Quelques éléments d`histoire de l`analyse combinatoire 1. Qu`est
Contents
1. Ici les coefficients sont 1 2 1 Pour n 3 on trouve a b a 3a b 3ab b Les coefficients sont 1 3 3 1 Le pas est alors franchi par induction C est ce que nous explique as Samaw al 1130 1174 disciple d al Karayi Il rapporte que ce dernier utilisait un triangle num rique dont il explique la construction Pour n 5 al Karaji ne fait plus de d monstration mais crit celui qui a compris ce que nous venons de dire peut montrer que pour tout nombre partag en deux parties sa puissance d ordre cinq est gale la somme des puissances cinqui mes de chacune de ses deux parties cing fois le produit de chacune des parties par la puissance quatri me de l autre partie plus dix fois le carr de chacune des parties multipli par le cube de l autre et ainsi de suite dans un ordre croissant L auteur ajoute Enon ons maintenant une r gle qui permet de conna tre les coefficients intervenant dans les produits d une partie d un nombre divis en deux par l autre AI Karaji dit si tu d sires cela tu places sur le takht 1 et tu places 1 au dessus de lui tu recopies le 1 pr s de lui et tu ajoutes 1 au 1 dessous ce qui donne 2 que tu places en dessous et enfin tu places I en dessous Tu as ainsi l et 2 et 1 Ceci t indique que tout nombre somme de deux nombres si tu multiplie par lui m me une fois les extr mit s seront I et 1 quant au produit d une partie par l autre le r sultat central est multipli par d2. P3 2 Pa n 2 17 37 2n 1 2 47 20 Ibn al Banna d montre plus loin en les non ant sous forme rh torique les formules 1 Mohamed Aballagh Rafc al Hijab d Ibn al Banna Th se de doctorat de Paris I 1988 13 Texte arabe PDP OM 9 D 22 NI PIN M AM IN 22 MINM MMII MAM VOR G p PM IP2S VINOM N M OON 2 IM 2 20 MMI 17 IAM VINIM 222299 MN OMM NMM NNM 99 M MN N IM MMAM PNN NOMN td 29 IN 9 p MM Journ es Nationales 2003 de l ATSM A DE et a Lidel i et il en d duit le r sultat A AGDE 2 2 k k 1 2 k Il prouve par la suite qu il existe n permutations de n objets et n n 1 n k 1 arrangements de n lettres prises k k Lamrabet signale qu Ibn al Banna dans son p tre intitul e Risala fil ashk l al mais hyya classifie les figures g om triques et d nombre les probl mes suceptibles d tre pos s en fonction des l ments connus et de ceux recherch s Le triangle comporte cinq l ments ses trois c t s sa hauteur et son aire il comporte trente donn es d terminer parce que ce qui est connu peut tre un deux trois ou quatre de ces l ments et ce qui est d terminer c est une inconnue entre ces l ments lamrabet page 219 10 Mahdi Abdeljaouad Introduction l histoire de l analyse combinatoire 3 Sous d autres cieux Des consid rations combinatoires et des utilisations du triangle arithm t
3. math matiques est compl t e par les pr cisions suivantes que l on retrouve dans la plupart des dictionnaires L analyse combinatoire est n e de l tude des jeux de hasard et s est fortement d velopp e sous l influence du calcul des probabilit s Elle est par ailleurs li e la th orie des nombres et la th orie des graphes Ses m thodes taient originellement adapt es la r solution de probl mes particuliers En revanche actuellement on tente de ramener les probl mes rencontr s des exemples types pour lesquels on d veloppe des m thodes g n rales de r solution page 462 Retenons que dans cette d finition le r le des groupements d ensembles finis et la g n ralisation des m thodes d couvertes sur des cas particuliers mais le raisonnement combinatoire se caract rise aussi par la n cessit de l induction et par l utilisation forc e des propri t s des nombres L analyse combinatoire serait n e de l tude des jeux de hasard Cela nous renvoie bien entendu Blaise Pascal 1623 1662 et son Usage du triangle arithm tique pour d terminer les parties 1636 de m me qu la correspondance en 1654 entre Blaise Pascal et Pierre Fermat 1601 1665 qui fut l origine du calcul des probabilit s En fait les pr misses de l analyse combinatoire se trouvent comme nous allons le montrer chez de nombreux pr d cesseurs de ces deux savants et que la combinatoire elle m me n est devenue un chapitre a
4. nombre de combinaisons sans r p tition des 28 lettres de l alphabet prises 2 2 puis 3 3 etc Jusqu 5 5 ainsi que le nombre de permutations de chaque groupe de r lettres Ces techniques calculatoires vont se d velopper en phonologie tude de la langue du point de vue de ses l ments sonores en lexicographie ensemble des mots mais aussi en cryptographie codage et d codage des messages secrets en m trique structures des vers d un po me et en musique combinaison des rythmes et sons divers Outre celui d al Khalil Les noms d al Farabi 875 950 et des Ikhwan as Safa cers 983 sont associ s ces travaux Le triangle arithm tique AI Karaji 953 1028 7 Ibid page 12 Mahdi Abdeljaouad Introduction l histoire de l analyse combinatoire D s le XI si cle et en particulier depuis al Karaji l alg bre arabe devient un chapitre autonome des math matiques se lib rant de l arithm tique et de la g om trie euclidienne Une d finition claire des inconnues al Majhulat permet de pr senter les op rations sur l ensembles des expressions polynomiales en x et x et de les repr senter sur une planche calcul recouverte de sable Les puissances du bin me interviennent assez rapidement dans les calculs or lorsque l on d veloppe une expression alg brique de la forme a b on trouve les coefficients du bin me Prenons des exemples Pour n 2 on trouve a b a 2ab b
5. Journ es Nationales 2003 de l ATSM Quelques l ments d histoire de l analyse combinatoire Mahdi Abdeljaouad Universit de Tunis Journ es Nationales de P ATSM Decembre 2002 Mahdia Tunisie Lorsque le comt d organisation des Journ es Nationales 2002 de l ATSM m a propos de pr senter un expos sur l histoire de l analyse combinatoire je ne connaissais que la conf rence sur la combinatoire chez les Arabes pr sent e par notre ami Ahmed Djebbar lors de nos Journ es Nationales 1983 Monastir Depuis vingt ans de nouveaux travaux concernant ce sujet ont t publi s je citerai en particulier ceux de Roshdi Rashed Bien que les points de vues de Djebbar et de Rashed divergent sur certains aspects de ce patrimoine commun ils s accordent tous deux consid rer que les math maticiens arabes ont introduit l analyse combinatoire comme un chapitre part enti re dans les math matiques universelles Avant de pr ciser l apport des Arabes nous commencerons par s rier les domaines couverts par l analyse combinatoire et nous pr senterons par la suite d une mani re essentiellement chronologique les diverses contributions depuis quelques milliers d ann es des uns et des autres dans l criture de ce chapitre 1 Qu est ce que l analyse combinatoire L analyse combinatoire s emploie tudier et d nombrer divers types de groupements que l on peut faire partir d ensembles finis Cette d finition de l Atlas des
6. a 1256 1321 Mahdi Abdeljaouad Introduction l histoire de l analyse combinatoire Lui aussi de Marrakech Ibn al Banna aura un usage multiple de l analyse combinatoire C est d abord dans son livre Raf al Hijab qu elle est le plus explicitement pr sent e et utilis e comme nous le dit dans sa th se Mohamed Aballagh Dans ce trait d arithm tique et d alg bre Ibn al Banna 1 tablit des propositions combinatoires relatives aux permutations de n objets leur combinaisons p p et leurs arrangements et ce en innovant par rapport la contribution d j importante d inb Munim puisqu ibn al Banna nonce et d montre ces r sultats sans avoir recours la technique des tableaux mais en suivant une d marche arithm tique et inductive 2 en liaison avec le th me pr c dent l tude de quelques propri t s de nombres polygones qui ne semblent pas avoir t analys es auparavent dans la tradition math matique de l Occident musulman comme les relations existant entre certains de ces nombres polygones les combinaisons de n objets p p et certaines s ries de puissances finies 3 l introduction d un point de vue combinatoire dans le traitement de certains probl mes classiques de la science du calcul comme lorsqu ibn al Banna classe un ensemble de formules alg briques en fonction du nombre d op rations arithm tiques que chacune d elles fait intervenir Th se d Aballagh page 130 Sans entrer dans les d t
7. a Co o le d nominateur d velopp fait a 1l a appara tre les coefficients du bin me En utilisant cette m thode dans un trait de 1265 Nasr ad Din at Tusi explique en d tail la technique d extraction de la racine sixi me d un nombre entier en l illustrant sur l exemple suivant 244140626 25 nn 25 un 26 25 64775151 R Rashed signale que d autres math maticiens ont suivi al Karaji et at Tusi et ont utilis le triangle arithm tique comme par exemple Kamal ed Din al Farisi m 1319 Ibn al Banna m 1321 ou Jamsh ed Din al Kashi m 1430 Mais c est au sujet de l influence d at Tusi que R Rashed et Ahmed Djebbar divergent Pour le premier al Farisi et Ibn al Banna non seulement succ dent at Tusi mais utilisent la majeure partie du lexique d j adopt par ce dernier Cette communaut d int r t et en grande partie de vocabulaire montre bien qu il s agit d une tradition et confirme une conjecture par nous soutenue il y a une dizaine 10 Texte arabe 099998799999 79079 MTIR MAN 979 27000 99 MN 2092200007 IPA PNM IM 6 Mahdi Abdeljaouad Introduction l histoire de l analyse combinatoire d ann es savoir que l analyse combinatoire s est bien constitu e comme chapitre avant al Farisi et Ibn al Banna R Rashed page 59 Par contre pour Ahmed Djebbar L aspect combinatoire est compl tement masqu par ces expressions alg briques comme c est le cas par exemple pour les coefficie
8. ails essayons de donner une id e de la terminologie et du type de raisonnement employ s par Ibn al Banna Combinaisons des lettres de l alphabet La sommation des carr s est utile dans la composition des mots trilit res pour d nombrer le contenu des langues et de choses semblables Par exemple Combien a t on de mots trilit res partir des lettres de l alphabet selon une seule figure sans ses permut es Le nombre de mots trilit res est gal la somme des trigones dont le c t du dernier est inf rieur au nombre de ces lettres de l alphabet de deux et la somme des trigones s obtient en multipliant le c t du dernier par le produit des deux nombres qui le suivent et en prenant le sixi me du r sultat comme ce que l on fait pour la sommation des carr s des impairs et des carr s des pairs Th se d Aballagh pages 535 536 Mot trilit re mot ayant trois lettres Trigone C est un nombre figur d ordre 3 comme par exemple 1 3 6 10 Plus n n 1 72 la somme des trigones s obtient en multipliant le c t du dernier par le produit des deux nombres qui le suivent et en prenant le sixi me du r sultat est l nonc d un th or me que n 2 n 1 n 6 g n ralement le n nombre trigone est gal P n nous crivons en notation moderne P3 1 P3 2 P n 2 comme ce que l on fait pour la sommation des carr s des impairs et des carr s des pairs est l nonc d un th or me P3 1
9. angue il calcule le nombre de syllabes qui pourraient tre form es avec les lettres de l alphabet On dit que le nombre obtenu tait 1002 10 En chimie Consid rant les l ments de la nature comme des combinaisons d l ments de base Jabir b Hayyan vers 800 a tudi la morphologie des m taux de la m me mani re que l on tudgie les mots d une langue Les carr s magiques a D E Smith History of mathematics Dover N Y 1952 Tome 1 page 25 26 George Sarton A History of Science Dover N Y 1952 Tome 1 tome 2 page 503 Journ es Nationales 2003 de l ATSM L int r t ancien pour les carr s magiques vient de leur utilisation en astrologie Des math maticiens chevronn s comme al Kindi 805 867 Abu l Wafa 940 998 ou les Ikhwan as Safa vers 983 pouvaient ainsi tre largement subventionn s en tudiant ces assemblages particuliers de nombres faisant intervenir des concepts combinatoires Nous retrouveront cette tradition eu Europe du XVI si cle Les d nombrements Ahmed Djebbar signale que les d nombrements par num ration sont nombreux dans les disciplines math matiques comme par exemple les d nombrements des rapports compos s chez Thabit ibn Qurra 836 901 les d nombrements des nombres figur s les d nombrements apr s classification des quations issues de la trigonom trie sph rique chez al Biruni 973 1050 les d nombrements par num ration des quations obtenues p
10. aris un si cle plus tard par l un de ses successeurs Ibn al Banna M N Ibn al Mun im mort en 1228 Ce math maticien de Marrakech reprend dans son livre Fiqh al Hisab l tude d al Khalil ibn Ahmed sur la langue arabe Nous voulons trouver le moyen de d nombrer tous les mots tels qu un tre humain ne peut parler qu en utilisant l un d eux Al Khalil n avait consid r que les cas o les lettres sont toutes distinctes Pour ce qui est des mots lettres r p t es ou form s de cing ou six lettres distinctes dont une deux ou toutes sont r p t es et leur d nombrement c est ce que nous proposons de traiter dans le pr sent chapitre Nous convenons que l alphabet est form de 28 lettres que le mot le plus long est constitu de 10 lettres en tenant compte des affixes et des r p titions comme ARISTOTALIS qu au dessus d une consonne se succ dent trois voyelles et un sukun que l on peut commencer par une lettre muette sakin et enfin deux lettres muettes ne se succ dent pas traduction de Lakramti page 215 Ce qui est original dans la d marche d Ibn Mun im c est le mod le choisi pour effectuer ses calculs les lettres de l alphabet sont repr sent s par des couleurs et les mots par des touffes de soie L auteur ajoute Probl me pr liminaire On dispose de dix couleurs en soie On voudrait constituer des touffes shara ib dont certaines sont d une seule couleur d autres de deux couleurs d autres encore d
11. e trois couleurs et ainsi jusqu ce que la derni re touffe H Driss Lamrabet Introduction l histoire des math matiques maghr bines Rabat 1994 Journ es Nationales 2003 de l ATSM soit constitu e de dix couleurs et on voudrait conna tre le nombre de chaque type de touffe pris seul connaissant la couleur de chaque touffe et le nombre total de touffes si on les ajoute en tenant compte de leurs diff rentes couleurs Disposons les couleurs une une dans un tableau Si tu analyses la question tu trouves que les touffes constitu es de deux couleurs distinctes s obtiennent en combinant la deuxi me avec la premi re la troisi me avec la premi re et la deuxi me la quatri me avec la premi re la deuxi me et la troisi me et ainsi jusqu combiner la dixi me couleur avec chacune des pr c dentes On d termine de cette mani re le nombre de touffes constitu es de couleurs diff rentes Si tu analyses les propri t s de ce tableau et les merveilleuses conjonctures qui y apparaissent tu y rel veras des accords insolites et des propri t s magnifiques dont la mise en vidence n cessiterait une tude longue et d taill e Lamrabet page 215 216 Ibn Mun im explique patiemment le mode d emploi du triangle arithm tique et illustre son utilisation par plusieurs propositions dont nous citerons quelques uns pour mieux clairer le lecteur et lui montrer les l ments de la th se de Djebbar et illustrer l
12. eux et par cette technique l on conna t les coefficients pour le carr le cube et pour toute autre puissance cherch e Voici l image de cela al Bahir fil Jabr pages 109 110 111 8 Texte arabe IN AIM 2999090 INAN AN A 99 999 NM Np N MMM p 222197 MNA N 9999 9 22999 IMAMI IRMI TM PSMU N 7 7P 79 MIS PNI D WNN 709 2299 INWIN MNI NSN PSR IIPMIN IN 2N G 2 IM 997 99 D9 NNM 99199 99 NNA 2229 PM AMIN NNM NIMN Salah Ahmad et Roshdi Rashed Al Bahir fil Hisab Min Ens Sup rieur Damas 1972 Journ es Nationales 2003 de l ATSM Nasir ad Din at Tusi 1201 1273 Nous retrouvons chez at Tusi ce m me triangle arithm tique dans le cadre de son calcul de la racine n d un nombre entier La r gle de formation des l ments du triangle est clairement formul e Si l on conna t les deux termes extr mes et que l on souhaite les termes centraux on additionne deux termes qui appartiennent l ordre pr c dent page 145 n n 1 n k 1 application at Tusi calcule 7 64 et 94 64 Dans une tude diff rente mais caract re philosophique at Tusi est amen calculer n n k Calcul par approximation de la partie fractionnaire de la racine irrationnelle Il s agit en fait 10r C est bien la r gle mais formul e sous forme rh torique Comme n n 2 pour k 1 jusqu k n pour laquelle il utilise l galit k r m 7 de la formule approch e Va r
13. inaison arrangement partition permutation r p tition factorielle coefficients du bin me 2 Vers la naissance de l analyse combinatoire 2 1 Des traces de combinatoire Une motivation religieuse et mystique en Chine vers 2900 av J C Regrouper des objets de m me nature par groupe de 2 de 3 de 18 de 24 ou m me de 72 ou de 100 tait une activit traditionnelle en Chine n cessaire pour pouvoir les d nombrer le principe de diff rentiation des sexes le Yang et le Yin tait privil gi Dans le I king Le livre des permutations crit vers 1150 av J C on trouve les quatre diagrammes binaires de m me que huit trigrammes et bien d autres combinaisons combinant deux regroupements l un par Yang et Yin et l autre 6 par 6 les math maticiens mystiques chinois obtenaient 64 hexagrammes tous diff rents chacun poss dant une signification particuli re et objet par la suite d une litt rature abondante philosophique et mystique EF PA EH ep m M w AA K 2 a i 1 E su Li TON i PTE de a in L 4 WHY u 5 1 M i HN s AT he TH 4 TE se T TA Ta u TE s HE u T 5 HT 1e Hu 2 4 w JE i fi i M m p i C LL nm D Y IER HET n HI i JE 1 k w gE a 08 in 4 gt A KET a i ET R FA F PE e FA P n B o AE int i Des consid rations linguistiques en Gr ce vers 330 av J C Le philosophe X nocrate 406 315 disciple de Platon s est int ress en particulier la l
14. ique sont signal s ici et l par les historiens des math matiques Nous ne connaissons pas les liens des uns avec les autres ni l influence des uns sur les autres ils semblent suffisamment significatifs pour que nous les pr sentions sommairement cependant nous ne traiterons pas de l apport de Pascal et de Fermat qui sont eux bien connus Le premier trait totalement consacr l analyse combinatoire a t crit par Jacques de Bernoulli en 1713 Ars Conjectandi Le jeu d checs en Chine du XI si cle D apr s Joseph Needham le jeu d checs a t une autre source d activit s combinatoires en Chine Shen Kua 1031 1095 raconte que l on peut calculer ais ment le nombre total de situations possibles sur l chiquier cependant ce nombre ne peut pas tre exprim en employant la terminologie habituelle pour les entiers Avec deux b tonnets et quatre pi ces il y aura 81 situations distinctes Avec seulement trois b tonnets et neuf pi ces le nombre sera de 19 683 alors qu en utilisant quatre b tonnets et 16 pi ces on aura 43 046 721 situations Il ajoute qu il est capable d num rer tous les changements possibles sur l chiquier p Un triangle arithm tique chinois au XII si cle Les historiens des math matiques chinoises indiquent qu en 1303 Zhu Shijie publie le Miroir de jade des quatre inconnues qui commence ce tableau des coefficients du bin me en disant que c est une m thode ancienne a
15. mp e a f Le triangle arithm tique en Europe au XVI si cle Trois math maticiens europ ens utilisent le triangle arithm tique bien avant Pascal il s agit de Johan Stifel 1487 1567 Scheubel 1494 1570 et Petrus Apianus 1495 1552 qui est l auteur du premier trait imprim en 1527 contenant ce triangle qu il reproduit d ailleurs dans la page de garde Joseph Needham Science and Civilization in China vol 3 Mathematics and the Sciences Cambridge Univ Press N Y 1959 52 Kiyosi Yabuuti Une histoire des math matiques chinoises dition Belin Paris 2000 1 D apr s D E Smith History of Mathematics Dover N Y 1923 11
16. nts du bin me d ordre n qu il n est pas du tout imm diat de les identifier aux combinaisons de n objets p p Paradoxalement ce n est pas cette tradition qui a inspir les math maticiens du Maghreb qui se sont occup s de combinatoire mais celle des linguistes A Djebbar page 13 N tant pas nous m me un sp cialiste de l analyse combinatoire nous ne chercherons pas partager ces deux prestigieux protagonistes dans ce d bat mais nous essayerons de bien comprendre la position de Djebbar Pour lui l apport d al Karaji ou d al Tusi concerne la mani re de construire le triangle arithm tique et non le lien de ce triangle avec l analyse combinatoire Gr ce eux dit il on sait trouver toute cellule du triangle et on conna t les relations entre ses cellules adjacentes ou superpos es Les raisonnement sont arithm tiques essentiellement inductifs g n ralisant les formules donnant les puissances du bin me et rien semble t il de ce qu ils crivent ne laisse pr sager que la cellule C k j est une combinaison de j objets pris i i Djebbar ajoute que les math maticiens maghr bins partant de l analyse des travaux d al Khalil sur la langue arabe font le joint entre formules du bin me et combinatoire 2 3 L approche des math maticiens maghr bins Un math maticien maghr bin Ibn Mun im 77M peut tre consid r comme ayant le plus apport la constitution de l analyse combinatoire comme savoir nouveau popul
17. our r soudre un probl me d oiseaux comme chez Abu kamil 850 950 Pour tous ces exemples les historiens des math matiques arabes s accordent pour dire que l introduction d l ments combinatoire comme outils de r solution de probl mes divers reste non structur e et ne constitue pas encore une base consciente d un nouveau savoir 2 2 Un chapitre des math matiques en construction La premi re phase que nous venons d voquer est appel e la phase des activit s na ves en combinatoire Les recherches suivantes vont constituer un apport certain la mise en place d un nouveau chapitre des math matiques Les tudes sur la langue arabe La langue arabe orale et crite langue du Coran et des Arabes devait tre fix e d finitivement au VII si cle avec entre autres le travail en lexicographie d al Khalil ibn Ahmed 716 786 qui introduit une approche combinatoire dans ses raisonnements La langue est une partie phon tiquement r alis e de la langue possible Si en effet l arrangement r r des lettres de l alphabet avec r 2 3 4 ou 5 selon le nombre des lettres de la racine en arabe nous donne l ensemble des racines des mots de la langue possible une seule partie limit e par les r gles d incompatibilit s des phon mes des racines formera la langue Constituer un lexique revient donc constituer la langue possible pour en extraire tous les mots soumis aux dites r gles d apr s R Rashed page 56 al Khalil calcule le
18. usage g n ralis du triangle arithm tique ses outils tant l analyse combinatoire et l induction Probl me 2 D terminer le nombre de mani res de disposer les lettres d un mot connaissant leur nombre et sachant qu aucune n est r p t e L auteur examine les cas n 2 n 3etn 4 puis par induction il obtient la formule P n Probl me 3 D terminer le nombre de mani res de disposer les lettres d un mot connaissant leur nombre et sachant que certaines d entre elles son r p t e L auteur n T1 Tk Ahmed Dijebbar signale que Ibn Mun im ne semble pas avoir fait le lien entre le triangle arithm tique et les coefficients du bin me qu il tudie pourtant au chapitre 7 de son ouvrage Le fac simil pr sent ci dessous montre le tableau r sumant l analyse d Ibn Mun im Ar 5 icht AC st 12 rh pe er j a viia a Jp eat esnlhs os Le TE 731855 L HU J Fi EE AMEN Joie Lutadii e k eg ES F4 Ere layla Pisa j s 1e glali ilya Bize y i SL lan 2 ie Me E 7 pr Betas Cle ip or wa i Alat alo paeit Hi sy 3 70 lar hya SL TT A TET A ale trouve en notation moderne P r1 I fk bar PE rali Tas A E Lt See Ip ReAl JEDU E EA CERTES 3 LA 2 g 9 PPE AT IALTA TT y arr le Er bier NE Enae es ER 3 b 2 A 3 LU Ms s eh 0 ahil es LE ere Ge He ML Bis l DaS M ps iA A TOR EINA app a PAR rE pabi jangar i br Ibn al Bann
19. utonome des math matiques que bien plus tard avec la publication entre 1796 et 1806 des articles de Hindeburg et de l opuscule de Heinrich Burmann intitul D veloppement des fonctions combinatoires Nous allons montrer dans ce qui suit que l analyse combinatoire est l exemple m me d une science qui commence par r soudre des probl mes de d nombrements apparus dans Ahmed Djebbar R alit et math matique dans le Maghreb m di val exemple de la combinatoire Monastir 1983 Roshdi Rashed Histoire des sciences arabes Tome II pages 55 92 3 Fritz Reinhart et Henrich Soeder Atlas des math matiques d Livre de Poche Paris 1997 4 Voir par exemple sur internet www chronomath com l encyclop die num rique de l histoire des math matiques produite par Serge Mehl Mahdi Abdeljaouad Introduction l histoire de l analyse combinatoire diverses civilisations et en des p riodes diff rentes de la Chine il y a 5000 ans aux probl mes de trafics routiers d aujourd hui en passant par les probl mes linguistiques arabes du IX si cle et que souvent des solutions combinatoires ont t invent es suite la curiosit inventive de quelques math maticiens dont les r sultats furent tellement en avance sur le temps qu ils ne furent point compris par leurs contemporains Nous terminons ce paragraphe en citant quelques termes que l on associe directement l analyse combinatoire de base D nombrement num ration comb
Download Pdf Manuals
Related Search