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Ce qu`il faut retenir en mathématiques à la fin du collège

1. 2ab b a b a b a b Factoriser D velopper A 3x 5 B 2x 7 C 4x 3 4x 3 Ecrire sous forme de produit A 9x 30x 25 B 2x 7 4x 28x 160 C 4x 3 4x 3 16x 9 Factoriser 6x x et 8x 12 Rep rer un facteur commun x 6 x et 4 2x 3 Factoriser 3x 1 x 3 3x 1 10x 5 Mettre la parenth se r p t e en facteur 3x 1 x 3 10x 5 3x 1 11x 2 Factoriser 4x 20x 25 Utiliser une identit remarquable l envers 2x 5 Factoriser 2x 1 3x 7 3x 5 9 Arithm tique Diviseur d un nombre entier a Multiple d un nombre a M thode carr carr 3x 5 9 3x 5 3 3x 5 3 3x 2 3x 8 2x 1 3x 7 2x 1 3x 7 2x 1 3x 7 5x 8 x 6 les nombres d tels que a d soit un entier la division par d tombe juste les nombres de la table dea a 2xa 3xa Nombre premier Nombres premiers entre eux Nombre qui n a pas de diviseurs part 1 et lui m me exemple 17 2 nombres qui n ont pas de diviseur commun part 1 Leur PGCD est 1 PGCD de 2 nombres Comment le trouver Trouver les diviseurs de 18 Plus grand diviseur commun ces deux nombres Algorithme d Euclide on calcule successivement des restes de division 1 2 3 6 9 18 Jean Moulin Page 12 Trouver le PGCD de 48 et 360 360 48 7 re
2. b Prix de 4 trajets avec P1 c Quel est le tarif le plus b avec 4 euros on peut faire 2 trajets tarif P1 a Pour 4 trajets on paye environ 8 euros avec P avantageux A partir de c Les 2 tarifs sont quivalents pour 3 trajets combien de trajets P4 est plus int ressant pour 1 ou 2 trajets f x 10x 5 Qu est ce que f 3 10x3 5 35 3 PIE i L image de 25 c est 255 f 25 10x25 5 255 Image de 25 par la fonction f 25 est un ant c dent de 2 car 10x2 5 25 Ant c dent de 25 par f RER 0 EE Fest affine sa repr sentation est une droite Nature des fonctions F et G g G est lin aire droite partant de O Repr sentation graphique pour x Jean Moulin Page 4 entre O et 10 Statistiques Effectif d une s rie Etendue Moyenne Fr quence d une valeur x 0 5 10 20 G F 10 112 5 15 ig F 10 G 0 10 20 5 0 5 10 Nombre de donn e Ecart entre la plus grande et la plus basse valeur Somme des valeurs effectif total Nb d apparition de la valeur effectif total pourcentage Moyenne Fr quence x100 pour le mettre en M diane premier Q1 quartile Q3 quartile troisi me 7 11 18 19 29 3 9 19 45 50 7 7 11 8 23 39 19 13 10 7 20 14 Effectif de cette s rie Etendue Moyenne 1 valeur telle qu au moins 50 des valeurs
3. Sym trique d un point A par rapport D Nature de ces figures AADO S lt gt EE FRE Point de l autre c t de O gale distance en ligne droite sym trie centrale Point de l autre c t de D gale distance perpendiculairement sym trie axiale lignel triangles isoc le quilat ral rectangle et rectangle isoc le rayon du cercle diam tre du cercle ligne2 parall logramme trap ze losange rectangle carr ligne3 m diatrice du segment AB hauteur issue de m diane issue de A bissectrice de l angle BAT Tracer D1 BC passant par A D2 AB passant par C D3 L EF passant par D D4 L DE passant par E Ds L ED Le F F E D1 O D2 Construire des triangles ABC tels que N a AB 3 BC 5 AC 7 b ABC est rectangle en A AB 5 BC 6 Jean Moulin Page 18 c AB 7 A 30 B 110 Tracer main lev e C B a AH la hauteur issue de A TS b D1 la bissectrice de ABC c CI la m diane issue de C d D2 la m diatrice de AC e CK la hauteur issue de C Calculs d angles Angles droit aigu obtus plat milieu de AB D passe par le milieu de AC 90 1 angle inf rieur 90 90 angle de 180 __ angle sup rieur Somme des angles d un triangle Propri t des angles d un triangle i
4. In quations 2 1 5 3 4x5 12 4 5 9 29 12 5 identit n 1 Egalit ou in galit avec un nombre inconnu R soudre une quation ou in quation Une solution de l quation Trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles l galit est juste Une valeur de x pour laquelle l galit est juste R gles de manipulation d une galit On peut ajouter ou soustraire le m me nb de chaque c t On peut x ou parn m me nombre chaque membre en entier de l galit R gles de manipulation d une in galit Comme les galit s sauf que sion multiplie ou divise une in galit par un nombre n gatif il faut changer le sens de l in galit V rifier qu un nombre est solution d une quation Remplacer x par la valeur dans chaque membre et regarder si l galit est v rifi e R soudre une quation du 1 degr Regrouper les x d un c t et les nombres de l autre etc R soudre une quation produit 0 type D Un produit est nul lorsque l un des facteurs est nul on r sout chaque facteur 0 et on trouve toutes les solutions M quation x a type C 7 est il solution de 8x 4 54 xX 2 cas si a est positif 2 solutions a et fa Sia n gatif pas de solution 8x7 4 60 54 7 61 7 n est pas solution Type A 2x 3 x 3 2 Type B 2x 3 0 L quation devient 2x 3 donc x 2 3 Type C X
5. 10 4 8 22 5 3 8 on peut ajouter les entre eux et les entre eux 3 7 2 5 3 7 2 5 8 9 1 3 x 3 20 x 2 8 2 4 x 2 1 x 15 9 40 4 8 15 7 5 11 8 5x 6 Fractions 7 6 7 6 13 8 30 22 Jean Moulin Page 7 3 On calcule 3 120 cela revient diviser par 4 et 3 Qu est ce que de 120 multiplier par 3 R On peut x ou le num rateur et le d nominateur La r gle des fractions gales A par un m me nombre Fraction simplifi e Fraction crite avec les plus petits entiers possibles p Diviser par le m me nombre en haut et en bas Simplifier une fraction Ha jusqu qu on ne puisse plus Ajouter ou soustraire des On les met sur m me d nominateur puis on ajoute fractions les num rateurs _ On multiplie les num rateurs entre eux et les Multiplier des fractions d nominateurs entre eux Diviser une fraction par une o T i On multiplie par l inverse de la deuxi me fraction autre 3 Repr senter d un carr 2 f Calculer 3 de 750 750 3 x 2 500 Compl ter a Z p 3 6 2 7 14 735 3 6 2 10 10 Simplifier 20 et nes PEER 40 21 40 4 2 11 3 Ly Z o7 t 0 66 bi de 2 10 3 car 10 7 e 37 ou ien car 39 7 omparer Z et 7 Paret 3 10 INR 30 3 30 5 1 7 1 15 1 16 21 4 17 15 3 42e 3 9 4 3 9 99 12 19 12 5
6. Si deux droites sont parall le et qu une 3ieme est D et D3 IDA perpendiculaire l une ss A sont perpendiculaires alors elle est perpendiculaire l autre Donc D2 L D4 On sait que ABCD a angles droits Justifier que _ l Si un quadrilat re a angles droits alors c est un AC BD rectangle A B l Donc ABCD est un rectangle D C On sait que ABCD est un rectangle Si un quadrilat re est un rectangle alors ses diagonales ont la m me longueur Donc AC BD Les grands th or mes Th or me de Pythagore Si un triangle est rectangle alors la carr de Ee l hypot nuse est gal la somme des carr s des ses A quoi sert il deux autres c t s AC BC AB Jean Moulin Page 21 Utilisation triangle rectangle avec 2 cot s gt ieme trouver le 3 c t R ciproque de Pythagore A quoi sert elle Si dans un triangle le carr du plus grand c t est gal la somme des carr s des deux autres alors ce triangle est rectangle Utilisation 3 c t s d un triangle savoir si il est rectangle Th or me de Thal s as c B A quoi sert il Si I et J sont sur les c t s de ABC et que IJ BC Alors AIJ est duction de ABC Ta ors AIJ est une r duction de et AB AC BC Utilit Triangles avec des parall les gt calculer une longueur manquante R ciproque de Thal s A quoi sert elle Si A 1 B et A J C align s d t raa
7. Un nombre qui d pend d un autre fa on de passer d un nombre un autre Image d un nombre par une fonction Ant c dent d un nombre par une fonction R sultat donn par la fonction pour ce nombre Nombre de d part qui permet d obtenir ce r sultat par la fonction Notation f x f est le nom de la fonction f x est le nombre associ x par la fonction f 10 r sultat de la fonction si x 10 Jean Moulin Page 3 p Courbe obtenue en pla ant horizontalement Courbe repr sentative de la 3 abscisse les nombres de d part et verticalement fonction abscisse ordonn e ordonn e les r sultats de la fonction fonction qui varie r guli rement expression de la fonction affine et A forme f x a x b sa repr sentation est une repr sentation droite 2 fonction qui repr sente la proportionnalit fonction lin aire et i expression de la forme f x a x sa repr sentation repr sentation est une droite qui part de O0 origine du rep re coefficient directeur pour une ee c est le nombre qui multiplie x fonction affine ou lin aire On consid re la fonction f x x Compl ter un tableau de valeurs entre 0 et5 Repr senter approximativement fentre 0et5 Prix payer en fonction du nombre de trajets avec les tarifs P1 et P2 6 1 2 3 4 5 X a Prix de 4 trajets avec P1
8. _3 3 _12 5 5 5 PIu up Sin Jean Moulin Page 8 Puissances D finition a a a a axaxax xa n fois le a al a a a axa a axaxa P 22 2 1 D finition a al de R a 1 Qu est ce que 10 Qu est ce que 10 10 10 0 n z ros z ros en tout 10 0 0 01 n 2 3 10 2 3 2x5 3 Ecriture scientifique d un Un nombre entre 1 et 10 sauf 10 multipli par nombre une puissance de 10 a n p__n p 2 _ _n p np E a EOR axes 2 lt a 3 af a xa a a a n a n axb D axb a xb Cie 32 9 1 2 27 29 2x 25 50 9 10 10 2 3x10 10 100 000 10 0 001 23000 Ecriture scientifique de 4500 3 z 0 00048 4 5x10 4 8x10 Comparer 1 3x102 4x10 et 9 3x107 lt 1 3x10 lt 4x10 ordre des 9 ep puissances de 10 Simplifier 10 x10 10 10 10 10 100 1000 1100 10 10 E B 10 10 3x10 107 107 9x10 10 10 Jean Moulin Page 9 10 10 Calcul litt ral R duire une expression litt rale 5 4x 3X2 3X 2X2 1 Regrouper les termes identiques les x avec les x les x avec les x 5x2 7x 6 Multiplication avec des lettres 3x x 5x On multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles 3x x 5x 15x On n crit pas les x et on met les
9. 5 x vV50ux V5 Jean Moulin Page 14 Type D 3x 1 x 2 0 3x 1 0 ou x 2 0 donc x 1 3 ou x 2 Adrien a deux fois l ge de Xavier Bernard a trois ans de moins que Xavier eux 3 ils ont 41 ans Quel est l ge de Xavier choix de Traductio Bernard x 3 e Appelons x ge de Xavier l inconnue e ge d Adrien 2x X 2x Xx 3 41 R solution 44 e gt 4x 3 41 gt 4x 44 gt x 7H Conclusion e Xavier a 11 ans 11 22 8 41 3 5 2 5x3 R soudre 8 11 nr x 7x8 56 x 3 66 ne X 7 X X 3 2 3 2 2 7 14 Z3xXx 7T i 7 7 5 5 3 15 9 60 2 4 3 1 1 Astuce tout mettre sur12 x x gt R soudre at Ext o 12 12 6 12 Syst mes d quations Syst mes de 2 quations 2 9x 60 2x 4 gt etc 2 galit s avec 2 nombres inconnus inconnues Trouver les valeurs des 2 nombres inconnus la R soudre le syst me Couple i fois un couple solution x y pour que les deux solution galit s soient justes r soudre un syst me par combinaison multiplier les lignes pour avoir le m me nombre de xX par exemple soustraire les lignes obtenues pour n avoir plus que des y puis trouver y remplacer y par la valeur trouv e dans une galit pour trouver x M thode r soudre un syst me par substitution Exprimer x en fonction de y par exemple partir d
10. E A partir de l angle a trouver directement les angles b c d et e D monstrations cha nons b 50 correspondant l angle a c 50 oppos par le sommet l angle a d 50 a et d sont alternes internes e 180 50 130 a et e sont suppl mentaires Qu est ce qu un cha non d ductif A quoi sert un cha non d ductif Une fa on r diger une justification en trois tapes 1 On sait que iii des infos que l on connait d j nonc ou justifi es 2 Si iii alors ooo une propri t de cours que l on peut utiliser avec ces infos 3 Donc ooo l info que l on a justifi e conclusion de la propri t Que peut on utiliser pour d montrer Uniquement les donn es de l nonc et des propri t s de cours Jean Moulin Page 20 Si deux droites sont perpendiculaires une m me Propri t des 2 perpendiculaires une troisi me dii alors elles sont parall les entre elles Propri t des 2 parall les avec Si 2 droites sont parall les et qu une 3 est une perpendiculaire perpendiculaire l une J En alors elle est perpendiculaire l autre A D Justifier que On sait que AB L AD et IJ L AD 13 AB Si deux droites sont perpendiculaires une m me troisi me alors elles sont parall les Donc IJ AB D1 D On sait que D1 D3 et D2 L D3 Fr D3 JUSUNEFQME D
11. i A LB et J C align s dans cet ordre et si 7B ac alors IJ BC Utilitsation points align s avec les longueurs gt savoir si 2 droites sont parall les Rapport de r duction ou chelle petites mesures Rapport de r duction grandes mesures randes agrandissement ee petites Th or me de Thal s version papillon ui bien partir du sommet principal et respecter l alignement Si A LB et A J C align s et IJ BC alors 21 amp Loi A Lb et A J C alignes e alors AB AC 1 BC C t adjacent de BEA C c t oppos hypot nuse de ABC Adjacent de l angle l angle droit AB c t oppos en face de l angle gt BC Hypot nuse c t oppos l angle droit gt AC Jean Moulin Page 22 cosinus sinus tangente adj _ Opp opp Cos Sin tan hyp hyp ad CAHSOHTOA A quoi sert la trigonom trie 1 1 1 cos sin tan cos sin tan Triangle rectangle avec 1 cot et 1 angle gt trouver les autres cot s triangle rectangle avec 2 cot s gt trouver les angles Trouver IJ et BC 0 1 pr s 1 IJK est rectangle en K 2 Par Pythagore IJ IK KJ 3 1J2 72 42 49 16 65 4 U 465 8 06 8 1cm 1 ABC est rectangle en B 2 Par Pythagore BC AB AC 3 BC 12 10 144 100 44 D montrer que AB L AC 1 BCest le
12. soient inf rieures milieu de la s rie Q valeur juste apr s le 1 quart de la s rie Q3 valeur juste apr s le 3 quart Effectif 22 nombre de valeurs Etendue 47 50 3 7 11 20 11 22 z 17 18 Moyenne S rie ci dessus 1 quartile m diane 3 quartile 1 F 1 22 5 5 gt 6 valeur Q 8 classer les valeurs dans l ordre 1 p 7 5 22 11 gt m diane entre 11 7 et 12 M diane 13 5 entre 13 et 14 3 m z x 22 16 5 gt Q 17 valeur Q 20 Jean Moulin Page 5 19 anglais 12 fran ais 7 A F M IR total marocains 2 russes nombre 19 12 7 2 40 ER R aliser un diagramme circulaire des nationalit s angle 171 108 63 18 360 Moyenne de ces notes Effectif total 1 1 2 2 3 2 11 notes Effectif 4 3 1 012345678910 Otes Moyenne PERRIER PRE 4 54 Probabilit s Tirage au sort Exp rience al atoire M PERE Liste d issues qui ont chacune autant de chance Liste d issues quiprobables darri arriver nb d issues favorables nb total d issues sont quiprobables Formule Probabilit d un valable si les issues v nement Lien entre fr quences r elles et probabilit s Pour un tr s grand nombre de tirages les fr quences constat es se rapprochent des probabilit s Probabi
13. une des galit s puis remplacer dans l autre Jean Moulin Page 15 Est ce que 5 7 X 3y 26 est solution s 2xX V 17 de ce syst me galit pour obtenir une galit avec seulement des Vans on remplace x par 5 et y par 7 et on teste les 2 galit s 5 3x7 26 oui 2x5 7 17 oui 5 7 est bien solution R soudre par a 5x 3y 62 S combinaison 2x 7y 48 10x 6y 124 1 1 x2 ona appel 1 et2 lek galit s S 10x 35y 240 2 2 x5 2 1 y 4 35y 6y 240 124 29y 116 gt On remplace y par 4 dans 2 2x 7x4 48 gt gt x 10 La solution est le couple x 10 y 4 R soudre par substitution D apr s 1 x 66 7y 1 On remplace dans 2 3 66 7y 2y 65 ainsi 198 21y 2y 65 gt 19y 133 gt y 7 On remplace y par 7 dans 1 x 66 7x7 17 La solution est le couple x 17 y 7 Jean Moulin Page 16 Figures et constructions G om trie triangle rectangle isoc le quilat ral triangle rectangle Droites parall les droites droites qui ne se coupent jamais m me inclinaison perpendiculaires droites droites qui se coupent en angle droit droites qui s cantes se coupent peu importe l angle 3 aaa Triangle qui a 2 c t s gaux au moins triangle qui Triangle isoc le triangle a ses 3 c t s de m me taille triangle qui a un angle droit t
14. Nom Pr nom Classe Ce qu il faut retenir en math matiques la fin du coll ge Mode d emploi chaque notion du coll ge est tri e par th mes Il y a d abord les connaissances de cours en gras puis des exemples Il y a trois types de connaissances de cours des d finitions expliquer pr cis ment le sens d un mot des propri t s ou formules affirmations ou galit s toujours vraies des m thodes expliquer comment proc der les connaissances de cours qui seront apprendre au cours de la classe de troisi me sont en italique Toutes les autres connaissances doivent tre maitris es d s le d but de l ann e Jean Moulin Page 1 Organisation de donn es Probl mes Principe pour trouver un probl me Qu est qui sert dans l nonc Que puis je calculer avec mes donn es Est ce utile Que me faudrait il pour mon r sultat Comment le trouver Quelle formule peut servir On se pose des questions Principe pour r diger probl me Bill commence un livre qui a 188 pages Il lit environ 30 lignes en une minute Il d cide de lire 20 minutes par jour Il compte que chaque page a 77 combien de lignes Dans semaines aura t il fini Proportions Unit s Deux grandeurs sont proportionnelles Lire et comprendre le probl me Entourer les informations importantes Faire un sch ma ou des calculs Ecrire la phrase r ponse lignes
15. chiffres en premiers D velopper Ecrire sans parenth ses Supprimer une parenth se apr s un apr s un signe 3 2x 5 on peut supprimer la parenth se 3 2x 4 3 2x hs Supprimer une parenth se apr s un apr s un signe 3 2x 5 on distribue le signe on enl ve la parenth se en changeant les signes 3 2x 4 3 2x 5 Supprimer une parenth se multipli e par un nombre 3 5x 7 distributivit simple on r p te la multiplication a b c ab ac donc 3 5x 7 15x 21 Supprimer deux parenth ses multipli es Calculer A 5x 2 si x 4 B 3x 2x si x 10 double distributivit a b c d ac ad bc bd on multiplie chaque nombre de la 1 parenth se par chaque nombre de la 2 A 5x4 2 22 B 3x 10 2x 10 3x100 20 320 3a 5 3a 2a a 1 3 2a a a 4a 5a 6 ne change pas ne change pas 3ax5a F 3ax 2a 2ax5 15a 10a 6a Jean Moulin Page 10 2 a 5 2a 7 a 2 a 5 2a 7 a 4 43 2 5a 3 3a 2a 4 10a 15 6a 12a 2a 3 3a 4 6a 2 8a 9a 12 6a 17a 12 2 3 4x 5 2x 5 10 2a 5 10a 2 Calcul litt ral et raisonnement Pour tester une affirmation 2 12x 15 2x 5 10x 18 10 20a 4a 50a 10 10 20a 4a 50a 10 20a 46a 20 On essay
16. du livre 188 x 77 14476 Chaque jour il lit 20 x 30 600 ligne 14476 600 24 1 donc 25 jours 25 7 3 5 donc il aura fini dans 4 semaines Quand on multiplie l une par un nombre l autre est multipli e par le m me nombre Si on repr sente l une en fonction de l autre on a une droite passant par l origine du rep re Produit en croix Si on a un tableau de proportionnalit le nombre inconnu est gal au produit des nombres en diagonale divis par le troisi me nombre 3 Formules vitesse temps distance 7 ballons co tent 11 Prix de 5 ballons V D T T D V D TxV 7 ballons gt 11 5 ballons 211 x 5 7 55 7 7 85 Jean Moulin Page 2 16 min pour faire 400 m Temps pour 3 2 km 16 min gt 400m pour 3 2 km 3200 m gt 16 x 3200 400 128 min Pourcentages Calculer a d un nombre 17 On calcule a 100 x le nombre 17 de 150 100 x150 25 5 Calculer rapidement une hausse de a Calculer rapidement une baisse de a On multiplie par 1 T 500 augment 17 50 x 1 17 X 100 00 baiss de 17 50 On multiplie par 1 x0 83 d une partie de baisse ou de hausse partie 4 H eR o Total 10 11 filles 4 gar ons x 100 26 6 15 de gar ons variation nombre de d part 100 18 de hausse 2 x 100 hausse de 11 13 11 x Fonctions Fonction
17. e avec un exemple Mais a ne prouve rien Pour d montrer qu une affirmation est fausse On peut trouver un contre exemple Pour d montrer qu une affirmation est juste On peut remplacer les nombres inconnus par des lettres Des exemples ne prouvent pas D montrer que deux expressions litt rales sont gales ex tester 5x 25x On peut les simplifier chacune et arriver au m me r sultat Six 10 5x 50 2500 et 25 x 25x10 2500 C est juste sur cet exemple Est ce que si on ajoute 4 un nombre son carr augmente de 16 Non contre exemple x 3 32 9 3 4 72 49 il y a une hausse de 40 Multiplier par 3 puis ajouter 12 puis diviser par 3 Ce programme revient il toujours ajouter 4 Il faut d montrer on prend x comme nb de d part x gt 3x gt 3x 12 gt x 4 oui cela revient ajouter 4 D montrer quex x 1 2x x 1 x 3x 1 x x 1 2x x 1 x x 2x 2x 3x x x 3x 1 3x x l galit est bien juste 1 Exprimer en fonction de x l aire et le p rim tre du rectangle Pagco 2XX 2x x 5 2x 2x 10 4x 10 A x 2 B Jean Moulin 2 Exprimer en fonction de n le prix Angco X x 5 x 5x payer pour une raquette 50 etn balles 1 5 Factorisation et identit s remarquables Identit s remarquables Prix payer P 50 1 5 n a b a 2ab b a b a
18. lit d v nements successifs a dans un sac 7 rouges 3 vertes 2 noires probabilit de tirer une noire b Probabilit de tirer un roi dans un jeu de 32 Pour des v nements ind pendants A puis B est P A xP B la proba de 1 Proba de tirer une noire 6 z 0 166 16 6 de chances Proba de tirer un roi 3z 12 5 de chances Jean Moulin Page 6 Nombres et calculs Priorit s et relatifs R gles de priorit dans un calcul 1 Parenth ses 2 Puissances 3 x et 4 et de gauche droite M thode pour calculer 1 R fl chir avant d agir priorit formule 2 Relire au fur et mesure Explication des additions avec des relatifs ex 7 3 et 7 2 gagn perdu et on fait le bilan 7 3 10 perdu 7 et perdu 3 perdu 10 7 2 5 perdu 7 et gagn 2 perdu 5 Ajouter 2 nombres n gatifs r gle rapide Signe n gatif et on ajoute les nombres 7 3 10 Ajouter un positif et un n gatif r gle rapide Signe du plus grand et on soustrait les nombres 7 2 5 Simplifier deux signes qui se suivent ou gt signe ou gt signe Multiplier ou diviser des relatifs A 2 5x 1 2 B 50 2 x 5 2 Deux signes ou deux signes gt signe un et un gt signe A 2 5x3 2 15 17 B 50 2 x3 50 2x9 32 3 7 3 7 10 2 7 9 10 5 3
19. ment k lt 1 r duction alors les aires sont multipli es par k et les volumes par k Vpav 10x3x4 120 cm Vube 5 125 cm Voyindre TTR2xh T x1 5 x6 13 57 42 4 cm 4 3 gt 4 3 1 3 Vboule 3 MR 73xTx 0 5 zT 0 523 cm Volume unit cm SO 15 1 1 Vpyramide 3 x B x h 3 8x6x 15 240 cm 1 1 60 Vec ne 3 nR xh 37 x42x10 Fa 53 3 cm x10 360 cm 6x12 Vbrisme Bxh 2 Le grand c ne fait 18 cm de haut et a un volume de 300 cm On le coupe 8cm du sommet i 8 Le petit c ne est une r duction de rapport 18 8 Son volume est donc 300 x T 26 3 cm Jean Moulin Page 26 Volume du petit c ne R aliser un patron de ces volumes F Conversions Conversions masses volumes distances 1 km 1000 m 1m 100 cm 1cm 10mm 1 kg 1000 g 1 tonne 1000 kg 1 litre 1000 cm 1m 1000 litres 1litre 1 dm 4 heures pour 57 km Vitesse moyenne 7 7 v 27 1425 km h T 3 18h Temps pour 70 km si on roule 22km h 3h11min 2h 30 64km h Distance P 64 2 5 160km parcourue 5 3 km 5300 m 120m 0 12 53km m 120m km km 1000 35cm m 2km cm 35cm 0 35 m 100 2km 200 3 7 tonnes kg 40 gramme kg 000 cm 3 7 tonnes 3700 kg 40 grammes 0 040 kg 1000 3h25 min 1h 3h25 205 min 1h 3600 seconde
20. plus grand c t de ABC facultatif 2 BC 17 289 2 calculs s par s 1 a AB AC 152 82 225 64 289 B 17 C 1 C A B et C E D sont align s et AE BD Calculer BC 0 1cm pr s 2 Par Thal t incipal ar Thal s zB Cp somme principal AE BD A points align s 1 3 mas c 12 E 5 D J AM Gp I7 4 D cB HY 487 eds 15 6 onc p p7 15 6 cm DE AC calculer BC 1 D B C et E B A sont align s dans cet ordre et DE AC Jean Moulin Page 23 BD BE DE 2 Par Thal s sommet principal points BC BA AC align s 13 2 15 6 DE 3 BC 13 Ac Ne pas se tromper dans les longueurs 13 2x13 4 Donc CB 15 6 11cm D montrer que BE CD 1 A B C et A E D sont align s dans cet ordre AB 13 2 132 6 2 a AC 15 4 1547 2 calculs s par s AE 12 6 b calculs en fractions 3 Par la r ciproque de Thal s les droites BE et CD sont parall les C Calculer BC 0 1cm pr s A BC Le triangle ABC est rectangle en C sin AB donc sin 33 5 et ainsi BC 8xsin 33 4 357 4 4 cm 9 Si tan zy due vaut A a 9 tan Go 24 22 24 Jean Moulin Page 24 Grandeurs et mesures P rim tre Aire P rim tre d une figure Aire d une figure Longueur du tour de la figure pour un polygone somme des c t s Mesure de la su
21. rface l int rieur de la figure P rim tre et aire d un rectangle P 2x largeur 2x longueur A largeur x longueur Aire d un triangle Aire d un triangle rectangle Bxh Fe 2 BCxBA 2 B base h hauteur associ P rim tre d un cercle Aire d un disque P rim tre et aire de ces figures B EZA D C Pcercle 2TR R R rayon du cercle Adisque TT X Pasco 2x3 2x7 20 cm 2 Aagcp 3x7 21 cm Prec 3 4 5 12 cm cm 21x8 PH 10 17 15 6 48 cm 2 A m cm P rim tre et aire de ce disque O P disque 2 MR 2xnx3 6n 18 8cm 6 A disque T R T x 3 On 28 3 cm Rayon 6 2 3 Aire de cette figure Volume 1 2e A demie cercle X Tl 2 5 A rectangle 7 5x15 75 cm 2 5x8 9 81 A triangle 3 5 20cm 2 A figure 75 9 81 20 104 81 cm Jean Moulin Page 25 Volume d un pav volume d un cube Vhav x L x h Veube a a A c t Volume d un cylindre volume d un c ne Veylindre ETX R x h Vene 7 X nR x h R rayon IH du cercle Volume d un prisme volume d une pyramide 1 Vbrisme Bxh Vhyramide 3 x Bxh B Abase h hauteur Volume d une boule 4 3 Vboule LE R Agrandissement et r duction de surfaces ou de volumes Volume unit cm A cube gt gt si les longueurs sont multipli es par k k gt 1 agrandisse
22. riangle qui a un angle droit et 2 c t s de m me taille Quadrilat re polygone r gulier polygone Figure avec 4 c t s ferm e et non crois e figure plusieurs c t s droits polygone dont tous les c t s et tous les angles ont la m me mesure Trap ze Parall logramme Losange Rectangle Carr Trap ze quadrilat re qui a au moins deux c t s parall les Parall logramme quadrilat re qui a ses c t s oppos s parall les Losange quadrilat re qui a ses 4 c t s de m me taille Rectangle quadrilat re qui a 4 angles droits Carr quadrilat re qui a 4 angles droits et 4 c t s gaux M diatrice d un segment Bissectrice d un angle m diatrice droite qui coupe le segment en son milieu perpendiculairement bissectrice droite qui partage un angle en deux angles identiques Hauteur d un triangle hauteur droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au c t oppos M diane d un triangle m diane segment qui relie un sommet au milieu du c t oppos Rayon d un cercle Du centre au bord du cercle tous les rayons ont la m me longueur Diam tre d un cercle Partage le cercle en deux en passant par le centre Jean Moulin Page 17 Tangente un cercle gal deux rayons Droite touchant le cercle en un seul point elle est perpendiculaire au rayo Sym trique d un point A par rapport O
23. s secondes 24min heure 3 4h 3h 24min 0 4 heure 24 60 3 1h 3h 06 minutes min 0 1x60 Jean Moulin Page 27 En 1 seconde 100 9 5 amp 10 5263 m 100m en 9 5 seconde Vitesse moy en km h En 1 heure 10 5263x3600 37894m vitesse moyenne 37 894 km h Jean Moulin Page 28
24. soc le quilat ral rectangle rectangle isoc le Somme des angles 180 angles gaux quilat ral 3 angles de 60 rectangle isoc le 2 angles de 45 un de 90 triangle isoc le 2 triangle rectangle les angles aigus font 90 eux deux Propri t point sur un demi Si un point est sur un demi cercle alors le triangle qui cercle le relie au diam tre est rectangle Propri t angle inscrit dans Si A B C sont sur un cercle de centre O BAT z BOCE Ur eNIE valable si BAC est aigu Propri t 2 angles inscrits dans un cercle Trouver les angles dans chaque triangle AAY Si A et A sont sur le m me arc BC BAT BAT triangle 1 x 180 75 45 60 triangle 2 x 180 2x72 36 triangle 3 x 180 50 2 65 Jean Moulin Page 19 V triangle 4 x 90 62 28 triangle 5 x 60 car c est un triangle quilat ral Que peut on dire de l angle C c Justifier o A B la figure est un demi cercle On sait que C est sur le demi cercle de diam tre AB Si un point est sur un demi cercle alors le triangle qui le relie au diam tre est rectangle Donc ACB est un triangle rectangle C est un angle droit A AOC 130 ABC 65 propri t de l angle inscrit dans un cercle DFG DEG 50 propri t s des 2 angles inscrits Les droites fonc es parall les C
25. ste 24 48 24 2 reste 0 le PGCD est 24 Faire le maximum de sacs identiques en r partissant 48 boulets et 360 billes On calcule le PGCD de 48 et 360 24 On peut faire 24 sacs car c est le plus grand nombre qui divise 48 et 360 28 et 38 sont ils premiers entre eux 12 et 35 sont ils premiers entre eux Racines carr es Racine carr e d un nombre positif Non car ils sont tous les deux divisibles par 2 Oui pas de diviseurs commun Le nombre positif dont le carr redonne le nombre de d part Liste des racines carr es gale un entier Racines des carr s 1 4 2 o 3 1 16 4 25 J36 45 64 81 V100 ax a hla 2 Ja x b Ja b Vaxya a Va a Va xb Vab Comment simplifier une racine 175 a 9 1 16 25 36 100 1 50 D composer en 2 racines avec la 1 juste 1 75 4 25 4 3 54 3 qui tombe 2 3 4 5 6 10 4 50 7 1 car 7x7 49 Simplifier 1 27 1 12 8 50 1 27 1 9 3 3 3 4 12 V4 4 3 2 3 81 50 8 y v 2 40y43 34 5 2 61 5 3 9 5 3 2 on peut juste regrouper les racines de 5 entre elles 342x 52 543x442 10x2 20 20 6 on x les chiffres entre eux et les racines entre elles 24 5 3 34 5 1 6x5 2 4 5 9 4 5 3 114 5 33 Jean Moulin Page 13 24 5 3 Equations in quations Equations

Ce qu`il faut retenir en mathématiques à la fin du collège

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