05. Épreuves en poule
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1. PREUVE EN POULE 3 5 PAGE 117 PREUVE EN POULE Q1 Comme on veut qu chaque journ e toutes les quipes soient sur le pont une condition n cessaire l mentaire est que le nombre d quipes soit pair Mais rien ne prouve encore que cette condition soit suffisante Si le nombre d quipes est impair la parade consiste ajouter une quipe fant me qu on traitera comme les autres dans le mouvement si ce n est qu chaque journ e son adversaire d sign sera exempt c est dire dispens de jouer un match Le nombre d quipes tant 2n chaque quipe devra jouer tour de r le l une des 2n 1 autres lors de chaque journ e Il y aura donc 2n 1 journ es Chaque journ e verra se disputer n matchs concernant chacun 2 des 2n quipes Il y aura donc en tout 2n 1 n matchs Q2 On v rifie d abord que lors de chaque journ e les 6 quipes apparaissent c est dire qu aucune n est impliqu e 2 fois puis que A rencontre successivement chacune des 5 autres puis que B ren contre C D E et F on a d j v rifi la rencontre A B puis que C rencontre D E F puis D contre E et F puis E contre F Q3 Lors de la 1 journ e la disposition des quipes est telle que la somme des num ros des 2 quipes install es chaque table est la m me 2n 1 L une des quipes celle de la rang e du bas a le m me num ro que la table Les 2 quipes de la table E sont donc iet 2n 1 i la questi2. ment pair ou simultan ment impair Ensuite si l une prend un virage avant l autre elles vont se retrouver sur la m me rang e donc forc ment sur des emplacements diff rents Ensuite quand elles auront vir une fois chacune elles se retrouveront de nouveau sur des rang es dif f rentes mais forc ment l une aura pris le virage de droite qui ne fait pas changer la parit de l emplacement passage de E E et l autre le virage de gauche qui fait changer de parit passage de E E donc tant qu elles resteront sur ces rang es elles seront cette fois sur des emplacements de parit diff rente et ne pourront pas se rencon trer Elles ne pourraient ensuite se rencontrer qu apr s avoir pris cha cune un 2 virage et cela interviendrait apr s avoir effectu un tour complet c est dire 2n journ es apr s leur rencontre initiale trop tard puisque la poule n a que 2n 1 journ es On a vu qu aucun match ne peut se r p ter Chaque quipe rencontre donc 0 ou 1 fois chacune des 2n 1 autres quipes On focalise sur une quipe supposons qu il y en ait j qu elle rencontre 0 fois et 2n 1 j 1 fois cela lui ferait un nombre total de matchs disput s de 0 x j 1 x 2 n 1 j 2n 1 j or elle a disput 1 match chacune des 2n 1 journ es c est donc que j 0 Chaque quipe a bien rencontr une fois et une seule chacune des autres LES MATH MATIQUES DU BRIDGE PREUVE EN POULE Q4 On va
3. on 2 on a 6 quipes soit n 3 tables En faisant jouer Lieu 1 2 et 3 le r le des emplacements du sch ma et en num rotant de 1 6 les quipes F on v rifie qu au match 1 les quipes occupent bien les places indiqu es sur le sch ma que l quipe F reste en permanence l emplacement 1 et que les 5 autres tournent en rond conform ment au sch ma L quipe 2n immobile voit d filer en face de son emplacement E chacune des 2n 1 autres quipes dans l ordre d croissant 1 2n 1 2n 2 3 2 Cette r gularit assure qu elle ne peut en rencontrer aucune plusieurs fois et le d fil s arr te au num ro 2 puisqu ilya2n 1 journ es PROBABILIT S DU COLL GE AU LYC E 35 PREUVE EN POULE On prend une quipe mobile quelconque i on sait d j que cette quipe rencontre une fois et une seule l quipe fixe 2n prenons une autre quipe mobile j si i etj ne se rencontrent jamais forc ment a ne fera pas plusieurs fois Sinon elles vont se rencontrer une premi re fois une certaine journ e ce moment l elles sont sur le m me emplacement l une dans la rang e du haut l autre dans celle du bas les journ es suivantes tant qu aucune des 2 ne changera de ran g e elles vont se d placer en sens inverse et s loigner et comme elles se d placent d une case chaque fois elles seront simultan ment toutes les 2 sur un emplacement de m me parit simultan
4. rier on a appliqu consciencieusement le mode d emploi pour 4p quipes On a rang les 8 quipes de 1 8 par ordre alphab tique Les 3 premi res journ es correspondent 2 poules ind pendantes la 1 regroupant les quipes 1 4 et la 2 les quipes 5 3 r r PROBABILITES DU COLLEGE AU LYCEE 35 PREUVE EN POULE 8 Les 4 derni res journ es voient chaque match opposer une quipe de la poule 1 initiale une quipe de la poule 2 On a 3p 1 quipes D abord on remarque que p est impair puisque 3p 1 doit tre pair On s pare les quipes en 3 groupes A B et C de p plus une quipe dite pivot et le calendrier comprendra 3 phases 1 phase l quipe pivot se joint au groupe A pour former une mini poule de p 1 quipes p 1 est bien pair qui va d rouler tous ses matchs en p journ es En m me temps chaque quipe du groupe B rencontre chaque quipe du groupe C ce qui occupe aussi p journ es Les 2 et 3 phases se d roulent selon le m me sc nario avec le pivot qui se joint au groupe B puis au C pour disputer une poule tandis que les 2 autres groupes jouent l un contre l autre Au total 3 phases de p journ es chaque quipe a jou contre les 3p autres et on peut faire disputer chacune des trois phases en seulement deux lieux distincts EXTENSIONS POSSIBLES DE L ACTIVIT En guise de travail compl mentaire il peut tre demand de triturer un calendrier
5. s parer les 4p quipes en 2 groupes de 2p quipes et le calendrier en 2 phases gt 1 phase Chaque groupe de 2p dispute s par ment une poule par exemple selon le sch ma de la chenille Cette phase dure donc 2p 1 journ es gt 2 phase Chaque quipe d un groupe va jouer un match contre chacune des 2p quipes de l autre groupe le mouvement est simple mettre en uvre les quipes du 2 groupe d filent la queue leu leu devant les quipes immobiles de l autre groupe Cette 2 phase dure 2p journ es ce qui en fait 4p 1 en tout et chaque quipe a rencontr 1 fois chacune des autres L int r t pratique est que la 1 phase peut se d rouler en 2p 1 journ es situ es en deux lieux distincts un pour chaque sous poule M journ e journ e 3 journ e 4 journ e Bourgoin Agen Bourgoin B ziers Bourgoin Albi Agen Carcassonne B ziers Albi Albi Agen Agen B ziers Albi Colomiers Mont de Marsan Mont de Marsan Mont de Marsan B ziers Carcassonne Montauban Colomiers Montauban Montauban Colomiers Carcassonne Bourgoin Colomiers Carcassonne Montauban Mont de Marsan 5 journ e 6 journ e fjourn e Agen Agen Montauban Agen Colomiers Mont de Marsan Albi Mont de Marsan Albi Montauban Albi Carcassonne B ziers B ziers B ziers Colomiers Carcassonne Mont de Marsan Bourgoin Bourgoin Bourgoin Montauban Colomiers Carcassonne Pour construire ce calend
6. type une fois qu il est tabli pour prendre en compte des contraintes pratiques par exemple faire en sorte que tous les derbys aient lieu lors de la 1 journ e ou que les 2 favoris se rencontrent lors de la derni re etc LES MATH MATIQUES DU BRIDGE gt
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