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Université Pierre et Marie Curie Processus stationnaires et prévision

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1. e Var X Cov X X Proposition 2 10 1 Soit X et Y des v a r elles ind pendantes et int grables Alors le produit XY est int grable et E XY E X E Y Par cons quent la covariance de deux v a r elles ind pendantes est nulle la r ciproque tant fausse 2 Soit X1 Xn et Y1 Ym des v a r elles dans L Q P Alors co X k Xk ax gt gt AkurCov Xk Yr k 1 r 1 k 1 r 1 Si X 1 X sont ind pendantes alors Var MX 2 A Var Xp Pour des v a r elles centr es et de carr sommable l ind pendance implique l orthogonalit dans L Q P et donc en appliquant la proposition 1 19 on obtient Proposition 2 11 Soit X une suite de v a r elles ind pendantes dans L Q P centr es et telles que 5 Var X lt Alors la s rie 5 Xn converge dans L Q P Un th or me tr s important en probabilit s est la loi forte des grands nombres ou th or me ergodique Nous en donnons une preuve dans L Q P qui sera reprise dans le cadre des processus stationnaires En fait ce th or me est valable dans L1 Q P mais sa d monstration est alors beaucoup plus difficile Th or me 2 12 Soit X une suite de v a r elles dans L Q P ind pendantes et de m me loi Alors en notant m leur esp rance commune on a 1 Mn gt X1 X2 Xn gt m p s D monstration On peut supposer m 0 L in galit d
2. bz DU e2ir m 27 X 0 o m E t X tmy et o l Ext Z est donc gaussienne Inversement si X est gaussienne alors px t E e it X pz 1 e2inm 2r 0 _ 2intmx 27 Ext Comme toute combinaison lin aire de X1 Xn s crit sous la forme t X la d finition 2 23 est v rifi e O 44 Chapitre II Rappels de probabilit Lemme 2 27 Soit X U V un vecteur gaussien dans R avec U RP et V ER alors U et V sont des variables al atoires ind pendantes si et seulement si Zyv 0 D monstration Il suffit de constater que Eu y 0 est quivalent au fait que le pro duit des fonctions caract ristiques de U et V aux points t et t2 est gal la fonction caract ristique de X au point t1 t2 oO Exemple 2 28 Soit X1 X des v a r elles N 0 1 ind pendantes alors le vecteur X X1 Xm est gaussien En effet la d finition 2 23 est satisfaite car la somme de v a gaussiennes ind pendantes est toujours gaussienne videmment ici mx 0 et Xy I matrice identit donc X suit une loi M 0 I Cette v a a une densit car gr ce la proposition 2 8 fx mis 2m fx fxn 8m 27 V2e 2 2 e tml2 2r 2e 3 Cu On a vu que les v a gaussiennes r elles ont une densit si et seulement si leur variance est non nulle Que peut on dire dans le cas multidimensionnel L outil de calcul de base est le r sultat d alg bre lin aire su
3. et comme Xn X en probabilit P X Xn gt a 0 o 38 Chapitre II Rappels de probabilit Proposition 2 5 Si X converge en probabilit vers une constante a et Y converge en loi vers Y alors Xn Yn converge en loi vers a Y D monstration En reprenant les notations de la preuve pr c dente on peut crire IE Y Xn Yn E p a Y lt E lko Xn p a Y l HE p a Ya E e a Y La quantit E w a Y E y a Y tend vers 0 par hypoth se et pour le premier terme on op re comme dans la d monstration p c dente o 2 3 Ind pendance Soit X X1 X2 Xn une famille de v a r elles consid r e comme une v a valeurs dans R On peut d finir sa loi Px par Px B1 x B2 x X Bn P X Bk pour toute famille B1 Bn de bor liens de R D finition 2 6 On dit que les v a r elles X sont ind pendantes si la loi Px est le produit des lois Px k 1 n ou de fa on quivalente P N XTB PA B k 1 k 1 pour toute famille B B de bor liens de R ou encore nm n Lao I Elx k 1 k 1 pour toute famille 1 Yn de fonctions continues support compact ou mesurables positives Proposition 2 7 Soit X resp Yn une suite de v a r elles qui converge en probabilit vers X resp Y Si pour tout n les v a Xn et Yn sont ind pendantes il en e
4. tsz t tSn ilon suppose que la suite nun est born e alors la convergence de on vers une limite implique la convergence de s vers la m me limite Il existe une version convergence uniforme de cette propri t Proposition 1 42 Soit f L T dx continue sur un intervalle a b C T On a alors 1 lim on f t f t uniform ment pour t a b 2 Si la suite nf n est born e alors limy_ s Sn f t f t uniform ment pour t a b 1 3 Transformation de Fourier sur R D finition 1 43 Soit f L R dx On d finit alors TO Fead I war R Si lon veut tendre par analogie au cas de L R dx la notion de transformation de Fourier d finie dans le cas d une suite a Z par Fa t Ynez anY n t on constate que malheureusement l int grale Z f t west d finie que pour f L R dx et il faudra donc modifier cette d finition pour introduire la transformation de Fourier sur L R dx I 3 Fourier sur R 17 1 3 1 Transformation de Fourier sur L R dx On notera par Co l espace des fonctions complexes continues sur R qui tendent vers zero linfini Proposition 1 44 Soit f L R dx alors Zf t fg f u du est une fonction de Co D monstration La continuit et m me la continuit uniforme r sulte de FE h TS lt T ya 2 1 1 1 de et on applique Lebesgue Pour la limite linfini la preuve est tout fait analogue celle de 1 35 On commence pa
5. finalement fE V2r ESS Cette m thode est parfois utilisable On essaie de d river f avec la formule de la propo sition 1 45 et on esp re que f est solution d une quation diff rentielle que l on sait r soudre I 4 Convolution 23 1 4 Convolution Soit f et g deux fonctions mesurables d finies sur R resp sur T Z Z On d finit formelle ment leur convolution f g par f g 2 f fOg e dt resp 1 Far dt f gln Y Fan k keZ Afin de ne pas alourdir l expos on traite simultan ment les trois cas en tenant compte du fait que sur Z presque partout signifie partout et que la continuit des fonctions est sans int r t Th or me 1 62 Soit f une fonction sommable 1 Sig est sommable la fonction f xg x est d finie pour presque tout x est elle m me sommable et f x gll1 lt f l1 lgll1 De plus la convolution des fonctions sommables est associative et commutative 2 Si g est de carr sommable la fonction f x g x est d finie pour presque tout x est elle m me de carr sommable et f gll2 lt f 1llgll2 3 Si g est essentiellement born e la fonction f x g x est d finie pour tout x est uniform ment continue et sup f g x lt flh1 lgll D monstration Nous nous contenterons de donner la preuve dans le cas le plus difficile c est dire celui de R Dans chaque cas il faut prouver que la d finition formelle ci dessus a bien un sens c est dire que l in
6. Pn W Proj Xo Xn 1 n 1 W Proj Xo Xn 1 Xn 1 Pat Pnkr d o la relation demand e V 4 Matrices de Toeplitz 87 Remarque 5 39 En fait l algorithme est consitu par la boucle suivante Initialisation po cx 0 Ensuite on trouve cx a 1 a k cx 0 i Pour m 2 n il faut faire ensuite dans l ordre e le calcul de km puis de pm e le calcul de a pour k 1 m Ce calcul demande O n op rations 5 4 2 Prolongement AR d un segment de covariance Proposition 5 40 Inversion de l Algorithme de Levinson Si l on dispose du syst me py aM a ai obtenu par l algorithme de Levinson ou par tout autre moyen avec py 0 alors on peut reconstruire RN 1 X Autrement dit il n existe qu une seule matrice de covariance de dimension N 1 poss dant les sp cifications ci dessus D monstration Supposons connu le syst me Pn 1 aie rue T Le calcul des coef ficients l ordre n est un simple probl me lin aire associ la matrice M I kn 1 D d ordre n o les termes de la matrice D sont nuls sauf ceux de la seconde diagonale qui sont gaux 1 On v rifie facilement que M est inversible si k amp 7 1 ce qui est im pliqu par pn 1 0 On a aussi bien s r pn 0 On peut donc calculer tous les syst mes de coefficients ainsi que les px jusqu l ordre 1 et il est alors facile de constater par r currence que c
7. d terminer la loi de X Y et donc de Z Par contre si on rajoute l hypoth se X et Y ind pendantes et de m me variance on d duit imm diatement que X Y est gaussienne bidimensionnelle de matrice de 12 gt 0 covariance o 1 0 5073 Proposition 2 32 Un vecteur al atoire complexe Z1 Z2 Zn est gaussien si et seulement si en posant X Re Z et Y Sm Z on a 1 Le vecteur X Y de dimension 2n est gaussien r el 2 Ex Xy et Xix X yx En particulier Xz 2 x i y x Donc la donn e de mz et Xz d terminent la loi de Z D monstration Soit a a i un l ment de C dZ X BY iaY BX U iNV Eu a Eya b Eyb d ExyB m BEx ya Ey d Xya p Exb ad Eyb p Exya Euv dExya d Exp p Eya B Eyyb On suppose Z gaussien Alors V a Y B X est gaussien r el pour tout choix de a et B et donc X Y est gaussien dans R En faisant 8 0 la relation Var U Var V 46 Chapitre II Rappels de probabilit entra ne Xy Xy et l ind pendance de U et V implique Zuy d Exya 0 pour tout a et donc Xy y antisym trique On a donc prouv 1 et 2 On suppose 1 et 2 v rifi s D apr s 1 le couple U V est gaussien dans R Les relations ci dessus et 2 entra nent Xy y et Xy y 0 d o l on d duit que a Z est une variable gaussienne complexe On a 5z Xx Xy 1x y iX x 2x vx o D finition 2 33 Un processus r el resp complexe X est dit gaussien si tout
8. l application f f n nez est une application lin aire bijective et isom trique de L T dx sur Z L application r ciproque est d finie par fn nez X Ann nez cette derni re s rie tant convergente dans L T dx Remarquons enfin que l on peut traiter des fonctions p riodiques de p riode quelconque en se ramenant sur le we T par un simple changement de variable Pour un intervalle A B on pose Tr m et H L A B rdx Proposition 1 32 Soit f H 1 La famille yn t est une base orthonorm e de H Jaane OC a T J FEP de Enez F b f FN Ynr la s rie tant convergente dans H 14 Chapitre I Analyse de Fourier 1 2 2 Transformation de Fourier d une suite de Z D finition 1 33 Pour une suite a Z on d finit sa transform e de Fourier Fa comme l l ment de L T dx somme de la s rie an tnez Fa das nez cette derni re s rie tant convergente dans L T dx De m me on d finit Fa par an nez R Fa gt Ann nez Remarque 1 34 Si l on avait d cid de noter Ff n les coefficients de Fourier de f L T dx le th or me 1 31 est alors quivalent F o F F o F Identit On peut constater que si a Z alors la s rie d finissant Fa converge uniform ment sur T vers une fonction continue sur T On note alors Za la fonction continue obtenue de pr f rence Fa pour bien indiquer qu il s agit d une fonction d finie point par poin
9. FOIE 0 du O O lt lr 7rur co du et il suffit d appliquer la rubrique 2 avec glu f Ta fll IA IA 16 Chapitre I Analyse de Fourier La Proposition est donc prouv e O Remarque 1 38 Une cons quence imm diate de cette proposition est qu une fonction de L T dx est d finie par la suite de ses coefficients de Fourier Nous n avons tabli jusqu pr sent que la convergence en moyenne des s ries de Fourier La proposition suivante permet d obtenir une convergence ponctuelle mais vers une ver sion r gularis e de f plut t que vers la fonction f elle m me D finition 1 39 Si f est une fonction sur T on d finit JO 3 imt u fl u lorsque cette limite existe Proposition 1 40 Soit f L T dx et to T un point o f to existe On a alors 1 on f to F to lorsque n co 2 Si la suite nf n est born e alors Sn f to f to lorsque n 00 D monstration On peut crire 0 1 2 Onf to jrs f to u Kn u du i f to u Kn u du 1 2 1 2 f to u Kn u du f to u Kn u du 0 0 1 2 nftto Fo 2 f Fo 0 Flo 0 2 Flto Kalu du En d coupant cette derni re int grale sur un voisinage de 0 et son compl mentaire on obtient la premi re partie de la proposition La seconde repose essentiellement sur le lemme suivant dit de Hardy Landau Lemme 1 41 Soit u est une suite de nombres complexes On pose Sn u1 u2 Un et On
10. q V Donc est MA O Un aspect typique des processus M est le fait que leur fonction de covariance est support fini on a en effet cx k 0 pour tout k k gt q Ceci peut tre vu avec la formule de la covariance cx k q x 4 k n gt q n q n k o de fa on plus intuitive en remarquant que si on note Alz 1 z b421 et Bo 1 q q q cx k iS BUA Y Olaa gt Bi BnrE Un k Un n Ei h 0 j h 0 Or si k gt q les indices n k j sont tous gt n Donc E U 4 j n n 0 pour tout hk j Par contre si k q alors E U 4 j n h l pour j q et h 0 alors que E Un k Un h 0 pour toute autre valeur des indices Il s ensuit cx q b4 0 Cette propri t caract rise quelque chose pr s les processus M A comme le montre le r sultat suivant Th or me 5 19 Soit X un p s c Alors X est M A q si et seulement si 1 Sa covariance v rifie cx q 0 et cx n 0 pour n gt q 2 Sa mesure spectrale ux poss de une densit strictement positive sur T D monstration Si X est MA q on vient de voir 1 et 2 est une cons quence du th or me 5 17 1 et du fait que Q n a pas de racine de module 1 Pour la r ciproque d apr s la proposition 5 18 il suffit de montrer que la densit de ux soit f he cx k 7y_x peut s crire sous la forme f Q y 1 pour un polyn me Q de degr q qui n aura pas de racines de
11. 0 041 3 0 6 La s rie avait t simul e avec le param tres o 0 36 et ai 0 3 a2 0 az 0 7 6 3 2 Les estimateurs du maximum de vraisemblance En g n ral pour estimer les param tres d un mod le ARM A p q il est naturel de chercher calculer l estimateur du maximum de vraisemblance Malheureusement la vraisemblance elle m me est ici difficile calculer Si on suppose que le bruit blanc est gaussien il s agit en effet de calculer 1 1 L ex 37Rp 2 6 0 27 2 det Rn 1 2 P 2 n o a1 Qp 1 Bq est le vecteur des param tres R est la matrice de Toeplitz l ordre n et x 1 n sont les valeurs observ es de la s rie n est donc le nombre d observation qui peut tre tr s grand Il s agit donc de calculer les valeurs de c2 qui rendent la quantit Le 2 maximum Cette op ration est ardue cause du calcul de linverse de la grosse matrice Rn Plusieurs m thodes num riques notamment de type r cursif ont t d velopp es pour mener bien le calcul de l estimateur et se trou vent dans tous les textes sur les s ries chronologiques Nous allons nous passer de leur description pour deux raisons D abord parce que tout logiciel statistique poss de d j VI 3 Estimation des param tres d un processus ARMA r el 101 programm ce genre de calcul Deuxi mement parce qu on verra plus loin un autre esti mateur plus simple calculer
12. 2 O On peut tendre au cas continu la notion de noyau de F jer introduite dans les s ries de Fourier 18 Chapitre I Analyse de Fourier D finition 1 47 Pour T gt 0 on d finit le noyau de F jer Kr t QG Halu du A Je Jo wu r 4 0 dudv Et pour f L R dx on pose Krf He u Kr u du 0 Kr t u du Cette d finition a un sens puisque Kr est une fonction born e Proposition 1 48 Le noyau de F jer poss de les propri t s suivantes sin rnTt 1 Kr t TT j et donc Kr t gt 0 2 f Krt dt 4f ane ar 1 D monstration L assertion 1 r sulte d un calcul simple La Preuve de 2 est plus difficile car l on ne peut pas utiliser directement le th or me de Fubini mais l on peut se servir de la m me propri t du noyau de F jer sur le tore f A Dm ef CRD EURE n 1 1 2 sin Tt 1 2 n l rt sin Tt o ee z n 1 de T J n 1 z 2 T sin n 1 Le r sultat est maintenant une cons quence du th or me de Lebesgue o Lemme 1 49 Soit g une fonction born e continue l origine Alors f Kr u g u du g 0 lorsque T D monstration Au vu de la proposition pr c dente et du fait que limT oo J ia Kr t dt 0 la preuve est identique celle du noyau de F jer sur le tore si l on prend en compte le lemme suivant d j d montr sur le tore o Lemme 1 50 Soit f une fonction dans LP R dx avec 1 lt p lt Alors l appli
13. En particulier X f u x dZX repr sentation de Cramer Khintchine 66 Chapitre IV L int grale de stochastique D monstration 1 Pour f x Lquuy t on a JFG az Z z Wx 00 0 Wx sou gt Wa Qu ul Wx f La m me relation subsiste si f est une combinaison lin aire d intervalles semi ouverts Par cons quent les deux isom tries int grale de Wiener et Wx co ncident sur un sous espace dense de L ux L uz et donc partout 2 Ceci r sulte de la formule pr c dente en prenant f x y x El Ceci prouve que dans le cas d un p a 0 d duit d un p s c les isom tries d finies par l int grale de Wiener et Wy sont identiques C est pourquoi on remplace souvent cette isom trie Wx par la notation int grale correspondante Corollaire 4 8 Soit X t R un p s c continu en m q et soit h L R dx un filtre stable alors le p s c Y h X admet la repr sentation f nee ax De m me pour y L R ux on peut consid rer le processus filtr g n ralis de X soit Y f p dZX Alors pour g L R uy on a f g dZ f gp dZ De plus on peut crire X f y dZY si et seulement si 6 Z 0 ux p p et alors Llezo D monstration On sait d apr s 3 24 que Y Wx yh Il sufft ensuite de traduire les propositions 3 27 et 3 28 o Les nonc s pr c dents traitaient les cas des processus stationnaires index s par R Les m mes arguments permettent de p
14. Le ar ed D an Xn gt am Xm 5 gt GATE De Xm 2 La fonction t w a t X w est dt amp dP int grable puisque a Oxa f aE d lt Vlah Ya 112 58 Chapitre III Th orie spectrale o on a utilis l in galit Xll lt X4 2 4 c 0 On en d duit par Fubini que l int grale J la t Xl dt est P int grable donc P p s finie Ensuite E YY e J a t X dt J a u Xu du et on v rifie que t u w a t la u X Xu est dt 9 du amp dP int grable en utilisant la majoration E X X lt c 0 En utilisant Fubini on obtient Y12 J tja E XX di du Intuitivement le fait Y H X est assez vident puisque Y s crit comme une fonction des X Pour le prouver rigoureusement il suffit de montrer que si Z L Q P est or thogonal tous les X alors Z est orthogonal Y Or Y Z E Y Z E f a t X4Z dt Le th or me de Fubini donne alors Y Z f a t X4 Z dt 0 En choisissant Z 1 on a E Y 0 O Remarque 3 20 Dans le cas o X est un bruit blanc on conserve la convergence de la s rie ez an Xn si l on a seulement a Z mais on n a plus n cessairement la convergence p s Le th or me suivant montre comment peut on utiliser les filtres pour obtenir de nouveaux p s c partir d anciens Th or me 3 21 Soit X un p s c et
15. X en appliquant le filtre causal ayant transform e en z donn e par a Qe Sa densit sp ctrale vaut donc e it ET in or P f o t r Deer FCE t Il suffit maintenant de remarquer que la variance E Y est gale l int grale sur T de la densit spectrale o On peut maintenant consid rer pour C la fonctionnelle D3 M SEF gt a n 6 15 o tj Fn Si on consid re que Z t est un estimateur de f o t j on peut voir Y comme une approximation de l int grale 6 13 On peut en effet montrer que Yn converge p s vers l int grale 6 13 pour n co Le vrai param tre o tant la valeur de qui minimise 6 13 d finissons comme la valeur de qui minimise 6 15 dans C La quantit dans 6 15 est parfois appel e la vraisemblance de Whittle En effet l estimateur En jouit de tr s bonnes propri t s Th or me 6 26 Si n est assez grand il existe une valeur unique amp C telle que argmin EEC De plus En o p s et A rs lim yn En o Po N 0 oTe n oo o Tg est la matrice p q x p q d crite dans 6 9 De plus limn oo Yn n 0 p s VI 3 Estimation des param tres d un processus ARMA r el 107 En particulier l estimateur de Whittle a m me variance asymptotique que celui du maximum de vraisemblance
16. consid r e comme une fonction de r partition Proposition 4 19 Soit N un processus de Poisson de param tre 1 Soit f une fonction positive de L R dt alors 00 UNA FOA 2 Soit f et g des fonctions positives dans L R dt alors 00 Cov N f N g I FOJE dt 72 Chapitre IV L int grale de stochastique D monstration On tablit la premi re formule pour f 1 4 avec de mesure finie et on passe aux limites croissantes de combinaisons lin aires finies Pour la seconde on raisonne de m me avec f 14 et g 1 g et on v rifie qu il suffit d tablir cette formule dans les cas et B disjoints et B o Si l on veut utiliser la construction de l int grale par rapport un p a o on doit con sid rer le processus centr N N At sinon la propri t de p a i n implique pas celle de p a 0 qui a pour mesure structurelle Adt sur R et l on a Proposition 4 20 Soit p une fonction positive de L R dt N e f ete de f p t dt Supposons par exemple que des photons arrivent sur une plaque aux instants Tn Un photon arriv l instant u induit une luminosit l instant t gt u donn e par g t u g tant une fonction positive d croissante nulle sur R7 Alors la luminosit totale l instant t est Li gt g t Ta N Lio u g t u f g t u aN af g t u du n lt N L int grale par rapport Nu correspond la par
17. d de calcul r cursif des coefficients a appel algorithme de Levinson plut t que d inverser la matrice R _1 On le verra au prochain paragraphe Remarque 5 35 On remarque que si on a n Proj Xn 1 X1 X2 Xn SAO Riik k 1 alors utilisant l op rateur unitaire 7 on a aussi pour tout n Z et s gt 0 s POG Oaa ea k 1 donc le coefficient af est la corr lation partielle d finition 5 13 Remarque 5 36 Soit X un processus AR p de couple canonique P P z 1 ui agz Gr ce la remarque 5 10 si n gt p la projection X 1 de Xn sur Hy _1 X co ncide avec Xn Proj X X1 Xh Celle ci par ailleurs proposition 5 9 vaut P Xn n 1 gt OLA EE k 1 Dans ce cas donc si n gt p la solution de l quation de Yule Walker est n 1 e sik lt p ak 0 sinon Donc les coefficients 1 n apparaissent comme solution de l quation de Yule Walker Cette remarque est la base d une m thode d estimation des param tres des mod les AR qu on verra au prochain chapitre 5 4 1 L Algorithme de Levinson On remarque que si on pose n n Proja As X Xa D a Xe SX 1 k 1 k 1 alors on a Pol Ces Re Y a Rs 5 4 k 1 Proj Xo X1 Xn af Xx 5 5 k 1 86 Chapitre V Processus stationnaires al atoires En effet pour la premi re relation il suffit d utiliser l op rateur unitaire de translation 7 Pour la seconde on constate que dans le cas r
18. fG 2nT 7 gt FelnT Y nr t nez nez La derni re s rie converge dans L T T et l galit est presque s re par rapport la variable t D monstration 1 Soit m un entier fix Puisque f est sommable la s rie d finissant y converge dans L T T dx et donc la s rie 32 Ymr t f t 2nT est int grable terme terme sur T T On a donc T T Pt 7 Oml d 7 DZ AmE E 2T dt nez 2n 1 T X D mtf du r felm nez 2n 1 T 2 Si y est de carr sommable sur T T on peut en utilisant 1 32 crire dans L T T dx g gt PN Inr ST gt felnT Y nr n n Si fe nT est de carr sommable alors d apr s 1 19 on peut affirmer que la s rie du second membre converge dans L T T dx vers une fonction Or le calcul des coefficients de Fourier de redonne la suite f nT et par cons quent y w O La derni re formule de ce th or me peut prendre une forme beaucoup plus pr cise appel e Formule de Poisson Corollaire 1 85 Soit f un signal r gulier tel que f soit aussi r gulier Alors DFE 2nT r f nr 1 nr t nez nez pour tout t Les deux s ries sont uniform ment convergentes sur tout compact et d finissent alors des fonctions continues de p riode 2T En particulier pour t 0 et en rempla ant 2T par T on obtient la formule de Poisson D fa IE nez nez D monstration Puisque f est r gulier alors la suite f nr f nrT est sommable et donc
19. gt 1 c P et Q n ont pas de racines communes On va noter C C R 1 l ensemble des vecteurs oise Dtoness Me 6 12 satisfaisant aux propri t s a b c ci dessus La donn e de C et a gt 0 d termine donc de fa on unique un processus ARM A p q canonique associ au triplet P Q a d termin gr ce aux relations 6 11 et 6 12 La densit spectrale de Xn n peut s crire o f E t o 2Tit 2 reo 2 P e2rit Proposition 6 25 Soit o C un vecteur fix Alors on a F 0 t J Her gt 6 13 pour tout O avec 1 106 Chapitre VI Statistique des processus du second ordre E AA Soit Xn n un processus ARM A p q avec coefficients o et variance o 1 Soit Poo Qes les polyn mes canoniques associ s On sait proposition 5 24 que le pr dicteur un pas de Xn sachant H X est donn par gt j gt 1 bS Xn 1 j o les coefficients b sont d termin s par 1 DL bozi Pal 2 j gt 1 Qco 2 De plus l erreur de pr diction vaut 1 Si C avec i o et 1 D bj zi j21 20 alors le pr dicteur j gt 1 b Xh 1 aurait une erreur de pr diction strictement plus grande que 1 C est dire 1 lt E Xa bi Xaaa 6 14 j21 On consid re le processus u kat Y b Xn s j21 de fa on que l esp rance math matique qui apparait dans 6 14 soit gale E Y Le processus Y est obtenu partir de
20. lt 1 Un calcul simple montre que d o gr ce l orthogonalit des v a Un E Y o 1 f2 1 E Z2 o 1 a et EYZ E S Una YAYU 32 0808 k 0 J 0 Donc ff NT Pre Grasi G A 102 Chapitre VI Statistique des processus du second ordre 6 4 Estimation du spectre d un p s c 6 4 1 Estimation de la densit spectrale Une des questions primordiales dans la th orie des processus du second ordre est l estima tion de la mesure spectrale On le fait classiquement en utilisant le p riodogramme D finition 6 19 Soit X1 X des observations d un p s c X On appelle p riodo gramme la fonction I T R d finie par 1 2 ht D Xeral ee Proposition 6 20 Soit Xn n un p s c tel que pour tout p Z la suite CE p n converge p s vers Cx p Alors la suite un de mesures positives sur le tore de densit s 1 t converge p s troitement vers 1x De plus E un T cx 0 pour tout n D monstration Supposons par exemple 0 lt p lt n On a alors x Fee Ia p 2D m5 dt i 1 j 1 Puisque 1 sii p j Yp i t dt l T 0 sinon ona siO0 lt p lt n l1 n p bp Y XX O j 1 Donc si p gt 0 T n 00 In p gt cx p Hix p Le m me argument tant valable pour p lt 0 le th or me de P L vy 3 11 permet de conclure o Un regard plus attentif la preuve de la pr
21. p s et dans L pour n oo Pour les autres termes on voit facilement que OOOO Pp Iz m Vn a On p m Donc 13 converge vers 0 p s puisque Yn p M p s pour n Le m me argument s applique I2 alors que la convergence vers 0 de T4 est vidente 6 3 Estimation des param tres d un processus ARMA r el 6 3 1 Estimation dans les mod les AR les quations de Yule Walker On suppose que X est un processus autor gressif AR p Il est donc d termin par la variance o du bruit blanc ainsi que de son polyn me canonique p P z 1 X orz k 1 On veut trouver un estimateur convenable de la variance o du bruit blanc ainsi que des coefficients a1 a Dans la remarque 5 36 on a vu que le vecteur a a1 a est solution de l quation de Yule Walker RQ c 6 5 o c cx 1 cx n et Rp est la matrice de Toeplitz des covariances l ordre p cx 0 cx 1 cx 2 cx p 1 r 0 cx 0 cx 1 cx p 2 mE cx p 1 cx p 2 yi cx 0 Pour estimer les param tres amp 1 p on peut penser de remplacer dans les quations de Yule Walker 6 5 les covariances cy k k 0 n avec leurs estimateurs empiriques 1 n k c0 x D XX j 1 Le vecteur des estimateurs al est donc obtenu en r solvant l quation de Yule Walker empirique Rat CP 6 6 o R est du m me type que Rp avec les cy k remplac s par les covariances empiriques C k et on d sign
22. sommable et Cp est alors une fonction sommable d o le r sultat suivant Proposition 1 68 Si f est sommable et g de carr sommable alors on peut calculer la fonction d autocorr lation de f x g qui est de carr sommable et l on a C fyg Cr Cy D monstration Supposons d abord que g est de plus sommable On a alors Cp x Cy f F gx 9 F g F 9 f 9 f x 9 Cisg Si un est une suite de fonctions de L convergeant dans L vers u alors pour tout x on a Cu x Cu x car Cu Un Trun converge vers u Tru Cu x Soit maintenant une suite de fonctions gn sommables et de carr sommable convergeant dans L vers g Alors puisque f gn est une suite de L convergeant dans L vers f xg on a Cagna Cf Con qui converge vers Cfg et aussi vers Cp C x par application du th or me de Lebesgue puisque C t lt lgnl lt K lt oO On peut bien s r appliquer la proposition 1 67 Cfg et obtenir de nouvelles formules de repr sentation spectrale au vu du th or me 1 64 et l on obtient Corollaire 1 69 Soit f de carr sommable et h sommable On a alors 1 Dans le cas de R on a C fxn t fg lA u PI u lu du 2 Dans le cas de T on a C falt D y lh n P f n n 3 Dans le cas de Z on a Cyun n frlh u f u 4n u du 26 Chapitre I Analyse de Fourier 1 6 Transform e en z Pour l inversion de l op ration de convolution sur Z on introduit c
23. 0 centr continu droite en m q et l on a Z Z ux ls t uz s t Dans la suite on notera Z ce p a 0 d duit du p s c X D monstration Soit ti lt t2 lt lt tn alors Zt Z4 Wx tk 1 tk pour k 2 n et l orthogonalit dans L Q P est une cons quence de l orthogonalit des indicatrices d intervalles Jtg 1 tg dans L R ux De plus Zt n Zell ux lt t hA et la continuit droite de t Z est une cons quence du th or me de Lebesgue Oo R ciproquement on peut construire un p s c partir d un p a 0 Proposition 4 6 Soit Z t R un p a 0 centr continu droite en m q et de mesure structurelle uz finie Alors la formule X f y u dZy d finit un p s c de mesure spectrale uz D monstration Puisque uz est finie alors les exponentielles complexes sont de carr int grable La formule de Parseval permet d crire XX f re u 1 e u duz u I y u duz u ce qui prouve que X est stationnaire et que sa mesure spectrale est gale uz o On peut combiner les deux r sultats pr c dents pour arriver la repr sentation dite de Cramer Khintchine qui permet d crire un p s c comme une sorte de transform e de Fourier Proposition 4 7 Soit X t R un p s c continu en m q et soit ZX le p a o associ par la proposition 4 5 Alors pour tout f g L ux L uz on a 1 J f x aZ Wx f 2
24. 1 32 en posant T 1 2T et T an t ou 4 x Y nr x dx ort nT on peut crire l galit ye X an t Ynr la s rie tant convergente dans L T T dx Or ux ayant une densit born e cette s rie converge aussi dans L T T px et en appliquant l isom trie Wx on a le r sultat demand Pour la covariance on crit que ex fdux S antt f hadux Y anexar O On peut remarquer que la formule d chantillonnage de la covariance pourrait tre di rectement obtenue par le th or me d chantillonnage d terministe On a vu que si a est un filtre stable la relation Y Wx y d finit un nouveau p s c Yi On remarque n ammoins que cette expression garde un sens si l on remplace par une quelconque fonction y L ux On appelle ces processus des processus filtr s g n ralis s Pour ceux ci il n est pas possible d obtenir des expressions en termes d int grales ou de s ries comme dans la Proposition 3 19 Plus pr cisement D finition 3 26 Soit X un p s c continu en m q si T R et y L T ux On d finit le processus filtr g n ralis Y par la formule Y Wx w Par analogie on appellera 4 le gain du filtre g n ralis Proposition 3 27 Soit Y un processus filtr g n ralis de X par un filtre de gain Alors Y est un p s c continu en m q si T R de mesure spectrale duy y dux et pour g L T uy on a Wry 9 Wx gp 61 D monstration D abord il
25. 2 1 Estimation de la moyenne Dans le but d estimer m on peut consid rer l estimateur 1 Yn Le Th or me 6 3 affirme donc que si la suite des covariances est sommable alors Yn m p s et Vn est donc un estimateur consistant de m Gr ce la proposition 5 29 la condition de sommabilit des covariances est certainement satisfaite si X est un processus ARMA associ un bruit blanc fort Si de plus on suppose que X est de la forme X a B o B est un bruit blanc fort et a un filtre causal avec gt o nlan lt le Th or me 6 6 garantit que 1 Vn Yn m T converge en loi vers une v a gaussienne ce qui permet de construire des intervalles de confiance pour m dans le cas 0 On rappelle que gr ce au th or me 5 23 et la proposition 5 29 les conditions du Th or me 6 6 sont satisfaites si Xn n est un processus ARMA associ un bruit blanc fort 6 2 2 Estimation de la covariance Soit Xn n un p s c Pour tout p Z on d finit le processus z Xni Xn Si l on dispose de n observations X1 X2 X on d finit pour p lt n i LE LS cP zP si p gt 0 CE gt 28 si p lt 0 j 1 j 1 p On a E ZP E Xj pX Cov X j p Xj cx p et donc oP p l ex p Donc sc p n cx p L estimateur Cx p est biais mais il est asymptotique ment sans biais Le th or me ergodique ci dessus pe
26. IV 1 L int grale stochastique et les p s c 65 D monstration Pour s gt t on a Y Y f 1 yy u w u dZ et le fait que Y soit un p a o r sulte de la relation de Parseval Pour la continuit droite on remarque que Yiin Vi J igeirnn u p u duz u et il suffit d utiliser le th or me de Lebesgue La m me galit d finit la mesure spectrale de Y Enfin la relation f f t dY J f o t dZ est vraie pour toute fonction f qui est une combinaison lin aire d indicatrices et on passe la limite dans L R uy oO 4 2 D int grale stochastique et les processus stationnaires Soit Z t R un p a 0 continu en m q valeurs complexes On peut d finir sa mesure structurelle uz sur R par la formule yZ s t E Z Z ainsi que l int grale stochastique associ e en recopiant la construction de la section pr c dente condition de consid rer que H Z est alors la fermeture dans L Q P des combinaisons lin aires coefficients complexes des variables al atoires 7Z t R Soit X un p s c continu en m q La proposition suivante montre qu on peut lui associer un p a o Z continu en m q La mesure structurelle de Z est alors gale la mesure spectrale de X elle est donc finie Proposition 4 5 Soit X t R un p s c continu en m q et soit Wx l isomorphisme entre L ux et H X d fini en 3 24 En posant Wx B Wx 1g la formule Z Wx t d finit un p a
27. J t O Cette proposition montre que In t est un tr s mauvais estimateur de la densit spectrale puisque son cart type est de l ordre de la quantit estimer Si l on suppose que le processus X est un bruit blanc gaussien de variance o et donc de densit spectrale constante g t a sur le tore T 0 1 on obtient o si t 0 ou t 1 2 2 n o Palt t 0 at A t ODA n dE F Yn 2t PAESI sinon Par cons quent E I t o g t pour tout t T et 29 1 2 R pour t 0 ou t 1 o pour t de la forme avec k 1 n 1 n 1 2n 1 En effet dans le premier cas on a y1 2t 1 et dans le second 2t 1 et y1 2t 1 Pour ces derni res valeurs de t on peut pr ciser la loi de 7 t En notant 104 Chapitre VI Statistique des processus du second ordre X X1 X2 AS Xn y t FE 1t 72 PaA n t on peut crire Ip t Ly x1I2 En posant y t u t iv t avec u et v dans R la relation y t y t 0 est quivalente u t lu t et u t et v t orthogonaux Or D 2t et cette quantit est donc nulle pour les valeurs de t ci dessus On en d duit que les variables al atoires U u t X et V v t X sont des lois normales ind pendantes de m me variance gale no 2 Il s en suit que 1 t suit une loi exponentielle de param tre 1 a et l on retrouve bien les esp rances et variances de 7 t calcul es plus haut D
28. N r 1 M et on note la matrice diagonale d ordre M fabriqu e avec les poids 4 Alors un calcul simple montre que SAS G Oo 90 Chapitre V Processus stationnaires al atoires Chapitre 6 Statistique des processus du second ordre Dans la pratique on a souvent affaire avec des observations d une m me quantit au fil du temps Les mod liser avec un p s c permettrait de mettre en vidence certaines particularit s de son comportement et fournirait des outils pour pr dire son volution future Les mod les ARM qui ne d pendent que d un nombre fini de param tres peuvent constituer un cadre convenable il faut n ammoins se rappeler de la remarque 5 30 Exemple 6 1 Le graphique ci dessous montre les valeurs du nombre de taches solaires observ es entre 1770 et 1869 On peut tenter de mod liser ces donn es en disant que la 150 100 1770 1780 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 Figure 6 1 La s rie du nombre de taches solaires de 1770 1869 de W lfer valeur du nombre observ dans l ann e n i me soit de la forme Yn M Xn o m est une valeur moyenne alors que le processus Yn n est un processus ARM A Dans ce but on est donc amen s de fa on naturelle la question d estimer la valeur moyenne m ainsi que les valeurs de p et q et finalement des polyn mes P et Q qui caract risent un processus ARM A p q Une fois cette tape franchie on pourra se servir du mod le ainsi construit p
29. On a alors r lt np lt r 1 L in galit sur E M jointe au lemme de Borel Cantelli montre que la sous suite Mp converge presque s rement vers 0 Il reste contr ler les termes Mp pour ny lt k lt ny41 _XitX Xk XitX ot o An Mk z Mn Te k Nr X X 1 Mp HE et donc M a Mn lt Mn Zr avec E St e E Nr lt kENr 1 k E Nr et donc en utilisant E X X lt cx 0 on obtient f 1 r 1 1 72 lt men mr ex 0 lt H E 1 ex 0 f r ex 0 En utilisant le fait que f r B r une application de l in galit de Bienaym Chebyshev Zr montre que Zy converge presque s rement vers 0 Il ne reste plus qu crire M lt Me Mar Mnrl lt 2 Ma l Zr pour conclure 0 On peut tenter de pr ciser la vitesse de convergence dans cette loi forte des grands nombres par un th or me de type th or me central limite Celui ci peut tre obtenu sans peine dans certains cas Lemme 6 4 Soit a un filtre causal tel que la s rie gt nla soit convergente Alors la s rie A z J n gt 0 an2 qui converge pour z lt 1 peut s crire A z A 1 1 2 B z o B z n gt 0 bnz avec b A Z D monstration On a Alz X an A 1 X an 2 1 A 1 1 2 X an HH n gt 0 n gt 1l n gt 1 AG 29 2 X ar A 1 1 z B 2 n gt 0 k gt n 1 94 Chapitre VI Statistique
30. R X la matrice de Toeplitz associ e un p s c X En fait comme le montre le th or me ci dessous toute matrice de Toeplitz est de ce type et ceci pour une infinit de p s c Le probl me abord dans ce chapitre est de construire certains d entre eux On rappelle que tant donn e une matrice R n x n de type positif il existe toujours un vecteur al atoire X1 X ayant R comme matrice de covariance Il suffit en effet de le choisir gaussien Th or me 5 33 Soit R une matrice de Toeplitz Alors il existe au moins un pro longement de R en une matrice de Toeplitz d ordre n 1 en fait il y a une infinit de prolongements sauf si R est singuli re auquel cas ce prolongement est unique On en conclut qu il existe au moins un p s c r el dont la matrice de covariance d ordre n co ncide avec R et donc qu il existe une mesure positive finie u sur T telle que Rai wO dul pour 1 lt 5 lt a D monstration Soit X1 X un vecteur al atoire r el centr admettant Rn comme matrice de covariance c est dire R i j cx i j Xi Xj pour 1 lt ij lt n On pose Proj X X1 Xn 1 pa Rs On a alors pour r 2 n la relation x n 1 r Xn Xr 1 gt 1 Xk sr 5 3 On va chercher ajouter un vecteur Y au syst me X1 Xn de telle fa on que la matrice de covariance a Xn Y prolonge Rn Pour ceci on va chercher Y sous la forme Y Z y 1 aak Dy et lon a bien u
31. Xn Xn p Co ncident Remarque 5 11 Si s gt 1 pour trouver Koron en fonction des Xk k lt n on effectue plusieurs projections successives Remarquons n ammoins que le calcul de la pr diction est tr s facile si on se contente d exprimer Km en fonction du bruit blanc U En effet utilisant le filtre a qui est l inverse de p on a Xn s gt akUn s k 3 akUn s k H 3 akUn s k orthogonal H X appartenant Hn X Donc Xn s n X gs 4kUn s K Ceci permet de faire tout de suite le calcul de l erreur car on a ea s 1 2 s 1 Xn s T Nas E alc E o gt lapl k 0 k 0 V 3 Processus AR MA et ARMA 77 et donc l erreur vaut s 1 Elat k 0 1 2 On peut caract riser un processus AR par sa densit spectrale Proposition 5 12 Soit X un p s c de densit spectrale 1 P y 1 o P est un polyn me tel que P 0 0 Alors X est un processus AR D monstration On d finit V par V p x X Alors V est un bruit blanc et donc X est AR O D finition 5 13 Soit X un p s c On d finit la corr lation partielle d ordre s gt 1 soit rx s comme le coefficient de Xn s dans la projection orthogonale de Xn sur l espace engendr par Xn 1 Xn s Ceci conduit une autre caract risation des processus AR Th or me 5 14 Soit X un p s c Alors X est AR p si et seulement si rx p 0 et rx s 0 pour s gt p D monstration Soit X un processus AR p de pol
32. Xn in S gt bkXn 1 k k 1 et lerreur de pr diction est gale o ici bn n est toujours le filtre blanchisseur D monstration La relation U b x X s crit l ordre n 1 OO Un 1 Xn 1 32 EX n 1 k k 1 Puisque U 41 est orthogonal H X et D bkXn 1 k Hn X on a imm diatement le r sultat 0 Exemple 5 25 On consid re le mod le AR Xn Un is azXn_p Dans ce cas simple le filtre blanchisseur est bn a avec la convention by 0 sauf si 0 lt k lt p On retrouve donc la formule de la proposition 5 9 V 3 Processus AR MA et ARMA 81 Exemple 5 26 On consid re le mod le MA 1 Xn Un a BUn 1 o Un n est un bruit blanc de variance 1 On suppose 6 lt 1 ce qui garantit que le polyn me Q z 1 pz n a que des racines une seule en fait de module gt 1 Alors 1 OS k k en 2 Donc le filtre blanchisseur est bn 8 pour n gt 0 et bn 0 pour n lt 0 et co S gt k Xn 1in CR B Xn 1 k k 1 L erreur de pr diction est gal 1 Si par contre 6 gt 1 alors le polyn me Q n est pas canonique et pour calculer Xn 1 n il faut d abord trouver la forme canonique Si on reprend l argument de la preuve de la proposition 5 7 on a pour z zz 1 1 82 z 6 z 1811 2 8 Le polyn me Q z 1 2 8 a pour racine B qui est de module gt 1 et o Q 2 l Q sur z 1 avec 8 Si on note b le filtre inverse de q par le th or me 5 23 le p
33. a un filtre stable on rappelle la d finition amp k a k 1 Si T Z le processus Yn J pez akXn k a X n est un p s c de covariance cy n ax xcy n Sia est causal alors H Y C H X 2 Si T R le processus Y fgal s Xi s ds a x X est un p s c de covariance cy t ax xcy t Le processus Y est toujours continu en m q et si a est causal alors H Y H X D monstration Puisque Yn J ez 4n rXr gr ce la proposition 3 19 on sait d j que le processus Y est centr et de carr sommable Pour montrer qu il est stationnaire on reprend les calculs faits ci dessus en rempla ant E Y Y par E Y hY n Dans le cas discret si a est causal Y DRE ax Xn k amp et il est imm diat que Yp H X Dans le cas continu on prouve que si Z est orthogonal tous les X s lt t alors Z est orthogonal Y4 Pour prouver que Y est continu en m q on remarque que cy est la convolution de ax qui est dans L T dx par cx qui est une fonction born e le r sultat est donc une fonction uniform ment continue th or me 1 62 On sait proposition 3 7 que la continuit de la fonction de covariance est quivalente la continuit en m q di processus 0o Remarque 3 22 On aura tr s souvent affaire des p s c de la forme Xn gt D akBn k a X n keZ o a est un filtre stable et B est un bruit blanc de variance o Le th or me permet tout de suite de calculer la fonc
34. convergente c est dire pour les z tels que RC EN fre R f FONA zo Le seul r sultat voqu dans ce polycopi concerne le fait que la transform e de Laplace d une fonction sommable support compact est analytique C est pourquoi nous nous limiterons la preuve de 2 dans le th or me suivant Th or me 1 95 Soit f une fonction mesurable 1 Qp est un intervalle 0 Qp si et seulement si f est sommable 2 Si f est sommable support compact alors Qf R et Lf est holomorphe dans le plan complexe O 3 La fonction Lf est holomorphe dans le domaine z R z EQ Dans ce domaine ses d riv es successives sont donn es par les int grales absolument convergentes E AT r O 4 Soit f et g deux fonctions mesurables telles que Qs N Qg contienne un ouvert sur lequel Lf et Lg coincident Alors on a f g presque partout 5 Soit f et g deux fonctions mesurables telles que l int grale d finissant f x g x soit absolument convergente pour presque tout x Alors Qf N Qg C Q7 et sur cet ensemble on a L f x g LfLg D monstration Preuve de 2 le fait que Qs R est vident et l on va montrer que Lf est holomorphe dans le plan complexe en prouvant qu elle est d rivable en tout point 20 D apr s le th or me de d rivation sous le signe somme il suffit de montrer que x exp xz f x est major par une fonction int grable fixe sur tout disque z R Le support de f tant contenu dans l intervall
35. dans L R dx il faut que 2T t soit proche de 1 sur F F et proche de 0 sur le compl mentaire de T T Ceci conduit une fr quence d chantillonnage tr s lev e pour le cas de l interpolation lin aire associ e la fonction y t 1 Elk On a en effet dans ce cas 2T t Aer et donc pour F donn il faut choisir T tr s petit pour esp rer une approximation convenable 1 7 2 Transform e de Fourier sur un ensemble fini Soit N gt 1 un entier fix On pose w _1 D finition 1 87 Pour une suite finie de nombres complexes ao a1 an 1 on d finit les suites p riodiques index es par Z et de p riode N N 1 N 1 Fa k D anw Fa k y aux NF n 0 n 0 On remarque tout de suite qu en notant toujours par a le prolongement p riodique Z de la suite finie ao a1 an 1 alors les sommes ci dessus peuvent tre calcul es sur n importe quel ensemble de N indices cons cutifs Nous identifieront donc une suite finie son prolongement p riodique D finition 1 88 Soit a et b deux suites p riodiques de p riode N et J un ensemble de N indices cons cutifs e Le produit scalaire est d fini par a b neg anbn e La convolution est d finie par a b n Ye y akbn k 32 Chapitre I Analyse de Fourier Proposition 1 89 On a les propri t s suivantes 1 Fa b a Fb 2 FF FF Nl 3 F axb F a F b La formule de Poisson permet de relier la transform e de Fourier finie
36. des processus du second ordre o on a pos bn 3 1 4k Il reste v rifier que la s rie d finissant bn est conver gente et que le filtre b est sommable ce qui justifiera les changes dans les sommes qu on vient d effectuer Ces deux d coulent gr ce au th or me de Fubini de la relation gt JE laz NN s Elo lt 00 n gt 0 k gt n 1 k gt 1n lt k k gt 1 D finition 6 5 On dit qu un bruit blanc Bn est un bruit blanc fort si la suite Bn est une suite de variables al atoires ind pendantes et de m me loi Th or me 6 6 Soit Xn n un p s c de type X ax Z o Z est un bruit blanc fort de variance o dans le cas r el de matrice de covariance dans le cas complexe C tant identifi R et a est un filtre causal avec Dn gt o lan lt On pose gt 0 An alors la suite n71 2 DE Xk converge en loi vers une loi gaussienne centr e de variance a o dans le cas r el et de matrice de covariance LEL dans le cas complexe o l on a u v pos a u iv et L j v u D monstration D apr s le lemme 6 4 si l on pose Y b x Z alors Y est un p s c et Xn a x B n A 1 Zn Yn Yi Puisque A 1 a on conclut que Le de 1 gt Xp Zk Yo PE LE Le th or me central limite th or me 2 30 assure que le premier terme du membre de droite converge en loi vers la loi indiqu e Le second terme converge en probabilit vers 0 puisque par l in galit de B
37. el op rateur de retournement du temps SX X n est aussi un op rateur unitaire sur H X oO D finition 5 37 Soit X un p s c r el et n gt 1 On pose alors E Pro E a Pn Xn Xnsall Th or me 5 38 Algorithme de Levinson On a le sch ma r cursif suivant 1 TAE a as pour 1 lt k Lih 1 2 as kn 1 3 Pn 1 Pnl fes le coefficient k 1 tant d termin par kn 1 0 si pn 0 et sinon 1 1 ue kn 1 T E Xo Xn 1 Xn 1 exla 1 Saraga n n k N IN On obtient donc le syst me pn a an partir de Ry X D monstration On suppose la relation satisfaite au rang n On a videmment Proj Xo Xn 1 Xn 1 en utilisant 5 5 Proj Xo X1 Xn 1 Proj Xo X1 Xn Proj Xo Xnt1 n 1 n n af Xp knpa Xati Rae X af kapia p Xr Ent Xn 1 kai k 1 On obtient donc les relations 1 et 2 en utilisant de nouveau 5 5 3 En utilisant un d calage de n 1 et un retournement du temps on peut crire Pa Xar Saril IXo Proj Xo Xr Xa Pn i Xo Proj Xo X1 Xn Proj Xo Xn 1 Xn ll 2 Aa On remarque que Proj Xo Xn 1 Xn 1 kn 1 Xn 1 Xn 1 et donc le carr de la norme de cette projection est gal p k La variable al atoire W Xo Proj Xo X1 Xn Proj Xo Xn 1 Xn 1 est orthogonale X1 Xn et par cons quent
38. est vident que Y est centr e pour tout t D apr s la formule de Parseval Vis Ys Wx Pis Wx p7s Ipl ydux ce qui prouve la fois que c est un p s c et que duy pl dux Si g L T uy alors ge L T ux et gllr2quy 1 9lr2 ux DONC Si ga gt 9 gay gp dans L T px Il il suffit donc de v rifier que Wy g Wx gp pour g y t E T ce qui est vident oO On retrouve le fait que dans le cas de T Z et d un bruit blanc X on peut d finir ax X pour a Z mais la s rie n est pas n cessairement p s convergente cf Remarque 3 23 Le filtrage g n ralis permet aussi d inverser la convolution dans certains cas en se passant de la notion de transform e en z que l on verra plus loin mais comme on l a d j fait remarquer cette notion reste tr s th orique Proposition 3 28 Soit Y un filtr g n ralis de X par un filtre de gain y L T ux Alors X s crit comme un filtr g n ralis de Y si et seulement si 6 0 ux p p Dans ce cas X est un filtr g n ralis de Y par la fonction liya D monstration On voit tout de suite que Y L T uy Si A o 0 et ux A gt 0 alors la v a Wy 14 est non nulle et appartient H X Si elle ppartenait aussi H Y il existerait g L T uy telle que gy 14 ce qui n est pas possible Par contre si ux A 0 soit Z le processus filtr g n ralis de Y de gain Alors Z est le p
39. est n gligeable hors d un intervalle B B alors le nombre d observations de f doit tre sup rieur ou gal 4AB pour avoir un chantillonnage correct de f par utilisation de la transform e de Fourier finie Transform e de Fourier rapide Dans le cas N 2M on peut d composer le calcul de la transform e de Fourier sur N indices en deux calculs de transform e de Fourier M indices ce qui fait passer d un calcul de complexit N un calcul de complexit N In N lorsque N est une puissance de 2 En fait on peut appliquer ce proc d au cas N PQ Proposition 1 93 On d finit les transform es de Fourier M indices des sous suites paires et impaires par M 1 M 1 Fh k gt amw F Filk gt amnu n 0 n 0 Alors pour k 0 1 M 1 on a les relations F k Folk o F k F M k Fplk u F ilk Il suffit alors d crire une proc dure r cursive pour impl menter l algorithme 1 7 3 Transformation de Laplace Un outil tr s utilis pour le calcul symbolique des filtres est la transform e de Laplace qui joue le r le de la transform e en z dans le cas continu On d finit ci dessous la transform e de Laplace complexe mais elle est le plus souvent utilis e dans le cas d une variable z r elle 34 Chapitre I Analyse de Fourier D finition 1 94 Soit f une fonction mesurable On d finit alors sa transform e de Laplace cr ro du moins lorsque l int grale est absolument
40. est totale dans H si o A H Proposition 1 4 Soit une partie de H Alors At o A et H 0 A At Cette proposition sera souvent utilis e sous la forme suivante Corollaire 1 5 Soit A une partie de H 1 A est totale dans H si et seulement si A 0 2 Soit x H Alors x o si et seulement si pour tout y A on a z y 0 La proposition suivante est g n ralement attribu e Bessel et Parseval Chapitre I Analyse de Fourier Proposition 1 6 Soit ex xeA une famille orthonorm e dans H Pour x H on pose zy x e On a alors Se lt xl ACA Si de plus la famille ex ena est totale dans H on dit alors que c est une base or thonorm e on a les galit s Sas k Ean en ACA ACA Dans le cas d un espace de Hilbert s parable de dimension infinie toute base est d nombrable et peut donc tre index e par l ensemble Z On a alors Proposition 1 7 Soit en nez une base orthonorm e de H L application x n nez est une application lin aire bijective et isom trique de H sur Z dont lapplication r ciproque est donn e par n nez nez Tnen Autrement dit tout espace de Hilbert s parable est isomorphe 2 Z La notion de projection orthogonale sera fondamentale dans la suite du cours et r sulte de la d composition orthogonale de l espace H donn e en 1 4 2 Proposition 1 8 Soit F un sous espace ferm de H on d signe par Pp x projection orthogonale
41. est unique pour toute donn e du triplet P Q B e On peut toujours remplir les conditions P 0 0 Q 0 0 en d calant les pro cessus B et X e Soit P et Q des polyn mes v rifiant P 0 0 Q 0 0 et sans racines de module 1 Si X est un processus AR associ au polyn me P alors Y q x X est un processus ARMA associ aux polyn mes P et Q En effet si Bn n est un bruit blanc tel que p x X B alors p x Y p xq X q xp x X q x B le produit de convolution tant commutatif Proposition 5 21 Soient P et Q des polyn mes avec P 0 0 Q 0 0 et n ayant pas de racines de module 1 Il existe alors des polyn mes P et Q et un r el o gt 0 uniques tels que 1 P et Q wont pas de racines de module lt 1 et P 0 Q 0 1 2 P et Q n ont pas de racines communes PO BO RO 1e Un tel triplet P Q sera appel triplet canonique associ P Q et si p et q sont les degr s respectifs de P et Q on dira que X est ARM A p q sur le cercle unit 80 Chapitre V Processus stationnaires al atoires D monstration On fabrique P et Q comme dans 5 7 puis on limine leurs racines com munes ventuelles Il reste montrer l unicit Soit alors A1 A2 et B1 B2 deux couples satisfaisant aux propri t s de l nonc et de degr s respectifs p1 p2 et q1 q2 En faisant le m me calcul que dans la preuve de 5 7 on obtient que A et B d une part et A B2 d autre part ont les m mes r
42. f converge dans L T dx Ce n est plus vrai si l on remplace L T dx par L T dx mais nous allons prouver que dans ce cas on a la propri t plus faible de convergence des moyennes arithm tiques _ Sof Saf Onf TAi I 2 S ries de Fourier 15 D finition 1 36 On d finit le noyau de F jer K t par la formule n l n l sn nth k 1 r 1 Pour f L T dx on d finit f t u Kn u du f u Kn t u du o f fre y A OO QO N oO 5 4 3 2 A 0 1 52 3 4 5 Figure 1 1 Le graphique des fonctions de F jer pour n 3 trait solide et n 9 poinitll Les int grales des deux fonctions valent 1 mais on voit que pour n grand la fonction est tr s vite pr s de 0 d s qu on s loigne de l origine Proposition 1 37 Le noyau de F jer poss de les propri t s suivantes 1 Kat Eo et donc Kn t gt 0 2 Jr Kn t dt 1 3 Knf t onf t 2 klt 4 onf f dans L T dx lorsque n oo D monstration Les assertions 1 et 2 et 3 s obtiennent par un calcul facile La preuve de 4 est tout fait analogue celle faite dans le cas du noyau de Poisson et l on peut en r sumer les principales tapes 1 Soit f L T dx Alors l application u f Tu f 1 est continue 2 Soit g une fonction int grable sur T et continue l origine Alors fy K u g u du g 0 lorsque n co 3 On a les in galit s Kaf FO IEE
43. fait dans 1 61 on obtient sa fonction caract ristique x t e 27 De m me le calcul fait dans 1 59montre qu une loi de Cauchy de densit fx x en a pour fonction caract ristique px t e 2rltl 2 6 Processus Gaussiens On note M la transpos e d une matrice M D finition 2 21 Matrices de covariance e Pour un vecteur al atoire r el ou complexe Z dans L Q P on d finit le vecteur esp rance mz E Z et la matrice de covariance par 27 E Z mz 7 m Cette matrice est hermitienne positive Ici et dans la suite les vecteurs Z sont des vecteurs colonne e Pour deux vecteurs al atoires r els ou complexes U et V dans L Q P on d finit leur matrice de covariance crois e par Zuv E U mu V m On a videmment E y u y vy II 6 Processus Gaussiens 43 Remarque 2 22 Si L est la matrice d une application lin aire de C dans C ou de R dans R le vecteur Y LZ a pour esp rance my Lmz et pour matrice de covariance Zy LEZI D finition 2 23 Variables gaussiennes r elles e On dit qu une v a r elle X est gaussienne si sa fonction caract ristique est e2irtm 27 071 2 4 E e TX pour m o R On dit alors que X suit une loi N m o e On dit que le vecteur X1 Xn est gaussien si toute combinaison lin aire coefficients r els des X1 X est une v a gaussienne r elle Re
44. la s rie du second membre converge uniform ment sur R On a d j vu que si f est r gulier alors la s rie du premier membre converge uniform ment sur tout compact Ces deux limites ponctuelles sont presque s rement gales et elles sont en fait gales en tout point puisque ce sont des fonctions continues comme limites uniformes de fonctions continues El En rempla ant f par 7_ f on peut obtenir une formule plus compl te 1 7 Signaux d terministes 31 Corollaire 1 86 Soit f un signal r gulier tel que f soit aussi r gulier Alors gt f t 2nT yu lt 2nT T gt f nT u Y nr t nez nez pour tout t et tout u On peut se demander s il n existe pas d autres proc d s d interpolation que celui d crit par le th or me d chantillonnage Soit donc f un signal tel que f et f soient r guliers p une fonction continue born e de carr sommable Alors on peut consid rer la s rie gt Y F nr p t n7 nez qui converge dans L R dx et uniform ment en t vers la fonction continue g D apr s la formule de Poisson on a donc t 2T t X f t 2nT nez Si l on veut pouvoir comparer g et f au sens de la norme L c est dire en fait f et il faut viter le ph nom me d enroulement du spectre c est dire que l on impose f de s annuler hors de F F avec T gt F La fonction p riodique Y t X nez f t 2nT vaut alors f t sur T T et pour que f et g soient voisines
45. la transform e de Fourier usuelle Proposition 1 90 Soit T et T v rifiant la relation 2NTT 1 f et f r guliers Si on d finit les deux suites u et v p riodiques de p riode N par u k D fr nNr v k XO f 2kT 2n NT nez nez alors on a les relations Fu Fo Nu D monstration Par application de la formule de Poisson 1 86 en t 0 pour tout a gt 0 et tout u a fu na Y f n a r n a Si on fait le changement de variable u kT a NT on a Nr kr nNr 5 FCTn y r 2Tn IS FOTnju N 1 Fie IS CT Y wek 2 Y f 2Tp 2rnT v p k 0 La derni re formule est obtenue en constatant que la somme S wP n k est nulle sauf pour n de la forme n p rN avec r entier et dans ce cas elle vaut N La seconde formule se d duit de celle ci gr ce la relation FFu Nu o Echantillonnage fini On veut r soudre probl me suivant connaissant N valeurs d un signal analogique f mesur es des instants T kA k 0 1 N 1 dans quelle mesure peut on reconstituer la transform e de Fourier du signal original L on doit bien s r supposer que l intervalle de temps T T NA contient l essentiel de ce signal c est dire qu il est n gligeable l ext rieur de ce laps de temps Malheureusement on ne peut pas avoir un signal support compact dont la transform e de Fourier est elle m me support compact ce qui explique la formulation un peu vague de la proposition ci dessous Propos
46. loi u Alors X est centr puisque E X E y U E y V et U h y u du 0 D autre part Xi Xn En U E 4r V 7 a V E u V On en d duit que X est stationnaire et que cx t f x et par cons quent la mesure spectrale Hy est gale u 3 3 Filtrage des processus Ona rappelle les d nominations introduites dans la d finition 1 79 e On dit qu une suite a an n Z est un filtre stable si a Z On dit que cette suite est un filtre causal si a 0 pour n lt 0 e On dit qu une fonction a x x R est un filtre stable si a L R dx On dit que cette fonction est un filtre causal si a t 0 pour t lt 0 Proposition 3 19 Soit X un p s c et a un filtre stable 1 Si T Z la s rie Y 7 anXn converge dans L Q P et P p s De plus E Y 0 Y Em Xn andmex n m et Y H X 2 SiT R 1 pes Y fier a t X dt converge absolument P p s De plus E Y 0 Y 12 f J attha u cx t u dt du et Y H X 3 Dans tous les cas on a Y 2 lt al 1 c 0 D monstration 1 La convergence dans L Q P et P p s est une cons quence imm diate de la proposition 1 19 puisque X 2 c 0 D autre part Y est la limite de la suite Yn D kXk qui appartient H X Par continuit puis bicontinuit du produit scalaire E Y
47. module 1 d apr s la condition f gt 0 Pour ceci pour z 0 on consid re la fonction h z D cx k zF et le polyn me H z z1h 2 On remarque alors que V 3 Processus AR MA et ARMA 79 H 0 cx Q cx q Z 0 et H est de degr 2q e Si z est racine de H il en est de m me de 1 2 car H 1 z H 2 2 1 e H n a pas de racine de module 1 puisqu alors f s annulerait en un point Il s en suit que si 21 22 2 sont les racines de H de module gt 1 on peut crire q K II 1 2 2 1 2 En posant Q z VIRT II 12 28 on a pour 2 1 a 2 IE QG D On verra dans le prochain paragraphe la solution du probl me de pr diction mais notons n ammoins que si s gt q p Xn sn 0 En effet si s gt q on a vu que 0 cx s E Xh 4X Donc Xn s est orthogonal Xn et par le m me argument est orthogonal X pour tout k lt n Donc Xn s est orthogonal H X 5 3 3 Processus ARMA D finition 5 20 On dit que un p s c X est ARMA s il existe des polyn mes P et Q avec P 0 0 Q 0 0 Q n ayant pas de racines de module 1 et un bruit blanc normalis B tel que p x X q B e Si un tel processus existait alors il aurait une densit spectrale Q y 1 P 7 1 Donc d apr s la proposition 5 5 le polyn me P n a certainement pas de racines de module 1 Par contre si cette condition est satisfaite le th or me 5 1 implique qu un tel processus existe et
48. p riodogramme r gularis Tna t 1 g t dans L pour tout t T Dans la pratique on essaie de r gulariser le p riodogramme avec diff rents filtres r gularisant I jusque ce que le graphique ne se stabilise Les figures montrent le comportement du p riodogramme et de son r gularis pour les donn es des taches solaires de W lfer On a utilis le filtre w 4 A W3 A w2 w1 Wo W1 w2 W3 2 4 6 4 2 Estimateurs des param tres bas s sur le spectre Dans cette section on va introduire des estimateurs des param tres d un processus ARMA r el qui sont plus simples obtenir et qui ont les m mes propriet s asymp totiques que les estimateurs du maximum de vraisemblance On suppose que X est un processus ARM A p q r el associ au triplet canonique P Q o On pose donc P 2 1 2 02 o 1 8iz 0 21 6 11 VI 3 Estimation des param tres d un processus ARMA r el 105 10000 5000 5 3 52 1 0 1 2 3 Figure 6 3 Le p riodogramme pour la s rie des taches solaires de W lfer 6000 3000 5 3 22 1 0 1 2 3 5 Figure 6 4 Le p riodogramme r gularis pour la s rie des taches solaires de W lfer On remarque un maximum la fr quence 0 1 ce qui sugg re une p riodicit de p riode z 10 ans Les petits boulets marquent les fr quences wj Fh avec les conditions a ap 0 bq 0 b Toutes les racines de P et de Q sont de module
49. p d fini par p n a pour 0 lt n lt p et p n 0 sinon On v rifie imm diatement que la transform e en z du filtre p est le polyn me P z et que p t P y 1 t D finition 1 76 Filtres ARMA On dira qu un filtre h est ARMA s il admet une transform e en z soit H z de la forme P z Q z o P et Q sont des polyn mes Q n ayant pas de racines de module 1 Th or me 1 77 On a les propri t s suivantes 1 Soit h un filtre ARMA Alors pour des suites x et y dans Z resp dans Z la relation y h x x implique q y p x 2 R ciproquement si P et Q sont des polyn mes Q n ayant pas de racine de module 1 alors pour un signal x donn d nergie finie resp stable l quation q xy pxx a une unique solution y dans Z resp dans Z donn e par y hx x o h est le filtre ARMA associ la fraction P z Q 2 D monstration Preuve vidente o L importance des filtres ARMA provient de l analyse de nombreux cas de mod les r gressifs de la forme q a p s o a est le signal pur et s le signal observ Remarque 1 78 La formulation du th or me pr c dent ne peut gu re tre am lior e e Si Q a une racine de module 1 l quation en y q y x n a en g n ral pas de solution dans Z resp dans 1 Z e L quation de r currence q x y x a en g n ral une infinit de solutions mais au plus une tend vers z ro linfini 1 7 Annexe Signaux d termin
50. que la fonction constante gale 1 est dans tous les espaces L on obtient les in galit s fl lt fllo si q gt p d o les inclusions L Q P C C L Q P c LOS Les th or mes rappel s dans la premi re partie du cours en particulier Lebesgue et Fubini sont bien s r toujours valables Soit X un vecteur al atoire On d finit la loi de X comme la probabilit Px sur R muni de sa tribu bor lienne B4 d finie par Px B P X 1 B pour tout bor lien B on d signe souvent cette quantit par P X B On a alors pour toute fonction mesurable positive y sur R4 alo et x e Cette valeur est finie ou non La fonction y est donc Px int grable si et seulement si X L Q P En particulier chaque composante de X est dans LP si et seulement si x P est Px int grable Cette formule qui ram ne le calcul de E y X celui d une int grale sur Rd est d un usage tr s fr quent Dans la suite pour simplifier les notations on crira pour une probabilit u sur R u f au lieu de f f du On crira donc aussi Px f au lieu de f f Px On dit que la loi Py admet une densit s il existe une fonction positive f L R4 dx telle que Jra F rod o P X1 B1 Xa Ba fn x xe ft dx n n ar o Ba d intervalles de R On en d duit que E X fga p x fga x dz 36 Chapitre II Rappels de probabilit pour toute fonction y mesu
51. qui est int grable donc y TKr La fonction Z Kr est par cons quent continue support compact il en est donc de m me de Z Krf La convergence de Krf vers f dans L R dx termine la preuve oO 1 3 2 Transformation de Fourier sur L R dx On pourrait utiliser le fait que L R dx N L R dx est dense dans L R dx pour tendre la transform e de Fourier mais nous pr f rons une m thode plus constructive On introduit les notations D finition 1 54 Pour f L R dx et T gt 0 on pose Frf t f ort du Frf f fondu Th or me 1 55 Soit f L R dx 1 F f e 2de fI SZ F u du dt ISF f u duf dt 2 La famille Frf rso resp Frf r0o est de Cauchy dans L R dx et converge dans cet espace vers une fonction not e Ff resp Ff 3 Les applications F et F sont des applications lin aires isom triques de L R dx et par cons quent on a f g lt F f Fg pour tout couple de fonctions de L R dx 4 Les applications F et F v rifient FF FF I et d finissent donc des isomor phismes de L R dx 5 Si f LI R dx N L R dx alors Z f t est une version continue de F f 20 Chapitre I Analyse de Fourier D monstration 1 2 Soit A B un intervalle et r Fi En appliquant 1 32 la fonction f x y_4 x on obtient f iK x dx B ur x dx A o p3 f 7 4 7 n7 x dal 2 L Y t n7 dl dt n 1 r B y J i Fora dy Ti aeti Dans la troi
52. qui se trouve avoir le m me bon comportement asympto tique De toute fa on on peut montrer que pour un processus ARM A p q par rapport un bruit blanc fort l estimateur du maximum de vraisemblance n argmin Le o2 o est consistant et qu il existe une matrice l sym trique et d finie positive telle que vnl E 5 NO oTe n gt oo La matrice l peut tre pr cis e comme suit Si amp 1 Qp 61 Bq on peut consid rer les deux processus autor gressifs Yn n et Zn n associ s aux polyn mes P z 1 aiz Qpz et Q z 1 Biz Bpz1 respectivement par rapport au m me bruit blanc U de variance o C est dire Yn a Yn 1 HS ces ApYn p Un Zn BiZn 1 FFSA BaZn q Un On consid re les vecteurs alors i Xy LT 6 9 ee 6 9 o Xy et Xz sont les matrices de covariance de Y et Z respectivement et Xyz est la matrice des covariances crois es On remarque que si les observations proviennent d un mod le autor gressif q 0 alors Te R Rp tant comme d habitude la matrice de Toeplitz l ordre p Une comparaison avec le th or me 6 12 montre que dans le cas d un processus AR l estimateur de Yule Walker a une variance asymptotique identique celle de l estimateur du maximum de vraisemblance Exemple 6 18 On suppose que les observations proviennent d un mod le ARM A 1 1 canonique Alors a 8 avec a 8 de module
53. s ou en probabilit ssi pour k 1 d Xn converge vers Xx dans le m me sens De plus ces deux types de convergence sont compatibles avec la structure d espace vectoriel c est dire que si deux suites convergent il en est de m me de toute combinaison lin aire et la limite est la combinaison lin aire des limites La convergence en loi ne poss de aucune de ces deux propri t s Proposition 2 2 Soit X et X des v a 1 Borel Cantelli Une condition suffisante de convergence presque s re de Xn vers X est gt P Xn X gt lt pour tout gt 0 2 Si Xn X p s alors Xn X en probabilit 3 Si Xn X en probabilit alors il existe une sous suite Xn qui converge presque s rement vers X 4 Si Xn X dans LP avec 1 lt p lt alors Xn X en probabilit I1 2 Convergences 37 1 Il est facile de constater que la convergence presque s re est quivalente lim P UR 1Xx X gt 0 pour tout gt 0 Or OO PUZn lXk X gt lt DC P IXn X gt k n 2 vident puisque X X gt e c UX p IXx X gt e 3 On d finit la suite ng par r currence comme tant le plus petit entier gt n k 1 v rifiant P Xn X gt lt 2 F et on remarque qu une autre condition suffisante de convergence presque s re est gt P LXn X gt En lt pour une suite n 0 4 C est une cons quence de l
54. s c V bx X est un bruit blanc de variance g et on a la relation ARMA canonique X V On peut maintenant r p ter l argument pr c dent avec remplac par 1 8 ce qui donne co S gt na Xn 1n br B Xn 1 k k 1 Maintenant l erreur de pr diction vaut o o Remarque 5 27 Dans le cas s gt 1 on effectue plusieurs projections successives pour trouver Xn s n Remarquons n ammoins que exactement comme dans la remarque 5 11 le calcul de la pr diction est tr s facile si on se contente d exprimer Li en fonction du bruit blanc U En effet utilisant le filtre constructeur a 00 s 1 00 Xn s X akUn s k gt akUn s k T gt akUn s k orthogonal H X appartenant Hn X Donc Kats D k Un s Ceci permet de faire tout de suite le calcul de lerreur car s 1 2 s 1 Ang Kits D kUne l DD Jakl k 0 k 0 On peut aussi partit d une mesure spectrale donn e pour construire un processus ARMA lorsque celle ci poss de une densit de forme particuli re 82 Chapitre V Processus stationnaires al atoires Th or me 5 28 Soit u une mesure finie sur T de densit Q y_1 P y_1 l o P et Q sont des polyn mes avec P 0 0 Q 0 0 Q n ayant pas de racines de module 1 Soit o P Q le triplet canonique associ P Q et a et b les filtres constructeur et blanchisseur respectuvement Soit V un bruit blanc quelconque de variance o On a alors 1 Le processus X d fin
55. syst me fini extrait est un vecteur al atoire gaussien r el resp complexe Il est facile de constater que l on peut associer un processus gaussien r el un processus gaussien complexe ayant la m me fonction de covariance en consid rant deux copies ind pendantes Proposition 2 34 Soit X un processus gaussien r el resp complexe Alors la ferme ture dans L Q P des combinaisons lin aires finies coefficients r els resp complexes d l ments de la famille X est form e de variables al atoires gaussiennes r elles resp complexes D monstration Le cas r el On v rifie que si une suite X de v a r elles converge dans L Q P vers X alors E X E X et Var X Var X La convergence en moyenne quadratique implique la convergence troite et donc la convergence des fonctions caract ristiques ce qui termine la preuve Le cas complexe Si une suite gaussienne complexe Zn X iY converge dans L Q P vers Z X iY alors X X et Y Y dans L Donc X et Y sont gaussiennes et de m me variance Elles sont aussi ind pendantes gr ce la proposition 2 7 0o Remarque 2 35 Si X est un processus gaussien r el on indique H X la fermeture dans L des combinaisons coefficients complexes des X On a alors que Re H X et Sm H X sont form s de variables gaussiennes Mais H X n est pas est un espace gaussien complexe La proposition suivante montre que la seule
56. t ne d pend que de la diff rence s t On d finit alors la fonction de covariance c par c t K s t s E X Xs E X X0 E XoX e SiT R on dit que le processus X est continu en moyenne quadratique en abr g continu en m q si l application t X de R dans L Q P est continue Proposition 3 5 Soit Xn un p s c L application T Xn Xn 1 se prolonge par lin arit en un op rateur unitaire de H X D monstration On adopte les notations de 1 11 avec H H H X et F F gt le sous espace vectoriel form des combinaisons lin aires finies des X On pose alors TS Ak Xk J EAN et lon a BLOD EME k 1 k 1 r 1 Z gt AkArE Xk Xr gt axal k 1 k 1 r 1 Cette relation montre en particulier que les images par 7 de deux combinaisons lin aires des X correspondant la m me fonction de F sont gales L op rateur 7 est donc bien d fini sur F et est une isom trie surjective sur F2 O Si Bn est un bruit blanc il est gal son innovation J Il s en suit que H B Hn T et que donc B est purement al atoire En fait on a le r sultat suivant II 1 Herglotz Bochner 51 Proposition 3 6 Soit X un p s c Alors le processus d innovation est un bruit blanc De plus X est purement al atoire si et seulement si il existe a 4 Z et un bruit blanc B tel que Xn X go ak Bn x et dans ce cas on peut choisir Bp
57. vers x ponctuellement Puisque Yn lt 1 d apr s le th or me de Lebesgue Yn converge vers X dans L T ux et donc M Wx x dans L T ux Puisque la convergence dans L entra ne celle dans L on a par l galit de Parseval 1 m cx k E XoMn 1 Pn L2 ux k 1 f endda 2 f xO dux ux T T O Pour T le processus x YnlA Xn est un p s c de covariance cQ n mA cx n et a donc pour mesure spectrale la mesure uy translat e par On en d duit donc que si la suite cx n n tend vers 0 en moyenne alors ux A 0 pour tout T et donc la mesure spectrale 1x est diffuse On cherche maintenant tablir des r sultats de con vergence p s de la suite Mn n Dans ce but il est naturel de consid rer le comportement de sa variance Or un calcul simple donne n 1 n 1 MP Y a Bext lt Y ext 6 1 n 1 n 1 E VI 1 Th or mes limites 93 et donc si cx L Z 1 Var Mn lt zllexlla 6 2 Th or me 6 3 Soit Xn n un p s c S il existe K gt 0 et a gt 0 avec E M lt K n alors la suite M converge P presque s rement vers 0 Ceci a lieu en particulier si la suite cx n est sommable on prend a 1 D monstration La preuve de ce th or me est tout fait analogue celle de la loi forte des grands nombres 2 12 Soit 6 gt 0 tel que af gt 1 on d finit la sous suite ny par n inf n n gt rf
58. yw t ox Fo Es 2 De plus vu la proposition 2 19 D Pxi 0 0 ay 0 D VX 0 47 X k 2 sv 0 On a donc ai t py t t elt e gt o 0 II 6 Processus Gaussiens 45 Si u v C avec u lt 1 v lt 1 on a u v lt nlu v et donc vu que wy t exp 2r t Et py low t yy ex TE er E t TT Ta n0 apr s la proposition 2 17 O FIS lt l l le lt nlex ev S et Wn converge en loi vers N4 0 d D finition 2 31 Variables gaussiennes complexes e On dit qu une v a complexe Z X iY est gaussienne si X et Y sont des vari ables al atoires gaussiennes r elles ind pendantes et de m me variance attention une variable gaussienne r elle ne peut donc pas tre consid r e comme gaussienne complexe de partie imaginaire nulle e On dit que le vecteur Z1 Z2 Zn est gaussien si toute combinaison lin aire coefficients complexes des Zy k 1 n est une v a gaussienne complexe La d finition 2 31 peut para tre excessivement exigeante On aurait pu d cider de dire qu une v a complexe Z X iY est gaussienne d s que le couple X Y est gaussien dans R Mais dans ce cas la loi de Z ne serait plus d termin e par son esp rance et sa variance o3 En effet en admettant que Z soit centr e la variance de Z vaut 9 E ZZ E X Y La connaissance de o3 est donc insuffisante
59. z z 1 z 1 on multiplie par 27 Z Donc le module du quotient des deux polyn mes z et z 1 est constant sur le cercle unit Si est une racine de P de module lt 1 on remplace alors le terme z dans la factorisation de P par z 1 Le polyn me ainsi obtenu a alors toutes ses racines de module gt 1 et il suffit de le diviser par son terme constant non nul pour obtenir P Il reste v rifier l unicit de P Pour ceci soit et B des polyn mes dont les racines sont de module gt 1 ayant le m me coefficient d ordre 0 et tels que A z c B z sur le cercle unit On note k k 1 n les racines de A et nr r 1 m les racines de B On a alors pour z 1 m z zir Z amp TG M 7 r 1 Es ES Il n m On multiplie droite et gauche par z et on se rappelle que pour z 1 zz 1 Donc n e II z amp k e IT z m 1 2 k 1 r 1 Les deux derniers polyn mes puisqu ils co ncident sur le cercle unit sont identiques On en d duit que l ensemble des racines E4 amp y 1 7 k 1 n du premier doit tre identique Ep mr 1 r r 1 m Puisque les E et les 7 sont de module 76 Chapitre V Processus stationnaires al atoires gt 1 et donc les 1 x et 1 7 sont de module lt 1 il faut que n m et que x k n nk k 1 n Les polyn mes A et B ayant les m mes racines ils sont proporti
60. z des nombres complexes On a alors n n i n n n 2 gt Zrab r l 15 ZrZ y ry du J D Zr r du gt 0 r 1 I 1 r 1 1 r 1 3 La partie seulement si est vidente Soit f C T et gt 0 Il existe une combi naison lin aire d exponentielle g telle que la norme de f g dans C T soit inf rieure e 4 D o lun F LP lt unf f unlg lHn g 4 g 1 ulg HCE lt 2 Tun g H g et il suffit d appliquer la convergence de un g vers u g Dans le cas de R seule la continuit uniforme de t n a pas t prouv e Elle r sulte de BEHR AOIS mla 1dute et d une application du th or me de Lebesgue o On voit maintenant que certaines propri t s des fonctions de covariance en r alit ce sont des propri t s de toute fonction de type positif Proposition 3 10 Soit c une fonction de type positif sur T alors 1 c 0 gt 0 e t c t le t lt 0 2 Dans le cas T R si c est continue l origine alors c est uniform ment continue D monstration 1 On crit la propri t de type positif e En un seul point on obtient c 0 gt 0 e En deux points t 0 t2 t d abord avec 21 z2 1 on obtient 2c 0 c t c t gt 0 d o Sm c t Sm c t Ensuite avec z1 z2 i on obtient 2c 0 ic t ic t gt 0 d o Re c t Re c t e Le d terminant est positif d o e t l
61. 1 69 sous la forme La fonction d autocorr lation d un signal d nergie finie est la transform e de Fourier inverse de sa densit spectrale La densit spectrale du signal filtr d un signal d nergie finie f par un filtre stable est le produit de la densit spectrale de f par le carr du module du gain du filtre 1 7 1 Echantillonnage et formule de Poisson D finition 1 80 Signaux r guliers e On dit qu un signal f t est r gulier s il est continu et s il existe gt 0 tel que t 1 f t soit une fonction born e La fonction f est alors sommable pour tout a gt 1 e Pour une fonction mesurable f on d signe par fe l unique repr sentant continu de sa classe d quivalence lorsqu il existe Proposition 1 81 Soit f un signal sommable 1 La s rie X nez f x 2nT est absolument convergente pour presque tout x et d finit une fonction p riodique de p riode 2T sommable sur T T 2 Si de plus on suppose f r gulier alors cette s rie converge pour tout x et uni form ment sur tout compact vers une fonction continue D monstration 1 En utilisant la Proposition 1 18 il suffit de prouver que pour tout k Z la s rie gt f Del f x 2nT dx est convergente ce qui r sulte d un simple changement de variable et de l int grabilit de f 2 Si z lt D alors pour n gt D T on a x 2nT gt nT et l on en d duit f x 2nT lt K In La s rie est donc norma
62. 5 6 Soit Y un bruit blanc S il existe une solution stationnaire centr e l quation p x X Y alors P n a pas de racines de module 1 D monstration On a uy P y 1 7 ux or uy est la mesure de Lebesgue sur le tore En crivant que la mesure ux est de masse totale finie on obtient le r sultat O On remarque aussi que l on peut toujours remplir la condition P 0 0 en d calant le processus B Le th or me 5 1 permet d obtenir un processus AR comme filtr d un bruit blanc par le filtre an n o les a sont les coefficients du d veloppement de Laurent de 1 P 2 Mais si P a des racines de module lt 1 1 P z n est pas holomorphe dans un voisinage du disque unit et ce filtre ne sera pas causal Puisque cette derni re propri t est tr s importante pour le calcul de la pr diction c est pourquoi le r sultat suivant est de particuli re importance Il affirme que l on peut toujours se ramener une situation o le polyn me P a toutes se racines de module gt 1 Proposition 5 7 Soit P un polyn me sans racines de module 1 et tel que P 0 Z 0 Alors il existe un polyn me P et un r el o gt 0 uniques tels que e P a toutes ses racines de module gt 1 P 0 1 e o P z P 2 sur le cercle unit On dira alors que le couple P est le couple canonique associ P Les polyn mes P et P ont m me degr D monstration Soit une racine de P Pour z 1 on a la relation z 1
63. B 0 bt V t est donc un processus continu et en appliquant la proposition 4 15 avec f t e on obtient t t t eV Vo eU _bV u du o dBu f be V du o f e dBu 0 0 0 On trouve la formule annonc e en revenant la variable V 1 Il suffit de reprendre les calculs de 4 13 On a alors pour t gt 0 S Content ie v 0 I ebu du 0 d o la formule propos e Si v a 2b alors b gt 0 et cy t ce exp t b qui est bien la transform e de Fourier d une loi de Cauchy un facteur multiplicatif pr s 2 C est une cons quence directe de 4 13 0 On peut aussi voir l quation de Langevin comme un calcul d int r ts compos s de taux T b gt 0 et pour lequel le capital est perturb par un bruit blanc od B On prend un capital initial d terministe Vo et soit W V VoetT VoetT o F e757 dB Vo la fluctuation relative autour de la valeur non perturb e Lorsque t o la variance de W4 converge vers o 27V2 On consid re aussi des mod les du genre dV b od B V avec taux d int r t perturb mais la solution n cessite alors l introduction de la vraie int grale stochastique qui d finit l int grale des processus et non plus seulement des fonctions On remarquera que la notation dB ne repr sente pas du tout une int gration par rap port une mesure al atoire sur R En effet on peut montrer que les trajectoires du mouvement brown
64. Chapitre 3 Th orie spectrale des processus du second ordre 3 1 Processus du second ordre Soit T un ensemble d indices gal R ou Z Dans la suite on appelle processus du sec ond ordre une famille de v a r elles ou complexes X t T appartenant L 2 Q P Dans toute la suite les espaces fonctionnels consid r s sont des espaces vectoriels de fonctions valeurs complexes sur le corps des complexes m me lorsque les processus sont r els Dans le cas T R on supposera que ce processus est mesurable c est dire que l application w t X4 w est mesurable pour le produit de la tribu sur Q par la tribu bor lienne de R D finition 3 1 Pour T R ou Z e On note par H X resp H X le sous espace de Hilbert de L Q P gal la fermeture dans L Q P de l espace des combinaisons lin aires finies coefficients complexes d l ments de X resp d l ments d indices lt t Dans le cas T Z e On appelle bruit blanc une suite orthogonale centr e de L Q P de variance con stante non nulle Lorsque cette variance est gale 1 on dit que c est un bruit blanc normalis e On dit que le processus X est purement al atoire si Nr H X 0 e On dit que le processus X est d terministe si H X H X pour tout n Z e On appelle processus d innovation la suite 1 Xn Proj Xn Hn 1 X Proposition 3 2 Soit X un processus du second ordre Alors on peut d composer Xn sous la forme Xn
65. In D monstration Le fait que le processus d innovation soit un bruit blanc est une cons quence de l existence de l isom trie T Si X satisfait la formule ci dessus on a H X C H B et donc B tant purement al atoire il en est de m me de X R ciproquement si Xn est purement al atoire alors H X H 1 On en d duit pour tout n le d veloppement Xn D o Xn 1n k 1n x En utilisant l isom trie 7 on voit que le produit scalaire Xn 1n k est ind pendant de n o Proposition 3 7 La fonction de covariance d un p s c v rifie 1 c 0 gt 0 c t c t c t lt c 0 1 et tout c ti tj 2 c est une fonction de type positif c est dire que pour tout entier n syst me t1 t2 tn la matrice carr e d ordre n d finie par M i j est hermitienne et de type positif I IV 3 Dans le cas T R on a a Si le processus est continu en m q alors c est une fonction continue b Si c est continue l origine alors le processus est continu en m q D monstration 1 On a c t E X X0 E XoX ce qui prouve les deux premi res in galit s la troisi me tant une cons quence directe de l in galit de Schwarz 2 La matrice M i j c t tj est la matrice de covariance du vecteur al atoire X X4 Elle est donc hermitienne et de type positif comme toute matrice de covariance 3 On a la relation c t h c t Xy1n Xt Xo et en util
66. Universit Pierre et Marie Curie Master de Math matiques ann e 2004 05 Processus stationnaires et pr vision Laboratoire de Probabilit s et Mod les Al atoires Processus stationnaires et pr vision Mode d emploi Ce polycopi est destin aux tudiants de U E Processus stationnaires et pr vision du Master de Math matiques de l Universit Pierre et Marie Curie En principe il s adresse donc des tudiants ayant suivi un premier cours de probabilit s Cependant le chapitre 2 contient un rappel de tous les r sultats probabilistes utilis s par la suite Il est rela tivement autonome et peut ventuellement tre abord par un tudiant n ayant jamais suivi de cours de probabilit s Le chapitre 1 introduit les principales notions de s ries et transformations de Fourier et comporte en annexe quelques l ments de la th orie classique du signal d terministe Cette annexe qui en principe ne fait pas partie de ce cours concerne n anmoins tous les tudiants d sirant acqu rir quelques notions de base de traitement du signal Les chapitres 3 5 et 6 sont consacr s aux deux sujets essentiels trait s dans ce polycopi savoir l tude spectrale des processus du second ordre et l tude des s ries chronologiques classiques Ar Ma Arma ainsi que quelques l ments d tude statistique de ces processus Un certain nombre de r sultats sur la petite int grale stochastique figurant clas siquemen
67. X X de telle fa on que la suite X soit purement al atoire la suite X soit d terministe et que H X H X H X 50 Chapitre III Th orie spectrale D monstration Soit F N Hn X et E l orthogonal de F dans H X On pose X Proj X F et X Proj Xn E Il reste prouver que X est d terministe et X purement al atoire Or H X Proj H X F F et de m me AG N Proj A GOE Proj A GOIE 0 Proposition 3 3 Le processus d innovation 1 est une suite orthogonale et on a lin clusion H 1 H X On a galit si et seulement si le processus X est purement al atoire D monstration Soit m gt n alors Im Hm 1 C Hn et de plus In Hn d o l orthogonalit La relation In H implique H 1 C H X Ensuite si on note par e v1 v2 Uk l espace vectoriel engendr par les vecteurs v1 V2 Ug on voit que pour pZ0 HA e In 8 Hn 1 X e In as Se Hn p 1 X Si Y H X alors en projetant Y sur les deux sous espaces e I n In 1 In p et Hy p 1 X on a Y Ap Bp De plus Ap Proj Y H I et en reprenant la notation F Hn X on a Bp Proj Y F On en d duit la relation H X H 1 9F O D finition 3 4 Soit X un processus du second ordre On pose m t E X K s t E X m s X m t e On dit que X est un processus stationnaire centr en abr g p s c si m t 0 et si K s
68. a moyenne 95 6 2 2 Estimation de la covariance 95 6 3 Estimation des param tres d un processus ARMA r el 97 6 3 1 Estimation dans les mod les AR les quations de Yule Walker 97 6 3 2 Les estimateurs du maximum de vraisemblance 100 6 4 Estimation du spectre d un p s c 102 6 4 1 Estimation de la densit spectrale 102 6 4 2 Estimateurs des param tres bas s sur le spectre 104 Chapitre 1 Analyse de Fourier 1 1 Rappels de cours 1 1 1 Rappels sur les espaces de Hilbert Soit H un espace de Hilbert complexe muni du produit scalaire L in galit suivante appel e in galit de Schwarz sera tr s souvent utilis e dans la suite du cours Proposition 1 1 Soit x et y des l ments de H On a alors Kz y lt lel yl Avec galit si et seulement si x et y sont colin aires La propri t suivante porte le nom de bicontinuit du produit scalaire Proposition 1 2 Soit x et yn deux suites dans H qui convergent respectivement vers x et y Alors la suite num rique n Yn converge vers x y D finition 1 3 Soit A une partie de H e On d signe par A l ensemble des l ments de H orthogonaux tous les l ments de A C est un sous espace ferm de H e On d signe par o l espace vectoriel ferm engendr par et on dit que la partie A
69. a preuve est compl te 0 II 2 Herglotz Bochner 55 D finition 3 14 Soit X un p s c continu en m q si T R de fonction de covariance cx On dira alors que la mesure ux donn e par les th or mes d Herglotz ou de Bochner est la mesure spectrale de X On remarquera que l on a x t cx t et non cx t En fait on a choisi cette con vention de telle sorte que dans les cas usuels o la acho de covariance est sommable on obtienne la densit spectrale par une transformation de Fourier Par ailleurs si le processus X est r el la fonction de covariance c est r elle et donc sym trique On a donc aussi dans ce cas A x t cx t En g n ral si on d finit x A ux A on v rifie tout de suite que fx t x t et donc xlt c t Ceux qui connaissent la th orie spectrale des op rateurs unitaires se convaincront facile ment que dans le cas du tore ux est la mesure spectrale de l op rateur unitaire T calcul e sur un vecteur X quel que soit k Z puisque ti f mt dux t Too VnkeZ Exemple 3 15 Quelle est la mesure sp ctrale d un bruit blanc de variance o Dans ce cas on a c 0 g c k 0 pour tout k 0 La relation 3 2 donne f t o Donc la mesure spectrale a une densit constante gale o On a la r ciproque suivante qui est une cons quence imm diate de 2 36 Remarque 3 16 Soit u une mesure positive finie sur T resp sur R alors il existe au moin
70. a quantit qu on cherche valuer est donc le coefficient de z2 dans la forme quadra tique qui appara t dans l exposant de 6 8 multipli par 2 et chang de signe On remarque que Xm Bm GX m1 apXm p et que les v a Bm et Xm 1 X sont ind pendantes Donc si p lt m 1 on peut appliquer le lemme 6 16 suivant et on obtient que si on note x1 m p la densit fx est aussi gale 1 l1 1 gt TODA Rp A P Ca Ent X fn On aan H t apm 1 1 p z 2 exp ITR OT tm Qim 1 apm aA R A 73 Rat om ann pm Donc si on compare avec 6 8 on voit que le coefficient de x2 dans la forme quadratique vaut ce qui termine la preuve 0 Remarque 6 15 On remarque que dans la preuve pr c dente on a aussi montr que si o 1 on a det Rm det Rm pour tout m gt p On en d duit pour g quelconque que pour un mod le AR p on a det Rm o det Rn_1 pour tout m gt p Lemme 6 16 Soit Y et Z des v a valeurs R et R respectivement On suppose Y W iZa 1 ag 121 o W est une v a ind pendante de Z On suppose aussi que Z et W ont des densit s fz et fw Alors le couple Z Y a une densit donn par fev y fz z fw y aiza Qa 121 Le corollaire 6 14 fournit un outil pour chercher la bonne valeur de p quand on veut mod liser une s rie avec un processus AR On peut en effet calculer les unes apr s les autres les corr lations
71. acines et sont donc proportionnels o D finition 5 22 On d finit le filtre constructeur a associ au d veloppement de Taylor de DO le filtre blanchisseur b associ au d veloppement de Taylor de O On remarque que les deux filtres a et b sont de type causal et l un l inverse de l autre Dans le cas d un processus AR le filtre blanchisseur b a une transform e en z qui est un polyn me Dans le cas MA c est le filtre constructeur a qui a un trasform e en z qui est un polyn me Th or me 5 23 Soit X un processus ARMA et P Q le triplet canonique associ P Q Soient a et b les filtres constructeur et filtre blanchisseur respectivement Alors 1 ux a une densit donn e par Q y 1 P 7 1 2 2 Soit U d fini par U b x X alors U est un bruit blanc de variance o tel que X axU Donc H X Hn U pour tout n Il s en suit que le processus U est linnovation du processus X et que X est purement al atoire 3 pxX QxU quation ARMA canonique D monstration 1 est vident On montre facilement que la mesure spectrale de U est duu t o dt et donc U est un bruit blanc Les autres calculs sont faciles en tenant compte du fait que a b o P a Q b P et que a et b sont de type causal O Ce th or me a une application directe la pr diction qui est une g n ralisation de 5 9 Proposition 5 24 Soit X un processus ARM A Alors la pr diction Xn 1 n est donn e par co
72. alle 0 1 muni de la topologie du tore R Z qui en fait un espace compact Attention la restriction 0 1 d une fonction f continue sur R ne d finit une fonction continue sur T que si f 0 f 1 On crira donc indiff remment st dr ra ra I 2 S ries de Fourier 11 1 2 1 Coefficients de Fourier d une fonction de L T dx Cette section est essentiellement une application de la proposition 1 7 Il nous faut donc exhiber une base orthonorm e de l espace de Hilbert L T dx D finition 1 21 On pose y t exp 2irnt Tout ce qui suit est aussi valable avec le choix yn t exp 2irnt sauf pour certains calculs de d rivation ou d int gration des fonctions y t pour lesquels il faut changer de signe D finition 1 22 Soit f L T dx On pose a 1 LE fn frm f f dt miO E Flt k n On v rifie facilement que la famille Yn ez est une famille orthonorm e Il s en suit que la suite f n des coefficients de Fourier de f est de carr sommable Th or me 1 23 La famille yn nez est un syst me total dans L T dx et est donc une base orthonorm e de L T dx D monstration Soit E C T l espace de Banach complexe des fonctions complexes continues sur T muni de la norme uniforme et F un sous espace vectoriel de E Le th or me de Stone Weierstrass permet d affirmer que F est dense dans s il poss de les propri t s suivantes e F contient les fonctions co
73. ax llr SN AkAr E Ze z Zsyp Zi E Zsr k 1 k 1 r 1 Il ne reste plus qu v rifier que uz sk tk O sr tr E Zt Zs Z4 Zs ce qui r sulte de l orthogonalit des accroissements de Z Cette relation d isom trie montre que si une fonction dans F poss de deux d veloppements disctincts alors ceux ci ont m me image par donc Y est bien d finie sur F et c est une isom trie surjective sur F2 d o le r sultat par le th or me d extension des isom tries 3 Si Z est centr alors H Z est form de v a centr es car tout l ment de H H Z est limite dans L et donc aussi dans Lt d une suite d l ments de F gt qui sont manifestement centr s 4 Soit Y et U dans H Z alors Y U si et seulement si lt Y 7 gt lt U Z gt pour tout t gt 0 Or en prenant les produits scalaires dans L Q P puis L R uz on a t lt fete ds 2 gt lt p 109 gt f ola duzla 0 D finition 4 3 Pour t gt 0 et y L R uz on posera loc f plu dZu EO dZ On peut construire d autres p a o partir d un p a 0 En effet Proposition 4 4 Soit 7 t R un p a 0 continu droite en m q de mesure structurelle uz et p L R uz On pose Y T plu dZu Alors le processus Y est un p a 0 continu droite en m q de mesure structurelle y uz et pour toute fonction f L R uy on a fE dY FOl dZ
74. cation u f Tuf p est continue born e D monstration On prouve cette propri t sur les indicatrices d intervalles puis on montre qu elle passe la limite dans LP et enfin on utilise 1 20 o Proposition 1 51 Soit f L R dx 1 Krf fir TS unlu du 2 Krf converge vers f dans L R dx lorsque T o 3 SiTf L R dx alors une version de la limite pr c dente est donn e par TT f Il s en suit que f poss de une version dans Co I 3 Fourier sur R 19 D monstration L affirmation 1 est une cons quence de Fubini en utilisant la forme de Kr utilis e dans 1 48 et 2 est maintenant classique au vu des preuves pr c dentes et si l on prend en compte le lemme 1 50 on peut d ailleurs axiomatiser cette situation pour viter des preuves r p titions La conclusion 3 est une application directe du th or me de Lebesgue Remarque 1 52 Soit f L R dx e L application f Tf est injective sur L R dx e Tout ce qui pr c de reste vrai si l on remplace 7 par y et par cons quent si T f est int grable on a f T Tf Corollaire 1 53 L ensemble des fonctions de L R dx poss dant une transform e de Fourier support compact est dense dans L R dx D monstration Soit f L R dx En appliquant Fubini car f et Kr sont int grables on obtient que Z Krf Lf TKr Soit y t 1 ltl1 7 par d finition on a T p Kr
75. consid ration des propri t s du second ordre d un processus stationnaire est tout fait insuffisante pour caract riser celui ci puisqu il existe toujours un processus gaussien stationnaire avec les m mes propri t s du second ordre Proposition 2 36 Soit c une fonction de type positif sur T Si c est r elle resp complexe c est la fonction de covariance d un p s c gaussien r el resp complexe D monstration La matrice M i j c t tj est d finie positive On construit pour tout n la loi de probabilit gaussienne un sur r__ R associ e la matrice de covariance M et on utilise le th or me de limite projective des probabilit s o En fait un processus gaussien stationnaire au sens d fini plus haut v rifie une propri t de stationnarit beaucoup plus forte La loi de tout syst me fini extrait de ce processus est invariante par translation des indices puisqu elle ne d pend que de la matrice de covariance II 7 Le Mod le lin aire 47 2 7 Le Mod le lin aire On dispose d un appareil de mesure que l on cherche talonner A priori le signal x re u est de type vectoriel que on l crit sous la forme d un vecteur ligne p composantes On suppose que la mesure y de ce signal effectu e par cet appareil s crit sous la forme y x ob o 0 est un param tre inconnu dans R et b un bruit al atoire que l on suppose suivre une loi normale centr e r duite On se propose
76. ction limite et appliquer le th or me de Paul L vy la diff rence dela d monstration du th or me de Herglotz on ne peut pas appliquer le th or me de Fubini car la fonction t _ u n est pas int grable sur R On calcule alors f wO a foxi OOE o Kr d signe le noyau de F jer d finition 1 47 La fonction v h y v c v est continue et int grable et donc d apr s les propri t s du noyau de F jer lemme 1 49 lim gn t hr t yu t dt lim fut hn v c v Kr u v dv c u hn u T JR T 00 En faisant u 0 le th or me de convergence monotone implique onto dt Jim f ax Ohr dt e0 R To et donc gy est int grable et son int grale ne d pend pas de n et vaut donc c 0 Par cons quent les mesures positives un de densit gy par rapport la mesure de Lebesgue sur R ont toutes pour masse totale c 0 Le th or me de Lebesgue donne maintenant nu n u lim gn t hr t y u t dt c u hn u d o lim An u c u N La fonction u c u tant continue l origine le th or me de Paul L vy permet d affirmer qu il existe une mesure positive u de masse totale c 0 telle que c u fu Si c est sommable alors les fonctions gy sont uniform ment born es par c et convergent ponctuellement vers f Par cons quent si y est une fonction continue support compact on peut appliquer le th or me de Lebesgue d o OT k an De dt fe dr N c et l
77. ctoires continues et Y Yo Hu du i plu dBu Pour f C R on a la formule d int gration par parties b b f f u dYa I f u Ya du FEV f a Ya o dY signifie H u du y u dBu D monstration Il suffit d appliquer la formule d int gration par parties usuelle la fonction h t Yo k H u du et la formule pr c dente au processus W A plu dBu O Un exemple classique d utilisation de l int grale stochastique est la r solution de l quation de Langevin dV bV dt od B Ce genre d quation perturb e se rencontre fr quement en physique Th or me 4 16 Pour V donn l quation de Langevin poss de une unique solution appel e processus d Ornstein Uhlenbeck donn e par t V e Vo o f els dB 0 Si Vo est une variable al atoire ind pendante du mouvement brownien B et de variance v on a 70 Chapitre IV L int grale de stochastique 1 V est un processus du second ordre d esp rance E V eV E W et de covariance 2 2 o o K s 1t s exp tb v exp 2bs bt 2b 2b En particulier si V est centr et si v o 2b ce qui implique b gt 0 le processus V est stationnaire centr et sa mesure spectrale est une loi de Cauchy 2 Si Vo est gaussienne alors V est un processus gaussien D monstration En fait l quation de Langevin doit s interpr ter comme une quation int grale t V v f bV du o
78. d talonner cet appareil c est dire d estimer 0 et o en envoyant une suite de n gt p signaux connus et en notant les n mesures faites en supposant que les bruits successifs sont ind pendants On note X la matrice n x p avec p lt n dont les vecteurs lignes sont les n signaux envoy s Y le vecteur colonne des mesures et B le vecteur des bruits Dans toute la suite on suppose que la matrice X est de rang p Le mod le s crit donc Y X0 0B D finition 2 37 On pose X X X Y et o rl X02 Th or me 2 38 Gauss Markov Les estimateurs et o des param tres 0 et o poss dent les propri t s suivantes e Ils sont sans biais et ind pendants e Ce sont des estimateurs de variance minimum dans la classe des estimateurs sans biais du couple 0 o e 0 suit une loi gaussienne d esp rance 0 et de matrice de covariance a X X n5 P Lo suit une loi de x n p degr s de libert o Pour calculer des intervalles ou des r gions de confiance ainsi que pour effectuer des tests on utilise le r sultat suivant Proposition 2 39 Sous les hypoth ses ci dessus on a e Soit d le terme diagonal d ordre k de la matrice X X Pour 1 lt k lt p la v a r k suit une loi de Student n p degr s de libert dko n p X6 x0 e La v a p Y X6 suit une loi de Fisher p n p degr s de libert 48 Chapitre II Rappels de probabilit
79. de x sur F la surjection continue de H sur F v rifiant les deux propri t s quivalentes 1 x Pp x y 0 pour Vy E F 2 z Pr x infyer x yl Dans la plupart des cas on calcule une projection orthogonale en utilisant une base orthonorm e Proposition 1 9 Soit en nez une base orthonorm e de H telle que en n lt p soit une base orthonorm e de F alors Pr x D 2 en en Il est facile de prouver la propri t de continuit suivante Proposition 1 10 Soit F une suite de sous espaces de l espace de Hilbert H et x H On pose n Proj x Fn 1 Si la suite F est d croissante et F NnFhn alors x converge vers Proj x F 2 Si la suite F est croissante et F Un Fn alors x converge vers Proj x F Nous terminons cette section par une propri t d extension des isom tries qui nous sera tr s utile Proposition 1 11 Soit F resp F2 un sous espace dense de l espace de Hilbert H resp H Alors si W est une application lin aire isom trique et surjective de F sur F2 elle se prolonge de fa on unique en une isom trie de H sur H Les espaces de Hilbert les plus utilis s dans ce cours seront les espaces de suites ou de fonctions complexes de carr sommable I 1 Rappels de cours 1 1 2 Rappels d Int gration Soit Q A 1 un espace mesur u tant une mesure positive que l on supposera toujours c finie Pour 1 lt p lt on d signe par LP l espace d
80. du moins si ses accroissements sont centr s et de carr int grable Les deux exemples les plus importants de p a o en fait des processus accroissements ind pendants p a i sont le mouvement brownien et le processus de Poisson 4 3 1 Le mouvement brownien D finition 4 12 On appelle mouvement brownien un processus r el B4 t gt 0 v rifiant e B 0 0 et lapplication t B w est continue pour presque tout w e Le processus B est un processus accroissements ind pendants tel que pour h gt 0 la loi de Bin B soit une loi normale centr e de variance h 68 Chapitre IV L int grale de stochastique Th or me 4 13 Soit B un mouvement brownien 1 B est un p a 0 continu en m q de fonction de covariance K s t s At et de mesure structurelle la mesure de Lebesgue sur R 2 Soit p L R dx et Vo une variable al atoire gaussienne ind pendante du processus B On pose V Vo Sol dBu a a est un processus gaussien et pour t gt 0 on a Cov Vi s Vs Var A Jo p x dz D monstration 1 B est un p a i centr donc un p a 0 De plus Bin Bt A d o la continuit en m q et le fait que la mesure structurelle est gale la mesure de Lebesgue Le processus tant centr on a par exemple pour s gt t I K s t E B B lt B Bi Bi gt lt Bi Bi gt 2 Soit t lt t2 lt lt tn Il faut prouver que X Xr AkVi suit une loi gaus
81. e z lt K on a rexp xz f x K exp KR f 2 D IAIA Remarque 1 96 Cette proposition a des cons quences importantes e Une fonction sommable support compact ne peut pas avoir une transform e de Fourier support compact e Si f est sommable alors F t Lf 2irt e Si le point 0 est dans l int rieur de Qs alors la transform e de Fourier de f est analytique et les fonctions x f x sont sommables pour tout entier positif n Il n existe malheureusement pas de crit re simple comme pour la transform e en 2 permettant d affirmer qu une fonction holomorphe dans un tube est la transform e de Laplace d une fonction sommable On utilise beaucoup la transform e de Laplace pour les fonctions support dans R car cet ensemble est stable par convolution et pour une fonction f sommable on a 0 C Qz Chapitre 2 Rappels de calcul des probabilit s 2 1 G n ralit s Soit Q 4 P un espace probabilis Une application mesurable de cet espace dans R resp R4 muni de sa tribu bor lienne B resp B4 est appel e variable al atoire v a r elle resp vecteur nn ou variable al atoire d dimensionnelle On d finit l int grale fo X w dP w comme on l a vu au 81 1 2 Dans ce cas on utilise aussi la notation E X ee due l int grale L int grale par rapport une mesure de probabilit jouit de quelques propri t s suppl mentaires D abord en utilisant l in galit de H lder et le fait
82. e Banach des classes d quivalence pour l galit u presque s re des fonctions complexes mesurables telles que les quantit s 1 p flo Jo IFP du si p lt 00 fl inf c f lt cupp soient finies ce sont alors des normes sur LP Proposition 1 12 L espace L muni du produit scalaire F 9 Ja f w g w du w est un espace de Hilbert Proposition 1 13 In galit de H lder Soit p gt 1 q gt 1 avec 1 p 1 q 1 et f LP g LA Alors fg L et fgl1 lt flpllgla Proposition 1 14 Lien avec la convergence presque partout Soit fn une suite de LP qui converge dans LP vers f LP Alors il existe une sous suite extraite de fn qui converge u p p vers f En particulier ceci signifie que si une suite fn converge vers f dans LP et fn converge vers fo u p p alors f f2 u p p Proposition 1 15 Th or me de Lebesgue Soit fan une suite de fonctions de L qui converge u p p vers f et telle qu il existe g L avec fn lt g pour tout n Alors f Lt et fn converge vers f dans Lt Nous utiliserons tr s souvent le th or me de Fubini Soit Q4 Ai i i 1 2 des espaces mesur s les deux mesures u tant positives et finies Th or me 1 16 Soit f wi1 w2 une fonction A1 A mesurable 1 Si f gt 0 alors fr w2 di w2 dun un L f w1 w2 dpa w1 dua w2 Cette valeur commune tant finie ou non 2 Pour f non n cessairement positive la formule ci dessu
83. e Bienaym Chebyshev z Var X T ne P IMal gt jointe au lemme de Borel Cantelli montre que la sous suite Mp2 converge presque s rement vers 0 Il reste contr ler les termes My pour n lt k lt n 1 Xi X2 Xk o XitX t Xn Mg Mp2 A 2 2 n X X CE DM CE Mk M gt lt IM gt Zn 40 Chapitre II Rappels de probabilit Avec X X X X 2 Z ip n2 1 y T kj lt Hat n 1 n2 lt k lt n 1 2 n On a 1 2 2 1 e 1 2 2 2 2 1 2 2 uz si D EXD lt Z0 n olen ij n2 1 Une nouvelle application de l in galit de Bienaym Chebyshev Z montre que Zn converge presque s rement vers 0 Il ne reste plus qu crire My lt Mk Mpn2 Mre lt 2 Mn2 Zn pour conclure 0 2 4 V a complexes On peut sans difficult s tendre au cas complexe les notions ci dessus Soit X et Y des v a r elles On dit que Z X iY est dans LP si X et Y sont dans LP ou de fa on quivalente si Z LP D finition 2 13 Soit Z X iY et Z2 X iY deux v a complexes 1 On dit que Z et Z2 sont ind pendantes si le couple X1 Yi est ind pendant du couple X2 Y2 2 On d finit Cov Z1 Z2 E Z1 E Z1 Z2 E Z2 E Z122 E Z1 E Z2 On a alors un r sultat analogue au cas r el Proposition 2 14 1 Soit Z et Z des v a com
84. e d int gration par parties en 4 14 Soit B t R un mouvement brownien y x L loc b b f f u dYa l f u Ya du FO f 0 Ya IV 2 L int grale stochastique et les p s c 69 D monstration Il suffit de prouver la formule pour a 0 et on pose b t Tout revient prouver que le terme W f t Y fi f u Y du est bien gal l int grale stochastique i fu dYu i f u p u dBu En reprenant la caract risation donn e dans 4 2 et en utilisant la relation de Parseval ceci est quivalent l galit t s E B W E B f Sapu dB fuye u du pour tout s gt 0 Or E B W f DE B Y f u E BsYa du en justifiant l application du th or me de Fubini dans le dernier terme crit Par appli cation de la relation de Parseval on obtient E B Y lt y u du et par cons quent tout revient v rifier que t s t u A s t s Of odu f POS et0 der du Huyo du 0 Ceci r sulte d une simple application de la formule d int gration par parties usuelle en distinguant les cas s gt tet s lt t O On peut par exemple d duire de ce th or me que pour f de classe C1 la variable al atoire gaussienne T f u Bu du a pour variance RIE f u du On peut g n raliser la proposition 4 14 Proposition 4 15 Soit B t R un mouvement brownien x L Rt dx H t un processus stochastique traje
85. e de c d alors f x gl c Ab x d V a qui est bien une fonction de Co Il suffit maintenant de constater que si fn et gn sont deux suites de L R dx qui convergent dans cet espace vers f et g alors fn gn converge en norme uniforme vers f x g du fait de l in galit d j obtenue On termine la preuve en utilisant le fait que l espace Co est ferm pour la norme uniforme 0 La convolution a des propri t s remarquables vis a vis de la transformation de Fourier r sum es dans le th or me ci dessous Th or me 1 64 On a les propri t s suivantes 1 Soit a Z etb e Z alors axb b 2 Soit f et g des fonctions de L T dx alors Fx g n f n n 3 Soit f L R dx et g L R dx ou g LI R dx alors f g f D monstration 1 Si a et b sont dans Z le r sultat est une simple application de Fubini Ensuite soit gl une suite d l ments de 2 Z convergeant vers g et v rifiant la propri t Alors la majoration f gll2 lt fl1 lgl2 montre que f g converge dans Z vers fxg D apr s la continuit de la transform e de Fourier on aura f x gl Fat qui converge dans L T dx la fois vers Fxg et fo d o le r sultat en choisissant gt dans Z par exemple la restriction de g aux indices de n n 2 Simple application de Fubini 3 Identique 1 o0 Exemple 1 65 On pose f l 44 et on veut calculer g f x f Ce calcul peut se faire d
86. e le vecteur colonne de composantes CE k k 1 p On peut montrer que cette quation a toujours solution De plus la matrice R est inversible pour tout p sous des hypoth ses tr s faibles 98 Chapitre VI Statistique des processus du second ordre Proposition 6 11 On suppose n gt p Alors la matrice R est semi d finie positive Elle est d finie positive et donc inversible d s que c 0 gt 0 D monstration On note T la matrice p x n p Or aas des 009 AT aina a ur ie A T D sgy Ou A ada ao aie s Aao O Xe dae ds du sus Ap O aa a O Il est facile de v rifier que R Lrr P n Donc R gt 0 Finalement il est facile de voir que T et donc aussi R a rang p si et seulement si un au moins des Xj j 1 n est 0 2O Les estimateurs de Yule Walker sont videmment consistants d s que les CEP k sont des estimateurs consistants des covariances cy k car alors R no Rp et ci cy p s Le r sultat suivant donne plus de pr cision sur le comportement asymptotique de ces estimateurs Il est utile m me dans le cas o on aurait r solu le syst me 6 6 avec une valeur de p qui ne serait pas la bonne Proposition 6 12 Soit X un processus AR p stationnaire soit m gt p et notons a R le vecteur a a1 ap 0 0 Notons Ja solution de l quation de Yule Walker empirique dans R soit RDA gt Con Alors n a amp N 0 02R 6 7 n 0O Remarque 6 13 La
87. e plus on peut remarquer que d une part In t est tr s instable puisque Var Z 0 204 alors que Var 1 1 2n gf et que d autre part il n est pas du tout consistant puisque 1 0 o U o U suit une loi gaussienne centr e r duite et il n est bien s r pas question que Z 0 puisse converger p s vers g 0 o Pour construire partir du p riodogramme un estimateur consistant de la densit spectrale plusieurs m thodes ont t d velopp es Nous allons maintenant voir celle qu on peut appeler du lissage Elle consiste remplacer In avec In o 1 t est obtenu en faisant une moyenne pond r e des valeurs de I s pour des valeurs de s proches de t On pose Fn tx k 2n k 0 2n 1 et on d finit ty pour r Z quelconque par ty o k r modulo 2n D finition 6 23 On appelle p riodogramme r gularis la fonction 1 d finie sur T par alt S un k I E _ et Ih t interpol lin airement si t est situ entre deux valeurs contigues de t j La suite de filtres wWn n satisfait aux propri t s suivantes 1 w k 0 pour k gt my o mh n est une suite telle que my et my n 0 pour n 00 2 D rjemn Un 1 yjem w2 k 0 pour n co Th or me 6 24 Soit Xn n un p s c de la forme X a x B o B est un bruit blanc ind pendant tel que E B lt o et le filtre a satisfait la condition X lalli lt 00 6 10 j Z Alors si I est un
88. ela permet de reconstruire la matrice Rn1 En effet l ordre 1 on a a A et p c 0 1 la 2 De plus si l on conna t c k pour k 1 n 1 alors n n e n lt Xny1 X1 gt lt Xny1 X gt Vas lt Xk X gt Salk 1 k 1 k 1 O Le th or me suivant fournit un prolongement AR d une matrice de Toeplitz Ce sont ces coefficients de r gression az ainsi que la variance py qui sont transmis par exemple dans les communications GSM L hypoth se de base est alors que sur un intervalle de temps tr s court la parole peut s interpr ter comme un bruit blanc modul par le filtre des cordes vocales assimil un polyn me DL appareil metteur chantillonne donc le signal sur cet intervalle de temps effectue un calcul de type algorithme de Levison et transmet les ax et py En fait les coefficients de reflexion kn et c 0 L appareil r cepteur g n re alors un bruit blanc qu il module avec ces coefficients Du fait de l incertitude reposant sur la g n ration des bruits blancs les processus source et destination peuvent tre fort diff rents du point de vue des trajectoires mais fort heureusement l oreille n est sensible qu aux propri t s statistiques qui elles sont quasi identiques Comme on peut le supposer ce proc d de base est am lior pour restituer les diff rentes qualit s de voix Th or me 5 41 Soit Ry4 une matrice de Toeplitz inversible et py aM ia a pn 0 calcu
89. et on a donc r N 2 3 En reprenant la preuve ci dessus on obtient un polyn me q de degr N tel que qx X 0 ceci implique det Rn 1 X 0 Si on suppose que det Rn X 0 alors H X serait de dimension lt N 1 et donc u serait port e par au plus N 1 points o Le prolongement AR d une matrice de covariance a une mesure spectrale absolument continue Le th or me suivant fournit un prolongement prolongement de Pisarenko poss dant une mesure spectrale qui est la somme d une mesure ponctuelle et d un mul tiple de la mesure de Lebesgue Th or me 5 43 Soit Ry une matrice de Toeplitz o sa plus petite valeur propre et M le rang de la matrice Ry o 1 Il existe alors une mesure positive u sur 0 1 qui est la somme d exactement M masses de Dirac et de o fois la mesure de Lebesgue et dont la fonction de covariance prolonge Ry D monstration La matrice G Ry o T est positive et sym trique de rang M On sait donc qu il existe un p s c Y dont la fonction de covariance prolonge G et dont la mesure spectrale uy est une mesure ponctuelle chargeant exactement M points D autre part si Pon consid re un bruit blanc B de variance a sa matrice de covariance est o I et sa mesure spectrale up est a fois la mesure de Lebesgue En choisissant ce bruit blanc dans H Y alors la matrice de covariance de X B Y prolonge Ry et Ux hy up Pour d terminer uy Ak t on peut poser S l r tr pour 1
90. form ment convergente FO X eln y nlt t 3 1 Z D monstration Pour un entier positif N on pose N 1 D 5 Animer m X a kr 2 6 n 1lm l k N 1 Puisque c est de type positif et Yn t y t la fonction gy t est positive et si l on note uy la mesure positive de densit gy t par rapport la mesure de Lebesgue sur T on a N 1 axt oed E e 0 elp k N 1 pour p lt N et fn p 0 pour p gt N videmment on a limy fin p c p Par le th or me de Paul L vy la suite in n converge troitement vers une mesure y et par cons quent f p c p pour tout p Si c L Z alors la s rie dans 3 1 converge dans L T dx et on int gre terme terme pour v rifier que f p c p p o 54 Chapitre III Th orie spectrale Th or me 3 13 Bochner Soit c une fonction de type positif sur R et continue l origine Alors il existe une unique mesure positive finie u sur R telle que e t I ne dule A t VER Si c est sommable alors la mesure u a une densit f par rapport la mesure de Lebesgue sur R donn e par 1 E dx t 3 2 D monstration Pour T r el positif on d finit la fonction positive continue et support compact hr t 1 i Hye Pour un entier positif N on pose N N D Leconte nardy frnteton t du Comme pour le th or me de Herglotz on veut calculer sa transform e de Fourier et montrer qu elle converge vers une fon
91. i par X axV v rifie V bxX et donc H X H V Vn 2 Le processus X v rifie px X q V c est donc un processus ARMA 3 la mesure spectrale de X est gale m Ce th or me c est un premier pas dans la direction de la simulation d un processus ARM En g n ral il est facile de simuler un bruit blanc et il est affirm que un mod le ARM A est toujours un filtr d un bruit blanc 5 3 4 La fonction de covariance des processus ARMA Dans cette section on tudie la fonction de covariance cx d un processus ARM A sta tionnaire Proposition 5 29 Soit X un processus ARM A p q stationnaire de triplet canon ique o P Q et soit a le filtre constructeur Alors il existe 0 lt p lt 1 tel que GS pe EU 5 2 Et donc cx k lt K plK pour tout k D monstration La fonction rationnelle Q P est holomorphe dans le disque z lt R o R gt 1 est le plus petit module des z ros de P Donc sa s rie de Taylor est absolument convergente pour z lt R pour tout gt 0 Comme le filtre constructeur est donn par les coefficients de cette s rie la s rie termes positifs gt la R E 7 est convergente et il existe donc K lt tel que a lt K R E Si on choisit assez petit de fa on avoir R e gt 1 on obtient 5 2 L in galit cx k lt K R e l l suit maintenant de la remarque 3 22 o il est indiqu que pour k gt 0 on a cx k o 3 oaj K et
92. ien sont presque s rement variation totale infinie sur tout intervalle et ne sauraient donc tre consid r es comme la fonction de r partition d une mesure Ceci est en contraste avec le cas du processus de Poisson ci dessous pour lequel la notation dN d signe bel et bien une mesure al atoire ponctuelle On peut d finir le p a i centr B pour t R de la fa on suivante on consid re pour t R deux mouvements browniens ind pendants B et B et on pose B B si t gt 0 et B B si t lt 0 Si l on revient aux consid rations ci dessus on voit que IV 2 L int grale stochastique et les p s c 71 le p a 0 Bi ne peut tre d duit d un p s c puisque sa mesure structurelle est la mesure de Lebesgue sur R et n est donc pas finie Par contre la transform e de Fourier au sens des distributions de la mesure de Lebesgue sur R est gale la masse de Dirac en 0 soit o On peut alors se demander s il serait possible de g n raliser la notion de p s c de telle sorte que cette mesure 69 puisse appara tre comme une distribution de covariance Cette approche a t developp e par de nombreux auteurs et consiste consid rer l application t X4 w non plus comme une fonction al atoire mais comme une distribution al atoire Ceci permet alors de donner un sens math matique des filtres du genre d rivation ou valeur principale qui ne peuvent s interpr ter comme des convolu
93. ienaym Tchebishev pour tout gt 0 E lYn Yol E 2 Y 2 4E Y ne ne ne n 00 Il suffit alors d appliquer la proposition 2 5 O Remarque 6 7 e D apr s 3 3 l hypoth se faite implique que ce processus est n ces sairement purement al atoire Dans la plupart des cas rencontr s dans la pratique la condition de d croissance du filtre a est satisfaite mais l hypoth se de bruit blanc fort souvent difficile v rifier e L hypoth se de sommabilit du filtre a dans le th or me 6 6 est certainement satis faite pour le filtre constructeur d un mod le ARM A puisque celui ci est d croissance exponentielle proposition 5 29 Gr ce au th or me 5 23 ce r sultat s applique tout processus ARM A associ un bruit blanc fort e Dans le cas r el la quantit o a qui appara t dans l expression de la variance asymp totique peut s exprimer en fonction des covariances On a en effet d apr s la remarque 3 22 y cx k 0 D gt a n a n k o gt a n k gt a n a n k o c keZ kEZnEZ k lt n n gt 0 VI 2 tude statistique d un processus stationnaire 95 6 2 tude statistique d un processus stationnaire Soit X un p s c On suppose que l on n observe pas X directement mais un processus Y d centr de la forme o m C est inconnu On se pose donc la question de l estimation de la moyenne m et de la covariance cy 6
94. in galit de Bienaym Chebyshev P IXn X gt lt FX Xni 1 EP On tudie maintenant la convergence en loi Th or me 2 3 Soit un et u des probabilit s sur R telles que un p u y pour toute fonction continue support compact p Alors un converge troitement vers p D monstration Soit f une fonction positive continue born e et y une suite de fonctions continues support compact qui tend en croissant vers la fonction constante 1 Les fonctions fy sont continues support compact et lim pn for U f limp or ue limf aly 1 Par cons quent des in galit s WP HF S fe ele nlf Hn fel S Flo Hn gr on d duit lun CF U lt lun fo Uelfel lflloo 2 uly Hn wr et on obtient le r sultat en faisant tendre d abord n puis l vers linfini O Il faut bien remarquer que cet nonc suppose que l on sait l avance que u est une probabilit sinon l nonc est faux Proposition 2 4 Si X X en probabilit alors X X en loi D monstration Soit p une fonction continue support compact donc uniform ment continue et gt 0 Il existe a gt 0 tel que x y lt a implique p x w y lt 2 En utilisant la majoration p lt K on obtient E p Xn EX lt E lp Xn E X kii Y X p Xn dP IX Xn lt a XX Xn gt a lt 2 2KP X Xn gt a
95. irectement mais il est plus simple de remarquer que f t sinc t Donc g t sinc t K t K est le noyau de F jer D apr s l exemple 1 60 on a Ki t 1 bi Donc ff a e 1 5 Autocorr lation D finition 1 66 Soit f une fonction de carr sommable On d finit sa fonction d autocor r lation Cf par la formule C x f x f x o f x f x Proposition 1 67 Soit Cp la fonction d autocorr lation d une fonction de carr sommable 1 Cp est une fonction de Co et Cf 0 f 2 2 Cf est une fonction de type positif sur R T ou Z 3 Cy est l int grale de Fourier d une densit spectrale sommable et positive a Dans le cas de R on a Cy t fr f u u du I 5 Transform e en z 25 b Dans le cas de T on a Cy t f n AN c Dans le cas de Z on a Cy n fy f u yn u du D monstration 1 Cons quence de 1 63 2 On remarque que Cr f Tz f et que f Taf T zf 1 Soit 21 Zn des nombres complexes et 1 n des points de R T ou Z Alors DIN act x SA Tar zf r 1 1 r 1 1 ED saat Ter Dars ap r 1 i 1 3 On se contente de prouver a Soit f L R dx alors on a F Ta f y_ Ff on le v rifie pour Fr et on passe la limite On a alors Cp F Taf FEF Taf OFF Les autres galit s s obtiennent de la m me fa on O La formule d finissant la fonction d autocorr lation est aussi valide pour une fonction
96. isant l in galit de Schwarz lelt h ft lt lXollall Xen Xl ce qui prouve a Ensuite Xia Xel Xall Xli 2Re Xin Xe 2 c 0 Relc h ce qui prouve b o 3 2 Th or mes de Herglotz et Bochner On rappelle la notation yaly y x e 27 D finition 3 8 Transform es de Fourier des mesures born es sur T et R e Si u est une mesure sur T on pose fi n fy Y n x du x e Si est une mesure born e sur R on pose fi t fg 7 x du x On peut remarquer que ces d finitions sont compatibles avec le calcul des fonctions caract ristiques et les d finitions du premier chapitre si la mesure y est une probabilit dans le sens que t A E 52 Chapitre III Th orie spectrale Proposition 3 9 On a les propri t s suivantes 1 L application u ji est injective 2 La transform e de Fourier d une mesure positive finie dans le cas de R est une fonction de type positif uniform ment continue dans le cas de R 3 La suite de probabilit s 1 converge troitement vers la probabilit u si et seule ment si fi t converge vers f t pour tout t T D monstration Le cas du Tore 1 L application f u f est continue sur C T Par cons quent si pour deux mesures u et v les formes lin aires u f et v f co ncident sur les exponentielles complexes elles sont gales sur C T puisque les combinaisons lin aires d exponentielles sont denses dans C T 2 Soit z1 22
97. istes Il est maintenant temps de donner un petit lexique pour la traduction des r sultats math matiques pr c dents la th orie du signal Un signal ou un filtre sont des fonc tions a priori complexes qui selon les cas sont d finies sur R Z ou T Ces deux quantit s quivalentes du point de vue du traitement math matique recouvrent en fait des notions physiques assez diff rentes un signal est en principe une grandeur observable sur un intervalle de temps alors qu un filtre d signera le plus souvent une fonction soit inconnue de l observateur et sera alors consid r e comme parasite soit construite par l observateur afin de moduler le signal observ D finition 1 79 On adoptera les d nominations suivantes e Un signal d nergie finie est une fonction de carr sommable L nergie est alors le carr de la norme 2 de cette fonction e Un signal ou un filtre stable est une fonction sommable e Un signal analogique resp digital est un signal temps continu resp temps discret 28 Chapitre I Analyse de Fourier e La transform e de Fourier d un filtre stable est le gain de ce filtre e On dit qu un filtre est causal s il est nul sur R ou sur les entiers n gatifs cas de Z e La densit spectrale d un signal d nergie finie est le carr du module de sa trans form e de Fourier On peut donc noncer certains r sultats pr c dents proposition 1 67 et corollaire
98. itifs Th or me 4 2 Soit Z t R un p a 0 continu droite en m q et tel que Zo 0 1 La formule uz 0 t Z 2 d finit une mesure de Radon positive sur R appel e mesure structurelle de Z v rifiant 7 0 0 et pz t t h Zn Z 2 2 Il existe une unique isom trie lin aire et surjective de L R u7 sur H Z not e J p t dZ prolongeant l application s t gt Z Z En particulier on a la relation de Parseval J p p2 t duz t E f p t dZ J pat dZ 3 Si le processus Z est centr alors E f p t dZ4 0 4 L int grale stochastique f p t dZ est l unique l ment Y de H Z v rifiant E Y Z Jo t p x duz x pour tout t R7 64 Chapitre IV L int grale de stochastique D monstration 1 On a uz l0 t A Zen Zen Ze Ze Zoll Zen Zoll lll ce qui prouve que t uz 0 t est croissante et continue droite Par cons quent u est une mesure positive sur R De plus u7 0 limso uz 0 t limso Z4 Zo 2 0 2 On pose H L R uz Ho H Z et F1 resp F2 d signe l ensemble des combi naisons lin aires des indicatrices d ensembles de type s t resp des Z Alors F1 resp F est dense dans H resp H2 On d finit alors l application Y de F dans F2 par YO Xlfsute gt AZ Zsp k 1 k 1 On a DEEE D ON Au sr tell sr tr I pp Ak Zity S Z
99. ition 1 91 Supposons f et f r guliers le signal f n gligeable hors d un inter valle du type T T NA et f n gligeable hors d un intervalle du type F F 1 A Soit a le prolongement p riodique de la suite finie ay f T nA n 0 N 1et no la partie enti re de FA Alors la suite AFa k y Tr Rx est un chantillonnage approch de f pour les N valeurs de k telles que les fr quences i 2 soient dans l intervalle F F 1 A 1 7 Signaux d terministes 33 D monstration En appliquant la formule 1 86 on a en posant t DST nA na 0 ASE Arlt 2 nez nez D ra nA wi Fa k GE Er nez nez L hypoth se faite sur le support de f implique que la derni re somme crite ne contient en fait qu un seul terme d o la conclusion o Dans le cas d intervalles sym triques on peut donner une formulation plus simple Proposition 1 92 Supposons f et f r guliers N 2M le signal f n gligeable hors de intervalle MA MAT et f n gligeable hors de l intervalle 5x x Soit a le prolongement p riodique de la suite an f nA n M M 1 Alors la suite AFa k pour k M M 1 est un chantillonnage approch de f aux fr quences k NA D monstration On part de la formule X f nA y na t 4 5 f t n A puis on pose t k NA et la preuve est alors identique la pr c dente o On en conclut que si f est n gligeable hors d un intervalle A A et f
100. ivant Proposition 2 29 Soit une matrice sym trique resp hermitienne positive Il existe alors une matrice telle que AA D monstration Si la matrice X est diagonale les l ments Y sur la diagonale sont gt 0 X tant positive La matrice diagonale form e avec les racines carr es des X fait l affaire Sinon on utilise la diagonalisation KDK avec K orthogonale resp unitaire et si B est telle que BB D alors A KBK satisfait la condition requise o Si X est gaussienne N 0 I et AA X alors Y AX m est une v a N m X Si X est inversible on peut d duire la densit de Y gr ce aux relations 2 1 et 2 6 1 ai 1 1 2 xz fx A x m s ex 514 r m E 2 7 5 e mY 2e m exp r m x m 2r 2V det X 2 On remarque que l on vient galement de prouver que pour tout m Rt et pour toute matrice sym trique positive il existe toujours un vecteur d dimensionnel Y qui soit N m Y celui ci n ayant une densit que si X est inversible Le th or me suivant tr s classique est le Th or me Central Limite TCL Th or me 2 30 Soit X une suite de v a valeurs dans R ind pendantes de m me loi de carr int grable ayant pour moyenne m et pour matrice de covariance X On pose Sn X1 Xn Alors Wn 7 Sn nm converge en loi vers Na 0 X D monstration On peut supposer m 0 Soit Y N4 0 On a
101. l s partir de Rn41 par l algorithme de Levinson ou par tout autre moyen On a alors 88 Chapitre V Processus stationnaires al atoires 1 Le polyn me Q z 1 ia azk a toutes ses racines de module gt 1 2 Le processus AR solution de qx Y B o B est un bruit blanc de variance py a une fonction de covariance qui prolonge Rn 1 D monstration 1 On le prouve par r currence Si N 1 alors Q z 1 dz et par cons quent si Q z 0 alors z gt 1 d apr s l in galit de Schwarz Si z 1 cela signifie que R est singuli re ce qui est impossible puisque p 0 Ensuite on v rifie que pour n lt N 1 Qn 1 2 Qn z CE kn41271Qh 1 2 HO 1 2 nt au voisinage du disque unit et donc atteint son maximum en module dans ce disque en un point du cercle unit Or H z 1 sur le cercle unit Si on suppose Qu 1 u 0 et on pose H z D apr s l hypoth se de r currence H z est holomorphe en un point u du disque unit ceci implique que H u or kn 1 lt 1 et donc En 1 Qn 1 a toutes ses racines de module gt 1 2 Soit b le filtre causal inverse de q On a donc Y b B et d apr s le calcul de projection 5 9 fait pour les processus AR on a N Proj Yn Hn Y Dane k 1 Cette derni re quantit ne d pend que des variables al atoires Y1 Yw elle est donc gale Proj Yn 1 1 Yn De plus Yn 1 Yn 1 Bn l py Par cons quent la mat
102. lassiquement la notion de transform e en 2 D finition 1 70 On dira qu une suite an hez admet une transform e en z soit A z si la s rie de Laurent A z ez 4n2 converge dans un voisinage du cercle unit La fonction A z est alors holomorphe dans l int rieur de ce voisinage On remarquera que si a L Z alors cette s rie converge pour z 1 mais qu il n est pas toujours vrai qu elle converge dans un voisinage du cercle unit La proposition suivante est la traduction des propri t s des fonctions holomorphes dans un anneau et de leur s rie de Laurent Proposition 1 71 Soit H z une fonction holomorphe dans un voisinage du cercle unit contenant l anneau r lt z lt r2 avec r lt 1 et ra gt 1 Alors elle admet un d veloppement de Laurent dans cet anneau qui est de plus normalement convergent dans tout sous anneau ferm Corollaire 1 72 Soit a une suite admettant une transform e en z soit A z 1 La suite a Z 2 A 1 1 l 3 an 0 pour tout n lt 0 i e a est causal si et seulement si A z est holomorphe dans un voisinage du disque unit 4 Sib est une suite admettant une transform e en z soit B z alors a x b admet une transform e en z donn e par le produit A z B 2 Proposition 1 73 Soit a une suite admettant une transform e en z soit A z qui ne s annule pas dans un voisinage du cercle unit Alors a admet un inverse dans l alg bre de convo
103. le processus Xn ez est r el En supposant par exemple m pair soit m 2r et en num rotant les et les v a sous la forme A A j 1 r on obtient Xn 23 C j cos 2rn D j sin 2rn 3 5 j 1 Si on reprend 3 4 la fonction de covariance de ce processus vaut donc cx k 2 gt o cos 2rkA j 1 On voit donc que la fonction de covariance cy appara t comme une superposition de cos inus de fr quences diff rentes chacune avec un poids o Les calculs effectu s autour de ce mod le simple nous permettent de faire quelques consid rations qui peuvent clairer la signification intuitive des objets qui ont t introduits dans les derniers paragraphes Puisque la fonction t cos 2rt a une p riode gale tj les grandes valeurs de o correspondent la pr sence dans la fonction de covariance cy de composantes impor tantes ayant une p riode tj Plus pr cisement supposons que Ge soit significativement plus grand que les autres o Si on pose g 2 gt 4 o le quotient o o sera proche de 1 pour j et proche de 0 sinon En se rappelant que o cx 0 Var Xn pour tout n le coefficient de corr lation entre Xn et Xn vaut cx k 7 o p k x0 2 52 cos 27k cos 27k A Cette quantit qui oscille entre 1 indique donc une forte corr lation p riodique positive ou n gative entre Xn et Xn k De m
104. lement convergente sur tout compact El D finition 1 82 Soit T gt 0 et T J e On d signe par Hr l ensemble des l ments de L R dx poss dant une trans form e de Fourier nulle hors de l intervalle T T T sin 2rtT e On pose or t f ru du ere On peut remarquer que toute fonction de Hr poss de un repr sentant continu et m me analytique Th or me 1 83 On a les propri t s suivantes 1 Hr est un sous espace ferm de L R dx 1 7 Signaux d terministes 29 2 La famille de fonctions t V2Tor t nr est une base orthonorm e de Hr 3 Pour f Hrona f or nrT Trf nr On en d duit donc que la suite f nT est dans Z 4 Pour f Hr ona D Y fnn or t nr nez La s rie converge pour tout t et dans L R dt 5 Si la suite f nr est dans Z en particulier si f est r guli re alors on a con vergence uniforme en t dans la s rie pr c dente Les deux derni res formules ci dessus constituent le th or me d chantillonnage et la fr quence d chantillonnage T 1 2T est appel e fr quence de Nyquist On en d duit donc que pour un signal dont le spectre est essentiellement contenu dans un intervalle born A A il suffit de conna tre un chantillonnage discret une fr quence sup rieure 1 2A pour reconstituer ce signal temps continu D monstration 1 Soit F l espace L T T dx identifi au sous espace de L R dx des fonction
105. lution Z qui a pour transform e en z la fonction 1 A 2 D monstration Puisque A z ne s annule pas alors 1 A 2 est holomorphe dans ce voisi nage et admet donc un d veloppement de Laurent 57 bnz avec b Z En prenant z 7 1 on obtient donc amp t b t 1 pour tout t T et donc a x b o oO La proposition suivante permet l limination du bruit convolutif dans certains cas Proposition 1 74 Soit b un bruit dans L Z admettant une transform e en z soit B z qui ne s annule pas dans un voisinage du cercle unit et s un signal dans Z resp dans Z Alors l quation b x a s a une unique solution dans Z resp dans Z soit a h s o h est le filtre L Z donn par les coefficients du d veloppement de Laurent de 1 B 2 Si B 2 ne s annule pas sur un voisinage du disque unit alors h n 0 pour n lt 0 h est causal D monstration Le filtre b admet un inverse h et on a n cessairement h x b x a a h x s Il faut remarquer que si l on n impose pas de condition de sommabilit sur a la solution n est plus du tout unique comme le montre l exemple des quations de r currence lin aires 0 On applique souvent cette proposition un filtre d fini par un polyn me ou ce qui revient au m me un filtre causal support fini I 6 Signaux d terministes 27 D finition 1 75 Si P est un polyn me de la forme P z X _o ak2 on lui associe le filtre
106. m me image par Wx donc Wy est bien d finie sur F et c est une isom trie surjective sur F gt d o le r sultat 2 Pour montrer que Y Wy y il suffit de prouver que pour tout X on a Yi Xs H2 Wx y Xs m Puisque X Wx Ys et Wx est une isom trie ceci est quivalent Yi Xs H Wx t Wx Ys Ha t Ys H car alors la v a Y Wx y qui appartient H X serait orthogonale tout l ment de H X et donc nulle Or on a tout de suite Ys H f dux alors que gr ce au th or me de Fubini Me o S Xa duX Z faw EX uX du Jatuexte s u du faw du f c ute dux v faso auxto f aluruo du f atoms dux 0 60 Chapitre III Th orie spectrale Pour le calcul de la mesure spectrale de Y on crit D EC NC A l dux La mesure spectrale py admet donc la densit par rapport ux o On a comme dans le cas d terministe voir 1 83 un th or me d chantillonnage Th or me 3 25 Soit X er un p s c continu en m q dont la mesure spectrale est support dans l intervalle T T et poss de une densit born e par rapport la mesure de Lebesgue Alors en posant or t 2rTt sin 2rTt on a X or t mX nez la convergence ayant lieu dans L Q P pour tout t R On en d duit une formule d chantillonnage de la covariance X or t H ex nez D monstration D apr s la proposition
107. m x d et b R alors il est imm diat d exprimer la fonction caract ristique de Y partir de celle de X py t E e iTt CARTE e rt b E e it AX et by A Y teR 2 2 Nous commen ons par montrer que la fonction caract ristique d finit la loi de X La preuve est donn e pour d 1 mais s tend sans difficult au cas g n ral Proposition 2 16 L application u ji est injective D monstration Soit l ensemble des transform es de Fourier de fonctions de L R dx D apr s le th or me de Stone Weierstrass est dense dans Co Soit f L R dx on peut crire en utilisant Fubini MP Cf ra da dut f Fee Par cons quent si deux mesures born es u et v ont la m me transform e de Fourier elles co ncident sur Or l application g u g est continue sur Co Donc u et v co ncident sur Co Oo Proposition 2 17 Soit un et 1 des probabilit s Alors un converge troitement vers u si et seulement si fin t converge vers fi t pour tout t D monstration En reprenant les notations de la proposition pr c dente on voit que UHn g u g pour toute fonction g E On prouve sans peine que ceci implique la m me convergence pour les fonctions de Co d o la convergence troite d apr s 2 3 O Proposition 2 18 Soit X1 X2 Xn des v a de somme Sn Alors 1 Si ces v a sont ind pendantes alors ps t _ x t pour tout t La r ci pr
108. marque 2 24 Il est utile de souligner une cons quence vidente de la d finition 2 23 si X est une v a gaussienne m dimensionnelle une matrice d x m b R alors la v a Y AX b est une v a gaussienne d dimensionnelle videmment En effet toute combinaison lin aire des Y1 Y peut s crire comme une combinaison lin aire des X1 Xm plus un r el Remarque 2 25 Soit X une v a r elle gaussienne e Pour tout p gt 0 la v a r elle X est sommable en particulier m E X et o Var X Il suffit en effet de remarquer que la fonction caract ristique 2 4 est ind finiment d rivable et appliquer la proposition 2 19 e Vu 2 2 et l Exemple 2 20 la v a Y oX m o X suit une loi 0 1 suit une loi W m o Donc gr ce 2 1 avec la matrice 1 x 1 A o si o Z 0 la loi de Y a pour densit fy x 2702 l 2e amp m 207 Par contre si o 0 c est la loi d une v a qui ne prend que la valeur m avec probabilit 1 et qui n a pas de densit Proposition 2 26 Un vecteur al atoire r el X1 X2 Xn est gaussien si et seulement si sa fonction caract ristique est donn e par x t _ pere e2intmx 2rtExt teR 2 5 Donc la donn e de la moyenne mx et de la matrice de covariance X x d terminent la loi de X que l on note N mx gt Zx D monstration On suppose que 2 5 est valable Alors pour toute combinaison lin aire Z X ona
109. matrice de covariance Rm d pend de a de fa on lin aire est gale o multipli par la matrice de covariance pour un bruit de variance 1 Donc la matrice de covariance asymptotique o R ne d pend pas de o La Proposition 6 12 pr cise la variance asymptotique des estimateurs de Yule Walker Nous verrons plus tard que ces estimateurs ont la m me variance asymptotique que ceux du maximum de vraisemblance Mais videmment ils ne sont utiles que lorsque on sait d j que l on a affaire avec un processus AR et donc que la partie MA est nulle Dans le cadre d un processus AR la Proposition 6 12 fournit une approche l tude de la meilleure valeur de p En effet si m gt p et amp at e 4 6 7 affirme que n N 0 pour n o est gal a o multipli par l l ment diagonal d indice m m de la matrice R Or il est remarquable que cette quantit vaut toujours 1 En effet Corollaire 6 14 Dans les hypoth ses de la Proposition 6 12 si m gt p alors Vn N 0 1 VI 3 Estimation des param tres d un processus ARMA r el 99 D monstration On a d j remarqu que a ne d pend pas de o Soit Xn n un pro cessus AR p gaussien associ au m me polyn me canonique P et de variance o 1 Pour un tel processus la loi de X1 Xm est gaussienne W 0 R et donc a densit gale fx a R e 6 8 zt s exp r z x 2r 2 det Rm 2 PN 2 m L
110. me en consid rant la repr sentation 3 5 le processus Xn nez devrait donc pr senter une p riodicit de p riode A De fa on plus g n rale si la mesure spectrale ux a une densit fx par rapport la mesure de Lebesgue la relation ex amp i ye k fx t dt peut tre vue comme une d composition de la fonction cx comme une superposition des exponentielles complexes y chacune avec un poids fx t dt Les valeurs t 0 des fr quences o fx a un maximum indiqueront donc la pr sence de p riodicit s de l ordre de 2 du processus Xn nez Donc la recherche de p riodicit s dans le comportement d un p s c se fait de fa on naturelle avec l tude de la mesure spectrale Exemple 3 18 P s c temps continu Soit U et V des variables al atoires ind pendantes U suivant une loi uniforme sur 1 1 V suivant une loi u sur R Pour t R on pose X Uy V Alors X est III 2 Filtrage 57 centr puisque E X E U E V et E U 0 D autre part E Xia Xn E U JE 14a V y ZE V 1 3 On en d duit que X est stationnaire et que cx t 4 f y x du x et par cons quent la mesure spectrale u est gale u 3 On peut aussi consid rer le processus X d fini par la formule X exp 2in tV U o U et V sont des variables al atoires ind pendantes U suivant une loi uniforme sur 0 1 et V suivant une
111. n DX rm E Xn Xm E Xn pXm p 2 cx p cx n m plex n m p cx n m Donc Cov Z Z E Z 70 E Z E Z cx n m cx n m p cx n m p Cette quantit ne d pendant que de n m ze Da est un processus stationnaire et il suffit d appliquer les r sultats du paragraphe pr c dent en tenant compte du fait que cz tant sommable uz poss de une densit et donc uz 0 0 o Si l on se trouve dans un cas d centr du type d crit dans 6 3 observation tant donn e par Y1 Yn on a un probl me car on n a pas acc s aux valeurs de X1 Xn la moyenne m tant inconnue Il est assez naturel alors d utiliser l estimateur Re oP D ap VW Ya j 1 O Yn TTE Y Il est facile de montrer que du moins dans les hypoth ses de la Proposition 6 10 ceci donne un estimateur consistant de cy p En effet on peut crire i 1S CP o J Ypo Va In j 1 n p gt Yj p m m Yn Y m m Yn 1 S 2 1 Yj p Y Y m m M Yn PI j p m 2 j l aris yr Y z n m y Tar m m Xr h h VI 3 Estimation des param tres d un processus ARMA r el 97 On a imm diatement 1 a n h n Die m Y m n S Xf cR j 1 j 1 Donc ce premier terme converge vers cy p
112. n prolongement si 1 Y X cx n 1 r pour r 2 n 2 Y Y cx 0 Or Y X Z Xr EL af P Xr Xe Z X ex n 1 r Donc les conditions 1 di d sens sont satisfaites si Z est orthogonal X2 X D autre part pan a fat 1 Sa x izi Proj Xn Xi PRE 11215 Xall llXn Proj Xa Xi Xn 1 15 84 Chapitre V Processus stationnaires al atoires Or puisque X cx 0 pour satisfaire aux conditions 1 et 2 il suffit de choisir Z orthogonal X2 X et tel que IZI Xn Proj Xa Xi Xn 1 5 ceci est toujours possible d une infinit de fa ons sauf si Xn est dans l espace engendr par X1 Xn_1 auquel cas on doit choisir Z 0 o Le probl me du prolongement nous am ne donc au calcul des coefficients de r gression aU zpi a Ko tels que n 1 s 1 En Proj Xn Xi Xn 1 da Xpy k 1 et de l erreur de pr diction on IX Xh Puisque les vecteurs Xn et Xn n sont orthogonaux ce dernier vaut S ES O De Ku Eaux x ex 0 Xe k 1 Donc les coefficients de r gression sont solutions du syst me 5 3 qui peut s crire et on a o cx 0 Erl af P cx k Ces relations sont appel es quations de Yule Walker ou de Wiener Hopf et permettent de calculer les coefficients de r gression ainsi que l erreur de pr diction Elles sont tr s utiles puisque dans la pratique on ne dispose pas de l
113. nstantes e F est stable par multiplication et par conjugaison e Pour tout couple x y de points distincts de T il existe un l ment f F tel que f F u On a bien s r l inclusion ensembliste C L T dx Soit F l espace des combinaisons lin aires complexes des fonctions Yn t il est alors facile de v rifier que F v rifie les trois conditions ci dessus et F est donc dense dans pour la norme uniforme Soit alors f L T dx et e gt 0 D apr s 1 20 il existe une fonction g E telle que If gl2 lt 2 Pour cette fonction g il existe h F telle que la norme uniforme SUPzer g 2 h z lt 2 et donc h g 2 lt 2 m Remarque 1 24 On peut prouver de la m me fa on que l espace des combinaisons lin aires coefficients complexes des fonctions y t est dense dans LP T dx pour 1 lt p lt Cette preuve du fait que les combinaisons lin aires d exponentielles sont denses dans L T dx n est pas tr s constructive c est pourquoi l on va fournir une seconde preuve utilisant les propri t s du noyau de Poisson du disque Pour ce faire nous aurons besoin des quelques lemmes nonc s ci dessous D finition 1 25 On note Tu l op rateur de translation Tu f t f t u Lemme 1 26 Soit f une fonction de LP T dx avec 1 lt p lt Alors l application u f Tuf p est continue 12 Chapitre I Analyse de Fourier D monstration No
114. nt tr s vite n cessaire Par exemple pour exprimer le bruit blanc Bn n comme filtr de Xn n car sinon en g n ral H X G H B 78 Chapitre V Processus stationnaires al atoires Le th or me 5 1 permet d obtenir le bruit blanc B comme filtr de X Mais si Q a des racines de module lt 1 ce filtre ne sera pas causal on n aura pas la relation H X H B C est pourquoi comme dans le cas AR on va chercher une autre repr sentation de X On d finit le couple canonique comme dans la proposition 5 7 mais on choisit la conven tion Q z o Q z sur le cercle unit La preuve du th or me suivant est imm diate Th or me 5 17 Soit X un processus MA Q le couple canonique associ Q et b le filtre causal et stable associ au d veloppement de Taylor de 1 Q Alors 1 ux a une densit donn e par Q _1 2 Si on pose U b x X le processus U est un bruit blanc de variance o 3 X qxU quation canonique et donc H X Hp U pour tout n Il s en suit que le processus U est l innovation du processus X On peut caract riser un processus M par sa densit spectrale Proposition 5 18 Soit X un p s c de densit spectrale Q y 1 o Q est un polyn me n ayant pas de racines de module 1 et tel que Q 0 0 Alors X est un processus MA D monstration Soit b le filtre associ au d veloppement de Laurent de 1 Q z On d finit le processus V par V bx X Alors V est un bruit blanc et X
115. observation de X pour tout k lt n ce serait un nombre infini d observations On peut d ailleurs en posant c cx 1 cx 2 cx n 1 et a af e a ay leur donner la forme matricielle Ryia c o2 cx 0 c a Le r sultat suivant indique que dans beaucoup de cas d inter t la matrice Rn est in versible Th or me 5 34 Soit X un p s c r el et notons R sa matrice de Toeplitz l ordre n Alors si det Ry 0 la mesure spectrale est ponctuelle et charge au plus N points D monstration det Ry 0 entra ne l existence de RY non nul et tel que RNA 0 Mais on a pour tout n Z N 1 N 1 N 1 Var gt MXn 4 gt Ak ME Xn kXn e 5 Ak cx k Ry 0 k 0 kE 0 kE 0 donc le processus filtr Y Re XX n_4 qui est centr est identiquement nul Donc uy 0 Mais duy t P y k t dux t o P 2 o 1z An 1271 Pour V 4 Matrices de Toeplitz 85 que uy soit nulle il faut donc que ux soit port e par l ensemble des z ros de P qui est compos de N points au plus o En particulier les quations de Yule Walker peuvent tre r solues en calculant l inverse de la matrice de Toeplitz Rn 1 qui d apr s le th or me 5 42 est tr s souvent inversible En particulier si par exemple le p s c Xn n a une densit spectrale comme c est le cas des processus ARM A Dans la pratique pourtant il est beaucoup plus int ressant d utiliser un proc
116. on utilise le fait que pour k lt 0 on a cx k cx k o Remarque 5 30 La d croissance exponentielle des covariances d un processus ARM A est une propri t importante Elle doit tre prise en compte quand on essaie de mod liser des donn es Les mod les ARMA ne sont pas adapt s la mod lisation dans des situa tions de m moire longue o la corr lation reste importante grande distance ce qui indique la pr sence probable d une partie ponctuelle dans la mesure spectrale Remarque 5 31 On a vu dans le th or me 5 19 que dans un mod le M A q la fonction de covariance non seulement d croit l infini exponentiellement vite mais cx k est nulle pour k gt q On voit m me sans peine que les processus MA sont les seuls parmi les ARMA avec cette propri t En effet un processus ARMA a toujours une densit spectrale qui ne s annule pas et on applique nouveau le th or me 5 19 V 4 Matrices de Toeplitz 83 5 4 Matrices de Toeplitz On ne consid re maintenant que des processus r els indices dans Z D finition 5 32 On appelle matrice de Toeplitz une matrice Rn carr e d ordre n gt 1 coefficients r els telle que e R i j ne d pend que de i j e R est de type positif Un exemple de matrice de Toeplitz est fourni par la matrice Rn i j c i j o c 0 c 1 c n 1 sont donn s par la fonction de covariance c d un p s c r el Dans la suite on d signe par
117. on a 00 0 Tg t el e2irtx dir J e77 e2irt dz e7 e2irt des R 0 00 00 00 l e eT 4 eT rte dg e cos 2rtx dx 0 0 Cette derni re int grale se calcule de fa on l mentaire et on trouve 2 Tg t g6 1 27t Donc gr ce la formule de l exemple 1 57 en posant h x g 2rx alors 1 f t Puisque Zh t est une fonction paire Zh Th et la relation 1 2 donne FO hle e7 22 Chapitre I Analyse de Fourier Exemple 1 60 On consid re le noyau de F jer Kr de la d finition 1 47 On sait que sin rnTt RTE i T sinc tT Kr t T Mais ici il convient de rappeler que T Kr a Hnd Ha du T Donc si on note g u 1 lyt donne alors on a Kr T g L argument de l exemple pr c dent A ul Baa 5 Exemple 1 61 Soit f x e772 Alors fo een cm R La fonction x xf x re 2 est sommable sur R Donc gr ce la proposition 1 45 la fonction g f est d rivable et g t ari f re 2 eTit dy R et si on int gre par parties g t rit e77 2 einet dy 4n tg t R On a donc montr que la fonction g f est solution d une quation diff rentielle ordinaire d ordre 1 et coefficients constants Elle se r sout facilement ce qui donne que f est de la forme FO ce Te Pour d terminer la constante on pose t 0 Puisqu il est connu que I e 2 dx V2r R on a c f 0 2r
118. onnels Puisque ils ont le m me coefficient d ordre 0 ils sont gaux o Th or me 5 8 Soit X un processus AR P le couple canonique associ P et a le filtre stable associ au d veloppement de Taylor de 1 P qui est donc causal Alors 1 ux a une densit donn e par 1 P _1 o P 4_1 2 2 Si on pose U x X le processus U est un bruit blanc de variance o 3 X axU et donc H X H U pour tout n Il s en suit que U est le processus d innovation de X et que X est purement al atoire D monstration 1 C est une cons quence de dux FPDF dug 2 On a uy P y 1 dux uBR o dug 3 vident o La relation U p x X s appelle la relation ARMA canonique Le polyn me canonique intervient de fa on d cisive dans le calcul de la pr diction Proposition 5 9 Sa X un processus AR p dont le polyn me canonique est de la forme P z 1 7A i akz Alors la pr diction Kaki n de Xn 1 en fonction de H X est donn e par P Xn 1n gt QAkXn 1 k k 1 et lerreur de pr diction est gale o D monstration La relation canonique U pP X s crit Uni1 Xn 1 Y 1 QkXn 1 k l ordre n 1 Puisque Un4 1 est orthogonal H U H X et Yei QkXn 1 k H X on a imm diatement le r sultat 0 Remarque 5 10 Comme Xp est combinaison lin aire de X X _ on en d duit que pour un processus AR p les projections de Xn 1 sur H X et sur l espace engendr par
119. oposition 6 20 montre que hp CPE si n 1 lt p lt n 1 et Tna p 0 sinon On en d duit th or me 1 31 l expression alternative pour le p riodogramme n 1 D CPt j n 1 Puisque la densit spectrale si elle existe vaut g t X cx k y r t kEZ on pourrait penser que le p riodogramme puisse tre utilis comme estimateur de la densit spectrale Pour tudier les qualit s de l estimateur ainsi construit on va supposer VI 3 Estimation des param tres d un processus ARMA r el 103 que la fonction de covariance cy est sommable et donc que la mesure spectrale ux poss de une densit continue g x x x On remarque que n 1 D a Phet Eext I j n 1 jEZ Par cons quent I t est un estimateur asymptotiquement sans biais de la densit spec trale g t Ceci ne garantit pas que cet estimateur converge p s vers g t ni qu il soit convergent dans L Ceci n est malheureusement pas le cas comme le montre l exemple des processus gaussiens Proposition 6 21 Soit X un processus gaussien r el On pose n 1 Palu v exlp kylu ylo k p 1 Alors Cov In u n v En u v Pau v D monstration 1 Cowl 0 Zh E ek pep Kel k k p p ON Po pelu 0 k k p p 1 F X dp klo Y ek kyle p k k k O Proposition 6 22 Pour un processus gaussien r el on a Var 1 t gt E n t D monstration On a l t t E
120. oque est fausse 2 On a P X X2 Xn t t2 tn 1x tx pour tout t t2 tn si et seulement si les v a X Xn sont ind pendantes 42 Chapitre II Rappels de probabilit D monstration 1 C est une cons quence de Fubini puisque n n E e 7Sn E II se w II E e2iTtXx k 1 k 1 2 En utilisant Fubini la loi produit des lois des X4 a pour fonction caract ristique le second membre de l galit Le r sultat est alors une cons quence de 2 16 CO La Proposition 1 45 1 indique que l on peut calculer l int grale de x x f x simple ment en d rivant sa transform e de Fourier en 0 Ceci condition bien s r que f x soit int grable De la m me fa on les fonctions caract ristiques peuvent servir au calcul des moments d un vecteur al atoire Proposition 2 19 Si le vecteur al atoire X a tous ses moments d ordre m finis alors sa fonction caract ristique est m fois d rivable et allox _ lalm ya 2irt X nr t 2ir NE X e 2 3 pour tout multi indice a a1 Qa avec a amp ag lt m En particulier pour une v a r elle X int grable on a 2inE X y y 0 et si de plus elle est de carr int grable alors 4r E X y 0 Exemple 2 20 On consid re une v a r elle de densit gaussienne centr e r duite c est dire de densit fx x 27 l 2e 2 En reprenant le calcul
121. our faire de la pr vision ou bien pour d duire des propri t s du ph nom ne Par exemple y a t il une p riodicit Quelle est cette p riode 92 Chapitre VI Statistique des processus du second ordre Dans ce chapitre on va aborder ces questions Il s agit l d un sujet tr s vaste et dont on ne verra que les premiers l ments N ammoins on parviendra ma triser un certain nombre de questions int ressantes 6 1 Th or mes limites Dans ce paragraphe on se pose le probl me de l estimation des propri t s statistiques plus simples d un processus du second ordre de sa moyenne et de sa covariance Comme on ne dispose le plus souvent que d une seule r alisation et de plus sur un intervalle de temps fini c est pourquoi l tude de th or mes ergodiques fournissant la convergence presque s re d estimateurs de la covariance ou de la mesure spectrale est tout fait primordiale On pose My 1 X X2 Xn Proposition 6 2 Soit Xn n un p s c La suite M converge dans L Q P vers Wx x o x est la fonction indicatrice du point 0 T De plus Wx QI ux 0 lim Dex k 1 Si la suite cx n tend vers 0 en moyenne ux 0 0 et la limite de M est nulle D monstration On a Mn Wx pn avec Yn 71 72 n Or il est clair que Pn 0 1 alors que si t 0 layi l AERE Hm NnNHR SEN Cette quantit tant born e en n Yn t gt n gt 0 si t 0 Donc yn converge
122. partielles empiriques mm Si la s rie est assez longue et p lt m la loi de m m est donn e approximativement par le corollaire 6 14 Donc mml gt Z975 Vn est la r gion de rejet d un test de niveau a de l hypoth se p lt m Exemple 6 17 On consid re une s rie Xn n lt 1024 et on se demande si on pourrait la mod liser avec un processus AR p Et aussi avoir une id e de la valeur de p Un calcul num rique donne pour les corr lations partielles 0 9637 22 0 3922 33 0 5995 44 0 0478 55 0 0352 66 0 0289 77 0 0090 gs 0 0136 g9 0 0548 10 10 0 0216 11 11 0 0414 0 0404 12 12 100 Chapitre VI Statistique des processus du second ordre Si on compare avec le quantile l ordre 0 975 de la gaussienne divis par 1024 soit z 0 0612 on voit que partir de m 4 la valeur de aw reste plus petite en module On ne peut donc pas repousser l hypoth se que p lt 3 La figure ci dessous montre le comportement des corr lations partielles 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Figure 6 2 Le graphique des corr lations partielles Les valeurs de amp mm qui restent dans la r gion ombrag e ne permettent pas de repousser l hypoth se p gt m Ce graphique sugg re une mod lisation avec un processus AR 3 Les donn es sugg rent donc l emploi d un mod le AR 3 On peut alors r soudre les quations de Yule Walker ce qui donne ici Z 0 358 et 1 0 351
123. plexes ind pendantes et int grables Alors le produit Z Z2 est int grable et E Z1Z2 E Z1 E Z2 Par cons quent la covariance de deux v a complexes ind pendantes est nulle la r ciproque tant fausse 2 Soit Z1 Zn U1 Um des v a complexes dans L Q P Alors n m n m Cov X5 k Zk gt HU y gt AkurCov Zk Ur k 1 r 1 k 1 r 1 Si Z1 Zn sont ind pendantes alors Var 5 2x 5 LA l Var Zr k 1 k 1 II 5 Fonctions caract ristiques 41 2 5 Fonctions caract ristiques D finition 2 15 Par analogie avec le cas r el pour des vecteurs t et x dans R on pose plx exp 2int x o t d signe le transpos du vecteur colonne t Soit X une v a valeurs dans R et de loi u On appelle fonction caract ristique ou transform e de Fourier de u la fonction d finie pour t R par AO pxl EOX f yle due Si la va X a une densit f alors px t f f x dx Donc la fonction ca ract ristique n est rien d autre que la es i a de f Il faut remarquer qu en g n ral les trait s de probabilit P le facteur 27 dans le calcul de la fonction caract ristique qui est alors d finie par yx t fga et du x ce qui simplifie certaines formules en particulier dans le cas P Pour des raisons de compatibilit avec le reste du polycopi nous n adopterons pas cette convention ici Si X est une v a d dimensionnelle et une matrice
124. processus Il s agira alors d estimer d abord les param tres ci dessus Ceci est le sujet du chapitre prochain alors que dans celui ci on va tudier de plus pr s les p s c du type 5 1 5 1 Inversion des filtres On utilise ici les r sultats sur la transform e en z tablis dans la section 1 6 L inversion de l op ration de filtrage constitue leur application principale dans le contexte des p s c Th or me 5 1 Soit Y un p s c et h un filtre admettant une transform e en z soit H z holomorphe et non nulle dans un anneau contenant le cercle unit Soit X nez anz le d veloppement de Laurent de 1 H z Alors e Le filtre a an nez est stable e L quation en X hx X Y a une unique solution stationnaire centr e donn e par X axY e Si H est holomorphe et non nulle dans un voisinage du disque unit alors le filtre a est causal c est dire que an 0 pour n lt 0 On en d duit que H X H Y pour tout n D monstration On sait que le filtre h admet un inverse a dans Z et donc axh o Si h est causal alors H Y C H X et si a est causal H X C H Y o0 74 Chapitre V Processus stationnaires al atoires On va s int resser particuli rement aux filtres dont la transform e en z est un polyn me Le polyn me P z 5 _ axz2 est la transform e en z du filtre p d fini par p k ag pour 0 lt k lt p et p k 0 sinon Il est videmment causal et stable On a alors P t P y 1 t e
125. r montrer cette propri t pour une indicatrice d intervalle puis on montre que cette propri t passe la limite dans L R dx en utilisant la majoration sup er Zf lt f l1 o Les propositions suivantes tablissent un lien entre la d croissance l infini d une fonction et la r gularit de son int grale de Fourier ou l inverse Proposition 1 45 Soit f L R dx telle que g x x f x L R dx 1 Tf est de classe C et Tf 2inTg 2 Si x f x est int grable alors Tf est de classe CP D monstration L assertion 1 est une simple application du th or me de d rivation sous le signe somme Pour obtenir 2 on utilise l in galit de H lder pour montrer que si f et x f x sont int grables il en est de m me de x f x pour 0 lt r lt p Il suffit alors d appliquer 1 p fois o Proposition 1 46 Soit f L R dx de classe C telle que f x L R dx 1 f est dans Co 2 TI FA 2int I f t 3 Si f est de classe C et si toutes ses d riv es jusqu l ordre p sont int grables alors PT f t Co D monstration On peut crire pour x gt 0 FAO Podu Ha aO fre ce qui prouve que f a une limite en 00 et de m me en oo La fonction f tant int grable cette limite est n cessairement nulle ce qui prouve 1 De plus en utilisant une int gration par parties INO FEE mT fC 2irtT f E On obtient 3 en appliquant p fois 1 et
126. rable positive ou mesurable born e sur R4 En partic ulier pour tout bor lien B de R4 on a P X B fp f x dx On remarque qu une densit n est d finie que presque partout relativement la mesure de Lebesgue sur R On est souvent amen s consid rer le probl me suivant Si X X1 X4 est une v a de densit fx et R R est ce que Y X a une densit fy Comment la calculer On rappelle ici deux situation int ressantes de ce type Si A est une matrice d x d inversible et b Rt alors Y AX b a pour densit Fra Er AT e 0 21 De plus si on d signe par Y une sous famille des coordonn es de X de taille m lt d alors Y admet une densit sur R obtenue en int grant la densit de X par rapport aux variables ne figurant pas dans Y En particulier la v a X a densit fx t f fx t 22 12a de dza 2 2 Convergences D finition 2 1 Soit X et X des v a r elles ou vectorielles e La suite Xn converge presque s rement p s vers X si P w Xh w gt X w 1 e La suite Xn converge en probabilit vers X si Ve gt 0 on a P Xn X gt 0 e On dit que Xn converge en loi ou troitement vers X si E f Xn gt E f X pour toute fonction f continue et born e Il revient au m me de dire que P x f Px f pour toute fonction f continue et born e On v rifie imm diatement que Xn Xn1 Xn 4 converge vers X X1 X4 p
127. rale Jr Pr u du tend vers g 0 lorsque r 1 D monstration On peut supposer g 0 0 Soit gt 0 il existe un voisinage V de x dans T tel que si x V alors g x lt e 2 On peut donc crire P u g u du A TTE i ROPOL 2 lgll sup P u uET Y IA IA Il est maintenant facile de constater que hors d un voisinage V de z ro la fonction P u converge uniform ment vers 0 lorsque r 1 0 Proposition 1 30 Soit 0 lt r lt 1 et f L T dz 1 Pf Znez fn riyat 2 P f f dans L T dx lorsque t 1 I 2 S ries de Fourier 13 D monstration Pour prouver 1 on remarque que O Erin 1 du DE PPIE nez nez La seconde galit provient du fait que la s rie 7 rl t y nfll est convergente et l on applique 1 17 Pour prouver 2 on peut crire PEO FOP FE FOP du f x E e lt e 9 t TOPP a du En utilisant le th or me de Fubini pour les fonctions positives on obtient IPs A IREO FOPA 1 Taf P du et il suffit d appliquer le lemme 1 29 avec glu f Tu f 2 o Cette Proposition permet de red montrer le fait que les exponentielles forment un syst me total dans L T dx en utilisant 1 4 En effet si la fonction f L T dx est orthogonale aux exponentielles on a f n 0 pour tout n Z et donc P f 0 pour tout 0 lt r lt 1 et il s en suit que f est nulle au sens de L T dx Th or me 1 31 Soit f L T dzx
128. rice de covariance de Y et Rn 1 poss dent les m mes sp cifications py a ne ai avec py 0 O 5 4 3 Prolongement de Pisarenko d un segment de covariance Th or me 5 42 Soit X un p s c r el Les assertions suivantes sont quivalentes 1 H X est de dimension finie N 2 La mesure spectrale ux est ponctuelle et charge exactement N points 3 det R X gt 0 det Rn X gt 0 det Rn p X 0 pour p gt 1 D monstration 3 1 det R X 0 est quivalent l existence de R non nul tel que s 1 s 1 ns Xjex i j 0 i 0 j 0 s 1 Var S XXn i 0VnezZ i 0 s 1 D XXe 0Vnez i 0 V 4 Matrices de Toeplitz 89 Si det Rn 1 X 0 et det Rn X 0 alors Re XXn i 0 avec 0 et Xn s exprime en fonction de X _1 Xn n et donc H X est engendr par exemple par X1 Xn La dimension de H X ne peut tre inf rieure N car alors on aurait det Rnw X 0 2 Il existe R non nul tel que L AkX k 0 En utilisant l isom trie 7 on obtient que ne AkXn k 0 pour tout n et il existe donc un polyn me non nul P de degr lt N tel que px X 0 Cette relation implique p t ux 0 et donc que ux est port e par les racines de module 1 de P qui sont en nombre lt N Supposons que ux soit port e par r points Alors il existe un polyn me q de degr r tel que t ux 0 et donc q X 0 Cette derni re relation implique imm diatement dim H X lt r
129. rier d une suite de 2 Z 1 2 3 Coefficients de Fourier d une fonction de L T d x 1 3 Transformation de Fourier sur R 1 3 1 Transformation de Fourier sur L R dx 1 3 2 Transformation de Fourier sur L R dx 1 3 3 Exemples 4 iso ch 4e 4 Nes ETAT nait ab ait Le 14 C onvolutions 2 44 aan EN AR SR ut ae M Au RuE an un 1 5 AutOcOrr lATIONEL 2 408 run 8 din Guns hands dit in dant AL la ne 1 6 Transforme Ena e 22e ds di PR um d Mo tons ane tt 1 7 Annexe Signaux d terministes 1 7 1 Echantillonnage et formule de Poisson 1 7 2 Transform e de Fourier sur un ensemble fini 1 7 3 Transformation de Laplace 2 Rappels de calcul des probabilit s 2 1 G n ralit s es a 2 2 0e Ain ue MA An E Dis HAE Aer MUR A Ets 2 27 Conv rgences s pen iay eu gA u DA a E a ch eaa dE 2 3 Ind pendance 24 Ma complexes sarme Rae tr an fi panne el Hunt le dt de RME 8 m7 NE the 2 5 Fonctions caract ristiques 2 67 Processus GAuSsIeNs nain i ene di Drag nation Robe don Epen EN ne A 2 7 Le Mod le lin aire 3 Th orie spectrale des processus du second ordre 3 1 Processus du second ordre 3 2 Th or mes de Herglotz et Bochner 3 3 Filtrage de
130. rmet d affirmer que ce p est un estimateur consistant de cy p si on sait que le processus ze est stationnaire et v rifie les hypoth ses de moments n cessaires Nous allons indiquer une situation simple dans laquelle cette hypoth se est satisfaite Corollaire 6 8 Soit Xn n un p s c et p un entier tels que 7e soit stationnaire de carr int grable et que Var C 0 p lt K n alors la suite cP p n converge P presque s rement vers Cx p 96 Chapitre VI Statistique des processus du second ordre Ces conditions sont difficiles v rifier sur un processus quelconque mais dans le cas gaussien r el on peut pr ciser les propri t s du processus ZP D Lemme 6 9 Soit X1 X2 X3 X4 un vecteur gaussien centr r el Alors on a E X1X2X 3 X4 E X1X2 E X3X4 E X2X3 E X1X4 E X1X3 E X2X4 D monstration Il suffit de d river quatre fois la fonction caract ristique du vecteur X1 X2 X3 X4 0 Proposition 6 10 Si Xn n un p s c gaussien r el alors ze est un processus sta tionnaire de covariance cz n cx n p ex n p c n Par cons quent n 1 var C F 1 H ex k pjex k p E k n 1 En particulier si cx Z alors c p n cx p en moyenne quadratique et p s D monstration Gr ce au lemme 6 9 12978 E XntpXnXm pXm E Xn D E Xm pXml EL Xn Xm p E X
131. rocessus filtr g n ralis de X par y Il suffit de remarquer que cette fonction est gale 1 Ux P P 0 62 Chapitre III L int grale de stochastique Chapitre 4 L int grale stochastique 4 1 Processus accroissements orthogonaux et int grale stochastique On introduit dans cette section l int grale stochastique de fonctions par rapport un processus Celle ci est parfois appel e petite int grale stochastique car l on n int gre que des fonctions et non des processus comme dans la vraie int grale stochastique D finition 4 1 Un processus de carr sommable 7 t R est dit accroissements orthogonaux en abr g p a 0 si pour tout syst me t lt t2 lt lt tn les vari ables al atoires Z4 Z Z4 Z4 _ sont orthogonales dans L Q P On dit que le processus Z est continu en moyenne quadratique en abr g continu en m q si l application t Z de R dans L Q P est continue Dans la plupart des cas les processus consid r s sont r els d finis seulement pour t R et sont nuls pour t 0 Pour un tel processus X 5t gt 0 on d finit H X comme la fermeture dans L Q P des combinaisons lin aires coefficients r els des variables al atoires X t gt 0 On peut associer une pseudo mesure spectrale un p a 0 mesure structurelle qui n est pas n cessairement finie Cette mesure structurelle est alors d finie sur les r els pos
132. roduire des r sultats similaires pour un processus stationnaire Xn nez Dans la suite on va repr senter le tore T avec l intervalle 0 1 Proposition 4 9 Soit Zt er un p a o centr continu droite en m q et de mesure structurelle uz finie Alors la formule Xp fyYk u dZu d finit un p s c de mesure spectrale uz Proposition 4 10 Soit Xn nez un p s c continu en m q et Wx l isomorphisme entre L ux et H X d fini dans le Th or me 3 24 1 La formule Z Wx Lo 4 d finit un p a 0 centr continu droite en m q et on a Z Zs 2 ux s t uz s t On notera ZX ce p a 0 associ au p s c X 2 Pour toute f L ux L uz on a fyf u dZ Wx f En particulier repr sentation de Cramer Khintchine u X k Xa n u d2 4 1 Dans le prochain paragraphe on va introduire des exemples classiques de p a 0 Mais d abord on va traiter un exemple particuli rement simple ce qui permettra entre autre de comprendre certains aspects intuitifs des th or mes de repr sentation que l on vient de voir IV 2 L int grale stochastique et les p s c 67 Exemple 4 11 On reprend ici l exemple de p s c tudi en 3 17 et l on veut d terminer le p a 0 ZX associ X Si on pose pour 4 lt t lt Z 3 AG Aj lt t alors Z est un p a 0 si s lt u lt t on a Zt Zu somme des A j tels que u lt lt t alors que Zu Zs somme des A tels que s lt y lt u et comme le
133. s est toujours valable si l on s assure au pr alable que cette formule appliqu e la fonction positive f fournit une valeur finie Toutes les int grales crites sont alors absolument convergentes et d finissent lint grale de f par rapport la mesure produit m u2 On supposera 1 lt p lt dans les nonc s suivants de cette section Proposition 1 17 Soit f une suite de fonctions de L telle que 2 fnl p lt oo Alors la s rie 5 fn converge u p p absolument et dans LP vers une fonction de LP not e Xn fn En particulier pour p 1 on aura donc f X gt fn D S fn 10 Chapitre I Analyse de Fourier D monstration On pose Sn DE fk et hn DE lfel h D lfxl On a OO ls im 1 Ihalo lt Dell lt k 1 On en d duit h LP et par cons quent que h est finie presque partout et donc fn converge u p p absolument D autre part pour m gt n Sm Snllp lt Dgn 1 llfkllp ce qui prouve que la suite S est de Cauchy dans L en utilisant la propri t de Cauchy de la s rie convergente fxll L espace LP tant complet la s rie 3 fn est donc convergente dans DP o Corollaire 1 18 Soit a L Z et fn une suite de fonctions born e dans LP Alors la s rie _ n fn converge u p p absolument et dans LP Dans le cas de s ries orthogonales dans L on a un r sultat voisin il s agit de la somme des carr s des normes mais on perd en g n ral la convergence presq
134. s nulles hors de T T Alors l isom trie F envoie F sur Hr Puisque F est ferm dans L R dx il en est de m me de Hr 2 La famille Ty_nr1 r 7 est une base orthonorm e de F il en est donc de m me de la famille F 01771 V2Tor t nr dans Hr 3 On a F orl nr Ff malo 7 J FFE dt TTF Fl 1 felt Les deux derni res galit s tant une cons quence du fait que la fonction Ff est en fait dans L R dx 4 D apr s 1 32 conjugu e on a pour tout t le d veloppement convergent dans F Y tli r T gt art nT Y nrlir T Et donc en utilisant le produit scalaire dans F on a pour tout t fet f Fin Ff 9 41rT X or t nT F f Y nrlj r T Sort nr f nr nez Cette s rie converge dans L R dx d apr s 1 19 puisque la suite f nr est dans Z et que la famille or nr est orthogonale de norme constante gale 7 5 Si fe nT est sommable la s rie est normalement convergente sur R du fait de la majoration sup or t nT lt 1 o Th or me 1 84 Soit f un signal sommable ou de carr sommable poss dant une transform e de Fourier sommable alors f a un repr sentant continu fe 1 La suite Tf nT est la suite des coefficients de Fourier de la fonction sommable et p riodique sur T T d finie par y t X nez f t 2nT 30 Chapitre I Analyse de Fourier 2 Si est de carr sommable ou bien si la suite f nr est dans Z alors on a gt
135. s processus 3 4 Repr sentation spectrale des p s c 35 39 36 38 40 41 42 A7 TABLE DES MATI RES 4 L int grale stochastique 63 4 1 Processus accro issements orthogonaux et int grale stochastique 63 42 L int grale stochastique et les processus stationnaires 65 4 3 Les exemples fondamentaux 67 4 3 1 Le mouvement brownien 67 4 3 2 Le processus de Poisson 71 5 Processus stationnaires al atoires 73 5 11 Tnversion des hitres issus sd Ds rss D N es AA Ru cuit 73 522 Prediction es ES RE pen ee pete Re na Ml EUR ours 74 5 3 Processus AR MA et ARMA 74 Sad Processus AR cauia a Le an a den autel nee ee de a A 74 5 32 Processus MA rosi e du ne ae dE de En Hi 77 5 3 3 Processus ARMA 79 5 3 4 La fonction de covariance des processus ARMA 82 5 4 Matrices de Toeplitz 83 5 41 L Algorithme de Levinson 85 5 4 2 Prolongement AR d un segment de covariance 87 5 4 3 Prolongement de Pisarenko d un segment de covariance 88 6 Statistique des processus du second ordre 91 6 1 Th or mes limites 92 6 2 tude statistique d un processus stationnaire 95 6 2 1 Estimation de l
136. s un p s c de mesure spectrale u On peut m me le choisir gaussien Exemple 3 17 P s c spectre discret Soit T 4 4 et 4 lt lt e lt m lt Soit A 1 A m une famille de v a complexes centr es de ane int grable deux deux orthogonales avec Var A o On pose Xn X AGY n X Alje 3 3 j 1 j 1 Montrons que Xn nez est un p s c En effet X L et EX Y EAA Oy rx D ni cx k j 1 Cette derni re quantit ne d pendant pas de r Xn nez est un p s c Quelle est sa mesure spectrale Si l on pose u Xa di o 6x est la masse de Dirac en alors n o z 2 ja R i Yelk duft 3 4 Donc p est la mesure spectrale de X soit ux En g n ral le processus X nez d fini par 3 3 est complexe Sin on veut cnstruire un processus r el on supposera alors que m 1 j A j A j 56 Chapitre III Th orie spectrale On peut remarquer que la condition A j ACG n est pas incompatible avec l ortho gonalit de A j et A j car si l on pose A j C j iD j cette condition est quivalente E C j E D j et E C j D j 0 et alors o o E C j E D j On impose donc que la mesure spectrale ux soit sym trique De plus les re lations pr c dentes impliquent que si 0 est l un des valeurs alors la v a A 0 est r elle Il est imm diat de v rifier que dans ces conditions
137. s v a A j sont deux deux orthogonales il en est de m me pour Z Zu et Zu Zs Le processus Z a un comportement particuli rement simple il est constant entre deux valeurs et Aj 1 et en il fait un saut d amplitude A j La trajectoire t Z w est donc constante dans les intervalles 41 et dans cette intervalle prend la valeur A 1 A j Il est clair aussi que fro S ar T pam d o en rempla ant f par Yk n n d ne dZ D AG Qi D AGY Xr 4 9 j 1 j 1 et donc Z Z La repr sentation 4 2 a une interpr tation intuitive simple le processus X nez ap para t comme une superposition des exponentielles complexes y avec les poids al atoires A j qui ont une variance gale o ux j En g n ral la repr sentation de Cram r Khintchine 4 1 peut tre vue comme une d composition de Xn nez dans une somme des exponentielles complexes yu chacune avec un poids al atoire de variance dux u ces poids tant non corr l s entre eux 4 3 Les exemples fondamentaux Les deux exemples les plus importants de p a o sont le mouvement brownien et le pro cessus de Poisson On dit qu un processus Z 4e7r est un processus accroissements ind pendants p a i si et seulement si pour tout syst me t lt t2 lt lt tn les v a Zn Z Z4 Ztn 1 sont ind pendantes Il est clair qu un p a i est un p a 0 si de plus il est centr ou
138. si me ligne on a fait le changement de variable t nT y On en d duit la propri t de Cauchy puisque gt T T h Franf t Frf t J f u y u du F u y e u du a t b t TER avec a Eee f u du b et f u du Le r sultat est donc une cons quence de la propri t de Cauchy des l convergentes 3 La lin arit de F est vidente Soit fr la restriction de f l intervalle T T nulle l ext rieur de cet intervalle Il est facile de constater que fr converge vers f dans L R dx et l on a fr l2 Frf l2 La convergence dans L R dx impliquant la convergence des normes on en d duit que F est une isom trie 4 En utilisant la bicontinuit du produit scalaire on crit lFFf f imr lFrFf frl limno FrF AP frl REFFI fr AAA imr RelFrF f fr Or une simple application de Fubini montre que T me PIFF fr FEFE du F Pr Fr f Et la bicontinuit du produit scalaire implique E Fr Frf FE FP IFN et on obtient donc FFf f 0 5 Soit f sommable et de carr sommable On a alors pour tout t T f t limr_ Frf t par application du th or me de Lebesgue Or le second membre de cette galit con verge aussi dans L R dx vers Ff t et par cons quent Zf est une version continue de Ff 0 On obtient alors un corollaire voisin de l affirmation 3 de la proposition 1 51 Corollaire 1 56 Si une fonction f L R dx po
139. sienne Or on peut crire en posant to 0 tk 1 xstt dB Ne k 0 et il suffit de v rifier que les variables al atoires figurant dans cette expression sont gaussiennes et ind pendantes Or Vo est gaussienne et les autres sont dans H B qui est form de variables gaussiennes D apr s la proposition 2 7 V5 est ind pendant de toute v a dans H B et donc des W4 Il reste ensuite v rifier que les variables al atoires W4 sont ind pendantes C est vident si l on remplace la fonction y par une combinaison lin aire d indicatrices d ensembles et on utilise nouveau 2 7 Pour le calcul de la covariance qui ne suppose pas que Vo soit gaussienne on crit t s S VV E w EWA f e BH EN fee dB Or si Vo est ind pendante de B on a E Vo E Vo Z 0 pour tout l ment Z H B On en d duit la formule propos e par application de la relation de Parseval 0o L int grale stochastique f p t dB est souvent appel e int grale stochastique par rap port un bruit blanc car la mesure structurelle de B est la mesure de Lebesgue sur R alors que la mesure spectrale d un bruit blanc normalis est la mesure de Lebesgue sur 0 1 On peut obtenir une formule d int gration par parties pour un p a o construit partir du Brownien comme indiqu dans la proposition 4 4 R dx et f l dBu Pour f C R on a la formul
140. ss de une transform e de Fourier dans L R dx alors cette fonction est presque s rement gale un l ment de Co Pour des raisons de commodit d criture l on confond tr s rapidement fonctions et classes de fonctions et la notation f est utilis e aussi bien pour Ff que pour Tf C est ce qui sera souvent fait avec mauvaise conscience dans la suite de ce polycopi I 3 Fourier sur R 21 1 3 3 Exemples Le calcul de la transform e de Fourier d une fonction f n est pas toujours une op ration simple M me si f est sommable le calcul de l int grale FO f Ae da 11 n est que rarement possible par calcul de primitives Dans ce paragraphe on va voir quelques exemples et quelques techniques de calcul Exemple 1 57 Si g est une fonction sommable et h x g ax alors les transform es de Fourier de h et de g se d duisent facilement l une de l autre par changement de variable de 1 Li RCD glan du gly ee dy Ealt R Q JR Q Exemple 1 58 Si f 1 2 1 22 cette fonction en th orie du signal s appelle le sinus cardinal et s crit sinc t Exemple 1 59 Parfois on peut obtenir f par la formule d inversion Gr ce la remar que 1 52 si deux fonctions int grables f et g satisfont f Tg alors g 1 g 1f f 1 2 Soit par exemple f x E La fonction f est sommable mais le calcul de l int grale 1 1 ne pr sente pas bien Par contre en posant g x el
141. st de m me de X et Y D monstration Soit y et y des fonctions continues support compact En reprenant la preuve de 2 4 on voit que les suites y Xn et Y Yn convergent dans L Q P vers X et Y Y et l on peut crire El XWY EXP Yn EKY X Xn DV Y El X AY AYI lt lt Do ECX Xni pile 1 Y Yn lha Il suffit alors d utiliser la relation E y Xn Y Yn Elpe Xn JEY Yn O De m me on peut d finir l ind pendance d une famille X x 1 n de v a valeurs dans R k par le fait que la loi de X X1 Xn valeurs dans R 1 mn est le produit des lois des X On v rifie que si X k 1 n sont des v a ind pendantes valeurs dans R alors les v a f X valeurs dans R le sont aussi pour toute famille de fonctions mesurables fp d finies sur R et valeurs dans R II 3 Ind pendance 39 Proposition 2 8 Soit X1 X des v a ind pendantes dont les lois poss dent des densit s f1 fn Alors X X1 X poss de une densit f x1 7 donn e par 5 1 fk xx R ciproquement si la variable al atoire X poss de une densit de cette forme alors les variables al atoires X1 X sont ind pendantes D finition 2 9 Soit X et Y des v a r elles dans L Q P On d finit e Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y
142. t c 0 c 0 c t c 0 II 2 Herglotz Bochner 53 2 On crit que le d terminant c 0 c 0 e h l elt e t e 0 elh e t h c t h e t e t e h c t h c 0 e 0 le h c 0 e t h letl 2Re c t c h e t h est positif d o si on rajoute et on soustrait 2c 0 Re c t c t h on trouve c 0 jelt A elt lt e O e 0 elh 2Re elt R c c R c 0 or Re c t h elt e h el0 lt c 0 c h c 0 et donc lorsque h 0 la diff rence c t h c t tend vers 0 uniform ment en t o0 Nous allons utiliser le th or me suivant de Paul L vy On pourra remarquer que 3 de la Proposition 3 9 en est un cas particulier Proposition 3 11 Paul L vy Soit un n une suite de mesures positives de masse finie sur R resp sur T telle que pour tout t R resp t Z on ait lim An t t la fonction y t tant continue l origine dans le cas de R Alors y t est la transform e de Fourier d une probabilit u sur R resp sur T et donc la suite un converge troitement vers u Th or me 3 12 Herglotz Soit c une fonction de type positif sur Z alors il existe une unique mesure positive sur T soit p telle que c n n yalt dult n Yn eZ Si c est sommable alors la mesure 1 a une densit f par rapport la mesure de Lebesgue sur T donn e par la s rie uni
143. t et non d une classe d quivalence En fait cette distinction de notation est vite oubli e dans les applications Par exemple la s rie de Fourier d une fonction f telle que f f 0 JS glu du avec g L T dx et fyglu du 0 est sommable et c est donc le cas en particulier pour des fonctions f de classe Ct sur le tore Il existe une litt rature extensive reliant les propri t s de la suite a et celles de sa transform e de Fourier montrant en gros que plus la suite a d cro t rapidement plus sa transform e de Fourier est r guli re 1 2 3 Coefficients de Fourier d une fonction de L T dx Lorsque f L T dx on peut toujours d finir ses coefficients de Fourier par la formule f n jo f t n t dt Cette suite n est plus n cessairement dans Z mais Proposition 1 35 Si f L T dx on a 1 f lt fl 2 f n tend vers 0 linfini D monstration La propri t 1 est vidente Il est facile de montrer la propri t 2 pour les indicatrices d intervalles et donc pourl espace vectoriel F de leurs combinaisons lin aires qui est dense dans L T dx on peut aussi choisir de le v rifier sur les expo nentielles Soit f LI T dx et e gt 0 Il existe g dans F telle que f g 1 lt e 2 et on peut crire a a IFI lt IFE gp 3 lt IF gll 18 p l lt e 2 19 et il suffit d appliquer la propri t g O Pour f L T dx on a vu que la suite Sn
144. t grale h x fg f t g x t dt est finie pour presque tout ou tout x et ensuite on prouve les majorations demand es 1 En utilisant Fubini on a f A x dx lt fll llgl lt co La fonction h x tant int grable est donc finie presque partout et la majoration fg f t g x t dt lt h x permet d obtenir l in galit demand e 2 On peut crire fos f SA f Ole DP at dr fla f f FONE D dt de 1181918 Dans la premi re ligne on a appliqu l in galit de Schwarz la mesure dt et au produit des fonctions 4 f t par 4 f t Ig x t La derni re ligne r sulte du th or me de Fubini cas positif La fonction h tant de carr int grable est donc finie presque partout Ensuite il suffit de remarquer que f f t g x t dt lt h x ce qui termine la preuve de 2 3 La seule chose non vidente est l uniforme continuit Or on a f gx f g x u lt lol ir u f t x dt glo Tuf flh et on conclut en utilisant 1 50 O Th or me 1 63 Si f et g sont de carr sommable la fonction f x g x est d finie pour tout x est dans Co et sup f g x lt fllllgll2 24 Chapitre I Analyse de Fourier D monstration Le produit de deux fonctions de carr sommable est sommable donc f x g x existe partout et l in galit demand e r sulte directement de l in galit de Schwarz Si f est l indicatrice d un intervalle a b et g l indicatric
145. t dans un cours sur les processus du second ordre ont t rassembl s dans le chapitre 4 L int grale stochastique car ils ne sont pas vraiment n cessaires pour la compr hension des trois chapitres principaux savoir les chapitres 3 5 et 6 Il est n anmoins vivement recommand au lecteur d en prendre connaissance Ce polycopi est divis en chapitres sections et sous sections A nsi 3 2 4 renvoie au chapitre 3 section 2 sous section 4 et 5 4 renvoie au chapitre 5 section 4 A l int rieur d une m me section les nonc s sont num rot s en continu Ainsi d apr s le th 5 4 6 renvoie au chapitre 5 section 4 nonc 6 Quant aux galit s elles sont num rot es entre parenth ses et en continu au sein d un m me chapitre Ainsi vu 3 5 r f re la cinqui me galit num rot e du chapitre 3 Le signe O indique la fin d une preuve Paolo Baldi qui a enseign ce cours en 04 05 s est tout particuli rement attach le compl ter par de proc dures d estimation dans les mod les Arma Jean Lacroix Table des Mati res 1 Analyse de Fourier LI R ppels de Cours se anges penis het nur nn Pa nes La nes e die 1 1 1 Rappels sur les espaces de Hilbert 1 1 2 Rappels d Int gration 1 2 S ries de Fourier 1 2 1 Coefficients de Fourier d une fonction de L T d 1 2 2 Transformation de Fou
146. t on peut consid rer le processus filtr p x X n X o kXn k Corollaire 5 2 Soit Y un p s c et P un polyn me sans racines de module 1 Alors l quation px X Y a une unique solution X stationnaire centr e donn e par X axY o le filtre stable a est donn par le d veloppement de Laurent de 1 P z Si P a toutes ses racines de module gt 1 alors le filtre a est causal et H X H Y pour tout n On verra qu il est tr s important que le filtre inverse an nez soit causal Donc la con dition toutes les racines de P sont de module gt 1 appara tra de fa on tr s naturelle dans la suite 5 2 Pr diction D finition 5 3 Soit p gt 1 On va noter Las la projection orthogonale de Xn p sur HA On a vu que Wie est la meilleure approximation dans L Q P de X par un l ment de H X Donc Kanion est la pr diction de de Xn p en fonction des Xk k lt n On appelle erreur de pr diction la quantit Xn p ets En utilisant l op rateur unitaire T il revient au m me de calculer la projection de Xp sur Ho X Afin de pouvoir calculer cette projection orthogonale il est donc tr s important de pouvoir exhiber une base orthonorm e de H X En fait d apr s la d composition orthogonale Xn X X obtenue dans 3 2 on obtient DORE Proj Xp 4p Hn X Proj Xp p Hn X z Proj X plHn X XP et le probl me est ramen au cas d un processus purement al atoire Or dans ce cas on sait q
147. tie purement al atoire de L shot noise tandis que l int grale de Lebesgue est appel e luminosit continue En utilisant 4 19 on voit que pour t et h positifs t t E L af g t u du Cov Li Li n af g t u g t h u du 0 0 En choisissant par exemple g t exp ta avec a gt 0 il est facile de constater que le processus L E L devient asymptotiquement stationnaire On peut remarquer que les fonctions de covariance du processus de Poisson et du mouve ment brownien sont identiques ce qui indique encore une fois que les propri t s du second ordre d un processus sont tout fait insuffisantes pour caract riser son comportement Chapitre 5 Processus stationnaires al atoires Dans ce chapitre on ne consid re que des processus index s par Z et principalement des p s c qui satisfont une relation du type P q Xn gt AkXn k Bn BiBn j 5 1 k 1 j 1 o Bn nez est un bruit blanc de variance a C est une famille int ressante puisque d un cot il est facile de r soudre des probl mes tels que la pr diction c est dire de trouver la meilleure pr vision de Xn m mM gt 0 sachant Xn Xn 1 D autre part puisque un tel mod le ne d pend que d un petit nombre de param tres les g le B o ainsi que p et q il est relativement simple de mod liser une s rie de donn es provenant d applications concr tes avec un tel
148. tion de covariance d un tel p s c cx k ca x k 0 X a n k n 0 X a n a n k nez nez Si de plus a est causal alors pour k gt 0 on a cx k o X nenaln k a n II1 3 Repr sentation spectrale 59 Remarque 3 23 La convolution de deux filtres stables u et v est un filtre stable S ils sont de type causal il en est de m me de leur convolution On a les relations d associativit et commutativit u x v x X u x v x X v x ux X vx u x X 3 4 Repr sentation spectrale des p s c Th or me 3 24 Soit X un p s c continu en m q si T R d fini sur l ensemble d indices T et de fonction de covariance cy Il existe une unique isom trie not e Wx entre L ux et H X qui v rifie Xt Wx vteT De plus si a est un filtre stable et Y a x X alors Y Wx y py l l ux D monstration La preuve est la m me dans les deux cas on se contentera donc de l crire dans le cas de R 1 En reprenant les notations de la proposition 1 11 on pose H L R ux Ho H X et F resp F2 d signe l ensemble des combinaisons lin aires des exponentielles complexes resp des X On pose Wx y X que l on prolonge par lin arit F1 On a alors Art a Xe Ve dix AkArcx tk tr H k 1 2 k 1 r 1 k 1 r 1 Eal EENE AX E D erlt k 1 2 k 1 r 1 k 1 r 1 Ceci prouve que si une fonction dans F poss de deux d veloppements alors ceux ci ont
149. tions par des fonctions Dans le cas de processus sur R ceci permet aussi d utiliser toute la puissance du calcul symbolique dans D R 4 3 2 Le processus de Poisson D finition 4 17 Soit Y n gt 1 une suite de variables al atoires ind pendantes de loi exponentielle de param tre Pour n gt 1 on pose Ty Y Y2 Yp Le processus de Poisson N est alors d fini par Ni X 1047 n gt 1 Pour une fonction f mesurable positive sur R on pose N f us Th et si f est l indicatrice d un bor lien A on crira N A plut t que N 1 4 Si on interpr te les instants Tp comme les instants o un certain v nement se produit la v a N compte le nombre d v nements qui ont eu lieu dans l intervalle 0 t La proposition suivante est prouv e dans nombre de cours de probabilit Proposition 4 18 Le processus N est un p a i non centr et la loi de Ni n Np est une loi de Poisson de param tre At La fonction de covariance est donn e par K s t A s At Plus g n ralement si A1 A2 A sont des bor liens born s dis joints les variables al atoires N A1 N 42 N A sont ind pendantes et suivent des lois de Poisson de param tres respectifs A A A A2 A Ar o A d signe la mesure de Lebesgue de A La quantit N f est aussi quelquefois not e f f t dN le terme dN faisant r f rence la mesure ponctuelle DSi r qui met une masse unit chaque saut de la trajectoire N
150. ue H X est gal H 1 o le processus d innovation 1 est un bruit blanc et donc la famille 1 k lt n est un facteur constant pr s une base orthonorm e de H X Ceci explique pourquoi est il important pour un p s c donn de calculer le processus d innovation Nous allons montrer que le calcul est tr s simple dans les cas des processus ARMA que l on verra dans les paragraphes prochains 5 3 Processus AR MA et ARMA 5 3 1 Processus AR D finition 5 4 On dit que un p s c X est AR p autor gressif d ordre p s il existe un polyn me P de degr p avec P 0 0 et un bruit blanc normalis B tel que p x X B Remarquons d abord que pour que il existe un p s c AR associ un polyn me P dans le sens de la d finition 5 4 il est n cessaire que P n ait pas de racines de module 1 comme il suit des deux nonc s suivants Si cette condition est satisfaite d apr s le th or me 5 1 un tel processus est unique pour P B donn s Proposition 5 5 Soit P et Q des polyn mes sans racines communes de module 1 Si la mesure sur T de densit Q _1 P _1 l est finie alors P n a pas de racines de module 1 V 3 Processus AR MA et ARMA 75 D monstration Supposons que P ait une racine de module 1 soit 29 7 1 to Alors P 2 z zo R 2 Pour t voisin de to on aura done P _1 t t to et la fraction Q _1 P y_1 n est donc pas int grable sur T o Corollaire
151. ue s re Proposition 1 19 Soit f une suite de fonctions orthogonales dans L 1 Si X fn lt la s rie fn converge dans L 2 Soit a Z et fn une suite born e dans L Alors la s rie 3 an fn converge dans L Si de plus ay Z alors la s rie converge u p p D monstration On v rifie imm diatement que la s rie est de Cauchy dans L car en adoptant les notations de la preuve de 1 17 on a d apr s le th or me de Pythagore m lSm Snl gt AE k n 1 Il suffit alors d utiliser la propri t de Cauchy de la s rie convergente 37 fx f La seconde assertion est un corollaire imm diat de 1 18 O Proposition 1 20 L ensemble des combinaisons lin aires coefficients complexes de fonctions indicatrices d ensembles mesurables de u mesure finie est dense dans L Dans le cas de Q R ou T muni de leur tribu Bor lienne on peut se contenter d indicatrices d intervalles De plus dans le cas de R l ensemble des fonctions continues support compact est dense dans LP et de m me pour l ensemble des fonctions continues dans le cas de T On remarquera que e Si u est une mesure finie on a les inclusions L C L C L e Par contre 4 Z C Z C S Z mais qu aucune inclusion de ce genre n est valide sur R muni de la mesure de Lebesgue 1 2 S ries de Fourier On identifie les fonctions sur 0 1 aux fonctions sur R p riodiques et de p riode 1 et on d signe par T l interv
152. us utiliserons souvent le raisonnement suivant Pour prouver qu une propri t est vraie sur un espace topologique on commence par v rifier qu elle est vraie sur une partie dense F C E puis on montre ensuite qu elle passe la limite Il est facile ici par Lebesgue de prouver que cette propri t de continuit est vraie sur l espace vectoriel F engendr par les exponentielles Soit f LP T dx et e gt 0 D apr s 1 24 il existe g dans F telle que f g lt e 4 et on peut crire L Tale lt IIZ allo lg Tale Tag Tau flip 2 f gllp Ilg Tugllp lt 2 Ilg Taugllp et il suffit d appliquer la propri t g O D finition 1 27 Soit 0 lt r lt 1 On d finit la fonction continue P t sur T noyau de Poisson par le d veloppement en s rie uniform ment convergent sur le tore T soit P t D nez rl D nez rl et pour une fonction f L T dx on pose rer wdu fl P t u du Proposition 1 28 Soit 0 lt r lt 1 et f L T dz 1 1 PG hand et donc P t gt 0 2 fr P t dt 1 D monstration La propri t 1 s obtient par sommation et pour la propri t 2 il suffit de constater que la s rie d finissant r t converge dans L T dx d apr s 1 18 Elle est donc int grable terme terme sur T et l on remarque que fr m t 6 O a T 29 Soit g une fonction int grable sur T et continue l origine Alors l int g
153. yn me canonique P z 1 5 2_ ak2 Il v rifie donc l quation canonique ne Ak Xn k Un Xn O Un nez est un bruit blanc Puisque Un est orthogonal H _1 X et donc Hn s X pour tout s la projec tion canonique de X sur l espace engendr par X _1 Xn s est pour s gt p gale D akXn k Pour s p on trouve rx p ap 0 alors que rx s 0 pour s gt p R ciproquement si rx s 0 pour s gt p on a alors pour tout m gt 0 Proj Xn Xn 1 Xn 2 Zaa RCE D Proj Xn Xrti Xn 2 DIE Xn p m D apr s la Proposition 1 10 ceci implique que la projection de X sur Hn 1 est gale celle sur Xh_1 Xn_ et donc une combinaison lin aire de la forme Xf QkXn k avec ap 0 On en d duit que l innovation de X qui est un bruit blanc est de la forme Xn 5 _ ax X _x et donc que X est AR p 5 3 2 Processus MA D finition 5 15 On dit que un p s c X est MA q moyenne mobile d ordre q s il existe un polyn me Q sans racine de module 1 de degr q avec Q 0 0 et un bruit blanc normalis B tel que X q x B En anglais moyenne mobile se dit moving average ce qui explique l abr g MA Remarque 5 16 Un processus du type X q x B est toujours un p s c la diff rence du cas AR la condition sans racine de module 1 n est pas n cessaire pour que le processus X d fini par la relation ci dessus soit un p s c On l impose tout de m me parce qu elle devie

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