessel modifi e de 3 me esp ce constante de Planck c l rit de la lumi re permittivit di lectrique du vide permittivit du vide masse de l lectron charge de l lectron couplage lectromagn tique masse effective Principales unit s syst me MKSA KEE XV m tre kilogramme seconde Joule Kelvin Amp re Coulomb Volt Ohm Tesla Farad TABLE DES MATI RES TABLE DES MATI RES xvi Chapitre 1 Introduction 1 1 Qu est ce que la m canique quantique Ses fondateurs consid raient la m canique quantique comme le cadre th orique per mettant de d crire le comportement de la mati re et de la lumi re aux chelles ato miques et subatomiques Plus tard avec la d couverte de ph nom nes quantiques macroscopiques cette d finition est n anmoins apparue trop restrictive Cependant la d finition du domaine quantique est d j une question tr s d licate aussi nous en resterons ce premier point de vue qui permet de toucher du doigt assez ais ment la n cessit d un abandon des concepts de la physique dite classique nous entendons par l la m canique newtonienne et l lectromagn
45. r ce point au 4 2 b 1 4 4 Diff rentes formulations Distinguons plusieurs pr sentations du formalisme quantique 15 1 5 Premi res cons quences importantes Introduction e Dans celle que nous donnerons nous analyserons l volution temporelle de l tat quantique L analyse spectrale des op rateurs sera centrale en particulier celui repr sentant l nergie qui joue un r le particulier dans l volution On peut voir cette pr sentation comme la quantification de la formulation hamiltonienne de la m canique analytique e La formulation d int grale de chemin d velopp e par R Feynman 18 Bas e sur la formulation lagrangienne de la m canique classique Elle s attache plut t l analyse des amplitudes de probabilit de transition e Enfin la th orie quantique des champs le formalisme de seconde quantifica tion permet de traiter les probl mes dans lesquels le nombre de particules n est pas conserv ou lorsqu elles se transforment ce qui est important dans certains domaines comme la physique des particules ou la mati re condens e 1 5 Premi res cons quences importantes Il ne s agit pas d num rer dans ce paragraphe toutes les cons quences des r gles ap paremment simples que nous venons d noncer ce qui suffirait nous occuper pendant tout un cycle universitaire mais plut t de mentionner quelques points particuliers 1 5 1 La dualit onde corpuscule La m canique quantique ne perme
46. rgie ou l exp rience de Stern et Gerlach d montre la quantification du moment cin tique intrins que des atomes d argent 8 de la section 8 2 3 Or un op rateur lin aire est pr cis ment caract ris par un spectre de valeurs ses valeurs propres Des mesures non destructives ont pu tre r alis es r cemment cf fin du 8 sur les rep res historiques 14 Introduction 1 4 Aper u des postulats de la m canique quantique la mesure donne la valeur propre a avec probabilit Proba A gt an o v Apr s la mesure l tat du syst me est Yina Yn Pour voquer cette alt ration stochastique de la fonction d onde on parle de r duction du paquet d ondes e Une volution d terministe et r versible d un objet de nature probabiliste l volution temporelle chapitre 5 L volution de la fonction d onde est gouvern e par l quation de Schr dinger a h nF AYE t VCE t v1 1 13 o 25 Z 2 est l op rateur de Laplace L quation de Schr dinger joue en m canique quantique le r le de la relation fondamentale de la dynamique en m canique newtonienne 1 4 3 Difficult s de l interpr tation We have made a number of assumptions about the way in which states and dynamical variables are to be represented mathematically in the theory These assumptions are not by themselves laws of nature but become laws of nature when we make some further assumptions t
47. riger les co quilles de la premi re dition J en ai profit pour clarifier restructurer ou m me compl ter certaines parties chapitres 1 et 2 annexe 11 A Un certain nombre d exer cices 5 2 5 8 5 9 11 3 12 4 13 2 15 3 15 4 16 4 et probl mes 7 1 11 2 15 1 ont t compl t s ou simplement ajout s Paris 28 Ao t 2013 xii TABLE DES MATI RES TABLE DES MATI RES Structure de l ouvrage Le sch ma suivant montre la structure de l ouvrage Les fl ches indiquent les relations logiques entre les chapitres Les fl ches paisses d finissent un cheminement natu rel gt le programme du cours de m canique quantique du magist re d Orsay 1 4 amp 1 5 Dualit onde corpuscule principe de superposition 2 Equation d onde de Schr dinger 3 Formalisme de Dirac 4 Postulats de mesure 5 Postulat d volution 6 Sym tries et lois de conservation 7 Oscillateur harmonique ot v 8 Moment cin tique amp Spin 9 Addition des moments cin tiques Na w 11 Postulat de sym trisation 10 Th orie des collisions TEES 12 Atome d hydrog ne Y 13 M thodes d approximation 14 Structures fine et hyperfine de l atome H 15 Probl mes d pendant du temps ao care 7 7 16 Particule charg e en champ magn tique 4 Les deux branches qui ne s inscrivent pas dans le chemin principal correspondent deux chapitres ajout s la version initiale des no
48. rnes Les multiples processus d mission absorption conduisent l existence d un quilibre thermique entre mati re et lumi re En supposant le syst me isol et l quilibre corps noir ce qui suppose que les pertes d nergie sont faibles relativement la thermodynamique pr dit que la distribution des fr quences du rayonnement est une loi universelle uniquement fonction de la temp rature T remarquons que la temp rature correspondant au rayonnement mis par l toile est celle des couches externes quelques milliers de K et non du coeur beaucoup plus chaud quelques millions de K Notons u w T dw la densit volumique d nergie des fr quences de l intervalle w w dw La physique classique pr dit une densit pr sentant le comportement ugj w T x Tw la loi de Rayleigh Jeans obtenue par Lord Rayleigh en 1900 puis corrig e en 1905 par James Jeans est d duite du th or me d quipartition de l nergie de la physique statistique Elle conduit une densit d nergie infinie apr s int gration sur les fr quences Ehrenfest voquera en 1911 une catastrophe ul traviolette pour d signer cette divergence Ge dounj o T oo D autre part Whilhelm Wien 1864 1928 prix Nobel 1911 avait obtenu en 1894 la loi portant son nom Uwien w T w f w T pour rendre compte des exp riences il propose en 1896 une forme exponentielle d croissante f x oo Ae Hr o A et B sont des constantes universelles
49. s bosons E 3 Y zrek j 1 11 Si les particules sont des fermions lectrons protons neutrons la fonction d onde est antisym trique Dfermions Fi QT Wrermions Ee ie 1 12 La nature bosonique ou fermionique est d termin e par le moment cin tique in trins que de la particule son spin Les deux autres postulats expriment qu il y a deux types d volution e Une volution stochastique et irr versible le processus de mesure cha pitre 4 Lorsque l tat d une particule microscopique est sond par un appareil de mesure macroscopique on con oit que l tat de la particule n en ressort en g n ral pas indemne Le postulat s nonce comme suit consid rons une particule dans un tat v et une observable A par exemple l impulsion repr sent e par un op rateur A agissant dans l espace des tats ihV dans le cas de l impulsion et dont les va leurs propres et les vecteurs propres sont not s a wn Le r sultat de la mesure de est al atoire mais ne peut tre que l une des valeurs propres de l op rateur A Cette r gle para t premi re vue tr s abstraite Cependant on peut essayer d en donner une justification heuristique en se souvenant que les exp riences mettent en vidence une quantification des grandeurs physiques par exemple l existence des raies spectrales d absorption mission d un gaz atomique s interpr te comme une quantification de l ne
50. sa construction mais aussi dans la validit de son application Par exemple reconsid rons la proposition aristot licienne de d crire la dynamique des corps en mouvement en postulant la proportionnalit entre vitesse et force Av F On sait que cette relation est d mentie par l exp rience de la chute des corps elle a aussi la d sagr able propri t de ne pas respecter le principe de relativit Cela ne la rend pas pour autant absurde et il est possible de trouver des situations d crites par cette relation le cas d une particule en milieu fortement visqueux Notons enfin que le statut d une th orie peut varier comme le montre l exemple de la th orie de la gravitation Alors que dans le cadre newtonien la th orie de la gravitation apparait comme une th orie sp cifique d crivant l interaction entre masses 11 1 3 La structure des th ories physiques Introduction la th orie de la relativit g n rale einsteinienne int gre la gravitation au cadre g n ral e La polymorphie des th ories physiques Il est int ressant de noter qu une m me th orie peut apparaitre sous plusieurs formes bas es sur des concepts et des postulats diff rents Les variantes de la th orie sont tou tefois strictement quivalentes Un exemple est fourni par la m canique classique qui peut tre formul e dans le cadre newtonien bas sur les postulats rappel s ci dessus Elle peut galement tre formul e dans le cadre lagrangien ou en
51. sation pour N particules identiques 215 11 2 Corr lations induites par le postulat de sym trisation 216 11 2 1 Probl me 1 particule notations 216 11 2 2 Construction des tats N particules identiques 216 11 2 3 Fermions identiques principe de Pauli 217 11 2 4 Facteurs d occupation 217 11 2 5 Corr lations spatiales 218 11 2 6 tat fondamental de N particules identiques sans interaction 219 11 2 7 Deux fermions identiques sym triser s paremment les parties orbite et SPI 4 4 gon Xp e RR e DE VS RUE Rs 221 Annexe 11 A Collision entre deux particules identiques 223 BXCTCICES PCE TD 224 Probl me 11 1 Corr lations quantiques de la lumi re 224 Probl me 11 2 Collisions entre noyaux de carbone 227 viii TABLE DES MATI RES TABLE DES MATI RES 12 Atome d hydrog ne 231 12 1 Atome d hydrog ne 231 12 1 1 S paration des variables 231 12 1 2 Les chelles atomiques 232 12 1 3 R solution de l quation de Schr dinger pour un potentiel cou lombien suie umm koh ERE EUER GU RUE ER ERR EDUC 2 234 12 2 Atomes et classification de Mendelelev 238 ee Lue teet LR TN A m ok Ee Qut Ze NE date ri ta abe de aen LUSE 29 244 13 M thodes d
52. t derriere cette observation e La radioactivit Une d couverte importante en 1896 est le ph nom ne de radioactivit par Henri Becquerel 1852 1908 prix Nobel 1903 Trois types de radioactivit furent observ s l mission o un noyau d h lium l mission 8 un lectron et l mission y un pho ton Le ph nom ne de radioactivit est une transition entre deux tats du noyau atomique mission 7 ou la transmutation d un noyau mission a et 8 La d couverte de la radioactivit tait donc annonciatrice de la d couverte du noyau atomique et son occurrence stochastique de la nature probabiliste de la th orie quantique cf chapitre 2 de l ouvrage 3 b Impasse n 1 L instabilit classique des atomes Le probl me qui parait le plus grave est relatif la question de la stabilit de la mati re L exp rience de Geiger Marsden Rutherford fournit donc une image claire pour la structure de l atome des lectrons tournant autour d un noyau charg positi vement Or l lectron acc l r dans le champ lectrique du noyau devrait mettre un rayonnement lectromagn tique et voir son nergie m canique diminuer Le rayon de l orbite de l lectron devrait alors diminuer et l atome s effondrer sur lui m me Dans le cas de l atome d hydrog ne on trouve une dur e de vie de 1071 s cf exer cice 15 5 La physique classique pr dit donc que les atomes ont une dur e de vie finie extr mement courte ce qui
53. t le groupe de Poincar Autrement dit les deux th ories ne sont pas affect es de la m me mani re par les transformations spatio temporelles ce qui contre dit l id e fondamentale de l invariance des lois de la physique lors des changements de r f rentiels inertiels L incompatibilit entre groupes de sym trie des quations de Newton et de Maxwell fut r solue par l laboration en 1905 d une nouvelle m canique 3Notons que la physique statistique s oppose en cela la thermodynamique cette derni re se fonde directement sur l chelle macroscopique et permet de construire des th ories ph nom nologiques par contraste avec la physique statistique qui vise construire des th ories microscopiques 4 Introduction 1 2 Br ves consid rations historiques M canique newtonienne Electromagn tisme dynamique des particules lt gt dynamique des champs discret amp peem EReey gt continu localis es pee gt d localis s trajectoire cin matique Force de Lorentz Sources R Faa pint amp Jn L Dynamique des milieux continus ondes acoustiques sismiques FIGURE 1 1 La dichotomie classique corpuscule onde non quantique permettant de d crire les corps aux tr s grandes vitesses comparables la vitesse de la lumi re la th orie de la relativit restreinte d Einstein qui remit en cause les c
54. t pas seulement de d velopper une m canique des particules de mati re lectron proton neutron mais galement une th orie de la lumi re Elle abandonne compl tement la dichotomie mati re corpuscule rayonnement onde les deux notions corpusculaire et ondulatoire se fondent dans la dualit ponyme d crivant aussi bien mati re que lumi re Comment cette dualit se manifeste t elle dans le formalisme Rappelons que deux notions la base des th ories ondulatoires sont celles de fr quence et de longueur d onde Une onde plane monochromatique ei f it est caract ris e par sa pulsation w et un vecteur d onde k Or la formulation schr dingerienne montre que la m canique quantique est une physique ondulatoire mais pas seulement Une particule libre est caract ris e par son nergie E et son impulsion p La correspondance entre les concepts corpusculaires et ondulatoires est assur e par les deux importantes rela tions suivantes e La relation de Planck Einstein E hw 1 14 ayant permis d expliquer l effet photo lectrique l existence de raies spectrales dans les spectres atomiques etc e La relation de L de Broglie P hk 1 15 16 Introduction 1 5 Premi res cons quences importantes rendant compte de l effet Compton des exp riences de Davisson et Germer de dif fraction d lectrons etc e Onde plane Une onde plane 7 t A ei 7 it d crit donc l tat qu
55. t si vrai que des propositions ant rieures reliaient la force la vitesse ce qui est contredit par une analyse exp rimentale pr cise Introduction 1 2 Br ves consid rations historiques pr diction de l existence d une nouvelle plan te fut confirm e le 23 septembre par une observation de Johann Galle 1 2 2 L lectromagn tisme Parall lement la th orie du mouvement des corps mat riels les ph nom nes de na tures lectrique et magn tique taient d crits par un certain nombre de lois finalement unifi es dans ce qui est aujourd hui appel l lectromagn tisme La th orie des ph nom nes lectriques s est d velopp e principalement dans la seconde moiti du XVIII si cle On peut citer les noms de Charles Augustin Coulomb 1736 1806 d Alessandro Volta 1745 1827 et de Denis Poisson 1781 1840 Les ph nom nes magn tiques taient d crits depuis longtemps les aimants furent d couverts par les grecs d s l antiquit mais ce n est qu en 1820 que la relation entre les ph nom nes magn tiques et lectriques fut d montr e par une exp rience r alis e par Hans Christian rsted 1777 1851 montrant que l aiguille d une bous sole est influenc e par le courant lectrique traversant un fil dispos proximit Les contributions importantes furent apport es par Andr Marie Amp re 1775 1836 Jean Baptiste Biot 1774 1862 et Michael Faraday 1791 1867 La construction du bel difice fut para
56. tes de cours Le chapitre 10 qui pourra tre saut sans nuire la compr hension globale est d un niveau plus ardu Structure des chapitres Chaque chapitre est organis selon le sch ma suivant Le cours au sein duquel sont ins r s de petits exercices d illustration la fin du chapitre sont nonc es les id es importantes qui ont t introduites Annexes Exercices dont le degr de difficult est pr cis F MF D ou TD Probl mes Qu VG N H XIV TABLE DES MATI RES TABLE DES MATI RES Notations A ge K AANZR 2 AIMEE TH OSCE S Oy Oy Oz Yo 0 p gal par d finition approximativement gal de l ordre de proportionnel ensemble des entiers naturels ensemble des entiers relatifs ensemble des nombres r els ensemble des nombres complexes partie r elle partie imaginaire complexe conjugu de z trace moyenne variance cart type y Var X fonction de Heaviside distribution de Dirac symbole de Kronecker transform e de Fourier w x produit de convolution gradient Laplacien fonction d onde densit de probabilit densit de courant de probabilit espace de Hilbert vecteur d tat ket dual du vecteur d tat bra produit scalaire produit tensoriel commutateur matrice identit de taille N hamiltonien moment cin tique g n rique moment cin tique orbital moment cin tique de spin matrices de Pauli harmonique s
57. ver des particules sur l cran dans trois situations Le principe de superposition ne s applique pas aux probabilit s ce qu on aurait pu attendre classiquement mais aur amplitudes de probabilit s Jusque l l analyse ressemble banalement l exp rience d Young pour une onde classique L exp rience devient int ressante lorsque le flux de particules est suffi samment faible pour d tecter les particules une une aspect corpusculaire Si on attend qu un grand nombre de particules soient pass es les impacts apparaissant al atoirement en diff rents endroits s accumulent pr f rentiellement dans certaines r gions faisant ainsi apparaitre la figure d interf rences aspect ondulatoire De telles exp riences d interf rences ont t r alis es pour de nombreux types de particules photons lectrons neutrons figure 1 6 atomes mol cules La figure 1 6 montre le r sultat r cent de la tr s spectaculaire exp rience d interf rences r alis e avec un faible flux au plus 4 mol cules d tect es par seconde de mol cules de fuller ne b Double puits de potentiel Une autre cons quence surprenante du principe de superposition est fournie par l exemple d une particule dans un double puits de potentiel Donnons nous une fonc 3 Articles de revue O Nairz M Arndt amp A Zeilinger Quantum interference experiments with large molecules Am J Phys 71 319 2003 A Cronin J Schmiedmayer amp D E Pritchard
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