Dérivation
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1. Fonctions d rivables Certaines fonctions sont d rivables et d autres pas Par exemple la fonction valeur absolue n est pas d rivable Plus pr cis ment elle n est pas d rivable partout mais elle est quand m me d rivable sur R c est dire partout sauf en 0 Donc nous dirons crirons des phrases de la forme f est d rivable sur avec f fonction et partie de R souvent un intervalle La valeur de la d riv e La d riv e c est la pente de la tangente et la tangente c est la limite des s cantes C est important de comprendre a pour avoir une bonne intuition de ce qui se passe mais on n utilise presque jamais cette d finition On se d brouille presque toujours avec les formules magiques parce qu il y en a une pour chacune de nos recettes de fonctions D river une somme en gros Pour d river une somme c est pas trop compliqu La d riv e d une somme c est la somme des d riv es Et la formule c est ER EEE D river une somme en d tail Comme on a un peu de temps on regarde un peu en d tail Si f et g sont deux fonctions d rivables alors f g est aussi d rivable et sa d riv e est la somme de celle de f et de celle de g Plus g n ralement si f et g sont deux fonctions d rivables sur une partie de R alors f g est aussi d rivable sur et sur sa d riv e est la somme de celle de f et de celle de g Comme on aime bien l alg bre on t2. D rivation D dou F vrier 2011 Le type de la d rivation On d rive une fonction en un point et a donne un nombre mais a ne marche pas toujours La d riv e de f en a est not e f a Tout ceci est condens dans la carte de visite de la d rivation Der R R xR gt R f a gt f a La fonction qu on d rive n est pas forc ment partout d finie d o le premier L et sa d riv e encore moins d o le second La d rivation qu on vient d voquer concerne les fonctions On ne peut pas crire par exemple x 1 2x parce que x 1 est un nombre et pas une fonction Il faut crire x x2 1 x 2x ce qui est un peu nervant Ou alors comme on a fait en Terminale on pose f x x 1 et on constate qu on a f x 2x dans cette pr sentation il faut pr ciser pour tout r el x ce qui est aussi un peu nervant La d riv e de x x sin x est x gt 2x cos x Calculer la d riv e de la fonction x gt xsin x La notation de Leibniz On peut aussi d river un nombre comme x 1 mais alors il faut pr ciser la variable par rapport laquelle on d rive ici x C est ce que permet la notation de Leibniz avec laquelle on peut crire Lie 1 2x Cette notation qu affectionnent les physiciens est dangereuse et nous l viterons soigneusement Donner la d riv e de x gt 2x en utilisant la notation de Liebniz
3. a u partout et on a tendance l oublier un peu trop souvent Exemple La fonction f x gt sin e 1 est de la forme sin u avec u x e 1 On a donc V x e et f xm e cos e 1 Calculer la d riv e de x esinx 1
4. nge cette fois c est Le f g fg g goo En plus il faut faire attention au domaine de d finition qui est donn par la formule DD x DDf N DDg g x 0 D river une compos e en gros La composition est l op ration compliqu e concernant les fonctions Quand on crit f g x a cache une fonction compos e Comme on ne peut pas dire que cette fonction c est f g on dit que c est fo g La formule pour la d riv e de f og c est Fogy g f og Elle est un peu horrible D river une compos e en d tail fogy g f og Plus encore que celles pour la somme et le produit cette formule a un mode d emploi subtil On va le d cliner en deux temps Si g est d rivable en a et f est d rivable en g a alors f o g est d rivable en a et la formule s y applique Si sur l intervalle g est d rivable et prend ses valeurs dans l intervalle J si enfin f est d rivable sur J alors f o g est d rivable sur et sa d riv e y est donn e par la formule D river une compos e les cas qui servent Fogy g f og Les cas qui servent sont ceux o f est l une de nos cinq fonctions favorites a donne les cinq formules magiques cos g g sing sin g g cosg e g e i E U g ag g Les formules magiques avec u au lieu de g cos u u sinu sin u u cos u ey u e In uy S u au yu t Attention il y
5. ra te les combinaisons lin aires La d riv e d une combinaison lin aire c est la combinaison lin aire des d riv es Et la formule c est AF ug XF ug Et dans la version pr cise a donne Si f et g sont deux fonctions d rivables et et u sont deux r els alors Af ug est aussi d rivable et sa d riv e est Af ug Plus g n ralement si f et g sont seulement d rivables sur une partie de R alors Af ug est aussi d rivable sur et sur sa d riv e est la combinaison lin aire Af ug Lin arit de la d rivation sur R Les fonctions sur R constituent un espace vectoriel R avec les op rations qu on sait e Les fonctions d rivables constituent un sous espace vectoriel D R de cet espace vectoriel Et la d rivation D R R est une application lin aire Lin arit de la d rivation sur un intervalle Soit par exemple un intervalle Les fonctions sur constituent un espace vectoriel R avec les op rations qu on sait e Les fonctions d rivables constituent un sous espace vectoriel D 1 de cet espace vectoriel Et la d rivation D R est une application lin aire D river un produit Pour un produit c est pareil y a que la formule qui change La d riv e d un produit ce n est pas le produit des d riv es La formule c est D river un quotient Pour un quotient y a encore que la formule qui cha
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