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1. 4t t 1 2t 1 6t t et la recherche des z ros du facteur quadratique ne pose pas de probl me Ainsi le tableau des signes de cette d riv e est 3 V3 1 3 V3 tlo 3 5 t 1 ORLAN To C 0 0 0 0 0 et nous en concluons que rg t est maximal pour t av En substituant ces valeurs dans 2 nous obtenons encore un calcul p nible ro 33 y6 71 12V2 1 000 272530 pour un rayon d un m tre l cart entre le cercle et la courbe de B zier est partout inf rieur trois dixi mes de millim tre La fig 6 repr sente la fonction re sur l intervalle 0 1 ainsi que re pour deux valeurs de 0 encadrant 66 ro t x 1 0003 0 5525 b 1 0002 0 0 5520 1 0001 gt 1 t 0 9999 FIGURE 6 Trois courbes r t 4 Gagner encore en pr cision l examen de la fig 6 nous r alisons qu en diminuant l g rement la valeur de 0 par rapport o nous allons diminuer la valeur maximale de rg et que tant que sa valeur minimale en t 1 2 ne sera pas plus loign e de 1 que sa valeur maximale cette diminution sera profitable Reprenons 1 pour calculer la distance de ce point l origine nous obtenons ro t y1 1 t 2 2 30 212 2 2 30 2t 3 302 26 2 Alors r2 t 6t 1 t 1 2t 2 30 t 2 30 t 30 20 2 qui a les racines att2. la liste de points Po P1 Pa notons comme ci dessus P t le point courant de la courbe de B zier d ordre n 2 d termin e par cette liste Notons aussi Q t le point courant de la courbe de B zier d ordre n 1 d termin e par P6 Ph 1 et R t celui de la courbe de B zier d ordre n 1 d termin e par P1 Ph Alors non seulement P t est le barycentre des points Q t et R t affect s respectivement des masses 1 t et t mais en outre B est enveloppe des droites Q t R t fig 2 P FIGURE 2 Une courbe de B zier d ordre 3 construite de deux mani res partir de courbes de B zier d ordre 2 Dans l environnement tikzpicture la commande drawP controlsP andP P3 trace la courbe de B zier d ordre 3 d termin e par Po Pi P2 P3 Attention la commande courte drawP controlsP Ps ne trace pas la courbe de B zier d ordre 2 d termin e par Po P P2 mais bien la courbe de B zier d ordre 3 d termin e par Po Pi Pi P2 2 Approximation du cercle Nous allons maintenant tenter d approcher au mieux par une courbe de B zier d ordre 3 le quart du cercle unit situ dans le premier quadrant Appe lons B et C respectivement les points 1 0 1 1 et 0 1 Il est clair que la courbe que nous cherchons construire sera d termin e par une liste de la forme A Q R C avec Q AB et R C B de plus pour des raisons de sym trie l ordonn e
3. du faux cercle par rapport au vrai ne cr ve pas les yeux En fait si l exp rience est reprise avec un cercle de 25 cm de rayon et des traits de 0 3 mm et 0 1 mm une quasi disparition de la bande ext rieure est observ e en deux endroits en m me temps qu un renforcement 97 18 FIGURE 5 Le vrai en noir et le faux en blanc version critique de la bande int rieure aux environs des angles polaires de x 9 et de 77 18 La partie sup rieure d un tel quart de cercle est repr sent e sur la fig 5 Analysons la situation Nous avons foo t 1 7 4V2 6 42 4 V2 1 t 11 82 2 6 4V2 5 la distance de l origine ce point calcul b te et p nible est 1 2 17 12V2 t 12 17 12V2 t ro t 26 17 12 2 4 24 17 12 2 5 8 17 12V2 3 2v2 V17 12V9 262 1948 2664 2445 845 2 Pour en rechercher les extr mums observons qu une fonction positive a un ex tr mum en un point si et seulement si son carr a un extr mum en ce point Nous sommes donc amen s d river 2 t Too t 17 122 2t 12t 26t 24t 8t 3 2V2 nous obtenons comme d riv e Gay m0 4t 36t 10443 12044 484 3 2 2 Or pour des raisons de sym trie nous savons que cette d riv e doit s annuler pour t 0 pour t 1 2 et pour t 1 C est donc sans trop de peine que nous obtenons Too t 2 2 6 fi i 28
4. Faussair cl es Pascal Dupont 29 mars 2010 Pour agr menter vos textes crits en ETEX de figures bien l ch es une pos sibilit est d utiliser le module TikZ Apr s une phase d apprentissage pour maitriser le b haba de sa syntaxe on appr cie sa souplesse et sa puissance Par exemple le code begin tikzpicture scale 2 thick coordinate D at 0 0 coordinate P at 40 1cm coordinate C at P 0 coordinate S at P 0 draw gt 1 1 0 1 2 0 nodel below x draw gt 0 1 1 0 1 2 node left y draw 0 circle i1cm draw D P node above right P fil1 P circle 2mm draw dashed S node left sin alpha C node below cos alpha draw gt 25 0 arc 0 40 25cm nodel right 7mm alpha end tikzpicture y m X FIGURE 1 Exemple de figure produite par TikZ vous fournira la fig 1 Mais le but de ce texte n est ni de vous apprendre le mode d emploi de TikZ ni de vous convaincre de l adopter Simplement je voudrais r fl chir avec vous une petite phrase qui se trouve dans le manuel 2 p 67 A circle can be approximated well using four B zier curves Autrement dit quand on demande TikZ de tracer un quart de cercle c est en fait une courbe de B zier d ordre 3 qu il dessine Apr s un l gitime moment de surprise nous reprenons le dessus et nous nous interrogeons 1 Quelle est la courbe de B zier d ordre 3 qui approxime au m
5. de Q et l abscisse de R doivent co ncider Notons 0 leur valeur commune ainsi la courbe que nous cherchons sera d termin e par le seul param tre 0 Notons g la courbe obtenue lorsque Q 1 0 et R 0 1 La fig 3 repr sente quelques unes de ces courbes pour les valeurs de 0 allant de 0 l int rieur 1 l ext rieur par pas de 0 1 et le quart de cercle en arri re plan Nous voyons d ores et d j que le 0 recherch se trouvera quelque part entre 0 5 et 0 6 un rien plus pr s de ce dernier et que la cause est loin d tre FIGURE 3 De Zo PB perdue Une repr sentation param trique de Z9 est PAO AA HAH CHA tP GPU HR D C 1 t 1 0 3t 1 1 0 387 1 t 0 1 0 1 1 3 0 1 2 30 t 304 3 1 20 t 30 2 t 1 3 La m thode plouc Une premi re id e passablement simpliste est de demander f9 1 2 d tre distance 1 de l origine Comme fo 1 2 1 2 30 8 1 2 30 8 un calcul simple montre que ceci quivaut la condition 0 bo V2 1 0 55228 Sur la fig 4 nous avons trac le vrai quart de cercle avec quatre centim tres pour rayon en trait noir d un millim tre de large puis nous lui avons super pos la courbe Z en trait blanc d un tiers de millim tre Le moins que l on PO XX FIGURE 4 Le vrai en noir et le faux en blanc puisse dire c est que la d viation
6. endues 0 1 2 et 1 en lesquelles r4 est localement minimale et 3 ET w gt 2 30 qui maximisent rg condition que soit inf rieur 2 v 34 5 0 55396 pour de plus grandes valeurs de 0 r a un maximum et non plus un minimum en 1 2 Nous obtenons 30 4 ro roD TE et PA 30 1 r ax rot msn V3 803 1202 240 8 La valeur cherch e de 0 est celle pour laquelle rex E e 3 soit 5 30 1 8V2 4 30 304 803 1202 240 8 2 30 2 v 4v2 0 doit donc satisfaire 2 32 30 1 2 394 80 120 249 8 2 30 8V2 4 30 soit apr s d veloppement 13506 432 4 9V2 95 72 89 72V2 94 32 557 108 V2 03 48 451 192V2 0 384 29 14V2 0 1024 2 V2 0 4 Cette quation ne se laisse r soudre que par des m thodes num riques Ses deux seules racines r elles sont 55 398 et 01 0 551915 la premi re n est cependant pas solution de 3 et se trouve de toute mani re hors de l intervalle 0 1 la seconde est celle que nous cherchons Nous avons rpn 0 999 803 923 530 et rg 1 000 196 076 469 ainsi dans l approximation par g d un cercle d un m tre de rayon l cart sera partout inf rieur deux dixi mes de millim tre en plus ou en moins Et on reste l int rieur de cette tol rance de 2 pour 10000 pour tous les 0 compris ent
7. ieux un quart de cercle 2 Et quel est alors l cart entre le cercle et son ersatz Nous pourrions galement nous demander quelle est la justification de cette mani re de faire Parmi les raisons imaginables il y a le principe d conomie se ramener au cas pr c dent puisque TikZ propose de toute mani re les courbes de B zier et surtout le fait que les repr sentations param triques de ces courbes des polynomes cubiques sont plus simples que celles du cercle m me si celui ci admet des repr sentations rationnelles plus simples que les repr sentations trigonom triques ou irrationnelles les plus couramment utilis es L int r t de cette question peut paraitre assez mince pour justifier une pu blication j en conviens volontiers Et ce d autant que sa r solution contient certains moments des calculs assez fastidieux le d veloppement d un polynome du sixi me degr dont les coefficients se trouvent dans Z v2 Javoue que je me suis fait aider certains moments d un esclave cf 1 mais en principe tous les calculs se font la main De plus et c est ce qui mes yeux sauve le probl me les d riv es de ces polynomes admettent trois facteurs du premier degr ais ment identifiables de sorte que la recherche de leurs z ros se ram ne la r solution d une quation du second degr Ce n est que la toute derni re quation 4 dont la r solution passe par des m thodes num riq
8. re 0 55191 et 0 55192 Le gain en pr cision par rapport o n est cependant pas tr s important C est le mieux que nous puissions obtenir comme approximation d un quart de cercle par une courbe de B zier d ordre trois Nul doute que ce soit am plement suffisant pour toutes les applications graphiques Mais on peut noter que l approximation effectivement utilis e par TikZ est moins bonne que cela Apparemment la valeur de 0 qu il adopte est voisine de 0 555 R f rences 1 Pierre LECOMTE Le math maticien et ses esclaves ditions de l Univer sit de Li ge coll Si les math matiques m taient cont es Li ge 2009 162 pp ISBN 978 287456 080 4 Till TANTAU The TikZ and PGF Packages Manual for Version 1 01 disponible sur http sourceforge net projects pgf 2 3 http fr wikipedia org wiki Pierre B zier 4 http rocbo lautre net bezier pb indus htm 5 http paris blog lemonde fr 2007 09 15 1es courbes de pierre bezier ont redessine le monde 6 Les sites mentionn s ont t consult s en date du 29 03 10 http www le boite com idee htm
9. ues qui ne seront pas d taill es 1 Courbes de B zier Il est sans doute bon avant d aller plus loin de dire quelque mots de cette famille de courbes introduites par Pierre B ZIER 1910 1999 ing nieur la R gie Renault Le but de ce petit texte n tant pas de faire un cours sur ces courbes nous nous limiterons l essentiel et ne donnerons pas de d monstra tions Pour en savoir un peu plus sur la biographie de B zier et les circonstances qui lont amen introduire ses courbes voir p ex 3 4 5 ou 6 D finition Si P P1 P est une liste de points d un espace affine la courbe de B zier dite d ordre n Z d termin e par ces points est le lieu du point P t barycentre des Py affect s respectivement des masses 7 1 4 lorsque t parcourt l intervalle 0 1 Les justifications des propri t s mentionn es ci dessous sont de simples exer cices sur les repr sentations param triques de courbes Pour t 0 toutes les masses sont nulles sauf celle de P qui vaut 1 donc P 0 P et lorsque t 1 toutes les masses sont nulles sauf la derni re qui vaut 1 donc P 1 Pa De plus Z est tangente PP en Po et Pa Pn en Ph La courbe de B zier d ordre 1 d termin e par les deux points Po et P est simplement le segment PP La courbe de B zier d ordre 2 d termin e par Ps Py et P2 est larc PP de la parabole tangente en Ps PP et en Pz P2P1 tant donn
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