Aborder des problèmes avec la calculatrice Fx
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1. simplify S B 0 L x 1 a v x 2 x 1 2 x 2 1 2 andel K X K N K N 2 2x 2 2x A K N k vix 1 2 0x 2 2x 2241 v x 1 2 x 2 X x 1 angle W X xllx l Cx l ex Ed W E T Alg Standard R el Red Alg Standard R el Rad Alg Standard R el Rad Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 6 Capture 2 4 On trouve directement que les diagonales se coupent en leur milieu Ce qui confirme le centre de sym trie de la figure de d part Notre quadrilat re est un parall logramme Capture 2 5 les diagonales ont la m me longueur Ainsi nous avons la preuve que ce parall logramme est un losange Capture 2 6 comme les diagonales sont perpendiculaires le produit scalaire nous le confirme ce losange est bien un carr Ainsi pour notre questionnement 1 nous avons la preuve que si M est mobile sur AB les centres des carr s d finis forment un carr 84 2 Edit Action Interactif simplify ans Va 2x2 2x4 1 2 simplify ans Ax 2 42 2 Alg Standard R el Rad Calcul de l aire du carr KLNO 2 Edit Action Interactif amp Fich Edit Aff Trac solve ans 0 Alg Standard R el Capture 2 8 tTrerino Rad Capture 2 9 le calcul des coordonn es du vecteur OK permet de trouver l aire du carr 2x2 2x 1 2 un travail rapide sur la d riv e de l aire en fonction de2. Capture 3 4 Capture 3 4 la possibilit de d placer le parall logramme ABCD initialement dessin permet rapidement de conjecturer sur la nature de ce quadrilat re EFGH D monstration amp Fich Edit Aff Trac ro larihi Capture 3 5 Une d monstration rapide peut tre propos e suivant le m me sch ma que pr c demment La mise en place d un parall logramme ABCD permet de d finir un rep re non orthogonal d origine A tel a o C CG 2Co O m et n repr sentent les dimensions du parall logramme que 87 2 Edit Action Interactif Edit Action Interactif Edit Action Interactif E G 2 Alg Standard R el Capture 3 6 Capture 3 6 Capture 3 7 Capture 3 8 Rad Alg normivectEF gt EF Y ds m n 2 2 F1 H 72 m n 2 2 m n 0 3 3 m nf 0 m n g ta ton angle m n 0 0 m n Standard R el Rad Capture 3 8 Standard R el Rad Alg Capture 3 7 le fait d utiliser un rep re non orthogonal permet d avoir des coordonn es simples Notons que la lettre F est affect e dans la calculatrice du coup le point F sera nomm F1 Ainsi n m m gl 2 ril 2 Vol Z eHl 2 n 1m n _m 2 LE 2 2 nouveau on trouve que le quadrilat re EFGH est un carr car ses diagonales ont la m me longueur se coupent en leur milieu et forment un angle dro
3. R currence Explicite n l E sint Her 2 pe Gr J bn E T CnE 0 anE sin 1 1 i C17 2 2 i n i an E 292 17 207 GTF 322 64 391 11 391 15 Deg R el Capture 3 4 Capture 3 4 an Esg sin t 1 07 1 2 1 EG af uer JE On GS e 292 307 6 Sad G 337 391 15 364 78 BE o O 364 7183442348795 Capture 3 5 que les nombres entiers du domaine de d finition Capture 3 5 Capture 3 6 au centre de chaque triangle construit 17 X amp Edit Type nan n E sin l Ren Vil anE X sin 1 1 0 71 21 n an E Dfrnce 241 435 209 948 276 16 779 292 307 dAd Capture 3 6 nous pouvons utiliser le mode suite pour la d finir plus proprement en n exploitant il est d ailleurs possible de faire appara tre le tableau des valeurs et sur celui ci d y faire figurer les diff rences Ainsi nous pouvons retrouver l angle Escargot de Cyr ne Questionnement 2 version CAS et r solution d quation le cas du 17 triangle Dans le probl me historique le triangle est rectangle isoc le Le rapport entre les c t s de l angle droit est 1 Le tour complet n est pas r alis pour 360 pr cis ment Essayons de trouver un rapport R permettant d aboutir dans un nombre raisonnable de triangles une spirale aboutissant exactement un tour complet Attention nous devons garder des constantes de r p
4. ANAL sheet heet sneett Sheet sheetd xt 1 aeP tecos ti pP t sin 0 ytl Par J ean Philippe Blaise CASIO WWW i casio education fr Introduction Quelques mots pour vous pr senter ce manuel d di la Fx CP400 nouvelle calculatrice graphique formelle de la gamme CASIO Dans un premier temps pr cisons que ce manuel n est pas un mode d emploi de cette calculatrice Son but est de susciter l envie d explorer quelques pistes math matiques et la calculatrice permettra l illustration de certaines via ses nombreuses possibilit s J ai pris la libert dans ce manuel de ne pas d tailler ni les manipulations de la calculatrice ni les nombreuses d monstrations qu offrent mes questionnements charge au lecteur d y investir quelques instants pour s impr gner de l id e sous entendue dans chacun des questionnements propos s Les avanc es techniques de la Fx CP400 ainsi que son cran tactile permettent d ouvrir un champ des possibles que nous n avons plus l habitude d exploiter dans des probl mes math matiques pourtant souvent classiques Ainsi d s le premier chapitre l escargot de Cyr ne nous offre la possibilit de le travail ler dans diff rents axes TICE autant dans le calcul direct dans le calcul formel qu en pas sant par le tableur ou la g om trie dynamique La calculatrice sera un support unique pour s ouvrir ses diff rentes exigences techniques Il sera agr
5. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t En utilisant la repr sentation graphique de h donner une valeur approch e de celle ci puis estimer la hauteur du plant Edit Graphique amp Edit Action Interactif SONO v22 h x Feuillet Feuille2 Feuilles 73 6 1y21 e Ped 0 02 BE M y22 h x 23 0 fix f Oy simplify ans approx ans Alg Standard Cplx Deg Capture 4 1 Capture 4 2 Capture 4 3 Capture 4 1 il est possible de faire repr senter le tableau de variation de la courbe repr sentative de la fonction h x On y visualise le fait que la d riv e seconde s annule pour une abscisse d environ 73 6 Capture 4 2 la demande de la recherche des points d inflexion de la courbe le confirme Capture 4 3 un calcul direct permet de conclure Environ 0 99 m pour le 73 jour o la croissance semble maximale T3 2 Edit Action Interactif 2 Fich Edit Ins Action ee Tee IT eee see F Sujet Pondichery 2013 Bac S F d 38e dt 3 7 define padesi sl 25 al 19 e 25 1 2t t EN 29 7220 49 tanline f x x 73 x 3 el 25 419 ME ET 380 9 72207 3 let t 25 n 19 solve t 73 61097448 Alg Standard Cplx Deg Capture 4 4 Capture 4 5 Capture 4 3 Capture 4 4 la d riv e seconde permet de trouver ce point via le calcul On trouve une valeur exacte qui confirme la valeur approch e pr c dente t 251n 19
6. Questionnement 2 78 Un cas particulier questionnement 1 De la g om trie dynamique l analyse Dans un premier temps nous allons construire la figure pour avoir la possibilit de visualiser ce quadrilat re Mode dynamique et animation d un point mobile amp Fich Edit Aff Trac Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac en E El er E x Bee contraintes Tout montrer Style Propri t s Anim Ajouter Fre Coup Remplacer Animation Copie Trac Colle Editer Animations Tout Lancer une fois Suppl Lancer plusieurs fois Tout Lancer et de Arr ter Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 la cr ation du segment AB peut tre d finie de plusieurs fa ons Nous choisissons ici d imposer les coordonn es des points A et B Capture 1 2 comme le point M est mobile sur le segment AB nous d finissons animation de ce point en cliquant sur Remplacer Animation Capture 1 3 dans le menu Affichage il est possible de faire appara tre une barre de d filement qui d placera le point M notre guise sur le segment AB via l onglet Animation Ul 79 amp Fich Edit Aff Fracs amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac Capture 1 4 Capture 1 5 Capture 1 6 Capture 1 4 une analyse pr alable de la figure construire permet de d montrer l utilit d un centre de sym trie Nommons le I Il sera
7. 15 x2 28 x 12 30 Alg Standard R el Deg Capture 1 8 Capture 1 6 nouveau il est ais de remplacer dans l historique du calcul pr c dent la d finition de la fonction f Capture 1 7 nous retrouvons deux solutions distinctes qui nous rappellent pourquoi une quation produit est li e une quation du second degr Capture 1 8 on retrouve les r ponses propos es via le calcul du discriminant et la formule r duite du polyn me La fonction solve nous confirme ces r sultats 54 Exemple 3 Cas d une quation n ayant qu une solution R soudre f x 0 sachant que amp Edit Action Interactif MESSE 020 Clear _a_z define F x 2x2 fc Or UTE op F 1 H 1 2000 2 b 4xaxeddise Alg Standard R el Deg Capture 1 9 2 Edit Action Interactif MIF J sh Helie 2 bi dkakc dise b disc Ja ssoll alx 16 Ax 3 g fr solve f x Alg Standard R el Deg Alg Standard R el Deg Capture 1 10 Capture 1 11 Capture 1 9 la barre de d filement droite de l cran permet de reprendre le calcul au d but Capture 1 11 pour un discriminant nul les deux solutions sont gales La fonction solve n affiche forcement qu une solution du coup 3 Exemple 4 Cas sans solution r elles R soudre f x 0 sachant que Edit Action Interactif Edit Action Interactif Clear _a_z P To dise 3591 Ea define f x 3 1 ERREUR Calcul non
8. 2 820 920200 e2 225 292 ei E3 81 61657048 Capture 2 12 15 278 209 338 715 6804210 017 15 25751325 mA jl LEE 131 i amp Fich Edit Graph Calc rl 617 or 5 2 207 0387138 052 24 6243163 277 een 8 2 8 20 9248 206 821 er oOo B 18 2100 2100 244 502 3 5 5116 6015278 209 MA 210 roman 20 5 6804 10 017 TI 281102070225 274 16 3 914 8572 3572310 31 076204 0 18 T B L v X Capture 2 13 Capture 2 11 la formule utilis e pour transformer le tableau pr c dent est simplement fRound 10 VB2 A2 0 10 O fRound nb d retourne Varrondi du nombre nb avec d chiffres apr s la virgule Capture 2 13 ne se fait plus en 364 78 mais en 368 73 14 l arrondi au dixi me apporte une marge d erreur non n gligeable Le tour complet 2 Fich Edit Graph Calc eie m 15 984745 984 36 031981 616 30111 61 7 0357138 65 1 6243 163 27 2 6199185 89 8 0 jet G5 Lu 57 l bi DIN NI EE j Hi Bl up ft 1 gt bb bo M z nr 0 9248206 82 9 4712 226 29 8 2100 244 50 T 1046 261 60 6 6015 278 20 6 1276 294 33 9 6804310 01 3 3 b a b ba be Hu Qu G0 b b Hs Hi ar Su QT fn up de b J 20199290 AT 1 8572340 13 1 47753954 60 4 114 1170 368 7 I O
9. de ne pas r pondre cette question En voici quelques pistes Le premier programme permet simplement d initialiser les 100 premiers termes des listes utiliser Capture 4 8 puis inutile de chercher un triangle pour des carr s parfaits Capture 4 9 enfin il nous faut g rer deux algorithmes l un qui cherche des hypot nuses valeurs enti res et l autre l un des cath tes Le tout sans surco t d nergie pour la machine Si dans la liste un calcul a d j t trouv inutile de refaire une recherche L association des diff rents modes de la calculatrice permettra d avoir en mode statistique le r sultat final recherch A vos machines 39 Notes personnelles 40 Somme de deux d s Int ressons nous la somme de deux d s Il existe des d s ayant une particularit leur somme la m me probabilit qu avec des d s classiques Ceux sont les d s de Sicherman dont voici ci dessous la forme d velopp e O 0 O O Oserions nous les utiliser la place des classiques O O 000 O O 0O00 000 Oo O O Un point de vue en probabilit Comparons les diff rents cas entre les d s classiques et les d s de Sicherman via le tableur pour avoir une repr sentation en tableau crois Et recherchons quelle est la somme ayant la plus forte probabilit d tre tir e Questionnement 1 Un point de vue en exp rimentation Attachons nous faire de ce tirage al atoire un
10. titions savoir e Chaque triangle rajout sera un triangle rectangle e Le c t oppos l angle au centre sera unitaire Edit Action Interactif amp Edit Action Interactif 2 Fich Edit Aff Trac Ea amp Alg Standard R el Deg Alg Standard R el Deg Capture 4 1 Capture 4 2 Capture 4 3 Capture 4 1 dans le mode CAS un travail autour de la propri t de Pythagore permet de retrouver les hypot nuses respectives Capture 4 2 il sera possible d affecter la longueur R du premier triangle ici et de les faire exploiter dans le mode de g om trie dynamique de la calculatrice Capture 4 3 ainsi pour un rapport R donn l escargot de Cyr ne aura une forme plus ou moins ferm e sur lui m me 18 Fich Edit Aff Trac EI Capture 4 4 Capture 4 4 ici toujours pour R 2 on retrouve un escargot de 17 triangles qui ne se referme pas du tout sur lui m me Du coup il serait int ressant de retrouver le rapport ad quat qui approche au mieux les 360 Notons l angle au bout de la 17 construction 17 mo an 17 sin gr gr R i 19 Mode de r solution num rique d quations e Edit R solution hf riour 954999 Sup rieur 9e 999 ar R solution Bao en OR IMC PEU Inf rieur 9e 999 Sup rieur 9e 999 Capture 4 7 Capture 4 5 Capture 4 6 Capture 4 5 passons dans le
11. 1 JA B 1 FasSolve Positive T T 0 0998737 T T 0 3293929 T 0 5282149 T 0 7124869 T 0 8887907 T 1 0603195 T T 1 2287912 T T 1 3952011 T T 1 5601600 ae m hang pm mie LR _8 KEN ul T hadet GA ml ca GT a GA Ds Capture 5 13 Capture 5 13 ainsi en copiant collant la ligne pr c dente Il est possible de faire calculer les diff rentes configurations recherch es 21 Pour aller plus loin Que pouvons nous affirmer des valeurs trouv es Un travail sur la marge d erreur r p t e dans le calcul permet de conclure que rien n affirme que la valeur trouv e num riquement est bien la valeur exacte recherch e Il est simplement possible de s accorder sur le fait que pour chaque nombre de triangles voulus une bonne valeur existe et une belle approximation est propos e par la calculatrice triangles pour R Capture 5 14 Pour un triangle de d part rectangle mais non isoc le avec un rapport d environ 1 56 une construction g om trique arrive au bout de 20 triangles un escargot se refermant sur lui m me 28 Racine carr e d un nombre entier L escargot de Cyrene vu pr c demment va nous permettre d engager une r flexion sur la notion de racine carr e Il est possible en r p tant cette construction spiral e de f
12. 2 2 De par la trigonom trie nous savons se HG sin HFG FT DEE HG mes HFG sin 75 HFG sin Soit 1 mes HFG sin p mes HFG 45 10 Capture 2 3 Nommons chaque triangle pour engager ce travail de r p tition Ainsi le triangle T repr sentera le i i me triangle de la construction Dans ce cas pour ce triangle nous aurons L hypot nuse du triangle T H y1 L L angle au centre de l escargot pour le triangle en question 1 A sin H me La mesure totale des angles construits au i triangle l M n n 1 Le tableur proprement dit Il permet de retrouver la valeur de l angle form par l escargot en fonction du num ro du triangle Notons que les colonnes vont utiliser une valeur approch e bien proche de la r alit Du coup nous allons voir appara tre pour les radicaux de carr s parfaits les valeurs ad quates Un travail ult rieur sera envisageable pour montrer l utilit dans un calcul r p titif de travailler avec les valeurs exactes amp Fich Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc 0 5 A 0 5 le Jar 7 1 Jin JE r e Jar ves Jin 2 1 414221 4 45 Eg 2 30 110 264 26 5651 136 RER 1 2 449492 64575 EE 12 645752 82843 8 12 82843 20 ER 2 1 82843 ER 19 4712
13. Capture 4 5 le menu e activity permet de g rer une progression dans la r solution d un probleme et d y associer des lignes sp cifiques ici par exemple nous demandons la construction de la tangente la courbe au point d abscisse 73 Capture 4 6 on retrouve par agrandissement de la zone de l cran le fait que la courbe passe de l autre c t de sa tangente 76 Carr de Th bault Un cas particulier Souvent dans les probl mes de math matiques nous avons des conditions particuli res du type soit un parall logramme non aplati Comme il est difficile de justifier ce type d vidence alors voici un questionnement permettant d obtenir par la suite la rupture ad quate Soit quatre carr s positionn s de part et d autre d un segment unitaire tel que leurs dimensions sont les m mes deux deux Leur centre forme un quadrilat re Montrons que quelle que soit la longueur la longueur x comprise entre 0 1 le quadrilatere repr sent en jaune est bien un carr Et retrouvons l aire de celui ci en fonction de la longueur x Questionnement 1 sf Th or me de Th bault Le segment unitaire pr c dent n est en fait qu un parall logramme aplati Nous allons en d duire la configuration suivante Soit un parall logramme quelconque Si on construit les carr s ext rieurs au c t du parall logramme on peut affirmer que leurs centres forment aussi un carr D montrons ce th or me
14. Question 3 1 V rifier que 220 046 h t pour t appartenant l intervalle 0 250 e9 04t 19 Edit Action Interactif Edit Action Interactif Edit Action Interactif ES EVE a Jee 25 2 t e2 19 19e 2 1 simplify ans 260 04t 20 04t t eu 25 16 simplify ans simplify ans 20 04t je 0 04t Alg Standard Cplx Deg Alg Standard Cplx Deg Alg Standard Cplx Deg Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Captue 3 1 lorsque l on regarde l expression recherch e ainsi que la fonction h t il semble utile de travailler sur des fractions gales en multipliant num rateur et d nominateur par t e25 Captue 3 2 la diff rence entre h t et l expression donn e aboutit z ro Il y a bien l galit recherch e Captue 3 3 on retrouve la piste envisag e dans cette premi re capture d cran 12 2 Montrer que la fonction F d finie sur l intervalle 0 250 par F t 50ln e 4t 19 est une primitive de la fonction h 2 Edit Action Interactif La i Action Interactif Edit Action interactif Etg es eue HERO EVE define EEE 04t 19 a DEEE VEN F t 25 le 25 FC 5p 2025 i E Alg Standard Cplx Deg Alg Standard Cplx Deg Standard Cplx Deg Capture 3 4 Capture 3 5 Capture 3 6 Captue 3 1 faisons calculer directement l int grale
15. Sol1 Ecrire b racine delta 2a Ecrire Sol2 Ecrire b racine delta 2a Sinon Si delta 0 Ecrire Une solution Ecrire b 2a Sinon Ecrire Pas de solutions r elles Fin de condition Sinon Ecrire cette fonction n est pas un polyn me du second degr Fin de condition 60 Programmation proprement dite MENU E S Div x E S x N BI Elo ss x 83 nt Comm InputStr Sortie nn Print nication InputFunc Affichage Affichage Locate GetKey Trac f 0 Trac Message no tu E GetPen Dessin Dessin PrintNatural Syst me Effacer so SE Effacer Communication Communication Coul Coul Editeur Programme Editeur Programme Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 1 allons dans le mode Programme de la calculatrice Capture 3 2 il est possible de saisir en entr e une fonction via la commande nputFunc Capture 3 3 la commande de sortie Print affichera les valeurs trouv es savoir les coefficients r duits ainsi que le discriminant et les solutions si elles existent Blatti Blatt Eletts Blatta Batts time cosit xtZ arcos tt asain it vise i ti 61 InputFunc f x f 0 gt c f 1 f 1 2 gt b f 1 f 1 2 f 0 2 a CirText Print f x Print Les coefficients r duits sont pour ax 2 bx c 0 Print a Print a Print b Print b Print c Print c Print Le discriminant est b 2 4 a c gt
16. ainsi aussi le milieu de AB Capture 1 5 dessinons le premier carr Une perpendiculaire passant par A et un cercle de rayon AM sont n cessaires Capture 1 6 de m me pour le second carr Nous avons donc les carr s AMGF et MBIJ de construits Avec par l nonc AM x Edi amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac Annuler R p ter SE annuler contraintes Tous montrer EDS t s Cach Eee Afficher Nom Couper Cacher Nom Copier Avant Coller Arri re Tout s lectia Tout txt Supprimer Tout effacer Capture 1 7 Capture 1 8 Capture 1 9 Capture 1 7 s lectionnons les droites et cercles cacher Capture 1 8 en utilisant les segments nous pouvons finir la construction des carr s 80 Capture 1 9 le centre I de sym trie de la figure permet de finir la construction rapidement amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac Capture 1 10 Capture 1 11 Capture 1 12 Capture 1 10 Tra ons le quadrilat re KLNO constitu des centres des quatre carr s Notons que le centre d un carr est d fini par le milieu de l une de ses diagonales Dans le menu dition il est possible de d finir le style de ce quadrilat re par exemple pour le colorier en jaune comme ici Capture 1 11 en s lectionnant les angles on peut v rifier que ce quadrilat re semble tre un rectangle Capture 1 12 les longueurs nous
17. b v disc 22 gt soll v41 3 w Alg Standard R el Deg Capture 1 3 2 Edit Action Interactif IVII TV TT 2 i sh DL Ets b dxaxeddise by dise 3 SE 95911 Alg Standard R el Deg Capture 1 4 2 Edit Action Interactif Ea br ikame y y Pa RL ATEN LS GIOT a 4 b dxaxesdise 41 g LOSC 9591 v41 3 b disc Ja Ssol2 vV41 3 8 solve F x la Alg Standard R el Deg Capture 1 5 Pour r soudre une quation du second degr en gardant l esprit de la fonction il suffit de la d finir puis d incr menter les coefficients et de faire calculer les solutions Capture 1 3 sa forme r duite ainsi que son discriminant Capture 1 4 Capture 1 5 les deux solutions apparaissent d finissons nouveau f x Les calculs permettent de retrouver ses coefficients pour attention la fonction solve de la calculatrice donne directement la r ponse La d marche recherch e ici est d obtenir le calcul du discriminant et le d tail des solutions 53 Exemple 2 Cas non r duit d une quation produit R soudre f x 0 sachant que Edit Action Interactif CRIER fa v fr Pr Ces D define fx guts IUGXtz done FO HI HC ARQ 2a b dxaxesddise Alg Standard R el Deg Capture 1 6 TOME IEH ra b 4xaxesdise b v disc za soll disc 2a ssol2 Alg Standard R el Deg Capture 1 7 simplify i
18. confirment que KLNO semble tre un carr A nous de le d montrer Capture 1 13 Capture 1 13 En lan ant animation du point M on constate que KLNO garde ses caract ristiques La g om trie dynamique n apporte pas une preuve mais illustre la d monstration suivante 81 D monstration questionnement 1 le cas particulier du segment LK 0 55 LN 0 55 d 90 00 F e Pour d montrer que le quadrilat re jaune est bien un carr Mettons nous dans un rep re orthonorm avec alo eCo 2 82 2 Edit Action Interactif Edit Action Interactif Edit Action Interactif lol Las 1 x 2 far x 1 z Alg Standard R el Rad Alg Standard R el Rad Alg Standard R el Rad Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 Dans le mode Principale posons les coordonn es des points en question Capture 2 2 notons qu il est possible de calculer les coordonn es d un milieu implement via la formule combinant les coordonn es des extr mit s Capture 2 3 par lecture de la figure on retrouve rapidement les coordonn es des centres La fonction simplify permet directement d avoir la forme simplifi e d un calcul On trouve ainsi x X 1 1_ Ear K i L kr i N E k etO kr 2 2 2 2 83 2 Edit Action Interactif Edit Action Interactif Edit Action Interactif aftr See ef vr r aff ry LE Le aff fr RL
19. de h t h t dt 50In e t 19 Capture 3 2 le travail attendu est un calcul de la d riv e de la fonction F que l on aura bien entendu v rifi e comme tant continue sur le domaine de d finition On retrouve bien F t h t Capture 3 3 les d riv es des fonctions usuelles permettent d aboutir la r solution de la question 73 3 D terminer la valeur moyenne de h sur l intervalle 50 100 En d duire une valeur approch e au centi me et interpr ter ce r sultat Edit Action Interactif Edit Action Interactif F t Feuille Feuille2 Feuille3 Feuille t i y21 4x 50 In e 2 19 GE Mv22 hix FC100 F 60 v23 0 J y24 O ELT 1y23 1 50 Infe 19 50 In e 19 50 simplify ans 50 m 19 072 1 50 m 194 50 simplify ans mm e2 19 1 025670508 Alg Standard plx Alg Standard Cplx Deg Capture 3 7 Capture 3 8 Capture 3 9 Capture 3 7 le calcul de la valeur moyenne est donn e par F 100 F 50 100 50 Capture 3 8 on peut trouver la valeur exacte de ce calcul de moyenne via le calcul int gral de la calculatrice e e 19 aleur mo In Y 50 100 FORENT Capture 3 9 un travail autour de l aire sous la courbe permet d aboutir aussi la m me r ponse La valeur moyenne est de 1 03 m 74 Question 4 On s int resse la vitesse de croissance du plant de mais elle est donn e par la fonction d riv e de h
20. me en question Questionnement 3 SI R solution via le mode CAS questionnement 1 Ou comment retrouver les coefficients d un polyn me non r duit Dans un exemple classique pour r soudre l quation du second degr suivante ax br c 0 O a b et c sont des nombres donn s II suffit de commencer un algorithme de la sorte 2 Edit Action Interactif DR ma v v Clear a z define f x axx bxx c f 0 FC1 C1 2 f 1 f 1 2f 0 2 b 4xaxeddise Alg Standard R el Deg Capture 1 1 2 Edit Action Interactif DO EN D b 4xaxesdise b 4 2 6 h solve f x X kai Alg Standard R el Deg Capture 1 2 Capture 1 1 D finissons la fonction ad quate directement Il est possible de se convaincre d un choix strat gique pour le calcul des coefficients a b c se ramenant une quation du second degr classique du type ax bx c 0 Capture 1 2 dans le mode CAS le pivotement de la fen tre est possible pour obtenir une meilleure visibilit des r ponses et des calculs en cours Si f x est de la forme d un polyn me du second degr la recherche des coefficients pour sa forme r duite est donn e par c f 0 AU 2 JO JCD 20 2 52 Exemple 1 cas r duit R soudre f x 0 sachant que f x 4x 3x 2 Edit Action Interactif ES EUR EPA define f x 4x 3x 2 f 0 3e FUD sb FDA QU SRE AG b Axaxesdise
21. qu faire afficher la cha ne constitu e 65 Notes personnelles 66 Le plant de Mais D apr s le sujet de BACS 2013 de Pondich ry On s int resse l volution de la hauteur d un plant de mais en fonction du temps La hauteur est en m tres Apres mod lisation on obtient la fonction logistique suivante a h t 1 be 0 04t avec a et b des constantes r elles et positives et t la variable repr sentant le temps en jours On sait qu initialement pour t 0 le plant mesure 0 1 m Et que sa hauteur tend vers une limite de 2m D terminer les constantes a et b afin que la croissance d un plant de ma s corresponde au mod le tudi Questionnement 1 On consid re maintenant que la croissance du plant de ma s est donn e par la fonction h d finie sur 0 250 par 2 ht WH TF oe oon Question 1 D terminer h t en fonction de t En d duire les variations de la fonction h sur l intervalle 0 250 Question2 Calculer le temps n cessaire pour que le plant de ma s mesure au moins 1 5 m Question 3 1 V rifier que 260 04t h t 20 04 14 19 pour t appartenant l intervalle 0 250 2 Montrer que la fonction F d finie sur l intervalle 0 250 par F t 50In e 19 est une primitive de la fonction h 3 D terminer la valeur moyenne de h sur l intervalle 50 100 En d duire une valeur approch e au centi me et interpr ter ce r sultat Question 4 On
22. x permet de savoir que la surface minimale sera trouv e lorsque le point M se situe la moiti du Capture 2 7 Capture 2 7 Capture 2 8 segment AB Capture 2 9 un retour dans le mode dynamique permet de v rifier via les longueurs pr sentes sur la figure les calculs pr c dents Il est possible de travailler directement avec des expressions math matiques sur la figure Expr 2 x 2 2 2 2 1 O 2 repr sente la longueur de AM soit x 85 Th or me de Th bault questionnement 2 De la g om trie dynamique la d monstration La m thode reste la m me que pour le cas particulier nous allons dans un premier temps faire la construction de la figure puis v rifier que les centres forment un carr Enfin une d monstration s impose Mode dynamique amp Fich Edit Aff Trac da C J Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 1 commen ons par dessiner un parall logramme directement via le menu Puis pour dessiner rapidement un carr nous pouvons utiliser la rotation Capture 3 2 un travail rapide sur la d riv e de l aire en fonction de x permet de savoir que la surface minimale sera trouv e lorsque le point M se situe la moiti du segment AB Capture 3 3 les centres se dessinent rapidement en d finissant les milieux d une des diagonales pour chaque carr 86 Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac
23. 1 la g om trie dynamique visible dans les calculatrices Casio permet des constructions rapides que nous pouvons nommer construction avec contraintes Capture 1 2 ainsi pour construire un triangle rectangle dont on conna t les longueurs il suffit de poser sur l cran un triangle Puis d y s lectionner deux c t s Capture 1 3 Il appara t la mesure de l angle que l on peut modifier pour qu il soit tel un angle droit Un cadenas affiche la contrainte et la figure reste dynamique amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac Capture 1 4 Capture 1 5 Capture 1 6 Capture 1 4 nous faisons de m me pour les longueurs des cath tes S lectionnons un c t La mesure est inscrite Capture 1 5 il suffit de la changer pour passer l unit Capture 1 6 de m me pour faire appara tre notre premier triangle rectangle isocele Le triangle se construit rapidement et nous n avons pas eu besoin de g rer des intersections de cercles unitaires et de perpendiculaires amp Fich Edit Aff Trac HT Zoom avant Zoom arri re Zoom plein cran Commuter axes Gril Animation UI Capture 1 7 Capture 1 8 Capture 1 9 Capture 1 7 nouveau la construction du second triangle devient presque trop facile Il suffit de dessiner deux segments Capture 1 8 puis de d finir l angle droit ainsi que la longueur ext rieure unitaire Capture 1 9 notons que l affichage peut tre r
24. 223 308 me 10 3 1622818 4349241 743 0 1 3 162283 31662 12 18 316623 464101 12 2 13 13 464103 605551 13 3 60555116 1021292 172 13 3 6055516 1021292 172 oe 741661 14 3 74166 15 50148307 673 14 3 7416615 5014307 673 15 13 741663 872981 MEN i 1119 12 8729814 9632322 637 do s 410 ie en Mt 414 4776007 114 2 JE BOT L A2 2 B2 2 1 2 C2 1 414213562 di D2 45 a Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 6 Capture 2 4 les trois premi res colonnes repr sentent dans l ordre le c t oppos du triangle le cot adjacent et I hypot nuse du triangle de la i me ligne Voici quelques formules inscrites dans ce tableau 11 C2 VB2 2 A2 2 D2 sin n SI C E3 E2 D3 Fich Edit Graph Calc HOMO M EEE ES CS EC 4 0 264 F Ja 83 13 03 83 23 30 b b m bd b Go 99 29 16 07 g2 17 Hs b3 OA b gt us Cas Es ES ar 22 63 14 4775337 1 1 14 0362 351 15 j Ja DAJ 6 8 EG 18 Capture 2 7 Evidemment on retrouve que pour le triangle de la 17 tape soit la 18 ligne que le tour complet se fait en 364 78 12 Le tableur et la marge d erreur Un travail r p titif permet de se rendre compte de l u
25. 360 sont atteints et pour quelle ligne de construction amp Fich Edit Graph Calc C Hyp Angle Somme 4 3 1 1 41774471 7349435 1971 164 3439 5 4 1 1 73493522 0025029 9587 194 3027 6 5 12 00249842 23830126 5364 220 8391 7 6 12 23830292 4515324 0735 244 9126 8 7 12 45153012 6476422 1910 267 1036 9 8 12 64764052 83019120 6913 287 7949 10 9 1 2 83019433 0016719 4600 807 2549 ES 12 13 31813203 4655416 77153359 9919 Capture 5 1 Capture 5 1 nous pouvons conclure qu un minimum de 12 triangles sont n cessaires pour avoir une construction acceptable 23 Un nombre maximum de triangles Arbitrairement nous allons nous contraindre rechercher des solutions pour une construction ayant au maximum 20 triangles La marge d erreur d couverte pour le cas 17 permet de conclure qu il est incertain d aller au del Quel rapport sera notre borne sup rieure Encore une fois le tableur va nous offrir la r ponse amp Fich Edit Graph Calc ESC US DE GRR jp ue gore EE 3 2 1 1 8027756 2 0615529 0171 62 70721 ee HM AEA 190 085 7 6 12 69258242 8722820 3745 154 3380 8 7 12 87228133 04138 19 1958 173 5338 9 8 13 04138133 2015618 2008 191 7346 10 9 1 3 20156213 3541017 3461 209 0807 11 10 1 3 3541020 3 516 6015 225 6822 12 11 1 3 53 6400515 9454 241 6276 18 12 1 3 64005493 77492115 3614 256 9890 14 13 13 774917283 9051214 8372 271 8262 15 14 1 3 90512
26. 484 0311314 3633 286 1895 16 15 1 4 03112894 1533113 9321 300 1216 18 17 1 4 27200194 3874813 1747 326 8339 JON 19 14 007402 4 512 8398 339 6733 ne LEG 2120 14 6097722 4 71699 12 239064 448 z nn Capture 5 2 Capture 5 2 notre recherche pourra se situer pour 0 1 lt R lt 1 5 24 Utilisation du mode de r solution pour quelques cas 2 Edit R solution 2 Edit R solution 2 Edit R solution sf tva D Je eg JG Equation 12 1 p sin i 1 Equation Equation R i s sr Ta k 2 sw 360 R MTERRIFTIEFRNERE R 0 329392931749434 R AFEEF Inf rieur Sup rieur Inf rieur Sup rieur Inf rieur Sup rieur Deg R el Deg R el 1E 10 Deg R el 1Ee 10 Capture 5 3 Capture 5 4 Capture 5 5 Capture 5 3 Capture 5 4 Capture 5 5 amp Fich Edit Aff pour 12 triangles on trouve une rapport d environ R 0 09987 pour 13 R 0 3239 C est cet exemple que nous allons injecter dans la construction g om trique ci dessous pour 20 triangles R 1 56 Une valeur proche de notre travail pr paratoire au tableur Trac amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac Capture 5 6 Capture 5 7 Capture 5 8 25 Capture 5 7 la g om trie dynamique nous permet de visualiser les cas ici le cas 13 et de v rifier si l angle est assez proche de 360 pour qu il en devi
27. 91179 32 2 9 2 8003120 5386 199 86 3 0206419 3329219 20 6 3 3 9 9 3 3 3 3 1 1 4 18 020648 1818718 3174237 51 18 181878 3353117 4469254 96 18 13 9 E 9 4 o 4 3 nr 3 9 9 0 o 1l 0 D GT Kad bi a 2 4747 2 6691 2 8503 bi m m QA 5 b b So 1 3999113 4819916 6899271 65 6227416 0236 287 67 4 9 9 3 3 6 3 3 7582315 4313 303 11 3 758233 88899 14 9002 318 01 3 4 4 4 4 2 1 888994 0155014 4204332 43 015504 1381513 98425346 41 18 14 138154 2572618 5853 360 b GT 4819 6227 DAS Cad Gs bo Co ar Sn 4 EE 6 EA KN 3 10 cie 12 13 RE 15 16 a 18 Capture 4 12 Capture 4 12 idem dans le mode Tableur O la valeur R peut tre directement pos e dans la case B2 22 Escargot de Cyr ne Questionnement 2 cas g n ral Le but est maintenant de g n raliser la situation Le rapport d environ 1 06 trouv pr c demment concerne une construction de 17 triangles exactement II est possible de se poser la m me question pour un autre nombre de triangles Un nombre minimum de triangle Pour quel nombre ce rapport devient il impossible dessiner correctement sur une feuille de papier Le tableur va nous offrir la r ponse Consid rons un rapport minimal d un dixi me le double de la marge d erreur d un crayon 0 5 mn Et regardons si les
28. R E18 368 7257922 mm Capture 2 14 me pont jet GA CS QT no Go AD CS En ES BS LL mn E 1 1 EDS DAJ Eu DAD EU Gaa CAD GAS La ke I ke fa St ns Attention notez bien que le tableau pr sent ci dessus contient une marge d erreur non n gligeable il s agit d illustrer l id e de valeurs approch es et de valeurs exactes dans un calcul 15 Escargot de Cyr ne Questionnement 1 mode CAS et suite 2 Edit Action Interactif Edit Action Interactif Edit 1 972308252 m 1 972308292 D 45 45 p EE 1 Au n 1 0 9 B z sin cos tan fan sinh cosh tanh pe Alg D cimal 364 78344 z R el R el Deg Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 un travail rapide permettant de r investir la partie tableur vu pr c demment permet de retrouver en une ligne de calcul la r ponse attendue au questionnement 1 savoir 17 M 7 n n l 17 Miz sin 1 r vil n M17 364 78 notons que l on peut d finir la fonction X f x gt sin n 1 1 vl n fonction qui n aura de sens que pour des valeurs enti res de x ce que nous confirme sa courbe en escalier visible dans la capture d cran pr c dente 16 amp Edit Graphique X amp Edit Graphique He EEE
29. R el rd Y SE 35912 fc0 e ERREUR Calcul non R el f f f x FC1 f 1 sp 2 v ztl HITO ET 1 x 2 3 solve f x solve F x b 4kakcodisc No Solution fIy V2 i x v2 i HE E E Alg Standard R el Deg Alg Standard R el Deg Alg Standard Cox Deg Capture 1 12 Capture 1 13 Capture 1 14 Capture 1 12 ici on trouve un discriminant n gatif 2 Capture 1 13 en mode REEL il n y aura pas de solutions car le discriminant est n gatif Un message d erreur apparait dans le d roulement des calculs Capture 1 14 par contre en mode CPLX la r solution reste possible 56 R solution graphique questionnement 2 Ou comment lire directement les r ponses sur une repr sentation graphique Reprenons l un des cas pr c dent pour visualiser la repr sentation graphique ainsi que les racines ad quates Cas de l quation produit Edit Zoom are ai EE ee Tr Feuillet Feullie2fFeuille3 Feute Feuillet FaulezlFauiiles eue a Feuillet Feuille x Cal y Myl ftx My1 f x My1 f x Modifi Racine 1v2 0 1v2 0 1y2 0 Min 1y3 0 ly3 0 v3 0 Max y4 0 Hyn My4 fMin yo 0 A y 0 ee C 6 0 PJ ys 0 ntersection y Tytn M Oy7 0_ kl f x Int g Inflexion Distance aJi dx Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 le fait d avoir d fini la fonction dans le mode Principale de la calculatrice permet de pouvoir directement u
30. Standard Cplx Rad Capture 3 4 Capture 3 5 Capture 3 4 le calcul formel de cette calculatrice permet de travailler avec des lettres Cela semble logique mais il est noter que l association de lettres est consid r e comme une variable Ainsi nul besoin de red finir la longueur AE il suffit de l utiliser Capture 3 5 une piste de r solution directement sur la calculatrice est agr able charge au lecteur de la formaliser 36 Pour aller plus loin Triplets de Pythagore ou construction rapide Un questionnement permet le lien entre les deux probl mes celui de la vision algorithmique d une racine carr e et celui de sa construction rapide A savoir On peut s interroger sur la possibilit de construire un triangle rectangle donnant une racine carr e voulue Peut on trouver pour les 100 premiers nombres entiers un tel triangle amp Edit Calc D finGraph amp Edit Calc D finGraph amp Fich Edit Aff Trac KE re Ba p Rd Gui 4 69 Ke GEA a EL as r a as Rad Auto D cimal am Rad Auto D cimal Capture 4 1 Capture 4 2 Capture 4 3 Capture 4 1 Voici la liste des 18 premiers nombres entiers Par exemple on peut y lire que V2 peut se construire sur la seconde ligne via un triangle rectangle isoc le Capture 4 2 Ainsi V3 est simplement l hypot nuse d un triangle rectangle ayant 1 et 3 comme longueurs de cath tes Capture 4 3 Ce que nous confirme la figur
31. able de retrouver un point de vue algorithmique en l extraction d une racine carr e que nous faisions autrefois la main Le lien anachronique entre la technique sophistiqu e de demain et le calcul pos d hier sera une belle exp rience que le chapitre 2 saura nous offrir Le manuel s ach vera avec une propri t souvent oubli e qui permettra d tre illustr e par de la g om trie dynamique utile pour conforter une conjecture qu il ne restera qu d montrer En vous souhaitant une bonne lecture et quelques pages de brouillons Math maticalement Jean Philippe Blaise Sommaire Escargot de Cyr ne page 5 Racine carr e d un nombre entier page 29 Somme de deux d s page 41 quations du second degr page 51 Le plant de Mais page 67 Carr de Th bault page 77 Escargot de Cyr ne L escargot de Cyr ne ou escargot de Pythagore est un classique permettant de justifier de l utilit d avoir une valeur exacte dans un calcul impliquant une solution ayant un radical Il est aussi utile pour montrer que la r p tition d une construction apporte son lot d approximation autant dans la partie calculatoire que dans la partie construction pure Une analyse classique Par contre nous pouvons le d vier de sa fonction primaire en s imposant un nouvel axe de r flexion Pour quel triangle l escargot fait il un tour sur lui m me De quelle mesure d angle d passe t il les 360 Questionnement 1 De ces deu
32. aia 6 rand 1 6 E 4 il 2 2 3 3 4 gt del il 2 2 3 3 4 7del 1 2 2 9 5 41 l 2 2 3 3 4 Ba il 3 4 5 56 879de2 il 3 4 5 56 873de2 i1 3 4 5 6 8 i1 3 4 5 6 8 del rand 1 6 del rand 1 6 Forme Math 1 o Tout I Kal del rand 1 6 del rand 1 6 SAISIR f Alg D cimal R el Deg Alg D cimal R el Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Capture 3 1 la fonction rand 1 6 permet d avoir un tirage pseudo al atoire de nombres entiers compris entre 1 et 6 Capture 3 2 dans le mode Principale de la calculatrice nous pouvons d finir les deux d s Capture 3 3 Il suffit de faire tirer al atoirement l indice de chacune des listes cr es pour avoir un tirage al atoire des d s de Sicherman 45 Exp rimentation via le tableur amp Fich Edit Graph Calc amp Fich Edi Ta Calc i Fich Edit Graph Calc Remplir ic Formule de2 randt1 6 Plage B2 B101 Capture 3 4 Capture 3 5 Capture 3 6 Capture 3 4 dans le mode tableur nous allons cr er une s rie de tirages Ici la colonne A va repr senter le lanc du premier d Comme le d 1 est d fini via le mode principal il est facile de l associer ici Par exemple la case B2 sera d finie par B2 d 1 rand 1 6 Capture 3 5 au lieu d utiliser le copier coller pour remplir chaque case d une colonne On p
33. aire dessiner la valeur de n importe quel nombre entier sous le radical Mais est ce une bonne m thode Bien videmment que non la longueur de la r p tition a une forte probabilit d aboutir des erreurs d approximation N y a t il pas d autres voies pour aborder la racine carr e d un nombre entier et son approximation Une analyse d cimale Par contre nous pouvons le d vier de sa fonction primaire en s imposant un nouvel axe de r flexion De l extraction de la racine carr e en passant par une dichotomie peut on programmer quelques algorithmes permettant de retrouver une valeur approch e d une racine demand e Questionnement 1 Une vision g om trique N avons nous pas une m thode rapide et pratique pour construire n importe quelle racine carr e d un nombre sans avoir utiliser les tapes de l escargot de Cyr ne Questionnement 2 29 Racine Carr e questionnement 1 De l extraction Palgorithmique Dans un premier temps nous allons programmer la version la plus simple permettant de retrouver la valeur d une racine carr e demand e sans utiliser la touche de la calculatrice Algorithme par Dichotomie 1 Dans ce premier programme nous allons proposer cette id e de dichotomie On cherche une valeur comprise entre 0 et le nombre demand Puis on coupe cet espace en deux II suffit de v rifier o se situe le carr de ce milieu S il d passe la valeur recherch e notre n
34. amen sur l cran en utilisant Zoom plein cran amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac d Fa d i P LI P 0e AEE ATT fr Arte L EN Sulectionnez un dl ment Capture 1 10 Capture 1 10 ona la possibilit de dessiner plusieurs triangles et de d finir leurs propri t s ult rieurement Et ainsi de suite amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac Capture 1 11 Capture 1 12 Capture 1 13 Capture 1 11 une fois le tour complet on visualise 17 triangles Capture 1 12 on peut s lectionner avec le stylet les segments FH et FX Dans la zone des variables d finir il est possible de lire l angle entre les deux segments Capture 1 13 par un glisser d poser sur la figure on peut afficher directement cette mesure amp Fich Edit Aff Trac Capture 1 14 Capture 1 14 au bout de 17 triangles nous trouvons que l escargot de Cyr ne fait un tour sur lui m me en d passant les 360 de 4 78 Escargot de Cyr ne Questionnement 1 version tableur Pr parons les calculs au tableur Fich Edit Aff Trac amp Edit Action Interactif amp Fich Edit Aff Trac Alg Standard R el Deg Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 Dans le triangle FGH rectangle en H on a plusieurs propri t s int ressantes De par la propri t de Pythagore nous avons FG VFH HG Soit FG V2 Capture
35. c amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac J0E20E SE AB 9 00 Racine de AB 3 16 Racine de AB 3 0U AB 25 00 Racine de AB 5 00 Capture 3 1 Capture 3 2 Capture 3 3 Soit AB un segment mesurant la racine que l on veut construire ici AB Soit H un point de AB tel que AH 1 La perpendiculaire AB passant par H coupe le cercle de diam tre AB en un point que l on nomme E La longueur AE mesure VAB Capture 3 1 par exemple on retrouve V10 dans ce premier exemple Capture 3 2 le fait d avoir une figure dynamique permet de red finir facilement la longueur AB et donc d obtenir une v rification avec AB 9 Capture 3 3 il est possible de faire inscrire sur l cran des expressions Du coup m me si les longueurs sont grandes par rapport l unit la lecture de AE reste efficace 35 2 Edit Action Interactif omomg AB 2 AE 2 EB 2 AB2 AE2 EB2 solve AB Z2 AE 2 EB 2 AE a AB2 EB2 AE v AB2 EB2 AE v AB2 Ep AE Y AB EB ans EB 2 EH 2 AB 1 2 AE y EH 2 AB 1 solve AB 2 AE 2 EB 2 AE 2 Edit Action Interactif HI f v fj pa AB2 EB2 AE v AB2 EB2 AE v AB EB AE y AB EB ans EB 2 EH 2 AB 1 2 AE y EH 2 AB 1 ans 2 AE EH 2 AB 1 ans 2 ans EH 2 4E 2 1 AE EH 2 AB 1 AE AF24 7 AB ans EH 2 AE 2 1 y r solve AE AE 2 AB AE AE AF 2 AB EF I AE VAB AE VAB solve AE AE4 2 AB AE Alg Standard Cplx Rad
36. de solutions Le lien avec le discriminant n est pas visible directement dans cette m thode de r solution un travail ant rieur reste essentiel 58 R solution Algorithmique questionnement 3 Utilisation du mode CAS pour d tourner un algorithme Dans un exemple classique pour r soudre l quation du second degr suivante ax bx c 0 o a b et c sont des nombres donn s Il suffit de commencer un algorithme de la sorte Demander a b c delta b 2 4 a c Ecrire Delta Mais que se passerait il si au lieu de faire demander les coefficients on travaillait directement avec un polyn me r duit ou non du second degr La recherche des coefficients du polyn me r duit serait un premier travail et permettrait de r soudre des quations largies du style 2x 4 3x 5 0 Ainsi si f x est notre fonction polyn miale du second degr on a f x est de la forme ax bx c Avec f 0 c AO EG Te Od 2 E 2 2b nm b fO fCD 2f 0 a b c a b c 2c 2 2 _ 24 2 a 59 Un algorithme de base pour r soudre une quation du second degr est donn par Demander POLYNOME f x Recherche des coefficients C f 0 b f 1 f 1 2 a f 1 f 1 2f 0 2 V rifions si la fonction est un polyn me du second degr dif f x a x12 b x c Si dif 0 delta b 2 4 a c Ecrire Discriminant Ecrire Delta Si delta gt 0 Ecrire Deux solutions Ecrire
37. disc print disc If disc lt O Then Print Pas de solutions r elles Elself disc 0 Then Print Une seule solution b 2a gt sol print sol Else Print Deux solutions b V disc 2a gt sol1 b v disc 2a gt sol2 print sol1 print sol2 IfEnd Capture 3 4 Capture 3 4 voici le programme rentr dans la calculatrice Pour ne pas l alourdir il n a pas t propos avec une mise en forme des r sultats trouv s Les r ponses seront donn es ligne par ligne 62 Deux exemples pour valider la programmation Le cas du d veloppement produit vu au questionnement 1 ro Cr f ee il id bosstr main v possiera 2 3x 4 5 3 4x 1 2 vomresel l omr Sex d 1 2 2 x 3 4 5 Les coefficients r duits sont pou 2 5 Le discriminant est 1967 225 Deux solutions 6 5 Le discriminant est Chargeur Programme Capture 3 5 Capture 3 6 Capture 3 7 Capture 3 5 rentrons la fonction d finissant une quation produit dans cet exemple Capture 3 6 nous retrouvons les coefficients utiles une r solution d quation du second degr Capture 3 7 le discriminant est positif il y a bien deux solutions possibles 63 Un cas sans solution r elle Edit Ex cuter f x 2 2 1 Chargeur Programme Capture 3 8 amp Edit a x 2 2 1 Dossier man r Les coefficients r duits sont Nom res y pour ax dtbates Param tre Le discri
38. e DI EL Calc TT amp Fich Edit Aff Trac ie duk Calc TT ve Rad Auto D cimal Rad Auto D cimal Capture 4 4 Capture 4 5 Capture 4 6 Capture 4 4 v15 sera construit via un triangle rectangle dont l hypot nuse vaut 8 et l un des c t s 7 Capture 4 5 une valeur approch e est ainsi donn e par la construction Capture 4 6 la question qui se pose comment sont apparues ces listes Combien de racines carr es n y figurent pas Par exemple V94 n est pas d finie par une construction d un seul triangle rectangle for 1 i To 100 step 1 i For 1n To R Step 1 O cathl i For nm To R Step 1 O cath2 i icathl i 2 i ar O hypli l O cath2 i 2 if h R Next i hyp i 2 then n gt cathl R Fart i 2 cath2 i 2 hyp i 2 es LP 50 feath TRL EE R hyp R Bint sol i2 3 3 605551275 i1 4 4 123105626 i3 3 4 242640687 i4 358898944 9 10 i2 4 4 472135955 i4 582575695 10 11 i4 795831523 11 12 i4 898979486 5 7 Editeur Programme Editeur Programme Capture 4 7 Capture 4 8 Capture 4 9 Capture 4 7 il serait inappropri de ne pas r pondre cette question En voici quelques pistes Le premier programme permet simplement d initialiser les 100 premiers termes des listes utiliser 38 Capture 4 7 il serait inappropri
39. e exp rimentation avec un nombre fini de lanc s Questionnement 2 41 Probabilit questionnement 1 Travaillons sur les diff rentes possibilit s dans les deux familles de d s Cas classique Pour les d s classiques le tableur va permettre de nous faire visualiser tous les cas possibles Ainsi la probabilit sera facilement calculable car l environnement probabiliste est discret et d termin PGS se nb de cas donnant n EE nb de cas total Tableau des possiblit s amp Fich Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 dans le mode Tableur de la calculatrice il suffit de cr er un tableau double entr e Capture 1 2 puis d y d finir la somme en n oubliant pas de bloquer les lignes et colonnes d entr es pour qu un copier coller nous facilite la t che A2 B 1 A2 Capture 1 3 enfin on peut facilement copier la formule en A2 et la coller dans les cases selectionn es 42 Calcul des probabilit s amp Fich Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc Capture 1 4 Capture 1 5 Capture 1 6 O 19 Probabilit gt JD Cas Hffectifs Prob E eg 2 11 J Sn 12 11 96 2 778 Arai 36 T 100 Den Ex Capture 1 4 Capture 1 5 Capture 1 6 la lecture directe du tableau des possibilit s nous donne la r ponse pour le cas des d s classiques L ut
40. enne n gligeable visuellement Utilisation du tableur pour tous les cas recherch s Pour ne pas avoir r p ter la recherche nous pouvons proposer un calcul direct via le tableur et la r solution CAS qui y est possible amp Fich Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc Es CPE B 1 Cas Solve Positive 1 Cas Solve Positive 2 MT T _ T 0 0998737 2 12K1 JiT 0 0998737 EE g B2 T 0 09987379337 7 0 0996737 C2 T 0 09987379337 Capture 5 8 Capture 5 9 Capture 5 10 Les trois colonnes utiles sont d finies de la sorte La colonne A repr sente le cas recherch par exemple ici 12 triangles construire La colonne B permettra de faire rechercher la solution voulue via la formule B2 solve Sin 360 1 La colonne C va nous permettre de faire appara tre la solution positive gr ce la touche sachant not e sur le clavier tactile par le symbole C2 B2IT gt 0 26 Il suffit de recopier la premi re ligne pour trouver les valeurs suivantes 12 triangles pour R 0 0998737933718655 13 triangles pour R 0 329392931749436 14 triangles pour R 0 528214910436166 15 triangles pour R 0 712486985902883 16 triangles pour R 0 888790784293691 17 triangles pour R 1 06031955129569 18 triangles pour R 1 22879127544395 19 triangles pour R 1 39520110000128 20 triangles pour R 1 56016002498241 amp Fich Edit Graph Calc 0 5 a B e v b t
41. es avec le mode CAS de la calculatrice Capture 1b 5 comme h x est d finie et que les param tres a et b sont donn s il est facile de faire afficher sa repr sentation graphique Notons que son tableau de valeur permet de confirmer le fait qu l origine on retrouve les 10 cm du plant de d part Capture 1b 6 pour le 250 jour le plant de ma s a une hauteur proche des 2m attendus 70 Question 2 Calculer le temps n cessaire pour que le plant de mais fasse au moins 1 5 m Edit Zoom Analyse X amp Edit Action Interactif amp Edit Action Interactif solve h t 1 5 t B ft 25 In 19 25 In 3 simplify ans 1 gt 57 0 29 t 25 n 57 t approx 1 57 gt e 25 t 101 0762817 In 1 57 gt 1 25 i In 19 In 3 gt 35 t gt 25x InC19 In 3 t gt 25 In 19 1n 3 approx t gt 101 0762817 Alg Standard Cplx Deg dm Alg Standard Cplx Deg Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 6 Capture 2 4 par lecture graphique on trouve 102 jours Capture 2 5 par r solution directe en utilisant la fonction solve on trouve une valeur qui d passe l g rement les 101 jours soit 102 jours pour un travail sur des jours entiers pass s Capture 2 6 une piste abordable pour une r solution d in quation est possible Au bout de 102 jours les plants de ma s mesurent au moins 1 5 m 71
42. eut directement utiliser la fonction Remplir plage Capture 3 6 et ainsi proposer 100 tirages des deux d s 46 2 Fich Edit arapi Calc amp Edit Aff Type Calc Ir Ir I friragel Tirager Capture 3 7 Capture 3 8 Capture 3 9 p Capture 3 7 Capture 3 8 Capture 3 9 la colonne C repr sentera la somme recherch e C2 B2 A2 en la s lectionnant il est possible d avoir la r partition des exp riences voire un diagramme en moustache Analyse dans le mode Statistique Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc fi s Jafefe ofe r Exporter or Export Variable Type Plage LL G om trie Foo Capture 4 1 Capture 4 1 Capture 4 2 Capture 4 3 les diff rents menus de la calculatrice permettent une gestion commune des r sultats calcul s 47 Capture 4 2 Capture 4 3 amp Edit Calc ainsi il est possible d exporter une colonne de valeur du mode tableur au mode statistique d finissons la liste qui va accueillir les 100 tirages effectu s Ici la liste 1 D finGraph Deg Auto Capture 4 4 Capture 4 5 Capture 4 6 D cimal Capture 4 4 Capture 4 4 Capture 4 5 dans le mode statistique la list1 est visible comme pr vue par l exportation nous retrouvons le diagramme moustache visualis pr c demment Les sommes sont bien dans la plage de valeurs allant de 2 12 une a
43. il autour de la diff rence au lieu de la somme permettra de comprendre Putilit situation de d part d une somme il n en est rien pour la valeur absolue de la diff rence Comme le confirme le tableau suivant amp Fich Edit Graph Calc Tables des possibilit s Tables des possibilit s RE m D en Q v CE abs J 2 13 Ek ER 50 Equation du second degr La r solution d quation du second degr peut tre vue d un axe diff rent de l accoutum e Au lieu de travailler directement sur les quations de type ax bx c 0 Nous allons nous int resser ici la r solution d quations de type f x 0 avec f une fonction polynomiale du second degr L impact p dagogique est diff rent car il est possible de demander la r solution de l quation sans avoir la forme r duite sous entendue pr c demment Une analyse directe via le mode CAS Utilisons le mode CAS de la calculatrice pour retrouver la forme r duite et faire appara tre les solutions recherch es Questionnement 1 Une vision g om trique Le fait d avoir une fonction permet d envisager directement une lecture graphique et d obtenir la ou les solution s recherch ef s Questionnement 2 Une vision via un algorithme Peut on envisager un algorithme diff rent pour r soudre une quation du second degr qui ne demande pas les coefficients du polyn me mais directement le polyn
44. ilisation des couleurs sur la tableau permet de rep rer l information principale savoir P Somme 7 gt P somme n n 7 attention toutefois lors du calcul des probabilit s de bloquer la case de l effectif total B32 B21 AC21 B 32 Il est noter que le mode tableur permet d avoir les valeurs sous une forme d cimale ou sous une criture fractionnaire On trouve ainsi que la somme ayant la plus grande probabilit d tre tir e est le 7 6 P Somme 7 36 x 16 7 43 Cas des d s de Sicherman 2 Fich Edit Graph Calc amp Fich Edit Graph Calc 2 Edit Aff Type Calc RE LEE fa 19 Probabilit 18 5 50 2 Cas TT F 1736 ETS 1 18 5 56 EE 5 86 18 9 Hra Capture 2 1 Capture 2 2 Capture 2 3 Capture 2 1 il suffit de changer les valeurs du tableau crois pour avoir les diff rentes combinaisons pour ces d s particuliers Capture 2 2 nous retrouvons rigoureusement les m mes tirages avec les d s de Sicherman et du coup les m mes probabilit s qu avec des d s classiques Il est donc possible de travailler avec un environnement diff rent pour ce type de tirage al atoire 44 Exp rimentation questionnement 2 Tirages al atoires Nous allons exp rimenter ce tirage al atoire directement sur la calculatrice avec cette nouvelle famille de d s Le e Action Interactif Le 7 Action Interactif amp Edit Action Interactif SO rv SO EE rand 1 6
45. it pour aller plus loin 88 Th or me de Th bault pour aller plus loin Des axes explorer Un rep re orthonorm La d monstration via un rep re non orthogonal n est pas des plus utilisables en classe et pourtant ses avantages d un point de vue de vitesse de calculs ne sont pas d montrer Pour obtenir un travail classique il suffit de travailler dans un rep re orthonorm tel que 0 h x cos a b h x cos a b fes e ERX e ep I 0 h x sin a h x sin a 0 Avec h hauteur du parall logramme ABCD b longueur de la base AD angle entre les deux c t s AB et AD L aire du carr La d monstration analytique n apporte pas forc ment un axe g om trique ces questionnements Qu en est il de l aire du carr en fonction de la figure de d part N avons nous pas perdu de vue l essentiel 89 Notes personnelles 90 Notes personnelles 21 Notes personnelles 92 L L dll Hij WHN CASIO ducation Immeuble Ph nix 1 24 rue mile Baudot 91120 PALAISEAU Email education france casio fr R dacteur en chef Jean Philippe Blaise R alisation Arc ad Diffusion Professeurs de mathematiques exclusivement Septembre 2013 CASIO www casio education fr
46. minant est 2 Pas de solutions r elles Capture 3 9 Capture 3 10 Capture 3 10 la fonction swap de la calculatrice permet de voir en entier une partie de l cran pour avoir directement les solutions sorties par le programme de r solution 64 Une am lioration technique Le programme pr c dent a l avantage d tre lin aire Les nombres en sortie sont facilement visibles et la fonction Print permet d afficher ou un r sultat ou un texte Mais comment faire affficher en sortie sur la m me ligne un texte et une variable amp Edit Ex cuter amp Edit Dossier main v Print f x Er Nom resol Print Les coefficients r duits sont Print pour ax 2 bx c 0 ExpTo tr b chaine StrJoin b chaine txt 2x 7 2 Print txt Les coefficients r duits sont pour ax 2 bx c 0 a 4 Le discriminant est Une seule solution If disc lt 0 712 Then Chargeur Programme Editeur Programme Capture 3 11 Capture 3 12 Capture 3 13 Capture 3 11 utilisons le cas d une fonction aboutissant une seule solution Capture 3 12 on d couvre qu ici les coefficients a b et c sont directement crits avec la valeur recherch e le tout sur la m me ligne Capture 3 13 une astuce est n cessaire ExpToStr transforme la variable en une cha ne de caract res StrJoin ajoute deux cha nes de caract res dans une troisi me Il ne reste
47. mode R solution Num rique de la calculatrice Capture 4 6 nous pouvons l interroger sur la valeur que doit prendre R pour que la somme des 17 mesures d angles s approche au mieux de 360 Capture 4 7 on trouve R 1 06031955 amp Edit Action Interactif amp Fich Edit Aff Trac IE NEA 11579419 10920688 approx ans 1 060319551 D Alg Standard R el Deg im Capture 4 8 Capture 4 9 Capture 4 8 20 amp Fich Edit Aff Trac Capture 4 10 la valeur trouv e peut tre utilis e dans les diff rents modes de la calculatrice Capture 4 9 ainsi rien ne nous emp che de l injecter directement dans la figure dynamique d j cr e en s lectionnant le segment de d part et en y affectant la valeur R m moris e Capture 4 10 On retrouve graphiquement un angle nul pour la diff rence entre l angle plat et la somme des angles de l escargot amp Fich Edit Aff Trac Capture 4 11 Une valeur approch e de R permet d obtenir un escargot de 17 triangles se fermant exactement sur lui m me Le travail pr c dent au tableau permet de conclure que la diff rence nulle n est pas absolue mais bien relative la marge d erreur des calculs engendr s 21 a Fich Edit Graph Calc 059 Fr n r B S es un TE AT ES 3 11 457491 76756134 4544 77 777 1 767562 0308329 4990 107 27 2 03083 2 2636 33 49 2 26369 2 4747 57 32 6691322 002
48. nalyse statistique une variable est d sormais possible La m diane est de 7 comme l avait affirm le travail th orique pr c dant 48 2 Edit Action Interactif Probabilit s g 2 d s HE am 12 d s sum list 1 tisti 1 JE i Nbre de lancers Mp sum list 1 fdim list 1 Nbre de faces e mean list I 50 2 list1 100 Le i 1 list 2 d s sum list 1 sum list 1 Nombre de lancers 100 Faces du d 6 sum list 1 dim list 1 sum list 1 dim list 1 3345 6 7 amp 9 1 2 2 11 15 18 16 11 1 mean list 1 mean list I list Alg D cimal R el Deg Alg D cimal R el Capture 4 7 Capture 4 8 Capture 4 9 Capture 4 7 dans le mode principal on peut directement calculer les r sultats statistiques d une liste Ainsi on retrouve que la moyenne pour nos 100 tirages est de 6 74 via le calcul mean list1 Un mode adapt Capture 4 8 la calculatrice est pr vue pour g rer ce type de tirage directement Bien entendu non pas avec les d s de Sicherman mais avec des d s classiques II suffit de choisir le nombre de tirages voulus ainsi que le nombre de faces pour chacun des d s Capture 4 9 un tableau de valeurs appara t apr s calculs On y retrouve via l exp rimentation qu il est pr f rable de choisir 7 comme somme de deux d s lors d un tel tirage al atoire 49 Pour aller plus loin Deux familles de d s pour des r sultats identiques Un trava
49. ouvel intervalle est trop grand on utilise la borne sup rieure sinon notre domaine est trop petit on utilise la borne inf rieure Demander RACINE Demander PRECISION MINI 0 MAXI RACINE DEGRE 1 Tant que DEGRE gt PRECISION MILIEU MINI MAXI 2 DEGRE VALEUR ABSOLUE MILIEUA2 R Si MILIEU 12 R lt O alors MINI MILIEU Sinon MAXI MILIEU Fin de condition Afficher MILIEU Afficher PRECISION 30 h Dossier main T Nom racine F Th m n 2 m 3 162206057 41 528501689g 4 Else m n 2 n End abs t t R gt z WhileEnd print approx t print approx z Editeur Programme Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1 1 Voici un programme sur notre calculatrice permettant de reprendre l algorithme pr c dent Notons les variables attribu es dans ce programme R Racine calculer d degr de pr cision attendue z degr de pr cision calcul m borne inf rieure n borne sup rieur t milieu entre les bornes m n Capture 1 2 en pratique nous cherchons la valeur de 10 0 0001 pr s Capture 1 3 et on trouve via le programme v10 3 1622 31 Algorithme par m thode d extraction 2 Extraction de la racine carr e la main Pour calculer une racine carr e d un nombre il suffit de poser une division nomm e extraction de racine Reprenons le calcul de la racine carr e de 10 Explication
50. r reponse 10 PRECISION Edit Ctrl E S Divers Edit Ctrl E S Divers reste Z0 solution i Xi 100 gt solution 1 0 i solution print reste L print approx solution 10 n Next print Test du carr po approx solution 10 n 2 jon Racine i 2 100 reste print reste for 1 n To D Step 1 Editeur Programme Capture 2 2 Editeur Programme Capture 2 1 Racine calculer Capture 2 3 Capture 2 1 voici la premi re partie du programme il est noter que nous n allons pas simplement visualiser la r ponse mais aussi les tapes que nous aurions d faire appara tre sur un calcul pos Capture 2 2 l utilisation d une boucle while whilend Le la condition pour obtenir un chiffre maximal inf rieur au reste sera traduit par Capture 2 3 il ne reste qu tester le programme pour une valeur d j calcul e soit v 10 Nb de d cimales Capture 2 4 Capture 2 5 Capture 2 6 Capture 2 4 on choisit 4 chiffres apr s la virgule attention il s agit d une troncature Capture 2 5 on retrouve les tapes du calcul pos en capture 2 0 ainsi qu une valeur tronqu e au milli me Capture 2 6 un exemple avec V2 34 Une vision g om trique questionnement 2 De la m thode de Cyr ne une vision plus simple Il est facile de faire dessiner la racine carr e d un nombre entier en utilisant les instruments de g om trie classiques amp Fich Edit Aff Tra
51. s 32 9 lt 10 61x1 lt 100 100 61 39 626x 6 3756 lt 3900 3900 3756 144 6322x2 12644 lt 14400 14400 12644 1756 6324 x lt 175600 175600 Capture 2 0 Capture 2 0 voici une id e d explication de cette m thode Dans un premier temps il faut rechercher le plus grand nombre dont le carr se rapproche 10 sans le d passer Ici on trouve 3 Puis on calcule le premier reste 10 3 1 On abaisse deux z ros sur le m me principe que pour une division pos e 100 Pour le chiffre suivant il faut doubler le nombre approchant la racine de 10 soit pour l instant 3 Ce qui donne 6 Et rechercher le chiffre tel que le produit suivant se rapproche au mieux du reste trouv 6 x lt 100 Ici on trouve le chiffre 1 Donc 3 1 est une extraction possible de la racine carr e de 10 Il faut calculer le nouveau reste 100 61 X 1 39 Abaisser deux z ros 3900 Et doubler le r sultat tronqu au dixi me pour recommencer avec 62 X 7 lt 3900 On trouve le chiffre 6 Et ainsi de suite 22 En voici l algorithme Demander RACINE Demander PRECISION i 0 Tant que i 1 i 1 lt RACINE INCREMENTE i Fin de condition reponse reste RACINE reponse 2 Boucle n 1 a PRECISION reste reste 100 i 0 Tant que reponse 2 10 i i lt reste INCREMENTE i Fin de condition reste reste reponse 2 10 i i reponse reponse 10 i Fin de boucle Affiche
52. s int resse la vitesse de croissance du plant de ma s elle est donn e par la fonction d riv e de h La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t En utilisant la repr sentation graphique de h donner une valeur approch e de celle ci puis estimer la hauteur du plant Questionnement 2 67 Le plant de Mais questionnement 1 R solution CAS dans le mode Principal D terminer les constantes a et b afin que la croissance d un plant de mais corresponde au modele tudi sachant que a lim t gt 1 be0 04t Et 2 Edit Action Interactif 2 Edit Action Interactif Clear _a_z Ya define hft l lim ht 2 thor h 0 0 1 a 2 Alg Standard Cplx Deg Standard Cplx Deg Alg Standard Cplx Deg Capture 1a 1 Capture 1a 2 Capture 1a 3 Capture 1a 1 dans le mode principal de la calculatrice d finissons la fonction h par a ht 1 be 0 04 II suffit de donner la limite en l infini pour que la calculatrice nous retourne la valeur de a a 2 L criture de h 0 0 1 sachant que a 2 permet d obtenir une galit 2 1 b 1 10 Que nous pouvons r soudre directement avec la fonction solve pour obtenir b 19 Capture 1a 2 llest possible de faire calculer les limites directement en fonction de plusieurs param tres Ainsi on retrouve un descriptif de la d monstration de r daction attendue dans ce questionnement 68 Le plant de Mais questionnement 2 R solu
53. tiliser f x pour dessiner sa repr sentation Capture 2 2 un zoom automatique de la courbe permet de la visualiser dans la partie qui nous int resse Capture 2 3 une analyse de diff rents crit res de sa repr sentation graphique est offerte Cette analyse permet entre autre de trouver graphiquement les solutions de l quation f x 0 Ainsi on obtient par lecture graphique les solutions voulues Il reste noter que le discriminant n est pas trouv ici ST Cas tudi s pr c demment Nous avons la possibilit de faire afficher plusieurs courbes sur le m me graphique Donc visuellement il est possible de retrouver les cas int ressants Si b12 4ac est positif on aura deux solutions Si b12 4ac 0 une seule Sinon aucune amp Edit Zoom Analyse X 24 Edit Zoom Analyse SOIN MIO ES EEE Feuillet Feuille Feuilles Feuille Feuillet Feuille Feuillea Wyi fix F Myl f0x My2 4 x4 3 x 2 M v2 4 x 3 x 2 Jy3 0 y3 0 C y4 0 C y4 0 C1y5 0 ly5 0 1y6 0 Cly6 0 F 1 FT der 2 3 x 2 uc 1 175391 ve Feuilled X amp Edit Zoom Analyse SOIR ES Feuillet Feuille2 Feuities Feuille4 Capture 2 4 Capture 2 5 24 f myr fes Mv2 4 x24 3 x 2 My3 2x 4 My1 1 Capture 2 6 Edit Zoom Analyse Deg On retrouve que le dernier cas ne coupe pas l axe des abscisses donc n aura pas
54. tilit de garder le radical pour une pr cision absolue dans le calcul Edit Action Interactif Edit Action Interactif OO irase v Capture 2 8 Capture 2 9 v 12412 V12 12 vz approx ans approx ans 1 414213562 1 414213562 v172 1 41 2 Ji 42 100 5 v v 29881 v7d approx ans approx ans 1 72861216 1 720465053 12472 112 1 72 y 389 10 approx 1 722050808 D 1 972308292 Alg Standard R el Deg Standard R el Deg Capture 2 8 Capture 2 9 Capture 2 10 sur le calcul des hypot nuses des deux premiers triangles Une erreur non n gligeable appara t si l on d cide de ne tenir compte que des arrondis au dixi me voire au centi me un travail l ve sera envisager pour faire prendre conscience de l utilit du passage la racine carr e dans les calculs plut t que de l utilisation d une valeur approch e Qu en est il de l impr cision d une telle valeur approch e au bout de 17 calculs les impliquant les uns aux autres 13 Transformons le tableur pr c dent pour ne garder qu une valeur arrondie au centi me amp Fich Edit Graph Calc CARTE TE A Cot 1 Cot 2 He Capture 2 11 2 Fich Edit Graph Calc a 1 4145 58474 T 5847 Ai VEE 031981 6165 O E 30111 617 H 2 ZT 0357 138 652 2 424 6243163 277 2 6 22 6199 185 896 A
55. tion CAS dans le mode Principal Question 1 On a maintenant 2 ht D 1 9e 008 o nous retrouvons logiquement les param tres a et b r solus pr c demment D terminer h t en fonction de t En d duire les variations de la fonction h sur l intervalle 0 250 Edit Action Interactif Edit Action Interactif Edit Action Interactif IT dt 38 04 R 2 25 928 2 t Le 25 438 0 29 man expand t 25 EE Ta t 2t 25 25 18 19 ol mn 2S ane 25 gs 25 le 38 9 361 No Solution Alg Standard Cplx Deg Alg Standard Cplx Deg Alg Standard Cplx Deg Capture 1b 1 Capture 1b 2 Capture 1b 3 Capture 1b 1 il suffit de d finir les param tres a et b et d afficher h t pour retrouver la fonction tudier Capture 1b 2 La d riv e est donn e directement Un simple coup d il permet de confirmer qu elle sera positive quelle que soit la valeur de t t 38e25 h t A 7 25 223 19 Capture 1b 3 Cette d riv e h ne s annule pour aucune valeur La fonction h est donc croissante sur l intervalle tudi 69 amp Fich Edit Type Edit Zoom Analyse Feuille Feuille Feuilles Feuille My21 X 1vy22 0 1y23 0 y24 O ly25 0 1y26 0 C yc 1 99832763 Capture 1b 4 Capture 1b 5 Capture 1b 6 Capture 1b 4 la fonction e est une fonction croissante et positive Du coup nous obtenons une piste pour d montrer les r ponses directement trouv
56. x questionnements nous pouvons aborder le probl me sous diff rents axes utilisant les supports offerts par la fx CP400 A savoir e La g om trie dynamique pour une construction rapide et r volutionnaire par rapport d autres g om tries dynamiques disponibles e Le tableur pour un calcul direct et une analyse de la situation e Lalgorithmique car si on visualise une construction r p titive il serait dommage de ne pas lui associer des boucles dans un programme Cr ons la rupture Un autre axe de r flexion permettra de donner une dimension plus exp rimentale la situation N existe t il pas un triangle de d part qui permette dans un nombre raisonnable de triangles d aboutir faire un tour complet de pr cis ment 360 Questionnement 2 Un travail sur l algorithmique permettra de trouver un rapport dans le triangle de d part o l escargot va faire un tour de 360 et une analyse au tableur permettra de valider la solution approximative propos e Escargot de Cyr ne Questionnement 1 version g om trie dynamique Dans un premier temps il est int ressant de construire la figure afin d avoir une analyse fine de la situation Puis nous pourrons faire les premi res constatations et aboutir quelques conclusions exploitables en classe Construction amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac amp Fich Edit Aff Trac Capture 1 1 Capture 1 2 Capture 1 3 Capture 1
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