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De quelques problèmes de géométrie célèbres de l`Antiquité aux

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1. A x q px Un exemple donn dans la Question XXXV Utilisation du mode d emploi de la chose et du cube gaux au nombre 1 cube plus 3 choses gaux 10 La reponse de Tartaglia est x J5 V26 5 V26 C Les methodes de PAPYRUS DE MOSCOU METHOD of FLUXIONS NFINITE S RIES Application to the Geometry of CURVE LINES Sr ISAAC NEWTON Late Prefident of the Royal Society LA METHODE DES FLUXIONS ET DES SUITES INFINIES Newton 1671 l lra r solutions num riques Approche historique Methodes de Fausse position Methode de Newton Raphson dite des tangentes Methode de Lagrange Cdite des secantes 3 03602028 5 19159262 5 07 05856 Ca M C Les methodes de r solutions numeri e 2 Mise en uvre des m thodes avec les lai ues l ves S ances de TP avec V Logiciel de g om trie dynamique v Tableur Logiciel d algorithmique e Comparaison des vitesses de convergence Newton vs dichotomie M thode de Newton pour la r solution num rique d quations C ONV ETQENcE x x xa CA TE 00 3 7E 00 2 3E 00 1 4E 00 1 0E 00 OE 01 0 EC A EE M dicho 1 Pa i SExXAD T p 0 gogogo M 1e b a gt p l if Ca F c lt 0 1b c Else a c F eturn evalf a evalf b
2. 0 diam tre Solution g om trique d Omar Khayyam P intersection de la parabole et du demi cercle Q projection de P sur l axe h anigi 2 AQ QC AQ 2 AQ 2AQ on 2AQ AQ AQ est solution de AQ AQ2 Remarque toute quation de degr 3 peut se traiter par intersection d une parabole et d un demi cercle B Methode de r solution alg brique e Nicolas Chuquet CIUS5 214889 et Luca PacioliC I445 15173 pr sentent sous une Forme concise les resultats alors classiques sur les equations alg brique Le grand apport des math maticiens italiens l alg bre est la resolution par radicaux des equations de degr 3 eb e Les acteurs de cette resolution Scipione del Ferro CIM65 1526 Antonio Maria Fior Cun de ses eleves et bien entendu Nicol Tartaglia 4991557 et J r me Cardan 150H576 La m thode de Tartaglia Texte original Quando chelcubo con le cofe appreffo Sc agguaglia qualche numero difcreto Tronan dul altri diferenti in effo Dapoiterrai quefto per confurto Chellor produtto fempre fia eguale Alterzo cubo delle cofeneto Elrefduo poi fuo generale Deki lor lsti cubi ben fottratti Varra la tis coja principale in el fecondo de coteftiatti Quando che lcubo reflalle lui folo Tuofcruaraique altricontratti Del numer farai due tal parth uolo Che l unain alira fi produca fchictte Eiterzo cubo delle cofe in folo Delle qual poi per commun precetto To
3. Groupe pist mologie et histoire des math matiques Ann e 2010 2011 Les quations de degr 3 a travers l histoire Applications dans notre enseignement Nos objectifs Etudier diff rentes p riodes Partir de textes originaux ou de traductions de r f rence Construire des activit s pour les l ves A M thodes de r solution graphique M nechme Archimede Omar Khayyam B M thodes de r solution alg brique Cardan Tartaglia C M thodes de r solution num riques Newton Lagrange A M thodes de r solution graphique R soudre des quations alg briques par l intersection de coniques toute une histoire e M nechme l ve de Platon 350 utilise une Le intersection de parabole et hyperbole duplication du cube p e Pappus trisection de l angle utilise l intersection 7 d un cercle et d une hyperbole quilat re s Archim de r sous le probl me de partage d une sph re par un plan en deux parties dont le rapport TE des volumes est donn en utilisant l intersection AL ARGENT ka d une parabole et d une hyperbole quilat re 2 e Classification de toutes les quations de degr 3 coefficients entiers par leur m thode de r solution quelle s conique s choisir par les math maticiens arabes Omar Khayy m puis Sharaf AI Din Al Tusi apr s chec d une m thode alg brique Facon gr nerale pourcon truire tous les problet me
4. n des deux courbes Un TP en salle informatique a ete construit pour presenter le probleme et le Faire resoudre avec un logiciel de g om trie dynamique C C Partager une sphere Archim de 287 325 DE LA SPHERE ET DU CYLINDRE LIVRE IT PROPOSITION V Couper une sph re donn e de mani re que les segments aient entre eux une raison gale une raison donn e Partager une sphere_ Un TP en salle informatique a ete construit pour presenter le probleme et le Faire resoudre avec un logiciel de g om trie dynamique Enonce Comment partager une sphere en deux part parall lement l un de ses grands cercles de telle fa on que la petite partie ait un gal au tiers du volume de la grande parti A Math matiques arabes Omar AI Khayyam 1045 1131 e Classification des types d quations coefficients positifs Solutions g om triques par intersections de coniques cercle parabole hyperbole Discussion du nombre de solutions Un exemple simple X bx c Justification alg brique moderne Homog n isation x p x p d avec b p et c p d Puis x p x p dx En posant py x p y p x p dx La solution est obtenue intersection de la parabole d quation py x et du cercle d quation x y dx Solution g om trique d Omar Khayyam X Xx 2 b 1 c 2 Trac de la parabole y x x gt 0 sommet A Trac du demi cercle x y2 x y gt
5. rrai lilaticubi mffeme gionti Et cotalfomma fara iltuo concetto El terzo poide guefinofiri conti Se folue col fecondo fe ben guardi Che per natura fon quaflecngionti Quefhi trouai e7 non con pafi tardi Nel mille cinquecente quatroctrenta Con fondamentiben fald gaglisrdi Nela citta dal mar intorno centas Traduction en fran ais Quand le cube aupr s des choses Est gal un quelconque nombre discret Trouve en lui deux nombres diff rents Alors tu prendras pour habitude Que leur produit soit toujours gal Au tiers cub 5 des choses exactement Ensuite le reste g n ral De leurs racines cubiques bien soustraites Sera gal ta chose principale Dans le deuxi me de ces actes Quand le cube reste seul Tu observeras ces autres contrats Tu feras du nombre deux parties En sorte que l une par l autre produise nettement Le tiers cub des choses exactement De celles ci ensuite par une r gle commune Tu extrais les racines cubiques jointes ensemble Cette somme deviendra ton principal r sultat Ensuite le troisi me de nos comptes Se r sout avec le second si tu regardes bien Parce que par nature ils sont presque li s J ai trouv ces choses sans lenteurs En mille cinq cent trente quatre Avec des fondements forts et certains Dans la cit entour e par la mer En langage alg brique moderne x px q u v uv p 3 Vu Vv x x px q q ut tyr uv p 3 lu NV
6. s foli des re duits vne E quatio de trois ol quatre di mentions Et l histoire ne s arr te pas la Equations de degr 4 et plus e R solution d q de degr 4 de Ibn Al Haytham probl me d optique par intersection d un cercle et d une parabole eDescartes solutions d quations de degr 3 ou 4 par intersection d un cercle et d une parabole g n ralisation a des degr s plus lev s 390 La GEOMETRIE donner vne reigle generale pour les trouuer toutesparle moyend vne Parabole a caufe qu elle eft en quelque fa on la plus fimple Premierement il faut ofter lefecond t rme de l Equa tion propofce s il n eft defia nul amp ainf la reduire tel leforme 4 ap a aq fi la quantit inconnu n a que trois dimenfions oubien telle 4 2 pzz aagz as rfi elle en a quatre oubien en prenant a pour l vnit telle x 3 p 4 4 amp telle ZO PAZ ge Te ane n Apr s A De quelques probl mes de g om trie c l bres de l Antiquit aux quations de degre 3 M thode de r solution graphique intersection d une parabole et d une hyperbole Obtenir une solution approch e en utilisant la m thode de M nechme 3793 325 La duplication du cube X 2a M nechme trace la parabole d equation y Ly et l hyperbole d quatiofs montre que la solution de l equabion est l abrcisse positive du point d intersectio

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