Année scolaire 2013/2014 PCSI ds9 Le 24 mai 2014
Contents
1. expression de P Y lt k c est dire la probabilit de gagner en au plus k essais c Trouver pour 1 5 une relation entre P Y k P Y lt k et P Y lt k 1 e En d duire la loi de Y d On note G le gain du joueur Donner la loi de G ainsi que l expression de son gain moyen e Comment d terminer pour que le jeu soit consid r comme quitable Exercice 4 On consid re E un espace vectoriel rapport une base B e1 e2 e3 Dans tout l exercice on associe tout nombre r el a l endomorphisme de R d fini par les conditions P e1 1 2e2 e3 D e2 e1 a 3 e2 a 1 ez Pale3 2e1 de aeg 1 Ecrire la matrice de dans la base e1 e2 e3 2 On consid re Po a Montrer que est un automorphisme b D terminer la matrice de son automorphisme r ciproque dans la base e1 e2 e3 3 On revient au cas g n ral a D terminer les valeurs du param tre a pour lesquelles est de rang 3 b D terminer pour chaque valeur du param tre a le noyau de not Ker et l image de not e Im a on demande dans chaque cas une base et la dimension de Ker et Im c D terminer les valeurs de a pour lesquelles le vecteur e1 e2 e3 appartient l image de Ann e scolaire 2013 2014 PCSI ds9 LE 24 MAI 2014 f e1 3e2 e3 4 On consid re maintenant les trois vecteurs 4 f2 2e1 4e2 e3 f32. toujours au hasard On note Xla variable al atoire gale au num ro de la bo te choisie et Y la variable gale au num ro de la boule tir e 1 D terminer la loi conjointe du couple X Y 2 En d duire la loi de Y on laissera le r sultat sous forme de somme 3 Calculer l aide d une interversion de variables l esp rance de Y 4 Calculer l aide d une interversion de variables la variance de Y Exercice 3 Une machine sous est constitu e de 4 roues mobiles Chacune est partag e en 8 secteurs identiques dont un seul porte l inscription gagn On fait tourner chaque roue derri re un panneau qui est muni d une fen tre La rotation de chaque roue am ne au hasard l un quelconque de ses secteurs dans la fen tre de la machine Pour une mise de 2euros on a le droit d immobiliser les roues de son choix et de faire tourner les autres Pour gagner ce jeu il faut amener tous les secteurs gagnants dans la fen tre de la machine Au d part aucun secteur gagnant n est visible On a droit 5 essais Si on perd on perd donc 10 euros Si on gagne en c essais on gagne une somme gale Seuros d o on d compte 2 x x euros correspondant la mise totale Par exemple Si S 20 e Si l essai 1 les roues 1 et 3 ont affich leur secteur gagnant et pas les deux autres Ann e scolaire 2013 2014 PCSI ds9 LE 24 MAI 2014 e On r alise un second essai On immobilise les roues 1 et 3 et on f
3. Ann e scolaire 2013 2014 PCSI ds9 LE 24 MAI 2014 CALCULATRICES NON AUTORISEES Les r sultats seront encadr s Mode d emploi e Steve remplace l exercice 1 par l exercice 5 e Les autres tudiants traitent les exercices de 1 4 Exercice 1 X est une variable al atoire finie valeurs enti res 0 n de loi px Ke o ny O px P X k on consid re k n la fonction gx d finie sur R par gx x 5 pra gx est appel e fonction caract ristique de X k 0 1 Exemples d terminer la fonction caract ristique e d une variable al atoire de Bernoulli de param tre p e d une variable al atoire binomiale de param tres n et p 2 On revient au cas g n ral a D terminer les expressions de g et g b En d duire que E X g 1 et trouver l expression de V X en fonction de g 1 et g 1 d e Montrer X tant toujours une variable al atoire finie valeurs enti res que pour tout l ment s de 10 1 gx s E s Pr cisez quel th or me vous utilisez c Retrouver ainsi l esp rance et la variance d une loi binomiale Retrouver ainsi l esp rance et la variance d une loi uniforme sur 1 n Exercice 2 Soit n un entier naturel non nul on consid re n bo tes num rot es de 1 n not es B1 B2 Bn Pour tout k 1 n la bo te B contient k boules elles m mes num rot es de 1 k L exp rience consiste choisir une bo te au hasard puis en extraire une boule
4. ait tourner les roues 2 et 4 si la roue 2 a affich son secteur gagnant et pas la roue 4 e On r alise un troisi me essai gardant immobiles les roues 1 2 3 et en faisant tourner uniquement la roue 4 Si ce moment la roue 4 affiche son secteur gagnant on dit qu on a gagn ce jeu e Dans ce cas le gain du joueur est de 20 3 x 2 14 euros e Si le joueur a perdu la partie son gain est de 10 euros 1 Lors d un premier essai on fait donc tourner les 4 roues Soit X le nombre de secteurs gagnants obtenus Quelle est la loi de X Quelle est la probabilit de gagner ce premier essai 2 On suppose que ce premier essai n est pas concluant et on proc de un deuxi me essai en bloquant les roues ayant ventuellement amen le bon secteur a Sachant que l v nement X1 k avec 0 lt k lt 3 est r alis quelle est la probabilit de gagner ce deuxi me essai b A l aide de la formule des probabilit s totales en d duire la probabilit de gagner en exactement deux essais 3 On d finit la variable Y par e Si le joueur a perdu on pose Y 0 e Sinon Y d signe le nombre d essais effectu s pour gagner ce jeu a Donner la probabilit qu une roue donn e n am ne jamais le secteur gagnant au bout de k essais cons cutifs En d duire la probabilit pour qu une roue donn e am ne le secteur gagnant en au plus k essais b En d duire pour k compris entre 1 et 5 l
5. e3 a Montrer que f1 f2 f3 est une base de E on note B cette base b Calculer 1 f1 P1 f2 P1 f3 en d duire la matrice de dans la base B 5 On consid re l endomorphisme _2 Pour R on note FE l ensemble d fini par u R tels que _o u Au a D terminer les valeurs telles que Ea 0 n est pas forc ment un nombre entier b Pour chacune des valeurs de trouv e la question pr c dente d terminer x c est dire donner une base et la dimension de Fz c En d duire une base w1 v2 v3 dans laquelle la matrice de _2 est une matrice diagonale que l on pr cisera Pour Steve remplacer l exercice 1 par l exercice suivant Exercice 5 Un individu gravit un escalier chaque fois avant de faire un pas il lance une pi ce non quilibr e donnant pile avec la probabilit p avec 0 lt p lt 1 2 et progresse d une marche s il obtient pile et enjambe deux marches d un coup s il obtient face 1 Pour n N soit Xn le nombre de marches gravies l issue des n premiers pas et X le nombre de fois o l individu a progress par enjamb es de 2 marches au cours des n premiers pas a D terminer une relation simple liant Xn et X En d duire la loi de X b Donner les valeurs de l esp rance et de la variance de Xn 2 Pour n N soit Y le nombre al atoire de pas justes n cessaires pour atteindre ou d passer la n marche Quelles sont
6. les valeurs prises par la variable al atoire Yn D terminer la loi de Y4 puis celle de Y2 et pr ciser l esp rance de ces deux variables al atoires Montrer que Yk EN Vn gt 3 Ph k pP Yn 1 k 1 1 p P Yn 2 k 1 3 On consid re l ensemble E des suites un nen telles que Yn gt 3 Uun pun_1 1 p un 2 1 a Montrer qu il existe un r el a que l on d terminera tel que la suite an appartient E b Montrer que un appartient E si et seulement si la suite vy nen O Un Un an v rifie la relation Vn E N Un pun 1 1 p Wn 2 c En d duire la valeur de E Y
Download Pdf Manuals
Related Search