article Bouanani fonction numérique
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1. automobiliste qui apr s s tre arr t et gar sa voiture dans le bas c t d une route une cachette il a red marr sa voiture et repris sa route Apr s avoir atteint sa vitesse de croisi re il a observ devant lui quelques centaines de m tres un obstacle par exemple un policier qui lui fait signe de s arr ter Il ralentit pour enfin s arr ter au niveau de cet obstacle Apr s un arr t il fit demi tour pour rejoindre sa cachette Questions Est ce que le sch ma repr sente effectivement ce qu il est cens repr senter Sinon pourquoi Si oui o placeriez vous l obstacle mettre une croix dans le sch ma sur la position choisie et justifiez votre r ponse Nous leur avons soumis ce test sur le positionnement afin de voir s ils font une distinction nette entre courbe repr sentative d une fonction num rique de la variable r elle et la trajectoire d un point mobile du plan et entre trajectoire et diagramme Nous avons conclu d apr s la cueillette et l analyse des r sultats que la repr sentation que ces tudiants se font de la courbe en question ne leur permet pas de la mobiliser comme outil de d termination de la position l instantx du point mobile M 0 f x sur laxe des ordonn es via le chemin liant dans cet ordre les points P x 0 N x f x et M 0 f x En effet les tudiants ont plac l obstacle sur la courbe aux points correspondant aux extr mums de la fonction2. axe des positions position de rattrapage d axe des temps instant de rattrapage premier cas T instant de rattrapage second cas La droite D1 est parall le celle d finie par y vt Et la droite D2 est parall le celle d finie par y Vt L avantage en temps est quivalent l avantage en espace si pour les deux avantages le point o le train de vitesse V rattrape le train de vitesse v est le m me Voici une solution anim e de l exercice utilisant le logiciel de g om trie dynamique Geogebra voir ci apr s Figure anim e repr sentant le va et vient de deux trains navettes Les deux courbes repr sentent les positions respectives de chacun des deux trains Aux points d intersection des deux courbes correspondent dans l axe dans l axe des ordonn es les points de d passement du train de grande vitesse V le train de petite vitesse v un point l all e un autre au retour Et ils leur correspondent dans l axe des abscisses les instants o ces d passements ont lieu Les deux trains font des allers retours Le petit cercle repr sente le chronom tre La r solution de l exercice des deux trains dans les deux propositions n interpelle que des connaissances exigibles de l l ve du coll ge Bien que cet exercice fait objet de l enseignement du cycle fondamental le primaire l do o en manipulant la notion de vitesse v z d est un
3. est mancip e de sa conception originelle la mesure de la terre pour devenir surtout via ces logiciels qu on appelle juste titre logiciels de g om trie dynamique une g om trie des virtualit s de configurations de points et de directions Cependant l usage de ces logiciels dans le milieu scolaire ne saurait tre efficient sans montrer les preuves l appui qu il peuvent porter l vidence la caducit de certaines pratiques enseignantes et de certains choix didactiques Deux conceptions de la fonction num rique de la variable r elle une conception st nographique et une conception kinesth sique La conception st nographique Les pratiques scolaires font appara tre les courbes repr sentatives Cf de fonctions num riques f de la variable r elle x comme r sultat d un calcul les courbes Cf interviennent la fin de l tude des expressions analytiques des fonctions f la fois comme r sultat et comme illustration Elles n apparaissent point comme objets d tude et de description part enti re Les courbes Cf st nographient alors un calcul d roul sur ces expressions et ce faisant d notent une conception de la notion de fonction que nous proposons de qualifier de st nographique Ces courbes peuvent pourtant tre vues comme les st nogrammes de mouvements rectilignes et participer ainsi d une tout autre conception de la notion de fonction num rique de la variable r elle il s agit de
4. lieu des points T est la demi droite OH Cette demi droite est la caract ristique de la vitesse instantan e d un des points anim s dans OJ 0 7 d un mouvement dont la caract ristique de l acc l ration est la demi droite O H Il est int ressant d envisager de m me le lieu g om trique quand T parcourt O1 du point M de TT tel que avec TM a t a t ait a t pour vitesse de variation l instant t a 0 0 Puisque le lieu des points T est la demi droite OH a t serait gale l aire du triangle OTT La m diatrice du segment TT coupe TT en son milieu T D en un point M et OJ en un point M L aire du triangle OTT est gale l aire du rectangle OTT M et la demi droite O0M coupe TT en le point M cherch Le lieu g om trique du point M est un segment de parabole voir figure ci dessous Ce segment de parabole est la caract ristique du mouvement du point M projection orthogonale de M sur OJ quand T parcourt OI avec une vitesse constante dont le vecteur vitesse est L Le point M s loigne de O dans le sens haut bas mesure que T s en loigne dans le sens gauche droite si l loignement de T mod lise l coulement du temps alors M est un point qui tombe avec une vitesse instantan e proportionnelle au temps et parcours des distances proportionnelle quant elles au temps au carr Un dispositif empirique ad
5. quat peut devenir le discriminant exp rimental d tablissement de la validit de cette construction du point M comme mod lisation g om trique du mouvement de corps en chute libre Chaque choix de la caract ristique de l acc l ration du mouvement pose le probl me de retrouver le proc d syst matique de positionnement sur l axe des ordonn es du point M dont c est le mouvement via la position du point T Une hypoth se alternative une hypoth se institutionnelle Cet exemple arch type de capture de mouvement ainsi que des exemples similaires n ont pas fait explicitement leur apparition dans l histoire des syst mes de l enseignement des sciences et des techniques alors que le discriminant exp rimental mentionn ci dessus est l incarnation m me du fait scientifique Ces syst mes fonctionneraient alors sous l hypoth se erron e selon laquelle la conception st nographique implique la conception kinesth sique de la notion de fonction num rique de la variable r elle Les r sultats des tests qui suivent pass s sur des hordes d tudiants marocains sont autant de preuves que non seulement le syst me marocain selon cette hypth se mais que celle ci est une hypoth se erron e Tests pass s sur des hordes d tudiants Nous avons soumis aux tudiants LICENCIES ES math matiques un premier test que nous avons nomm situation du policier Enonc Ce sch ma est cens repr senter le parcours d un
6. Fonction num rique de la variable r elle via un usage des TICE Hafida BOUANANI Mohamed BAHRA Naceur ACHTAICH Mohammed TALBI Formateur au C R M E F Centre R gional des M tiers de l Education et de la Formation SAFT ex CPR doctorante en Ing nierie de la Formation et Didactique des Sciences et Techniques au Laboratoire LIRADE TIE la Facult des Sciences Ben M Sik Casablanca e mail hfdbouanani7 gmail com Professeur de l enseignement Sup rieur au C R M E F Casablanca e mail mohamed bahra gmail com Professeur de l enseignement Sup rieur la Facult des Sciences Ben M Sik Casablanca e mail nachtaich hotmail com Professeur de l enseignement Sup rieur la Facult des Sciences Ben M Sik Casablanca Directeur de l observatoire LIRADE TIE e mail maarifcentre yahoo fr R sum Avec l av nement des TICE le milieu physique s est consid rablement enrichi d objets qui contrairement aux objets statiques qui sont seuls disponibles avant cet av nement sont autant de virtualit s dynamiques autant de potentialit s de formes et de configurations volutives ventuellement passibles de concr tisation Dor navant l activit de l apprenant ne saurait tre math maticienne que si elle est ponctu e par une dialectique configuration d configuration en ce sens que la configuration dynamique de points est alors une monstration de quelque relation Par c
7. au lieu de le placer sur l axe des positions Ces r sultats alarmants nous ont pouss s imaginer un autre test pour des l ves ING NIEURS niveau un peu plus lev que les licenci s es math matiques de diff rentes fili res Electronique Maintenance Industrielle 2 ann e ENIM Informatique 2 ann e EMI T l communication 2 ann e INPT CAPES ECONOMIE GESTION 5 ann e ENSET voir nonc de ce test nomm probl me des trains ci dessous Test probl me des trains Enonc Deux trains roulent dans deux voies parall les et dans le m me sens avec des vitesses constantes respectivement V et v donn es telles que V gt y qui instant connu t se positionnent dans deux endroits s par s d une distance connue d Il s agit de d terminer l instant et l endroit o le train la grande vitesse rattrape le train petite vitesse Question Les deux trains peuvent ils se rencontrer Si oui montrer comment Sinon expliquer pourquoi Ce probl me met en sc ne deux trains qui roulent dans deux voies parall les et dans le m me sens avec des vitesses constantes V et y donn es telles que V gt y et qui instant connu to se positionnent dans deux endroits s par s d une distance connue d et o il s agit de d terminer l instant et l endroit o le train la grande vitesse rattrape le train la petite vitesse Remarques Cet exercice est un probl me clas
8. cette conception que nous proposons de qualifier de kinesth sique La conception kinesth sique Pour que les courbes Cf soient des st nogrammes de mouvements rectilignes il serait n cessaire d user du vocabulaire de la cin matique cot du vocabulaire sp cifique l tude de fonctions dans la description de la courbe de toute fonction tudi e d riv e et rapports des vitesses des points mobiles M 0 f x N x f x P x 0 d riv e seconde et rapports des acc l rations de ces points entre autres choses doivent faire l objet de reprises r p t es Notifier que la trajectoire du premier point est videmment contenue dans l axe des ordonn es celle du second dans la courbe Cf et celle du troisi me dans l axe des abscisses rev t une importance capitale quoiqu insoup onn e des pratiques scolaires Il en est de m me de la vitesse de balayage de la surface comprise entre Cf et l axe des abscisses par le segment HM avec H x 0 et M x f x Ces l ments ne sont anodins qu en apparence et ils constituent du fait de cette illusion trompeuse un point aveugle des pratiques scolaires De ce fait des pans entiers de l analyse math matique et des mod les math matiques restent en tant qu objet d enseignement des objets immotiv s Nous tenterons de montrer que la concomitance des deux conceptions est n cessaire pour restaurer cette motivation qui seule est susceptible d entra ner celle des ap
9. de mobiliser via le mouvement de la souris la 4 dimension le temps comme on le voit travers l exemple des deux trains Bibliographies BAHRA M 2005 La th orie des situations comme outil d analyse a priori de la transformation d une tude d pist mologie historique en question d enseignement in Sur la th orie des situations d HELENE S CLANCHE P SARAZZY B La Pens e Sauvage 109 124 BROUSSEAU G 1998 La th orie des situations didactiques Recueil de textes de Didactique des math matiques 1970 1990 pr sent s par Cooper M et Balacheff N Sutherland R et Warfield V Ed La pens e sauvage Grenoble THOM R 1991 Pr dire n est pas expliquer d apr s des entretiens avec NOEL E R dig s par BONIN Y Webographies _ CHAACHOUA H Usage des TICE dans l enseignement Quelles comp tences pour un enseignement des math matiques http www inrp fr Tecne Rencontre Chaach pdf TOUMA G 2005 Un environnement informatis d Exp rimentation Assist par Ordinateur int grant les sciences et les math matiques Skhol hors s rie 2 97 102 97 http www aix mrs iufm fr recherche publ skhole pdf 05 HS2 97 102 pdf
10. e distance et t est le temps la repr sentation graphique le mod lisant n appara t aucun niveau de l enseignement des math matiques Int grer les TICE dans l enseignement apprentissage des math matiques c est int grer de telles situations probl mes impossibles avant l av nement de la nouvelle technologie Conclusion Avant l av nement des logiciels de g om trie dynamique la configuration des th or mes et des structures math matiques peut s av rer un obstacle l activit d abstraction n cessaire pour rendre intelligibles ces th or mes et structures le caract re fonci rement statique de la configuration permise par les outils d alors risque de rendre les notions math matiques configur es fortement rattach es aux conditions r f rentielles particuli res de la configuration Les TICE d truisent ce risque quand les figures sont bien pens es elles deviennent autant de syst mes dynamiques et les calculs et d monstrations doivent participer de la d configuration n cessaire l abstraction une dialectique configuration d configuration doit ponctuer l activit math maticienne de l apprenant Sinon comme le montre les r sultats du questionnaire pr sent ci dessous le calcul formel seul risque de se constituer en un obstacle didactique tenace Apr s la g n ralisation des TICE la chert d invoquer le mouvement en question n est plus de mise puisque les TIC permettent
11. eignement de l analyse math matiques dans les coles d ing nieurs et ailleurs Il serait d un grand int r t d user du vocabulaire de la cin matique cot du vocabulaire sp cifique l tude de fonctions dans la description de courbe des fonctions num riques de la variable r elle objets d tudes Comment et pourquoi Nous proposons d accompagner l introduction de la notion de fonction de la variable nouvelle avec une notion qui lui est inh rente mais que les pratiques scolaires feignent d ignorer il s agit de cette notion que nous intitulons Capture cart sienne du mouvement que le tableau statique ne permet point et que les logiciels de g om trie dynamiques favorisent une simulation tr s proche de la r alit Solution du test situation sur les trains faite avec le logiciel de g om trie dynamique Geogebra Deux cas sont envisager suivant l avantage accorder au train de petite vitesse v 1 cas l avantage accord est en espace Dans ce cas l instant de d part est alors le m me pour les deux trains mais les points de d part sont espac s et celui du train de vitesse v est plac devant celui de vitesse V une certaine distance d 2 cas l avantage accord est en temps Dans ce cas l instant de d part n est pas le m me le train de vitesse v part le premier avec une certain avance T sur le train de vitesse V mais le point de d part est le m me pour les deux trains
12. ontre cette monstration appelle de mani re n cessaire une d monstration Dans cet article nous tentons de montrer en quoi les courbes de fonctions num riques de la variable r elle vues comme autant de captures de mouvements de points mobiles constituent via les logiciels de g om trie dynamique un substrat pour cette dialectique Mots cl s capture du mouvement g om trie dynamique monstration d monstration dialectique configuration d configuration Probl matique Le syst me d enseignement des math matiques marocain conna t des changements notables induits par l av nement des TICE en g n ral et des logiciels de g om trie dynamique en particulier Un besoin de formation des enseignants s est ressenti d o des sessions successives de formation des enseignants des futurs enseignants et de tous les acteurs impliqu s Des quipements n cessaires sont mis la disponibilit des tablissements Or ces formations se centrent uniquement sur le mat riel accompagnant ces technologies et sur leur mode d emploi et non pas sur l apport pist mologique ventuel des variables didactiques spatiotemporelles que ce mat riel rend d sormais disponibles La g om trie est pourvoyeuse de moyens de mod lisation pour les math maticiens et gagnerait par cons quent tre outil d enseignement Par contre pour les pratiques scolaires la g om trie est uniquement objet d enseignement La g om trie s
13. prenants et d instaurer une nouvelle structuration des contenus d enseignement sugg rant enseigner autrement Un exemple arch type un point chutant comme mod le g om trique plausible du mouvement de corps en chute libre Le plan tant rapport un rep re orthonorm 0 1 7 g un r el positif l on consid re les droite D et G d quations respectives D x 1 G 7y g repr sent es sur la feuille du papier comme suit Posons pour tout point T sur OI xr t et T la projection orthogonale de T sur G l on consid re le rectangle OTT O Si O est laxe des temps 0 j l axe des positions instantan es trajectoire d un point mobile anim d un mouvement rectiligne d acc l ration g Il serait important de montrer que la surface rectangulaire OTT O balay e par le segment TT de l instant 0 l instant t voit son aire a t varier avec une vitesse a t gale TT soit g Quel serait donc le lieu des points T de TT tels que TT a t on s int resse ici un proc d de gen se point par point de ce lieu pour illustrer les configurations de points et la dialectique configuration d configuration qui comme nous l avons soulign ci dessus fait pendant la dialectique monstration d monstration O T coupe D en un point H et 0H coupe TT en le point T cherch Quand T parcourt O1 H tant un point fixe le
14. sique que tout enfant de 8 9 ans saura r soudre Ce diagramme active comme variable didactique de commande l animation pour d velopper chez l apprenant propos des l ments fondamentaux de g om trie analytique une conception qui en fait les l ments constitutifs de la strat gie optimale de capture du mouvement Constat pr occupant 153 l ves ing nieurs sur 169 soit 90 53 des tudiants n ont pas su r soudre le probl me Quant aux tudiants licenci s es math matiques la quasi totalit des tudiants interrog s taient incapables de retrouver le diagramme mod lisant l volution des deux trains Ces r sultats r v lent un fait les pratiques scolaires promeuvent une conception au domaine d efficacit trop limit de la fonction num rique de la variable r elle Cette notion fait les frais d un obstacle didactique qui concernerait les premiers enseignements de l analyse math matique Le seul moyen de d voiler et cette conception et cet obstacle serait de proposer une alternative la mani re avec laquelle on aborde habituellement cette notion et ces enseignements Les connaissances impliqu es dans les tests sont tr s simples voire triviales Les r ponses obtenues montrent que malgr cette simplicit ces connaissances ne sont pas int gr es par la majorit des tudiants Nous estimons que ceci constitue un argument assez fort en faveur de l approche que nous sugg rons quant l ens
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