Article Découvrir le potentiel éducatif du logiciel dynamique GeoGebra
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1. quipe de GeoGebra permet de mieux conna tre les difficult s de son implantation en salle de classe et d am liorer les outils d accompagnement didactique 11 Le champ d applications de GeoGebra ne se limite pas aux exemples analys s Il existe d j une banque de ressources consistante avec sc narios d apprentissage dans les domaines de l arithm tique de la statistique et des probabilit s tout comme en alg bre et en g om trie Voici comment Daniel Montrard pr sente cette multitude de fa ons p dagogiques d int grer GeoGebra Apr s le tableur Excel c est maintenant G oG bra un logiciel int ressant non seulement pour sa gratuit mais aussi pour sa facilit d emploi vis vis de nombreuses t ches De plus il est en perp tuel renouvellement gr ce une communaut active et internationale de contributeurs Voici quelques animations et des applications constructives pour vos s quences d enseignement toutes en ligne effectu es sous G oG bra Plusieurs me demandent l utilisation p dagogique de ces animations dans mes cours et le mode d emploi de ces applets Plut t que des discours et des paroles sans fin c est vous de les utiliser bon escient comme vous le voulez ou alors venez dans ma classe L innovation ne se nourrit pas de textes convenus et de proc dures format es ni de rigueur et de rigidit Existe t il une meilleure fa on de compl ter notre r flexion en invitant nos lect2. dans le cadre d un projet de ma trise 9 du logiciel GeoGebra Hohenwarter visait concevoir un outil synth tisant les modes de repr sentation alg brique et g om trique tout en aidant l apprenant d couvrir des liens entre ces deux branches des math matiques et ainsi d velopper un regard plus profond sur la mati re Les ann es qui suivent les premiers pas du nouveau logiciel voient l mergence d un mouvement p dagogique collaboratif contribuant collectivement l laboration de nouvelles versions et de nouvelles applications techno p dagogiques Le travail a t marqu par de nombreux prix aux niveaux national et international Learnie Award 2003 2005 2006 Digita 2004 Troph es du Libre 2005 Tech Museum Education Award 2009 Le logiciel est maintenant disponible dans 45 langues incluant le fran ais Les b n fices p dagogiques potentiels ont t document s par la recherche doctorale de Hohenwarter 10 Comme l illustre le sch ma ci dessous GeoGebra est utilis par une communaut de collaboration et de partage croissante Elle r unit des milliers de personnes travers le globe qui travaillent ensemble pour d velopper partager et appliquer de nouvelles id es technologiques et p dagogiques associ es l usage de GeoGebra comme soutien l enseignement et l apprentissage des math matiques Ce d veloppement collectif sans pr c dent est devenu possible gr ce au statut du logiciel comme libre et
3. om trie en mettant l accent sur le r le des enseignants pour d velopper une culture de la g om trie dynamique cognitivement productrice En examinant le potentiel ducatif de GeoGebra illustr par les quelques exemples analys s ci dessus il faudra galement revenir sur quelques pr occupations soulev es au d but de notre article li es notamment aux aspects techno p dagogiques de son utilisation travers nos commentaires sur chaque exemple nous avons estim leur niveau de difficult en termes de construction de feuilles dynamiques avec GeoGebra Le nombre croissant de fonctions qui raccourcissent les commandes de programmation nous semble suffisant pour permettre aux utilisateurs d en trouver une qui r ponde aux besoins p dagogiques et qui tienne compte de leur niveau d expertise technique pour cr er les feuilles interactives Notamment l exemple 4 3 d montre comment en utilisant les deux fonctions pr programm es Sommelnf rieure ou SommeSup rieure fonction f nombre a nombre b nombre nj les enseignants ou les l ves peuvent construire eux m mes une feuille dynamique illustrant le concept de sommes de Riemann en tr s peu de temps Ces raccourcis aident les utilisateurs atteindre leur but sans passer par les tapes multiples pour d finir l intervalle d int gration le r partir en sous segments construire les rectangles ayant un sommet sur le graphique de la fonction calculer l aire de chaqu
4. rents aspects de la repr sentation graphique en laissant d autres parties invariantes Par exemple on peut observer que la valeur de a influence l inclinaison de la pente et l orientation de la courbe Les param tres b et c permettent de d terminer les points d intersection avec l axe des abscisses On peut explorer galement le nombre et la nature des racines ainsi qu examiner des cas particuliers comme par exemple b c La Figure 4 repr sente le graphique de la fonction dans ces diff rentes situations 13 Lors de la cr ation du module virtuel l enseignant peut d terminer les intervalles de variation des param tres en gardant par exemple les valeurs de a comme strictement positives dans un cas ou n gatives dans l autre en fixant l attention de l l ve sur des aspects particuliers du comportement de la fonction d couverte guid e Par ailleurs en laissant les valeurs varier autour du z ro on peut conduire l l ve observer le comportement de la fonction lorsque a 0 Un autre cas int ressant appara t lorsque b c Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 39 SR OO l MM Pare Eee sanan Onee Ome fetes ee Paru Gom Aachage Optone Outie Fondre mor EC au 42 O piacer D cracer on s tecscnneron cu oes cmacat LE CASA ILES macorsts wl l Commande n O s e Come g 3 CSS O D oa nm e Fumem baer samage Orsara Om F
5. t l chargeable gratuitement ainsi que l utilisation de nouveaux outils de collaboration et de partage en ligne tels que Wiki YouTube et Facebook voir la Figure 1 3http www geogebra org en wiki index php French http www youtube com watch v Byc8UdTZ eU Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 36 mars 2002 janv 2004 mai 2005 janv 2007 ao t 2008 Cr ation de Premi re traduction Forum d utilisateurs 150 000 visites Institut international G oG bra en espagnol Wiki de G oG bra sur le site web de G oG bra S i nov 2002 janv 2006 oct 2007 juin 2009 2002 Premier 50 000 visites 300 000 visites i Institut 2003 prix de l Union sur le site web sur le site web canadien europ ene de G oG bra Figure 1 Ligne de temps du d veloppement de l Institut canadien de GeoGebra Le mouvement international des Instituts GeoGebra vise supporter d velopper et promouvoir la communaut afin de mieux r pondre aux besoins de nouveaux utilisateurs en offrant des ateliers et d autres s ances de formation Le r seau des Instituts GeoGebra encourage galement la col laboration entre les instituts locaux en accordant une attention particuli re au d veloppement des ressources mat riaux qui correspondent aux curriculums provinciaux et territoriaux et avec d autres initiatives existantes en math matiques en laborant des feuilles de travail dynamiques GeoGebra pour tous les niveaux de scolarit comme l il
6. de ressources virtuelles en math matiques font voir l int r t croissant d augmenter la pr sence des TIC en salle de classe et ce sous diff rentes formes Ci tons le d veloppement de communaut s virtuelles d apprentissage qui offrent des activit s math ma tiques vari es en ligne comme par exemple l Agora de Pythagore ou CAMI Communaut d ap prentissages multidisciplinaires interactifs qui permettent aux l ves de r soudre des probl mes ou de philosopher sur les math matiques 17 6 Martinovic et coll avancent que gr ce aux nouvelles technologies l utilisation de vid oconf rences permet d organiser des v nements dont le potentiel ducatif d passe les limites d organisation traditionnelle de la salle de classe en mettant en contact des l ves des enseignants des chercheurs d une agence sp ciale et des tudiants en formation initiale l enseignement 15 Les activit s math matiques peuvent tre enrichies dans une classe o chaque l ve aurait un ordi nateur portable avec un acc s Internet sans fil Notre recherche d montre le potentiel ducatif de logiciels math matiques comme Excel et de ressources en ligne en incluant les modules simula teurs pour visualiser les notions et les relations math matiques abstraites et pour explorer diff rents concepts en mode dynamique et dans un contexte de r solution de probl mes interdisciplinaires 5 L ordinateur portable appuy d autres
7. des r serves des obstacles et des d fis d int gration de TIC en math matiques Le manque de temps et de comp tences techniques l impossibilit de trouver la bonne ressource cl en main au bon moment l acc s aux technologies trop diversifi et parfois peu fiable un manque d en Thttp euler cyberscol qc ca pythagore nav index html 2Communaut d apprentissages multidisciplinaires interactifs www umoncton ca cami Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 35 cadrement didactique les curriculums peu flexibles en terme de contenus et des outils d valuation peu adapt s la r alit virtuelle constructiviste collaborative et formatrice sont parmi les facteurs les plus cit s dans la litt rature et rapport s par les enseignants 16 C est dans l optique de ces pr occupations que nous trouvons un besoin de partager nos analyses du logiciel Geo Gebra qui pr sente un parcours tout fait diff rent et unique car il combine la simplicit et la complexit la rigidit et la flexibilit la statique et le dynamisme l explicitation et le besoin de d duire en s adaptant aux besoins concrets Cet outil suit le mod le de d veloppement collaboratif et communautaire ce qui largit l horizon de son utilisation et pourrait r pondre des contextes d enseignement apprentissage divers 2 Historique de GeoGebra d un projet de ma trise la com munaut d apprentissage Par la cr ation
8. haut de l cran permet d op rer sur des fichiers d diter de g rer les param tres d affichage et d avoir d autres options en ce qui concerne la gestion du module virtuel Ainsi le document ou le module dynamique cr peut tre enregistr et r utilis en format statique papier ou dynamique en mode d exploration En mode dynamique l utilisateur peut modifier les objets et faire des manipulations On peut galement revoir toutes les tapes de la construction La simplicit d utilisation et la facilit avec laquelle des modules virtuels peuvent tre cr s par l l ve ou pour l l ve permettent de d velopper des applications complexes dans diff rentes branches des math matiques ce que nous allons d montrer dans la prochaine section Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 38 4 Sc narios d utilisation de GeoGebra Selon le mod le expliquer explorer mod liser cit plus haut 14 les enseignants ont une vaste gamme d outils GeoGebra permettant soit de cr er ses propres feuilles dynamiques soit de t l charger les mod les d j cr s en les modifiant ou en les utilisant tels quels Les modules virtuels analys s dans les quatre sc narios qui suivent traitent de diff rents domaines math matiques alg bre et fonc tions calcul diff rentiel et int gral ainsi que la g om trie Les l ments de construction g om trique peuvent tre cr s l aide de diff rentes o
9. outils technologiques tels que la trousse robotique ouvre la voie l exercice de la pens e critique en faisant des liens entre le monde r el et le monde virtuel l aide de l apprentissage exp rientiel 1 Les logiciels d apprentissage dynamique font partie des environnements informatiques fort potentiel cognitif selon Depover Karsenti et Komis 3 Leur nature hautement interactive g r e par les principes de manipulation directe offre une r troaction imm diate tr s souvent support e par des repr sentations externes par exemple des simulations des graphiques ou des tables de donn es Les auteurs avancent aussi que gr ce ces r troactions l apprenant peut se corriger faire voluer ses repr sentations mentales et avancer dans sa compr hension du domaine p 118 Le mod le expliquer explorer mod liser test par Karadag et McDougall 14 a mis en vidence le processus de r solution de probl mes dans un tel environnement dans le sens de P lya comme le d montre la t che de simulation de la d riv e d une fonction trigonom trique qu on analysera plus tard dans l article Les auteurs confirment les b n fices d un environnement dynamique tel que GeoGebra pour d velopper une compr hension visuelle de concepts math matiques et de relations entre ces derniers Or malgr l existence de multiples pratiques gagnantes et prometteuses les chercheurs et les prati ciens rapportent
10. 19 3 n 02 31 06 21 341 i 445 D j 445 Ky 445 gt ky 445 saisie P a v Commande Saisie p a Commande Figure 10 Position du point et ses distances aux c t s du triangle Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 44 Effectivement le lien pourrait aussi tre fait avec le probl me pr c dent et mener la compr hension que pour le triangle ABC AB BC CA les trois segments repr sentent les bases des triangles ADC ADB et BDC Donc la somme des aires de ces triangles d pendra seulement de la somme des hauteurs DE DF et PG qui sera constante si on ne modifie pas le triangle La technologie pourrait alors permettre de faire des d couvertes voir de nouveaux liens et avoir des id es de preuves formelles Il existe aussi une possibilit d tendre l investigation vers un autre cas fascinant celui d un triangle isoc le avec un point sur sa base La Figure 11 illustre ainsi cette extension possible pour un triangle isoc le ACB la somme des distances PE et PF d un point quelconque sur la base AB chacun des deux autres c t s reste la m me et elle est gale la hauteur issue du sommet A j GeoGebra 1sosceles frianple 2 ppb Fichier diter Afichage Options Outils Fen tre Aide A D placer E R e ra LAA O a pe p D placer ou s lectionner un ou des objets Ctrl Raccourci Esc A k 4 e C IPE 1 27 PEI PF 2
11. 48 IPF 1 21 IAH 2 48 B 5 m ix a M Commande ml Figure 11 Le cas d un triangle isoc le 5 GeoGebra vu par les chercheurs et les praticiens Dans cette section nous allons faire un retour r flexif sur diff rents l ments soulign s par les cher cheurs et les praticiens Citons tout d abord l article tout r cent de Dicovic 4 qui met l emphase sur l utilisation de GeoGebra comme environnement d exploration active de structures math matiques l aide de repr sentations multiples ou pour montrer aux l ves des relations math matiques qu on ne peut pas voir dans un environnement papier crayon C est donc un outil qui pourrait tre utilis comme moyen de visualisation math matique GeoGebra s av re plus particuli rement riche pour une visualisation multi r f rentielle permettant d tablir des liens entre diff rentes repr sentations Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 45 comme l illustre notre Figure 31 et ainsi mieux comprendre les relations math matiques que sugg rent ces repr sentations comme le montre notre exemple d investigation des param tres d une fonction cubique Exemple 1 Le lien entre les modes textuel gestuel est plus explicite dans GeoGebra com parativement d autres logiciels selon Boileau 2 Un autre aspect pouvant enrichir les exp riences d apprentissage des l ves est li la nature dy namique du logiciel qui permet d observer co
12. E Hohenwarter J Hohenwarter M et Lavicza Z 2008 Introducing Dynamic Mathematics Software to Secondary School Teachers The Case of GeoGebra Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching 28 2 135 146 Hohenwarter M Hohenwarter J Kreis Y et Lavicza Z 2008 Teaching and Calculus with Free Dynamic Mathematics Software GeoGebra Paper presented at the ICME 11 TSG 16 Consult le 1er janvier 2010 sur http www geogebra org publications 2008 ICME TSG16 Calculus GeoGebra Paper pdf Karadag Z 2009 Visual Learning in Mathematics Education Presentation notes Vancouver Canada Canadian Mathematics Education Forum Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 48 14 Karadag Z et McDougall D 2009 Visual Explorative Approaches to Learning Mathema tics In Swars S L Stinson D W et Lemons Smith S Dir Proceedings of the 31st Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Ma thematics Education p 1630 1636 Atlanta GA Georgia State University 15 Martinovic D Magliaro J et Pugh T 2009 Applying Emerging Technologies to Build Communities of Collaborative Learning V International Conference on Multimedia and ICT in Education m ICTE2009 Lisbon Portugal 22 24 April 2009 Consult le ler janvier 2010 sur http www formatex org micte2009 book 917 921 pdf 16 Martinovic D Karadag Z Freiman V Roule
13. F Association Math matique Q du Qu bec Article D couvrir le potentiel ducatif du logiciel dynamique GeoGebra communaut de collaboration et de partage VIKTOR FREIMAN UNIVERSIT DE MONCTON DRAGANA MARTINOVIC UNIVERSITY OF WINDSOR ZEKERIYA KARADAG INSTITUT GEOGEBRA DU CANADA R sum Comment mieux exploiter le potentiel ducatif des TIC en salle de classe de math matiques Une approche communautaire et collaborative s av re efficace pour faire avancer de nouvelles id es et rapprocher la recherche et la pratique Il existe de nombreuses fa ons d int grer les ressources virtuelles dans le processus d enseignement apprentissage pour permettre aux ensei gnants d innover dans leurs pratiques et aux l ves de mieux r ussir dans leurs apprentissages Dans cet article nous explorons le logiciel GeoGebra qui renforce les liens entre diff rentes branches des math matiques de fa on dynamique et visuelle en offrant un r le actif l l ve Des exemples analys s dans cet article peuvent tre adapt s aux diff rents contextes du pri maire au postsecondaire Nous discutons galement de l mergence des Instituts de GeoGebra et des r seaux de collaboration et de partage Int grer les TIC en math matiques id es et contextes Comment enrichir les exp riences des l ves en math matiques en renfor ant leur compr hension de concepts abstraits et complexes ainsi que leur capacit de vo
14. amp alg brique de l cran en facilitant les observations et la production de conjectures L tonnante observation pourra amener les l ves se questionner sur les raisons de cette relation En approfondissant leur exploration ils pourront voir le lien entre la somme en question et la hauteur du triangle les deux sont en effet gales ce qui pourrait conduire une preuve plus d ductive et TR er E EEES CAR D SES Fichier diter Affichage Options Outils Fen re Aide Fichier Editer Affichage Options Outils Fen re Aide n T oiz iNe E N 7i RNCS DAPEOSANOBE 1REPeREODANECE Lai Obiets libres x Objets libres x 2 A 0 52 0 54 2 A 052 054 2 B 566 05 3 B 566 05 2 C 308 5 02 2 C 308 5 02 Drue 2 D 312 126 3 D 282 398 H 454 2 92 3 H 454 2 92 P Obiets d pendants E Obiets d pendants E 473 22 9 E 347 436 D F 147 22 F 257 4 12 9 G 313 057 3 G 286 0 57 H 1 8 295 3 H 1 26 2 96 9 a 544 3 a 544 2 b 542 2 b 5 12 2 c 546 2 c 546 D d 2 58x 442 248 D d 258x 442y 1032 distanceDE 1 86 D distanceDE 0 75 distanceDF 19 distanceDF 0 28 distanceDG 0 69 D distanceDG 3 41 5 distanceFD 1 9 distanceFD 0 28 8 2 56 4487 1363 D e 2 56x 4487 2505 D F 544x 0 061 16 11 D 514x 0 067 1473 3 9 186 99 075 Dn
15. aux de variation Ceci permet d illustrer ou de faire d couvrir par l l ve comment la position de la tangente change lorsque la fonction est croissante ou d croissante On pourrait galement observer le comportement de la tangente aux points extr mes Finalement il y a une occasion d explorer la d riv e de la fonction f x comme fonction 13 Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 41 4 3 tudier les sommes de Riemann L exemple suivant tir de la pr sentation de l auteur du GeoGebra au 11 Congr s international sur l enseignement des math matiques illustre la possibilit d explorer le concept de somme de Riemann ext rieure et de somme de Riemann int rieure l aide des rectangles b tis sur chaque subdivision tablissant ainsi une relation entre les deux sommes lorsque le nombre des intervalles de subdivision augmente 12 voir la Figure 7 Au c gep ou en premi re ann e universitaire les tudiants explorent les concepts du calcul int gral Le mod le dynamique pr sent l aide de la Figure 7 leur permet de visualiser et d illustrer par exp rimentation les preuves analytiques vues en classe j GeoGebra figd5_upper_lower_sum_fr gg0 Fichier diter Affichage Options Outils Fen tre Aide A 1 asc D placer LL e D placer ou s lectionner un ou des ot Montrer la somme sup rieure somme sup rieure 2 55 Vi Montrer la somme inf rieure so
16. e rectangle et additionner les aires en tenant compte du signe de la fonction Une facilit de cr er et d utiliser les barres de d filement sliders pour visionner et modifier les param tres continus dans notre cas l incr ment de x de fa on dynamique et interactive augmente le potentiel exploratoire du logiciel Il faudra aussi noter que l existence de plusieurs logiciels de g om trie et d alg bre dynamique Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 46 CABRI GraphEasy Geometer s Sketchpad Cinderella GeoGebra et autres pose aux utilisateurs plusieurs questions de comparaison La comparaison des logiciels dynamiques ne fait pas l objet du pr sent article mais nous pouvons toutefois remarquer un int r t croissant de la part des chercheurs et des praticiens ce sujet 2 Chaque logiciel nous semble avoir quelques l ments sp cifiques qui le rendent unique et utile pour soutenir l apprenant dans une situation concr te Il revient donc l enseignant d examiner diff rentes options et de faire des choix judicieux en se basant sur les besoins particuliers de ses l ves 18 Pour terminer notre analyse rappelons que l approche collaborative et communautaire au d veloppe ment du logiciel entre autres via les Instituts de GeoGebra travers le monde et les outils du web social 2 0 semble tre prometteuse L exp rience en d veloppement professionnel des enseignants et enseignantes acquise par l
17. eurs aller la d couverte du potentiel didactique de GeoGebra R f rences 1 Banville L Blanchard S Bouchard M Blain S Chass C Freiman V Gauvin R Lirette Pitre N et Long B 2009 7 octobre RobotMa TIC L utilisation de la robotique afin d am liorer la r solution de probl mes en math matiques et d velopper la pens e critique Consult le ler janvier 2010 sur http www infobourg qc ca sections editorial editorial php id 14648 Infobourg 7 10 2009 http dmentrard free fr GEOGEBRA Maths accueilmath htm Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 47 12 13 Boileau A 2008 tude comparative de divers logiciels de g om trie dy namique Pr sentation au GRMS 2008 Consult le ler janvier 2010 sur http www math uqam ca _boileau Fichiers GRMS2008 Presentation pdf Depover C Karsenti T et Komis V 2007 Enseigner avec les technologies favoriser les apprentissages d velopper des comp tences Presses de l Universit du Qu bec Dicovic L 2009 Implementing Dynamic Mathematics Resources with GeoGebra at the Col lege Level International Journal of Emerging Technologies in Learning iJET 4 3 Consult le ler janvier 2010 sur http online journals org i jet article viewArticle 784 Freiman V 2008 Exploration des sc narios interdisciplinaires dans le cadre de l acc s direct l ordinateur portable ADOP avec les l ves de 7 e
18. ir des liens entre les diff rentes branches des math matiques et entre les diff rentes applications des concepts Comment d velopper leur go t d apprendre et de r ussir ce qui est pr n par le courant du renouveau p dagogique travers diff rentes parties du Canada et ailleurs Cet article est le fruit d une collaboration amorc e en 2009 par les membres d un groupe de travail sur l apprentissage de math matiques en ligne lors du dernier Forum canadien sur l enseignement des math matiques FCEM Cette rencontre a r uni des math maticiens des didacticiens et des p dagogues de tous les niveaux scolaires primaire secondaire coll gial et universitaire afin de mettre en vidence les besoins en ressources susceptibles d am liorer les apprentissages des l ves et Association math matique du Qu bec Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 34 afin de favoriser l change de pratiques gagnantes Dans un premier temps nous avons constat que la croissance sans pr c dent d Internet et des communaut s virtuelles a permis une production et un partage rapide du mat riel ducatif Le groupe a toutefois remarqu la pr sence de d fis communs qui semblent tre confirm s par les recherches et la pratique Nous avons galement ressenti le besoin d une collaboration troite afin de faire face ces d fis et de proposer des solutions concr tes 16 De nombreux exemples pratiques d int gration
19. lustre le sch ma de l Institut de GeoGebra du Canada voir la Figure 2 eCoordonner les activit s d accompagnement et de Accompagnement formation pour les enseignants et et formation enseignantes dans les coles et les institutions de formation post secondaire D velopper les ressources en ligne et le mat riel reproductible D veloppement et Partager les ressources et les pa rtage pratiques gagnantes Am liorer et tendre le potentiel p dagogique du logiciel G og bra R aliser et accompagner des activit s de recherche portant sur Recherche et Sn bep te de math nat collaboration le math matiques Promouvoir la collaboration nationale et internationale Figure 2 Mission de l Institut de GeoGebra du Canada Dans les sections qui suivent nous pr sentons quelques fonctionnalit s du logiciel ainsi que des exemples de son utilisation dans des contextes divers en arithm tique en alg bre en g om trie en statistique et en calcul diff rentiel et int gral Nous allons galement discuter de la croissance d une communaut d utilisateurs du logiciel r sultat de la collaboration du partage de ressources et du succ s de leur utilisation p dagogique en salle de classe et en mode autodidacte http www geogebracanada org home Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 37 3 Mise en application quelques fonctionnalit s de base Le logiciel Ge
20. mme inf rieure 2 42 v Montrer la diff rence 25 diff rence 0 13 N en p a x Commande Figure 7 Les sommes de Riemann convergentes 4 4 Investigations g om triques avec GeoGebra propri t s d un triangle quilat ral Tout comme d autres logiciels de g om trie dynamique GeoGebra permet de mettre rapidement les l ves en mode d investigation Par exemple en demandant aux l ves de placer 4 points sur le plan de fa on former trois triangles congrus on peut leur faire remarquer que la situation peut tre d crite l aide de 1 six segments dont les longueurs doivent tre examin es pour d terminer la congruence AB BC CD AC AD BD et 2 la disposition relative de points permettant de former des triangles Par exemple en observant la Figure 8 les l ves peuvent constater que les longueurs ne sont pas gales et que les points ne forment pas 3 triangles l aide des outils permettant le d placement des Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 42 objets libres ici tous les 4 points A B C et D il devient possible de modifier la disposition des points ventuellement l aide d essais erreurs les l ves vont trouver une autre disposition telle que pr sent e la Figure 9 Cette disposition satisfait d j la premi re condition les 3 triangles sont form s On peut donc passer la prochaine tape en s occu
21. mment les manipulations d un objet ou d un groupe d objets entra nent des changements dans d autres objets comme le t moigne l exemple analys par Haciomeroglu et coll 8 de changements du volume d un prisme triangulaire comme r sultat de changements de ses dimensions Notre exemple des sommes de Riemann Figure 7 a t comment par Hohenwarter et coll 12 comme permettant aux l ves de modifier le nombre de rectangles et de voir comment les sommes changent simultan ment dans un contexte dynamique Les possibilit s d exp rimentations et d investigations illustr es dans notre 4 exemple ont t exa min es entre autres par Gironce et Martin 7 qui soulignent l importance de d velopper une attitude de chercheur en math matiques permettant de red finir les objets tudier de modifier les r gles les donn es et m me la question pos e Depuis le travail de l quipe CABRI les chercheurs pr nent la d marche d butant par la manipulation directe suivie de l engagement direct avec la version IT et ses nombreux raffinements Les logiciels d acc s libre et gratuit comme GeoGebra vont dans ce sens ce qui permet l l ve de manipuler d observer d mettre une conjecture pour par la suite essayer de la valider de fa on exp rimentale et d ductive Finalement les auteurs citent Mich le Artigue qui pr sentait la g om trie dynamique comme le nouveau paradigme de l enseignement de la g
22. oGebra peut tre utilis en mode direct en ligne comme un module virtuel applet Java ou il peut tre t l charg gratuitement partir du site Web http www geogebra org en wiki index php French et install sur le disque dur d un ordinateur Lors du lancement l cran est divis en deux parties celle de droite repr sente les objets g om triques points figures syst mes de coordonn es celle de gauche les d crit alg briquement l aide de symboles et de nombres formules coordonn es comme le pr sente la figure suivante voir la Figure 3 GeoGebra malle Fichier diter Affichage Options Outils Fen tre Aide A D placer a R 3 LA x On pecl p D placer ou s lectionner un ou des abjets Ctrl Raccourci Esc x Objets libres x al E A 1 64 1 34 B 4 14 2 86 4 Objets d pendants a 1 52x 2 5y 0 86 Saisie y 2x 5 3 a x Commande x Figure 3 Deux parties de l cran deux modes de repr sentation Les champs de bas d cran permettent d entrer et de saisir une formule par exemple une quation en fournissant diff rents types d aide Plusieurs outils sont disponibles pour ajouter de nouveaux objets manipuler des objets de fa on dynamique et changer des param tres de repr sentation par exemple on peut enlever le syst me de coordonn es ou afficher juste une partie de l cran Finalement un menu standard en
23. ol XLIX n 4 d cembre 2009 40 te GeoGebra Rate of change 1 8b Fichier diter Affichage Options Outils Fen tre Aide A D placer p e r 3 Sile ABC D placer ou s lectionner un ou des abjets Ctrl Raccourci Esc 3 a 11 Objets libres ra a 11 f x sin x O h 148 Objets d pendants A 1 1 0 89 Pente de la tangente 0 45 h 1 48 Pente de la s cante 0 24 3 9 B 2 58 0 53 O pente 0 24 s cante 1 52 tangente y 0 45x 0 3 x a x Commande El Figure 5 Visualiser le taux de variation instantan de la fonction sinus En manipulant la valeur du param tre a repr sentant l abscisse du point du graphique de la fonction les l ves peuvent observer une relation entre la disposition de la tangente et la position du point voir la Figure 6 1 GeoGebra Rate_of change 1 8 Fichier diter Affichage Options Outils Fen tre Aide f A amp e D placer LR e Fa 3 e Ie D placer ou s lectionner un ou des abjets Ctrl Raccourci Esc A Objets libres a 19 fix sin x h 1 04 4 Objets d pendants A 1 9 0 95 B 2 94 0 2 O pente 0 72 s cante 1 28 tangente y 0 32x 1 4 25 Pente de la tangente 0 32 ente de la s cante 0 72 M commande A Figure 6 Changement dynamique de la pente de tangente selon les t
24. ongueurs soient presque gales par exemple BC 5 03 CD 5 01 La recherche d une solution accessible m me aux l ves du primaire permet l enseignant de mettre l emphase sur la d couverte de relations dans la configuration finale lorsque les 3 points B C et D forment un triangle quilat ral et le 4 point A est le centre du cercle circonscrit au triangle BCD voir la Figure 9 Cette observation peut tre approfondie au secondaire et au coll gial en complexifiant les relations et les propri t s g om triques qui d coulent de la situation investigu e Une discussion pourrait tre organis e entre les l ves sur la n cessit d une preuve formelle pour d montrer la congruence et pour tablir que le triangle BCD voir la Figure 9 doit tre quilat ral L approche exp rimentale pourra ainsi tre appuy e par la th orie en mettant des d couvertes l preuve par une logique d ductive Une fois la solution trouv e l investigation pourrait se poursuivre avec un probl me nouveau soit l tude de la somme des distances d un point chacun des c t s du triangle quilat ral ABC voir la Figure 10 En demandant aux l ves de faire d placer le point D l int rieur du triangle on peut les amener observer que la somme de ces distances est la m me peu importe la position du point D une d couverte surprenante et pas vidente Les longueurs et les sommes en question apparaissent dans le ch
25. onte m0 r e 4e D siscer D giacer su s tectenner un ov ses cmjetsiCutt N qe Ghtncer Odoacer oo ntemmer un ou ons sayatsican BE 3 A 4 Hi Ou c pendes 2 2 Mae A qe LS qu 28 LEP x Figure 4 Barres de changement dynamique de valeurs des param tres a b et c Chacune des trois barres horizontales contenant un point flottant permet de modifier dynami quement les valeurs de chaque param tre a b et c de la fonction Elles sont repr sent es par des points sur les segments de droite respectifs dans la partie droite de l cran l aide d un curseur les points peuvent tre d plac s en modifiant ainsi leurs valeurs num riques Le graphique sera trans form en cons quence et l l ve pourra faire des explorations observer mettre des conjectures et les tester L enseignant peut aussi utiliser l exemple pour faire des d monstrations et organiser des dis cussions en grand groupe Les recherches d montrent que ce type d activit s pourra aider les l ves construire une compr hension dynamique et exp rimentale des relations entre les param tres et le comportement de la fonction 4 2 tudier les taux de variation d une fonction Le but de l exemple pr sent sur la figure suivante est de cr er un environnement d apprentissage pour explorer la variation de la droite tangente en un point de la fonction voir la Figure 5 Bulletin AMQ V
26. pant des distances AB AC et AD Ge0Gebra Atrianple 2 ppb m1 ED Qi Fichier diter Affichage Options Outils Fen tre Aide HOKEJ s J J a J D placer ou s lectionner un ou des objets Ctrl Raccourci Esc e IABI 4 74 JACI 4 71 JADI 7 85 IBCI 7 18 IBDI 6 09 ICDI 5 86 Saisie fe M a m commande el Figure 8 Faire d placer les points A B C et D pour former trois triangles congrus E GeoGebra 4triangle ggb p i File Edit View Options Tools Window Help ETILA x em x ABC Er Move o lad Drag or select objects Esc IADI 2 81 JACI 2 95 IABI 2 92 ICOI 5 01 IDBI 4 99 1BCI 5 03 I input a a v Command Figure 9 Propri t s et relations g om triques en mouvement Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 43 Pour quilibrer les longueurs jusqu ce que les triangles BAC CAD et BAD soient congrus il faudra que l l ve d couvre le besoin de synchroniser les mouvements d au moins deux points La strat gie essai erreur pourra mener au r sultat d sir mais il est fort probable que les l ves commencent d velopper des strat gies plus efficaces en r alisant que l galit des longueurs AB AC et AD devrait tre combin e avec celle des longueurs AB BD et CD Il se peut que les l
27. ptions disponibles dans la barre d outils voir les boutons sur la Figure 3 Leur utilisation ne pose g n ralement pas de probl mes techniques m me pour les l ves Les fonctions se d finissent l aide de la barre de commandes en bas de l cran voir Figure 3 en suivant la syntaxe requise Cela peut parfois causer des probl mes car la syntaxe peut diff rer de celle utilis e en format livre ou papier crayon Le syst me d aide interactive lorsqu on tape une commande permet g n ralement de franchir ces obstacles sans difficult L op ration de changement de param tres d une fonction se simplifie l aide de l utilisation de segments de droite sliders sur lesquels un point flottant libre se d place en attribuant aux variables des valeurs l int rieur d un intervalle num rique choisi Finalement pour faire des constructions plus complexes exemple des sommes de Riemann GeoGebra poss de un vaste choix de fonctions int gr es qui permettent de raccourcir le travail de programmation 4 1 Explorer les param tres d une fonction Prenons l exemple de la fonction f x a x b x c dans sa forme g n rale et donnons nous la t che d tudier son comportement selon les valeurs concr tes des param tres a b et c En explorant cette fonction polynomiale du 3 degr on peut amener l l ve d couvrir que le changement des valeurs des param tres a b et c entra ne des changements dans diff
28. t G amp Gadanidis G 2010 para tre Online Learning Collaborative Mathematical Exploration Working Group Report Canadian Mathematics Education Forum Canadian Mathematics Society Vancouver Canada CMEF 7 Pallascio R 2003 L Agora de Pythagore une communaut virtuelle philosophique sur les math matiques In Taurisson A et Senteni A Dir P dagogies net L essor des communaut s virtuelles d apprentissages Presses de l Universit du Qu bec pp 193 210 18 Ruthven K 2008 The Interpretative Flexibility Instrumental Evolution and Institutional Adoption of Mathematical Software in Educational Practice The Examples of Computer Al gebra and Dynamic Geometry Journal of Educational Computing Research 39 4 379 394 Auteurs Viktor Freiman viktor freiman umoncton ca Dragana Martinovic dragana uwindsor ca Zekeriya Karadag zekeriya bilelim net Bulletin AMQ Vol XLIX n 4 d cembre 2009 49
29. t 8 ann es In Theis L Dir Ensei gnement des math matiques et interdisciplinarit Actes du colloque du Groupe des didacticiens des math matiques du Qu bec Universit de Sherbrooke 22 23 mai 2008 p 89 96 Freiman V V zina N et Langlais M 2005 Le chantier d apprentis sages math matiques interactifs CAMI accompagne la r forme au Nouveau Brunswick Math matique virtuelle l attention du primaire Consult le ler janvier 2010 sur http spip cslaval qc ca mathvip rubrique php3 id rubrique 18 Gironce M et Martin Y 2009 La d marche d investigation et les TICE une oppor tunit pour l inventivit Math maTICE Int gration des TICE dans l enseignement des math matiques 9 mars 2008 Consult le 1er janvier 2010 sur http revue sesamath net spip php article130 Haciomeroglu E S Bu L Schoen R C et Hohenwarter M 2009 Learning to Develop Ma thematics Lessons with GeoGebra MSOR Connections 9 2 Consult le ler janvier 2010 sur http www mathstore ac uk headocs 9224 haciomeroglu e etal geogebramathlessons pdf Hohenwarter M 2002 GeoGebra Ein software system f r dynamische Geometrie und Alge bra der ebene Master thesis University of Salzburg Hohenwarter M 2006 Dynamic Investigation of Functions Using GeoGebra Proceedings of Dresden International Symposium on Technology and its Integration into Mathematics Educa tion 2006 Dresden Germany DES TIM
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